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Teoria do Risco
Aula 5
Danilo Machado Pires
https://atuaria.github.io/portalhalley/index.html
No contexto da teoria do Risco aplicada hรก questรตes de importรขncia central
e de grande implicรขncia para um segurador, das quais destacam-se as
seguintes:
Qual รฉ a melhor estimativa do valor total das indenizaรงรตes a serem pagas?
Qual o prรชmio que a seguradora deve emitir para cobrir os sinistros com uma dada
margem de seguranรงa?
Modelos de Risco
...A teoria do risco busca estabelecer um modelo de tarifaรงรฃo eficiente
para a seguradora frente aos sinistros.
Modelo de Risco Individual Anual.
Modelo de Risco Coletivo Anual
Modelos de Risco
O modelo de Risco individual estabelece um modelo de probabilidade para o
valor total das indenizaรงรตes de uma carteira,
Baseado na soma das diferentes distribuiรงรตes dos sinistros individuais no intuito de
se obter uma distribuiรงรฃo de probabilidades para os danos agregados.
Modelo de Risco Individual
Para fins de simplificaรงรฃo deste modelo รฉ estabelecida as seguintes
premissas:
Em cada apรณlice ocorrerรก somente um sinistro no ano de avaliaรงรฃo.
A ocorrรชncia de um sinistro nรฃo influi em qualquer outro risco do
conjunto segurado.
Modelo de Risco Individual
Este modelo considera que para ๐ = 1,2,3, โฆ , ๐ apรณlices, os sinistros
sob forma agregada serรฃo denominados:
๐๐๐๐. = ๐1 + ๐2 + โฏ+ ๐๐ =
๐=1
๐
๐๐
๐บ๐๐๐ . Valor total das indenizaรงรตes na carteira em 1 ano.
๐ฟ๐๐ V.a. associada ao sinistro da apรณlice ๐ em 1 ano (montante de sinistro, sinistralidade da apรณlice i).
๐ Nรบmero fixo de apรณlices independentes.
Modelo de Risco Individual
๐๐๐๐. = ๐1 + ๐2 + โฏ+ ๐๐ =
๐=1
๐
๐๐
๐ธ ๐๐๐๐. = ๐ธ
๐=1
๐
๐๐ =
๐=1
๐
๐ธ ๐๐
๐ฃ๐๐ ๐๐๐๐. = ๐ฃ๐๐
๐=1
๐
๐๐ =
๐=1
๐
๐ฃ๐๐ ๐๐
Modelo de Risco Individual
A relevรขncia do modelo reside fundamentalmente no fato de que as apรณlices
tรชm abordagens independentes.
๐๐ A probabilidade de ocorrรชncia de um sinistro em um ano de vigรชncia
da apรณlice i.
๐ต๐ Variรกvel aleatรณria relativa ao valor da indenizaรงรฃo de cada apรณlice ๐.
Modelo de Risco Individual
A fim de simplificar os conceitos, ๐๐ serรก definido como:
๐๐ = ๐ผ๐๐ต๐
Em que ๐ผ๐ รฉ uma variรกvel dicotรดmica indicadora da ocorrรชncia de um
sinistro com distribuiรงรฃo ๐ต๐๐๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐ .
๐ผ๐ = แ1, โ ๐๐
0,โ (1 โ ๐๐)
A variรกvel aleatรณria ๐ต๐ รฉ definida por (Xi Ii = 1 .
๐ธ ๐ผ๐ = ๐๐ ๐ฃ๐๐ ๐ผ๐ = ๐๐ 1 โ ๐๐
Modelo de Risco Individual
Um seguro de veรญculos cuja cobertura รฉ apenas o furto ou o microsseguro
que cobre perdas de pequenos objetos em viagens como malas, mรกquinas
fotogrรกficas entre outros, sรฃo exemplos simples para o caso em que Bi
assume apenas um รบnico valor.
Dessa forma tambรฉm podem-se estabelecer outras relaรงรตes:
๐ ๐ = ๐ฅ = แ0, 1 โ ๐๐ต, ๐
๐ธ ๐ = ๐ต๐ ๐ฃ๐๐ ๐ = ๐ต2๐(1 โ ๐)
๐ ๐ โค ๐ฅ = เต
0 (๐ฅ < 0)
1 โ ๐ 0 โค ๐ฅ < ฮ1 (๐ฅ โฅ ฮ)
Modelo de Risco Individual
EXEMPLO 1
Calcule o valor do Prรชmio de Risco atravรฉs do princรญpio do desvio
padrรฃo de um seguro que paga $30000,00 caso o veรญculo seja furtado.
Considere a probabilidade de furto do veรญculo igual a 0,007 e o ๐ฝ = 0,7.
Nesse caso, o prรชmio รฉ calculado por meio de ฮ ๐ = ๐ธ ๐ + ๐๐๐ฝ,
Soluรงรฃo
๐ธ ๐ = 30000 0,007 = $ 210,00
๐ฃ๐๐ ๐ = 300002 0,007 0,993 = $ 6255900,00
๐๐ = ๐ฃ๐๐ ๐ = $2501,18
โข Logo
ฮ ๐ = 210 + 2501,18 ร 0,7 = $1960,83
Pode-se estabelecer ๐๐๐๐ como:
๐๐๐๐ =
๐=1
๐
๐ผ๐๐ต๐
Sendo ๐ ๐ผ๐ = 1 = ๐๐ e ๐ ๐ผ๐ = 0 = 1 โ ๐๐ .
Logo:
๐ธ ๐๐๐๐. = ๐ธ
๐=1
๐
๐๐ =
๐=1
๐
๐ธ ๐ผ๐๐ต๐
๐ฃ๐๐ ๐๐๐๐. = ๐ฃ๐๐
๐=1
๐
๐๐ =
๐=1
๐
๐ฃ๐๐ ๐ผ๐๐ต๐
Modelo de Risco Individual
No modelo de risco individual, ๐ serรก definido como:
๐ =
๐=1
๐
๐ผ๐
Logo :๐~๐ต๐๐๐๐๐๐๐(๐, ๐)
๐ธ ๐ = ๐๐
๐ฃ๐๐ ๐ = ๐๐ 1 โ ๐
Modelos de risco Individual- A distribuiรงรฃo de ๐
EXEMPLO 2
Seja uma carteira de seguros com 10000 apรณlices, onde cada
apรณlice possui uma probabilidade nรฃo nula de sinistros de 0,01.
Calcular o nรบmero esperado de sinistros em 1 ano e o
respectivo desvio padrรฃo.
SOLUรรO
๐~๐ต๐๐๐๐๐๐๐ 10000; 0,01
๐ธ ๐ = 10000 ร 0,01 = 100
๐๐ = 10000 ร 0,01 ร 0,99 โ 9,94
A aproximaรงรฃo da distribuiรงรฃo de ๐ :
Distribuiรงรฃo de Poisson com parรขmetro ๐ = ๐๐ ou
Normal com parรขmetros ๐ธ(๐) = ๐๐ e ๐ฃ๐๐ ๐ = ๐๐(1 โ ๐),
para o caso de ๐ suficientemente grande.
Modelos de risco Individual- A distribuiรงรฃo de ๐
EXEMPLO 3
Para os dados do exemplo anterior calcule a probabilidade de que em 10000
apรณlices verificadas ocorra no mรกximo 120 sinistros. Calcule utilizando o modelo binomial
e suas aproximaรงรตes pelo modelo de Poisson e Normal.
๐ โผ ๐ต ๐ = 1000, ๐ = 0,01
๐ ๐ โค 120 =
๐=0
120100000
๐0,01๐ 0,99 10000โ๐ โ ๐, ๐๐๐๐๐๐๐
๐ โผ ๐๐ ๐๐ = 100
๐ ๐ โค 120 =
๐=0
120100keโ100
k!โ ๐, ๐๐๐๐๐๐๐
๐ โผ ๐ ๐๐ = 100, ๐๐ 1 โ ๐ = 99
๐ ๐ โค 120 = เถฑ0
120 ๐๐โ100 2
198
198๐๐๐ โ ๐, ๐๐๐๐๐๐๐
๐น๐๐๐ฅ๐ = ๐ ๐๐ โค ๐ฅ๐ =
๐=0
1
๐ ๐๐ โค ๐ฅ๐ , ๐ผ๐ = ๐
Assim:
๐น๐๐๐ฅ๐ = ๐ ๐๐ โค ๐ฅ๐|๐ผ = 1 ๐ ๐ผ๐ = 1 + ๐ ๐๐ โค ๐ฅ๐|๐ผ๐ = 0 ๐(๐ผ๐ = 0)
๐น๐๐๐ฅ๐ = ๐น๐ต๐
๐ฅ๐ ๐๐ + 1 โ ๐๐ ๐ผ [0,โ) ๐ฅ๐
em que ๐ฅ๐ corresponde a um possรญvel valor de ๐๐e representa o valor da indenizaรงรฃo paga
em caso de ocorrรชncia do sinistro
Modelos de risco Individual โA distribuiรงรฃo de ๐ฟ๐
EXEMPLO 4
Seja um seguro que cobre morte por qualquer causa com
indenizaรงรฃo fixa de $10000,00 e invalidez total e permanente
com indenizaรงรฃo fixa de $5000,00. As probabilidades anuais de
sinistros em cada cobertura sรฃo de 0,001 e 0,0002 ,
respectivamente. Determinar os modelos probabilรญsticos de
๐ผ๐ , ๐ต๐ ๐ ๐๐ .
๐ = ๐1 + ๐2 + โฏ+ ๐๐
X1 = I1 ฮ1
$0,00 0,9988
$5000,00 0,0002
$10000,00 0,001
E X1 = 0 ร 0,9988 + 5000 ร 0,0002 + 10000 ร 0,001 = $11,00
๐ฃ๐๐(๐1) = 02 ร 0,9988 + 50002 ร 0,0002 + 100002 ร 0,001 โ 11,002 = $2104879,00
๐ = ๐1 + ๐2 + โฏ+ ๐๐
๐1 = ๐ผ1 ๐ฃ1
$0,00 0,9988 0 0,9988
$5000,00 0,0002
1 0,0012$10000,00 0,001
๐ฃ๐๐(๐1) = $2104879,00
๐ธ ๐1 = $11,00 E ๐ผ1 = 0,0012
๐ฃ๐๐ ๐ผ1 = 0,0012 ร 0,9988 = 0,001199
๐ = ๐1 + ๐2 + โฏ+ ๐๐
๐ฟ๐ = ๐ฐ๐ ๐ฉ๐ = ๐ฟ๐|๐ฐ๐ = ๐
$0,00 0,9988 0 0,9988
$5000,00 0,0002
1 0,0012
0,0002
0,0012= 0,167
$10000,00 0,001 0,001
0,0012= 0,833
๐ฃ๐๐(๐1) = $2104879,00
E(๐1) = $11,00 E(๐ผ1) = 0,0012
๐ฃ๐๐ ๐ผ1 = 0,001199
E ๐ต1 = 0,833 $10000,00 + 0,167 R$5000,00 = $9166,67
๐ฃ๐๐(๐ต1) = 0,833 $10000,00 2 + 0,167 $5000,00 2 โ $9166,672 = $23497768
๐ = ๐1 + ๐2 + โฏ+ ๐๐
๐ฟ๐ = ๐ฐ๐ ๐๐
$0,00 0,9988 0 0,9988
$5000,00 0,0002
1 0,0012
0,0002
0,0012= 0,167
$10000,00 0,001 0,001
0,0012= 0,833
๐ฃ๐๐ ๐1 = $2104879,00
E ๐1 = $11,00 E I๐ = 0,0012
๐๐๐ ๐ผ1 = 0,001199
E ๐ต1 = $9166,67
๐ฃ๐๐ ๐ต1 = $23497768
๐๐1= $ 323,85 ๐๐ผ1 = 0,034 ๐๐ต1
= $ 1870,232
๐ถ๐๐1= 29,44 ๐ถ๐๐ผ1 = 0,9991667 ๐ถ๐๐ต1
= 0,2040252
๐ = ๐1 + ๐2 + โฏ+ ๐๐
๐1 = ๐ผ1 ๐ฃ1
$0,00 0,9988 0 0,9988
$5000,00 0,0002
1 0,0012
$5000,00 0,0002
0,0012= 0,167
$10000,00 0,001 $10000,00 0,001
0,0012= 0,833
FXix =
0, se x < 00,9988 , se 0 โค x < 5000
0,999, se 5000 โค x < 100001, se x โฅ 10000.
FBix = แ
0 , se x < 50000,167, se 5000 โค x < 10000
1, se x โฅ 10000
๐น๐๐๐ฅ๐ = ๐น๐ต๐
๐ฅ๐ ๐๐ + 1 โ ๐๐ ๐ผ [0,โ) ๐ฅ๐
FXix = แ
0 , ๐ ๐ ๐ฅ < 50000,167, ๐ ๐ 5000 โค ๐ฅ < 10000
1, ๐ ๐ ๐ฅ โฅ 100000,0012 + 0,9988I (0,โ] x
EXEMPLO 5
Um seguro agrรญcola cobre toda a perda de uma plantaรงรฃo em caso
de geada e seca prolongada. Considerando que esses eventos ocorrem com
1% de probabilidade, e que o valor das indenizaรงรตes paga pela seguradora
seja modelado pela seguinte funรงรฃo de densidade:
๐๐๐๐ฅ๐ = แ
0,99 ๐ ๐ ๐ฅ๐ = 0
0,002๐โ0,2๐ฅ๐ ๐ ๐ ๐ฅ๐ > 00 caso contrรกrio
Encontre a distribuiรงรฃo de ๐๐ , no caso da ocorrรชncia do sinistro
(em milhรตes de reais). Encontre a funรงรฃo de distribuiรงรฃo de ๐๐ , obtenha
tambรฉm o modelo probabilรญstico de ๐ผ๐ .
SOLUรรO
Observe que ๐๐ = 0 se ๐ผ๐ = 0, o que implica que ๐ ๐๐ = 0 =๐ ๐ผ = 0 = 0,99, e de imediato temos que ๐ผ๐ โผ ๐ต๐๐๐๐๐ข๐๐๐ 0,01 .
A funรงรฃo acumulada entรฃo รฉ definida por:
๐น๐๐๐ฅ๐ = 0,99 + เถฑ
0
๐ฅ๐
0,002๐โ0,2๐ง๐๐ง
SOLUรรO
A funรงรฃo acumulada entรฃo รฉ definida por:
๐น๐๐๐ฅ๐ = 0,99 + เถฑ
0
๐ฅ๐
0,002๐โ0,2๐ง๐๐ง
๐น๐๐๐ฅ๐ = 0,99 + โ
0,002
0,2๐โ0,2๐ฅ๐ โ โ
0,002
0,2๐โ0,2ร0
๐น๐๐๐ฅ๐ = 1 โ 0,01๐โ0,2๐ฅ๐
SOLUรรO
A partir das informaรงรตes dadas no enunciado do exemplo temos que:
๐ฮ๐๐ฅ๐ = ๐๐๐|๐ผ๐=1 ๐ฅ๐|๐ผ๐ = 1 =
๐๐๐,๐ผ๐=1 ๐ฅ๐ , ๐ผ๐ = 1
๐ ๐ผ๐ = 1
๐๐ฃ๐๐ฅ๐ =
0,002๐โ0,2๐ฅ๐
0,01= 0,2๐โ0,2๐ฅ๐ , ๐ฅ๐ > 0
Assim
๐นฮ๐๐ฅ๐ = เถฑ
0
๐ฅ๐
0,2๐โ0,2๐ง๐๐ง = โ0,2
0,2๐โ0,2๐ฅ๐ โ โ
0,2
0,2๐โ0,2ร0
๐นฮ๐๐ฅ๐ = 1 โ ๐โ0,2๐ฅ๐
๐ต๐ โผ ๐ธ๐ฅ๐ 0,2
SOLUรรO
๐ ๐ผ ฮ
๐๐๐(๐ฅ๐) =
0,99 , ๐ ๐ ๐ฅ๐ = 0
0,002๐โ0,2๐ฅ๐ , ๐ ๐ ๐ฅ๐ > 00 , ๐. ๐.
๐(๐ผ๐ = 0) = 0,99 ๐ฮ๐(๐ฅ) = 0,2๐โ0,2๐ฅ๐ , ๐ฅ๐ > 0
๐(๐ผ๐ = 1) = 0,01
๐ธ(๐๐) = 0,05 ๐ธ(๐ผ๐) = 0,01 ๐ธ(ฮ๐) = 5
๐ฃ๐๐(๐๐) โ 0,4950 ๐ฃ๐๐(๐ผ๐) = 0,0099 ๐ฃ๐๐(ฮ๐) = 25
๐น๐๐(๐ฅ๐) = (1 โ ๐โ0,2๐ฅ๐)0,01 + 0,99๐ผ(0,โ](๐ฅ๐)
ร fรกcil perceber que:
๐๐๐๐ฅ๐ = แ
(1 โ ๐๐) , ๐ ๐ ๐ฅ๐ = 0
๐๐๐ฮ๐๐ฅ , ๐ ๐ ๐ฅ๐ > 0 .
Pois,
๐๐๐๐ฅ๐ = แ
0,99 ; 1 โ 0,01 ; ๐ ๐ ๐ฅ๐ = 0
0,002๐โ0,2๐ฅ๐ ; 0,01 ร 0,2๐โ0,2๐ฅ; ๐ ๐ ๐ฅ๐ > 00 ๐. ๐.
Modelos de risco Individual โ A distribuiรงรฃo de ๐ฟ๐
Bibliografia
โข FERREIRA, P. P. Modelos de precificaรงรฃo e ruรญna para seguros decurto prazo. Rio de Janeiro: Funenseg, 2002.
โข CENTENO, M. L. Teoria do risco na actividade seguradora. Oeiras:Celta, 2003
โข PACHECO, R. Matemรกtica Atuarial de Seguros de Danos. EditoraAtlas, 2014
โข RODRIGUES, J. A. Gestรฃo de risco atuarial. Sรฃo Paulo: Saraiva,2008.
โข PIRES,M.D.;COSTA,L.H.;FERREIRA,L.;MARQUES,R. Teoria do risco atuarial: Fundamentos e conceitos. Curitiba: CRV 2020.