TRANSMISSÃO DE PRESSÃO EM FLUIDO DE PERFURAÇÃO CONFINADO EM

POÇO FECHADO

1 Tainan G. M. Santos,

2 Gabriel M. Oliveira e

3 Cezar O. R. Negrão

1

Bolsista de mestrado da CAPES/PPGEM/UTFPR 2

Bolsista de doutorado da CAPES/PPGEM/UTFPR 3 Professor da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR

1,2,3

Centro de Pesquisas em Reologia e Fluidos Não Newtonianos, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Av. Sete de Setembro, 3165, Bloco D, Campus Curitiba, Curitiba – PR, CEP 80230-901

e-mail: tainan@alunos.utfpr.edu.br

RESUMO - Esse estudo apresenta um modelo matemático para simular a propagação de pressão de um fluido de perfuração em um poço de geometria tubo-anular pressurizado na entrada e fechado na saída. O modelo é unidimensional e baseia-se no deslocamento axial do fluido. A velocidade local axial também é dependente da posição radial. O escoamento é considerado laminar e fracamente compressível. O sistema é isotérmico. As equações da conservação da massa, da quantidade de movimento, de estado e constitutiva são resolvidas iterativamente através do método dos volumes finitos. Emprega-se o esquema Upwind de primeira ordem para a aproximação dos termos não lineares. O método totalmente implícito é utilizado na aproximação temporal. Valores de pressão obtidos pelo modelo são comparados com o modelo de Oliveira et al. (2013) e com dados obtidos na unidade experimental de Taquipe para água. O presente modelo apresenta ordens de magnitude e frequências de oscilação da pressão condizentes com os resultados experimentais. O presente modelo é mais dissipativo do que o de Oliveira et al. (2013), pois o termo de dissipação viscosa considera a frequência das oscilações. A transmissão e a dissipação da pressão são mais próximas das verificadas experimentalmente.

Palavras-Chave: transmissão de pressão, escoamento transiente, fluido de perfuração

INTRODUÇÃO

Durante a perfuração de poços de petróleo, algumas válvulas são abertas por diferença de pressão. O procedimento consiste em bombear fluido no interior da tubulação para que ocorra a transmissão de pressão ao fundo do poço e a válvula seja aberta. Contudo, Oliveira et al. (2012) relata que em alguns casos apenas uma fração da pressão bombeada chega ao fim da tubulação. Dessa forma, a válvula permanece fechada. Para solucionar esse problema é necessário retirar o fluido e substituí-lo por água. Porém, isso é demorado e caro.

Como esse mecanismo ainda não é bem entendido, estudos são necessários para ampliar a compreensão do fenômeno. Diversos trabalhos sobre fluidos de perfuração e petróleo, como: Davidson et al. (2004), Vinay et al. (2006 e 2007) e Wachs et al. (2009), estudam o reinício do escoamento, problema no qual a saída encontra-

se aberta. Os trabalhos de Oliveira et al. (2010) e Negrão et al. (2011) tentam compreender esse fenômeno através de modelos unidimensionais que adotam a hipótese de tensão de cisalhamento variando linearmente com o raio.

Um problema parecido é o golpe de aríete, definido por Watters (1984) como escoamentos transientes gerados em tubulações como resultado de mudanças abruptas nas condições de escoamento. Essas mudanças podem ser ocasionadas pelo repentino fechamento de uma válvula ou desligamento da bomba. Holmboe e Rouleau (1967) fazem um experimento com água e óleo no qual a entrada encontra-se pressurizada por um reservatório infinito e a válvula de saída é repentinamente fechada. Esse trabalho e o de Wylie et al. (1993) evidenciam que modelos sem a consideração de que o fator de atrito varia com a frequência de oscilação são menos dissipativos do que o verificado experimentalmente. Wahba (2008) e Wahba (2013) propõe um modelo

bidimensional capaz de representar a dissipação para o óleo do experimento de Holmboe e Rouleau (1967).

Oliveira et al. (2013) estudam o fenômeno de transmissão de pressão a partir de comparações com resultados do campo experimental de Taquipe. o modelo matemático adota a hipótese de tensão de cisalhamento variando linearmente com o raio e desconsidera as variações radiais da velocidade axial.

Para compreender melhor esse fenômeno, o presente trabalho se propõe a modelar a transmissão de pressão em poços de perfuração relaxando as hipóteses adotadas por Oliveira et al. (2013) e validar o modelo matemático através da comparação resultados desse e com dados obtidos para a água no campo experimental de Taquipe.

MODELAGEM MATEMÁTICA

Descrição do problema

A operação de perfuração do poço é ilustrada na Figura 1. O fluido de perfuração é bombeado pela coluna de perfuração e retorna pelo espaço anular entre a coluna e a parede do poço. No presente estudo a região de saída do anular encontra-se fechada, dessa forma o fluido se acumula na tubulação e aumenta a pressão. Conforme a Figura 1(a), a coluna de perfuração e o espaço anular possuem seção constante e

comprimentos de, respectivamente, 1L e

2L .

Assim, o comprimento total da tubulação é

1 2TL L L . A Figura 1(b) mostra que o diâmetro

do tubo é 1D e que o espaço anular é formado

pela área entre os diâmetros interno, 2,iD , e

externo, 2,eD .

g

r

z

L1L2

D1 D2,i D2,e

(a) (b)

Figura 1 – Geometria do problema: (a) vista em

corte e (b) vista superior

Nota-se que a broca de perfuração não foi incluída no esquema. Dessa forma, considera-se que o fluido escoa diretamente da coluna de

perfuração para o espaço anular. Assim, no acoplamento adota-se a hipótese de que a pressão é a mesma e a velocidade é inversamente proporcional à área das duas regiões. A estrutura da coluna de perfuração é rígida, portanto o modelo não considera a deformação da estrutura. As outras hipóteses simplificadoras são: fluido fracamente compressível, escoamento unidimensional, laminar, velocidade axial dependente das posições axial e radial, isotérmico e massa específica e pressão constantes ao logo da seção radial. A tensão é calculada a partir da equação constitutiva do fluido em análise.

Equações governantes

Aplicando as hipóteses descritas acima, as equações da conservação da massa e da quantidade de movimento podem ser simplificadas como:

0Vt z

(1)

1

rz

Pu uu r g

t z z r r

(2)

sendo u a velocidade axial local, V a velocidade

média ao longo da seção radial, a massa

específica, P a pressão, g a aceleração da

gravidade, rz a tensão de cisalhamento

perpendicular à direção radial exercida axialmente, r , z e t as coordenadas radial, axial

e temporal. A compressibilidade isotérmica do fluido é definida como (Anderson, 1990):

2

1 1

TP c

(3)

sendo a compressibilidade isotérmica, c a

velocidade de propagação da onda de pressão e T a temperatura. Integrando a Equação 3 de um estado de referência ao estado atual, obtém-se equação de estado que relaciona a massa específica com a pressão:

0

0

1lnP P

(4)

sendo o subíndice 0 indicativo de estado de

referência.

Equações constitutivas

De forma geral, a equação constitutiva é representada por:

u

r

(5)

sendo a viscosidade absoluta e a taxa de

cisalhamento.

ALGORITMO

O modelo matemático é resolvido utilizando o método dos volumes finitos e os termos não lineares são discretizados a partir do esquema Upwind (Patankar, 1980). A aproximação temporal adota o método totalmente implícito. As equações da conservação da massa de estado são discretizadas utilizando malhas unidimensionais divididas axialmente em NZ

volumes de controle. Já a equação constitutiva utiliza malha unidimensional dividida em NR

células. Enquanto que para a equação da quantidade de movimento a malha é bidimensional com volumes de controle de dimensão z por r .

Na direção axial, a malha de pressão e massa específica é deslocada em relação à malha de velocidade. Na direção radial, a malha de velocidade é deslocada em relação à malha de tensão. Na direção axial os valores de pressão e massa específica são avaliados no centro de cada volume e os valores de velocidade nas fronteiras dos volumes de controle. Na direção radial, a velocidade passa a ser avaliada no centro células enquanto que as tensões são avaliadas nas fronteiras dos volumes de controle. Como pressão e massa específica dependem apenas da coordenada axial, a representação da posição é denotada pelo índice minúsculo i , ao

passo que a velocidade média é indicada pelo índice I . Contudo, as velocidades locais são indicadas pelos índices I e j (radial), enquanto

que as tensões são avaliadas nas posições

denotas por I e J . Os índices k e 1k

representam os instantes atual e futuro. Dessa forma a equação da conservação da

massa discretizada é representada por:

1

k

k i i i

i

i

b c

a

(8)

sendo

1

1

k

i I

za V

t

(9)

i

zb

t

(10)

1k

i Ic V (11)

A equação de estado discretizada:

1

1

0

0

1ln

k

k i

iP P

(12)

A equação da quantidade de movimento

discretizada:

1 1 1

, , , 1, , , , , 1 ,1

,

,

k k k k

I j I j I j I j I j I J I j I J I jk

I j

I j

B u C u D E Fu

A

(13)

sendo

1 11 11, ,11

,2 2

k kk kI j I jki i

I j i

u uzA

t

(14)

1

,2

k k

i i

I j

zB

t

(15)

1 1

, 1,1

, 12

k k

I j I jk

I j i

u uC

(16)

,

J

I j

j

r zD

r r

(17)

1

,

J

I j

j

r zE

r r

(18)

1 1

1 1 1

, 12

k k

k k i i

I j i iF P P g z

(19)

A equação constitutiva discretizada:

1 1

, 1 ,1

,

k k

I j I jk

I J

u u

r

(20)

O algoritmo para solução desse conjunto

de equações é: (i) leitura dos dados e inicialização das variáveis; (ii) cálculo da velocidade média em cada seção axial; (iii) cálculo dos coeficientes da equação da conservação da massa; (iv) determinação da massa específica para cada posição axial; (v) determinação da pressão com a equação de estado; (vi) cálculo dos coeficientes da equação constitutiva; (vii) determinação da tensão; (viii) cálculo dos coeficientes da equação da quantidade de movimento; (ix) determinação

da velocidade local; (x) verificação do critério de convergência; e (xi) verificação do tempo máximo

de simulação, maxt .

Utiliza-se como critério de convergência o resíduo da equação da conservação da massa,

max :

1

max

1 k k

i i i i i

ient ent

a b cV

(23)

De forma a garantir que os resultados

fossem independentes da malha e do resíduo, uma análise de sensibilidade de malha e resíduo foi conduzida. Verificou-se que 2000 células axiais e 40 radiais na região da coluna de perfuração e o mesmo número de volumes controle para o espaço anular com resíduo máximo de 0,001 garante um resultado independente. Além disso, Fortuna (2000) afirma que é necessária verificar o critério de estabilidade ( CFL , Equação 24), pois

valores baixos podem causar instabilidades e dispersões numéricas. Assim, adotou-se CFL = 1

nas simulações.

1t

CFL cz

(24)

APARATO EXPERIMENTAL

O modelo é validado com o aparato experimental apresentado em Oliveira et al. (2013). A Petrobras possui uma sonda experimental de perfuração em São Sebastião do Passé – Ba (NUEX-Taquipe) que é utilizada para realizar ensaios com condições de campo. O aparato experimental, conforme a Figura 2, consiste em uma coluna de perfuração com diâmetro externo e interno de, respectivamente, 88,9 mm e 76 mm, e um revestimento de poço de 157 mm de diâmetro interno. Dois sensores de fibra óptica do tipo Bragg foram colocados na coluna de perfuração e seis no revestimento do poço para medir temperatura e pressão. De maneira a simplificar a ilustração dos resultados, somente os resultados de três sensores (S1, S2 e S3), conforme mostra a Figura 2, são utilizados na comparação. O primeiro está localizado na coluna de perfuração e os dois últimos no espaço anular a uma distância de 29 m (S1), 1192 m (S2) e 14,64 m (S3) abaixo da cabeça do poço.

O fim da coluna de perfuração foi acoplado sem a broca e próximo ao fundo do poço. Dessa forma, tanto o comprimento da coluna de perfuração como do revestimento do poço foi considerado 1192 m. Durante os testes, o fluido é pressurizado através da coluna de perfuração e o espaço anular é mantido fechado. As flechas verticais da Figura 2 ilustram a direção do

escoamento. O sistema de circulação estava conectado com a cabeça do poço através de um sistema de controle de pressão máxima e vazão de escoamento da bomba de entrada. A pressão máxima é estabelecida conforme o peso do fluido no fundo do poço.

S3S1

S2

Equipamentode proteção

Coluna deperfuração

Revestimentodo poço

Figura 2 – Diagrama esquemático da sonda

experimental de Taquipe A sequencia do teste é: (i) preenchimento

do poço com fluido; (ii) fechamento da linha de escoamento para evitar o retorno; (iii) bombeamento do fluido no poço à vazão constante; (iv) fechamento da bomba antes que a máxima pressão de trabalho seja atingida; (v) estabilização da pressão; e (vi) despressurização do poço pela abertura da válvula.

t [s]

P[M

Pa]

0 50 100 150 200 250 3000

2

4

6

8

10

12

14

16

ExperimentalOliveira et al. (2013)Modelo

S1(a)

150 155 160 16514

14.4

14.8

15.2

280 290 30014.5

14.6

14.7

14.8

t [s]

P[M

Pa]

0 50 100 150 200 250 3000

2

4

6

8

10

12

14

16

ExperimentalOliveira et al. (2013)Modelo

S2(b)

150 155 160 16514.4

14.5

14.6

14.7

14.8

280 290 30014.5

14.6

14.7

14.8

t [s]

P[M

Pa]

0 50 100 150 200 250 3000

2

4

6

8

10

12

14

16

ExperimentalOliveira et al. (2013)Modelo

S3(c)

150 155 160 16514.4

14.6

14.8

15

15.2

280 290 30014.6

14.7

14.8

14.9

Figura 3 – Comparação da evolução temporal da pressão dos dados medidos, calculados por

Oliveira et al. (2013) e do presente modelo para a água com vazão de 1,122 l/s: (a) S1, (b) S2 e (c) S3 Dessa forma, como condição inicial,

considera-se que o fluido está em repouso ao longo de todo o domínio. Ou seja, os campos de velocidade local e médio inicial são zero,

, , 0 0u r z t e , , 0 0V r z t . A pressão

inicial é a hidrostática. Como o poço é mantido fechado durante o experimento, a velocidade de

saída é nula, , , 0Tu r z L t e , , 0TV r z L t .

Conforme o fluido é injetado, a pressão aumenta

continuamente até o instante, sett , antes que a

pressão na entrada atinja um valor determinado,

setP , que garanta que a pressão de trabalho

máxima não seja alcançada a fim de evitar a fratura. Assim, a condição de contorno na entrada da coluna de perfuração é:

0

ent set

set

V t tV

t t

(25)

O fluido injetado no experimento foi a:

água. A velocidade de propagação da onda de pressão foi estimada usando o tempo de propagação entre dois sensores. As propriedades do fluido, conforme Oliveira et al. (2013), são apresentadas na Tabela 1.

Tabela 1 – Propriedades dos fluidos

Fluido Água

Massa específica, 0 [kg/m³] 1000

Viscosidade, [Pa.s] 0,001

Velocidade da onda, c [m/s] 1350

Tensão limite, y [Pa] 0

VALIDAÇÃO

A água foi utilizada para comparar os resultados experimentais, de Oliveira et al. (2013) e do presente modelo.

A bomba foi ligada com vazão constante de 1,122 l/s (velocidade de entrada de 0,247 m/s) e desligada no instante em que a pressão no fundo atingiu 14,69 MPa (2130 psi). A Figura 3 mostra a comparação dos valores calculados por Oliveira et al. (2013), pelo presente modelo e medidos para a pressão no primeiro (S1), segundo (S2) e terceiro (S3) sensor. Ressalta-se que a pressão hidrostática foi subtraída desses valores. Depois que a bomba foi desligada, uma boa concordância entre os resultados dos modelos e experimental é verificada. Diferentemente do modelo de Oliveira et al. (2013), a pressão do presente modelo se dissipa na mesma intensidade que a do medido. Porém, a frequência de oscilação não é a mesma. No fim da simulação (280 – 300 s), nota-se que embora a fase e o valor de oscilação sejam diferentes, a amplitude é semelhante. No sensor S1 a pressão oscila em torno do mesmo valor tanto para os resultados computados quanto medidos. Contudo,

para os sensores S2 e S3, as pressões calculadas oscilam, respectivamente, acima e abaixo das medidas experimentalmente.

CONCLUSÃO

Esse trabalho apresentou um modelo para simular a propagação da onda de pressão quando um fluido Newtoniano é bombeado em uma coluna de perfuração acoplada a um espaço anular fechado na saída. Valores obtidos para água foram comparados com dados experimentais e com o modelo de Oliveira et al. (2013). O presente modelo obteve resultados parecidos com os desse grupo de autores, porém apresentou uma dissipação mais próxima à medida no aparato. Assim, percebe-se que a relaxação da hipótese de tensão de cisalhamento proporcional ao raio aumenta a dissipação do modelo.

Além disso, destacam-se algumas potencialidades do modelo: (i) a equação constitutiva newtoniana pode ser substituída por um modelo lei de potência ou tixotrópico; (ii) as condições de contorno e iniciais podem ser alteradas de forma a simular o golpe de aríete ou o reinício do escoamento.

Portanto, conclui-se que o modelo é interessante para estudar problemas de escoamento transitório em tubulações e é capaz de representar de maneira satisfatória a transitoriedade da transmissão de pressão da água confinada em um poço de perfuração fechado.

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AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o suporte financeiro da PETROBRAS S/A, ANP, FINEP, CNPq e CAPES.