DJEISON BENETTI

UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS:

TRIEDRO DE FRENET

SINOP

2009

DJEISON BENETTI

UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS:

TRIEDRO DE FRENET

Trabalho de Conclusão de Curso apre-sentado à Banca Examinadora doDepartamento de Matemática - UNEMAT,Campus Universitário de Sinop, comorequisito parcial para a obtenção do títulode Licenciado em Matemática.

Orientadora:Prof. MSc. Chiara Maria Seidel Luciano Dias

Co-orientador:Prof. MSc. Rogério dos Reis Gonçalves

SINOP

2009

DJEISON BENETTI

UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS: TRIEDRO DEFRENET

Trabalho de Conclusão de Curso apresen-tado à Banca Examinadora do Departa-mento de Matemática - UNEMAT, CampusUniversitário de Sinop, como requisito par-cial para a obtenção do título de Licenciadoem Matemática.

BANCA EXAMINADORA:

Prof. MSc. Chiara Maria Seidel Luciano DiasProfessora Orientadora

Unemat - Campus Universitário de Sinop

Prof. MSc. Rogério dos Reis GonçalvesProfessor Co-orientador

Unemat - Campus Universitário de Sinop

Prof. MSc. Rodrigo Bruno ZaninProfessor Avaliador

Unemat - Campus Universitário de Sinop

Prof. Dr. André Luis ChristoforoProfessor Avaliador

Unemat - Campus Universitário de Sinop

Prof. MSc. Chiara Maria Seidel Luciano DiasPresidente da Banca

Unemat - Campus Universitário de Sinop

SINOP

de de 2009

AGRADECIMENTOS

Agradeço à Deus pela oportunidade de viver e estudar matemática e aos meus queridos pais

Araci e Leonir.

À todos os professores do departamento de Matemática que direta ou indiretamente contribuíram

para minha formação acadêmica. Em especial, agradeço ao professor Rogério do Reis Gonçalves,

à professora Chiara Maria Seidel Luciano Dias, ao professor Rodrigo Bruno Zanin e ao profes-

sor André Luis Christoforo que de modo irrestrito sempre me apoiaram e incentivaram.

À minha namorada Adriana e aos meus colegas Silmara, Silvana, Irineu e Polyanna.

À banca examinadora da monografia pela participação neste importante momento.

D. B.

RESUMO

BENETTI, Djeison. Um estudo sobre a Teoria Local de Curvas: Triedro de Frenet.Trabalhode Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) - Faculdade de Ciências Exatas. Universi-dade do Estado de Mato Grosso / Campus Universitário de Sinop. Sinop, 2009.

Neste trabalho aborda-se um dos temas clássicos da geometria diferencial: a teoria local decurvas. Em particular, realiza-se uma pesquisa bibliográfica com ênfase as curvas espaciais e aotriedro de Frenet. Para sua realização baseou-se principalmente em Tenenblat (1990), Picado(2006) e Carmo (2008). De maneira geral objetiva-se desenvolver um material de estudo quepossa servir como fonte de pesquisa para acadêmicos que pretendem iniciar seus estudos nestaárea. Assim, neste trabalho discute-se principalmente qual é a importância do triedro de Frenete em quais circunstâncias contribui para a teoria local de curvas. Por fim, destaca-se o fato deque o triedro de Frenet é um referencial móvel, no qual a partir dele é possível determinar duasoutras medidas: a curvatura e a torção, funções escalares que conforme Teorema Fundamentalda Teoria Local de Curvas são capazes de determinar por completo a forma de uma curva.

Palavras-chave: Geometria Diferencial. Teoria Local de Curvas. Triedro de Frenet. Curvatura.Torção.

ABSTRACT

BENETTI, Djeison. A study about the Local Theory of Curves: Frenet’s Frame. CourseConclusion Paper. (Graduation in Mathematics) - Faculty of Exacts Sciences. University ofMato Grosso State. Sinop, 2009.

This work presents one of the classic themes of differential geometry: the local theory ofcurves. In particular, we carried out a literature review with emphasis on space curves andFrenet’s frame. To write this work, we were based mainly on Tenenblat (1990), Picado (2006)e Carmo (2008). In general our goal is to develop a study material that can serve as researchsource for scholars wishing to start their studies in this area. Thus, this paper discusses mainlywhat is the importance of the Frenet’s frame and under what circumstances contribute to the lo-cal theory of curves. Finally, we highlight the fact that the Frenet’s frame is a moving referenceframe, from where it is possible to determine two other measures: the curvature and torsion,scalar functions that as the Fundamental Theorem of Local Curve Theory are able to completelydetermine the shape of a curve.

key-words: Differential Geometry. Local Theory of Curves. Frenet’s Frame. Curvature. Tor-sion.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 6

2 PRELIMINARES 8

2.1 PRELIMINARES DE ÁLGEBRA LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 O ESPAÇO EUCLIDIANO R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 UM POUCO SOBRE DIFERENCIABILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA DIFERENCIAL . . . . . . . . 14

3 PROPRIEDADES DAS CURVAS PARAMETRIZADAS DIFERENCIÁVEIS ES-

PACIAIS 16

3.1 CURVAS PARAMETRIZADAS DIFERENCIÁVEIS . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 COMPRIMENTO DE ARCO E MUDANÇA DE PARÂMETRO . . . . . . . . 23

3.3 CURVAS REGULARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 O TRIEDRO DE FRENET E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA LO-

CAL DE CURVAS 30

4.1 CURVATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 TRIEDRO DE FRENET E TORÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 AS FÓRMULAS DE FRENET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 ISOMETRIA EM R3 E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA LO-

CAL DE CURVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 APLICAÇÕES DO TRIEDRO DE FRENET 48

5.1 CARACTERIZAÇÃO DAS HÉLICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2 CARACTERIZAÇÃO DE UMA HÉLICE CIRCULAR EM TERMOS DE CUR-

VATURA E TORÇÃO POR MEIO DO SOFTWARE MATHEMATICA . . . . 50

6 CONCLUSÕES 58

Referências Bibliográficas 59

Apêndice A -- BREVE APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE MATHEMATICA 60

1 INTRODUÇÃO

A matemática é uma ciência fundamental para o desenvolvimento de várias áreas do conhe-

cimento humano. Ao servir como base para diversas ciências percebe-se, entre outras coisas,

a dimensão de sua importância e abrangência, não apenas como um campo de estudo isolado,

abstrato, mas também integrado à realidade e aos fenômenos da natureza. A geometria dife-

rencial é mais uma dentre as inúmeras variedades de pesquisa do conhecimento matemático, e

como tal possui ampla aplicação.

De fato, conforme Picado (2006), muitos dos problemas que envolvem curvas e superfícies

fazem da geometria diferencial um amplo campo de pesquisa e estudo. As curvas e as superfí-

cies são objetos que intuitivamente qualquer pessoa pode ver e parte das questões levantadas por

elas são óbvias e naturais. A geometria diferencial, por sua vez, se preocupa com a formulação

matemática de tais questões se utilizando das técnicas do cálculo diferencial.

Ao iniciar um estudo sobre curvas em geometria diferencial destaca-se, num primeiro mo-

mento, que em nossa graduação não se tem a oportunidade de estudar esta disciplina. Trata-se

de uma área até então desconhecida pelos acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática

da UNEMAT. Destaca-se também que em nossa biblioteca não encontram-se muitos materiais

ou livros sobre o assunto e, dentre os poucos que se encontram, em sua maioria apresentam um

linguagem matemática mais formal e elaborada.

Em virtude disso, explorar, conhecer e descobrir são fatores que motivaram para a realiza-

ção de uma pesquisa sobre o tema. Além do mais, este trabalho possui um caráter introdutório

no qual busca-se elaborar, de forma clara e objetiva, um texto que possa auxiliar acadêmicos e

professores que queriam iniciar um estudo em geometria diferencial. Em particular, faz-se uma

abordagem do assunto que comporte, dentro de suas limitações, as principais ideias, definições

e considerações.

O desenvolvimento teórico é construído sobretudo de acordo com os autores Tenenblat

(1990), Picado (2006) e Carmo (2008) além, é claro, de outros que surgiram com o aprofunda-

mento da pesquisa. A contribuição desses e de outros pesquisadores foi essencial para se conhe-

7

cer e explorar o tema e, assim, fundamentá-lo logicamente. Portanto, a pesquisa desenvolve-se

discutindo, basicamente, que tipos de curvas são objetos de estudo da geometria diferencial,

qual é a importância do triedro de Frenet e de que forma a curvatura e a torção determinam a

forma de uma curva.

De modo especial, neste trabalho destaca-se o emprego do triedro de Frenet, uma base

ortonormada que é obtida em cada ponto de uma curva regular. A partir das fórmulas de Frenet

determinam-se a curvatura e a torção chegando-se, assim, ao ponto mais interessante de nosso

estudo: a demonstração do Teorema Fundamental da Teoria Local de Curvas. Em seguida,

tem-se uma importante aplicação das fórmulas de Frenet com a caracterização das hélices, no

qual também faz-se um estudo, com auxílio do software Mathematica, de uma hélice circular

parametrizada por comprimento de arco.

2 PRELIMINARES

Neste capítulo são apresentadas algumas noções preliminares. Em particular, destacam-se

aquelas referentes ao espaço euclidiano R3. Estas noções contribuirão para o estudo local das

curvas principalmente na obtenção das equações a partir do triedro de Frenet. Em seguida,

ressaltam-se alguns fatos que propiciaram o surgimento da geometria diferencial clássica e que

constituem hoje parte importante da história da matemática.

2.1 PRELIMINARES DE ÁLGEBRA LINEAR

Os resultados que se seguem são apenas abordados superficialmente, por isso recomenda-se

para maiores detalhes Hoffman e Kunze (1979) e Lima (2008), os quais foram consultados para

escrever esta seção.

Definição 1. Um espaço vetorial consiste de um corpo K de escalares e de um conjunto V de

objetos ou vetores. Nele estão definidas duas operações: a adição que a cada par de vetores

u,v ∈V faz corresponder um novo vetor u+v ∈V chamado de a soma de u,v, e a multiplicação

por escalar que a cada número α ∈K e a cada vetor v ∈V faz corresponder um vetor α v ∈V ,

chamado o produto de α por v. Essas operações devem satisfazer, para quaisquer α,β ∈ K e

u,v,w ∈V , os seguintes axiomas de espaço vetorial:

comutatividade: u+ v = v+u;

associatividade: (u+ v)+w = u+(v+w) e (α β )v = α (β v);

vetor nulo: existe um único vetor 0 ∈V , denominado vetor nulo, tal que v+0 = v ∀v ∈V ;

inverso aditivo: para cada vetor v ∈V existe um único vetor −v ∈V tal que v+(−v) = 0;

distributividade: (α +β )v = α v+β v e α (u+ v) = α u+α v;

multiplicação por 1: 1 · v = v.

9

Segue que todo conjunto V que satisfazer estas condições será chamado um espaço vetorial

sobre K ou, simplesmente, um K-espaço vetorial. É importante ressaltar que num K-espaço

vetorial todas as regras e operações usualmente empregadas nas manipulações numéricas ocor-

rem como consequência dos axiomas acima.

Uma das características principais de um espaço vetorial refere-se à obtenção de novos

vetores a partir de vetores dados.

Definição 2. Seja V um K-espaço vetorial. Um vetor v ∈ V é uma combinação linear dos

vetores v1,v2, . . ., vn em V se existem escalares α1, α2, . . ., αn em K tais que

v = α1v1 +α2v2 + . . .+αnvn.

Em um dado espaço vetorial também é possível encontrar subconjuntos seus tal que sejam

eles próprios espaços vetoriais. Tais subconjuntos são chamados de subespaços vetoriais.

Definição 3. Seja V um K-espaço vetorial. Um subconjunto W ∈ V é dito subespaço vetorial

de V se satisfazer os axiomas de espaço vetorial.

Teorema 1. Um subconjunto não-vazio W de V é um subespaço de V se, e somente se, para

cada par de vetores w1, w2 em W e cada escalar α em K, tem-se que o vetor αw1 +w2 ∈W.

Exemplo 1. O conjunto {0} formado apenas pelo vetor nulo e o espaço V são exemplos de

subespaços, os chamados subespaços triviais de V . Segue também que todo subespaço é em si

mesmo um espaço vetorial.

Exemplo 2. Os únicos subespaços vetoriais de R2 são {0}, as retas que passam pela origem e

o próprio R2.

Definição 4. Seja S um subconjunto do K-espaço vetorial V . O subespaço vetorial de V gerado

por S é formado por todas as combinações lineares

α1v1 +α2v2 +α3v3 + . . .+αnvn

de vetores v1,. . . , vn ∈ S.

O subespaço W gerado por S ⊂ V , contém o conjunto S e é o menor subespaço de V que

contém S. Quando o subespaço W gerado por S coincide com V diz-se que S é um conjunto

gerador de V . Isso significa que todo vetor v ∈V pode ser escrito como combinação linear

v = α1v1 +α2v2 +α3v3 + . . .+αnvn

de vetores v1,. . . , vn ∈ S.

10

Exemplo 3. Seja v ∈ V um vetor não-nulo. O subespaço gerado por v ∈ V é a reta que passa

pela origem e contém v.

Exemplo 4. Os vetores canônicos e1 = (1,0,0, . . . ,0), e2 = (0,1,0, . . . ,0), . . . , en = (0,0, . . . ,1)

constituem um conjunto gerador do espaço Rn. De fato, dado v = (a1,a2, . . . ,an)∈Rn, pode-se

escrever

v = a1e1 +a2e2 + . . .+anen.

Definição 5. Seja V um K-espaço vetorial. Um subconjunto β de V é dito linearmente depen-

dente ou LD se existem vetores distintos v1,v2, . . . ,vn em β e escalares α1,α2, . . . ,αn em K, não

todos nulos, tais que

α1 v1 +α2 v2 + . . .+αn vn = 0.

Um conjunto que não é linearmente dependente é chamado linearmente independente ou, sim-

plesmente, LI. Em outras palavras, isso significa que a combinação nula deste conjunto de

vetores é obtida apenas quando os escalares αi forem todos nulos.

Os espaços vetoriais de dimensão finita possuem uma estrutura algébrica simples dadas

pelas ideias de base e dimensão, pois uma vez fixadas uma base de um K-espaço vetorial n-

dimensional, seus elementos nada mais são do que combinações lineares de n vetores básicos.

Definição 6. Dado um K-espaço vetorial V . Uma base β de V é um conjunto linearmente

independente de vetores de V que gera o espaço V . O espaço vetorial V é de dimensão finita

se possui uma base finita.

A partir disso pode-se afirmar que todo vetor v ∈V pode ser escrito, de modo único, como

combinação linear v = α1 v1 +α2 v2 + . . .+αn vn de elementos v1,v2, . . . ,vn de β . Assim, se V

é um espaço vetorial de dimensão finita, então quaisquer duas bases de V tem o mesmo número

de elementos. Pode-se definir, então, a dimensão de um espaço vetorial como sendo o número

de elementos numa base de V .

Exemplo 5. Os vetores canônicos e1 = (1,0,0, . . . ,0), e2 = (0,1,0, . . . ,0), . . . , en = (0,0, . . . ,1)

são LI. De fato, a1e1 +a2e2 + . . .+anene = 0 implica necessariamente que a1 = . . . = an = 0.

Como também constituem um conjunto gerador do espaço Rn segue que formam uma base de

Rn.

Definição 7. Sejam V e W espaços vetoriais. Uma transformação linear T : V →W é uma

aplicação que associa a cada vetor v ∈ V um vetor T (v) ∈W de modo que sejam satisfeitas,

11

para quaisquer u,v ∈V e α ∈K, as relações:

T (u+ v) = T (u)+T (v),

T (αv) = αT (v).

2.2 O ESPAÇO EUCLIDIANO R3

Em especial, para o estudo das curvas, tem-se o espaço euclidiano R3. O conjunto R3 =

{(x1,x2,x3) | xi ∈ R} é constituído por todas as sequências de ternas ordenadas de números

reais. Este conjunto munido das operações vetoriais de adição e multiplicação por escalar é um

R-espaço vetorial. Seus subespaços vetoriais são todos os subespaços de R2, todos os planos

que passam pela origem e o próprio R3.

O conjunto β = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é uma base de R3, chamada a base canônica.

Além do mais, quaisquer três vetores linearmente independentes formam uma base para este

espaço vetorial e, reciprocamente, todas as suas bases são formadas por três vetores linearmente

independentes.

Seguem abaixo algumas definições e propriedades importantes referentes ao produto in-

terno e ao produto vetorial usuais em R3.

Definição 8. Dados dois vetores u e v de componentes u = (x1,x2,x3) e v = (y1,y2,y3), o

produto interno (ou produto escalar) de u e v é definido como sendo o número real dado por

〈u,v〉= x1y1 + x2y2 + x3y3.

Trata-se de um caso particular de produto interno, também designado normalmente como

produto interno canônico, satisfazendo as seguintes propriedades:

1. ∀v ∈ R3 e v 6= 0 〈v,v〉> 0,

2. ∀u,v ∈ R3 〈u,v〉= 〈v,u〉,

3. ∀u,v,w ∈ R3 e ∀a,b ∈ R 〈au+bv,w〉= a〈u,w〉+b〈v,w〉.

Estando definido em R3 um produto interno é possível associar-lhe uma norma, dita norma

euclidiana, tal que para u = (x1,x2,x3) tem-se

|u|= 〈u,u〉12 =

√x2

1 + x22 + x2

3.

Um vetor é dito unitário se |u|= 1. A norma ainda satisfaz as seguintes propriedades:

12

1. ∀v ∈ R3 e v 6= 0 |v|> 0,

2. ∀v ∈ R3 e ∀a ∈ R |av|= |a| |v|,

3. ∀u,v ∈ R3 |u+ v| ≤ |u|+ |v|.

Definição 9. Seja u e v vetores não-nulos, o ângulo θ entre u e v é a solução da equação

〈u,v〉= |u| |v| cosθ

satisfazendo 0≤ θ ≤ π .

Além do mais, dois vetores u e v são ditos ortogonais se 〈u,v〉 = 0 . Segue, então, que u e

v são ortogonais se, e somente se, u = 0 ou v = 0 ou o ângulo entre u e v é π

2 . A base canônica

e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1) de R3 é formada por vetores unitários e dois a dois

ortogonais. Logo esta base também é dita uma base ortonormal ou, ainda, um referencial

ortonormal.

O produto vetorial de dois vetores, ao contrário do produto escalar, é um vetor, definido

somente para espaços com mais de duas dimensões.

Definição 10. Dados dois vetores u e v de componentes u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2), o

produto vetorial de u e v, denotado por u× v é definido como o vetor de componentes

u× v = (y1z2− y2z1,−x1z2 + x2z1,x1y2− x2y1).

Uma das propriedades mais importantes do produto vetorial é que o vetor u×v é ortogonal

a u e v. O produto vetorial também satisfaz as segunites propriedades:

1. |u× v|= |u| |v| sinθ , no qual θ (0≤ θ ≤ π) é o ângulo entre u e v;

2. u× v = 0 se, e somente se, u e v são LD;

3. u× v =−(v×u);

4. (λu)× v = λ (u× v).

2.3 UM POUCO SOBRE DIFERENCIABILIDADE

Os conceitos de limite e continuidade estudadas no cálculo para funções de uma variável

são introduzidos de maneira análoga para funções de duas ou mais variáveis. De particular

interesse para este estudo define-se:

13

Definição 11. Seja F : A⊂Rn→Rm uma função definida em um aberto A⊂Rn. Fixa-se p∈ A

e v um vetor não nulo de Rn. A derivada direcional de F em p na direção de v é o vetor

limt→0

F(p+ tv)−F(p)t

,

quando este limite existe.

Definição 12. Se F : A⊂ Rn→ Rm é uma função diferenciável, então para p ∈ A a diferencial

de F em p é uma aplicação linear dF : A⊂ Rn→ Rm definida por

dFp(v) =ddt

(F(p+ tv))∣∣∣∣t=0

A função F é diferenciável se F é diferenciável em p, para todo p ∈ A. Pode-se verificar

que se F é diferenciável em p, então para todo v ∈ Rn,

dFp(v) = limt→0

F(p+ tv)−F(p)t

.

Assim, se F é diferenciável em p então a derivada direcional de F em p existe em qualquer

direção. Deste modo, pode-se entender dFp(v) como a aplicação que leva todo vetor p ao vetor

derivada direcional de p na direção de v. Além disso, pode-se mostrar que a aplicação linear

dFp é representada, nas bases canônicas de R2 e R3, por uma matriz (matriz jacobiana) que

depende apenas das derivadas parciais em p das funções coordenadas de F .

Exemplo 6. Seja F : R2 → R2 tal que F(x,y) = (2x2,xy), com (x,y) ∈ R2. Vê-se que F é

diferenciável e que sua diferencial dFp em p = (x,y) é

dFp =

(4x 0

y x

)

Por exemplo,

dF(1,0)(3,2) =

(4 0

0 1

)·

(3

2

)=

(12

2

).

Se F : Rn→Rm é uma aplicação linear, então F possui derivadas de todas as ordens. Além

disso, para todo p ∈ Rn, dFp = F . De fato, se v ∈ Rn, então

dFp(v) = limt→0

F(p+ tv)−F(p)t

= limt→0

F(p)+ tF(v)−F(p)t

= F(v),

no qual a segunda igualdade é devido ao fato de F ser linear.

14

2.4 ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA DIFERENCIAL

A geometria diferencial, em geral, é dividida em dois momentos: geometria diferencial

clássica e geometria diferencial moderna. A geometria diferencial clássica estuda as pro-

priedades das curvas e superfícies no espaço euclidiano. Em síntese, é uma teoria local de

curvas e superfícies, no qual se estudam as propriedades locais, ou seja, o comportamento da

curva ou superfície na vizinhança de um ponto. A geometria diferencial moderna estuda o com-

portamento de toda a curva ou superfície a partir da influência das propriedades locais. Sendo

também descrita como uma teoria global de curvas e superfícies, seu estudo é mais completo e

abstrato, pois abrange espaços não-euclidianos de qualquer dimensão. Entretanto, destaca-se o

fato de que ambas baseiam-se no cálculo diferencial e integral.

A origem da geometria diferencial se deu no século XVII com a introdução dos métodos

do cálculo diferencial na geometria euclidiana. Cronologicamente, os conceitos iniciais sobre

curvas planas foram dados por Huygens (1629-1675) na obra "Horologium Oscillatorium" de

1667. Mais tarde Newton (1643-1727), em 1736, na obra "Geometria Analytica", foi quem

empregou pela primeira vez os métodos do cálculo diferencial nesta área. O estudo em geome-

tria diferencial no espaço começaram com Clairaut (1713-1775) no trabalho "Recherche sur les

Courbes à Double Curvature" (1731), um trabalho que trata sobre curvas e superfícies. Em se

tratando do estudo das curvas, o método mais importante e até hoje utilizado, conhecido como

triedro móvel de Frenet-Serret, foi introduzido por Michel-Anye Lancret (1774-1807) em 1806.

O estudos em geometria diferencial de superfícies surgem com o estudo das geodésicas,

curvas de comprimento mínimo numa superfície. Em particular, destacava-se o estudo com a

superfície esférica, principalmente pelas aplicações na navegação e a necessidade de elaboração

de mapas cartográficos. Assim, segundo Picado (2006), em 1697 Jean Bernoulli (1667-1748)

colocou o problema de determinação da curva mais curta ligando dois pontos numa superfí-

cie convexa. Em 1698 Jacques Bernoulli (1655-1705) determinou as geodésicas nos cilindros,

cones e superfícies de revolução. A forma geral das equações das geodésicas numa superfície

foi obtida por Euler (1707-1783) em 1728. Foi Euler quem deu bases sólidas à teoria das super-

fícies em "Recherches sur la Courbure des Surfaces" (1760), no qual introduziu as chamadas

curvaturas principais de uma superfície num ponto.

Contudo, foi Gauss (1777-1855) em 1827, com "Disquisitiones circa superfícies curvas",

quem de fato elaborou um volume dedicado a geometria diferencial. Este trabalho foi de-

senvolvido em um espaço euclidiano, utilizando propriedades da trigonometria esférica, con-

hecida dos tempos das navegações, e que tem como referência a geometria de Euclides (BISPO;

15

MARTINS, 2005). Na verdade, segundo Carmo (1999), ele foi motivado por um problema de

Geodésia, pois Gauss foi encarregado do levantamento geodésico de uma região da Alemanha.

Isto exigia medir triângulo sobre a superfície da Terra, o que o levou a refletir sobre a influência

da forma da Terra nestas medidas. Para resolver este problema, ele generalizou a questão para

uma superfície qualquer e obteve, para triângulos geodésicos pequenos, o que é conhecido hoje

como Teorema de Gauss-Bonet, que é o resultado mais importante da geometria diferencial

clássica.

Em virtude disso, na obra "Disquisitiones circa superfícies curvas" encontra-se todo o de-

senvolvimento da teoria de Gauss para o estudo de uma superfície curva que culminaram com a

introdução de ferramentas que serviram de base para a geometria diferencial não-euclidiana. O

que mais tarde levou Riemann (1826-1866) a generalizações mais abstratas da ideia de geome-

tria.

No Brasil, conforme Carmo (1999), a influência da filosofia de Augusto Comte (1798-

1857) no século XIX retardou a introdução de idéias novas na matemática. Segundo Comte a

matemática estava pronta e acabada, e só restava aplicá-la. Esta atitude dogmática era aceita

na Escola Militar e nas poucas escolas de Engenharia que eram, naquela época, os lugares

onde se encontrava a matemática no Brasil. Aliado a este dogmatismo, a ausência de meios

de divulgação, o isolamento científico e a falta de estímulo social eram algumas das outras

dificuldades que se apresentavam. Assim, era muito difícil fazer qualquer pesquisa naquela

época. Contudo, ainda neste período, destacam-se alguns fatos importantes como a criação da

Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP em 1934 e a do CNPq em 1951. Deste modo,

lentamente as novas idéias da matemática foram se estabelecendo no Brasil.

A mudança de fato começou a acontecer quando realizou-se em Poços de Caldas o 1◦

Colóquio Brasileiro de Matemática em 1957, no qual sua influência foi decisiva para o futuro

da matemática brasileira. A partir daí iniciou-se um movimento que veio a ampliar de forma

significativa a sua pesquisa no Brasil. Em particular, conforme Carmo (1999), para a geometria

diferencial iniciou-se um novo período com a qualificação de muitos pesquisadores brasileiros

principalmente no exterior. Aliás, um dos aspectos deste período, é que todos os trabalhos de

brasileiros sobre este assunto, sem exceção, eram feitos no exterior. Portanto, era necessário

consolidar a pesquisa no Brasil, o que acontece a partir de 1970. Assim, ao fim do período de

1970 à 1983, estavam em pleno andamento os Programas de Pós-Graduação em geometria di-

ferencial no IMPA, na USP e na UNICAMP. As teses eram, em geral, já publicadas em revistas

de circulação internacional, o que acabava por valorizar e prestigiar a pesquisa em matemática

no Brasil.

3 PROPRIEDADES DAS CURVAS PARAMETRIZADASDIFERENCIÁVEIS ESPACIAIS

Neste capítulo discute-se quais os tipos de curvas que são objetos de estudo da geometria

diferencial clássica. Em especial, culmina-se no conceito de curva regular parametrizada por

comprimento de arco que é, sem dúvida, o resultado mais importante para o desenvolvimento

da teoria local de curvas e para a determinação do triedro de Frenet.

3.1 CURVAS PARAMETRIZADAS DIFERENCIÁVEIS

Ao iniciar um estudo sobre curvas, convém se perguntar: o que é uma curva? E mais

especificamente, em se tratando de geometria diferencial: qual é o tipo ideal de curva a ser

estudada?

O fato é que todos possuem pelo menos uma ideia intuitiva sobre curva. Pode-se pensar,

então, uma curva como um conjunto de pontos no plano ou no espaço e com dimensão igual a

1. Assim, por exemplo, uma curva pode ser o gráfico de uma função real de uma variável, ser

uma figura feita com um único traço, sem tirar o lápis do papel, ou ainda descrever a trajetória

de uma partícula movendo-se no espaço. Uma curva, portanto, pode representar uma reta, uma

parábola, uma circunferência, uma elipse ou um traço qualquer.

Figura 3.1: Exemplos de curvas.

Algebricamente uma curva pode ser descrita de maneiras diferentes, assim, y = x representa

uma reta, y = x2 representa uma parábola, x2 + y2 = 1 representa uma circunferência de raio

unitário e 12x2 + y2 = 9 representa uma elipse. Muitas curvas como estas podem ser descritas

por meio de equações cartesianas, ou seja, no caso das curvas planas, tomando-se y como uma

17

função de x [y = f (x)], escrevendo-se x como uma função de y [x = g(y)] ou conhecendo a

relação entre x e y que considera y implicitamente como uma função de x [ f (x,y) = 0]. Mas

também pode-se considerar curvas em R3, como é caso da reta que representa o eixo OY dada

por {(x,y,z) ∈ R3|x = z = 0}.

Entretanto uma curva pode assumir diversas formas e, em consequência, nem sempre é pos-

sível descrevê-la por meio de uma equação cartesiana. Além disso, dependendo da necessidade,

uma curva muitas vezes é melhor descrita de uma maneira do que por outra. Deste modo, no

contexto da geometria diferencial, o objetivo é caracterizar as curvas como certos subconjuntos

de R3 aos quais possam ser aplicados os métodos do cálculo diferencial. Para tanto, uma curva

deverá ser vista como o caminho feito por um ponto a mover-se no espaço euclidiano R3. As-

sim, ao invés de se ter curvas definidas por equações, serão consideradas curvas descritas por

funções do tipo vetoriais.

Definição 13. Uma função vetorial α de um subconjunto I de R em R3, denotada por α : I ⊂R→ R3, é uma correspondência que, para cada t ∈ I, associa α(t) ∈ R3.

Isto significa que para todo número t ∈ I associa-se um único vetor denotado por α(t).

Uma função vetorial, então, é uma função cujo domínio é um conjunto dos números reais e

cuja imagem é um conjunto de vetores. Desse modo, uma função vetorial α : I ⊂ R→ R3

pode ser representada por α(t) = (x(t),y(t),z(t)), no qual as funções reais x,y,z : I → R são

denominadas funções coordenadas ou funções componentes de α .

Um fato importante é que as funções vetoriais contínuas e as curvas espaciais estão intima-

mente relacionadas (STEWART, 2006). Sejam f , g e h funções reais contínuas em um intervalo

I e componentes de uma função vetorial γ . Então o conjunto P de todos os pontos (x,y,z) no

espaço para os quais

x = f (t) y = g(t) z = h(t)

e com t variando no intervalo I é dita uma curva espacial.

Deste modo qualquer função vetorial define uma curva espacial que é traçada pela ponta

do vetor em movimento. Assim, a curva espacial será descrita por uma função γ de parâmetro

t no qual γ(t) é o vetor da posição do ponto no instante t e a imagem dessa curva será um

subconjunto de R3.

Na Figura 3.2, a curva é traçada pelo movimento de uma partícula cuja posição no instante

t é ( f (t),g(t),h(t)). Assim quando t varia, o ponto P( f (t),g(t),h(t)) também varia e traça

a curva. Curvas assim descritas, em função de um parâmetro t ∈ I, são chamada de curvas

parametrizadas.

18

Figura 3.2: Curva espacial descrita por uma função vetorial.

Definição 14. Uma curva parametrizada em R3 é uma função vetorial

α : I → R3 definida em um intervalo I de R. A imagem α(t), com t ∈ I, de uma curva

parametrizada α é chamada traço, rastro ou, ainda, caminho da curva.

Dessa forma é importante ressaltar que uma curva possui domínio, contradomínio e uma

aplicação associando a cada elemento do domínio com um no contradomínio. Trata-se, por-

tanto, de pensar em uma curva não apenas como um conjunto de pontos no plano ou no espaço,

mas como uma função. A este conjunto de pontos, que na verdade é a imagem, ou seja, o

"desenho" da curva, será chamado de traço.

Conforme Cunha (2008), as propriedades geométricas de uma curva são as que dependem

somente de seu traço, enquanto as propriedades cinemáticas dependem não apenas do traço,

mas também da parametrização escolhida para a curva. Diz-se propriedades cinemáticas, pois

em muitos casos é natural considerar o parâmetro t como sendo o tempo e a curva como a

trajetória de algum ponto material.

Em Picado (2006), pode-se encontrar um exemplo no qual é possível compreender a im-

portância da definição de curva como uma função de um parâmetro t e a diferença entre curva

e traço da curva. Então, suponha que uma formiga caminha de um ponto A até um ponto B e

que se marque em cada instante t, com o número t, a sua posição (começando com t = 0 em A).

Quando a formiga chegar a B estará traçado o caminho por ela percorrido. O mesmo efeito se

consegue ao seguir o rasto de uma lesma, mas agora sem marcar a sua posição em cada instante.

19

Figura 3.3: Rastro da formiga e da lesma, respectivamente.

Aparentemente, o rastro não mudou. No entanto, existe uma diferença significativa entre

ambas as representações. No rastro da lesma, por exemplo, não se pode dizer se ela esteve

parada durante algum tempo em algum ponto ou ainda se, em algum pedaço do caminho, o

percorreu várias vezes. Por estas razões, para o estudo de curvas, se está mais interessado na

função que representa a posição no instante t e não apenas no caminho, sem a sua evolução

ao longo do tempo. Em virtude disso, adota-se para a definição de curva o conceito de curva

parametrizada.

Além disso, a geometria diferencial clássica estuda as propriedades locais, ou seja, aquelas

que dependem somente do comportamento da curva na vizinhança de um ponto. Assim, ao se

falar em vizinhança de um ponto, deve-se assumir que a função α : I→ R3 é sempre contínua.

Entretanto, existe uma outra situação que é fundamental no estudo de curvas. É necessário que

as funções além de serem contínuas sejam infinitamente diferenciáveis. De fato, ao assumir que

a função α é sempre contínua, claramente as figuras a seguir são alguns exemplos de imagens

de funções contínuas I→ R3:

Figura 3.4: Exemplos de imagens de funções contínuas.

Mas, existem certas funções que fogem muito à intuição que se tem sobre curvas. Em

1890 Peano (1858-1932) apresentou um exemplo de uma função contínua de [0,1] em R2, hoje

chamada Curva de Peano, cuja imagem preenche todo quadrado 0 ≤ x,y ≤ 1, contradizendo

aquilo que intuitivamente acredita-se ser uma curva. Portanto, para evitar exemplos como este

e permanecer próximo a intuição inicial, restringe-se o estudo apenas às curvas parametrizadas

infinitamente diferenciáveis.

20

Figura 3.5: Exemplo de função contínua: A curva de Peano.

Aqui, então, estende-se os conceitos do cálculo infinitesimal sobre continuidade e diferen-

ciabilidade, válidos para funções reais que associam valores reais, para funções vetoriais. As-

sim, uma função vetorial é contínua se, e somente se, as suas funções componentes f , g e h são

contínuas. De modo análogo, será diferenciável se, e só se, f , g e h são funções diferenciáveis.

Se a função vetorial α : I → R3 é diferenciável, então a função

α ′ : I → R3, para cada t ∈ I, que associa α ′(t) = ( f ′(t),g′(t),h′(t)) é também uma função

vetorial chamada derivada de primeira ordem de α . Se a função α ′ é também diferenciável

pode-se obter um nova função vetorial, chamada derivada de segunda ordem de α , denotada

por α”(t) = ( f ”(t),g”(t),h”(t)). De maneira geral, uma função vetorial é dita diferenciável de

classe C∞ se existem as derivadas de todas as ordens desta função.

Se α e β são funções vetoriais diferenciáveis em I e f é uma função real diferenciável em

I, então α +β , f α , 〈α,β 〉 e α×β são diferenciáveis e

(α +β )′ = α′+β

′;

( f α)′ = f (α ′)+( f ′)α;

(〈α,β 〉)′ =⟨α′,β⟩+⟨α,β ′

⟩; (3.1)

(α×β )′ = α′×β +α×β

′.

A partir de agora, pode-se iniciar o desenvolvimento da teoria local de curvas no espaço

R3. Uma primeira definição de curva que surge, ainda não inteiramente satisfatória, é o de

curva parametrizada diferenciável.

Definição 15. Uma curva parametrizada diferenciável de R3 é uma aplicação α , de classe C∞,

de um intervalo aberto I ⊂ R em R3. A variável t ∈ I é o parâmetro da curva e o subconjunto

de R3 formado pelos pontos α(t), t ∈ I, é o traço da curva.

Observa-se, portanto, que uma curva parametrizada de R3 é um aplicação α : I→ R3 que

para cada t associa α(t) = ( f (t),g(t),h(t)), t ∈ I, no qual f (t), g(t) e h(t) são funções diferen-

ciáveis de classe C∞. A partir disso verifica-se a seguir que:

Exemplo 7. A aplicação α(t) = (x0 + at,y0 + bt,z0 + ct), t ∈ R, no qual

21

a2 + b2 + c2 6= 0 é uma curva parametrizada diferenciável, cujo traço é uma linha reta pas-

sando pelo ponto P0(x0,y0,z0) e paralela ao vetor de coordenadas v = (a,b,c).

Figura 3.6: Reta.

De fato, dado uma reta r no espaço tridimensional, sua equação é determinada quando é

conhecido um ponto P0(x0,y0,z0) em r e a direção de r, dada pelo vetor v = (a,b,c). A condição

a2 +b2 + c2 6= 0 garante que |v| 6= 0, caso contrário não seria possível determinar a reta, muito

menos a sua orientação. Além disso, as suas funções componentes são funções diferenciáveis.

Com efeito, seja f (t) = x0 + at. Como f ′(t) = a, f ′′(t) = 0, f ′′′(t) = 0, . . . , segue que f (t)

possui derivadas de todas as ordens, ou seja, é diferenciável de classe C∞. Analogamente,

estendendo isso para as demais, facilmente vê-se que esta aplicação é uma curva parametrizada

diferenciável.

Exemplo 8. A curva cuja equação vetorial é representada por

α(t) = (r cos t,r sin t,at), com t ∈ R,r > 0 e a > 0,

é uma curva parametrizada diferenciável.

Seja x = r cos t, y = r sin t e z = at. Segue claramente que α é uma curva parametrizada

diferenciável. Além disso, tem-se que x2 + y2 = r2(cos2 t + sin2 t) = r2, logo a curva pertence

ao cilindro circular x2 + y2 = r2. Nota-se, que o ponto (x,y,z) está diretamente acima do ponto

(x,y,0), no qual as terceiras coordenadas diferem por um múltiplo de 2πa. A curva se move no

sentido anti-horário em torno da circunferência x2 + y2 = r2 no plano xy. Como z = at, a curva

faz uma espiral para cima ao redor do cilindro quando t aumenta. Essa curva é chamada hélice

circular.

22

Figura 3.7: Hélice circular

Exemplo 9. A curva de Viviani formada pela intersecção do cilindro

(x−a)2 + y2 = a2 com a esfera x2 + y2 + z2 = 4a2 e que pode ser parametrizada por

α(t) = a(

1+ cos t,sin t,2sin( t

2

))é outro exemplo de curva parametrizada diferenciável.

Figura 3.8: Curva de Viviani.

Exemplo 10. A aplicação α : R→R2 dada por α(t, |t|) não é uma curva parametrizada difer-

enciável, pois |t| não é diferenciável em t = 0.

23

Figura 3.9: Exemplo de curva parametrizada, mas não diferenciável.

3.2 COMPRIMENTO DE ARCO E MUDANÇA DE PARÂMETRO

Um dos problemas iniciais que se coloca ao estudo de curvas é referente a determinação

do comprimento de uma curva. Inicialmente, para determinar uma fórmula que permita este

cálculo, convém dividir uma curva em vários segmentos. Seja então α uma curva definida num

intervalo fechado [a,b] e com uma partição a = t0 = t1 = . . . = tm = b arbitrária desse intervalo.

Ao se unir os pontos α(ti−1) e α(ti), com i = 1, · · · ,m, por segmentos de reta obtém-se uma

linha poligonal sobre a curva.

Figura 3.10: Linha poligonal sobre uma curva.

O comprimento da linha poligonal é obtido pelo somatório

m

∑i=1|α(ti)−α(ti−1)| ,

ou seja, o comprimento da linha poligonal é a soma dos comprimentos de todos os segmentos de

reta que unem α(ti−1) a α(ti) nos intervalos [ti−1, ti], com 1≤ i≤m. Dessa forma, quanto maior

for o número de intervalos dessa partição, melhor o somatório deve representar o comprimento

da curva, ou seja, melhor se aproxima de seu comprimento real. Considerando ti−ti−1 tendendo

a zero, segue que o limite desse somatório é dado pela integral∫ b

a |α ′(t)|dt. Deste modo, tem-se

a seguinte definição:

24

Definição 16. A aplicação

s(t) =∫ t

t0

∣∣α ′(t)∣∣dt

é denominada função comprimento de arco da curva α a partir de t0.

Mas, além da determinação do comprimento de uma curva, um outro fato importante é que

uma única curva pode ser representada por mais de uma função vetorial.

Exemplo 11. A cúbica retorcida α(t) = (t, t2, t3) para 1 ≤ t ≤ 2 poderia ser representada

também pela função γ(u) = (eu,e2u,e3u) para 0≤ u≤ ln2 no qual a relação entre os parâmetros

é dada por t = eu.

Este fato motiva a seguinte definição:

Definição 17. Sejam I e J intervalos de R, α : I ⊂ R→ R3 uma curva e h : J→ I uma função

diferenciável (C∞), cuja derivada de primeira ordem é não nula em todos os pontos de J e tal

que h(J) = I. Então a função composta β = α ◦h : J→R3 é uma curva que tem o mesmo traço

que α , chamada reparametrização de α por h. A função h é dita mudança de parâmetro.

Exemplo 12. Seja a cúbica retorcida α(t) = (t, t2, t3) para 1≤ t ≤ 2 e h(u) = eu para 0≤ u≤ln2. A reparametrização de α por h é a curva γ(u) = α ◦h(u) = (eu,e2u,e3u).

Seguem as observações:

1. A inversa de uma mudança de parâmetro ainda é uma mudança de parâmetro. Se γ = α ◦h

é uma reparametrização da curva α , tem-se também que α é uma reparametrização de γ;

2. Duas curvas que são reparametrizadas uma da outra possuem o mesmo traço, logo terão

as mesmas propriedades geométricas;

3. Em qualquer mudança de parâmetro h : J → I, os intervalos I e J são do mesmo tipo,

simultaneamente abertos, fechados ou semi-abertos. Tal fato se justifica pois, tendo h

derivada de primeira ordem não nula, a restrição h : J → I é uma função estritamente

crescente ou decrescente e sendo h(I) = J segue, das duas afirmações, que h é injetora e

sobrejetora. Logo h é bijetora. Portanto, se γ é uma reparametrização de α por h, então

α é uma reparametrização de γ por h−1.

4. O fato de h′ nunca se anular implica que h′(t) > 0 ∀t ∈ J ou h′(t) < 0 ∀t ∈ J. Logo,

no primeiro caso diz que a reparametrização por h preserva a orientação da curva e no

segundo caso que inverte a orientação.

25

Exemplo 13. A função vetorial α(t) = (cos t,sin t) para t ∈ [0,2π] é uma parametrização para

a circunferência x2 +y2 = 1. Outra parametrização é γ(t) = (sin2t,cos2t) com t ∈ [0,π]. Para

verificar que γ é uma reparametrização de α , pode-se encontrar uma mudança de parâmetro

λ tal que (cosλ (t),sinλ (t)) = (sin2t,cos2t). Uma solução possível é λ (t) = π

2 −2t.

O traço de α e γ é a circunferência de raio unitário. Entretanto, em α quando t aumenta de 0

até 2π , o ponto (x,y) = (cos t,sin t) se move ao redor do círculo no sentido anti-horário partindo

do ponto (1,0). Por sua vez, em γ quando t aumenta de 0 à π , o ponto (x,y) = (sin2t,cos2t)

começa em (0,1) e se move ao redor do círculo no sentido horário. Houve uma uma mudança

na orientação pois λ ′(t) =−2 < 0 ∀t.

Figura 3.11: (a) Curva α . (b) Curva γ .

Como o comprimento de arco é uma propriedade geométrica espera-se que sua medida não

dependa da parametrização. Fato confirmado pela proposição:

Proposição 1. Seja β : [c,d]→ R3 uma reparametrização da curva α : [a,b]→ R3. Então os

comprimentos de α e β coincidem.

Existe uma outra relação entre comprimento de uma curva e a sua parametrização. Em

muitas situações é frequentemente útil parametrizar uma curva em relação ao comprimento de

arco, pois o comprimento de arco aparece naturalmente da forma da curva e não depende do

sistema de coordenadas utilizado (STEWART, 2006).

Se uma curva γ(t) já está dada em termos de um parâmetro t e s(t) é a função comprimento

de arco, pode-se escrever t como uma função de s, ou seja, t = t(s). A curva pode então ser

26

reparametrizada em termos de s substituindo-se o parâmetro t, logo γ(t) passa a ser γ(t(s)).

Assim se s = 3, por exemplo, γ(t(3)) é a posição do ponto que está a três unidades de compri-

mento do início da curva. Este processo é conhecido como parametrização por comprimento de

arco. Mais precisamente segue a definição:

Definição 18. Uma curva α : I ⊂ R→ R3 é dita parametrizada pelo comprimento de arco, se

para cada t0, t ∈ I, t0 ≤ t o comprimento do arco da curva α de t0 a t é igual a t− t0. Isto é

s(t) =∫ t

t0

∣∣α ′(t)∣∣dt = t− t0.

Disto resulta imediatamente que:

Proposição 2. Uma curva α : I ⊂ R→ R3 está parametrizada pelo comprimento de arco se, e

somente se, ∀t ∈ I, |α ′(t)|= 1.

Exemplo 14. A curva representada por α(t) = (−sin t,cos t) é uma curva parametrizada por

comprimento de arco.

De fato, conforme se verifica

s(t) =∫ t

t0

√(−sin t)2 +(cos t)2 dt =

∫ t

t0

√sin2 t + cos2 t dt =

∫ t

t0dt = t− t0.

E considerando a Proposição 2 tem-se∣∣α ′(t)∣∣=√(−sin t)2 +(cos t)2 =√

sin2 t + cos2 t = 1.

Exemplo 15. (Reparametrizando curvas por comprimento de arco)

Seja a curva espiral logarítmica definida por γ(t) = (et cos t,et sin t), com t ∈ [0,+∞). Para

reparametrizá-la pelo comprimento de arco deve-se inicialmente calcular seu comprimento de

arco. Assim, segue que

γ′(t) =

(et(cos t− sin t),et(sin t + cos t)

),∣∣γ ′(t)∣∣2 = e2t(cos t− sin t)2 + e2t(sin t + cos t)2 = 2e2t .

Logo, o comprimento de arco de γ a partir do ponto γ(0) = (1,0) é dado por

s(t) =∫ t

0

√2e2u du =

√2(et−1).

Assim, escrevendo t em função de s tem-se t =(

s√2+ 1)

, que ao ser substituído em γ resulta

em

β (s) =

((s√2

+1)

cos(

ln(

s√2

+1))

,

(s√2

+1)

sin(

ln(

s√2

+1)))

,

27

no qual β é uma reparametrização por comprimento de arco de γ .

O estudo de uma curva simplica-se quando ela está parametrizada por comprimento de

arco. Mas quais curvas admitem reparametrização por comprimento de arco? Esta questão será

respondida na próxima seção.

3.3 CURVAS REGULARES

Definição 19. Seja α(t) = (x(t),y(t),z(t)), com t ∈ I ⊂ R, uma curva parametrizada diferen-

ciável. O vetor tangente a α em t ∈ I é o vetor α ′(t) = (x′(t),y′(t),z′(t)).

A derivada de uma função vetorial é definida de modo semelhante às funções reais, ou seja,

ddt

α = α′(t) = lim

h→0

α(t +h)−α(t)h

.

Deste modo, uma interpretação para o vetor tangente pode ser dada a seguir: se os pontos P0 e

P1 tem vetores de posição α(t) e α(t + h) então→

P0P1 representa o vetor α(t + h)−α(t), que

pode ser visto como o vetor secante. Se h > 0, o múltiplo escalar 1h(α(t + h)−α(t)) tem a

mesma direção e o sentido que α(t +h)−α(t). Quando h tende a zero parece que esse vetor se

aproxima de um vetor que está sobre a reta tangente. Por esta razão este vetor é chamado vetor

tangente à curva definida por α no ponto P0.

Figura 3.12: (a) Vetor Secante α(t +h)−α(t). (b) Vetor tangente α ′(t).

O vetor tangente em um ponto de uma curva traz duas informações importantes. Uma de

caráter estritamente geométrico: sua direção é tangente a curva. A outra informação, de carater

cinemático, refere-se ao sentido e a intensidade, que variam dependendo da parametrização

28

adotada para a curva. Deste modo, o vetor α ′(t) também é chamado vetor velocidade e sua

magnitude ou norma é a velocidade escalar ou, ainda, a rapidez.

Para o desenvolvimento da teoria local das curvas é preciso que exista uma reta tangente

a uma curva α para cada valor do parâmetro t. Para tanto é suficiente que o vetor tangente a

α seja não nulo para todo t. Se faz necessário então restringir o estudo apenas às curvas que

satisfazem esta condição.

Definição 20. Uma curva parametrizada diferenciável α : I ⊂ R→ R3 é dita curva regular se

para todo t ∈ I tem-se α ′(t) 6= 0.

Exemplo 16. Seja o vetor de posição de uma partícula que se move em um plano descrito por

γ(t) = (1 + t3, t2), conforme Figura 3.13. Deseja-se determinar a velocidade e a rapidez da

partícula no instante t = 0. A velocidade para um instante t é dada por v(t) = γ ′(t) = (3t2,2t).

Quando t = 0, tem-se v(0) = (0,0). A rapidez é |v|= 0.

Note que quando t varia, para valores maiores e menores que zero, tem-se diferentes

posições para a partícula e em cada uma delas estão associados diferentes vetores tangentes.

Por exemplo, para t = −1, v(−1) = (3,−2) e |v(−1)| =√

13. Para t = 1, v(1) = (3,2) e

|v(1)|=√

13. Para t = 2, v(2) = (12,4) e |v(2)|= 4√

10.

Figura 3.13: Curva γ descrita pelo movimento da partícula.

Curvas regulares são aquelas cujo vetor tangente nunca se anula e por isso têm uma direção

tangente bem definida em cada instante. Portanto, pode-se concluir que a curva do exemplo

acima não é regular, pois em t = 0 não há como definir um vetor tangente.

Existe uma relação entre a regularidade de uma curva e a existência de reparametrizações

por comprimento de arco desta curva. Inicialmente segue uma primeira propriedade das curvas

regulares:

Proposição 3. Qualquer reparametrização de uma curva regular é regular.

E como resultado mais importante tem-se:

29

Teorema 2. Uma curva possui uma reparametrização por comprimento de arco se, e somente

se, é regular.

Entretanto, conforme em Picado (2006), em muitas situações parametrizar uma curva regu-

lar por comprimento de arco pode ser muito complicado ou mesmo impossível. Em primeiro

lugar, pode não ser possível exprimir a integral da Definição 16 em termos de funções familiares

(logaritmos, exponenciais, trigonométricas, etc). Em segundo lugar, mesmo que se consiga de-

terminar s(t), poderá não ser possível encontrar a função inversa s−1 : s(I)→ I, o que impede

de se escrever t como uma função de s. Além disso, outro fato importante sobre curvas é que,

dada uma curva qualquer, pode-se ter parametrizações regulares e não regulares. Por exemplo,

a parametrização γ(t) = (t, t2) da parábola y = x2 é regular, mas a parametrização α(t) = (t3, t6)

já não é regular pois α ′(0) = (0,0).

Contudo, a partir de agora, dentre os mais variados tipos de curvas, define-se quais real-

mente são o objetos de nosso estudo: as curvas regulares parametrizadas por comprimento de

arco.

4 O TRIEDRO DE FRENET E O TEOREMA FUNDAMENTAL DATEORIA LOCAL DE CURVAS

Um referencial é escolhido como "referência" a partir do qual as posições de outros pon-

tos serão determinadas ou medidas. Normalmente, um referencial é dado por um sistema de

coordenadas que tanto pode ser unidimensional, bidimensional ou tridimensional. No entanto,

existem dois tipos de referenciais: os referenciais inerciais e os referenciais não-inerciais. Os

referenciais inerciais ou fixos, por exemplo, são muito utilizados em Física e para os quais são

válidos todas as leis da Mecânica. Contudo, em muitos problemas nem sempre estes referenci-

ais são adequados. Basta considerar o estudo dos movimentos quando se adota como referencial

um sistema de eixos solidário com o movimento da Terra. O referencial em questão não é iner-

cial, pois está sujeito a vários tipos de rotações de acordo com o movimento da Terra. Um

referencial deste tipo é também chamado de referencial móvel.

Em geometria diferencial é possível caracterizar uma curva utilizando um referencial móvel.

O mais conhecido deles é o triedro de Frenet, uma base ortonormal que é obtida em cada ponto

de uma curva regular. Além disso, sua importância reside no fato de que a partir dele é possível

determinar duas outras medidas importantes: a curvatura e a torsão, duas funções escalares, ou

seja, funções de uma única variável real, e que são capazes de determinar por completo a forma

de uma curva.

4.1 CURVATURA

Curvatura dá ideia de curvar, ou seja, de mudar de direção. Está-se agora preocupado em

determinar rigorosamente o que seja esta curvatura e de que forma pode ser medida. Em Silva

(2007) encontra-se uma interpretação geométrica bastante interessante para se entender, em

termos matemáticos, a ideia de curvatura e o modo como é definida.

Seja, então, α : I→R3 definida por α(s)= (x(s),y(s),z(s)) uma curva regular parametrizada

por comprimento de arco e considere a Figura 4.1:

31

Figura 4.1: Vetores tangentes em α(s1), α(s2) e variação do ângulo θ .

Os vetores tangentes nos pontos α(s1) e α(s2) são respectivamente α ′(s1) e α ′(s2). Dado

θi o ângulo que o vetor α ′(si) faz com a linha horizontal, determina-se ∆θ = θ2− θ1. Além

disso, pode-se escrever

α”(s) =dds

α′(s) = lim

s→s0

α ′(s)−α ′(s0)s− s0

= lims→s0

∆α ′

∆s.

E assim, por meio de manipulações algébricas, pode-se chegar em

|α”(s)|= lims→s0

|α ′(s)−α ′(s0)||s− s0|

= lims→s0

|∆α ′|∆s

. (4.1)

Figura 4.2: Variação do ângulo θ .

Sabe-se que sendo α uma curva parametrizada por comprimento de arco, seus vetores tan-

gentes são unitários. Logo, ao se considerar a Figura 4.2, tem-se por construção a seguinte

32

relação:

Ah < AT < A1 (4.2)

no qual Ah é a área do setor circular do círculo de raio h delimitado pela circunferência pon-

tilhada, AT é área do triângulo AOB e A1 é a área do setor circular do círculo de raio unitário.

Como a área do setor circular de raio r e ângulo θ é rθ

2 , segue que

Ah =h |∆θ |

2, A1 =

1 |∆θ |2

e AT =|∆α ′|h

2. (4.3)

Substituindo as equações em 4.3 na desigualdade em 4.2, obtém-se

h |∆θ |2

<|∆α ′|h

2<

1 |∆θ |2

o que é equivalente a

|∆θ |<∣∣∆α

′∣∣< |∆θ |h

. (4.4)

Tomando-se o limite de cada equação em 4.4, com s→ s0, vem

lims−s0

|∆θ ||s− s0|

< lims−s0

|∆α ′||s− s0|

< lims−s0

|∆θ |h |s− s0|

. (4.5)

Mas

lims−s0

|∆θ |h |s− s0|

= lims−s0

|∆θ ||s− s0|

· lims−s0

1h

= lims−s0

|∆θ ||s− s0|

,

pois, em particular, da Figura 4.2, quando s1 → s2 tem-se α ′(s1)→ α ′(s2) e, em consequên-

cia, h→ |α ′(s2)| = 1. Deste modo, concluí-se que lims→s01h = 1. Então, pelo Teorema do

Confronto, resulta que

lims−s0

|∆α ′||s− s0|

= lims−s0

|∆θ ||s− s0|

donde, pela equação 4.1, vem

|α”(s)|= lims−s0

|∆θ ||s− s0|

=∣∣∣∣dθ

ds

∣∣∣∣ .O valor de |α”(s)| representa, então, a variação do ângulo que o vetor tangente faz com a

horizontal. A este valor será dado o nome de curvatura. Portanto, percebe-se que a curvatura

mede a velocidade com que as retas tangentes mudam de direção em uma curva. Formalmente

tem-se a definição:

Definição 21. Se α : I ⊂R→R3 é uma curva regular parametrizada por comprimento de arco,

33

então a curvatura de α em s ∈ I, é o número real

k(s) = |α”(s)| .

Note que k(s) sempre será maior ou igual a zero, pois toma-se a curvatura como uma medida

escalar: o módulo do vetor derivada segunda de α(s). Entretanto, o módulo é uma propriedade

cinemática, ou seja, uma propriedade que varia conforme a parametrização utilizada. Logo,

em outras parametrizações de uma mesma curva, poderia se ter valores diferentes de curvatura

em um mesmo ponto. Por isso, a definição acima está restrita às curvas parametrizadas por

comprimento de arco. Além do mais segue que:

Proposição 4. Sejam α : I → R3 e β : I → R3 duas reparametrizações por comprimento de

arco de uma curva γ . Então,

kα(s) = |α”(s)|= |β”(s)|= kβ (s).

Geometricamente, vê-se que a reta tangente em uma curva muda de direção muito devagar

quando esta se parece com uma reta e muda de direção mais rapidamente quando a curva dobra

ou retorce de modo acentuado. Como a curvatura representa a variação do ângulo θ entre as

retas tangentes, então grandes variações de θ implica em dθ

ds relativamente grande. Olhando

para o traço de uma curva α , isso significa que onde a curva é mais fechada a curvatura é

grande e onde a curva é mais aberta a curvatura é pequena.

Figura 4.3: Curvatura.

A partir destes resultados, percebe-se, mesmo intuitivamente, que a curvatura de uma linha

reta deverá ser sempre zero e a curvatura de uma circunferência deverá ser constante, tanto

maior quanto menor for seu raio.

Exemplo 17. A reta α : I→ R3 que passa por um dado ponto u ∈ R3 e tem a direção do vetor

v∈R3, com |v|= 1, tem uma parametrização por comprimento de arco dada por α(s) = vs+u.

34

Segue que α”(s) = 0 ∀s ∈ I, e, portanto, |α”(s)| = 0 para qualquer s. Geometricamente, isso

significa que ∆θ é sempre nulo para quaisquer dois pontos α(s1), α(s2) no traço de α , ou seja,dθ

ds = 0. Assim, uma reta tem curvatura nula. A recíproca também é verdadeira, ou seja, um

segmento de uma curva tem curvatura nula se, e somente se, está contido numa reta.

Determinado o significado geométrico da curvatura ser nula, objetiva-se agora estudar os

pontos da curva onde a curvatura não se anula, ou seja, restringe-se aos casos em que k > 0.

Exemplo 18. Seja α : I→R3 uma circunferência de raio unitário no plano xy. Uma parametriza-

ção por comprimento de arco desta curva é dada por α(s) = (coss,sins,0). Então, α ′(s) =

(−sins,coss,0) e α”(s) = (−coss,−sins,0). Disso resulta que

|α”(s)|=√

(−coss)2 +(−sins)2 +02 = 1,

donde vem que uma circunferência de raio unitário tem curvatura constante e igual a 1.

Exemplo 19. De maneira geral, considerando uma circunferência qualquer, de raio r no plano

xy, uma parametrização por comprimento de arco é

α(s) =(

r cos(

sr

),r sin

(sr

),0)

,s ∈ R.

Logo,

α′(s) =

(− sin

(sr

),cos

(sr

),0)

e

α”(s) =(− 1

rcos(

sr

),−1

rsin(

sr

),0)

.

Então,

|α”(s)|=

√(− 1

rcos(

sr

))2

+(− 1

rsin(

sr

))2

+02 =

√1r2 =

1r.

Portanto, a curvatura k(s) de uma circunferência de raio r é constante e dada por

k(s) =1r∀s ∈ R.

Exemplo 20. Seja a hélice circular de eixo vertical definida por

γ(t) = (r cos t,r sin t,at), (−∞ < t < ∞)

no qual r e a são constantes reais.

Esta curva, conforme visto anteriormente, tem o seu traço contido no cilindro circular

35

x2 + y2 = r2. O número real positivo |r| é o raio da hélice. As terceiras coordenadas diferem

por um múltiplo de 2πa. Assim o número positivo 2π |a| é o passo da hélice. Ao reparametrizar

γ por comprimento de arco obtém-se

γ(s) =(

r coss√

r2 +a2,r sin

s√r2 +a2

,as√

r2 +a2

).

Inicialmente, o vetor tangente em cada ponto será dado por

γ′(s) =

1√r2 +a2

(− r sin

s√r2 +a2

,r coss√

r2 +a2,a)

.

Como

γ”(s) =−r

r2 +a2

(cos

s√r2 +a2

,sins√

r2 +a2,0)

,

tem-se que a curvaura será

k(s) = |α”(s)|= |r|r2 +a2 .

Deste modo, vê-se que a curvatura da hélice circular é constante e diminui com o crescimento

em valor absoluto de r ou de a.

Nos casos especiais em que a = 0 (com r 6= 0), a hélice circular será uma circunferência no

plano horizontal xy e de raio r, logo pelo Exemplo 19 sua curvatura será 1r . Por outro lado, no

caso em que r = 0 (com a 6= 0), o traço da hélice seria apenas uma linha reta, o próprio eixo z,

logo sua curvatura seria nula, conforme Exemplo 17. E ao se considerar, respectivamente, os

casos a < 0, r > 0 e a > 0, r > 0 têm-se os seguintes traços para a hélice circular.

Figura 4.4: Hélices circulares.

36

Estes exemplos da hélice circular mostram que a curvatura não é suficiente para identificar

completamente a forma da curva. De fato, basta observar, por exemplo, que tomando respec-

tivamente a < 0 e a > 0 o traço da hélice circular altera-se por uma rotação de π radianos em

torno do eixo z e, entretanto, a curvatura não altera-se. Mais interessante ainda é que a circun-

ferência de raio 2 no plano xy e a hélice circular de parâmetros r = a = 1 possuem curvatura

constante e iguais a 12 , apesar de serem curvas completamente diferentes em seu traço. Tais

resultados indicam, portanto, que se faz necessário introduzir um outro tipo de curvatura que

seja capaz de diferenciar cada caso.

4.2 TRIEDRO DE FRENET E TORÇÃO

Seja α : I → R3 uma curva parametrizada por comprimento de arco, então, sabe-se que

α ′(s) é um vetor unitário. Denota-se, portanto, o vetor tangente α ′(s) como sendo t(s). Segue

também que

〈t(s), t(s)〉= |t(s)| |t(s)|cos0 = 1,

e, derivando, tem-se 〈t ′(s), t(s)〉= 0, ou seja, t ′(s)⊥t(s).

Definição 22. Seja α : I → R3 uma curva regular parametrizada por comprimento de arco e

seja t(s) = α ′(s) o seu vetor tangente no ponto α(s). Se a curvatura k(s) for não nula, pode-se

definir o vetor normal de α no ponto α(s) como sendo o vetor

n(s) =α”(s)|α”(s)|

=t ′(s)k(s)

.

O vetor n(s) é uma combinação linear de t ′(s), logo resulta que n(s), além de ser um vetor

unitário, também é ortogonal a t(s). Assim, o vetor normal pode ser entendido como indicador

da direção na qual a curva está se virando em cada ponto. O plano gerado por t(s) e n(s) é

chamado de plano osculador

Definição 23. Seja α : I→ R3 uma curva regular parametrizada por comprimento de arco tal

que k(s) > 0. O vetor binormal a α em s é dado por

b(s) = t(s)×n(s).

no qual t(s)×n(s) é o produto vetorial dos vetores t(s) e n(s) em R3.

Da Definição 23 segue que b(s) é um vetor unitário ∀s, pois

|b(s)|= |t(s)×n(s)|= |t(s)| |n(s)| |sin(t(s),n(s))|

37

no qual (t(s),n(s)) é o ângulo entre os vetores t(s) e n(s). Como tal ângulo é π

2 segue que

|b(s)|= 1. Também tem-se b′(s) ortogonal a b(s), pois

|b(s)|= 1⇒ 〈b(s),b(s)〉= 1⇒⟨b′(s),b(s)

⟩= 0⇒ b′(s)⊥b(s).

Além do mais, derivando b(s) = t(s)×n(s), resulta que

b′(s) = t ′(s)×n(s)+ t(s)×n′(s).

Mas da Definição 22 vem t ′(s) = k(s)n(s) o que implica t ′(s)× n(s) = k(s)n(s)× n(s) = 0.

Portanto,

b′(s) = t(s)×n′(s),

ou seja, a equação mostra que b′(s) também é ortogonal a t(s). Então, b′(s) é paralelo a n(s),

pois b′(s)⊥b(s) e b′(s)⊥t(s). Assim existe τ = τ(s) tal que b′(s) = τ(s)n(s).

Definição 24. O número real τ(s) é denominado torção da curva em s e é definido como

b′(s) = τ(s)n(s).

Ainda pode-se escrever τ = 〈b′(s),n(s)〉. Note que a torção somente estará definida quando

a curvatura for não nula e, diferentemente da curvatura, a torção pode assumir valores negativos.

Além disso, sendo n(s) um vetor unitário, segue que |b′(s)|= |τ(s)|. Logo, como b(s) = t(s)×n(s), o módulo da torção mede a velocidade com que varia o plano osculador da curva. Em

outras palavras percebe-se que, enquanto a curvatura mede o quanto é que a curva se afasta de

estar contida em uma reta, a torção mede quanto é que a curva se afasta de estar contida num

plano.

Tem-se, então, uma nova medida de curvatura para uma curva. Uma das primeiras obser-

vações que se pode fazer em relação a esta nova medida é que se ela for nula a curva estará

contida num plano.

Teorema 3. Seja α : I→ R3 uma curva regular de curvatura não nula. Então α é planar se, e

somente se, τ = 0.

Demonstração. Seja τ(s) = 0 ∀s, logo b′(s) = τ(s)n(s) = 0 ⇒ b(s) é constante ⇒dds 〈α(s)−α(s0),b(s)〉 = 〈t(s),b(s)〉 = 0⇒ 〈α(s)−α(s0),b(s)〉 é constante. Para s = s0 tem-

se que 〈α(s)−α(s0),b(s)〉= 0, logo 〈α(s)−α(s0),b(s)〉= 0 ∀s, ou seja, α(s) é planar. Reci-

procamente, seja v um vetor ortogonal ao plano que contem α(s). Logo 〈α(s)−α(s0),v〉= 0.

Derivando tem-se que 〈α ′(s),v〉= 0 e mais 〈α”(s),v〉= 0 portanto 〈t(s),v〉= 0 e k(s)〈n(s),v〉=

38

0. Assim, v é paralelo a b(s), pois como k(s) 6= 0, v⊥n(s) e v⊥t(s) ∀s. Desse modo 〈b(s),n(s)〉=0, logo τ(s) = 〈b′(s),n(s)〉= 0 ∀s.

Geometricamente pode-se observar que se a torção é positiva, a curva volta-se para o lado

o qual aponta o vetor binormal nestes pontos. Caso contrário, se for negativa, a curva volta-

se para o lado oposto. Mas para que uma dessas duas situações aconteça, num dado ponto, é

ncessário que o vetor binormal neste ponto esteja bem definido.

Exemplo 21. Sabe-se que as retas têm curvatura zero e as circunferências têm curvatura con-

stante. Sabe-se também que uma reta e uma circunferência são ambas curvas planas. Entre-

tanto, uma circunferência apenas pode estar contida em um único plano, enquanto que uma

reta está contida numa infinidade deles (Figura 4.5). Logo, conforme teorema acima, segue

que uma circunferência tem torção nula. Apesar de uma reta também ser plana, ela não tem

torção definida devido sua propriedade de estar contida numa infinida de planos. Em geral,

sempre que a torção num ponto é diferente de zero a curva "vai para fora do plano", do plano

osculador.

Figura 4.5: Circunferência e reta.

Da Definição 23 vem que b(s) é um vetor unitário e perpendicular a t(s) e n(s), portanto,

pode-se considerar {t(s),n(s),b(s)} como uma base ortonormada de R3, ou seja, tem-se um

conjunto de vetores unitários, dois a dois ortogonais (linearmente independentes) e que geram

o espaço vetorial R3.

Definição 25. Seja α : I → R3 uma curva regular parametrizada por comprimento de arco

com k(s) 6= 0, ∀s ∈ I. O referencial móvel ortonormal {t(s),n(s),b(s)} é chamado o Triedro

de Frenet ao longo da curva α(s), no qual t(s), n(s) e b(s) são os vetores tangente, normal e

binormal, respectivamente.

A seguir mostra-se o triedro de Frenet em um ponto de uma curva regular α:

39

Figura 4.6: Triedro de Frenet.

A partir do triedro de Frenet, passa-se à estudar as propriedades de uma curva utilizando um

referencial adaptado à própria curva, ao invés de usar um referencial fixo. Assim, por meio

dele associa-se campos de vetores aos pontos da curva e estuda-se a variação destes campos ao

longo da curva.

Cada par de vetores do triedro determinar um plano. Além do plano osculador gerador por

t(s) e n(s), em cada ponto α(s) tem-se mais dois planos especiais: o plano normal gerado por

n(s) e b(s) e o plano retificante gerado por t(s) e b(s).

Figura 4.7: Planos gerados pelo Triedro de Frenet.

Exemplo 22. Obter o triedro de Frenet e a torção da hélice circular parametrizada pelo com-

primento de arco

γ(s) =(

r coss√

r2 +a2,r sin

s√r2 +a2

,as√

r2 +a2

),s ∈ R.

40

A curvaura é

k(s) = |γ”(s)|= |r|r2 +a2 .

Logo, o vetor normal será dado por

n(s) =γ”(s)k(s)

=(− cos

s√r2 +a2

,−sins√

r2 +a2,0)

e o vetor binormal por

b(s) = t(s)×n(s) =1√

r2 +a2

(asin

s√r2 +a2

,−acoss√

r2 +a2,r)

.

Assim,

b′(s) =a√

r2 +a2

(cos

s√r2 +a2

,sins√

r2 +a2,0)

.

Por último tem-se que a torção será

τ(s) =⟨b′(s),n(s)

⟩=− a√

r2 +a2.

Figura 4.8: Vetores t, n e b em dois pontos da hélice circular.

41

4.3 AS FÓRMULAS DE FRENET

As fórmulas ou equações de Frenet são obtidas pela derivação das funções vetoriais t(s),

n(s) e b(s). Mais especificamente, sabe-se que se α : I→R3 é uma curva regular parametrizada

por comprimento de arco e tal que k(s) > 0, ∀s ∈ I, então o triedro de Frenet da curva α em s

é um referencial ortonormal de R3. Portanto, pode-se obter os vetores t ′(s), n′(s) e b′(s) como

combinação linear de t(s), n(s) e b(s). Isto significa que as variações dos campos t, n e b são

expressas em funções do próprio referencial. De fato, inicialmente tem-se que:

t ′(s) = k(s)n(s),

b′(s) = τ(s)n(s). (4.6)

Considerando que n(s) = b(s)× t(s), ao derivar tem-se

n′(s) = b′(s)× t(s)+b(s)× t ′(s). (4.7)

Substituindo b′(s) e t ′(s) pelas expressões em 4.6 obtêm-se

n′(s) =−τ(s)b(s)− k(s)t(s). (4.8)

Dessa forma o triedro de Frenet definido por {t(s),n(s),b(s)}, para uma curva regular α :

I→ R3 parametrizada por comprimento de arco e com k(s) > 0, ∀s ∈ I, satisfaz as equações

t ′(s) = k(s)n(s),

n′(s) = −τ(s)b(s)− k(s)t(s), (4.9)

b′(s) = τ(s)n(s).

As equações acima foram obtidas por Serret (1819-1885) em 1851 e por Frenet (1816-

1900) em 1847. Frenet as desenvolveu em sua dissertação, mas somente as publicou em 1852.

A importância destas equações reside no fato de que por meio delas é possível obter entidades

geométricas, a curvatura k e a torção τ , que informam sobre o comportamento de uma curva em

uma vizinhança de um ponto.

42

4.4 ISOMETRIA EM R3 E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIALOCAL DE CURVAS

A partir das equações de Frenet é possível estudar o Teorema Fundamental da Teoria Local

de Curvas. Entretanto, faz-se necessário inicialmente considerar a noção de isometria. Ressalta-

se que as demonstrações de alguns resultados serão omitidas, mas podem ser encontradas em

Tenenblat (1990) e Carmo (2008).

Definição 26. Uma aplicação F : R3→ R3 é uma isometria de R3 se preserva distâncias, ou

seja, ∀p,q ∈ R3 tem-se

|F(p)−F(q)|= |p−q| .

Exemplo 23. A transformção linear T : R3→ R3 tal que T (v) = v, ou seja, a transformação

identidade, é uma isometria.

Exemplo 24. A aplicação T : R3→ R3 no qual T (v) = u+ v, para cada v ∈ R3 e u é um vetor

fixo em R3, é uma isometria denominada translação por u.

Exemplo 25. A aplicação F que para cada (x,y,z) ∈ R3 associa

F(x,y,z) = (xcosθ − ysinθ ,xsinθ + ycosθ ,z),

no qual 0 < θ < 2π é fixo, é uma isometria de R3, denominada rotação no eixo OZ.

Definição 27. Uma transformação ortogonal de R3 é uma transformação linear C : R3→ R3

que preserva produto interno, ou seja, ∀p,q ∈ R3 tem-se

〈C(p),C(q)〉= 〈p,q〉 .

Os Exemplos 23, 24 e 25 são também exemplos de transformações ortogonais. Além do

mais segue que:

Proposição 5. Toda transformação ortogonal é uma isometria.

Teorema 4. Se F : R3→R3 é uma isometria, então existe uma única translação T e uma única

transformação ortogonal C tal que F = T ◦C.

Deste modo, vê-se que toda isometria de R3 pode ser obtida de uma única forma, como

composta de uma translação e uma transformação ortogonal.

Exemplo 26. A aplicação F(x,y,z) = (2−x,3+y,z), com (x,y,z) ∈R3, é uma isometria e F =

T ◦C no qual T é a translação por (2,3,0) e C é a transformção ortogonal C(x,y,z) = (−x,y,z).

43

Proposição 6. Seja F = T ◦C uma isometria de R3, então F é diferenciável e ∀p∈R3 e v∈R3,

dFp(v) = C(v).

A proposição acima implica que dFp(v) é uma transformação ortogonal, logo:

Corolário 1. Se F é uma isometria de R3, então ∀p ∈R3, dFp preserva produto interno, isto é,⟨dFp(v),dFp(w)

⟩= 〈v,w〉 , ∀v,w ∈ R3

Portanto, se F : R3 → R3 é uma isometria, então a diferencial de F em p ∈ R3 leva uma

base ortonormal v1, v2, v3 de R3 em outra base ortonormal dFp(v1), dFp(v2), dFp(v3). Além do

mais:

Proposição 7. Sejam p, q pontos de R3, v1, v2, v3 e w1, w2, w3 referenciais ortonormais de R3.

Então existe uma única isometria F de R3 tal que F(p) = q e dFp(vi) = wi, com i = 1,2,3.

Dadas uma curva regular α e uma isometria F de R3, então F ◦α é uma curva regular que

difere de α apenas pela sua posição no espaço.

Definição 28. Duas curvas regulares α,β : I→R3 são conguentes se existe isometria F de R3

tal que β = F ◦α .

O próximo resultado relaciona o triedro de Frenet, a curvatura e a torção em pontos corres-

pondentes de duas curvas congruentes.

Proposição 8. Seja α : I→ R3 uma curva parametrizada por comprimento de arco tal que a

curvatura k(s) > 0, ∀s ∈ I. Seja F uma isometria de R3 e β = F ◦α . Então β é uma curva

regular parametrizada por comprimento de arco e ∀s ∈ I tem-se

kβ = kα ;

τβ = ±τα ;

tβ (s) = dFα(s)(tα(s));

nβ (s) = dFα(s)(nα(s));

bβ (s) = ±dFα(s)(bα(s)).

no qual kβ , τβ , etc, são a curvatura e a torção, etc, de β e os sinais ± indicam que F pode

preservar a orientação de β (+) ou inverter (−).

Pela proposição anterior, verifica-se que duas curvas congruentes têm a mesma curvatura

e a torção (a menos de sinal). O Teorema Fundamental das Teoria Local de Curvas mostra

44

que esta propriedade caracteriza as curvas congruentes. Além disso, o teorema prova que dadas

duas funções escalares diferenciáveis k(s) > 0 e τ(s), existe uma curva regular de R3 que admite

estas funções como curvatura e torção, respectivamente.

Teorema 5. (Teorema Fundamental da Teoria Local de Curvas)

i) Dadas duas funções diferenciavéis k(s) > 0 e τ(s), s ∈ I ⊂ R, existe uma curva regular

α(s), parametrizada por comprimento de arco, tal que k(s) é a curvatura e τ(s) é a

torção de α em s.

ii) A curva α(s) é única se fixar α(s0) = p0 ∈R3, α ′(s0) = v1, α”(s0) = k(s0)v2, no qual v1

e v2 são vetores ortonormais de R3.

iii) Se duas curvas α(s) e γ(s) têm a mesma curvatura e torção (a menos de sinal) então α e

γ são congruentes.

Demonstração. Inicialmente será provado iii). Para mostrar que α e γ são congruentes deve-se

mostrar que existe uma isometria F tal que γ = F ◦α . A idéia, então, é considerar a curva

β = F ◦α que é congruente a α , em seguida provar que β = γ . Seja s0 ∈ I e, por hipótese,

kα = kγ e τα = τγ (ou respectivamente, τα =−τγ ). Os índices α , β e γ denotam à curva a qual

se refere a curvatura, a torção e assim por diante. Define-se F como a isometria de R3 tal que

F(α(s0)) = γ(s0),

dFα(s0)(tα(s0)) = tγ(s0), (4.10)

dFα(s0)(nα(s0)) = nγ(s0),

dFα(s0)(bα(s0)) = bγ(s0) (respec. dFα(s0)(bα(s)) =−bγ(s0)).

Note que F assim definida associa um ponto de α com um ponto de γ . Além disso também leva

o triedro de Frenet (referencial ortonormal) do ponto α(s0) ao triedro de Frenet do ponto γ(s0).

Logo, sua existência é garantida pela Proposição 7. Seja β = F ◦α , então segue da Proposição

8 que

kα = kβ ,

τα = τβ (respec. τβ =−τα),

F(α(s0)) = β (s0),

dFα(s0)(tα(s0)) = tβ (s0), (4.11)

dFα(s0)(nα(s0)) = nβ (s0),

dFα(s0)(bα(s0)) = bβ (s0) (respec. dFα(s0)(bα(s0)) =−bβ (s0)).

45

Então da escolha de F segue que

β (s0) = γ(s0),

kβ = kα = kγ ,

τβ = τα = τγ (respec. τβ =−τα = τγ), (4.12)

tβ (s0) = tγ(s0),

nβ (s0) = nγ(s0),

bβ (s0) = bγ(s0).

Para provar que β = γ , basta mostrar que tβ = tγ , pois neste caso se terá β (s)− γ(s) constante

e como β (s0) = γ(s0) pode-se concluir que β (s) = γ(s) ∀s ∈ I. Para tanto pode-se definir a

função f : I→ R, que a cada s ∈ I associa

f (s) =∣∣tβ (s)− tγ(s)

∣∣2 +∣∣nβ (s)−nγ(s)

∣∣2 +∣∣bβ (s)−bγ(s)

∣∣2.Verifica-se facilmente que f ′(s) = 0 ∀s ∈ I, portanto f (s) é constante. Como f (s0) = 0, pois

tβ (s0) = tγ(s0), nβ (s0) = nγ(s0) e bβ (s0) = bγ(s0), concluí-se que f (s) ≡ 0. E sendo f (s)

definida como uma soma de termos estritamente positivos, segue obrigatoriamente que tβ = tγ .

i) Para provar a existência de α , basta mostrar que existe um referencial ortonormal t(s), n(s) e

b(s) que satisfaz as fórmulas de Frenet e em seguida definir α(s) =∫ s

s0t(s)ds.

Denota-se t(s) = (t1(s), t2(s), t3(s)), n(s) = (n1(s),n2(s),n3(s)), b(s) = (b1(s),b2(s),b3(s)).

Objetiva-se provar a existência de funções ti(s),ni(s),bi(s), 1≤ i≤ 3 que satisfazem o sistema

de nove equações diferenciais.

t ′i(s) = k(s)ni(s),

n′i(s) = −τ(s)bi(s)− k(s)ti(s) 1≤ i≤ 3, (4.13)

b′i(s) = τ(s)ni(s).

Segue-se do teorema da existência e unicidade de soluções de equações diferenciais lineares que

fixados os valores de ti(s0), ni(s0), bi(s0), 1 ≤ i ≤ 3, para um s0 ∈ I, existe um única solução

do sistema acima. Ou seja, esta solução é única quando se fixa um ponto s0, o vetor tangente,

normal e binormal em s0. Em particular, existe uma única solução ti(s),ni(s),bi(s), 1 ≤ i ≤ 3,

46

do sistema 4.13 quando fixa-se

t(s0) = (t1(s0), t2(s0), t3(s0)) = (1,0,0),

n(s0) = (n1(s0),n2(s0),n3(s0)) = (0,1,0),

b(s0) = (b1(s0),b2(s0),b3(s0)) = (0,0,1).

(4.14)

Prova-se agora que esta solução t(s), n(s), b(s) é um referencial ortonormal. Para isto, considera-

se o seguinte sistema de equações para as funções 〈t(s), t(s)〉, 〈n(s),n(s)〉, 〈b(s),b(s)〉, 〈t(s),n(s)〉,〈t(s),b(s)〉, 〈b(s),n(s)〉:

〈t, t〉′ = 2k 〈t,n〉 ,

〈n,n〉′ = −2τ 〈b,n〉−2k 〈t,n〉 ,

〈b,b〉′ = 2τ 〈b,n〉 ,

〈t,n〉′ = k 〈n,n〉− k 〈t, t〉− τ 〈t,b〉 , (4.15)

〈t,b〉′ = k 〈b,n〉+ τ 〈t,n〉 ,

〈b,n〉′ = τ 〈n,n〉− k 〈t,b〉− τ 〈b,b〉 .

com a condição inicial 〈t(s0), t(s0)〉 = 〈n(s0),n(s0)〉 = 〈b(s0),b(s0)〉 = 1, 〈t(s0),n(s0)〉= 〈t(s0),b(s0)〉 = 〈b(s0),n(s0)〉 = 0. A solução para este problema de valor inicial é única

e dada pelas funções

〈t(s), t(s)〉 = 〈n(s),n(s)〉 = 〈b(s),b(s)〉 ≡ 1,

〈t(s),n(s)〉 = 〈t(s),b(s)〉 = 〈b(s),n(s)〉 ≡ 0.(4.16)

De fato, basta substituir estas funções no sistema acima para verificar que formam uma solução

do sistema. Portanto, a solução de 4.13 com a condição inicial 4.14 forma um referencial

ortonormal para todo s. Além disso, b(s) = t(s)× n(s), já que esta condição é satisfeita para

s = s0 definido em 4.14.

Basta então definir a curva

α(s) =∫ s

s0

t(s)ds.

Como t(s) é um vetor unitário obtém-se que α está parametrizada por comprimento de arco s.

Além disso, α ′(s) = t(s) e α”(s) = t ′(s). Segue de 4.13 que α”(s) = k(s)n(s). Como n(s) é

unitário e k(s) > 0, tem-se que n é o vetor unitário na direção de α”, ou seja, n é o vetor normal

a α e, portanto, k(s) é a curvatura de α . Segue do fato de b(s) = t(s)× n(s), que b é o vetor

binormal a α , donde concluí-se de 4.13 que τ é a torção de α .

ii) Provar que α é única, quando fixa-se α(s0) = p0, α ′(s0) = v1, α”(s0) = k(s0)v2, no qual

47

v1 e v2 são vetores ortonormais de R3, corresponde a provar inicialmente que existe um única

solução do sistema 4.13 quando fixa-se t(s0) = v1, n(s0) = v2 e b(s0) = v1× v2. Este fato

decorre do teorema da existência e unicidade de soluções de sistemas de equações diferenciais

lineares. Obtida esta solução t(s), n(s), b(s), prova-se que é um referencial ortonormal usando

o sistema 4.15. Como a curva α deve satisfazer α ′(s) = t(s), segue que

α(s) = p0 +∫ s

s0

t(s)ds.

Seguem algumas observações decorrentes do teorema acima:

1. Em síntese, este teorema, baseado nos resultados apresentados sobre as fórmulas de

Frenet, mostra que uma curva parametrizada por comprimento de arco fica completa-

mente determinada a partir do momento que são conhecidas a sua curvatura e torção em

cada ponto.

2. Se duas curvas possuem valores iguais de curvatura e torção, então elas são conguentes.

Logo existe uma isometria F que leva uma curva na outra. Isto significa que é pos-

sível transformar qualquer uma das curvas na outra sem recorrer a deformações, ou seja,

utilizando uma isometria composta apenas por translações e transformações ortogonais.

Portanto, diz-se que a curvatura e a torção determinam completamente a forma de uma

curva a menos de sua posição no espaço.

3. Uma curva será unicamente determina quando se define um ponto, a tangente e a normal

neste ponto. Em particular, afirma-se que, além da função curvatura e da função torção,

basta se ter o ponto inicial da curva e o triedro de Frenet inicial da curva. Este fato será

melhor discutido no próximo capítulo.

5 APLICAÇÕES DO TRIEDRO DE FRENET

Conforme visto no capítulo anterior, o triedro de Frenet é parte importante na prova do teo-

rema fundamental. Neste capítulo será apresentada outra aplicação do triedro, em especial das

fórmulas de Frenet: a caracterização das hélices. Posteriormente, também faz-se um estudo,

com auxílio do software Mathematica, de uma hélice circular parametrizada por comprimento

de arco, no qual busca-se determiná-la em termos de curvatura e torção.

5.1 CARACTERIZAÇÃO DAS HÉLICES

Existem casos particulares de classes de curvas que têm a mesma propriedade.

Exemplo 27. A hélice circular parametrizada pelo comprimento de arco do Exemplo 22 tem

a propriedade de que o vetor tangente forma um ângulo constante com o eixo Oz. Em outras

palavras existe um vetor unitário, que neste caso é v = (0,0,1), tal que o ângulo entre t(s) e v

é constante. Com efeito, tem-se que

〈t(s),v〉= |t(s)| |v| cosθ(s).

Conforme no Exemplo 20, o seu vetor tangente é dado por

t(s) =1√

r2 +a2

(− r sin

s√r2 +a2

,r coss√

r2 +a2,a)

.

Além do mais |v|= 1 e |t(s)|= 1 ∀s ∈ I. Disso resulta que

cosθ(s) = 〈t(s),v〉

=⟨

1√r2 +a2

(− r sin

s√r2 +a2

,r coss√

r2 +a2,a)

,(0,0,1)⟩

=a√

r2 +a2,

donde vem

θ(s) = arccosa√

r2 +a2,

49

ou seja, o ângulo θ entre t(s) e v é constante para todo s.

As curvas que satisfazem uma propriedade como esta são chamadas de hélices generaliza-

das ou, simplesmente, hélices. Assim, tem-se:

Definição 29. Uma curva regular α : I → R3 é uma hélice generalizada, se existe um vetor

unitário v que forma um ângulo constante com α ′(t), ∀t ∈ I, isto é, 〈α′(t),v〉|α ′(t)| é constante. O vetor

v é dito eixo da hélice.

Exemplo 28. A curva α(t) = (et cos t,et sin t,et), t ∈R3 é uma hélice, pois α ′(t) também forma

um ângulo constante com o vetor (0,0,1).

Exemplo 29. Toda curva plana é uma hélice generalizada. De fato, em uma curva plana o

vetor binormal b(s) não depende de s, ou seja, é constante b(t) = b ∀t.

Proposição 9. Seja α : I→ R3 uma curva regular de curvatura e torção não nulas. Então α é

uma hélice se, e somente se, kτ

é constante.

Demonstração. Pode-se supor que α é parametrizada por comprimento de arco. Se α é uma

hélice, então existe um vetor unitário v tal que 〈α ′(s),v〉 é constante. Portanto, 〈α”(s),v〉= 0⇒〈k(s)n(s),v〉 = k(s)〈n(s),v〉 = 0. Como k(s) 6= 0, segue que 〈n(s),v〉 = 0, isso significa que v

e n(s) são ortogonais, logo v pertence ao plano determinado por t(s) e b(s), para cada s ∈ I.

Então, seja

v = cosθ(s)t(s)+ sinθ(s)b(s).

Derivando tem-se

0 = −sinθ(s)θ ′(s)t(s)+ cosθ(s)t ′(s)+

+ cosθ(s)θ ′(s)b(s)+ sinθ(s)b′(s). (5.1)

E utilizando as fórmulas de Frenet segue que

0 = −sinθ(s)θ ′(s)t(s)+

+(k(s)cosθ(s)+ τ(s)sinθ(s))n(s)+

+ cosθ(s)θ ′(s)b(s). (5.2)

Portanto, ∀s ∈ I

sinθ(s)θ ′(s) = 0

cosθ(s)θ ′(s) = 0 (5.3)

k(s)cosθ(s)+ τ(s)sinθ(s) = 0.

50

As duas primeiras equações determinam θ ′(s) = 0, ∀s ∈ I. Com efeito, segue que

(sinθ(s)θ ′(s))2 +(cosθ(s)θ ′(s))2 = 0 donde vem θ ′(s)2(sin2θ(s)+cos2 θ(s)) = 0⇒ θ ′(s) =

0. Portanto θ(s) é constante. Além disso, a constante cosθ é não nula, pois caso contrário

tem-se τ(s)sinθ = 0 com obrigatoriamente sinθ 6= 0 o que resulta em τ(s) = 0, contradizendo

a hipótese. Assim, segue da terceira igualdade que

kτ

=− sinθ

cosθ,

ou seja, kτ

é constante. Reciprocamente, se kτ

é constante, fixa-se θ tal que tanθ =− kτ. Então

v = cosθ t(s)+ sinθb(s)

é um vetor unitário constante e tal que ∀s ∈ I 〈t(s),v〉 = cosθ é constante. Portanto α é uma

hélice.

Pela Proposição 9 vê-se que a descrição de uma determinada família de curvas com pro-

priedades comuns, no caso as hélices, é completa com a obtenção de uma caracterização dessas

curvas em termos de curvatura e torção.

5.2 CARACTERIZAÇÃO DE UMA HÉLICE CIRCULAR EM TERMOSDE CURVATURA E TORÇÃO POR MEIO DO SOFTWARE MATHE-MATICA

Nesta seção, com auxílio do software Mathematica, é feito um estudo para se obter, em

termos de curvatura e torção, o traço da hélice circular parametrizada por comprimento de arco

de raio r = 8 e passo 8π , ou seja, com a = 4, e definida por

γ(s) =(

8coss√80

,8sins√80

,4s√80

)s ∈ [0,+∞). (5.4)

Assim, identifica-se num primeiro momento quais os valores adequados de curvatura e torção

com as quais se tem uma hélice circular acima e, em seguida, implementa-se tais resultados

computacionalmente.

No software Mathematica, uma visualização prévia do traço de γ é dada simplesmente

quando define-se:

ParametricPlot3D[{8Cos[t/Sqrt[80]],8Sin[t/Sqrt[80]],4t/Sqrt[80]},

{t,0,200}].

51

Figura 5.1: Hélice circular com r = 8 e a = 4.

Em Picado (2006) encontra-se um algoritmo na linguagem do software Mathematica no

qual é possível aplicar o teorema fundamental. Inicialmente é necessário definir a sintaxe abaixo

como segue:

plotintrinsic3d[{kk_,tt_}, {a_:0,{p1_:0,p2_:0,p3_:0},

{q1_:1,q2_:0,q3_:0}, {r1_:0,r2_:1,r3_:0}},

{smin_:10,smax_:10}, opts___]:=

ParametricPlot3D[Module[{x1,x2,x3,t1,t2,t3,

n1,n2,n3,b1,b2,b3},{x1[s],x2[s],x3[s]}/.

NDSolve[{x1'[ss]==t1[ss],

x2'[ss]==t2[ss],

x3'[ss]==t3[ss],

t1'[ss]==kk[ss]n1[ss],

t2'[ss]==kk[ss]n2[ss],

t3'[ss]==kk[ss]n3[ss],

n1'[ss]==-kk[ss]t1[ss]-tt[ss]b1[ss],

n2'[ss]==-kk[ss]t2[ss]-tt[ss]b2[ss],

n3'[ss]==-kk[ss]t3[ss]-tt[ss]b3[ss],

52

b1'[ss]==tt[ss]n1[ss],

b2'[ss]==tt[ss]n2[ss],

b3'[ss]==tt[ss]n3[ss],

x1[a]==p1, x2[a]==p2, x3[a]==p3,

t1[a]==q1, t2[a]==q2, t3[a]==q3,

n1[a]==r1, n2[a]==r2, n3[a]==r3,

b1[a]==q2 r3 - q3 r2,

b2[a]==q3 r1 - q1 r3,

b3[a]==q1 r2 - q2 r1},

{x1,x2,x3,t1,t2,t3,n1,n2,n3,b1,b2,b3},{ss,smin,smax}]]

//Evaluate,{s, smin,smax}, opts]

Pode-se dizer que o algoritmo acima é construído com base na demostração da parte i) do

teorema fundamental. Assim, em {kk_,tt_} defini-se kk como sendo a curvatura e tt como

sendo a torção. Logo após define-se os valores de ti, ni e bi com i = 1,2,3, componentes dos

vetores tangente, normal e binormal, segundo as fórmulas de Frenet. Os valores em pi, qi e ri

correspondem as condições iniciais, ou seja, representam respectivamente um ponto da curva,

a tangente e a normal neste ponto.

Após definida a sintaxe basta escrever, por exemplo,

plotintrinsic3d[{1&,0&},{0,{0,0,0},{1,0,0},{0,1,0}}, {-10,10},

PlotPoints −> 1000].

Observe que em {1&,0&} o valor 1 representa a curvatura e o valor 0 representa a torção. Como

são valores constantes, a única curva que satisfaz estas condições é uma circunferência de raio

1 (Figura 5.2). Para se obter uma reta pode-se considerar a curvatura sendo 0 e uma torção

qualquer, constante ou não, sendo 1 por exemplo (Figura 5.3).

53

Figura 5.2: Circunferência com k = 1 e τ = 0.

Figura 5.3: Reta com k = 0 e τ = 1.

Conforme Exemplos 20 e 22, a hélice circular tem curvatura constante k > 0 e torção con-

stante τ em todos os seus pontos no qual

k =r

r2 +a2 e τ =− ar2 +a2 .

Ao considerar r = 8 e a = 4, da hélice definida em 5.4, tem-se k = 880 = 0.1 e τ =− 4

80 =−0.05.

Logo, atribuindo-se k = 0.1 e τ =−0.05, escreve-se:

plotintrinsic3d[{0.1&,-0.05&},{0,{0,0,0},{1,0,0},{0,1,0}},{0,200},

PlotPoints −> 1000]

e o gráfico gerado é:

54

Figura 5.4: Hélice circular gerada para k = 0.1 e τ =−0.05.

Note, portanto, que o traço acima é diferente do traço de γ e, contudo, ambos são traços de

hélices circulares. Em particular, percebe-se que a curvatura k = 0.1 e a torção τ = −0.05 são

capazes de determinar por completo não apenas uma única hélice circular, mas uma família de

hélices circulares. Isso sugere o que já foi evidenciado no teorema fundamental e, em particular,

para as hélices, o que foi visto na Proposição 9.

Esta observação também pode ser estendida para os exemplos da reta e da circunferência.

No caso da circunferência o que se tem não é apenas uma, mas uma infinidade de circunfe-

rências cuja curvatura é 1 e torção é 0. Basta pensar na quantidade de circunferências de raio

unitário que se pode obter no plano xy apenas alterando o seu centro.

Mas, então, surge a pergunta: como determinar a hélice circular da Figura 5.1? É certo que

a curvatura e a torção não são suficientes. Precisa-se, então, de algo a mais que diferencie uma

hélice circular da outra. De fato, quando se escreveu o algoritmo que culminou na determi-

nação da Figura 5.4 outras medidas estavam associadas como {0,0,0}, {1,0,0}, {0,1,0} e

{0,200}. Este último refere-se a variação do parâmetro s utilizado no software, ou seja, s varia

de 0 à 200. Já os demais referem-se, respectivamente, ao ponto inicial da curva, a tangente e a

normal, ambas também no ponto inicial da curva.

Assim, da parte ii) do teorema fundamental, vê-se que uma curva é única quando se fixa um

ponto inicial s0, a tangente e a normal neste ponto. Logo, para a hélice circular γ , sendo s0 = 0,

basta encontrar os valores γ(0), t(0) e n(0) e, assim, substituí-los no algoritmo.

55

Segue que

γ(0) = (8,0,0),

t(0) =(

0,8√80

,4√80

), (5.5)

n(0) = (−1,0,0).

Logo escreve-se

plotintrinsic3d[{0.1&,-0.05&},{0,{8,0,0},{0,8/Sqrt[80],4/Sqrt[80]},

{-1,0,0}},{0,200},PlotPoints −> 1000],

e o resultado obtido é o seguinte:

Figura 5.5: Hélice circular gerada para k = 0.1, τ =−0.05 e os valores de γ(0), t(0) e n(0).

Confirma-se, então, por meio da caracterização de uma hélice circular, que uma curva fica

definida de maneira única por quatro informações:

1. A função curvatura k(s) > 0;

2. A função torção τ(s);

56

3. Um ponto da curva;

4. O triedro de Frenet neste ponto da curva.

Em particular, para a implementação no software, tomou-se este ponto como sendo o ponto

inicial da curva.

Agora, seja α a hélice circular cujo traço é dado pela Figura 5.4. Conforme visto, se duas

curvas têm as mesmas funções curvatura k(s) > 0 e torção τ(s), então existe uma isometria que

transforma uma na outra, ou seja, deve existir F = T ◦C, composta de uma translação e uma

transformação ortogonal, tal que γ = F ◦α .

Para determinar F define-se a transformação linear C : R3→ R3 tal que

C(1,0,0) =(

0,8√80

,4√80

),

C(0,1,0) = (−1,0,0),

C(0,0,1) =(

0,− 4√80

,8√80

).

Como ∀(x,y,z) ∈ R3 tem-se

(x,y,z) = x(1,0,0)+ y(0,1,0)+ z(0,0,1),

resulta que

C(x,y,z) = xC(1,0,0)+ yC(0,1,0)+ zC(0,0,1)

=(− y,

8√80

x− 4√80

z,4√80

x+8√80

z)

.

Como os referenciais são ortonormais, segue-se da definição de C que C preserva produto

interno. Portanto é uma transformação ortogonal.

Seja T a translação por (8,0,0)+C(0,0,0) = (8,0,0). Então a isometria F = T ◦C satisfaz

F(0,0,0) = T (C(0,0,0)) = T (0,0,0) = (8,0,0).

Conforme Proposição 6 tem-se

dF(0,0,0)(1,0,0) = C(1,0,0) =(

0, 8√80

, 4√80

),

dF(0,0,0)(0,1,0) = C(0,1,0) = (−1,0,0),

dF(0,0,0)(0,0,1) = C(0,0,1) =(

0,− 4√80

, 8√80

).

57

E da Proposição 7 vem que essa isometria é única. Logo, pode-se escrever F como sendo

F(x,y,z) = T (C(x,y,z))

= (8,0,0)+C(x,y,z)

=(

8− y,8√80

x− 4√80

z,4√80

x+8√80

z)

.

Deste modo tem-se que o ponto inicial γ(0) da curva e o triedro de Frenet em γ(0) cor-

respondem, respectivamente, à translação e à transformação ortogonal realizados a partir de α

para se obter γ . De fato, considerando que α é uma curva parametrizada por comprimento de

arco, ela é definida como

α(s) =(

64sins/√

80√80

+16s80

,8−8coss√80

,−32sins/

√80√

80+

32s80

).

no qual seu traço é o da Figura 5.4. Então, tomando F ◦α tem-se

F(α(s)) =(

8coss√80

,8sins√80

,4s√80

)= γ(s).

Portanto, vê-se que γ = F ◦α , ou seja, F é a isometria que leva o traço de α no traço de γ .

6 CONCLUSÕES

Ao se desenvolver este trabalho, uma pesquisa bibliográfica em geometria diferencial res-

trita ao estudo local de curvas, destacam-se dois aspectos importantes. O primeiro refere-se à

aplicação dos conhecimentos matemáticos adquiridos durante a graduação. O segundo refere-

se às conclusões obtidas a partir das perguntas diretrizes inicialmente desenvolvidas no projeto,

quais sejam, investigar qual é a importância do Triedro de Frenet e em quais circunstâncias

contribui para a teoria local de curvas.

De fato, na tentativa de construir um texto introdutório, mais didático e compreensível,

ressalta-se a importância e a contribuição do cálculo diferencial e integral, da álgebra linear

e da geometria analítica. Em particular destaca-se que, ao se restringir o estudo às curvas

parametrizadas regulares, então pelas definições do triedro de Frenet, de curvatura e torsão

pode-se deduzir as equações de Frenet. A partir delas estuda-se o Teorema Fundamental da

Teoria local de Curvas, pelo qual é possível observar que a curvatura e a torção determinam

completamente a forma de uma curva, a menos de sua posição no espaço. Logo, dadas duas

funções escalares diferenciáveis k(s) > 0, τ(s), um ponto s0 da curva e o triedro de Frenet em

s0 (na verdade, apenas t(s) e n(s)) existe exatamente uma curva que satisfaz estas condições.

Fato que ficou evidente ao se estudar o exemplo de uma hélice circular parametrizada por com-

primento de arco.

De maneira geral, a partir das abordagens e estudos realizados, buscou-se muito mais do que

conhecer um pouco sobre a teoria local de curvas, mas sim ser capaz de elaborar um material

de estudo que surge no intuito de auxiliar à acadêmicos de Licenciatura em Matemática da

UNEMAT num primeiro contato com geometria diferencial. Talvez essa abordagem inicial

também possa se apresentar futuramente como um caminho interessante, estimulando em outros

acadêmicos um maior desenvolvimento de seu estudo ou servindo como propulsora para que

novos temas, aparentemente desconhecidos em nosso curso, possam começar a ser discutidos e

trabalhados.

59

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BISPO, A. P.; MARTINS, R. de A. Gauss e a origem da geometria diferencial. VI SeminárioNacional de História da Matemática, 2005.

CARMO, M. P. do. Pesquisa em geometria diferencial no brasil. Revista MatemáticaUniversitária, n. 26/27, p. 01–27, Junho/Dezembro 1999.

CARMO, M. P. do. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. Rio de Janeiro: SociedadeBrasileira de Matemática, 2008.

CUNHA, M. T. Curvas no Plano e no Espaço. Universidade Federal de Minas Gerais, 2008.Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/∼tcunha/CalcIII08/07Curvasv2.pdf>.

HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Álgebra linear. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos,1979.

LIMA, E. L. Álgebra linear. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2008.

PICADO, J. Apontamentos de Geometria Diferencial. Coimbra: Universidade de Coimbra,2006. Disponível em: <http://www.mat.uc.pt/∼picado/geomdif/Apontamentos/sebenta.pdf>.

SILVA, M. N. da. Teoria Local de Curvas. Universidade Estadual do Vale do Acaraú, 2007.Disponível em: <http://www.sobralmatematica.org/preprints/curvatura.pdf>.

STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2006.

TENENBLAT, K. Introdução à Geometria Diferencial. Brasília: Universidade de Brasília,1990.

60

APÊNDICE A -- BREVE APRESENTAÇÃO DO SOFTWAREMATHEMATICA

Em particular, esta seção foi desenvolvida para mostrar alguns conceitos básicos do soft-

ware Mathematica, principalmente para entender alguns dos recursos que foram utilizados no

capítulo 4.

Inicialmente destaca-se o fato de que é um software extremamente abrangente e completo,

capaz de efetuar cálculos numéricos, operar expressões algébricas, gerar uma grande variedade

de diferentes tipos de gráficos e produzir documentos com alta qualidade para impressão. Ali-

ado a isso destaca-se sua poderosa linguagem de programação que permite estender seu uso

para aplicações que atendam a necessidades específicas como, por exemplo, cálculo estrutural,

séries temporais, redes neurais, etc.

O Mathematica é um software comercial que deve ser adquirido no site da produtora

(http://store.wolfram.com) ou em empresas autorizadas. Mas existem licenças especiais para

pessoas físicas, estudantes, governos e universidades, cada qual com seus recursos e limitações.

O preço varia de acordo com a licença escolhida, a versão profissional padrão custa aproxi-

madamente US$ 2.000. Para aqueles que desejam apenas testar o programa e os recursos, a

Wolfram Research Inc. oferece uma versão shareware que funciona por 15 dias e possui todas

as funções da versão completa, contudo não se pode salvar os cálculos efetuados. Para isso,

basta acessar o site http://www.wolfram.com/products/mathematica/trial.cgi.

Assim que você abre o programa, desconsiderando a tela de tutorial, esta é a interface

padrão da versão 6.0 do Mathematica:

61

Figura A.1: Interface do software Mathematica 6.0.

As operações aritméticas simples são similares a todos os programas de cálculos no com-

putador. Como as versões do Mathematica são em inglês os seus comandos também o são. Para

serem executados devem ser confirmados com shift+ENTER ou ENTER do teclado numérico.

Abaixo seguem os principais:

1.Adição - Sinal de mais (+);

2.Subtração - Sinal de menos (-);

3.Multiplicação - Asterisco (*) ou espaço ( );

4.Divisão - Barra ( / ) ou ctrl+ barra (/);

6.Raiz Quadrada - digita-se Sqrt (com inicial maiúscula) com o valor desejado entre colchetes

ou ctrl+2 e ctrl+espaço para sair;

7.Valor Numérico - digita-se N e o valor Numérico desejado entre colchetes;

8.Valor Absoluto ou Módulo - digita-se Abs e o valor desejado entre colchetes;

9.Solve - o comando Solve é usado para resolução de equações de qualquer grau. Digita-se

Solve com o valor desejado entre colchetes e na hora de igualar tem que digitar dois

iguais (==);

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10.Simplify - Este comando ajuda a simplificar valores, digitando Simplify e o valor desejado

entre colchetes.

A maioria das funções em Mathematica faz uso de argumentos e estes devem ser colocados

entre colchetes [...]. Por exemplo, Sin[x]. Dois ou mais argumentos ou informações são

separados por vírgulas. As chaves, {...}, são usadas para construir uma lista. Normalmente são

usadas para permitir que vários objetos sejam tratados como um só. Parênteses, (...), são usados

para agrupar os termos.

Para se fazer um gráfico de uma função de uma variável neste software, digita-se basica-

mente Plot[f[x],x,xmin,xmax]. Caso se trate do gráfico de uma circunferência, por exem-

plo, utiliza-se o comando ParametricPlot:

Sintaxe: ParametricPlot[x(t),y(t),x,xmin,xmax,y,ymin,ymax]

Para os gráficos em 3D o comando básico para plotar é: Plot3D, que mostra gráficos de

2 variáveis em 3D. Sintaxe: Plot3D[f[x,y],x,xmin,xmax,y,ymin,ymax]. É possível tam-

bém, além de parametrizar gráficos em 2D, proceder da mesma forma no espaço. Basta escrever

a mesma sintaxe com uma variável a mais. Observe:

ParametricPlot3D[x(t),y(t),z(t),t,tmin,tmax]

Para resolver equações basta utilizar o comando:

Solve[(lado direito da equação) == (lado esquerdo da equação), incógnita].

Sistemas de equação tem sintaxe semelhante: Solve[eq1,eq2,...,eqN,incógnitas]. Este

comando é capaz de resolver equações (e sistemas de equações) literais, numéricas, trigonométri-

cas, entre todos os tipos de funções (com uma restrição: não devem ultrapassar grau 4).

Em se tratando de equações diferenciais e sistemas sabe-se que existem inúmeros tipos,

podendo ser homogêneas ou não, lineares, ordens variadas, coeficientes variáveis, constantes

etc. No software Mathematica todas elas podem ser resolvidas utilizando-se basicamente um

único comando, DSolve. A sintaxe do comando é a seguinte:

DSolve[equação,função,var.independente].

Por exemplo, quando se calcula a função y(x), deve-se fazer: DSolve[equação,y[x],x].

Para resolver problemas de valores iniciais (PVIs), basta modificar a sintaxe da função para

receber uma lista de equações, de modo a ficar da seguinte forma:

DSolve[equação,cond1,cond2,...,y[x],x].

Na resolução de sistemas de equações diferenciais, da mesma forma que nos PVIs, nova-

mente é requerida uma alteração na sintaxe para a adição de mais equações, assim :

DSolve[equação1,equação2,...,cond1,cond2,...,y1[x],y2[x]...,x].

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Na maioria dos casos, é necessário recorrer à solução numérica. Para isso, usa-se o comando

NDSolve, fixando o valor numérico das condições iniciais.

Para aprender mais sobre o Mathematica, abaixo seguem duas sugestões de sites que foram

consultados para escrever esta breve apresentação e nos quais pode-se encontrar tutoriais e

materiais de apoio com inúmeros exemplos referente a este software.

http://www.ime.unicamp.br/∼marcio/tut2005/mathematica/

http://www.wolfram.com/