Tema-2 Astrodin Notas

2. Introdução à física estelar2. Introdução à física estelar

Manuel Andrade Valinho

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADAÁrea de Astronomia e Astrofísica

Mestrado em Matemáticas

Teoria (4 horas):Teoria (4 horas):

1. Mecanismos de radiação eletromagnética2. Conceitos de fotometria3. Sistemas de magnitudes4. Classiicação espetral5. O diagrama de Hertzsprung-Russell6. Evolução estelar


3Manuel Andrade AstrodinâmicaAstrodinâmica

2. Introdução à física estelar2. Introdução à física estelar 2.1. Mecanismos de radiação eletromagnética

Onda eletromagnética

Radiação eletromagnética


2. Introdução à física estelar2. Introdução à física estelar 2.1. Mecanismos de radiação eletromagnética

Espetro eletromagnético



2. Introdução à física estelar2. Introdução à física estelar 1. Mecanismos de radiação eletromagnética

Opacidade da atmosfera terrestre




Modelo de Rutherford (1911)

Sistema planetárioSem restrições nas distânciasModelo clássico

Modelo atómico

Modelo de Bohr (1913)

Sistema planetárioQuantização do momento angularModelo semiclássico



Modelo quântico

Schrödinger (1926)Born (1926)Heisenberg (1927)Nuvem eletrónicaOrbitais atómicosModelo moderno

Modelo atómico



Modelo atómico



Relação de Planck-Einstein (energia emitida/absorvida):

h = 6.626 · 10–34 J · s(constante de Planck)

Radiação de átomos e moléculas

Δt ~10–8 s

ΔE

Δ E = h ν



Espetro de absorção




Espetro de absorção




Postulados do modelo de Bohr:

1. Os eletrões descrevem órbitas circulares em redor do núcleo.

2. Os eletrões só podem estar em certas órbitas com determinados níveis de energia.

3. Os eletrões só perdem ou ganham energia saltando de uma órbita a outra, de maneira que absorvem ou emitem radiação eletromagnética com uma frequência determinada pela diferença entre os níveis de energia associados a cada órbita:

Espetro do átomo de hidrogénio

h ν = En2

− En1

ν =cλ

h ν



Comprimento de onda (λ) da radiação eletromagnética absorvida/emitida:

R = 1.097 · 107 m–1

(constante de Rydberg)


1λ= R ( 1

n1

2−

1

n2

2 )



Comprimento de onda (λ) da radiação eletromagnética absorvida/emitida:

R = 1.097 · 107 m–1

(constante de Rydberg)


1λ= R ( 1

n1

2−

1

n2

2 )H

α

Risca Hα

656 nmn = 2 → n = 3



Corpo negroObjeto ideal que absorve toda a radiação que nele incide.

Radiação de corpo negroEm equilíbrio termodinâmico emite radiação eletromagnética (radiação térmica) cujo espetro só depende da temperatura segundo a lei de Planck.

Radiação de corpo negro



Lei de Planck

k = 1.38 · 10–23 J K–1

(constante de Boltzmann)


Bλ (T ) =2hc

2

λ5

1

e

hc

λ k T−1



Lei de Stefan-Boltzmann

σ = 5.67 · 10–8 W m–2 K–4

(constante de Stefan-Boltzmann)


F = σ T 4

Temperatura efetiva (Te) de uma

estrelaTemperatura de um corpo negro que irradia com a mesma densidade de luxo total que a estrela.

F = σ T e4

L = 4 π R2F

⇒ T e =4√ L

4π σ R2

⇒



Lei do deslocamento de Wien

b = 2.8978 · 10–3 K m(constante de dispersão de Wien)


λmáx =b

T


2. Introdução à física estelar2. Introdução à física estelar 2. Conceitos de fotometria

Energia

Intensidade total

Densidade de luxo

Luminosidade (luxo total)

Intensidade, luxo e luminosidade

dEν = I ν cos θ dA d ν dω dt

I = ∫0

∞

I ν d ν

Fν =1

dA d ν dt∫S

dEν = ∫S

I ν cos θ dω

L = 4 π r2 F


2. Introdução à física estelar2. Introdução à física estelar 3. Sistemas de magnitudes

Classiicação de Hiparco (129 a.n.e.)1000 estrelasEscala discreta de 6 magnitudes

Lei de Weber-FechnerA resposta a qualquer estímulo é proporcional ao logaritmo da intensidade do estímulo.Quando a excitação luminosa (S) aumenta em progressão geométrica, a sensação ótica (p) aumenta em progressão aritmética:

Magnitude aparente (m)Uma diferença de 5 magnitudes corresponde a um fator 100 em brilho.

Magnitudes aparentes

dp = kdS

S

dF

F= −c dm ⇔

F

F0

= ec (m

0−m ); 100

1= e

c (6−1 ) ⇔ ec = 10

2

5 ≈ 2.512...

m1− m2 = −2.5 logF1

F2 Lei de Pogson (1856)



As magnitudes aparentes dependem do instrumento ⇒⇒ diferentes sistemas de magnitudes

Magnitude visual (mv)

Máxima sensitividade do olho humano ~ 550 nm

Magnitude fotográica (mpg

)

Câmaras fotográicas mais sensitivas no azul e no violeta

Magnitude fotovisual (mpv

)

Câmaras fotográicas simulando olho humano mediante iltros verdes e amarelos

Magnitude bolométrica (mbol

)

Obtida a partir da medida do luxo da radiação em todos os comprimentos de ondaCorreção bolométrica:

Sistemas fotométricos

mbol = mv− BC BC := 0 (estrelas F 5 )



Sistema UBVRIBaseado no sistema UBV ou sistema Johnson-Morgan (1953)Filtros:

U (ultravioleta)B (azul)V (visual)R (vermelho)I (infravermelho)

Índices de corDiferenças entre duas magnitudes: V, U–B, B–V...

Calibração baseada no brilho da estrela Vega (A0V)

V = +0.03U–B = B–V = 0

Exemplo: SolV = –26.8U–B ≈ 0.10B–V ≈ 0.66

Sistemas fotométricos



Paralaxe trigonométrica (π)

Magnitudes absolutas

r [ pc ] =1

π[ ' ' ]

1 au = 149 597 870 700 m (UAI 2012)

1 pc =149 597 870 700 m

sen 1 ' '

= 3.085 677 582⋅1016m

= 3.2616 lyπ



Magnitude absoluta (M)Magnitude aparente a 10 pc

Magnitudes absolutas

Magnitude absoluta bolométricaMódulo de distância

Distância fotométrica

L = 4π r2 F →F (r )

F (10 pc )= (10 pcr )

2

m − M = −2.5 logF (r )

F (10 pc )= −2.5 log ( 10 pcr )

2

m − M = 5 logr

10 pc

r [ pc ] = 10

m− M + 5

5

M bol − M bol,⊙ = −2.5 logL

L⊙



Absorção e dispersão da radiação eletromagnética pela presença de pó e gás no meio interestelar

Módulo de distância corrigido por extinção:

Extinção

dL = −α L dr = −L d τ ⇒ L = L0 e−τ ⇒ F (r ) = F0

R2

r2e−τ

α → opacidadeτ → espessura óticaA → extinção [mag]

a → extinção [mag pc–1]

L = ω r2F (r )

L0 = ω R2F0

F (10 pc) = F 0

R2

(10 pc )2

A = a⋅r = 2.5 α log e⋅rm − M = 5 log

r

10 pc+ A Se a opacidade é constante:

(d τ = α dr )



Avermelhamento da luz causado pelo meio interestelar ⇒ B–V aumentaMagnitude visual

Magnitude azul

Excesso de de cor

Excesso de cor

V = MV + 5 logr

10 pc+ AV

B = M B + 5 logr

10 pc+ AB

B−V = M B− MV + AB − AV = (B−V )0 + EB−V

⇒ EB−V = (B−V )− (B−V )0

Experimentalmente: R =AV

EB−V≈ 3.0

⇒ AV ≈ 3.0 EB−V

r



A atmosfera terrestre também causa extinçãoSupondo z < 70° aproxima-se a atmosfera por uma camada plana de espessura constante (H = 1)Massa de ar:

Como a magnitude aumenta linearmente com a distância X:

k → coeiciente de extinção

Extinção atmosférica

X =1

cos z= sec z

z → distância zenital

m = m0 + k XCálculo de k:

Observa-se a mesma fonte várias vezes durante uma noite num amplo intervalo de distâncias zenitais. As magnitudes observadas representam-se como função da massa de ar. O declive da reta de ajuste será o coeiciente de extinção (k) e a ordenada na origem a magnitude aparente fora da atmosfera (m

0).


2. Introdução à física estelar2. Introdução à física estelar 4. Classiicação espetral

The Henry Draper Catalogue (HD) (1918-1924)

Henry Draper (1872) → Annie Jump Cannon (1896)225 000 estrelas

A classiicação espetral de Harvard

Parâmetro: temperatura → riscas do espetro:

Série de Balmer do hidrogénioHélio neutroFerroH e K do cálcio ionizado a 396.8 e 393.3 nmBanda G devida à molécula CH e metais por volta de 431 nmCálcio neutro a 422.7 nmÓxido de titânio (TiO)




Classes espetraisClasses espetrais




O azuis > 20 000 K

B branco-azuis 15 000 K

A brancas 9 000 K

F branco-amarelas 7 000 K

G amarelas 5 500 K

K laranjas 4 000 K

M vermelhas 3 000 K

L vermelhas escuras 2 000 K

T anãs castanhas 1 000 K

Q novas

P nebulosas planetárias

W Wolf-Rayet

C de carbono 3 000 K

S de baixa temperatura 3 000 K

Classes espetraisClasses espetrais



A classiicação espetral de Yerkes

Classiicação MKK ou de Yerkes (1943) → Classiicação MKWilliam Morgan, Philip Keenan e Edith KellmanParâmetro: luminosidade → riscas do espetro dependentes da gravidade supericial



A classiicação espetral de Yerkes

Classiicação MKK ou de Yerkes (1943) → Classiicação MKWilliam Morgan, Philip Keenan e Edith KellmanParâmetro: luminosidade → riscas do espetro dependentes da gravidade supericial

I0 hipergigantes

Ia supergigantes luminosas

Ib supergigantes

II gigantes luminosas

III gigantes

IV sub-gigantes

V sequência principal

VI sub-anãs

VII anãs Brancas

Classes de luminosidadeClasses de luminosidade


2. Introdução à física estelar2. Introdução à física estelar 5. O diagrama de Hertzsprung-Russell

Luminosidade versus temperatura

Para estrelas próximas é relativamente fácil determinar

Magnitude absoluta → luminosidadeClasse espetral → temperatura



Luminosidade versus temperatura

Para estrelas próximas é relativamente fácil determinar

Magnitude absoluta → luminosidadeClasse espetral → temperatura

As estrelas aparecem agrupadas90% na sequência principalGigantes e supergigantes→ muito luminosasAnãs brancas→ quentes e pouco luminosas



Massas e raios estelares



Populações



Populações

As anãs são muito mais numerosas que as gigantes



Relação massa-luminosidade

3.8

Main sequence


2. Introdução à física estelar2. Introdução à física estelar 6. Evolução estelar

Formação estelar

Hipótese de Bok-Reilly (1947)Nuvens escuras de pó e gás (H

2)

Regiões H II10–100 K

108 m–3

106 Mꖴ

30 pc



Formação estelar

a) Imagem IR da nebulosa de Oríon

b) Mapa de velocidades (monóxido de carbono)

c) Ondulações na superfície da nuvem de gás molecular

Berné et al. 2010



Formação estelar

Critério de Jeans

Teorema do virial

Energia

E =1

2Ω

U + Ω = E ⇔ 2U + Ω = 0

U =3

2N k T

Ω = −3

5

GM2

R

N =M

μmH

R = (M

4

3πρ )

1

3

M J = ( 5k T

GμmH)3

2 ( 3

4 πρ )1

2

Mnuvem

> MJ ⇒ colapso

Massa de Jeans:



Formação estelar



Formação estelar



Formação estelar



Formação estelar

Glóbulos de Bok



Protoestrela

Estrelas T-Tauri

(M ≲ 2 M⊙)

Estrelas Herbig Ae/Be

(2 M⊙ ≲ M ≲ 10 M

⊙)



Discos protoplanetários



Evolução na pré-sequência principal



Evolução na pré-sequência principal

Limite de Hayashi

Sequência principal de idade zero (ZAMS)

Trilhas de Hayashi



Anãs castanhas

0.015 M⊙ ≲ M ≲ 0.08 M

⊙



Equações de estrutura estelar

1. Equilíbrio hidrostático

Gravidade

Pressão da radiação

Equação de equilíbrio hidrostático

dV = dA dr

dm = ρ(r ) dA dr

dFg = −GM r dm

r2

= −GMr ρ

r2

dA dr

dF p = P dA − (P + dP)dA = −dP dA

dP

dr= −

GM r ρ

r2

dFg + dF p = 0 ⇔




2. Distribuição de massa

Massa num raio dado

Equação de continuidade

dV = dA dr

dm = ρ(r ) dA dr

dM r = 4π r 2 ρ dr

dM r

dr= 4 π r2 ρ




3. Produção de energia

Transporte da energia à superfície:

Equação de conservação da energia:

dLr = Lr+ dr− Lr = ε dM r

= 4 π r2 ρ ε dr

dLr

dr= 4 π r2 ρ ε

ε → coeiciente de produção de energia




4. Gradiente de temperatura

ConduçãoSó signiicativa em estrelas compactas

Radiação (gradiente de temperatura radiativo)

Conveção (gradiente de temperatura adiabático)

dT

dr= (− 3

4 ac ) ( κρT 3 ) ( Lr

4 π r 2 )

dT

dr= (1 − 1

γ ) TPdP

dr

a = 4σ/c = 7.564 · 10–16 J m–3 K–4 → constante de radiaçãoκ → coeiciente de absorção de massa

γ → exponente adiabático




Condições de contorno:Não há fontes de massa ou energia no centro:

A massa total interior ao raio R da estrela é ixa:

A temperatura e pressão supericiais tomam valores ixos muito menores que os interiores, de maneira que:

Solução do sistema de equações → M(r), T(r), ρ(r), F(r) → R, LTeorema de Vogt-Russell

As propriedades de um modelo de equilíbrio estelar icam determinadas a partir da massa e da composição química.

M 0 = 0

L0 = 0

MR = M

T R = T effPR = 0



Modelos estelares

Resolução do sistema de equações de estrutura → modelos estelares

Modelos politrópicos

Equilíbrio hidrostático + distribuição de massa → estrutura mecânica

Produção de energia + gradiente de temperatura → estrutura térmica

Equação de estado que desacopla o sistema de equações:

Pressão e temperatura independentes.

1

r2

d

dr ( r2

ρdP

dr ) = −4 πGρ

P = K ρn+1n

K → constanten → índice politrópico



Modelos estelares

Casos particulares:

n ∈ (0.5, 1): estrelas de neutrõesn = 1.5: estrelas convetivas (baixa massa)n = 3: estrelas da sequência principal e anãs brancasn = 5: aglomerados estelares (raio ininito)n → ∞: aglomerados globulares (esfera isoterma)

n < 5 → massa e raio initosn = 5 → massa inita e raio ininiton > 5 → massa e raio ininitos

Equação de Lane-EmdenVersão adimensional da equação de PoissonDeinimos:

Portanto:

ρ(r ) = ρc θn (r ) 0 ⩽ θ(r ) ⩽ 1

P(r ) = K ρc

n+1n θn+1(r ) = P c θ

n+1(r )



Modelos estelares

Equação de Lane-Emden

α2 =(n+1) Pc4 πGρc

2

ξ =rα

K ρc

n+1n 1

r2

d

dr ( r2

ρc θn(r )

d θn+1(r )dr ) = −4 πGρc θ

n(r )

(n+1) Pc4 πGρc

2

1

r2

d

dr (r2dθ(r )dr ) = −θn(r )

d2θ(ξ)

d ξ2+

2ξd θ(ξ)d ξ

+ θn(ξ) = 0



Modelos estelares


Politropos → soluções θ(r) para cada n

d2θ(ξ)

d ξ2+

2ξd θ(ξ)d ξ

+ θn(ξ) = 0 Condições (ξ = 0):θ = 1

dθ(ξ)

d ξ= 0

n = 0 : θ(ξ) = 1−ξ2

6

n = 1: θ(ξ) =sen ξξ

n = 5 : θ(ξ) =1

√1 + ξ2

3

Analíticas:



Modelos estelares


Propriedades mecânicas:

d2θ(ξ)

d ξ2+

2ξd θ(ξ)d ξ

+ θn(ξ) = 0

M = ∫0

R

4 π r2 ρ(r ) dr = 4 πα3 ρc∫0

ξ0

ξ2 θn(ξ) d ξ

R = α ξ0

→ politropos



Nucleossíntese estelar

Fusão do hidrogénioL

⊙ ≈ 4·1026 W: Eddington (1920s) → E = Δm·c2

Weizsäcker (1937-38) e Bethe (1939)T ~ 107 K

Cadeia p-p

Ciclo CNO



Nucleossíntese estelar

Fusão do hélioHoyle (1946)T ~ 108 K

Fusão do...Carbono (T > 108 K)Néon (T ~ 109 K)Oxigénio (T ~ 109 K)Silício (T ~ 109 K)

Processo triplo alfa



Escalas de tempo

Escala de tempo nuclearA estrela radia toda a energia que se pode liberar mediante reações nucleares

Escala de tempo térmicaA estrela radia toda a energia térmica acumulada

Escala de tempo dinâmicaColapso da estrela sem pressão da radiação (queda livre)

t n ≈M [M⊙ ]L[L⊙ ]

⋅1010anos

t t ≈M

2[M⊙]

R [R⊙ ] L2[L⊙ ]

⋅2⋅107anos

t d ≈ √ R3

G M

(Sol: 1010 anos)

(Sol: 2·107 anos)

(Sol: ½ hora)



Evolução pós-sequência principal

tn ~ 1013 anos ⇒ só há modelos

téoricosBaixa T ⇒ fusão do hélioM ≲ 0.16 M

⊙ ⇒ fase gigante

vermelha ⇒ anã branca

(0.08 M⊙ ≲ M ≲ 0.5 M

⊙)




tn ~ 107 anos

Sequência principal:T ~ 107 KH → He (cadeia p-p)Equilíbrio hidrostático

(0.5 M⊙ ≲ M ≲ 10 M

⊙)




Ramo das gigantes vermelhas (RGB)

Núcleo inerte de HeH → He (em camada)Flash de He

Ramo horizontal (HB)He → C

Ramo gigante assintótico (AGB)Núcleo inerte de CH → He (em camada)He → C (em camada)

(0.5 M⊙ ≲ M ≲ 10 M

⊙)



Evolução pós-sequência principal(0.5 M

⊙ ≲ M ≲ 10 M

⊙)




Nebulosa planetáriaAnã brancaM ~ 0.6 M

⊙

(limite de Chandrasekhar:1.39 M

⊙)

R ~ 0.01 R⊙

ρ ~ 1 t cm–3 v ~10 km s–1 / t ~ 5·104 anos

Anã negra

(0.5 M⊙ ≲ M ≲ 10 M

⊙)




tn ≲ 106 anos

H → He → C → Ne → O → Si → Fe

Colapso ⇒ T aumenta⇒ fotodissociação

Neutronização do meio

56Fe + γ 13

4He + 4 n

4He + γ 2 p + 2n

p + e− n + νe

(M ≳ 10 M⊙)




SupergiganteR ≳ 1 000 R

⊙

L ~ 106 L⊙

Estrela de neutrõesM ~ 1.43 – 3 M

⊙

(limite de Tolman-Oppenheimer-Volkof)R ~ 10 kmρ ~ 108 t cm–3 P ~ 1 ms – 30 s

(M ≳ 10 M⊙)




Estrelas de quarks

Buracos negros

(M ≳ 10 M⊙)

RS =2GM

c2

Raio de Schwarzschild



Resumo



Bibliograia:

ABAD, A., J.A. DOCOBO e A. ELIPE. Curso de Astronomía. Saragoça: Prensas Universitarias de Zaragoza, 2002. 254 p. ISBN 84-7733-586-9

BENACQUISTA, M. An Introduction to the Evolution of Single and Binary Stars. Nova Iorque: Springer, 2013. 262 p. ISBN 978-1-4419-9990-0

KARTTUNEN, H. et al. Fundamental Astronomy. 5ª ed. Berlim: Springer, 2007. 510 p. ISBN 978-3-540-34144-4

Documents

Tema-2 Astrodin Notas