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Teoria Eletromagnética 1 Newton Mansur
Como se mede um campo elétrico
∆𝑉 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑟
𝐸 = −𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑖 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦𝑗 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧𝑘 = −𝛻𝑉
Algebra Vetorial
▪ Vetor Precisa de no mínimo duas informações para defini-lo.
x
y
𝐴
x
𝐴
vx
x
v 0
a
a
v
a
b
𝐴
𝐴 𝑥
𝐴 𝑦
𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦
𝐴 𝑎
𝐴 𝑏
𝐴 = 𝐴 𝑎 + 𝐴 𝑏 𝐴 = 𝑎𝑥 + 𝑣𝑣 𝑥
Álgebra Vetorial
▪ Versor Vetor unitário, adimensional, que define direção e sentido de um vetor
x
y
𝐴
𝐴 𝑥
𝐴 𝑦 𝐴 = 𝐴𝑎 𝐴
𝑎 𝐴
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦
𝐴 𝑥 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥
𝐴 𝑦 = 𝐴𝑦𝑎 𝑦
𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦
𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦
𝐴𝑎 𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦
𝑎 𝐴 =𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦
𝐴
𝑎 𝐴 =𝐴𝑥𝐴
𝑎 𝑥 +𝐴𝑦
𝐴𝑎 𝑦
𝜃
𝑎 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 𝑦
𝑎 𝐴 =𝐴
𝐴
Álgebra Vetorial
x
y
𝐴
2
𝐴 = 3𝑎 𝐴 𝑎 𝐴
𝑎 𝑥 𝑎 𝑦
𝐴 = 2𝑎 𝑥 − 1𝑎 𝑦
𝑎 𝐴 =2𝑎 𝑥 − 1𝑎 𝑦
3 𝑎 𝐴 =
2
3𝑎 𝑥 −
1
3𝑎 𝑦
𝜃 𝑎 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 𝑦
𝑎 𝐴 =𝐴
𝐴
1
𝜃 = tan−1 −1
2
Álgebra Vetorial
Re
Im
𝑍
2
𝑍 = 2 − 𝑖1
𝜃
1
𝜃 = tan−1 −1
2
𝑍 = 3 −26,6 𝑜= 3 − 0,464 = ( 3, −0,464)
𝑍 = 3 2 − 𝑖1
3 = 3 cos −26,6 𝑜 + 𝑖𝑠𝑒𝑛(−26,6 𝑜)
𝑒𝑖𝜃 = (𝑖𝜃)𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
= (−1)𝑛𝜃2𝑛
2𝑛!
∞
𝑛=0
+ 𝑖 (−1)𝑛𝜃2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
∞
𝑛=0
= cos 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑍 = 3 𝑒𝑖(−26,6 𝑜) = 3 𝑒−𝑖 0,464
Álgebra Vetorial
▪ Representação vetorial
x
y
𝐴
𝐴 𝑥
𝐴 𝑦
𝑎 𝐴
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦 𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧
z
𝑎 𝑧 𝐴 𝑧
Álgebra Vetorial
▪ Soma e subtração de vetores
x
y
𝐴
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦
𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧
z
𝑎 𝑧
𝐵
𝐵 = 𝐵𝑥𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧𝑎 𝑧
𝐶 = 𝐴 +𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧 + 𝐵𝑧 𝑎 𝑧
𝐶
𝐷 = 𝐴 -𝐵 = 𝐴𝑥 − 𝐵𝑥 𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦 − 𝐵𝑦 𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧 − 𝐵𝑧 𝑎 𝑧 𝐷
Álgebra Vetorial
▪ Produto Escalar
x
y
𝐴
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦
𝐸 = 𝐴 ∙ 𝐵
z
𝑎 𝑧
𝐵
𝐵𝐴 𝐵⊥
𝐸 = 𝐴𝐵𝐴 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑆𝑒 𝐴 ⊥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 ∙ 𝐵 = 0
𝑆𝑒 𝐴 ∥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐸 = 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴
𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧
𝐵 = 𝐵𝑥𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧𝑎 𝑧
𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥+𝐴𝑦𝐵𝑦+𝐴𝑦𝐵𝑦
𝜃
Álgebra Vetorial ▪ Produto Vetorial
x
y
𝐴
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦
𝑉 = 𝐴 × 𝐵
z
𝑎 𝑧
𝐵
𝐵𝐴 𝐵⊥
𝑉 = 𝐴𝐵⊥ = 𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑆𝑒 𝐴 ⊥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵
𝑆𝑒 𝐴 ∥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑉 = 𝐴 × 𝐵 = 0
𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴
𝐴 × 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 + 𝐴 × 𝐶
𝑉
O sentido do vetor 𝑉 pode ser obtido pela regra da mão direita
𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑥 = 0 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑦 = 0 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑧 = 0
𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 1 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑧 = 1 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑧 = 1
𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑧 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑧 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑦
𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑥 = −𝑎 𝑧 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑦 = −𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑧 = −𝑎 𝑦
𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧
𝐵 = 𝐵𝑥𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧𝑎 𝑧
𝑉 = 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦 𝑎 𝑥 + 𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 𝑎 𝑦 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥 𝑎 𝑧
𝑉 =
𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
x
y
z
𝑉
𝑊
3
2
−2
1
𝑉 = 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧
𝑉 = 14𝑟 𝑟 =3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧
14
𝑉 = 13𝜌 + 𝑧 𝜌 =3𝑥 + 2𝑦
13
𝑊 = 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧
𝑊 = 14𝑟 𝑟 =3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧
14
𝑊 = 13𝜌 + 𝑧 𝜌 =3𝑥 − 2𝑦
13
𝑟
𝜌
𝜌
𝑟
x
y
z
R
R
z0
𝑧 = 0
𝑟 = 𝑅 𝜃 =𝜋
2
𝜌 = 𝑅 𝑧 = 0
𝑧 = 𝑧0
𝑟 = 𝑅2 + 𝑧02 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑅
𝑧0
𝜌 = 𝑅 𝑧 = 𝑧0
𝜃
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2
Lei de Coulomb
rr
qqkF ˆ
2
21
F
F
k = 8,9 x 10 9 Nm2/C2
x
y
z
r̂
kzjyixr ˆˆˆ
r
r
rr
ˆ
Onde k é a constante (no SI)
Lei de Coulomb
x
y
z
r̂
r
F
F
rr
qqkF ˆ
2
21
k = 8,9 x 10 9 Nm2/C2
kzjyixr ˆˆˆ
r
rr
ˆ
Onde k é a constante (no SI)
Lei de
Coulomb
x
y
z
𝑟 1
𝑟 2
𝑥2 𝑥1
𝑦1
𝑦2
𝑧2
𝑧1
𝑟 21
𝑟 21 𝑟 21 = 𝑟 2 − 𝑟 1
𝑟 1 = 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 + 𝑧1𝑧 𝑟 2 = 𝑥2𝑥 + 𝑦2𝑦 + 𝑧2𝑧
= 𝑥2 − 𝑥1 𝑥 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑦 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑧
𝑟 21 =𝑟 21𝑟 21
=𝑥2 − 𝑥1 𝑥 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑦 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑧
𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1
2 + 𝑧2 − 𝑧12
𝐹 21 =1
4𝜋𝜀0
𝑞1𝑞2𝑟 2 − 𝑟 1 2
𝑟 21
Se temos N cargas interagindo com q2
𝐹 𝑇 = 1
4𝜋𝜀0
𝑞𝑛𝑞2𝑟 2 − 𝑟 𝑛 2
𝑟 2𝑛
𝑁
𝑛=1
𝑟 2𝑛 𝑟 2𝑛
𝑟 𝑛
O campo Elétrico
E
1
q1
Q
EQF
Suponha uma carga q1 colocada num ponto do
espaço.
Esta carga gera em todo o espaço um
campo vetorial, que denominamos de
Campo Elétrico,
de tal forma que, se colocarmos
uma segunda carga Q num outro
ponto,
esta irá
interagir com o
campo elétrico,
de tal forma
que sobre ela
haverá uma
força da forma:
rr
QqkF ˆ
2
1
r̂r
qkEEQr̂
r
qQk=F
2
1
2
1
O campo Elétrico
E
1
q1
Q
EQF
O campo elétrico obedece o princípio de superposição, isto é, se dois
campos elétricos, de duas cargas diferentes, forem aplicados no mesmo
ponto, o campo elétrico total será a soma vetorial dos dois.
rr
qkE ˆ
2
1