Questao 1: Proposta no proprio BlogUtilizando a expressao dada como “chute” para a equacao do movimento:

Msn +K(2sn − sn−1 − sn+1) = 0

Mu(iω)2ei(naq−ωt) +K(2uei(naq−ωt) − 2uei((n−1)aq−ωt) − uei((n+1)aq−ωt)) = 0

Mu(iω)2 = Ku(e−iaq + eiaq)− 2Ku

E lembrando que podemos expressar eix como cosx+ i sinx, obtemos:

ω2 =2K(1− cos(aq))

M

Logo:

f 2 =K

2π2M(1− cos(aq))

E sabendo que q =β}nπca

(disponıvel em http://www.if.ufrj.br/~monica/CEDERJ/aula10-rev.PDF),

onde n e a n-esima harmonica, e β =1

kBT, em que T e a temperatura do sistema :

f 2 =K

2π2M(1− cos(β}πcn))

f 2 =K

2π2M2 sin2(

β}πcn2

)

f =1

π

√K

M

∣∣∣∣sin(β}πcn

2)

∣∣∣∣f = fM

∣∣∣∣sin(β}πcn

2)

∣∣∣∣que sao entao as frequencias naturais de oscilacao para cada valor de T . Vemos que a expressao obtidanos mostra que a frequencia de oscilacao e uma funcao periodica e varia em torno de um valor medio fM ,mostrando entao a quantizacao da energia dos osciladores.Einstein e Debye estudaram o movimento dos atomos nos solidos, considerando-os osciladores. EnquantoEinstein estudou os osciladores como se fossem independentes, Debye os estudou como se estivessemacoplados (como se estivessem presos por molas). Einstein procurou obter uma aproximacao harmonicaem torno do ponto mınimo de energia potencial para osciladores desacoplados. Dessa forma, considerandoum meio isotropico, a constante elastica tambem foi considerada a mesma em todas as direcoes. Aconteceque quando o princıpio da equiparticao era aplicado a um sistema solido tridimensional levava a um valorde calor especıfico de cV = 3R, ou cV = 24, 9 J/mol.K .Para uma grande maioria dos solidos, esse resultado(chamado Lei de Dulong-Petit era razoavel acima decertas temperaturas, mas falhava bastante com o carbono, e em para todos os solidos o calor especıficotendia a zero para temperaturas muito baixas.Einstein foi o primeiro a resolver esse problema, aplicando a quantizacao de energia ao estudo dos solidos,e assim conseguiu explicacoes para a dependencia do calor especıfico com a temperatura.

Questao: Proposta durante a aulaFoi proposto durante a aula o desenvolvimento da seguinte expressao:

b0 =2y0L

L∫0

sin(3π

Lx) sin(

nπ

Lx)dx

1

Temos de considerar dois casos: n = 3 e n 6= 3. Para o primeiro caso temos:

b0 =2y0L

L∫0

sin2(3π

Lx)dx

b0 =y0L

L∫0

(1− cos(6π

Lx))dx

b0 = y0 −y0L

L∫0

cos(6π

Lx)dx

b0 = y0

Para o segundo:

b0 =2y0L

L∫0

[cos(

πx(3− n)

L)− cos(

πx(n+ 3)

L)]

]dx

b0 =2y0L

(L

π(n− 3)sin(

πx(3− n)

L)− L

π(n+ 3)sin(

πx(n+ 3)

L)

)L

0

b0 =2y0π

[1

(n− 3)sin(π(3− n))− 1

(n+ 3)sin(π(n+ 3))

]

2