Complementos de Matemática – Prof. Darlan Moutinho

Transformadas de Laplace.

Transformadas de Laplace – Tabela

F(t) f(s)1 1

st 1

s2

t n−1

(n−1 ) !1

sn

eat 1s−a

senata

1

s2+a2

cosat s

s2+a2

ebt senata

1

(s−b)2+a2

ebt cosat (s−b)¿¿

senhata

1

s2−a2

cosat s

s2−a2

ebt coshat s−b¿¿

ebt senhata

1¿¿

ebt−eat

b−a1

(s−a )(s−b)a≠b

bebt−a eat

b−as

(s−a )(s−b)a≠b

tsenat2a

s

(s2+a2)2

senat+atcosat2a

s2

(s2+a2)2

cosat−12atsenat s3

(s2+a2)2

tcosat s2−a2

(s2+a2)2

1

Transformadas inversas de Laplace

Definição.Se a transformada de Laplace de uma função F(t) é f(s), isto é, L(F(t)) = f(s) então F(t) é a transformada inversa de Laplace e L-1(f(s)) = F(t).Exemplo.

1. L-1(1/s) = 1 pois L(1) = 1/s

2. L−1( 1

s2+9 )= sen3 t3 pois L( 13 sen3 t)=13 L ( sen3 t )=13

3

s2+9=

1

s2+9

3. L−1( 3s−4 )=3 L−1( 1

s−4 )=3e−4 t

Encontre as transformadas inversas de Laplace das seguintes transformadas.

1)f(s) = 1

s2+92¿ f ( s)= 1

s43¿ f ( s)= s

s2−16

4 ¿ f ( s)= 4s−2

5¿ f (s )= s

s2+26¿ f (s )= 1

s2−3Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções.1¿3e−2t2¿5 t−33¿2 t 2−e−2 t4 ¿10 sen6 t5¿10 sen6 t 6¿6 sen2 t−5cos2 t 7¿¿Encontre as transformadas inversas de Laplace das seguintes transformadas.

01)5 s+4s3

−2 s−18s2+9

02¿ 62 s−3

− 3−4 s9 s2−16

+ 8−6 s16 s2−9

03¿ 1

s2−304)Mostre que, se L-1{f(s)} = F(t), então L-1{f(s-a)} = eat F( t)Encontre as transformadas inversas de Laplace.

01)6 s−4

s2−4 s+2002¿ 4 s+12

s2+8 s+1603¿ 3 s+7

s2−2 s−3

2