Trigo0

Aplicativos em Multimídia

Matemática

MSGLINE

Trigonometria

Carlos Nadaline – [email protected]

Supervisor

Relações métricas no triângulo retângulo

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Ângulo central

Comprimento de um arcoCircunferência orientada

Circunferência trigonométrica

MSGLINE

Funções trigonométricas

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Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 41--9153.5097 Matemática


Relações Métricas no Triângulo Retângulo

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Estudo da TrigonometriaEstudo da TrigonometriaMatemática Carlos Nadaline 41--9153.5097


Elementos de um triângulo retânguloA

B

CH

a

m

n

c

bh

A + B + C = 180º

A = 90ºEncerrar

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Estudo da trigonometriaMatemática Carlos Nadaline 41--9153.5097


Elementos de um triângulo retângulo

A

BC

H

am

n

cb

h

BC hipotenusa(Oposto ao ângulo reto )

AC e AB são os catetos (opostos aos ângulos agudos)

AH é a altura relativa a hipotenusa

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Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline

9153.5097


Elementos de um triângulo retângulo A

B

CHa

m

n

c

bh

BH e HC são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa

BC = a AB = c BH = n

AC = bAH = h HC = m

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9153.5097


A

B

CH

a

m

n

c

bh

Relações métricas nos triângulos retângulos

h2= mn

b2=am

c2= an

ha = bc a2 =b2+c2Encerrar

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9153.5097


A

B

CH

a

m

n

c = 8

b = 6h

Exercícios resolvidosNum triângulo retângulo os catetos c e b ,medem 8 cm e 6 cm. Calcule:

a) hipotenusa

a2 = b2 + c2

a2 = 62 + 82a2 = 36 + 64

a = 100 a = 10 Encerrar

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9153.5097


A

B

CH

m

n

c = 8

b = 6h


b) A altura relativa a hipotenusa

ha = bc

a = 10 cm

h . 10 = 6 . 8

h = 4810

h = 4,8 cm Encerrar

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9153.5097


A

B

CH

m

c = 8

b = 6


c) Cálculo de m

c2 = an

a = 10 cm

82 = 10 . n

h = 4,8 cm

n = 10

64n = 6,4 cm

n

Encerrar

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9153.5097


A

B

CH

c = 8

b = 6

Exercícios resolvidosNum triângulo retângulo os catetos c e b ,

medem 8 cm e 6 cm. Calcule:

c) Cálculo de m

m + n = a

a = 10 cm

m + 6,4 = 10

h = 4,8 cm

n = 6,4 cm

m = 3,6 cm

Encerrar

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

B

CH

c = 8

b = 6


d) Cálculo do perímetro

p = a + b + c

a = 10 cm

p = 10 + 6 + 8 = 24

h = 4,8 cm

n = 6,4 cm

m = 3,6 cm

p = 24 cm Encerrar

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9153.5097


A

B

CH

c = 8

b = 6


e) Cálculo da área

S= base . altura

a = 10 cm

h = 4,8 cm

n = 6,4 cm

m = 3,6 cm

2S = b . c

2S = 6 . 8

2

S = 24 cm2

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9153.5097


Exercícios

1) Calcule a diagonal de um retângulo de lados iguais a 4 m e 3 m

2) As diagonais de um losango medem 24 m e 10 m.Calcule a medida do lado desse losango.

3) Um triângulo retângulo e isósceles tem catetos que medem 6 m. Calcule a medida da hipotenusa.

4) Calcule o perímetro de um retângulo, sabendo que sua diagonal mede 18 cm e um dos lados mede 10cm.

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9153.5097


Razões trigonométricas no triângulo retângulo

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Seno Cosseno Tangente

30º

45º

60º

2___ 2

2___ 2

1

1/2

1/2

3

33

3/3/2

/2


9153.5097


A

C

B

a

c

b

Razões trigonométricas

Sen B = b

a

Sen C =c

aSeno

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9153.5097


A

C

B

a

c

b


Cos B = c

a

Cos C =b

aCosseno

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9153.5097


A

C

B

a

c

b


Tg B = b

c

Tg C =c

bTangente

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9153.5097


Exercício resolvido

Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cme b = 8 cm

A B

C

a = 10

b = 8

c

a2 = b2 + c2 102 = 82 + c2c2 = 100 - 64

c = 6 cm

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9153.5097




A B

C

a = 10

b = 8

c = 6 cm

Sen B = b

a

Sen B = 8

10

Sen B = 4

5

Encerrar

Anterior


9153.5097




A B

C

a = 10

b = 8

c = 6 cm

Cos B = c

a

Cos B = 6

10

Cos B = 3

5

Encerrar

Anterior Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline

9153.5097




A B

C

a = 10

b = 8

c = 6 cm

Tg B = bc

Tg B = 8

6

Tg B = 4

3

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9153.5097


Arcos e ângulos

Matemática do 2º grau

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Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097


Arcos e Ângulos•Arcos de circunferência

Arco de circunferência é cada uma das duas partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.

A e B pontos quaisquer da circunferência , dividem em duas Partes.

O .. A = B

B A o

Arco nulo

Arco de circunferência AB

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9153.5097


Medida de um arco

GrauGrau é o arco unitário equivalente a da circunferência que o contém.

1

360

.O

A

B

m(AB) = 1º

.

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9153.5097


Medida de um arco

RadianoRadiano é o arco cujo comprimento é igual ao Comprimento do raio da circunferência que oContém.

.O

A

B

m(AB) = 1 rad

.

A B

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9153.5097


Medida de um arco

Em relação à circunferência, temos:

.O

A = B

m(AB) =2 rad

.

A B

2 r

r

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9153.5097


360º corresponde a 2 rad

180º corresponde a rad

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9153.5097


Exemplo resolvido

Determine em radianos, a medida do arco 60º

180º

60º x

x= 60º.

180º

x =3

Resposta

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9153.5097


Exemplo

Calcule, em graus, a medida do arco

x =3

4Resolução

x = 3. 180º4

Resposta x = 135º

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9153.5097


Arcos e Ângulos

Ângulo central

A

B

O

Ângulo central

Ângulo central de uma circunferênciaé o ângulo que tem o vértice no centrodessa circunferência.

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9153.5097


Comprimento de um arco

Ângulo central

A

B

AB arco da circunferência Determinado por dois pontos,Medido em radianos.

l

Comprimento da AB ( l = comp. AB)

r

r

r: raio da circunferência

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9153.5097


Comprimento de um arco

Sendo a medida em radianos

A

B

l

r

r

= l

r

l = r

Considerando r=1

l = m(ab) = M()

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9153.5097


Circunferência orientada

.O

+

-Sentido horário

Sentido anti-horário

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9153.5097


. A

B

.

.

m(AB) = 120º

O

m(BA)=240º

Sentido anti-horário

Sentido horário

m(AB)=-240º

m(BA)=-120

+

-

240º

120º

Circunferência OrientadaEncerrar Anterior


9153.5097



Calcule o comprimento de uma pista circular de 30m de raio que descreve um arco de meia volta ( rad).

Dado: = 3,14

Resolução:

=

rad

l = r

l = 3,14 . 30

l = 94,20 m

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9153.5097



Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de umde um relógio que marca 9h 25min.

Resolução:

Cada divisão = 30º

= 4 . 30º + x

x

A

B

x é arco que o ponteiro menor descreveuquando o ponteiro maior se deslocou da posição A para a posição B

Minutos Graus60

25

30º

xx = 12º 30´

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9153.5097


MSGLINE

CIRCUNFERÊNCIATRIGONOMÉTRICA

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9153.5097


MSGLINE

Circunferência trigonométrica

•Uma circunferência orientada de raio unitário (r = 1)

•Um ponto A é a origem de medida de todos os arcos nela contida

A

r=1

y

x

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9153.5097


MSGLINE

o

1º quadrante2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

y

x0º ou 0 rad

A360º ou 2 rad

90º ou rad / 2

180º ou rad

270º ou 3 / 2 rad

Quadrantes

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9153.5097


o



y

xA

Orientação +

- Encerrar

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9153.5097


MSGLINE

o

y

x

Aplicações resolvidas

Localizar na circunferência trigonométrica os seguintes valores.

/ 6

180º / 6= 30º

II/6 = 30º

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9153.5097


MSGLINEArcos trigonométricos Arcos trigonométricos

y

x

O

Arcos com mesma origem e mesma extremidades podem ser:

• Positivos, quando marcados no sentido anti-horário;• Negativos quando marcados no sentido horário;• Maiores que 360º ou 2 rad quando têm mais de uma volta;

A

F .

Medida de AF m(AF) = 40º

Como AF > 360º ...-680º = -320º = 40º = 400º = 760º... Medidas em graus esses arcos podem ser representados por:

X = x0 + 360º . K (K pertencente a Z)x0 a 1º determinação positiva do arco trigonométrico 0 <= x0< 360º e K número de voltas

Encerrar

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9153.5097


MSGLINEArcos trigonométricos Arcos trigonométricos

y

x

O

Arcos com mesma origem e mesma extremidades podem ser:

• Positivos, quando marcados no sentido anti-horário;• Negativos quando marcados no sentido horário;• Maiores que 360º ou 2 rad quando têm mais de uma volta;

A

F .

Medida de AF m(AF) = 40º

Como AF > 360º ...-680º = -320º = 40º = 400º = 760º...

Medidas em radianos esses arcos podem ser representados por:

X = x0 + 2K (K pertencente a Z)

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9153.5097


MSGLINE

ARCOS CÔNGRUOSARCOS CÔNGRUOS

Dois arcos são côngruos quando a diferença entre eles é ummúltiplo de 360º ou 2k rad

Exemplos:30 º e 1110º são côngruos 1110º - 30º = 1080º = 3 . 360º

14 / 3 e 2 / 3 são côngruos 14 / 3 - 2 / 3 = 4 = 2.2

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9153.5097



Seno

Cosseno

Tang

ente

Cossecante

Cotangente Secante

MSGLINE

Funções circulares

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9153.5097


MSGLINE

FUNÇÃO SENOFUNÇÃO SENO

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9153.5097


Ciclo trigonométrico



x

y


O

Plano cartesianoQuadrantes

+

+

-

-Sinais

MSGLINE

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9153.5097


A FUNÇÃO SENO Eixo das ordenadas

Eixo das abscissas

Sistema Cartesiano Ortogonal de origem O

.O Ciclo Trigonométrico

. A- Origem dos arcos

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9153.5097


Função Seno Eixo dos Senos

O

AA1

B

B1

Variaçãodo seno

Raio=1

+1

-1

x

M(a,b)

a

b

Eixo das abscissas

x

O arco AM mede x, e o ângulo AOM mede x^

a abscissa do ponto M

b ordenada de M

M(a,b)

Seno de x

Sen x = Ob

ORDENADA

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9153.5097


A

Variação do Seno no primeiro quadrante

Estudo da função seno

x

y

.MSeno do arco AM.

O

.

+

+1

click

Matemática 2º grau

Ciclo trigonométrico e sistema cartesiano

Sinal do seno no 1º quadrante

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9153.5097


A = M

AM =0



Seno 0º = 0

x

y

.

MSGLINE

1ºQ

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

AM =90º



Seno 90º = 1

x

y

.M

1

O seno no primeiro quadrante é uma função crescente

0º a 90º

+

Matemática 2º grau MSGLINE

1º Q

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

AM =180º

Variação do Seno no segundo quadrante


Seno 180º = 0

x

y

.

M

O seno no segundo quadrante é uma função decrescente

90º a 180º

+


2ºQ

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

AM =270º

Variação do Seno no terceiro quadrante


Seno 270º = -1

x

y

.

M

O seno no terceiro quadrante é uma função decrescente

180º a 270º

-


3ºQ

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

AM =360º

Variação do Seno no quarto quadrante


Seno 360º = 0

x

y

.

M

O seno no quarto quadrante é uma função crescente

270º a 360º

-


4ºQ

Encerrar

Anterior


9153.5097


A



x

y

.M

1

O seno no primeiro quadrante é uma função crescente

0º a 90º

+

MSGLINE Matemática 2º grau

O

0º 90º 180º 270º 360º

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

AM =180º

Variação do Seno no 2º quadrante

Estudo da função seno Seno 0º = 0Seno 90º = 1 Seno 180º = 0

x

y

.

M 1

O seno no segundo quadrante é uma função decrescente

90º a 180º

+


O

MSGLINE

+ Sinal ++

Encerrar

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9153.5097


A

AM =270º


Estudo da função senoSeno 0º = 0Seno 90º = 1 Seno 180º = 0Seno 270º = -1

x

y

.

M

1

180º a 270º

+


O

MSGLINE

O seno no terceiro quadrante é uma função decrescente

+

-

+ +

-

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

AM =360º



Seno 0º = 0Seno 90º = 1 Seno 180º = 0Seno 270º = -1Seno 360º = 0

x

y

.

M

1

270º a 360º

+


O

MSGLINE

O seno no quarto quadrante é uma função crescente

+

- - Sinal -

+ +

- -

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

AM =360ºEstudo da função seno

x

y

.

M

1+


O

MSGLINE

+

-

senóide

-

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

AM =360ºEstudo da função seno

x

y.

M

1+


O

MSGLINE

+

- -

• O domínio da função sen x é o conjunto dos números reais D = R

• A imagem da função sen x é o intervalo [ -1, +1] isto é –1 >= senx x >= 1

•A partir de 2 a função seno repete seus valores ( função periódica)

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9153.5097 Carlos Nadaline – [email protected]

A


x

y.

M

1+


O

MSGLINE

+

- - 3 /2/2 2

Quadrante

0 /2Arco

Sinal

Variação

+

0+1

I II

/2

+

+10

3 /2

-

III

0-1

IV

3 /2 2

-

-1 0

crescente decrescente crescentedecrescente

O gráfico continua à direita de 2 e a esquerda de 0 (zero)

Encerrar

Anterior




O

AA1

B

B1

Variaçãodo seno

+1

-1

x

M

a

b A partir de 2 a função senorepete seus valores, portantoé uma função periódica.

A partir de um determinadovalor de x ( /2), cada vez que somamos 2 , a funçãoseno assume sempre o mesmoValor (+1).O período da função seno éP = 2 .

Encerrar

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9153.5097



O

AA1

B

B1

Variaçãodo seno

+1

-1

x

M

a

b

sen x = Ob

sen( x + 2 ) = Ob

sen(x + 4 ) = Ob

sen(x +2k ) =Ob

k pertencente a Z

sen x = sen( x + 2k )

Encerrar Anterior


9153.5097



O

AA1

B

B1

Variaçãodo seno

+1

-1

x

M

a

bA função seno é impar

-xsen(-x)

sen x = - sen x

Encerrar

Anterior


9153.5097


Matemática do 2º grauMSGLINE

Função Cosseno

Encerrar

Anterior


9153.5097


Função cosseno

Eixo dos cossenos

O

AA1

B

B1

Variaçãodo cosseno

Raio=1

+1-1

x

M(a,b)

a

b

Eixo das abscissas

x

O arco AM mede x, e o ângulo AOM mede x^

a abscissa do ponto M

b ordenada de M

M(a,b)

Cosseno x

Cosseno x = Oa

Abscissa

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A

Variação do cosseno no primeiro quadrante

Estudo da função cosseno

x

y

.MOM´ Cosseno do arco AM.

O

.+

click


Ciclo trigonométrico e sistema cartesiano

Sinal do cosseno no 1º quadrante

+1

MSGLINE

M´

Encerrar Anterior


9153.5097


A = M

AM =0



cos 0º = 1

x

y

.

MSGLINE

Raio = 1

O

Encerrar Anterior


9153.5097


A

AM =90º



cos 90º = 0

x

y

.M

O cosseno no primeiro quadrante é uma função decrescente

0º a 90º

+


1ºQ

Encerrar Anterior



A

AM =180º

Variação do cos no segundo quadrante


Cos 180º = -1

x

y

.

M

O cos no segundo quadrante é uma função decrescente

90º a 180º

-


2ºQ

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

AM =270º

Variação do cos no terceiro quadrante


cos 270º = 0

x

y

.

M

O cos no terceiro quadrante é uma função crescente

180º a 270º

-


3ºQ

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

AM =360º

Variação do cos no quarto quadrante


cos 360º = 1

x

y

.

M

O cos no quarto quadrante é uma função crescente

270º a 360º

+


4ºQ

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

Variação do cos no primeiro quadrante

Estudo da função cossenox

y

.M

1

O cos no primeiro quadrante é uma função crescente

0º a 90º

+


O

0º 90º 180º 270º 360º

Encerrar

Anterior


9153.5097


A

Variação do cos no segundo quadrante


x

y

.M

O cos no segundo quadrante é uma função crescente

90º a 180º

+


O

0º 90º 180º 270º 360º

-

+-

Encerrar

Anterior


9153.5097


Variação do cos no terceiro quadrante


x

y

.M

O cos no terceiro quadrante é uma função crescente

180º a 270º

+

MSGLINE


O

0º 90º 180º 270º 360º

- -

- +

-

Encerrar

Anterior

A


9153.5097


A

Variação do cos no quarto quadrante


x

y

.M

O cos no quarto quadrante é uma função crescente

270º a 360º

+


O

0º 90º 180º 270º 360º

+-

-+ - -

+

Encerrar Anterior


9153.5097


A

AM =360º


x

y.

M

1+


O

MSGLINE

+

- -

• O domínio da função cos x é o conjunto dos números reais D = R

• A imagem da função cos x é o intervalo [ -1, +1] isto é –1 <= cos x <= 1

•A partir de 2 a função cosseno repete seus valores ( função periódica)

Encerrar Anterior



A


x

y

.M

+


O

0º 90º 180º 270º 360º

+-

- + - -

+

Co-senóide

Encerrar Anterior


9153.5097


A


x

y.

M

1+


O

MSGLINE

-

- + 3 /2/2 2

Quadrante

0 /2Arco

Sinal

Variação

+

+10

I II

/2

-

0-1

3 /2

-

III

-1 0

IV

3 /2 2

+

0 +1

decrescente decrescente crescentecrescente

O gráfico continua à direita de 2 e a esquerda de 0 (zero)

Encerrar

Anterior


9153.5097


Função cosseno Eixo dos cossenos

O

AA1

B

B1

Variaçãodo cos

+1-1

x

M

a

bcos x = Oa

k pertencente a Z

cos x = cos( x + 2k )

MSGLINE Encerrar Anterior


9153.5097


Eixo dos Cossenos

O

AA1

B

B1

Variaçãodo Cosseno

+1-1

x

M A função cos é par

-xcos x = cos(-x)

MSGLINE

cos x

Encerrar Anterior


9153.5097


Matemática do 2º grauMSGLINE

Função Tangente

Encerrar

Anterior


9153.5097


MSGLINE

Função tangente

y

x

tg

M

M´

M´´

X

O A

T

Eixo das tangentes

Definição Definimos como tangente (do arco AM ou do ângulo x) a medida algébrica do segmento AT

tg x = AT

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9153.5097


MSGLINE

Função tangente

y

x

tg

M

M´

M´´

X

O A

T

Eixo das tangentes

tg x = AT

OM´M é semelhante ao

OAT

OM´ = M´M

OA AT

cos x = sen x1 AT

cos xAT =

sen xtg x=

sen x

cos xcos x 0

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MSGLINE

Função tangente

Valores notáveis da tangente:

x = 0

tg 0 =0

O A=M

tg

O O O O

x = 90º

A

M

..

..

.

x = 180º x = 270º x = 360º

M

M M

A AA

tgtg

tg

tg tg

tg 90º tg 180º =0 tg 270º tg 360º = 0

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9153.5097


MSGLINE

Função tangente

y

x

tg

M

X

O A

Eixo das tangentes

Gráfico da função tangente

+

+-

+ --

+

-

90º 180º 270º 360º

tangentóide

0

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Variação da função tangente

MSGLINE

Quadrante

Arco

Sinal Sinal

Variação

1º Q 2º Q

0º a 90º 90º a 180º

3º Q

180º a 270º

4º Q

270º a 360º

+ - + -

0

-0

0+

-0

crescente crescente crescente crescente

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9153.5097


MSGLINE

Domínio da função tangente

Y = tg x D ={ x pertencente a R / x }

2+ k

K pertencente Z

y = tg x é o intervalo ] - , + [ Imagem da função tangente

> tg x < + -

Período da função tangente

Y = tg x é p = tg x = ( x + k )

k pertencente a Z

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MSGLINE

A função y = tg x é imparimpar

tg x = - tg(-x)tg

A

T1

T2

x

-x

y

xo

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9153.5097


MSGLINE

Função Cotangente

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MSGLINE

Função cotangente

Definição

y

xO

cotg

M´

M´´

A

B

x

C

Cotangente do arco AMou do ângulo x é a medidaalgébrica do segmento BC e indicamos:cotg x = BC

M

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MSGLINE

Função cotangentey

xO

cotg

M´

M´´

A

B

x

C

Os triângulos OM´M e OBC

OM´ = MM´

BC OB

OM´´ = M´M

OM´ = OM´´

BC OB =

cos x

BC

sen x

1 BC = cos x

sen x

Cotg = cos x

sen x

M

sen x 0

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MSGLINE

Função cotangente

y

x

tg

M

X

O A

Eixo das cotangentes Gráfico da função cotangente

+

+-

+ --

+

-

90º 180º 270º 360º

cotangentóide

0

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Variação da função cotangente

MSGLINE

Quadrante

Arco

Sinal Sinal

Variação

1º Q 2º Q

0º a 90º 90º a 180º

3º Q

180º a 270º

4º Q

270º a 360º

+ - + -

0

-0 0

+-

0

decrescente decrescente decrescente decrescente

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MSGLINE

Domínio da função cotangente

Y = cotg x D ={ x pertencente a R / x } kK pertencente Z

y = tg x é o intervalo ] - , + [ Imagem da função cotangente

> cotg x < + -

Período da função cotangente

Y = cotg x é p = cotg x = ( x + k )

k pertencente a Z

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MSGLINE

A função y = cotg x é imparimpar

cotg x = - cotg(-x)

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MSGLINE

Valores notáveis da função cotangente

x cotg x

0º

90º 0

180º 270º 0

360º

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Estudo da trigonometria

MSGLINE

Função: Secante e Cossecante

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O

sen x

cos xA

M.M´´

M´

x S

D

MSGLINE

A reta tangente à circunferênciano ponto M, intercepta o eixodas abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.

sec x = OS cossec x = OD

OS = = sec x1

COSX

OD = = cossecx1

sen x

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MSGLINE

Domínio da função secante

y = sec x D ={ x pertencente a R / x }

2+ k

K pertencente Z

y = sec x é o intervalo sec x<= -1 ou sec x >= 1

Imagem da função secante

Domínio da função cossecante

y = cossec x

X k , k pertencete a Z

Imagem da função cossecante

cossec x <= -1 ou cossec x>= 1

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FIMFIM

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Se querer é poder, querer é vencer. Rui Barbosa



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