1 INTRODUÇÃO

Daniel Bernoulli (1700-1782) nasceu na Holanda, pertencendo a uma família

de relevantes matemáticos renomados. Tanto o pai de Bernoulli, Johann, quanto seu

tio, Jackob, exerceram relevante influência nesta área. Aos 21 anos de idade, Daniel

Bernoulli já era médico. Como parte de sua tese de doutorado, ele aplicou a

matemática à ação dos pulmões.

Em 1726, foi convidado a lecionar matemática em uma academia russa.

Neste cargo, suas pesquisas científicas continuaram e ele se tornou o primeiro

europeu de renome a focar seus estudos em torno da física newtoniana. As leis de

Newton haviam sido aplicadas a objetos grandes, como a lua e os planetas, mas

Bernoulli as aplicou a partículas menores, inclusive aquelas que compõem fluidos,

como gases e líquidos.

Em 1728, ele usou seus conhecimentos matemáticos para investigar a

questão das leis dos gases. Através do desenvolvimento de estudos nesta área,

forneceu uma prova secundária para a lei de Boyle: a pressão do gás é

inversamente relacionada a seu volume.

Os estudos de Bernoulli sobre a dinâmica dos fluidos tiveram inúmeras

aplicações práticas. Ele desenvolveu estudos sobre o fluxo laminar e o fluxo

turbulento. Demonstrou que os fluidos que fluem em camadas o fazem muito mais

suavemente e requerem menos energia que o fluxo turbulento. Portanto, navios

dotados de um formato que promovesse o fluxo laminar cortariam as águas mais

eficazmente que aqueles que criam contracorrentes e sulcos.

Desta forma, o trabalho proposto tem a finalidade de descrever os aspectos

relativos à dinâmica dos fluidos, área da física que estuda o comportamento dos

fluidos em movimento. Desta forma, será analisada a contribuição de Daniel

Bernoulli na formulação da Equação que descreve os fluidos em movimento.

Será analisada particularmente a Equação dos fluidos em movimento em

altura constante, em que não há desnível no tubo no qual ao qual o escoamento é

analisado. Posteriormente, serão explanadas algumas das aplicações da equação

da fluidodinâmica num contexto da Engenharia civil.

2 DINÂMICA DOS FLUIDOS

A dinâmica dos fluidos é a ciência que estuda o comportamento dos fluidos

em movimento. Estes fluidos (líquidos ou gases) podem apresentar uma velocidade

constante (regime estacionário), ou velocidade variável.

A trajetória desempenhada por uma partícula individual durante o

escoamento de um fluido é chamada de linha de escoamento. Quando a

configuração global do escoamento de um fluido não varia com o tempo, ele se

chama de escoamento estacionário ou escoamento permanente, portanto segue

sempre a mesma linha de escoamento.

Para realizar o estudo destes fluidos, considera-se algumas condições ideais

de forma a analisar as condições de escoamento num modo simplificado. Desta

forma, um fluido ideal é um fluido incompressível (ou seja, aquele cuja densidade

não varia) que descreve um escoamento não viscoso, ou seja, sem nenhum atrito

interno ou dissipação. Considera-se também, na análise simplificada, que cada

partícula do fluido apresenta um momento angular nulo, ou seja, não apresenta

movimento circular durante o escoamento.

A equação de Bernoulli é uma ferramenta essencial para analisar

escoamentos em sistemas hidráulicos, em usinas hidrelétricas e nos voos de

aeronaves. Para que se possa desenvolver a dedução da equação que descreve o

comportamento do fluido em relação à pressão e a velocidade deste utiliza-se o

teorema do trabalho-energia em relação a um fluido em movimento em um tubo de

escoamento.

A Figura 01 mostra o sistema em análise.

Considerando que um determinado volume de fluido se encontra entre duas

seções retas a e c e que o fluido se desloca com uma velocidade V1 no trecho ab e

V2 no trecho cd. Como mostra a figura, no trecho inferior o fluido percorre uma

distância infinitesimal num intervalor infinitesimal dt igual a ΔS1=V1dt, enquanto no

trecho superior tem-se ΔS2=V2dt.As áreas das seções retas nos trechos inferior e

superior, são respectivamente, A1 e A2. Um elemento infinitesimal de trabalho dW

realizado em um intervalo dt é igual a:

dW=F1*ΔS1 – F2*ΔS2

Sabendo que as forças F1 e F2 que atuam, respectivamente, nas seções

retas inferior e superior são iguais a F1=P1A1 e F2=P2A2, a equação acima pode ser

reescrita em função da pressão e da área, resultando em:

dW= P1A1 ΔS1 - P2A2 ΔS2

Considerando o fluido incompressível, o volume de fluido dV que passa em

qualquer seção reta durante um intervalo de tempo dt é sempre o mesmo. Ou seja,

dV = A1ΔS1 = A2ΔS2. Desta forma, tem-se:

dW= (P1 - P2)*dV

Levando em consideração que o trabalho total realizado sobre um elemento

do fluido pela pressão do fluido circundante é igual à variação da energia cinética

(ΔK) acrescida da variação da energia potencial gravitacional (ΔU), procura-se

determinar estes parâmetros.

A variação de energia cinética para o deslocamento considerado é:

ΔK = 12

ρdV *( V12 - V2

2)

A variação de energia potencial para o deslocamento considerado é:

ΔU= ρdVg( Y2 - Y1)

Em que Y1 e Y2 são, respectivamente, o nível inferior e o superior do fluido

em escoamento. Sabendo que dW = ΔK+ΔU, tem-se que:

(P1−P2 )∗d V=12

ρdV *( V22 -V 1

2)+ρdVg( Y2 -Y1 )

Devido ao fato que o escopo do projeto é analisar a equação de Bernoulli

para alturas iguais, então Y1 = Y2, portanto Y2 – Y1 = 0, reescrevendo a equação

acima tem-se que:

(P1 – P2) = 12

ρ *( V22 - V1

2)

Desta forma, a equação acima pode ser reescrita resultando em:

P1+¿ 12

ρ V12 = P2 +

12

ρ V22

Através desta equação, percebe-se que a pressão a inversamente

proporcional à velocidade de escoamento e que a relação de pressão e volume são

constantes em todo o tubo em que o fluido está se deslocando.

Tendo sido descritos os procedimentos para a dedução da Equação de

Bernoulli e como esta é utilizada na descrição do comportamento do fluido em

escoamento e na relação dos parâmetros de pressão e volume, o próximo tópico irá

abordar a relevância deste estudo na Engenharia Civil e particularmente suas

aplicações na Hidráulica.

3 APLICAÇÕES NA ENGENHARIA

A Hidráulica é o ramo das ciências físicas que tem por objetivo estudar os

líquidos em movimento. Se um líquido escoa em contato com a atmosfera diz-se que

ele está em escoamento livre e quando escoa confinado em um conduto de seção

fechada com pressão diferente da atmosférica, então tem-se um escoamento

forçado ou sob pressão.

Quando o movimento se desenvolve de tal maneira que não há definição

das trajetórias das partículas, embora com certeza haja escoamento, temos

o movimento turbulento ou hidráulico, que é a situação mais natural. 

Particularmente para o estudo nesta área, utiliza-se o Teorema de Bernoulli

para fluidos reais. Esse princípio estabelece que a energia presente em um fluido

em escoamento pode ser separada em quatro parcelas, a saber, energia de pressão

(piezocarga), energia cinética (taquicarga), energia de posição (hipsocarga) e

energia térmica. Desta forma, tem-se que:

Em que:

p = pressão, Kgf/m²; 

  = peso específico, Kgf/m³; 

v = velocidade do escoamento, m/s; 

g = aceleração da gravidade, m/s²; 

Z = altura sobre o plano de referência, m; 

hf= perda de energia entre as seções em estudo, devido a turbulência, atritos, etc,

denominada de perda de carga, m; 

a  = fator de correção de energia cinética devido as variações a de velocidade na

seção.

A soma das parcelas z + (p/) + (a*V2/2g) é denominada de energia mecânica do

líquido por unidade de peso. Portanto, a energia mecânica de um líquido sempre

estará sob uma ou mais das três formas citadas.

Tendo sido descrito uma aplicação das equações de bernoulli a hidráulica,

particularmente aplicado à fluidos reais, o próximo tópico irá abordar a respeito de

experimentos utilizados na verificação das equações de Bernoulli.

4 EXPERIMENTO

Um dos experimentos que se permite aplicar a Equação de Bernoulli é o

Medidor de vazão “VENTURI”, sendo este um dispositivo utilizado para medir vazão

a partir do conhecimento da diferença de pressão entre dois pontos.

Neste dispositivo a vazão é obtida medindo-se a diferença de pressão do

escoamento do fluido entre as seções as quais se deseja analisar do escoamento.

Isto é, a diferença de pressão é proporcional à vazão que escoa por ele. A diferença

de pressão é produzida por efeitos inerciais - a aceleração do escoamento devido à

obstrução do escoamento (por exemplo, a redução de área da garganta do venturi) -

e viscosos, isto é, a perda de carga.

Neste tubo existem três partes importantes: o cone de entrada, que possui a

finalidade de aumentar progressivamente a velocidade do fluido; a parte

intermediária cilíndrica, onde se faz a medição de baixa pressão, e o cone de saída,

que diminui progressivamente a velocidade até ser igual à de entrada. A Figura 02

mostra os componentes do medidor de vazão do tipo Venturi.

O interesse principal do tubo de Venturi em relação à placa de orifício é a

baixa perda de carga residual que ele produz, o que torna seu uso interessante para

instalações industriais onde esta característica é importante (tratamento de água, ar

de combustão, etc.)

Alguns tipos de medidores Venturi são: excêntrico, clássico, com cone

convergente bruto de fundição, cone convergente usinado, cone convergente em

chapa soldada bruta e de seção retangular.

Para se realizar a medição usando este dispositivo se faz necessária

observação de alguns aspectos. Quanto à natureza do fluido, deverá ser observado

que a passagem do fluido pelo elemento primário não provoque mudanças de fase.

Uma verificação deverá ser feita considerando que a descompressão é isentrópica.

Quanto ao limite da relação de pressão, deverá ser cuidada que a relação de

pressão fique superior a 0,75. Observando as limitações anteriores, o coeficiente de

expansão a ser aplicado é o mesmo que o utilizado nos bocais de vazão.

Tendo sido descritos as características gerais do medidor de vazão do tipo

Venturi como aplicação experimental do Teorema de Bernoulli, o próximo tópico

aborda as considerações finais do trabalho.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Na hidrodinâmica, o estudo das variáveis como pressão e velocidade de

vazão que envolvidas no deslocamento de um fluido considerado ideal se faz

necessário que haja uma ferramenta que possibilite a descrição minuciosa das

características apresentadas por este.

No estudo do comportamento dos fluidos (líquido e gás) aplicados às mais

diversas áreas da engenharia a Equação de Bernoulli se mostra como uma

ferramenta matemática eficaz que permite a análise das características de muitos

sistemas.

Se faz necessário, portanto, conhecer os aspectos relativos a este, para que,

a partir dos dados obtidos se possa fazer uma avaliação mais precisa. Se pode

perceber, portanto, a relevância deste em áreas como a Hidráulica.