UFT - EDITAL DA DISCIPLINA 1 ESTAT ISTICA BASICAuft.edu.br/engambiental/prof/catalunha/arquivos/eb/eb... · 2015. 7. 17. · EDITAL DA DISCIPLINA 1 ESTAT ISTICA BASICA Prof. Dr. Catalunha

EDITAL DA DISCIPLINA 1

ESTATISTICA BASICA

Prof. Dr. Catalunha

Atualizado via LATEX em 17 de Julho de 2015 as 09:41

1Este EDITAL contem textos de minha autoria e outros retirados das bibliografias indicadas, outextos correlatos no assunto, sempre que possıvel citadas as fontes. Tais notas nao excluem a consulta aoconteudo na integra da bibliografia original e sao apenas uma forma de guia de conteudo dentro de salade aula. Notas iniciadas em julho/2009. Este documento e editado com LATEX.

Conteudo

I Ementa e Conteudo Programatico 4

II Primeira Etapa do Curso 7

1 Int. a estatıstica e analise de dados (Cap. 1) 9

1.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Probabilidade (Cap. 2) 10

2.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Var. aleatorias e Dist. de prob. (Cap. 3) 11

3.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Esperanca matematica (Cap. 4) 12

4.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Dist. Prob. Contınuas (Cap. 6) 13

5.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Dist. amostral e descricao de dados (Cap. 8) 19

6.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 Estimacao em uma e duas amostras (Cap. 9) 34

7.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8 Testes de hipoteses (Cap. 10) 38

8.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

III Segunda Etapa do Curso 45

9 Ajuste de modelo (Cap. 11) 46

9.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

10 Ajuste de modelo multiplo e nao-linear (Cap. 12) 65

10.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2

Prof. Dr. Catalunha - Roteiro Modelagem Matematica

11 Experimentos com um fator (Cap. 13) 7611.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

IV Administracao da Disciplina 78

12 Dicas de como estudar 7912.1 Rotina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7912.2 Morto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7912.3 Faminto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8012.4 Anti-social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8012.5 Ansenal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

13 Procedimentos de avaliacao 8113.1 Divisao do conteudo e quantidade de avaliacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8113.2 Preparacao da sala para a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

13.2.1 Estrutura da prova: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8213.2.2 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8313.2.3 Outras disposicoes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

14 Elaboracao das Tarefas 8614.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8614.2 Tarefa exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

14.2.1 Tarefa: ajustemodelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8614.3 Resolucao digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

14.3.1 Estrutura de pastas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8714.3.2 Relacao de arquivos basicos por exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

15 Instalando o Linux e outros softwares 95

16 Tutoriais, Resumos e Formularios 101

Atualizado via LATEX em 17 de Julho de 2015 as 09:41 3

Parte I

Ementa e Conteudo Programatico

4


Ementa de disciplina do curso de Mestrado em Engenharia Ambiental.

DISCIPLINA:Estatıstica BasicaCH Total CH Teorica CH Pratica Creditos45 45 0 3

PERIODO: PRE-REQUISITOS:- -OBJETIVO:Proporcionais aos estudantes um entendimento claro das aplicacoes estatısticas em problemasambientais, focados no recurso hıdrico e no saneamento. Facultar a capacidade de discerni-mento, analise e decisao baseado em informacoes estatısticas.

CONTEUDO BASICO:Analise descritiva de dados. Probabilidade. Esperanca Matematica. Distribuicoes de Probabi-lidade (Contınua e Discreta). Problemas de estimacao em amostras. Testes de Hipoteses emamostras. Regressao (Linear Simples, Linear Multipla e Nao-Linear). Delineamentos experi-mentais (Casualizado, Blocos e Fatoriais). Analise de series temporais. Uso de softwares.METODOLOGIA DE ENSINO:O ensino sera ministrado de forma expositiva em sala de aula, utilizando os recursos audiovisuaisdisponıveis, com consulta ao material bibliografico e debates sobre o tema. A disciplina seraadministrada utilizando todos os recursos disponıveis no sistema Moodle/Pagina do professor.

PROCEDIMENTOS DE AVALIACAO:Trabalhos e provas.

BIBLIOGRAFIA BASICA:* Probabilidade e Estatıstica, Ronald E. Walpole, et al., Sao Paulo: Pearson Prentice Hall,2009 .* Curso de estatıstica experimental. PIMENTEL GOMES, F. Piracicaba: Nobel, 1990.* Hidrologia estatıstica. / Mauro Naghettini; Eber Jose de Andrade Pinto. Belo Horizonte:CPRM, 2007.BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:SHUMWAY, R AND STOFFER, D. Time series analysis and its applications, Springer, 2000.



Na Tabela 1 temos as datas conforme calendario do periodo vigente. Na Tabela 2 o encontro quesera realizado na referida data. Considere 45ch (45*60min=2700min) 3a*50min*18enc=2700min.Aula nas quintas das 18h30 as 22h00 = 210min, precisamos de 11 encontros para ver conteudo.E 2 encontros para provas, P01 e P02, aos sabados da 14h as 17h. Totalizando a carga horaria.A prova de Exame Final ou Recuperacao nao esta dentro deste calculo. Semestre encerra dia30-07-2015

Data23-04-201516-04-2015 RA30-04-201530-04-201507-05-201507-05-201514-05-201514-05-201521-05-201528-05-201511-06-210513-06-210318-06-210525-06-210516-07-210523-07-210530-07-210501-08-2105 P02-2105 PR08-08-2105 EF

Tabela 1: Datas

Enc. Conteudo Planejado1 Apresentacao da disciplina. Uso de softwares.2 Analise de dados (Cap. 1). Probabilidade (Cap. 2).3 Dist. de prob. (Cap. 3). Esperanca matematica (Cap. 4)4 Dist. Prob. Contınuas (Cap. 6)5 Dist. amostral e descricao de dados (Cap. 8)6 Dist. amostral e descricao de dados (Cap. 8)7 Estimacao em uma e duas amostras (Cap. 9)8 Estimacao em uma e duas amostras (Cap. 9)9 Testes de hipoteses (Cap. 10)10 Testes de hipoteses (Cap. 10)11 Revisao 0112 Prova 0113 Ajuste de modelo (Cap. 11)14 Ajuste de modelo linear (Cap. 12)15 Ajuste de modelo nao-linear (Cap. 12)16 Experimentos com um fator (Cap. 13)17 Experimentos fatoriais (Cap. 14)18 Prova 0219 Reposicao de Prova, deferido em processo.20 Prova de Recuperacao

Tabela 2: Conteudo

Legenda: RA: indica data de reposicao de aula. P1 e P2: indicam Prova 1 e Prova 2. EF:indica data de prova de recuperacao ou chamado exame final. PR: indica reposicao de prova.

Observacao: Horario de atendimento aos alunos sera na quinta de 08h as 12h, Bloco II, Sala10, Ramal 8229 ou Telefone 32328229.

6 Atualizado via LATEX em 17 de Julho de 2015 as 09:41

Parte II

Primeira Etapa do Curso

7


E importante que o aluno consulte este roteiro e todas as informacoes apontadas pelo menos noslinks e citacoes. Acesse as informacoes do moodle e do site www.uft.edu.br/engambiental/prof/catalunha.A soma das informacoes contidas nesta fonte sustenta as teorias e aplicacoes desenvolvidas na dis-ciplina.


Capıtulo 1

Int. a estatıstica e analise de dados(Cap. 1)

Consultar teoria basica em [Ronald E. Walpole, 2009, Capıtulo 1, Itens: 1.1 a 1.9].

1.1 Exercıcios

1. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 10, Exemplo 1.4] (exercicios/Walpole010exp1.4)

2. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 8, Exercıcio 1.1] (exercicios/Walpole008exc1.1)






9

Capıtulo 2

Probabilidade (Cap. 2)

Consultar teoria basica em [Ronald E. Walpole, 2009, Capıtulo 2, Itens: 2.1, 2.2].

2.1 Exercıcios

Em construcao...

10

Capıtulo 3

Var. aleatorias e Dist. de prob. (Cap.3)

Consultar teoria basica em [Ronald E. Walpole, 2009, Capıtulo 3, Itens: 3.3, ].

3.1 Exercıcios

1. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 55, Exemplo 3.11] (exercicios/Walpole055exp3.11)...Pede-se:

(a) ...Resposta: ...Solucao:...

(b) ...Resposta: ...Solucao:...

11

Capıtulo 4

Esperanca matematica (Cap. 4)

Consultar teoria basica em [Ronald E. Walpole, 2009, Capıtulo 4, Itens: 4.1, 4.4].

4.1 Exercıcios

1. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 71, Exemplo 4.3] (exercicios/Walpole071exp4.3) ...Pede-se:

(a) ...Resposta: ...Solucao:...

12

Capıtulo 5

Dist. Prob. Contınuas (Cap. 6)

Consultar teoria basica em [Ronald E. Walpole, 2009, Capıtulo 6, Itens: 6.1 a 6.4, 6.6, 6.8, 6.9,6.10, ].

5.1 Exercıcios

1. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 115, Exp 6.2] (exercicios/Walpole115exp6.2) ...Pede-se:

(a) ...Resposta: ...Solucao:

1 > 1−pnorm ( 1 . 8 4 , 0 , 1 )2 [ 1 ] 0 .03288412

Representando em forma grafica pelo geogebra temos, 5.1:

(b) ...Resposta: ...Solucao:

1 > pnorm ( 0 . 8 6 , 0 , 1 )−pnorm (−1.97 ,0 ,1)2 [ 1 ] 0 .7806863

Representando em forma grafica pelo geogebra temos, 5.2:



13


Figura 5.1: Grafico ilustrativo


1 > qnorm ( 0 . 3 0 1 5 , 0 , 1 )2 [ 1 ] −0.52009123 >




1 > pnorm (−0.18 ,0 ,1)2 [ 1 ] 0 .42857633 > 0.41997−0.42857634 [ 1 ] −0.00860635 > qnorm ( 0 . 0 0 8 9 , 0 , 1 )6 [ 1 ] −2.3697527 > D



1 > pnorm (62 ,50 ,10)−pnorm (45 ,50 ,10)2 [ 1 ] 0 .5763928

Agora resolva tb na forma padronizada.



1 > 1−pnorm (362 ,300 ,50)2 [ 1 ] 0 .1074877



1 > qnorm ( 0 . 4 5 , 4 0 , 6 )2 [ 1 ] 39 .24603




1 > qnorm (1− .14 ,40 ,6)2 [ 1 ] 46 .48192



1 > pnorm ( 2 . 3 , 3 , 0 . 5 )2 [ 1 ] 0 .08075666



1 > pnorm (834 ,800 ,40)−pnorm (778 ,800 ,40)2 [ 1 ] 0 .5111778



1 > 1−(pnorm (3+0 .01 ,3 ,0 . 005)−pnorm (3 −0 .01 ,3 ,0 .005) )2 [ 1 ] 0 .04550026





1 > f<−f unc t i on (d) {abs (.95−(pnorm(1.5+d , 1 . 5 , 0 . 2 )−pnorm(1.5−d , 1 . 5 , 0 . 2 )) ) }

2 > opt imise ( f , c ( 0 , 1 ) )3 $minimum4 [ 1 ] 0 .39199456 $ o b j e c t i v e7 [ 1 ] 6 .973236 e−07



1 > 1−pnorm (43 ,40 ,2 )2 [ 1 ] 0 .06680723 >



1 > qnorm (1−0.12 ,74 ,7)2 [ 1 ] 82 .22491

A mesma funcao fornece valores maiores e menores de probabilidade, veja ajuda ?pnorm para detalhes.

1 > qnorm ( 0 . 1 2 , 7 4 , 7 , lower . t a i l=FALSE)2 [ 1 ] 82 .22491



1 > qnorm ( 0 . 6 , 7 4 , 7 )2 [ 1 ] 75 .77343





1 > 1−plnorm ( 8 , 3 . 2 , 1 )2 [ 1 ] 0 .868762

Pois o valor de P (x ≤ 8) e

1 > plnorm ( 8 , 3 . 2 , 1 )2 [ 1 ] 0 .1312379

No livro o calculo esta correto mas resposta errada.



1 > qlnorm ( 5/ 1 00 , 5 . 1 4 9 , . 7 37 )2 [ 1 ] 51 .2514


Capıtulo 6

Dist. amostral e descricao de dados(Cap. 8)

Consultar teoria basica em [Ronald E. Walpole, 2009, Capıtulo 8, Itens: 8.1 a 8.5, 8.6, 8.7, 8.8].Desenvolvi um pequeno script para determinacao destas informacoes, este script ainda esta

sendo melhorado e aceito contribuicoes.

Arquivo 6.1: programas/EstDesc.sr

1 # +++ Entrada +++2 pasta <−’/home/ catalunha /Dropbox/0 Ensino /4 E s t a t i s t i c a / e x e r c i c i o s /

Walpole315exp12 .14/ le t raAso lucao1 ’3 arqent<−’entrada ’4 # Estrutura do arquivo de entrada . ’ x ’ e v a r i a v e l para a a n a l i s e d e s c r i t i v a5 # x6 # 1 .27 # . . .8 # 2 .29 # −−− Entrada −−−

10 ##########################################################11 s ink ( paste ( pasta , ’ / ’ , arqent , ’ s a i d a . txt ’ , sep = ’ ’) )12 # Autor : Prof . Dr . Catalunha13 # Descr i c ao : Gerar Ana l i s e d e s c r i t i v a dos dados14 # Criado : 29/09/20111516 # Mostra entrada informada17 date ( )18 pasta19 arqent20 # Arquivos de g r a f i c o s21 png ( f i l e=paste ( pasta , ’ / ’ , arqent , ’ g r a f%d . png ’ , sep = ’ ’) )2223 # Lendo e ana l i sando dados24 quadro <− read . t a b l e ( f i l e=paste ( pasta , ’ / ’ , arqent , sep = ’ ’) , head=T)25 s t r ( quadro )26 #S e l e c i o n e agora qual coluna s e r a a v a r i a v e l x de a n a l i s e a p a r t i r da i todo

o r e s t o do s c r i p t s e r a padr ao

19


27 x<−quadro$x28 s t r ( x )29 #E s t a t i s t i c a d e s c r i t i v a bas ica , importante para os demais c a l c u l o s30 min=min (x , na . rm=T)31 min32 max=max(x , na . rm=T)33 max34 n=length ( x )35 n36 soma=sum( x )37 soma38 media=mean(x , na . rm=T)39 media40 desv iopadrao=sd (x , na . rm=T)41 desv iopadrao42 v a r i a n c i a=var (x , na . rm=T)43 v a r i a n c i a44 #C o e f i c i e n t e de a s s imet r i a , t u c c i pg 9645 a s s i m e t r i a =(n /( ( n−1)∗(n−2) ) ) ∗sum ( ( x−media ) ˆ3/ desv iopadrao ˆ3)46 a s s i m e t r i a4748 #Graf i co de Dispers ao dos dados49 p l o t (x , main=’ Dispers ao dos dados ’ )5051 #Graf i co qq normal52 qqnorm ( x )535455 #Graf i co Box Plot56 bp<−boxplot (x , main=’Box Plot ’ )57 bp5859 #Graf i co de ramos e f o l h a s60 stem ( x )6162 #D i s t r i b u i c ao de f r e q u e n c i a com curva normal , e histograma63 h i s t (x , r i g h t = F, l a b e l s=T)64 tabf req<−h i s t (x , r i g h t = F, l a b e l s=T)6566 tab f r eq67 DistFreq<−data . frame ( LimInf=tab f r eq$breaks [ 1 : ( l ength ( tab f r eq$breaks )−1) ] ,

i n t=rep ( ’ ( −| ’ , l ength ( tab f r eq$count s ) ) ,LimSup=tab f r eq$breaks [ 2 : l ength (tab f r eq$breaks ) ] , PontoMedio=tabfreq$mids , Freq=tabf req$counts , Densidade=t a b f r e q $ d e n s i t y )

68 DistFreq69 # Curva normal70 x f i t <−seq (min ( x ) ,max( x ) , l ength =100)71 y f i t <−dnorm( x f i t , media , desv iopadrao )72 y f i t <− y f i t ∗ d i f f ( tabfreq$mids [ 1 : 2 ] ) ∗n



73 l i n e s ( x f i t , y f i t , c o l=”blue ” , lwd=2)7475 #Ana l i sa r funcao pareto da l i b r a r y qcc767778 #Probab i l idade empir i ca de excedenc ia P[X>x ]79 #(1) ordenar a v a r i a v e l em ordem dec r e s c en t e80 xdec<−s o r t (x , de c r ea s ing=T)81 s t r ( xdec )82 #(2)Computar a f r e q u e n c i a com que cada va lo r ordenado e excedido ou

igua lado ( ou s e j a prob de excedenc ia p [X>=x ] ) , usando a equa c ao de po s i c ao de plotagem que d e s e j a r para a v a r i a v e l probexced =?, parap o s s i b i l i d a d e s ve ja r o t e i r o item pos i c o e s de plotagem .

83 ord<−c ( 1 : n )84 probexced<−ord /n85 p l o t ( probexced ˜xdec , main=’ probab i l i dade empir i ca de excedenc ia P[X>x ] ’ )8687 #Probab i l idade empir i ca de nao−excedenc ia P[X<=x ]88 #(1) ordenar a v a r i a v e l em ordem c r e s c e n t e89 xcresc<−s o r t ( x )90 s t r ( x c r e s c )91 #(2)Computar a f r e q u e n c i a com que cada va lo r ordenado e menor ou igua lado (

ou s e j a prob de nao−excedenc ia p [X<=x ] ) , com m/n em que : m = a ordem ; n= tamanho da amostra .

92 ord<−c ( 1 : n )93 probnaoexced<−ord /n94 p l o t ( probnaoexced ˜ xcresc , main=’ probab i l i dade empir i ca de nao−excedenc ia P[X

<=x ] ’ )9596 #Curva de permanencia . Tucci pg 8497 p l o t ( xdec˜ probexced , type=’ l ’ , main=’Curva de Permanencia ’ )9899

100 #Config arqu ivos101 l s ( )102 save (x , f i l e=paste ( pasta , ”/” , arqent , ” o b j e t o s ” , sep =””) )103 dev . o f f ( )104 s ink ( )

6.1 Exercıcios





1 > x<−c (12 ,15 ,17 ,20 )2 > x3 [ 1 ] 12 15 17 204 > var ( x )5 [ 1 ] 11 .333336 > 34/37 [ 1 ] 11 .333338 >



1 > x<−c ( 3 , 4 , 5 , 6 , 6 , 7 )2 > var ( x )3 [ 1 ] 2 .1666674 > 13/65 [ 1 ] 2 .1666676 > sd ( x )7 [ 1 ] 1 .471968 >


(a) i. Numero de elementos da amostra

ii. Valor mınimo

iii. Valor maximo

iv. Valor medio

v. Valor mediado

vi. Desvio padrao

vii. Variancia

viii. Grafico da dispersao dos dados

ix. Distribuicao de frequencia dos dados

x. Histograma

Resposta: ...Solucao:Os dados de entrada pode ser visto no Arquivo 8.3 .



Arquivo 6.2: exercicios/Walpole151exp8.3/letraAsolucao/entrada

1 x2 1 .093 0 .854 1 .865 1 .826 1 .47 1 .928 1 .249 1 .9

10 1 .7911 1 .6412 2 .3113 1 .5814 1 .6815 2 .4616 2 .0917 1 .7918 2 .0319 1 .5120 1 .8821 1 .7522 2 .2823 1 .724 1 .6425 2 .0826 1 .6327 1 .7428 2 .1729 0 .7230 1 .6731 2 .3732 1 .4733 2 .5534 1 .6935 1 .3736 1 .7537 1 .9738 2 .1139 1 .8540 1 .9341 1 .69

Apos o processamento os dados vao para o Arquivo 6.3

Arquivo 6.3: exercicios/Walpole151exp8.3/letraAsolucao/entrada saida.txt

12 > # Autor : Prof . Dr . Catalunha3 > # Descr i c ao : Gerar Ana l i s e d e s c r i t i v a dos dados



4 > # Criado : 29/09/20115 >6 > # Mostra entrada informada7 > date ( )8 [ 1 ] ”Wed Mar 7 10 : 27 : 1 5 2012”9

10 > pasta11 [ 1 ] ”/media/dados/ pro f cata lunha /0 E x e r c i c i o s / walpole2009 /ex8 .3”1213 > arqent14 [ 1 ] ” entrada ”1516 > # Arquivos de g r a f i c o s17 > png ( f i l e=paste ( pasta , ’ / ’ , arqent , ’ g r a f%d . png ’ , sep = ’ ’) )1819 > # Lendo e ana l i sando dados20 > quadro <− read . t a b l e ( f i l e=paste ( pasta , ’ / ’ , arqent , sep = ’ ’) , head=T)2122 > s t r ( quadro )23 ’ data . frame ’ : 40 obs . o f 1 v a r i a b l e :24 $ x : num 1.09 0 .85 1 .86 1 .82 1 .4 1 .92 1 .24 1 .9 1 .79 1 .64 . . .2526 > #S e l e c i o n e agora qual coluna s e r a a v a r i a v e l x de a n a l i s e a p a r t i r

da i todo o r e s t o do s c r i p t s e r a padr ao27 > x<−quadro$x2829 > s t r ( x )30 num [ 1 : 4 0 ] 1 .09 0 .85 1 .86 1 .82 1 .4 1 .92 1 .24 1 .9 1 .79 1 .64 . . .3132 > #E s t a t i s t i c a d e s c r i t i v a bas ica , importante para os demais

c a l c u l o s33 > min=min (x , na . rm=T)3435 > min36 [ 1 ] 0 .723738 > max=max(x , na . rm=T)3940 > max41 [ 1 ] 2 .554243 > n=length ( x )4445 > n46 [ 1 ] 404748 > soma=sum( x )4950 > soma



51 [ 1 ] 70 .975253 > media=mean(x , na . rm=T)5455 > media56 [ 1 ] 1 .774255758 > desv iopadrao=sd (x , na . rm=T)5960 > desv iopadrao61 [ 1 ] 0 .39045596263 > v a r i a n c i a=var (x , na . rm=T)6465 > v a r i a n c i a66 [ 1 ] 0 .15245586768 > #C o e f i c i e n t e de a s s imet r i a , t u c c i pg 9669 > a s s i m e t r i a =(n /( ( n−1)∗(n−2) ) ) ∗sum ( ( x−media ) ˆ3/ desv iopadrao ˆ3)7071 > a s s i m e t r i a72 [ 1 ] −0.516357374 > #Graf i co de Dispers ao dos dados75 > p lo t (x , main=’ Dispers ao dos dados ’ )7677 > #Graf i co qq normal78 > qqnorm ( x )7980 > #Graf i co Box Plot81 > bp<−boxplot (x , main=’Box Plot ’ )8283 > bp84 $ s t a t s85 [ , 1 ]86 [ 1 , ] 1 .09087 [ 2 , ] 1 .63588 [ 3 , ] 1 .77089 [ 4 , ] 2 .00090 [ 5 , ] 2 .4609192 $n93 [ 1 ] 409495 $conf96 [ , 1 ]97 [ 1 , ] 1 .67881698 [ 2 , ] 1 .86118499



100 $out101 [ 1 ] 0 .85 0 .72 2 .55102103 $group104 [ 1 ] 1 1 1105106 $names107 [ 1 ] ””108109110 > #Graf i co de ramos e f o l h a s111 > stem ( x )112113 The decimal po int i s 1 d i g i t ( s ) to the l e f t o f the |114115 6 | 2116 8 | 5117 10 | 9118 12 | 47119 14 | 0718120 16 | 3447899045599121 18 | 25680237122 20 | 38917123 22 | 817124 24 | 65125126127 > #D i s t r i b u i c ao de f r e q u e n c i a com curva normal , e histograma128 > h i s t (x , r i g h t = F, l a b e l s=T)129130 > tab f req<−h i s t (x , r i g h t = F, l a b e l s=T)131132 > t ab f r eq133 $breaks134 [ 1 ] 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 .2 1 .4 1 .6 1 . 8 2 . 0 2 .2 2 .4 2 . 6135136 $counts137 [ 1 ] 1 1 1 2 4 13 8 5 3 2138139 $ i n t e n s i t i e s140 [ 1 ] 0 .125 0 .125 0 .125 0 .250 0 .500 1 .625 1 .000 0 .625 0 .375 0 .250141142 $dens i ty143 [ 1 ] 0 .125 0 .125 0 .125 0 .250 0 .500 1 .625 1 .000 0 .625 0 .375 0 .250144145 $mids146 [ 1 ] 0 . 7 0 . 9 1 . 1 1 .3 1 .5 1 .7 1 . 9 2 . 1 2 .3 2 .5147148 $xname



149 [ 1 ] ”x”150151 $ e q u i d i s t152 [ 1 ] TRUE153154 a t t r ( , ” c l a s s ”)155 [ 1 ] ” histogram ”156157 > DistFreq<−data . frame ( LimInf=tab f r eq$breaks [ 1 : ( l ength (

tab f r eq$breaks )−1) ] , i n t=rep ( ’ ( −| ’ , l ength ( tab f r eq$count s ) ) ,LimSup=tab f r eq$breaks [ 2 : l ength ( t a b f r e . . . . [TRUNCATED]

158159 > DistFreq160 LimInf i n t LimSup PontoMedio Freq Densidade161 1 0 .6 (−| 0 .8 0 .7 1 0 .125162 2 0 .8 (−| 1 .0 0 .9 1 0 .125163 3 1 .0 (−| 1 .2 1 .1 1 0 .125164 4 1 .2 (−| 1 .4 1 .3 2 0 .250165 5 1 .4 (−| 1 .6 1 .5 4 0 .500166 6 1 .6 (−| 1 .8 1 .7 13 1 .625167 7 1 .8 (−| 2 .0 1 .9 8 1 .000168 8 2 .0 (−| 2 .2 2 .1 5 0 .625169 9 2 .2 (−| 2 .4 2 .3 3 0 .375170 10 2 .4 (−| 2 .6 2 .5 2 0 .250171172 > # Curva normal173 > x f i t <−seq ( min ( x ) ,max( x ) , l ength =100)174175 > y f i t <−dnorm( x f i t , media , desv iopadrao )176177 > y f i t <− y f i t ∗ d i f f ( tabfreq$mids [ 1 : 2 ] ) ∗n178179 > l i n e s ( x f i t , y f i t , c o l=”blue ” , lwd=2)180181 > #Anal i sa r funcao pareto da l i b r a r y qcc182 >183 >184 > #Probab i l idade empir i ca de excedenc ia P[X>x ]185 > #(1) ordenar a v a r i a v e l em ordem dec r e s c en t e186 > xdec<−s . . . . [TRUNCATED]187188 > s t r ( xdec )189 num [ 1 : 4 0 ] 2 .55 2 .46 2 .37 2 .31 2 .28 2 .17 2 .11 2 .09 2 .08 2 .03 . . .190191 > #(2)Computar a f r e q u e n c i a com que cada va lo r ordenado e excedido

ou igua lado ( ou s e j a prob de excedenc ia p [X>=x ] ) , usando a equa c ao de pos i c ao de plo . . . . [TRUNCATED]

192193 > probexced<−ord /n



194195 > p lo t ( probexced ˜xdec , main=’ probab i l i dade empir i ca de excedenc ia P[

X>x ] ’ )196197 > #Probab i l idade empir i ca de nao−excedenc ia P[X<=x ]198 > #(1) ordenar a v a r i a v e l em ordem c r e s c e n t e199 > xcresc<−s o r t ( x )200201 > s t r ( x c r e s c )202 num [ 1 : 4 0 ] 0 .72 0 .85 1 .09 1 .24 1 .37 1 .4 1 .47 1 .51 1 .58 1 .63 . . .203204 > #(2)Computar a f r e q u e n c i a com que cada va lo r ordenado e menor ou

igua lado ( ou s e j a prob de nao−excedenc ia p [X<=x ] ) , com m/n em que: m = a ordem ; n = . . . . [TRUNCATED]

205206 > probnaoexced<−ord /n207208 > p lo t ( probnaoexced ˜ xcresc , main=’ probab i l i dade empir i ca de nao−

excedenc ia P[X<=x ] ’ )209210 > #Curva de permanencia . Tucci pg 84211 > p lo t ( xdec˜ probexced , type=’ l ’ , main=’Curva de Permanencia ’ )212213 > #Config arqu ivos214 > l s ( )215 [ 1 ] ” arqent ” ” a s s i m e t r i a ” ”bp” ” desv iopadrao ” ”

DistFreq ”216 [ 6 ] ”max” ”media” ”min” ”n” ”

ord”217 [ 1 1 ] ” pasta ” ” probexced ” ” probnaoexced ” ”quadro” ”

soma”218 [ 1 6 ] ” tab f r eq ” ” v a r i a n c i a ” ”x” ” xc r e s c ” ”

xdec”219 [ 2 1 ] ” x f i t ” ” y f i t ”220221 > save (x , f i l e=paste ( pasta , ”/” , arqent , ” o b j e t o s ” , sep =””) )222223 > dev . o f f ( )224 n u l l dev i c e225 1226227 > s ink ( )

Gerando os graficos


(a) ...Resposta: ...



Solucao:

1 > qt ( 0 . 0 2 5 , 1 4 )2 [ 1 ] −2.144787

5. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 164, Exp 8.12] (exercicios/Walpole164exp8.12) ...





Pede-se:


1 > (1−0.05)−.025





2 [ 1 ] 0 .925


(a) ...Resposta: ...





Solucao:

1 > pt (−1.761 ,14)2 [ 1 ] 0 .050027093 > 0.045−pt (−1.761 ,14)4 [ 1 ] −0.005027095





5 > qt (0 .005027095 ,14)6 [ 1 ] −2.9741147 >


Capıtulo 7

Estimacao em uma e duas amostras(Cap. 9)

Consultar teoria basica em [Ronald E. Walpole, 2009, Capıtulo 9, Itens: 9.1 a 9.4, 9.6, 9.8, 9.12,9.15].

7.1 Exercıcios

1. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 174, Exp 9.2] (exercicios/Walpole174exp9.2) A con-centracao media de zinco recuperado de uma amostra de medicoes desse material em 36locacoes diferentes e 2,6 gramas por mililitro.Pede-se:

(a) Determine o intervalo de confianca de 95% para a media de concentracao de zinco norio. Assuma que o desvio-padrao da populacao seja 0,3.Resposta: 2.502002 < µ < 2.697998Solucao:

1 > z=qnorm (1 −0.025 ,0 ,1 )2 > z3 [ 1 ] 1 .9599644 > 2.6− z ∗ ( . 3 / s q r t (36) )5 [ 1 ] 2 .5020026 > 2.6+ z ∗ ( . 3 / s q r t (36) )7 [ 1 ] 2 .697998



34


1 > 6.2+qnorm (1−0.05 ,0 ,1) ∗(2/ s q r t (25) )2 [ 1 ] 6 .8579413 >

3. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 177, Exp 9.5] (exercicios/Walpole177exp9.5) Osconteudos de acido sulfurico em sete conteineres similares sao dados na Tabela 7.1, emlitros.

Tabela 7.1: Dados para analise9.8 10.2 10.4 9.8 10.0 10.2 9.6

Pede-se:

(a) Determine um intervalo de confianca de 95% para a media de todos os conteineres,assumindo uma distribuicao aproximadamente normal.Resposta: 9.738414 < µ < 10.261586Solucao:

1 > x<−c ( 9 . 8 , 1 0 . 2 , 1 0 . 4 , 9 . 8 , 1 0 , 1 0 . 2 , 9 . 6 )2 > mean( x )3 [ 1 ] 104 > sd ( x )5 [ 1 ] 0 .28284276 > qt ( 0 . 0 5 / 2 , 6 )7 [ 1 ] −2.4469128 > 10+c (−1 ,1) ∗2 .446912∗ . 2828427/ s q r t (7 )9 [ 1 ] 9 .738414 10.261586

10 >11 # ou12 > x<−c ( 9 . 8 , 1 0 . 2 , 1 0 . 4 , 9 . 8 , 1 0 , 1 0 . 2 , 9 . 6 )13 > t . t e s t ( x )1415 One Sample t−t e s t1617 data : x18 t = 93 .5414 , df = 6 , p−value = 1.006 e−1019 a l t e r n a t i v e hypothes i s : t rue mean i s not equal to 020 95 percent con f idence i n t e r v a l :21 9.738414 10.26158622 sample e s t imate s :23 mean o f x24 102526 >



4. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 178, Exp 9.6] (exercicios/Walpole178exp9.6) Devidoa uma queda nos ındices de juros, o First Citizens Bank recebeu muitas hipotecas. Umaamostra recente de 50 emprestimos com garantia hipotecaria resultou em uma media deR$257.300,00. Assuma um desvio-padrao da populacao de R$25.000,00.Pede-se:

(a) Se o proximo cliente cancelar um emprestimo com garantia hipotecaria, determine umintervalo de predicao de 95% para a quantia do emprestimo do cliente.Resposta: 207813.3 < x0 < 306786.7Solucao:

1 > 257300+c(−1 ,+1)∗qnorm (1−0.05/2 ,0 ,1) ∗(25000∗ s q r t (1+1/50) )2 [ 1 ] 207813.3 306786.73 >

5. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 178, Exp 9.7] (exercicios/Walpole178exp9.7) Uminspetor de carnes mediu aleatoriamente 30 pacotes de 95% de carne magra. A amostraresultou em uma media de 96,2% com desvio-padrao de 0,8%.Pede-se:

(a) Determine um intervalo de predicao de 99% para um novo pacote. Assuma normali-dade.Resposta: 93.95844 < x0 < 98.44156Solucao:

1 > 96.2+ c(−1 ,+1)∗qt (1−0.01/2 ,29) ∗ (0 . 8∗ s q r t (1+1/30) )2 [ 1 ] 93 .95844 98.441563 >



1 > x<−c ( 4 6 . 4 , 4 6 . 1 , 4 5 . 8 , 4 7 , 4 6 . 1 , 4 5 . 9 , 4 5 . 8 , 4 6 . 9 , 4 5 . 2 , 4 6 )2 > x3 [ 1 ] 46 .4 46 .1 45 .8 47 .0 46 .1 45 .9 45 .8 46 .9 45 .2 46 .04 > s=var ( x )5 > s6 [ 1 ] 0 .28622227 > ae=qch i sq (0 . 05/2 , 9 , lower . t a i l=FALSE)8 > ad=qch i sq (1−0.05/2 ,9 , lower . t a i l=FALSE)9 > ae

10 [ 1 ] 19 .02277



11 > ad12 [ 1 ] 2 .70038913 > n<−l ength ( x )14 > n15 [ 1 ] 1016 > (n−1)∗ s /ae ;17 [ 1 ] 0 .135416718 > (n−1)∗ s /ad ;19 [ 1 ] 0 .953936520 >


Capıtulo 8

Testes de hipoteses (Cap. 10)

Consultar teoria basica em [Ronald E. Walpole, 2009, Capıtulo 10, Itens: 10.1 a 10.10, 10.13,10.14, ].

8.1 Exercıcios

1. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 215, Exp 10.3] (exercicios/Walpole215exp10.3) Umaamostra aleatoria de 100 registros de mortes nos Estados Unidos durante o ano passadomostrou uma expectativa de vida de 71,8 anos.Pede-se:

(a) Assumindo um desvio-padrao de 8,9 anos, isso parece indicar que a media da expecta-tiva de vida hoje e maior do que 70 anos ? Considere o nivel de significancia de 0,05.Resposta: ...Solucao:

12 # Unindo a abordagem c l a s s i c a e de p−value3 # (1) Es tabe l e c e r a h ipo t e s e Ho e H14 # H0 : MU=705 # H1 : MU>706 # (2) Escolha uma e s t a t i s t i c a de t e s t e apropr iado7 # Padroniza c ao para Normal ( x ; 0 , 1 ) z=(x−MU0) /(SIGMA/ s q r t (n) )8 > z<−(71.8−70) / (8 . 9/ s q r t (100) )9 > z

10 [ 1 ] 2 .02247211 # (3) Estabe l eca r e g i a o c r i t i c a e o n i v e l de s i g n i f i c a n c i a12 u n i l a t e r a l a d i r e i t a13 ALFA=0.0514 # (4) Calcu le o va l o r de p−value com base na e s t a t i s t i c a de t e s t e

e s c o l h i d a15 > 1−pnorm( z , 0 , 1 )16 [ 1 ] 0 .0215638117 >18 # (5) Tire conc lu soe s

38


19 p−value<ALFA: R e j e i t a r H0 po i s o va l o r da e s t a t i s t i c a de t e s t e e s tana r e g i ao c r i t i c a . Ou s e j a 2.1% de chance de r e j e i t a r H0 sendo

H0 verdade i ra , e menor do que o n i v e l de s i g n i f i c a n c i a que eue s t a b e l e c i que f o i de 5%.

2. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 215, Item 10.4] (exercicios/Walpole215exp10.4) Umfabricante de equipamentos esportivos desenvolveu uma nova linha de pesca sintetica queele afirma ter media de carga de ruptura de 8 quilogramas com desvio padrao de 0,5 quilo-gramas. Uma amostra aleatoria de 50 linhas foi testada e descobriu-se uma ruptura de 7,8quilogramas.Pede-se:

(a) Teste, ao nıvel de significancia de 0,01, a hipotese de que µ = 8 quilogramas contra aalternativa de que µ 6= 8.Resposta: ...Solucao:

1 (1 ) Es tabe l e c e r a h ipo t e s e Ho e H12 H0 : %mu=83 H1 : %mu<>84 (2 ) Escolha uma e s t a t i s t i c a de t e s t e apropr iado5 Como a v a r i a c i a e conhec ida usaremos a Padroniza c ao para Normal ( x

; 0 , 1 ) $z=(bar{x}−%mu 0)/(%sigma/ s q r t (n) ) $6 > z<−(7.8−8) / (0 . 5/ s q r t (50) )7 > z8 [ 1 ] −2.8284279 (3 ) Estabe l eca r e g i a o c r i t i c a e o n i v e l de s i g n i f i c a n c i a

10 b i l a t e r a l %alpha =0.01 , entao %alpha /2=0.00511 > qnorm ( 0 . 0 1 / 2 , 0 , 1 )12 [ 1 ] −2.57582913 > qnorm (1−0.01/2 ,0 ,1)14 [ 1 ] 2 .57582915 >16 (4 ) Calcu le o va l o r de p−value com base na e s t a t i s t i c a de t e s t e

e s c o l h i d a17 > pnorm( z , 0 , 1 )18 [ 1 ] 0 .00233886719 >20 (5 ) Tire conc lu soe s21 como %alpa /2=0.02522 p−value<%alpa /2 : e a l f a /2 po i s o t e s t e e b i l a t e r a l . r e j e i t a r H0 .

c o n c l u i r que a %mu<>8. Como o va lo r de z deu negat ivo vemos quea carga de ruptura e menor <8. Podemos ver tb que o propr io

va l o r da e s t a t i s t i c a do t e s t e es tava f o r a na r e g i a o c r i t i c a , ous e j a de r e j e i c ao de H0 .

23 ANALISE POR INTERVALO DE CONFIANCA24 Nesta ana l i s e eq u iva l e a c a l c u l a r o i n t e r v a l o de con f i anca 100(1−%

alpha )% e %mu e r e j e i t a r H0 se %mu 0 e s t i v e r f o r a do i n t e r v a l o



de con f i anca25 Veja I n t e r v a l o de con f i anca item 9 . 4 , pag 173 ap l i cado a e s t e

exemplo26 A me dia e s t a r a no i n t e r v a l o $bar{x}+−{z {%alpha/2}{%sigma} over { s q r t

(n) }}$27 > z<−qnorm (1−0.01/2 ,0 ,1)28 > z29 [ 1 ] 2 .57582930 > 7.8+ c(−1 ,+1)∗z ∗ . 5 / ( s31 [ 1 ] 7 .617861 7.98213932 ve ja que o va l o r de %mu 0=8 es ta f o r a do i n t e r v a l o de con f i an ca

ca l cu l ado entao r e j e i t amo s H0 , como no t e s t e a n t e r i o r .

3. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 217, Exp 10.5] (exercicios/Walpole217exp10.5) OEdison Eletric Institute publicou os numeros referentes ao consumo anual de energia eletricaem quilowatts-hora, de varis eletrodomesticos. Afirmou-se que o aspirador de po gasta emmedia 46 quilowatts-hora por ano.Pede-se:

(a) Se uma amostra aleatoria de 12 casas incluıdas em um estudo planejado indica que osaspiradores de po gastam uma media de 42 quilowatts-hora anualmente, com desvio-padrao de 11,9 quilowatts-hora, isso sugere, num nıvel de significancia de 0,05, osaspiradores de po gastam em media, menos de 46 quilowatts-hora por ano ? Assumaque a populacao de quilowatts-hora seja normal.Resposta: ...Solucao:

1 # (1) Es tabe l e c e r a h ipo t e s e Ho e H12 # H0 : %mu=463 # H1 : %mu<464 # (2) Escolha uma e s t a t i s t i c a de t e s t e apropr iado5 # Como a v a r i a n c i a e desconhec ida usaremos o t e s t e t . t={bar{x}−%

mu 0} over { s / s q r t (n) }6 > t<−(42−46) / (11 .9/ s q r t (12) )7 > t8 [ 1 ] −1.1644049 # (3) Estabe l eca r e g i a o c r i t i c a e o n i v e l de s i g n i f i c a n c i a

10 %a l f a =0.05 , u n i l a t e r a l a esquerda .11 > qt ( 0 . 0 5 , 1 1 )12 [ 1 ] −1.79588513 # (4) Calcu le o va l o r de p−value com base na e s t a t i s t i c a de t e s t e

e s c o l h i d a14 > pt ( t , 1 1 )15 [ 1 ] 0 .134446416 >17 # (5) Tire conc lu soe s18 p−value>%alpha e t c>t sendo t ca l cu l ado e t da e s t a t i s t i c a do

t e s t e .



19 Estamos em ambos os casos f o r a da r e g i a o c r i t i c a e portanto nar e g i a o de NAO REJEITAR H0 .

4. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 218, Item 10.7] (exercicios/Walpole218Item10.7) ...Pede-se:


1 > x<−c ( 7 . 0 7 , 7 , 7 . 1 , 6 . 9 7 , 7 , 7 . 0 3 , 7 . 0 1 , 7 . 0 1 , 6 . 9 8 , 7 . 0 8 )2 > t . t e s t (x ,mu=7)34 One Sample t−t e s t56 data : x7 t = 1 .7954 , df = 9 , p−value = 0.10628 a l t e r n a t i v e hypothes i s : t rue mean i s not equal to 79 95 percent con f idence i n t e r v a l :

10 6.993501 7.05649911 sample e s t imate s :12 mean o f x13 7 .0251415 >16 # como p−value>%alpha estamo na r e g i a o de Nao R e j e i t a r H0 .


(a) ...Resposta: ...Solucao:Para resolucao deste exercıcio foi utilizado um script. Vamos primeiro analisar os dadosde entrada em um arquivo.

Arquivo 8.1: exercicios/Walpole220exp10.7/entrada

1 i n j apos2 2 .76 7 .023 5 .18 3 .14 2 .68 5 .445 3 .05 3 .996 4 .1 5 .217 7 .05 10 .268 6 .6 13 .919 4 .79 18 .53

10 7 .39 7 .91



11 7 .3 4 .8512 11 .78 11 .113 3 .9 3 .7414 26 94 .0315 67 .48 94 .0316 17 .04 41 .7

Para processar estes dados foi desenvolvido um script conforme arquivo.

Arquivo 8.2: exercicios/Walpole220exp10.7/relatorio.sr

1 s ink ( ’ r e s u l t a do ’ )2 dados<−read . t ab l e ( ’ entrada ’ , head=T)3 dados4 t . t e s t ( dados )5 t . t e s t ( dados$ inj , dados$apos , pa i r ed=T)6 t . t e s t ( dados$apos , dados$ inj , pa i r ed=T)7 t . t e s t ( dados$ inj , dados$apos , pa i r ed=T, var . equal=F)8 t . t e s t ( dados$ inj , dados$apos , pa i r ed=T, var . equal=T)9 s ink ( )

Sendo os resultados vistos no arquivo a seguir:

Arquivo 8.3: exercicios/Walpole220exp10.7/resultado

12 > dados<−read . t ab l e ( ’ entrada ’ , head=T)34 > dados5 i n j apos6 1 2 .76 7 .027 2 5 .18 3 .108 3 2 .68 5 .449 4 3 .05 3 .99

10 5 4 .10 5 .2111 6 7 .05 10 .2612 7 6 .60 13 .9113 8 4 .79 18 .5314 9 7 .39 7 .9115 10 7 .30 4 .8516 11 11 .78 11 .1017 12 3 .90 3 .7418 13 26 .00 94 .0319 14 67 .48 94 .0320 15 17 .04 41 .702122 > t . t e s t ( dados )2324 One Sample t−t e s t



2526 data : dados27 t = 3 .6795 , df = 29 , p−value = 0.000947928 a l t e r n a t i v e hypothes i s : t rue mean i s not equal to 029 95 percent con f idence i n t e r v a l :30 7.431012 26.03032131 sample e s t imate s :32 mean o f x33 16.73067343536 > t . t e s t ( dados$ inj , dados$apos , pa i r ed=T)3738 Paired t−t e s t3940 data : dados$ in j and dados$apos41 t = −2.0646 , df = 14 , p−value = 0.05842 a l t e r n a t i v e hypothes i s : t rue d i f f e r e n c e in means i s not equal

to 043 95 percent con f idence i n t e r v a l :44 −20.0783535 0.382353545 sample e s t imate s :46 mean o f the d i f f e r e n c e s47 −9.848484950 > t . t e s t ( dados$apos , dados$ inj , pa i r ed=T)5152 Paired t−t e s t5354 data : dados$apos and dados$ in j55 t = 2 .0646 , df = 14 , p−value = 0.05856 a l t e r n a t i v e hypothes i s : t rue d i f f e r e n c e in means i s not equal

to 057 95 percent con f idence i n t e r v a l :58 −0.3823535 20.078353559 sample e s t imate s :60 mean o f the d i f f e r e n c e s61 9 .848626364 > t . t e s t ( dados$ inj , dados$apos , pa i r ed=T, var . equal=F)6566 Paired t−t e s t6768 data : dados$ in j and dados$apos



69 t = −2.0646 , df = 14 , p−value = 0.05870 a l t e r n a t i v e hypothes i s : t rue d i f f e r e n c e in means i s not equal

to 071 95 percent con f idence i n t e r v a l :72 −20.0783535 0.382353573 sample e s t imate s :74 mean o f the d i f f e r e n c e s75 −9.848767778 > t . t e s t ( dados$ inj , dados$apos , pa i r ed=T, var . equal=T)7980 Paired t−t e s t8182 data : dados$ in j and dados$apos83 t = −2.0646 , df = 14 , p−value = 0.05884 a l t e r n a t i v e hypothes i s : t rue d i f f e r e n c e in means i s not equal

to 085 95 percent con f idence i n t e r v a l :86 −20.0783535 0.382353587 sample e s t imate s :88 mean o f the d i f f e r e n c e s89 −9.848909192 > s ink ( )


Parte III

Segunda Etapa do Curso

45

Capıtulo 9

Ajuste de modelo (Cap. 11)

Consultar teoria basica em [Barroso, 1987, Capıtulo 11, Itens: 11.1 a 11.8, 11.10 a 11.13].

Consultar material complementar no roteiro de Calculo Numerico, veja em:www.uft.edu.br/engambiental/prof/catalunha.

Consultar material complementar no roteiro de Modelagem Matemetica, veja em:www.uft.edu.br/engambiental/prof/catalunha.

Consultar teoria basica em [Ronald E. Walpole, 2009, Capıtulo 11].

Uma regressao ou curva de tendencia pode ser o primeiro passo para uma modelagem. Umarelacao funcional, obtida atraves de uma ajuste dos dados, propicia condicoes para a elaboracaode hipoteses que levam a formulacao dos modelos.

Os modelos sao relacoes funcionais que incorporam as particularidades do fenomeno analisado.

Um reta ou curva ajustada nao pode ser considerado um modelo matematico para uma deter-minada situacao. Neste caso, a reta ou curva simplesmente descreve uma tendencia dos fatos nointervalo pesquisado.

Mesmo que uma curva possa fazer alguma previsao de futuros valores para o fenomeno es-tudado, ainda assim, tal formulacao nao poderia ser considerado um modelo matematico dofenomeno enquanto seus parametros nao tiverem algum significado biologico, quimico ou fısicocom o fenomeno!

Contudo o processo de ajuste de curvas e um dos mais importantes passos para o treinamentoem modelagem e entendimento do comportamento de um fenomeno que nao seja aleatorio.

A teoria apresentada no Capıtulo 7 do [Barroso, 1987] apresenta a matriz normal como pre-paratoria para obtencao dos parametros do modelo. Esta matriz normal e obtida por somatoriosconforme apresenta aquela teoria.

Contudo esta matriz de somatorios pode ser facilmente obtida utilizando operacoes matriciaiscomo a apresentada a seguir. Considere o seguinte modelo multiplo generico.

y = c0 + c1x1 + c2x2 + ...+ cpxp (9.1)

(9.2)

46


Na forma matricial temos:y1y2y3...yn

︸︷︷︸

Y

=

1 x11 x21 . . . xp11 x12 x22 . . . xp21 x13 x23 . . . xp3...

...... . . .

...1 x1n x2n . . . xpn

︸︷︷︸

X

∗

c0c1c2...cp

︸︷︷︸

c

(9.3)

Para obter os parametros sem efetuar as somas preparamos os dados conforme a matriz anteriore calculamos c = (X ′X)−1(X ′Y ). Em notacao octave temos:

1 octave :42> c=(X’∗X) ∗∗−1∗(X’∗Y)

Ou representamos a matriz normal para resolucao via sistema linear de gauss, com {X ′X = X ′Y .

Se, e somente se, o modelo a ser ajustado nao necessitar de transformacao, forum polinomio ou multiplo puro o coeficientes de ajustamento, r2, pode ser obtido via calculomatricial da seguinte forma.

r2 =c′X ′Y − ny2

Y ′Y − ny2(9.4)

Sendo y a media dos valores de y. n numero de elementos da amostra. Em notacao octave temos:

1 octave :28> r2=(c ’∗X’∗Y−n∗ym∗∗2) /(Y’∗Y−n∗ym∗∗2)

Mas para aplicar este modelo verifique a condicao em negrito acima.

9.1 Exercıcios

1. O Numero de bacterias por unidade de volume, y, existente em uma cultura apos algumashoras, x e apresentado na Tabela 9.1. .

Tabela 9.1: Experimento bacteriano.x 1 2 3 4 5 6y 47 65 92 132 190 275

Pede-se:

(a) Determine os parametros a e b para o modelo y = abx, use o metodo dos mınimosquadrados.Resposta: Resposta: y = 32.2747 ∗ 1.4257x.Solucao:

Efetuando as transformacoes teremos:

y = abx (9.5)

ln y = ln a+ x ln b (9.6)

yt = at + xbt (9.7)



A somas para montagem da matriz normal serao:

octave:6> x=1:6

x =

1 2 3 4 5 6

octave:7> y=[47,65,92,132,190,275]

y =

47 65 92 132 190 275

octave:25> yt=log(y)

yt =

3.8501 4.1744 4.5218 4.8828 5.2470 5.6168

octave:8> mx=[length(x),sum(x);sum(x),sum(x.^2)]

mx =

6 21

21 91

octave:26> my=[sum(yt);sum(x.*yt)]

my =

28.293

105.231

Ficando a matriz normal na forma:[6 2121 91

]∗[atbt

]=

[28.293105.231

](9.8)

Que pode ser resolvido como sistema linera por gauss ou pivotacao completa. Contudoum meio mais rapido e a notacao matricial.

octave:27> mc=mx**-1*my

mc =

3.47428

0.35463

Potanto mc e a matriz de coeficiente do modelo transformado, e

at = ln a (9.9)

eat = eln aeat = a (9.10)

bt = ln b (9.11)

ebt = eln b (9.12)

ebt = b (9.13)

Precisamos aplica exp() para obter os modelos originais.

octave:28> exp(mc)

ans =

32.2747

1.4257



Entao o valor dos coeficientes e a = 32.2747 e b = 1.4257 ficando o modelo y =32.2747 ∗ 1.4257x conforme Figura 9.1

(b) Determine os parametros a e b para o modelo y = axb, use o metodo dos mınimosquadrados.Resposta: Resposta: y = 38.839 ∗ x0.96309Solucao:Efetuando as transformacoes teremos:

y = axb (9.14)

ln y = ln a+ b lnx (9.15)

yt = at + bxt (9.16)

Resolvendo pela forma matricial:

octave:6> x=1:6

x =

1 2 3 4 5 6

octave:7> y=[47,65,92,132,190,275]

y =

47 65 92 132 190 275

octave:32> xt=log(x)

xt =

0.00000 0.69315 1.09861 1.38629 1.60944 1.79176

octave:25> yt=log(y)

yt =

3.8501 4.1744 4.5218 4.8828 5.2470 5.6168

Figura 9.1: Modelo y = abx



octave:5> Y=yt’

Y =

3.8501

4.1744

4.5218

4.8828

5.2470

5.6168

octave:6> X=[ones(6,1),xt’]

X =

1.00000 0.00000

1.00000 0.69315

1.00000 1.09861

1.00000 1.38629

1.00000 1.60944

1.00000 1.79176

octave:7> c=(X’*X)**-1*(X’*Y)

c =

3.65942

0.96309

Potanto c e a matriz de coeficientes do modelo transformado, e

at = ln a (9.17)

eat = eln a (9.18)

eat = a (9.19)

Precisamos aplica exp() para obter os modelos originais.

octave:36> exp(c(1))

ans = 38.839

Entao o valor dos coeficientes e a = 38.839 e b = 0.96309 ficando o modelo y =38.839 ∗ x0.96309 conforme Figura 9.2

(c) Calcule o coeficiente de ajustamento r2 para o modelo y = abx

Resposta: Resposta: 0.99943 ou 99.9%Solucao:

octave:1> x=1:6

x =

1 2 3 4 5 6

octave:2> y=[47,65,92,132,190,275]

y =



47 65 92 132 190 275

octave:11> f=@(x) 32.2747*1.4257.**x

f =

@(x) 32.2747 * 1.4257 .^ x

octave:12> ye=f(x)

ye =

46.014 65.602 93.529 133.344 190.109 271.039

octave:13> y

y =

47 65 92 132 190 275

octave:14> num=sum((y.-ye).^2)

num = 21.185

octave:15> den=sum(y.^2)-(sum(y))^2/6

den = 3.7114e+04

octave:16> 1-num/den

ans = 0.99943

(d) Calcule o coeficiente de ajustamento r2 para o modelo y = axb

Resposta: Resposta: 0.88940 ou 88.9%Solucao:

Figura 9.2: Modelo y = axb



octave:1> x=1:6

x =

1 2 3 4 5 6

octave:2> y=[47,65,92,132,190,275]

y =

47 65 92 132 190 275

octave:17> f=@(x) 38.83871.*x.**0.96309

f =

@(x) 38.83871 .* x .^ 0.96309

octave:18> ye=f(x)

ye =

38.839 75.715 111.886 147.606 182.994 218.119

octave:19> num=sum((y.-ye).^2)

num = 4104.9

octave:20> den=sum(y.^2)-(sum(y))^2/6

den = 3.7114e+04

octave:21> 1-num/den

ans = 0.88940

(e) Utilizando o gnuplot ajuste os dados aos modelos propostos e analise o ajustamento.Resposta: Resposta: g(x) = 31.278 ∗ 1.4359x e h(x) = 20.2854 ∗ x1.42529Solucao:O ajuste nao-linear de um modelo pode ser feito utilizando o gnuplot de forma muitosimples.

Apesar de bastante otimizado, este procedimento depende do numerode dados, do tipo de equacao a ser ajustada e das estimativas iniciaisdos coeficientes, podendo nao convergir satisfatoriamente em algunscasos.

Inicialmente devemos definir o arquivo de dados para o ajuste. Conforme arquivo aseguir:

1 #x ; y ;2 1 . 0 0 ; 4 7 . 0 03 2 . 0 0 ; 6 5 . 0 04 3 . 0 0 ; 9 2 . 0 05 4 . 0 0 ; 1 3 2 . 0 06 5 . 0 0 ; 1 9 0 . 0 07 6 . 0 0 ; 2 7 5 . 0 0



O script do gnuplot para ajustamento pode ser como a seguir. Note que o processo deajustamento nao linear precisa de um valor inicial para melhor convergencia, que nestecaso foram os valores encontrados no ajuste pelos mınimos quadrados.

1 # Comentario2 r e s e t3 s e t term pngca i ro4 s e t output ’ g ra f i coE1 . png ’5 s e t g r id6 s e t key out s id e cente r bottom t i t l e ’ Legenda ’7 s e t t i t l e ” Ajuste pe lo Gnuplot”8 s e t x l a b e l ”x − horas ”9 s e t y l a b e l ”y − bac / vo l u n i t a r i o ”

10 s e t d a t a f i l e s epa ra to r ” ; ”11 g ( x )=a∗b∗∗x12 a =32.2747; b=1.4257;13 f i t g ( x ) ” g r a f i c o . pts ” us ing ( $1 ) : ( $2 ) v ia a , b14 h( x )=c∗x∗∗d15 c =38.839; d=0.96309;16 f i t h ( x ) ” g r a f i c o . pts ” us ing ( $1 ) : ( $2 ) v ia c , d17 p l o t ” g r a f i c o . pts ” us ing ( $1 ) : ( $2 ) t i t l e ”Pontos ” , \18 g ( x ) t i t l e ”modelo g ( x )=a∗b∗∗x ” ,h( x ) t i t l e ”modelo h( x )=a∗x∗∗b”

Apresentando o grafico conforme Figura 9.3.

Figura 9.3: Ajustando modelo a dados com Gnuplot

O gnuplot tambem fornece uma arquivo, chamado ”fit.log”de resultados do ajustamentocom alguma analise estatıstica, onde os parametros do modelo sao g(x) = 31.278 ∗1.4359 ∗ ∗x e h(x) = 20.2854 ∗ x ∗ ∗1.42529 segundo aquele arquivo.



1 ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

2 Tue Feb 5 10 : 1 7 : 28 20133 FIT : data read from ” g r a f i c o . pts ” us ing ( $1 ) : ( $2 )4 format = x : z5 #datapo int s = 66 r e s i d u a l s are weighted equa l l y ( un i t weight )7 func t i on used f o r f i t t i n g : g ( x )8 f i t t e d parameters i n i t i a l i z e d with cur rent v a r i a b l e va lue s9 I t e r a t i o n 0

10 WSSR : 21.1851 de l t a (WSSR) /WSSR : 011 d e l t a (WSSR) : 0 l i m i t f o r s topping : 1e−0512 lambda : 402 .36413 i n i t i a l s e t o f f r e e parameter va lue s14 a = 32.274715 b = 1.425716 After 6 i t e r a t i o n s the f i t converged .17 f i n a l sum of squares o f r e s i d u a l s : 7 .4909218 r e l . change during l a s t i t e r a t i o n : −1.40997e−0819 degree s o f freedom (FIT NDF) : 420 rms o f r e s i d u a l s (FIT STDFIT) = s q r t (WSSR/ ndf ) : 1 .3684821 var iance o f r e s i d u a l s ( reduced ch i square ) = WSSR/ ndf : 1 .8727322 Fina l s e t o f parameters Asymptotic Standard Error23 ======================= ==========================24 a = 31.2783 +/− 0 .5109 (1.633%)25 b = 1.4359 +/− 0.004443 (0.3094%)26 c o r r e l a t i o n matrix o f the f i t parameters :27 a b28 a 1 .00029 b −0.975 1 .0003031 ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

32 Tue Feb 5 10 : 1 7 : 28 201333 FIT : data read from ” g r a f i c o . pts ” us ing ( $1 ) : ( $2 )34 format = x : z35 #datapo int s = 636 r e s i d u a l s are weighted equa l l y ( un i t weight )37 func t i on used f o r f i t t i n g : h( x )38 f i t t e d parameters i n i t i a l i z e d with cur rent v a r i a b l e va lue s39 I t e r a t i o n 040 WSSR : 4104.76 de l t a (WSSR) /WSSR : 041 d e l t a (WSSR) : 0 l i m i t f o r s topping : 1e−0542 lambda : 158 .05443 i n i t i a l s e t o f f r e e parameter va lue s44 c = 38.83945 d = 0.9630946 After 8 i t e r a t i o n s the f i t converged .



47 f i n a l sum of squares o f r e s i d u a l s : 1380.7948 r e l . change during l a s t i t e r a t i o n : −2.67689e−0849 degree s o f freedom (FIT NDF) : 450 rms o f r e s i d u a l s (FIT STDFIT) = s q r t (WSSR/ ndf ) : 18 .579551 var iance o f r e s i d u a l s ( reduced ch i square ) = WSSR/ ndf : 345 .19752 Fina l s e t o f parameters Asymptotic Standard Error53 ======================= ==========================54 c = 20.2854 +/− 6 .334 (31.23%)55 d = 1.42529 +/− 0 .1919 (13.46%)56 c o r r e l a t i o n matrix o f the f i t parameters :57 c d58 c 1 .00059 d −0.988 1 .000

A analise de ajustamento por r2 pode ser feita calculando, como a seguir para g(x) =31.278 ∗ 1.4359 ∗ ∗x:

1 octave :1> x=1:62 x =3 1 2 3 4 5 64 octave :2> y =[47 ,65 ,92 ,132 ,190 ,275 ]5 y =6 47 65 92 132 190 2757 octave :22> g=@( x ) 31 . 278∗1 . 4359 .∗∗ x8 g =9 @( x ) 31 .278 ∗ 1 .4359 . ˆ x

10 octave :28> ye=g ( x )11 ye =12 44 .912 64 .489 92 .600 132.965 190.924 274.14713 octave :29> num=sum ( ( y.−ye ) . ˆ 2 )14 num = 7.490915 octave :30> den=sum( y . ˆ 2 )−(sum( y ) ) ˆ2/616 den = 3.7114 e+0417 octave :31> 1−num/den18 ans = 0.9998019 octave :32>

A analise de ajustamento por r2 pode ser feita calculando, como a seguir para h(x) =20.2854 ∗ x ∗ ∗1.42529:

1 x =2 1 2 3 4 5 63 octave :2> y =[47 ,65 ,92 ,132 ,190 ,275 ]4 y =5 47 65 92 132 190 2756 octave :33> h=@( x ) 20 . 2854 .∗ x .∗∗1 .425297 h =8 @( x ) 20 .2854 .∗ x . ˆ 1 .425299 octave :34> ye=h( x )

10 ye =



11 20 .285 54 .480 97 .100 146.317 201.103 260.78012 octave :35> num=sum ( ( y.−ye ) . ˆ 2 )13 num = 1380.814 octave :36> den=sum( y . ˆ 2 )−(sum( y ) ) ˆ2/615 den = 3.7114 e+0416 octave :37> 1−num/den17 ans = 0.96280

(f) Utilizando o R ajuste os dados aos modelos propostos e analise o ajustamento.Resposta: Resposta: g(x) = 31.279 ∗ 1.436x e h(x) = 20.289 ∗ x1.425Solucao:O ajuste nao-linear de um modelo pode ser feito utilizando o R de forma muito simples.

Apesar de bastante otimizado, este procedimento depende do numerode dados, do tipo de equacao a ser ajustada e das estimativas iniciaisdos coeficientes, podendo nao convergir satisfatoriamente em algunscasos.

Consulte o resumo do R, tutoriais e manuais, para outros detalhes.

1 > y<−c (47 ,65 ,92 ,132 ,190 ,2752 + ) ;3 > y4 [ 1 ] 47 65 92 132 190 2755 > x<−c ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 )6 > x7 [ 1 ] 1 2 3 4 5 68 > dados<−data . frame (x , y )9 > dados

10 x y11 1 1 4712 2 2 6513 3 3 9214 4 4 13215 5 5 19016 6 6 27517 > n l s ( ’ yã∗b∗∗x ’ , data=dados , s t a r t=l i s t ( a =32.2747 ,b=1.4257) )18 Nonl inear r e g r e s s i o n model19 model : y ˜ a ∗ bˆx20 data : dados21 a b22 31 .279 1 .43623 r e s i d u a l sum−of−squares : 7 .4912425 Number o f i t e r a t i o n s to convergence : 326 Achieved convergence t o l e r a n c e : 1 .06 e−0627 > n l s ( ’ yã∗x∗∗b ’ , data=dados , s t a r t=l i s t ( a =38.839 ,b=0.96309) )28 Nonl inear r e g r e s s i o n model29 model : y ˜ a ∗ xˆb30 data : dados



31 a b32 20 .289 1 .42533 r e s i d u a l sum−of−squares : 13813435 Number o f i t e r a t i o n s to convergence : 836 Achieved convergence t o l e r a n c e : 4 .802 e−06

Os parametros do modelo sao g(x) = 31.279 ∗ 1.436x e h(x) = 20.289 ∗ x1.425

(g) Faca uma tabela comparativa com os valores dos parametros e r2 e um grafico comtodos os modelos e os pontos originais.Resposta: Resposta: ...Solucao:O Tabela 9.2 apresenta os valores anteriormente obtidos:

Tabela 9.2: Comparativo de AjustesModelo y = abx

Parametros r2

Mınimos Quadrados y = 32.2747 ∗ 1.4257x 0.99943Gnuplot (Nao linear) g(x) = 31.278 ∗ 1.4359x 0.99980

R (Nao linear) f(x) = 31.279 ∗ 1.436x

Modelo y = axb

Parametros r2

Mınimos Quadrados y = 38.839 ∗ x0.96309 0.88940Gnuplot (Nao linear) h(x) = 20.2817 ∗ x1.42541 0.96280

R (Nao linear) f(x) = 20.289 ∗ x1.425

O grafico da Figura 9.4 apresenta os modelos em questao.

2. Fonte: [Barroso, 1987, Pag. 335, Exemplo 7.5] (exercicios/Barroso335exp7.5) ...Pede-se:

(a) Determine a solucao pelo metodo dos minimos quadrados.Solucao:

1 octave :1> x1 =[ −1 ,0 ,1 ,2 ,4 ,5 ,5 ,6 ]2 x1 =34 −1 0 1 2 4 5 5 656 octave :2> x2 =[−2 ,−1 ,0 ,1 ,1 ,2 ,3 ,4]7 x2 =89 −2 −1 0 1 1 2 3 4

1011 octave :3> y =[13 ,11 ,9 ,4 ,11 ,9 ,1 , −1 ]12 y =



1314 13 11 9 4 11 9 1 −11516 octave :4> Y=y ’17 Y =1819 1320 1121 922 423 1124 925 126 −12728 octave :5> X=[ ones (8 , 1 ) , x1 ’ , x2 ’ ]29 X =3031 1 −1 −232 1 0 −133 1 1 034 1 2 135 1 4 136 1 5 237 1 5 338 1 6 439

Figura 9.4: Modelo y = abx



40 octave :6> c=(X’∗X) ∗∗−1∗(X’∗Y)41 c =4243 4.239344 3 .400045 −6.46434647 octave :7>

.

(b) Resolva utilizando o R.

Solucao:

1 > x1<−c ( −1 ,0 ,1 ,2 ,4 ,5 ,5 ,6)2 > x2<−c (−2 ,−1 ,0 ,1 ,1 ,2 ,3 ,4)3 > y<−c (13 ,11 ,9 ,4 ,11 ,9 ,1 , −1)4 > dados<−data . frame (y , x1 , x2 )5 > dados6 y x1 x27 1 13 −1 −28 2 11 0 −19 3 9 1 0

10 4 4 2 111 5 11 4 112 6 9 5 213 7 1 5 314 8 −1 6 415 > n l s ( ’ yã+b∗x1+c∗x2 ’ , data=dados , s t a r t=l i s t ( a =4.239 ,b=3.4 , c=−6.464)

)16 Nonl inear r e g r e s s i o n model17 model : y ˜ a + b ∗ x1 + c ∗ x218 data : dados19 a b c20 4 .239 3 .400 −6.46421 r e s i d u a l sum−of−squares : 4 .2392223 Number o f i t e r a t i o n s to convergence : 124 Achieved convergence t o l e r a n c e : 8 .852 e−09

.

(c) ...Solucao:

1 > x1<−c ( −1 ,0 ,1 ,2 ,4 ,5 ,5 ,6)2 > x2<−c (−2 ,−1 ,0 ,1 ,1 ,2 ,3 ,4)3 > y<−c (13 ,11 ,9 ,4 ,11 ,9 ,1 , −1)



4 > dados<−data . frame (y , x1 , x2 )5 > dados6 y x1 x27 1 13 −1 −28 2 11 0 −19 3 9 1 0

10 4 4 2 111 5 11 4 112 6 9 5 213 7 1 5 314 8 −1 6 41516 > aj<−lm ( ’ y˜x1+x2 ’ , data=dados )17 > a j1819 Ca l l :20 lm( formula = ”y˜x1+x2 ” , data = dados )2122 C o e f f i c i e n t s :23 ( I n t e r c e p t ) x1 x224 4 .239 3 .400 −6.4642526 > summary( a j )2728 Ca l l :29 lm( formula = ”y˜x1+x2 ” , data = dados )3031 Res idua l s :32 1 2 3 4 5 6 7 833 −0.7679 0 .2964 1 .3607 −0.5750 −0.3750 0 .6893 −0.8464 0 .21793435 C o e f f i c i e n t s :36 Estimate Std . Error t va lue Pr(>| t | )37 ( I n t e r c e p t ) 4 .2393 0 .8031 5 .279 0.003249 ∗∗38 x1 3.4000 0 .4755 7 .150 0.000831 ∗∗∗39 x2 −6.4643 0 .6193 −10.438 0.000139 ∗∗∗40 −−−41 S i g n i f . codes : 0 ’ ∗∗∗ ’ 0 .001 ’ ∗∗ ’ 0 .01 ’ ∗ ’ 0 .05 ’ . ’ 0 . 1 ’ ’ 1

.

3. QUAGGIO et al, 1985, estudando metodos de determinacao da necessidade de calagem, emque x = (H+Al), meq/100 ; y=potencial hidrogenionico,. Tabela 9.3 .Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 9.3 ao modelo y = axb.

4. CHANG et al, 1982, estudando a resistencia do corte do colmo de cana-de-acucar, em quex = energia armazenada,kgf.cm; y=angulo do pendulo, graus.. Tabela 9.4 .Pede-se:



Tabela 9.3: Dados para analise

x y x y x y x y6,43 2,8 5,96 6,2 6,79 1,4 6,37 2,86,66 2 5,58 5,5 6,42 2,9 5,59 5,95,7 8 4,93 13,6 6,7 1,9 4,91 11,66,66 2,3 5,24 8,4 6,05 3,8 4,86 17,55,63 7,2 4,76 11,8 5,61 6,3 4,62 21,55,85 5 4,22 28,9 6,05 4,54,89 11,4 6,43 2,4 5,79 5,3


x y x y5,5 3 55 4020 8 60 4329 13 67 6339 17 80 8644 27

(a) Ajuste os dados da Tabela 9.4 ao modelo y = abx.

5. PAES DE CAMARGO et al, 1982, estudando a construcao de um tensiometro simples deleitura direta, em que x = tensao,mb; y=altura da camara, mm.. Tabela 9.5 .


x 9 12 30 42 57 102 147 210 290y 217 291 439 515 603 681 716 746 755

Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 9.5 ao modelo y =ax

b+ x. A solucao do sistema linear deve

ser por Gauss.

6. QUAGGIO et al, 1985, estudando calagem para a sucessao batata-triticale-milho, em que y= porcentagem de tuberculos graudos,mb; x=calcio no solo, meq/100. Tabela 9.6 .Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 9.6 ao modelo y = ab

x.

7. QUAGGIO et al, 1985, estudando metodos de determinacao da necessidade de calagem, emque x = (H+Al), meq/100 ; y=potencial hidrogenionico, . Tabela 9.7 .Pede-se:




x y x y x y0,1 65,9 0,2 68,4 0,3 64,91 92,7 0,7 89,1 1,1 87

1,6 93 0,8 93,2 1,2 89,62,8 94,8 1,4 95,5 1,6 93,23,3 95,5 1,9 94,8 1,8 91,7


x y x y x y x y6,43 2,8 5,96 6,2 6,79 1,4 6,37 2,86,66 2 5,58 5,5 6,42 2,9 5,59 5,95,7 8 4,93 13,6 6,7 1,9 4,91 11,66,66 2,3 5,24 8,4 6,05 3,8 4,86 17,55,63 7,2 4,76 11,8 5,61 6,3 4,62 21,55,85 5 4,22 28,9 6,05 4,54,89 11,4 6,43 2,4 5,79 5,3

(a) Ajuste os dados da Tabela 9.7 ao modelo y = ea+bx.

8. FAHL et al, 1982, estudando as caracterısticas fisiologicas de tres cultivares de mandioca,em que y = ındice de area foliar; x=dias apos o plantio.. Tabela 9.8 .


x y60 0,5182 1,41116 2,97143 3,54172 3,35214 1,83249 0,48

Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 9.8 ao modelo y = a+ bx+ cx2.

9. MACHADO et al, 1982, estudando as caracterısticas fisiologicas de quadro variedades demilho, em que y = ındice de area foliar; x=massa seca da planta, . Tabela 9.9 .Pede-se:




x y24,6 0,45128,4 1,46292,5 2,5624,3 2,99857,5 2,731041,2 2,11191,4 1,5

(a) Ajuste os dados da Tabela 9.9 ao modelo y = a+b√x+cx. Use o processo dos Mınimos

Quadrados.

10. MACHADO et al, 1982, estudando as caracterısticas fisiologicas de quadro variedades demilho, em que x = dias apos o plantio; y=massa seca da planta, . Tabela 9.10 .


x y36 245,950 526,264 1102,978 1346,792 1619,8106 1775,8120 1775

Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 9.10 ao modelo y = ea+bx+cx2.

11. Considere os dados da Tabela 9.11 .Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 9.11 ao modelo y = αxβe−γx.

12. Considere alguns dados, nao menores do que 30 valores, para as analises a seguir. Use umexemplo com modelo puramente linear sem transformacoes. Cada aluno devera usar umconjunto de dados diferentes. Para cada item respondido a correspodente fundamentacaoteorica deve ser indicada com o numero da pagina(s) no livro texto da disciplina.Pede-se:

(a) i. Graficar* os dados originais.

ii. Determinar os parametros do modelo linear por mınimos quadrados e graficar.




x y22 1536 114,150 292,864 665,278 826,292 843,6106 782,5120 722

iii. Determinar os parametros do modelo linear por ajuste nao linear e graficar.

iv. Calcular os resıduos do modelo e graficar.

v. Determinar o intervalo de confianca para cada parametro do modelo e graficar

vi. Determinar o intervalo de predicao para cada parametro do modelo e graficar

vii. Determinar o intervalo de confianca para uma estimativa e graficar

viii. Determinar o intervalo de predicao para uma estimativa e graficar

ix. Determinar o intervalo de confianca para o modelo obtido e graficar

x. Determinar o intervalo de predicao para o modelo obtido e graficar

xi. Determinar o r2, coeficiente de determinacao ou ajustamento do modelo.

xii. Determinar o r, coeficiente de correlacao amostral do modelo.

xiii. Determinar o t, teste de hipoteses para os parametros.

*: Graficar significa gerar um grafico com todas as opcoes possıveis de dados e modelospara clareza do exercıcio. Graficos incompletos serao desconsiderados.


Capıtulo 10

Ajuste de modelo multiplo e nao-linear(Cap. 12)

Consultar teoria basica em [Ronald E. Walpole, 2009, Capıtulo 12, Itens: 12.1 a 12.6, 12.9 a 12.11,].

10.1 Exercıcios


(a) ...Resposta: ...Solucao:oi

1 octave :17> x2 x =34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 956 octave :18> y7 y =89 Columns 1 through 6 :

1011 9 .1000 7 .3000 3 .2000 4 .6000 4 .8000 2 .90001213 Columns 7 through 10 :1415 5 .7000 7 .1000 8 .8000 10.2000161718 octave :15> A=[ length ( x ) ,sum( x ) ,sum( x .∗∗2 ) ; sum( x ) ,sum( x .∗∗2 ) ,sum( x .∗

x .∗∗2 ) ; sum( x .∗∗2 ) ,sum( x .∗∗2 .∗ x ) ,sum( x .∗∗2 .∗ x .∗∗2 ) ]

65


19 A =2021 10 45 28522 45 285 202523 285 2025 1533324 octave :16> b=[sum( y ) ; sum( x .∗ y ) ; sum( x .∗∗2 .∗ y ) ]25 b =2627 63 .70028 307.30029 2153.3003031 octave :22> A∗∗−1∗b32 ans =3334 8.6981835 −2.3406136 0.287883738 octave :32> X=[ ones (10 ,1 ) , x ’ , ( x .∗∗2 ) ’ ]39 X =4041 1 0 042 1 1 143 1 2 444 1 3 945 1 4 1646 1 5 2547 1 6 3648 1 7 4949 1 8 6450 1 9 81515253 octave :28> Y=y ’54 Y =5556 9.100057 7 .300058 3 .200059 4 .600060 4 .800061 2 .900062 5 .700063 7 .1064 8 .800065 10.200066 octave :34> A=X’∗X67 A =



6869 10 45 28570 45 285 202571 285 2025 153337273 octave :35> g=X’∗Y74 g =7576 63 .70077 307.30078 2153.3007980 octave :38> A∗∗−1∗g81 ans =8283 8.6981884 −2.3406185 0.28788



1 > dados<−read . t a b l e ( ’ dados . txt ’ , head=T)2 > dados3 y x1 x2 x34 1 25 .5 1 .74 5 .30 10 .85 2 31 .2 6 .32 5 .42 9 .46 3 25 .9 6 .22 8 .41 7 .27 4 38 .4 10 .52 4 .63 8 .58 5 18 .4 1 .19 11 .60 9 .49 6 26 .7 1 .22 5 .85 9 .9

10 7 26 .4 4 .10 6 .62 8 .011 8 25 .9 6 .32 8 .72 9 .112 9 32 .0 4 .08 4 .42 8 .713 10 25 .2 4 .15 7 .60 9 .214 11 39 .7 10 .15 4 .83 9 .415 12 35 .7 1 .72 3 .12 7 .616 13 26 .5 1 .70 5 .30 8 .217 >1819 > modelo<−lm ( ’ y˜x1+x2+x3 ’ , data=dados )20 > modelo21



22 Cal l :23 lm( formula = ”y˜x1+x2+x3 ” , data = dados )2425 C o e f f i c i e n t s :26 ( I n t e r c e p t ) x1 x2 x327 39.1573 1 .0161 −1.8616 −0.34332829 > summary . lm( modelo )3031 Ca l l :32 lm( formula = ”y˜x1+x2+x3 ” , data = dados )3334 Res idua l s :35 Min 1Q Median 3Q Max36 −1.8532 −1.4495 −0.3219 0 .5919 3 .21213738 C o e f f i c i e n t s :39 Estimate Std . Error t va lue Pr(>| t | )40 ( I n t e r c e p t ) 39 .1573 5 .8871 6 .651 9 .36 e−05 ∗∗∗41 x1 1.0161 0 .1909 5 .323 0.000479 ∗∗∗42 x2 −1.8616 0 .2673 −6.964 6 .58 e−05 ∗∗∗43 x3 −0.3433 0 .6171 −0.556 0.59157244 −−−45 S i g n i f . codes : 0 ’ ∗∗∗ ’ 0 .001 ’ ∗∗ ’ 0 .01 ’ ∗ ’ 0 .05 ’ . ’ 0 . 1 ’ ’ 14647 Res idua l standard e r r o r : 2 .073 on 9 degree s o f freedom48 Mult ip l e R−squared : 0 .9117 , Adjusted R−squared : 0 .882349 F−s t a t i s t i c : 30 .98 on 3 and 9 DF, p−value : 4 .496 e−055051 > anova ( modelo )52 Ana lys i s o f Variance Table5354 Response : y55 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)56 x1 1 187.312 187.312 43.5875 9 .904 e−05 ∗∗∗57 x2 1 210.813 210.813 49.0561 6 .297 e−05 ∗∗∗58 x3 1 1 .330 1 .330 0 .3095 0 .591659 Res idua l s 9 38 .676 4 .29760 −−−61 S i g n i f . codes : 0 ’ ∗∗∗ ’ 0 .001 ’ ∗∗ ’ 0 .01 ’ ∗ ’ 0 .05 ’ . ’ 0 . 1 ’ ’ 162 >63 > sim=data . frame ( x1=3,x2=8,x3=9)64 > sim65 x1 x2 x366 1 3 8 967 > p r e d i c t . lm( modelo , newdata=sim , i n t e r v a l=”con f idence ” , se . f i t=T)68 $ f i t69 f i t lwr upr70 1 24.22311 22.49306 25.95317



7172 $se . f i t73 [ 1 ] 0 .76478197475 $df76 [ 1 ] 97778 $ r e s i d u a l . s c a l e79 [ 1 ] 2 .0730128081 > p r e d i c t . lm( modelo , newdata=sim , i n t e r v a l=”p r e d i c t i o n ” , se . f i t=T)82 $ f i t83 f i t lwr upr84 1 24.22311 19.22468 29.221548586 $se . f i t87 [ 1 ] 0 .76478198889 $df90 [ 1 ] 99192 $ r e s i d u a l . s c a l e93 [ 1 ] 2 .073012



1 eqreg<−”y˜x1+x2+x3+x4”2 coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )3 summary( c o e f r e g )45 > eqreg<−”y˜x1+x2+x3+x4”6 > coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )7 > summary( c o e f r e g )89 Ca l l :

10 lm( formula = eqreg , data = dados )1112 Res idua l s :13 1 2 3 4 5 6 7

814 −0.04053 −0.12898 0.21498 −0.43238 −0.64610 0.22143 0.52245

1.12764



15 916 −0.838521718 C o e f f i c i e n t s :19 Estimate Std . Error t va lue Pr(>| t | )20 ( I n t e r c e p t ) 7 .14753 16.45961 0 .434 0 .686521 x1 0.10009 0.33971 0 .295 0 .782922 x2 0.72642 0.78590 0 .924 0 .407623 x3 3.07584 1.05918 2 .904 0 .0439 ∗24 x4 −0.03004 0.16646 −0.180 0 .865625 −−−26 S i g n i f . codes : 0 ’ ∗∗∗ ’ 0 .001 ’ ∗∗ ’ 0 .01 ’ ∗ ’ 0 .05 ’ . ’ 0 . 1 ’ ’ 12728 Res idua l standard e r r o r : 0 .861 on 4 degree s o f freedom29 Mult ip l e R−squared : 0 .9908 , Adjusted R−squared : 0 .981530 F−s t a t i s t i c : 107 .3 on 4 and 4 DF, p−value : 0 .000254131323334 eqreg<−”y˜x3”35 coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )36 summary( c o e f r e g )3738 > eqreg<−”y˜x3”39 > coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )40 > summary( c o e f r e g )4142 Ca l l :43 lm( formula = eqreg , data = dados )4445 Res idua l s :46 Min 1Q Median 3Q Max47 −5.6496 −2.1172 −1.2392 0 .9339 7 .89294849 C o e f f i c i e n t s :50 Estimate Std . Error t va lue Pr(>| t | )51 ( I n t e r c e p t ) 45 .298 5 .254 8 .621 5 .64 e−05 ∗∗∗52 x3 4 .315 1 .390 3 .105 0 .0172 ∗53 −−−54 S i g n i f . codes : 0 ’ ∗∗∗ ’ 0 .001 ’ ∗∗ ’ 0 .01 ’ ∗ ’ 0 .05 ’ . ’ 0 . 1 ’ ’ 15556 Res idua l standard e r r o r : 4 .394 on 7 degree s o f freedom57 Mult ip l e R−squared : 0 .5793 , Adjusted R−squared : 0 .519258 F−s t a t i s t i c : 9 .64 on 1 and 7 DF, p−value : 0 .017259606162 eqreg<−”y˜x3+x1”63 coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )



64 summary( c o e f r e g )6566 > eqreg<−”y˜x3+x1”67 > coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )68 > summary( c o e f r e g )6970 Ca l l :71 lm( formula = eqreg , data = dados )7273 Res idua l s :74 Min 1Q Median 3Q Max75 −0.8230 −0.6127 −0.2034 0 .7517 0 .80447677 C o e f f i c i e n t s :78 Estimate Std . Error t va lue Pr(>| t | )79 ( I n t e r c e p t ) 20.10845 1.98726 10 .119 5 .41 e−05 ∗∗∗80 x3 2.02533 0.29712 6 .817 0.000489 ∗∗∗81 x1 0.41363 0.02866 14 .431 6 .94 e−06 ∗∗∗82 −−−83 S i g n i f . codes : 0 ’ ∗∗∗ ’ 0 .001 ’ ∗∗ ’ 0 .01 ’ ∗ ’ 0 .05 ’ . ’ 0 . 1 ’ ’ 18485 Res idua l standard e r r o r : 0 .7942 on 6 degree s o f freedom86 Mult ip l e R−squared : 0 .9882 , Adjusted R−squared : 0 .984387 F−s t a t i s t i c : 251 .7 on 2 and 6 DF, p−value : 1 .635 e−068889 eqreg<−”y˜x3+x2”90 coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )91 summary( c o e f r e g )9293 > eqreg<−”y˜x3+x2”94 > coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )95 > summary( c o e f r e g )9697 Ca l l :98 lm( formula = eqreg , data = dados )99

100 Res idua l s :101 Min 1Q Median 3Q Max102 −0.86003 −0.46064 0.01659 0.18734 1.26593103104 C o e f f i c i e n t s :105 Estimate Std . Error t va lue Pr(>| t | )106 ( I n t e r c e p t ) 2 .18332 2.80095 0 .779 0 .465107 x3 3.32533 0.23320 14 .260 7 .44 e−06 ∗∗∗108 x2 0.95758 0.05927 16 .156 3 .58 e−06 ∗∗∗109 −−−110 S i g n i f . codes : 0 ’ ∗∗∗ ’ 0 .001 ’ ∗∗ ’ 0 .01 ’ ∗ ’ 0 .05 ’ . ’ 0 . 1 ’ ’ 1111112 Res idua l standard e r r o r : 0 .7114 on 6 degree s o f freedom



113 Mult ip l e R−squared : 0 .9905 , Adjusted R−squared : 0 .9874114 F−s t a t i s t i c : 314 .4 on 2 and 6 DF, p−value : 8 .445 e−07115116 eqreg<−”y˜x3+x4”117 coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )118 summary( c o e f r e g )119120 > eqreg<−”y˜x3+x4”121 > coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )122 > summary( c o e f r e g )123124 Ca l l :125 lm( formula = eqreg , data = dados )126127 Res idua l s :128 Min 1Q Median 3Q Max129 −5.944 −1.908 −1.585 1 .236 7 .678130131 C o e f f i c i e n t s :132 Estimate Std . Error t va lue Pr(>| t | )133 ( I n t e r c e p t ) 49 .5173 19.5981 2 .527 0 .0449 ∗134 x3 4 .7401 2 .4103 1 .967 0 .0968 .135 x4 −0.1945 0 .8649 −0.225 0 .8296136 −−−137 S i g n i f . codes : 0 ’ ∗∗∗ ’ 0 .001 ’ ∗∗ ’ 0 .01 ’ ∗ ’ 0 .05 ’ . ’ 0 . 1 ’ ’ 1138139 Res idua l standard e r r o r : 4 .726 on 6 degree s o f freedom140 Mult ip l e R−squared : 0 .5829 , Adjusted R−squared : 0 .4438141 F−s t a t i s t i c : 4 .192 on 2 and 6 DF, p−value : 0 .07259



1 eqreg<−”y˜x1+x2+x3+x4”2 dados<−read . t ab l e ( f i l e =’ entrada ’ , head=T)3 coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )4 summary( c o e f r e g )5 > i n v i s i b l e ( l i b r a r y (MASS) )6 > stepAIC ( coe f r eg , d i r e c t i o n=”both ”)7 Star t : AIC=0.018 y ˜ x1 + x2 + x3 + x49

10 Df Sum of Sq RSS AIC



11 − x4 1 0 .0241 2 .9897 −1.918412 − x1 1 0 .0644 3 .0299 −1.798113 − x2 1 0 .6334 3 .5990 −0.249114 <none> 2 .9656 0 .008615 − x3 1 6 .2523 9 .2179 8 .21531617 Step : AIC=−1.9218 y ˜ x1 + x2 + x31920 Df Sum of Sq RSS AIC21 − x1 1 0 .0467 3 .0364 −3.779022 <none> 2 .9897 −1.918423 − x2 1 0 .7948 3 .7845 −1.796824 + x4 1 0.0241 2 .9656 0 .008625 − x3 1 6 .2331 9 .2228 6 .22012627 Step : AIC=−3.7828 y ˜ x2 + x32930 Df Sum of Sq RSS AIC31 <none> 3 .036 −3.779032 + x1 1 0 .047 2 .990 −1.918433 + x4 1 0 .006 3 .030 −1.798134 − x3 1 102.902 105.939 26.190735 − x2 1 132.097 135.133 28.38133637 Ca l l :38 lm( formula = y ˜ x2 + x3 , data = dados )3940 C o e f f i c i e n t s :41 ( I n t e r c e p t ) x2 x342 2 .1833 0 .9576 3 .32534344 >



1 > eqreg<−”y˜x1+x2+x3+x4+x5”2 > dados<−read . t a b l e ( f i l e =’ entrada ’ , head=T)3 > coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )4 > i n v i s i b l e ( l i b r a r y (MPV) )5



6 Attaching package : ’MPV’78 The f o l l o w i n g ob j e c t ( s ) are masked from ’ package : da ta s e t s ’ :9

10 s t a c k l o s s1112 > PRESS( c o e f r e g )13 [ 1 ] 1 .00919714 > #Calculo do va l o r de PRESS manualmente15 > ( pr <− r e s i d ( modelo ) /(1 − lm . i n f l u e n c e ( modelo ) $hat ) )16 1 2 3 4 5

617 0.332780723 0.386833022 0.277971073 0.049668071 0.092847980

−0.12198371918 7 8 9 10 11

1219 −0.274095294 −0.048434368 −0.375074186 0.119595583 0.170223218

−0.00373311920 1321 −0.6197828952223 > sum( pr ˆ2)24 [ 1 ] 1 .009197

6. Fonte: [Ronald E. Walpole, 2009, Pag. 315, Exemplo 12.14] (exercicios/Walpole315exp12.14)Considere o conjunto de dados da Tabela 6, em que um fabricante de placas de asfalto estainteressado na relacao entre as vendas em determinado ano e fatores que influenciam as ven-das. (Os dados foram retirados de Neter, Wassermann e Kutner). Sendo os fatores: CProm=Contas Promocionais. CAtiv=Contas Ativas. MConc= Marcas Concorrentes. Pot= Poten-cial. E as Vendas e ’Vendas’ em milhares.Pede-se:

(a) ...Solucao:

1 > dados<−read . t ab l e ( f i l e=paste ( pasta , ”/” , arqent , sep =””) , head=T)23 > s t r ( dados )4 ’ data . frame ’ : 15 obs . o f 5 v a r i a b l e s :5 $ x1 : num 5 .5 2 .5 8 3 3 2 .9 8 9 4 6 .5 . . .6 $ x2 : i n t 31 55 67 50 38 71 30 56 42 73 . . .7 $ x3 : i n t 10 8 12 7 8 12 12 5 8 5 . . .8 $ x4 : i n t 8 6 9 16 15 17 8 10 4 16 . . .9 $ y : num 79 .3 200 .1 163 .2 200 .1 146 . . .

10 > modreg11 [ 1 ] ”y˜x1+x2+x3+x4”1213 > modelo<−lm( modreg , data=dados )



Tabela 10.1: Dados para analiseCProm CAtiv MConc Pot Vendas

5.5 31 10 8 79.32.5 55 8 6 200.18 67 12 9 163.23 50 7 16 200.13 38 8 15 146

2.9 71 12 17 177.78 30 12 8 30.99 56 5 10 291.94 42 8 4 160

6.5 73 5 16 339.45.5 60 11 7 159.65 44 12 12 86.36 50 6 6 237.55 39 10 4 107.2

3.5 55 10 4 155

1415 > modelo1617 Ca l l :18 lm( formula = modreg , data = dados )1920 C o e f f i c i e n t s :21 ( I n t e r c e p t ) x1 x2 x3 x422 177.2286 2 .1702 3 .5380 −22.1583 0 .20352324 > i n v i s i b l e ( l i b r a r y ( wle ) )2526 > mle . cp ( modelo )2728 Ca l l :29 mle . cp ( formula = modelo )303132 Mallows Cp :33 ( I n t e r c e p t ) x1 x2 x3 x4 cp34 [ 1 , ] 1 1 1 1 0 3 .40735 [ 2 , ] 1 1 1 1 1 5 .0003637 Printed the f i r s t 2 best models


Capıtulo 11

Experimentos com um fator (Cap. 13)

Consultar teoria basica em [Ronald E. Walpole, 2009, Capıtulo 13, Itens: 13.1, 13.2, 13.8 a 13.10].

11.1 Exercıcios



1 > quadro <− read . t a b l e ( f i l e =’ entrada ’ , head=T, c o l C l a s s e s=c ( t r a t =’f a c to r ’ , obs=’numeric ’ ) )

2 > quadro3 t r a t obs4 1 1 5515 2 1 4576 3 1 4507 . . .8 27 5 5229 28 5 613

10 29 5 65611 30 5 6791213 > aov1 <− aov ( obs ˜ trat , data=quadro )14 > aov115 Cal l :16 aov ( formula = obs ˜ trat , data = quadro )1718 Terms :19 t r a t Res idua l s20 Sum of Squares 85356.47 124020.3321 Deg . o f Freedom 4 25

76


2223 Res idua l standard e r r o r : 70 .4330424 Estimated e f f e c t s may be unbalanced25 > summary( aov1 )26 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)27 t r a t 4 85356 21339 4 .302 0 .00875 ∗∗28 Res idua l s 25 124020 496129 −−−30 S i g n i f . codes : 0 ’ ∗∗∗ ’ 0 .001 ’ ∗∗ ’ 0 .01 ’ ∗ ’ 0 .05 ’ . ’ 0 . 1 ’ ’ 131 >


Parte IV

Administracao da Disciplina

78

Capıtulo 12

Dicas de como estudar

Parece ate um tanto ousado um topico como este, mas por incrıvel que pareca existem algumasorientacoes que sao importantes de como se deve proceder para ter sucesso no estudo de umconhecimento qualquer, como no do presente curso.

Voce ao ler estas dicas pode dizer, mas isto nao serve pra mim. No entanto de tudo que voceler neste topico alguma coisa lhe servira de auxılio no seu estudo, e ja valeu a pena todo o esforcodeste texto.

Produtividade, e quando precisamos fazer muito em pouco tempo/espaco. Para isto precisamosaos poucos construir uma base solida para que a cada etapa possamos ir aumentando nossaprodutividade nos estudos. Nem sempre ir direto ao resumo resolve o problema, ele e um guiasobre o que sabemos de um assunto, se nao sabemos nada o resumo tem pouca validade.

12.1 Rotina

E muito importante voce estabelecer uma rotina de estudos para cada materia, lendo sempre oconteudo basico e nao apenas os resumos ou apostilas. E sem medo

Separe tempo para cada coisa: famılia, igreja, saude e estudos. Viu como os estudos vem porultimo, pois se vc parar para estudar e algum dos demais estiverem em falta, seu organismo/-conciencia comecara a cobrar a conta e vc nao tera paz para produzir com qualidade.

Tirar alguns momentos para programar um descanso/lazer e muito importante. Ficar dias edias trabalhando nao tras nenhum retorno a medio ou longo prazo.

12.2 Morto

Estudar cansado nao rende nada, com 30 minutos vc ja esta dormindo. Entao esteja sempredescansado antes das atividades de estudo. Nao adiante dormir a tarde toda e estudar ate as 4da madrugada, o dia seguinte cobra a conta. Apos se alimentar ou fazer uma atividade fısica oorganismo cobra um descanso, permita se relaxar apos o almoco por alguns minutos, uns 20 saoum bom referencial. Aprenda a dormir numa rede, ela e confortavel, leve, higienica e facil detransportar.

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12.3 Faminto

Com fome ficamos muito incomodados ao parar para estudar, entao faca um lanche antes de estu-dar, coisa leve. E ruim tambem comer enquanto estuda. O organismo nao gosta desta atividadesparalelas com a alimentacao. Acabar de almocar e estudar tambem e ruim, pois apos as refeicoesprecisamos dar ao organismo oportunidade de processar a alimentacao e isto consome energia epor isto ficamos mais cansados apos uma boa refeicao, importante dar oportunidade, com umcochilo, para o organismo trabalhar em paz. Evite ouvir musica apos o almoco, feche os olhos edeixe o organismo aproveitar a energia para processar o almoco.

12.4 Anti-social

Nao adianta vc querer estudar ligado no facebook, ou outra rede social. A mente precisa seconcentrar, de dedicacao para entender o conteudo a ser assimilado. Apos estudar algumas horas,vc para um descanso e ai sim se atualize, mas aquele conceito de conectado a todo momento,cobra seu preco na falta de rendimento nos estudos, vc parace que estudou horas, mas na verdadea mente aprendeu pouco coisa. Ai vc se irrita com o conteudo pois fica horas ’estudando’ e naoaprende, mas veja que vc nao estudou, ficou apenas olhando para o conteudo e concentrado naconversa da amiga sobre as mais recentes fofocas do dia. Ser anti-social no momento de estudare prova de equilıbrio e sucesso em algo mais importante, assimilar o conteudo com qualidade.

Ouvir musica e outro fator questionado. Muitos dizem, estudo apenas com musica, nao sei aocerto ate que ponto nossa mente consegue assimilar ambas as atividades com qualidade. Sempreexiste perda de alguma. E a musica e um lazer, entao reserve tempo de qualidade para ela e naodurante seu estudo. Igualmente para a televisao.

12.5 Ansenal

Antes de estudar, veja se vc possui todo material necessario para entendimento daquele conteudo.Nao perca tempo baixando, via internet, toneladas de tutoriais ou pegando dezenas de livros nabiblioteca, escolha alguns e tente entender a teoria partindo deles.

Estudar de apenas uma fonte tambem e ruim, pois nem todos os livros tem o mesmo foco oulinguagem, para isto tenha duas a quatro fontes boas como base de seus estudos.

Construa seus resumos bem organizadamente. Os resumos sao a prova de que sua menteorganizou o entendimento. Apos isto resolva os exercıcios somente baseando nos resumos. Antesda prova estude pela teoria e reforce o conhecimento nos resumos.


Capıtulo 13

Procedimentos de avaliacao

Com o intuito de esclarecer e evitar alguns problemas sobre o procedimento de avaliacao, seguemalgumas regras que DEVEM ser seguidas.

13.1 Divisao do conteudo e quantidade de avaliacoes

1. A disciplina sera divida em 2 etapas. O conteudo e as avaliacoes serao ministradas em 8encontros e a prova em 1 encontro, totalizando 9 encontros por etapa e 18 encontros no total.O 19o encontro sera para aplicacao de provas de reposicao e o 20o encontro para prova deexame final.

2. A avaliacao do desempenho do aluno dar-se-a por etapa, sendo que em cada etapa teremosum conjunto de trabalhos e uma prova, com pesos conforme Equacao 13.1 a 13.4. Todas asatividades valem 1 ponto bem como a sua totalizacao. Sendo este valor convertido para anota na grandeza que a universidade desejar.

13.2 Preparacao da sala para a prova

3. As avaliacoes serao realizadas em sala com computadores. Podendo haver modificacao desala para realizacao da prova, devendo o aluno ficar atendo ao moodle onde sera publicadaa nova sala para avaliacao.

4. A computador onde o aluno devera realizar a prova sera decidida pelo professor. Durante aprova o aluno podera ser modificado de computador sem previo aviso.

5. Para inıcio da prova os alunos devem portar apenas roupa pessoal, borracha, grafite, caneta,regua. Os demais objetos devem ser deixados dentro da bolsa na frente da sala.

6. Caso o aluno esteja portando blusa, a mesma deve estar sendo usada, senao deve deixarna frente da sala. Qualquer outro objeto eletronico devera ser deixado dentro da bolsa edesligado. O aluno nao tera acesso a sua bolsa durante a realizacao da prova, caso o alarmeou outros sinais sonoros acontecam durante a prova o aluno nao podera ter acesso a seuobjeto para manuseio. O aluno deve tambem certificar de que nao esta de posse de nenhum

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outro papel, material ou objeto senao os autorizados. Acarretara o cancelamento da provade todos os alunos, mesmo que um aluno esteja portanto os objetos especificados neste item,quer seja por esquecimento ou outro motivo.

7. Como alimento durante a prova somente sera autorizado o uso de agua em recipiente trans-parente. Portanto o aluno devera efetuar um adequado desjejum antes do inıcio da prova.Que tera duracao de 200 minutos.

8. O acesso ao banheiro esta restrito a casos necessarios. Sendo a liberacao feita pelo professore nao pela vontade propria do aluno. Devendo o aluno sempre cientificar o professor de suasaıda e chegada.

9. O aluno deve ligar o computador, escolher o sistema operacional Linux. Acessar a contaprova. Verificar se o ıcone de conexao com a internet esta habilitado. Verificar o funciona-mento dos softwares necessarios que sao: R, Gnuplot, Octave, Maxima, Terminal, Navegadorde arquivos e editor de texto. Aguardar instrucoes de inıcio da prova. Preparar as pastas earquivos basicos para a resposta da prova.

13.2.1 Estrutura da prova:

10. O aluno dispoe de 1 encontro, 200 minutos, para resolucao da prova. O professor poderaliberar todas as questoes da prova ou liberar a questao (n+1) somente apos termino da n,sendo n=1,2,... . Para isto o aluno deve controlar individualmente o tempo de resolucao decada questao, bem como o tempo total.

11. Sera fornecido apenas uma folha A4 como rascunho.

12. A presenca do aluno na prova se da pela assinatura da folha de presenca.

13. A prova e todo material de apoio a prova, tal como resumos, formulario de calculo numerico(sera usado o padrao adotado na disciplina de calculo numerico, portanto o aluno deve sefamiliarizar com o texto) ou outros. Serao fornecidos somente no formato digital, padraoPDF.

14. A prova consta basicamente do desenvolvimento de um problema matematico utilizando oconhecimento constante na bibliografia ou visto em sala de aula, ou aplicacao destes.

15. Para as provas desenvolvidas em sala de computadores, os softwares (Linux, Gedit, R, Oc-tave, Maxima e GnuPlot) deverao ser usados como auxılio no processamento dos dados pararesposta dos exercıcios. O aluno devera unir desenvolvimento manual com desenvolvimentodigital. Os passos para desenvolvimento digital ou manual devem permitir o professor enten-der a origem das variaveis e valores, sem constar conteudo desnecessario, para isto o alunodeve copiar todas as saidas e consta-las em relatorio de texto puro.

16. Somente serao aceitas resposta com base na analise grafica quando for expressamente pe-dido a analise restrita via grafico. Nos demais casos o aluno deve provar proficienciateorica/matematica/computacional no desenvolvimento e resposta as questoes.



17. A prova podera ser desenvolvida de forma digital e manual. O desenvolvimento deve serdetalhado permitindo a reconstrucao da solucao pelo professor. As respostas devera serexpressas, letra a letra, com um texto que expressa com clareza a resposta daquela letra.

18. A prova vale 1, cada exercıcio vale 1, subdividindo este valor por cada letra do exercıcio.

19. A resolucao do exercıcio, e a obtencao da nota da mesma, se da pela elaboracao completae conjunta de todos os calculos em cada passo, apresentando-os de forma clara, coerente,didatica, explicativa, organizada, legıvel e detalhada. Nao serao consideradas fracoes decalculo ou desenvolvimento como atendimento a nota do exercıcio. A nota compoe-se dacoerencia de todos os calculos envolvidos no exercıcio e nao somente do resposta final. E oaluno nao deve presumir que a escrita de algarismos soltos na folha/arquivo, ou pedacoesdesconectos de forma digital, ira justificar o desenvolvimento e a resposta ao exercıcio.

20. Deverao ser utilizada 4 casas decimais, com numeros diferentes de zero, ou em notacaocientıfica neste caso, para todos os calculos. O erro relativo maximo permitido entre o valordo gabarito e o valor fornecido na resolucao e de 1%.

21. O professor recebera a prova pessoalmente de cada aluno, somente se todas as informacoessolicitadas na prova estiverem preenchidos. Podendo o aluno sair de sala somente aposliberacao do professor, o abandono da prova em sala caracteriza desistencia da mesma e seraarrolada testemunha para tais acoes.

22. Todo material necessario para a realizacao da prova, fora os citados acima serao entreguespelo professor e deverao ser devolvidos no final da prova. Nao ficando com o aluno nenhummaterial usada durante estas atividades. As folhas de rascunho serao eliminados no momentodo recolhimento da prova e as folhas de desenvolvimento devidamente identificadas seraoanexadas a prova.

23. O aluno que estiver portanto qualquer material bibliografico referente a disciplina, fora oentregue pelo professor, provocara o cancelamento imediato da prova de todos os alunospara equilibrio de condicoes com os demais colegas.

13.2.2 Estrutura do trabalho

24. O trabalho corresponde a resolucao de um conjunto de tarefas, e seus exercıcios, que seraoaplicadas em sala ou via moodle, com prazo de entrega ao finalizar a etapa corrente, eavaliadas de forma individual.

25. Sera solicitada a resolucao digital, podendo ter partes manuais, utilizando exclusivamenteos recursos computacionais vistos na disciplina que sao o Linux, gedit, R, Octave, Maximae GnuPlot;

26. A tarefa deve ser conferida com outros dois colegas para assim havendo duvida solicitardiscussao do tema em sala de aula.

27. O valor de cada tarefa vale 1 e o valor total do trabalho vale 1. Somente serao pontuadastarefas entregues completas.



13.2.3 Outras disposicoes:

28. A presenca do aluno sera registrada ate 30 minutos do inicio da aula e refeita 30 minutosantes do final da aula. A frequencia sera abonada apenas mediante processo no protocolocom deferimento pelo professor, e o aluno deve ficar atento ao numero de faltas para evitarreprovacao. As frequencias estarao disponıveis on line para conferencia de todos.

29. As provas ficarao com o professor, a disposicao do aluno, para revisoes de nota em data aser definida com o professor. Apos este perıodo estas atividades serao arquivadas. Exceto aprova de recuperacao, que ficara na Secretaria Academica do Curso.

30. O professor a todo momento podera revisar as notas lancadas, ate o fechamento do diariono final do semestre.

31. O aluno devera assinar lista de presenca em sala de aula e no atendimento a alunos noperıodo programado, como comprovacao de sua presenca naquela atividade.

32. As regras previstas no capıtulo Elaboracao de Tarefas,Capıtulo 14 serao adotadas comoreferencia para todas as tarefas: sejam elas provas, trabalhos, projetos, questoes, exercıciosetc; desenvolvidas durante o curso. Somente sendo considerados para correcao as tarefasque estiverem de acordo com estas regras.

33. A administracao da disciplina sera feita somente via moodle ou link relacionado neste. Serautilizado planilha eletronica, para calculo de notas e medias, sem interferencia subjetiva nasnotas ou casas decimais. No diario a nota 1 corresponde a nota da etapa 1, idem paranota 2. O lancamento da nota sera conforme padrao daquele sistema, uma casa decimal,arredondados conforme planilha. O trabalho tem peso 1 e a prova peso 9, em cada etapa.Nacorrecao das provas e trabalhos as notas valem de zero a um, com duas casas decimais,conforme as equacoes a seguir:

NotaTrab =

∑ni=1NotaTarefai

n(13.1)

NotaProva =

∑ni=1NotaQuestaoi

n(13.2)

NotaEtapa =NotaTrab ∗ PesoTrab+NotaProva ∗ PesoProva∑

(PesoTrab+ PesoProva)(13.3)

NotaF inal = NotaEtapa ∗ 10 (13.4)

34. O exame final, que envolve toda a materia, tem os mesmos procedimentos de uma etapa,sem a atividade de trabalho.

35. A solicitacao para reposicao de provas seguira os tramites da Secretaria Academica do Curso,SAC, e sera analisadas de acordo com cada caso pelo professor. Sendo marcada uma unicadata para realizacao destas atividades.

36. Todas as atividades da disciplina como aulas, trabalhos e provas, estao previamente agen-dados e sao apresentados aos alunos no primeiro dia de aula. E constam do roteiro dadisciplina.



37. A mudanca de qualquer compromisso requer concordancia unanime dos alunos, disponibi-lidade de sala e disponibilidade do professor. O pedido de alteracao de deve ser feito porescrito e em tempo habil para estas mudancas.

38. As provas podem ser alteradas apenas uma vez da data da inicialmente prevista no inıciodo curso.

39. As notas serao divulgadas via moodle, logo apos a realizacao das correcoes que poderaocorrer mesmo depois da realizacao da prova seguinte. Sendo que as provas que estiveremcom dificuldade de interpretacao serao corrigidas por ultimo. O aluno nao deve presumirque deve ter acesso a nota anterior para realizacao de uma prova seguinte na agenda deavaliacoes.

Quaisquer outros procedimentos nao previstos neste texto serao resolvidos pelo professor eatualizados.


Capıtulo 14

Elaboracao das Tarefas

14.1 Introducao

Uma disciplina e composta basicamente da ministracao/apresentacao de conteudo teorico e de-senvolvimento de atividades para fixacao e ampliacao destes conteudos.

O Moodle referencia qualquer atividade da disciplina (exercıcios, trabalhos, provas) comotarefa, o que sera seguido nestas orientacoes.

Utilizaremos o software OCTAVE como base de todo nosso processamento matematico numerico.Quando necessario por questao de especialidade usaremos tambem os softwares Maxima, paracalculos algebricos. O R para analise estatıstica e o GnuPlot para geracao de graficos. Em todasas nossas tarefas utilizamos arquivos de texto puro e imagens no formato png.

Uma tarefa tem um nome especificado por mim e uma lista de ”Exercıcios”que sao: questoesa resolver oriundos de diversas fontes; numeradas assim 1,2,... . E o que se deseja deste exercıciono item ”Pede-se”numeradas assim (a),(b),... .. Que devem ser respondidas no relatorio digital,ou manual quando necessario, individualmente em cada letra.

O site www.uft.edu.br/engambiental/prof/catalunha deve ser consultado para acessoa softwares, tutoriais e atualizacoes deste roteiro. Bem como material disponivel no moodle dadisciplina.

14.2 Tarefa exemplo

Considere que foi proposto uma tarefa ao aluno de nome Fulano Ferreira da Silva, cujo nome usadona disciplina e Fulano. Esta tarefa sera desenvolvida como exemplo para disciplina de Estatıstica:

14.2.1 Tarefa: ajustemodelo

1. Considere os valores da Tabela 14.1 de um experimento onde y=f(x).

Pede-se:

(a) Apresente o grafico dos dados originais

(b) Determine um modelo polinomial de 1 grau, para os pontos dados.

(c) Apresente o grafico dos dados originais e do modelo

86


Tabela 14.1: Experimentox y

1.3 23.4 5.25.1 3.86.8 6.18 5.8

(d) Calcule a raiz deste modelo.

(e) Calcular o coeficiente ajustamento do modelo obtido.

2. Veja livro do Barroso, pag 335, exemplo 7.5.

O desenvolvimento completo desta tarefa sera apresentado a seguir.Veja que esta tarefa, chamado de ”ajustemodelo”tem 2 exercicios. Um ”exercicio01”constante

na lista de tarefas. Um ”exercicio02”que aponta para determinado livro usado na disciplina.

14.3 Resolucao digital

Primeiramente devera ser criado uma pasta no seu computador para armazenar o desenvolvimentoda tarefa. Veja estrutura de pastas no item 14.3.1 e relacao de arquivos no item 14.3.2

Note que cada exercıcio vem numa pasta separada.Nao use acento ou espaco em nome de arquivos ou pastas.

14.3.1 Estrutura de pastas

A resolucao digital de cada exercıcio da tarefa devera ser composta dos seguintes arquivos do tipotexto puro. A estrutura de pastas padrao das disciplinas e:

1 /home/ suaconta / u f t /2 |−− e s tbas3 |−− docs4 ‘−− t a r e f a s5 |−− eb fu l ano a ju s t emode l o6 | |−− e x e r c i c i o 0 17 | | |−− [ a rqu ivos do GNUPLOT, quando nece s s a r i o . ]8 | | |−− [ a rqu ivos do OCTAVE, quando nece s s a r i o ]9 | | |−− [ a rqu ivos do R, quando nece s s a r i o . ]

10 | | ‘−− r e l a t o r i o 0 1 . txt11 | ‘−− e x e r c i c i o 0 212 ‘−− eb fu l ano a ju s t emode l o . z ip

14.3.2 Relacao de arquivos basicos por exercıcio

Com excecao do relatorio todos os arquivos basicos estao associados a um softwares adotado,conforme Tabela 14.2 a seguir:



Nao use acento ou espaco em nome de arquivos ou pastas.O exercicio2 que e o ”exemplo7.5”do referido livro, tera os mesmos arquivos com o conteudo

necessario para a resolucao daquele exercıcio.O arquivo ”relatorio01.txt”reunira todas as informacoes do desenvolvimento do exercıcio01.

Quando eu for consulta-lo terei um entendimento claro do que voce quis fazer, de quais ferramentasutilizou e das manipulacoes matematicas necessarias ao desenvolvimento do exercıcio. Vendoclaramente o desenvolvimento e a resposta. Usando arquivo digital, vc apenas usara um arquivopor questao, com todas as letras necessarias.

1 ############################################################2 E x e r c i c i o 01 − LETRA A3 ############################################################4 DESENVOLVIMENTO:5 Neste item voc e desenvo lve toda a r e s o l u c ao da r e f e r i d a l e t r a do exerc ı c i o6 RESPOSTA:7 Ao f i n a l voc e DEVE e s c r e v e r um texto c l a r o como re spo s ta da l e t r a em

desenvolvimento , c i tando os v a l o r e s nume r i c o s , v a r i a v e i s e unidadesnece s s a r i a s para composi c ao da r e spo s ta .

8 ############################################################9 E x e r c i c i o 01 − LETRA B

10 ############################################################11 DESENVOLVIMENTO:12 . . . . .13 RESPOSTA:14 . . . . .

A seguir apresento os arquivos necessarios ao desenvolvimento da tarefa exemplo para a disci-plina de Estatıstica.

Arquivo contendo o relatorio geral do exercicio, Arquivo 14.1

Arquivo 14.1: eb edital.arq/eb fulano ajustemodelo/exercicio01/relatorio.txt

1 ############################################################2 E x e r c i c i o 01 − LETRA A3 ############################################################4 DESENVOLVIMENTO:5 Veja s c r i p t gra f i coA . txt .67 RESPOSTA:8 Veja gr a f i c o gra f i coA . png .9

1011 ############################################################12 E x e r c i c i o 01 − LETRA B13 ############################################################14 DESENVOLVIMENTO:15 octave :1> vx = [ 1 . 3 , 3 . 4 , 5 . 1 , 6 . 8 , 8 . 0 ]16 vx =1718 1.3000 3 .4000 5 .1000 6 .8000 8 .0000



Tabela 14.2: Arquivos padroes em cada softwareSoftware Arquivo Descricao

nenhum relatorio01.txt Arquivo de texto puro que contem o desenvolvimento detalhadode todos os passos para elaboracao do exercıcio. Com parte dedesenvolvimento e resposta separado letra a letra.

MAXIMA Nao tem As saıdas e entradas deste programa sao todas salvas no relatoriocom o uso do copiar do terminal e colar no relatorio.

GNUPLOTgraficoA.txt Arquivo de texto puro que contem o script do grafico. A letra

”A”refere-se a letra que esta sendo respondida. Use o numero”1”para contagem de graficos, caso necessario.

graficoA.pts Arquivo de texto puro que armazena os pontos necessarios paraa criacao do grafico. A letra ”A”refere-se a letra que esta sendorespondida. Use o numero ”1”para contagem de graficos, caso ne-cessario.

graficoA.png Contem o grafico, em formato png, necessario a resolucao doexercıcio. A letra ”A”refere-se a letra que esta sendo respondida.Use o numero ”1”para contagem de graficos, caso necessario.

OCTAVE

interface.m Arquivo de texto puro que contem a interface com o usuario parauso da funcao processamento.

ajustemodelo.m Arquivo de texto puro que contem a funcao processamento pura desolucao do problema. Esta funcao nao deve de forma alguma lerdados do teclado ou emitir mensagens em vıdeo.

relatorio.txt Arquivo de texto puro que armazena o uso do programa no octaveentrada.txt Arquivo de texto puro que armazena a entrada de dados. Existe

um formato padronizado na disciplina.saida.txt Arquivo de texto puro que armazena a saıda de dados. Existe um

formato padronizado na disciplina.graficoA.png Contem o grafico, em formato png, necessario a resolucao do

exercıcio. A letra ”A”refere-se a letra que esta sendo respondida.Use o numero ”1”para contagem de graficos, caso necessario.

R

analiseA.sr Arquivo de texto puro que contem o script de analise, detalhandotodos os passos para elaboracao da solucao do exercıcio. A le-tra ”A”refere-se a letra que esta sendo respondida. Use o numero”1”para contagem de graficos, caso necessario.

dadosA.txt Arquivo de texto puro que contem os dados de entrada necessariospara analise estatıstica. A letra ”A”refere-se a letra que esta sendorespondida. O numero ”1”e a contagem de dados, caso necessario.

resultadosA.txt Contem os resultados da analise estatıstica. A letra ”A”refere-se aletra que esta sendo respondida. Use o numero ”1”para contagemde resultados, caso necessario.

graficoA.png Contem a figura, grafico, em formato png, necessario a resolucao doexercıcio. A letra ”A”refere-se a letra que esta sendo respondida.Use o numero ”1”para contagem de graficos, caso necessario.



19 octave :3> vy = [ 2 . 0 , 5 . 2 , 3 . 8 , 6 . 1 , 5 . 8 ]20 vy =2122 2.0000 5 .2000 3 .8000 6 .1000 5 .800023 octave :7> v1 (5 )=124 v1 =2526 0 0 0 0 12728 octave :8> v1 ( : ) =129 v1 =3031 1 1 1 1 132 octave :9> mX=[v1 ’ , vx ’ ]33 mX =3435 1.0000 1 .300036 1 .0000 3 .400037 1 .0000 5 .100038 1 .0000 6 .800039 1 .0000 8 .00004041 octave :10> mY=[vy ’ ]42 mY =4344 2.000045 5 .200046 3 .800047 6 .100048 5 .800049 octave :15> mNX=mX’∗mX50 mNX =5152 5.0000 24.600053 24.6000 149.500054 octave :16> mNY=mX’∗mY55 mNY =5657 22 .90058 127.54059 octave :17> mc=mNX∗∗−1∗mNY60 mc =6162 2.0097463 0.522416465 RESPOSTA:66 O modelo e y=2.00974+0.52241∗x67



68 ############################################################69 E x e r c i c i o 01 − LETRA C70 ############################################################7172 DESENVOLVIMENTO:73 Veja s c r i p t g ra f i coC . txt .7475 RESPOSTA:76 Veja gr a f i c o gra f i coC . png .7778 ############################################################79 E x e r c i c i o 01 − LETRA D80 ############################################################8182 DESENVOLVIMENTO:83 (%i 1 ) a l l r o o t s (2.00974+0.52241∗x , x ) ;84 (%o1 ) [ x = − 3 .847054995118776 ]85 (%i 2 )8687 RESPOSTA:88 A u n ica r a i z do modelo e x= −3.84708990 ############################################################91 E x e r c i c i o 01 − LETRA E92 ############################################################9394 DESENVOLVIMENTO:95 > dados<−read . t a b l e ( f i l e =”dadosA1 . txt ” , head=T) ;96 > eqreg<−”y˜x”97 > coe f r eg<−lm( eqreg , data=dados )98 > summary( c o e f r e g )99

100 Ca l l :101 lm( formula = eqreg , data = dados )102103 Res idua l s :104 1 2 3 4 5105 −0.6889 1 .4141 −0.8740 0 .5379 −0.3890106107 C o e f f i c i e n t s :108 Estimate Std . Error t va lue Pr(>| t | )109 ( I n t e r c e p t ) 2 .0097 1 .1349 1 .771 0 .1747110 x 0.5224 0 .2075 2 .517 0 .0864 .111 −−−112 S i g n i f . codes : 0 ’ ∗∗∗ ’ 0 .001 ’ ∗∗ ’ 0 .01 ’ ∗ ’ 0 .05 ’ . ’ 0 . 1 ’ ’ 1113114 Res idua l standard e r r o r : 1 .107 on 3 degree s o f freedom115 Mult ip l e R−squared : 0 .6787 , Adjusted R−squared : 0 .5715116 F−s t a t i s t i c : 6 .336 on 1 and 3 DF, p−value : 0 .08639



117118 RESPOSTA:119 O r ˆ2 ou c o e f i c i e n t e de ajustamento e 0 .6787

Arquivo contendo os pontos para o grafico da letra A, Arquivo 14.2

Arquivo 14.2: eb edital.arq/eb fulano ajustemodelo/exercicio01/graficoA.pts

1 #x y2 1.3000 2 .00003 3 .4000 5 .20004 5 .1000 3 .80005 6 .8000 6 .10006 8 .0000 5 .8000

Arquivo contendo o script do grafico da letra A, Arquivo 14.3 e Figura 14.1

Arquivo 14.3: eb edital.arq/eb fulano ajustemodelo/exercicio01/graficoA.txt

1 # Comentario2 reset3 set term pngca i ro4 set output ’ g ra f i coA1 . png ’5 set grid6 set key out s id e c en te r bottom t i t l e ’ Legenda ’7 set t i t l e ” Gra f i co A1 − Pontos”8 set xlabel ”x”9 set ylabel ”y”

10 plot ” gra f i coA . pts ” using ( $1 ) : ( $2 ) t i t l e ”Pontos” with po in t s l t 3 l c3

Arquivo contendo o script do grafico da letra C, Arquivo 14.4 e Figura 14.2

Arquivo 14.4: eb edital.arq/eb fulano ajustemodelo/exercicio01/graficoC.txt

1 # Comentario2 reset3 set term pngca i ro4 set output ’ g ra f i coC1 . png ’5 set grid6 set key out s id e c en te r bottom t i t l e ’ Legenda ’7 set t i t l e ” Gra f i co C1 − Pontos e Modelo”8 set xlabel ”x”9 set ylabel ”y”

10 plot 2.00974+0.52241∗x t i t l e ”Modelo y=2.00974+0.52241∗x” , ” gra f i coA .pts ” using ( $1 ) : ( $2 ) t i t l e ”Pontos” with po in t s l t 4 l c 3

Arquivo contendo os dados para a analise estatıstica com o R, Arquivo 14.5

Arquivo 14.5: eb edital.arq/eb fulano ajustemodelo/exercicio01/dadosA.txt

1 x y2 1.3000 2 .0000



3 3 .4000 5 .20004 5 .1000 3 .80005 6 .8000 6 .10006 8 .0000 5 .8000

Figura 14.1: Grafico da letra A



Figura 14.2: Grafico da letra A


Capıtulo 15

Instalando o Linux e outros softwares

Com o objetivo de facilitar o uso do linux disponibilizo um tutorial para instalacao.

95

Instalando o Linux e outros Softwares

Prof. Dr. Catalunha

Atualizado em 4 de Dezembro de 2013

1 Introducao

Nas minhas disciplinas sao adotados obrigatoriamente algumas ferramentas computacionais paraauxılio no processamento dos dados. Seguem alguns orientacoes para melhorar instalacao e con-figuracao destas ferramentas.

Estaremos desenvolvendo todas as atividades na plataforma linux, ubuntu, utilizando o ’ter-minal’ como interface de entrada e saida. ’Nautilus’ como navegador de arquivos. ’Chrome’ comonavegador de internet. ’gedit’ como editor de texto para relatorios e programas.

Para processamento matematico numerico e ambiente de linguagem de programacao sera ado-tado o OCTAVE.

O processamento matematico simbolico sera desenvolvido no MAXIMA.As analises estatısticas serao desenvolvidas no R.A geracao de graficos, em formato ”png”sera feita por padrao GNUPLOT. Caso seja necessario

o OCTAVE, MAXIMA ou R pode ser adotado para geracao de graficos.O Libre Office sera adotado como ferramenta de escritorio para formatacao complexa em textos,

uso de planilhas, confeccao de ”slides”para apresentacao e desenhos. Somente para trabalhosespecıficos quando solicitados.

2 Sistema Operacional

Estaremos desenvolvendo todas as atividades na plataforma Linux, Distribuicao Ubuntu, o siteoficial e (http://www.ubuntu-br.org/). Instale os programas anteriormente mencionados conformeorientacoes do item 3.

Voce podera utilizar o linux no pendrive, item 2.2, ou mesmo instalar no hd de seu computador,item 2.1. Recomendo instalar no seu hd pois a demanda de trabalhos neste ambiente sera grande,e o pen-drive por lhe trazer alguns atrasos.

Nos tutores que se seguem usaremos muito o termo “*.iso”, que quer dizer um imagem dedados pronto para ser gravado em pendrive.

2.1 Usando o Linux instalado no seu HD/Computador/Notebook

Caso possua um computador e queira instalar o Ubuntu, voce nao perdera o seu windows, o Linuxcria uma area no hd para ele e gerencia a inicializacao permitindo que voce escolha entre Linuxou Windows.

1

Linux e outros Softwares Prof. Dr. Catalunha

Para este processo e interessante a presenca de um amigo da ciencia da computacao para tirar algumas duvidas que possam surgir ou resolver algumas situacoes anormais, mas o processo e simples. Lembre-se antes de salvar seus dados do Windows em “backup” externo. E faca “backup” perıodicos.Os passos sao:

1. Estando o Windows instalado em seu Computador/Notebook.

2. Para instalar o Linux em seu HD ele precisa estar instalado num pendrive, para isto siga asorientacoes do Item 2.2 e depois retorne a esta etapa;

3. Inicie o computador, de boot, pelo pendrive.

4. Selecione a opcao ”Instalar em HD”.

5. Responda as perguntas de instalacao conforme desejar.

2.2 Usando o Linux apenas no PenDrive

Voce pode usar esta distribuicao no pendrive, e muito simples. Voce nao perde o uso do pendrivepara windows, carro, aparelho de som ou outras aplicacoes.

Alem de permitir que voce possa instalar programas no linux do pendrive e guardar arquivoscomo se estivesse num linux instalado no seu hd. Voce tambem acessa ao hd windows normalmente.

Para isto siga estes passos:

1. Pegue a imagem iso do ubuntu no site oficial e copie para um pendrive no mınimo 4GB.Verifique se seu computador e 64bits ou 32 bits.

2. Acesse a um computador Linux em qualquer lugar, pois vc precisa criar o disco de inicia-lizacao e precisa de uma maquina linux para isto. Copie a imagem iso do ubuntu do seupendrive para este computador.

3. Formate este pen drive. Retire e incira ele de novo no computador para reconhece-lo.

4. Neste mesmo computador abra o terminal e digite: usb-creator-gtk. Abrira entao uma janelacomo a da Figura 1.

5. Primeiro selecione a iso que voce baixou e foi salva no computador, pois esta sera a versaoque sera instalada no pendrive, veja letra A na Figura 1.

6. O pendrive ja foi reconhecido veja letra B na Figura 1.

7. Selecione ”Armazenados no espaco adicional reservado”, veja letra C na Figura 1. Movaentao a barra ate aproximadamente 100% da mesma.

8. Clique em ”Criar um disco inicializavel”, veja letra D na Figura 1. Apos este procedimentovoce tera um linux completo num pendrive.

9. Inicie o seu computador, de boot, pelo pendrive.

10. Selecione a opcao ”Testar ubuntu”.

11. Responda as perguntas de instalacao conforme desejar.

12. Pronto, vc ja tem um linux via pendrive em seu computador. Selecione apenas testar.

O Ubuntu necessita apenas da instalacao dos demais programas Octave, Maxima, Gnuplot, R.Conforme veremos em seguida.

2 Atualizado em 4 de Dezembro de 2013

Prof. Dr. Catalunha Linux e outros Softwares

Figura 1: Janela do criador de disco de inicializacao

3 Instalando Softwares Diretamente

Pode acontecer de voce ter um linux em seu computador e queira apenas instalar os softwares dadisciplina, veja os itens a seguir.

O gedit e o editor de textos padrao do ubuntu, ja vem instalado em todas as distribuicoes.

3.1 Instalando OCTAVE:

Para instalar no linux, e muito simples, atualize os repositorios e instale o software com os seguintescomandos no terminal:

1 $ sudo apt -get update

2 $ sudo apt -get install octave3 .2 octave3.2-doc octave3.2-info

octave -symbolic octave -odepkg octave -statistics

Atualizado em 4 de Dezembro de 2013 3

Linux e outros Softwares Prof. Dr. Catalunha

3.2 Instalando MAXIMA e GNUPLOT



2 $ sudo apt -get install maxima maxima -doc xmaxima

Apos esta operacao o Gnuplot tambem estara atualizado, pois o maxima precisa dele em suasbibliotecas graficas.

3.3 Instalando R



2 $ sudo apt -get install r-base

3.4 Instalando o Geogebra



2 $ sudo apt -get install geogebra

3.5 Instalando o BricsCAD

Para instalar no linux e simples. Acesse ao site, http://www.bricsys.com/, cadastre-se, baixe aversao que desejar e clique em instalar.

3.6 Instalando o Latex



2 $ sudo apt -get install texlive texlive -latex -extra texlive -lang -

portuguese texlive -math -extra

Agora precisamos instalar um editor que nos ajudara a compilar os textos em latex.

1 $ sudo add -apt -repository ppa:gummi/gummi


3 $ sudo apt -get install gummi

4 Atualizado em 4 de Dezembro de 2013

Prof. Dr. Catalunha Linux e outros Softwares

3.7 Instalando o LibreOffice

Ja e nativo do Ubuntu a presenca deste software em sua barra de ferramentas, contudo caso queirainstalar uma versao mais nova use este procedimento ou pesquise outro no google.

Para instalar no linux, e muito simples, atualize os repositorios e instale o software com osseguintes comandos no terminal:

1 $ udo add -apt -repository ppa:libreoffice/ppa

2 $ sudo apt -get update && sudo apt -get -y dist -upgrade

3 $ sudo apt -get install libreoffice libreoffice -l10n -pt-br

libreoffice -help -pt -br

3.8 Instalando o PHP/PostgreSQL/mysql

Como nao uso estas ferramentas diretamente em minhas disciplinas, nao constei aqui seu pro-cedimento de instalacao. Contudo uma rapida consulta no google nos permitira instalar estessoftwares com tranquilidade e qualquer coisa estou disposicao.

4 Outros Topicos

4.1 Melhorando o nautilus

Nautilus e o navegador de arquivos do Linux. Para acrescentar a possibilidade de abrir a pastacorrente em um terminal instale um plugin com o seguinte comando no terminal:

1 sudo apt -get install nautilus -open -terminal

4.2 Cache do navegador

Quando o nagevador de internet faz um download de um arquivo pela primeira vez ele guarda umacopia no cache, deposito auxiliar de armazenamento, com isto quando vc tenta fazer um downloaddo arquivo novamente, nagevador de internet ao inves de usar a internet e sobrecarregar a rede elepresume que vc queira o mesmo arquivo anterior e busca do cache interno do computador local.

Por isto alguns de vcs tentam fazer um download da ”Roteiro.pdf”da disciplina, formulariosou outro material e encontram o mesmo com uma versao desatualizada. Portando precisamosdesativar o cache para fazer um download sempre do arquivo mais atualizado da internet.

Apenas para o navegador de internet Chrome. Quando for baixar um arquivo da disciplinaprimeiro precione junto as teclas ”Ctrl - Shift - Delete”que o Chrome abrira uma janela pedindoautorizacao para limpar dados de navegacao, marque somente ”Esvaziar o cache”e clique emlimpar dados. Voce ira baixar o arquivo mais recente da disciplina.

Atualizado em 4 de Dezembro de 2013 5

Capıtulo 16

Tutoriais, Resumos e Formularios

Inicialmente o estudante deve consultar o site, www.uft.edu.br/engambiental/prof/catalunha,para se ambientalizar com as bibligrafias, tutoriais, video-aulas e resumos referentes aos softwaresque envolvem a disciplina. Os mesmos sao muito importantes como complementacao/auxılio aomaterial ministrado em sala de aula.

O uso do resumo do Octave, Gnuplot, R, Maxima, Linux e Calculo Numerico e de extremaimportancia em todas as atividades, inclusive nas provas, entao estude pela bibliografia/tutoriasmas resolva os exercıcios usando apenas os formularios/resumos.

Apenas o resumo de Teoria Estatistica para prova e desenvolvido pelos proprios alunos emcada etapa e deve ser usada tambem no exame final. Sera aceito apenas um formulario por prova,e nao um individual.

Os formularios sao apresentados em anexo.Quaisquer outras orientacoes neste item serao atualizadas e informadas aos alunos.

101

LinuxEste material é um auxílio de consulta rápida, o conhecimento aqui

apresentado deve ser fundamentado pelas atividades de aula e principalmente pelas bibliografias fornecidas. Cada disciplina demanda parte do

conhecimento aqui resumido, devendo o aluno estar apto a distingui-la.

1) Terminal 1.1) Comando básicos no terminal Linux. Maiores informações podem se obtidas em “man [comando]”.

COMANDO BÁSICO DESCRIÇÃO RESUMIDA

cd pasta/ vai ao caminho especificado.

cd .. acessa pasta anterior

ls lista resumida dos arquivos

ls -la lista todos os arquivos com todas as informações

pwd lista o caminho atual

clear limpa o terminal

eog arq.png aplicativo para abrir arquivo de imagem png

mv arq1 arq2 renomear arquivos

cp -fr arq1 pasta/ copiar arquivo para outra pasta

rm -fr arq pasta/ remove arquivo ou pasta completo

vim arq editar arquivo

mkdir pasta criar pasta

find . -name '*nome*' procura por pasta ou arquivo abaixo da pasta atual

grep -rin 'texto' ./* Procura texto dentro de arquivos abaixo da pasta atual

tail -n 10 arquivo Lista as ultimas linhas de um arquivo

1.2) Simbolos usados no terminal. Geralmente vemos esta linhaNomeDaConta@NomeDoComputador:~$

@ : separa nome da conta e nome do computador.~ : indica pasta do usuário atual, geralmente: /home/NomeDaConta$ : indica que o usuário atual não é administrador do sistema.

1.3) Na ilustraçãoA = Comando básico conforme item 1.1B = Acessar pasta da tarefa via terminal, ou pode ser via gerenciador de arquivos, Nautilus.C = Use o terminal apenas para acesso aos programas gnuplot, octave, maxima e rD = Abra cada um dos programas em uma aba separada.

2) Gerenciador de Arquivos – Nautilus 2.1) Um dos Gerenciadores de Arquivos do linux é o Nautilus. Quando selecionamos uma pasta, arquivo ou área vazia, sempre na janela a direita, podemos via menu suspenso (Botão direito do mouse) encontrar diversos comandos para manipulação, confira.

2.2) Na ilustraçãoA = Selecione a opção sempre de visualizar arquivos em árvore ou “tree”B = Crie as pastas via menu suspenso (Botão direito do mouse)C = Crie as arquivos via menu suspenso (Botão direito do mouse)D = Acesso ao terminal direto na pasta da tarefa via menu suspenso (Botão direito do mouse)

3) Editor de Textos - gedit 3.1) Na ilustração:

A = Os arquivos devem ser criados via gerenciador de arquivos, Nautilus. E abertos com clique duplo ou via menu suspenso (Botão direito do mouse) abrir com gedit. Não crie novo arquivo ou abra arquivo via gedit. Isto agiliza seu trabalho.B = Abra todos os arquivos de texto necessários a tarefa, neste editor.C = Ative a numeração das linhas via menu do gedit (Edit > Preferences > View > Line Number).D = Selecione as linhas com o mouse ou com a tecla [CTRL]+[Setas de Direção] e use a tecla [TAB] para tabular para direita e [SHIT]+[TAB] para tabular a esquerdaE = Verifique se o identificador de sintaxe esta correto, isto ajuda na visualização colorida do texto.F = A tabulação deve estar sempre em 2. Via menu do gedit (Edit > Preferences > View > Editor) selecione a opção substituir tabulação por espaço e endentação automática.

Resumo Linux. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 31/10/2013 às 09:11 hs Página 1 de 2

4) ssh +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ #Acessar servidor local$ ssh [email protected]?fornecer senha? ----------------------------

5) scp +++++++++++++++++++++++ # copiar arquivo unico local$ scp tabela.sql [email protected]:/home/catalunha/ ?fornecer senha? ---------------

6) lftp #Acessar servidor de paginas local$ lftp lftp :~> open -u engambiental cajui.uft.edu.br lftp [email protected]:/>

# acesso a pastas e listagem lftp [email protected]:/> ls lftp [email protected]:/> cd pasta lftp [email protected]:/pasta> cd ..

# remover arquivos lftp [email protected]:/> mrm -rf * # remover arquivos lftp [email protected]:/> mrm -rf nomearq.txt # remover pastas lftp [email protected]:/> mrm -rf pasta # copia arquivo unico do local para pasta do servidor lftp [email protected]:/> mput /var/www/ea/cea/acao06/inedex.php -O /cea/acao06/ # copia pastas e subpastas do local para pasta atual do servidor lftp [email protected]:/> mirror -R /var/www/ea/cea .

7) rsync 7.1) Comando padrãorsync [opções] origem destino

7.2) Sincronizando diretórios locais$ rsync -Cravzp --del /home/fabio/artigos/ /var/backups/artigos/

7.3) Sincronizando arquivos locais para um servidor remoto. $ rsync -Cravzp --del /home/fabio/artigos/ [email protected]:/var/backups/artigos/

7.4) Sincronizando arquivos do servidor para sua máquina localrsync -Cravzp --del [email protected]:/var/backups/artigos/ /home/fabio/artigos/

8) cron O crontab tem o seguinte formato:

[minutos] [horas] [dias do mês] [mês] [dias da semana] [usuário] [comando]

O preenchimento de cada campo é feito da seguinte maneira:•Minutos: informe números de 0 a 59;•Horas: informe números de 0 a 23;•Dias do mês: informe números de 1 a 31;•Mês: informe números de 1 a 12;•Dias da semana: informe números de 0 a 7;•Usuário: é o usuário que vai executar o comando (não é necessário especificá-lo se o arquivo do próprio usuário for usado);•Comando: a tarefa que deve ser executada.• '*' informa que é a qualquer valor do campo

Criar pasta para script$ mkdir /home/usuario/script-cronAcessando a pasta criada$ cd /home/usuario/script-cronCriar script

$ vim fazqqcoisa.shPermitir execução$ chmod +x fazqqcoisa.shAdicionar script a tabela do cron do usuario atual$ crontab -e/* edita arquivo do crontab de acordo com as conf ig de tempo do cron para execução do script, exemplo para executar a todo minuto: */* * * * * catalunha sh /home/usuario/script-cron/fazqqcoisa.shVer tabela do croncrontab -l

9) Script Shell Exemplo de arquivo:$ vim rsync-php.sh#!/bin/bash

echo "== FINALIZADO =="echo -e "senha\n" | sudo -S rsync -Cravzp --del /var/www/ea /home/catalunha/Dropbox/web/echo "== FINALIZADO =="

Habilitar arquivo para execução$ chmod +x rsync-php.sh

Executa script$ ./rsync-php.sh

Resumo Linux. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 31/10/2013 às 09:11 hs Página 2 de 2

OCTAVEEste material é um auxílio de consulta rápida, o conhecimento aqui

apresentado deve ser fundamentado pelas atividades de aula e principalmentepelas bibliografias fornecidas. Cada disciplina demanda parte do


1) Introdução1.1) Para acessar o octave via terminal linux digite:$ octave

1.2) Acessando ajuda de qualquer função.> help sum

1.3) Verifique se os pacotes: odepkg, statistics, symbolic. Estão instalados com :> pkg list

Caso negativo. Baixe de http://octave.sourceforge.net/ proceda a instalação com:> pkg install nomedopacote.tar.gz

1.4) Ativando o diário de atividades e gerenciando variáveis.> diary diario > diary on

Carregue as variáveis de um arquivo> load variaveis.octave

Carregue os dados de um arquivo texto padrão R, sem comentários.> load -ascii variavel.r

Ou listar as variáveis usadas no momento> whos

Apague as variáveis desnecessárias (ou todas com “all”)> clear ea vb mc

Salve as variáveis num arquivo ao finalizar uma tarefa.> save variaveis.octave

Salve uma variável num arquivo texto padrão R, sem comentários.> save -ascii variavel.r mmatriz

Desative o diário e feche o programa. se necessário.> diary off> quit

2) Nomes de variáveis2.1) Adotamos uma letra minúscula como prefixo do nome da variável para indicar seu tipo.ttexto = 'Texto Livre' # para texto ou função em análise simbólicaenumero = 1.123 # um escalar inteiro ou decimal.vvetor = [1,2,3,4,5,6] # para vetor linha (1xN).mmatriz = [1.1,2.2;3.3,4.4;5.5,6.6] # para matriz (NxN).blogico =true # variável boleana ou seja sim (true) ou não (false)

3) Modelos e Operações matemáticas3.1) Funções diretas utilizando o comando @(). <nome>=@(<arg1>,...,<argN>) <expressão>> f=@(x) 2*x; > f(2) ans = 4

3.2) Funções diretas chamadas inline. <nome>= inline(“<equação>”)> tf=”2*x”;> f=inline(tf); > f(2)ans = 4

3.3) Vetorizar função toda> tf=”2*x”;> tf2=vectorize(tf)ans tf2 = 2.*x > f=inline(tf2); > va=[1,2,3];> f(va) ans = 2 4 6

3.4) Funções diretas utilizando eval. <nome>= eval(“<equação>”)> tf=”2*x”;> x=2;> f=eval(tf)ans = 4

3.5) Operações básicas. “+” Soma; “-” Subtração; “*” Multiplicação; “/” Divisão; “^” ou “**” Potenciação; “.” Aplica a operação termo a termo na matriz use “.”, exemplo A.*B; “ ' ” transpõe a matriz. '++' incrementa a variável; '- -' decrementa avariável.

3.6) Operações matemáticas. sin(x); cos(x); tan(x); asin(x); acos(x); atan(x); exp(x); logaritmo na base e: log(x); logaritmo na base 10: log10(x); valor absoluto: abs(x); menor numero inteiro (não menor que o passado como parâmetro): floor(x); maior numero inteiro (nao

maior do que o passado como parâmetro): ceil(x); arredenda corretamente: round(x); resto da divisão: rem(x,y); raiz quadrada: sqrt(x); pi valor de pi=3,14.... Use NA para valores em falta e NaN para valores não é numero.

4) Operadores de comparação< # menor que. Ex: 1 < 2> # maior que<= # menor ou igual a>= // maior ou igual a== // operador lógico igual

~= // operador log. diferente~ // negação do teste&& // operador lógico e|| //operador lógico ou

Teste 1 Teste 2 && || ==

true true true true true

true false false true false

false true false true false

false false false false true

5) Manipulação matricial e vetorial5.1) Criar vetor.> va=1:2:10 va = 1 3 5 7 9 > vb=linspace(1,10,5) vb = 1.0 3.25 5.50 7.75 10.00> va=[12.4,4.5,9.6,3.0]va = 12.4000 4.5000 9.6000 3.0000

5.2) Criar matriz> ma=[1,2,3;4,5,6;7,8,9;10,11,12]ma = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.3) Apagar elemento de matriz ou vetorial, “[]”ma(2,:)=[]ma = 1 2 3 7 8 9 10 11 12 5.4) Criar matrizes aleatoria> rand(2,2) # matriz aleatorioans = 0.21680 0.97528 0.57017 0.97381

5.5) Acessar ou alterar elemento da matriz. Referência subscripts ou indice linear.> ma(2,:) ans = 4 5 6> ma(:,2) ans = 2 5 8 11> ma(2,2) # acesso por subscriptsans = 5> ma(3) # acesso por indice linearans = 7> sub2ind([3,2],2,2)ans = 5> [i,j]=ind2sub([3,2],3)i = 3j = 1

5.6) Obter tamanho e tipo de dado da matriz e vetor> lin = size(ma,1) #obtem 1 dimensão num de linhaslin = 4> tam = length(va) #obtem tamanho do vetorcol = 5> isempty(ma) #analise se matriz esta vaziaans = 0>isfinite ([13, Inf, NA, NaN]) # se tem valores validosans = [ 1, 0, 0, 0 ] > isnan([10,NaN,NA]) # se tem valores validosans = 0 1 1 > isna([10,NaN,NA])# se tem valores validosans = 0 0 1

5.7) Retira parte da matriz. A(inicioL:fimL,inicioC:fimC). Use “end” para acessar a ultima linha ou coluna. Use “:” para acessar a toda a linha ou coluna.> B=ma(2:end,1:2) B = 4 5 7 8 10 11

5.8) Construção e acesso a matriz de textos. Numero de caracteres corresponde as número de colunas. A matriz de texto é 'mt' e próxima letra é minúscula.> mtNomes=['joao';'maria']vtNomes =joaomaria> mtNomes(2,:)

Resumo Octave. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 26/03/2015 às 11:07 hs Página 1 de 3

maria

5.9) Comando de estatistica. Se arg for matriz retorna a funcao para cada coluna.[vlr pos]=min(arg) # retorna o min valor e sua posicao[vlr pos]=max(arg) # retorna o max valor e sua posicaosum(arg) # retorna a soma dos elementosprod(arg) # retorna o produto dos elementos

5.10) Comando de pesquisa.find(arg == 3) # localiza valor igual a 3 em arg

x = randn(2,3) xind = (x >= 1)|(x < -0.2)xc = x(xind)

exemplo de matrizCria indice na condição.Seleciona valores bons.

> finite([-1,0,1,inf,NaN,NA])ans = [1 1 1 0 0 0]

# retorna ind. de valores validos

6) Estrutura de repetição e controle 6.1) Estrutura de repetição for# for i=inicio:fimfor i=1:10 # executa codigo i vezesendfor

6.2) Estrutura de repetição whilewhile condicao # executa codigo enquanto condicao for verdadeiraendwhile

6.3) Estrutura de repetição do-untildo # executa codigo até que condicao seja verdadeirauntil condicao

6.4) Estrutura de controle ifif condicao01 #caso verdadeiro01elseif condicao02 #caso verdadeiro02else #caso falsoendif

6.5) Estrutura de controle Switch.switch (inteiro) case 1 # codigo case {2,3} # codigo otherwise # codigoendswitchouswitch (texto) case 'bananeira' # codigo case {'palmeira','figueira'} # codigo otherwise # codigoendswitch

6.6) Encerra o programa neste ponto.exit;

Outros códigos e observações:6.7) Lê valor do teclado. Não importa o tipo. Se usar 's' ele não interpreta a entrada.> enumero=input('Informe o valor: ');Informe o valor: 1.1> tequacao=input('Informe a equacao:','s');Informe a equacao: 1+2*x

6.8) Imprime texto e valor de variavel. %s=imprimir texto; %cd imprimir inteiro; %c.pf imprimir decimal, em que c=numero de casas, p=precisão decimal.> printf('ver %s %4d %5.2f\n', ttexto, einteiro, edecimal);ver Texto Livre 1 1.23

6.9) Manipulando strings. Os demais comandos strcat, strfind, strsplit, strtrim devem ser estudados.> str2num('1.23'); # string para númerosans = 1.2300 > strcmp('a','a'); # comparando duas stringsans = 1

6.10) Estrutura do arquivo padrão de entrada. Considere um parametro de entrada edecimal=1.1'. Um vetor vdecimal=[1.1;2.2]. Uma matriz mdecimal=[1.1,2.2;3.3,4.4]. Após

vetor ou matriz escreva 'fim'. Use # para comentário deste arquivo.

/ie_catalunha_basico/entrada.txt

#Autor: Prof. Dr. Catalunha#Tarefa: Basicoenumero1.1vlinha1.1 2.2 3.3mmatriz1.1 2.2 3.3 4.4 fimttextonomemtextocajueiro jatobajamelao pequizeirofim

6.11) Gravar dados em um arquivo de texto.function gravaarqsaida(tarquivo,ttexto,einteiro,edecimal,vlinha,mmatriz) arqbin=fopen(tarquivo,'w'); fprintf(arqbin,'ttexto\n');# escreve texto fprintf(arqbin,'%s\n',ttexto); fprintf(arqbin,'einteiro\n'); # esc. escalar inteiro fprintf(arqbin,'%d\n',einteiro); fprintf(arqbin,'edecimal\n'); # esc. escalar decimal fprintf(arqbin,'%5.2f\n',edecimal); fprintf(arqbin,'vlinha\n'); # esc. vetor linha (1xN) fprintf(arqbin,'%.4f',vlinha); fprintf(arqbin,'mmatriz\n'); #esc. matriz, vetor(Nx1) for i=1:size(mmatriz,1) fprintf(arqbin,'%.4f ',mmatriz(i,:)); fprintf(arqbin,'\n'); endfor fprintf(arqbin,'fim\n'); fclose(arqbin);endfunction

6.12) Le dados em um arquivo de texto.function [enumero,vcoluna,mmatriz,ttexto,mtTexto,vlinha]=learqentrada(tarquivo) arqbin = fopen (tarquivo, 'r'); while(!feof(arqbin)) linha=fgetl(arqbin); switch (linha) case 'enumero' # lê escalar linha=fgetl(arqbin); enumero=str2num(linha); case 'vlinha' # lê vetor linha (1xN) linha=fgetl(arqbin); vlinha=str2num(linha); case 'mmatriz' # lê matriz (NxN) vetor (Nx1) lin=1; while(!strcmp(linha=fgetl(arqbin),'fim')) mmatriz(lin++,:)=str2num(linha); endwhile case 'ttexto' # lê texto ttexto=fgetl(arqbin); case 'mtTexto' # lê matriz de texto mtTexto=''; while(!strcmp(linha=fgetl(arqbin),'fim')) mtTexto=[mtTexto;linha] end endswitch endwhile fclose(arqbin);endfunction

7) Estrutura básica para programaçãoPara programação no octave, usa-se toda a capacidade de processamento disponível no octave. Use #... para comentário simples e #{ … #} para comentário bloco.

7.1) Arquivo que contém a interface com o usuário.~/ie_catalunha_tarefa/interface.m

# Autor: Nome do autorfunction interface() # interface para coleta de parâmetros de entrada # chamada a função da tarefa # interface para mostra de parâmetros de saídaendfunction # subfunção para leitura de parâmetros em arquivo # subfunção para gravar parâmetros em arquivo

7.2) Arquivo que contém a solução pura do problema proposto na tarefa.~/ie_catalunha_tarefa/tarefa.m

# Autor: Nome do autorfunction[saida01,...,saidaN]=tarefa(entrada01,...,entradaN)


# código para obtenção da solução da tarefaendfunction # subfunção se for necessário

7.3) Estrutura básica de arquivos e pastas de um programaie_catalunha_tarefa|-- interface.m|-- tarefa.m|-- entrada.txt|-- saida.txt`-- relatorio.txt

Obs.: o arquivo, saida.txt, será criado automaticamente pelo programa.

8) Gerar Grafico8.1) De Pontos. Considere os dados vx, vy, vxt, vyt. plot(vx,vy,formato,vxt,vyt,formato). Em que formato='<estiloDoPonto><corDoPonto>;<legenda>;' . Sendo: estiloDoPonto=-,+,*,o,x,^. corDoPonto=k(preto), w(branco), r(vermelho), g(verde), b(azul), m(magenta), c(ciano). legenda=texto.> plot(vx,vy,'*r;orig;',vxt,vyt,'+b;transf;')> grid on > title('Titulo do Grafico') > xlabel('Nome do EixoX') > ylabel('Nome do EixoY') > axis([0,10,0,50])> print('nomeArquivo.png','-dpng')

8.2) Gerar gráfico dentro de programa, inicialmente precisamos esconder a janela do plot, para isto use a linha a seguir:janelaPlot=figure('Visible','off');posteriormente incluia as informações necessárias conforme item 8.1

9) Integração9.1) Integral simples.> f=@(x) 1/x;> quad(f,3.0,3.6) ans = 0.18232

9.2) Integral dupla> g=@(x,y) x.**2+2*y; # modelo no formato matricial> dblquad(g,0,1,0,2) ans = 4.6667

10) Manipulações polinomiais10.1) Ajuste polinomial. polyfit(vx,vy,n) em que n é o grau do polinómio. A saída é cn … c0.> vx=[0.0,1.0]> vy=[1.0,3.0]> vc = polyfit(vx,vy,1)vc = 2.0000 1.0000 # P1= 2*x + 1

10.2) Avalia um polinômio. polyval(vc,x) aplicar um valor x qualquer no polinómio obtido com base nos coeficientes de vc.> polyval(vc,3) # é o mesmo que P1(3)= 2*x + 1ans = 7

10.3) Calcula raizes de um polinômio. vc é o vetor de coeficientes.> roots(vc) # é o mesmo que 0 = 2*x + 1ans = -0.5

11) Regressão Linear Múltipla11.1) Ajuste um modelo y i=β0+ β1 x 1i+ , , ,+β p x pi ;em que: p é o número de variáveis explicativas; i é o número de dados. Sendo a matriz solução organizada na forma.

[y1

y2

...yn

] e [1 x 11 x21 ... x p11 x 12 x22 ... x p2... ... ... ... ...1 x1n x2n ... x pn

] resultando [β0

β1

...β p

]> regress(my,mx)ans = 1 2 # P1= 1 + 2*x

12) Raiz de função12.1) Encontrar raiz de uma função> f=@(x) x**3-3*x+1; > fzero(f,2) ans = 1.5321

13) Resolver EDO

13.1) Resolver equação diferencial. Veja Cap 6 Barroso, Exemplo: y'=x-y+2 e y(0)=2 e malha [0,1] com 10 subintervalos. No modelo padrão octave y=é a variável x x= é a variável t, ficando:> function xest=f(x,t) xest=t-x+2; endfunction

> x0=2> t0=linspace(0,1,10);> [xcal,m1,m2]=lsode('f',x0,t0)xcal =

2.0000 2.0060 2.0230 2.0499 2.0856 2.1293 2.1801 2.2372 2.3000 2.3679

m1 = 2 m2 = successful exit> plot(t,xcal)

14) Outros comandos utilizados14.1) Diferença entre valores. x1-x0, x2-x1,...octave:9> a=[1,2,3] a = 1 2 3 octave:10> diff(a) ans = 1 1

15) Processamento Via terminal e Script Shell15.1) Considere o seguinte programa/ie_catalunha_tarefa/interface.m

function interface() a=input('Informe o valor de a: ') [b]=tarefa(a) printf('Tarefa %f',b)endfunction

/ie_catalunha_tarefa/tarefa.m

function[b]=tarefa(a) b=2*a;endfunction

15.2) Processando programa via terminal.$ octave --eval interface -q -fInforme o valor de a: 3 Tarefa 6.000000

15.3) Processando a tarefa a partir de um script shell, considere o script

/cn_catalunha_tarefa/exercicio1/tarefa.sh

#!/bin/bash

octave --eval interface -q -f

15.4) Mudando a permissão do script para execução, caso necessário$ chmod 777 tarefa.sh

15.5) Processando o script shell$ ./tarefa.shInforme o valor de a: 3 Tarefa 6.000000

15.6) Usando MySql e Gnuplot via Octave. Considere que você já tem um banco de dados com uma tabela alimentada. Inicie o octave via usuário root ou que tenha acesso ao banco de dados.

/cn_catalunha_tarefa/exercicio2/octave_mysql_gnuplot.m

function octave_mysql_gnuplot() system("mysql nomeBancoDeDados --password=senhaBancoDeDados < sql.txt > resultado_sql.txt"); system("gnuplot grafico.txt"); endfunction

/cn_catalunha_tarefa/exercicio2/sql.txt

select * from tabela01;

/cn_catalunha_tarefa/exercicio2/grafico.txt

resetplot x**2


MÁXIMAEste material é um auxílio de consulta rápida, o conhecimento aqui



1) Maxima1.1) Para acessar o maxima via terminal linux digite:$ maxima

1.2) Para sair do máxima e voltar ao terminal linux digite:(%?) quit();

1.3) Representar função como variavel:(%i1) f:x**3-3*x+1; 3 (%o1) x - 3 x + 1

1.4) Derivada:(%i2) diff(f,x,1); 2 (%o2) 3 x - 3 (%i3) diff(%o1,x,2); (%o3) 6 x

1.5) Integração:(%i4) integrate(f,x,-1,0); 9 (%o4) - 4

1.6) Raiz ou zero de função.(%i5) allroots(f); (%o5) [x = 0.34729635533386, x = 1.532088886237956, x =- 1.879385241571817] (%i6) algsys([f],[x]); (%o6) [[x = - 1.879385232208487], [x = 1.532088888888889], [x = 0.34729635646322]] (%i7) find_root(f,x,0,1); (%o7) 0.34729635533386

1.7) Isolar variável em função(%i1) solve(y=a+b*x,b); y - a (%o1) [b = -----] x

1.8) Atribuir valor a variável em função(%i1) at(y=a+b*x,[a=1,b=2,x=3]); (%o1) y = 7

1.9) Desenvolver as potências;(%i2) expand(%o1);

1.10) Simplificar qualquer expressão racional(%i2) ratsimp(%o1);

1.11) Solicitar o resultado em forma decimal;(%i2)%o1,numer;

1.12) Transforma equação montada em única linha de texto simples y - a (%o1) [b = -----] x (%i2) grind(%); [b = (y-a)/x]$ (%o2) done

1.13) Cálculo de limite(%i3) limit(1/sqrt(x),x,inf);(%i3) limit(1/sqrt(x),x,1,plus);

1.14) Gerar gráfico 2d em janela plot2d([%o1,%o2,%o3],[x,-2,2],[y,-5,5],[xlabel,"eixo x"],[ylabel,"eixo y"],[gnuplot_term,wxt]);

1.15) Gerar gráfico 2d para arquivoplot2d([x**3-3*x+1],[gnuplot_term,png],[gnuplot_out_file,"grafico1.png"]);

1.16) Gerar gráfico de campos direcionais de EDO(%i1) load(plotdf)$ (%i2) plotdf(r*p-k,[t,p],[t,0,2],[p,800,1000],[parameters,"r=0.5,k=450"],[sliders,"r=0:1,k=0:1000"],[trajectory_at,0,850]);

1.17) Resolver uma equação diferencial ordinária – EDO(%i1) 'diff(p,t)=0.5*p-450;

dp (%o1) -- = 0.5 p - 450 dt (%i2) ode2(%o1,p,t); - t/2 t/2 (%o2) p = (900 %e + %c) %e (%i3) ratexpand(%o2); t/2 (%o3) p = %c %e + 900

1.18) Encontrando a solução particular da EDO por PVI, considere t=0 dias e p=850 ratos.(%i3) ic1(%o3,t=0,p=850); t/2 (%o5) p = 900 - 50 %e

1.19) Trigonometria(%i25) trigsimp(sin(a)^2+cos(a)^2); (%o25) 1

1.20) Observações gerais%o? = significa referência a saida em que ? é o número da saída.inf = infinitominf = menos infinitoplus = maisminus = menoslog(x) = loge(x)=ln(x)%pi = 3.14%e = 2.71 sqrt(x) = √x(raiz quadrada de x)

2) Via terminal e Script Shell2.1) Processando a analise a partir de um script shell, considere o script

/cn_catalunha_tarefa/tarefa.sh

#!/bin/bash

maxima --very-quiet -r 'f:y=(a+b)/c$g:at(f,[y=1,a=2,c=3])$i:solve(g);stringout("saida",f,g,i)$'

2.2) Mudando a permissão do script para execução, caso necessário$ chmod 777 tarefa.sh

2.3) Processando o script shell, teremos o mesmo resultado saindo na tela e grafado no arquivo saida, mostrado logo a seguir:$ ./tarefa.sh[b = 1]

/cn_catalunha_tarefa/saida

y = (b+a)/c; 1 = (b+2)/3; [b = 1];

Resumo Máxima. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 30/04/2015 às 20:00 hs Página 1 de 1

GNUPLOTEste material é um auxílio de consulta rápida, o conhecimento aqui



1) GnuPlot1.1) Estando na pasta da tarefa, e os arquivos de pontos e script do gráfico já criados, item 1.3 e 1.2, para gerar o gráfico, digite:$ gnuplot graficoA.txt

1.2) Script com os comandos para gerar o gráfico de função e pontos 2d:

/mm_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoA.txt

# Comentario reset

set term pngcairo set output 'graficoA.png'

set grid set title 'Grafico de Pontos e Equação 2d' set xlabel 'x' set ylabel 'y' set key outside center bottom title 'Legenda:' set datafile separator ','

set arrow from 1.3,2.0 to 2,1 head set label 'Pontos inicial' at 2,1 left

set xrange [-5:10] set yrange [-5:10]

f(x,a,b)=a+b*x h(x)=a+b*xa=1; b=2;fit h(x) "graficoA.pts" using ($1):($2) via a,b plot f(x,1,1) title 'y=1+1x', 'graficoA.pts' using ($1):($2) title 'Pontos no gráfico', h(x) title 'Ajuste Gnuplot'

Este scritp também gera um arquivo com nome “fit.log” com os parâmetros do ajustamento e estatísticas. Apesar de bastante otimizado, este procedimento não-linear de ajustamento/regressão depende do número de dados, do tipo de equação aser ajustada e das estimativas iniciais dos coeficientes, podendo não convergir satisfatoriamente em alguns casos.

1.3) Arquivo de pontos para o gráfico:

/mm_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoA.pts

# x y 1.3 2.0 3.4 5.2 5.1 3.8 6.8 6.1 8.0 5.8

1.4) Exemplo de saida

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoA.png

1.5) Script para gráfico de função 3d:

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoB.txt

# Comentariosreset

set term png set output "grafico02.png"

set grid set title "Grafico de Equação 3d" set xlabel "x" set ylabel "y" set zlabel "z" set key outside center top title 'Legenda'

set arrow from 0,0,0 to 1,-1,-6 head set label "Ponto Final" at 1,-1,-6 left

set hidden3d set isosamples 30 set contour both set cntrparam levels discrete 2,4,6

set xrange [-2:2] set yrange [-2:2] set zrange [-5:10]

f(x,y,a)=(x**a+y**a)splot f(x,y,2)

1.6) Exemplo de saida:

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoB.png

1.7) Arquivo de pontos para o gráfico 3d:

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoC.pts

# x y z 0 0 0 0 1 1 0 2 4 0 3 9 0 4 16 0 5 25

1 0 1 1 1 2 1 2 5 1 3 10 1 4 17

2 0 4 2 1 5 2 2 8 2 3 13

3 0 9 3 1 10 3 2 13

1.8) Script para gráfico de pontos 3d:

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoC.txt

# Comentariosreset

set term png set output "grafico03.png"

Resumo GnuPlot. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 18/08/2014 às 09:28 hs Página 1 de 2

set grid set title "Grafico de Equação 3d" set xlabel "x" set ylabel "y" set zlabel "z" set key outside center bottom title 'Legenda'

set arrow from 1,3,10 to 2,1,5 head set label "Ponto Final" at 2,1,5 left

set xrange [0:3] set yrange [0:5] set zrange [0:25]

set data style linespointssplot 'pontos03.txt' using ($1):($2):($3)

1.9) Exemplo de saida

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoC.png

2) Via terminal e Script Shell2.1) Considere o seguinte gráfico de função e pontos 2d, conforme item 1.2 e 1.3:

2.2) Processando gráfico via terminal sem abrir Gnuplot.$ gnuplot graficoA.txt

2.3) Criando script para gerar gráfico

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/grafico01.sh

#!/bin/bash

gnuplot graficoA.txt

2.4) Mudando a permissão do script para execução, caso necessário$ chmod 777 graficoA.sh

2.5) Processando o script shell$ ./graficoA.sh

2.6) Passar parametros para arquivo gnuplot via terminal linux$ gnuplot -e "arq='graf1.png';int1='5';int2='10'" graficoA.txt

Sendo o arquivo de grafico do tipo

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoA.txt

resetset term png set output arqplot [int1:int2] x**2

É o mesmo que

/cn_catalunha_tarefa/exercicio01/graficoA.txt

resetset term png set output graf1.pngplot [5:10] x**2

Resumo GnuPlot. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 18/08/2014 às 09:28 hs Página 2 de 2

REste material é um auxílio de consulta rápida, o conhecimento aqui

apresentado deve ser fundamentado pelas atividades de aula e principalmente pelas bibliografias fornecidas. Cada disciplina demanda parte do


1) Introdução 1.1) Inicie seu trabalho sempre em uma pasta nova e automaticamente o r salva os dados e historico dos comandos - se ao sair vc salvar o workspace.

1.2) Para acessar o octave via terminal linux digite:$ R

1.3) Para acessar ajuda de qualquer função, digite “?funcao”.> ?sum

1.4) Listar os objetos usadas no momento> ls()

1.5) Apague os objetos desnecessários> rm(x,y)

1.6) Configurar editor de funções e dados> options(editor='gedit')

1.7) Abre editor de dados ou funções, depende do tipo de objeto> fix(objeto)

1.8) feche o programa.> q()#tecle 'y' para salvar os comandos e dados digitados na tela

1.9) instalação de pacotes. Obtenha os pacotes em: http://cran.r-project.org/> install.packages('tseries_0.10-26.tar.gz')

2) Nomes de variáveis 2.1) Adotamos uma letra minúscula como prefixo do nome da variável para indicar seu tipo.enumero <- 1.123 # um escalar inteiro ou decimal.ttexto <- “texto”vvetor <- c(1,2,3,4,5,6) #vetor nao tem prefixodfdados <- data.frame(x=c(1,2),y=c(3,4))# para dados tipo dataframeldados <- list(nome1=valor1,..,nomeN=valorN)# dados tipo lista

3) Operações Matemáticas 3.1) Operações básicas. “+” Soma; “-” Subtração; “*” Multiplicação; “/” Divisão; “^” Potenciação; “%%” resto da divisão; “%/%” quociente da divisao

3.2) Operações matemáticas. sin(x); cos(x); tan(x); asin(x); acos(x); atan(x); exp(x); logaritmo na base e: log(x); logaritmo na base 10: log10(x); valor absoluto: abs(x); menor numero inteiro (não menor que o passado como parâmetro): ceil(x); maior numero inteiro (nao maior do que o passado como parâmetro): floor(x); arredenda corretamente: round(x,digits=2); exibe numero de digitos: signif(x,digits=2); raiz quadrada: sqrt(x); pi valor de pi=3,14.... Use NA para valores em falta e NaN para valores não é numero.

4) Operadores Teste 1 Teste 2 & | ==

true true true true true

true false false true false

false true false true false

false false false false true

5) Objeto: Vetor 5.1) Criar vetor rápido.> x<-c(1,2,3)> x [1] 1 2 3 > x<-c(1:5) > x [1] 1 2 3 4 5> x[-(2:3 )] # o indice negativo exclui valores do vetor[1] 1 4 5

5.2) Criar sequencia. seq(from,to,by,length). #by=incremento, length=comprimento.> seq(1,10,by= 2)[1] 1 3 5 7 9 > seq(from=1,length=10,by= 2) [1] 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

5.3) Vetores lógicos

> x [1] 1 2 3 4 5> a <- x>3 > a [1] FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE

5.4) Informações sobre valores nulos estatisticamente, NA=valor faltando. NaN=não é numero.> y<-c(1:3,NA,NaN) > y [1] 1 2 3 NA NaN > is.na(y) [1] FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE > is.nan(y) [1] FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE

5.5) Transformar vetor em matriz> d<-1:6 > d [1] 1 2 3 4 5 6 > x<-matrix(x,3,2) [,1] [,2] [1,] 1 4 [2,] 2 5 [3,] 3 6> x [,1] [,2] [1,] 7 7 [2,] 2 5 [3,] 3 6

5.6) Obter tamanho do vetor> length(c(10,20,NA)) [1] 3> length(na.omit(c(10,20,NA))) [1] 2

6) Objeto: Data Frames 6.1) Construindo um data frame> dados <- data.frame(x=1:5,y=2*1:5) > dados x y 1 1 2 2 2 4 3 3 6 4 4 8 5 5 10

6.2) Acessando a um item do dataframe> dados$x [1] 1 2 3 4 5

6.3) lendo os campos de um data frame> names(dados) [1] 'x' 'y'

6.4) Calculando valores de linhas> rowSums(dados) [1] 3 6 9 12 15

7) Objetos: Lista Muito usado para saida de funçoes

7.1) Construindo uma lista> saida<-list(x=10,arq='dados') > saida $x [1] 10

$arq [1] 'dados'

7.2) Acessando a um item de uma lista> saida$arq [1] 'dados'

7.3) lendo os campos de uma lista> names(saida) [1] 'x' 'arq'

8) Programando com Script Para programação no R, usa-se toda a capacidade de processamento disponível. Use #... para comentário simples. if(F){} para comentário em bloco.

8.1) Estrutura do Script

/ea_catalunha_tarefa/exercicio1/exercicio1.sr

sink('resultados.txt') # Codigo do Scriptsink()

8.2) Executando o Script de dentro do R> source('relatorio01.sr',echo=T)

8.3) Estrutura básica de arquivos e pastas de uma tarefaea_catalunha_tarefa|-- .RData|-- .Rhistory

Resumo R. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 12/11/2013 às 16:13 hs Página 1 de 4

|-- relatorio01.sr|-- dados.txt|-- resultados.txt`-- graficoA.png

Obs.: o arquivo sublinhado será criado automaticamente pelo script.

8.4) Estrutura do arquivo padrão de entrada. Primeira linha é o cabeçalho. Separador por espaço e Use # para comentário deste arquivo.

/ie_catalunha_tarefa/dados.txt

#Autor: Prof. Dr. Catalunha#Fonte do dadox y 1 42 53 6

9) Programando com Funções Para programação no R, usa-se toda a capacidade de processamento disponível. Use #... para comentário simples

9.1) Cria e editar uma função> fix(ffuncao)

9.2) Estrutura da funçãofunction(entrada01=valor,...,entradaN=”valor”){ # codigo da função ParamSaida<-list(param01=valor,...,paramN=”valor”) return(ParamSaida)}

9.3) O nomes dos parametros de retorno da função podem ser lidos com> names(ffuncao)

9.4) Executando funções > paramSaida <- ffuncao(entrada01,entrada02)

O objetos paramSaida contém todos os objetos da lista de return, além da saida natural da função

9.5) Exportar funcao como objeto> save(ffuncao,file='ffuncao.objr')

9.6) Importar função salva como objeto>load(“ffuncao.objr”)

10) Leitura em arquivo 10.1) Ler dados ascii de arquivo salvando em DataFrame> dados<-read.table('dados.txt',head=T) > dados x y 1 1 4 2 2 5 3 3 6

11) Escrita em arquivo 11.1) Escreve DataFrame em arquivo ascii. dados =um dataframe.>write.table(dados,file='resultados')

11.2) Associar o arquivo a um objeto. “a” = adicionar. “w” = escrever.>arq<-file('resultados','a')

11.3) Envia texto e valores para arquivo>cat(“texto”,objvetor,”\n”,file=arq)

11.4) Captura saida de comando R e envia para arquivo>capture.output(summary(modelo),file=arq)

11.5) Junta texto para formar string>paste(dados,'_resultados',sep='')

11.6) fechar arquivo>close(arq)

11.7) Redirecionando saída do R para arquivo. > sink('resultados')

11.8) Retorna saída do R para tela> sink()

12) Decisão e Iteração 12.1) Estrutura de controle ifif (condicao){ #caso verdadeiro}else if(condicao){ #caso verdadeiro}else{ #caso falso}

12.2) Estrutura de repetição forfor (variavel in inicio:fim){ # executa codigo}

12.3) Estrutura de repetição while

while (condicao){ # executa codigo enquanto condicao for verdadeira}

12.4) Lê valor do teclado.> num <- scan()1: 102: 203: > txt<-scan(what='character') 1: aaa2: bbb3:

13) Estatísticas Descritiva 13.1) Funções estatísticas básicas.Verifique sempre a presença de valores NULOS=NA> x <- c(1:5)> x [1] 1 2 3 4 5

> mean(x) [1] 3

> max(x) [1] 5

> var(x) [1] 2.5

> min(x) [1] 1

> sd(x) [1] 1.581139

> range(x) [1] 1 5

> summary(x)...

> length(x) [1] 5

> sort(x,decreasing=TRUE) [1] 5 4 3 2 1

> sum( x)[1] 15

na.exclude(c(2,NA,1))[1] 2 1

> hist(x) > boxplot(x)

> plot(x)

14) Distribuições de probabilidade As distribuições mais usadas são, com respectivo nome usado no R

Distribuição Função no R Parâmetros e configurações

Normal ?norm Média, Desvio Padrão,...

t ?t GL

χ2 ?chisq GL

f ?f GL1, GL2

Observação: No R para cada distribuição de probabilidade implementada há 4 prefixos básicos para indicar funções diferentes para o mesmo modelo de probabilidade, são elas:d: Calcula a densidade de probabilidade, f(x) no ponto x.p: Calcula a probabilidade,(entre 0 a 1), acumulada F(x) no ponto x=?q: Calcula o quantil, x=?, correspondente a uma dada probabilidade (entre 0 a 1)r: retira uma amostra da distribuiçãoExemplo para distribuição normal:

dnorm(2.3,3,0.5) 0.2994549

pnorm(2.3,3,0.5) 0.08075666

qnorm(0.08,3,0.5) 2.297464

rnorm(5,3,0.5) 3.904574 2.618711 3.119791 3.432854 2.459779

15) Testes estatísticos z,t,f, χ2

Em que teste é a estatistica do teste em questão podendo ser z,t,f, χ2

Rejeita H0Região Crítica

Não Rejeita H0 Rejeita H0Região Crítica

p-value< α p-value> α p-value< α

teste< testeα teste teste> testeα

Existem ampliações deste quadro, veja na pag 221Situação H0: Teste Equação Exemplo

σ2=σ02

# testando

a variância

χ 2 (qui-quadrado)

Não simétrico, bi e unicaudal

χ 2=∑X i− X

σ2 =

(n−1) s2

σ02

Pág 162, exp 8.10Pág 233, exp 10.13

σ12=σ2

2 # testando

duas variâncias

f (teste f)Não simétrico, bi e

unicaudalF=

S12/σ1

2

S22/σ2

2

Pág 233, exp 10.14


μ=μ0 # testando a

média σ # sendo conhecido

z (normal)Simétrico, bi e

unicaudalz=

x−μ0

σ√n

Pág 155, exp 8.6Pág 215, exp 10.4

μ=μ0 # testando a

média μ1=μ2 # amostras

comparativas de médias

σ # desconhecido

t (teste t de Student)Simétrico, bi e

unicaudalt=

x−μ0

S

√n

Pág 164, exp 8.14Pág 217, exp 10.5

16) Regressão Linear e Não-Linear 16.1) Estrutura do arquivo padrão de entrada. Primeira linha é o cabeçalho. Separador por espaçoy x1 x2 1 4 62 5 7 3 6 9

16.2) Script para análise Regressão Lineareqreg<-"y~x" ou "y~x+I(x^2)" ou "y~x1+x2"dados<-read.table(file='dados',head=T)coefreg<-lm(eqreg,data=dados)cor(dados)confint(coefreg)plot(coefreg)summary(coefreg)anova(coefreg)influence(coefreg) predict.lm(coefreg,newdata=data.frame(x=c(...)),interval="confidence",se.fit=T) predict.lm(coefreg,newdata=data.frame(x=c(...)),interval="prediction",se.fit=T) invisible(library(MASS)) stepAIC(coefreg,direction="both") invisible(library(MPV))PRESS(coefreg)invisible(library(wle))mle.cp(coefreg)

16.3) Script para análise Regressão Não-Lineareqreg<-"y~1/x1+x2"dados<-read.table(file=”dados”,head=T)coefreg<-nls(eqreg,data=dados,start=list(x1=0.1,x2=0.2))…

Apesar de bastante otimizado, este procedimento não-linear de ajustamento/regressão depende do número de dados, do tipo de equação a ser

ajustada e das estimativas iniciais dos coeficientes, podendo não convergir satisfatoriamente em alguns casos.

17) Delineamento Experimental 17.1) Estrutura do arquivo padrão de entrada. Primeira linha é o cabeçalho. Separador por espaço. Os Delineamentos Esperimentais serão: (1) Inteiramente Casualizado – IC. (2) Completamente Aleatorizado em Bloco – CAB. (3) Fatoriais – FAT. A tabela a seguir apresenta a estrutura dos dados de entrada para cada um, em que: coluna “trat”, “bloco”,”fa” e “fa” do tipo factor, “obs” do tipo numérica. As observações podem ter tamanhos diferentes para cada tratamento

IC CAB FAT

trat obs trat bloco obs fa fb obs

1 y 1 1 y 1 1 y

1 y 1 2 y 1 1 y

1 y 1 3 y 1 2 y

2 y 2 1 y 1 2 y

2 y 2 2 y 2 1 y

2 y 2 3 y 2 1 y

2 y 2 2 y

2 2 y

17.2) Script de análise#Leitura dos dados ICquadro <- read.table(file='dados',head=T,colClasses=c(trat='factor',obs='numeric'))

#Leitura dos dados CABquadro <- read.table(file='dados',head=T,colClasses=c(trat='factor',bloco='factor',obs='numeric'))

#Leitura dos dados FATquadro <- read.table(file='dados',head=T,colClasses=c(fa='factor',fb='factor',obs='numeric'))

#Análise de Variancia IC

aov1 <- aov(obs ~ trat, data=quadro)

#Análise de Variancia CABaov1 <- aov(obs ~ trat + bloco, data=quadro)

#Análise de Variancia FATaov1 <- aov(obs ~ fa*fb, data=quadro)

summary(aov1)

18) Gerar Graficos 18.1) Envia gráficos para arquivo. Se plot mostra vários gráficos use %d para numerar as saida automaticamente. Após voltar dispositivo para tela.>png(file=“graficoA%d.png”)

Após voltar dispositivo para tela.>dev.off()

18.2) Exemplos de gráficos.x<-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9) y1<-3*log(x) y2<-10/x y3<-log(x) plot(x,y1,ann=FALSE,type='o', col='red',lty=1,lwd=1,pch=22,cex=1,ylim=c(0,10),xlim=c(0,10)) lines(x,y2,col='blue',lty=2,lwd=3) points(x,y3,col='green',lwd=5,pch=21,cex=5) title(main='Grafico', col.main='blue', font.main=1) title(xlab='xXxX', col.lab='black', font.lab=2) title(ylab='yYyY', col.lab='black', font.lab=3)legend('topright',legend=c('simbolo+linha','linha','simbolo'),col=c('red','blue','green'),lwd=c(1,3,5),lty=c(1,2,0),pch=c(22,NA,21))

Em que: ann=FALSE(sobrescreve título dos eixos x e y). type=Tipo de grafico (p=ponto;l=linhas;o= ponto e linha). col=cor do grafico(red;blue;green;...). lty=tipo de linha, veja ilustração. lwd=espessura da linha. pch=tipo do ponto,veja ilustração. cex=tamanho do ponto. xlim=limites de x. ylim=limites de y. main=título do grafico. xlab=texto do eixo x. ylab=texto do eixo y. col.main=cor do texto do titulo. col.lab=cor do texto do eixo. font.main=tipo da fonte do título (1=simples;2=negrito;3=italico;4=negrito e itálico).


19) Letras Gregas e Equações matemáticas Use os nomes das letras assim:

Α α alpha Β β beta Γ γ gamma Δ δ delta Ε ε epsilon

Ζ ζ zeta Η η eta Θ θ theta Ι ι iota Κ κ kappa

Λ λ lambda Μ μ mu Ν ν nu Ξ ξ xi Ο ο omicron

Π π pi Ρ ρ rho Σ σ sigma Ττ tau Υ υ upsilon

Φ φ phi Χ χ chi Ψ ψ psi Ωω omega

20) Testes de Hipoteses Em que teste é a estatistica do teste em questão podendo ser z,t,f, χ

2 se H0: μ = 0

e H1: μ ≠ 0

Rejeita H0Região Crítica

Não Rejeita H0 Rejeita H0Região Crítica

p-value< α p-value> α p-value< α

teste< testeα teste teste> testeα

21) Via terminal e Script Shell 21.1) Considere o seguinte programa

/ie_catalunha_tarefa/estatistica.sr

sink('resultados') dados<-read.table('dados',head=T) summary(dados)sink()

/ie_catalunha_tarefa/dados

x y 1 4 2 5 3 6

21.2) Processando programa via terminal, modo 1.$ Rscript estatistica.srNeste caso o script r é processado mas não mostra os comandos de entrada, apenas resultado do comando.

/ie_catalunha_tarefa/resultados

x y Min. :1.0 Min. :4.0 1st Qu.:1.5 1st Qu.:4.5 Median :2.0 Median :5.0 Mean :2.0 Mean :5.0 3rd Qu.:2.5 3rd Qu.:5.5 Max. :3.0 Max. :6.0

21.3) Processando programa via terminal, modo 2.$ Rscript -e "source('estatistica.sr',echo=T)" estatistica.srNeste caso o script r é processado e mostra todos os comandos de entrada e o

resultado dos comandos.

/ie_catalunha_tarefa/resultados

> dados <- read.table("dados", head = T)

> summary(dados) x y Min. :1.0 Min. :4.0 1st Qu.:1.5 1st Qu.:4.5 Median :2.0 Median :5.0 Mean :2.0 Mean :5.0 3rd Qu.:2.5 3rd Qu.:5.5 Max. :3.0 Max. :6.0

> sink()

21.4) Processando a analise a partir de um script shell, considere o script

/cn_catalunha_tarefa/estatistica.sh

#!/bin/bash

Rscript estatistica.sr

21.5) Mudando a permissão do script para execução, caso necessário$ chmod 777 estatistica.sh

21.6) Processando o script shell, teremos o mesmo resultado do item 21.2$ ./estatistica.sh

22) Referências Bibliograficas Maior parte deste material foi escrito com base no estudo e entendimento da teoria matemática e do software. Contudo algumas partes foram contribuições adaptadas dos seguintes autores.

(1) http://www.statmethods.net/advgraphs/axes.html(2) http://stat.ethz.ch/R-manual/


CÁLCULO NUMÉRICO1) Erros

e x=∣x−x∣ , E x=ex

∣x∣

2) Sistemas Lineares:

a11 x1a12 x2...a1n x n=b1

a21 x1a22 x2...a2n xn=b2

...an1 x1an2 x2...ann xn=bn

(1) ou ∑j=1

n

a ij x j=bi ou

Ax=b (2) com i=j=1,2,...,n; i=linha; j=coluna

2.1) Métodos diretos:

Etapa k ; pivô: a i p j p

k ; multiplicador: i≠i p ; mik=−

aij p

k

a i p j p

k;

linha: Lik1=Li

kLi p

k∗mik

Para Gauss: pivô é a i p j p onde i p= j p transformando a Li onde

ii p e Li p fica inalterada.

Para Pivotação Completa: pivô é a i p j p onde máx∣aij≠0∣

transformando a Li onde i≠i p e Li p fica inalterada.

Para Jordam: pivô é a i p j p onde i p= j p transformando a Li

onde i≠i p

2.2) Métodos iterativos:É condição suficiente para que a iteração de ambos os métodos

convirja se ∣a ii∣> ∑j=1, j≠i

n

∣aij∣ para i=1,2,...,n.

Para ambos os métodos, considere o sistema linear (1). Explicitando

x1 na 1ª equação, x2 na 2ª, …., tem-se:Para Jacobi:

x1(k + 1)

=b1−(a12 x2

(k )+ ...+ a1n xn

(k))

a11

x2(k+ 1)

=b2−(a21 x1

(k )+ ...+ a2n x n

(k ))

a22

...

xn(k+ 1)

=bn−(an1 x1

(k)+ an2 x2

(k )+ ...+ an ,n−1 xn−1

( k))

ann

Para Gauss-Seidel:

x1(k+ 1)

=b1−(a12 x2

(k )+ ...+ a1n xn

(k))

a11

x 2(k+ 1)

=b2−(a21 x1

(k+ 1)+ ...+ a2n xn

(k))

a22

...

xn(k+ 1)

=bn−(an1 x1

(k+ 1)+ an2 x2(k+ 1)+ ...+ an , n−1 xn−1

(k+ 1))

ann

Para ambos os métodos, os valores iniciais são xn

(0)

qualquer. E o

critério de parada é até k> Iterações ou

máx1≤i≤n∣x ik + 1

−x ik∣≤Erro

3) Ajuste de curvasy=c0+c1 x1+c2 x2+...+cg x g

[n ∑ x1 i ∑ x2 i ... ∑ x gi

∑ x1 i ∑ x1 i x1i ∑ x 1i x2 i ... ∑ x1 i xgi

∑ x2 i ∑ x 2 i x1i ∑ x 2 i x2 i ... ∑ x2i x gi

... ... ... ... ...

∑ xgi ∑ xgi x1 i ∑ x gi x2 i ... ∑ xgi xgi

]∗[c0

c1

c2

...cg

]=[∑ y i

∑ x 1 i y i

∑ x 2 i yi

...

∑ x gi y i

][1 x11 x21 ... xg 1

1 x12 x22 ... xg 2

1 x13 x23 ... xg 3

... ... ... ... ...1 x1n x2n ... x gn

]∗[c0

c1

c2

...cg

]=[y1

y2

y3

...yn

]c=( X ' X )

−1( X ' Y )

R2=1−

∑ ( y i−~y i)

2

∑ y i2−

(∑ y i)2

n ou

R2=c ' X ' Y −n( ym)

2

Y ' Y −n ( ym)2

4) Interpolação

4.1) Interpolação Lagrangeana

Pn x =∑i=0

n

y i∏j=0j≠i

n x− x j

x i−x j 4.2) Formula de Newton para Diferença Dividida

1 y i=

y i1− y i

x i1−x i

n y i=

n−1 y i1−n−1 y i

x in−x i

Pnx = yo∑i=1

n

i y o∏

j=0

i−1

x−x j

5) Zeros de funções

5.1) Método da bisseção

f x contínua no intervalo [a ,b] e f (a)∗ f (b)< 0 . Faz-

se x=ab

2. Se f a ∗ f x 0 então intervalo será

[a ,b= x ] . Senão, se f (x )∗ f (b)< 0 intervalo será

[a= x , b ] . Parada ∣b−a∣≤erro ou

iterações≥ln( b−a

erro )ln 2

−1

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5.2) Método Pégaso ou Secante

f x é contínua em [a , b] e f (a)∗ f (b)< 0 . Faz-se

x=b−f bb−a

f b− f a . Se f x ∗ f b0 então faz a=b e

f a = f b . Senão, se f x ∗ f b0 então faz a=a e

f a =f a f b

f b f x . Em ambos os casos faz b=x e

f b= f x na próxima iteração.

5.3) Método de Newton

f x é contínua no intervalo [a , b] e f (a)∗ f (b)< 0 . É

condição suficiente para a convergência do método de Newton que:

f ´ x e f ´ ´ x sejam não nulas e preservem o sinal em

a , b e x0 seja tal que f x0∗ f ´ ´ x00 . Então faz

xn1= xn−f xn

f ´ xn

6) Integração

Considere ∫a

b

f x dx e h=b−a

n e x i=a+ hi e

i=0,1 , ... , n

6.1) Regra do Trapézio

I =h2 y02y1...2yn−1 yn

6.2) 1ª regra de Simpson (n=múltiplo de 2)

I =h3 y04y12y24y32y4...2yn−24yn−1 yn

6.3) 2ª regra de Simpson(n=múltiplo de 3)

I=3h8

y03y13y22y33y 43y52y6...3yn−23yn−1 yn

6.4) Richardson

I =I 2n1

p I 2−I 1

n2p−n1

p; p=2 se trapézio e p=4 se simpson. n2>n1

6.5) Integral dupla

I =∫a

b

dx∫c

d

f (x , y )dy=kx ky∑i=0

i=nx

∑j=0

j=ny

((cx i cy j)∗ f ( x i , y j))

kx=hx2

se trapézio; kx=hx3

se 1 reg. de simpson; kx=3hx8

se 2 reg. de simpson; idem para ky.

6.6) Gauss

I =∑i=0

n−1

Ai F t i e

F t =12b−a f 1

2b−a t

12ba sendo Ai e t i

coeficientes conforme tabela a seguir:n i t_i A_i

1 0 0 2

2 1;0 ±0,57735027 1

3 0;12

±0,774596670

5/98/9

4 0;12;3

±0,86113631±0,33998104

0,347854840,65214516

7) EDO

7.1) Runge-Kutta de 4ª Ordem

y j1= y jh6K 12K 22K 3K 4

x j1=x jh

K 1= f x j , y j

K 2= f x jh2

, y jh2

K1

K 3= f x jh2

, y jh2

K2

K 4= f x jh , y jhK3

8) Observações e revisõesPropriedades logarítmicas

ln ab=ln a ln b ln ab=ln a – ln b ln ab=b ln a

ln a=log e a ln e=1

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Bibliografia

[Barroso, 1987] Barroso, L. C. (1987). Calculo Numerico (com Aplicacoes) 2a Edicao. EditoraHarbra ltda.

[Ronald E. Walpole, 2009] Ronald E. Walpole, e. a. (2009). Probabilidade e estatıstica para enge-nharia e ciencias. Pearson. SP. ISBN: 978-85-7605-199-2.

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