-
Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Carlos Alexandre Mello
1
-
2 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
A técnica básica de projeto de filtros IIR transforma filtros
analógicos bem conhecidos em filtros digitais
A vantagem dessa técnica está no fato que tanto tabelas de
filtros analógicos quanto as conversões estão vastamente
disponíveis na literatura
Essa técnica é chamada de transformação de filtro
analógica-digital (A/D)
No entanto, as tabelas de filtros só estão disponíveis para
filtros passa-baixa Para gerar outros filtros seletores de
frequência, temos que aplicar
transformações a filtros passa-baixa
Essas transformações também estão disponíveis na literatura.
2
-
3 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Existem duas formas de projeto de filtros IIR
3
-
4 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Para projetar filtros IIR, vamos:
1) Projetar FPB analógicos;
2) Aplicar transformações no filtro para obter FPB
digitais;
3) Aplicar transformações de frequência nas bandas
para obter outros filtros digitais a partir do FPB.
O principal problema dessas técnicas é que não
temos controle sobre a fase do filtro
Assim, os projetos de filtros IIR serão apenas em
magnitude
4
-
5 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Escala Relativa
Seja Ha(jΩ) a resposta em frequência do filtro
analógico
Então as especificações do FPB quanto à
resposta quadrática de magnitude são dadas
por:
5
onde ε é o parâmetro de ondulação da banda de passagem, ΩP é
a
frequência de corte da banda de passagem, A é o parâmetro de
atenuação da banda de corte e ΩS é a frequência da banda de
corte
-
6 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
6
Especificações de um filtro
passa-baixa analógico
Da figura temos:
-
7 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Escala Relativa
Os parâmetros ε e A estão relacionados aos
parâmetros RP e AS na escala dB como:
7
-
8 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Escala Relativa
As tolerâncias 1 e 2 da escala absoluta são
relacionados a ε e A por:
8
-
9 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Escala Relativa
Especificações de filtros analógicos não têm
informação de fase
Para calcular a função de sistema Ha(s) no
domínio-s considere :
9
-
10 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Escala Relativa
Então temos :
Os polos e zeros da função de magnitude
quadrática são distribuídos de forma simétrica
(em relação ao eixo real ou complexo)
10
-
11 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Da definição de polos e zeros de partir de
Ha(s).Ha(-s), podemos construir Ha(s) que é a
função do sistema do filtro analógico
Queremos que Ha(s) seja causal e estável, então
todos os polos de Ha(s) devem estar no semi-
plano esquerdo
Todos os polos do semi-plano da esquerda de
Ha(s).Ha(-s) são usados para construir Ha(s)
11
-
12 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Observação:
A transformada é apresentada no plano-s indicando o
uso da transformada de Laplace (por ser no domínio
analógico)
12
-
13 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
O projeto de filtros IIR reside na existência de
filtros analógicos para obter filtros digitais
Esses filtros analógicos são chamados de filtros
protótipos
Três protótipos são largamente usados na prática:
Butterworth, Chebyshev (tipo I e II) e Elíptico
Vamos ver as características das versões passa-
baixa desses filtros
13
-
14 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth A principal característica desse filtro é
que a resposta
em magnitude é plana (flat) na banda de passagem e de corte
A resposta quadrática de magnitude de um FPB de N-ésima ordem é
dada por:
onde N é a ordem do filtro e Ωc é a frequência de corte
14
-
15 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
15
2
-
16 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
Do gráfico, podemos observar:
i) Em Ω = 0, |Ha(j0)|2 = 1, para todo N.
ii) Em Ω = Ωc, |Ha(jΩc)|2 = 0,5, para todo N, o que
implica 3 dB de atenuação em Ωc
iii) |Ha(jΩ)|2 é uma função monotonicamente
decrescente em Ω
iv) |Ha(jΩ)|2 se aproxima de um FPB ideal em N → .
V) |Ha(jΩ)|2 é maximamente plano em Ω = 0
16
-
17 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
Sua função de sistema Ha(s) é:
Para projetar o filtro, precisamos encontrar as
raízes e pólos da função do sistema
17
c
-
18 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
O FPB analógico é especificado pelos
parâmetros ΩP, ΩS, RP e AS
Assim, a essência do projeto no caso do filtro
de Butterworth é obter a ordem N e a
frequência de corte dada Ωc
18
-
19 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
Assim, dadas essas especificações, queremos:
19
-
20 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
Resolvendo as equações para N e Ωc, temos:
20
-
21 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
Como N deve ser inteiro, então consideramos:
N = N
Para satisfazer exatamente as especificações
do projeto em ΩP:
Para satisfazer exatamente as especificações
do projeto em ΩS:
21
-
22 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Projete um filtro Butterworth satisfazendo:
Ponto de corte na banda de passagem: ΩP = 0,2
Ripple na banda de passagem: RP = 7 dB
Ponto de corte na banda de corte: ΩS = 0,3
Ripple na banda de corte: AS = 16 dB
22
-
23 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Solução:
Para satisfazer as especificações em ΩP
Para satisfazer as especificações em ΩS
23
-
24 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Solução:
Podemos escolher Ωc entre esses dois valores, por
exemplo Ωc = 0,5
Temos que projetar um filtro Butterworth com N = 3 e
Ωc = 0,5
Ou seja:
Como Ω = s/j, temos:
24
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Solução:
Os pólos pk da função anterior podem ser calculados no
MatLab
como:
>> a = [-64 0 0 0 0 0 1];
>> b = roots(a)
b =
-0.5000
-0.2500 + 0.4330i
-0.2500 - 0.4330i
0.5000
0.2500 + 0.4330i
0.2500 - 0.4330i
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 25
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Solução:
Para termos um filtro causal e estável, usamos os
pólos do semi-plano esquerdo:
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 26
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Solução:
Vamos ajustar o numerador para que o ganho na
frequência zero seja unitário
Ou seja, no denominador, quando s = 0, temos:
(s + 0,5)(s2 + 0,5s + 0,25) = 0,5.0,25 = 0,125
Logo, o numerador é multiplicado por um fator de 1/8
e temos:
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 27
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Solução:
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 28
Filtro analógico
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Solução:
Para transformar o filtro em digital, podemos usar o
método de transformação bilinear
Nele, consideramos:
onde T é um parâmetro
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 29
OBS: Explicação nas notas de aula.
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Solução:
No nosso caso, consideramos T = 1:
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 30
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Solução: No MatLab:
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 31
function [b, a] = u_buttap(N, omegac)
[z, p, k] = buttap(N);
p = p*omegac;
k = k*omegac^N;
B = real(poly(z));
b0 = k;
b = k*B;
a = real (poly(p));
T
z, p, k para c = 1
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Chebyshev
Existem dois tipos de filtros de Chebyshev
O Chebyshev do tipo I tem resposta equirriple na banda de
passagem
e o tipo II, na banda de corte
Os filtros Butterworth têm resposta monotônica em
ambas as bandas
Lembramos que um filtro de resposta equirriple tem
menor ordem
Assim, um filtro de Chebyshev tem menor ordem que
um de Butterworth para as mesmas especificações
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 32
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Chebyshev
33
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Chebyshev
A resposta quadrática de magnitude de um filtro
Chebyshev tipo I é dada por:
onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da
banda de passagem e TN(x) é o polinômio de
Chebyshev dado por (podemos considerar x = Ω/Ωc):
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 34
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Chebyshev
Para um filtro Chebyshev tipo II:
Ou seja, x = (Ω/Ωc) é substituído por seu inverso e
ε2TN2(x) também
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 35
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Elíptico
Esses filtros apresentam ondulações na banda de passagem e de
corte
São similares em magnitude a filtros FIR equirriple
São filtros ótimos no sentido que eles alcançam a menor ordem N
para as dadas especificações
São muito difíceis de projetar e analisar Não é possível
projetá-los com ferramentas simples,
sendo necessário uso de tabelas e recursos computacionais
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 36
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Elíptico
A resposta quadrática de magnitude é dada por:
onde N é a ordem do filtro, ε é o fator de ondulação da
banda
de passagem e UN(x) é a função elíptica Jacobiana de ordem N
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 37
-
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Elíptico
Apesar da análise complexa, o cálculo da ordem do
filtro é dado por:
Onde:
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 38
1
-
Transformações em Frequência
Como dissemos anteriormente, o projeto de filtros
seletores de frequência como passa-alta, passa-
faixa ou rejeita faixa, são feitos a partir de um
protótipo do tipo passa baixa
A partir desse protótipo, é possível aplicar uma
transformação algébrica para construir o filtro
desejado
As transformações mais comuns estão na tabela a
seguir...
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 39
-
Transformações em Frequência
40
-
Comparação entre Filtros FIR e IIR
Seja M o comprimento (número de coeficientes)
de um filtro FIR de fase linear e N a ordem de um
filtro elíptico (IIR)
Se assumimos que ambos os filtros atendem
exatamente às mesmas especificações, os dois
filtros são equivalentes e atendem à relação:
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 41
-
Comparação entre Filtros FIR e IIR
Isso mostra que, para a maior parte das
aplicações, filtros IIR elípticos são desejáveis do
ponto de vista computacional
As condições mais favoráveis para filtros FIR são:
1. Grandes valores de 1;
2. Pequenos valores de 2;
3. Grande largura da banda de transição.
Carlos Alexandre Mello – [email protected] 42
-
43 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros
Referências:
Digital Signal Processing using MatLab, V.Ingle,
J.G.Proakis, Brooks/Cole, 2000
Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim
e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989
Digital Signal Processing Using MatLab and
Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007
Digital Signal and Image Processing, T.Bose,
John Wiley and Sons, 2004
43
