Sumário e Objectivos - fe.up.ptldinis/aula112005.pdf · Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 11ªAula 12 Exemplo 11.1- Resolução O momento máximo

Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas11ªAula

1

Sumário e Objectivos

Sumário: Tensões Axiais e Deformações Axiais numa viga com Secção Composta. Eixo Neutro. Momento de Inércia.Objectivos da Aula: Apreender a forma como se distribuem as tensões Axiais nas Secções Compostas das Vigas por forma a conduzirem ao momento resultante na Secção



2

Helicóptero



3

Stonehenge



4

Estruturas ArqueológicasStonehenge



5

Equipamento para Ensaio de vigas



6

Tecto em Madeira de uma Igreja



7

Vigas Compósitas



8

Exemplo 11.1

Considere a viga representada na figura 11.1, cuja secção em canal tem as dimensões representadas na referida figura. A viga está sujeita a uma carga uniformemente distribuída de intensidade p=12kN/m. Determine as tensões longitudinais máximas de compressão e tracção. Investigue o efeito do peso da viga nas tensões longitudinais admitindo que a espessura da secção varia entre 60mm e 80mm. Considere o peso específico igual a 78kN/ m.

3m



9

Exemplo 11.1- Resolução

kN54RkN162R

B

A

==



10


A posição do centro de gravidade da secção, no caso da secção ter 60mm de espessura é tal que:

( )mm)3(3.203y

60600602402y12060240227060060

=

×+×××=×××+××

A posição do centro de gravidade da secção, no caso da secção ter 80mm de espessura é tal que:

( )mm54.196y

80600802202y11080220226060080

=

×+×××=×××+××



11


O momento de Inércia no caso de se considerar uma espessura de 60mm é:

mm06e04.509I

)3(3.832406012

240602)6(6.666060012

60600I

4z

23

23

z

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××+

××+××+

×=

O momento de Inércia no caso de se considerar uma espessura de 80mm é:

mm06e4964.624I

54.862208012

22080246.638060012

80600I

4z

23

23

z

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××+

××+××+

×=



12


O momento máximo resultante da carga exterior é 216kN.mA carga uniformemente distribuída resultante do peso da viga, no caso da viga ter 60mm de espessura é:

m/kN0544.510)26024060600(78p 6 =×××+××= −

O momento máximo associado a esta carga uniformemente repartida é: 90.9792kN.m

A carga uniformemente distribuída resultante do peso da viga, no caso da viga ter 80mm de espessura é:

m/kN4896.610)28022080600(78p 6 =×××+××= −

O momento máximo associado a esta carga uniformemente repartida é: 116.8128kN.m



13


No quadro I representam-se as tensões obtidas por uso da fórmula: yI

Mσz

zx −=

Resumo dos Resultados Caso M. máximo M. de Inércia y máximo Tensão máxima1 216kN.m 509.04e-06m4 0.203(3)m 86.1386MPa2 216kN.m 624.496e-06m4 0.19654m 67.979MPa3 306.9795kN.m 509.04e-06m4 0.203(3)m 122.5115MPa4 332.8128kN.m 624.496e-06m4 0.19654m 104.742MPa

1 Só Carga Exterior e Espessura 60mm2 Só Carga Exterior e Espessura 80mm3 Carga Exterior mais Peso Próprio e Espessura 60mm4 Carga Exterior mais Peso Próprio e Espessura 80mm



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Flexão de Vigas Constituídas por Vários Materiais

As componentes estruturais tipo viga são muitas vezes constituídas por mais que um material constituindo as chamadas vigas não homogéneas. Alguns exemplos de vigas deste tipo são, vigas de madeira reforçadas a aço, viga constituída de dois materiais, por exemplo, metálicos, vigas de betão armado e as vigas de plásticos reforçados por fibras em geral conhecidas por vigas compósitas. A teoria da flexão de vigas sujeitas a momentos flectores pode ser facilmente adaptada ao estudo de vigas constituídas por dois ou mais materiais.



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Vigas Compostas

x

y y

z

y

z

As vigas compostas que vão ser consideradas são vigas com camadas isotrópicas, embora estas vigas compostas apareçam muitas vezes constituídas com camadas anisotrópicas, nomeadamente ortotrópicas.

Viga Secção da Viga



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Viga Constituída por Dois Materiais - Método Directo



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Viga Constituída por Dois Materiais - Posição do Eixo Neutro

Sendo x a direcção do eixo da viga, a condição de equilíbrio de forças na direcção axial, x, implica que seja ∫ ∫

1 2

x 1 x 2A A

d A + d A = 0σ σ

1 1x1 x kyE E= =σ ε − 2 2x 2 x kyE E= =σ ε −Tendo em conta que eE que b b

y y y= −

∫ ∫ ∫ ∫1 2 1 2

1 2 1 2b b bA A A A

dA + dA = ( dA + dA)y y yE E E E

Obtém-se:

ou ∫ ∫

∫ ∫1 2

1 2

1 2b bA A

b1 2

A A

dA + dAy yE E=y

dA + dAE E

representa a distância do centro de gravidade relativamente àbase da secção, por exemplo.



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Viga Constituída por Dois Materiais - Tensões

A equação de equilíbrio de momentos toma a forma

( )

⎛ ⎞∫ ∫ ∫ ∫⎜ ⎟

⎝ ⎠1 2 1 2

2 2z 1 2x1 x2

A A A A

1 1 2 2

= - ydA - ydA = k dA + dA =y yσ σM E E

= k +E I E I

donde z

1 1 2 2

Mk =+E I E I

1 1x1 x kyE E= =σ ε − 2 2x 2 x kyE E= =σ ε −Tendo em conta

e 1 zx1

1 1 2 2

ME= - yσ+E I E I

2 zx2

1 1 2 2

ME= - yσ +E I E I

Tensões



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Secção com n Materiais

Coordenada do eixo neutro ∑ ∫

∑ ∫

i

i

n

i bi = 1 A

nbi

i = 1 A

d AyE=y

d AE

Tensões no material j

∑

j zxj n

i ii=1

ME= - yσE I



20

Método da Secção Equivalente

A equação que representa o equilíbrio de Forças segundo xx e que é

1 2

1 2A A

ydA ydA 0E E+ =∫ ∫

pode ser rescrita com a forma, dividindo ambos os membros por 1E

1 2A AydA nydA 0+ =∫ ∫ onde n representa o cociente dos módulos

de Young: E2/E1.

Nestas condições, podemos constatar por análise da equação anterior que a posição do eixo neutro não se altera se cada elemento de área dA, do material 2, for multiplicado pelo factor n, conservando-se inalterada a distância y do elemento de área ao eixo neutro.



21

Método da Secção Equivalente

(2)

z(1)

y

Secção

y

b b

nb

byby

n=E2/E1



22

Método da Secção EquivalenteTensões

As tensões x1σ no material 1, podem ser calculadas considerando o momento de inércia da Secção equivalente e 1 2nI I I= +

zx1

e

M= - yσI

As tensões no material 2 não podem ser calculadas directamente considerando a secção equivalente, há necessidade de multiplicar por n

zx2

e

M= -n yσI



23

Exemplo 11.2

(1)

(2)

(3)

200mm

60mm

70mm

120mm

Considere-se a viga de secção composta por três materiais distintos, os materiais 1,2,3 como se representa na figura. Na face superior da viga e na secção A-A estácolocado um extensómetro de acordo com o qual a deformação axial na secção A-A e na referida face é -5× , determine o momento a que a referida secção estásujeita.Módulos de Young dos

Materiais

410−

1 2 370GPa; 100GPa; 200GPaE E E= = =



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Exemplo 11.2 – Resolução

Começa por determinar-se a posição do centro de gravidade da Secção. Esse cálculo pode ser feito pelo método directo ou pelo método da Secção equivalente. Procedendo a esse cálculo pelo método directo, obtém-se ∑ ∫

∑ ∫

i

i

n

i bi=1 1 1 2 2 3 3A 1 2 3

nb1 1 2 2 3 3i

i=1 A

dAyE + +y y yE A E A E A= =y+ +E A E A E AdAE

=137.4mm

ou pelo método da Secção Equivalente

1 1 2 2 31 2 3b

1 2 2 31

+ +y y yn A n A A=y+ +A n A An

=137.4mm sendo 1 21 2

3 3

E E;n nE E

= =



25

Exemplo 11.2 – Resolução

A tensão correspondente à deformação axial lida é:9 4

2x2

82x2

6x2

82

100 5 50MPa10 10Eky 192,6 k10E

50 10ky 192.6 10E

−= ε = − × × × = −σ= − = − ×σ

×σ= = = −× +

z

1 1 2 2 3 3

M+E I E I E I

Desta última igualdade pode obter-se o valor do momento.



26

Problemas Propostos

1. Considere uma viga de secção composta e considere duas formas possíveis para as secções, uma secção rectangular e uma secção circular, como se representa na figura. A viga está sujeita a momentos flectores positivos de 90kN.m. As características dos materiais são: Eaço = 210GPa e Eal=70GPa. Determine as tensões máximas longitudinais em cada um dos materiais da viga. Comente o resultado obtido.

90mm

180mm

80mm

200mm 300mm



27

Problemas Propostos

2. Considere uma viga cuja secção é constituída por três materiais com se representa na figura e calcule as tensões máximas à tracção e compressão no caso da secção estar sujeita a um momento flector de 25kN.m que produz flexão no plano Oxy. O material 1 tem um módulo de Young de 20GPa, o material 2 tem um módulo de Young de 10 GPae o material 3 tem um módulo de Young de 40GPa.

x

y

O

30mm80mm

50mm

30mm

40mm

Material 1

Material 2

Material 3

Utilize o Método Directo



28

Problemas Propostos

3. Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura, construída em madeira reforçada por alumínio, como se mostra na figura. A tensão admissível no alumínio é de 90MPa e a tensão admissível na madeira é de 10MPa. O Módulo de Young para o Alumínio é de 70Gpa e o Módulo de Young para a Madeira é de 12 Gpa. Determine o valor máximo que a carga P pode atingir.



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Problemas Propostos

4. Considere uma viga cuja secção é simétrica em relação ao eixo dos yy e éconstituída por três materiais com se representa na figura. Calcule as tensões máximas à tracção e compressão no caso da secção estar sujeita a um momento flector de 20kN.m que produz flexão no plano Oxy. O material 1 tem um Módulo de Youngde 24GPa, o material 2 tem um Módulo de Young de 12 GPa e o material 3 tem um Módulo de Young de 50GPa.

y

xz

y

20mm40mm

20mm20mm

20mm

40mmMaterial 1

Material 2

Material 3

Utilize o método da Secção equivalente

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