of 43 /43
Carlos Alexandre Mello – [email protected] Técnicas de Projeto de Filtros IIR Carlos Alexandre Mello 1

Técnicas de Projeto de Filtros IIR - UFPEcabm/pds/PDS_Aula05_FiltrosIIR.pdf · Técnicas de Projeto de Filtros IIR Características de Protótipos Analógicos Filtro de Chebyshev

  • Author
    others

  • View
    4

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Técnicas de Projeto de Filtros IIR - UFPEcabm/pds/PDS_Aula05_FiltrosIIR.pdf · Técnicas de...

  • Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Carlos Alexandre Mello

    1

  • 2 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    A técnica básica de projeto de filtros IIR transforma filtros analógicos bem conhecidos em filtros digitais

    A vantagem dessa técnica está no fato que tanto tabelas de filtros analógicos quanto as conversões estão vastamente disponíveis na literatura

    Essa técnica é chamada de transformação de filtro analógica-digital (A/D)

    No entanto, as tabelas de filtros só estão disponíveis para filtros passa-baixa Para gerar outros filtros seletores de frequência, temos que aplicar

    transformações a filtros passa-baixa

    Essas transformações também estão disponíveis na literatura.

    2

  • 3 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Existem duas formas de projeto de filtros IIR

    3

  • 4 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Para projetar filtros IIR, vamos:

    1) Projetar FPB analógicos;

    2) Aplicar transformações no filtro para obter FPB

    digitais;

    3) Aplicar transformações de frequência nas bandas

    para obter outros filtros digitais a partir do FPB.

    O principal problema dessas técnicas é que não

    temos controle sobre a fase do filtro

    Assim, os projetos de filtros IIR serão apenas em

    magnitude

    4

  • 5 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Escala Relativa

    Seja Ha(jΩ) a resposta em frequência do filtro

    analógico

    Então as especificações do FPB quanto à

    resposta quadrática de magnitude são dadas

    por:

    5

    onde ε é o parâmetro de ondulação da banda de passagem, ΩP é a

    frequência de corte da banda de passagem, A é o parâmetro de

    atenuação da banda de corte e ΩS é a frequência da banda de corte

  • 6 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    6

    Especificações de um filtro

    passa-baixa analógico

    Da figura temos:

  • 7 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Escala Relativa

    Os parâmetros ε e A estão relacionados aos

    parâmetros RP e AS na escala dB como:

    7

  • 8 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Escala Relativa

    As tolerâncias 1 e 2 da escala absoluta são

    relacionados a ε e A por:

    8

  • 9 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Escala Relativa

    Especificações de filtros analógicos não têm

    informação de fase

    Para calcular a função de sistema Ha(s) no

    domínio-s considere :

    9

  • 10 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Escala Relativa

    Então temos :

    Os polos e zeros da função de magnitude

    quadrática são distribuídos de forma simétrica

    (em relação ao eixo real ou complexo)

    10

  • 11 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Da definição de polos e zeros de partir de

    Ha(s).Ha(-s), podemos construir Ha(s) que é a

    função do sistema do filtro analógico

    Queremos que Ha(s) seja causal e estável, então

    todos os polos de Ha(s) devem estar no semi-

    plano esquerdo

    Todos os polos do semi-plano da esquerda de

    Ha(s).Ha(-s) são usados para construir Ha(s)

    11

  • 12 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Observação:

    A transformada é apresentada no plano-s indicando o

    uso da transformada de Laplace (por ser no domínio

    analógico)

    12

  • 13 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    O projeto de filtros IIR reside na existência de

    filtros analógicos para obter filtros digitais

    Esses filtros analógicos são chamados de filtros

    protótipos

    Três protótipos são largamente usados na prática:

    Butterworth, Chebyshev (tipo I e II) e Elíptico

    Vamos ver as características das versões passa-

    baixa desses filtros

    13

  • 14 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth A principal característica desse filtro é que a resposta

    em magnitude é plana (flat) na banda de passagem e de corte

    A resposta quadrática de magnitude de um FPB de N-ésima ordem é dada por:

    onde N é a ordem do filtro e Ωc é a frequência de corte

    14

  • 15 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth

    15

    2

  • 16 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth

    Do gráfico, podemos observar:

    i) Em Ω = 0, |Ha(j0)|2 = 1, para todo N.

    ii) Em Ω = Ωc, |Ha(jΩc)|2 = 0,5, para todo N, o que

    implica 3 dB de atenuação em Ωc

    iii) |Ha(jΩ)|2 é uma função monotonicamente

    decrescente em Ω

    iv) |Ha(jΩ)|2 se aproxima de um FPB ideal em N → .

    V) |Ha(jΩ)|2 é maximamente plano em Ω = 0

    16

  • 17 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth

    Sua função de sistema Ha(s) é:

    Para projetar o filtro, precisamos encontrar as

    raízes e pólos da função do sistema

    17

    c

  • 18 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth

    O FPB analógico é especificado pelos

    parâmetros ΩP, ΩS, RP e AS

    Assim, a essência do projeto no caso do filtro

    de Butterworth é obter a ordem N e a

    frequência de corte dada Ωc

    18

  • 19 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth

    Assim, dadas essas especificações, queremos:

    19

  • 20 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth

    Resolvendo as equações para N e Ωc, temos:

    20

  • 21 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth

    Como N deve ser inteiro, então consideramos:

    N = N

    Para satisfazer exatamente as especificações

    do projeto em ΩP:

    Para satisfazer exatamente as especificações

    do projeto em ΩS:

    21

  • 22 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo

    Projete um filtro Butterworth satisfazendo:

    Ponto de corte na banda de passagem: ΩP = 0,2

    Ripple na banda de passagem: RP = 7 dB

    Ponto de corte na banda de corte: ΩS = 0,3

    Ripple na banda de corte: AS = 16 dB

    22

  • 23 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo

    Solução:

    Para satisfazer as especificações em ΩP

    Para satisfazer as especificações em ΩS

    23

  • 24 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo

    Solução:

    Podemos escolher Ωc entre esses dois valores, por

    exemplo Ωc = 0,5

    Temos que projetar um filtro Butterworth com N = 3 e

    Ωc = 0,5

    Ou seja:

    Como Ω = s/j, temos:

    24

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo

    Solução:

    Os pólos pk da função anterior podem ser calculados no MatLab

    como:

    >> a = [-64 0 0 0 0 0 1];

    >> b = roots(a)

    b =

    -0.5000

    -0.2500 + 0.4330i

    -0.2500 - 0.4330i

    0.5000

    0.2500 + 0.4330i

    0.2500 - 0.4330i

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 25

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo

    Solução:

    Para termos um filtro causal e estável, usamos os

    pólos do semi-plano esquerdo:

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 26

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo

    Solução:

    Vamos ajustar o numerador para que o ganho na

    frequência zero seja unitário

    Ou seja, no denominador, quando s = 0, temos:

    (s + 0,5)(s2 + 0,5s + 0,25) = 0,5.0,25 = 0,125

    Logo, o numerador é multiplicado por um fator de 1/8

    e temos:

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 27

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo

    Solução:

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 28

    Filtro analógico

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo

    Solução:

    Para transformar o filtro em digital, podemos usar o

    método de transformação bilinear

    Nele, consideramos:

    onde T é um parâmetro

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 29

    OBS: Explicação nas notas de aula.

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo

    Solução:

    No nosso caso, consideramos T = 1:

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 30

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo

    Solução: No MatLab:

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 31

    function [b, a] = u_buttap(N, omegac)

    [z, p, k] = buttap(N);

    p = p*omegac;

    k = k*omegac^N;

    B = real(poly(z));

    b0 = k;

    b = k*B;

    a = real (poly(p));

    T

    z, p, k para c = 1

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Chebyshev

    Existem dois tipos de filtros de Chebyshev

    O Chebyshev do tipo I tem resposta equirriple na banda de

    passagem

    e o tipo II, na banda de corte

    Os filtros Butterworth têm resposta monotônica em

    ambas as bandas

    Lembramos que um filtro de resposta equirriple tem

    menor ordem

    Assim, um filtro de Chebyshev tem menor ordem que

    um de Butterworth para as mesmas especificações

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 32

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Chebyshev

    33

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Chebyshev

    A resposta quadrática de magnitude de um filtro

    Chebyshev tipo I é dada por:

    onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da

    banda de passagem e TN(x) é o polinômio de

    Chebyshev dado por (podemos considerar x = Ω/Ωc):

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 34

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Chebyshev

    Para um filtro Chebyshev tipo II:

    Ou seja, x = (Ω/Ωc) é substituído por seu inverso e

    ε2TN2(x) também

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 35

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Elíptico

    Esses filtros apresentam ondulações na banda de passagem e de corte

    São similares em magnitude a filtros FIR equirriple

    São filtros ótimos no sentido que eles alcançam a menor ordem N para as dadas especificações

    São muito difíceis de projetar e analisar Não é possível projetá-los com ferramentas simples,

    sendo necessário uso de tabelas e recursos computacionais

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 36

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Elíptico

    A resposta quadrática de magnitude é dada por:

    onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da banda

    de passagem e UN(x) é a função elíptica Jacobiana de ordem N

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 37

  • Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

    Filtro de Elíptico

    Apesar da análise complexa, o cálculo da ordem do

    filtro é dado por:

    Onde:

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 38

    1

  • Transformações em Frequência

    Como dissemos anteriormente, o projeto de filtros

    seletores de frequência como passa-alta, passa-

    faixa ou rejeita faixa, são feitos a partir de um

    protótipo do tipo passa baixa

    A partir desse protótipo, é possível aplicar uma

    transformação algébrica para construir o filtro

    desejado

    As transformações mais comuns estão na tabela a

    seguir...

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 39

  • Transformações em Frequência

    40

  • Comparação entre Filtros FIR e IIR

    Seja M o comprimento (número de coeficientes)

    de um filtro FIR de fase linear e N a ordem de um

    filtro elíptico (IIR)

    Se assumimos que ambos os filtros atendem

    exatamente às mesmas especificações, os dois

    filtros são equivalentes e atendem à relação:

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 41

  • Comparação entre Filtros FIR e IIR

    Isso mostra que, para a maior parte das

    aplicações, filtros IIR elípticos são desejáveis do

    ponto de vista computacional

    As condições mais favoráveis para filtros FIR são:

    1. Grandes valores de 1;

    2. Pequenos valores de 2;

    3. Grande largura da banda de transição.

    Carlos Alexandre Mello – [email protected] 42

  • 43 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros

    Referências:

    Digital Signal Processing using MatLab, V.Ingle,

    J.G.Proakis, Brooks/Cole, 2000

    Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim

    e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989

    Digital Signal Processing Using MatLab and

    Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007

    Digital Signal and Image Processing, T.Bose,

    John Wiley and Sons, 2004

    43