Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Técnicas de Projeto de Filtros IIR
Carlos Alexandre Mello
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Técnicas de Projeto de Filtros IIR
A técnica básica de projeto de filtros IIR transforma filtros
analógicos bem conhecidos em filtros digitais
A vantagem dessa técnica está no fato que tanto tabelas
de filtros analógicos quanto as conversões estão
vastamente disponíveis na literatura
Essa técnica é chamada de transformação de filtro
analógica-digital (A/D)
No entanto, as tabelas de filtros só estão disponíveis para
filtros passa-baixa
Para gerar outros filtros seletores de frequência, temos que aplicar
transformações a filtros passa-baixa
Essas transformações também estão disponíveis na literatura.
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Existem duas formas de projeto de filtros IIR
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Para projetar filtros IIR, vamos:
1) Projetar FPB analógicos;
2) Aplicar transformações no filtro para obter FPB
digitais;
3) Aplicar transformações de frequência nas bandas
para obter outros filtros digitais a partir do FPB.
O principal problema dessas técnicas é que não
temos controle sobre a fase do filtro
Assim, os projetos de filtros IIR serão apenas em
magnitude
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Escala Relativa
Seja Ha(jΩ) a resposta em frequência do filtro
analógico
Então as especificações do FPB quanto à
resposta quadrática de magnitude são dadas
por:
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onde ε é o parâmetro de ondulação da banda de passagem, ΩP é a
frequência de corte da banda de passagem, A é o parâmetro de
atenuação da banda de corte e ΩS é a frequência da banda de corte
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Especificações de um filtro
passa-baixa analógico
Da figura temos:
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Escala Relativa
Os parâmetros ε e A estão relacionados aos
parâmetros RP e AS na escala dB como:
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Escala Relativa
As tolerâncias 1 e 2 da escala absoluta são
relacionados a ε e A por:
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Escala Relativa
Especificações de filtros analógicos não têm
informação de fase
Para calcular a função de sistema Ha(s) no
domínio-s considere :
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Escala Relativa
Então temos :
Os polos e zeros da função de magnitude
quadrática são distribuídos de forma simétrica
(em relação ao eixo real ou complexo)
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Da definição de polos e zeros de partir de
Ha(s).Ha(-s), podemos construir Ha(s) que é a
função do sistema do filtro analógico
Queremos que Ha(s) seja causal e estável, então
todos os polos de Ha(s) devem estar no semi-
plano esquerdo
Todos os polos do semi-plano da esquerda de
Ha(s).Ha(-s) são usados para construir Ha(s)
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Observação:
A transformada é apresentada no plano-s indicando o
uso da transformada de Laplace (por ser no domínio
analógico)
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Características de Protótipos Analógicos
O projeto de filtros IIR reside na existência de
filtros analógicos para obter filtros digitais
Esses filtros analógicos são chamados de filtros
protótipos
Três protótipos são largamente usados na prática:
Butterworth, Chebyshev (tipo I e II) e Elíptico
Vamos ver as características das versões passa-
baixa desses filtros
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Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
A principal característica desse filtro é que a resposta
em magnitude é plana (flat) na banda de passagem e
de corte
A resposta quadrática de magnitude de um FPB de N-
ésima ordem é dada por:
onde N é a ordem do filtro e Ωc é a frequência de corte
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Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
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Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
Do gráfico, podemos observar:
i) Em Ω = 0, |Ha(j0)|
2 = 1, para todo N.
ii) Em Ω = Ωc, |Ha(jΩc)|
2 = 0,5, para todo N, o que
implica 3 dB de atenuação em Ωc
iii) |Ha(jΩ)|
2 é uma função monotonicamente
decrescente em Ω
iv) |Ha(jΩ)|
2 se aproxima de um FPB ideal em N → .
V) |Ha(jΩ)|
2 é maximamente plano em Ω = 0
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Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
Sua função de sistema Ha(s) é:
Para projetar o filtro, precisamos encontrar as
raízes e pólos da função do sistema
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c
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Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
O FPB analógico é especificado pelos
parâmetros ΩP, ΩS, RP e AS
Assim, a essência do projeto no caso do filtro
de Butterworth é obter a ordem N e a
frequência de corte dada Ωc
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Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
Assim, dadas essas especificações, queremos:
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Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
Resolvendo as equações para N e Ωc, temos:
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Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth
Como N deve ser inteiro, então consideramos:
N = N
Para satisfazer exatamente as especificações
do projeto em ΩP:
Para satisfazer exatamente as especificações
do projeto em ΩS:
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Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Projete um filtro Butterworth satisfazendo:
Ponto de corte na banda de passagem: ΩP = 0,2
Ripple na banda de passagem: RP = 7 dB
Ponto de corte na banda de corte: ΩS = 0,3
Ripple na banda de corte: AS = 16 dB
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Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Solução:
Para satisfazer as especificações em ΩP
Para satisfazer as especificações em ΩS
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Características de Protótipos Analógicos
Filtro de Butterworth: Exemplo
Solução:
Podemos escolher Ωc entre esses dois valores, por
exemplo Ωc = 0,5
Temos que projetar um filtro Butterworth com N = 3 e
Ωc = 0,5
Ou seja:
Como Ω = s/j, temos:
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