TITULO DO TRABALHO · 2017-11-05 · resolvido por meio do ensemble canônico, porém ele também pode ser resolvido por meio de ensembles generalizados. Palavras-chave: Termodinâmica,

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

ENTROPIAS GENERALIZADAS: VÍNCULOSTERMODINÂMICOS DA TERCEIRA LEI

ELIÂNGELA PAULINO BENTO DE SOUZA

NATAL-RN2016

ELIÂNGELA PAULINO BENTO DE SOUZA

ENTROPIAS GENERALIZADAS: VÍNCULOSTERMODINÂMICOS DA TERCEIRA LEI

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação

em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito par-

cial para a obtenção do grau de Doutora em Física.

Orientador: Prof. Dr. Raimundo Silva Júnior

Co-orientador: Prof. Dr. Madras Viswanathan Gandhi

Mohan

NATAL-RN2016

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN

Sistema de Bibliotecas – SISBI

Catalogação da Publicação na Fonte - Biblioteca Central Zila Mamede

Souza, Eliângela Paulino Bento de.

Entropias Generalizadas: Vínculos Termodinâmicos da Terceira Lei /

Eliangela Paulino Bento de Souza. - 2016.

97 f.: il.

Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte,

Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em

Física. Natal, RN, 2017.

Orientador: Prof. Dr. Raimundo Silva Júnior.

Coorientador: Prof. Dr. Madras Viswanathan Gandhi Mohan.

1. Termodinâmica - Tese. 2. Mecânica estatística - Tese. 3. Entropias

generalizadas - Tese. I. Silva Júnior, Raimundo. II. Mohan, Madras

Viswanathan Gandhi. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 536.7

Para alguém especial...

Kaleo meu filho amado.

AGRADECIMENTOS

• Ao Prof. Dr. Raimundo Silva Júnior pela orientação durante todo esse período

de pós-graduação.

• Ao Prof. Dr. Madras Viswanathan Gandhi por ter aceito ser co-orientador desta

tese, uma vez que foi o seu questionamento que motivou todo o trabalho desta tese.

• Ao Prof. Dr. Marcos Gomes Eleutério da Luz (UFPR) pelas suas valiosas con-

tribuições na construção do nosso método analítico e importantes discussões ao longo do

desenvolvimento do trabalho.

•Aos demais professores do DFTE-UFRN que de algum modo contribuíram para

minha formação acadêmica através das disciplinas ministradas durante a pós-graduação.

•Aos meus amigos e colegas de doutorado por me acompanharem nesta jornada.

• Por fim, mas não menos importante, agradeço à Coordenação de Aperfeiçoa-

mento de Pessoal de Nível Superior - CAPES, pelo suporte financeiro concedido.

“All natural and technological processes proceed in such a

way that the availability of the remaining energy decreases.

In all energy exchanges, if no energy enters or leaves an

isolated system, the entropy of that system increases.

Energy continuously flows from being concentrated, to

becoming dispersed, spread out, wasted and useless. New

energy cannot be created and high grade energy is being

destroyed. An economy based on endless growth is?

Un-sus-tain-able!

The fundamental laws of thermodynamics will place fi-

xed limits on technological innovation and human endorse-

ment. In an isolated system, the entropy can only increase.

A species set on endless growth is... Un-sus-tain-able! ”

( The 2nd law: Unsustainable - Muse. Warner, 2012)

Resumo

Com base na terceira lei da Termodinâmica, questionamos se as entropias gene-

ralizadas satisfazem ou não esta propriedade fundamental. Em linhas gerais, a terceira

lei afirma que, para sistemas com estados fundamentais não degenerados em equilíbrio,

a entropia se aproxima de zero conforme a temperatura (em escala absoluta) também se

aproxima de zero. No entanto, a entropia pode desaparecer apenas com a temperatura no

zero absoluto. Neste contexto, propomos um procedimento analítico direto para testar se

uma entropia generalizada satisfaz a terceira lei, assumindo apenas uma forma geral de

entropia S e energia U de um sistema de N níveis clássico arbitrário. Matematicamente,

o método depende do cálculo exato do parâmetro β = dS/dU em termos das probabili-

dades de microestados pi. Finalmente, determinamos a relação entre o limite mínino da

entropia S → 0 (ou, mais geral, S → Smin) e o limite mínimo de temperatura β → ∞. A

nível de comparação, aplicamos o método para as entropias de Boltzmann-Gibbs (modelo

padrão), Kaniadakis e Tsallis (modelos generalizados). Para as duas últimas, ilustramos o

poder do método calculando os intervalos dos parâmetros entrópicos em que a entropia

satisfaz a terceira lei. Os resultados obtidos mostraram que, para a κ-entropia, os valores

usualmente atribuídos ao parâmetro κ satisfazem a terceira lei (−1 < κ < 1). Entretanto,

para a q-entropia o mesmo não ocorre. Mostramos que, a q-entropia pode desaparecer a

temperaturas diferentes de zero para certos valores de q. Como exemplo concreto, consi-

deramos o modelo de Ising unidimensional com interações de primeiros vizinhos, o qual

é um dos mais importantes modelos em toda a física. Classicamente, o modelo de Ising é

resolvido por meio do ensemble canônico, porém ele também pode ser resolvido por meio

de ensembles generalizados.

Palavras-chave: Termodinâmica, Mecânica Estatística, entropias generalizadas.

Abstract

Based on the third law of Thermodynamics we ask whether or not generalized

entropies satisfy this fundamental property. The third law states that the entropy ap-

proaches zero as the temperature (in absolute scale) also approaches zero. However, the

entropy can vanish only at absolute zero temperature. In this context, we propose a direct

analytical procedure to test if the generalized entropy satisfies the third law, assuming

only very general assumptions for the entropy S and energy U of an arbitrary N -level

classical system. Mathematically, the method relies on exact calculation of the parameter

β = dS/dU in terms of the microstate probabilities pi. Finally, we determine the relation

between the low entropy limit S → 0 (or more generally Smin) and the low-temperature

limit β → +∞. For comparison, we apply the method to the entropy Boltzmann (standard

model), and Kaniadakis Tsallis (generalized models). For the latter two, we illustrate the

power of the method by unveiling the ranges of their parameters for which the third law is

satisfied. For κ-entropy, the values usually assumed in the literature to κ parameter obeys

the third law (−1 < κ < 1). However, for the q-entropy the same is not true. We show that

the q-entropy can vanish at nonzero temperature in certain ranges of q. These results and

their consequences are discussed in this thesis. As a concrete example, we consider the

paradigmatic one-dimensional Ising model, which is one of the most important models in

all of physics. Classically, the Ising model is solved in the canonical ensemble, but it can

also solved exactly in nonstandard ensembles using generalized entropies.

Keywords: Thermodynamics, Statistical Mechanics, generalized entropies.

Resumen

Sobre la base de la tercera ley de la Termodinámica nos preguntamos si entropías

generalizadas satisfacen o no esta propiedad fundamental. La tercera ley establece que,

para los sistemas con estados fundamentales no degenerados en equilibrio, la entropía se

aproxima a cero como la temperatura (en escala absoluta) también se aproxima a cero. Sin

embargo, la entropía puede desaparecer solamente al cero absoluto de temperatura. En

este contexto, se propone un procedimiento analítico directo para probar si la entropía ge-

neralizada satisface la tercera ley, asumiendo hipótesis muy generales para la entropía S

y la energía U de un sistema de N -niveles clásico arbitrario. Matemáticamente, el método

está basado en el cálculo exacto de lo parámetro β = dS/dU en términos de las probabi-

lidades de microestados pi. Por fin, hemos determinado la relación entre el límite de baja

entropía S → 0 (o en general, S → Smin) con el límite mínimo de temperatura β → ∞. El

nivel de comparación, se aplica el método para las entropías de Boltzmann-Gibbs (modelo

estándar), Kaniadakis y Tsallis (modelos generalizados). Para los dos últimos, ilustramos

la potencia del método en el cálculo de los intervalos de los parámetros entrópicos que

satisfacen la tercera ley. Los resultados mostraron que para la κ-entropía, los valores ge-

neralmente atribuidas a lo κ-parámetro satisfacen la tercera ley (−1 < κ < 1). No obstante,

para la q-entropía, el mismo no ocurre. Se demuestra que la q-entropía puede desapare-

cer a temperaturas diferentes de cero para ciertos valores de q. Como ejemplo concreto,

consideramos el modelo de Ising unidimensional con las interacciones de vecinos más

cercanos, que es uno de los modelos más importantes de toda la física. Clásicamente, el

modelo de Ising se resuelve por medio del conjunto (ensemble) canónico, pero también

puede ser resuelto por conjuntos generalizadas.

Palabras clave: Termodinámica, Mecánica Estadística, entropías generalizadas.

LISTA DE FIGURAS

2.1 Lei zero da Termodinâmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Primeira lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Gráfico da expq(x) para diferentes valores de q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Gráfico de Sq para diferentes valores de q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Gráfico da expκ(x) para diferentes valores de κ . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Gráfico do lnκ(x) para diferentes valores de κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Gráfico Sκ para diferentes valores de κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1 Modelo de Ising 1D no formalismo de Kaniadakis. . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Modelo de Ising 1D no formalismo de Tsallis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Entropia de Tsallis vs. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.1 Índice politrópico n como função dos parâmetros q de Tsallis e κ de Kania-

dakis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

vii

CONTEÚDO

1 Introdução 1

2 As leis da Termodinâmica: Uma breve revisão 5

2.1 A lei zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 A primeira lei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 A segunda lei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 A terceira lei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Entropias generalizadas: Novas funções, novos formalismos... 15

3.1 A q-entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.1 Propriedades da q-entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.2 A q-estatística e a Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 A κ-entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Terceira lei da Termodinâmica: Um teste para as entropias generalizadas 33

4.1 Apresentação do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Resultados obtidos com as estatísticas generalizadas de Tsallis e Kaniadakis 40

4.2.1 A formulação de Kaniadakis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

viii

4.2.2 A formulação de Tsallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 O modelo de Ising: Um importante exemplo 47

5.1 Modelo de Ising Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 Conclusões e Perspectivas 55

Referências 59

A κ-distribuição de velocidades para o sistema politrópico 66

A.1 Sistema politrópico generalizado pela q-estatística . . . . . . . . . . . . . . . 66

A.2 Aplicação da κ-distribuição no sistema politrópico . . . . . . . . . . . . . . . 68

B Notações e Convenções 70

Publicações 72

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

"Eu quero ficar perto

De tudo o que acho certo

Até o dia em que eu mudar de opinião

A minha experiência

Meu pacto com a ciência

Meu conhecimento é minha distração..."

(Danni Carlos - Coisas que eu sei)

A Termodinâmica é uma teoria fenomenológica que, até onde se sabe, se mantém

válida para todos os sistemas físicos que satisfaçam condições gerais mínimas adequadas

[1]. A base teórica da Termodinâmica está fundamentada nas quatro leis extremamente

gerais governando um vasto espectro de comportamentos distintos da natureza. A mecâ-

nica estatística, por sua vez, origina-se da ponte que liga a descrição microscópica funda-

mental das Mecânicas Clássica e Quântica com o comportamento macroscópico descrito

pela Termodinâmica.

Nesse contexto, a entropia de Boltzmann-Gibbs (BG) se apresenta como uma quan-

tidade fundamental da mecânica estatística. De fato, a maioria dos sistemas captam todos

os aspectos importantes da entropia Termodinâmica [2, 3]. Ainda assim muitas generali-

zações da estatística padrão têm sido propostas [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]. Algumas, tais como a

1

Capítulo 1. Introdução 2

entropia de Rényi particularmente, não se adequam bem a mecânica estatística [6, 7] por

tratar de problemas ligados à teoria de informação. Outras, no entanto, tem encontrado

uma vasta aplicação em diversos fenômenos [11].

Duas bem conhecidas, são as entropias de Tsallis e Kaniadakis [4, 10, 12]. Essas ge-

neralizações surgiram como propostas para descrever os sistemas anômalos. Tais sistemas

são caracterizados por interações de longo alcance (tipo gravitacional) entre suas partes

constituintes. As aplicações se estendem por áreas como astrofísica estelar [13, 14, 15, 16],

cosmologia [17], física de altas energias [18, 19], estudo do DNA humano [20, 21], proces-

samento de imagens em medicina [22, 23], análise de mercado financeiro [24, 25, 26], física

de terremotos [27, 28, 29].

Outra característica importante dos sistemas anômalos está relacionada às variá-

veis estocásticas que descrevem o sistema. Por exemplo: apesar da interação de curto

alcance, num plasma, as velocidades das partículas podem ser fortemente correlaciona-

das [30].

Ao longo dos anos as formulações entrópicas generalizadas foram investigadas

no contexto dos fundamentos da mecânica estatística, assim como num viés de aplicação

em questões computacionais e experimentais [4, 10, 12, 31, 32]. Por exemplo, em cos-

mologia, a investigação realizada por Nunes et al utiliza as entropias generalizadas de

Tsallis e Kaniadakis numa formulação alternativa da equação de evolução dinâmica do

universo [33]. Comparando com dados observacionais, os autores mostram que as modi-

ficações propostas utilizando as entropias não-gaussianas conseguem resolver o problema

da idade do universo com um grau de confiança considerável. Nesse mesmo trabalho, fo-

ram analisados os efeitos dessas estatísticas não-gaussianas sobre o crescimento linear de

perturbações de densidade da matéria.

No campo de sistemas autogravitantes, destacamos a investigação de sistemas

politrópicos via entropia de Tsallis iniciado por Plastino & Plastino e revisitado por Bento

et al acrescido da entropia de Kaniadakis (ver apêndice A) [34, 35]. Nos dois trabalhos os

autores calculam o índice n que classifica as estrelas politrópicas via funções de distribui-

ção generalizadas de esferas isotérmicas. Nesse contexto, os autores mostram que para

descrever um sistema politrópico, os valores do parâmetro κ devem estar compreendidos

no intervalo 2/7 < κ < 1 [35].

Apesar dos inúmeros trabalhos publicados, pode-se perguntar porque as entro-

pias generalizadas devem ser consideradas como caminhos alternativos na resolução de


problemas. De fato, esta é uma preocupação antiga como pode ser visto na Referência [36].

Uma primeira justificativa é que alguns resultados indicam a existência de uma classe de

sistemas que devem exigir extensões do conceito de entropia [37, 38]. Outra justificativa

frequente é que essa extensão seja capaz de lidar com Hamitonianos com interações de

longo alcance [4, 39]. No entanto, não existe razão para se acreditar a priori que uma es-

colha particular será a entropia correta para sistemas com correlações de longo alcance.

A existência de um número de propostas em competição é um sinal de que não há uma

única solução para este problema.

Recentemente tem sido provado que entropias não-aditivas violam os conhecidos

axiomas de Shore & Johnson [40]. Por outro lado, sistemas com interações de longo al-

cance têm sido estudados com sucesso no contexto da Mecânica Estatística convencional

(Boltzmann-Gibbs) [41]. Além disso, é sabido que distribuições não-extensivas podem

surgir por meio da maximização da entropia de Boltzmann-Gibbs-Shannon juntas com

uma energia não-extensiva [40]. Além disso, ainda, tem se afirmado que distribuições

não-extensivas emergem das fortes correlações entre variáveis randômicas do sistema e

as hipóteses de Shore & Johnson não tratam adequadamente esta questão [40]. As en-

tropias generalizadas também são compatíveis com o princípio da máxima entropia no

contexto não-extensivo, não-ergódico e de sistemas estatísticos complexos [37]. Ou seja,

o que se pode observar é que, apesar da extensa aplicabilidade dessas entropias, existem

muitas controvérsias em torno de princípios clássicos fundamentais.

Em relação ao grande interesse dado por essas entropias, uma questão inevitável

é saber se elas são ou não compatíveis com as leis da Termodinâmica. A lei zero já foi

investigada no contexto da entropia de Tsallis [42]. Em 2003, Nauenberg aponta uma

incoerência da q-entropia com a lei zero [43]. Posteriormente uma solução com base em

regras de composição não-aditiva foi proposta por Biro e Van [44]. Seguindo essa linha de

investigação, a segunda lei também é investigada [45, 46]).

Baseados nessas questões, o objetivo do presente trabalho é descobrir precisa-

mente quando as entropias generalizadas são compatíveis com a terceira lei, que afirma

que a entropia de um sistema condensado em equilíbrio termodinâmico aproxima-se do

zero quando a temperatura se aproxima de zero absoluto (aqui, ignoramos o caso de esta-

dos degenerados e assumimos, sem perda de generalidade, um estado não-degenerado)

[47, 48, 49]. Sendo a entropia uma função positiva e o negativo da entropia uma função

convexa da energia interna, é fácil demonstrar que a entropia não pode tornar-se zero à

temperatura absoluta positiva. A terceira lei garante que a entropia pode desaparecer se,


e somente se, a temperatura absoluta desaparece. Enfatizamos, assim, um ponto funda-

mental muitas vezes esquecido em trabalhos anteriores e que é uma das razões pelas quais

este teste de compatibilidade específico deve ser escolhido.

A terceira lei deve ser verificada para todos os sistemas Hamiltonianos, indepen-

dentemente da existência ou não de interações de longo alcance. Portanto, a sua estabili-

dade é uma restrição poderosa e, por conseguinte, uma verificação crucial. A terceira lei

deve ser satisfeita para qualquer descrição microscópica confiável da matéria, indepen-

dentemente do tipo e os detalhes das interações (ou forças) entre seus constituintes. Desse

modo, os capítulos seguintes estarão organizados da seguinte forma:

No capítulo 2, faremos uma revisão da Termodinâmica clássica. Discutiremos as-

pectos fundamentais das leis da Termodinâmica, em especial sobre a terceira lei, também

conhecida como teorema do calor de Nernst.

No capítulo 3, apresentaremos as formulações generalizadas da entropia clássica

de Boltzmann-Gibbs propostas por Tsallis e Kaniadakis em seus trabalhos originais, com

principais as propriedades que envolvem as funções generalizadas bem como a matemá-

tica que fundamenta ambos os formalismos.

No capítulo 4, discutiremos a terceira lei à luz das entropias generalizadas. Aqui

apresentaremos a nossa proposta de teste analítico para as entropias de Tsallis e Kaniada-

kis utilizando um sistema arbitrário de N níveis de configurações microscópicas clássico.

No capítulo 5, apresentaremos como exemplo concreto da eficiência de nossa pro-

posta, a aplicação do método no modelo de Ising unidimensional com interações de pri-

meiros vizinhos. Os resultados da análise serão apresentados em gráficos comparativos

para ambos os formalismos.

Finalmente, no capítulo 6 apresentaremos nossas considerações finais e perspec-

tivas futuras.

CAPÍTULO 2

AS LEIS DA TERMODINÂMICA: UMA BREVE REVISÃO

"La termodinámica es un sujeto cómico. La primera vez que

la recorres, no la entiendes de ninguna manera. La segunda

vez que la recorres, piensas que la entiendes, menos uno o

dos pequeños puntos. La tercera vez que la recorres, sabes

que no la entiendes, pero para entonces ya estás tan acos-

tumbrado que no te molesta más.”

(A. Sommerfeld)

A Termodinâmica é o estudo das leis que regem as relações entre calor, trabalho

e outras formas de energia, mais especificamente a transformação de um tipo de energia

em outra, a disponibilidade de energia para a realização de trabalho e a direção das trocas

de calor. Além disso, ela tenta explicar como a matéria agregada tem suas proprieda-

des macroscópicas relacionadas à interação (por troca de energia) com o ambiente. Muito

embora a ascensão da Termodinâmica tenha se dado de fato apenas no século XVII, his-

toricamente a associação de calor e energia já poderia ser encontrada desde o início do

século XVI, quando Francis Bacon afirmava que “o calor em si mesmo, em sua essência,

é movimento e nada mais”1. A ideia de Bacon ecoou até meados do século XVII, onde1Tradução livre do vigésimo aforismo encontrada no segundo livro de Francis Bacon, Novum Organum

(ver Ref.[50].)

5

Capítulo 2. As leis da Termodinâmica: Uma breve revisão 6

encontramos o inglês Robert Hooke, que imaginava o calor como uma agitação veemente

e muito vigorosa das partes do corpo [51].

No entanto, a Termodinâmica só teve sua origem moderna a partir dos trabalhos

de Carnot que investigou os motores a vapor e relacionou a quantidade de movimento

mecânico com uma certa quantidade de calor[52, 53]. James Prescott Joule, físico inglês,

concluiu que o calor e trabalho eram conversíveis um no outro e em 1840 começou a in-

vestigar essa relação com objetivo de estabelecer proporcionalidade entre eles. Em 1942,

Julius Robert Von Mayer médico alemão que se dedicou à Física, formulou a primeira

lei da Termodinâmica na qual entende-se que calor e trabalho são formas equivalentes

de energia [52, 53, 54]. Nesse contexto, qualquer trabalho sobre o sistema pelo meio cir-

cundante, resulta no aumento equivalente de energia do sistema e vice-versa, sendo mais

tarde tal princípio traduzido por Helmholtz, em 1847, como princípio de conservação de

energia ou primeira lei da Termodinâmica [52, 53, 54].

Já no século XIX temos as contribuições de Lord Kelvin e Clausius na descrição

da segunda lei da Termodinâmmica relacionando calor e trabalho [53]. Nesse contexto,

podemos considerar uma interpretação cinética onde todos os fenômenos térmicos do sis-

tema passam a ser vistos como movimento desordenado de átomos e moléculas. Para esse

ponto de vista, o estudo do calor deve ser abordado a partir da mecânica de ensembles a

qual lida com um número muito grande de partículas (átomos ou moléculas). Nesse caso

recorremos à Mecânica Estatística que foi desenvolvida por Maxwell, Boltzmann e Gibbs

nos fornecendo um entendimento muito satisfatório das leis fundamentais da Termodinâ-

mica [52].

Em meados do século XX, Walther Nernst desenvolve a terceira lei, que em linhas

gerais, relaciona o estado de um sistema no zero absoluto com um valor mínimo de entro-

pia [47, 48, 52, 54]. Esse postulado é muito importante dentro da Termodinâmica pois nos

fornece um ponto de referência para a determinação do valor da entropia.

Com apenas quatro leis fundamentais, a Termodinâmica trouxe um grande pro-

gresso científico evidenciando aspectos estocásticos e probabilísticos da natureza. A partir

da Termodinâmica entendemos que o mundo é moldado, dentre outras coisas, por duas

grandezas fundamentais: energia e entropia. A primeira é determinista por assim dizer e

depende do sistema físico (clássico, quântico, relativístico, ou qualquer outro), a segunda

é mais sutil, favorece a ideia de aleatoriedade e remete à informação do sistema.

Neste capítulo abordaremos de forma breve cada um dos postulados da Termo-


dinâmica, dando uma maior ênfase no teorema de calor de Nernst ou terceira lei que é a

base do teste proposto nesta tese.

2.1 A lei zero

A lei zero define o conceito de temperatura termodinâmica. A temperatura é uma

medida macroscópica da energia cinética, e podemos observar isso a partir da equação de

estado,

PV = NkBT , (2.1)

onde kB é a constante de Boltzmann.

Da teoria cinética temos que T na equação (2.1) está ligada à energia média das

moléculas do gás, e T é uma grandeza quantitativa e dependente do estado físico do

corpo em questão. Por sua vez, calor (Q) é a medida da energia transferida entre dois

corpos. Se T1 6= T2 para dois corpos, então a temperatura nos informa que as condições

energéticas de ambos os corpos são distintas e, consequentemente, deverá haver um fluxo

de calor entre eles. Podemos entender, de maneira bem geral, que calor implica sempre

em ’movimento’, i.e., um fluxo de energia [55].

Nesse contexto, a lei zero afirma que se um corpo A se encontra em equilíbrio

térmico com um corpo B, e B está em equilíbrio com C, então C estará em equilíbrio

térmico com A. O equilíbrio térmico dos corpos envolvidos é atingido quando os mesmos

se encontram à mesma temperatura como está representado na figura (2.1). No universo

microscópico podemos dizer que a temperatura é o parâmetro que resume as populações

relativas dos níveis energia em um sistema em equilíbrio [55].


Figura 2.1: Modelo esquemático da lei zero da Termodinâmica.

2.2 A primeira lei

A primeira lei da Termodinâmica surgiu como o resultado da impossibilidade de

construção de uma máquina que pudesse criar energia do nada[52, 54]. Entretanto, ela

não impõe limites na possibilidade de transformação da energia de uma forma para outra

[52]. Seu postulado refere-se essencialmente ao princípio de conservação de energia para

sistemas termodinâmicos.

O enunciado da primeira lei diz que cada sistema termodinâmico possui uma

propriedade característica (parâmetro de estado) - sua energia. A energia interna (dU )

de um sistema varia de acordo com a variação de calor fornecido (dQ) ou retirado dele

sob a forma de trabalho (dW ). Em um sistema isolado, a energia interna total permanece

constante de acordo com a lei de conservação de energia [52].

Podemos observar pela figura (2.2) que se não existir trabalho realizado, a ener-

gia interna do sistema aumenta se o calor fornecido não cessa. De modo análogo, não

havendo o fornecimento de energia sob a forma de calor, a energia interna do sistema


diminui se o sistema realizar trabalho. É importante ressaltar que a variação da energia

interna de um sistema depende apenas dos seus estados iniciais e finais, sendo indepen-

dente do caminho seguido para chegar do estado inicial ao final.

Figura 2.2: Primeira lei da Termodinâmica.

Esse princípio de conservação de energia que rege a primeira lei foi estabelecido

principalmente por Mayer e Joule, que admitiram que as diversas formas de trabalho

poderiam ser convertidas umas nas outras e que, além disso, todas elas poderiam ser

dissipadas sob a forma de calor (por exemplo, por atrito) [54]. Experiências levaram a

crer que uma determinada quantidade de trabalho sempre se transforma numa mesma

quantidade de calor, o que configura uma conservação da energia [56].

Do ponto de vista microscópico, esse mesmo princípio foi elaborado por Helmholtz

[54, 56]. Considerando a constituição atômica da matéria, ele estendeu o teorema da con-

servação da energia mecânica ao movimento microscópico dos átomos. Ou seja, admitiu

que a soma da energia cinética com a energia potencial dos átomos é constante, cons-

tituindo assim a energia interna de um corpo. Quando trabalho de qualquer forma se

dissipa em calor, isso significa microscopicamente que os átomos ganham energia. Desse

modo, de acordo com Helmholtz e outros cientistas que estabeleceram a teoria cinética da

matéria, o calor está associado ao movimento miscroscópico dos átomos [56].

Como conclusão desta seção, podemos dizer que considerando o princípio de

conservação da energia, a possibilidade de transformar calor em trabalho ou trabalho em

calor existe sempre, desde que o montante total de calor seja equivalente à quantidade

total de trabalho.


2.3 A segunda lei

A segunda lei da Termodinâmica foi introduzida independentemente por Clau-

sius e Kelvin a partir das ideias de Carnot sobre as máquinas térmicas e processos cíclicos

[56]. Em linhas gerais, o enunciado associado a Kelvin diz que [52]:

Uma transformação cujo único resultado final seja a transformação em trabalho, de

calor extraído de uma fonte a qual tem todos os seus pontos a uma mesma temperatura

é impossível.

O enunciado de Clausius afirma,

Uma transformação cujo único resultado final é a transferência de calor de um corpo a

uma dada temperatura para um corpo a uma temperatura mais alta é impossível.

Ambos os enunciados são complementares: se um for falso o outro também é.

O desenvolvimento posterior da teoria termodinâmica levou Clausius à definição

da entropia como uma função de estado e à formulação da segunda lei como um princípio

de máxima entropia, que constitui outra forma de apresentação da segunda lei. Conside-

rando um processo reversível, a expressão para a entropia é dada por,

dS =dQ

T, (2.2)

onde T é fator integrante para a diferencial inexata dQ.

Para um sistema isolado, dS aumenta em todo processo irreversível (dS ≥ 0), en-

quanto que, para processos reversíveis dS permanece constante. Nesse sentido, a entropia

pode ser considerada como sendo uma medida da desordem, mas é mais aceita como uma

medida da homogeneidade da dispersão de energia. Isto é, a energia tende a espalhar-se

uniformemente, sendo o cenário mais provável para um sistema o da maior dispersão

geral da energia.

A entropia possui ainda uma interpretação microscópica que fundamenta a Mecâ-

nica Estatística. De acordo com Boltzmann, a entropia está relacionada com o número de


estados microscópicos acessíveis ao sistema. De fato, o conceito evoluiu matematicamente

para uma abordagem estatística dada por

S = −kB lnW , (2.3)

onde kB é a constante de Boltzmann e W é o número de microestados acessíveis. Quanto

maior o número W , maior é a entropia S que cresce logaritmicamente com o número de

estados acessíveis.

2.4 A terceira lei

A terceira lei da Termodinâmica evoluiu a partir do Teorema de Nernst, que ana-

lisou a variação da entropia de um sistema com relação a temperatura quando esta se

aproxima do zero. O enunciado propõe que,

A variação de entropia de um sistema em qualquer processo isotérmico reversível tende

para zero à medida que a temperatura do processo tende a zero absoluto.

Matematicamente, isso significa que,

S(T )− S0 = 0 quando T → 0 . (2.4)

No entanto, a formulação mais comum da terceira lei da Termodinâmica pertence

a Max Planck e diz que [57]:

Quando a temperatura cai para zero absoluto, a entropia de qualquer substância pura

cristalina tende a uma constante universal, a qual é tomada como sendo zero.

Logo temos,

S → 0 quando T → 0. (2.5)


Desse modo, S = 0 e T = 0 são denominados entropia e temperatura absolutas.

Embora a afirmação de Planck seja fundamental para o enunciado da terceira lei, ela não

é universalmente aplicável, pois se restringe apenas a substâncias puras cristalinas, des-

cartando a possibilidade de aplicação da lei a outras substâncias [49, 57]. De fato, para

tornar o enunciado de Planck mais geral precisamos considerar duas outras proposições

propostas por Einstein e Nernst (já apresentada no início desta sessão). A proposição de

Einstein afirma que,

Assim como a temperatura cai para zero absoluto, a entropia de qualquer substância

permanece finita.

Ou seja,

S(T )→ S0 quando T → 0 . (2.6)

Einstein foi o primeiro a investigar a entropia de sistemas quânticos a baixas tem-

peraturas desenvolvendo uma teoria quântica para calores específicos. Em sua análise,

ele descobriu que os calores específicos devem desaparecer no zero absoluto, isso implica

que S é finito em T → 0 [58]. Nernst, por sua vez, empreendeu extensa investigação ex-

perimental das propriedades físicas de sistemas submetidos a baixas temperaturas. Suas

experiências mostraram que em temperaturas mínimas, os sistemas termodinâmicos de-

veriam ser quantizados e, nessas circunstâncias, a Mecânica Estatística Clássica estaria

suscetível a produção de resultados incorretos não condizentes com a declaração de Eins-

tein. Desse modo, a análise de Nernst acabou sendo uma confirmação para a teoria quân-

tica dos calores específicos proposta por Einstein [49].

De acordo com o teorema de Nernst, a entropia de um sistema não decresce sem

limites, mas se aproxima de uma constante no limite do zero absoluto de temperatura

[47, 48]. Nesse contexto, sendo S0 uma constante e independente das variáveis termodi-

nâmicas, poderíamos imaginar essa constante como sendo uma característica da substân-

cia e, desse modo, teria valores distintos para substâncias distintas. Entretanto, Planck

afirma que S0 tem o mesmo valor para qualquer substância em equilíbrio termodinâmico

atribuindo o valor zero à entropia do zero absoluto. Portanto, se acrescentarmos ao pos-

tulado de Nernst o postulado de Planck, teremos o que conhecemos como terceira lei da

Termodinâmica (S(T ) → S0 quando T → 0) para qualquer substância em equilíbrio ter-

modinâmico.

Posteriormente, a teoria quântica dos calores específicos foi corrigida por Debye


para produzir uma melhor combinação quantitativa com os resultados experimentais de

Nernst. Esta correção, no entanto, não afeta a validade da proposição de Einstein que

embora seja indubitável, não captura todas as importantes propriedades termodinâmicas

no limite T → 0 [49].

Podemos relacionar o teorema de Nernst com a função entrópica de Boltzmann.

Considerando a equação de Boltzmann (2.3) da sessão anterior, estritamente falando, W

não representa a probabilidade do estado, mas o número de estados acessíveis que cor-

respondem a um determinado estado termodinâmico [52]. Pois bem, de acordo com a

equação (2.3), o valor de W correspondendo a S = 0 é W = 1. Do ponto de vista estatís-

tico, o teorema de Nernst pode ser interpretado da seguinte forma:

O estado termodinâmico de um sistema no zero absoluto corresponde somente um es-

tado acessível, ou seja, o estado de energia mais baixa compatível com a estrutura cris-

talina dada ou do estado de agregação do sistema.

O teorema de Nernst acarreta ainda em algumas consequências relevantes, por

exemplo, sendo S0 uma constante, a derivada (∂S/∂p)T1 se anula para T = 0. A partir

das relações de Maxwell temos

(∂S

∂p

)T

= −(∂V

∂T

)p

, (2.7)

então o coeficiente de expansão térmica α = (1/V )(∂V/∂T )p também se anula no zero

absoluto de temperatura. Da mesma forma, a derivada (∂S/∂V )T se anula para T = 0.

Usando a relação de Maxwell (∂S/∂V )T = (∂p/∂T )v, concluímos que o coeficiente β =

(∂p/∂T )v também se anula à temperatura zero. Por outro lado, as compressibilidades

kT = − 1

V

(∂V

∂p

)T

e (2.8)

kS = − 1

V

(∂V

∂p

)S

, (2.9)

não são necessariamente nulas.1Aqui p se refere à pressão e não à probabilidade.


Finalizando essa discussão, apesar de ser uma lei universal, é preciso ter certa

cautela quando da aplicação da terceira lei em sistemas termodinâmicos simplificadores.

Um exemplo disso é quando tomamos sistemas cujo calor específico seja constante, como

é o caso do gás ideal onde a energia interna é linear com a temperatura. Nesse caso temos,

TdS = dU + pdV , (2.10)

para V constante,

TdS = CV dT , (2.11)

S =

∫ T

0

CVTdT . (2.12)

Da equação (2.12) vemos que a entropia se comporta como lnT e portanto de-

cresce sem limites (S → −∞) quando T → 0, consequentemente, CV não se mantém

constante num regime de baixas temperaturas. Uma conclusão similar pode ser obtida

quando tomamos o gás ideal a pressão constante.

Nesse contexto, quando T → 0, o gás ideal deve ser analisado sob o ponto de vista

quântico (por meio das estatísticas de Bose-Einstein para spins inteiros e Fermi-Dirac para

spins semi-inteiros). Devemos ter em mente que importância das leis da Termodinâmica

não reside apenas na correção formal das demonstrações termodinâmicas, mas também

na sua aplicabilidade universal e significado físico [49].

CAPÍTULO 3

ENTROPIAS GENERALIZADAS: NOVAS FUNÇÕES,

NOVOS FORMALISMOS...

"(...) it will give you a great edge in debates because nobody

really knows what entropy is anyway.”

(História apócrifa em que J. von Neumann sugere um

nome para o funcional∑

i pi ln pi a C. Shannon.)

A Mecânica Estatística de Boltzmann-Gibbs é um dos monumentos da Física Con-

temporânea. Ela estabelece uma ponte notavelmente útil entre as leis da Mecânica ma-

croscópica com a Termodinâmica Clássica por meio da entropia, função essa que fornece

todas as informações acerca do sistema. Porém, como toda construção humana, essa teoria

é delimitada por alguns aspectos. O principal deles refere-se ao fato de a teoria estar dire-

tamente ligada a um estado estacionário muito especial denominado equilíbrio térmico.

Esse estado macroscópico tem propriedades notáveis e onipresentes, daí a sua importân-

cia fundamental. O principal fundamento desse estado (conhecido como Stosszahlansatz)

encontra-se na dinâmica não-linear, mais especificamente, sobre forte caos, o que implica

em mistura e ergodicidade. No entanto, muitos fenômenos importantes em sistemas natu-

rais, artificiais e até mesmo sociais, não se enquadram bem nessa hipótese simplificadora.

Isso é particularmente frequente em algumas ciências, bem como em Biologia e Economia,

onde o não-equilíbrio dos estados estacionários são regra comum. Desse modo, ao nível

15

Capítulo 3. Entropias generalizadas: Novas funções, novos formalismos... 16

dinâmico microscópico, a hipótese de caos molecular normalmente é substituído por sua

versão fraca, quando a sensibilidade às condições iniciais não cresce exponencialmente

com o tempo, mas sim como uma lei de potência. A ideia então é encontrar uma forma

de generalizar a Mecânica Estatística padrão por meio de conceitos e métodos similares

àquelas da estatística de Boltzmann-Gibbs.

Nesse contexto, uma maneira óbvia para generalizar a distribuição de Boltzmann-

Gibbs é substituir a função exponencial do fator de Gibbs por uma função cujas proprie-

dades sejam semelhantes. A nova função é então chamada de exponencial deformada

e sua inversa é o logarítmo deformado [59]. Essas funções são generalizadas por meio

de parâmetros que podem variar dentro de um determinado intervalo. Para certos valo-

res, esses parâmetros generalizados devem levar as funções à forma clássica. Assim as

entropias generalizadas tomam forma e passam a ser ferramentas importantes na descri-

ção de problemas envolvendo interações de longo alcance, fractalidade, fortes correlações

estatísticas e até mesmo efeitos relativísticos.

Neste capítulo faremos uma breve exposição das estatísticas de Tsallis e Kaniada-

kis apresentando suas funções e principais propriedades matemáticas. Ambas seguem a

forma tipo lei de potência e têm sido amplamente utilizadas nos mais variados contextos.

3.1 A q-entropia

A forma entrópica proposta por Tsallis fornece uma Termoestatística que incor-

pora a célebre abordagem de Boltzmann-Gibbs apresentando em sua formulação uma

classe mono-paramétrica de entropias, que são caracterizadas pelo parâmetro livre q. De

acordo com o novo postulado a entropia é dada por [4]

Sq = kB

[1−∑W

i=1pqi

](q − 1)

(W∑i=1

pi = 1; q ∈ R

), (3.1)

onde kB é a constante de Boltzmann, W o número total de possibilidades microscópicas e

pi a probabilidade de ocorrência da i-ésima configuração de energia εi. A soma é realizada

sobre todas as possibilidades e o parâmetro q descreve o grau de não-extensividade do


sistema. No limite q → 1 a equação (3.1) se reduz a entropia BG.

Do ponto de vista matemático, o formalismo de Tsallis está baseado na generali-

zação da função exponencial, denominada de q-exponencial [4],

eq(x) = [1 + (1− q)x]1/(1−q)+

, (3.2)

onde, [y]+ = y, se y > 0 e [y]+ = 0, para y ≤ 0. A função inversa da q-exponencial é o

q-logarítmo dado por

lnq(x) =x1−q − 1

1− q , ∀(x, q). (3.3)

Ambas as funções, q-exponencial e q-logarítmo, satisfazem a identidade

eq(lnq x) = lnq(eq(x)) = x, ∀(q, x) . (3.4)

A Figura (3.1) mostra a função expq(x) para alguns valores de q. Para q = 1, a

função generalizada retoma a forma ordinária exp(x) representada pela linha contínua

[60].

3.1.1 Propriedades da q-entropia

Muitas são as propriedades satisfeitas pela q-entropia, contudo, apresentaremos

a seguir aquelas que serão úteis para o desenvolvimento e entendimento dos resultados

apresentados nos capítulos seguintes. Uma revisão mais ampla acerca das propriedades

satisfeitas pela entropia de Tsallis pode ser encontrada na referência [60]. As principais

propriedades da q-entropia são:

(i) Não-negatividade

Quando detemos a total certeza acerca do estado no qual o sistema se encontra, a


Figura 3.1: Gráfico da expq(x) para diferentes valores de q [60].

probabilidade associada à esta configuração é igual à um e todas as outras probabilidades

serão iguais à zero. Consequentemente, a q-entropia será nula para qualquer valor de q.

Contudo, se não tivermos certeza acerca do estado no qual o sistema se configura, todas

as probabilidades serão menores que a unidade. Por essa razão teremos que 1/pi > 1, com

lnq(1/pi) > 0, ∀i, o que implica em Sq > 0 para todo q.

(ii) Equiprobabilidade

Pelas mesmas razões indicadas no formalismo padrão de BG (invariância da en-

tropia em relação à qualquer permutação de estados), a q-entropia deve ser um extremo

segundo a condição de equiprobabilidade

pi =1

W. (3.5)

Nesse contexto, a q-entropia apresenta um valor máximo para q > 0 e um mínimo

para q < 0. A prova fica completa quando estabelecermos que a q-entropia é côncava

(convexa) para q > 0 (q < 0), o que será feito em breve. O caso q = 0 é marginal, conse-

quentemente a entropia é constante [60],


Sq = kB lnqW , (3.6)

Sq=0 = kB(W − 1) , ∀ pi. (3.7)

(iii) Não-aditividade

Uma consequência interessante da generalização proposta por Tsallis é a violação

do princípio de aditividade estabelecido no terceiro postulado da Termodinâmica 1. Por

exemplo, dado um sistema composto constituído de dois sub-sistemasA eB independen-

tes, a probabilidade conjunta satisfaz pA+Bij = pAi + pBj , assim [19, 60]

Sq(A+B)

kB=

1

kB

(1−∑i

∑j p

qA,ip

qB,j)

q − 1,

=1

kB

2−∑i pqA,i −

∑j p

qB,j − (1−∑i p

qA,i)(1−

∑j p

qB,j)

q − 1,

=1

kB

(1−∑i pqA,i)

q − 1+

1

kB

(1−∑j pqB,j)

q − 1− (q − 1)

1

kB

(1−∑i pqA,i)

q − 1

1

kB

(1−∑j pqB,j)

q − 1.

Logo,Sq(A+B)

kB=Sq(A)

kB+Sq(B)

kB+ (1− q)Sq(A)

kB

Sq(B)

kB. (3.8)

A não-aditividade é manifestada pelo termo cruzado, (1− q)Sq(A)Sq(B) da equa-

ção acima, para q 6= 1. Assim, quando q = 1, temos que S1 é aditiva e extensiva para

sistemas sujeitos a determinadas classes de correlações,

1O terceiro postulado da Termodinâmica diz que a entropia é uma função contínua, diferencial e monoto-nicamente crescente da energia e é aditiva sobre os subsistemas constituintes de um dado sistema composto.


S1 ≡ limq→1

Sq,

= limq→1

(1−∑Wi=1 pip

q−1i )

q − 1,

= limq→1

1−∑Wi=1 pi exp (q − 1) ln(pi)

q − 1. (3.9)

Fazendo uma expansão em Taylor do termo exponencial sobre q = 1, obtemos:

S1 = limq→1

1−∑Wi=1 pi[1 + (q − 1) ln pi + (q−1)2(ln pi)

2

2!+ (q−1)3(ln pi)

3

3!+ ...]

q − 1, (3.10)

e usando o fato de que∑W

i pi = 1,

S1 = limq→1

[−

W∑i=1

pi ln pi −W∑i=1

pi(q − 1)(ln pi)

2

2!

W∑i=1

pi(q − 1)2(ln pi)

3

3!+ ...

],

S1 = −W∑i=1

pi ln pi. (3.11)

A não negatividade de Sq nos diz que, para subsistemas independentes,

Sq(A+B) ≥ Sq(A) + Sq(B) se q < 1 (3.12)

e

Sq(A+B) ≤ Sq(A) + Sq(B) se q > 1. (3.13)

Consequentemente, a q-entropia pode ser classificada como sendo sub-aditiva para q > 1


e super-aditiva para q < 1. Pela dedução anterior fica evidente também que o parâmetro q

representa a medida de não-aditividade da entropia do sistema. Entretanto, esse parâme-

tro não revela a causa do afastamento do padrão da entropia BG. Acredita-se que o desvio

ocorre devido à características intrínsecas do sistema [19].

(iv) Concavidade e Convexidade

Considerando dois conjuntos de probabilidades arbitrários pi e pi’, associados à

um sistema simples contendo w estados, definimos um conjunto de probabilidades inter-

mediário como segue [61]

p′′i = λpi + (1− λ)p′i , onde∑

p′′i = 1 (∀i; 0 ≤ λ ≤ 1). (3.14)

É fácil ver que a segunda derivada da função (contínua) x(1 − xq−1)/(q − 1) é negativa

(positiva) para q > 0 (q < 0). Consequentemente, para q > 0 temos

p′′i [1− (p′′i )q−1]

q − 1>λpi[1− pq−1

i ]

q − 1

p′i[1− (p′i)q−1]

q − 1. (3.15)

Aplicando∑W

i=1 em ambos os lados da inequação acima, obtém-se

Sq(p′′i ) > λSq(pi) + (1− λ)Sq(p

′i) , (q > 0) . (3.16)

A desigualdade acima é obviamente invertida quando q < 0 e com isso fica provado que

a q-entropia é côncava (convexa) para q > 0 (q < 0). Uma consequência imediata disso

é, como definida anteriormente, que para o caso de probabilidades iguais a q-entropia

apresenta um máximo (mínimo) para q > 0 (q < 0). A Figura (3.2), mostra o gráfico de

Sq para diferentes valores de q, considerando dois estados p e (1 − p), onde se observa a

concavidade da função.


Figura 3.2: Gráfico de Sq para diferentes valores de q. Sq é uma função de p com W = 2(Sq = −p lnq p − (1 − p) lnq(1 − p)). O ponto extremo de cada curva é precisamente 0.5correspondendo ao conjunto pi onde ocorre igualdade a priori das probabilidades [62].

3.1.2 A q-estatística e a Termodinâmica

A conexão da estatística de Tsallis com a Termodinâmica pode ser feita através

do ensemble canônico [60]. Nesse contexto, a definição de valor médio de uma grandeza

física O é generalizada por,


〈O〉 =

∑i p

qioi∑

i pqi

, (3.17)

onde o conjunto formado por todos os oi’s forma o espectro de valores associado à gran-

deza O. Para q → 1, o valor médio do ensemble clássico é retomado. A escolha dessa

forma de média se deu devido ao fato de que, expressões anteriormente propostas apre-

sentavam alguns problemas tais como [60]:

• função de partição não definida;

• não invariância de pi em relação a uma mudança do zero de energia e,

• violação da propriedade da média de uma constante que precisamente coincide com

a própria constante.

Para a devida correção desses problemas, foi proposta a seguinte formulação

〈Eq〉 =W∑i=1

PiEi ≡ Uq , (3.18)

onde Pi é denominada distribuição scort dada por

Pi ≡pqi∑Wj=1 p

qj

. (3.19)

Desse modo, o valor médio da energia generalizada também chamada de energia scort é

definida por,

Uq =

∑i p

qiEi∑i p

qi

. (3.20)

Utilizando a restrição∑

i pi = 1 e a equação (3.20), podemos obter a condição de

Sq por meio da derivada

∂

∂pi

[SqkB

+ αq∑i

pi + βq∂Uq∂pi

]= 0 , (3.21)


onde αq e βq são os multiplicadores de Lagrange. Através da equação (3.21) é possível

inferir que

pi =[1− (1− q)βq(Ei − Uq)]1/(1−q)

Zq=e−βq(Ei−Uq)q

Zq, (3.22)

ou seja, os p′s são dados todos de forma implícita. A função e−βq(Ei−Uq)q denota a função

inversa do q-logarítmo, ou seja, eq[lnq(x)] = x (onde x = −βq(Ei − Uq). Além disso,

βq =β∑Wj=1 p

qj

e, (3.23)

Zq =W∑j=1

e−βq(Ei−Uq)q , (3.24)

com β = 1/kBT e Zq a função de partição generalizada. Desse modo, a formulação dada

pela equação (3.20) resolve simultaneamente todos os problemas mencionados anterior-

mente. A energia scort,

i. fornece uma função de partição coerente fazendo a ponte com a Termodi-

nâmica;

ii. não viola a condição da média de uma constante coincidir com a própria

constante;

iii. se considerarmos EA+Bij = EA

i +EBj com PA+B

ij = PAi + PB

j , podemos obter,

Uq(A+B) = Uq(A) + Uq(B) e,

iv. desde que a diferença Ei−Uq não dependa da escolha do zero das energias,

a probabilidade pi é invariante para βq fixo com relação a mudança do zero

de energia (maiores detalhes podem ser vistos na referência [60]).

De posse da função de partição generalizada, os parâmetros termodinâmicos que

estabelecem o estado de um sistema físico podem ser determinados. Assim, para a energia

livre de Helmholtz, temos


Fq = Uq − TSq = − 1

βqlnq Zq , (3.25)

de onde podemos obter para a energia a seguinte expressão,

Uq = − ∂

∂βlnq Zq. (3.26)

Por fim, o calor específico generalizado fica expresso por,

Cq ≡ T∂Sq∂T

=∂Uq∂T

= −T ∂2Fq∂T 2

. (3.27)

No limite aditivo q → 1, a q-estatística no ensemble canônico retoma todas as

relações clássicas, além de fornecer um aporte teórico consistente.

3.2 A κ-entropia

Em 2001, G. Kaniadakis introduziu a κ-estatística, que preserva a estrutura epis-

temológica e termodinâmica da teoria padrão de Maxwell-Boltzmann-Gibbs através da

variação do parâmetro deformador κ [10, 12]. A teoria é norteada pelo princípio de inte-

ração cinética (KIP)2 que governa a dinâmica das partículas interagentes do sistema em

estudo [10]. Para compreendermos de maneira bem sucinta como KIP funciona, consi-

deremos um sistema de N partículas idênticas cuja função de distribuição é dada por

f(x,p, t) sujeitas a colisões binárias. De acordo com o KIP, cada partícula pode variar sua

posição inicial e final segundo uma taxa de transição proporcional à seção de choque entre

as partículas durante a colisão. Desse modo, a evolução temporal da função de distribui-

ção em termos da taxa de transição proposta pelo KIP nos remete a um funcional que é

sempre crescente com o tempo e satisfaz o enunciado da irreversibilidade da segunda lei

da Termodinâmica. Nesse contexto, Kaniadakis concluiu que o referido funcional estava

2Do inglês Kinetical Interaction Principle.


relacionado com um tipo de entropia definida como

Sκ(f) = −〈ln κ[f(x)]〉 = −∫dxf(x) lnκ[f(x)] , (3.28)

onde f(x) é a distribuição de velocidades das partículas e lnκ é o logarítmo deformado

pelo parâmetro κ. O κ-logarítmo é uma função real e decrescente ∀x ∈ R e está definido

por

lnκ(x) =xκ − x−κ

2κ, (3.29)

cuja função inversa é chamada de κ-exponencial dada por,

expκ(x) = (√

1 + κ2x2 + κx)1κ , (0 ≤ κ < 1) . (3.30)

A seguir são apresentadas algumas propriedades do κ-logarítmo:

ln0(x) = limx→0

lnκ(x) = ln(x). (3.31)

ln−κ(x) = lnκ(x). (3.32)

lnκ(0+) = −∞. (3.33)

lnκ(1) = 0. (3.34)

lnκ(+∞) = +∞. (3.35)

lnκ(1/κ) = − lnκ(x). (3.36)


lnκ(xr) = r lnrκ(x). (3.37)

O comportamento assintótico segue das relações [63],

lnκ(x) ∼x→0+

= − 1

|2κ|x|κ|, (3.38)

lnκ(x) ∼x→+∞

=1

|2κ|x|κ|. (3.39)

A partir da equação (3.30), tem-se as seguintes propriedades [12, 63]:

exp0(x) = limκ→0

expκ(x) = exp(x). (3.40)

exp−κ(x) = expκ(x). (3.41)

d

dxexpκ(x) > 0. (3.42)

expκ(−∞) = 0+. (3.43)

expκ(0) = 1. (3.44)

expκ(+∞) = +∞. (3.45)

expκ(x) expκ(−x) = 1. (3.46)

d

dxlnκ(x) > 0. (3.47)


As funções também satisfazem a seguinte relação padrão:

lnκ(expκ x) = expκ(lnκ x) = x. (3.48)

As figuras (3.3) e (3.4) a seguir mostram as equações (3.30) e (3.29) para diferentes

valores de κ. A linha contínua correspondendo a κ = 0 representa as funções ordinárias

exp(x) e ln(x), respectivamente.

Figura 3.3: Gráfico da expκ(x) para diferentes valores de κ. Para κ = 0, a função genera-lizada retoma a forma ordinária exp(x) representada pela linha contínua [63].


Figura 3.4: Gráfico do lnκ(x) para diferentes valores de κ. Para κ = 0, a função generali-zada retoma a forma ordinária ln(x) representada pela linha contínua [63].

Voltemos agora a falar sobre a κ-entropia. Em termos de pi, a entropia generali-

zada é definida pela seguinte expressão

Sκ = −W∑i

pi lnκ pi , (3.49)

ou ainda,

Sκ = −kB∑i

p1+κi − p1−κ

i

2κ. (3.50)

Considerando as propriedades das funções apresentadas anteriormente, podemos ver que

no limite κ = 0, Sκ recupera a entropia padrão de Boltzmann-Gibbs.

Para uma análise mais apurada dessa função entrópica, podemos calcular os ex-

tremos da κ-entropia por meio dos multiplicadores de Lagrange,


∂Sκ∂pi

+ α∂

∂pi

W∑i

pi = 0 , (3.51)

onde,∑

i pi = 1.

Resolvendo (3.51) em pi, temos que o conjunto de probabilidades pi que torna

Sκ um extremo é aquele em que todas as probabilidade são equiprováveis, ou seja,

pi =1

W, i = 1, ...,W . (3.52)

Para |κ| ≤ 1, a entropia associada ao conjunto

1W, ..., 1

W

é máxima. Para valores

de κ fora desse intervalo (|κ| > 1), Sκ pode assumir um valor mínimo e até mesmo possuir

mais de um valor extremo como é mostrado na figura (3.5). Além disso, Sκ ≥ 0, já que

lnq(x) ≤ 0 para quaisquer valores de κ ∈ R.

A equação (3.50) é uma função que decresce monotonicamente com concavidade

marcada por κ ∈ [−1, 1] [32]. No limite κ → 0, o logarítmo padrão é retomado e conse-

quentemente a equação (3.50) converge para a já conhecida entropia Boltzmann-Gibbs.

Além do conjunto de funções generalizadas, a κ-estatística também apresenta

uma álgebra particular envolvendo uma série de operações e propriedades específicas.

Considerando, por exemplo, dois sistemas A e B independentes com probabilidades de

configurações de microestados fatorizáveis p(A+B)ij = pAi + pBj , a entropia do sistema com-

posto é dada por

Sκ(A+B) = Sκ(A) + Sκ(B). (3.53)

É importante enfatizar aqui que somente no contexto da κ-álgebra a propriedade

da aditividade da κ-entropia é válida! (Ver referência [12]).

Para finalizar esse capítulo, ponderamos que, desde seu surgimento, as entropias

de Tsallis e Kaniadakis vêm sendo aplicadas no estudo de sistemas complexos que apre-

sentem uma função distribuição de probabilidade com um comportamento tipo lei de

potência na cauda. Esses sistemas são tipicamente caracterizados por interações de longo


Figura 3.5: Gráfico Sκ em função de pi (0 ≤ pi ≤ 1) e W = 2 para diferentes valores de κ.Em W = 2, Sκ admite o extremo máximo para |κ| ≤ 1. Quando κ = 1.1, Sκ apresenta doisextremos-mínimos e para κ = 1.5 e κ = 2.0, Sκ apresenta extremos-mínimos [62].

alcance ou efeitos de memória que estabelecem uma interconexão espaço-temporal entre

seus constituintes, causando então uma forte interdependência e a existência de uma rica

estrutura em várias escalas. Todas estas correlações induzidas entre as partes do sistema

são quem originam um equilíbrio dinâmico em vez de um equilíbrio estático: o sistema

permanece em uma configuração metaestável que deve persistir por um longo período de


tempo quando comparado com a escala de tempo característica dos processos microscópi-

cos conhecidos. Podemos encontrar uma grande soma de trabalhos científicos que expõe

evidências observacionais e argumentos teóricos sugerindo que essas entropias fornecem

uma descrição estatística e uma termodinâmica convincente para vários cenários físicos

[39].

No caso da entropia de Tsallis, podemos destacar o estudo do comportamento de

estrelas politrópicas [64], turbulência em plasma eletrônico [65], difusões anômalas tipo

Lévy [66], neutrino solar [67], distribuição de velocidade peculiar de aglomerados de ga-

láxias [68], materiais granulares tipo pilhas de areia [69] e sistemas fractais [39]. Para a

entropia de Kaniadakis resultados experimentais evidenciando a descrição de um gás de

átomos e fótons interagentes [70], a construção de modelos para o mercado financeiro [71],

distribuição de velocidades rotacionais de estrelas pertencentes ao campo da sequência

principal (através de dados observacionais) [14, 15] dentre outros já citados na introdução

dessa tese. Como podemos perceber as entropias generalizadas representam um ferra-

menta muito útil na descrição de uma larga escala de problemas que poderiam não ter

solução devido às limitações da Mecânica Estatística Clássica.

CAPÍTULO 4

TERCEIRA LEI DA TERMODINÂMICA: UM TESTE PARA

AS ENTROPIAS GENERALIZADAS

"If there’s a question bothering your brain

That you think you know how to explain

You need a test

Yeah, think up a test...”

(They Might Be Giants - Put it to test)

Nos capítulos precedentes apresentamos as entropias de Tsallis e Kaniadakis como

principais generalizações da entropia de Boltzmann-Gibbs. Entendemos, entretanto, que

quando uma generalização da Mecânica Estatística tradicional é considerada, estabelecer

sua consistência com princípios termodinâmicos torna-se de fundamental importância.

Dentro desse cenário, trabalhos relacionando as leis da Termodinâmica e as entropias ge-

neralizadas podem ser encontrados na literatura. Como por exemplo, a entropia de Tsallis

que já foi investigada no âmbito da lei zero e da segunda lei nos contextos clássico e quân-

tico onde o parâmetro q é definido no intervalo q ∈ (0, 2] [43, 44, 45, 46].

Até o momento não tivemos conhecimento de estudos para a terceira lei. Desse

modo, propomos um método analítico para responder a seguinte questão: seriam as en-

tropias generalizadas de Tsallis e Kaniadakis capazes de satisfazer a terceira lei da Termo-

33

Capítulo 4. Terceira lei da Termodinâmica: Um teste para as entropias generalizadas 34

dinâmica? O método proposto é baseado no teorema de Nernst e se utiliza das funções de-

formadas para provar a validade ou não das generalizações de Tsallis e Kanidakis. Nosso

objetivo é complementar a literatura nessa área, trazendo novos resultados que possam

ser agregados aos trabalhos já existentes.

4.1 Apresentação do método

Para a realização do nosso estudo consideramos um sistema cujas energias Eλpara as possíveis configurações microscópicas estão ordenadas como

E0 < E1 ≤ E2 ≤ ... ≤ EN , (4.1)

com N arbitrário.

O estado λ = 0 caracteriza o estado de mais baixa energia. Qualquer degeneres-

cência para o estado fundamental pode ser tratada separadamente sem alteração relevante

para a discussão física e, por essa razão, a degenerescência será ignorada.

A probabilidade de o sistema estar no estado microscópico λ = 0, 1, ..., N é 0 ≤pλ ≤ 1, onde

∑λ

pλ = 1 , (4.2)

de modo que n se estenda pelos mesmos números inteiros que λ (exceto λ = 0). Então, do

ponto de vista matemático podemos considerar todos os pn como variáveis independentes

e expressar p0 como função de pn:

p0 = p0(p1, p2, ..., pn) = 1−∑n

pn . (4.3)


Dessa forma, tomando f como qualquer função de probabilidade, nós temos

∂f(p0)

∂pn= −∂f(p0)

∂p0

. (4.4)

A entropia S e a energia U são dadas por

S = −p0s(p0)−∑n

pns(pn), (4.5)

U =1

P

[p0u(p0)E0 +

∑n

pnu(pn)En

]. (4.6)

Aqui, P é a normalização, usualmente tomada como igual a 1. A estatística de

Boltzmann-Gibbs e muitas outras generalizações dela podem ser reescritas da maneira

acima e também assumindo as seguintes propriedades gerais:

i. s(p) ≤ 0: isso garante que a entropia seja não-negativa;

ii. limp→0 ps(p) = s(1) = 0. Pleno conhecimento de que um estado não é (é

único) disponível deveria diminuir para zero a perda de informações asso-

ciadas com esse estado (o sistema inteiro).

iii. u(p) é uma função bem comportada para qualquer 0 ≤ p ≤ 1: uE deve ser

visto como uma energia efetiva de cada estado microscópico, concebivel-

mente devido as interações com outros estados. Assim, a função não deve

divergir ou apresentar mudanças descontinuas enquanto p varia.

iv. u(1) = 1: Se apenas um estado está ocupado, sua própria energia livre

não deve ser alterada, dado que eventuais interações entre os microestados


estariam ausentes (a não ser no caso de auto-interação, não consideradas

neste trabalho).

v. P é uma função bem comportada de pλ’s. Aqui consideramos P como

sendo apenas uma normalização para a expressão da energia; todavia, se

pλ = 1 para um dado λ (com todos os outros p’s indo para zero), então

P = 1.

Em adição com as proposições acima, as expressões para S e U devem ter também

uma relação fundamental. Em qualquer formalismo adequado da Mecânica Estatística,

um parâmetro relevante para caracterizar o equilíbrio em um processo térmico é dado

por (maiores detalhes ver referência [72])

β =∂S

∂U. (4.7)

Pela definição clássica, β = 1/T estando diretamente relacionado com a lei zero da

Termodinâmica. Em uma generalização da estatística padrão, β passa a ser definido como

β1α, onde α representa o parâmetro generalizado. Nesse contexto, β1α está relacionado

com a construção dos pesos estatísticos pλ = F(βαEλ). Desse modo podemos escrever

βα = ζβ , (4.8)

para 0 < ζ = ζ(α) 6= ζ(T ). Note que ζ 6= 1 não altera o fato de que β pode divergir com

T indo para zero. Obviamente, para a entropia de BG temos a igualdade ζ = 1. Para

Kaniadakis e Tsallis, respectivamente, temos

ζ =1√

1− α2, (−1 < α < 1) e (4.9)

ζ = 1. (4.10)


Lembramos que a terceira lei assegura que S = 0 se e apenas se, T = 0 (β → +∞).

No entanto, considerando as estatísticas generalizadas, podemos relaxar a condição S = 0,

assumindo

S → Smin se, e somente se , β → +∞, (4.11)

onde Smin é a mais baixa entropia possível em um dado contexto (por exemplo, para um

valor específico da formulação do parâmetro α).

O desafio agora é determinar até onde a extensão da terceira lei permanece ver-

dadeira. Para tanto, consideremos um conjunto genérico de parâmetros Λ controlando a

variação de ambas as funções S e U , onde o estado de baixa entropia é dado por

S(Λ0) = Smin . (4.12)

No que se segue, vamos nos concentrar no "somente se" da condição (4.11), uma

vez que a direção "se" é mais fácil. Assim, no limite de baixa energia, temos

β =dS

dU= lim

Λ→Λ0

S(Λ)− SminU(Λ)− U(Λ0)

. (4.13)

Como consequência, β →∞ exige que:

• U(Λ0) seja um mínimo local, de outro modo, não podemos obter o sinal positivo do

limite corretamente;

• para Λ → Λ0, |∆U | deve decair suficientemente rápido quanto |∆S|, obedecendo

assim o próprio comportamento divergente.

Para as formas funcionais das equações (4.5) e (4.6), é natural usar as probabilida-


des pλ para checar a equação (4.11). De fato, escrevendo

β =∑n

βn =∑n

∂S

∂pn

(∂U

∂pn

)−1

, (4.14)

onde βn é a contribuição para β no nível n. Utilizando a relação (4.4) obtemos para a

derivada da entropia

∂S

∂pn=

∂

∂p0

[−p0s(p0)−

∑n

pns(pn)

]+

∂

∂pn

[−p0(s(p0))−

∑n

pns(pn)

],

∂S

∂pn= −pn

∂s(pn)

∂pn− s(pn) + p0

∂s(p0)

∂p0

+ s(p0), (4.15)

e, para a derivada da energia U ,

∂U

∂pn=

1

P

[−u(p0)E0 − p0

∂u(p0)

∂p0

E0 + u(pn)En + pn∂u(pn)

∂pnEn

]− U

P

∂P

∂pn,

∂U

∂pn=

1

P

[En

(pn∂u(pn)

∂pn+ u(pn)

)− E0

(p0∂u(p0)

∂p0

+ u(p0)

)]− U

P

∂P

∂pn. (4.16)

Em resumo, seguimos a seguinte ideia, com a equação (4.15) determinamos qual

o conjunto pλ lida com um mínimo para S, em seguida, com a equação (4.16) analisamos

como U e βn se comportam nesse limite e, posteriormente, comparamos o resultado com

a terceira lei da Termodinâmica representada pela equação (4.11).


Finalizando esta seção, afim de apresentar uma discussão construtiva, julgamos

interessante a aplicação do método proposto na estatística padrão de Boltzmann-Gibbs.

Para tanto, tomamos as seguintes definições:

s(p) = ln[p] , u(p) = 1 , P = 1. (4.17)

Assim, as derivadas para a entropia e energia são respectivamente dadas por,

∂S

∂pn= − ln

[pnp0

](4.18)

e∂U

∂pn= En − E0 . (4.19)

Se p0 → 1, consequentemente todos os p′ns desaparecem, o que implica que S → 0

e U vai para seu valor mínimo possível E0. Tendo em vista essa observação, precisamos

calcular o limite de βn:

limpn→0p0=1

βn = − limpn→0

ln[pn]

En − E0

=∞ , ∀n. (4.20)

Com isso, verificamos que a terceira lei e sua conversão são satisfeitas (em adição

com a usual Smin = 0 para o estado não-degenerado). De fato, não poderíamos esperar

outro resultado, pois como sabemos, a estatística de Boltzmann-Gibbs é compatível com

as leis da Termodinâmica.


4.2 Resultados obtidos com as estatísticas generalizadas de

Tsallis e Kaniadakis

Consideramos agora as estatísticas generalizadas de Tsallis e Kaniadais, ambas

não-aditivas. Tomamos um parâmetro geral α que será equivalente a κ de Kaniadakis e

igual a q− 1 quando se tratar da q-estatística de Tsallis. Desse modo, temos para Kaniada-

kis

s(p) =pα − p−α

2α, u(p) = 1 , P = 1 (4.21)

e para Tsallis,

s(p) =pα − 1

α, u(p) = pα , P =

∑λ

p1+αλ . (4.22)

Para a formulação de Kaniadakis, temos que o limite de validade do parâmetro

α obedece a relação −1 < α < 1. Para o caso de Tsallis, α é real. Por conveniência

utilizamos o mesmo α como parâmetro para ambos os formalismos (α→ 0 corresponde a

BG). Assim, em nossos cálculos não precisamos matematicamente nos concentrar no caso

α = 0. Por fim, dependendo do valor de α, as propriedades prévias (ii), (iii) e (v) podem

não ser verdadeiras para Tsallis em p = 0 .

Por conveniência, denotamos L0 e L∞ como sendo os limites p → 1 e pn → 0,

respectivamente, e pλ → 1/(N + 1) ∀λ. Lembrando que no ensemble canônico de BG,

L0(L∞) corresponde a T → 0(T → ∞). Finalmente, em todos os cálculos subsequentes a

ordem dos procedimentos adotados é a seguinte:

(a) os pλ’s são completamente arbitrários;

(b) α assume valores específicos e, finalmente,


(c) são tomados as propriedades dos limites, por exemplo, paraL0: p0 → 1 e pn → 0

(com as taxas na qual os pn’s específicos desaparecem sempre que necessário).

4.2.1 A formulação de Kaniadakis

Para o caso de Kaniadakis, temos que

UL0−→ E0, U

L0−→ (N + 1)−1∑λ

Eλ, (4.23)

SL0−→ Smin, S

L0−→ Smax (|α| ≤ 1), (4.24)

SL0−→ Smax, S

L0−→ Smin (|α| > 1), (4.25)

Smin = 0, Smax = SN+1 (|α| < 1), (4.26)

Smin =N

2, Smax = SN+1 (|α| = 1), (4.27)

Smin = SN+1, Smax = +∞ (|α| > 1), (4.28)

SN+1 =[(N + 1)|α| − (N + 1)−|α|]

2|α| . (4.29)

Calculando agora as derivadas da entropia e da energia por meio da substituição das

relações (4.21) em (4.15) e (4.16), obtém-se

∂S

∂pn= −pn

∂

∂pn

(pαn − p−αn

2α

)−(pαn − p−αn

2α

)+ p0

∂

∂p0

(pα0 − p−α0

2α

)−(pα0 − p−α0

2α

). (4.30)


Após algumas manipulações algébricas, a equação (4.30) resulta em

∂S

∂pn= −α + 1

2α(pαn − pα0 )− (α− 1)

2α(p−αn − p−α0 ) . (4.31)

Para a energia, a equação (4.16) leva diretamente a

∂U

∂pn= En − E0. (4.32)

Note que o limite L0 sempre lida com um mínimo para U sem levar em consideração o

valor de α, mas obedecendo Smin se |α| ≤ 1 e Smax se |α| > 1 (neste último caso com

S → Smin para L∞). Assim, temos:

limpn→0p0→1

βn = limpn→0

(α + 1)(1− pαn) + (α + 1)(1− p−αn )

2α(En − E0)(4.33)

=

+∞ se |α| < 1,(En−E0)−1 se |α| = 1.

. (4.34)

Verificamos então que no contexto da κ-estatística a terceira lei (no caso comum,

Smin → 0) é verdadeira para |α| < 1, limite usualmente assumido para α [12]. Se |α| = 1

(note que Smax = SN+1 > Smin = N/2), a extensão da terceira lei é violada ao exigirmos

que ela seja independente das características do sistema (ver discussão a seguir quanto ao

caráter β =∑

n βn =∑

n(En − E0)1).

Finalmente, observa-se que se o mesmo limite específico L produzindo Smin tam-

bém não resultar em um mínimo (local) para U , automaticamente a equação (4.11) não é

satisfeita. A estatística de Kaniadakis claramente ilustra esse fato para |α| > 1, quando

L∞ vai para um mínimo de S, mas não para um mínimo local de U . Assim, calculando

o limite L∞ para βn, usando a equação (4.33) com |α| > 1, nós obtemos βn → 0, contra-


dizendo a terceira lei. Por completeza, nós também observamos que o limite L0 para βnquando |α| > 1 é −∞.

Em seu trabalho, G. Kaniadakis, apresenta o intervalo −1 < α < 1 através de

considerações sutis e um tanto confusas como concavidade, aditividade e extensividade

impostas à sua formulação estatística [12]. Entretanto, apesar dessas sutilidades, os resul-

tados encontrados até aqui confirmam esse intervalo de validade para o parâmetro |α| no

contexto da terceira lei da Termodinâmica.

4.2.2 A formulação de Tsallis

Para a entropia de Tsallis, temos:

UL0−→ E0, U

L∞−−→ UN+1 (α + 1 > 0), (4.35)

UL0−→ UN+1, U

L∞−−→ UN+1 (α + 1 = 0), (4.36)

UL0−→ (N∗)

−1∑n∗

En∗ , UL∞−−→ U(N+1) (α + 1 > 0), (4.37)

UN+1 = (N + 1)−1∑λ

Eλ. (4.38)

Nos limites acima, n∗ denota o rótulo de todos as N∗ probabilidades pn∗’s que vão para

zero na mesma taxa 1 e desaparecem mais rápido que qualquer outro pn /∈ pn∗ (por com-

paração, no ensemble canônico de Boltzmann-Gibbs com estados degenerados, N∗ = 1

T → 0, pN = exp[−βEN ]/∑

λ exp[−βEλ] é o decaimento mais rápido de p),

1A energia correspondente é dada por (N∗)−1∑

n∗γn∗En∗ para pn∗ = Γn∗p∗ e Γn∗ → γn∗ (γ∗ uma

constante finita) quando p∗ → 0. Por simplicidade, em nossa análise assumimos γn∗ = 1.


SL0−→ Smin, S

L0−→ Smax (α + 1 ≤ 0), (4.39)

SL0−→ Smax, S

L0−→ Smin (α + 1 < 0), (4.40)

Smin = 0, Smax = SN+1 (α + 1 > 0), (4.41)

Smin = SN+1, Smax = SN+1 (α + 1 = 0), (4.42)

Smin = SN+1, Smax = +∞ (α + 1 < 0), (4.43)

SN+1 =[1− (N + 1)−α]

α. (4.44)

Utilizaremos agora as relações dadas pela equação (4.22) para calcular as deriva-

das da entropia e da energia no formalismo de Tsallis,

∂S

∂pn= −pn

∂

∂pn

(pαn − 1

α

)−(pαn − 1

α

)− p0

∂

∂p0

(pα0 − 1

α

)+

(pα0 − 1

α

), (4.45)

o que resulta em,

∂S

∂pn= −α + 1

α(pαn − pα0 ) . (4.46)

Para a energia, temos


∂U

∂pn=

1

P

[En

(pn∂(pαn)

∂pn+ pαn

)− E0

(p0∂pα0∂p0

+ pα0

)]−UP

∂

∂pn

(p1+α

0 + p1+αn

), (4.47)

∂U

∂pn=

1

P[En(αpαn + pαn)− E0(αpα0 + pα0 ) + U(1 + α)pα0 − U(1 + α)pαn] , (4.48)

que após uma reorganização dos termos, podemos reescrever como

∂U

∂pn=

(1 + α)

P[(En − U)pαn − (E0 − U)pα0 ] . (4.49)

Assim, para α + 1 > 0 temos a tendência normal, com L0 resultando em um mínimo para

U e S (além disso, com Smin = 0). O valor α + 1 = 0 conduz U e S a uma constante

independentemente dos p′λs (em acordo com a equação (4.49), desde que identicamente

∂S/∂pn = 0 devido ao termo multiplicativo α+1 que é nulo nesse caso). Assim, dS/dU = 0

e β = 0 para α = −1. Finalmente, se α + 1 < 0, Smin é obtido do limite L∞. Por outro

lado, o que reproduz exatamente um mínimo local para U dependerá do comportamento

dos p′ns e das propriedades do espectro de energia do sistema. Observe que na estatística

de Tsallis não existe expressões analíticas gerais fechadas para os p′λs, mas apenas relações

implícitas [73]. Mas como será esclarecido a seguir, essa última informação não é essencial

para checar a condição dada pela equação (4.11).

Seguindo com o nosso método, para cada βn calculamos os seguintes limites:

• L0: ajustando p0 = 1 e tomando pn → 0, quando α + 1 > 0;

• L∞: fixando pλ = (N + 1)−1 ∀λ, quando α + 1 < 0.

No caso α = −1, verificamos que a equação (4.11) não é satisfeita. Temos portanto, se

α > −1,


limpn→0p0→1

βn =1

αlimpn→0

(p−αn − 1)

(En − E0),

=

+∞ se α ≥ 0,

−α−1

En−E0se −1 < α < 0,

(4.50)

De outro modo, se α < −1,

limpλ→ 1

N+1

βn =−1

α(N + 1)αlimpn→p0

(pn/p0)α − 1

(En − E0)= 0. (4.51)

Em linhas gerais observamos que quando α ≥ 0 (ou q ≥ 1 ), a temperatura T

desaparece assim como a entropia S, em acordo com a terceira lei. Para α ≤ −1 (q ≤ 0),

a condição (4.11) não é observada. Além disso, nesse intervalo, a entropia de Tsallis não é

uma função convexa como pôde ser verificado na figura (3.2) do Capítulo 2.

Finalmente, tanto para Kaniadakis com |α| = 1, quanto para Tsallis, com −1 <

α < 0, encontramos

β = |α|−1∑n

(En − E0)−1 . (4.52)

Obviamente, para N finito a terceira lei não é obedecida (o que será visto logo

mais com o exemplo do modelo de Ising). Mesmo com N infinito, a condição dada pela

equação (4.11) não permanece. Por conseguinte, para ter uma lei física geral, isto é, um

espectro independente (que é caso das entropias BG e Kaniadakis para −1 < α < +1),

esse intervalo de validade (−1 < α < 0) para o parâmetro estatístico de Tsallis deve ser

excluído. Até onde sabemos, nenhuma restrição para a faixa 0 < q < 1 na formulação

não-extensiva havia sido relatada na literatura.

CAPÍTULO 5

O MODELO DE ISING: UM IMPORTANTE EXEMPLO

"If you want to know if it’s the truth

Then, my friend, you are going to need proof

Come up with a test

Yeah, you need a test...”

(They Might Be Giants - Put it to test)

Como havíamos mencionado anteriormente, submeter as entropias generalizadas

a testes fundamentais torna-se importante pois podem trazer resultados relevantes no

que se refere à consistência teórica dessas propostas. Na literatura podemos encontrar,

por exemplo, o teste da estabilidade de Lesche para ambos os formalismos generalizados

de Tsallis e Kaniadakis [74, 32]. De modo geral, a condição de estabilidade afirma que

uma forma entrópica S só faz sentido se ela mantém-se estável sob a ação de pequenas

perturbações. Isto significa que uma pequena perturbação do conjunto de probabilidade

p := pi para um conjunto p′ = p′i deve ter apenas um pequeno efeito no valor Smax de

S[p] no estado termodinâmico que maximiza a entropia (em particular no limite W →∞,

onde W denota o número de microestados) [9]. A condição de estabilidade é expressa por

47

Capítulo 5. O modelo de Ising: Um importante exemplo 48

||p− p′||1 ≤ δ =⇒ S[p]− S[p′]

Smax< ε , (5.1)

onde para todo ε > 0 existe um δ > 0 ( δ representa uma discrepância relativa). Esta

questão foi considerada pela primeira vez por Lesche em 1982 utilizando as entropias

de Boltzmann-Shannon-Gibbs e Rényi , mostrando que a primeira é estável enquanto a

segunda é instável [75]. Posteriormente os trabalhos de Abe e Kaniadakis & Scarfone

respectivamente mostram que a q-entropia e a κ-entropia também são consistentes com

essa condição [74, 32] .

O exemplo apresentado acima serve para ilustrar a proposta do presente capítulo

e por conseguinte desta tese. Para ilustrar o método proposto no capítulo anterior, uti-

lizaremos o modelo de Ising que é um dos modelos mais importantes de toda a Física.

Ele é uma espécie de "oscilador harmônico simples"da Mecânica Estatística. Escolhemos

o modelo de Ising 1D pelo fato de sabermos, a priori, que ele satisfaz a terceira lei da

Termodinâmica além de nos possibilitar o cálculo de soluções exatas em qualquer forma-

lismo estatístico. Alguns séculos atrás Ising resolveu o problema por meio do ensemble

canônico, equivalente a entropia BG [76]. No entanto, o modelo de Ising pode ser resol-

vido (com soluções exatas) através de ensembles não convencionais utilizando entropias

generalizadas.

5.1 Modelo de Ising Unidimensional

De modo geral, o modelo de Ising é definido pelo Hamiltoniano de spin

H = −JN∑i,j

σiσj −HN∑i=1

σi , (5.2)

onde σi é uma variável aleatória que pode assumir valores ±1 nos sítios i = 1, 2, ...N

de uma rede cristalina com d dimensões. O primeiro termo, onde a soma é realizada

sobre os pares de sítios mais próximos, representa as energias de interação que devem

ser capazes de produzir um estado ferromagneticamente ordenado (quando J > 0). O

segundo, envolve as interações de um campo externo H e o sistema de spins de caráter


puramente paramagnético [77].

As variáveis de spin podem ser pensadas de diversas maneiras:

• como componentes do spin dos átomos (na direção do campo externo), que podem

“apontar para cima ou para baixo”;

• como uma indicação de que o sítio i pode estar ocupado por um átomo do tipo A,

ou por um átomo do tipo B, como numa liga binária do tipo AB (vizinhos iguais

contribuiriam com uma energia −J e vizinhos distintos, com uma energia +J);

• como um número de ocupação, que assinala a presença ou a ausência de uma molé-

cula numa determinada célula de um “gás de rede”.

Essa multiplicidade de interpretações já indica o caráter universal do modelo, ca-

paz de captar os aspectos essenciais do comportamento crítico. Várias técnicas aproxi-

madas foram desenvolvidas para resolver o modelo de Ising em duas ou três dimensões.

Muitas vezes são técnicas úteis, que fornecem bons resultados para os aspectos qualita-

tivos dos diagramas de fases e que constituem as poucas ferramentas disponíveis para o

estudo analítico de sistemas mais complexos. Aqui não faremos a resolução do modelo,

uma vez que esta pode ser encontrada em vários livros de Mecânica Estatística (ver por

exemplo a referência [77]).

Consideraremos o modelo de Ising com campo externo nulo e condições de con-

torno periódicas, definido pelo Hamiltoniano (σN+1 = σ)

H = −JN∑i=1

σiσi+1 . (5.3)

O limite termodinâmico segue de N → ∞. Denotamos por p− e p+ as probabi-

lidades em que um par de spins vizinhos escolhidos aleatoriamente tem o vínculo nos

estados de baixo consumo de energia −J (isto é, spins paralelos) e alta energia +J (spins

anti-paralelos) respectivamente. No ensemble microcanônico a energia interna por spin é

simplesmente

U = J(p+ − p−) , (5.4)

onde p+ + p− = 1.


A propriedade essencial e muito útil para o modelo de Ising 1D (não comparti-

lhado para sua versão 2D e 3D) é que apesar de um lado existir correlações spin-spin a

temperaturas finitas, por outro lado os vínculos são descorrelacionados a temperaturas

diferentes de zero. De fato, os vínculos de energia são variáveis aleatórias independentes

e identicamente distribuídas, e o sistema reduz para uma coleção de sistemas de dois ní-

veis desacoplados. Este fato leva-nos a calcular a entropia por spin do modelos de Ising

1D para qualquer escolha de fórmula entrópica.

Assim a entropia de BG por vínculo (ou spins) é dada por nossa expressão geral

inicial com N = 1, λ = 0 (λ = 1) correspondendo ao estado −(+)E0 = E− = −J , E1 =

E+ = +J , e β = β1. Revisitando as relações apresentadas na equação (4.17), temos

p− + p+ = 1 . (5.5)

Note que

p± =1

Zexp[±βJ ] , (5.6)

onde Z = 2 cos[βJ ] é a função de partição. Então

U = −J tan[βJ ] , (5.7)

retomando a expressão de Ising para a energia interna a campo zero. Além disso,

S =1

β(βU + ln[Z]) . (5.8)

A equação (5.8) também pode ser escolhida a partir da relação

TS = U − F , (5.9)


desde que a energia livre seja dada por

F = − 1

βln[Z] . (5.10)

Os resultados mostram que β = β1 = +∞ apenas quando S é zero (o que também

é verdade para o caso de temperaturas negativas quando p− → 0). É claro que isto não

é surpresa; de fato este resultado está implícito pela solução exata do modelo de Ising

original baseado no método da matriz transferência. Outro fato relevante aqui é o com-

portamento de U e S a pequenas temperaturas (β grande). Isto é um simples exercício

para verificar que U vai para um mínimo de −J muito mais rápido que S vai para zero.

Agora, consideramos nossos cálculos prévios para as entropias de Kaniadakis e

Tsallis, novamente no caso N = 1. Aqui, partimos do ensemble canônico, mas ainda

podemos obter soluções exatas para o modelo de Ising usando as entropias generalizadas.

Então, para a entropia de Kaniadakis (na faixa comumente assumida −1 < α < 1), a

terceira lei é sempre observada (e assim como a entropia BG, este também é o caso para

temperaturas negativas: p− → 0). Por outro lado, para a entropia de Tsallis com α ≤ −1, a

equação (4.11) não é satisfeita (talvez não seja surpresa dado o comportamento de S neste

intervalo). No entanto, inesperadamente encontramos que a terceira lei é também violada

pela formulação de Tsallis quando −1 < α < 0 desde que S = 0 em T0 = 2J/|α|.

A figura (5.1) mostra para o modelo de Ising na formulação de Kaniadakis alguns

comportamentos de S e β versus p+ para o caso convencional |α| < 1, assim como para

|α| ≥ 1 (com 2J=1). Em acordo com a terceira lei, quando |α| < 1, β (como o inverso da

temperatura termodinâmica) vai para +∞, assim o sistema estabelece-se completamente

no estado fundamental, ou seja, assim como p− → 1 e p+ → 0.


0.2 0.4 0.6 0.8p+

0.8

0.84

S

|α|=1.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1p

+

-4

-2

0

2

4

β

|α|=0.2|α|=0.5|α|=0.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

S

|α|=1

88

88

88

+

-

+ +

+

-

(a)

(b)

Figura 5.1: Modelo de Ising 1D no formalismo de Kaniadakis. A entropia de Kaniadakispara o modelo de Ising 1D é bem comportada. Aqui, α = κ e 2J = 1. Em (a) temos aentropia S e em (b) β = 1/T como funções da probabilidade p+ ligado ao estado excitado.Para o intervalo de validade do parâmetro |α| < 1, β diverge corretamente no limite p+ →0 em que a entropia desaparece, em acordo com a terceira lei da Termodinâmica.


0

0.25

0.5

0.75

S

α=+0.5α=0α=-0.5

-0.26

0

0.26

U

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1p+

-23

0

23

β

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1530

α=-1.5

0 0.3 0.6 0.9-0.4

0

0.4

0 0.3 0.6 0.9-202

0 0.3 0.6 0.9-18

018

8++ 8

8

8

8

8

+

+

-

-

(a)

(c)

(b)

Figura 5.2: Modelo de Ising 1D no formalismo de Tsallis. A entropia de Tsallis para omodelo de Ising apresenta um comportamento anômalo no limite da entropia zero. Elaviola a terceira lei diretamente para q < 0 e para q < 1. Mostramos em (a) a entropia S, (b)a energia U e (c)β = 1/T como funções da probabilidade p+ de uma escolha aleatória deestar no estado excitado para valores distintos de α. Aqui, E+ − E− = 2J = 1. Para α ≥ 0(q ≥ 1) temos o comportamento normal da entropia desaparecendo com β divergindo nolimite p+ → 0, satisfazendo assim a terceira lei. Por outro lado, a entropia não desaparece[quadro inserido em (a)] e nem a energia vai para seu mínimo [quadro inserido em (b)]para α < −1 (ou q < 0), violando a terceira lei [quadro inserido no topo de (c)]. Alémdisso, para −1 < α < 0 (0 < q < 1), surpreendentemente a terceira lei também é violada,pois a entropia pode desaparecer com β finito, isto é, com a temperatura T = 1/β diferentede zero como é mostrado no quadro inferior em (c).


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05p

+

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1/β

α=-0.1α=-0.3α=-0.6α=-0.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

S

T0=0.9

T0=0.6

T0=0.3

T0=0.1

(a)

(b)

Figura 5.3: Entropia de Tsallis x Temperatura. A entropia de Tsallis pode desaparecer atemperatura diferente de zero, violando a terceira lei em −1 < α < 0, onde q = α + 1.Considerando o modelo de Ising, apresentamos em (a) a entropia S e (b) a temperatura1/β como funções de p+ (em torno zero) para alguns valores de α. Para p+ → 0, 1/βtende para T0, a temperatura na qual a entropia desaparece. Essa temperatura positivaobservada viola a terceira lei da Termodinâmica.

As figuras (5.2) e (5.3) ilustram o modelo de Ising na formulação de Tsallis (em

ambos os gráficos nós temos novamente usado 2J = 1 por conveniência). A figura (5.2)

mostra como S, U e β se comportam para valores selecionados de α = q − 1 assim como

a probabilidade p+ de estar no estado de mais alta energia é variado. Enquanto que para

α ≥ 0 (q ≥ 1), β diverge (T cai para zero) assim como p+ → 0, em contraste para α < 0

(q < 1) a temperatura não desaparece como deveria. A figura (5.3) mostra que S e a

temperatura absoluta (1/β) no intrigante intervalo −1 < α < 0 (0 < q < 1), onde a

entropia desaparece para p+ → 0 e p− → 1, porém a terceira lei é violada.

CAPÍTULO 6

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

"Yeah! Uh! I am a scientist!

Yeah! Uh! I am a scientist!

Yeah! Uh! I am a scientist!

We’ve gotta live on science alone"

(The Dandy Warhols - I am a scientist)

Na presente tese procuramos fazer uma análise mais fundamental acerca da apli-

cabilidade das entropias generalizadas de Tsallis e Kaniadakis em Física. Visto que em

muitos casos essas entropias são tidas como alternativas a serem adotas na descrição de

sistemas em que a estatística de Boltzmann-Gibbs se mostra a priori insuficiente, nos ques-

tionamos sobre até que ponto elas são realmente eficazes. Embora apresentem excelentes

resultados em diversas áreas do conhecimento, trabalhos encontrados na literatura mos-

tram que essas entropias podem apresentar problemas se considerarmos aspectos físicos

mais fundamentais, como foi comentado no Capítulo 1.

Motivados pelas diversas controvérsias envolvendo a utilização das entropias ge-

neralizadas no contexto termodinâmico, nos propomos a testar a consistência das entro-

pias de Tsallis e Kaniadakis em relação a terceira lei. Para isso, traçamos uma estratégia

de investigação através dos seguintes passos:

55

Capítulo 6. Conclusões e Perspectivas 56

1. Definimos as entropias generalizadas de Tsallis e Kaniadakis bem como as funções

fundamentais de ambos os formalismos. De forma resumida, apresentamos a álge-

bra especial associada juntamente com as propriedades específicas de cada teoria;

2. Fizemos uma revisão das leis da Termodinâmica, com uma discussão especial sobre

o teorema de Nerst ou terceira lei;

3. Propomos um método para testar as entropias de Tsallis e Kaniadakis no contexto

termodinâmico, afim de verificar se os intervalos de validade associados para os

parâmetros q e κ (nesta tese redefinidos em termos de α) são compatíveis com a

condição imposta pela terceira lei e utilizamos como exemplo concreto o modelo de

Ising unidimensional.

Como resultado dessa investigação, é importante lembrar que na mecânica esta-

tística a entropia S = 0 representa o total conhecimento das informações do sistema em

qualquer nível, ou seja, não há nenhuma incerteza sobre a descrição do microestado. Em

ambas as mecânicas clássica e quântica, a temperatura absoluta T > 0 garante flutuações

térmicas de energia, de modo que é impossível saber com toda a certeza se o sistema

está no estado fundamental ou não. Portanto, para sistemas em equilíbrio térmico, deve

ser impossível a entropia desaparecer se T = 0. No entanto, o que observamos no pre-

sente estudo foi que a entropia de Tsallis faz precisamente isso (pelo menos para < 0 ou

equivalente q < 1). Em contrapartida, a entropia de Kaniadakis (no intervalo próprio de

validade do parâmetro −1 < α < 1 ou equivalente, −1 < κ < 1) se comporta de uma

maneira consistente com a terceira lei.

Em um primeiro instante conjecturamos equivocadamente que a propriedade de

aditividade da κ-entropia poderia ser a razão da sua compatibilidade com a terceira lei.

No entanto, analisando os fundamentos da κ-estatística, verificamos que a aditividade da

κ-entropia somente é válida dentro da álgebra do formalismo (detalhe esse que o autor

apresenta de forma muito sutil na referência [12]). Fora do contexto da κ-álgebra, a entro-

pia de Kaniadakis é não-aditiva. Este fato, no entanto não alteram os nossos resultados,

pois não baseamos a investigação na aditividade ou não-aditividade das entropias.

Em relação às leis da Termodinâmica sabemos que para alguns valores de q, a

entropia de Tsallis é incompatível com a segunda lei. Ao investigar a segunda lei da Ter-

modinâmica do ponto de vista da teoria cinética, a estatística de Tsallis tem sido estudada

nos regimes clássico, relativístico e quântico [78, 79, 80]. Outro estudo considerando a pro-


priedade de convexidade da entropia relativa generalizada no regime quântico conduz à

restrição q ∈ (0, 2] para a entropia de Tsallis [81]. Comparando esses resultados prévios

com aqueles reportados aqui, concluímos que a q-entropia é compatível com todas as leis

da Termodinâmica apenas para valores de 1 ≤ q ≤ 2, o que em nossa análise corresponde

a 0 ≤ α ≤ 1.

No que diz respeito ao nosso exemplo em particular, pode-se argumentar (embora

não muito convincente em nossa opinião) que, devido o modelo de Ising unidimensional

com interações de vizinhos mais próximos, o mesmo não representa um sistema cujas

interações são de longo alcance. Por esta razão, as nossas conclusões anteriores não são

justificadas. Num futuro próximo, esperamos estudar explicitamente Hamiltonianos com

interações de longo alcance, mas por agora podemos prever uma refutação direta a essa

objeção.

A terceira lei da Termodinâmica não faz distinção entre interações de curto ou de

longo alcance, mas é sensível às características dos níveis mais baixos de energia. Assim,

embora dois sistemas Hamiltonianos de dois níveis não possam ser considerados como

tendo qualquer interação (mesmo de curto ou de longo alcance), eles devem ainda obe-

decer a terceira lei da Termodinâmica. De modo mais geral, a nossa análise para sistemas

de N -níveis provou conclusivamente que, de fato, as entropias de Boltzmann-Gibbs e Ka-

niadakis satisfazem a terceira lei da Termodinâmica, enquanto a entropia de Tsallis não

satisfaz para valores de q < 1. Nossos resultados nada têm a ver com a gama de intera-

ções (quaisquer que sejam elas). Em vez disso, referem-se a forma com que S vai para seu

mínimo em relação ao comportamento de U a baixas temperaturas.

Finalmente, resultados experimentais recentes na formulação de Tsallis confir-

mam desvios de vizinhos Gaussianos para distribuições de velocidade (q = 1.396± 0.005)

[82]; a velocidade de partículas em um plasma empoeirado quasi-bidimensional (q =

1.08 ± 0.01) [83]; íons individuais em armadilhas de radiofrequência que interagem com

um gás-tampão clássico (q = 1.03 − 1.87) [84]; distribuição de momento transverso em

experimentos do LHC [85] etc. Notavelmente, todos esses valores experimentais para q

estão dentro do nosso intervalo de validade termodinâmico previsto 1 ≤ q ≤ 2.

Concluímos lembrando uma declaração bem conhecida atribuída a Albert Eins-

tein:

"[...] Daí veio a profunda impressão que tive da Termodinâmica. É a única teoria física de

conteúdo universal que, dentro do domínio dos seus conteúdos básicos, nunca será superada."


Portanto, ao propor entropias generalizadas, é necessário determinar se elas estão

de fato definidas adequadamente em termos de fundamentos mais básicos da Termodinâ-

mica. Cabe aí uma questão: mas que princípios devem ser usados para construí-las? Para

nós, em concordância com Einstein, nenhuma tentativa de estender a Termodinâmica ou

a entropia de Boltzmann-Gibbs pode levar a uma teoria física geral, sem passar pelo teste

essencial da compatibilidade com as leis da Termodinâmica. A terceira lei é válida in-

dependentemente dos detalhes microscópicos e lida com um aspecto muito objetivo: o

comportamento da matéria em temperaturas muito baixas.

No presente trabalho mostramos explicitamente como realizar um teste de com-

patibilidade com a terceira lei. Enfatizamos que qualquer entropia generalizada pode ser

submetida ao teste proposto nesta tese.

Partindo do ponto de vista que ambas as estatísticas podem ser tratadas no mesmo

pé de igualdade, os resultados obtidos neste trabalho nos dá uma maior confiança em uti-

lizar o método proposto no contexto quântico, utilizando as entropias bósons e férmions

em suas formas generalizadas [61, 86].

Cabem ainda outros testes como, o teorema de Shore & Johnson para a entropia

de Kaniadakis, bem como a derivação de uma termoestatística nesse mesmo contexto,

uma vez que, até o momento, não encontramos qualquer referência a essa temática na

literatura.

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APÊNDICE A

κ-DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES PARA O SISTEMA

POLITRÓPICO

O modelo estelar politrópico conecta o comportamento estelar com a termodinâ-

mica por meio de uma equação de estado que relaciona massa, pressão e densidade das

estrelas com o seu raio. Estudos realizados evidenciaram que quando um gás ideal sofre

uma transformação adiabática, o comportamento desse gás pode ser descrito por meio da

equação de estado politrópica correspondendo a uma esfera estelar isotérmica. No en-

tanto ao utilizarmos a mecânica estatística de Boltzmann-Gibbs num sistema politrópico,

obtemos um resultado que fere a lei de conservação da massa e energia. Esse resultado

fez com que se buscasse entropias alternativas que corrigissem o problema. Como alter-

nativa Plastino & Plastino [34] fizeram a aplicação da entropia de Tsallis e obtiveram uma

relação entre o índice politrópico n e o parâmetro q. Nosso trabalho consistiu em realizar

a maximização da κ-entropia e observar se o comportamento da entropia de Kaniadakis

era similar ou não ao da q-entropia.

A.1 Sistema politrópico generalizado pela q-estatística

A função de distribuição padrão associada a um sistema de estrelas politrópicas com ín-

dice n é dada da seguinte forma [34, 87]

66

Apêndice A. κ-distribuição de velocidades para o sistema politrópico 67

f(ε) = Aεn−3/2, ε > 0

= 0, ε ≤ 0 (A.1)

onde, ε é igual a uma constante menos a energia total por unidade de massa de uma estrela

individual movendo-se sob influência de um potencial gravitacional [64]. De fato, ε é a

energia relativa de uma estrela definida por (ε = Ψ− 12v2) , onde, Ψ é o potencial relativo

dado por Ψ = φ0 − φ, φ é a energia potencial da estrela e φ0 uma constante arbitrária [87].

Consideremos a seguinte forma de entropia

S = −∫C(f)d6τ, (A.2)

onde C é uma função convexa com C(0) = 0 e pela imposição das restrições em relação à

massa total e a energia total [34] na situação estacionária é mostrado que

dC(f)

df= α + βε, (A.3)

com, ε = 12v2 +Φ(r), α e β como os multiplicadores de Lagrange. Considerando a entropia

generalizada de Tsallis na forma

Cq(f) = (q − 1)−1f(1− f q−1) (A.4)

dentro da equação (A.3), os autores encontraram o índice politrópico correspondente a

distribuição de esferas estelares

n =3

2+

1

q − 1, (A.5)

em especial, temos a situação isotérmica quando q → ∞. Impondo a restrição para o

parâmetro de Tsallis, temos que q deve ser maior que 9/7, e assim a adaptação para a


conservação de massa e energia total está garantida.

A.2 Aplicação da κ-distribuição no sistema politrópico

Partindo da equação (A.3), propomos a κ-entropia generalizada a seguir

Cκ(f) = f

(f 2κ − 1

2κ

). (A.6)

Derivando em f temos

dCκ(f)

df=

(2κ+ 1)f 2κ − 1

2κ(A.7)

Comparando este resuldado com a equação (A.3), podemos escrever

f = A

[α

β+

1

2κβ+ ε

] 12κ

, κ > 0. (A.8)

Fazendo a associação Φ = αβ

+ 12κβ

e comparando com a equação (A.1), nós encontramos o

índice politrópico estelar

n =3

2+

1

2κ. (A.9)

O limite isotérmico (κ = 0 e q = 1) separa as politrópicas em duas famílias e

resulta no modelo das esferas isotérmicas de Lane-Emden (massa infinita). O caso em

que n = 3/2 nos fornece uma função de distribuição independente da energia, o que

representa uma situação não física com κ = ∞ e q = ∞. Para obtermos massa finita, o

índice politrópico tem que ser n ≤ 5, o que nos obriga a considerar os seguintes intervalos

−1 < κ < 0 e 1/7 < κ < 1 para as curvas de Kaniadakis enquanto que para as curvas

de Tsallis , temos, 0 < q < 1 e 9/7 < q < ∞ [34]. Podemos observar que a equação

(A.1) é uma função decrescente da energia, assim como a função de distribuição, isso faz


Figura A.1: Índice politrópico n como função dos parâmetros q de Tsallis e κ de Kaniada-kis.

com que as curvas à esquerda do plano não tenham sentido físico. Dessa forma, para

a descrição do modelo politrópico estelar na perspectiva de Kaniadakis, os valores do

parâmetro entrópico estão compreendidos no intervalo 1/7 < κ < 1, enquanto que na

perspectiva da estatística de Tsallis o parâmetro não-extensivo q deve ser maior que 9/7.

A figura (A.1) a seguir mostra a relação entre o índice politrópico n com os parâmetros q

e κ.

APÊNDICE B

NOTAÇÕES E CONVENÇÕES

Notação Descrição

α Parâmetro que universal para os formalismos de Tsallis e Kaniadakis

β Peso de Boltzmann padrão

βα Peso de Boltzmann generalizado

CV Calor específico a volume constante padrão

Cq Calor específico generalizado no formalismo de Tsallis

Cq(f),Cκ(f) Funções convexas que denotam a entropia para sistemas politrópicos

dU Variação da energia interna

dQ Variação de calor

dW Variação de trabalho

dS Variação de entropia

E Energia

expq q-Exponencial

expκ κ-Exponencial

f(x,p, t) Função de distribuição de partículas

Fq Energia livre de Helmholtz generalizada

H Hamiltoniano de spin

H Campo externo

J Energia de spin

70

Apêndice B. Notações e Convenções 71

Notação Descrição

κ Parâmetro generalizado de Kaniadakis

kT , kS Compressibilidades térmicas

L0 ; L∞ Limites

lnq q-logarítmo

lnκ κ-logarítmo

n Índice pilitrópico

〈O〉 Média no ensemble de uma grandeza física

p Pressão

pi, pλ, pn Probabilidades

q Parâmetro generalizado de Tsallis

Q Calor

S Entropia BG

Sq q-Entropia

Sκ κ-Entropia

σiσj Interações entre sítios vizinhos no modelo de Ising

T Temperatura

Uq Energia scort

V Volume

Zq Função de partição generalizada

PUBLICAÇÕES

72

PHYSICAL REVIEW E 91, 022105 (2015)

Third law of thermodynamics as a key test of generalized entropies

E. P. Bento,1,* G. M. Viswanathan,1,2,† M. G. E. da Luz,3,‡ and R. Silva1,4,§

1Departamento de Fısica Teorica e Experimental, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 59078-970 Natal RN, Brazil2National Institute of Science and Technology of Complex Systems, Universidade Federal do Rio Grande do Norte,

59078-970 Natal RN, Brazil3Departamento de Fısica, Universidade Federal do Parana, 81531-980 Curitiba PR, Brazil

4Departamento de Fısica, Universidade do Estado do Rio Grande do Norte, 59610-210 Mossoro RN, Brazil(Received 31 October 2014; published 6 February 2015)

The laws of thermodynamics constrain the formulation of statistical mechanics at the microscopic level. Thethird law of thermodynamics states that the entropy must vanish at absolute zero temperature for systems withnondegenerate ground states in equilibrium. Conversely, the entropy can vanish only at absolute zero temperature.Here we ask whether or not generalized entropies satisfy this fundamental property. We propose a direct analyticalprocedure to test if a generalized entropy satisfies the third law, assuming only very general assumptions for theentropy S and energy U of an arbitrary N -level classical system. Mathematically, the method relies on exactcalculation of β = dS/dU in terms of the microstate probabilities pi . To illustrate this approach, we present exactresults for the two best known generalizations of statistical mechanics. Specifically, we study the Kaniadakisentropy Sκ , which is additive, and the Tsallis entropy Sq , which is nonadditive. We show that the Kaniadakisentropy correctly satisfies the third law only for −1 < κ < +1, thereby shedding light on why κ is conventionallyrestricted to this interval. Surprisingly, however, the Tsallis entropy violates the third law for q < 1. Finally, wegive a concrete example of the power of our proposed method by applying it to a paradigmatic system: theone-dimensional ferromagnetic Ising model with nearest-neighbor interactions.

DOI: 10.1103/PhysRevE.91.022105 PACS number(s): 05.70.−a

I. INTRODUCTION

Thermodynamics is a phenomenological theory believedto hold for all physical systems that meet proper minimumgeneral necessary conditions [1]. These systems range spec-tacularly in diversity, from regions around black holes at thecenters of galaxies to biochemical reactions in living organ-isms. The backbone of thermodynamics is formed by veryfew but extremely general laws, governing a huge spectrum ofdistinct behavior in nature. Statistical mechanics aims to bridgethe fundamental microscopic description of classical andquantum mechanics with the macroscopic behavior describedby thermodynamics.

Toward that end, the Boltzmann-Gibbs entropy is a fun-damental quantity in statistical physics. Indeed, for the vastmajority of systems, it adequately captures all the importantaspects of thermodynamic entropy [2,3]. Nevertheless, severalgeneralizations of the Boltzmann-Gibbs entropy have beenproposed (e.g., see Refs. [4–12]). Some, such as the Renyientropy, are not particularly well suited to statistical mechan-ics. Others have found wide application in studies of diversephenomena [7,8]. Two of the most commonly used generalizedentropies are the Tsallis entropy [9,10], which is nonadditive,and the Kaniadakis entropy [11,12], which is additive. Togain a better understanding about the distinct formulationsfor statistical mechanical entropy, we ask whether or notgeneralized entropies satisfy one of the basic laws mentionedabove: the third law of thermodynamics. Our focus here is thedevelopment of an analytical method to answer this question.

*[email protected]†[email protected]‡[email protected]§[email protected]

As an important application, we then use this method tocheck whether or not the Kaniadakis and Tsallis entropiesare compatible with it.

One may wonder why generalized entropies should beconsidered (in fact, this is a relatively old concern [13]). First,some formal results indicate that there are classes of systemsthat might demand extensions of the concept of entropy [14].Another oft-mentioned justification is to be able to deal withHamiltonians with long-range interactions [9,10]. However,there is no known reason to believe a priori that a particularchoice will be “the” correct entropy for systems with long-range correlations. The existence of a number of competingproposals is a sign that there may be no unique solution tothis problem. Recently, it has been proved that nonadditiveentropies violate the Shore and Johnson axioms [2]. Moreover,systems with long-range interactions have been successfullystudied using conventional (Boltzmann-Gibbs) statistical me-chanics [15]. Further, it has been shown that nonexponentialdistributions can arise via maximization of the Boltzmann-Gibbs-Shannon entropy together with a nonextensive energy[3]. On the other hand, it has been claimed that nonadditiveentropies emerge from strong correlations between randomvariables of the system, and the Shore and Johnson hypothesisdo not adequately address this issue [16]. Also, generalizedentropies are compatible with the maximum entropy principlein the context of nonextensive, nonergodic, and complexstatistical systems [4]. Despite the controversy, or perhapsbecause of it, research goes on in this field. For example,the framework of generalized entropies has been successfullyused as a tool for studying complex systems and nonlineardynamics [10]. Generalized entropies furthermore inspiredother approaches, e.g., superstatistics and Kaniadakis statistics[8,11,12]. For instance, the entropy of the black hole has beendiscussed in the context of the Tsallis formulation [17,18].

1539-3755/2015/91(2)/022105(7) 022105-1 ©2015 American Physical Society

BENTO, VISWANATHAN, DA LUZ, AND SILVA PHYSICAL REVIEW E 91, 022105 (2015)

Kaniadakis statistics has been applied in astrophysics, e.g.,relativistic plasmas [19] and stellar rotational velocities [20].

Given the growing interest in generalized entropies, an un-avoidable issue is to know whether or not they are compatiblewith the laws of thermodynamics. An inconsistency with thezeroth law has been pointed out in [21], and a solution basedon nonadditive composition rules has been proposed in [22].The second law has also been studied in this context [23] (seethe discussion and references below).

Our goal is to discover precisely when generalized entropiesare compatible with the third law of thermodynamics, whichstates that the entropy of a condensed-matter system inthermodynamic equilibrium approaches zero as the absolutetemperature approaches zero [24,25] [we ignore the (trivial)case of degenerate ground states and assume, without loss ofgenerality, a nondegenerate ground state]. Since the entropyis non-negative and the negative of the entropy is a convexfunction of the internal energy, it is easy to show that theentropy cannot become zero at positive absolute temperatures.The third law and its converse thus guarantee that the entropycan vanish if and only if the absolute temperature vanishes. Weemphasize a fundamental point, often overlooked in previousworks (and one of the reasons this specific compatibility testshould be chosen). The third law must be verified by allHamiltonian systems, irrespective of whether or not long-range interactions are present. Therefore, its satisfiability isa powerful constraint and hence a crucial check. The third lawshould be satisfied by any credible and reliable microscopicdescription of matter, regardless of the type and details of theinteraction (or “forces”) between the constituents.

With this stated purpose, we start with simple but generalconsiderations about the expressions for the entropy S andenergy U of a system having an arbitrary number N ofmicrostate configurations. Then, taking β = 1/(kBT ) in thetraditional Boltzmann-Gibbs scenario (for simplicity, settingthe Boltzmann constant kB = 1), we write the thermodynamicmacroscopic relation β = dS/dU in terms of the state’s mi-croscopic probabilities p′s. Finally, we determine the relationbetween the low entropy limit S → 0 (or more generallyS → Smin; see the next section) and the low-temperaturelimit β → +∞. The main result reported here is thereforean analytical method to test whether claimed generalizationsof statistical mechanics are compatible with the third law ofthermodynamics.

We apply the procedure to the Boltzmann-Gibbs entropy(as a comparison standard) and also to the Kaniadakis andTsallis entropies (abbreviated as BG, K , and T , respectively).For the latter two, we illustrate the power of the method byunveiling the ranges of their parameters for which the third lawis satisfied. We focus on the K and T formulations because oftheir previously mentioned importance. But we emphasize thatthe present approach can in fact be used for any generalizedstatistical mechanical entropy. The K entropy obeys the thirdlaw provided its free parameter is restricted to the valuesusually assumed in the literature. But we find that the Tsallisentropy can vanish at nonzero temperatures in certain rangesof q. Our results raise questions about whether it can properlygeneralize statistical mechanics.

Finally, as a concrete example, we consider the paradig-matic one-dimensional (1D) Ising model, which is one of the

most important models in all of physics. The Ising modelplays the role of the “simple harmonic oscillator” of statisticalmechanics, and we know a priori that it must satisfy the thirdlaw. The reason we have chosen the 1D Ising model is that wecan calculate the exact solutions in any statistical mechanicalframework. Almost a century ago, Ising [26] solved theproblem in the canonical ensemble, which is equivalent tousing the Boltzmann-Gibbs entropy. But the Ising modelcan also be solved exactly in nonstandard ensembles usinggeneralized statistical mechanical entropies.

II. THE METHOD

Consider a general system, whose energies Eλ for thepossible microscopic configurations are ordered as E0 < E1 E2 · · · EN , N arbitrary. The state λ = 0 then charac-terizes the lowest-energy state, also called the ground state.Any degeneracies for the ground state can easily be treatedseparately, without changing the relevant physical discussion,so we do not consider degeneracy here. Let the probabilityfor the system to be in the microscopic state λ = 0,1, . . . ,N

be 0 pλ 1, where∑

λ pλ = 1. Let n = 1,2, . . . ,N , sothat n spans the same integers as λ except for λ = 0. Then,from a mathematical point of view, we can consider all pn

as independent variables and express p0 as a function of thepn, as follows: p0 = p0(p1,p2, . . . ,pN ) = 1 − ∑

n pn. In thisway, letting f be any function of the probabilities, we get∂f (p0)/∂pn = −∂f (p0)/∂p0.

Let us write the system entropy S and energy U as

S = −p0 s(p0) −∑

n

pn s(pn), (1)

U = 1

P

[p0 u(p0) E0 +

∑n

pn u(pn) En

]. (2)

Here, P is a normalization, usually (but not always, see below)taken as 1. Boltzmann-Gibbs statistical mechanics and manygeneralizations of it can be recast in the above form if one alsoassumes the following general properties:

(i) s(p) 0: This is to guarantee non-negative entropy.(ii) limp→0 p s(p) = s(1) = 0: Full knowledge that a state

is not (is the only one) available should decrease to zero the lossof information associated with that state (the whole system).

(iii) u(p) is well behaved for any 0 p 1: uE might beseen as an effective energy of each microscopic state (of “bare”energy E), conceivably due to the interactions with the others.So, it should not diverge or present discontinuous changes asp varies.

(iv) u(1) = 1: If just a single state is occupied, its own bareenergy should not be changed given that eventual interactionsbetween the microstates would be absent (unless in the case ofself-interaction, not assumed in this work).

(v) P is a well-behaved function of the pλ′s: P is just anormalization for the energy expression; moreover, if pλ = 1for a given λ (with all the other p′s being zero), then P = 1.

In addition to the above, the expressions for S and U mustalso bear a fundamental relation. In any proper statisticalmechanical formalism, a relevant parameter to characterizeequilibrium in a thermal process is given by β = dS/dU

022105-2

THIRD LAW OF THERMODYNAMICS AS A KEY TEST OF . . . PHYSICAL REVIEW E 91, 022105 (2015)

(see, e.g., the clear discussion in [27]). The connection withthermodynamics is thereby established through the associationβ = 1/T , with T the thermodynamic temperature. In one-parameter generalizations of the BG entropy, the thermody-namic temperature β = dS/dU no longer necessarily equalsthe generalized statistical mechanical temperature βα , whereα is the tunable generalization parameter. So β may differfrom βα in pλ = F(βα Eλ), with F depending on the specificformulation and generalizing the usual exponential function ofBG. In general, βα = ζ β [for 0 < ζ = ζ (α) = ζ (T )]. But notethat ζ = 1 does not change the fact that β should diverge withT going to zero. Obviously, for the BG entropy, we have theequality ζ = 1. For K and T entropies one finds, respectively,ζ = 1/

√1 − α2 (−1 < α < +1) [12] and ζ = 1 [28,29].

We have previously discussed that the third law guaranteesthat S = 0 if and only if T = 0 (β → +∞). However, sincewe are considering generalized statistics, we may relax theS = 0 condition, assuming instead

S → Smin if and only if β → +∞, (3)

where Smin is the lowest possible entropy in a given context(e.g., for a specific value of the formulation parameter α). Theissue is hence to determine when the “extended” third law, (3),holds true. For the sake of argument, consider a generic set ofparameters controlling the variation of both S and U , wherethe low entropy state is given by S(0) = Smin. In what fol-lows, we will focus on the “only if” direction in condition (3),since the “if” direction is easy. In the low entropy limit, we have

β = dS

dU= lim

→0

S() − Smin

U () − U (0).

Therefore, β → +∞ requires (a) U (0) to be (at least alocal) minimum, otherwise we cannot get the correct positivesignal in the limit; and (b) for → 0, |U | must decaysufficiently faster than |S|, thus yielding the proper divergentbehavior.

From the functional forms of Eqs. (1) and (2), it is natural touse the probabilities pλ to check for (3). Indeed, by writingβ = ∑

n βn = ∑n ∂S/∂pn (∂U/∂pn)−1, we get

∂S

∂pn

= −pn

∂s(pn)

∂pn

− s(pn) + p0∂s(p0)

∂p0+ s(p0),

∂U

∂pn

= 1

P

[En

(pn

∂u(pn)

∂pn

+ u(pn)

)(4)

− E0

(p0

∂u(p0)

∂p0+ u(p0)

)]− U

P

∂P

∂pn

.

Here the βn is the contribution to β from energy level n. In sum-mary, one first determines which set pλ leads to a minimumfor S, next one analyzes how U and βn behave in this limit,and finally one compares the results with the third law, (3).

A. Boltzmann-Gibbs statistics

It is instructive to apply the above framework to the standardBG statistics, for which

s(p) = ln[p], u(p) = 1, P = 1. (5)

Then ∂U/∂pn = En − E0 and ∂S/∂pn = − ln[pn/p0]. Sincein this case p0 → 1 (consequently with all the other p′

ns

vanishing) implies that S → 0 and U goes to its minimumpossible value of E0, we need to calculate limp0→1,pn→0 βn, or

limpn → 0p0 = 1

βn = − limpn→0

ln[pn]

(En − E0)= +∞ ∀ n. (6)

Thus, we verify that the third law and its converse are satisfied(furthermore with the usual Smin = 0 for a nondegenerateground state). Indeed, it could not be otherwise because BGstatistics is compatible with thermodynamics.

III. EXACT RESULTS FOR TWO GENERALIZEDSTATISTICS

We now consider the two well-studied Kaniadakis andTsallis statistics. Let α = κ for the Kaniadakis case andα = q − 1 for the Tsallis case. Then we have

s(p) = pα − p−α

2α, u(p) = 1, P = 1, for K ,

(7)

s(p) = pα − 1

α, u(p) = pα, P =

∑λ

p1+αλ for T .

For the K formulation, −1 < α < +1, whereas for the T ,α is real. For convenience we use the same label, α, as theparameter in the two statistics. In both, α → 0 correspondsto the BG. Hence, in our derivations we do not need to bemathematically concerned with the α = 0 case. Lastly forTsallis, depending on α the previous properties (ii), (iii), and(v) may not hold true for p = 0.

For convenience, let us denote by L0 and L∞, respectively,the limits p0 → 1 and pn → 0 and pλ → 1/(N + 1) ∀ λ.We recall that in the BG canonical ensemble, L0 (L∞)corresponds to T → 0 (T → +∞). Finally, in all of thesubsequent calculations, the procedural order will be thefollowing: (a) consider completely arbitrary pλ′s, (b) assumespecific values for α, and finally (c) take the proper limits, e.g.,for L0: p0 → 1 and pn → 0 (with the rates in which the p′

nsvanish specified whenever necessary).

A. The Kaniadakis formulation

In this case, we have that

UL0−→ E0, U

L∞−→ (N + 1)−1∑

λ

Eλ (any α), (8)

SL0−→ Smin, S

L∞−→ Smax (|α| 1),(9)

SL0−→ Smax, S

L∞−→ Smin (|α| > 1).

Smin = 0, Smax = SN+1 (|α| < 1),

Smin = N/2, Smax = SN+1 (|α| = 1),(10)

Smin = SN+1, Smax = +∞ (|α| > 1),

SN+1 = [(N + 1)|α| − (N + 1)−|α|]/(2|α|),∂S

∂pn

= − (α + 1)

2α

(pα

n − pα0

) − (α − 1)

2α

(p−α

n − p−α0

),

(11)∂U

∂pn

= En − E0.

022105-3


Note the limit L0 always leads to a minimum for U regardlessthe value of α, but it yields Smin if |α| 1 and Smax if |α| > 1(in this latter case with S → Smin for L∞). So, we have

limpn → 0p0 = 1

βn = limpn→0

(α + 1)(1 − pα

n

) + (α − 1)(1 − p−α

n

)2α (En − E0)

=+∞ if |α| < 1,

(En − E0)−1 if |α| = 1.(12)

For K , the third law (in the common case of Smin = 0) istrue for |α| < 1, which is the range usually assumed for α [12].If |α| = 1 (note Smax = SN+1 > Smin = N/2), the extendedthird law is violated if we demand it to be independent ofthe system’s particular features [see the following discussionregarding the character of β = ∑

n βn = ∑n(En − E0)−1].

Finally, we have already observed that if the same specificlimit L yielding Smin does not also result in a (local) minimumfor U , (3) automatically is not satisfied. The K statistics clearlyillustrates this fact for |α| > 1, when L∞ gives a minimum forS, but not a local minimum for U . Thus, calculating the limitL∞ for βn [using Eq. (11) with |α| > 1], one obtains βn → 0,contradicting the third law. For completeness, we also observethat the limit L0 for βn when |α| > 1 is −∞.

In Ref. [12], the interval −1 < α < +1 has been es-tablished through intricate and subtle considerations, e.g.,imposing concavity, additivity, and extensively to the statistics.From the above, one sees that the third law can be a muchsimpler way to determine the acceptable values for theformulation parameter α.

B. The Tsallis formulation

For the T entropy, we have

UL0−→ E0, U

L∞−→ UN+1 (α + 1 > 0),

UL0−→ UN+1, U

L∞−→ UN+1 (α + 1 = 0),

UL0−→ (N∗)−1

∑n∗

En∗ , UL∞−→ UN+1 (α + 1 < 0),

UN+1 = (N + 1)−1∑

λ

Eλ. (13)

In the above, n∗ denotes the labels of all the N∗ probabilitiesp′

n∗s, which go to zero at the same rate1 and vanish faster thanany other pn /∈ pn∗ (for comparison, in the BG canonicalensemble with nondegenerate states, N∗ = 1 since if T → 0,pN = exp[−βEN ]/

∑λ exp[−βEλ] is the fastest decaying p),

SL0−→ Smin, S

L∞−→ Smax (α + 1 0),

SL0−→ Smax, S

L∞−→ Smin (α + 1 < 0), (14)

Smin = 0, Smax = SN+1 (α + 1 > 0),

Smin = SN+1, Smax = SN+1 (α + 1 = 0),

1The corresponding energy reads (N∗)−1∑

n∗ γn∗En∗ for pn∗ =n∗p∗ and n∗ → γn∗ (γn∗ a finite constant) when p∗ → 0. Forsimplicity, in our analysis we assume γn∗ = 1.

Smin = SN+1, Smax = +∞ (α + 1 < 0),

SN+1 = [1 − (N + 1)−α]/α, (15)

∂S

∂pn

= − (α + 1)

α

(pα

n − pα0

),

∂U

∂pn

= (α + 1)

P

[(En − U )pα

n − (E0 − U )pα0

]. (16)

Then, for α + 1 > 0 we have the normal trend, with L0

resulting in a minimum for U and S (moreover, with Smin = 0).The value α + 1 = 0 leads to constant U and S regardless ofthe p′

λs [30] [in agreement with Eq. (16), since identically∂S/∂pn = ∂U/∂pn = 0 because the multiplicative term α +1, which is null in this case]. Hence dS/dU = 0 and β = 0 forα = −1. Finally, if α + 1 < 0, Smin is obtained from the limitL∞. On the other hand, exactly which limit yields a (local)minimum for U will depend on the behavior of the p′

ns and onthe properties of the system energy spectrum. Notice for the T

statistics there are no general closed analytical expressions forthe p′

λs, only implicit relations [5]. But as is clarified below, thislatter information is not essential to check for condition (3).

For each βn, we calculate the proper limits L0: setting p0 =1 and taking pn → 0, when α + 1 > 0; and L∞: setting pλ =(N + 1)−1 ∀ λ, when α + 1 < 0. For α = −1, we already haveseen that (3) cannot hold. We get thus

limpn → 0p0 = 1

βn = 1

αlim

pn→0

(p−α

n − 1)

(En − E0)if α > −1,

=+∞ if α 0,

−α−1

En−E0if − 1 < α < 0,

limpλ→ 1

N+1

βn = −1

α(N + 1)αlim

pn→p0

(pn/p0)α − 1

(En − E0)if α < −1,

= 0. (17)To summarize, when α 0 (or q 1), T vanishes as

S vanishes, in agreement with the third law. For α −1(q 0), condition (3) is not observed. Moreover, for thisparameter range, the T entropy is also known not to beconvex (see Sec. V). Finally, as for the K with |α| = 1,for T with −1 < α < 0, we find β = |α|−1 ∑

n(En − E0)−1.Obviously, for N finite (a relevant example being the Isingmodel below), the third law is not obeyed. Even with N

infinite, (3) will not stand, e.g., if 1/(En − E0) ∼ 1/nγ forall n Nγ and γ > 1. Therefore, to have a general physicallaw, i.e., spectrum-independent (which is the case for theBoltzmann-Gibbs entropy and for the Kaniadakis entropy onlyif −1 < α < +1), this range for the statistics parameter shouldbe excluded. As far as we know, a restriction to the range0 < q < 1 for the T formulation has not been previouslyreported in the literature.

IV. AN IMPORTANT EXAMPLE: THE ISING MODEL

The 1D Ising model, with zero field and periodic boundaryconditions, is defined by the Hamiltonian (σN+1 = σ1)

H = −J

N∑i=1

σiσi+1. (18)

022105-4


The N spins take values σi = ±1. The thermodynamic limitfollows from N → ∞. We denote by p− and p+ theprobabilities that a randomly chosen pair of neighboring spinshas the bond in the low-energy −J (i.e., parallel spins) andhigh-energy +J (antiparallel spins) states, respectively. Inthe microcanonical ensemble, the internal energy per spin issimply U = J (p+ − p−), where p+ + p− = 1.

The essential and very useful property of the 1D Isingmodel—not shared by its 2D and 3D counterparts—is thatalthough on the one hand there are spin-spin correlations at fi-nite temperatures, on the other hand the bonds are uncorrelatedat nonzero temperatures. Indeed, the bond energies becomeindependent and identically distributed random variables, andthe system reduces to a collection of uncoupled two-levelsystems. This feature allows us to calculate the entropyper spin of the 1D Ising model for any choice of entropyformula.

Thus, the Boltzmann-Gibbs entropy per bond (or spin) isgiven by our previous general expression with N = 1, λ = 0(λ = 1) corresponding to the state − (+), E0 = E− = −J ,E1 = E+ = +J , and β = β1. Here we briefly digress and notefrom the relations in Eq. (5) and p− + p+ = 1 that p± =exp[∓βJ ]/Z, with Z = 2 cosh[βJ ] the partition function.So, U = −J tanh[βJ ] recovering Ising’s expression for theinternal energy at zero field. Moreover, S = βU + ln[Z](which also can be cast as the well-known relation T S =U − F since the free energy is given by F = − ln[Z]/β).Our exact results show then that β = β1 = +∞ only when S

is zero (which is also true for the case of negative temperatureswhen p− → 0). Of course, this is not a surprise; in fact, it wasalready implied by Ising’s original exact solution based on thetransfer matrix method. Another relevant fact here is the exactbehavior of U and S at small temperatures (β large). It is asimple exercise to verify that U goes to its minimum of −J

much faster than S goes to zero.Now, we consider our previous calculations for the Ka-

niadakis and Tsallis entropies, again in the case of N = 1.We are of course assuming a departure from the canonicalensemble, but still we can obtain exact solutions for theIsing model for generalized entropies. So, for the Kaniadakisentropy (in the commonly assumed range −1 < α < +1), thethird law is always observed (and as for the Boltzmann-Gibbsentropy, this also being the case for negative temperatures:p− → 0). On the other hand, for the Tsallis entropy withα −1, (3) is not satisfied (perhaps not a surprise given thebehavior of S in this interval; see the next section). However,we unexpectedly find that the third law is also violated bythe T formulation when −1 < α < 0 since S = 0 at T0 =2J/|α|.

Figure 1 shows for the Ising model in the Kaniadakisformulation some examples of the behavior of S and β versusp+ in the conventional |α| < 1 case, as well as for |α| 1(with 2J = 1). In agreement with the third law, when |α| < 1,β (which is the inverse of thermodynamic temperature) goesto +∞ as the system settles down completely into the groundstate, i.e., as p− → 1 and p+ → 0.

Figures 2 and 3 illustrate the Ising model in the Tsallisformulation (in both graphs we have again used 2J = 1 forconvenience). Figure 2 displays how S, U , and β behave forselected values of α = q − 1 as the probability p+ of being in

0.2 0.4 0.6 0.8p+

0.8

0.84S

|α|=1.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1p+

-4

-2

0

2

4

β

|α|=0.2|α|=0.5|α|=0.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

S

|α|=1

88

88

88

+

-

+ +

+

-

(a)

(b)

FIG. 1. The Kaniadakis entropy for the 1D Ising model is well-behaved. Here, α = κ and 2J = 1. The (a) entropy S and (b) β = 1/T

as a function of the probability p+ of a bond being in the excitedstate. For the valid parameter range |α| < 1, β correctly diverges inthe vanishing entropy limit p+ → 0, in agreement with the third lawof thermodynamics.

0

0.25

0.5

0.75

S

α=+0.5α=0α=-0.5

-0.26

0

0.26

U

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1p+-23

0

23

β

0 0.2 0.4 0.6 0.8 101530

α=-1.5

0 0.3 0.6 0.9-0.400.4

0 0.3 0.6 0.9-202

0 0.3 0.6 0.9-18018

8++ 8

8

8

8

8

+

+

-

-

(a)

(c)

(b)

FIG. 2. The Tsallis entropy of the Ising model behaves anoma-lously in the limit of zero entropy, because not only does it directlyviolate the third law for q < 0, but it also violates the converse ofthe third law for q < 1. The Ising model (a) entropy S, (b) energy U ,and (c) β = 1/T as a function of the probability p+ of a randomlychosen bond being in the excited state and for distinct values of α.Here E+ − E− = 2J = 1. For α 0 (q 1), we see the normalbehavior of vanishing entropy and divergent β in the limit of p+ → 0,thus observing the third law. On the other hand, the entropy does notvanish [inset in (a)] and the energy does not go to a minimum [inset in(b)] for α < −1 (or q < 0), violating the third law [top inset in (c)].Moreover, for −1 < α < 0 (0 < q < 1) surprisingly the third lawis also violated because entropy can vanish at finite β, i.e., nonzerotemperature T = 1/β [bottom inset in (c)].

022105-5


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05p+0

0.2

0.4

0.6

0.8

1/β

α=-0.1α=-0.3α=-0.6α=-0.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

S

T0=0.9

T0=0.6

T0=0.3

T0=0.1

(a)

(b)

FIG. 3. The Tsallis entropy can vanish at nonzero temperatures, inviolation of (the converse of) the third law. Here −1 < α < 0, whereq = α + 1. The Ising model (a) entropy S and (b) the temperature1/β as a function of p+ (around 0) for some α values. For p+ → 0,1/β tends to T0, the temperature at which the entropy vanishes. Thepositive temperatures seen violate the third law of thermodynamics.

the higher-energy state is varied. Whereas for α 0 (q 1),β diverges (T falls to zero) as p+ → 0, in contrast for α < 0(q < 1) the temperature does not vanish as it should. Figure3 shows the S and the absolute temperature (1/β) in the evenmore intriguing interval of −1 < α < 0 (0 < q < 1), whenthe entropy does vanish for p+ → 0 and p− → 1, but thethird law is violated.

V. DISCUSSION AND CONCLUSION

Recall that in statistical mechanics, a vanishing entropyS = 0 means that we have complete knowledge or informationof the system description at any level, i.e., there is nouncertainty about the microstate. In both classical and quantummechanics, a positive absolute temperature T > 0 guaranteesthermal fluctuations of energy, so that it is impossible toknow with complete certainty whether or nor the system isin the ground state. So, for systems in thermal equilibrium,it should be impossible for the entropy to vanish if T = 0[31]. Yet one of the analyzed entropies, the Tsallis, doesprecisely this (at least for α < 0 or equivalently q < 1). Incontrast, the Kaniadakis entropy (in its proper parameter range−1 < α < +1) behaves in a manner consistent with the thirdlaw. We conjecture that the additive property of the Kaniadakisentropy is the reason for this compatibility with the thirdlaw.

Previous works have shown that for some q values, theTsallis entropy is incompatible with the second law of thermo-dynamics. By investigating the second law of thermodynamicsin the context of kinetic theory, the Tsallis statistics hasbeen studied in the classical [6], the relativistic [32], andalso in the quantum-mechanical regimes [33]. Another studyconsidered the convexity property of the generalized relativeentropy in the quantum regime [34], leading to the constraint

q ∈ (0,2] for the Tsallis entropy (see, e.g., [6,32,33]). Puttingtogether these previous results with those reported here, weconclude that the Tsallis entropy is compatible with all thelaws of thermodynamics only for q in the range 1 q 2(0 α 1).

Concerning our concrete particular example, it could beargued (although not very convincingly in our opinion) thatbecause the 1D Ising model with nearest-neighbor interactionsdoes not possess long-range interactions, then our conclusionsabove are not justified. In the near future, we hope to explicitlystudy Hamiltonians with long-range interactions, but for nowwe can foresee a direct rebuttal to this objection. The thirdlaw of thermodynamics does not distinguish between short-versus long-range interactions, but rather is sensitive only tothe features of the lowest energy levels. So, although two-level Hamiltonian systems cannot be considered to have anyinteractions at all (whether short- or long-range), they muststill obey the third law of thermodynamics. More generally,our analysis of N -level systems has proven conclusively thatin fact the Boltzmann-Gibbs and Kaniadakis entropies bothsatisfy the third law of thermodynamics. But for q < 1, theTsallis entropy does not. Our results have nothing to do withthe range of interactions (if any). Rather, they pertain to theway S goes to minimum in relation to the behavior of U at lowtemperatures.

Finally, recent experimental results in the Tsallis formula-tion confirm deviations from a Gaussian neighbor for velocitydistributions. Some examples are as follows: the velocities ofcold atoms in dissipative optical lattices (q = 1.396 ± 0.005)[35]; the velocities of particles in quasi-two-dimensional dustyplasma (q = 1.08 ± 0.01) [36]; single ions in radiofrequencytraps interacting with a classical buffer gas (q = 1.03−1.87)[37]; transverse momenta distributions at LHC experiments[38]; etc. Remarkably, all these experimental values for q arewithin our predicted interval 1 q 2 for thermodynamicvalidity.

We conclude by recalling a well-known statement attributedto Albert Einstein: “Classical thermodynamics . . . is the onlyphysical theory of universal content which I am convinced . . .

will never be overthrown.” Therefore, in proposing generalizedentropies, it is necessary to determine whether they are infact properly defined in terms of necessary conditions. Butwhich principles should be used to construct them? It followsthat no attempt to extend the thermodynamic or Boltzmann-Gibbs entropy can lead to a general physical theory withoutpassing through the key test of compatibility with the laws ofthermodynamics. The third law, very important in a “down toearth” way in science, is valid irrespective of the microscopicdetails and deals with a very objective aspect: how matterbehaves at very low temperatures. Here, we have explicitlyshown how to perform the test of compatibility with the thirdlaw.

ACKNOWLEDGMENTS

We thank the Brazilian agencies CAPES and CNPq forfunding, and D. H. A. L. Anselmo, A. M. Mariz, and C. Tsallisfor feedback.

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022105-7

Physica A 392 (2013) 666–672

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Physica A

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Non-Gaussian statistics, Maxwellian derivation andstellar polytropesE.P. Bento a, J.R.P. Silva b, R. Silva a,b,∗

a Universidade Federal do Rio Grande do Norte, UFRN, Departamento de Física, C. P. 1641, Natal – RN, CEP 59072–970, Brazilb Universidade do Estado do Rio Grande do Norte, UERN, Departamento de Física, Mossoró – RN, CEP 59610–210, Brazil

a r t i c l e i n f o

Article history:Received 13 January 2012Received in revised form 19 October 2012Available online 27 October 2012

Keywords:Non-Gaussian statisticsNon-Maxwellian distributionsStellar polytropes

a b s t r a c t

In this letter we discuss two aspects of non-Gaussian statistics. In the first, we show thatMaxwell’s first derivation of the stationary distribution function for a dilute gas can beextended in the context of Kaniadakis statistics. In the second, by investigating the stellarsystem, we study the Kaniadakis analytical relation between the entropic parameter κ andthe stellar polytrope index n. We compare also the Kaniadakis relation n = n(κ) withn = n(q) proposed in the Tsallis framework.

© 2012 Elsevier B.V. All rights reserved.

1. Introduction

Nonextensive statistical mechanics (NSM) [1] and extensive generalized power-law statistics [2–7] are based on themathematical generalization of the Boltzmann exponential distribution, namely:

f ∼ exp(−Energy/Thermal energy). (1)

Whereas in Ref. [1], the power-law distribution, f ∼ [1−(1−q)Energy/Thermal energy]1/(1−q), obeys the Tsallis distributionof NSM [1], the so-called κ-statistics [2–7] provides a power-law distribution function and the κ-entropy which emerges inthe context of special relativity and in the kinetic interaction principle. Formally, the κ-framework is defined by consideringthe expressions

expκ(f ) = (1 + κ2f 2 + κ f )1/κ , (2)

lnκ(f ) =f κ

− f −κ

2κ, (3)

where the κ-entropy associated with κ-statistics is given by [2–7]

Sκ = −

d3pf lnκ f = −⟨lnκ(f )⟩, (4)

with κ2 < 1. The above functions reduce to the standard results in the limit κ = 0.κ-statistics lead to a generalized framework with interesting mathematical properties [8–10], as well as a connection

with the generalized Smoluchowski equation [11] and the relativistic nuclear equation of state for nuclear matter [12].It was also shown that it is possible to obtain a consistent form for the entropy which is linked with a two-parameterdeformation of the logarithm function and generalizes the Tsallis, Abe and Kaniadakis logarithmic behaviors [13]. Some

∗ Corresponding author at: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, UFRN, Departamento de Física, C. P. 1641, Natal – RN, CEP 59072–970, Brazil.E-mail addresses: [email protected] (E.P. Bento), [email protected] (J.R.P. Silva), [email protected] (R. Silva).

0378-4371/$ – see front matter© 2012 Elsevier B.V. All rights reserved.doi:10.1016/j.physa.2012.10.022

E.P. Bento et al. / Physica A 392 (2013) 666–672 667

physical systems are well approximated by a distribution that maximizes Kaniadakis’ entropy, namely, cosmic ray flux, rainevents in meteorology [3], quark–gluon plasma [14], kinetic models describing a gas of interacting atoms and photons [15],fracture propagation phenomena [16], and constructing financial models [17]. On the theoretical front, some studies on thecanonical quantization of a classical system have also been investigated [18], as well as the H-theorem in relativistic andnon-relativistic domain [19,20].

In the astrophysical domain, the first application has been the simulation in relativistic plasmas. In this regard, the power-law energy distribution provides a strong argument in favor of the Kaniadakis statistics [21]. Additionally, the viability ofnon-Gaussian statistics has been investigated from a stellar astrophysics viewpoint: the distributions of projected rotationalvelocity measurements of stars in the Pleiades open cluster [22], in the main sequence field stars [23], and in the estimationof the mean angle of inclination of the rotational axes of the stars in the Orion Nebula Cloud [24], as well as the strongdependence between the stellar–cluster ages and the power-law distributions [25].

The aim of this letter is twofold. First, to show that Maxwell’s first derivation of the stationary distribution function fora dilute gas can be extended in the context of Kaniadakis statistics;.Second, considering the principle of maximum entropyfor a stellar self-gravitating system, to investigate an analytical relation between entropic parameter κ and stellar polytropeindex n. It is also shown that the function n = n(κ) has a similar behavior to the Tsallis expression n = n(q) [26,27].

This letter is organized as follows. In Section 2, we show the correspondence between the κ-statistics introduced byKaniadakis and the velocity distribution for aMaxwellian gas, by assuming a non-Gaussian generalization of the separabilityhypothesis originally proposed byMaxwell [28]. In Section 3, we discuss a connection between Kaniadakis statistics and thepolytropic index in the context of the self-gravitating system and we compare our results with ones studied in Refs. [26,27].Finally, Section 4 is devoted to conclusions and discussion.

2. Non-Gaussian Maxwellian distribution function

In this section, in order to introduce the generalization of theMaxwell distribution in the context of the Kaniadakis frame-work, let us consider a spatially homogeneous gas, assumed to be in equilibrium (or in a stationary state) at temperatureT , in such a way that F(v)d3v is the number of particles with velocity v in the volume element d3v around v. In Maxwell’sderivation, the three-dimensional distribution is factorized and depends only on the magnitude of the velocity [28,29]

F(v)d3v = f (vx)f (vy)f (vz)dvxdvydvz, (5)

where v =

v2x + v2

y + v2z and F(v) is the standard Maxwellian distribution function, given by

F(v) = A exp(−mv2/kBT ), (6)

where A =

m

2πkBT

3/2is the normalization constant.

In reality, in the κ-statistics context described by (4), the starting basic hypothesis (5), which takes into account theisotropy of all velocity directions, must be somewhat modified. From a statistical viewpoint, Maxwell’s ansatz assumes thatthe three components of the velocity are statistically independent. However, this property does not hold in the systemsendowed with long range interactions, or statistically dependent, where the Kaniadakis distribution has been observed[22,23]. Notice that the Maxwell ansatz is equivalent to expressing ln F as the sum of the logarithms of the one-dimensionaldistribution functions associated with each velocity component. A simple and natural way to generalize this procedurewithin the Kaniadakis framework would be to introduce statistical dependence between the velocity components, e.g., toreplace the usual product between f (vx), f (vy) and f (vz) by a κ-exponential of the sum of lnκ of the f (vi), i = x, y, z. Froma physical viewpoint, the statistical dependence allows introducing a distribution that has a better fit than the Maxwellianin the statistical description of some physical systems (see, e.g., Refs. [12,21–23,25]).1 Therefore, in order to recover theordinary logarithmic ansatz as a particular limiting case, it is convenient to express the power generalization in terms of thefunction lnκ defined by Eq. (3), which is a combination of a power function plus appropriate constants. Mathematically, theconsistent κ-generalization of (5) is given by

F

v2x + v2

y + v2z

d3v = expκ [lnκ f (vx) + lnκ f (vy) + lnκ f (vz)]dvxdvydvz, (7)

where the κ-exponential and κ-logarithm are given by identities (2) and (3). In particular, in the limit κ = 0 the standardexpression (5) is recovered. Note also that lnκ [expκ(f )] = expκ [lnκ(f )] = f , and d lnκ (f )

dx =f κ+f−κ

2fdfdx are satisfied. The

logarithmic derivative of (7) with respect to vi is

∂

∂vilnκ F

v2x + v2

y + v2z

=

∂

∂vilnκexpκ [lnκ f (vx) + lnκ f (vy) + lnκ f (vz)], (8)

with i = x, y, z.

1 Obviously this is not a unique generalization. For example, in the Tsallis framework it is possible to introduce statistical dependence between velocitycomponents considering the q-generalization of the Maxwell ansatz (see, e.g., Refs. [30]).

668 E.P. Bento et al. / Physica A 392 (2013) 666–672

Using the above mentioned properties we can write2

F κ+ F−κ

2F∂

∂viF

v2x + v2

y + v2z

=

∂

∂vi[lnκ f (vi)]. (9)

Equivalently,

F κ+ F−κ

2FF ′(χ)

χ=

1vi

∂

∂vilnκ f (vi), (10)

where χ =

v2x + v2

y + v2z and a prime represents the total derivative. Now, defining

Φ(χ) =F κ

+ F−κ

2FF ′(χ)

χ, (11)

and considering the replacement of the partial derivative by an ordinary derivative in Eq. (10) due to the partial κ − lndifferentiation of the generalized ansatz (7) with respect to any component vi, we obtain

Φ(χ) =1vi

ddvi

[lnκ f (vi)]. (12)

The second member of Eq. (12) depends only on vi, with i = x, y or z. Hence, Eq. (11) can be satisfied only if all itsmembers are equal to one and the same constant, not depending on any of the velocity components. Thus we can makeΦ(χ) = −mγ , obtaining

1vi

ddvi

[lnκ f (vi)] = −mγ , (13)

where γ =1

kBT.

The solution of Eq. (13) is given by

lnκ f (vi) = −mγ v2

i

2, (14)

which provides

f (vi) = expκ

−

mv2i

2kBT

. (15)

In order to calculate the complete distribution, we insert the expressions (15) into Eq. (7) to obtain

F(v) =

1 + κ2

−

mv2

2kBT

2

−κmv2

2kBT

1κ

. (16)

If we assume the function f (vi) to be normalizable, we can write

f (vi) =1Zexpκ

−

mv2i

2kBT

, (17)

where 1/Z is the κ-normalization constant.In order to calculate the so-called κ-normalization, let us introduce the expression [3]

Z =

R

dnv expκ

−

mv2

2kBT

, (18)

where n (=1, 2, 3) is the number of degrees of freedom. Here, considering n = 1, a =m

2kBTand x = av2, we obtain

Z =1

√a

∞

0x−1/2 expκ(−x)dx. (19)

2 It is worth mentioning that a repeated index does not mean a summation over the index.


Using the generalized gamma functions [3]

∞

0xr−1 expκ(−x)dx =

[1 + (r − 2|κ|)|2κ|r]

[1 − (r − 1)|κ|]2 − κ2

Γ

1

|2κ|−

r2

Γ

1

|2κ|+

r2

Γ

12

, (20)

and after some algebra, we obtain

Z =

πkBTm

|κ|−1/2

1 −12 |κ|

Γ

1

|2κ|−

14

Γ

1

|2κ|+

14

. (21)

It is easy to see that the standard Maxwellian result (1/Z) = (m/2πkBT )1/2 is recovered in the Gaussian limit κ = 0.Using the expression (18) for n = 3, we can show that the normalization for the complete distribution is given by

1Z

=

m|κ|

πkBT

3/2 1 +

32|κ|

Γ

1

|2κ|+

34

Γ

1

|2κ|−

34

. (22)

As expected, the above κ-distribution is isotropic meaning that all velocity directions are equivalent in this generalizedcontext. Here, we emphasize that in the limit κ = 0 both the normalization and the distribution function reproduce thestandard Maxwellian (6).

3. Non-Gaussian framework and stellar polytropes

Asmentioned in the introduction, we shall discuss a connection between the Kaniadakis statistics and polytropic index inthe context of the self-gravitating system. Following a procedure considered in Refs. [26,27], let us start with the Kaniadakisgeneralized entropy of index κ of the form

Sκ(f ) = −

f 1+κ

− f 1−κ

2κdΩ, (23)

where dΩ = d3rd3v, and the parameter κ = 0 provides a possible generalization of the Boltzmann–Gibbs entropy.The extremum entropy state can be derived by varying Sκ with respect to f . Using the Lagrange multipliers α and β , theextremum solution subject to constraints3 M =

f dΩ and E = K + U =

12

v2f dΩ +

12

φf dΩ is obtained from

δSκ − αδM − βδE = 0 (24)

which leads to −

12κ

[(1 + κ)f κ− (1 − κ)f −κ

] − α − β

v2

2+ φ

δf dΩ = 0. (25)

We have used the relation

δφf dΩ =

φδf dΩ for derivation of the above expression. Here, φ denotes gravitationalpotential, and Eq. (24)must be satisfied independently of the choice of δf . Thus,we obtain the following distribution function

f (r, v) = Bφ0(ϵ) − φ(r) −

v2

2

1/κ

(26)

where the constants B and φ0 are defined by

B =

κβ

(1 + κ)

1/κ

φ0(ϵ) =−

κ2(−α − βϵ)2 + 1 − κ2 − ακ

βκ, (27)

ϵ =v2

2 + φ.In order to obtain a relation between the stellar polytrope index n and entropic parameter κ , let us now introduce the

polytropic sphere distribution

f ∼ En−3/2, (28)

3 The mass and energy total of the self-gravitating system governed by the Vlasov and Poisson equations. For more details, see Ref. [31].


Fig. 1. Polytrope index n as a function of the Kaniadakis (κ) and Tsallis (q) parameters. The vertical dotted lines mark the limits of validity of κ-statistical(κ2 < 1) [2–7].

where E is the relative energy of a star, given by [31]

E = Ψ −12v2, (29)

and Ψ is the relative potential of a star associated with φ. Therefore, comparing the distribution (26) with (28), we have

n =32

+1κ

, (30)

where the Gaussian limit κ = 0 corresponds to the so-called isothermal spheres. Let us now compare the expressionn = n(κ) with the Tsallis relation n = n(q). In this regard, Plastino and Plastino [26,27] have introduced an expressiongiven by

n =32

+1

q − 1, (31)

which includes the isothermal situation for n → ∞, i.e. the Gaussian limit q = 1. In order to guarantee the conservationof mass and energy, Tsallis’ parameter q should be larger than 9/7. By comparing Eq. (30) with Eq. (31), we find a linearrelation between κ and q, for a given n considered:

κ = q − 1. (32)

In particular, the Gaussian limits κ = 0 and q = 1 are satisfied simultaneously in Eq. (32). Note yet that, considering thelinear relation and the limit of validity of κ- statistics, i.e. κ2 < 1, we obtain the constraint q ∈ [0, 2] on the nonextensiveparameter which is fully consistent with the results obtained from several independent investigations involving the Tsallisnonextensive approach (see, e.g. Refs. [37–39]).

In Fig. 1 we display the dependence between the entropic indexes (κ; q) and the polytropic index (n), given byEqs. (30) and (31), respectively. We show that the polytropic index diverges for the non-Gaussian parameters κ = 0, q = 1,i.e. the isothermal spheres separate the polytropes into two branches. For κ > 0 and q > 1, n ranges from ∞ to 3/2. Fromf ∼ En−3/2, we see that E is a decreasing function of the energy and, when n = 3/2, the distribution function becomes aconstant independent of energy. On the other hand, it is well known that, for any astrophysical system, n should be positiveand higher than 1/2 [31]. Thus the intervals 0 ≤ q ≤ 1 and −1 ≤ κ ≤ 0 represent forbidden regions, since the values ofthe n index tend to be smaller than 1/2 and negative.


It is also worth observing that κ < −1 and q < 0 also provide n > 1/2. However these limits on κ and q violate thevalidity of κ-statistics [2–7] and the nonextensive H-theorem [32], respectively. As is well known, for the polytropic indexn > 5, the density falls off so slowly at large radii that the mass is infinite [31]. Fig. 1 shows that only the branches on theright-hand side are physically significant for n < 5. Therefore, the physical values of the Tsallis parameter q should be largerthan 9/7,4 and the Kaniadakis parameter κ should be constrained to the interval of validity κ ∈ [2/7; 1] represented bythe lower dashed rectangle. From the linear relation (32) and using the interval of validity for κ , we obtain the constraintq ∈ [9/7; 2], which coincides with the one q > 9/7 calculated in Refs. [26,35]. It is also worth noting that the polytropicindices obtained from Kaniadakis’ statistics are restricted to the range 5/2 ≤ n ≤ 5, which excludes important stellarpolytopes of index n = 3/2, i.e., the models of adiabatic stars supported by pressure of a non-relativistic gas [33].

Summing up, a close examination of Fig. 1 tells us that the two distributions studied here present a similar behaviorfor stellar polytropes, although the Kaniadakis function is more restrictive than Tsallis’. In reality, in order to know whichframework is better, we should do a study based on observational data, e.g. an investigation considering the comparisonbetween stellar polytropes and Navarro–Frenk–White halo models for the description of dark matter halos (see Ref. [34]).In this regard, an analysis considering this issue is currently under investigation.

4. Conclusions

In this work we have studied Kaniadakis statistics based on the generalized Maxwellian formulation for the κ-statisticsand, as an application, we investigate the physical effect on the stellar polytropic system. In the first part, we concludethat there is a Kaniadakis velocity distribution given by Eq. (16) that is uniquely determined by the requirements of(i) isotropy and (ii) a generalization of the factorizability condition. From the physical viewpoint, this generalizationintroduces statistical dependence between the velocity components, when we replace the logarithm function by a powerlaw (a similar argument was considered in Refs. [32,36–38,40] for the non-Gaussian generalization of the molecular chaoshypothesis). In particular, Maxwell expressions are recovered in the Gaussian limit, κ → 0.

From an application perspective, we have shown that the expressions for Tsallis and Kaniadakis, given by Eqs. (30)and (31), present similar behaviors. However, the astrophysical limit on the polytropic index 1/2 < n < 5 provides theconstraint κ ∈ [2/7; 1] and q > 9/7 for the Kaniadakis and Tsallis parameters, respectively. It is worth mentioning that theGaussian limit κ = 0, equivalent to the Tsallis expression Eq. (31) for q = 1, reproduces Maxwellian isothermal spheres or,equivalently, n = ∞.

Acknowledgments

We would also like to thank the anonymous referees for valuable suggestions and comments. The authors thank CNPqfor the grants under which this work was carried out. RS and JRPS also thank financial support from INCT-INEspaço.

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TITULO DO TRABALHO · 2017-11-05 · resolvido por meio do ensemble canônico, porém ele também pode ser resolvido por meio de ensembles generalizados. Palavras-chave: Termodinâmica,