MateMática VaULa 07:

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: MUTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE ARCOS

eXeRcÍciOS PROPOStOSAnUaL

VOLUME 2

OSG.: 096254/15

01. Considere a figura, em que h é a diferença pedida.

100 m

15º

h

Sabendo que cos 30º = 3

2, vem

sencos

sen

sen,

sen

2 230

2

1 30

215

13

22

152 1 73

2

1

°

=

− °⇔ ° =

−

⇒ ° ≅−

⇒ 551

2

27

100

151

2

3 1 73

1015 0 26

° ≅ ⋅

⇒ ° ≅ ⋅⋅

⇒ ° ≅

sen,

sen , .

Portanto,h = 100 · sen 15° ≅ 100 · 0,26 = 26 m.

Resposta: B

02. Observando a figura abaixo, temos:

a

ax

���

θ

θθ

θ

I. volume vazio = a2 · 1

4

1

2a

= · a2 · x → xa=2

II. tgx

a

a

aθ = = =

2

1 1

2.

III. Já para tg(q) = 1

4, com 0 < q <

π2

, obtemos:

1

4

a 17

a2 = 12 + 42

a = 17

sen q 1

17 e cos q

4

17

Logo, cos2q – sen2q = cos2q – sen2q – 2senq · cosq =

−

− = − − =4

17

1

172

1

17

4

17

16

17

1

17

8

17

7

17

2 2

. .

Resposta: A

OSG.: 096254/15

Resolução – Matemática V

03. Sabendo que cos (k · 2π + α) = cosα com k ∈ , α ∈ ]0, 2π[ e cos (π – β) = – cosβ, sendo β um arco do segundo quadrante, obtemos:

cos cos,

,

cos,

,

a a

a22 21

33

12 2 4

1 44

9 60

1 44

−

=−

=

π π

π

=

= +

=

= −

cos

cos

cos

cos

20

3

62

3

2

3

3

π

ππ

π

π

= −1

2.

Resposta: A

04. No plano inclinado, a força de atrito é numericamente igual à componente do peso (P) no eixo x.Veja:

yF

x

α

α

Px

P

• senPx

PF P P senxα α= → = = ·

Assim, nas figuras 1 e 2, as forças de atrito são respectivamente iguais a:

F1 = P · sen 2q e F

2 = P · senq

Portanto, houve uma variação relativa de:

F F

F

P sen P sen

P sen

P sen

P2 1

1

2

2

1 2− = − =−( )· · · cos

· · · cos

· · cosθ θ θθ θ

θ θ·· · · cos2 senθ θ

Assim, F F

F2 1

1

1 2

2

− = − cos

cos,

θθ

onde q é solução da equação:

tg2q + 1 = 25

16 → sec2q 25

16 → secq =

5

4→ cosq =

4

5, positivo, pois q é agudo.

Daí, F F

F2 1

1

1 245

245

3

5

5

837 5

− =−

= −

= −·

·· , %

Logo, houve uma redução de 37,5%

Resposta: D

05. Temos:

I. EA = EG = 3

II. AF = FG = x

III. AÊF = GÊF = αIV. 32 = 22 + y2 → y2 = 5 → y = 5

V. x2 = 12 + (y – x)2

x2 = 1 + 5 – 2 5x + x2

2 5x = 6

x = =3

5

3 5

5

Resposta: D

yE

Ax

x

F

α

α

B

1

2

y – x

3

G3

OSG.: 096254/15

Resolução – Matemática V

06. Imediato:

A

y

Q

P

x(– 1,0) (1,0)11 0θ/2 θ

∆AQP → sen θ2

= PQ

2 → PQ = 2 sen

θ2

Resposta: B

07. Temos que:

f x x sen x

x sen x

x se

( ) = + −

( ) = − +

( ) = +

2 2 1

2 1 2

2

2

2

cos

cos

cos

f x

f x

nn x

f x sen x

sen x sen x

2

2

2

2

22

2

22

2

245 2 2 4

· (x) · cos

· º cos · cos

= +

( ) = +f x 55

2 24

2 2

º

·

,

( )

( ) = +

−

f x

Logo:

Imf =

sen xπ

Resposta: D

08. Temos:

• cotg 2x = 1 → = →−

=tg xtg x

tg x2 1

2

112

Então:2 1

2 1

2 1 2

1 2

1 2 0

2

2

2

2

tgx tg x

tg x tg x

tg x tg x

tgx

tgx x

= −

+ =

+ + =

+( ) =

+ = ∈, ,π22

2 1

= −tgx

• ∆ auxiliar → Pitágoras

a

1

x

2 1−

a

a

2 22

2

1 2 1

4 2 2

= + −( )= −

OSG.: 096254/15

Resolução – Matemática V

• Logo:

cos2x = 1 1

4 2 2

4 2 2

8

2 2

42a=

−=

+=

+

cos x = 1

22 2· .+

Resposta: A

09. Temos:

I. 202 = 152 + x2 → x = =175 5 7

II. cosq = 15

20

3

4= e senq =

5 7

20

7

4=

III. cos2q = cos2q – sen2q = 9

16

7

16

2

16

1

8− = =

Resposta: E

10. ∆DEB:

x 2 x

2 xx

4 x

h

B

AyEDC160

160

100

100

isósce

les

isósc

eles

I. No ∆DEB:

• 1002 = 802 + a2 → a = 60

• sen2x = 60

100 cos2x =

80

100

B

D E100

a

100

160160

2 x

2 x

80

80

II. No ∆DEB:

sen4x = sen(2 · 2x) = h

100 → 2 sen2x · cos2x =

h

100 → 2

60

100

80

100 100· · =

h → h = 96 m

Outra solução:

160 100

100

2 2 2

2 2 2

= +( ) +

= +

y h

y h

Subtraindo, obtemos:

y = 28 e, depois, h = 96

Resposta: A

2015

x

θ

SM – 09/11/15 Rev.: AC09625415_pro_Aula07 – Transformações Multiplicação e divisão de Arcos