UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSES-URIEngenharia Eltrica

EQUAO DA CONTINUIDADE EQUAO DE BERNOULLI

Nome do aluno: Orci Deocleciano Dos Santos AlbuquerqueProfessor: Eng. Raul Jos dos Santos Michel Junior

So Luiz Gonzagajunho de 2014Sumrio1.Equao da Continuidade32.Exerccios equao da continuidade52.1.Exerccio 152.2.Exerccio 253.Equao de Bernoulli63.1.Figura 01:73.2.Figura 02:74.Exerccios Equao de Bernoulli114.1.Exerccio 1114.2.Exerccio 212Bibliografia:13

1.Equao da Continuidade A equao de continuidade uma consequncia da aplicao da conservao da massa no caso do escoamento de um fluido incompressvel. Antes de entender o que a Equao da Continuidade, necessrio entender o conceito de fluxo. O termo pode ser aplicado nos mais variados contextos. A abordagem feita aqui aquela adotada do ponto de vista da Hidrodinmica (Dinmica dos Fluidos).Se voc pudesse ver cada partcula de ar atravessando a espira, poderia observar linhas que representariam as trajetrias das partculas de ar. Em cada ponto, a tangente a cada linha daria a velocidade das gotas de gua naquele ponto. Veja a sequncia das figuras abaixo:

Fonte: http://www.infoescola.comPelas figuras, pode-se compreender Fluxo como sendo um campo vetorial atravs de uma superfcie, isto , a quantidade de algo que, efetivamente, atravessa aquela superfcie. Matematicamente, pode ser expresso da seguinte forma:

A letra representa o Fluxo, o vetor velocidade e A o vetor rea.Um fato bastante corriqueiro mostra que possvel aumentar a velocidade da gua que sai de uma mangueira de jardim fechando parcialmente o bico da mangueira com o dedo. Esta alterao na velocidade est diretamente relacionada ao fato de alterarmos a seco da rea de sada de gua da mangueira.

Observando a figura ao abaixo:

Fonte: http://www.infoescola.com fato simples de compreender (principalmente quando consideramos o fluido incompressvel) que a quantidade de gua que entra na mangueira com velocidade 1 deve ser a mesma que sai com velocidade 2, j que no h, no transcurso, nenhuma fonte nem sumidouro de fluido. Em outras palavras, o fluxo de lquido deve ser constante.Sendo assim, pode-se escrever matematicamente:

Efetivamente, como o fluxo constante:

t1 = t2

Logo, a equao fica reduzida :

A1 . v1 = A2 . v2

Esta relao entre a velocidade do fluido e a rea de seco por onde o fluido passa chamada Equao da Continuidade.De uma outra forma, a equao anterior pode ser escrita como:A . v = constanteO produto anterior chamado de Vazo (volume de fluido que passa por uma seco na unidade de tempo). No Sistema Internacional de Unidades, medido em m/s (metro cbico por segundo).Mas tem outra coisa: comum alguns acreditarem que a gua que sai da mangueira com maior velocidade em virtude da reduo da rea tem sua presso aumentada. No entanto acontece exatamente ao contrrio. A presso, nesta condio menor. Mas isto outra histria. necessrio analisarmos do ponto de vista da Equao de Bernoulli.

2.Exerccios equao da continuidade2.1.Exerccio 1Para a tubulao mostrada na figura, calcule a vazo em massa, em peso e em volume e determine a velocidade na seo (2) sabendo-se que: A1 = 10 cm e A2 = 5 cm. Dados: = 1000 kg/m e v1 = 1m/s.

2.2.Exerccio 2Um tubo despeja gua em um reservatrio com uma vazo de 20 l/s e outro tubo despeja um lquido de massa especfica igual a 800 kg/m com uma vazo de 10 l/s. A mistura formada descarregada por um tubo da rea igual a 30 cm. Determinar a massa especfica da mistura no tubo de descarga e calcule tambm qual a velocidade de sada.

3.Equao de Bernoulli

Considere um fludo incompressvel, irrotacional e no viscoso escoando atravs de uma tubulao. Existem trs fatores que podem interferir no escoamento do fludo em questo: A presso que age nas extremidades da tubulao podem ser diferentes uma da outra. Se houver variao na rea de seco transversal reta da tubulao acarretar variao na velocidade do fludo. A altura da primeira extremidade pode ser diferente da altura da segunda extremidade.

3.1.Observe a figura 01:

Fonte: http://www.infoescola.com

3.2.Observe a figura 02:

Fonte: http://www.infoescola.comA extremidade 1 encontra-se a altura y1. Uma fora F1 aplicada sobre a rea da seco transversal reta da extremidade 1 (entrada) do tubo. Esta pode ser escrita como o produto da presso p1 com a rea A1. O fludo sofre um deslocamento x1. A quantidade de massa m possui velocidade v1. Na extremidade direita (sada) atua uma fora F2, produto da presso p2 pela rea A2. Esta fora pode ser devido ao fludo existente direita da parte do sistema que est sendo analisado. Ela contrria F1.Nesta extremidade o fludo se movimenta com velocidade v1 atravs da rea A1 de modo que uma quantidade de massa igual a m, representada pelo azul escuro, que ocupava o volume V1 delimitado por A1 e x1 passe a ocupar o espao delimitando um volume V2, que encerrado pela rea A2 e o deslocamento x2.O trabalho resultante sobre o sistema pode ser obtido a partir das seguintes consideraes:

Na entrada o trabalho 1 dado por:

1 = F1 . x1Ou1 = p1 . A1 . x1

Na sada a fora atua em sentido contrrio ao deslocamento. Desta forma, o trabalho 2 dado por:

2 = - F2 . x2Ou2 = - p2 . A2 . x2

Analisando o deslocamento efetivo de massa pode se concluir que o trabalho gravitacional, tambm contrrio a fora F1 dado pelo produto da fora gravitacional pelo deslocamento na vertical. Este trabalho dado por:g = -Fg . yOug = - m . g . (y2 y1)

Nesta situao no sero consideradas a ao das foras conservativas que agem no interior do fludo em questo, pois no comprometem a anlise. Em decorrncia disso, podemos interpretar a variao da energia potencial como sendo zero. Ep=0.O trabalho efetivo total realizado pelas aes externas ser ento:

ext = 1 + 2 + g

A energia cintica do sistema varia conforme a variao da velocidade da massa de fludo em azul escuro, de forma que:

Ec = m . v22 m . v12

Aplicando o princpio de conservao da energia:

Ec + Ep = ext (a1)

Com:

Ep = 0

Obtm-se:

Ec + 0 = ext

Logo:

Ec = 1 + 2 + g (a2)

Reescrevendo a equao: m . v22 m . v12 = p1 . A1 . x1 p2. A2. x2 m . g . (y2 y1) (a3)

Existe um termo semelhante nesta equao que o volume ocupado pela poro de massa m que :

V1 = A1. x1

E

V2 = A2. x2

A densidade absoluta da substncia dada por:

= m/V

Isolando V e escrevendo-o em funo de A1 e x1 e A2 e x2:

V1 = m/V2 = m/

Como

V1 = V2

A equao (a3) pode ser reescrita como:

m . v22 m . v12 = p1 . m/ p2 . m/ m . g . (y2 y1) (a4)

O termo m pode ser removido se dividir a equao toda por m:

v22 v12 = p1/ p2/ g . (y2 y1) (a5)

conveniente multiplicar a equao por e ento, . . v22 ..v12 = p1 - p2 . g . y2 + . g . y1 (a6)

Reagrupando os termos:

p1 . g . y1 . . v12 = p2 . g . y2 . . v22

Ou

p1 + . g . y1 + . . v12 = + p2 + . g . y2 + . . v22 (a7)

Nota-se que esta equao uma constante. Ento os subscritos 1 e 2 no so relevantes e a equao de Bernoulli pode ser reescrita em sua forma mais geral:p + .g.y + ..v2 = constante (a8)

4.Exerccios Equao de Bernoulli4.1.Exerccio 1Qual a presso manomtrica dentro de uma tubulao onde circula ar se o desnvel do nvel do mercrio observado no manmetro de coluna de 4 mm?

Soluo:Considere: densidade do Mercrio = hg = 13600 kg/m3 e acelerao gravitacional g = 9,81 m/s2 Observando o Princpio de Stevin, calculamos a presso manomtrica da tubulao atravs da seguinte equao:pman = hg . g . h = 13600 x 9,81 x 0,004 = 533,6 PaA presso absoluta a soma dessa presso com a presso atmosfrica (101325 Pascals).4.2.Exerccio 2Qual a velocidade da gua atravs de um furo na lateral de um tanque, se o desnvel entre o furo e a superfcie livre de 2 m?

Soluo:Utilizando a equao de Bernoulli simplificada e considerando z1 = 2 m e g = 9,81 m/s2, podemos calcular a velocidade da gua pela equao a seguir:

Bibliografia:RESNICK, R. , HALLIDAY, D. , WLAKER, J. Fundamentos de Fsica. Vol. 2. 8 Ed. Rio de Janeiro. LTC. 2009http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/hidrodinamica/hidrodin.htmlhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Fluxo_%28f%C3%ADsica%29http://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Equa%c3%a7%c3%a3o_de_Continuidade_de_um_Fluido_em_Escoamentohttp://www.infoescola.com/fisica/equacao-de-bernoulli/

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