TRIÂNGULOSProfessor: Antonio Carlos

CLASSIFICAÇÃO

Quanto aos lados:• Equilátero: Todos os lados são congruentes.• Isósceles: Dois lados congruentes.• Escaleno: Nenhum lado congruente.

Quanto aos ângulos:• Acutângulo: Todos os ângulos são agudos (menores que 90º)• Retângulo: Possui um ângulo reto (igual a 90º)• Obtusângulo: Possui um ângulo obtuso (maior que 90º)

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO

• Cada lado de um triângulo deve ser menor que a soma dos outros dois lados e maior que a diferença entre eles.

RELAÇÃO ENTRE LADOS E ÂNGULOS

• Em um triângulo o maior lado está sempre oposto ao maior ângulo interno e o menor lado, oposto ao menor ângulo interno.

• Isto faz com que os ângulos opostos aos lados congruentes de um triângulo isósceles sejam congruentes. Mostra também que o triângulo equilátero é um polígono regular.

TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

• O ângulo externo de um triângulo é igual a soma dos dois ângulos internos não-adjacentes a ele.

Verde = azul + vermelho

CEVIANAS

• Segmentos de reta que saem dos vértices do triângulo e atingem o lado oposto ou o seu prolongamento.

• As principais cevianas são: Altura, Mediana e Bissetriz Interna.

CEVIANAS

• Altura: Parte do vértice de um triângulo e encontra o lado oposto, formando um ângulo de 90º.

O ponto de encontro das três alturas se chama ORTOCENTRO.

• Ortocentro dentro do triângulo: Acutângulo.

• Ortocentro fora do triângulo: Obtusângulo.

• Ortocentro sobre o vértice: Retângulo.

CEVIANAS

• Mediana: Parte do vértice de um triângulo e encontra o lado oposto, dividindo o lado em duas partes iguais.

O ponto de encontro das três medianas se chama BARICENTRO.

PROPRIEDADE DO BARICENTRO

• O Baricentro é o ponto de equilíbrio do triângulo.

• O Baricentro divide a mediana na proporção 2:1, ou seja, a distância do vértice do triângulo até o baricentro é o dobro da distância do baricentro até o lado.

X

2X

CEVIANAS

• Bissetriz Interna: Parte do vértice de um triângulo e divide o ângulo em duas partes iguais.

O ponto de encontro das três bissetrizes se chama INCENTRO.

PROPRIEDADE DO INCENTRO

• O Incentro é o centro da circunferência inscrita, que é a circunferência escrita “por dentro” do triângulo, tocando todos os lados dele.

• Por isso, o Incentro é o ponto equidistante aos três lados do triângulo.

MEDIATRIZ

• É a reta perpendicular ao lado do triângulo e que passa pelo seu ponto médio.

O ponto de encontro das três mediatrizes se chama CIRCUNCENTRO.

PROPRIEDADE DO CIRCUNCENTRO

• O Circuncentro é o centro da circunferência circunscrita, que é a circunferência escrita “por fora” do triângulo, tocando todos os vértice dele.

• Por isso, o Circuncentro é o ponto equidistante aos três vértices do triângulo.

PROPRIEDADE DO TRIÂNGULO ISÓSCELES

• No triângulo isósceles, o mesmo segmento que sai do vértice e encontra o lado não congruente é bissetriz, mediana, altura e mediatriz.

PROPRIEDADE DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO

• Quando o triângulo é equilátero, todos os lados tem bissetriz, mediana, altura e mediatriz coincidentes.

• O ponto de encontro desses três segmentos é chamado CENTRO.