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Técnicas de Projeto de Filtros IIR - cabm/pds/PDS_Aula05_FiltrosIIR.pdf · PDF file Técnicas de Projeto de Filtros IIR Características de Protótipos Analógicos Filtro de Chebyshev

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  • Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Carlos Alexandre Mello

    1

  • 2 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

     A técnica básica de projeto de filtros IIR transforma filtros analógicos bem conhecidos em filtros digitais

     A vantagem dessa técnica está no fato que tanto tabelas de filtros analógicos quanto as conversões estão vastamente disponíveis na literatura

     Essa técnica é chamada de transformação de filtro analógica-digital (A/D)

     No entanto, as tabelas de filtros só estão disponíveis para filtros passa-baixa  Para gerar outros filtros seletores de frequência, temos que aplicar

    transformações a filtros passa-baixa

     Essas transformações também estão disponíveis na literatura.

    2

  • 3 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

     Existem duas formas de projeto de filtros IIR

    3

  • 4 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

     Para projetar filtros IIR, vamos:

     1) Projetar FPB analógicos;

     2) Aplicar transformações no filtro para obter FPB

    digitais;

     3) Aplicar transformações de frequência nas bandas

    para obter outros filtros digitais a partir do FPB.

     O principal problema dessas técnicas é que não

    temos controle sobre a fase do filtro

     Assim, os projetos de filtros IIR serão apenas em

    magnitude

    4

  • 5 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

     Escala Relativa

     Seja Ha(jΩ) a resposta em frequência do filtro

    analógico

     Então as especificações do FPB quanto à

    resposta quadrática de magnitude são dadas

    por:

    5

    onde ε é o parâmetro de ondulação da banda de passagem, ΩP é a

    frequência de corte da banda de passagem, A é o parâmetro de

    atenuação da banda de corte e ΩS é a frequência da banda de corte

  • 6 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    6

    Especificações de um filtro

    passa-baixa analógico

    Da figura temos:

  • 7 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

     Escala Relativa

     Os parâmetros ε e A estão relacionados aos

    parâmetros RP e AS na escala dB como:

    7

  • 8 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

     Escala Relativa

     As tolerâncias 1 e 2 da escala absoluta são

    relacionados a ε e A por:

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  • 9 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

     Escala Relativa

     Especificações de filtros analógicos não têm

    informação de fase

     Para calcular a função de sistema Ha(s) no

    domínio-s considere :

    9

  • 10 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

     Escala Relativa

     Então temos :

     Os polos e zeros da função de magnitude

    quadrática são distribuídos de forma simétrica

    (em relação ao eixo real ou complexo)

    10

  • 11 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

     Da definição de polos e zeros de partir de

    Ha(s).Ha(-s), podemos construir Ha(s) que é a

    função do sistema do filtro analógico

     Queremos que Ha(s) seja causal e estável, então

    todos os polos de Ha(s) devem estar no semi-

    plano esquerdo

     Todos os polos do semi-plano da esquerda de

    Ha(s).Ha(-s) são usados para construir Ha(s)

    11

  • 12 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

     Observação:

     A transformada é apresentada no plano-s indicando o

    uso da transformada de Laplace (por ser no domínio

    analógico)

    12

  • 13 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

     O projeto de filtros IIR reside na existência de

    filtros analógicos para obter filtros digitais

     Esses filtros analógicos são chamados de filtros

    protótipos

     Três protótipos são largamente usados na prática:

    Butterworth, Chebyshev (tipo I e II) e Elíptico

     Vamos ver as características das versões passa-

    baixa desses filtros

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  • 14 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

     Filtro de Butterworth  A principal característica desse filtro é que a resposta

    em magnitude é plana (flat) na banda de passagem e de corte

     A resposta quadrática de magnitude de um FPB de N- ésima ordem é dada por:

     onde N é a ordem do filtro e Ωc é a frequência de corte

    14

  • 15 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

     Filtro de Butterworth

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  • 16 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

     Filtro de Butterworth

     Do gráfico, podemos observar:

     i) Em Ω = 0, |Ha(j0)| 2 = 1, para todo N.

     ii) Em Ω = Ωc, |Ha(jΩc)| 2 = 0,5, para todo N, o que

    implica 3 dB de atenuação em Ωc

     iii) |Ha(jΩ)| 2 é uma função monotonicamente

    decrescente em Ω

     iv) |Ha(jΩ)| 2 se aproxima de um FPB ideal em N → .

     V) |Ha(jΩ)| 2 é maximamente plano em Ω = 0

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  • 17 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

     Filtro de Butterworth

     Sua função de sistema Ha(s) é:

     Para projetar o filtro, precisamos encontrar as

    raízes e pólos da função do sistema

    17

    c

  • 18 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

     Filtro de Butterworth

     O FPB analógico é especificado pelos

    parâmetros ΩP, ΩS, RP e AS

     Assim, a essência do projeto no caso do filtro

    de Butterworth é obter a ordem N e a

    frequência de corte dada Ωc

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  • 19 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

     Filtro de Butterworth

     Assim, dadas essas especificações, queremos:

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  • 20 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

     Filtro de Butterworth

     Resolvendo as equações para N e Ωc, temos:

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  • 21 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

     Filtro de Butterworth

     Como N deve ser inteiro, então consideramos:

     N = N

     Para satisfazer exatamente as especificações

    do projeto em ΩP:

     Para satisfazer exatamente as especificações

    do projeto em ΩS:

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  • 22 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

     Filtro de Butterworth: Exemplo

     Projete um filtro Butterworth satisfazendo:

     Ponto de corte na banda de passagem: ΩP = 0,2

     Ripple na banda de passagem: RP = 7 dB

     Ponto de corte na banda de corte: ΩS = 0,3

     Ripple na banda de corte: AS = 16 dB

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  • 23 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

     Filtro de Butterworth: Exemplo

     Solução:

     Para satisfazer as especificações em ΩP

     Para satisfazer as especificações em ΩS

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  • 24 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

    Técnicas de Projeto de Filtros IIR

    Características de Protótipos Analógicos

     Filtro de Butterworth: Exemplo

     Solução:

     Podemos escolher Ωc entre esses dois valores, por

    exemplo Ωc = 0,5

     Temos que projetar um filtro Butterworth com N = 3 e

    Ωc = 0,5

     Ou seja:

     Como Ω = s/j, temos:

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