UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO POLITÉCNICO

Graduação em Engenharia Mecânica

Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período

Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

Tema de aula 6: Flexão

SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:

• 6.1 Diagramas de Força Cortante (Cisalhamento) e Momento Fletor• 6.2 Método Gráfico para Construir os Diagramas de Força Cortante (Cisalhamento) e Momento Fletor• 6.3 Deformação por Flexão de um Membro Reto• 6.4 Fórmula da Flexão • 6.5 Flexão Assimétrica (Curiosidade).• 6.6 Vigas Compostas• 6.7 Vigas Curvas (Curiosidade)• 6.8 Concentrações de Tensão

“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.”THOMAS FULLER, M.D.

Objetivos:

• Determinar os esforços causados por flexão, estabelecendo diagramas de força cortante (V) e momento fletor (M) para uma viga ou eixo.

• Determinar o maior cisalhamento e momento fletor no elemento.• Discutir concentrações de tensão por flexão.

6.1-Diagrama de força cortante (cisalhamento) e momento fletor.

Vigas são elementos estreitos que suportam cargas perpendiculares ao seu eixo longitudinal.Ex;

Sob carga desenvolvem força cortante interna e momento fletor, funções da posição no eixo; V(x)eM(x) Estas funções são representadas por diagramas usando o método das seções em um intervalo x arbitrário entre descontinuidade de cargas, forças concentradas ou conjugados. Ex: Convenção de sinais no segmento secionado: (Ao secionar usar a convenção positiva)

EXEMPLO: Determinar a força cortante e o momento para toda a viga em função de x e desenhar os diagramas de força cortante e momento.Sol: Façamos o DCL:

Colocando a origemX1 a esquerda e secionando:Logo para ;

Mantendo origem X1, um segmt secionadoda direita p/ esq. estará em (10-x),Logo para

Obtivemos V(x) e M(x) nos intervalos,

construímos os diagramas:

Fazer: Desenhar os diagramas de força cortante e momento da viga.

6.2-Método Gráfico para Construir os Diagramas de Força Cortante (Cisalhamento) e Momento FletorObter V(x) e M(x) pode ser difícil. Então usamos um método gráfico, baseado em elementos infinitesimais secionados (pela convenção de sinais +) em 3 regiões com cargas w, F ou M; Onde há carga distribuída (w):

Onde há carga concentrada (F):

(V diminui ao passar por F direcionada p/ baixo e vice versa)

Onde há momento fletor concentrado (M0):

(M aumenta ao passar por M0 horário e vice versa)

Obtendo e marcando as cargas nas extremidades da viga podemos traçar os diagramas (usar conv. de sinais):

Sol: Devemos construir o DCL para obter as reações de apoio, que serãoos extremos dos diagramas:

Façamos o diagrama de V:1-Iniciar marcando as forças cortantes nos extremos VA = +4,40kip e VD = 0;2-Como dV/dx=-w(x); V tem declive zero de AàB, 3-V cai -8 kip chegando -3,60kip ao passar de B.4-Depois tem declive crescente negativo, e a força cortante antes de C é obtida subtraindo a área sob o diagrama de carga (-6kip) chegando á -9.6kip.5-Depois aumenta em 17,6 kip ao passar pelo apoio C indo para 8 kip.6-De C para D, o declive do diagrama de força cortante será constate negativo levando V á zero em D.

Façamos o diagrama de M:1-Os momentos das extremidades A e D são nulos (não há engastes)2-Lembrando que dM/dx=V(x); M tem declive cte 4.4 de A à B, e em B sefizermos um corte, pelo B teremos MB=17.6kip.pés.3-O declive passa para -3.6 e cai até -9.6 entre B e C, e em C se fizermos um corte, pelo C teremos MC=-16kip.pés. (* pt onde M=0 no próximo slide)4-O declive passa para 8 e cai até 0 entre C e D.

Exemplo: Desenhar os diagramas de força cortante (ou cisalhante) e momento fletor para a viga em balanço mostrada;

(convenção: V+ quando gira horário a seção feita).

(*)obteremos o ponto x pés a direita de B, onde M=0;

Substituindo M=0 na equação acima teremos

Fazer: Desenhar os diagramas de força cortante e momento para a viga.

6.3 Deformação por Flexão de um Membro RetoQuando uma viga prismática homogênea, é submetida à flexão em torno de um eixo z perpendicular ao eixo de simetria da sua seção transversal,a parte inferior estica-se e a parte superior comprime-se, logo existe uma superfície neutra entre elas que não sofre variação de comprimento.

Consideraremos que;1-As seções transversais permanecem planas.2-Deformações nas seções são desprezíveis.

Então, observandoo elemento emdestaque na figura;

Percebemos, que a deformação normal (ε) é função linear ao longo de y: Logo por semelhança;

Ps:.As ctes c e εmax são tomados positivos, logo colocamos o sinal (-) pois nesta

configuração Y>0 causa ε<0 .

A seção gira ao redor do eixo neutro

6.4 Fórmula da Flexão A variação linear da deformação vista anteriormente, é causada por uma variação linear na tensão normal.

Vamos obter a posição do eixo neutro ‘z’ (origem y=0) , que deve manterforça resultante nula na área total da seção; Para isso consideramos um elemento dA sujeito à força dF=σdA e integramos em toda área:

(momento de 1º ordem da área deve ser nulo).Substituindo em (coordenada do centróide), temos , exigindo centróide e eixo neutro coincidindo em y=0.

O elemento tb estará sujeito a um momento dM=ydF, (positivo pela regra da mão direita)o momento resultante interno na seção (M) é dado pela integração;

(a integral é o momento 2º ordem da seção em torno do eixo neutro (I) ).Finalmente escrevemos a fórmula da flexão: ou considerando a variação linear da tensão acima:

Ps:.c e σmax tb são cts tomados positivos, logo colocamos o sinal (-) pois nesta configuração Y>0 causará σ<0.

Ps:. Aqui não mantemos o sinal (-) poisfazemos aplicação de M>0(regra da mão direita polegar em z>0)

Ps:O sinal de σmax deve ser avaliado.

Exemplo: A viga mostrada tem área da seção transversal com perfil em forma de U. Determinar a tensão de flexão máxima que ocorre na seção a-a da viga.Sol: Inicialmente obtemos o centróide,(onde passa o eixo neutro), separando a área da seção em 3 partes e somando os momentos de 1º ordem dos numeradores;

Agora obtemos mom. interno M, pelo método das seções; (Atenção; N atua no centróide, mas 1KN atua no pt de aplicação);

A tensão normal de flexão será dada por;

Antes precisamos do momento de inércia da área em torno do eixo neutro (I):Teorema do Eixo Paralelo; Conhecido o momento de inércia (Ix’) de uma área em torno do eixo de seu centroide x’, podemos determinar (Ix) dessa área em torno de um eixo x paralelo à x’ à distância dy;Aplicamos o teorema nas 3 áreas retangulares (I=1/12(bh3))e somamos;

Finalmente acima podemos obter normal mx de flexão;

Ps: M é contrário ao indicado.

Ps: Avaliando temos tensão de compressão na região inferior extrema da seção.

Consideramos origem y em cima!

Exemplo: Um elemento tem a seção transversal triangular mostrada. Supondo que seja aplicado o momento M = 800 lb .pés a essa seção, determinar as tensões máximas de tração e de compressão no elemento. Desenhar também a vista tridimensional da distribuição de tensão que atua sobre a seção transversal.Sol: Inicialmente obtemos o centróide, (onde passa o eixoneutro) que para o triângulo estará em =1/3(h)

Temos tabelado I=1/36(bh3);

A tensão normal de flexão máxima ocorre na extremidade superior, onde

E na extremidade inferior;

Então desenhamos a distribuição de tensão:

Fazer: A peça de máquina de alumínio está sujeita a um momento M = 75 N.m. Determinar a tensão de flexão criada nos pontos B e C da seção transversal. Desenhar os resultados em um elemento de volume localizado em cada um desses pontos.

6.5 Flexão Assimétrica (Curiosidade).Quando flexão ocorre em torno de um eixo arbitrário, que não os eixos de inércia principais ao longo do eixo de simetria da seção;

Obtemos as componentes do momento, a tensão será dada pela superposição das tensões das componentes;

Pela regra damão direita;

Notando que o eixo neutro (N)tem Inclinação α, e o M teminclinação θ;

6.6 Vigas CompostasEm vigas compostas por dois materiais diferentes como a ilustrada, para aplicar a fórmula da flexão devemos transformar as dimensões da seção de forma que a viga pareça feita de um único material.

Aplicando o momento M, sabemos que a área da seção inclina mas permaneceplana, logo as deformações normais são lineares;Porém, se trabalhamos na região elástica teremos , mas como na região de junção as deformações são iguais para (1) e (2), o material mais rígido (1) terá maior tensão;

O método da seção transformada usa um fator de transformação (n); ou

que aumenta a base do mais rígido, b2=nb

Agora podemos obter o eixo neutro e aplicar a fórmula da flexão; . Teremos uma nova distribuição linear da tensão em torno do EN: Atenção: Para obter a tensão real em um pt da área que foi transformada, basta multiplicar pelo fator n (ou n’).

ou reduz do menos rígido b1=n’b

Exemplo: Uma viga de abeto branco é reforçada com tiras de aço A-36 nas partes superior e inferior. Determinar a tensão máxima desenvolvida na madeira e no aço se a viga for submetida a um momento fletor M=8 kip.pés. Desenhar a distribuição de tensão que atua na seção.Sol:Inicialmente obtemos o fator de multiplicação n entre madeira e aço;(tabela)

Obtemos a espessura correpondente da madeira caso esta fosse aço;

Para obter a tensão de flexão;

(I) é obtido pelo Teo. do Eixo Paralelo (ou mais fácil, com área simétricaao redor do EN podemos usar a fórmula conhecida (I) do retângulo Inteiro subtraindo o retângulo vazio);

Finalmente obtemos a tensão normal máxima por flexão na viga transformada para aço;

Na junção (y=2) este valor seria;

Para obter a tensão real na madeira no mesmo pt da junção (y=2),basta multiplicar pelo fator n.

ema centróide, (onde passa o eixo neutro), separando a área da seção em 3 partes e somando os momentos de 1º ordem dos numeradores;

Para obter o momento de inércia da área em torno do eixo neutro;

Teorema do Eixo Paralelo; Sabendo o momento de inércia (Ix’) de uma área em torno do eixo do seu centroide x’, podemos determinar Ix dessa área em torno de um eixo x paralelo à x’ à distância dy;Aplicamos o teorema nas 3 áreas retangulares (I=1/12(bh3))e somamos;

Finalmente obtemos as tensões normais de flexão ;

e os elementos (ambos compressão);

6.7 Vigas Curvas (Curiosidade)Em viga maciça curva, de raio menor que 5 vezes a largura, a def. normal não varia linearmente com a largura;Como consequência o eixo neutro não passa pelo centróide.

A localização R do eixo neutro é dada por; Existem valores tabelados para algumas geometrias;

Observando um elemento no segmento superior; Vemos que este está sujeito à uma tensão circunferencial σ equilibrada por componente tensão radial σr (σr é desprezível.)

A tensão normal circunferencial é então expressada por uma das duas fórmulas hiperbólicas abaixo;

ou

ompostas por dois materiais diferentes como a ilustrada, para aplicar a fórmula da flexão devemos transformar as dimensões da seção de forma que a viga pareça feita de um único material.

Aplicando o momento M, sabemos que a área da seção inclina mas permaneceplana, logo as def. normais são lineares;Porém, se trabalhamos na região elástica teremos , mas como na região de junção as deformações são iguais para (1) e (2), o material mais rígido (1) terá maior na tensão;

O método da seção transformada usa um fator de transformação (n); ou

que aumenta a base do mais rígido, b2=nb

Agora podemos obter o eixo neutro e aplicar a fórmula da flexão; . Teremos uma nova distribuição linear da tensão em torno do EN: Atenção: Para obter a tensão real em um pt da área que foi transformada, basta multiplicar pelo fator n (ou n’).

(Tensão e def. normalserão hiperbólicos)

6.8 Concentrações de TensãoPara vigas sob carregamento elástico, que sofrem mudanças bruscas na seção transversal,(ex;)

a deformação e tensão normal na seção menor ñ serão lineares. Ex:Obtemos a tensão máx. multiplicando a tensão por flexão na seção menor pelo fator de concentração K.

• K é obtido experimentalmente em função da geometria.• Relevante em frágeis ou cargas ciclícas, (pois rompem logo ao fim da região elástica), em dúcteis com cargas estáticas não consideramos.

Exemplo: A tensão normal de flexão admissível para a barra é 175 MPa. Determinar o momento máximo M que pode ser aplicado.Sol: Calculamos as dimensões para obter K na tabela:

A tensão máxima deve ser a admissível, dada por:

Então teremos:

Fazer: Determinar o comprimento L da parte central da barra de modo que a tensão de flexão máxima nas seções A, B e C seja a mesma. A barra tem espessura de 10 mm.

MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!

– Bibliografia:

– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.