TE804 Eletrodinâmica Computacional

Prof. Wilson Artuzi

Capítulo 3

Elementos Simplexe

Funções de Whitney

Objetivos

• Subdivisão do domínio em elementos

• Uso de coordenadas locais do elemento

• Funções de base por elemento

• Padronização dos cálculos por elemento através de transformações afins

Polítopo-δ

• Elemento convexo definido por um conjunto finito de pontos

• δ=0 → ponto → vértice

• δ=1 → segmento de reta → aresta

• δ=2 → polígono → face

• δ=3 → poliedro → volume

Simplex-δ

• Elemento convexo definido por δ+1 pontos• δ=0 → ponto → vértice• δ=1 → segmento de reta → aresta• δ=2 → triângulo → face• δ=3 → tetraedro → volume

Coordenadas Locais

Tetraedro

Triângulo

Segmento de Reta

Integrais

Malha• Subdivisão do domínio através de elementos (simplex) não superpostos os

quais compartilham dois a dois a mesma face (δ=3), a mesma aresta (δ=2)

ou o mesmo vértice (δ=1).

• Algoritmo de Delaunay: agrupa os os pontos de uma nuvem de pontos para formar elementos simplex

• Geradores de Malha: GiD, CUBIT, MATLAB (delaunay, delaunay3)

Representação Matricial

Funções de Whitney

• 1957: propostas por Hassler Whitney.• 1974: uso no método dos elementos finitos.• 1988: uso no magnetismo, Alain Bossavit.• 1994: uso na eletrodinâmica, Jin Fa Lee.

• Funções lineares num elemento simplex.• Duas formas escalares e duas formas vetoriais.• Associadas a vértices, arestas, faces e volumes.• Definidas em coordenadas locais do elemento.

Forma-0

• Função escalar relacionada com vértices.• Potencial eletrostático.

Forma-0

Continuidade

• As funções relacionadas com o mesmo vértice são multiplicadas pelo mesmo coeficiente.

• O campo escalar é contínuo.• O valor no vértice é o valor da aproximação.

Base Covariante

• O vetor covariante é normal à superfície definida por uma coordenada constante.

Forma-1• Função vetorial relacionada com arestas.• Combinação linear dos gradientes.• Potencial magnetostático, campo elétrico.

Forma-1

Continuidade

• As funções relacionadas com a mesma aresta são multiplicadas pelo mesmo coeficiente (em módulo).

• O campo vetorial tangencial à aresta é contínuo.

• O campo vetorial normal à aresta pode ser descontínuo.

Base Contravariante

• O vetor contravariante é tangente ao caminho definido por duas coordenadas constantes.

Forma-2

• Função vetorial relacionada com faces.• Combinação linear dos rotacionais.• Densidades de fluxo.

Forma-2

Continuidade

• As funções relacionadas com a mesma face são multiplicadas pelo mesmo coeficiente (em módulo).

• O campo vetorial normal à face é contínuo.

• O campo vetorial tangencial à face pode ser descontínuo.

Forma-3• Função escalar relacionada com o volume.• Divergente.• Densidades de carga e energia.• Não há continuidade.

Resumo

Método dos Elementos Finitos

Conservação doFluxo Magnético

Conservação daCarga Elétrica

ExataFunções de Base

Sistema de Equações Lineares

ResíduoFunções de Ponderação

Mínimos Quadrados

Galerkin=