TransfInvLaplace FT 2

1

EM 621 - DMC - UNICAMP

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

■ Transformada inversa de Laplace■ Método da expansão em frações parciais■ Solução de equações diferenciais■ Conversão modelo de estado para função de

transferência■ Exemplos


Definição da Transformada inversa de Laplace

A transformada inversa de Laplace é dada por:

para t > 0 e onde c, chamada de abcissa deconvergência, é um real constante escolhido àdireita do maior ponto singular de F(s).

[ ] ∫∞+

∞−

−−

==jc

jc

st dsesFj

sFLtf )(2

1)()( 1

π

2


Algumas considerações sobre a TIL

■ Corresponde portanto a uma integral fechada que percorreum caminho paralelo ao eixo imaginário de baixo p/ cima.

■ Para uma abcissa de convergência nula, o percurso é opróprio eixo imaginário englobando todo o SPD no sentidohorário.

■ Não há necessidade em geral de se calcular a integral.■ Encontra-se a TIL por decomposição e uso da tabela de

transformadas.

∞→R

c

jω

σ


Cálculo da TIL

Aplica-sequando

)(sX Funçãoracional

quociente de doispolinômios em s

)(

)()(

sP

sQsX =

ordem m

ordem nm < n

Expansão em Frações Parciais

3


Etapas para o cálculo da TIL

1) desenvolver X(s) em frações parciaisEncontrar asraízes de P(s)

montar polinômios de grau 1 ou 2)(spi

Escrever polinômiona forma fatorada

)())((

)()(

21 nrsrsrs

sQsX

−−−=

�

)()()()(

2

2

1

1

n

n

rs

C

rs

C

rs

CsX

−++

−+

−= �

)(

)()(

sP

sQsX =

calcular as constantes iC

2) Calcular a transformada inversa de cada termo


Exemplo de cálculo da TIL: raízes simples

))(()(

21 rsrs

bsasX

−−+=Seja 21 rr ≠

Primeiropasso

)()()(

2

2

1

1

rs

C

rs

CsX

−+

−=

Onde C1 e C2 sãodeterminadas pela

igualdade)()())(()(

2

2

1

1

21 rs

C

rs

C

rsrs

bsasX

−+

−=

−−+=

4


Continuação: Cálculo das constantes

)(* 1rs −

Como s pode assumirqualquer valor

)()())(()(

2

2

1

1

21 rs

C

rs

C

rsrs

bsasX

−+

−=

−−+=

)()(

)()()(

2

211

21 rs

CrsC

rs

bsasXrs

−−+=

−+=−

1rs =)( 21

11 rr

braC

−+=



)(* 2rs −


)()())(()(

2

2

1

1

21 rs

C

rs

C

rsrs

bsasX

−+

−=

−−+=

21

12

12 )(

)()(

)()( Crs

Crs

rs

bsasXrs +

−−=

−+=−

2rs =)( 12

22 rr

braC

−+=

Analogamente

5


Finalização do exemplo de raízes simples

)(

1

)()(

1

)()(

212

2

121

1

rsrr

bra

rsrr

brasX

−−++

−−+=

trtr err

brae

rr

brasXLtf 21

)()())(()(

12

2

21

11

−++

−+== −

aseL at

+=− 1

) (

Substituindo as constantes obtemos

Lembrando que

Generalizando paran raízes simples irsii sXrsC

=−= )()(


Exemplo com raízes múltiplas

)()()(

22

1 rsrs

bsasX

−−+=Seja

Primeiropasso )()()(

)(2

3

1

22

1

1

rs

C

rs

C

rs

CsX

−+

−+

−=

onde as constantessão determinadas

pela igualdade)()()()()(

)(2

3

1

22

1

1

22

1 rs

C

rs

C

rs

C

rsrs

bsasX

−+

−+

−=

−−+=

6



21)(* rs −


32

21

2112

21 )(

)()(

)()()( C

rs

rsCrsC

rs

bsasXrs

−−+−+=

−+=−

1rs =)( 21

11 rr

braC

−+=

)()()()()()(

2

3

1

22

1

1

22

1 rs

C

rs

C

rs

C

rsrs

bsasX

−+

−+

−=

−−+=



32

21

2112

21 )(

)()(

)()()( C

rs

rsCrsC

rs

bsasXrs

−−+−+=

−+=−

221

22 )( rr

abrC

−−−=

Derivando a eq. acima e fazendo s = r1 2C

1

12

212 )]()[(

rs

rs rs

bsa

ds

dsXrs

ds

dC

==

−+=−=

obtém-se a constante

7


Continuação

)(* 2rs −


321

212

1

22

12 )(

)(

)(

)(

)()()( CC

rs

rsC

rs

rs

rs

bsasXrs +

−−+

−−=

−+=−

2rs =2

12

23 )( rr

braC

−+=

)()()()()()(

2

3

1

22

1

1

22

1 rs

C

rs

C

rs

C

rsrs

bsasX

−+

−+

−=

−−+=

Analogamente


Finalização

Portanto para qraízes iguais

[ ] qpsXrsds

d

pC

irs

qip

p

p ,,1 )()()!1(

11

1

�=

−

−=

=−

−

trqq

i

ietqrs

L 11

)!1(

1

)(

1 −−

−=

−

Generalizando

8


Exemplo de raízes simples usando MATLAB

Encontrar a TIL da expressão abaixo.

Método: usar o comando residue

6116

84

)(

)(23

2

+++++=

sss

ss

sD

sN


Solução

Usando os comandos:• np=[1 4 8];• dp=[1 6 11 6];• [r p k]=residue(np,dp);

Obtém-se r = [ 2.5 -4 2.5], p = [-3 -2 -1] e k = [ ], correspondendo a

e portanto

A função acima corresponde à resposta ao impulso, e pode ser traçada como comando impulse bem como calculada diretamente.

1

5.2

2

4

3

5.2

)(

)()(

++

+−+

+==

ssssD

sNsH

ttt eeeth −−− +−= 5.245.2)( 23 syms silaplace((s^2+4*s+8)/(s^3+6*s^2+11*s+6))

9


Comparando os resultados

Time (s ec .)

Am

plitu

de

Impuls e Res pons e

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1From: U(1)

To: Y

(1)

t=0:.1:5;h=2.5*exp(-3*t)-4.0*exp(-2*t)+2.5*exp(-t);impulse(np,dp);hold onplot(t,h,’*’)


Exemplo de raízes múltiplas com MATLAB


133

44

)(

)(23

2

+++++=

sss

ss

sD

sN

1


Solução

Usando os comandos:• np=[1 4 4];• dp=[1 3 3 1];• [r p k]=residue(np,dp);

Obtém-se r = [ 1 2 1], p = [-1 -1 -1] e k = [ ], correspondendo a

e portanto

Calculando a resposta acima bem como a resposta respectiva com ocomando impulse, as curvas encontram-se a seguir.

Obs.: Como pela convolução

32 )1(!2

1

)1(!1

2

1

1

)(

)()(

++

++

+==

ssssD

sNsH

tettth −++= )2121()( 2 syms silaplace((s^2+4*s+4)/(s^3+3*s^2+3*s+1))

( )ase Lat

+→←− 1

( ) ( )asastedee Latt ata

++→←= −−−−∫

110

)( τττ


Comparando

Time (s ec.)

Am

plitu

de

Impuls e Res pons e

0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4From: U(1)

To: Y

(1)

t=0:.1:10;h=1/2*t.^2.*exp(-t)+2.*t.*exp(-t)+exp(-t);impulse(np,dp);hold onplot(t,h,’*’)

1


Exemplo de raízes complexas


Nesse caso, a decomposição deve ser feita lembrando que

Seja

52

1

)(

)(2 ++

=sssD

sN

0,0

)()cos(

)()sen(

22

22

>>++

+=

++=

−

−

ba

bas

asbteL

bas

bbteL

at

at

( ( ))( ( ))s a bj s a bj− − + − − −1 2 e r a bj r a bj= − + = − −

( )( )s a bj s a bj+ − + +(( ) )(( ) )s a bj s a bj+ − + +

2 2( )s a b+ +


Solução

Usando os comandos:• np=[1 ];• dp=[1 2 5];• [r p k]=residue(np,dp);

Obtém-se r = [-0.25i 0.25i] e p = [-1+2j -1-2j]. Portanto pode-se escrever

o que leva à seguinte TIL, consultando a tabela

( ) )2sen(2

1

4

1

4

1

4

1)( 22)21()21( teieieeieieth tjtjtttjtj −−−−−+− =+−=+−=

( ) ( )js

i

js

isH

214

1

214

1)(

+−+

−−−=

1


Solução

Ou, usando os comandos:• np=[1 ];• dp=[1 2 5];• p=roots(dp);• a=real(p(1));• b=imag(p(1));

Obtém-se p = [-1-2j -1+2j] e a = -1, b = 2. Portanto pode-se escrever

o que leva à seguinte TIL, consultando a tabela

2 2 2 2

( ) 1 1( )

( ) ( ) ( )

N s bH s

D s s a b b s a b= = = ⋅

− + − +

)2sen(2

1)( teth t−=

2 2( sen )

( )at b

L e bts a b

− =+ +


Outro exemplo de raízes complexas


52

5

)(

)(2 ++

+=ss

s

sD

sN

1


Solução

Usando os comandos:• np=[1 5];• dp=[1 2 5];• p=roots(dp);• a=real(p(1));• b=imag(p(1));

Obtém-se p = [-1-2j -1+2j] e a = -1, b = 2. Portanto pode-se escrever

observando que agora temos uma soma de senóide e cossenóide

2 2 2 2 2 2

( ) 5 5( )

( ) ( ) ( ) ( )

N s s s a a bH s

D s s a b s a b b s a b

+ − += = = + ⋅− + − + − +

)2sen(2)2cos()( teteth tt −− += ilaplace((s+5)/(s^2+2*s+5))


Comparando

Time (s ec.)

Am

plitu

de

Impuls e Res pons e

0 1 2 3 4 5 6-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6From: U(1)

To: Y

(1)

t=0:.1:10;h=exp(-t).*cos(2*t)+2*exp(-t).*sin(2*t);impulse(np,dp);hold onplot(t,h,’*’)

1


Solução de equações diferenciais

■ A Transformada de Laplace facilita a solução de equaçõesdiferencias.

■ O resultado obtido é a solução completa.■ O método consiste em três passos:

• Aplica a propriedade da derivada no tempo• Decompõe a expressão resultante em termos simples• Calcula a transformada inversa


Solução de equação de 2a. ordem

Encontrar a solução da equação abaixo:

Usando:

0)0(

3)0(

0372

==

=++

x

x

xxx

�

��

[ ] )0()0()(

)0()(

xxssXsx

xssXxL

L

��

�

−−→

−→

1


Solução

Aplicando Laplace:

0)(3)0(7)(7)0(2)0(2)(2 2 =+−+−− sXxssXsxxsXs �

Substituindo as condições iniciais:

216)(3)(7)(2 2 +=++ ssXssXsXs

Separando em frações parciais:

3

6.0

5.0

6.3)(

+−

+=

sssX

Encontrando a transformada inversa:tt eetx 35.0 6.06.3)( −− −=

372

216)(

2 +++=

ss

ssX

( )( )35.0

216)(

+++=

ss

ssX


Aplicando a sistemas lineares

O mesmo método pode ser aplicado para seencontrar respostas completas de sistemaslineares representados por sua função detransferência ou por sua EDG.

1


Conversão FT para ME

■ Para converter de FT para ME os métodos derealização de sistemas já apresentados podem serusados.

■ A partir da FT podem ser encontrados diretamenteos modelos canônicos controlável e observável.

■ Também podem ser encontrados os modelos emcascata e desacoplado (diagonal).


Exemplo de 1a. ordem

)()( 00 tubtyay =+�Seja

)()( 0 tubtyy ττ =+�

)()(1

0 tubtyy =+τ

�

τ

γ

0)0( xx =

)()()0()( sUsYyssY γττ =+− )(1

)( sUs

sY+

=τ

γ

Função de transferência

γConst. de tempo

Ganho estáticoAplicando Laplace

Condições iniciais nulas

1


Resposta ao impulso unitário

[ ] 1)()( == tLsU δunitário impulso )()( ⇒= ttu δ

)(1

)( sUs

sY+

=τ

γ1

)(+

=s

sYτ

γ

[ ] ??)()( 1 == − sYLty

( )ττγ1

1)(

+=

ssY

A) Seja

te

sLty τ

τγ

ττγ 1

1

1)(

−− =

+

= tety τ

τγ 1

)(−

=


0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Matlab: Resposta ao impulso unitário

( )t

y t e τγτ

−=

Sistema estável

Usando os comandos:• t=0:0.1:10;• tau =1• np=[1 ];• dp=[tau 1];• y1=impulse(np,dp,t)• tau =2• dp=[tau 1];• y2=impulse(np,dp,t)• plot(t,y1,t,y2)

1τ

2τ

12 ττ >

1


Resposta ao degrau unitário

[ ]s

tuLsU1

)()( ==B) Seja unitáriodegrau )( =tu

)(1

)( sUs

sY+

=τ

γss

sY1

1)(

+=

τγ

[ ] ??)()( 1 == − sYLty

( )sssY

ττγ

1

1)(

+=

( ) s

C

s

C

ss21

11

1 ++

=+ ττ

τ Fraçõesparciais


Continuação

)1(* τ+s

Como s pode assumirqualquer valor τ

1−=s 11 −=C

( ) s

C

s

C

ss21

11

1 ++

=+ ττ

τ

( )21

11C

s

sC

s

ττ

++=

1


Continuação

s*


0=s 12 =C

Analogamente

( ) s

C

s

C

ss21

11

1 ++

=+ ττ

τ

( ) 2111

1CC

s

s

s+

+=

+ τττ


Finalização

−=

+

−=−− t

ess

Lty τγτ

γ1

1 11

11)(


+

+−=

sssY

1

1

1)(

τγ

−=

− tety τγ

1

1)( syms tau s gamailaplace(gama*(1/tau)/((s+1/tau)*s))

2


0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Matlab: Resposta ao ao degrau unitário

Efeito da constante de tempo

−=

− tety τγ

1

1)(

Usando os comandos:• t=0:0.1:10;• tau =1• np=[1 ];• dp=[tau 1];• y1=step(np,dp,t)• tau =2• dp=[tau 1];• y2=step(np,dp,t)• plot(t,y1,t,y2)

1τ2τ

12 ττ >


0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

continuação

Efeito do ganho estático

12 γγ >Usando os comandos:

• t=0:0.1:10;• gama =1• np=[gama];• dp=[1 1];• y1=step(np,dp,t)• gama =2• np=[gama];• y2=step(np,dp,t)• plot(t,y1,t,y2)

1γ

2γ

2


Resposta à rampa unitária

[ ]2

1)()(

stutLsU ==

unitáriodegrau )( =tu

[ ] ??)()( 1 == − sYLty

C) Seja

unitária rampa)( =tut

)(1

)( sUs

sY+

=τ

γ2

1

1)(

sssY

+=

τγ

( ) 21

1)(

sssY

ττγ

+=

( ) s

C

s

C

s

C

ss3

221

2 11

1 +++

=+ ττ

τ Fraçõesparciais


Continuação

)1(* τ+s


1−=s τ=1C

( ) ( )32212

111C

s

sC

s

sC

s

τττ

++++=

( ) s

C

s

C

s

C

ss3

221

2 11

1 +++

=+ ττ

τ

2


Continuação

)(* 2s


0=s 12 =C

( ) s

C

s

C

s

C

ss3

221

2 11

1 +++

=+ ττ

τ

( ) 321

2

11

1sCCC

s

s

s++

+=

+ τττ


Continuação


0=s τ−=3C

( ) 321

2

11

1sCCC

s

s

s++

+=

+ τττ

derivando comrelação a s

( ) ( )2

11 32 2

1 2

11 1

s s CC C

ss s

τττ τ−− = − +

++ +

2


Finalização

−+=

−+

+=

−− ττγττ

τγ τ tesss

Ltyt

1

21 1

1)(


−+

+=

ssssY

ττ

τγ2

1

1)(

−+=

−ττγ τ tety

t1

)( syms tau s gamailaplace(gama*(1/tau)/((s+1/tau)*s^2))


0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Matlab: Resposta a rampa unitária

−+=

−ττγ τ tety

t1

)( )(t∆

2


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

continuação

Efeito da constante de tempo

Usando os comandos:• t=0:0.1:10;• ramp=t;• gama =2• tau=0.5• np=[gama];• dp=[tau 1];• y1=lsim(np,dp,ramp,t);• tau=2• np=[gama];• dp=[tau 1];• y2=lsim(np,dp,ramp,t);• plot(t,y1,t,y2)

1τ

2τ

12 ττ >


Resposta a uma senóide

[ ]22

)()(ω

ωω+

==s

tsinLsU)()( tsintu ω=

[ ] ??)()( 1 == − sYLty

D) Seja

( ) ωωτωω

ττ

js

C

js

C

s

C

ss −+

++

+=

++321

22 11

1 Fraçõesparciais

)(1

)( sUs

sY+

=τ

γ221

)(ω

ωτ

γ++

=ss

sY 221

1)(

ωω

ττγ

++=

sssY

2


Continuação

)1(* τ+s


1−=s 221 1 τωωτ

+=C

( ) ωωτωω

ττ

js

C

js

C

s

C

ss −+

++

+=

++321

22 11

1

( ) ( )32122

111 C

js

sC

js

sC

s ωτ

ωτ

ωωτ

−++

+++=

+


Continuação

)(* ωjs +


ωjs −= ( )( )ωτωτω

jjC

212 −+−=

( ) ωωτωω

ττ

js

C

js

C

s

C

ss −+

++

+=

++321

22 11

1

( ) ( )( )( )

( )( ) 32111

1C

js

jsCC

s

js

jss ωω

τω

ωω

ττ

−+++

++=

−+

2


Continuação

)(* ωjs −


s jω= ( )( )ωτωτω

jjC

213 +=

( ) ωωτωω

ττ

js

C

js

C

s

C

ss −+

++

+=

++321

22 11

1

( ) ( )( )( )

( )( ) 32111

1CC

js

jsC

s

js

jss+

+−+

+−=

++ ωω

τω

ωω

ττ


Continuação

[ ] [ ] [ ] [ ])()()()()( 31

21

111 sYLsYLsYLsYLty −−−− ++==


( )( ) ( ) ( )( ) ( )

−+

++−+−

+++

=ωωτω

τωωωτω

τωττω

ωτγjsjjjsjjs

sY1

21

1

211

1

1)(

22

)(1 sY )(2 sY )(3 sY

2


Continuação

τ

τωωτ

ττωωτ t

es

Lty−−

+=

++

=2222

11 11

1

1)(

Calculando as LITs

( )( ) ( ) ( )( )tje

jjjsjjLty ω

ωτωτω

ωωτωτω −−

−+−=

+−+−=

21

1

21)( 1

2

( )( ) ( ) ( )( )tje

jjjsjjLty ω

ωτωτω

ωωτωτω

21

1

21)( 1

3 +=

−+= −


Finalização

( )( ) ( )( )

+

+−+−

++

=−−

tjet

ejj

ejj

etytj ωτ

ωτωτω

ωτωτω

τωωτγ

ω

21211)(

221

Calculando as LITs

tjte

tjtejt

jt

sencos

sencos

−=

+=−

++

+=

−ttety

t

ωτω

ωτω

ωτγ τ sen1

cos1

)(221

Utilizando asexpressões de Euler

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