Sumário e Objectivos - fe.up.ptldinis/aula22005.pdf · Mecânica dos Sólidos e das Estruturas 2ª Aula 6 Exemplo 2.1 Considere o sólido representado na figura e determine as resultantes

Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006

Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula

1

Sumário e Objectivos

SumSumáário:rio: Barra Traccionada. Conceito de Deformação. Conceito de Tensão. Tensor das Tensões. Casos Particulares. Simbologia. Unidades e Aplicações Elementares. Relações Tensões – Deformações na caso Uni axial. Revisão do Cálculo de Reacções em Vigas.

Objectivos:Objectivos: Apreensão de Alguns Conceitos Associados à Grandeza Deformação e á Grandeza Tensão de Cauchy e sua Simbologia e forma como se relacionam no caso uni - axial. Relembrar o processo de Cálculo de Reacções da Mecânica I.



2

Sólidos no Espaço



3

L0 -Comprimento inicial

L - Comprimento Final

x

L0

L

Barra TraccionadaPP

P

Conceito de Deformação e Extensão

P

o

o

L LL−

ε =

Deformação usual em Engenharia- Extensão Deformação natural

oL LL−

ε =



4

Barra Traccionadax

L0

L

PP

PP

L0 -comprimento inicialL – Comprimento Final

Deformação de Lagrange

2 2o

2o

L L12 L

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠E

Deformação Logarítmica

o o

d nη = = =∫

( ) =+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ+= ε1n1n

o

...41

31

21 432 +−+−= εεεε



5

x

y

z

1F

iF

nF

O

Sólido Genérico

Viga

1P 2P3P

xy

p

x

y

Torre

Sólidos no Espaço

Forma, Acções e Ligações ao Exterior e Forma de Representação



6

Exemplo 2.1

Considere o sólido representado na figura e determine as resultantes dos esforços que se desenvolvem na Secção A-A

P

P

A A A A P

Peça

M=Pa

Parte da Peça

Método das Secções

Equações de Equilíbrio Estático

a



7

Barra Prismática-1

P PA

A

Secção A-A

a

b

P P

A

A

Secção A-A

a

b

Barra Traccionada

Barra Comprimida

Tracção

Compressão



8

Ã

A

P P

Secção A -A

a

b

P σσ

σ = P/A

Secção A-A

Barra Traccionada

Grandezas

Força

TensãoAP dA= σ∫



9

P P

B

B

Secção A -A

a

b

x

y

x´

A´ = A/cos α

y´

O

y´ x´

xP´

P´´

P

P´ = P cos αP´´ = P sen α

Secção Inclinada

Barra Traccionada

α



10

Tensões na Secção Inclinada

x

y

x´

A´ = A/cos α

y´

O

y´ x´

xP´

P´´

P

P´ = P cos αP´´ = P sen α

Secção Inclinada

n

PA

PA

PAσ

αα

α=′′

= =cos/ cos

cos2

t

PA

PsenA

pA

senσα

αα α= −

′ ′′

= − = −/ cos

cos

Tensão Normal

Tensão Tangencial



11

Exemplo 2.2

P

P

β=30

Uma barra colada , como se representa na figura 2.5, tem secção rectangular de dimensões 1020 mm. O plano que corresponde ao plano de colagem faz um ângulo de com o eixo da barra , como se mostra na figura. Admitindo que a resistência ao corte da ligação colada controla o projecto e admitindo que a tensão de corte máxima admissível é de 10 Mpa, determine a carga axial P a aplicar à barra.

Resolução

Forças Normal e Tangencial 2

2

P Pcos( ) Pcos60º 0.5P

P ´ Psen( ) Psen60º 0.866025P

π

π

= −β = =

= −β = =Tensão Tangencial ou de Corte

2t

º2

P´ 0.866025P 0.00217PN / mmA´ 200 / cos( 30 )π−

= = − = −σ

P 10 / 0.00217 4608.3N∴ = =



12

Conceito de Tensão

Flim AA 0

Δσ =

ΔΔ →

AF

0Ayx

xΔΔ

Δ=τ lim

A

F

0Ayy

y

Δ

Δ

Δ=σ lim

AF

0Ayz

zΔΔ

Δ=τ lim

ΔA

ΔFΔF

O

xy

z

FxΔFyΔ

FzΔ

Tensão

Componentes da Tensão σ numa faceta perpendicular a y



13

Tensor das Tensões-1

yy yx yz; ;σ τ τ

xx xy xz; ;σ τ τ

zz zx zy; ;σ τ τ

Plano perpendicular ao Eixo dos xx:

Plano perpendicular ao Eixo dos zz:

yyσ Tensão Normal

yx yz;τ τ Tensões Tangenciais ou de Corte

Plano perpendicular ao Eixo dos yy:



14

Tensor das Tensões –2

yyσ

xy

zxxσ

zzσ

yzτ

zyτ

xyτ yxτ

zxτ

xzτ

xx xy xz 11 12 13

ij yx yy yz ij 21 22 23

zx zy zz 31 32 33

ou⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ τ τ σ σ σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ = = =σ τ σ τ σ σ σ σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ τ σ σ σ σ⎣ ⎦⎣ ⎦

O modo como se representam as tensões é tal que o primeiro índice representa a direcção da normal ao plano de intercepção e o segundo índice indica a direcção de actuação da tensão

Tensor das Tensões

Convenção de sinais: As tensões são consideradas Positivas se têm o sentido considerado positivo nas facetas do paralelepípedo mais próximas do observador e nas outras facetas são consideradas positivas se têm o sentido contrário. As Tensões representadas nas figuras estão a ser consideradas positivas.



15

Estado Uni axial de Tensão

0 00 0 00 0 0

σ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0 00 00 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0 00 0 00 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦

Tensor das Tensões no sistema de Eixos Oxyz

ou ou

σ

σ

xy

z



16

Corte Puro

x

y

O

y

z

x

z

y x

z

xy

yx

0 00 0

0 0 0

⎡ ⎤τ⎢ ⎥τ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

yz

zy

0 0 00 00 0

⎡ ⎤⎢ ⎥

τ⎢ ⎥⎢ ⎥τ⎣ ⎦

xz

zx

0 00 0 0

0 0

⎡ ⎤τ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥τ⎣ ⎦



17

Tensões Normais

x

y

zzzσ

xxσ

yyσ

xx

yy

zz

0 00 00 0

⎡ ⎤σ⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦



18

Estado Plano de Tensão

x

y

x

y

z

yyσ

yyσ

xxσ

xxσ

xyτxyτ

yxτyxτ

xx xyxx xy

yx yyyx yy

00 ou

0 0 0

⎡ ⎤σ τ⎡ ⎤σ τ⎢ ⎥τ σ ⎢ ⎥⎢ ⎥ τ σ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦



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Unidades

Unidade S.I. S. Métrico U.K.Comprimento metro(m) metro(m) polegada(in)Tempo segundo (s) segundo(s) segundo(s)Massa Kilograma(Kg) Kilograma(Kg) Libra Massa (lb)Força Newton(N) Kilogramo(Kg) Libra Peso (lb)Tensão Pascal(Pa) Kg/m2 lb/in2

T G M k m μ n p

1210 910 610 310 −310 −610 −910 −1210



20

Problema 2.3Num plano perpendicular ao eixo dos yy a tensão resultante é T={0 10 5}MPa. Determine as componentes das tensões no referido plano.

x

{ }

{ }

{ }

yx 1

yy 2

yz 1

1T.e 0 10 5 0 0MPa

0

0T.e 0 10 5 1 10MPa

0

0T.e 0 10 5 0 5MPa

1

⎧ ⎫⎪ ⎪τ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪σ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪τ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭



21

Problema 2.3

xy

z T

σyy

τyz

τyx

{ }

{ }

{ }

yx 1

yy 2

yz 1

1T.e 0 10 5 0 0MPa

0

0T.e 0 10 5 1 10MPa

0

0T.e 0 10 5 0 5MPa

1

⎧ ⎫⎪ ⎪τ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪σ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪τ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭



22

Exemplo 2.4

O tensor das tensões num ponto é:

Desenhe um paralelepípedo

centrado no ponto e sobre cada

uma das faces represente as tensões que sobre ela actuam.

10 20 3020 20 30 MPa30 30 10

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦



23

Exemplo 2.4

y

x

z

10

2020 10

10

10

20302020

3030



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Cálculo das Reacções em Vigas -Revisão

Vigas Isostáticas – Cálculo das Reacções de Apoio

a)

pkN/m

b)

y6pkN

L L/2

pkN/m

B45º

L L/2

x

45º

A

6pkN

A

B CC



25

6pkN

L L/2

pkN/m

B45º

x

a)

A


As reacções de apoio possíveis na viga da figura a) são: uma reacção segundo y em B e duas reacções em A, uma reacção segundo x e uma reacção segundo y. As equações de equilíbrio são duas equações de equilíbrio de forças, uma segundo x e outra segundo y e uma equação de equilíbrio de momentos na direcção normal ao plano Oxy, por exemplo em A.



26


n

xi Axi 1n

yi Ay Byi

A

1

x0 6p cos 45 0 a)F R

0 pL 3 2p

3 2pR

b)F R R

=

=

= =− =∑

= + = +∑

Equilíbrio de Forças

( )2n m

yi i xi zj By Byii 1 j 1

9 L 9L0 L p 2pL =p + 2p yF x F M R R2 2 2 2= =− + = = +∑ ∑

Equilíbrio de Momentos

By AyL 9 L 3 =p + 2p e =p - 2pR R2 2 2 2



27

b) pkN/my

L L/2

45º

A

6pkN

As reacções de apoio possíveis na viga da figura são: uma reacção segundo y em A, uma reacção segundo x em A e um momento em A. As equações de equilíbrio são duas equações de equilíbrio de forças, uma segundo x e outra segundo y e uma equação de equilíbrio de momentos na direcção normal ao plano Oxy, por exemplo em A




28

n

xi Axi 1n

yi

A

Ayi 1

x0 6pcos 45 0 a)F R

0

3 2p R

pL 3 2p )R bF

=

=

= + =∑

=∑

=−

= +


Equações de Equilíbrio de Forças

Equação de Equilíbrio de Momentos

( )2n m

yi i xi zj Azii 1 j 1

2

Az9L0 p 2pL =0 yF x F M M

9L=-p - 2pL M2 2 2 2= =− + = + +∑ ∑



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Problemas Propostos para Resolução

6m 4m 4m

10kN/m

20kN

A BO

x

OBA

2m 3m2m 2m

15kN/m 10kN/m

xy

xy

L=1m

M=1500N.m

P=3000NM=1500Nm

0,60m 0,40m

Calcule as Reacções de Apoio para as vigas isostáticas representadas na figura.

a) b)

c) d)

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