UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

Juvenal de Gouveia

A NOÇÃO DE FUNÇÃO:

UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM

São Paulo

2014

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

Juvenal de Gouveia

A NOÇÃO DE FUNÇÃO:

UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM

Trabalho submetido à banca examinadora

da Universidade Bandeirante de São Paulo,

como exigência para defesa de tese para

obtenção do título de Doutor em Educação

Matemática, sob a orientação da Professora

Doutora Marlene Alves Dias e

coorientação da Professora Doutora Tânia

Maria Mendonça Campos.

São Paulo

2014

Banca Examinadora

Presidente e Orientadora

Marlene Alves Dias

Titulação: Doutora em Matemática – Universidade Dennis Diderot - Paris 7

Instituição: Universidade Anhanguera.

Assinatura: ________________________________

2º Examinador: Coorientadora

Tânia Maria Mendonça Campos

Titulação: Doutora em Matemática


Assinatura: ________________________________

3º Examinador

Frederico da Silva Reis

Titulação: Doutor em Educação Matemática

Instituição: Universidade Federal de Ouro Preto

Assinatura: ________________________________

4º Examinador: Divanízia do Nascimento Souza

Titulação: Doutora em Tecnologia Nuclear

Instituição: Universidade Federal de Sergipe

Assinatura: ________________________________ 5º Examinador: Angélica Fontoura Garcia

Titulação: Doutora em Educação - PUC - SP


Assinatura: ________________________________

AGRADECIMENTOS

Agradeço inicialmente à minha orientadora, Marlene Alves Dias, pelas

incansáveis revisões dos textos preliminares deste trabalho, mas que, com

suas observações, sugestões e sabedoria, fizeram esta obra tomar forma e se

concretizar.

À minha coorientadora, Tânia Maria Mendonça Campos, pelas ideias sempre

pertinentes, pelas oportunidades que me concedeu, e por seus conselhos que

me fizeram crescer enquanto pessoa e educador.

Aos professores da banca de qualificação e defesa, Frederico, Divanízia, Maria

Elisabette, pelas observações, apontamentos e sugestões, permitindo que o

trabalho tomasse o rumo acadêmico pretendido.

À minha esposa Dalva e meus filhos Tatiana e Bruno, que pacientemente,

aguardaram esse período da minha vida, com total compreensão.

A todos os professores da UNIBAN, que participaram da minha formação.

À CAPES, por permitir, por meio da bolsa de estudo disponibilizada, que eu

realizasse meu sonho.

À Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, que me apoiou nas

pesquisas tanto relativas a dados sobre o SARESP, quanto na disponibilização

de professores e alunos respondendo questionários ou participando de testes.

À minha amiga, Patrícia Monteiro, da SEE, que foi uma das responsáveis por

eu ter iniciado esse curso, e pelas discussões que tivemos ao longo deste

trabalho, nos momentos de estudo ou de tarefas, e que me fizeram refletir e

consolidar as ideias que, de alguma forma, estão inseridas nesta obra.

À prof.ª Angélica da SEE e da UNIBAN, que também foi uma das responsáveis

por eu ter iniciado esse curso, e também por suas ideias e apontamentos sobre

os textos preliminares.

À minha amiga, Márcia, da Diretoria de Ensino de Suzano, que viabilizou os

contatos com as professoras Andiara e Laudimara, para aplicação dos testes

com seus alunos.

A todos os Professores Coordenadores das Oficinas Pedagógicas que me

ajudaram na coleta de dados.

Aos Professores Michèle Artigue, Janine Rogalski e Mark Rogaslki, pelas

sugestões dadas a este trabalho, enriquecendo-o de detalhes.

RESUMO

Neste trabalho de pesquisa identifica-se a forma como a noção de função é

tratada pelos materiais de apoio ao ensino dos estudantes da rede de ensino

da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, e assim apontam-se como

esses materiais têm influenciado o trabalho do professor em sala de aula e os

resultados do sistema educacional paulista frente às avaliações em larga

escala, quanto ao conceito de função. Dessa forma, analisando e comparando

diversos materiais referentes à educação básica, incluindo documentos oficiais

brasileiros e franceses, livros didáticos dos dois países e os Cadernos do

Professor e do Aluno introduzidos na rede de ensino paulista nos anos de 2008

e 2009, comparamos as abordagens adotadas no ensino da noção de função.

O trabalho contou ainda com uma pesquisa a um grupo de professores por

meio de formulários e um teste com duas turmas de estudantes, uma turma de

um professor que supostamente utiliza os Cadernos em suas aulas e outra

turma de um professor que supostamente utiliza os Livros Didáticos. A

pesquisa com os professores teve a intenção de verificar a maneira deles

trabalharem o conceito de função em sala de aula e compará-la à abordagem

trazidas pelos materiais de apoio de forma a detectar qual desses materiais o

professor coloca em prática em suas aulas. O teste com as turmas de

estudantes teve a intenção de verificar em qual delas os resultados às

questões relacionadas ao conceito de função se apresentariam mais eficiente.

O cruzamento dessas análises, à luz da teoria antropológica do didático

(CHEVALLARD, 1992), forneceu material suficiente para uma reflexão a

respeito do trabalho que o professor faz em sala de aula, ao se defrontar com

diversos materiais de apoio que lhe são oferecidos, e confrontar a abordagem

utilizada por esses materiais com as diferentes técnicas e tecnologias trazidas

da formação inicial e continuada desse professor, e de que forma ele gerencia

os pontos positivos e negativos dessa miscigenação.

Palavras-chave: Função, Caderno do Professor, Caderno do Aluno, Livro Didático, Teoria Antropológica do Didático.

RESUMÉ Dans ce travail de recherche, nous avons identifié la façon dont la notion de

fonction est assurée par les matériaux de support à l’enseignement, concernant

le réseau d’enseignement de la “Secretaria de Educação de São Paulo”. Nous

soulignons ainsi, comment ces matériaux ont influencé le travail de l'enseignant

dans la classe, ainsi que les résultats du système éducatif de São Paulo par

rapport aux évaluations à grande échelle considérant le concept de fonction.

Ainsi, l'analyse et la comparaison de divers documents relatifs à l'éducation de

base comprenant: les documents officiels Brésiliens et Français, les manuels

des deux pays, les cahiers de l’enseignant et des élèves introduits dans le

système scolaire de São Paulo en 2008 et 2009, ont permis d’identifier les

régularités et différences dans les approches adoptées pour l'enseignement de

la notion de fonction dans les deux pays. Cette recherche a également inclus

une enquête sur un groupe d'enseignants utilisant un questionnaire et un test

avec deux groupes d'étudiants. Le premier groupe d’étudiants utilise les cahiers

de l’enseignant et de l’élève pour développer le travail dans sa classe. L’autre

groupe d’étudiants utilise les manuels pour développer le même travail.

L’enquête auprès des enseignants a pour but de vérifier la façon d’introduire le

concept de fonction en classe, puis de comparer les approches avec les

matériaux de support. Le but, étant de détecter quels sont les matériaux mis en

pratique par l’enseignant. Le test avec les deux groupes d’étudiants vérifie

quels matériaux se rapportant aux questions relatives à la notion de fonction

semblent le plus efficaces. Le croisement de ces analyses, à la lumière de la

théorie anthropologique de la didactique - TAD de Chevallard, a fourni un

matériel suffisant permettant d’avancer sur la réflexion concernant le travail des

deux enseignants dans leurs classes. C’est en confrontant l’approche mise en

place par les matériaux de support, les différentes techniques et technologies

relatives à la formation initiale et continue des deux enseignants;que nous

avons pû observer comment ceux-ci, gèrent les points positifs et négatifs dû à

ce métissage.

Mots-clés: Fonction, Cahier de l’Enseignant, Cahier de l'Élève, Théorie

Anthropologique de la Didactique.

ABSTRACT

The propose of the present work is to identify in which way the notion of

function is managed by the teaching support materials students of the

Education Department of Sao Paulo State, and so, show how these materials

have affected the work of the teacher in the classroom, and the outcomes of

paulista educational system face of large-scale assessments, as the concept of

function.

Thereby, analyzing and comparing several kinds of materials related to

education, including official documents from Brazil and France, textbooks from

both countries and the workbooks from students and teachers, introduced on

paulista educational system between 2008 and 2009, we compared the

selected methodology on teaching of function notion.

The present work relies a group of teachers research by means of forms and a

test with two different classes of students, in one of these groups, teacher was

supposed to work with workbook on his classes, in the other, teacher works with

the textbook.

The research made with teachers, was intended to verify their ways to work with

the function concept in the classes and compare it with the support materials

methodology, seeking identify which of these materials can really be applied on

the classes. The aim of this test was to verify on which one of these classes,

questions related with function would produce more effective results.

The crossover of these information, and the conception of anthropological

theory of the didactic (CHEVALLARD, 1992), together, provided enough

material to reflect regarding the real job developed by teacher in the classroom,

dealing with several support materials offered, and comparing the used

methodology in these materials with the different techniques and technologies

brought from the initial and continuing training of this teacher, and how he

manages the positives and negatives points of this miscegenation.

Key-words: Function, Teacher’s Workbook, Student’s Workbook, Textbook,

Praxeology.

SUMÁRIO

1 – INTRODUÇÃO ........................................................................................... 17

2 – PROBLEMATICA E OBJETIVOS ............................................................... 23

3 – REFERENCIAL TEÓRICO ......................................................................... 27

3.1 – Teoria Antropológica do Didático ......................................................... 28

3.2 – Registros de Representação Semiótica ............................................... 44

3.3 - Níveis de Conhecimentos Esperados dos Estudantes ......................... 50

4 – UMA BREVE HISTÓRIA SOBRE FUNÇÕES ............................................ 55

5 – METODOLOGIA ......................................................................................... 63

5.1 – Descrição das características da pesquisa relativa aos documentos

oficiais ........................................................................................................... 65

5.2 – Descrição das características da pesquisa relativa aos Cadernos do

Professor e do Aluno e Livros Didáticos ....................................................... 65

5.3 – Descrição das Análises das Avaliações – SAEB e SARESP ............... 68

5.4 – Descrição das características da pesquisa relativa aos professores ... 69

5.5 – Descrição das características da pesquisa relativa aos alunos ........... 76

6 – ANÁLISES DOS DOCUMENTOS OFICIAIS .............................................. 81

6.1 – Documentos oficiais da União ............................................................. 82

6.1.1 – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB ............... 82

6.1.2 - Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – DCNEM

1998 .......................................................................................................... 84

6.1.3 Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental ..... 85

6.1.4 Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio ................ 89

6.1.5 – Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros

Curriculares Nacionais .............................................................................. 91

6.1.6 – Orientações Curriculares para o Ensino Médio ............................. 96

6.1.7 – Programa Curricular Francês ........................................................ 98

6.2 – Documentos Oficiais do Estado de São Paulo .................................. 102

6.2.1 – Proposta Curricular do Estado de São Paulo .............................. 102

6.2.2 – Currículo do estado de São Paulo............................................... 106

7 – ANÁLISE DOS CADERNOS DO PROFESSOR E DO ALUNO E DE

LIVROS DIDÁTICOS ...................................................................................... 109

7.1 – Análise dos Cadernos do Professor e do Aluno ................................ 109

7.1.1 – Caderno do 9º Ano do Ensino Fundamental – Vol. 2 .................. 114

7.1.2 – Caderno da 1ª série do Ensino Médio – Vol. 2 ............................ 124




7.2 – Análise de Livros Didáticos ................................................................ 172

7.2.1 – Tudo é Matemática – Dante 8ª série – 2005 ............................ 172

7.2.2 – Bezerra Matemática – 2º Grau – 1994 – Volume Único .............. 180

7.2.3 – Matemática Ensino Médio – Kátia Smole e Maria Ignez Diniz –

2010 ........................................................................................................ 193

7.2.4 – Mathématiques – Colletion Phare. Brault, Roger et al. Classe de

troisième .................................................................................................. 211

7.2.5 – Declic Mathématiques. Beltramone, Jean-Paul, et al. Classe de

seconde ................................................................................................... 217


première .................................................................................................. 220


terminale ................................................................................................. 221

8 – ANÁLISE DAS AVALIAÇÕES EM LARGA ESCALA ................................ 225

8.1 – Sistema de Avaliação da Educação Básica – SAEB ......................... 225

8.2– Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo –

SARESP ..................................................................................................... 228

9 – ANÁLISE DOS QUESTIONÁRIOS DO PROFESSOR E TESTES DOS

ALUNOS......................................................................................................... 247

9.1 – Análise dos Questionários respondidos pelos professores ................ 247

9.2 – Análise dos Testes dos Alunos .......................................................... 260

10 – CONCLUSÃO ...................................................................................... 278

11 – BIBLIOGRAFIA .................................................................................... 299

12 – ANEXOS .............................................................................................. 308

FIGURAS

Figura 1 Exemplo de Atividade sobre proporcionalidade 32

Figura 2 Exemplo de Atividade com máximos e mínimos 34

Figura 3 Exemplos das valências de ostensivos usadas na tarefa 36

Figura 4 Exemplo de atividade no teste do aluno 37

Figura 5 Atividade do aluno TTCB 38

Figura 6 Interdependência entre x e n 45

Figura 7 Gráficos da função f(x) = ax2, variando o valor de a 45

Figura 8 Uso de fórmulas para representar funções 46

Figura 9 Classificação dos diferentes registros 46

Figura 10 Representação semiótica para uma reta no plano 47

Figura 11 Tratamento na resolução de uma equação matemática 48

Figura 12 Conversão na obtenção da função, dado o gráfico

cartesiano

49

Figura 13 Exemplo de tarefa de nível técnico 51

Figura 14 Exemplo de tarefa de nível mobilizável 52

Figura 15 Exemplo de tarefa de nível disponível 52

Figura 16 Segundo exemplo de tarefa de nível disponível 53

Figura 17 Representação gráfica dada por Oresme 58

Figura 18 Tipos de tarefa 67

Figura 19 Grade de Análise das Questões 68

Figura 20 Seleção das escolas por índice de desempenho 70

Figura 21 Hipótese 1 73

Figura 22 Hipótese 2 73

Figura 23 Ordem hipotética das respostas 73

Figura 24 Exemplos de respostas à questão 3 74




Figura 28 Temas estruturantes 94

Figura 29 Comparação das séries escolares no Brasil e na França 98

Figura 30 Competências nas classes do collége 99

Figura 31 Conteúdos do lycée 100

Figura 32 Dados sobre a Situação de Aprendizagem 110

Figura 33 Atividade sobre relação de proporcionalidade e função 116

Figura 34 Tabela mostrando a relação de x com y e y - 1 118

Figura 35 Quadro dos tipos de tarefas utilizadas na atividade 119

Figura 36 Gráficos de funções 120

Figura 37 Atividade sobre função 122

Figura 38 Quadro de Tarefas utilizadas na atividade 123

Figura 39 Representações gráficas das funções kxxf )( ,

hkxxf )( e x

kxf )(

126

Figura 40 Atividade relativa ao conceito de função 127

Figura 41 Quadro de Atividades da Situação de Aprendizagem 1 129

Figura 42 Gráfico das funções do tipo baxxf )( 130

Figura 43 Atividade sobre função dada por partes 131

Figura 44 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 2 133

Figura 45 Atividade sobre função polinomial do 2º grau 137


Figura 47 Atividade sobre problemas do 2º grau 140


Figura 49 Gráficos da função exponencial 143

Figura 50 Atividades sobre função exponencial 144

Figura 51 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 145

Figura 52 Atividade sobre as função exponencial e logarítmica 149


Figura 54 Gráfico das funções xy sen e xy sen.2 153

Figura 55 Atividade sobre a função seno 154



Figura 58 Atividade sobre gráfico de função polinomial 159


Figura 60 Etapas de construção de 1

1)(

2

xxf 163

Figura 61 Etapas de construção de xxxf sen 3)( 163

Figura 62 Construção de gráfico de funções 163

Figura 63 Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 165

Figura 64 Taxa de variação e variação da taxa de variação 166


Figura 66 Gráfico de funções exponenciais xaxf )( e xexf )( 169

Figura 67 Atividade com aplicação da função exponencial 170


Figura 69 Atividade sobre função 175

Figura 70 Quadro de Tarefas da atividade sobre funções 176

Figura 71 Atividade sobre função quadrática 178

Figura 72 Quadro de Tarefas da atividade sobre função quadrática 179

Figura 73 Resolver a equação 10)7()( 2 mmxxf 181

Figura 74 Quadro de Tarefas da atividade sobre função 182

Figura 75 Atividade sobre função dada por partes 183

Figura 76 Quadro de Tarefas sobre funções 184

Figura 77 Atividade sobre construção gráfica 186

Figura 78 Quadro de Tarefas sobre funções 187

Figura 79 Atividade sobre crescimento e decrescimento 188

Figura 80 Quadro de Tarefas sobre funções exponenciais 189

Figura 81 Atividade sobre a função logarítmica 190

Figura 82 Quadro de Tarefas das atividades sobre funções

logarítmicas

191

Figura 83 Funções trigonométricas 192

Figura 84 Quadro de Tarefas sobre funções trigonométricas 193

Figura 85 Gráficos de funções 195

Figura 86 Quadro de tarefas sobre gráficos de funções 197

Figura 87 Atividades sobre funções quadráticas 198

Figura 88 Atividades sobre funções exponenciais 200

Figura 89 Quadro de tarefas sobre funções exponenciais 202

Figura 90 Atividade sobre funções logarítmicas 203

Figura 91 Quadro de tarefas sobre funções logarítmicas 204

Figura 92 Atividade sobre operações com funções 206

Figura 93 Atividade sobre funções trigonométricas 209

Figura 94 Quadro de tarefas sobre funções trigonométricas 210

Figura 95 Quadro da relação comprimento da diagonal x área do

quadrado

213

Figura 96 Relação de proporcionalidade do crescimento de f(x) 216

Figura 97 Noção de intervalos sobre R 218

Figura 98 Teste de conjecturas 218

Figura 99 Quadro de PROFICIÊNCIAS MÉDIAS – SAEB 1997 226

Figura 100 Quadro da ESCALA DE PROFICIÊNCIAS – SAEB 227

Figura 101 Quadro dos Níveis de Proficiência no SAEB de 1995 a

2011. Matemática – Médias da União

228

Figura 102 Gráfico da Evolução dos Níveis de Proficiência em

Matemática no SAEB

228

Figura 103 Quadro dos Níveis de Proficiência no Saresp 230

Figura 104 Quadro dos Níveis de Proficiência em Matemática 230

Figura 105 Aplicações do SARESP, 1996 a 2012 231

Figura 106 Níveis de Proficiência no SARESP – 2007 a 2012 -

Matemática

231

Figura 107 Gráfico da Evolução dos Níveis de Proficiência em

Matemática no SAEB – 2007 a 2012

232

Figura 108 Níveis de Proficiência SAEB e SARESP para o 9º ano EF -

Matemática

233

Figura 109 Níveis de Proficiência SAEB e SARESP para a 3ª série EM

- Matemática

233

Figura 110 Questão 2 do período noturno – SARESP 2000 236

Figura 111 Questão 3 do período diurno – SARESP 2000 236



Figura 114 Questão 5 do período diurno – SARESP 2000 238


Figura 116 Exemplo de questão do nível 325 da 8ª série (a) – SARESP

2007

239

Figura 117 Exemplo de questão do nível 325 da 8ª série (b) – SARESP

2007

239

Figura 118 Exemplo de questão do nível 350 da 8ª série – SARESP

2007

240

Figura 119 Exemplo de questão do nível básico da 3ª série EM –

SARESP 2008

240

Figura 120 Exemplo de questão do nível adequado da 3ª série EM –

SARESP 2008

241

Figura 121 Exemplo de questão do nível avançado da 3ª série EM –

SARESP 2008

241

Figura 122 Exemplo 10 da 3ª série EM – SARESP 2009 242





Figura 127 Quadro comparativo dos índices de acertos no SARESP 244

Figura 128 Questão 1 247



Figura 131 Índices de respostas à questão 3 249









Figura 140 Quadro de porcentagens relativas ao uso do Caderno ou

Livro Didático

254

Figura 141 Seleção das escolas por índice de desempenho 256



Figura 144 Quadro de porcentagens relativas ao uso do Caderno ou

Livro Didático por grupos de professores

257

Figura 145 Análise preliminar da questão 1 – item a 260

Figura 146 Representação em diagrama de Venn 261

Figura 147 Análise preliminar da questão 1 – item b 261

Figura 148 Gráfico da função f(x) = x – 1 262

Figura 149 Análise preliminar da questão 1 – item c 262

Figura 150 Análise preliminar da questão 2 263

Figura 151 Gráfico da função s = 2t - 3 264

Figura 152 Análise preliminar da questão 3 – item a 264

Figura 153 Análise preliminar da questão 3 – item b 265

Figura 154 Análise preliminar da questão 3 – item c 265

Figura 155 Análise preliminar da questão 4 266

Figura 156 Atividades de alguns estudantes do prof_4 para a questão 1 269








Figura 164 Atividades sobre situações discretas 286

Figura 165 Exemplo de níveis de codeterminação para a função afim 295

17

1 – INTRODUÇÃO

Um Currículo é uma tentativa de comunicar os princípios

essenciais e as características de uma proposta

educacional de forma que seja aberta ao escrutínio

crítico e capaz de ser traduzido numa prática.

Stenhouse

O Currículo escolar é uma prática social, pois a educação em si é, acima

de tudo, uma prática social. Alunos interagem com professores e vice-versa.

Estes por sua vez interagem com o conhecimento universal e científico numa

instituição. Nessa interação o Currículo apresenta-se como uma questão

prática envolvendo os atores da pedagogia.

O Currículo inicia-se como uma teoria concebida nas mentes de quem a

idealiza. Na sua implantação ela passa a constituir um desafio para a práxis

educacional e dependerá de um comprometimento na utilização dos princípios

propostos. Na sua implantação, seus impactos positivos e/ou negativos são –

ou deveriam ser – utilizados para as adequações necessárias. O Currículo

deve estar em constante movimento. Ele deve ser constantemente avaliado

para verificar se está na direção do que foi planejado. Pois,

O Currículo se preocupa com o que é planejado,

implementado, ensinado, aprendido, avaliado e pesquisado nas

escolas em todos os níveis de educação. Experimentar um

Currículo não é chegar a um determinado destino, mas ter

viajado com uma visão diferente. É na jornada e em suas

experiências que um Currículo é realizado, não no ato de

descer do trem. (MCKERNAN, 2009, p. 35).

No sentido acima é que nos propomos a analisar o Currículo de

Matemática na rede pública estadual de São Paulo, por se tratar de um novo

documento que está fundamentado nas Propostas Curriculares Para o Ensino

de Matemática, cujas primeiras publicações datam do final dos anos 1980.

Propostas estas que serviram de base para a construção dos Parâmetros

Curriculares Nacionais – PCN e Propostas Curriculares Nacionais para o

18

Ensino Médio – PCNEM, cujas primeiras edições datam de 1996. Estes

documentos foram uma marca presente na educação e desde sua publicação

têm influenciado a elaboração de livros didáticos no Brasil, conforme já

verificados por Andrade (2006, p. 10 e 35) ao analisar os saberes provenientes

dos programas de livros didáticos à luz dos estudos propostos por Tardif (2002,

p. 63 apud ANDRADE, 2006).

Considerando também a influência que estes documentos tiveram na

elaboração e construção do atual Currículo do Estado de São Paulo, nos

incitou a verificar a eficácia deste último relativa à implantação, implementação,

utilização, adequações, usos e dificuldades encontradas em seu percurso, por

ser um documento mais atual e presente na realidade da educação do Estado

de São Paulo.

Também é nesse sentido que procuraremos as relações existentes entre

o Currículo atual e os agentes que o coloca em prática, pesquisando o trabalho

desses agentes em sala de aula, seja no papel de ensinar (o professor) ou no

papel de aprender (o aluno) – ou em ambos.

No Estado de São Paulo, a Secretaria de Estado da Educação

implantou, a partir de 2008, o Currículo como uma nova proposta de trabalho

em todas as disciplinas da grade curricular, mas que, apesar de novo, as ideais

centrais seguem as orientações validadas dos documentos descritos acima.

Tendo em vista que a Lei de Diretrizes e Base da Educação Básica de

1996 - LDB 9394/96, em seu artigo 9°, inciso IV, afirma que a União deverá

estabelecer os conteúdos mínimos que nortearão os Currículos de forma a

assegurar uma base comum nacional. O artigo 26, específico sobre Currículo,

diz que tal programa deverá conter uma base nacional comum e ser

complementada por uma parte diversificada, com características regionais e

locais da sociedade, de sua cultura e sua economia, estabelecidas a critério de

cada sistema de ensino.

Diante dos apontamentos da respectiva lei, as redes de ensino de todo o

Brasil, seguindo os documentos nacionais, iniciaram um movimento de

elaboração de seus Currículos. Na rede de ensino do Estado de São Paulo, em

particular, no ano de 2008, foi publicada a “Proposta Curricular”, contendo

orientações gerais e pedagógicas. Acompanhou a publicação da Proposta

19

Curricular, os materiais de apoio: Caderno do Professor e Caderno do Gestor,

e em 2009 acrescentou-se o Caderno do Aluno.

Essa implantação fez parte de uma política de melhoria da qualidade da

educação no estado e foi denominado “Programa São Paulo Faz Escola”, e

pretendia-se que o uso dos materiais de apoio ao Currículo favorecesse a

aprendizagem. Teoricamente, os resultados desse processo seriam obtidos a

partir das avaliações externas como o Sistema de Avaliação do Rendimento

Escolar do Estado de São Paulo - SARESP. No entanto, não houve um estudo

mais detalhado e abrangente sobre os resultados dessa avaliação em larga

escala que pudesse servir de parâmetro para indicar o sucesso ou fracasso do

programa. Por outro lado, somente a análise dos resultados gerais das

avaliações externas não seria suficiente para indicar o sucesso ou não do

programa. É necessário questionar professores e testar os estudantes com

foco bem definido e observar os demais agentes da educação para sabermos

se os materiais de apoio estão sendo utilizados e, neste caso, de que forma

estão sendo utilizados e quais as vantagens esses materiais têm trazido à

educação.

Nas últimas décadas, as pesquisas educacionais sobre Currículos

estiveram em pauta. Muitos pesquisadores debruçaram-se sobre esse assunto.

Alguns analisando os conteúdos programáticos do Currículo, como é o caso de

Godoy (2011), outros analisando a metodologia subjacente ao Currículo, como

se observa em Costa (2011), muitos analisando o Currículo em prática ou na

prática, como podemos observar em Lopes (2010) e Pessoa (2011). Há

inclusive pesquisas que analisam outros trabalhos sobre Currículo como é o

caso de Macedo (2006).

Em nosso trabalho, nossa intenção é analisar o Currículo e os materiais

de apoio (Cadernos do Professor e Cadernos do Aluno, livros didáticos do

Programa Nacional do Livro Didático – PNLD e do Programa Nacional para o

Livro Didático do ensino médio – PNLEM, entre outros) na prática de aula do

professor. Verificar como se dá a influência do Currículo na prática e como a

prática do professor e do estudante direciona o Currículo. Dessa forma esse

trabalho se diferencia dos trabalhas analisados até então, sendo, portanto uma

nova proposta que trará uma visão abrangente sobre a forma de aplicação do

Currículo numa instituição educacional em grande escala, como é o caso da

20

educação pública estadual da Secretaria de Educação do Estado de São

Paulo.

Por se tratar de uma pesquisa EM larga escala, analisaremos os

pressupostos e diretrizes em que se baseia o atual Currículo de Matemática

proposto para o estado de São Paulo, Brasil, com foco no que se refere ao

conceito de função, procurando identificar a relação das indicações propostas

pelo movimento de implementação curricular e outras orientações (Caderno do

Professor e Caderno do Gestor) e a prática atual desse currículo pelos agentes

escolares. Em particular, verificar se os materiais de apoio ao Currículo do

Estado de São Paulo publicados juntamente com a Proposta Curricular de

2008 e 2009, quais sejam os Cadernos do Professor e os Cadernos do Aluno,

estão sendo utilizados pelos entrevistados e se o uso é espontâneo e se está

favorecendo a aprendizagem dos estudantes. Pelo fato que o trabalho do

professor pode e deve ser complementado por outros materiais, como por

exemplo, os livros dos programas descritos acima, tais materiais também

entrarão em segundo plano nesta pesquisa, analisando-se um livro mais antigo

do ensino médio e um livro mais atual do mesmo nível de ensino, além de um

livro atual para o ensino fundamental.

A análise dos livros didáticos favorecerá uma comparação entre as

metodologias utilizadas pelos autores dos Cadernos do Professor e do Aluno

com as metodologias utilizadas pelos autores dos livros didáticos,

principalmente relacionada às noções de função. A escolha de um Livro

Didático mais antigo fornecerá elementos de comparação às metodologias e

definições do conceito de função anteriormente à publicação dos PCN, PCNEM

e Currículo do Estado de São Paulo, enquanto que um livro mais atual poderá

colocar em comparação o que estes documentos oficiais põem em discussão

sobre as metodologias do estudo de função com o que os livros didáticos

trazem em seu bojo sobre a noção desse objeto matemático.

Por pretendermos tratar o Currículo com foco no conceito de função,

descreveremos o que nos levou a tomar esse conceito para delimitar o trabalho

de pesquisa.

Função é um dos conceitos fundamentais da Matemática e é

compreendido como uma relação entre duas ou mais grandezas na qual o

amalgama entre elas é sua interdependência. Essa relação, que foi nomeada

21

por Leibniz de “função”, é que permite conhecer e descrever uma grandeza

quando observada à luz de outra, ou vice-versa.

Diante dessa dependência irrestrita e inerente às funções, se deriva um

estudo muito abrangente que já tomou conta de mentes excepcionais na

história da Matemática. Os pitagóricos, ao relacionar o comprimento e a tensão

de uma corda a uma nota musical estavam estabelecendo uma noção funcional

de interdependência. Também não é demais dizer que os gregos, no século II

d.C, num estudo sistemático de relações entre arcos num círculo e os

comprimentos das cordas determinadas por esses arcos, estabelecendo

tabelas trigonométricas, já remetiam à ideia de dependência e, por

consequência, à ideia de função. Vale citar também que os problemas que

estão ligados às sequências matemáticas, como as de Fibonacci entre outras,

já nascem com uma relação de valor quanto à posição ocupada por um

quantificador e que podem ser expressas por lei de formação, fórmulas que

remetem à ideia de função.

Pelos exemplos descritos, é bem visível pensar que a interdependência

entre as grandezas não é uma interdependência estática, imóvel, como seria a

interdependência entre a vida biológica e a água. Essa interdependência

pensada na Matemática como condição intrínseca de função é uma

interdependência variável, móvel, dinâmica, como se vê na interdependência

entre o espaço percorrido por um objeto em queda livre pela ação gravitacional

e o tempo medido desde sua partida.

Por ser um conceito que assume um papel importantíssimo na

Matemática e nas outras ciências, servindo para modelar diferentes fenômenos

dessas ciências, esse conceito tem um papel também importantíssimo na

educação, em especial na educação básica que deve preparar o estudante

para a cidadania, para o trabalho e dar-lhe condições para a continuidade de

seus estudos.

Pesquisas no Brasil e no exterior, voltadas a esse tema foram feitas,

para procurar compreender como se dá o desenvolvimento cognitivo do

estudante sobre o conceito de função quando de sua representação por

gráficos ou tabelas de valores, como é o caso do artigo de Coppé et al (2006)

ou para identificar as diversas percepções psicológicas da representação de

uma função por um estudante, como é o caso do trabalho de Rogalski (2013),

22

apresentado na 6ª jornada internacional sobre a educação científica e técnica

em 1984.

No Brasil identificamos diversos trabalhos utilizando o conceito de

funções, seja no estudo de função particular ou das noções associadas a esse

conceito. Entre estes trabalhos podemos citar a dissertação de Silva (2012)

que trata de função quadrática e da transição desse conceito entre os diversos

níveis de ensino, ou ainda a dissertação de Gouveia (2007) que, trabalhando

com a noção de intervalos sobre os números reais, remeteu sua pesquisa a

análise funcional, observando os intervalos do domínio ou imagem das

mesmas, não só no sentido matemático restrito, mas no sentido da aplicação

da função em situações práticas. Ainda o trabalho de Andrade (2012) que trata

de noções de análise matemática associada ao conceito de função exponencial

e a prática do ensino e aprendizagem do conceito dessa noção.

As obras citadas, tanto as elaboradas no Brasil como as elaboradas no

exterior, procuram mostrar a importância de um trabalho sobre as diferentes

representações de funções (analítica, gráfica, tabela), outras sobre a

metodologia do ensino desse conceito com estudantes do ensino médio ou

com estudantes do Ensino Superior, outras ainda comparando as

apresentações desse conceito em diferentes livros didáticos, e por aí se vai.

Porém, o diferencial entre nosso trabalho e os trabalhos apresentados, é

pensar o conceito de função como um fio condutor para a análise dos

pressupostos curriculares observados enquanto Currículo prescrito, e enquanto

Currículo em ação na atuação da prática escolar.

23

2 – PROBLEMATICA E OBJETIVOS

…si la courbe peut paraître un moyen attractif pour aborder la

notion de fonction, elle ne peut, à elle seule, permettre un travail

suffisant sur cette notion et doit au moins être conjuguée avec

d'autres modes de représentation. (COPPE et al, 2006, p. 35)

Os resultados das avaliações em larga escala como o SARESP,

aplicado aos estudantes do Estado São Paulo, e o Exame Nacional do Ensino

Médio – ENEM, aplicado aos estudantes em todo o Brasil, parecem indicar que

o conhecimento relativo aos conteúdos escolares dos estudantes dos anos

finais do ensino fundamental e estudantes do ensino médio (com idades entre

11 a 17 anos) não tem sido aquele esperado para as séries analisadas, uma

vez que o professor geralmente desenvolve atividades em nível técnico ou

mobilizável e, em contra partida, as avaliações abordam questões em nível

mobilizável ou disponível.

Junta-se a isso o fato de os professores do Ensino Básico reclamarem

que os estudantes mostram-se cada vez mais indiferentes aos conteúdos

ensinados, e os professores do Ensino Superior por sua vez reclamam que os

estudantes chegam à universidade cada vez com mais dificuldades em relação

aos conteúdos da Matemática desenvolvidos na Educação Básica, e não

conseguem acompanhar a contento os conteúdos do Ensino Superior. Esse

nível de ensino tem proposto então, momentos de nivelamento, mas com

poucos recursos didáticos para atacar o problema pois, em geral, não se tem

ideia precisa do que pode ser realmente considerado como conhecimento

prévio para os estudantes que iniciam o Ensino Superior.

O Currículo do Estado de São Paulo está posto e sua proposta foi ir à

busca de uma educação de qualidade. Por isso, neste trabalho, faremos uma

análise mais fina sobre suas diversas aplicabilidades e de seus resultados.

Mesmo que o ciclo de utilização desse Currículo não tenha se fechado, uma

vez que foi implantado em 2008 e o ciclo deve ser completado em 2015, as

análises das avaliações citadas e uma proposta de aplicação de formulário e

de acompanhamento da aplicação de um teste aos estudantes poderão

24

fornecer indícios, ao menos considerados sobre a noção de função, do alcance

dos objetivos desse novo currículo. Caso este trabalho mostre que os

resultados estão sendo positivos ou negativos, poderemos conjecturar o

porquê desses resultados, baseados nos cruzamentos das análises efetuadas

em todos os materiais que se propõem analisar e nas análises dos

questionários dos professores e dos testes dos alunos.

Por outro lado, é preciso verificar como os conteúdos discutidos nos

Parâmetros Curriculares Nacionais a respeito do conceito de função estão

contemplados nos materiais de apoio ao Currículo (Caderno do Professor e

Caderno do Aluno) e como estes materiais seguem as orientações de estudo

ali propostas. Também é importante verificar quais os diferentes registros de

representação semiótica para o conceito de funções são utilizados, segundo

definição de Duval (1995), e quais atividades, pois segundo Coppe, et al (2006,

p. 35) “...se a curva pode parecer um meio para abordar a noção de função, ela

por si só não permite um trabalho suficiente sobre essa noção e deve ser ao

menos conjugada com outros modos de representação.1”

Muitas vezes, por questões diversas, até mesmo de tempo, o professor

opta por trabalhar uma ou outra representação da noção de função com maior

destaque em relação às outras, ou trabalha as diferentes representações

desarticuladas. Assim, pretendemos verificar de que forma os temas abordados

nos materiais de apoio permitem um trabalho articulado e abrangente sobre as

diferentes formas de representação semiótica da noção de função, isto é, qual

o papel da conversão nessa proposta de trabalho, e dessa forma identificar a

relação das indicações propostas pelo movimento de implementação curricular

e outras orientações (Caderno do Professor e Caderno do Gestor) e a prática

atual desse currículo pelos agentes escolares.

Em particular, pretendemos, com esta pesquisa, verificar se os materiais

de apoio ao Currículo do Estado de São Paulo publicados juntamente com a

Proposta Curricular de 2008, quais sejam os Cadernos do Professor e os

Cadernos do Aluno, estão sendo utilizados pelos entrevistados, se o uso

desses é espontâneo e se está favorecendo a aprendizagem dos estudantes.

1 Tradução nossa.

25

Pelo fato que o trabalho do professor pode e deve ser complementado por

outros materiais, como, por exemplo, os livros dos programas descritos acima,

tais materiais também entrarão em segundo plano nesta pesquisa, analisando-

se um livro mais antigo do ensino fundamental, assim como outro do ensino

médio, e um livro mais atual do ensino fundamental assim como outro do

ensino médio.

De forma geral, intensifica-se a justificativa de ter feito a escolha pelo

objeto função como instrumento de análise para o trabalho de pesquisa do

Currículo, como apresentado, pelos seguintes fatos:

1. este conceito está apoiado na ideia de proporcionalidade no Currículo

do Estado de São Paulo, o que permite associá-lo a outros conceitos

matemáticos;

2. o objeto matemático função permite representar problemas a partir de

modelagem, podendo-se então investigar a relação que se faz entre a

contextualização e a prática escolar;

3. a função utiliza linguagem e estruturas algébricas que permitem uma

análise cognitiva sobre o processo de ensino e aprendizagem; e

4. pode-se acompanhar os diversos graus de desenvolvimento desse

conceito nos diversos níveis de ensino, Fundamental, Médio e Superior.

Com o objetivo de verificar como o novo Currículo do Estado de São

Paulo se insere na política desse Estado e nos Programas Nacionais e as

problemáticas sociais apontados, levantam-se algumas questões que nortearão

esta pesquisa.

Entre os conhecimentos relacionados ao conceito de função,

abordados no Currículo, quais são aqueles que devem estar

disponíveis ou mobilizáveis na transição do ensino fundamental

para o ensino médio e ao final do ensino médio?

Como os professores organizam as atividades para seus alunos

para esse fim (comparação entre o Currículo Prescrito e o Currículo

em Ação)?

26

Que meio os estudantes dispõem para trabalhar as tarefas

propostas nos materiais de apoio ao Currículo (Caderno do

Professor e Caderno do Aluno)?

Que conhecimentos são esperados disponíveis aos professores

para apoiar seus trabalhos com as tarefas propostas

(conhecimento sobre o objeto função, os tratamento e as

conversões sobre os diferentes registros e sobre as dificuldades

dos estudantes)?

Quais as dificuldades apresentadas pelos professores para o

trabalho com o atual Currículo, apesar de já terem passado por uma

formação inicial?

Diante disso, este trabalho procura respostas a estas questões a partir

de uma análise qualitativa e documental, buscando evidenciar a presença de

pressupostos teóricos e relações de conteúdos presentes no Currículo, em

comparação com as orientações oriundas em nível federal, como é o caso do

PCN, PCNEM e as Orientações Curriculares para o Ensino Médio. As questões

acima serão analisadas à luz do referencial teórico. Analisaremos as relações

institucionais e pessoais que se dão entre si e com o objeto de estudo,

segundo definição da Teoria Antropológica do Didático, de Chevallard (1992) e

Bosch e Chevallard (1999); os diferentes registros de representação das

noções de função expostas no Currículo, segundo a teoria de Registros de

Representação Semiótica, de Duval (1995, 2011); e os níveis de

conhecimentos esperados dos estudantes quando colocados frente às

atividades apontadas no Currículo ou nas avaliações externas, segundo as

noções de Níveis de Conhecimentos Esperados dos Estudantes, conforme

definição de Robert (1997, 1998).

Faremos então, a seguir, a apresentação do referencial teórico que

servirá de apoio à pesquisa documental e às análises dos materiais.

27

3 – REFERENCIAL TEÓRICO

Um Currículo é um plano formal orientador das ações e de experiências

educacionais. Compreendê-lo e compreender sua concepção faz parte do

movimento de prática e reflexão sobre questões advindas de sua

implementação. Para analisar as relações pessoais e institucionais com vista

no objeto Currículo, focado no conceito de função, a Teoria Antropológica do

Didático (TAD) de Chevallard (1992) e Bosch e Chevallard (1999) será a

fundamentação central deste trabalho. Da mesma forma pretendemos que as

análises das práticas pedagógicas nos forneçam uma representação da

abrangência do Currículo. Isso nos conduz a situar as organizações

matemáticas, e em particular a identificar quais as diferentes formas de

representar função, como por exemplo, tabelas, gráficos ou expressões

algébricas (registros de representação semiótica, na teoria de Duval), em

função dos objetos que se põem em prática no trabalho matemático como a

escrita, os gestos, ou as representações semióticas, (os ostensivos, segundo a

TAD) e suas noções (ou não-ostensivos segundo a mesma teoria) necessários

para implementar os diferentes materiais que serão analisados.

Focado no conceito de função abordada no Currículo do Estado de São

Paulo, acreditamos na importância de verificar a existência de diferentes

registros de representação semiótica. Verificar como a noção de função pode

ser tratada de maneira específica em diferentes registros, e também se as

conversões de um registro para outro são meios de construir e validar a

aquisição de conceitos; e se isso é apresentado como uma dificuldade

específica para os estudantes. Dessa forma, como meio de fazer essa análise,

escolhemos o quadro teórico Registro de Representação Semiótica,

desenvolvido por Duval (1995, 2011), para avaliar como as situações de

aprendizagem propostas no Currículo podem ser tratadas como transposição

do registro em língua natural a um dos diferentes registros matemático da

noção de função (fórmula, tabela e gráfico).

Enfim, para comparar as atividades propostas nos materiais de apoio ao

Currículo, e aquelas que são efetivamente dadas pelos professores em classe

28

e realizadas pelos seus estudantes, elas serão analisados de acordo com os

níveis de conhecimentos esperados dos estudantes. Esses níveis são os

definidos por Robert (1997, 1998) e compreendem o nível técnico, o nível

mobilizável e o nível disponível.

A seguir descreveremos brevemente as noções por nós utilizadas de

cada uma dessas teorias, relacionando-as com os temas de pesquisa deste

trabalho.

3.1 – Teoria Antropológica do Didático

Chevallard (1992, p. 76), em seu artigo “Concepts Fondamentaux de la

Didactique”, cita a importância do uso da metáfora como ferramenta para o

pensamento, sustentando que é importante pensar em teorias em termos de

modelos, imagens e representações. Para ele toda a atividade científica,

incluindo entre elas a Matemática, se constitui e se descreve pela utilização da

metáfora, pois o pensamento torna-se mais forte quando se apoia em

metáforas.

Conforme o autor, as metáforas são, numa visão etimológica, uma

transposição do sentido próprio ao figurado. Assim pensar um objeto por

metáforas implica em pensar nos símbolos que o representam. A constituição

da ideia de um objeto se dá por metáforas. No entanto, a escolha das “boas

metáforas” se faz importante. A metáfora ou a compreensão da metáfora

requer o uso do pensamento abstrato e generalizador.

Assim, é importante que se trabalhe de forma abrangente as diferentes

representações dos conceitos matemáticos, em particular para a noção de

função e suas diversas formas de representação, de maneira que essas

diferentes representações sejam as “boas metáforas” e que permitam que o

trabalho matemático, tanto por parte dos profissionais dessa área quanto dos

estudantes, possa se produzir pela escolha adequada de uma das formas de

representar as funções ou conceber seu conceito.

Pode-se fazer uma associação entre a abordagem de Chevallard e a

adotada por Duval, mantendo as diferenças características de cada teoria,

lembrando que a proposta de estudo das representações por meio dos

ostensivos e não-ostensivos segundo a Teoria Antropológica do Didático (TAD)

29

de Chevallard está associada ao estudo das atividades do ponto de vista do

objeto matemático enquanto que os registros de representação semiótica de

Duval são ferramentas importantes para a análise da atividade cognitiva como

ressaltam Bosch e Chevallard (1999).

Consideramos ainda a possibilidade de associação entre a teoria

antropológica desenvolvida por Chevallard e a abordagem teórica em termos

de níveis de conhecimento esperados dos estudantes, pois a teoria

antropológica permite estudar, por exemplo, sobre o plano matemático, as

possibilidades de trabalho em relação aos três níveis de conhecimento

esperados dos estudantes conforme definição de Robert (1997, 1998) para a

noção de função a partir das relações institucionais encontradas no processo

de ensino e aprendizagem para, em seguida, identificar as marcas das

relações institucionais sobre as relações pessoais e assim compreender melhor

sobre que nível se encontra os estudantes na transição entre o ensino

fundamental e o ensino médio, observando que no ensino fundamental já se

introduz a noção de função por meio da associação com a noção de

proporcionalidade.

A teoria antropológica do didático inicia-se com a ideia de transposição

didática, na qual o saber matemático vislumbra de uma análise epistemológica

do saber, de um ponto de vista didático. A transposição é então o acesso que

toma o “saber sábio” e o transforma no “saber a ser ensinado”, ou seja, a

transposição didática implica nas transformações pelas quais devem passar os

saberes para se tornarem escolarizáveis.

Nesta perspectiva antropológica é que Chevallard (1998) adota como

primeira noção de organização didática, o conceito fundamental de objeto.

Compreendendo aqui objeto como uma entidade material ou imaterial que

existe para, pelo menos, um indivíduo. A segunda noção é a relação que um

indivíduo pode ter com um objeto, manipulando-o. Diz-se que um objeto existe

para um indivíduo se o indivíduo tem uma relação pessoal com este objeto

(ibid., p. 1). A terceira noção constituída por Chevallard (1998) é a de “pessoa”.

Neste caso, “pessoa” é o par constituído pelo indivíduo e o sistema de suas

relações com os objetos. Há de se considerar que esses sistemas evoluem.

Alguns objetos que não estavam nesta relação passam a fazer parte dele,

30

outros deixam de fazer parte e outros se modificam. Nesta relação o invariante

é o indivíduo, mas muda-se a pessoa.

Para explicar a evolução desses sistemas antropológicos há de se

definir ainda a noção de instituição. As instituições são obras específicas. Ainda

que essas obras possam ser uma parte de uma organização didática (em

particular, um livro, um retroprojetor, etc.), uma instituição é um dispositivo

social, que apesar de ter uma pequena extensão no espaço social, impõe-se

sobre os sujeitos (ibid., 1998).

No sentido acima, o Caderno do Professor e o Caderno do Aluno são as

obras que foram institucionalizadas, assim como os são os livros didáticos, o

Currículo, os PCN, etc. Enquanto que a sala de aula, onde se permite o

emprego concreto desses materiais, é outra forma de instituição, assim como

os são as escolas, as secretarias, etc., onde os indivíduos nessas instituições

são, entre outros agentes, o professor e os estudantes. Temos nessa relação

um sistema de ensino.

Chevallard (1998) chama a atenção no sentido de que um objeto existe

se é reconhecido por um indivíduo ou por uma instituição, essas relações são

denominadas relação pessoal e relação institucional respectivamente. Neste

caso, o saber, os indivíduos e a instituição se relacionam numa prática social.

O conjunto dessas relações é chamado de Universo Cognitivo.

Nessas relações, Chevallard (1995, 1996 apud DIAS, 1998), anuncia

que a atividade matemática é composta por certo número de tarefas, assim

como toda atividade humana, e para cumprir essas tarefas, são desenvolvidas

as técnicas, que para se tornarem viáveis devem ser compreensíveis e

justificáveis, dando assim lugar ao desenvolvimento das tecnologias ou

discurso tecnológico. Essas tecnologias sendo, por sua vez, objetos de novas

tecnologias que Chevallard identifica como teorias.

As atividades humanas, conforme citado acima, são cumpridas de

acordo com certa organização que coloca em prática as tarefas e seus tipos, as

técnicas, as tecnologias e as teorias. A esta organização antropológica

Chevallard (2002) chama de praxeologia ou organização praxeológica. Dessa

forma, o bloco composto pelas tarefas e as técnicas utilizadas para resolvê-las

relaciona-se à "praxi" e o bloco tecnologia e teoria à "logia", ou em grego

"logos" ou “a razão”.

31

Além disso, para manipular as técnicas utilizam-se os objetos ostensivos

que correspondem às representações externas, e para justificar o trabalho que

se está desenvolvendo evocam-se os objetos não-ostensivos ou

representações mentais, o que coloca em evidência a dialética entre os

ostensivos e os não-ostensivos.

Os objetos ostensivos referem-se a todos os objetos do saber que

podem ser materializados, que possuem uma natureza sensível, que têm uma

realidade perceptível aos indivíduos. São exemplos de objetos ostensivos as

representações semióticas, como símbolos, gráficos, etc., registros escritos,

falados, gesticulados, etc. (CHEVALLARD, 1994b). Assim, é possível

reconhecer os ostensivos gestuais, os ostensivos discursivos, os ostensivos

gráficos e os ostensivos escriturais.

Os objetos não-ostensivos podem somente ser evocados por meio da

manipulação dos ostensivos. Esses objetos referem-se aos conceitos ou as

ideias presentes no tratamento ou conversões entre os objetos ostensivos (ibid.

p. 5). Em nosso trabalho, por exemplo, uma vez que focaremos as análises

baseadas no conceito de função, esse conceito, tal como o compreendemos

matematicamente, é um não-ostensivo, uma noção que existe somente

mentalmente, mas que pode ser materializado pelos ostensivos que o

representam. Assim os ostensivos para essa noção pode ser uma expressão

escrita com variáveis e coeficientes, pode ser as representações gráficas

específicas, ou um discurso, os gestos que correspondem à evolução de

valores numéricos ou de outra natureza, etc.

Para ilustrar o funcionamento da atividade matemática segundo a forma

acima, proposta por Chevallard, apresentamos alguns exemplos que mostram,

para um tipo de tarefa, as técnicas e as tecnologias associadas quando se

introduz a noção de função no ensino fundamental e médio brasileiro

atualmente, e ainda alguns ostensivos e não-ostensivos que poderão ser

utilizados na manipulação da situação-problema.

O primeiro exemplo trata-se de uma questão apresentada no ensino

fundamental no Caderno do Aluno e diz respeito ao conceito de

proporcionalidade:

32

Figura 1: Exemplo de Atividade sobre proporcionalidade

Atividade 5 – item e. A diagonal d de um quadrado é diretamente proporcional

ao lado a do quadrado?

Fonte: Caderno do Aluno, 9º ano, vol. 2, p. 37

Temos apresentado no exemplo acima uma tarefa cuja uma possível

técnica de resolução consiste em procurar generalizar os diversos quadrados

com suas diferentes medidas de lados e uma de suas diagonais de maneira a

evidenciar que seus comprimentos guardam alguma relação de

proporcionalidade, que pode ser organizado pela construção de uma tabela

que relacione alguns valores de d em relação a a, tratando assim de uma

relação funcional a relação entre o lado e a diagonal de um quadrado. Para a

técnica apresentada podemos verificar que a tecnologia, ou seja, o discurso da

técnica, pode ser bem mais detalhado ao descrevermos como a tabela poderá

ser organizada de forma a chegar à noção de proporcionalidade, tal como

pretendido.

No entanto, podemos introduzir ao problema a noção do Teorema de

Pitágoras, consistindo neste caso a outra técnica. O estudante pode,

dependendo de seu grau de generalização, aplicar o teorema a vários

quadrados de lados determinados e observar a relação kl

d

l

d

2

2

1

1 . Ou então,

para uma técnica mais avançada para esse público, o estudante pode aplicar o

Teorema de Pitágoras a um quadrado cujos lados são representados de forma

generalizada por uma variável, assim como sua diagonal, e chegar à fórmula

2ld , verificando que a relação kl

d , onde 2k . A tecnologia, neste

caso, nos permite chegar à conclusão sobre a noção de proporcionalidade, ou

seja, verificar que há proporcionalidade entre a diagonal e o lado de um

quadrado.

a

a

a

d

33

Os ostensivos envolvidos na tarefa são desde a representação de um ou

de vários quadrados, caso o estudante adote esse caminho, até os registros

das operações realizadas, as tabelas construídas, assim como o discurso que

ele venha a ter com o professor ou com seus pares. Os não-ostensivos serão o

conceito de diagonal, a ideia de proporcionalidade e os conceitos de múltiplos.

Esses não-ostensivos possibilitam construir o conceito de função.

Ainda no exemplo acima, haverá relação pessoal ocorrendo entre o

estudante e a atividade apresentada no material, dentro de uma instituição que

é a escola, permitindo que o estudante coloque em prática seus saberes

aprendidos em funcionamento, para que se institua nessa relação o conceito

de função. A mediação realizada pelo professor, que faz uso do material

instituído, pretende transformar um saber a ser ensinado em um saber

aprendido. A relação institucional é efetivada no ambiente de trabalho e pelo

professor, que precisará considerar os esforços de seus estudantes na procura

da relação de proporcionalidade apontada na atividade e ampliar o

conhecimento dos estudantes quanto à questão de variabilidade, introduzindo

uma ideia funcional à situação ( )(afd , ou seja, 2ad ).

Cabe ao professor também apresentar, caso seja necessário, outras

técnicas mais adequadas à solução do problema, assim como apresentar

determinadas tecnologias, como teoremas e propriedades elementares que

permitam elucidar a situação, ampliando o conhecimento dos estudantes. O

professor atuará neste, e em outros casos, como um indivíduo que na

instituição ajuda o estudante a entrar em contato com o objeto do saber, e que

vem formar com o estudante um “sistema didático” (CHEVALLARD, 1997, p.

17)

O segundo exemplo Trata-se de uma atividade do ensino médio. As

atividades relativas à função apresentadas no ensino médio nos Cadernos do

Professor e do Aluno iniciam-se como uma continuidade do trabalhado iniciado

no ensino fundamental. De certa forma, os tipos de tarefas são bem parecidas

com aquelas do ensino fundamental. Inicia-se também pela relação de

proporcionalidade, mas em seguida se ampliam os conceitos mais relativos à

variabilidade e de representação gráfica. Tomaremos como exemplo uma

atividade da Situação de Aprendizagem 3, do Caderno do Aluno.

34

Figura 2: Exemplo de Atividade com máximos e mínimos

Atividade 2 – item a. Determine, [...] os valores de máximos ou mínimos [...],

indicando o valor de x em tais extremos.

100)12(3)( 2 xxf

Fonte: Caderno do Aluno, 1ª série do Ensino Médio, vol. 2, p. 43

Na atividade acima, o estudante dispõe de várias técnicas para resolver

a tarefa. Uma delas poderia ser atribuir valores à variável x e calcular o

respectivo valor da função. Uma tabela de valores dessa correspondência

auxiliará o estudante na verificação do valor mínimo da função, uma vez que

nessa função xv e f(xv) são valores inteiros, o que seria apenas inferido caso

algum desses valores fosse irracional. A tecnologia consiste em observar na

tabela de valores construída os valores que se apresentem como o menor (ou

maior) valor, em relação aos valores de sua vizinhança.

No entanto, a função é dada na forma canônica, nesse caso, se o

professor já tiver instruído o estudante a visualizar a função na forma

vhxaxf 2)()( , onde h representa xv e v representa f(xv), uma vez que é

essa uma das formas apresentadas nos Cadernos, o estudante possivelmente

saberá de imediato dizer que o valor mínimo (ou máximo) de f é 100 e que se

dá para o valor de x = 12.

Os ostensivos envolvidos na tarefa são a representação da expressão

algébrica e os registros das operações realizadas, assim como a possível

tabela da relação )(, xfx e todos os discursos do estudante com o professor

ou com seus pares. Os não-ostensivos serão o conceito de valor máximo ou

mínimo, as noções de valor numérico da função, as relações de

interdependência entre os valores de x e de f(x) e o conceito de função como

ideia de variação, além da noção de intervalos sobre os números reais.

Também nesse exemplo, a relação pessoal ocorrerá entre o estudante,

o professor e o material didático – Caderno do Aluno. A relação institucional é

efetivada no ambiente de trabalho e pelo professor que precisará considerar os

esforços de seus estudantes na procura dos valores da função e na escolha ou

determinação dos valores x e y do vértice, identificando-os como relativos ao

valor mínimo. Também cabe ao professor apresentar, caso seja necessário,

35

outras técnicas mais adequadas à solução do problema, assim como

apresentar outras tecnologias como teoremas e propriedades que permitam

elucidar a situação, ampliando o conhecimento dos estudantes.

Os exemplos mostram que existe a preocupação, por parte dos autores

do material, de propor tarefas que utilizem os conhecimentos do ensino

fundamental enquanto conhecimentos disponíveis para a introdução de novos

conhecimentos no ensino médio.

Precisamos notar também que a função semiótica dos ostensivos, sua

capacidade em produzir sentido, não pode ser separado de sua função

instrumental, de sua capacidade de se integrar nas manipulações técnicas,

tecnológicas, teóricas. Tentaremos precisar esta dupla função dos ostensivos

presentes no tipo de análise que esta distinção nos permite realizar.

A dialética entre o caráter instrumental e o semiótico dos objetos

ostensivos, conduz a diferentes casos. Os objetos ostensivos podem

notadamente perder sua instrumentalidade ao perder sua função semiótica.

Isso pode acontecer, por exemplo, quando as técnicas de manipulação, que os

tornam operatórios, deixam de ser inteligíveis e justificáveis. Em outras

palavras, caso o ostensivo se priva de sentido ou da obsolescência das

tecnologias associadas às técnicas que os mobilizam, perde sua

instrumentalidade (BOSCH e CHEVALLARD, 1999, p. 26).

Ao contrário, os ostensivos podem adquirir uma maior instrumentalidade

por fazer um trabalho tecnológico ou teórico que permitem legitimar e controlar

os novos usos das técnicas.

Essa análise em termos de ostensivos e não-ostensivos é,

particularmente, bem precisa e explorada por Bosch em sua tese (BOSCH,

1995, apud DIAS, 1998). Os objetos ostensivos aparecem como possuindo

duas valências: uma valência instrumental, por um lado, e uma valência

semiótica, por outro lado. A valência instrumental de um ostensivo os

especifica enquanto instrumentos de ação, de produção. Ela é local, definida e

relativa a certo tipo de tarefa. A valência semiótica de um ostensivo o

especifica enquanto instrumento, tornando possível enxergá-lo e, nesse

sentido, permitindo apreciar o trabalho efetuado e também considerar o que

poderá ser efetuado.

36

Figura 3: Exemplo das valências de ostensivos presentes na tarefa

Fonte: Dante, 2010, p. 74. A noção de função dada por meio de conjuntos

No exemplo acima, a valência instrumental do ostensivo fica

caracterizada pelos gestos (representados pelas setas) mostrando-se a

correspondência de cada número em particular ao seu triplo, que facilita a

interpretação da tarefa e da relação dos elementos dos conjuntos A e B, ou

ainda pelos pares associados representados numa mesma linha na tabela. A

valência semiótica do ostensivo está representada pelos ostensivos de

representação composto pelos diagramas de Venn e pela tabela de valores

que possibilitam evocar os não-ostensivos que é a ideia de triplo de um

número.

Vale ressaltar que o diagrama de Venn perde sua instrumentalidade a

partir do momento em que não se considera a introdução da noção de função

por meio de relação entre dois conjuntos, mas utilizam-se situações de

aprendizagem contextualizada, como é o caso do que apresenta o Material de

Apoio ao Currículo Caderno do Professor.

Apesar da Teoria Antropológica do Didático de Chevallard e a teoria

sobre os registros de representação semiótica de Duval serem bem diferentes

uma da outra, elas mantém pontos em comum que justamente é o interesse

que as duas dão à questão semiótica e a não aceitarem que a Matemática seja

vista como uma simples atividade de conceituação, conforme ressaltam Bosch

e Chevallard (1999). Ainda que os registros de representação semiótica sejam

Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão

alguns inteiros e em B, outros. Devemos associar cada elemento de A a seu

triplo em B.

x ϵ A y ϵ B

- 2 - 6

- 1 - 3

0 0

1 3

2 6

A B

-2.

-1.

0.

1.

. – 8

. – 6

. – 4

. – 3

. 0

. 3

. 6

37

considerados do ponto de vista cognitivo e os ostensivos e não-ostensivos

sejam vistos do ponto de vista do funcionamento da Matemática, estes

conceitos guardam uma relação de similaridade.

Apresentamos a seguir uma atividade trabalhada com os estudantes

pesquisados neste trabalho, procurando mostrar o seu desenvolvimento

cognitivo frente aos diferentes registros de representação semiótica e o

desenvolvimento Matemático na resolução dessa tarefa. A atividade consistiu

em apresentar dois conjuntos e uma lei de formação, solicitando aos

estudantes representar esta relação por um diagrama de Venn, por um gráfico

no plano cartesiano e alguns valores numéricos de f(x).

Figura 4: Exemplo de Atividade no teste dos alunos

Fonte: Bezerra Matemática, 1994 (adaptada) – (Q. 20, p. 43)

O estudante TTCB (sigla de seu nome) utilizou os ostensivos “Diagrama

de Venn”, “as linhas ligando os valores de x do conjunto domínio à y no

conjunto contradomínio”, “a representação gráfica cartesiana”, e “registros

escriturais”. Além desses ostensivos registrados na folha de atividade,

podemos perceber que os não-ostensivos, que é a noção de função, ainda

aparece como não totalmente desenvolvida. Diversos pontos nos permitem

fazer esta observação. Uma delas é o fato de o estudante em questão utilizar,

no espaço dedicado aos elementos do conjunto B, somente os valores relativos

à imagem de f, deixando de fora os elementos -3 e 6 pertencentes à B. Ou

seja, o estudante acabou por representar uma função, que a princípio é injetora

mas não é sobrejetora, numa função injetora e sobrejetora. Além disso, o

registro gráfico cartesiano de f, que precisamente seria um gráfico de pontos

discretos, apareceu como uma linha contínua ligando os pontos alinhados

desenhados sobre o plano.

Atividade: Uma função f de A = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 6} em

B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} é definida pela seguinte lei: f(x) = x – 1.

a) Represente f em um diagrama de Venn.

b) Faça o gráfico de f.

c) Determine x de modo que as sentenças f(x) = 3, f(x) = 0 e f(x) = -1 sejam

verdadeiras.

38

Figura 5: Atividade do aluno TTCB

Uma função f de A = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} em B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} é definida pela

seguinte lei: f (x) = x – 1.

a) Represente f em um diagrama de Venn.


Fonte: A pesquisa

Completando o estudo da relação didática entre os saberes e seus

atores, há ainda que se considerar as ações de cada um na instituição de

ensino, isto é, seu “topos”. Em um de seus estudos Chevallard e Grenier (1997)

introduzem a noção de “topos”, isto é, o papel que professor e estudante

desempenham durante a ação didática.

O “topos” do professor pode ser identificado como a práxis do indivíduo,

que na instituição deve garantir o processo de ensino, relacionando os objetos

do saber, manipulando os não-ostensivos próprios à sua tarefa, pois é ele que

tem condições de prever e decidir sobre a introdução de novos objetos nessa

relação didática. É dele que dependem as instruções para a realização das

tarefas institucionalizadas pelos materiais didáticos. Enquanto que o “topos” do

estudante corresponde a operar os objetos do saber e os ostensivos próprios

que o cabe, com certa autonomia, de maneira a introduzir em sua rede

cognitiva, os não-ostensivos relativos ao conhecimento que está sendo

construído nesta relação.

Dessa forma, a diferença entre o saber do professor e o saber do

estudante pode ser apenas temporal, incluindo-se necessariamente as

subjetividades relativas aos sujeitos (CHEVALLARD e GERNIER, 1997). Os

não-ostensivos repassados ou materializados pelo professor em sua práxis, por

39

diversos tipos de ostensivos, podem então, nessa relação didática, conceituar-

se como não-ostensivos pelo estudante na manipulação desses objetos do

saber, transformando-se em conhecimento.

A fim de melhor explorar e localizar as praxeologias, que correspondem

às organizações matemáticas associadas a um determinado domínio de

estudo, numa relação com o saber, Chevallard (2002) define os seguintes

níveis de codeterminação: civilização, sociedade, escola, pedagogia,

disciplina, domínios, setores, temas e tópicos.

Segundo Chevallard (2002), esses níveis descrevem as relações

recíprocas entre os níveis mais específicos e os mais gerais do sistema

didático. Observa ainda que o novo problema de fazer funcionar organizações

didáticas concebidas segundo um determinado ponto de vista conduz a

enfrentar restrições que distorcem a estrutura e eliminam as funções quando

deixam de ser apenas um mundo no papel.

Assim, o autor explicita essas restrições associando as diferentes

organizações matemáticas à hierarquia dos níveis de codeterminação

mostrando que seu interesse é permitir a triagem das restrições que dirigem o

estudo escolar e a escolha das que serão consideradas de maneira a evitar um

desequilíbrio muito flagrante.

Dessa forma, Chevallard (2002) parte da afirmação que as restrições

indicadas acima se devem ao fato que uma organização matemática não se faz

em um vazio de obras2, pois uma organização matemática pontual

praticamente não é encontrada no desenvolvimento de estudos reais, pois essa

abstração existe para o aluno que, em geral, é avaliado sobre tipos de tarefas

que para ele corresponde a um tópico completo quase independente dos

outros. Já, para o professor existe uma unidade em torno de uma tecnologia

que tem status de tema de estudo e que agrupa em uma organização regional

que corresponde ao amálgama de organizações locais admitindo uma mesma

teoria e que é associada ao setor de estudo.

2 Segundo Chevallard (1998) uma obra pode ser uma parte qualquer de um complexo de

organizações praxeológicas. Como exemplo de um tipo particular de obra, o autor cita as

instituições além dos componentes materiais como livro, retroprojetor, etc.

40

Existem ainda níveis superiores de determinação de uma organização

matemática, ou seja, o correspondente ao amálgama de varias organizações

regionais que conduz a uma organização global identificada a um domínio de

estudo cujo conjunto é amalgamado em uma disciplina.

Como exemplo do nosso estudo, podemos supor que uma organização

matemática pontual corresponde à tarefa construir o gráfico da função afim cuja

tecnologia está associada à passagem do ostensivo de representação

algébrico para o ostensivo de representação gráfico e para o qual existe uma

técnica que pode ser utilizada para os outros tipos de funções formando assim

uma organização matemática local associada ao tema de estudo gráfico de

funções que se referem ao setor de estudo funções de uma variável real a

valores reais cujo domínio de estudo é o das funções que amalgamado com os

outros domínios, por exemplo, a da geometria analítica, conduz a disciplina

matemática. Chevallard (2002) observa que os professores, em geral, se

referem apenas aos níveis tópicos e temas, pois nas organizações didáticas

escolares existem poucas possibilidades de atuar sobre os outros níveis. O

autor apresenta como exemplo, iniciar uma aula apresentando o programa de

estudos da classe para o ano escolar, mostrando que assim o professor

poderia expor cada domínio que o compõe e completar no decorrer do ano com

uma apresentação dos setores de estudo que compõem os diferentes domínio

situando temas e tópicos que serão estudados na sequência. O autor ressalta

ainda que se o professor não localiza temas e tópicos nos setores e domínios

de estudo e segue o programa introduzindo-os um após o outro como uma fila

indiana, irá provocar uma atomização do material de estudo que contrasta com

a ambição original que é ensinar matemática. Chevallard (2002) ressalta a

importância da desconstrução/reconstrução no estudo das obras por meio da

metáfora do quebra cabeça, pois reconstituímos apenas fragmentos de um

quebra cabeça que jamais será reconstruído em seu conjunto.

Para Chevallard (2002) o principal déficit, que gera essa forma de

trabalho em que o professor se refere apenas aos níveis tópicos e temas, está

associada primeiro às organizações matemáticas efetivamente utilizadas em

aula o que segundo o autor, conduz a ausência de motivação dos tipos de

tarefas estudadas, pois as tarefas que servem para motivar o trabalho

matemático se encontram nos níveis superiores das organizações

41

matemáticas, a saber, setores e domínios. Utilizando como exemplo o cálculo

da média de uma série estatística, Chevallard (2002) coloca em evidência o

fato que essa tarefa é considerada como auto motivadora por razões culturais,

o que corresponde mais a uma cópia formal das obras que a sua

desconstrução/reconstrução. Assim, encontrar tarefas que motivem o

desenvolvimento de uma determinada noção exige que tenhamos acesso aos

níveis superiores de codeterminação matemática.

Dessa forma, conforme Chevallard (2002), encontramos assim um

fenômeno ecológico central, o da codeterminação das organizações

matemáticas e didáticas, pois a ausência da relação do tópico ou tema com os

níveis superiores: setores e domínios, além da própria disciplina, torna

impossível pensar a relação de motivação entre os tipos de tarefas, ou seja, a

organização do estudo de um tópico ou tema conduz a considerar os níveis

superiores da hierarquia de determinação matemática.

Assim, se os professores ficam confinados ao nível tema, as diferentes

esferas da noosfera cuidam dos níveis superiores – setores, domínios,

disciplinas. A inscrição de determinados domínios da matemática passa a ser

controlada por instâncias de capital cientifico e político.

A escala tópicos, temas, setores, domínios e disciplinas juntam-se ainda

níveis suplementares (sociedade, escola) que não representam um dado, mas

uma construção histórica. Cada nível determina a ecologia das organizações

matemáticas e das organizações didáticas por meio dos pontos de apoio que

oferecem e das restrições que impõem.

Por meio do exemplo que um tópico, em geral, está incluído em um

tempo curto de uma aula o autor mostra que isso contraria a existência de

formas didáticas em que o trabalho da classe sobre esse tópico possa ser

articulado sobre um tempo longo. Isso o conduz a considerar que em função

desse nível de condições oferecidas e restrições impostas, no quadro do

sistema escolar existente, o estudo de um tópico de qualquer disciplina

pertence ao que se denomina nível pedagógico. Sendo esse nível aquele em

que termina a ação da noosfera disciplinar. As restrições pedagógicas tomam a

forma de um conjunto de meios de estudo impostos e alocados em todo estudo

escolar, com algumas exceções, que convém negociar com autoridade

pedagógica.

42

Mas, o esquema de níveis de codeterminação matemática não termina

no nível pedagógico, esse representa apenas a fronteira entre a noosfera, que

é composta por especialista de pedagogia que propõem a lei sem se preocupar

com os decretos de aplicação. É onde reina o que o autor denomina política.

Como exemplo, o autor indica o que ele chama de fórmula tradicional

apresentada nos programas segundo o qual “o professor tem toda liberdade na

organização de seu ensino com a condição que sejam observados os objetivos

visados pelo programa”, ou seja, o professor deve respeitar o conjunto de

restrições pedagógicas, o que lhe proporciona uma margem de manobra muito

reduzida.

Além do nível pedagógico encontramos o nível escola, isto é o nível de

restrições e pontos de apoio próprios da instituição escolar, pois em uma

escola pode existir determinada disciplina e não existir outra, da mesma forma

que na sociedade existem escolas de 6 a 16 anos e também escolas para

menores de 6 anos e ainda escolas para maiores de 16 anos.

Assim, a escola é definida como instituição social dedicada ao estudo,

onde se suspende temporariamente o fluxo das atividades comuns da vida

para estudar, isto é, desconstruir e reconstruir as praxeologias da vida. Dessa

forma, Chevallard (2002) considera que a escola determina uma ecologia e

uma economia da difusão dos conhecimentos na sociedade.

No nível sociedade existe uma enorme quantidade de restrições e como

exemplo o autor apresenta o fato que uma sociedade pode compreender a

instrução dada em sua escola de pontos de vista diferentes, que não são

didaticamente equivalentes, isto é, que não criam as mesmas condições na

classe para um mesmo tópico de estudo.

Um primeiro ponto de vista, que ainda é dominante, corresponde ao

sistema de disciplinas reduzidas em si mesmas como sendo totalidades e não

considerando o que elas nos possibilitam em termos de conhecimento e ação.

A escola aparece como uma obrigação cultural mais ou menos formal em que

algumas obras, cuja escolha é vivenciada por muitos como arbitraria e cuja

visita se impõe sem que seja conveniente permanecer por muito tempo.

Um segundo ponto de vista, em emergência a partir dos anos 90,

corresponde à tentativa de projetos oficiais e semi oficiais que consiste em ver

a escola diluída na sociedade civil por meio de uma rede de lugares de difusão

43

e validação de competências variadas, constantemente e localmente

redefinidas, adquiridas e validadas sem referência nem reverência aos saberes

“monumentais”, visando à eficácia pragmática na vida profissional e no

reconhecimento das pessoas por meio de títulos que as classificam. Como

exemplo, Chevallard (2002) indica os apresentados por Authier e Lévy (1992

Apud CHEVALLARD, 2002), isto é, os « brevets », « arbres » et « blasons ».

Assim, conforme Chevallard (2002) com tal problemática, a escola pode

tomar a forma de uma sala de negócios onde, no lugar de longos discursos

“teóricos”, administramos fervorosamente um “portfólio de competências” que é

conveniente atualizar rapidamente para responder as necessidades de

diferentes mercados sobre os quais o indivíduo deve perceber o seu valor.

Chevallard (2002) apresenta ainda um terceiro ponto de vista, por ele

exposto na escola de verão de 1999, no qual o nível escola é considerado

como um lugar aberto ao estudo de toda questão umbilical possível de uma

sociedade, de uma geração, de um meio social para determinados meios,

podendo motivar um saber que sem isso seria de ordem puramente

especulativa. Dessa forma, tal ponto de vista parece suscetível de suspender o

tempo social sem repudiá-lo para dar lugar a um tempo de estudo em que se

constroem pacientemente as praxeologias que, por principio escolar, só serão

utilizadas com certa diferença no mundo das práticas extraescolares.

Outro exemplo correspondente ao nível sociedade é que atualmente

vivemos em nossa sociedade, mesmo que de forma implícita, divisões rígidas

que delimitam domínios de legitimidade exclusivos. Assim, conforme

Chevallard (2002) o hábito de não falar muito, até mesmo de se recusar a

pronunciar e guardar para si as verdades tem um longo passado na cultura e

nas ciências. Isso inspirou em parte a fragmentação sábia da produção dos

conhecimentos, um princípio reivindicado pela ideologia comum dos cientistas.

Dessa forma, na divisão existente no campo de estudo existem a

ambiguidade determinada pela história deste campo, pelas restrições impostas

às vezes a revelia dos pesquisadores, pela cultura e pela organização da

sociedade. Esse obstáculo não é próprio à didática da matemática, não mais

que a instrução pública, sendo isso que devemos enfrentar.

44

Os níveis de codeterminação matemática propostos por Chevallard

(2002) nos ajudam a melhor analisar as propostas curriculares e compreender

as dificuldades enfrentadas pelos professores para colocá-las em prática.

Baseado no que foi discutido sobre a TAD, consideramos ainda que um

trabalho matemático completo deve contemplar a conversão entre os diferentes

tipos de representações semióticas e os diferentes níveis de conhecimento

esperados dos estudantes, passaremos a descrever alguns pontos do trabalho

de Duval (1995, 2011) sobre registro de representação semiótica e, em

seguida, passaremos a descrever o trabalho de Robert (1997, 1998).

3.2 – Registros de Representação Semiótica

A noção de função impõe certo número de representações e estas

podem se mostrar mais ou menos adequadas em razão das tarefas que são

propostas aos estudantes, seja como objeto de estudo da própria Matemática,

seja como ferramenta de modelagem para situações contextualizadas.

Considerando ainda que o tratamento das questões de aprendizagem,

em particular as questões de aprendizagem da Matemática, que podem ser

representadas de diferentes formas por meio de diversos registros de

representação semiótica, e que a noção de registro de representação semiótica

da forma como discutida por Duval (1995) se mostra adaptada ao trabalho

proposto nesta pesquisa, escolhe-se esse trabalho como referencial teórico

auxiliar para as análises tanto das tarefas que serão propostas aos estudantes,

a partir dos materiais de apoio ao Currículo, como dos resultados por eles

apresentados.

Sendo assim, quando se leva em conta a abordagem em termos de

registro de representação semiótica de Duval (1995), verifica-se que para a

noção de função, é necessário que se pense em introduzir suas possíveis

representações e que se trabalhem as conversões entre elas, pois, em geral, é

por meio destas representações que vislumbram outras noções matemáticas

como, por exemplo, domínio de uma função, conjunto solução de uma

inequação, entre outros.

45

Os diferentes registros de representações de funções, sejam eles na

forma de tabelas (figura 6), na forma de gráficos (figura 7), na forma de

expressões algébricas ou fórmulas (figura 8) ou as representadas na forma oral

na língua materna, favorecem uma compreensão mais abrangente desse

conceito, podendo, em cada caso, passar de uma representação a outra por

meio de diferentes interpretações, ampliando a noção do objeto estudado pelo

estudante.

Figura 6: Representação em forma de tabela - Interdependência entre x e n

Fonte: São Paulo, 2009, CP, 1s, vol2, p. 15

Figura 7: Representação gráfica – Gráficos da função f(x) = ax2, variando o valor de a


n x

1 400 000

2 200 000

4 100 000

5 80 000

8 50 000

10 40 000

20 20 000

46

Figura 8 – Uso de fórmulas para representar funções


Duval (2003) aponta que há grande variedade de representações

semióticas em Matemática. Para ele há quatro tipos diferentes de registros os

quais são apresentados no quadro a seguir.

Figura 9: Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento

matemático (fazer matemático, atividade matemática)

REPRESENTAÇÃO DISCURSIVA

REPRESENTAÇÃO NÃO-DISCURSIVA

REGISTROS MULTIFUNCIONAIS: Os tratamentos não são algoritimizáveis

Língua Natural Associações verbais (conceituais). Forma de raciocinar:

Argumentação a partir de observações, de crenças, ...;

Dedução válida a partir de definições ou de teoremas.

Figuras geométricas planas ou em perspectivas (configurações em dimensão 0, 1, 2ou 3).

Apreensão operatória e não somente perceptiva;

Construção com instrumentos.

REGISTROS MONOFUNCIONAIS: Os tratamentos são principalmente algoritimizáveis

Sistemas de escritas:

Numéricas (binária, decimal, fracionária ...);

Simbólicas (línguas formais).

Cálculo

Gráficos cartesianos.

Mudanças de sistemas de coordenadas;

Interpolação, extrapolação.

Fonte: (DUVAL, 2003, p.14)

Para Duval, quanto mais se dispõe de diferentes registros para

representações de um mesmo objeto matemático, mais este se fixa à rede

cognitiva e a outros objetos que se encontram disponíveis nesta rede,

favorecendo uma melhor compreensão pela sua abrangência. Portanto, para

se estender aos diversos domínios ou quadros pelas quais se utiliza ou se

constrói a Matemática, torna-se mais rica a exposição e representação dos

objetos desses domínios ou quadros a partir de suas diversas formas de

2

2

2

2

10)(g)

)(e)

10)(c)

)(a)

xxf

xxf

xxf

xxf

2

2

2

2

10

1)(h)

2)(f)

10

1)(d)

2b)

xxf

xxf

xxf

xf(x)

47

representação semiótica. Seria difícil pensar que haveria Matemática sem uso

das diferentes representações para seus objetos. O estudo da noção intuitiva

de conjuntos, com todas as suas representações, símbolos, elementos,

relações e operações, dificilmente poderia ser articulado sem uma

representação simbólica adequada de seus conceitos.

O exemplo a seguir permite verificar uma série de registros de

representações semióticas para uma reta em IR2.

Figura 10 – Exemplo de registros de representação semiótica para uma reta no plano

Fonte: Jamal, 2011, pp. 99 e 100

Representação funcional de uma reta em R2.

baxy

Representação cartesiana de uma reta ou equação geral da reta em R2.

cbyax

Equação segmentária da reta.

0b 0;a 1 b

y

a

x

Equação paramétrica ou equação vetorial de uma reta.

parâmetro) e vetor ponto,A e (X R AX:r

R ),(),(y)(x,:r 1 baxx y

Representação simétrica de uma reta ou equação da reta r na forma

simétrica em R².

),( e )( nde 1111 ba,yxAo

b

yy

a

xx

Representação gráfica de uma reta.

Representação funcional de uma reta em 2.

baxy

Representação cartesiana de uma reta ou equação geral da reta em 2.

cbyax

Equação segmentária da reta.

0b 0;a 1 b

y

a

x

Equação paramétrica ou equação vetorial de uma reta.

parâmetro) e vetor ponto,A e (X

R AX:r

R ),(),(y)(x,:r 1 baxx y

Representação simétrica de uma reta ou equação da reta r na forma

simétrica em IR ².

),( e )( nde 1111 ba,yxAo

b

yy

a

xx

Equação determinante de uma reta, onde P(x,y) é um ponto qualquer e

A(x1,y1) e B(x2,y2) são dois pontos da reta.

0

1

1

1

22

11

yx

yx

yx

Representação gráfica de uma reta.

y

x

r

48

Além disso, sendo a Matemática uma ciência para a qual um mesmo

objeto pode ser representado de diferentes formas, não é de se estranhar que

ela utilize as representações semióticas para o desenvolvimento e

interpretação das questões que lhe são associadas.

Verifica-se ainda que a própria ideia de número, a qual se utilizam

símbolos para sua representação (no nosso caso os algarismos do sistema de

numeração decimal) que dão as ideias de seu valor, ou ainda, as equações

que, de certa forma traduzem um problema modelado de uma situação de

referência, mas que também podem ser vistas como objetos matemáticos

quando estão sendo tratadas em relação às propriedades associadas à noção

de grupo, isto é, podendo assumir diferentes papéis em função da noção que

se quer evidenciar, assumindo assim seu papel ferramenta no primeiro caso e

objeto no segundo, possuem diferentes formas de representação.

Observamos aqui também a questão da teoria associada a uma

determinada tecnologia, pois essa última depende da técnica empregada.

Num desenvolvimento de um trabalho matemático um determinado

registro pode ser privilegiado em relação a outro. No entanto, a possibilidade

de passar de um registro a outro é o que torna a Matemática mais

compreensível. Dessa forma, Duval (2003) sinaliza que há dois tipos de

transformações de representações semióticas: os tratamentos e as

conversões.

Os tratamentos são transformações que se dão dentro de um mesmo

registro, isto é, lida-se com os elementos que compõem o registro sem, no

entanto, passar para outro registro, como por exemplo, resolver uma equação

ou um sistema de equações.

Figura 11: Tratamento na resolução de uma equação matemática

Fonte: Elaborado pelo pesquisador

2

9

2

9

2

2

92

312332

1232

x

x

x

x

x

49

As conversões são transformações de representação que consistem em

mudar de registros conservando os mesmo objetos em questão, como por

exemplo, representar uma função por uma lei de formação e por uma tabela de

valores.

Figura 12: Conversão na obtenção da função, dado o gráfico cartesiano

Fonte: Dante (2010, p. 121)

Constantemente em Matemática passa-se de uma representação

semiótica a outra a fim de explorar os conceitos envolvidos nas diferentes

tarefas e fazer-se representar as diferentes ideias associadas aos conceitos em

questão. Por exemplo, em geometria analítica faz-se frequentemente as

conversões equação«tabela«gráfico, registros associados, por exemplo, às

retas e planos em IR 2 e IR 3 que permitem modelar uma situação desse

domínio ou quadro da Matemática. Essas conversões se mostram necessárias

tanto para a solução de uma tarefa como para uma melhor interpretação. No

entanto, os sentidos da conversão mostram dificuldades distintas na

compreensão e no trabalho por conta do estudante, como aponta o trabalho de

Santos e Curi (2012). Essas autoras mostram que os estudantes têm menos

dificuldade em converter um registro algébrico para o gráfico que a conversão

contrária.

Sendo o estudo de funções uma noção essencial no estudo da

Matemática e de outras ciências, é preciso considerar suas diferentes

representações e suas possíveis conversões e tratamentos. Também

Dado o gráfico da função de IR em IR, escrever a função f(x) = ax + b

correspondente.

Respostas: 23

2)(

xxf

50

acreditamos ser preciso compreender o papel dessas noções nas tarefas

propostas aos estudantes. Sendo assim, expõe-se aqui, brevemente, a

abordagem teórica em termos de níveis de conhecimento esperados dos

estudantes, segundo definição de Robert (1997, 1998) que conduz à definição

dos níveis técnico, mobilizável e disponível, que compreendemos que

completará o trabalho de análise que pretendemos.

3.3 - Níveis de Conhecimentos Esperados dos Estudantes

Para observar como o Currículo se desenvolve em nível escolar e que

conhecimentos podem ser esperados dos estudantes dos Ensinos

Fundamental e Médio quando se introduz a noção de função, no sentido de

analisar o desenvolvimento do Currículo; para que seja possível diagnosticar os

conhecimentos prévios esperados e em que nível, para propor uma atividade

que permita atingi-los, mesmo quando esses já fazem parte dos conhecimentos

prévios dos estudantes, mas ainda não apresentam o nível esperado; para

detectar o nível que se encontram os estudantes e propor situações que

permitam atingir o nível disponível; recorre-se à abordagem teórica em termos

dos níveis de conhecimento esperados dos estudantes (técnico, mobilizável,

disponível), conforme definição de Robert (1997, 1998).

Essa abordagem em termos dos três níveis de conhecimentos

esperados dos estudantes foi proposta por Robert no seu artigo intitulado

“Quelques outils d’analyse épistemologique et didactique de connaissances

mathématiques à enseigner au lycée et à l’université”, apresentado na França

em 1997. O artigo de Robert se inicia observando que um dos meios e também

um dos fins que se deve evidenciar nas pesquisas na área da educação é a

elaboração de cenários que devem ser colocados em prática em sala de aula

para se obter uma análise mais apurada dessa experiência. Dessa forma, a

autora acredita que uma parte do trabalho do didata consiste em adaptar às

especificidades das Matemáticas escolhidas, em um determinado nível, às

hipóteses cognitivas e didáticas que serão adotadas e que permitirão trabalhar

as especificidades dos conteúdos e os tipos de atividades esperadas dos

estudantes para o desenvolvimento desses conteúdos. Isso vem ao encontro

de uma de nossas propostas que é a de observar de que forma o professor

51

trabalha o Currículo de acordo com as especificidades exigidas por sua

clientela e se o Currículo é adaptável às diferenças encontradas nas práticas.

Dessa forma, consideramos importante levar em conta a abordagem

teórica em termos de níveis de conhecimentos esperados dos estudantes

segundo definição de Robert (1997, 1998), que deverá auxiliar na identificação

dos conhecimentos prévios esperados quando se trabalha o conceito de função

no Currículo de Matemática do Estado de São Paulo. Dessa forma, é possível

analisar as tarefas quanto ao nível de conhecimentos esperados dos

estudantes, assim como as atividades desenvolvidas por eles.

Os diferentes níveis de conhecimentos propostos por Robert (1997)

podem ser resumidos por:

Nível Técnico: Corresponde a um nível de trabalho individual do

estudante no qual este encontra na tarefa todos os elementos necessários para

sua realização além do que, está explicitamente indicado o caminho para esta

realização. Geralmente são tarefas propostas como fixação da aprendizagem

de uma determinada definição ou do uso de uma determinada ferramenta.

Figura 13: Exemplo de tarefa de nível técnico

Construa, no espaço a seguir, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos

das seguintes funções a, b, c e d, e em outro plano os gráficos das funções e,

f, g e h.

2

2

2

2

10)(g)

)(e)

10)(c)

)(a)

xxf

xxf

xxf

xxf

2

2

2

2

10

1)(h)

2)(f)

10

1)(d)

2b)

xxf

xxf

xxf

xf(x)

Fonte: São Paulo, 2010, CA, 1s, vol2, p. 28

Nível Mobilizável: Corresponde ao nível de conhecimento esperado dos

estudantes na resolução de uma tarefa de forma que ele saiba utilizar as

ferramentas específicas para o tipo de tarefa. O que se pede na tarefa está

explícito, mas o estudante deve procurar um caminho de resolução baseado no

uso da ferramenta que se espera que ele utilize.

52

Figura 14: Exemplo de tarefa de nível mobilizável

Na casa de uma família que gasta cerca de 0,5 kg de gás de cozinha por dia,

a massa de gás m contida em um botijão doméstico de 13 kg varia com o

tempo de acordo com a fórmula m = 13 - 0,5t , onde t é o tempo em dias.

a) Calcule o número de dias necessários para um consumo de 6 kg de

gás.

b) Calcule a massa de gás que resta em um botijão após 10 dias de uso.

c) Esboce o gráfico de m em função de t.

Fonte: São Paulo, 2010, CA, 1s, vol2, p. 11

Nível Disponível: Neste nível os dados necessários para a realização

da tarefa encontram-se no enunciado, porém não é indicado nenhum caminho

ou ferramenta que possam auxiliar na resolução. O estudante pode chegar à

solução partindo de várias formas, até mesmo sem uso de ferramentas

específicas. Em alguns casos o estudante acaba chegando à solução optando

por tentativas e experimentando-as, eliminando os erros para chegar, por

aproximações, à resposta correta. Certamente, quando isso é possível.

Esse nível de conhecimento está associado à familiaridade, ao conhecimento

de situações de referências que o estudante sabe poder manipular. Em geral,

para resolver tarefas propostas em nível disponível o estudante procura em sua

estrutura cognitiva situações próximas ao que foi proposto, que possam auxiliá-

lo a reconhecer os conhecimentos que servem de ferramenta para o

desenvolvimento do trabalho.

Figura 15 – Exemplo de tarefa de nível disponível

Mostre que a curva do gráfico de f(x) = x2 não tem um “bico” na origem do

sistema de coordenadas, ou seja, ela tangencia suavemente o eixo x.

Fonte: (São Paulo, 2010, CA, 1s, vol2, p. 29)

53

Figura 16 – Segundo exemplo de tarefa de nível disponível

Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 20 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a

a) 360.

b) 344.

c) 324.

d) 368.

Fonte: Unicamp, Vestibular 2012

Baseado nas teorias dos autores que apresentamos neste capítulo,

pretendemos analisar as obras oficiais estatuais e federais, os materiais de

apoio aos professores e estudantes, os questionários apresentados em nossa

pesquisa e os testes realizados com estudantes. Articulando as teorias desses

três autores poderemos verificar, por exemplo, quais as relações pessoais e

institucionais nos objetos analisados, os registros de representações

semióticas utilizados e suas possíveis transformações e os níveis de

conhecimentos esperados dos estudantes ao realizar determinadas tarefas.

Pelo fato de que os estudos que trataremos neste trabalho terem um

foco sobre o conceito de função, faremos um breve histórico sobre o

desenvolvimento desse conceito com vistas às suas definições ao longo de sua

aplicação.

54

55

4 – UMA BREVE HISTÓRIA SOBRE FUNÇÕES

Apesar de função ser um objeto matemático que passou a ter um

interesse de estudo mais acirrado por volta do século XVII, sua ideia é muito

mais antiga e provavelmente iniciou-se com o surgimento da ideia de números.

Relacionar quantidades de objetos dos conjuntos, mesmo que os objetos

sejam de natureza diferente, está no fundamento abstrato e discreto da ideia

de número. Portanto, o conceito de número que surge como um dos objetos

mais fundamentais do desenvolvimento humano e que é a base da

Matemática, é também um conceito que surge de forma intuitiva, informal,

desinteressada e ingênua, e que somente mais tarde passa a ser um objeto de

estudo mais formalizado.

Assim provavelmente também surge a ideia de função. Não surgiu com

suas definições formais como a concebemos hoje, mas de forma também

ingênua como a ideia de números. Surge com a ideia de relacionar

quantidades, de fazer correspondências. Nesse sentido, podemos tomar uma

citação de Caraça:

A ideia de correspondência é tão importante que nos vamos

demorar um pouco no seu estudo; ele facilitar-nos-á

enormemente a compreensão de certas questões que

aparecerão adiante, como seja a questão dos irracionais, o

conceito de função, etc. (CARAÇA, 1951, p. 10).

Há um ponto de divisão de águas quando se trata de estudar

historicamente o desenvolvimento da noção de função. Segundo Rogalski

(2013), esta época fica dividida pelo século XVII. Assim tem o período antes do

século XVII e o após o século XVII. Segundo este matemático, o período antes

do século XVII está motivado pelas relações entre grandezas de fenômenos

naturais (Astronomia, Mecânica, Física), onde o tempo atua com um papel

fundamental. Trabalhava-se com funções particulares, mesmo que em

diferentes registros (tabular, linguagem natural, fórmulas, curvas geométricas),

não havia ainda uma conceituação geral. Usava-se as funções como

56

ferramentas sem unificação de forma e sem uma simbologia específica que lhe

desse padronização, até a época de Viète e Descartes.

Um conceito unificado sobre a noção de função, colocando esse

conceito como um objeto matemático, começa a evoluir a partir do século XVII

e as sucessivas definições de função vão surgindo e evoluindo em função dos

problemas, sobretudo para modelar problemas físicos (ROGALSKI, 2013).

Acompanhando mais intimamente o desenvolvimento histórico do

conceito de funções, vemos que os povos primitivos, ao associar quantidades,

tinham intuitivamente a ideia funcional. Essa ideia foi se estruturando, tanto que

foi a base de construções de tabelas de inter-relações numéricas, encontrados

em papiros antigos como alguns das coleções de Berlim, de Yale e do Louvre,

que apresentam tábuas de relações entre na e n , e que permite escrever a

relação ba x , na linguagem atual (EVES, 2004, p. 77).

As relações estabelecidas por quantidades ou grandezas aparecem

primitivamente como para explicar fenômenos naturais, principalmente

associados a movimentos. Os movimentos dos corpos celestes, por exemplo,

foi um grande precursor para a construção de tabelas de senos como as de

Ptolomeu, 150 d.C. conhecidas como Almagesto. Porém, indícios apontam que

Hiparco c.140 a.C., usava tabelas semelhantes. No entanto, tábuas de

cotangentes já eram percebidas em alguns problemas no papiro Rhind, de

cerca de 1650 a.C. (Ibid., p. 70, 142, 202, 203).

Também recorrendo à ideia de relacionar, porém utilizando

comprimentos, os pitagóricos estabeleceram uma função entre os

comprimentos de cordas tensas e a nota musical produzida quando esta corda

era colocada a vibrar. Os pitagóricos, que já estabeleciam diversas relações

matemáticas aritméticas como as sequências, a exemplo dos números

triangulares, observaram uma lei simples da música:

Pitágoras observou que quando os comprimentos de cordas vibrantes

podem ser expressos como razão de números inteiros simples, como dois para

três (para a quinta) ou três para quatro (para a quarta), os tons serão

harmoniosos. Em outras palavras, se uma corda produz a nota dó quando

tocada, então uma corda semelhante com o dobro do comprimento produzirá o

dó uma oitava abaixo; e os tons entre essas notas são emitidos por cordas

cujos comprimentos são dados por razões intermediárias: 16:9 para ré, 8:5

57

para mi, 3:2 para fá, 4:3 para sol; 6:5 para lá e 16:15 para si, em ordem

ascendente. Aqui temos talvez as mais antigas leis quantitativas da acústica –

talvez as mais antigas leis quantitativas da física. (BOYER, 1974, p. 40, 41).

Estudos esses de Pitágoras, associados às médias harmônicas, ou seja,

à expressão ba

baM H

..2, dados a e b, posteriormente deram origem à

construção da lira, ao alaúde, ao cravo, ao violão, ao piano, ao órgão e aos

instrumentos de sopro que funcionam com os mesmos princípios

(CONTADOR, 2008).

Mas, mesmo com uma Matemática bastante desenvolvida para a época,

a formalização do conceito de função só começaria a aparecer mais tarde, no

século XVII.

Anteriormente ainda à conceituação de funções, a aritmética e, em

seguida, a álgebra das equações haviam evoluído. Também evoluiu o trabalho

com a geometria analítica.

A essência da ideia [a geometria analítica], quando aplicada ao

plano, [...], consiste em estabelecer uma correspondência entre

pontos do plano e pares ordenados de números reais,

viabilizando assim uma correspondência entre curvas do plano

e equações em duas variáveis, de maneira tal que para cada

curva do plano está associada uma equação bem definida.

(EVES, 2004, P. 382).

René Descartes em sua obra Discours de la Méthode de 1637, deu

grande contribuição à geometria analítica como a concebemos hoje e a qual

podemos associá-la com curvas de equações da forma )(xfy (Ibid., p. 383),

porém, em 1361, Nicole Oresme, pensando em traçar uma “figura” ou um

“gráfico” que representasse a variação das coisas, construiu um precursor das

“representações gráficas de funções”. Oresme traçou um gráfico de velocidade

x tempo para um corpo que se move com aceleração constante. Ao longo de

uma reta horizontal ele marcou pontos representando instantes de tempo (ou

longitudes), e para cada instante ele traçou perpendicularmente à reta de

longitudes um segmento de reta (latitude) cujo comprimento representava a

velocidade. As extremidades desses segmentos representará a velocidade.

58

Caso o movimento parta do repouso, a figura formará um triângulo retângulo

(BOYER, 1974, p. 192).

Figura 17: Representação gráfica dada por Oresme

Fonte: BOYER, 1974, p. 192

A relação entre um valor que se obtém quando outro valor varia já vai se

estabelecendo nessa época. As representações gráficas já parecem

representar algumas dessas variações. No entanto, ainda faltava dizer que,

quando uma variável y é dependente de uma variável x, y é função de x, e

estabelecer os critérios de x e de y. E isso não tardaria a acontecer.

No início do século XVII, dois italianos contribuíram com o

desenvolvimento da Matemática, incluindo também o desenvolvimento do

conceito de função. Galileu provando que os corpos em queda livre

desenvolvem distâncias dadas pela lei 2

. 2tgs , coloca o movimento dos

corpos em queda livre como função do tempo t de queda. Pouco tempo depois,

Johann Kepler, embebido nos registros de observação dos movimentos dos

corpos celestes de Tycho Brahe, expressou suas três leis dos movimentos

planetários. A terceira lei, por exemplo, pode ser representada algebricamente

pela relação KR

T

3

2

, onde T é o período de translação de um planeta e R o

semieixo maior da órbita (EVES, 2004, p. 357). Essas e outras leis que iam se

estabelecendo na Física e em outras áreas do conhecimento já estavam

consolidando o conceito de função.

Instantes

(longitude)

velocidades (latitude)

59

Após a metade do século XVII, pouco antes de Newton e Leibniz, James

Gregory, matemático escocês, deu a seguinte definição de função em 1667:

“uma quantidade obtida de outras quantidades pela sucessão de operações

algébricas ou por qualquer outra operação imaginável” (KLINE, 1990 apud

BOTELHO e REZENDE, 2007). Por essa definição e pelas representações

anteriores já podemos perceber que, não só as representações gráficas já

estavam bastante consoantes com a ideia de função, mas também as

representações algébricas e os conceitos já estavam se consolidando. No

entanto, essa ideia de variação e correspondência ainda não se chamava

função.

Com a advinda de Newton e Leibniz, as relações de variação, ou fluxos

como eram conhecidas, foram utilizadas para o desenvolvimento de uma das

ferramentas mais importantes da Matemática: O Cálculo Diferencial e Integral.

Para Newton, o que hoje chamamos de função era uma relação entre

fluentes. A palavra função foi usada por Leibniz para nomear a relação de

fluentes, ou de variáveis. Coube a Euler implantar a nomenclatura )(xf para

representar algebricamente uma função.

A partir dessa época, o conceito de função já estava bastante

fundamentado, porém, muitas discussões ainda se estabeleceriam e muitas

definições de funções seriam descritas por grandes matemáticos de forma a

eliminar pontos obscuros ou armadilhas desse conceito. Entre as definições

que se tem conhecimento, apresentamos abaixo uma relação de algumas

delas e seus autores, de forma cronológica. Algumas dessas definições foram

extraídas de Rüthing (1984, apud BOTELHO e REZENDE, 2007), outras de

Serge (2013).

1718. Johann Bernoulli. “Uma função de uma grandeza variável é uma

quantidade composta de qualquer maneira desta grandeza variável e de

constantes”.

1748: Leonhard Euler. “Uma função de uma quantidade variável é uma

expressão analítica composta de alguma maneira desta quantidade variável e

números ou quantidades constantes”.

60

1755: Leonhard Euler. “Se x denota uma quantidade variável, então

todas as quantidades que dependem de x ou que são determinadas por ele são

chamadas de função”.

1797: Joseph-Louis Lagrange. “Uma função de uma ou várias

quantidades é toda expressão para cálculo na qual estas quantidades entram

de uma maneira qualquer, envolvidas ou não com outras quantidades

consideradas todas como sendo dadas e valores invariáveis, enquanto as

quantidades da função podem assumir todos os valores possíveis. [...]

Designada em geral pela letra f ou F colocada antes da variável, toda

quantidade que depende desta variável e que varia com ela segundo uma lei

dada”.

1822: Gustav Lejeune Dirichlet. “Sejam a e b dois valores dados e x

uma quantidade variável que assume, gradualmente, todos os valores

localizados entre a e b. Se para cada x corresponde um único y, de modo que,

enquanto x percorre o intervalo de a até b, y = f(x) varia gradualmente da

mesma forma, então y é chamada função contínua de x para este intervalo.

Além disso, não é absolutamente necessário que y dependa de x no intervalo

inteiro de acordo com a mesma lei”.

1823: Augustin Louis Cauchy. Quando quantidades variáveis estão

interligadas, tal que, quando o valor de uma delas é dado, pode-se concluir o

valor de todos os outros valores, estes geralmente expressos utilizando várias

quantidades que levam o nome de variável independente, e os outros,

expressos por meio da variável independente, são chamados de função desta

variável.

1845: George Boole. “Qualquer expressão algébrica envolvendo o

símbolo x é chamada uma função de x e pode ser representada sob a forma

geral abreviada f(x). [...] Nestes mesmos princípios de notação, se em alguma

função transformarmos x em 1, o resultado será expresso pela forma f(1); se na

mesma função transformarmos x em 0, o resultado será expresso pela forma

f(0)”.

1861: Richard Dedekind. “Em uma aplicação de um sistema S uma lei

é entendida, de acordo com a qual cada elemento s de S está associado a um

determinado objeto que é chamado a imagem de s e denotada por f(s);

61

dizemos também que f(s) corresponde ao elemento s, que f(s) é originada ou

gerada pela aplicação f, que s é transformado em f(s) pela aplicação f”.

1939. Bourbaki. “Sejam E e F dois conjuntos distintos ou não. Uma

relação entre uma variável x de E e uma variável y de F é dita uma relação

funcional em y, ou relação funcional de E em F, se, para qualquer x E existe

um único y F, e apenas um, que está na relação dada com x. Damos o nome

de função à operação que associa a todo elemento x E o elemento y F que

se encontra na relação dada com x; dizemos que y é o valor da função para o

elemento x, e que a função é determinada pela relação funcional considerada.

Duas relações funcionais equivalentes determinam a mesma função.”

Dessa forma, podemos notar que o conceito de função passou

historicamente por diversas versões e por diversas representações e foi se

estruturando até os dias atuais. Muitas mentes trabalharam de maneira a

consolidar as ideias por detrás desse que é um dos conceitos mais importantes

da Matemática e que ajudou a desenvolver a humanidade representando os

fenômenos da natureza, auxiliando em sua compreensão e ajudando nas

previsões que se podem obter a partir do seu uso.

O ensino básico de todo o mundo, e inclusive do Brasil, se preocupa em

incluir esse estudo em seu Currículo. No Brasil, os Parâmetros Curriculares

Nacionais sugerem o início do estudo desse conceito no 9º ano do ensino

fundamental e um estudo um pouco mais detalhado na 1ª série do ensino

médio. O estudo de funções mais complexas vai se estendendo nas séries

subsequentes. Os livros didáticos em geral acompanham essa sequência e os

materiais de apoio ao Currículo – o Caderno do Professor e o Caderno do

Aluno – também fazem esse percurso.

Uma definição dada no Livro Didático do programa PNLD 2012 –

Matemática Contexto & Aplicações, de Luiz Roberto Dante (DANTE, 2010), é a

seguinte: “Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é

uma regra que indica como associar cada elemento x ϵ A a um único elemento

y ϵ B”. No ensino superior, uma definição encontrada no livro “Cálculo” de

James Stewart (STEWART, 2011), é a seguinte: “Uma função f é uma lei que

62

associa cada elemento x em um conjunto D exatamente a um elemento f(x),

em um conjunto E.

No Caderno do Professor, a definição de função dada é a seguinte:

“Duas grandezas x e y podem variar de modo interdependente, de tal forma

que seus valores assumem valores inter-relacionados. Quando, deixando variar

livremente os valores de uma grandeza x, notamos que os valores de outra

grandeza y também variam, de tal forma que a cada valor de x corresponde um

e somente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x; dizemos

ainda que x é a variável independente e y é a variável dependente”.

Para fechar a definição de função, tomaremos a definida no livro

“Matemática do Ensino Médio” de Elon Lages Lima et al (2006), uma obra

voltada mais precisamente para o estudo do professor de Matemática. Nesta

obra a definição de função é a seguinte: “Dados dois conjuntos X, Y, fuma

função f: X→Y é uma regra (ou conjunto de instruções) que diz como associar

a cada elemento x ϵ X um elemento y = f(x) ϵ Y.”

Podemos verificar que as definições mais atuais de função são aquelas

associadas às funções numéricas de variáveis reais enquanto que as mais

antigas são as funções associadas à covariação de grandezas.

Enquanto que os livros analisados neste trabalho definem funções por

meio de conjuntos, associando-as a funções numéricas, nem todos trabalham

seus exemplos e exercícios iniciais nesse sentido, o que mostra que ainda não

há uma clara diferenciação entre estes dois tipos de compreensão no conceito

de função.

Notamos que os Cadernos do Professor e do Aluno não fazem a

definição de função pelos meios atuais. Não definem função como uma lei de

formação associando elementos de dois conjuntos. Assim, na definição dadas

nesses cadernos, função assume uma característica mais voltada à covariação

de grandezas. Essa forma possibilita ou facilita para os autores desses

materiais fazerem a correspondência entre diversos tipos de funções e as

relações de proporcionalidade.

63

5 – METODOLOGIA

Esta pesquisa tem características qualitativas no sentido que, uma parte

do trabalho é a análise dos formulários de questões aplicadas diretamente aos

professores de Matemática de escolas públicas do Estado de São Paulo e de

um teste para um grupo de estudantes.

Além dessa pesquisa realizada em loco, também faremos uma análise

documental do Currículo do estado de São Paulo, a partir da Proposta

Curricular publicada em 2008, e o Currículo publicado em 2010, comparando-

os aos documentos oficiais em nível federal, como é o caso da LDB, dos PCN

e das orientações curriculares, e ainda, uma comparação com o Programa

Francês, analisando documentos relativos a esse programa, e comparando-os

com o trabalho desenvolvido no estado de São Paulo, em ação nas salas de

aula.

Dessa forma, primeiramente analisaremos os documentos oficiais da

união com vista ao que esses documentos orientam em relação ao trabalho do

professor e a prática de estudo do estudante, com luz na noção de “topos”

esperado do professor e do estudante, segundo Chevallard e Grenier (1997).

Na sequência serão verificados como os conceitos de função (definição,

domínio, contradomínio, imagem, injetividade, sobrejetividade, bijetividade,

função composta e função inversa) estão sendo trabalhadas no Currículo do

Estado de São Paulo. Essa análise será efetuada por meio de pesquisa

documental, discutindo a maneira como o conceito de função é introduzido nos

materiais de apoio, qual a metodologia adotada e sugerida para o trabalho com

os estudantes em sala de aula, como são articulados os diferentes registros de

representação semiótica para o trabalho desse tema, segundo definição de

Duval (1990, 1995), e como é a sua distribuição nas diferentes séries do ensino

fundamental e do ensino médio.

Em seguida a análise será feita relativa à aplicação do Currículo em

Ação e dos materiais de apoio. Para essa análise aplicaremos questionários

aos professores e testes para um determinado grupo estudantes.

64

Com esses levantamentos pretendemos saber se o trabalho baseado

em Situações de Aprendizagem, como está proposto no Currículo, dão conta

de permitir ao professor ensinar e ao estudante aprender o conceito de função,

e se é possível verificar se há inter-relação entre as Situações de

Aprendizagem e outras áreas do conhecimento a partir das orientações

curriculares. Também pretendemos saber como os estudantes se apropriam

dos conceitos estudados a partir de Situações de Aprendizagem; como os

estudantes do ensino fundamental, que já têm em sua grade curricular o estudo

preliminar de função no 9º ano, levam essa bagagem de conhecimento ao

ensino médio; como os estudantes do ensino médio compreendem e utilizam

os conceitos de função; quais conhecimentos prévios são considerados

mobilizáveis ou disponíveis ao final do ensino fundamental, segundo definição

de Robert (1997), e durante o ensino médio. E finalmente pretendemos

comparar o Currículo Prescrito com o Currículo em Ação nas escolas do

Estado, comparando os conteúdos destes com o que é proposto no Programa

Curricular Francês.

Essa comparação entre o Programa Francês e o Currículo do Estado de

São Paulo, acrescentando os resultados dos questionários aplicados aos

professores e dos testes aplicados a um grupo de estudantes, poderá fornecer

subsídios para uma análise mais precisa e objetiva para os objetivos

pretendidos neste trabalho.

Anteriormente a exposição da pesquisa em sua abrangência,

construiremos um panorama geral sobre a necessidade da mesma.

Para verificar se o Currículo do Estado de São Paulo, implementado

pelos Cadernos do Professor e pelos Cadernos dos Alunos, traz um

rendimento satisfatório e adequado no que diz respeito à aprendizagem em

Matemática, será necessário verificar se tais Cadernos estão sendo utilizados

pelos professores e pelos estudantes, e ainda, de que forma estão sendo

usados. É preciso verificar também se as avaliações externas têm trazido

resultados mais satisfatórios que os anteriores à implantação do programa,

analisando os resultados gerais e de forma bastante detalhada, para poder

focar um ponto de observação, analisar os resultados que envolvem conceitos

de funções ou que estejam relacionadas a esse conceito.

65

5.1 – Descrição das características da pesquisa relativa aos documentos

oficiais

A análise desses documentos buscará uma descrição geral sobre sua

apresentação, sobre os públicos a quem se destinam, sobre as orientações

metodológicas, os termos utilizados e principalmente os conteúdos apontados

para o ensino nos diversos níveis de ensino, percebendo-se fundamentalmente

àqueles relativos ao conceito de função. Dessa forma, poderemos buscar uma

relação entre a metodologia de ensino e os conceitos de funções nos

documentos da União, nos do Estado de São Paulo e no Programa Francês.

5.2 – Descrição das características da pesquisa relativa aos Cadernos do

Professor e do Aluno e Livros Didáticos

Os Cadernos do Professor e do Aluno serão analisados conjuntamente,

uma vez que, teoricamente, os dois seguem a mesma sequência, apenas com

características didáticas diferentes. O primeiro serve de orientação ao

professor, trazendo um detalhamento mais completo do assunto estudado,

apresentando a parte teórica da disciplina e relacionando o conteúdo com

outros conceitos matemáticos quando pertinentes. Enquanto o Caderno do

Aluno cabe, mais precisamente, às questões que devem ser respondidas em

sala ou em casa, apresentando algumas vezes um aporte teórico resumido ou

um fato histórico, procurando subsidiar o estudante de dados para a construção

da solução às questões ou para motivá-lo a respondê-las.

Na análise desses materiais, que incluirá os Cadernos do 9º ano do

ensino fundamental e as três séries do ensino médio, pelo fato de

apresentarem o estudo de funções, discutiremos como esse conceito é

apresentado, qual ou quais as ideias principais para definir o objeto função,

quais exemplos são apresentados aos estudantes e como esses exemplos são

abordados, quais os ostensivos e não ostensivos se apoiam os autores para

trabalharem e definirem a função, quais as formas de representação semiótica

são exploradas e com quais intensidades, e quais os níveis de conhecimentos

podem ser esperados dos estudantes para resolverem as atividades sugeridas.

66

Para cada tópico ou Situação de Aprendizagem trabalhados nos

cadernos, tomaremos ao menos uma questão apresentada no Caderno e a

analisaremos baseada na grade de análise que apresentaremos mais abaixo.

Essa análise, então, poderá ser posteriormente cruzada às analises dos

livros didáticos.

Os livros didáticos que optamos para as análises estão baseados em

alguns preceitos como: Livro Didático antigo, livros didático atual que esteja

incluído nos programas PNLD ou PNLEM, livros dos anos ou séries que

normalmente se trabalham os conceitos de função.

Escolhemos os seguintes livros para incluirmos nas análises neste

trabalho:

TUDO É MATEMÁTICA – DANTE. Ensino Fundamental. 8ª série

(2005).

BEZARRA MATEMÁTICA. 2º Grau (1994).

MATEMÁTICA. Kátia Smole & Maria Ignez. Ensino Médio (2010).

MATHEMATIQUES – Colletion Phare. Brault, Roger et al. Classe

de troisième (2008).

DECLIC MATHEMATIQUES. Beltramone, Jean-Paul, et al. Lycée

(2010, 2011, 2012).

Nestes livros iremos analisar, da mesma forma como faremos nos

Cadernos, como o conceito de função é apresentado, qual ou quais as ideias

principais para definir o objeto função, quais exemplos são apresentados aos

estudantes e como esses exemplos são abordados, quais os ostensivos e não-

ostensivos se apoiam os autores para trabalharem e definirem a função, quais

as formas de representação semiótica são exploradas e com quais

intensidades, e quais os níveis de conhecimentos podem ser esperados dos

estudantes para resolverem as atividades sugeridas.

A análise dos livros didáticos nos permitirá uma comparação mais

eficiente sobre como os conceitos relativos à função estão sendo trabalhados

nesses materiais e compará-los com as apresentadas no material de apoio ao

Currículo – Cadernos do Professor e do Aluno.

67

Em cada um dos materiais analisados, algumas questões próprias a

estes materiais serão eleitas e constituirão um objeto de análise. A comparação

entre diversas grades, horizontalmente, fazendo relação entre questões

internamente a um mesmo material, ou verticalmente, entre as questões eleitas

entre diversos materiais, possibilitarão uma discussão sobre a forma de

apresentação do conceito de função e a forma de trabalho própria a cada

material.

Para organizar a forma como as questões serão analisadas quanto aos

tipos de tarefas, tanto nos livros didáticos a serem analisados como nos

Cadernos do Professor e Aluno, trataremos dez tipos de tarefas, as quais

classificaremos entre T1 e T10, conforme segue:

Figura 18: Tipos de tarefa

Categoria Tipo de Tarefa

T1 Resolver uma equação.

T2 Encontrar um valor para uma função.

T3 Encontrar uma raiz de uma equação.

T4 Identificar características de proporcionalidade.

T5 Calcular uma constante de proporcionalidade.

T6 Escrever uma expressão algébrica.

T7 Representar um gráfico cartesiano.

T8 Preencher ou utilizar uma tabela.

T9 Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos.

T10 Encontrar informações e/ou propriedades em expressões algébricas.

Fonte: Elaborado pelo Pesquisador

Para cada questão tomada nos materiais analisados, indicaremos em

sua grade de análise o tipo de tarefa exigida. Dessa forma, poderemos, em

seguida, quantificar as tarefas mais ou menos exigidas em cada material, as

quais servirão para determinar um mapa de comparação entre os mesmos.

A seguir apresentamos a grade de análise que será utilizada quando

tomarmos algumas questões para a análise à luz do referencial teórico utilizado

neste trabalho. Nessa grade faremos também uma breve descrição de o que

será verificado em cada item.

68

Figura 19: Grade de Análise das Questões

Descrição da questão a ser analisada

Tarefa T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7, T8, T9 e T10.

Técnica A técnica numa atividade matemática é a consolidação consciente e instrumental associada a realização de certo número de tarefas (CHEVALLARD, 1994b).

Tecnologia A tecnologia é um discurso racional tendo por objetivo justificar a técnica, tornando-a compreensível (CHEVALLARD, 1994b).

Ostensivos manipulados na técnica

Os ostensivos são os instrumentos manipulativos ou operatórios na conceituação do objeto em questão (CHEVALLARD, 1994b).

Não ostensivos evocados nas tecnologias

Os não-ostensivos são os conceitos utilizados ou desenvolvidos cognitivamente na manipulação do objeto (CHAVALLARD, 1994b).

Registro de Representação Semiótica

Verificar as possíveis representações do conceito de função, as

conversões e tratamento entre elas Duval (1995). Por meio destas

representações será possível interpretar outras noções matemáticas

como, por exemplo, domínio de uma função, conjunto solução de uma

inequação, entre outros.

“Topos” do Professor

Aquilo que cabe ao professor na conceituação de um objeto. Seu discurso, seus exemplos, as atividades propostas por ele, etc. (CHEVALLARD E GRANIER, 1997).

“Topos” do estudante

Aquilo que cabe ao estudante na aprendizagem de um objeto de estudo. Suas tarefas, suas técnicas, a mobilização de outros conceitos, etc. (CHEVALLARD E GRANIER, 1997).

Nível de conhecimento esperado do estudante

O Nível de Conhecimento do Estudante está relacionado às hipóteses cognitivas e didáticas adotadas na atividade e que permitem trabalhar as especificidades dos conteúdos e os tipos de atividades esperadas dos estudantes para o desenvolvimento desses conteúdos (ROBERT, 1997).


5.3 – Descrição das Análises das Avaliações – SAEB e SARESP

Uma forma que possibilita inferir a respeito da aquisição de

conhecimentos por parte dos estudantes, relativo ao conceito de função,

compreendendo o período anterior à implantação do Currículo do Estado de

São Paulo e o período posterior, é a análise dos resultados de avaliações em

larga escala. Para o estado de São Paulo, duas avaliações são destaques: o

SAEB e o SARESP.

O levantamento de dados dessas avaliações será feito analisando

alguns documentos que tratam da implantação, da aplicação e de seus

resultados, assim como relatórios técnicos e pedagógicos que apontam os

resultados gerais e por ano/série, comparativamente entre os respondentes de

um mesmo ano, entre respondentes de anos anteriores e entre respondentes

do estado comparativamente às redes municipais ou federais.

69

Tomaremos também algumas questões que foram disponibilizadas

dessas avaliações, que de alguma forma estejam relacionadas ao conceito de

função ou que tenham alguma relação com o conceito de função, verificando o

índice de acertos e fazendo também a distinção e comparação entre os

períodos anteriores e posteriores a implantação do Currículo. A análise de tais

questões utilizará a “grade de análise” apresentada no quadro da figura 19.

Dessa forma, poderemos analisar as questões à luz de nosso referencial

teórico.

A comparação entre os resultados gerais apontados pelo SAEB e

comparados com os resultados do SARESP, juntamente com a comparação

técnica das questões, será mais um elemento de reflexão sobre o aprendizado

dos estudantes frente ao objeto de estudo: função.

5.4 – Descrição das características da pesquisa relativa aos professores

Incluímos neste trabalho uma pesquisa com professores da rede pública

estadual de São Paulo. Isso nos muniu de dados reais sobre o trabalho

desenvolvido em sala de aula a respeito da metodologia adotada,

possibilitando comparar tais metodologias com aquelas apontadas ou

sugeridas pelos documentos oficiais.

Assim pudemos verificar se o Currículo e/ou os Cadernos do Professor e

do Aluno estão sendo utilizados pelos professores em sala de aula ou se os

professores estão preferindo utilizar como apoio didático os livros dos

programas federais (PNLD e PNLEM).

A pesquisa com professores foi feita por meio de questionários. Esses

questionários continham perguntas relativas à forma como o professor trabalha

a noção de função em sala de aula e como ele a define. Dessa forma pudemos

comparar suas respostas às formas de trabalho sugeridas pelos materiais de

apoio, neste caso os Cadernos, que fazem parte do Currículo do Estado de

São Paulo, e os Livros Didáticos que também têm sua forma específica e

predominante de apresentar o estudo de funções. Comparando a resposta dos

professores com a definição sugerida pelo Caderno do Professor ou com as

sugeridas pelos livros didáticos, tivemos alguns indícios sobre a utilização ou

não desses materiais. Cruzando os dados das respostas do professor,

70

pudemos tirar conclusões sobre suas escolhas de materiais didáticos para uso

no trabalho com os estudantes em sala de aula.

Para essa pesquisa, selecionamos alguns professores de Matemática da

rede pública estadual do Estado de São Paulo que lecionam nos anos finais do

ensino fundamental (6º ao 9º anos) e/ou no ensino médio (1ª a 3ª séries).

De forma a ter um panorama representativo de toda a rede de ensino do

Estado de São Paulo, fizemos a escolha dos professores e das escolas onde

os mesmos lecionam, de forma bastante dispersa, porém abrangendo o estado

como um todo.

Utilizando os resultados do SARESP 2010, mais especificamente a lista

de “Indicadores de Desempenho” relativo à Matemática extraída dessa edição

do SARESP, fornecida gentilmente pela Coordenadoria de Informação,

Monitoramento e Avaliação Educacional - CIMA, órgão da Secretaria de Estado

da Educação de São Paulo – SEE/SP. Selecionamos as escolas por meio das

seguintes atribuições:

Figura 20: Seleção das escolas por índice de desempenho

P1 10 escolas com desempenhos favoráveis em Matemática quando juntado os resultados

dos estudantes do 9° ano com os da 3ª série

P2 10 escolas com desempenhos não favoráveis em Matemática quando juntado os

resultados dos estudantes do 9° ano com os da 3ª série

P3 10 escolas com desempenhos favoráveis e que só possuem o ensino fundamental

P4 10 escolas com desempenhos não favoráveis e que só possuem o ensino fundamental

P5 10 escolas com desempenhos favoráveis e que só possuem o ensino médio

P6 10 escolas com desempenhos não favoráveis e que só possuem o ensino médio

P7 5 escolas onde a diferença nos desempenhos do 9° ano e da 3ª série foram as maiores

possíveis

P8 5 escolas onde a diferença nos desempenhos do 9° ano e da 3ª série foram as

menores possíveis


Dessa forma, as escolas, pela própria característica dos resultados

obtidos na avaliação em Matemática, foram o fator de dispersão da localidade.

Foi possível contatar escolas em diversos pontos no estado.

71

Os contatos foram estabelecidos, a princípio, com os professores

coordenadores das Diretorias de Ensino – PCNP de cada região do estado. A

rede de ensino paulista possui um total de 91 regiões, controladas por suas

diretorias de ensino, onde as diretorias têm certo número de municípios que

varia pela quantidade de escolas contidas nestes municípios e das distâncias

em poder percorrer e atender estas escolas. Assim, há diretorias que

abrangem dois municípios bastante populosos; há diretorias que abrangem até

6 municípios, geralmente no interior do estado. Por outro lado, há município

com 23 diretorias, é o caso do município de São Paulo, subdividido em regiões

menores, devido à sua extensão territorial e à quantidade de escolas.

Como as diretorias de ensino possuem, ao menos, um professor

coordenador para a área de Matemática, e devido à estreita relação que o

pesquisador possui com esses professores coordenadores pelo fato do

pesquisador ser um dos coordenadores gerais de Matemática na Secretaria de

Educação, foi possível solicitar, informalmente, este contato inicial com os

professores das escolas estabelecidas.

Diante desse contato, os professores receberam os formulários com as

questões de pesquisa por meio do Professor Coordenador. Os professores

então devolviam o questionário preenchido aos seus coordenadores. Os

professores pesquisados sempre foram esclarecidos de que o questionário se

tratava de uma pesquisa de ordem particular e que os mesmos tinham toda a

liberdade para responderem ou se recusarem.

Ao todo repassamos cerca de 280 questionários a 40 Diretorias de

Ensino que possuíam escolas com as características apontadas acima, de

acordo com as classificações P1 à P8. Como nem todos os formulários podem

ter sido entregues, assim como nem todos os professores se disponibilizaram a

responder, tivemos um retorno de 40 questionários. Desses, dois estavam

incompletos e foram suprimidos. Assim analisamos um total de 38

questionários.

No anexo 1 trazemos a relação das escolas que se enquadraram nos

grupos P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 e P8, e o município onde as mesmas estão

localizadas e no anexo 2 apresentamos as questões que compuseram o

questionário do professor.

72

Depois de preenchidos, os formulários foram analisados com base nos

fundamentos teóricos utilizados neste trabalho de forma a permitir uma

resposta confiável às questões de pesquisa que tratam do trabalho do

professor. Uma parte da análise se deu de maneira estatística direta, baseada

nos quantitativos dos respondentes. Outra parte se deu por inferência no

cruzamento dos dados dos respondentes, procurando verificar a relação entre

suas respostas e o uso efetivo do material de apoio ao Currículo.

A análise de cruzamento de dados foi realizada em cada um dos

formulários individualmente e posteriormente os dados foram consolidados

para apresentação geral.

A maneira que cruzamos os dados dos respondentes para inferir se os

mesmos estão mais propensos à utilização do Caderno ou do Livro Didático foi

feita, especialmente analisando as repostas fornecidas às questões 3, 4, 6 e 7.

Passaremos à descrição da metodologia da análise dos questionários.

A análise foi dividida basicamente em três momentos distintos. No

primeiro deles os resultados representavam os dados brutos, isto é, os

quantitativos relativos aos 38 formulários analisados. Em cada uma das

questões 1, 2, 6, 7, 8 e 9 contamos as respostas fornecidas pelos professores

em cada alternativa e, baseado neste acumulado, descrevemos os resultados,

inferindo as possíveis causas que motivaram os professores a estas respostas.

Nas questões 3, 4 e 5, onde os professores deveriam ordenar as

alternativas de acordo com sua forma de trabalho, apresentamos os resultados

em tabelas mais completas, quantificando os resultados por ordem de

apresentação nas respostas. Assim, indicamos quantas vezes determinada

alternativa foi indicada como primeira opção, segunda opção, e assim por

diante. As descrições dos resultados também levam a observar a ordem de

resposta fornecida pelos professores.

A segunda parte da análise procurou verificar, de forma indireta e

hipotética, como a ordem das respostas de cada respondente poderia fornecer

indícios sobre o uso dos Cadernos ou do Livro Didático.

Para prosseguir com essa análise, utilizamos um procedimento

conhecido como “Método de Borda”, descrito pelo matemático francês Jean-

Charles Borda, para atribuir classificação de mérito aos candidatos numa

73

eleição (PINTO, 2010). Atribuímos às questões 3 e 4, valores às alternativas,

de acordo com a posição em que foram ordenadas e de acordo com a

quantidade de alternativas. Em seguida comparamos a posição das

alternativas com a posição hipotética que um professor responderia se

utilizasse os Cadernos. Da mesma forma, comparamos esta posição com a

posição hipotética que um professor responderia se utilizasse outro material

didático.

As posições das alternativas, supondo hipoteticamente que um

professor utilize o Caderno ou o Livro Didático estão apresentadas nos quadros

a seguir.

Figura 21: Hipótese 1

Hipótese: Professor que utiliza os Cadernos em sala de aula

Q3 Proporcionalidade Aritmética Gráfico/

Interdependência

Álgebra Variabilidade Conjuntos

Q4 Tabela Gráfico Fórmula Língua Materna

Q6 Uma função pode ser descrita como uma relação de proporcionalidade direta, inversa ou composta entre duas grandezas.

Q7 Iniciando com aplicações, passando à definição e prosseguindo com exercícios.


Figura 22: Hipótese 2


Seguindo esta hipótese, podemos dizer que nas questões 3, 4, 6 e 7 as

respostas que apresentam as alternativas em certa ordem, supondo que o

professor utilize o Caderno, estão numa ordem inversa comparada à ordem

das alternativas do professor que não utilize o Caderno.

Figura 23: Ordem hipotética das respostas

CADERNO ↔ ↔ ↔ ↔

LIVRO

Proporcionalidade Aritmética Gráfico/ Interdependência

Álgebra Variabilidade Conjuntos

- Tabela Gráfico Fórmula Língua Materna

-

- Relação Proporcionalidade

Relação entre variáveis

Operação Matemática

Associação Conjuntos

-

Aplic./Def./Exe. - Exe./Def./Aplic. - - Def./Exe./Aplic.


Hipótese: Professor que utiliza outro material de apoio em sala de aula (Livro didático)

Q3 Conjuntos Variabilidade Álgebra Gráfico/

Interdependência

Aritmética Proporcionalidade

Q4 Língua Materna Fórmula Tabela Gráfico

Q6 Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função é uma relação que a cada elemento x de A faz corresponder um único

elemento y de B.

Q7 Iniciando com a definição, passando a exemplos e prosseguindo com aplicações.

74

Tanto no caso da hipótese de o professor usar os Cadernos como a

hipótese de não os utilizar, os valores atribuídos permitiram verificar se as

respostas de cada professor estão mais parecidas ou mais afastadas da

resposta hipotética. Em seguida, o valor acumulado, parametrizado num

intervalo de 0 a 1, indicará essa aproximação.

Na questão 3, por possuírem seis alternativas, atribuímos o valor 3 para

cada alternativa caso ela apareça na posição da hipótese, e esse valor

decresce de uma unidade caso ele se afaste de sua posição hipotética. Dessa

forma, o melhor caso resulta em 18 pontos e os piores casos terão 0 pontos.

Por exemplo, se a resposta hipotética representa as alternativas na

ordem ABCDEF, uma resposta com as alternativas nessa posição terá

probabilidade de 100% de responder à hipótese. Se estiver na ordem ECADBF

terá probabilidade de 44% de responder à hipótese. Vejamos alguns exemplos.

Figura 24: Exemplos de respostas à questão 3

Q3 A B C D E F

Resposta 1 2 3 4 5 6

Pontuação 3 3 3 3 3 3 18 (100%)


Pontos 0 0 0 0 0 0 0 (0%)


Pontos 0 -1 1 2 -1 -1 0 (0%)


Pontos 1 0 2 3 -1 3 8 (44%)


Na questão 4, como há menos alternativas, atribuímos o valor 2 caso a

as alternativas estejam na posição da hipótese, e esse valor decresce de uma

unidade caso ele se afaste dessa posição. O melhor resultado neste caso

resulta em 8 e os piores casos, em 0. Vejamos alguns exemplos.



Q4 A B C D

Resposta 1 2 3 4

Pontuação 2 2 2 2 8 (100%)

Resposta 2 1 4 3

Pontos 1 1 1 1 4 (50%)

Resposta 4 3 2 1

Pontos -1 1 1 -1 0 (0%)

75

A questão 5 não nos indica a preferência do professor pelo Livro

Didático ou pelo Caderno, uma vez que a ordem das alternativas, que indicam

os tipos de funções que o professor ensina no ensino médio, geralmente segue

o mesmo padrão na maioria dos materiais didáticos.

Na questão 6, onde o professor escolheu somente uma alternativa

dentre as quatro existentes, atribuímos os valores 0%, 33%, 67% e 100% caso

a posição da resposta estivesse, respectivamente, de acordo com a hipótese,

mais ou menos próxima ou afastada do Livro ou do Caderno. Neste caso, o

valor atribuído à resposta para o uso do Caderno é complementar ao valor da

resposta atribuída ao uso do Livro.

Figura 26: Exemplo de resposta à questão 6

Relação Proporcionalidade

Relação entre variáveis

Operação Matemática

Associação Conjuntos

Hip.: Caderno 100 67% 33% 0%

Hip.: Livro 0% 33% 67% 100%


Os professores que respondem a esta questão escolhendo a alternativa

que está à esquerda na lista relativa à hipótese do uso do Caderno, está mais

propenso à utilização do mesmo, pelo fato de que, nesse material, o conceito

de função se constrói pela ideia fundamental de proporcionalidade. A segunda

opção também demonstra uma forte tendência ao uso do caderno, uma vez

que as relações kx

hy

e k

x

hy

2

entre x e y, que representam

proporcionalidade, são utilizadas para definir funções nos Cadernos, desde o

9º ano do ensino fundamental. Já as duas últimas opções definem funções a

partir de conjuntos e seus elementos. A penúltima opção é relativa ao uso de

uma lei de formação para obter os elementos da imagem )(xfy , e a última

opção apresenta a relação entre dois conjuntos, bastante comum nas

definições de função dadas nos livros didáticos.

A questão 7 tem a mesma estrutura da questão 6, pois os professores

também deveriam escolher uma única alternativa. Como eram 3 as

alternativas, os valores atribuídos foram 0%, 50% e 100% caso a posição da

resposta estivesse, respectivamente, de acordo a hipótese, mais ou menos

próximo ou afastada do Livro ou do Caderno. Também neste caso, o valor

76

atribuído à resposta para o uso do Caderno é complementar ao valor da

resposta atribuída ao uso do Livro.



Os professores que responderam apontando a opção que está à

esquerda na lista relativa à hipótese do uso do Caderno estão mais propensos

a utilização do mesmo, uma vez que os Cadernos, trabalhando com Situações

de Aprendizagem, iniciam os conceitos matemáticos com aplicações

contextualizadas, partindo em seguida para a definição. Já se o professor

escolhe a última opção da lista acima, ele trabalha uma forma mais arraigada

de definir função, ainda comum nos livros.

A terceira forma de analisarmos os questionários é agrupando-os de

acordo com as características das escolas de onde os professores

respondentes estão alocados, ou seja, de acordo com os grupos P1 a P8.

Verificaremos qual a maior tendência de cada um desses grupos em relação ao

uso do Caderno ou do Livro didático, utilizando as mesmas técnicas já

descritas anteriormente.

Além do questionário aplicado a professores da rede, também aplicamos

um teste para um grupo de estudantes. Passaremos a descrever a metodologia

de análise desse teste.

5.5 – Descrição das características da pesquisa relativa aos alunos

Para a escolha dos estudantes participantes da pesquisa, procuramos,

entre os questionários respondidos pelos professores, um que evidenciasse o

uso dos Cadernos do Professor e do Aluno e outro que evidenciasse o

contrário.

Dentre os questionários que apontaram nesse sentido, demos

preferência a dois, pela natureza da localidade dos mesmos, permitia uma

Aplic./Def./Exe. Exe./Def./Aplic. Def./Exe./Aplic.

Hipótese: Caderno 100 50% 0%

Hipótese: Livro 0% 50% 100%

77

maior facilidade de trabalho. Dessa forma, determinamos duas salas de aula

em Suzano – São Paulo. O coordenador pedagógico dessa Diretoria de

Ensino, gentilmente contatou os professores que permitiram a aplicação de

testes com seus alunos.

Como os dois professores lecionam para classes de 3ª série do ensino

médio, preferimos aplicar os testes aos estudantes dessa série.

As questões que compõe este teste variam na apresentação do

enunciado e no tipo de pergunta. Algumas perguntas têm características de

questões frequentes em livros didáticos mais antigos, com uma formalidade

mais acentuada, com uma apresentação mais técnica. Já outras questões têm

características mais atuais, utilizando uma Situação de Aprendizagem para que

o estudante possa identificar a ferramenta necessária para a realização da

tarefa. As questões aplicadas aos alunos desses dois professores estão

apresentadas no anexo 3.

Os testes foram aplicados nas salas de aula pelo próprio professor, no

decorrer de uma aula de Matemática.

As questões que compõem os testes foram escolhidas de maneira que

pudessem fornecer indícios de como o conhecimento relativo ao conceito de

função foi trabalhado com os estudantes pelo professor. Ou seja, se o

professor fez uso do Caderno do Professor e do Caderno do Aluno, ou se fez

uso do Livro Didático mais antigo ou se fez uso do Livro Didático mais atual

inserido no Programa Nacional do Livro Didático – PNLD. Vale a pena ressaltar

que o professor não foi questionado diretamente se usa ou não os Cadernos.

A primeira questão foi tomada do livro de Jairo Manuel Bezerra, de

1994. A segunda questão foi extraída do livro de Luiz Roberto Dante, de 2010

que faz parte do Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio –

PNLEM. A terceira questão foi extraída do Caderno do Aluno, 1ª série, Vol. 2

de 2009. A quarta questão foi extraída do vestibular da Unicamp, de 2012. Esta

última foi inserida com a intenção de verificar se os estudantes que saem do

ensino médio das escolas públicas paulistas possuem conhecimentos

disponíveis e estão preparados para enfrentar o vestibular de uma universidade

pública.

Nossa intenção em escolher tais questões foi verificar as possíveis

resoluções ou encaminhamento por parte do estudante, inferindo a partir

78

desses encaminhamentos, qual a metodologia utilizada em sua formação,

relativa aos conceitos de funções. Verificar também se o trabalho foi

desenvolvido com embasamentos mais voltados àqueles discutidos nos

materiais de apoio ao Currículo, a partir de Situações de Aprendizagem, ou se

a formação foi mais direcionada aos trabalhos que costumam ser tratados nos

Livros Didáticos. Ou seja, a intenção é tirar algumas conclusões sobre as

metodologias aplicadas na formação escolar destes estudantes e comparar

com os dados fornecidos pelas pesquisas realizadas com os professores.

Sabemos que um estudante pode resolver uma questão que exige o

nível técnico e também resolver outra que exige o nível mobilizável ou

disponível. Da mesma forma que um estudante pode não resolver nenhuma

das questões. Mas os que resolvem uma ou outra questão fornecerão indícios

claros sobre sua maneira de raciocinar frente aos problemas propostos. Dessa

maneira fornecerá subsídios importantes para a pesquisa que se deseja

concluir.

Observando a forma como cada estudante resolve cada uma das

questões, poderemos verificar se ele fica mais focado às representações

gráficas, algébricas, tabulares ou em língua natural. Também se ele trabalha

mais confortavelmente com questões que exigem o nível técnico, ou se ele

avança para as questões que exigem o nível mobilizável, ou ainda se ele

alcança o nível disponível na resolução de questões com característica que

exigem esse nível, pela definição de Robert (1997). Esse cruzamento, a partir

de um número razoável de estudantes, permitirá inferir uma conclusão a

respeito da metodologia adotada por seus professores.

Após essa descrição de como a pesquisa está orientada, pretendemos

que o cruzamento entre as diversas análises sirva para a construção de uma

percepção fundamentada em dados concretos sobre a eficácia do Currículo da

Secretaria de Estado da Educação e sobre os materiais de apoio ao Currículo –

Caderno do Professor e Caderno do Aluno.

Dessa maneira, nos capítulos a seguir apresentaremos as análises

detalhadas de cada uma das etapas desse trabalho, procurando ser o mais fiel

possível aos dados levantados, inferindo tão somente o que for confiável e

79

abandonando as hipóteses não justificáveis, de tal forma que este trabalho

possa ter um nível de confiabilidade aceitável.

80

81

6 – ANÁLISES DOS DOCUMENTOS OFICIAIS

Os documentos utilizados para análises e comparações incluirão tanto

os publicados por órgãos oficiais da união como os publicados pelo estado de

São Paulo.

Abaixo faremos uma relação dos documentos que pretendemos juntar a

esta pesquisa e que servirão de base para análise e comparação com o

Currículo oficial do Estado de São Paulo.

Lei de Diretrizes e Bases da Educação – LDB. (Lei federal 9394/96).

Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – DCNEM.

Resolução 3, de 26 de julho de 1998.

Parâmetro Curricular Nacional – PCN (1998). Matemática par os terceiro

e quarto ciclos do ensino fundamental.

Parâmetro Curricular Nacional para o Ensino Médio – PCNEM (2000).

Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias.

Orientações Educacionais Complementares ao Parâmetro Curricular

Nacional para o Ensino Médio – PCN+ (2002). Ciências da Natureza,

Matemática e suas Tecnologias.

Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006). Ciências da

Natureza, Matemática e suas Tecnologias.

Proposta Curricular do Estado de São Paulo de Matemática (2008).

Currículo do Estado de São Paulo de Matemática (2010).

Programa Escolar Francês.

A pesquisa documental se dará, cruzando as orientações dadas pelos

documentos oficiais da união, com as dos documentos oficiais do estado,

utilizando a noção de “topos” do professor e do estudante, conforme definição

de Chevallard e Grenier (1997).

Com essa análise pretendemos observar como o Currículo do Estado de

São Paulo se fundamenta nos documentos federais. Como as indicações

oriundas da União são contempladas pelo estado, tanto relativas aos

conteúdos de estudo da Matemática quanto às sequências seriais de

desenvolvimento de conteúdos.

82

Pretendemos também observar como as propostas atuais de educação,

como “educação para todos”, “educação de qualidade”, “educação para o

trabalho e para a prática social” etc., estão alinhadas nos documentos desses

dois segmentos da educação.

6.1 – Documentos oficiais da União

6.1.1 – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB

No ano de 1996, na gestão do Ministro da Educação Paulo Renato

Souza, o Congresso Nacional decreta a lei federal 9394, sancionada pelo

Presidente da República Fernando Henrique Cardoso, que estabelece as

diretrizes e bases da educação nacional. A principal finalidade estabelecida

pela lei é o pleno desenvolvimento do educando para exercer sua cidadania e

que esteja qualificado para o trabalho, além da condição de igualdade de

acesso e permanência na escola.

Em seu artigo 9°, inciso IV, a lei afirma que a união deverá estabelecer

os conteúdos mínimos que nortearão os Currículos de forma a assegurar uma

base comum nacional. Esse artigo foi assegurado pelo Ministério da Educação

com a publicação, no ano de 1998, dos PCN (Parâmetros Curriculares

Nacionais), e no ano de 2000, dos PCNEM (Parâmetros Curriculares Nacionais

para o Ensino Médio). Além de outros documentos orientadores nos anos

subsequentes.

Ainda no mesmo artigo 9º, em seu inciso VI, também afirma que a união

deve assegurar processo de avaliação, em nível nacional, do rendimento

escolar no ensino fundamental, médio e superior, com o objetivo de fornecer

subsídios para a melhoria da qualidade do ensino. A avaliação nacional de que

trata esse inciso é elaborada, desde o ano de 1990, pelo INEP (Instituto

Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira) e é

denominada Prova Brasil / Saeb (Sistema de Avaliação da Educação Básica).

A partir do ano de 2001 tal avaliação passou a avaliar apenas os conteúdos de

Língua Portuguesa e Matemática, o que se mantém atualmente. Vale ressaltar

que a avaliação, prioritariamente aquela realizada a partir de 2001, teve como

característica um atendimento aos gestores, educadores, pesquisadores e

sociedade civil em geral, de forma a auxiliar as tomadas de decisões e o

83

direcionamento de recursos destinados à educação pelo poder público,

estabelecimento de metas educacionais e ações pedagógicas, além da

divulgação do desenvolvimento da educação básica nacional, por meio do

IDEB (Índice de Desenvolvimento da Educação Básica).

O artigo 26, específico sobre Currículo, diz que tal programa deverá

conter uma base nacional comum e ser complementada por uma parte

diversificada, com características regionais e locais da sociedade, de sua

cultura e sua economia, estabelecidas a critério de cada sistema de ensino.

Este Currículo deve abranger, obrigatoriamente, a Língua Portuguesa e a

Matemática, além do conhecimento do mundo físico e natural e da realidade

social e política, especialmente a do Brasil. Uma língua estrangeira deverá

constar no Currículo a partir do 6° ano.

O antepenúltimo artigo desta lei estabelece que as questões de

transição entre o regime anterior e o que se institui por esta lei, serão

resolvidas pelo Conselho Nacional de Educação.

Uma análise mais detalhada a respeito dos interesses que promovem a

publicação desse documento e, consequentemente, as intenções por trás

desse plano, nos mostra uma necessidade de mudanças educacionais

atreladas às mudanças políticas e sociais vividas em todo o mundo e,

consequentemente no Brasil (MARTINS, 2000), e o processo de globalização.

Os ideais políticos ficam marcados pelos princípios partidários, porém as

questões sociais (ética, racial, gênero, religião etc.), culturais (modos de ser e

de agir), ecológicas, etc. afloram e superam os demais pressupostos

apontados na lei promulgada.

Dessa forma a lei determina uma maneira de agir diante dessas

mudanças que vêm, há décadas, remodelando a educação. Estabelece uma

reforma, especialmente em relação ao ensino médio. Por se tratar de uma

mudança, ela pode, conforme descreve Martins (2000, p.68), desacomodar

alguns atores e os sistemas em que atuam. Mas o processo de implantação e

implementação acaba acomodando o processo e dessa acomodação pode-se

analisar a situação e, quando necessário, estabelecer novas reformas ou

alterações, que são as adequações.

O próprio texto do documento espera que adequações sejam instaladas

nos sistemas educacionais à medida que impõe, em seu artigo 90, que os

84

órgãos competentes (Conselho Nacional de Educação entre outros) baixem

normas que favoreçam a transição entre o regime anterior e aquele que se

institui pela atual lei.

6.1.2 - Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – DCNEM 1998

Em relação ao ensino médio foi o que fez a Câmara de Educação

Básica, com parecer favorável do Conselho Nacional de Educação. Publicou

em junho de 1998 as Diretrizes Nacionais para o Ensino Médio – DCNEM.

Documento em forma de resolução que objetiva definir e direcionar os

trabalhos de organização pedagógica e curricular a cada unidade escolar que

integram diferentes sistemas de ensino. Tal organização deverá ser mantida

pelos valores éticos de cidadania, os vínculos de família, e a tolerância

recíproca, da mesma forma como estabelecida pela LDB 9394/96. Também é

bastante presente a ideia de exercício da cidadania e do trabalho.

Dessa forma, em seu artigo 5, estabelece que, para cumprir as

finalidade do ensino médio, as escolas organizarão seus Currículos tendo em

vista que os conteúdos não serão fins em si mesmo, mas meios para constituir

competências sociais e cognitivas. Priorizando-as sobre as informações. Nota-

se aqui que a intenção expressada pelos membros da Câmara de Educação

Básica pretende uma educação sustentada por competências, e por

consequência, por habilidades que comporão, em conjunto, as competências

do ser humano. Ainda no mesmo artigo, sugere-se que se trabalhe a

experimentação e a solução de problemas, permitindo um trabalho com

Situações de Aprendizagem, pois estas requerem trabalhar a afetividade do

estudante.

A respeito da avaliação do sistema de ensino, fica estabelecido que as

instituições deverão utilizar os sistemas de avaliação do MEC ou instituir seus

próprios sistemas de avaliação. Tal atitude, segundo o DCNEM, servirá para

que os sistemas de ensino divulguem os resultados da qualidade de sua

formação e de prestação de contas, desenvolvendo a cultura de

responsabilidade, além de utilizar os resultados para orientar as ações futuras.

Vale observar que o Estado de São Paulo tem seu próprio sistema de ensino, o

SARESP, desde o ano de 1996.

85

No artigo 10 a lei institui que a base nacional comum dos Currículos do

ensino médio deverá ser organizada em três áreas do conhecimento, incluindo

as competências e habilidades específicas de cada uma delas. As três áreas

instituídas são:

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias;

Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias; e

Ciências Humanas e suas Tecnologias

Vale lembrar, no entanto, que outra decisão do Conselho, publicada no

diário oficial da união, na forma da resolução n° 2 de 30 de janeiro de 2012,

estabelece outra divisão em quatro áreas, retirando dos nomes a palavra

tecnologia, ficando então:

Linguagens,

Matemática,

Ciências da Natureza, e

Ciências Humanas.

No mais, a resolução orienta a constituição da base comum e da parte

diversificada do currículo e da formação profissional.

Os DCNEM refletem bem que as reformas estabelecidas pela LDB

9394/96 afetaram principalmente o ensino médio. Nesse sentido, além dos

PCN que posteriormente foram desenvolvidos para orientar os ensinos

fundamental e médio, o CNE adiantou-se com a publicação dos DCNEM. O

estabelecimento das três áreas do conhecimento, agrupando as diversas

disciplinas em suas específicas áreas, mostra a intencionalidade de um

trabalho interdisciplinar, o que é também uma característica que vinha sendo

apontada como um trabalho metodológico por alguns teóricos da educação.

6.1.3 Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental

Os PCN para o Ensino Fundamental de 5ª a 8ª série, de 1998, são

elaborados com a intenção de intensificar as discussões no meio educacional,

envolvendo escolas, pais, governo e sociedade no sentido de se fornecer às

instituições de ensino, condições de elaborar um Currículo que venha ao

86

encontro das expectativas da comunidade e que orientem o trabalho dos

profissionais – professores e especialistas – da área da educação nesse nível

de ensino, de todo o país.

Tais Parâmetros indicam vários objetivos que contemplam as

capacidades sociais e intelectuais dos estudantes. Dentre estes objetivos,

destacamos àqueles relativos ao nosso foco principal desse trabalho, de forma

a possibilitar relacionar tais objetivos com os apresentados no Currículo do

Estado de São Paulo. São estes objetivos:

utilizar as diferentes linguagens verbal, musical, matemática, gráfica,

plástica e corporal como meio para produzir, expressar e comunicar

suas ideias, interpretar e usufruir das produções culturais, em

contextos públicos e privados, atendendo a diferentes intenções e

situações de comunicação;

saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos

para adquirir e construir conhecimentos;

questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de

resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade,

a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando

procedimentos e verificando sua adequação.

Tais Parâmetros também indicam que ao apresentar os conteúdos de

Matemática, estará fazendo de forma inovadora, pois os explorará não

somente na dimensão de conceitos, mas também na dimensão de

procedimentos e atitudes. No entanto, na maior parte do documento, destaca-

se um olhar sobre o desenvolvimento individual e social do estudante. A

Matemática é apresentada como uma forma de consolidar o caráter cidadão e

sua liberdade de expressão. Nesse sentido o documento explora a inter-

relação entre a Matemática e outras áreas do conhecimento, assim como a

relação com os temas transversais. A sugestão do trabalho da Matemática a

partir da História dessa disciplina também é evidenciada, assim como o uso da

tecnologia para o desenvolvimento do cidadão atuante na sociedade e no

mundo do trabalho.

87

Quanto a apresentação do conteúdo que deve ser ensinado nas séries

finais do ensino fundamental, o documento enfatiza que se deve contemplar o

estudo de quatro grandes blocos:

Números e operações;

Espaço e Forma;

Grandezas e Medidas; e

Tratamento de informações.

Segundo se afirmam no documento, tais blocos estiveram em pauta nas

discussões atuais sobre a Matemática e fazem parte de um consenso àqueles

que trabalham esta disciplina, como vemos abaixo:

Atualmente, há consenso a fim de que os currículos de Matemática

para o ensino fundamental devam contemplar o estudo dos números

e das operações (no campo da Aritmética e da Álgebra), o estudo do

espaço e das formas (no campo da Geometria) e o estudo das

grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos

da Aritmética, da Álgebra, e da Geometria e de outros campos do

conhecimento). Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a

necessidade de acrescentar a esses conteúdos aqueles que

permitam ao cidadão “tratar” as informações que recebe

cotidianamente, aprendendo a lidar com dados estatísticos, tabelas e

gráficos, a raciocinar utilizando ideias relativas à probabilidade e à

combinatória. (BRASIL, 1998a, p. 49).

Os Parâmetros Curriculares não trazem uma lista de conteúdos a serem

ensinados no ensino fundamental. O que estes documentos fazem é instruir a

forma de selecionar os conteúdos e de determinar as metodologias a serem

adotadas em cada sistema de ensino, em cada comunidade escolar, com cada

profissional que trabalhará diretamente com o ensino dessa disciplina. Assim, é

imposto que para a seleção desejada haverá um desafio na identificação de

conteúdos, procedimentos e atitudes que sejam socialmente relevantes dentro

de cada um dos vastos campos que é o ensino da Matemática; e ainda saber

em que medidas os conteúdos selecionados podem contribuir para o

desenvolvimento intelectual do estudante. São apresentadas algumas

intenções relativas aos conhecimentos que os estudantes devem desenvolver

88

em cada uma das séries do ensino fundamental. No Currículo do Estado de

São Paulo estas intenções vão se traduzir como “competências”.

Ao orientar a escolha dos conteúdos do bloco números e operações,

fica explicito a sugestão de que deva ser incluído o estudo de números

naturais, negativos, racionais e irracionais. Para o estudo da álgebra os

conteúdos deverão explorar as funções algébricas como generalizar padrões

aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver

problemas aritmeticamente difíceis, além de diferenciar parâmetros, variáveis,

incógnitas quando do tratamento de funções e equações. É dito que esse

encaminhamento dado à álgebra, a partir de generalização de padrões,

possibilita explorar a noção de função, mas que a abordagem formal desse

conceito deverá se estabelecer no ensino médio.

Também na forma de orientação pela escolha de conceitos, se mantém

as instruções quanto aos blocos espaço e forma, grandezas e medidas e

tratamento da informação. Neste caso preferimos nos ater a discussão do

bloco números e operações, por se tratar do foco mais direto relacionado ao

nosso trabalho, ficando os outros blocos em segundo plano.

O Documento deixa livre a organização sequencial do conteúdo, opção

que deverá ser feita pelos profissionais que elaborarão o Currículo. Orienta que

os assuntos não precisam estar sequenciados de forma rígida como se um

deles fosse pré-requisito para outros, assim como um determinado conteúdo

não precisa ser esgotado para que se inicie outro. O que se deve, segundo os

Parâmetros, é chegar a um nível de sistematização satisfatória para que

possam ser aplicados em novas situações. A ênfase maior ou menor que deve

ser dada a cada item também deve ser decidida de forma a elaborar uma

proposta que venha ao encontro das necessidades locais e em função do

público que se vai trabalhar. Deve estar integrada ao projeto pedagógico da

escola (Ibid., p. 53). Exemplos de conteúdos e tarefas relacionadas são

apresentadas, mas sem especificar a que série ou em que momento devem ser

aplicadas, e sem impor que tais tarefas sejam utilizadas na confecção dos

Currículos.

Podemos observar que os PCN de 5ª a 8ª séries são bastante maleáveis

em propor os conteúdos que deverão ser trabalhados no ensino fundamental. É

percebido então que a escolha da metodologia e a seleção dos conteúdos para

89

este segmento de ensino ficará totalmente a critério dos elaboradores do

Currículo os dos planos de ensino de cada instituição.

Após essa discussão sobre os PCN para o ensino fundamental,

passaremos a analisar como foram elaborados os PCN para o Ensino Médio.

6.1.4 Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio ao se dirigir

especificamente à construção do Currículo, afirmam que:

[...] enquanto instrumentação da cidadania democrática, deve

contemplar conteúdos e estratégias de aprendizagem que capacitem

o ser humano para a realização de atividades nos três domínios da

ação humana: a vida em sociedade, a atividade produtiva e a

experiência subjetiva, visando à integração de homens e mulheres

no tríplice universo das relações políticas, do trabalho e da

simbolização subjetiva. (BRASIL, 2000, p.15).

Assim, as instruções desse documento apontam para uma escolha de

conteúdos e metodologia, que também será tarefa de cada instituição ou

sistema de ensino, que privilegie a formação cidadã crítica, a vida para o

trabalho e o conhecimento científico. Para isso são apresentadas as quatro

premissas apontadas pela UNESCO como eixos estruturais da educação na

sociedade contemporânea:

Aprender a conhecer;

Aprender a fazer;

Aprender a viver;

Aprender a ser.

Os Parâmetros sugerem que o Currículo seja voltado à realização de

uma formação que compreenda a complexidade do mundo, o enfrentamento de

novas situações, o conhecimento do outro, o desenvolvendo de pensamentos

autônomos e o estimulo do senso crítico.

Relembram que a reforma curricular do ensino médio, como já

discutimos em relação às Diretrizes Nacionais para o Ensino Médio,

estabeleceu a divisão do conhecimento em três áreas:

90

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias,

Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, e

Ciências Humanas e suas Tecnologias.

Cada uma das áreas é tratada especificamente em partes distintas nos

Parâmetros Curriculares, que conterá, inclusive, as competências que os

estudantes deverão alcançar ao concluir o ensino médio. Percebemos que,

diferentemente dos Parâmetros Curriculares para o Ensino Fundamental, os

Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio são mais explícitos ao tratarem a

questão das competências. O documento aponta ainda que “Os estudos nessa

área devem levar em conta que a Matemática é uma linguagem que busca dar

conta de aspectos do real e que é instrumento formal de expressão e

comunicação para diversas ciências” (BRASIL, 2000, p.20).

As diretrizes expostas como orientação da proposta curricular, solicitam

que se leve em conta a identidade institucional, a diversidade de ensino e a

autonomia por parte da escola. Que o Currículo seja voltado às competências

básicas, sem ser um “ensino enciclopedista e academicista dos currículos de

Ensino Médio tradicionais, reféns do exame vestibular” (Ibid., p. 73). Ser

interdisciplinar, contextualizado e conter uma base comum e uma parte

diversificada.

Os Parâmetros não se prendem em explicar a decisão do Conselho na

divisão da educação do ensino médio em três áreas, uma vez que as Diretrizes

Nacionais para o Ensino Médio de 1998 já tiveram esse cuidado.

Diferentemente dos Parâmetros Curriculares do Ensino Fundamental, os

do Ensino Médio não sugerem tarefas relativas ao trabalho que se deve

realizar com estudantes desse nível de ensino e não traz, nem ao menos de

forma implícita, os conteúdos que devem ser selecionados ao propor o

Currículo para o ensino médio. As orientações apresentam mais uma

preocupação na formação social do que de formação teórica.

Devido a essa superficialidade dos Parâmetros Curriculares Nacionais

para o Ensino Médio, muitos educadores fizeram críticas a sua falta de

objetividade. Devido a essas críticas, o MEC publicou, no ano de 2002, o

PCN+. Documento que trataremos de analisar em seguida.

91

6.1.5 – Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros

Curriculares Nacionais

Os novos Parâmetros Curriculares (PCN+) trazem informações

complementares aos PCNEM. Seus objetivos, segundo destaca em sua

introdução, é a de facilitar a organização do trabalho da escola. Nesse sentido,

explicita a articulação das competências gerais que se deseja promover, além

de apresentar um conjunto de sugestões de práticas educativas e de

organização dos Currículos. Uma proposta que, obviamente, não se via na

edição anterior dos PCN para o Ensino Médio.

Nos textos preliminares dos PCN+, discorrem-se as intenções referentes

ao ensino médio visto como novo, inovador, diferentemente do antigo 2° grau,

que tinha a intenção de preparar o estudante para o vestibular. Esse novo

ensino médio deve preparar o estudante para a vida, formando um estudante

capaz de se realizar pessoal e profissionalmente, o que indica, segundo esse

documento, a necessidade de revisão do projeto pedagógico de muitas escolas

que não se renovaram há décadas pois foram criadas em outras circunstâncias

e com outros propósitos.

Muito mais explicito que os PCN, os PCN+ trazem em seu bojo a ideia

do desenvolvimento de competências, associando-as à aprendizagem dos

conceitos escolares e aos temas estruturantes dos conteúdos.

Para quem possa temer que se estejam violando os limites

disciplinares, quando estes se compõem com conhecimentos e

competências, vale lembrar que as próprias formas de organização

do conhecimento, as disciplinas, têm passado por contínuos

rearranjos. Muitas disciplinas acadêmicas e muitos campos da cultura

resultam de processos recentes de sistematização de conhecimentos

práticos ou teóricos, reunindo elementos que, em outras épocas,

estavam dispersos em distintas especialidades. (BRASIL, 2002,

p.14).

Os temas estruturantes dos quais tratam tal documento estão bastante

próximos daquilo que sugeria os PCN para o Ensino Fundamental que eram os

quatro blocos da Matemática, a saber: números e operações, espaço e forma,

grandezas e medidas, além do tratamento da informação. Os PCN+

apresentam três temas estruturantes para a Matemática, a saber: números,

92

formas, além de análise de dados. Em todas as disciplinas da área de Ciências

da Natureza, Matemática e suas Tecnologias são apresentadas sugestões de

conteúdos amarrados aos temas estruturantes.

As sugestões trazidas a respeito de habilidades e competências para

serem utilizadas como essenciais à educação são colocadas gradualmente,

sem fazer nenhum aparte a respeito dessas duas colocações. Para um

professor que estivesse acompanhando tal documento na época de sua

publicação, possivelmente teria que procurar um esclarecimento mais

aprofundado para compreender o que seria trabalhar com “habilidades e

competências”. Apesar do PCN+ trazer essa metodologia, não é claro como ela

deve ser desenvolvida na sala de aula. Quando o uso de habilidade e

competências é apontado no documento, indica-se que esses termos estão

presentes nos temas organizadores das disciplinas, em forma de elementos

curriculares.

No âmbito de cada disciplina – Biologia, Física, Química e

Matemática –, os temas com os quais se pode organizar ou estruturar

o ensino constituem uma composição de elementos curriculares com

competências e habilidades, no sentido em que esses termos são

utilizados nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio

(PCNEM), ou no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). (BRASIL,

2002, p.13).

Também se afirmam que, como área que envolve as disciplinas de

Biologia, Física, Química e Matemática, como forma de facilitar a apresentação

de objetivos educacionais que organizam o aprendizado na escola, indicados

aqui como “conjunto de competências” elegem-se três objetivos:

representação e comunicação;

investigação e compreensão; e

contextualização sociocultural.

Estes três objetivos são discutidos especificamente, mais à frente no

documento oficial, para cada uma das disciplinas que compõe a área em

questão. E é claro que ainda neste ponto não se vê claramente o uso de

habilidades e competências da forma como esses itens deveriam ser tratados

93

no âmbito da educação, ou da forma como são utilizados atualmente nas

teorias relativas a esses conceitos. São ideias superficiais sobre competências

que ainda estão em fase de conceituação. Todavia, era possível verificar que

os DCNEM tinham mais clara essas ideias ao propor o desenvolvimento delas

na formação dos indivíduos no ensino médio.

Ao tratar especificamente a disciplina de Matemática, os PCN+ colocam

que a Matemática deve ser ensinada de forma contextualizada, integrada e

relacionada a outros conhecimentos pois, dessa forma ela:

[...] traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que

são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e

estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender

e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas,

argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar

decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua

formação. (BRASIL, 2002, p.111).

Quanto às orientações para a escolha de “temas estruturadores”

(chamados assim os blocos de conteúdos que deverão compor o Currículo), o

documento chama a atenção que esses temas tenham relevância científica e

cultural, de forma a permitir ao estudante conhecer o mundo e desenvolver

sentidos estéticos e éticos. Que se tenha o cuidado com os tempos de ensino e

aprendizagem e os espaços onde isso deve ocorrer, fazendo-se alguns

recortes onde for necessário. É apresentada uma exemplificação sobre os tais

“recortes” anunciados:

É importante evitar detalhamentos ou nomenclaturas excessivos. Por

exemplo, se o único caso de funções inversas que os alunos verão no

ensino médio forem as funções exponencial e logaritmo, não há

necessidade de todo o estudo sobre funções injetoras, sobrejetoras e

inversíveis, assim como se o foco do estudo estiver na análise de

gráficos e nas aplicações da função logarítmica, podemos questionar

por que estudar cologaritmos, característica e mantissa. (BRASIL,

2002, p.120).

Ao orientar o estudo das funções, indica-se que ele deve ser feito dando

ênfase às propriedades, às operações, na interpretação de seus gráficos e nas

aplicações práticas desse conceito. Diz também que se deve evitar ou relativar

94

uma linguagem excessivamente formal, assim como o estudo de funções

injetoras, sobrejetoras, compostas e modulares.

Na verdade, a orientação discutida acima poderia ser indicada como

sugestão e que a profundidade do estudo dado ao conceito de função devesse

ficar por conta dos idealizadores do Currículo, uma vez que o parágrafo 1º do

artigo 36 da LDB indica que “os conteúdos, as metodologias e as formas de

avaliação serão organizados de tal forma que ao final do ensino médio o

educando demonstre domínio dos princípios científicos e tecnológicos que

presidem a produção moderna”. Os autores do Currículo podem entender que

o aprofundamento do estudo do conceito de função possa ser necessário para

aquele grupo ou sistema educacional no que diz respeito ao artigo comentado

acima.

Ainda em relação ao estudo de funções, os PCN+ dizem que os

problemas de aplicação não devem ser deixados para o final do estudo. Ao

contrário, devem ser utilizados como motivo e contexto para esse fim, uma vez

que há uma gama ampla de situações que envolvem funções e que pertencem

ao cotidiano.

Os PCN+ trazem um quadro com uma proposta de seleção de temas

estruturantes para as três séries do ensino médio, conforme reproduzimos

abaixo.

Figura 28: Temas estruturantes para o ensino médio

1ª série 2ª série 3ª série

1. Noção de função; funções analíticas e não analíticas; análise gráfica; sequências numéricas; função exponencial ou logarítmica.

1. Trigonometria do triângulo retângulo.

1. Funções senos, cosseno e tangente.

1. Trigonometria do triângulo qualquer e da primeira volta.

1. Taxas de variação de grandezas.

2. Geometria plana: semelhança e congruência; representações de figuras.

2. Geometria espacial: poliedros; sólidos redondos; propriedades relativas à posição; inscrição e circunscrição de sólidos.

2. Métrica: áreas e volumes; estimativas.

2. Geometria analítica: representação no plano cartesiano e equações; intersecção e posições relativas de figuras.

3. Estatística: descrição de dados; representações gráficas.

3. Estatística: análise de dados.

3. Contagem.

3. Probabilidade.

Fonte: Brasil, 2002, p. 128

95

Mesmo os PCN+ trazendo os temas estruturantes, reconhecidos no

quadro acima pelos indicadores: 1. Álgebra: números e funções, 2. Geometria

e Medidas e 3. Análise de dados; os PCN+ ainda deixam a escolha dos

conteúdos específicos bastante maleável e abrangente. Escolha que deve ser

feita no momento em que os educadores farão seu plano de ensino ou

estruturarem o Currículo, possibilitando toda uma liberdade deixada aos

elaboradores do Currículo.

Percebemos que muitos conteúdos que geralmente são trabalhados no

ensino médio e frequentes em livros didáticos, não são apresentados nesse

quadro. Podemos citar, por exemplo, Matemática Financeira, Matrizes e

Determinantes, Sistemas Lineares, Números Complexos e Polinômios. No

entanto, desde o princípio, o documento afirma que a intenção no “novo Ensino

médio” deixa de ser um curso preparatório para o Ensino Superior para

assumir a responsabilidade de completar o Ensino Básico e, portanto deixa de

exigir certos conteúdos que podem ser dispensados nesse novo modo de

trabalhar esse segmento de ensino. Também porque, desde a elaboração dos

PCN para o Ensino Médio, já havia uma intenção a respeito da liberdade de

escolha de conteúdos para o ensino médio que viesse ao encontro das

necessidades da comunidade ou do sistema de ensino.

A respeito dos números complexos, esse documento aponta, quando

trata de funções, que é uma opção de escolha tratar esse conceito no campo

numérico dos números reais ou, eventualmente, dos números complexos.

Porém tratando as funções ou equações com variáveis ou incógnitas reais.

Também o trabalho com resolução de sistemas lineares é dito que deve ser

deixado para a parte flexível do Currículo, isto é, que deve ser introduzida

quando se verificar necessidade de ensinar tal conteúdo para o sistema de

ensino em questão.

Para que se alcancem os objetivos pretendidos e se promova as

competências gerais e o conhecimento matemático, conforme sugestão desse

manual, é sugerido que se privilegiem o tratamento de situações-problema,

preferencialmente a partir de contextos reais. Assim, a resolução de problemas

é a metodologia que deve ser tomada como princípio na elaboração do plano

de ensino ou na elaboração do Currículo.

96

6.1.6 – Orientações Curriculares para o Ensino Médio

Alguns anos após a publicação dos PCN+, o MEC publicou, em 2006,

as Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Analisaremos o volume 2

que refere-se a orientações à área de Ciências da Natureza, Matemática e

suas Tecnologias. Trata-se de uma iniciativa do Ministério da Educação de

apoiar o professor desse segmento de ensino com o trabalho com o jovem, que

segundo o documento, requer uma aprendizagem mais autônoma e contínua

ao longo da vida. Assim, sua formação na terceira etapa do Ensino Básico

deve ter o caráter de prepará-lo para a vida social e para o trabalho, tendo

desenvolvido nesse jovem sua visão crítica e possibilidade de enfrentamento

de situações e tomadas de decisão, em conformidade com o artigo 35 da LDB

9394/96.

O documento foi organizado pelo DPEM (Departamento de Políticas de

Ensino Médio), órgão vinculado à Secretaria de Educação Básica do MEC,

após a realização de vários seminários, organizados pelo próprio DPEM, que

visavam discutir as especificidades de cada currículo em cada sistema de

ensino. Dessa forma, as discussões, reflexões, apontamentos, e sugestões dos

seminaristas possibilitaram a criação do documento a qual nos referimos.

Pelo que podemos verificar na introdução trazida nesse compêndio, as

discussões estiveram sempre voltadas ao Currículo. O Currículo foi o eixo

motivador da realização dos debates em seminários, das discussões e

reflexões que culminaram nas orientações publicadas. Apesar de ser indicado

ao professor que trabalhada diretamente com estudantes do ensino médio na

sala de aula, como afirma o próprio documento, ele também acaba por ser um

norteador do trabalho de elaboração curricular, uma vez que no cerne de seu

contexto a palavra chave é Currículo.

Em seguida, cada disciplina da área de Ciências da Natureza,

Matemática e suas Tecnologias são tratadas em capítulos distintos. O terceiro

capítulo foi dedicado à Matemática.

No capítulo relativo a esta disciplina, o documento diz que três aspectos

serão apontados permitindo um debate sobre as orientações curriculares.

Porém o documento aponta quatro, e não três aspectos: a escolha de

97

conteúdos; a forma de trabalhar os conteúdos; o projeto pedagógico e a

organização curricular.

Partindo dessa intenção, afirma-se que este documento organizará os

conteúdos básicos em quatro blocos:

Números e operações;

Funções;

Geometria; e

Análise de dados e probabilidade.

Notamos que, a cada documento, a cada publicação, estes blocos vão

variando, assim como alguns objetivos da educação básica. Isso demonstra os

impactos provocados pelas reformas inovadores na educação desde a

implantação da LDB 9394/96, que na publicação dessas Orientações estava

completando 10 anos e que ainda está para se estabilizar a partir das

discussões e reflexões na área da educação, seja no meio acadêmico, no

âmbito das políticas públicas, nas secretarias estaduais de educação e na

prática da sala de aula com os profissionais da educação.

Enquanto os PCN de 5ª a 8ª série do ensino fundamental trata de quatro

blocos (números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas,

tratamento da informação), os PCN+ trata de três “temas estruturadores”

(álgebra: números e funções, geometria e medidas, análise de dados). Já as

Orientações Curriculares para o Ensino Médio trata de quatro blocos já

apontados acima.

Quanto aos blocos de conteúdos, as Orientações Curriculares incluem

no primeiro bloco (números e operações), além das operações com os

números que compõe os diversos conjuntos numéricos, subconjunto do

conjunto dos números reais, incluem também as medidas indicadas por

instrumentos, como o termômetro, o relógio etc., diferentemente como

indicavam os PCN+ que incluíam estas leituras no tema “geometria e medidas”.

Também é verificado que, enquanto os PCN+ trata o estudo de funções no

tema “álgebra: números e funções”, os PCN do Ensino Fundamental o introduz

no bloco “números e operações”. Já as Orientações Curriculares o trata num

bloco independente.

98

6.1.7 – Programa Curricular Francês

A fim de localizar nosso sistema de ensino no sistema internacional,

analisaremos o programa francês, por meio dos “Bulletins Officiel”

disponibilizados pelo Ministère de l’Éducation Nationale, pelo site

www.education.gouv.fr, para sabermos se os conteúdos e a metodologia de

ensino são comparáveis e em que sentido podemos dizer quais as vantagens e

desvantagens de um ou outro sistema.

O sistema francês de educação básica se divide em três etapas:

maternalle, collège e lycée. Faremos análise apenas dos programas do collège

e do lycée, pois o estudo do tema função se dá nestas etapas.

Comparativamente às idades dos estudantes, o quadro abaixo relaciona

o collegè e o lycée e suas séries com os anos finais do ensino fundamental e

as séries do ensino médio do sistema brasileiro.

Figura 29: Comparação das séries escolares no Brasil e na França

França Brasil

Collège

Sixième 6º ano anos finais do

ensino fundamental

Cinquième 7º ano

Quatrième 8º ano

Troisème 9º ano

Lycée

Seconde générale et technologique

1ª série

ensino médio Première générale

2ª série Prémière technologique

Terminale générale

3ª série Terminale technologique

Fonte: A pesquisa

Em Matemática, o programa do Collège procura desenvolver nos

estudantes a capacidade de raciocínio, de imaginação e de análise crítica,

formando a base indispensável da cultura matemática. Por meio de resolução

de problemas os estudantes devem aprender a:

Identificar e formular questões,

Fazer hipóteses e experimentá-las sobre seus exemplos,

Construir um argumento,

Controlar os resultados obtidos e verificar sua pertinência,

Comunicar uma pesquisa,

Apresentar soluções.

99

O ensino de Matemática no collége compreende quatro campos:

Organização e gestão de dados, funções.

Números e Cálculos.

Geometria.

Grandezas e Medidas.

O quadro abaixo apresenta as competências que os estudantes devem

adquirir em cada série dessa etapa de estudo.

Figura 30: Competências nas classes do collége

Sixième

Situações de proporcionalidade, representação de dados. Números decimais, desenvolvimento de cálculo mental e utilização de calculadora. Reconhecimento e construção de figuras, noção de simetria em relação a um eixo. Unidades de medidas, ângulos.

Cinquième et Quatrième

Porcentagens, ferramentas estatísticas, posições sobre reta ou plano. Cálculo sobre os números relativos inteiros e decimais, iniciação ao cálculo literal. Representação de figuras espaciais, estudo de simetrias. Cálculo de áreas e volumes.

Troisème

Elementos básicos de estatística descritiva e probabilidade. Cálculo numérico (números inteiros, decimais e fracionários, relativos ou não, proporcionalidade) e primieras noções de cálculo literal, noção de funções. Figuras elementares e propriedades de configuração do plano e do espaço. Redução e ampliação, composição de grandezas e mudanças de unidades.

Fonte: A pesquisa

No lycée, a classe do seconde é comum a todos os estudantes. No

première e no terminale os estudantes escolhem o tipo de ensino que devem

seguir: lycée général ou lycée technique.

Na classe de seconde o estudo de Matemática, segundo o programa do

governo, e desenvolvido sobre três eixos: As funções, a geometria e as

estatísticas e probabilidades. As atividades em Matemática devem ser

diversificadas e os estudantes devem ser incentivados a pesquisar,

experimentar, em particular com a ajuda de ferramentas computacionais.

Devem ser capazes de desenvolver e colocar em práticas algoritmos. Devem

ser capazes de raciocinar de forma lógica, fazer demonstrações, explicar

oralmente ou por escrito, o resultado de uma pesquisa.

No première ou no terminale das classes do lycée générale, o programa

deve permitir que os estudantes adquiram saberes e competências

100

necessárias para passar no “baccalauréat”, uma qualificação acadêmica do

final do lycée que possibilita o ingresso no ensino superior. No lycée technique,

o objetivo é preparar os estudantes aos estudos superiores de cursos

tecnológicos e também incluir os estudantes diretamente no mundo do

trabalho.

O quadro a seguir apresenta, de forma compacta, os conteúdos dos

programas de Matemática do lycée.

Figura 31: Conteúdos do lycée

Seconde

Funções: Imagem, curvas e representação.

Estudo qualitativo de funções: Crescentes, decrescentes, máximo e mínimo

num intervalo.

Expressões algébricas para modelar problemas.

Resolução gráfica e algébrica de equações.

Funções lineares e afim.

Variações da função quadrática e da função inversa.

Funções polinomiais do segundo grau.

Funções homográficas.

Inequações.

Estudo de trigonometria no ciclo trigonométrico.

Estudo de seno e cosseno.

Première Generale

Estudo de funções do segundo grau na forma canônica.

Funções raiz quadrada e função cúbica.

Valor da derivada de uma função num ponto.

Tangente à curva num ponto.

Derivada de funções usuais.

Porcentagens.

Estudo de sequências numéricas.

Sequências aritméticas e sequências geométricas.

Première Technologique

Equações do segundo grau. Trinômio quadrado perfeito.

Funções circulares. Trigonometria no ciclo trigonométrico.

Funções seno e cossenos.

Funções modulares.

Derivação. Valor da derivada. Reta tangente.

Derivadas de funções trigonométricas.

Sequências.

Sequências geométricas.

Limite de uma sequência.

Terminale Generale

Sequências geométricas.

Limites de uma sequência (qn).

Sequências aritiméticas e geométricas.

Noções de continuidade sobre um intervalo.

Funções exponenciais.

Derivada de funções exponenciais. ex.

Funções logarítmica neperiana.

Funções convexa e côncova. Convexidade.

Variação de derivada.

Pontos de inflexão.

101

Posições relativas de curvas.

Integração.

Primitiva de uma função.

Valor médio de uma função contínua sobre um intervalo.

Terminale Technologique

Limites de uma sequência definida pelo termo geral.

Notação de limite.

Sequências geométricas: soma de termos consecutivos. Limites.

Assíntotas.

Limites no infinito. Limites infinitos. Operações com limites.

Derivadas e primitivas.

Primitiva de uma função sobre um intervalo.

Funções Logarítmicas.

Número e.

Funções exponenciais. ex.

Fonte: A pesquisa

Podemos notar pelo quadro acima que as grades de conteúdos a serem

estudados no lycée, na França, são bem diferentes dos estudados no ensino

médio no Brasil, enquanto no Brasil a noção de função é desenvolvida no

domínio da álgebra na França ela é trabalhada no domínio da análise.

Finalizando nossa análise em documentos oficiais brasileiros e

franceses, retomamos aos estudos de materiais produzidos no Brasil e mais

especificamente no estado de São Paulo.

Nessa diversidade de informações e orientações apresentadas pelos

documentos oficiais, os Currículos dos sistemas de ensino vão se construindo,

traçando-se as metodologias que se pretende aplicar em sua implementação,

assim como escolhendo, de forma autônoma, os conteúdos de suas áreas e

disciplinas. Nesse movimento, o Currículo do Estado de São Paulo foi se

construindo. Implantado no ano de 2008, após a publicação dos documentos

que trouxemos nas discussões acima, esse material passou a fazer parte

habitual da educação paulista. Dessa maneira, passaremos a analisar esse

Currículo, basicamente na parte que interessa a essa pesquisa, ou seja, o que

estiver relacionado à Matemática e, mais especificamente, ao conceito de

funções.

102

6.2 – Documentos Oficiais do Estado de São Paulo

6.2.1 – Proposta Curricular do Estado de São Paulo

No ano de 2008 a Secretaria de Estado da Educação, na gestão do

governador José Serra e como secretária da educação a Prof.ª Maria Helena

Guimarães de Castro, divulga-se a Proposta Curricular para as séries finais do

ensino fundamental e para o ensino médio. A publicação se deu em formato

físico relativo a um exemplar para cada uma das áreas do conhecimento.

A distribuição foi feita de forma que todas as mais de 5000 escolas do

estado recebessem exemplares das diferentes áreas. Trataremos com maiores

detalhes o exemplar que trata da área/disciplina de Matemática.

O documento inicia sua apresentação afirmando que a Secretaria estava

realizando um projeto que visava instituir um Currículo para o ensino

fundamental, ciclo II e para o ensino médio. Portanto podemos notar que a

proposta é uma pedra fundamental para a elaboração de tal Currículo. Essa

intenção se instituiu como “Programa São Paulo Faz Escola”.

Para a constituição do Currículo, o documento afirma que realizará um

levantamento do acervo documental e técnico pedagógico, além de uma

consulta às escolas e aos professores, sendo esta uma “declaração de

intenções”. Com esta iniciativa, a Secretaria pretende cumprir o dever de

garantir a todos uma base de conhecimentos e competências para que as

escolas do Estado funcionem realmente como uma rede.

Juntamente com esta Proposta Curricular, a Secretaria publica o

documento Orientações para a Gestão do Currículo na Escola e os Cadernos

do Professor. O primeiro deles destinados aos gestores da educação como

diretores, professores coordenadores etc., o segundo destinado ao trabalho do

professor. Dos dois documentos indicados anteriormente, analisaremos

oportunamente os Cadernos do Professor, pelo fato de estar mais diretamente

ligado ao trabalho institucional e pessoal a que nos propomos, deixando as

Orientações para a Gestão apenas para a consulta quando necessário.

A Proposta Curricular da qual estamos discorrendo é uma orientação

específica sobre a metodologia pretendida para o trabalho do professor em

sala de aula para os anos finais do ensino fundamental e para o ensino médio.

Seus princípios estão centrados em:

103

a escola que aprende;

o Currículo como espaço de cultura;

as competências como eixo de aprendizagem;

a prioridade da competência de leitura e escrita;

a articulação das competências para aprender; e

a contextualização no mundo do trabalho.

A Proposta Curricular traz uma visão geral relativa a todas as disciplinas

no que diz respeito à educação dos tempos atuais e aborda as diversas

vertentes que se articulam com a educação contemporânea como o espaço

dado à cultura, às competências – principalmente a competência da leitura e da

escrita -, e ao mundo do trabalho.

Ao menos no que dizem respeito à formação cidadã, as Propostas

Curriculares estão bastante alinhadas aos documentos oficiais da união.

Porém, a proposta curricular traz uma divisão por áreas diferentemente

daquela estabelecida nos DCNEM vigente na época da publicação desta

proposta. Na proposta curricular as áreas do conhecimento se distinguem em:

Área de Ciências Humanas e suas Tecnologias.

Área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias.

Área de Linguagens, Códigos e suas Tecnologias.

Área de Matemática e suas Tecnologias.

Na Proposta Curricular de Matemática é apresentada uma justificativa

por colocar a Matemática com uma área do conhecimento, diferentemente do

que orienta os PCN, que indicavam três áreas, incluindo a Matemática na área

de Ciências da Natureza. A justificativa apontada na Proposta se baseia no

fato que essa disciplina teria partes específicas que resultariam esmaecidas

caso a mesma fosse agregada ao grupo das linguagens ou de outras ciências.

(SÃO PAULO, 2008a. p. 38).

Para dar garantias de que esta Proposta Curricular pretendia um

trabalho voltado às competências e habilidades, justifica-se no documento

(SÃO PAULO, 2008a. p. 41) que nos últimos dez anos, principalmente com a

publicação dos PCN e o estabelecimento do ENEM, explicitou-se com mais

nitidez “que o foco permanente da ação educacional deve situar-se no

104

desenvolvimento das competências pessoais dos alunos”. Nesse sentido, o

documento expõe três pares de competências que chamam de “três eixos

norteadores da ação educacional” que são: o eixo “expressão/compreensão”

que evidencia a expressão do “eu” e compreensão do “outro” por meio de

diversas linguagens. O eixo “argumentação/decisão” que compreende a análise

de informações e relações entre estas e a construção de consensos e a

capacidade de decisão e elaboração de sínteses. O eixo

“contextualização/abstração” que demonstra a capacidade do enraizamento

dos conteúdos estudados e suas significações com a capacidade de abstração.

Esse documento procura mostrar que a Matemática pode estar

intimamente ligada a cada um desses três eixos. Para o primeiro deles, afirma-

se que a Matemática e a Língua Materna compõem um par complementar

como meio de expressão e de compreensão da realidade. Quanto ao par

argumentação/decisão diz que a Matemática atua neste eixo como um

instrumento para o desenvolvimento do raciocínio lógico. E em relação ao

terceiro eixo diz que a Matemática é a instância bastante adequada para se

lidar e compreender a relação dos elementos concretos e abstratos.

Relativo aos conteúdos a serem ensinados, apontados na Proposta

Curricular, tanto para o ensino fundamental quanto para o ensino médio, são

organizados em quatro blocos temáticos a saber:

Números;

Geometria;

Grandezas e Medidas; e

Tratamento da Informação.

Da mesma forma que os PCN para o ensino fundamental, a Proposta

Curricular assume quatro temas para englobar os conteúdos de Matemática. As

diferenças são pequenas, tanto na nomenclatura, quando nos conteúdos que

devem compor cada tema. Enquanto os PCN – EF chamam os quatro

agrupamentos de blocos, a Proposta os chama de temas.

No tema “números”, o objetivo principal é a ampliação da ideia do campo

numérico (naturais, inteiros, decimais e fracionários, real, complexo).

105

No tema “geometria”, preocupa-se inicialmente com o reconhecimento e

classificação das formas planas e espaciais. A abordagem deve se dar de

forma espiralada nos sete anos que compõem as séries tratadas nesta

proposta, isto é, que os assuntos não precisam se esgotar numa determinada

série, o assunto pode ser iniciado e retornar com maior aprofundamento em

séries posteriores.

O tema “grandezas e medidas” incorporará o estudo de áreas e

volumes. Ainda nesse tema será tratado o assunto de proporcionalidade e a

relação entre grandezas, incluindo o estudo de funções.

O tema “tratamento da informação”, segundo essa Proposta, deve se

situar além das fronteiras da organização e análise de dados. Esse tema

incluirá o estudo e planejamento de pesquisa estatísticas que utilizem técnicas

de elaboração de questionários e amostragem. Incluirá também a estatística

descritiva e de inferência, o cálculo de probabilidade e as técnicas de

contagem.

Ao final do exemplar, são apresentados os conteúdos a serem

trabalhados, por série/semestre em quadros próprios. Apresentamos no anexo

2 resumidamente, os conteúdos apenas com os temas principais de estudo.

Por meio dos conteúdos expostos na Proposta Curricular de Matemática

podemos perceber que o assunto “funções” é iniciado na 8ª série (atual 9º ano)

do ensino fundamental. Este é também geralmente a série escolhida na maioria

dos livros didáticos e dos programas de ensino, mesmo que os PCN para o

ensino fundamental não estabeleçam um parâmetro para o início desse

conceito.

A Proposta Curricular não especifica uma metodologia clara sobre a

forma de trabalho com os conteúdos que se apresentam. Talvez supondo que

tal metodologia seja explicitada nos materiais de apoio, que neste momento da

publicação da Proposta, tratava tão somente dos Cadernos do Professor.

O fato de a Proposta Curricular ter sido somente um documento

preliminar que deveria abrir caminho para o Currículo Oficial do Estado de São

Paulo, em 2010 a Secretaria da Educação publica o Currículo.

106

6.2.2 – Currículo do estado de São Paulo

Dois anos após a publicação da Proposta Curricular, a Secretaria de

Estado da Educação de São Paulo, na gestão do Secretário Paulo Renato

Souza e do governo de José Serra, lança o Currículo. Da mesma forma que a

Proposta, cada área do conhecimento é contemplada com um exemplar

específico.

O Currículo de Matemática apresenta algumas alterações em relação ao

seu antecessor: a Proposta Curricular. Uma das mais evidentes é a redução

dos temas. Enquanto que no documento anterior os conteúdos eram

concentrados em quatro temas, o Currículo passa a agrupá-los em três temas,

justificando que, “todos os conteúdos estudados na escola básica, em todas as

disciplinas, podem ser classificados como ‘Tratamento da Informação’.” (SÃO

PAULO, 2010a, p. 36).

Os três temas apresentados no Currículo, agora chamados também

neste documento de “blocos temáticos” são os elencados a seguir:

Números;

Geometria;

Relações.

O bloco temático “números” envolvem as noções de contagem, medida e

a representação simbólica. Ainda inclui a álgebra e as ideias de equivalência e

ordem para a noção de número.

O bloco temático “geometria” está relacionado às formas e às figuras

planas e espaciais. Fazem parte desse bloco as concepções do espaço que

servem como suporte para a compreensão do mundo físico (SÃO PAULO,

2010a, p. 39).

O bloco temático “relações” inclui a noção de medida considerada como

aproximação. Também as relações métricas em geral, as relações de

interdependência, de proporcionalidade e a ideia de função.

Quanto aos eixos norteadores para a educação não houve alterações.

Mas um ponto que mereceu destaque neste documento foi a explicitação das

“ideias fundamentais”. O Currículo aponta que essas “ideias”, pelo fato de

107

serem fundamentais, conduzem à sua reiteração no estudo de grandes temas

(SÃO PAULO, 2010a, p. 36). Algumas ideias fundamentais são exibidas

juntamente com uma breve descrição. Na página 37 do documento são

explicitadas as ideias fundamentais: proporcionalidade, equivalência, ordem e

aproximação.

O tratamento dado à função, por exemplo, da forma como é tratada nos

materiais de apoio ao Currículo, se dá, utilizando principalmente a ideia

fundamental de “proporcionalidade”.

O Currículo é mais enfático que seu documento precedente no que diz

respeito ao Caderno do Professor. Tal material de apoio é anunciado nas

páginas 3, 8, 35, 51 e 53, enquanto que a Proposta Curricular não fazia

menção desse recurso. Também no Currículo, a metodologia que se iniciou no

Caderno do Professor, que trata das “Situações de Aprendizagem”, é apontada

diretamente nesse documento nas páginas 8 e 53.

Da mesma forma que tratamos as tabelas de conteúdos apontados pela

Proposta Curricular, faremos também para o Currículo, de modo que possamos

comprar as posições que ocupam os conteúdos em cada série/bimestre e se

houve alguma alteração como, por exemplo, adequação, supressão ou

inclusão. Estes conteúdos estão apresentados no anexo 3.

Por meio da tabela de conteúdos apresentados pelo Currículo de

Matemática, notamos que não houve alterações significativas, apenas uma ou

outra palavra foi substituída por outras de mesmo significado. Os conteúdos

mantiveram-se inalterados em quantidades e qualidades, comparativamente

entre a Proposta Curricular de 2008 e o Currículo de 2010.

A função principal do Currículo era, assim como era a da Proposta

Curricular, direcionar e unificar o trabalho dos professores, garantindo

oportunidades igualitárias a todos os estudantes da rede pública estadual,

contribuindo o acesso aos mesmos conhecimentos à sociedade como um todo,

em todos os pontos do Estado.

Desde a publicação da Proposta Curricular, o material de apoio

destinado ao trabalho do professor em sala de aula foi o Caderno do Professor,

publicado também em 2008.

Em 2009, como forma de apoio ao Caderno do Professor, é publicado

também o Caderno do Aluno.

108

Passaremos, então, a discorrer sobre estes materiais, fazendo as

devidas análises e observações.

109

7 – ANÁLISE DOS CADERNOS DO PROFESSOR E DO ALUNO E DE

LIVROS DIDÁTICOS

7.1 – Análise dos Cadernos do Professor e do Aluno

No mesmo ano da implantação da Proposta Curricular – 2008, também

foi implantado em todas as escolas do ensino fundamental – séries finais (6º ao

9º anos) e de ensino médio (1ª a 3ª séries), o Caderno do Professor.

Para cada série/disciplina dos anos finais do ensino fundamental e do

ensino médio foram produzidos quatro cadernos, um para cada bimestre,

totalizando 28 cadernos por disciplina. Os Cadernos de cada disciplina têm

coloração específica. Cada caderno traz quatro “situações de aprendizagem”

para serem trabalhadas em sala de aula. Dessa forma, durante um ano letivo,

são trabalhadas 16 Situações de Aprendizagem por série.

Uma Situação de Aprendizagem é uma abordagem metodológica que

apresenta uma situação problema, intra ou extra matemática, e várias

atividades que sugerem um aprendizado do estudante a partir da exploração e

construção de conceitos. O professor atua como um mediador do

conhecimento e deve institucionalizar os temas abordados, fazendo uma ponte

entre os conteúdos explorados e o conhecimento em jogo nas situações

propostas.

Segundo o texto introdutório dos Cadernos, a abordagem utilizada

[...] busca evidenciar os princípios norteadores do processo de

aprendizagem, destacando-se a contextualização dos

conteúdos, as competências pessoais envolvidas,

especialmente aquelas relacionadas à leitura e à escrita

matemática, bem como os elementos culturais referentes à

Matemática (SÃO PAULO, 2009a, p.8).

No início de cada Situação de Aprendizagem é fornecida ao professor

uma tabela contendo o tempo previsto para o desenvolvimento da mesma, os

conteúdos e os temas a serem trabalhados, as competências e habilidades a

serem desenvolvidas e as estratégias que devem ser utilizadas pelo professor,

como podemos evidenciar na figura que segue.

110

Figura 32: Dados sobre a Situação de Aprendizagem

Fonte: Caderno do Professor, 2010, Vol. 2, 1ª série3

Ao final das apresentações das Situações de Aprendizagem, são dadas

algumas “orientações para recuperação” e em seguida alguns “recursos para

ampliar a perspectiva do professor e do estudante para compreensão do tema”.

Especificamente no material destinado à Matemática, no final do Caderno é

apresentada uma grade de conteúdos por série/bimestre, fazendo relações

entre conteúdos de um bimestre com outros e entre diferentes séries

destacadas em cores diferentes.

Todos estes ingredientes teoricamente parecem ser essenciais para o

sucesso na aprendizagem do estudante, uma vez que o processo de ensino foi

totalmente delimitado pelas orientações contidas nos materiais. A forma como

o professor deve proceder diante do material fornecido é descrita, as Situações

de Aprendizagem são exibidas e os objetivos são totalmente delimitados.

No entanto, considerando a experiência vivida pelo pesquisador e

baseado nos depoimentos de demais profissionais que atuavam na rede na

época da implantação do Caderno do Professor, esses materiais chegaram às

escolas sem nenhuma orientação específica, nenhum curso preparatório,

nenhuma informação mais direcionada à aplicação e uso desse recurso. O que

havia na rede, e posteriormente verificado por outros profissionais de diversas

3 As cores estão invertidas em relação ao Caderno, para tornar mais legíveis as inscrições.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

FUNÇÕES DE 1º GRAU: SIGNIFICADO, GRÁFICOS,

CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO, TAXAS

Tempo previsto: 1 semana e maia.

Conteúdos e temas: funções de 1º grau: significado dos coeficientes, crescimento, decrescimento, taxas

de variação, gráficos e inequações.

Competências e habilidades: compreender a função de 1º grau como expressão de uma

proporcionalidade direta entre grandezas; expressar essa proporcionalidade por meio de gráficos.

Estratégias: apresentação de uma síntese dos fatos já apresentados anteriormente sobre

proporcionalidade e funções de 1º grau; exploração desses fatos em situações problema em diferentes

contextos.

111

localidades no estado, é que havia uma obrigação por parte dos professores

em utilizar os Cadernos. Em cada Diretoria de Ensino foi destacado um

Supervisor de Ensino para percorrer as escolas e verificar o uso desse

material.

O que ocorreu então foi um uso totalmente despropositado dos

Cadernos. Alguns professores que se comprometeram a utilizá-lo

desconheciam sua metodologia. Outros que se vendo pressionados ao seu

uso, ou o fizeram de forma descompromissada ou se recusaram a usá-lo como

forma de protesto. O que se viu então foram um grande descontentamento e

desconforto da rede frente ao novo material que se colocava como um novo

recurso didático.

Dentre as reclamações dos professores, uma delas era a de que as

Situações de Aprendizagens, que eram destinadas aos estudantes,

necessitavam ser reescritas na lousa para que os estudantes pudessem utilizá-

las, uma vez que o material era destinado somente aos professores.

Diante desse desconforto e procurando garantir o uso de tal material, a

Secretaria de Estado da Educação implantou em 2009 o Caderno do Aluno, e o

Caderno do Professor passou por algumas adequações. Ao menos foi este o

argumento utilizado pelo Estado ao publicar estes novos materiais; porém,

muitos questionaram esta informação, uma vez que para satisfazer uma

demanda surgida em 2008 durante o uso do Caderno do Professor, era preciso

ainda um tempo maior para preparação e publicação do Caderno do Aluno. É

possível que o projeto Caderno do Aluno já estivesse em vias de fato, mesmo

durante a publicação do Caderno do Professor.

Observamos aqui que os professores, mesmo que de forma

inconsciente, demandam sua participação no desenvolvimento dos conteúdos

a serem trabalhados, pois se nos referirmos aos níveis de codeterminação

definidos por Chevallard (2007), em geral, segundo o autor os professores

tradicionalmente são responsáveis pelas organizações matemáticas e didáticas

dos temas e setores, ou seja, para o domínio das funções ficaria a cargo dos

professores escolherem o melhor momento e a forma de tratar o tema “gráfico

de uma função” ao trabalhar com o setor correspondente as funções afins, uma

vez que ainda conforme Chevallard (2007) os tópicos que correspondem aos

112

tipos de tarefas que os estudantes devem desenvolver dependem de seus

conhecimentos para que essas possam ser trabalhadas com certa autonomia.

Nesse caso, os professores optariam por abordagens, estratégias e

métodos mais adequados aos diferentes grupos de estudantes com os quais

estão trabalhando no momento em que desenvolvem um determinado setor da

disciplina Matemática, para dar vez aos estudantes de trabalharem a

autonomia necessária para o seu desenvolvimento.

Ressaltamos aqui que os estudantes de uma mesma série não dispõem

todos dos mesmos conhecimentos, sendo muitas vezes necessária a revisita

ou mesmo a introdução de conhecimentos supostos disponíveis para que se

possa avançar no desenvolvimento de um determinado setor relativo a um

domínio, por exemplo, ao domínio das funções.

De acordo com a grade de conteúdos exibida ao final do Caderno do

Professor, o conteúdo relativo ao estudo de funções inicia-se na 8ª série/9º ano

do ensino fundamental, volume 2.

Os volumes 1, 3 e 4 do 9º ano do ensino fundamental não tratam de

função. Portanto, somente um dos bimestres do 9º ano, e somente esse

período do ensino fundamental é utilizado para o estudo de funções.

No ensino médio, o volume 1 do caderno do Professor da 1ª série inicia

com o estudo de sequências, mais especificamente, das progressões

aritméticas e geométricas, sem dar muito destaque às funções, mas sempre

pedindo, nas atividades, que o estudante encontre a sequência adequada em

função de uma determinada variável (posição, figura etc.).

Porém somente no final da Situação de Aprendizagem 2 deste mesmo

volume, após a atividade 19 o material aponta que, intuitivamente, as

sequências podem ser associadas às funções. Afirma então que a fórmula

relativa à PA é uma expressão que representa a função f: S IR, onde S IN *

(SÃO PAULO, 2009e, vol. 1, p. 33), representação essa que o estudante ainda

desconhece, pois no 9º ano o estudo das funções está associado à covariação

de grandezas que segundo Rogalski (2013) não pode ser concebido como uma

função numérica de uma variável numérica.

O volume 2 da 1ª série do ensino médio entra efetivamente no estudo de

funções, e logo no texto introdutório os autores afirmam que “neste bimestre o

conteúdo básico é uma retomada da noção de função, que traduz uma relação

113

de interdependência entre duas grandezas, explorando-se especialmente as

funções de 1º e 2º graus” (SÃO PAULO, 2009e, vol. 2, p. 9). É possível notar

nesse parágrafo do Caderno que os autores utilizam os termos “funções do 1º

e 2º graus” para expressar funções polinomiais do 1º e 2º graus.

Um fato que chama a atenção é que, apesar de ter trabalhado no ensino

fundamental o conceito de função a partir da ideia de proporcionalidade, e

como são relembrados no mesmo texto introdutório do Vol. 2 da 1ª série do

ensino médio, os autores introduzem aqui a ideia de interdependência.

Assim, diferentes ideias que fundamentam o conceito de função são

trabalhadas indistintamente. A questão é a forma introdutória desse domínio de

estudo.

No Caderno do Professor do 9º ano a opção é pela abordagem por meio

da ideia fundamental de proporcionalidade, exigindo do professor uma

atualização e mudança na forma de ensino, mas o tempo de implementação

parece não possibilitar a apropriação pelo professor dessa nova forma de

trabalho, uma vez que o mesmo, em geral, não trabalhou com essa abordagem

na formação inicial e continuada.

Na sequência, no primeiro ano do ensino médio, para o trabalho com

este conceito, as ideias de variabilidade, interdependência, relações, entre

outras, vão sendo introduzidas e vão compondo o conceito de função. Nesse

momento as ideias associadas à função, apesar de mais próximas daquelas

conhecidas do professor, introduzidas em sua formação inicial, ainda é por

meio da ideia de proporcionalidade. Existe a dificuldade do conceito ser

introduzido sem articulação com a noção intuitiva de conjuntos, suas

representações, operações e propriedades. Portanto, são tratadas funções

como covariação de grandezas, mas atreladas ao conceito de funções de uma

variável real a valores reais, supondo que os estudantes disponham de

conhecimentos disponíveis em relação ao conjunto dos números reais.

O estudo de funções continua no vol. 3 dos Cadernos da 1ª série do

ensino médio, trabalhando com as funções exponenciais e logarítmicas. Na 2ª

série do ensino médio funções são tratas somente no vol. 1 com funções

trigonométricas. E finalmente esse domínio é revisitado na 3ª série do ensino

médio onde é feito um estudo mais analítico sobre funções.

114

Analisamos a seguir cada um dos volumes dos Cadernos que tratam

funções. As análises se darão conjuntamente com os Cadernos do Professor e

do Aluno.

7.1.1 – Caderno do 9º Ano do Ensino Fundamental – Vol. 2

O primeiro conteúdo estudado sobre funções, portanto, se dá no volume

2 do 9º ano, na Situação de Aprendizagem 3, com o título “Grandezas

Proporcionais: Estudo Funcional, Significados e Contextos”.

Nota-se claramente que a ideia central para desenvolver a noção de

função é o conceito de proporcionalidade, aqui a noção de função é tratada por

meio da covariação de grandezas e não de funções numéricas de uma variável

numérica, como observamos na breve evolução histórica do conceito de função

segundo Rogalski (2013).

As Situações de Aprendizagem apresentadas nos Cadernos, tanto do

ensino fundamental quanto do ensino médio, impõe a utilização e verificação

da proporcionalidade nas atividades propostas e cabe ao professor sugerir ao

estudante que observe a variação entre grandezas, estabelecendo relações

entre elas, verificando que tais relações são proporcionais ou que podem ser

readequadas para uma relação de proporcionalidade, imprimindo um artifício

para a adequação a uma das formas kx

hy

ou k

x

hy

2

.

Como o professor muitas vezes também não utilizou dessa estratégia

para introduzir a noção de variação de grandezas poderá não compreender a

relação de proporcionalidade e assim ter dificuldade em encontrar uma fórmula

que associe a covariação entre as grandezas consideradas.

Mais uma vez ressaltamos que seria necessário um tempo para a

implementação que permitisse ao professor se apropriar dessa forma de

abordagem, que nos parece associada historicamente aos estudos de

covariações por meio de casos particulares associados à astronomia; e as

funções aparecem sob forma de tabelas onde a variável é a variável tempo

conforme ressalta Rogalski (2013). Esse retorno utilizando os recursos da

história para a proposta de introdução ao estudo das funções exige um estudo

mais detalhado por parte dos professores, pois a evolução do conceito para ser

115

tratado como funções numéricas de uma variável numérica não foi imediata e

levou muito tempo.

No texto introdutório no Caderno da 8ª série/9ºano, vol. 2, da Situação

de Aprendizagem 3, já se faz menção sobre a maneira de pensar a função

polinomial do 1º grau a partir da ideia fundamental de proporcionalidade, mas

sem definir tal ideia como uma função afim.

Assim, aponta ao professor que, se duas grandezas x e y são

diretamente proporcionais então kx

y . E ainda que, se y varia a partir de certo

valor h de x, ou seja, hkxy , então kx

hy

(SÃO PAULO, 2009d, vol. 2,

p.42). Também aponta que, se a cada valor para a variável independente “x”

existir um único valor associado à variável dependente “y”, então y é função de

“x”, sendo que aqui a noção de função é tratada como covariação de

grandezas, isto é, a variação da grandeza y depende da variação de x dada.

No entanto, nas atividades do Caderno da 8ª série/9ºano a palavra

função é utilizada de maneira informal para representar uma relação entre duas

grandezas. Nas atividades iniciais essa expressão linguística aparece seguida

de uma expressão algébrica, mas ainda não se faz nenhuma definição para o

conceito de função para o estudante. Ainda para essas atividades o nível de

conhecimento esperado dos estudantes é o mobilizável, visto que os autores

solicitam, nas atividades, que seja verificado se há ou não relação de

proporcionalidade entre as variáveis apresentadas por meio de uma tabela.

Quanto ao tipo de registro de representação semiótica utilizado, de acordo com

a teoria de Duval (1995), percebe-se uma conversão do registro discursivo,

com o uso da linguagem natural, para o registro algébrico, mas sem ainda

expressar uma estrutura algébrica para as funções.

Em atividades anteriores, e mesmo em Cadernos de séries anteriores,

os estudantes já tiveram contato com expressões algébricas como, por

exemplo, as equações de 1º e 2º graus. Assim, é possível introduzir

expressões que vão tomando forma das expressões que representam funções.

Várias atividades nas Situações de Aprendizagem da 8ª série/9ºano e da 1ª

série do ensino médio solicitam que o estudante escreva uma expressão

algébrica que dê conta da relação com os valores das entradas das tabelas

116

fornecidas. Algumas dessas tabelas indicam relação direta entre as grandezas,

outras relações inversas e outras ainda relações diretas com o quadrado.

Neste último caso, já esperando que o professor possa mostrar a seus

estudantes que uma função polinomial do 2º grau, mas ainda sem utilizar essa

nomenclatura, possa ser representada a partir da ideia de proporcionalidade,

fazendo kx

y

2, ainda aqui essa relação é vista como covariação de

grandezas.

Das 16 Situações de Aprendizagens trabalhadas na 8ªsérie/9º ano,

somente duas delas tratam da noção de função. São as Situações de

Aprendizagem 3 e 4 do volume 2. Como a primeira Situação de Aprendizagem

trata praticamente da relação de proporcionalidade entre as grandezas,

tomamos a segunda atividade apresentada no Caderno para fazer uma análise

mais apurada com vista no referencial teórico utilizado nesta pesquisa.

Figura 33: Atividade sobre relação de proporcionalidade e função

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 8ª série/9ºano, vol. 2, p. 43

Descrição: Essa atividade não tem a pretensão que o estudante perceba que há uma relação funcional entre variáveis numéricas, mas sim que ele verifique se há uma relação de proporcionalidade entre as grandezas dadas. Ficará a cargo de o professor fazer uma ponte entre a proporcionalidade, caso haja, e a sentença algébrica que caracteriza a covariação entre as grandezas.

Tarefa T4 – Identificar características de proporcionalidade T6 – Escrever uma expressão algébrica

Técnica

Comparar os pares (x, y), testando os produtos ou as divisões, de forma a encontrar alguma relação de proporcionalidade. Verificar os mesmos produtos ou divisões para os pares (x, y – 1) para verificar a proporcionalidade.

Tecnologia Utilizar as relações de proporcionalidade k

x

y ou k

x

hy

para

117

verificar se os valores da tabela podem ser expressos de forma proporcional.


Tabela. Produtos ou divisões.


Conceito de Proporcionalidade e a noção de função enquanto covariação de grandezas


Registro de representação monofuncional: tabela.


Mostrar ao estudante que há relação de proporcionalidade somente se tomar a relação entre os pares (x, y – 1).


Verificar que não há proporcionalidade, sofrer uma desconstrução de conceitos, reconstruir o conceito de proporcionalidade em relação a uma constante e verificar que a proporcionalidade será da forma

21

x

y.


Nível mobilizável em relação ao conceito de proporcionalidade e a noção de função enquanto covariação de grandezas

Nessa atividade do Caderno do Professor, se aplicada diretamente aos

estudantes, possivelmente os mesmos chegariam à conclusão que não há

relação de proporcionalidade entre os valores apresentados na tabela, o que

pode ter ocorrido em 2008. Esse possivelmente era o objetivo dos autores. O

estudante mobiliza seus conhecimentos de proporcionalidade no primeiro

momento e nega o resultado. Em seguida entra em pauta a relação pessoal do

professor com o Caderno e o estudante. O professor desestabiliza o estudante,

mostrando uma nova forma de “enxergar” essa proporcionalidade, ao subtrair

uma unidade dos valores de y e verificando a existência de uma relação de

proporcionalidade direta, isto é, kx

y

1. Podemos perceber que a opção

oferecida pela material de apoio ao professor não é, de imediato, uma condição

de interdependência. O professor também passa por uma desconstrução de

seus conceitos aprendidos na sua formação inicial e desenvolvidos nos livros

didáticos, para então se apropriar de uma nova tecnologia, para ensinar o

estudante essa nova forma de construção do conhecimento.

Não podemos dizer que uma função real a valores reais possa ser obtida

a partir de uma tabela como a apresentada nesta atividade, uma vez que não

temos como verificar o que ocorre com os valores nos intervalos de dois

118

números xa e xb fornecidos. Logo, não podemos definir funções que possam ter

uma estrutura no conjunto dos números reais a partir de uma tabela.

No Caderno do Aluno, implantado em 2009, foi acrescentada uma

atividade, a de número 3, diferente da ordem numérica apresentada no

Caderno do Professor, e é dada uma nova tabela para essa atividade, onde o

estudante deve preencher uma nova linha com os valores de y – 1, de forma

que perceba a relação de proporcionalidade entre y – 1 e x. Exatamente como,

a princípio, o Caderno do Professor orientava que o professor mostrasse essa

relação.

Agora, o Caderno do Aluno oferece um recurso que torna os

conhecimentos esperados dos estudantes mobilizáveis enquanto que a do

caderno do professor exige um conhecimento disponível em relação a um

artifício para tornar as grandezas diretamente proporcionais.

Pretende-se, ao final, que o estudante possa verificar a relação

mostrada na tabela a seguir e concluir que a relação de proporcionalidade se

dá para 21

x

y, portanto 12 xy .

Figura 34: Tabela mostrando a relação de x com y e y - 1

X 1 2 3 4 5 6 7

Y 3 5 7 9 11 13 15

y – 1 2 4 6 8 10 12 14

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 8ª série/9º ano, vol. 2

Na atividade, a princípio, parece não haver a preocupação de

caracterizar uma função, mesmo porque, não se dá nenhuma importância

sobre a variação de x. Não informa se as variáveis são discretas ou contínuas,

não mostra a qual conjunto pertence x ou y. Apenas informa que y varia em

função de x, mas deixa claro que x é a variável independente e y é a variável

dependente para a covariação de grandezas dadas. Provavelmente para essa

questão não houve a preocupação em mostrar que uma relação como esta,

que implica numa relação de proporcionalidade entre x e y + h, seja uma

função real de variável real, mas apenas direcionar que uma função pode ser

descrita como uma relação de proporcionalidade, ou seja, a função é descrita

como covariação entre grandezas.

119

Na sequência, as atividades da Situação de Aprendizagem 3 vão

incluindo outros tipos de tarefas. Em algumas são apresentadas as expressões

algébricas de funções e solicita seus valores numéricos, mas na maioria das

vezes articulando tabelas com as expressões que lhe cabem, ou seja, ainda a

noção de função é tratada como covariação de grandezas.

A seguir apresentamos o quadro que aponta os tipos de tarefas

abordadas nas atividades da Situação de Aprendizagem 2 no Caderno do

Professor, vol. 2 do 9º ano, nas atividades de A1 até A9.

Figura 35: Quadro dos tipos de tarefas utilizadas na Situação de Aprendizagem 2

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █

A2 █ █

A3 █ █

A4 █ █

A5 █ █ █

A6 █

A7 █ █

A8 █ █

A9 █ █

Fonte: A pesquisa

Para o quadro acima, utilizamos os tipos de tarefas definidas na

metodologia deste trabalho , pela figura 18, exposta novamente a seguir.

Categoria Tipo de Tarefa

T1 Resolver uma equação.

T2 Encontrar um valor para uma função.

T3 Encontrar uma raiz de uma equação.

T4 Identificar características de proporcionalidade.

T5 Calcular uma constante de proporcionalidade.

T6 Escrever uma expressão algébrica.

T7 Representar um gráfico cartesiano.

T8 Preencher ou utilizar uma tabela.

T9 Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos.

T10 Encontrar informações e/ou propriedades em expressões algébricas.

120

Pelo quadro da figura 35 vemos que há um forte apelo para que os

estudantes encontrem ou utilizem a condição de proporcionalidade para

associá-la ao conceito de função enquanto covariação de grandezas.

Na Situação de Aprendizagem 4, cujo título é “Representação gráfica de

Grandezas Proporcionais e de Algumas não Proporcionais”, os temas são

centrados nas construções gráficas, e o termo “função” é mais frequente. No

texto de introdução os autores apontam que os professores poderão sugerir

aos estudantes que tragam para a sala de aula alguns gráficos retirados de

jornais ou revistas, de maneira a poder mostrar suas formas e as grandezas

envolvidas. Talvez essa sugestão auxilie o professor a relacionar o estudo de

funções a fatos cotidianos, porém possivelmente o professor deverá filtrar

bastante os gráficos trazidos pelos seus estudantes, uma vez que a maioria

dos gráficos publicados na imprensa é relativa a tratamento da informação,

como gráficos de barras ou de setores o que pouco ajudaria na construção dos

gráficos das funções a serem estudadas.

Anterior às atividades dessa Situação de Aprendizagem, são

apresentados três gráficos. Um com as representações das funções do tipo

mxy e nmxy , outro com a representação da função do tipo kyx . , e a

última com a representação de função do tipo 2kxy (SÃO PAULO, 2009d,

vol. 2, p. 51).

Figura 36: Gráficos de funções

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 8ª série/9ºano, vol. 2, p. 51

As funções, suas representações gráficas ou algébricas e suas

propriedades são sempre apresentadas por uma situação-problema o que pode

facilitar a aprendizagem e a compreensão dos conceitos trabalhados em cada

121

caso por parte dos estudantes, mas a compreensão e aprendizagem nesta

metodologia exigem a mediação do professor quando de sua introdução,

ficando claro que a relação com o objeto de conhecimento depende dos

conhecimentos prévios dos estudantes. Alguns estudantes podem não dispor

de conhecimentos necessários para a solução das situações sem as

orientações e acompanhamento do professor. Isto é, os estudantes podem não

ser capazes de resolver as situações problemas por não disporem de uma

situação de referência.

A ideia de proporcionalidade é utilizada como conhecimento prévio

disponível para o estudante, que poderá ser mobilizada pelo professor, uma

vez que ele fará a articulação entre os estudos de proporcionalidade e sua

relação com o estudo de funções enquanto covariação de grandezas. Caso

contrário, ou seja, se o estudo ficasse totalmente por conta do estudante, o

conhecimento que ele colocaria em prática seria o disponível, o que poderia

gerar um fracasso na aprendizagem, em particular, para o caso em que é

necessário fazer uso de algum artifício, como é o caso de articular as relações

dadas nas tabelas com as relações de proporcionalidade direta ou inversa.

A seguir analisamos uma atividade dessa Situação de Aprendizagem,

comparando-a com a atividade analisada anteriormente, observando que se

trata de um exemplo que corresponde à utilização das funções enquanto

ferramentas para o estudo de um problema de Física. Conforme Rogalski

(2013) os problemas relacionados à Física apresentam-se como motivação

enunciada por meio da relação entre grandezas de um fenômenos natural.

Observamos aqui que as grandezas são contínuas e que o gráfico representa

uma relação média entre as grandezas observadas podendo corresponder a

uma curva como a representada na figura, mas não se trata de uma função de

IR em IR, ou seja, de uma função numérica de uma variável numérica.

122

Figura 37: Atividade sobre função

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 8ª série/9º ano, vol. 2, p. 53

Nessa atividade, caso o estudante saiba fazer as correspondências entre as abscissas e as ordenadas, ou seja, se ele reconhece e disponibiliza o conceito de par ordenado, ele é capaz de preencher corretamente a tabela.

Tarefa T4 – Identificar característica de proporcionalidade T8 - Preencher uma tabela a partir de uma correspondência

Técnica Encontrar a correspondência entre v e t.

Tecnologia Analisar as relações de proporcionalidade direta k

x

y ou inversa

kxy . , para que a correspondência entre x e y seja garantida.


Gráfico cartesiano, correspondência descritiva de um ponto no gráfico e seus valores t e v. Preenchimento de uma tabela de dupla entrada.


Conceito de par ordenado, conceito de correspondência, conceito de função como covariação de grandezas.


Registro de representação monofuncional: gráfico e tabela. Conversão entre os dois tipos de registros.


Diagnosticar o conhecimento do estudante referente ao conceito de par ordenado e relação de correspondência num plano cartesiano.


Procurar a correspondência apontada no gráfico e transferi-los para a tabela.

123


Nível mobilizável em relação ao conceito de par ordenado. Nível disponível em relação ao conceito de proporcionalidade inversa.

Ao terminar esta atividade, cabe ao professor associar a tabela

preenchida pelo estudante com os conceitos de proporcionalidade inversa. O

gráfico auxilia o estudante a completar a tabela, e o professor pode levá-lo a

perceber que as funções dadas pelas relações de proporcionalidade inversa

têm a representação gráfica no formato de hipérbole.

Podemos verificar que as atividades analisadas se complementam. Num

primeiro momento os estudantes devem ampliar seus conhecimentos e suas

percepções sobre as relações ditas “proporcionais” ou “inversamente

proporcionais” e num segundo momento devem “enxergar” que estas relações

podem ser expressas graficamente por uma das três formas gráficas

apresentadas na introdução da Situação da Aprendizagem 4. O Caderno do

Aluno não apresenta as três formas gráficas de função como faz o Caderno do

Professor, cabendo mais uma vez ao professor apresentá-las aos estudantes,

possivelmente escrevendo-as na lousa e mostrando que se supõe que os

valores intermediários entre dois valores dados na tabela obedecem a mesma

relação e que por isso o gráfico será representado de forma contínua.

Em outras atividades dessa Situação de Aprendizagem, são

apresentadas tarefas onde se fornece expressões algébricas representando

funções e pede-se, entre outras coisas, a representação gráfica dessas

funções. Podemos considerar aqui apenas como um trabalho de conversão

entre os registro de representação algébrico e tabular para o registro gráfico

para o caso da noção de função considerada apenas como covariação de

grandezas.

No quadro a seguir indicamos os tipos de tarefas abordadas nas

atividades da Situação de Aprendizagem 3 do vol. 2 do 9º ano.

124

Figura 38: Quadro dos tipos de tarefas utilizadas na Situação de Aprendizagem 3

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █

A2 █ █ █ █

A3 █ █

A4 █ █

A5 █ █ █

A6 █ █

A7 █ █

A8 █

Fonte: A pesquisa

Novamente, mesmo nas atividades que concentram as representações

gráficas cartesianas, o apelo às relações de proporcionalidade ainda dão um

tom às questões.

Nas “considerações sobre a avaliação” que são apresentadas ao final da

Situação de Aprendizagem no Caderno do Professor, é que o material chama a

atenção para que “o conceito de função está associado, particularmente, às

observações das variações e das relações de interdependência na expressão

algébrica ou na construção de tabelas” (SÃO PAULO, 2009d, vol. 2, p. 49).

Talvez algo tenha chamado a atenção dos autores que, caso não seja atingido

o efeito esperado com o ensino de funções por meio da ideia de

proporcionalidade, o professor possa utilizar outras técnicas como, por

exemplo, usando a ideia de relações entre conjuntos.

A seguir apresentamos a análise da proposta de ensino do estado de

São Paulo para a noção de função para a 1ª série do ensino médio.

7.1.2 – Caderno da 1ª série do Ensino Médio – Vol. 2

Na introdução da Situação de Aprendizagem 1 do vol. 2 dos Cadernos

do Professor e do Aluno, cujo título é “Funções como Relações de

Interdependência: Múltiplos Exemplos”, faz-se um comentário sobre a

dependência que uma variável pode ter em relação à outra, ainda observando

a variação de suas grandezas.

125

Nessa introdução é dito que se há uma relação de interdependência,

então pode-se escrever )(xfy . Diz ainda que se a relação de

interdependência for uma relação de proporcionalidade entre x e y , é preciso

que se verifique a razão kx

y para o caso de proporcionalidade direta e

kxy . para o caso de proporcionalidade inversa.

Ainda que seja apontado o trabalho de funções como uma relação de

interdependência como a ideia fundamental para a construção do conceito de

função, mesmo nos Cadernos do ensino médio, essa interdependência ainda é

apresentada como relação de proporcionalidade, ou seja, a introdução é feita

via a noção de covariação de grandezas. Assim, a primeira atividade do

Caderno solicita que os estudantes indiquem em cada caso se as relações

expressas em linguagem natural representam situações de proporcionalidade

direta, inversa ou nenhuma delas. (SÃO PAULO, 2009e, 1ª série, vol. 2, p. 12)

A representação )(xfy para função é utilizada na introdução da

atividade 6. Porém não foi realizado nenhum estudo mais formal sobre esta e

outras representações, apenas aquela apresentação singela na introdução do

Caderno do Professor. Também o estudo de funções não foi realizado tomando

como base o estudo da noção intuitiva de conjuntos, mesmo que no volume 1

da 8ª série o Caderno tenha apontado que o estudo de conjuntos,

principalmente a ampliação do conjunto numérico dos naturais para os

racionais e dos racionais para os irracionais, compondo o conjunto dos

números reais, constituiriam uma base para o prosseguimento dos estudos no

ensino médio, principalmente no que se refere a funções. (SÃO PAULO,

2009e, vol. 1, p. 22).

Da atividade 1 até a atividade 5 do Caderno do professor, as tarefas de

tratamento ou conversão ficam centradas nas equações e nas tabelas.

Somente após a atividade 5 o Caderno do Professor apresenta um texto sobre

gráficos de funções, mas ainda permanece o conceito de função enquanto

covariação de grandezas. Essa abordagem teórica não é fornecida no Caderno

do Aluno.

Nesse texto, os autores observam que se a relação de proporcionalidade

entre x e y é tal que kx

y , então o gráfico é uma reta que passa pela origem.

126

Se as grandezas x e y variam de tal forma que hkxy , a representação

gráfica é uma reta com inclinação k, e h é o valor inicial. No caso da

proporcionalidade inversa, x

kxf )( , o gráfico é uma curva chamada de

hipérbole, ou seja, por meio do ostensivo de representação gráfica os autores

iniciam a introdução da noção de função numérica de uma variável numérica

supondo que as mesmas variam no conjunto dos números reais mesmo se

esse conjunto não é explicitado, ele aparece de forma implícita em função da

variação de x e y nas retas reais correspondentes.

Figura 39: Representações gráficas das funções kxxf )( , hkxxf )( e x

kxf )(

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 1º série do EM, vol. 2, p. 16

Observamos que no Caderno do Professor 8º série/9º ano, ao

apresentar as representações gráficas, os autores incluíram também a relação

2kxy , cujo gráfico é uma parábola. Possivelmente, no ensino médio, queiram

deixar esse caso para o estudo mais particular de funções polinomiais do 2º

grau nas Situações de Aprendizagem trabalhadas mais a frente.

A seguir apresentamos uma atividade da Situação de Aprendizagem 1

do vol. 2 do Caderno da 1ª série do ensino médio, a qual analisaremos por

meio da grade de análise.

127

Figura 40: Atividade relativa ao conceito de função

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 1ª série do ensino médio, vol. 2, p. 18

Trata-se de uma atividade que fornece uma expressão algébrica e solicita uma operação de nível técnico no item a. Porém, somente pelo item b o estudante pode interpretar tal expressão como uma função.

Tarefa T1 – Resolver uma Equação. T7 – Representar um Gráfico Cartesiano.

Técnica Substituir os valores de x na expressão fornecida, resolvendo as equações. Representar graficamente a equação.

Tecnologia

Utilizar as noções de equações do 1º grau para a resolução de equações.

Associar as equações do tipo kxy . a gráficos em forma de

hipérbole.


Manipulação de uma equação algébrica. Gráfico cartesiano, correspondência descritiva de pontos no gráfico e seus valores x e N. Representação de um gráfico no plano cartesiano.


Conceito de equações algébricas. Conceito de plano cartesiano, conceito de gráfico de função.


Registro de representação monofuncional: expressão algébrica e gráfica. Tratamento da expressão, substituindo os valores de x e calculando os respectivos N. Conversão entre a expressão algébrica e o registro gráfico.


Diagnosticar o conhecimento do estudante relativo à resolução de equações algébricas e construção de gráficos cartesianos.


Resolver as equações algébricas correspondentes às substituições dos valores de x indicados. Construção gráfica da expressão algébrica fornecida.


Nível disponível em relação à resolução de equações algébricas. Nível técnico em relação à resolução da equação. Nível mobilizável em relação à construção gráfica.

128

A Análise da atividade nos mostra que um trabalho de tratamento e

conversão entre diferentes registro é explorado. Num primeiro momento,

enquanto o estudante está realizando os cálculos para encontrar o valor de N

(número de dias necessários para esvaziar o tanque), ele não tem uma visão

de que a expressão algébrica fornecida é a representação de uma função. O

comportamento da expressão é apenas tratado como uma equação do 1º grau.

Somente no item b é que o estudante começa a se liberar de situações

pontuais e discretas para perceber que uma série de valores de N, associados

com determinados valores de x, resultam no valor 20 000, o que caracteriza

uma relação de interdependência e de relação entre grandezas e possibilita a

construção de um gráfico de uma função.

Como a noção de função não se deu pelo estudo de conjuntos

numéricos, onde se poderiam associar os diferentes volumes que o tanque

pode assumir com valores do conjunto dos números reais, o estudante precisa

associar às grandezas dadas a noção de continuidade para dar sentido a

construção gráfica. Porém, se um trabalho sobre essas grandezas e suas

respectivas representações não é desenvolvido de forma explicita, os

estudantes podem tratar outras situações onde os valores assumidos pelas

variáveis sejam grandezas discretas, e representar essa situação particular

com um gráfico contínuo.

As 10 atividades apresentadas nesta Situação de Aprendizagem

envolvem as tarefas de verificar proporcionalidade em situações

contextualizadas e calcular valores para as funções apresentadas de forma

algébrica. O quadro a seguir apresenta os diferentes tipos de tarefas solicitas

nessas atividades.

129

Figura 41: Quadro de Atividades da Situação de Aprendizagem 1

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █ █

A2 █

A3 █

A4 █

A5 █ █

A6 █ █

A7 █ █ █

A8 █ █

A9 █

A10 █

Fonte: A pesquisa

Pelo quadro acima verificamos que as tarefas associadas a identificar

características de proporcionalidade e o cálculo da constante de

proporcionalidade foram inferiores às encontradas na análise do Caderno do

ensino fundamental. A característica mais frequente nestas atividades foi a

representação de gráficos cartesianos.

A Situação de Aprendizagem 2 do Caderno da 1ª série do ensino médio

tem o título “Funções do 1º Grau: Significado, Gráficos, Crescimento,

Decrescimento, Taxas”. Nessa Situação de Aprendizagem supõe-se que os

estudantes devam “desenvolver as competências de compreender a função do

1º grau como expressão de uma proporcionalidade direta entre grandezas;

expressar essa proporcionalidade por meio de gráficos” (SÃO PAULO, 2009e,

vol. 2, p. 20).

A introdução teórica é feita no Caderno do Professor, discorrendo sobre

a taxa de crescimento ou decrescimento da função relacionada à constante de

proporcionalidade k, e a dedução dessa proporcionalidade direta entre x e y ou

entre x e y + h, mostrada a partir das expressões: baxxf )( , então

axbxf )( , logo ax

bxf

)(. Neste caso, o Caderno do Professor aponta

que se a > 0 a função é crescente e se a < 0 a função é decrescente.

130

O Caderno do Aluno não tem esta parte teórica da forma como

apresentada no Caderno do Professor. No entanto, na atividade 1, que no

Caderno do Professor é apresentada de forma curta e direta, solicitando que se

determine os valores de a e b a partir dos gráficos de funções polinomiais do 1º

grau, essa mesma atividade no Caderno do Aluno apresenta um resumo da

parte teórica, dizendo que em axbxf )( , as grandezas bxf )( e x são

diretamente proporcionais, ou seja, aqui f(x) representa uma grandeza cuja

variação depende de x. Assim, para a atividade proposta aos estudantes se

solicita que os mesmos determinem os valores de a e b nos gráficos

apresentados no mesmo plano cartesiano, conforme figura 41 que segue.

Figura 42. Gráfico das funções do tipo baxxf )(

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 1ª série do EM, vol. 2, p. 22

Nessa atividade, apesar de representar o gráfico de função como

covariação de grandezas exige a passagem do registro de representação

gráfico para o registro de representação por meio de uma expressão algébrica

o que segundo trabalho de Duval (2005) corresponde ao sentido mais difícil na

conversão entre esses dois registros de representação.

A atividade que analisamos a seguir de forma mais detalhada é a

atividade 8 do Caderno do Professor e de mesma numeração no Caderno do

Aluno. Trata-se de uma atividade onde o gráfico de uma situação

contextualizada é apresentado por meio de uma representação que

corresponde a intervalos para os valores de x que é a variável independente,

mas ainda nesse caso trata-se da noção de função como covariação de

grandezas, mais especificamente, grandezas contínuas.

131

Figura 43: Atividade sobre função dada por partes

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 1ª série do EM, vol. 2, p. 26

A atividade solicita que o estudante tire várias informações do gráfico fornecido. Uma diferença bastante marcante neste tipo de atividade é a forma do gráfico, com aparência bem diferente dos gráficos apresentados em outras atividades, o que pode desestabilizar o estudante.

Tarefa T6 – Escrever uma expressão algébrica. T9 – Encontrar informações em gráficos cartesianos

Técnica

Associar valores da abscissa com valores da ordenada.

Encontrar a taxa de crescimento da função para 3800800 x ,

fazendo 8003800

200500

, encontrando a = 0,1. Em seguida escrever que

bxy 1,0 . Tomando as informações do gráfico, percebe-se que

para x = 800, y = 200, obtendo b = 120.

Tecnologia

Usar a relação de proporcionalidade entre x e y + h, que fornece a

expressão ax

bxf

)(.


Gráficos Cartesianos. Resolução de Equações do 1º grau.


Conceito de pares ordenados. Ideia de proporcionalidade. Conceito de interdependência e de variabilidade em funções polinomiais do 1º grau.

Registro de Representação

Registro monofuncional: gráfico cartesiano. Registro algébricos: equações do 1º grau. Tratamento da equação do 1º grau. Conversão

132

Semiótica da representação gráfica para a representação algébrica.


Mostrar ao estudante que cada parte do gráfico possui taxas de variações diferentes. Cada uma dessas partes pode ser representada por expressões algébricas que serão diferentes entre si. Que para cada valor de x só pode haver uma correspondência em y, frisando os intervalos considerados.


Buscar dentro dos conceitos que aprendeu sobre gráficos de funções polinomiais do 1º grau, algumas semelhanças com as formas gráficas apresentadas no exercício. Identificando essas semelhanças. Passar a calcular as taxas de crescimento e valores iniciais em cada setor do gráfico.


Mobilizável em relação a taxas de crescimento e valor inicial da função polinomial do 1º grau. Disponível em relação a funções dadas por partes.

Essa atividade teve o objetivo de desestabilizar o estudante em relação

ao seu conhecimento. Nas atividades anteriores o estudante é induzido a

trabalhar os conceitos de funções polinomiais do 1º grau na forma algébrica e

gráfica conforme foi apresentado na introdução teórica, com gráficos

apresentados por uma única expressão. Na sequência é apresentada uma

atividade cujo gráfico difere daqueles já trabalhados anteriormente, mas para o

qual cada parte representaria um determinado gráfico. Isso pode conduzir os

estudantes a pensar nas semelhanças em função das referências anteriores,

podendo pensar em relacionar o registro de representação gráfico com o

registro de representação por meio de uma expressão algébrica para cada

parte do gráfico, o que supõe algum conhecimento de intervalos sobre IR. Mas,

cabe ao professor oferecer informações adicionais como, para cada intervalo

do domínio da função, sua relação de interdependência é diferenciada e assim

ele deve informar também que, para certos valores de x deve-se procurar seu

respectivo valor de y por meio de outra expressão algébrica, ainda nesse caso

a noção de função é trabalhada enquanto covariação de grandezas com duas

grandezas contínuas, mas esse tratamento é implícito pela situação e não

explicitado nem no Caderno do Professor, nem no Caderno do Aluno.

Outras atividades apresentadas nesta Situação de Aprendizagem

incluem ainda outros conceitos matemáticos ou físicos como cálculo de área e

perímetro e variação de temperatura, ou seja, ainda os exemplos dados

correspondem à noção de função como covariação de grandezas como

encontramos nos estudos que se desenvolveram da antiguidade até século XIV

133

conforme breve histórico sobre a evolução da noção de função segundo

Rogalski (2013).

A seguir apresentamos um quadro que aponta os tipos de tarefas

abordadas nas atividades da Situação de Aprendizagem 2 do vol. 2 da 1ª série

do ensino médio.


T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █

A2 █ █ █ █

A3 █ █

A4 █

A5 █ █

A6 █

A7 █

A8 █ █

A9 █

Fonte: A pesquisa

Verificamos que a tendência principal nesta Situação de Aprendizagem é

o tratamento de gráficos cartesianos, principalmente o trabalho de encontrar

informações nesses gráficos que possam ser utilizados para escrever

expressões algébricas relacionadas ou que respondam a alguma questão

direta a respeito da situação contextualizada. Mesmo assim, a solicitação em

encontrar a taxa de crescimento associada à relação de proporcionalidade

direta entre x e y ou entre x e y + h, ainda é bastante presente.

Observamos aqui que a ênfase é dada a passagem do registro de

representação gráfico para o registro de representação tabela ou expressão

algébrica, ou seja, o sentido considerado mais difícil quando se trata da

atividade de conversão entre os registros de representação considerados.

A Situação de Aprendizagem 3 do Caderno da 1ª série tem como título

“Funções do 2º Grau: Significados, Gráficos, Intersecções com os Eixos,

Vértices, Sinais”, e como no caso da Situação de Aprendizagem anterior,

pretende desenvolver nos estudantes a competência em “compreender a

função de 2º grau como expressão de uma proporcionalidade direta com o

quadrado da variável independente; expressar por meio de gráficos tal

proporcionalidade.” (SÃO PAULO, 2009e, vol. 2, p. 28). Os autores afirmam

134

que se aposta na forma de tratamento construtivista, por considerarem a

menos técnica e que mais permanece aderente ao significado em relação de

proporcionalidade. (ibid., p. 28).

Na introdução dessa Situação de Aprendizagem, indica-se que, se a

relação de interdependência entre as grandezas x e y é tal que y é diretamente

proporcional ao quadrado de x, então se escreve kx

y

2, ou 2kxy . Também

é apontado que a relação 2kxy servirá como base para iniciar o estudo de

funções polinomiais do 2º grau, cuja forma geral será cbxaxxf 2)( )0( a .

As orientações teóricas introduzidas no Caderno do Professor são

fornecidas de maneira reduzida no Caderno do Aluno. A primeira atividade está

relacionada à verificação da abertura da concavidade da parábola ou da sua

posição relativa ao coeficiente a.

São fornecidas várias funções do tipo 2)( axxf e é pedido aos

estudantes que construam seus gráficos num mesmo plano cartesiano.

Portanto, no Caderno do Aluno o estudante deve perceber o fenômeno relativo

à abertura da parábola relativa ao coeficiente a, construindo alguns gráficos.

No Caderno do Professor esse fato é anunciado na introdução teórica.

Após essas duas atividades o tema dos Cadernos é sobre o

deslocamento da parábola representada pela função vaxxf 2)( . Neste

caso, afirma o texto, a proporcionalidade é admitida em 2kxvy , e que as

parábolas dessas novas funções são deslocadas na direção do eixo y.

A atividade 3 fornece várias funções do tipo vaxxf 2)( , e pede que

os estudantes construam seus gráficos no mesmo plano cartesiano.

Logo após a atividade 3, são apresentados, formalmente, as funções do

tipo 2)()( hxaxf , representando graficamente os deslocamentos horizontais

dessas funções. Apesar de trabalhar com covariação de grandezas o gráfico

corresponde a funções de IR em IR. O texto conclui ainda que haverá uma

relação de proporcionalidade entre os valores de y com os valores de 2)( hx .

A atividade 4, como nos casos anteriores, apresenta várias funções do

tipo 2)()( hxkxf , e solicita que os estudantes construam os gráficos dessas

funções num mesmo plano cartesiano, aqui as representações gráficas

135

esperadas são contínuas, mas nenhuma observação é feita em relação as

grandezas x e y.

Em seguida, outro texto apresenta as funções que sofrem

descolamentos verticais e/ou horizontais. As funções do tipo

vhxkxf 2)()( , afirmando ser o caso mais geral. Afirma então que a

proporcionalidade pode ser verificada pela relação khx

vxf

2)(

)(. Certamente

essa propriedade é valida para as funções de IR em IR, mas os exemplos

tratados nem sempre representam funções de IR em IR o que exigiria a

articulação entre as duas formas de definir função, em particular, quando se

trata do estudo do gráfico dessas funções.

Uma sequência de funções do tipo vhxkxf 2)()( , é apresentada

nas atividades 5 e 6, que solicitam que os estudantes construam seus gráficos

num mesmo plano cartesiano. Aqui o tratamento dado também é genérico o

que nos conduz a considerar que as funções da sequência estão definidas por

meio da forma moderna formal4.

Observamos aqui, que se consideramos que a noção de função inicia

com estudos de Ptolomeu (150 d.C), onde segundo Rogalski (2013) as funções

aparecem sob forma de tabelas, tendo como variável dependente a “variável

tempo” e as grandezas que dela dependem são as “grandezas ângulos”, mas

ainda nos estudos de Ptolomeu encontramos um exemplo de covariação sem a

variável tempo que corresponde ao ângulo de refração da luz entre o ar e a

água como já apresentado no capítulo 4, e que a primeira definição formal de

função de uma variável é a de Cauchy (1823, apud MEHL, 2013) observamos

que muitos estudos foram apresentados durante esses quase 1900 anos entre

as duas formas de tratamento das funções.

A questão que se coloca aqui é de saber se é mesmo o caso de se

repetir a história e, mais particularmente, como desenvolver esse trabalho de

4 Função de uma variável : Segundo Cauchy (1823 apud MEHL, 2013) Quando as quantidades

variáveis estão de tal forma associadas entre si que, sendo dado o valor de uma delas,

podemos determinar o valor de todas as outras, concebemos normalmente essas diversas

quantidades exprimindo-as por meio de uma dentre elas, que leva o nome de variável

independente ; e as outras quantidades, exprimidas por meio da variável independente, é o que

denominamos funções dessa variável.

136

forma que os professores e estudantes sejam capazes de articular esses dois

níveis de tratamento da noção de função, pois a covariação de grandezas

exige o estudo em termos de casos particulares como observamos nos

exemplos acima, pela análise do Caderno. Já a definição de função numérica

de uma variável inicia o processo de generalização do conceito de função por

meio de relação de interdependência de quantidades variáveis.

Após isso, o texto mostrará que se pode expressar toda função do tipo

vhxkxf 2)()( por cbxaxxf 2)( , com )0( a . Ou seja, os autores

dizem que sempre a forma geral da função polinomial do 2º grau pode ser

compreendida como uma relação de interdependência, onde uma grandeza é

diretamente proporcional ao quadrado de outra. (ibid., p. 39).

Ainda para a introdução das funções quadráticas observamos que os

autores mantém a abordagem inicial em que a noção de função é definida

enquanto covariação de grandezas, o que lhes permite associar os registros de

representação tabela, expressões algébricas e gráficos.

Apesar de se referir e definir função como a relação de interdependência

entre grandezas, a proposta nas atividades dessa Situação de Aprendizagem

considera a noção de função de uma variável para quantidades variáveis o que

lhes permite introduzir a noção de vértice de uma função quadrática e de

máximos e mínimos da mesma função.

Todas as apresentações formais apresentadas no Caderno do Professor

são também encontradas no Caderno do Aluno, porém sempre de forma

resumida.

Na sequência, ainda no Caderno do professor é apresentado um texto

para discutir os temas: simetria da parábola, raízes da função polinomial do 2º

grau e sinais da função. Esses três textos não são apresentados no Caderno

do Aluno. Nestes casos essas propriedades devem ser observadas a partir de

atividades específicas introduzidas no Caderno do Aluno, ou seja, a

explicitação das propriedades corresponde ao “topos” do professor que devem

expor os conteúdos para que os estudantes possam utilizar os conceitos

apresentados como conhecimentos mobilizáveis no momento de resolver as

atividades do Caderno do Aluno.

137

Escolhemos analisar a atividade de número 9 do Caderno do Professor

que corresponde à atividade 3 do Caderno do Aluno da seção “você

aprendeu?”, por se tratar de uma atividade que exige a conversão do registro

de representação gráfica para o registro de representação por meio de

expressão algébrica, conversão essa que geralmente traz muita dificuldade

para os estudantes e são apontadas como tarefas com alto grau de dificuldade

por Duval (2003).

Figura 45: Atividade sobre função polinomial do 2º grau

Fonte: Caderno do Aluno, 2009, vol. 2, 1ª série do Ensino Médio, p. 39

A partir das representações gráficas das funções polinomiais do 2º grau, escrever suas expressões algébricas.

Tarefa T6 – Escrever uma expressão algébrica. T9 – Encontrar informações em gráficos cartesianos.

Técnica

Determinar as coordenadas do vértice, determinar as raízes e determinar os pontos (x, y) pertencentes à parábola. Utilizar os dados nas expressões das funções polinomiais do 2º grau.

Tecnologia Utilizar as relações vhxkxf 2)()( e cbxaxxf 2)( para

obter as expressões algébricas das funções.


Gráficos cartesianos e expressões algébricas.


Conceito de gráfico de funções quadráticas. Conceito de vértices e raízes.


Registros gráficos cartesianos. Expressões algébricas. Conversão de gráficos cartesianos para as expressões algébricas. Tratamento das expressões algébricas.


Mobilizar os conceitos estudados sobre construção de gráficos de funções polinomiais do 2º grau, como forma do gráfico, vértices,

138

translações verticais e horizontais, raízes e simetrias, sinais da função.


Procurar informações nos gráficos como raízes, coordenadas dos vértices, simetrias, valor numérico das funções para utilizá-los nas

relações gerais vhxkxf 2)()( ou cbxaxxf 2)( .


Nível mobilizável em relação às informações colhidas nos gráficos das funções quadráticas e em relação à construção das expressões algébricas das funções. Nível disponível em relação às noções de sistemas de equações de ordem 2 e a noção de produto notável.

Os três gráficos apresentados na atividade exploram bem os conceitos

tratados no Caderno do Professor. No primeiro deles os estudantes precisam

identificar as coordenadas do vértice, substituir na função na forma

vhxkxf 2)()( , e resolver a equação ao substituir na função os valores da

coordenada (0, 0), encontrando a = 1. Em seguida voltar na expressão

vhxkxf 2)()( substituir os valores encontrados, desenvolver o quadrado

da diferença para determinar a expressão algébrica da função quadrática na

forma cbxaxxf 2)( . No segundo e no terceiro gráficos, o estudante pode

assumir que o coeficiente c da função quadrática é dado pelo valor da função

ao cortar o eixo y, ele pode construir e resolver um sistema de ordem 2 para

encontrar os coeficientes a e b.

Nesse tipo de atividade o estudante possivelmente vai necessitar muito

do auxílio do professor. Este por sua vez precisa estar bastante atento ao tipo

de dúvida do estudante e encaminhar seu raciocínio de forma que ele possa

relacionar o exercício à parte teórica relativa ao tema e trabalhada pelo

Caderno do Professor e do Aluno.



do ensino médio.

139


T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █

A2 █

A3 █ █

A4 █ █

A5 █ █

A6 █ █

A7 █ █

A8 █ █

A9 █

A10 █ █ █

A11 █

A12 █ █

A13 █ █

Fonte: A pesquisa

Pelo quadro anterior vemos que a maior parte das tarefas se concentra

na representação gráfica e em encontrar informações nos gráficos cartesianos.

Nestes casos também, a maioria das atividades apresentou-se em nível técnico

quando analisados à luz do nível de conhecimento esperado dos estudantes de

acordo com a abordagem teórica de Robert (1997, 1998), pois as atividades 1,

3, 4, 5 e 6 solicitaram que os estudantes construíssem os gráficos das funções

apresentadas por meio do registro de representação expressão algébrica.

Tratava-se, portanto de uma conversão entre os dois tipos de registro de

representação semiótica: do registro de representação expressão algébrica

para o registro de representação gráfico considerado para esse estudo o

sentido mais simples conforme Duval (2003).

Para a Situação de Aprendizagem 4, estudantes e professores

encontrarão problemas que serão resolvidos por meio de funções quadráticas.

O título dessa Situação de Aprendizagem é “Problemas Envolvendo Funções

do 2º Grau em Múltiplos Contextos: Problemas de Máximos e Mínimos”.

Conforme descrito no quadro de informações sobre a Situação de

Aprendizagem dada no caderno, pretende-se desenvolver as seguintes

competências e habilidades nos estudantes:

140

... compreender fenômenos que envolvem a proporcionalidade

direta entre uma grandeza e o quadrado de outra, traduzindo

tal relação na linguagem matemática das funções; equacionar

e resolver problemas que envolvem funções de 2º- grau,

particularmente os que envolvem otimizações (máximos ou

mínimos). (SÃO PAULO, 2009e, vol.2, p. 51).

Todas as atividades dessa Situação de Aprendizagem envolvem a

construção de gráficos e a determinação de pontos de máximo ou de mínimo,

ou seja, determinar o vértice das funções quadráticas. São problemas que se

apresentam como situações disponíveis aos estudantes, pois, a princípio, se o

professor não lhes orienta que os problemas envolvem equações do 2º grau e

funções polinomiais do 2º grau, o estudante, por si, sem situações de

referência, não reconhecerão estes problemas como do 2º grau.

Alguns problemas fornecem as expressões algébricas a serem

utilizadas, outros solicitam que os estudantes encontrem tais expressões. A

modelagem de problemas dessa natureza não é fácil para estudantes dessa

etapa de ensino, portanto cabe ao professor orientá-los, auxiliá-los e estimulá-

los para que os estudantes não abandonem suas primeiras ideias e tentem

buscar meios nos conhecimentos teórico desenvolvidos até o momento para

resolvê-los.

Tomamos para análise um problema que envolve a área de um

retângulo em função de seus lados que corresponde a noção de perímetro de

uma figura geométrica, pois trata-se de uma situação para a qual a noção de

área e perímetro de um retângulo é suposta disponível por ser um

conhecimento desenvolvido no ensino fundamental anos iniciais e finais.

141

Figura 47: Atividade sobre problemas do 2º grau

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 1ª série do Ensino Médio, vol. 2, p. 53

A atividade coloca o estudante frente a um desafio. Se ele não tem uma situação de referência, todas as operações mentais desenvolvidas estarão no nível disponível. O estudante precisará testar algumas hipóteses.

Tarefa T1 – Resolver uma equação. T6 – Escrever uma expressão algébrica. T7 – Representar um gráfico cartesiano.

Técnica

Relacionar as medidas dos lados do retângulo com a fórmula de área, encontrando a função correspondente. Construir o gráfico da função. Encontrar seu ponto de máximo ou encontrar o vértice por meio de uma fórmula.

Tecnologia

Expressar a área de um retângulo em função de seus lados a partir da expressão A = x.y, associando-a à função quadrática da forma

cbxaxxf 2)( . Tratar os pontos de máximo ou mínimo utilizando

a

bxv

2

e )( vv xfy .


Construção de retângulos, construção de gráfico cartesiano. Resolução de equação do 2º grau (tratamento). Conversão de expressão algébrica para a construção gráfica cartesiana.


Conceito de funções e equações quadráticas. Conceito de gráficos cartesianos, máximo e mínimo de uma função quadrática.


Registros Multifuncionais: Figuras retangulares. Registros Monofuncionais: linguagem natural, gráficos cartesianos, expressões algébricas.


Mobilizar o estudante a utilizar conceitos de funções polinomiais do 2º grau. Auxiliá-lo na modelagem de expressões algébricas a partir de dados de situações contextualizadas. Motivar os estudantes em resolver as equações e encontrar soluções para os problemas.


Modelar situações problemas por meio de expressões algébricas (funções polinomiais do 2º grau), resolver estas equações e encontrar pontos de máximo ou mínimo para as funções quadráticas. Representar seus gráficos cartesianos.


Nível disponível em relação à modelagem das situações problemas por meio de funções quadráticas. Nível mobilizável em relação à resolução de equações e determinação de pontos de máximo e mínimo. Nível mobilizável em relação à construção gráfica.

142

A atividade apresentada acima, uma das mais fáceis entre as 6

atividades desta Situação de Aprendizagem, exige que o estudante relembre a

fórmula da área de um retângulo hbA . , onde neste caso xb 236 e xh ,

obtendo a expressão 2236)( xxxA . O estudante, buscando as raízes dessa

expressão, encontra x = 0 e x = 18, cujo xv = 9. Ao calcular 29.29.36)9( A

encontra-se a área máxima 162 m2. Mesmo considerando a atividade a mais

fácil entre as outras dessa Situação de Aprendizagem, o professor deverá

auxiliar bastante seus estudantes tanto quanto aos conceitos e conversões

exigidas na situação quanto nos tratamentos e soluções.

Segundo Silva (2012), tarefas que exigem a modelagem matemática de

situações contextualizadas aparecem nas três etapas escolares, nos Ensinos

Fundamental, Médio e Superior, e a autora pôde observar que a maior

dificuldade associada a estas tarefas está na modelagem da situação por meio

de uma função quadrática, o que é compreensível uma vez que a tarefa é

artificialmente introduzida.



do ensino médio.

Figura 48: Quadro de tarefas da Situação de Aprendizagem 4

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █ █

A2 █ █

A3 █ █ █

A4 █ █ █

A5 █ █

A6 █ █

Fonte: A pesquisa

Pelo quadro acima percebemos que as atividades se concentram entre

resolver as equações relacionadas às funções fornecidas ou modeladas e na

construção de gráficos destas funções. Por se tratar de resolução de

problemas, ou seja, como o nível de conhecimento esperado é o disponível, os

estudantes geralmente demonstram muita dificuldade na resolução desses

tipos de tarefas.

143


Os tipos de funções apresentados neste Caderno são as funções

exponencial e logarítmica. A Situação de Aprendizagem 1 inicia comentando

que se espera que os estudantes do ensino médio disponham de

conhecimentos sobre a noção de potenciação, inclusive com expoentes

racionais ou irracionais, pois essa noção foi desenvolvida no ensino

fundamental, e que o objetivo dessa Situação de Aprendizagem é consolidar

essas noções por meio da função exponencial xaxf )( .

Assim, o texto introdutório já define a função exponencial descrevendo:

“sendo a > 0 e a ≠ 1, então, a cada número real x corresponde outro número

real ax”. Em seguida ilustra os gráficos de funções como xy 2 , x

y

2

1,

xy 3 , x

y

3

1, etc., como se pode verificar abaixo:

Figura 49: Gráficos da função exponencial

Fonte: Caderno do Professor, 1ª série do Ensino Médio, vol. 3, p. 15

A definição acima indica que os autores passam a conceber a noção de

função como variação de quantidades em que a função assume o status

função uma variável real a valores reais.

A ordem da apresentação das atividades, comparativamente com o

Caderno do Aluno, é bem diferente e acaba ficando muito confusa, o que pode

causar um problema para o professor quando pretende indicar ao estudante

uma atividade ou apresentar um exemplo. Por exemplo, o exercício “e” do

Caderno do Professor é a atividade 3 do Caderno do Aluno. O exercício 3 do

144

Caderno do Professor é o item “c” da atividade 2 da seção “Pesquisa

Individual”.

As atividades variam entre construir gráficos a partir das expressões

algébricas apresentadas e resolver algumas situações problemas por meio de

cálculo do valor numérico dessas funções.

Aqui, nos referindo ao estudo de Rogalski (2013) podemos considerar

que a noção de função exponencial é trabalhada por meio da noção de função

dada por Cauchy (1823 apud MEHL, 2013), ou seja, uma quantidade está em

função de uma outra se ela muda quando essa última muda, o que possibilita

admitir as funções dadas por meio de quantidades variáveis.

Mas, o exemplo apresentado na atividade 4 do Caderno do Professor,

que corresponde a atividade 1 da seção “lição de casa” do Caderno do Aluno,

que analisaremos à luz do referencial teórico, retorna ao tratamento de função

como covariação de grandezas sem fazer comentários sobre a condição de

existência dessa função, dessa forma não satisfazendo a definição dada

anteriormente. Além disso, em um dos exemplos anteriores que também se

refere a uma população, no caso de micróbios, os autores constroem o gráfico

da função considerando-a uma função contínua de IR+ em IR, ou seja, a

interpretação gráfica conduz a uma função teórica que não modela o exemplo

dado, que pode ser apresentado enquanto progressão geométrica.

Figura 50: Atividades sobre função exponencial


145

A atividade fornece a expressão algébrica para a função exponencial. O estudante precisa substituir o valor de t ou N na expressão para encontrar as soluções.

Tarefa T1 – Resolver uma equação. T2 – Encontrar um valor para uma função.

Técnica Substituir os valores fornecidos de t para calcular o valor da função ou substituir os valores fornecidos de N para resolver a equação obtida.

Tecnologia

Usar o conceito de função exponencial kxaNxf .)( 0 , onde a>1,

caracterizando a função dada como crescente. Compreender que N0 é o valor inicial, que a

k é a base da função e x caracteriza a variável.


Representação de potência e representação de equações exponenciais.


Ideia de função exponencial, ideia de crescimento e decrescimento de funções exponenciais, noção de potenciação e suas propriedades.


Registro Monofuncionais: Expressões algébricas e tratamento de equações exponenciais.


Mobilizar no estudante a ideia que, além de resolver as equações e valores numéricos, percebam os conceitos relativos às variações próprias da função exponencial mostrando a condição de existência para determinadas funções.


Resolver as equações e valores numéricos das funções por substituição das variáveis. Reconhecer, de forma mobilizável, as variações próprias das funções exponenciais.


Nível técnico em relação à substituição e resolução das equações exponenciais e valor das funções exponenciais. Nível mobilizável em relação às taxas de crescimento ou decrescimento das funções exponenciais.

Esse é um tipo de problema que o estudante pode resolver a partir dos

conhecimentos básicos de equações exponenciais e até mesmo de cálculo

sobre as potências. Cabe ao professor mostrar ao estudante que as variações

de t ou de N se sucedem de forma interdependente, caracterizando N como

uma função de t, para determinados valores de t, somente.

Nessa Situação de Aprendizagem há 4 atividades apresentadas no

Caderno do Professor. No Caderno do Aluno há mais atividades, pois muitos

conceitos apresentados como exemplo no caderno do Professor, são dados

como atividades no Caderno do Aluno. A seguir apresentamos um quadro que

resume os tipos de tarefas nas 4 atividades do caderno do Professor.

Figura 51: Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █ █

A2 █ █

A3 █

A4 █ █

Fonte: A pesquisa

146

Das quatro atividades apresentadas na Situação de Aprendizagem 1, a

maioria pede a solução de equações ou a determinação do valor das funções

definidas como covariação de grandezas, sendo que todas elas envolvem o

conceito de potenciação e suas propriedades. Duas atividades solicitam a

construção gráfica sendo que para uma delas é apresentado o gráfico de uma

função contínua, mas por se tratar de uma população variando com o tempo,

não podemos associar um valor de elementos para a população para todo valor

de t em IR.

No Caderno do Aluno a ênfase é dada às atividades relativas à

construção gráfica, pois os exemplos que foram apresentados no texto

introdutório do caderno do Professor sobre as formas assumidas pelos gráficos

das funções exponenciais, seus crescimentos ou decrescimentos, são

apresentados em forma de atividade no Caderno do Aluno, ou seja, os gráficos

são os ostensivos utilizados para verificar se existe uma quantidade que muda

quando a outra muda, isto é, se a função é apresentada como uma função de

uma variável real a valores reais.

No tema desenvolvido na Situação de Aprendizagem 1, que refere-se ao

desenvolvimento da noção de função exponencial, diferentemente do

desenvolvimento construído para a definição dos outros tipos de funções já

apresentadas, não utiliza a ideia fundamental de proporcionalidade. Nem ao

menos há uma justificativa ao estudante ou ao professor do porquê essa ideia

fundamental foi deixada de lado nesse momento. Nenhuma das ideias

fundamentais apresentadas no Currículo como proporcionalidade, equivalência,

ordem e aproximação foi explicitada, mesmo que o Currículo de Matemática

tenha afirmado que:

Em cada conteúdo devem ser identificadas as ideias

fundamentais e serem exploradas. Tais ideias constituem a

razão do estudo das diversas disciplinas: é possível estudar

muitos conteúdos sem uma atenção adequada às ideias

fundamentais envolvidas, como também o é amplificar tais

ideias, tendo por base a exploração de alguns poucos

conteúdos. (SÃO PAULO, 2010a, p. 36).

147

A Situação de Aprendizagem 2 aborda conceitos de logaritmo como

uma forma de determinação de expoentes de certa base, de forma a resultar

num determinado valor, ou seja, determinar x de forma que a = bx, conhecidos

a e b.

A Situação de Aprendizagem 3 inicia o estudo de funções logarítmicas.

E esta é geralmente a forma natural de abordar funções logarítmicas logo

depois do estudo de funções exponenciais e seguida pela maioria das

propostas de estudos didáticos sobre funções. Com o título “As funções com

variável no expoente: A exponencial e sua Inversa, a Logarítmica”, é que no

Caderno se inicia a definição da função logarítmica. Em principio é revisitado a

representação da função exponencial e são dados alguns de seus gráficos,

sugerindo que, como xay , então yx alog . Assim é dito que se pode definir

uma função que, a cada número positivo, associa-se seu logaritmo. E essa

função é chamada função logarítmica e representada por xxf alog)( .

Nota-se que, mesmo depois de definida a função logarítmica como

xxf alog)( , o segundo parágrafo insiste em dizer que a variável independente

é um valor positivo y e que a variável dependente é o logaritmo x de y, que

poderá assumir qualquer valor real. (SÃO PAULO, 2009e, vol. 3, p. 38). Pode

criar confusão essa transferência de variáveis que não segue uma ordem

convencional.

Após apresentar as representações gráficas das funções exponenciais e

logarítmicas e mostrar algumas propriedades de simetria em relação a essas

construções gráficas, afirma-se que “funções como xay e yx alog são

chamadas funções inversas uma da outra.” (ibid., p. 39). Um pouco mais

adiante chama a atenção de que “as funções xaxf )( e xxg alog)( são

chamadas inversas uma da outra, e é verdade que xxfg ))(( , e que

xxgf ))(( .” (ibid., p. 40).

Provavelmente caberá ao professor, “topos” do professor, justificar para

o estudante a linguagem utilizada pelos autores que trata de função composta,

tema até então não abordado e que exige um tratamento formal da noção de

função.

148

No Caderno do Aluno há um texto introdutório praticamente idêntico ao

apresentado no caderno do Professor. Porém, antes de apresentar a parte final

do texto que no Caderno do Professor mostra as relações xxfg ))(( , e

xxgf ))(( , o Caderno do Aluno aplica as atividades 1 e 2, não contidas no

Caderno do Professor, para tratar de funções inversas. Somente depois dessas

duas atividades o Caderno do Aluno apresenta a parte final do texto teórico.

Ainda aqui, fica a cargo do professor, “topos” do professor, explicitar como se

determina a inversa das funções estudadas até o momento.

Depois dessas atividades os Cadernos do Aluno e do Professor têm a

mesma numeração, mesmo porque o Caderno do Aluno retorna a numeração

das atividades para 1 fazendo uma mudança de seção. Já a atividade 3 do

Caderno do Professor é a atividade 1 da “lição de casa” no Caderno do Aluno.

As atividades são todas relativas a observações sobre o crescimento ou

decrescimento da função logarítmica comparativamente à função exponencial,

cujo estudo é feito por meio do gráfico dessas funções.

Assim como no caso das funções exponenciais, no desenvolvimento das

noções associadas às de funções logarítmicas não se comentou nada a

respeito de proporcionalidade e não explicita nenhuma outra ideia fundamental

apontada pelo Currículo, isto é, a função logarítmica é tratada por meio do

conceito moderno formal, levando até mesmo ao tratamento formal da função

composta.

Tomamos como exemplo da Situação de Aprendizagem 3 a atividade 1

que, por meio de construções gráficas de duas funções, uma inversa da outra,

pretende que os estudantes percebam as propriedades de simetria entre as

duas por meio da propriedade do trapézio isósceles que será construído

juntamente com as funções. Trata-se aqui da articulação entre geometria e

álgebra que exige que os estudantes disponham de conhecimentos de

geometria euclidiana e geometria analítica. Mais uma vez essa articulação fica

a cargo do professor, “topos” do professor, que poderá ou não discutir essa

tarefa em função dos conhecimentos prévios de seus estudantes.

149

Figura 52: Atividade sobre as função exponencial e logarítmica

Fonte: Caderno do Aluno, 2009, vol. 3. 1ª série EM, p. 39 e 40

Trata da representação, num mesmo plano cartesiano, de duas funções inversas uma da outra.

Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano. T9 – Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos.

Técnica Representar graficamente as funções xxf 10)( e xxf log)( .

Tecnologia

Trabalhar o conceito de continuidade das funções xxf 10)( e

xxf log)( e analisar cada ponto com vista à noção de simetria de

cada ponto em relação à reta de equação xy .


Gráfico das funções exponenciais e logarítmicas dadas, marcação dos pontos e de suas distâncias. Cálculos a partir de fórmulas como o Teorema de Pitágoras.


Ideias de Funções exponenciais e logarítmicas. Ideia de simetria. Ideia de figuras semelhantes. Ideia de continuidade. Teorema de Pitágoras.


Registro gráfico. Registro algébrico. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico. Tratamentos das fórmulas do Teorema de Pitágoras.


Auxiliar o estudante na representação dos gráficos e da reta bissetriz. Orientá-lo a perceber a simetria em relação à reta bissetriz dos quadrantes ímpares. Auxiliá-los a traçar os lados do trapézio e calcular suas medidas. Esclarecer a questão da relação entre a propriedade do trapézio isósceles e a noção de função inversa.


Seguir os passos indicados pelos itens dos exercícios, de forma a concluir a simetria entre as funções inversas e perceber o formato isósceles do trapézio construído.


Nível mobilizável na construção gráfica das funções exponencial e logarítmica e na identificação dos lados do trapézio isósceles. Nível disponível em relação a perceber a simetria entre essas funções inversas e a relação entre a propriedade do trapézio isósceles e a noção de inversa de funções.

Como nas duas outras atividades apresentadas no Caderno do

Professor nessa Situação de Aprendizagem, esta traz também, num mesmo

exercício, a função exponencial e a função logarítmica. Nesta os estudantes

devem construir os gráficos das duas funções num mesmo plano cartesiano

150

para encontrar propriedades entre suas formas gráficas e reconhecer que se

trata de funções inversas a partir de propriedades geométricas, como é o caso

de verificar se o quadrilátero construído segundo as indicações apresentadas,

é isósceles.

Aqui a verificação, pelo estudante, “topos” do estudante, de que o

trapézio construído é isósceles, é tomado como condição suficiente para ele

perceber que as funções xxf 10)( e xxf log)( são inversas. No entanto é

preciso muito mais que isso; as bases desse trapézio devem ser

perpendiculares à reta de equação xy . Mostrar esse fato e também mostrar

que o ponto médio das bases pertencem à reta xy e que, para cada ponto

(m, n) da função xxf 10)( será o ponto (n, m) da função xxf log)( ficará por

conta do professor, expondo os textos teóricos apresentados no Caderno do

Professor e, mais resumidamente, no Caderno do Aluno.

O quadro a seguir mostra as tarefas solicitadas nas três atividades

dessa Situação de Aprendizagem.

Figura 53: Quadro de Tarefas da Situação de Aprendizagem 3

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █ █

A2 █

A3 █ █

Fonte: A pesquisa

Do quadro acima podemos perceber que as atividades estão centradas

em encontrar informações das funções, sejam elas apresentadas em forma

gráfica ou algébrica. E nas três atividades os exercícios apresentam sempre as

funções logarítmicas e exponenciais juntas. A atividade 2, por exemplo,

apresenta várias funções expressas de forma algébrica e solicita que os

estudantes verifiquem se são crescentes ou decrescentes e na atividade 3

apresenta num mesmo plano cartesiano duas funções genéricas xaxf )( e

xxf alog)( , pedindo que os estudantes compare-as com a função xy , o

que lhes permite concluir qual cresce mais rapidamente se utilizarem a noção

de taxa unitária de variação, isto é, para cada variação de 1 unidade de x

temos uma variação no valor de )(xf . Por meio da figura, os estudantes

151

visualizam que para a reta xy a variação é constante; para a curva xaxf )(

a variação cresce quando x cresce e para xxg alog)( a variação decresce

quando x cresce.

A Situação de Aprendizagem 4 desse volume trabalha com problemas

contextualizados que envolvem apenas os conceitos de equações

exponenciais e logarítmicas. Portanto, a noção de função só retorna na 2º série

do ensino médio.


Na 2ª série do ensino médio os estudantes revisitam as noções de

trigonometria no triângulo retângulo. Desta vez a ideia fundamental relacionada

com os objetivos desse tema é a de periodicidade.

As situações de Aprendizagem 1 e 2 são situações para o estudante

identificar como periódicas. As duas tratam do movimento aparente do Sol.

Num primeiro momento analisando esse movimento durante um prazo de 2

anos, sempre num mesmo horário do dia, desenvolvendo assim uma situação

onde se identifica o período em ano e a amplitude que corresponde ao

comprimento da sombra medida a partir de alguma unidade.

Num segundo momento é analisado o comprimento da sombra durante o

dia, observando-se esse fenômeno durante alguns dias de forma a mostrar

para os estudantes situações que sejam periódicas, mas que os valores

obtidos são descontínuos ao longo da observação.

Assim, mesmo sem tratar do conceito de função e sem defini-la, na

Situação de Aprendizagem 2 se trabalha os arcos na circunferência e os

valores de senos e cossenos determinados por estes arcos. Na atividade 4 é

pedido que os estudantes, utilizando uma folha de papel milimetrado,

desenhem uma circunferência de raio 10 cm e que marquem alguns arcos

evidentes; pede-se ainda que construam uma tabela para inscrever os valores

de senos e cossenos encontrados nesse plano que contém a circunferência e

com isso, em seguida, os estudantes devem construir os gráficos das funções

xy sen e xy cos num mesmo sistema cartesiano. Observamos aqui que

152

essas funções ainda não foram definidas. A representação gráfica será

realizada apenas pela covariação entre as grandezas comprimento do arco e a

medida sobre os eixos x (cosseno) e y (seno), assumindo o gráfico uma curva

contínua. Porém, uma observação é apresentada no Caderno, que não se trata

ainda de aprofundar o estudo de gráficos de funções, assunto que será

explorado mais adiante, pois os estudantes não dispõem de conhecimentos

suficientes para compreender que as funções assumem valores para qualquer

x real (SÃO PAULO, 2009f, vol.1, p. 30).

Ainda na Situação de Aprendizagem 2 é tratado o caso em que os arcos

são medidos em radianos e assim é introduzida a conversão entre as medidas

de graus e radianos. Não se apresenta uma clara justificativa de porque será

feito o estudo sobre essa nova ótica, apenas é dito que é “aconselhável

apresentar aos estudantes a unidade radiano” (ibid., p.30), apesar dos autores

ressaltarem que a medida em graus se refere a ângulos e que a medida em

radianos se refere a comprimento de arco.

A Situação de Aprendizagem 3, sob o título “Gráfico de Funções

Periódicas Envolvendo Senos e Cossenos” é a que tratará especificamente das

funções trigonométricas. As competências e habilidades que se pretende

desenvolver nos estudantes com as atividades dessa Situação são construir o

gráfico de uma função trigonométrica, dada a equação que a representa;

identificar alguns parâmetros importantes do modelo ondulatório para a

descrição matemática de fenômenos periódicos; determinar a equação da

função representada por um gráfico dado.

O Caderno aconselha que os estudantes construam as funções do tipo

xCy B. sen.A e xCy B. cos.A , e procurem reconhecer suas propriedades.

Sugere um percurso e alerta que o professor pode ou não seguir. Nesse

percurso, a primeira etapa é a construção de gráficos a partir de uma tabela de

valores especialmente escolhidos. Na segunda etapa sugere que o professor

utilize um software de construção gráfica de forma a imprimir maior velocidade

às conclusões. Num terceiro momento sugere que o professor discuta com os

estudantes os gráficos onde o seno ou o cosseno variem em função do tempo,

ou seja, gráficos das funções dos tipos tCy B. sen.A .

153

As atividades de 1 a 8 são elaboradas baseadas na primeira etapa de

trabalho sugerida pelos autores, isto é, construção de gráficos a partir de

tabelas. Para evitar que os estudantes liguem os pontos de forma

indiscriminada ao transportar os mesmo das tabelas aos planos cartesianos; no

momento de iniciar a primeira atividade, tanto no Caderno do Professor como

no do Aluno, são apresentados tabelas com valores de senos e cossenos para

alguns arcos notáveis e em seguida os gráficos das funções xy sen e

xy sen2 .

Figura 54: Gráfico das funções xy sen e xy sen.2

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 2ª série do Ensino Médio, vol 1, p. 37.

Dessa forma, quando os estudantes forem ligar os pontos obtidos por

outras tabelas, serão induzidos a fazê-lo de forma contínua e obedecendo ao

formato das curvas senoidais apresentadas no modelo.

Analisaremos, sob a ótica da teoria utilizada neste trabalho, a atividade 5

do Caderno do Professor. Vale lembrar que a ordem das atividades no

Caderno do Aluno são bastante diferentes da ordem apresentada no Caderno

do Professor.

154

Figura 55: Atividade sobre a função seno


Preencher a tabela de dados a partir dos valores de 2

x, calculando ao final os valores de

221

xsen .

Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano. T8 – Preencher uma tabela a partir de uma correspondência.

Técnica

Preencher a coluna relativa aos valores de x, multiplicando por 2 os

valores da coluna de 2

x, isto é, resolver a equação a

x

2, onde a

corresponde a um dos valores dos arcos notáveis.

Calcular os valores de seno de 2

x, multiplicar os resultados por 2,

preenchendo os valores da 3º coluna. Subtrair 1 dos valores da 3ª coluna para preencher os valores d 4ª coluna. Transportar os pontos para o plano cartesiano. Ligar os pontos obtidos.

Tecnologia

Trabalhar os conceitos de funções do tipo tCy B. sen.A ,

operando cada um dos coeficientes da função. Construir o gráfico de

uma função do tipo tCy B. sen.A conhecendo os arcos notáveis e

os valores de seno para esses arcos e seus côngruos. Escolher a variação de x em radianos.


Tabela de dupla entrada. Operações aritméticas e equações algébricas. Representação de pontos no sistema cartesiano ortogonal.


Conceito de função trigonométrica (periodicidade, amplitude, continuidade, curvas características da função seno).


Registro Tabular. Registro gráfico cartesiano. Registro algébrico. Conversão de tabela ao gráfico cartesiano.


Auxiliar o estudante nos cálculos das funções trigonométricas relativa aos seus coeficientes. Acompanhar a construção dos gráficos pelos

155

estudantes, evitando que os mesmos liguem dois pontos de forma linear e explicitando as diferentes etapas para o desenvolvimento da tabela.


Operar as funções trigonométricas de maneira a preencher as colunas da tabela de dados. Transportar os pontos obtidos para o plano cartesiano, ligando os pontos obtidos, seguindo o exemplo da função dada xy sen .


Nível disponível em relação às operações com os coeficientes da função. Nível mobilizável em relação à construção do gráfico da função apresentada.

Esse é o tipo de atividade em que, se o estudante aprendeu bem

relacionar os arcos de circunferência aos valores de seno e de cosseno no

sistema cartesiano ortogonal lendo seno no eixo y e cosseno no eixo x, é

possível que ele preencha a tabela sem problemas e transfira os pontos

obtidos para o plano cartesiano. No entanto, o professor deve auxiliá-lo a

transferir para o plano cartesiano somente os valores relativos às colunas de x

e os da função final. O professor também deve mostrar ao estudante o caráter

contínuo da função, uma vez que o estudante tem nas tabelas apenas alguns

pontos discretos dessa relação. Outro detalhe que caberá ao professor orientar

o estudante é que os valores de x, que podem ser utilizados nesse tipo de

função, correspondem a valores reais, uma vez que nas atividades são

utilizados apenas alguns arcos notáveis, não fica muito claro que x pode

assumir outros valores, mesmo que o formato do gráfico seja contínuo. Parece

difícil que o estudante, sem a orientação do professor, possa perceber a

questão da continuidade.

O quadro a seguir apresenta as tarefas exigidas nas atividades da

Situação de Aprendizagem 3 desse volume.

156


T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █ █

A2 █ █

A3 █ █

A4 █ █

A5 █ █

A6 █ █

A7 █ █

A8 █

A9 █

A10 █

A11 █ █

Fonte: A pesquisa

Pelo quadro acima podemos perceber que as atividades variam entre a

conversão do registro em forma de tabelas para a representação gráfica e em

encontrar informações em expressões algébricas e em gráficos de funções,

especificamente de funções senos e cossenos. Apenas a atividade 6, sugere a

conversão inversa, isto é, converter uma função apresentada na forma de

registro gráfico para o registro algébrico.

A Situação de Aprendizagem 4 desse volume tratará somente de

equações trigonométricas e entre as atividades apresentadas, notamos que o

conceito de função trigonométrica está presente nessas questões. Assim,

passaremos a analisar como esta Situação de Aprendizagem é apresentada

aos estudantes.

As competências que se deseja desenvolver nos estudantes com as

atividades dessa Situação de Aprendizagem é relacionar situações-problema,

apresentadas em língua materna, com os significados associados aos

fenômenos periódicos; resolver equações trigonométricas envolvendo senos e

cossenos; interpretar resultados e fazer inferências.

São apresentadas quatro atividades, cada uma delas inicia com a

apresentação do contexto que motivará a questão. A primeira trata do “período

da claridade de uma cidade”, sugerindo que para uma determinada cidade

esse período pode ser determinado pela fórmula

365

x2 .

3

7

3

35 senN , onde x

157

corresponde ao número de dias contados a partir de certa data e N a

quantidade de horas de claridade. A outra atividade trata da periodicidade da

pressão sanguínea, sugerindo uma fórmula para a determinação da pressão

3

t8 cos.20100)(

tP , com t em segundos e P em mmHg. A terceira

atividade apresenta uma correspondência entre a temperatura num

determinado local e os dias analisados, apresentando como exemplo a fórmula

7

360

101-t2sen .50

T , com T medido em Fahrenheit e t em dias. A quarta

atividade apresenta um fenômeno chamado fenômeno das marés, e baseado

num gráfico que registra esse fenômeno para a cidade de Recife, analisado no

período de agosto a setembro de 2004, pede que se determine a expressão

algébrica que se ajuste a esse gráfico, orientando e sugerindo pontos

específicos do gráfico de forma que os estudantes possam encontrar a

expressão

ty

13

2sen .5,08,1

, com t em dias e y em metros. Essas

atividades estiveram mais associadas aos cálculos relativos às suas fórmulas

que aos seus gráficos. Pelo quadro abaixo podemos verificar as tarefas

solicitadas em cada uma dessas quatro atividades.


T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █ █

A2 █ █

A3 █

A4 █ █ █

Fonte: A pesquisa

Dessa maneira percebemos que as atividades privilegiaram os cálculos

de resolução de equações trigonométricas e o cálculo do valor numérico das

funções apresentadas ou determinadas, como foi o caso da atividade 4.

Depois do estudo de funções trigonométricas no 1º bimestre da 2º série

do ensino médio, o tópico sobre funções somente terá retorno no 3º bimestre

da 3ª série do ensino médio.

158


Nesse volume a ideia central de estudo são as funções expressas como

uma relação de interdependência entre duas ou mais grandezas. Na introdução

do volume os autores comentam que, o fundamento da noção de função pode

ser encontrado no 7º ano (6ª série), que é a proporcionalidade direta ou

inversa. Os autores também comentam que na 1ª série também foram

estudadas funções especiais como as exponenciais e as logarítmicas, que não

envolvem proporcionalidade, e que na 2ª série apresentaram as funções

trigonométricas que são especialmente adequadas para representar

fenômenos periódicos. (SÃO PAULO, 2009g, vol. 3, p. 9).

Neste volume serão exploradas qualidades e características das funções

já estudadas, ampliando-se a possibilidade de construção de gráficos e da

compreensão de formas básicas de crescimento ou decrescimento.

A primeira Situação de Aprendizagem que se apresenta sob o título

“Grandezas, Interdependência: Um Panorama Sobre Funções” pretende

desenvolver nos estudantes as competências e habilidades em expressar e

compreender fenômenos de diferentes tipos por meio da linguagem

matemática, especificamente por meio da representação de funções;

argumentar e tomar decisões na resolução de situações-problema vinculadas a

fenômenos da realidade.

O texto introdutório dessa Situação de Aprendizagem sugere que o

professor retome os conceitos básicos sobre as funções estudadas na 1ª e na

2ª série do ensino médio. As atividades de 1 a 5 são então problemas

contextualizados que envolvem algumas dessas funções estudadas. Porém as

atividades 6 e 7 envolvem funções um pouco mais complexas com três ou

quatro raízes, solicitando a construção dos gráficos das funções

)5)(2)(1()( xxxxf (atividade 6) e )73)(2)(1()( xxxxxf (atividade 7)

já representadas por meio de monômios e/ou binômios, o que permite

determinar diretamente suas raízes, para em seguida utilizar as propriedades

discutidas no Caderno do Professor, quais sejam: o gráfico de um função

polinomial é contínuo assumindo todos os valores intermediários entre dois

valores dados, o número de raízes reais de uma equação polinomial (algébrica)

159

de grau 3 é no máximo 3, o valor de f(0) = (-1).(-2).(-5) = -10 (atividade 6) que

corresponde ao ponto que a curva corta o eixo y.

A Atividade 6 do Caderno do Professor é apresentada como “leitura e

análise de texto” no Caderno do Aluno. A atividade 7 do Caderno do Professor

aparece como atividade 1 da “lição de casa” do Caderno do Aluno. Tomaremos

essa atividade para um estudo mais detalhado sob a luz dos referenciais

teóricos nesta questão.

Figura 58: Atividade sobre gráfico de função polinomial

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 3ª série do Ensino Médio, Vol. 3, p. 20

A atividade pede que os estudantes esbocem o gráfico de uma função polinomial do 4º grau pela análise de suas raízes e pelo crescimento ou decrescimento em certos intervalos.

Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano.

Técnica

Determinar os valores de x que tornem a função nula, marcar esses valores sobre o eixo x. Determinar o ponto onde a função intersecta o eixo y. Calcular f(x) para um x menor que -1 ou maior que 7/3 e a partir desse ramo da curva esboçar o gráfico observando que entre dois valores dados a curva assume todos os valores intermediários, ou seja, ela é contínua.

Tecnologia

Utilizar o conceito que uma função polinomial de grau n tem, no máximo, n raízes reais. Utilizar o conceito de que, se x = 0, o valor de f(x) corta o eixo das ordenadas. Utilizar as condições de crescimento ou decrescimento de funções. Utilizar a propriedade que uma função polinomial para valores reais assume todos os valores intermediários entre dois valores dados.


Equações do 1º grau do tipo ax+b = 0. Coordenadas cartesianas (x, 0) e (0, y). Representação de pontos em um sistema cartesiano ortogonal. Esboço de curvas sobre um plano cartesiano.


Conceito de raízes de equações do 1º grau. Conceito de raízes de funções polinomiais. Conceito de crescimento e decrescimento de funções. Conceito de plano cartesiano. Teorema fundamental da álgebra, teorema do valor intermediário, ideia de continuidade de funções.


Registro algébrico. Registro gráfico. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico cartesiano.

“Topos” do Auxiliar os estudantes a identificarem as raízes da função pela análise

160

Professor dos monômios e dos binômios apresentados na expressão. Auxiliar os estudantes na construção do gráfico, principalmente no que diz respeito às fases de crescimento e decrescimento da função e as propriedades das funções polinomiais.


Calcular as raízes dos monômios e binômios apresentados, analisando-os como raízes do polinômio de grau 4 fornecido pela expressão, e marcá-los sobre o eixo x. Procurar o termo independente de x na expressão para marcá-lo sobre o eixo y. Passar uma curva pelos pontos marcados observando as propriedades das funções polinomiais.


Nível disponível em relação à determinação das raízes dos polinômios que compõe a função na forma dada e em relação à construção da função relativa ao seu crescimento ou decrescimento. Nível mobilizável em relação a construção gráfica da função polinomial.

As orientações dadas no Caderno do Aluno na seção “leitura e análise

do texto”, que antecede a atividade do exemplo, sugere que os estudantes

tomem os valores que tornem f(x) nula e que tomem o valor de f(0) que é o

ponto onde o gráfico de f corta o eixo das ordenadas. É afirmado também que

a quantidade de raízes de uma função polinomial é, no máximo, igual ao grau

do polinômio e que a curva entre dois pontos é contínua e suave, (SÃO

PAULO, 2009g, vol. 3, p. 9), o que corresponde aos conceitos e propriedades

das funções polinomiais, necessários para esboçar o gráfico da função pedida.

Portanto, o estudante deverá identificar na expressão apresentada, os

valores que, atribuídos à x, resultem em resultado nulo. Assim, ao encontrar os

números 0, -1, 2 e 3

7, deverá marcá-los sobre o eixo x. Verificar também que

f(0) é zero, pois zero é uma raiz de f, percebendo que o gráfico deve cortar o

eixo das ordenadas exatamente no ponto de intersecção dos eixos.

Uma dificuldade que os estudantes podem enfrentar é saber qual o

sentido do gráfico quando está passando pelas raízes, por exemplo, se a

função será crescente ou decrescente antes de x = -1 e depois de x = 3

7. Um

simples teste com um valor menor que -1 ou maior que 3

7 poderá resolver esta

questão. No entanto, os estudantes certamente precisarão do auxílio do

professor, nesta e em outras questões dessa atividade.

Outras atividades dessa Situação de Aprendizagem empregam outros

tipos de funções como aquelas trabalhadas nas séries anteriores, fazendo uma

revisita às várias formas de funções. Nas atividades 1 e 2 apresentam

situações problemas associadas às funções polinomiais do 2º grau. Nas

161

atividades 2 e 3 são tratados problemas envolvendo as funções exponenciais e

as equações logarítmicas. A atividade 5 retoma uma função trigonométrica. As

atividades 6 e 7 tratam da construção gráfica de funções polinomiais de graus 3

e 4, ou seja, as tarefas apresentadas acima.

No quadro a seguir apresentamos as tarefas exigidas em cada uma das

sete atividades apresentadas nessa Situação de Aprendizagem.


T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █ █ █ █

A2 █ █

A3 █ █ █

A4 █ █ █

A5 █ █ █

A6 █

A7 █

Fonte: A pesquisa

Pelo quadro anterior percebemos que nas atividades de 1 a 5, os

procedimentos de determinação do valor numérico das funções fornecidas ou

encontradas é bastante evidente, além de, algumas delas solicitar também a

resolução de algum tipo de equação, seja ela polinomial, logarítmica ou

trigonométrica. As atividades 6 e 7 são as discutidas acima.

A Situação de Aprendizagem 2 focará precisamente a construção

gráfica, inclusive o título dessa Situação é “Construção de Gráficos: Um Olhar

Funcional”. Nesse capítulo os autores pretendem mostrar uma nova estratégia

de construção de gráficos que não seja somente aquela de atribuir valores à

função para determinar um ou outro ponto de seu gráfico. Sugerindo um

período de duas semanas para explorar esse novo ponto de vista, os autores

pretendem que os estudantes desenvolvam as competências e habilidades de

expressar fenômenos diversos por meio de gráficos e compreender

transformações realizadas sobre eles em diferentes contextos.

O texto introdutório apresentado no Caderno do Professor e no Caderno

do Aluno começa discutindo a propriedade de que o gráfico de uma função

162

sofre uma translação vertical de fator v quando se toma a função y = f(x) + v.

Em seguida mostra que a função sofre uma translação horizontal de fator h

quando toma a função y = f(x – h). E que as duas composições provocam uma

translação composta por v e h simultaneamente.

Em seguida apresenta técnicas de construção de gráficos como

1

1)(

2

xxf , pela construção do gráfico de 2)( xxf , e somando 1 unidade

para deslocá-lo de uma unidade para cima, obtendo o gráfico de 1)( 2 xxf ,

em seguida determinar os pontos do plano cartesiano cujos valores de f(x) são

os inversos dos valores encontrados para alguns valores de x; verificar que a

função 1

1)(

2

xxf é sempre positiva, visualizar no gráfico que quando x

aumenta y diminui de forma que a curva se aproxima do eixo dos x, ou seja,

trata-se aqui da noção intuitiva de limite. A figura 59 abaixo permite visualizar

as etapas anunciadas para a construção do gráfico de 1

1)(

2

xxf .

Figura 60: Etapas de construção de 1

1)(

2

xxf

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 3ª série do Ensino Médio, vol. 3, p. 25.

Também entre os exemplos apresentados no Caderno do Professor,

tem-se a construção do gráfico da função xxxf sen 3)( , sugerindo a

construção dos gráficos das funções xy 3 e xy 3 fazendo com que o

gráfico oscile entre essas duas retas, obtendo o gráfico conforme mostrado na

figura a seguir. No Caderno do Aluno a parte do texto com a apresentação

dessa técnica não é apresentada.

163

Figura 61: Etapas de construção de xxxf sen 3)(

Fonte: Caderno do Professor, 2009, 3ª série do Ensino Médio, vol. 3, p. 25.

As atividades de 1 a 5 apresentadas no Caderno do Professor não são

exatamente as mesmas que as nove atividades no Caderno do Aluno. Algumas

funções apresentadas no Caderno do Aluno são diferentes das do Caderno do

Professor e vice-versa. Tomaremos a atividade 4 apresentada no Caderno do

Professor para analisarmos sob a ótica dos referenciais teóricos abordados.

Figura 62: Construção de gráfico de funções


A atividade requer que o estudante construa a função 23

1)(

xxh

, a partir da

construção gráfica da função 2)( xxf e depois a partir do deslocamento vertical

dessa última, de 3 unidades para cima e dos inversos de seus valores.

Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano.

Técnica

Esboçar o gráfico da função 2)( xxf .

A partir desse gráfico, deslocá-lo para cima em três unidades, obtendo

a função 23)( xxg .

Marcar alguns valores inversos da função 23)( xxg , para marcar

alguns pontos que permitam esboçar o gráfico da função .

23

1)(

xxh

.

164

Tecnologia Utilização dos conceitos de translação de gráfico de funções e do conceito de inverso de um número real.


Sistema cartesiano ortogonal. Representação gráfica. Representação algébrica de funções.


Funções polinomiais do 2º grau e seu o gráfico. Translação vertical do gráfico da função pela adição de uma fator v. Conceito de inverso de um número real e sua posição sobre o plano cartesiano. Noção intuitiva de limite de uma função.


Registro algébrico. Registro gráfico. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico cartesiano.


Auxiliar o estudante a localizar os pontos de uma função para outras funções por translação vertical e inversão de alguns valores reais. Auxiliar na determinação dos valores para os quais a função não está definida. Chamar a atenção para a questão da visualização dos limites laterais da função dada para os pontos em que a função não está definida.


Calcular os valores numéricos para a função 2)( xxf e localizar

esses valores no plano cartesiano para construir o gráfico da função. Transladar essa função três unidades para cima para obter o gráfico da

função 23)( xxg . Escolher alguns valores de g para inverter e

marcar os respectivos resultados no plano cartesiano, traçando a

função 23

1)(

xxh

.

Determinar os pontos para os quais a função não está definida e visualizar seus limites laterais.


Mobilizável em relação às translações e inversão de alguns valores reais.

Disponível em relação à construção gráfica da função 2)( xxf , e

em particular, em relação aos intervalos em que a função

23

1)(

xxh

está definida e a determinação do crescimento e

decrescimento na vizinhança dos pontos em que a função não está definida (limites laterais).

A atividade apresentada acima exige do estudante alguns

conhecimentos que serão mobilizáveis em relação à abordagem das funções

neste caderno, como é o caso de translação vertical e a inversão de alguns

valores de números reais, porém, inicialmente o estudante deve dispor de

conhecimentos para esboçar o gráfico da função quadrática, das propriedades

dessa função em relação à variação de seus coeficientes.

Em outras atividades os estudantes também serão chamados a trabalhar

nos níveis disponíveis e mobilizáveis, pois as mesmas ultrapassam a técnica

de determinação de raízes de equações e valor numérico para as funções. O

quadro a seguir apresenta as tarefas solicitadas nas atividades de 1 a 5 do

Caderno do Professor.

165


T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █

A2 █

A3 █

A4 █

A5 █

Fonte: A pesquisa

Pelo quadro acima percebemos que todas as atividades dessa Situação

de Aprendizagem exigem que os estudantes apresentem os gráficos de

funções. E, como os textos teóricos apresentados nos Cadernos do Professor e

do Aluno, essa construção utiliza as noções de translação vertical e horizontal,

além de cálculo de inverso para alguns números reais a fim de expressar

funções racionais. Para chegar à representação gráfica final das funções

solicitadas os estudantes utilizam técnicas de resolução de diversos tipos de

equações (de primeiro grau, quadrática, exponencial, logarítmica,

trigonométrica, etc.) e cálculo de valores numéricos para as funções

intermediárias. Além disso, é preciso mobilizar conhecimentos sobre a noção

intuitiva de limite para os intervalos em que a função está definida.

A Situação de Aprendizagem 3 apresenta as formas de crescimento e

decrescimento das funções. Essa Situação tem como título “As Três Formas

Básicas de Crescimento ou Decrescimento: A Variação e a Variação da

Variação”. O objetivo dessa Situação de Aprendizagem é que os estudantes

compreendam os fenômenos que envolvem crescimento ou decrescimento,

bem como expressar a rapidez com que esses fenômenos crescem ou

decrescem a partir de qualidades expressas nos gráficos das funções

representadas. (SÃO PAULO, 2009g, vol. 3, p. 27).

No texto introdutório no Caderno do Professor, que também é

apresentado no Caderno do Aluno após uma atividade de “desafio”, os autores

dizem que a ideia é utilizar as funções polinomiais do 1º e 2º graus como base

para a compreensão dos estudos das variações e das taxas de variação. De

modo geral, o texto afirma que a taxa de variação unitária de uma função, para

cada valor de x, será o valor obtido por )()1( xfxf . As atividades e os

166

exemplos apresentados permitem analisar como são os crescimentos de

algumas funções em determinados intervalos para os quais a função está

definida. Algumas dessas atividades apresentam uma situação

contextualizada.

Para analisarmos de forma mais detalhada, tomaremos a atividade 4 do

caderno do Professor.

Figura 64: Taxa de variação e variação da taxa de variação


A atividade apresenta uma função polinomial do 2º grau dada por sua expressão algébrica na forma fatorada. O estudante deverá fazer o esboço gráfico da mesma para responder as questões sobre crescimento ou decrescimento.

Tarefa T9 – Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos.

Técnica Construção de gráficos e análise gráfica do sinal da função, do crescimento e da taxa de crescimento.

Tecnologia

Construção do gráfico da função quadrática utilizando raízes, vértice e suas propriedades. Sinal da função por meio da visualização gráfica, intervalos em que a curva está acima do eixo dos x. Crescimento e decrescimento por meio da visualização gráfica, intervalos em que a função cresce e decresce. Taxa de crescimento e decrescimento por meio da visualização gráfica do crescimento e decrescimento e da concavidade para cada intervalo.


Representações gráficas. Representações algébricas.


Noção de gráficos de funções e esboço dos mesmos. Taxas de crescimento e decrescimento de uma função nos intervalos em que ela está definida. Propriedade gráfica da variação das taxas a valores crescentes ou decrescentes.


Registro algébrico. Registro gráfico. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico.


Auxiliar os estudantes na comparação dos intervalos em que as funções são crescentes ou decrescentes e análise da variação das taxas a valores crescentes ou decrescentes.

167


Construir os gráficos da função solicitada, analisando os intervalos em que a mesma é crescente ou decrescente e a relação com a variação das taxas a valores crescentes ou decrescentes.


Mobilizável em relação à construção do gráfico da função quadrática. Disponível em relação a determinar os intervalos em que a função é crescente ou decrescente e a variação das taxas a valores crescentes ou decrescentes para esses mesmos intervalos.

Nessa atividade o estudante deve dispor de conhecimentos de séries ou

bimestres anteriores para construir o gráfico da função quadrática dada de

forma fatorada pela expressão algébrica. O estudante deve reconhecer a

função como uma função polinomial do 2º grau. Após representar o gráfico

dessa função o estudante deve mobilizar conhecimentos trabalhados no

bimestre atual para verificar os intervalos em que a função é crescente ou

decrescente e as taxas de variação.

As demais atividades apresentadas nessa Situação de Aprendizagem

também solicitam a verificação do crescimento ou decrescimento e das taxas

de variação dessas funções. O quadro abaixo mostra as tarefas exigidas em

cada uma das seis atividades apresentadas no caderno do Professor.


T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █

A2 █

A3 █ █ █ █

A4 █

A5 █ █

A6 █ █

Fonte: A pesquisa

Pelo quadro acima notamos que a construção de gráficos e a análise

que permite encontrar informações e propriedades dessas funções a partir de

suas representações gráficas são as tarefas predominantes.

A última Situação de Aprendizagem desse volume trabalha com

situações-problemas que tratam de crescimento e decrescimento da função

exponencial. O título dessa Situação de Aprendizagem é “Os fenômenos

Naturais e o Crescimento ou Decrescimento Exponencial: O Número e .” Essa

168

Situação de Aprendizagem tem como objetivo levar o estudante a expressar e

compreender fenômenos envolvendo crescimento ou decrescimento

exponencial e contextualizar e formular propostas de intervenção na realidade

a partir de tal compreensão. O tema apresentará a forma como as funções

exponenciais variam de maneira que, sua taxa de variação unitária dada por

)()1( xfxf é diretamente proporcional ao valor de )(xf em cada ponto x.

O texto teórico dessa Situação de Aprendizagem no Caderno do

Professor é apresentado em forma de exemplo no Caderno do Aluno, de

maneira que o estudante possa chegar à conclusão que, de forma geral, para

xaxf )( , a razão entre a taxa unitária e a função equivale a )1( a ,

provavelmente com a intenção de mostrar que de alguma maneira existe uma

relação entre a função exponencial e a noção de proporcionalidade. O

interessante é que os autores não optaram por descrever a relação de

proporcionalidade pela razão entre )1( xf e )(xf , o que apresentaria como

constante de proporcionalidade a base “a” da função exponencial.

Após a apresentação de duas atividades, aparece um novo texto teórico

que tratará agora de mostrar como determinar o número e . Esse texto é

comum aos dois Cadernos e ocupa seis páginas no Caderno do Aluno.

Utilizando um exemplo de crescimento populacional, os autores vão

distribuindo a taxa de crescimento de um determinado intervalo em partes cada

vez menores de maneira a distribuir uniformemente a taxa nesse intervalo.

Esse processo corresponde a determinar o limite para

n

n

11 , quando n

cresce, tendendo ao infinito, mas esse processo não é apresentado nos

Caderno. O exemplo apresentado nos Cadernos parte da ideia de um aumento

de população que cresce 100% ao ano para mostrar que, neste caso, a

expressão que representa esse crescimento é dada por eNN 0 .

Nesse momento, não é clara a escolha da base e , pois esse mesmo

exemplo já tinha sido utilizado quando da introdução da noção de função

exponencial de base a qualquer.

Observamos que no trabalho desenvolvido por Stewart (2011) que essa

ideia é desenvolvida a partir do ostensivo de representação gráfico da função

exponencial de base e, cuja taxa de variação no ponto x = 0 é 1, o que não

169

acontece com funções exponenciais de outras bases, cujas taxas de variação

no mesmo ponto x = 0 corresponde ao logaritmo natural dessa base. Isso

permite visualizar a importância da escolha da base e.

Figura 66: Gráfico de funções exponenciais xaxf )( e

xexf )(

Fonte: Stewart, 2011, p. 165

Em seguida o Caderno aproveita para mostrar que a função inversa de

xexf )( é a função xxf ln)( e esboça os gráficos da função exponencial e

sua inversa, explorando a condição de crescimento a taxa crescente para a

função exponencial e do crescimento a taxa decrescente para a função

logarítmica natural.

As atividades que são apresentadas nos Cadernos do Professor e do

Aluno vão explorando os problemas que tratam de crescimentos exponenciais.

Apesar das atividades nos dois Cadernos serem um pouco diferentes, tratam

situações parecidas.

Analisaremos mais detalhadamente a atividade 4 do Caderno do

Professor, que equivale a atividade 2 da seção “você aprendeu” do Caderno do

Aluno e que corresponde ao “topos” do estudante.

170

Figura 67: Atividade com aplicação da função exponencial

Fonte: Caderno do Professor, 3ª Série do Ensino Médio, vol. 3, p. 46.

A atividade explora o fato de o estudante precisar utilizar diversas estratégias relacionadas às funções exponenciais para utilizá-las em cada item.

Tarefa T1 – Resolver uma equação. T6 – Escrever uma expressão algébrica.

Técnica

No item a, a técnica consiste em expressar o capital dobrado 2C como função de (1,12)

tC e usar o cálculo de logaritmo para encontrar t, em

anos. No item b, a técnica consiste em expressar o capital dobrado 2C como função de (1,01)

tC e usar o cálculo de logaritmo para encontrar t, em

meses. No item c, a técnica consiste em expressar o capital dobrado 2C como

função de te 12,0C e usar o cálculo de logaritmo para encontrar t, em

anos.

Tecnologia

Uso do conceito de juros compostos e da função exponencial de bases

diversas e de base e . Associar a taxa 12% a representação 0,12 e somar com 100%, ou seja, 1, obtendo 1,12

t. Supor o capital final igual a 2C.

Associar a taxa 12% à representação 0,01 que corresponde a taxa mensal e somar com 100%, ou seja, 1, obtendo 1,01

t para o caso de

incorporação mensal. Supor o capital final igual a 2C. Associar a taxa 12% à representação 0,12 para o caso de incorporação anual. Utilizar a equação 0,12

t=2.

Ostensivos manipulados na

técnica

Representação de juros compostos e de funções exponenciais. Representação decimal de porcentagem.


Conceito de função exponencial. Conceito de porcentagem. Conceito de juros compostos.

Registro de Representação

Semiótica

Registro algébrico. Tratamento sobre as expressões algébricas.


Auxiliar os estudantes a escreverem corretamente as funções relativas a cada alternativa na questão e mostrar a melhor aproximação.


Associar as situações apresentadas em cada alternativa com os conceitos teóricos apresentados pelos Cadernos.

Nível de conhecimento esperado do

estudante

Nível mobilizável em relação ao conceito de função exponencial e porcentagem. Nível disponível em relação a juros compostos.

171

A atividade apresentada no exemplo parece bastante complexa para ser

deixada a cargo do estudante. O tópico apesar de bastante pertinente,

necessitará do auxílio do professor em todas as suas etapas, em particular, na

interpretação dos resultados.

As demais atividades dessa Situação de Aprendizagem também tratam

de utilizar as funções exponenciais na resolução de problemas. O quadro a

seguir mostra os tipos de tarefas exigidas em cada uma delas.


T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █ █ █

A2 █ █ █

A3 █

A4 █ █

A5 █

A6 █ █

A7 █ █

A8 █

Fonte: A pesquisa

As atividades são bastante variadas em relação às tarefas exigidas. No

entanto, as resoluções de equações ou o cálculo de valores numéricos de

funções aparecem com destaque nos tratamentos das funções exponenciais e

logarítmicas.

Como vimos na análise dos Cadernos do Professor e do Aluno a

respeito do conceito e do estudo de funções, fica clara a estreita relação que a

definição de função é feita abordando a ideia de proporcionalidade.

Para a função linear é imediato para o estudante perceber essa relação

que se dá da forma kx

y . Com algum preparo é possível ampliar essa ideia

para as funções afim, escrevendo ax

by

, ou para as funções quadráticas

k

hx

vy

2

o que exigirá um maior trabalho por parte do professor, uma vez que

não é tão evidente perceber a proporcionalidade dessas formas.

Ao definir a função exponencial não se toma a condição de

proporcionalidade, também não se utiliza dessa ideia para a definição de

172

função logarítmica. Somente após trabalhar o conceito de taxa unitária de

variação é que os autores apresentam uma ideia de proporcionalidade

associada a função exponencial, mostrando que se xaxf )( então

kxf

xfxf

)(

)()1( , onde 1 ak .

O uso da ideia de proporcionalidade no trabalho com as funções

trigonométricas aparece no momento de expressar as relações seno, cosseno

e tangente, onde, num triângulo retângulo definido um ângulo agudo , então

os catetos oposto (co) e adjacente (ca), se estabelece 1k

h

co ,

2kh

ca e

3kca

co

onde sen 1 k , cos2 k , tg3 k , respectivamente.

Dessa forma, com a intenção de comparar a forma de trabalho proposta

pelo Currículo do Estado de São Paulo, expressa pelos materiais de apoio

Caderno do Professor e Caderno do Aluno, com outros materiais que objetivam

tratar o mesmo tema: “o estudo de funções”, passaremos a analisar alguns

livros didáticos do ensino fundamental e médio.

7.2 – Análise de Livros Didáticos

7.2.1 – Tudo é Matemática – Dante 8ª série – 2005

Esse livro fez parte do PNLD de 2008 e retrata um momento importante

na educação do estado de São Paulo por conta de implantação da Proposta

Curricular e do Caderno do Professor. Um momento, portanto em que os

professores tinham outro material para utilização em sala de aula onde,

anteriormente havia somente os livros didáticos.

Como os Cadernos apareciam como uma novidade na rede, grande

parte dos professores, não sabendo exatamente que se tratava de uso

obrigatório, ou se tratava de uso conjunto aos livros didáticos ou se eram

apenas material de consulta. Mesmo porque, após a implantação do Caderno

do Professor e do Caderno do Aluno, os programas PNLD e PNLEM

continuaram na rede estadual, por se tratar de um programa do Governo

173

Federal. Ou seja, as escolas continuam recebendo os materiais Caderno do

Professor, Caderno do Aluno e Livros Didáticos.

O livro em questão apresenta o estudo de funções no capítulo 4, sob o

título: “Explorando a Ideia de Função”. Nesse mesmo livro e volume, nos

capítulos anteriores foram estudados os números reais e as equações do 2º

grau.

No capítulo 4, o texto inicial aponta uma situação contextualizada, onde

a quantidade de gasolina observada nos giros de uma bomba, num posto,

apresentava uma correspondência com o preço da gasolina. Uma tabela é

mostrada para apresentar essa relação e, a partir dela uma expressão

algébrica mostra como pode ser obtido o preço registrado por aquela máquina

de fornecer combustível conforme os números correspondentes à quantidade

de litros de gasolina iam passando pelo registrador. Em seguida um gráfico

mostra essa relação associando “número de litros de gasolina” com “preço a

pagar”.

Assim, o autor diz no texto que essa correspondência é um exemplo de

função e que a expressão algébrica ou fórmula é a lei da função que pode ser

associada a gráficos.

Comenta ainda outras situações que exprimem a “ideia intuitiva de

função” e conclui que o “conceito de função está presente em situações em

que relacionamos duas grandezas variáveis.” (DANTE, 2005, p. 80). Portanto,

a definição de função é a de covariação de grandezas conforme historicamente

este conceito foi se estabelecendo, de acordo com Rogalski (2013).

Em seguida o autor procura aprofundar e explicar o que são a “lei da

função”, “variáveis” e “gráficos”, e segue uma série de tarefas apresentando

algumas situações cuja relação aponta para o conceito de função como:

produção de número de peças e preço de custo, máquina a qual entre um

número e sai outro a partir de uma lei, distância percorrida e tempo gasto para

percorrê-la, etc. Na atividade 3, onde solicita a construção do gráfico que

relaciona perímetro de um quadrado em relação ao seu lado, afirma que o

gráfico pode ser construído por uma linha contínua pelo fato de se tratar de

medidas e portanto de números reais. Entre os exemplos apresentados e o

tratamento que se dá às funções como funções numéricas, as definições

apresentadas neste momento passam a ser de funções de uma variável real a

174

valores reais, tratando assim da relação entre quantidades e não somente

como covariação de grandezas.

Logo depois inicia um parágrafo para tratar especificamente à

construção de gráficos. Para auxiliar a construção utiliza de tabelas e, no

exemplo onde pretende construir os gráficos de y = 2x +1 e y = x2 – 4, diz que x

é um número real. Após a construção dos gráficos, a reta obtida na primeira

construção passa pelo ponto x =2

1 e a curva do gráfico da segunda função

passa pelos pontos x = – 2 e x = 2. O autor chama esses pontos de zeros da

função.

A atividade a qual tomamos para analisar trata de um conceito físico, o

de densidade. Nessa atividade o autor apresenta o registro algébrico e solicita

que se representem os registros tabular e gráfico.

175

Figura 69: Atividade sobre função

27. A grandeza física densidade d de um material é definida como o quociente entre a massa

m e volume V desse material

V

md . Disso conclui-se que a massa e o volume estão

relacionados por meio da fórmula dVm . Observe a tabela que relaciona m com V de

determinado material:

V (cm3) 10 30 25

M (g) 80 480 720

a) Qual é a densidade desse material? b) Complete a tabela com os valores que faltam. c) Represente graficamente m em função de V. d) No gráfico, é possível ligar os pontos ou deve-se deixar só os pontos da tabela? Por

quê?

Fonte: Tudo é Matemática – Dante 8ª série – 2005

Com a atividade pretende-se que o estudante verifique que a relação entre massa e volume é uma relação funcional e que a representação gráfica é uma curva contínua.

Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano. T8 – Preencher ou utilizar uma tabela.

Técnica

Preencher as células correspondentes às massas, multiplicando os correspondentes valores de volume por 8. Preencher as células correspondentes aos volumes, dividindo os correspondentes valores de massa por 8.

Tecnologia Proporcionalidade direta: Se kb

a , então bka . .


Expressões algébricas representando as relações entre m e V. Gráfico cartesiano dessa relação.


Conceito de proporcionalidade direta. Conceito de plano cartesiano. Conceito de números reais.


Registro de representação algébrica. Tratamento. Registro de representação gráfica


Sugerir ao estudante que verifique os valores de volume e massa fornecidos na segunda coluna da tabela de forma a encontrar o fator de proporcionalidade. Sugerir que verifiquem se a relação de proporcionalidade é direta ou inversa e que utilizem o fator de proporcionalidade para preencher os dados que faltam na tabela.


Preencher a tabela utilizando o fator de proporcionalidade, verificando em qual momento é preciso multiplicar a grandeza pelo fator encontrado e em que momento é preciso fazer a divisão.


Nível mobilizável em relação a função. Nível disponível em relação proporcionalidade direta. Nível técnico nos cálculos para o preenchimento da tabela.

176

A tarefa utiliza uma fórmula ou lei que relaciona massa e volume, que é

o conceito físico de densidade. Essa relação representa uma variação

diretamente proporcional, mas o autor não mencionou isso no livro, porém o

estudante, ao resolver a atividade, pode perceber facilmente essa relação. Por

se tratar de grandezas físicas como massa e volume cujos valores são

assumidos no conjunto dos números reais, o gráfico será formado por uma reta

contínua. Quando o autor coloca essa questão na última alternativa, ele insita o

estudante a refletir sobre as variáveis contínuas e discretas, e poderá ser mais

fácil orientar esse estudante no momento de traçar um gráfico com variáveis

discretas como o caso de população, por exemplo.

O quadro apresentado a seguir nos mostra os tipos de tarefas solicitadas

nas atividades de 1 a 30 do tema geral sobre funções. Tomamos somente as

atividades de números múltiplos de três para não nos alongarmos

demasiadamente sobre esse quadro.

Figura 70: Quadro de Tarefas da atividade sobre funções

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A3 █

A6 █ █

A9 █ █

A12 █

A15 █ █

A18 █

A21 █

A24 █

A27 █ █

A30 █

Fonte: A pesquisa

Podemos notar pelo quadro anterior que em grande parte das atividades

é solicitado um trabalho com a construção de gráficos e com a observação de

informações que se pode retirar da representação gráfica. Não foram

percebidas atividades onde a conversão do registro gráfico para o registro

algébrico tenha sido solicitado.

177

Após a introdução de uma breve história sobre funções e a proposição

de tarefas aos estudantes, o autor introduz o tema “Função afim”, definindo-a

da seguinte forma “Chamamos de função afim toda função cuja lei de formação

pode ser indicada por y = ax + b, com a e b reais. Na função afim x pode

assumir qualquer valor real.” (ibid., p. 90).

Após fornecer alguns exemplos e propor algumas atividades, o autor

comenta que “os matemáticos já provaram que os gráficos de função afim é

uma reta”, e assim bastam dois pontos para traçar o gráfico de uma função

afim.

Define em seguida a função linear como um caso particular da função

afim: y = ax, com a real e a ≠ 0. E novamente apresenta alguns exemplos e

propõe algumas atividades. Em seguida, aponta que as funções lineares

guardam uma grande familiaridade com a proporcionalidade direta entre os

valores de x e y.

Na sequência define as funções quadráticas da seguinte forma:

“Chamamos de função quadrática toda função cuja lei de formação pode ser

indicada por y = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0. Na função quadrática,

x pode assumir qualquer valor real.” (ibid., p. 96).

Segue da mesma forma como tratou as funções lineares e afins,

apresentando alguns exemplos e propondo algumas atividades aos estudantes,

muitas delas representando situações contextualizadas.

Quando trata da construção dos gráficos das funções quadráticas,

comenta, antes da construção propriamente dita, que os gráficos das funções

quadráticas, onde y é igual a um polinômio do 2º grau, são curvas chamadas

parábolas. E assim, com o uso auxiliar de tabelas, constrói os gráficos para

algumas funções desse tipo e dá alguns exemplos onde há construções

arquitetônicas com curvas correspondentes a parábolas e também exemplos

de antenas com formatos paraboloides.

O capítulo segue a partir desse ponto até o final apresentando algumas

curiosidades onde se observa a formação de parábolas, como, por exemplo, o

lançamento de projéteis e de bolas de futebol em lançamentos verticais.

Apresenta uma série de atividades para os estudantes fixarem sua

aprendizagem.

178

Tomamos a atividade 58 para uma análise à luz do referencial teórico de

nosso trabalho. Essa atividade perpassa as representações algébricas e

gráficas, além de solicitar dos estudantes a verificação de alguns pontos

notáveis na parábola.

Figura 71: Atividade sobre função quadrática

58. Considere a função definida por y = 3x2 – 2x – 1 para todos os valores reais de x. Responda em seu caderno: a) Essa função é afim ou quadrática? b) Como é seu gráfico? c) Ela corta o eixo x? Em que pontos? d) Ela corta o eixo y? Em que pontos? e) O ponto (-1, 4) pertence ao gráfico? f) Qual é o vértice da parábola?

Fonte: Tudo é Matemática – Dante 8ª série - 2005

A atividade propõe que os estudantes verifiquem a que tipo de função estudada no livro é tratado na questão. Em seguida, é necessário construir o gráfico da função e encontrar alguns pontos notáveis.

Tarefa

T7 – Representar um gráfico cartesiano. T9 – Encontrar informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos. T10 – Encontrar informações e/ou propriedades em expressões algébricas.

Técnica

Com o auxílio de uma tabela, escolher alguns valores para a variável x e calcular os correspondentes y. Fixar os pontos correspondentes no plano cartesiano e traçar a curva característica à função quadrática. Procurar os pontos notáveis, zeros da função e vértice.

Tecnologia Função afim: y = ax + b. Função quadrática: y = ax

2 + bx + c.

Zero de funções: ax + b = 0 ou ax2 + bx + c = 0.


Expressões algébricas. Gráficos de funções.


Conceito de função quadrática. Conceito de zeros de funções. Conceito de simetria.


Registro de representação algébrica. Registro de representação tabular. Registro de representação gráfica. Conversão da representação algébrica para a representação gráfica.


Verificar se o estudante constrói uma tabela e a preenche de forma correta relativamente à expressão apresentada. Verificar se o estudante associa os pontos da tabela no plano cartesiano e se encontra os pontos solicitados.


Construir uma tabela. Escolher alguns valores de x e calcular os correspondentes y. Registrar os valores da tabela no plano cartesiano. Procurar os pontos notáveis solicitados pela atividade.


Nível mobilizável em relação à construção gráfica de função. Nível mobilizável em relação às raízes da função quadrática. Nível técnico em relação ano ponto onde o gráfico corta o eixo y, caso esse ponto tenha surgido na tabela (0, y) ou disponível caso não tenha ocorrido isso. Nível disponível em relação a coordenada do vértice, utilizando-se de simetria.

179

A atividade aproveita para rever conceitos apresentados formalmente

nos textos do livro, mas solicita também que os estudantes encontrem outros

pontos notáveis que não foram tratados formalmente. Com esta atividade os

estudantes podem refletir sobre algumas condições como simetria da parábola

e notar que a abscissa do vértice é a média dos zeros da função. Também

devem perceber, pelo uso da tabela ou pela construção gráfica que o valor da

função que corta o eixo y é assumido quando x = 0 e nesse caso corresponde

ao coeficiente c da função.

O quadro apresentado a seguir aponta os tipos de tarefas solicitados nas

atividades que tratam de função afim e função quadrática. As atividades desses

temas iniciam no número 32, assim tomaremos atividades numeradas de três

em três.

Figura 72: Quadro de Tarefas da atividade sobre função quadrática

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A34 █

A37 █

A40 █

A43 █ █

A46 █ █

A49 █ █ █

A52 █ █

A55 █ █ █

A58 █ █ █

A61 █

A64 █ █

A67 █ █ █

A70 █ █

A73 █

Fonte: A pesquisa

Pelo quadro anterior percebemos que apresentar a expressão algébrica

que representa uma função e a representação gráfica de funções são as

tarefas com maior destaque nas atividades. Essa característica reforça bem o

trabalho que o autor impõe no estudo com funções, apresentando situações

problemas, solicitando encontrar a lei que representa a relação entre as

grandezas apontadas e a representação gráfica dessa relação, tomando o

180

cuidado de, em cada caso, apontar se as grandezas relacionadas são

contínuas, representando variáveis no conjunto dos números reais, ou

discretas, assumindo apenas alguns valores do conjunto dos números reais.

A análise que fizemos dessa obra, associada as outras análises que

faremos de outras obras do ensino médio, poderá nos fornecer material

necessário para uma comparação com o tratamento sobre o conceito de

função tratado nos materiais de apoio ao Currículo do Estado São Paulo, os

Cadernos do Professor e do Aluno.

7.2.2 – Bezerra Matemática – 2º Grau – 1994 – Volume Único

Trata-se de um livro utilizado na década de 1990, publicado

anteriormente à LDB 9394/96 e anteriormente também à Proposta Curricular do

Estado de São Paulo de 2008. Portanto será uma análise que permitirá

comparar com outro Livro Didático mais recente a maneira como o conceito de

função estava e está sendo apresentado, e permitirá, inclusive, comparar esse

estudo com o estudo feito nos Cadernos do Professor e do Aluno.

Logo no início do capítulo que trata de função, o primeiro parágrafo é a

definição, dada da seguinte forma: “Sejam A e B dois conjuntos não vazios.

Chama-se função de A em B, qualquer relação de A em B que associa a cada

elemento de A um único elemento de B.” (BEZERRA, 1994, p. 41). Mas antes,

porém de adentrar no estudo desse conceito, o livro já tratou o estudo de

conjuntos e de relações.

Os exemplos de casos que são ou não funções de acordo com a

definição são mostrados por meio de diagramas de Venn, e nos exercícios que

se seguem também procuram fazer a distinção entre função ou somente

relação, com o uso do plano cartesiano. Em seguida fornece a representação

de funções por leis associativas de forma que f(x) seja uma expressão

algébrica relativa à variável x e que seu valor numérico quando x = a é obtido

calculando o valor de f(a). Passa a analisar os sinais da função, o crescimento

e decrescimento das funções e as funções dadas por partes.

O Próximo capítulo então, intitulado “Função de 1º Grau”, inicia fazendo

a definição de função polinomial e na sequência definindo função polinomial do

181

1º grau como sendo uma função de IR em IR dada por baxxf )( , com *Ra .

O autor comenta que para facilitar a linguagem passará a adotar função de 1º

grau em vez de função polinomial de 1º grau. (ibid., p. 49). Logo em seguida é

dada a definição para a função linear como sendo a função definida por

axxf )( .

Afirma-se no paragrafo seguinte que o gráfico de uma função de 1º grau

é uma reta, mas sem demonstração, e segue exemplos de construções

gráficas desse tipo de função. Não há aplicações para esse tipo de função nem

nos exemplos nem nos exercícios propostos para os estudantes.

Analisaremos, com base nas fundamentações teóricas desse trabalho,

uma atividade apresentada nesse capítulo do livro.

Figura 73: Resolver a equação 10)7()( 2 mmxxf

Fonte: Bezerra Matemática – 2º Grau – 1994

Trata a atividade de resolver uma equação a partir de um conhecimento relativo à gráfico de função.

Tarefa T1 – Resolver uma equação.

Técnica Substituir f(x) por -10 obtendo uma equação do 2º grau. Determina-se as raízes da equação encontrando os possíveis valores de m.

Tecnologia Usar o conceito de que uma função polinomial do primeiro grau deve

ser da forma baxxf )( e que bf )0( .


Resolução de equação do 2º grau.


Conceito de função polinomial do 1º grau. Conceito de raízes de equações quadráticas e seu significado. Conceito de coeficiente linear de uma equação de reta.


Registro de representação algébrica. Tratamento.


Sugerir ao estudante a substituição de f(x) por -10, explicando-lhe esse conceito para que ele note os procedimentos que deverá tomar para solucionar a questão.


Resolver uma equação quadrática, encontrando suas raízes que representará os possíveis valores de m, interpretando seu resultado.


Nível mobilizável em relação a função polinomial do 1º grau. Nível disponível em relação a equação do segundo grau. Nível técnico na resolução da equação do segundo grau.

8. Calcule m para que o gráfico de )7()( 2 mmxxf corte o eixo Oy no

ponto de ordenada –10.

182

A tarefa utiliza os conceitos definidos pela teoria dada no capítulo do

livro. No entanto, ao utilizar o conceito de que f(0) é o ponto de intersecção da

reta com o eixo y, o estudante se defronta com uma equação do 2º grau.

Caberá ao estudante interpretar que a resolução deverá ser dada pela

resolução da equação quadrática ou o professor deverá sugestionar a

resolução dessa equação e orientar a verificar as raízes como valores de m na

expressão inicialmente fornecida.

Pela análise das demais atividades apresentadas neste capítulo

podemos perceber uma característica de conhecimento de nível técnico. A

tabela abaixo mostra os tipos de tarefas solicitadas nas atividades sobre

funções polinomiais do 1º grau.

Figura 74: Quadro de Tarefas da atividade sobre funções

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █

A2 █ █

A3 █

A4 █ █

A5 █

A6 █

A7 █

A8 █ █

A9 █ █

A10 █ █

Fonte: A pesquisa

Nota-se pelo quadro acima que a maior parte das atividades trata de

gráficos de funções. É uma característica forte nessas atividades a

representação gráfica a partir das representações algébricas, tirar informações

e perceber características nas representações gráficas, além dos tratamentos

sobre as expressões algébricas, em nível técnico.

O próximo capítulo desse livro trata da função polinomial do 2º grau. O

primeiro parágrafo é utilizado para definir esse tipo de função da seguinte

forma: “Chama-se função do 2º grau, ou quadrática, toda função definida de R

em R por baxxf )( , com Rcba , , e 0a .” (BEZERRA, 1994, p. 56).

183

Na sequência trata das raízes da função, da fatoração do trinômio do 2º

grau, dos pontos notáveis do gráfico, (raízes, coordenadas do vértice e

cf )0( ), máximo e mínimo, conjunto imagem de f, sinais, crescimento e

decrescimento.

A atividade 15 será utilizada como exemplo para nossa análise mais

apurada.

Figura 75: Atividade sobre função dada por partes

15. Desenhe o gráfico da função definida de IR – {1} em IR por:

1 se ,56

1 se ,32)(

2

2

xxx

xxxxf

Quais são as raízes da função f?


A atividade consiste em encontrar os pontos notáveis do gráfico de f para representá-lo no plano cartesiano, notando que um dos valores de x utilizado para determinar um ponto notável não pertence ao domínio de f.


Técnica

Determinar os pontos notáveis dos gráficos de cada uma das expressões fornecidas na função para traçar seus gráficos. Verificar os intervalos do domínio de cada uma delas para fornecer as raízes para a função que estejam no domínio de f.

Tecnologia Representação algébrica e gráfica de funções do tipo

cbxaxxf 2)( .


Resolução de equações do 2º grau. Representação de gráfico de funções quadráticas no plano cartesiano.


Conceito de funções do tipo cbxaxxf 2)( e da construção dos

gráficos desse tipo de função. Conceito de domínio e contradomínio de funções quadráticas.


Registro de representação algébrica. Tratamento sobre as representações algébricas. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico cartesiano. Registro de representação gráfica.


Solicitar ao estudante que pense isoladamente em cada uma das expressões fornecidas como funções independentes f1 e f2. Após a construção dos gráficos de cada uma delas, trate os intervalos do domínio em que cada uma delas está definida, verificando as raízes que determinam esta função.


Construir os gráficos de f1 e f2. Verificar os domínios de f1 e f2. Fazer a intersecção dos domínios para encontrar as raízes dentro do domínio de f.

Nível de conhecimento esperado do

Nível mobilizável em relação à construção gráfica de funções quadráticas. Nível mobilizável em relação à determinação das raízes da equação do

184

estudante 2º grau. Nível disponível em relação à intersecção dos domínios de cada expressão para determinar o domínio de f.

Essa atividade seria uma questão simples de construção de gráfico de

função do 2º grau, com nível de conhecimento técnico e mobilizável em relação

à determinação de raízes e a construção gráfica se não fosse o caso de a

função ter sido apresentada como uma função dada por partes. Dessa forma o

estudante precisaria de situações de referência para fazer a intersecção dos

intervalos de domínio de cada uma das partes, de forma a determinar o

domínio da função como um todo, já que as raízes solicitadas pela questão

devem estar no domínio de f. Quem deve auxiliar o estudante nessa parte da

questão é o professor que irá lhe apresentar situações de referência, seja com

exemplos ou encaminhando o estudante nesta direção.

O livro oferece diversas tarefas para que o estudante execute como

exercício para sua aprendizagem. Além disso, ainda há uma indicação que

mais exercícios se encontram no final do livro. Apresentaremos no quadro

abaixo somente as atividades de número ímpar para que esse quadro não

fique demasiadamente extenso, mas de forma que possamos tomar atividades

dentre todos os temas tratados neste capítulo.

Figura 76: Quadro de Tarefas sobre funções

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █

A3 █ █

A5 █

A7 █ █

A9 █

A11 █

A13 █

A15 █ █

A17 █

A19 █ █

A21 █ █

A23 █

Fonte: A pesquisa

185

Como podemos perceber pela análise das tarefas apresentadas no

quadro acima que grande parte dessas atividades solicitam, ou resolver uma

equação ou calcular um valor numérico, ou encontrar informações em gráficos

ou expressões algébricas. A maioria, portanto fica no nível de conhecimento

mobilizável e/ou técnico. Nenhuma das atividades são problemas

contextualizados.

O capítulo seguinte, sob o título “Generalidade Sobre Funções”, tratará

de funções compostas e das transformações sofridas pelos gráficos de f. O

primeiro parágrafo apresenta uma definição para função composta da seguinte

forma: “Dadas as funções f e g, chama-se composta de f com g, e representa-

se por fg, a função definida por )()( xgfxgf .” (ibid., p. 68). Seguramente,

esta definição está fora da compreensão da maioria dos estudantes. Logo, o

Livro Didático precisa da presença do professor que irá ajudar o estudante a

compreender estas notações ou, caso o estudante esteja usando o livro

individualmente, precisará avançar algumas páginas, retornando às definições

para chegar a compreensão da linguagem utilizada.

Após a apresentação de funções compostas e de algumas atividades a

respeito desse tema, é tratado então o tema sobre transformações no gráfico

de )(xfy . Apresenta o caso de simetria, onde, se )(xfy , então os pontos

do gráfico de )(xfy são simétricos em relação ao eixo Ox. Em seguida,

apresenta a função dada pelo seu módulo, ou seja, )(xfy , onde seus

valores são todos positivos. Depois apresenta as translações vertical obtendo

)(xfy , e finalmente a horizontal da forma )( xfy .

As atividades quase sempre exigem do estudante o nível técnico e estão

focados na resolução de equações ou construções gráficas. Veja o exemplo 18

dado abaixo, a qual analisaremos detidamente.

186

Figura 77: Atividade sobre construção gráfica

18. Seja a função h de IR em IR definida por xxh )( . Faça os gráficos de:

a) )(xhy

b) )(xhy

c) 3)( xhy

d) 3)( xhy


A atividade consiste em representar o gráfico de xxf )( e em seguida aplicar as

transformações solicitadas em cada alternativa.


Técnica

Construir a reta de equação xy . Transportar os pontos do terceiro

quadrante para o 2º quadrante, simetricamente, obtendo o gráfico de

xy . Subtrair três unidades de cada ordenada dos pontos da função

anterior, obtendo 3 xy .

Voltando ao gráfico de xy , somar três unidades em cada abscissa

dos pontos dessa função.

Tecnologia

Dado uma função )(1 xfy , o gráfico de )(2 xfy é obtido

tomando os pontos do gráfico de y1<0 rebatendo-os simetricamente em relação ao eixo Ox.


deslocando verticalmente o gráfico de y1 em unidades.


deslocando horizontalmente o gráfico de y1 em – unidades.


Construção gráfica de funções.


Conceito de construção gráfica de funções polinomial do primeiro grau e conceito de translação vertical, horizontal e reflexão em relação a uma reta.


Registro de representação gráfica cartesiano. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico cartesiano. Tratamento de translação e reflexão sobre o plano cartesiano.


Orientar o estudante em relação às transformações no gráfico de h.


Construir o gráfico de xy . Por reflexão, construir o gráfico de

xy . Por translação vertical construir o gráfico de 3 xy a partir

do gráfico de xy . Por translação horizontal construir o gráfico de

3 xy a partir do gráfico de xy .

Nível de conhecimento

Nível de conhecimento disponível em relação à construção do gráfico de xy .

187

esperado do estudante

Nível de conhecimento técnico e mobilizável em relação à construção

dos gráficos de xy , 3 xy , 3 xy .

Se o estudante compreende os conceitos de reflexão e translação,

resolve a questão de forma totalmente técnica. Caso ele não compreenda

quais os encaminhamentos a serem adotados para a resolução da questão, o

professor entra como mediador, tornando o nível adotado para a questão como

mobilizável e técnico.

Outras atividades apresentadas neste capítulo tratam, além das

transformações dos gráficos de funções, também a questão da função

composta. O quadro a seguir mostra quais as tarefas solicitadas nas atividades

do capítulo. Também pelo fato de serem muitas atividades, apresentaremos no

quadro somente as atividades de numeração par.

Figura 78: Quadro de Tarefas sobre funções

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A2 █

A4 █

A6 █ █ █

A8 █

A10 █ █

A12 █ █

A14 █ █

A16 █ █

A18 █ █

A20 █

A22 █

Fonte: A pesquisa

Podemos perceber pelo quadro acima que o trabalho com o registro de

representação gráfica é bastante solicitado, mas as atividades iniciais, que

estão relacionadas ao conceito de função composta solicitam mais as tarefas

de resolução de equação e cálculo do valor numérico de funções.

O próximo capítulo deste livro inicia o estudo das funções exponenciais.

Como é comum, é feito um estudo inicial sobre potências e raízes, as

propriedades de potências e sobre equações exponenciais. Em seguida se

188

define a função exponencial da seguinte forma: “Chama-se exponencial toda

função definida de IR em IR por xaxf )( , com *

Ra e 1a .” (ibid., p. 26).

Logo em seguida apresenta os gráficos das funções exponenciais, mostrando

como exemplo os gráficos de xxf 3)( e

x

xf

3

1)( . Esses exemplos já

deixam o caminho para que o autor aponte os conceitos de crescimento e

decrescimento de funções exponenciais. A maior parte das atividades desse

capítulo, que é bastante curto, refere-se ao estudo das equações exponenciais.

Como exemplo de atividade de função exponencial apresentaremos a atividade

31.

Figura 79: Atividade sobre crescimento e decrescimento

31. Dentre as funções exponenciais seguintes, identifique as que são

crescentes e as que são decrescentes.

a) xxf 5)(

b)

x

xf

5

1)(

c)

x

xf

3

2)(

d) xxf 2)(

e) xxf 1,1)(

f)

x

xf

5

1)(


A atividade objetiva saber se o estudante compreendeu a propriedade relativa ao crescimento ou decrescimento da função exponencial.

Tarefa T10 – Encontrar informações e/ou propriedades em expressões algébricas.

Técnica Verificar se a base “a” das funções exponenciais são maiores ou menores que a unidades, determinando dessa forma se a função é crescente ou decrescente, respectivamente.

Tecnologia

Dado o gráfico da função xaxf )( , com

*

Ra e 1a .

se 1a , então f é crescente.

se 10 a , então f é decrescente.


Expressões representando as funções exponenciais. Gráficos de funções exponenciais.


Conceito de função exponencial. Crescimento e decrescimento de função exponencial em relação ao valor da base.


Registro de representação algébrico.


Verificar se o estudante faz a comparação da base da função exponencial com a unidade. Caso o estudante não estabeleça essa

189

relação, deverá retomar o conceito.


Analisar, em cada caso, o valor da base “a” da função exponencial, comparando esse valor com o número 1. Caso a > 1 ele marca como função crescente. Caso a < 1 ele classifica como função decrescente.


Nível técnico e mobilizável em relação à comparação da base com a unidade.

Essa atividade consiste somente na comparação direta do valor da base

“a” da função exponencial com a unidade. Caso o estudante não esteja

fazendo essa relação, o professor deve retomar com ele esse conceito,

mostrando algum exemplo.

O quadro a seguir apresenta as tarefas solicitadas nas cinco atividades

desse capítulo que tratam exclusivamente de funções exponenciais.

Figura 80: Quadro de Tarefas sobre funções exponenciais

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A29 █ █

A30 █ █

A31 █

A32 █

A33 █

Fonte: A pesquisa

As duas primeiras atividades tratam da representação gráfica, ficando as

três últimas nas representações algébricas. Não havia neste capítulo atividade

relacionada a situações contextualizadas.

Como acontece normalmente, na sequência o livro trabalha o conceito

de função logarítmica. O capítulo inicia contando um pouco a história dos

logaritmos. Depois define logaritmo, mostra a condição de existência, dá as

propriedades operatórias e dá exemplos de equações logarítmicas. Após essa

introdução é definida a função logarítmica da seguinte forma: “Chama-se

logarítmica toda função f, definida de IR *+ em IR por xxf alog)( , com *

Ra e

1a .” (ibid., p. 97). Em seguida mostra os exemplos de gráficos de funções

logarítmicas xxf 3log)( e xxf3

1log)( . Aproveita esses dois exemplos para

encaminhar o conceito de crescimento e decrescimento de funções

logarítmicas. O que coube ao livro trabalhar especificamente com funções

190

logarítmicas tomou duas páginas. As demais definições ou atividades são

relativas às equações ou inequações logarítmicas, o que foi trabalhado

exaustivamente.

Tomamos a atividade 38 para fazermos uma análise mais detalhada.

Figura 81: Atividade sobre a função logarítmica

38. Construa o gráfico da função RRf

*: definida por xxf 2log)( . Após

você ter feito o gráfico, responda: a função f é crescente ou decrescente.


A atividade consiste em representar o gráfico de uma função logarítmica, verificando se a função é crescente ou decrescente.


Técnica Verificar se a base “a” das funções logarítmicas são maiores ou menores que a unidades, determinando dessa forma se a função é crescente ou decrescente, respectivamente.

Tecnologia

Dado o gráfico da função xxf alog)( , com *

Ra e 1a .




Expressões representando as funções logarítmicas. Gráficos de funções logarítmicas.


Conceito de função logarítmica. Crescimento e decrescimento de função logarítmica em relação ao valor da base.




Verificar se o estudante faz a comparação da base da função logarítmica com a unidade. Caso o estudante não estabeleça essa relação, deverá retomar o conceito.


Analisar, em cada caso, o valor da base “a” da função logarítmica, comparando esse valor com o número 1. Caso a > 1 ele marca como função crescente. Caso 0 < a < 1 ele classifica como função decrescente.


Nível técnico e mobilizável em relação à comparação da base com a unidade.

Essa atividade consiste somente na comparação direta do valor da base

“a” da função logarítmica com a unidade. Caso o estudante não esteja fazendo

essa relação, o professor deve retomar com ele esse conceito, mostrando

algum exemplo.

O quadro a seguir apresenta as tarefas solicitadas nas atividades desse

capítulo que tratam exclusivamente de funções exponenciais.

191

Figura 82: Quadro de Tarefas das atividades sobre funções logarítmicas

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A37 █

A38 █ █

A39 █ █

A40 █

A41 █

A42 █

A43 █

Fonte: A pesquisa

A primeira atividade trata somente do cálculo do valor numérico da

função logarítmica. As duas seguintes tratam da representação gráfica, ficando

as quatro últimas nas representações algébricas. Também não havia neste

capítulo atividade relacionada a situações contextualizadas.

O último conjunto de funções trabalhado no livro de Bezerra é o das

funções trigonométricas. Esse estudo inicia após ter trabalhado com a

trigonometria no triângulo retângulo e com a trigonometria no ciclo

trigonométrico. A definição de função seno é feita da seguinte forma: “Chama-

se função seno a função definida de IR em IR por xxf sen )( .” (ibid., p. 190).

Faz-se a afirmação de que a função seno é periódica, mostra o gráfico de

xxf sen )( e indica-se que seu domínio é RfD )( e sua imagem é

]1;1[)Im( f . Apresenta alguns exemplos de gráficos que se descolam

verticalmente ( xDxf sen )( ) ou horizontalmente ( )(sen )( Cxxf ), gráficos

de funções que têm sua amplitude aumentada ou diminuída ( xAxf sen )( ) e

gráficos de funções que têm seu período modificado ( )(Bsen )( xxf ).

A definição de função cosseno é apresentada de forma mais curta. A

definição de função cosseno é feita da seguinte forma: “Chama-se função

cosseno a função definida de R em R por xxf cos)( .” (ibid., p. 194). Faz-se a

afirmação de que a função cosseno é periódica, mostra o gráfico de

xxf sen )( e indica-se que seu domínio é RfD )( e sua imagem é

]1;1[)Im( f . Em seguida já passa para a definição da função tangente.

“Chama-se função tangente a função definida para

kx 2

, Zk , por

192

xxf tg)( .” Afirma-se que a função tangente também é periódica, apresenta o

gráfico da função tangente juntamente com seu domínio e sua imagem.

As atividades ficam praticamente no nível de técnico. Porém, em relação

à tarefa que essas atividades solicitam dos estudantes, algumas também

ocupam a categoria de mobilizável. Analisaremos a atividade 47.

Figura 83: Funções trigonométricas

47. Determine o período de cada uma destas funções:

a) )4(sen 1 xy

b)

2sen 3

xy

c) xy sen 2

d)

35en

xsy

e) xy 3sen 2

1x3 cos

2

3


A atividade objetiva verificar o coeficiente que acompanha a variável de modo a determinar o período das funções.


Técnica Tomar o coeficiente B, que acompanha a variável em cada função, usando-os como coeficiente na expressão do período.

Tecnologia

Dada a função CBxADxf sen )( , seu período é dado por

BT

2 .


Expressões representando as funções senos e cossenos.


Conceito de período das funções trigonométricas, relativa à sua construção a partir do ciclo trigonométrico.


Registro algébrico. Tratamento algébrico.


Definir para o estudante, período de funções trigonométricas e apresentar a fórmula para o cálculo do período.


Verificar o coeficiente B em cada expressão, substituir na fórmula, tratar aritmeticamente a expressão e determinar o período de cada função.


Nível técnico em relação ao cálculo do período da função. Nível mobilizável no reconhecimento do coeficiente B na função e seu uso no cálculo do período.

A atividade é bastante simples para o estudante que compreendeu o

conceito de período de funções trigonométricas e reconhece o coeficiente B na

193

função e consegue utilizá-lo na fórmula do período. Outras atividades

apresentadas neste capítulo, que têm relação estritamente com as funções

seno, cosseno e tangente, também têm características de resolução que exige

o nível de conhecimento técnico. O quadro a seguir apresenta os tipos de

tarefas exigidas nestas atividades.

Figura 84: Quadro de Tarefas sobre funções trigonométricas

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A41 █ █

A42 █ █

A43 █ █

A44 █ █

A45 █ █

A46 █ █

A47 █

A48 █ █

A49 █

A50 █

Fonte: A pesquisa

Notamos pelo quadro acima que as atividades estão bastante

relacionadas com a representação gráfica e com a observação de informações

ou propriedade, seja nas expressões algébricas das funções trigonométricas ou

nas representações gráficas.

Após fazermos essa análise de um livro que foi publicado na década de

1990, e verificarmos qual era a tendência seguida pelo autor naquele momento

da educação, passaremos a analisar um livro mais recente utilizado pela rede

de ensino estadual por fazer parte do Plano Nacional do Livro Didático para o

Ensino Médio (PNLD – 2012).

7.2.3 – Matemática Ensino Médio – Kátia Smole e Maria Ignez Diniz – 2010

O livro que iremos analisar, trata-se de um obra que compõe o Programa

de Livros Didáticos do Governo Federal – PNLD 2012, e que faz parte da

escolha dos professores da rede pública estadual e portanto é material de

194

apoio em muitas escolas do Estado de São Paulo. Por se tratar de um livro

recente, cuja publicação é do ano de 2010, é uma obra que deve estar alinhada

com o pensamento educacional atual. É também uma publicação que surge

dois anos depois da publicação da Proposta Curricular Paulista e no mesmo

ano da publicação do Currículo do Estado de São Paulo.

Pretendemos analisar esta obra, focando no conceito de função, de

forma que possamos compará-la com outro Livro Didático anteriormente

analisado. Além disso, compará-la com os materiais de apoio ao Currículo –

Caderno do Professor e Caderno do Aluno – e discutir as diretrizes

encaminhadas por estas obras.

O estudo de funções no livro da Kátia Smole e Maria Ignez inicia na

unidade 3, após o estudo de conjuntos, dados na unidade 1. A unidade 3 inicia

com um texto que trata da localização geográfica em cidades por meio do GPS,

com a intenção de introduzir a ideia de plano cartesiano. Logo em seguida o

texto começa a apresentar alguns gráficos relativos à variação de salários, de

desenvolvimento estatural, e outras relações que indicam interdependência

entre grandezas. Diz então no próximo item que deverá analisar mais

detalhadamente alguns elementos de uma função que inclui domínio,

contradomínio e imagem. Devemos lembrar que ainda não foi feita nenhuma

definição formal sobre funções.

A partir desse ponto o livro indica que, em uma função de A → B usa-se

a notação: BAf : ; )(xfyx . Aplicam-se então alguns exemplos e

atividades cujas tarefas incluem, entre outras coisas, o cálculo do valor

numérico de uma função, mas não é feito uma observação sobre o que

representam A e B, parece que a representação por si só já seria suficiente

para a definição de função.

No entanto, devemos observar, conforme orienta Lima et al (2006, p.

39), “uma função consta de três ingredientes: domínio, contradomínio e a lei de

correspondência )(xfx ”, e esses ingredientes devem ser especificados para

que se torne claro a noção de função e seu campo de atuação ou abrangência.

O próximo tema apresenta o tópico representação gráfica de funções.

Sugere o uso de tabelas para passar da representação algébrica para a

195

representação gráfica. Sugere também o uso de um software para a

representação dinâmica de gráficos de funções.

A unidade 4 entra no estudo da função afim, cujo texto chama também

de função polinomial do 1º grau, dizendo que são funções correspondentes as

relações entre variável dependente e variável independente, expressas por

polinômios do 1º grau. Fornece um exemplo contextualizado e o gráfico

correspondente. Por meio de tabelas mostra um exemplo de construção de

gráficos a partir da expressão algébrica da função. Inclusive apresenta uma

demonstração para afirmar que o gráfico de uma função polinomial do 1º grau

é uma reta. Mostra que dois pontos são suficientes para a construção gráfica

dessas funções. Aproveita para apresentar a determinação da raiz, o

coeficiente angular e o coeficiente linear de funções afins. Trata inclusive da

translação vertical da reta que representa o gráfico da função afim. Define

função crescente e função decrescente, mostrando graficamente os aspectos

dos gráficos de funções afins que possuem estas características, ou seja, as

autoras induzem a construção do gráfico para confirmar se a função é

crescente ou decrescente.

Analisaremos a atividade 24 sob a ótica da fundamentação teórica de

nosso trabalho.

Figura 85: Gráficos de funções

24. Construa os gráficos das funções a seguir, em um mesmo referencial

cartesiano, e verifique a posição relativa entre as retas que representam cada

função.

a) xy 5 e 25

1 xy

b) 12 xy e 12

1 xy

c) 23 xy e 23

1 xy

Fonte: SMOLE E DINIZ, 2010, Vol.1, p. 103

196

A atividade pretende fornecer aos estudantes outras informações que não foram tratadas nos textos teóricos como, por exemplo, posições relativas entre as retas dos gráficos das funções.


Técnica Representar graficamente no mesmo plano cartesiano as funções fornecidas por meio da determinação de dois pontos.

Tecnologia Dois pontos distintos A e B determinam uma única reta. Retas perpendiculares têm coeficientes angulares inversos e opostos.


Plano cartesiano. Gráficos de funções. Expressões algébricas.


Conceito de função afim. Gráfico de retas. Coeficiente angular. Perpendicularismo.


Registro de representação algébrico. Registro de representação gráfico cartesiano. Conversão do registro algébrico para o registro gráfico cartesiano.


Verificar se o estudante percebe a relação de perpendicularismo entre as retas e se associa esse fato aos coeficientes angulares das retas.


Desenhar os gráficos das funções por meio da determinação de dois pontos. Observar as posições relativas das retas formadas.


Nível mobilizável em relação à construção gráfica. Nível disponível em relação ao perpendicularismo e a associação dos coeficientes angulares das retas.

A atividade mobiliza os estudantes para a construção gráfica. Os

estudantes podem optar em determinar dois pontos e desenhar a reta ou mais

pontos que estarão alinhados. Ao final da construção das retas no mesmo

plano cartesiano os estudantes devem perceber que algumas retas são

perpendiculares entre si e devem entender que, neste caso, seus coeficiente

são inversos e com sinais opostos. Caso os estudantes somente construam os

gráficos e não cheguem à conclusão do perpendicularismo ou da relação entre

os coeficientes angulares, cabe ao professor auxiliá-los nesta observação.

Outras atividades desse capítulo vão se alternando entre problemas

técnicos e mobilizáveis. Alguns são problemas contextualizados. O quadro a

seguir mostra apenas as atividades com numeração múltipla de três, pelo fato

de não nos alongarmos nas 29 atividades apresentadas, mas podendo tomar

ao menos uma em cada tema e incluir a atividade do exemplo mostrado acima.

197

Figura 86: Quadro de tarefas sobre gráficos de funções

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A3 █

A6 █

A9 █ █

A12 █

A15 █ █ █

A18 █ █

A21 █

A24 █ █

A27 █

Fonte: A pesquisa

É bastante frequente o tratamento com representações gráficas e a

conversão entre expressões algébricas para a representação gráfica e também

há atividades que solicitam a conversão da representação gráfica para a

representação algébrica, mas esta última conversão não é tratada

explicitamente, ficando a cargo do professor. Os pontos nas colunas relativas

às tarefas T9 e T10 mostram também um forte movimento de observação

sobre as propriedades e características presentes nos gráficos ou nas fórmulas

que representam as funções.

A próxima unidade desse livro, neste volume, trata das funções

quadráticas. O texto introdutório toma como exemplo a trajetória de um foguete

em queda, afirmando se tratar de uma função chamada de função polinomial

do 2º grau. Então define essa função como: “Uma função f, de IR em IR, que a

todo número x associa o número cbxax 2, com a , b e c reais e 0a , é

denominada função quadrática ou função polinomial do 2º grau”.

Em seguida afirma que o gráfico da função quadrática é uma parábola e

mostra geometricamente como se obter uma parábola no plano, usando régua

e compasso. Para representar uma função quadrática no plano cartesiano, o

texto sugere que se determinem alguns pontos que pertençam à parábola,

organizando-os numa tabela e marcando estes pontos no plano cartesiano.

Nos dois exemplos mostrados, as autoras vão tirando conclusões como a

concavidade da parábola em relação ao coeficiente a, a ordenada onde x = 0,

as raízes sobre o eixo x, as coordenadas dos vértices. Com essa observação

198

inicia-se uma apresentação teórica sobre os pontos importantes do gráfico da

função quadrática.

A próxima apresentação nessa unidade é a de máximo ou mínimo e

conjunto imagem da função quadrática. Passa-se em seguida para a discussão

sobre os sinais da função. As atividades que perpassam por essa unidade são

tanto em nível técnico, como mobilizável e ainda disponível em algum sentido,

pois várias atividades representam problemas contextualizados e que

necessitam outros conhecimentos que os estudantes devem recordar de outras

fases de seus estudos e colocá-los em jogo como problemas de referência

para a resolução desse tipo de atividade.

A atividade 47 nos mostra uma situação contextualizada e

interdisciplinar com a disciplina de Física. Analisaremos essa atividade a partir

do referencial teórico que indicamos neste trabalho.

Figura 87: Atividades sobre funções quadráticas

47. Uma bola é lançada verticalmente para cima. Suponha que sua altura h,

em metros, t segundos após o lançamento seja 642 tth .

a) Qual é o tempo que a bola leva para voltar à sua altura inicial?

b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?

Fonte: SMOLE E DINIZ, 2010, Vol.1, p. 135

A atividade tem o objetivo de verificar se os estudantes conseguem interpretar a questão e utilizar os conhecimentos sobre equações quadráticas para resolvê-lo.

Tarefa T1 – Resolver uma equação. T2 – Encontrar um valor numérico para uma função.

Técnica

Igualar a equação inicial a 6, e resolver a equação quadrática encontrando suas duas raízes. Abandonar a raiz nula, pois se trata do instante da posição inicial, ficando com a segunda raiz. Tomar o ponto médio das duas raízes encontradas, obtendo 2. Calcula-se o valor numérico h(2), obtendo 10 metros.

Tecnologia

As raízes de uma função quadrática cbxaxy 2, se houverem,

podem ser obtidas, complementando um quadrado e fatorando o

trinômio, obtendo a

acbbx

2

42 .

O vértice da parábola, gráfico de uma função quadrática, pode ser

obtido por

a

bac

a

bV

4

4,

2

2

.


Resolução de equações algébricas.

199


Conceito de raízes. Conceito de quadrado perfeito. Conceito de gráficos no plano cartesiano e pontos críticos da função quadrática.


Registro algébrico. Tratamento do registro algébrico.


Sugerir que o estudante transponha seus conhecimentos aprendidos em Matemática para a disciplina de Física.


Tratar a equação horária do movimento, relativa à disciplina de Física, como um objeto da Matemática: função polinomial do 2º grau.


Nível disponível em relação a transposição dos conhecimentos físicos para os conhecimentos matemáticos. Nível mobilizável em relação ao cálculo de raízes da equação e ponto de máximo da função polinomial do 2º grau.

A atividade apresentada procura fazer uma conexão entre duas

disciplinas, a Física e a Matemática, a partir de um problema contextualizado.

Problemas contextualizados são uma prática frequente dentre as atividades

apresentadas neste capítulo. Há uma seção cujo título é “Problemas e

Exercícios” onde encontramos muitas dessas aplicações, em geral, as

aplicações correspondem a articulação com outras ciências e poucos exemplos

são de situações cotidianas não artificiais.

Na atividade acima, o estudante, ao reconhecer a equação como um

objeto da Física e da Matemática, a resolve com seus conhecimentos

aprendidos na disciplina de Matemática, mas com um olhar nos conceitos que

aprendeu na disciplina de Física. Enquanto ele se exercita com as técnicas

próprias da Matemática, suas soluções são apropriadas para as situações no

contexto de outra ciência.

O livro apresenta no próximo capítulo o tema sobre progressões.

Funções irão retornar somente no capítulo 7, onde trata do tópico funções

exponenciais.

Na unidade 7, assim como nas unidades anteriores, na introdução desse

tópico também é apresentado um exemplo contextualizado para motivar o

estudo de funções exponenciais. Neste exemplo aponta os resultados de uma

pesquisa numa tabela e em seguida apresenta seu gráfico, que caracteriza um

crescimento exponencial. Então é feita a seguinte definição: “A função f, de R

em R , que a cada número x associa o número xa , com 0a e 1a , é

denominada função exponencial de base a .” (SMOLE e DINIZ, 2010, vol. 1,

p. 173).

200

Em seguida, afirma-se que todas as propriedades das potências valem

para a função exponencial xay , uma vez que podemos ter Qx .

Na seção “Para saber mais”, apresenta a relação que há entre a

progressão geométrica e a função exponencial, apresentando também dois

exemplos de situações, uma correspondente a figuras geométricas e outras

relativa ao crescimento de uma planta, onde a relação apresentada refere-se à

progressão geométrica e que essas situações podem ser representadas pela

expressão xqxf )( , Rx .

Em seguida, inicia-se a análise dos gráficos das funções exponenciais

onde é tratado o conceito de crescimento e decrescimento desses gráficos,

mostrando pelos dois exemplos, que, se a base é maior que 0 e menor que 1, a

função é decrescente e que se a base for maior que 1 a função é crescente.

Também para a função exponencial as propriedades são estabelecidas por

meio do ostensivo de representação gráfico, ou seja, de forma visual.

São apresentados em seguida exemplos e exercícios, contanto também

com problemas contextualizados. Apresentaremos a seguir a atividade 9 que

trata de um problema de nível técnico para sua resolução, mas que envolve

também um conhecimento adquirido pelo estudante, que neste caso apresenta-

se em nível mobilizável, uma vez que a atividade aponta o que deve ser

realizado: verificar se a função é crescente ou decrescente.

Figura 88: Atividades sobre funções exponenciais

9. Classifique em crescente ou decrescente a função f dada por:

a)

x

xf

3

2)(

b)

x

xf

2)(

c) xxf 12)(

d)

x

xf

2

5)(

Fonte: SMOLE E DINIZ, 2010, Vol.1

201

A atividade objetiva saber se o estudante compreendeu a propriedade relativa ao crescimento ou decrescimento da função exponencial.


Técnica Verificar se a base “a” das funções exponenciais são maiores ou menores que a unidade, determinando dessa forma se a função é crescente ou decrescente, respectivamente.

Tecnologia

Dado o gráfico da função xaxf )( , com

*

Ra e 1a .




Expressões representando as funções exponenciais. Gráficos de funções exponenciais.


Conceito de função exponencial. Crescimento e decrescimento de função exponencial em relação ao valor da base.




Verificar se o estudante faz a comparação da base da função exponencial com a unidade. Caso o estudante não estabeleça essa relação, deverá retomar o conceito.


Analisar, em cada caso, o valor da base “a” da função exponencial, comparando esse valor com o número 1. Caso a > 1 ele marca como função crescente. Caso 0 < a < 1 ele classifica como função decrescente. É importante observar que para a solução dessa tarefa é preciso que o estudante disponha de conhecimentos sobre números irracionais.


Nível técnico e mobilizável em relação à comparação da base com a unidade. Disponível em relação à noção de número irracional.

Essa é uma atividade que verifica somente se o conceito de função

crescente ou decrescente relativa ao valor da base “a” foi aprendido. Não

verifica se o estudante compreende o que é função crescente ou decrescente,

pois não pede uma representação gráfica nem o cálculo de valores numéricos

para diferentes valores de x. Apenas verifica se ele sabe relacionar o valor da

base com a classificação crescente ou decrescente. Trata-se de uma atividade

numérica que depende principalmente de conhecimentos sobre os conjuntos

numéricos.

Apresentaremos no quadro abaixo somente as atividades de número

ímpar para mostrarmos os tipos de tarefas estão sendo exigidas nas questões

desse capítulo.

202

Figura 89: Quadro de tarefas sobre funções exponenciais

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A1 █

A3 █

A5 █

A7 █

A9 █

A11 █ █

A13 █ █ █

Fonte: A pesquisa

Uma forte característica nas atividades verificadas é a de procurar

propriedades nas expressões exponenciais que representam as funções desse

tipo. Mas as atividades envolvem também a construção de gráficos e tarefas

técnicas de resolução de equações e cálculo de valor numérico de funções.

O próximo capítulo desse livro trata de funções logarítmicas. Na

introdução do capítulo é apresentado um texto sobre a história do

desenvolvimento das tábuas de logaritmos. Em seguida, volta um dos

problemas da introdução de função exponencial para discutir, não o resultado

do cálculo exponencial, mas da potência que o resultaria, que consistia a

resolver uma equação como, por exemplo, 92 x. Com esse exemplo entre em

cena o conceito de logaritmo. Após essa apresentação define-se o logaritmo e

apresenta-se suas propriedades, seguidas de exercícios. Posteriormente, inicia

especificamente a função logarítmica a definindo como “A função f, de ],0[

em R , que a todo número 0x associa o logaritmo de x , em uma base a

( 0a e 0a ), é denominada função logarítmica de base a .” (ibid., vol. 1, p.

200).

Dois exemplos são apresentados para mostrar a construção gráfica das

funções logarítmicas. Uma delas tomando como base 2a , e outra tomando

2

1a . Aproveita para fazer também os gráficos das funções exponenciais de

mesma base e comparar seus gráficos com as da função logarítmicas para

afirmar que se trata de funções inversas. Aproveita também para afirmar que,

caso 1a , a função logarítmica é crescente e que se 10 a , então a função

logarítmica é decrescente. Apresenta então mais alguns exercícios e

203

problemas e parte para as inequações logarítmicas. Tomaremos a atividade 34

para fazermos uma análise sob a ótica de nossa fundamentação teórica.

Figura 90: Atividade sobre funções logarítmicas

34. Cada placa de 2 mm de espessura de certo vidro acrílico reduz a

intensidade da luz em 10%. Quantas placas devem ser acopladas para reduzir

a intensidade da luz em 50%?

Fonte: SMOLE E DINIZ, 2010, vol. 1, p. 202

A atividade consiste em resolver uma equação logarítmica para encontrar a solução para o problema proposto, porém para encontrar a equação é preciso utilizar os conhecimentos de função exponencial.

Tarefa T1 – Resolver uma equação. T6 – Escrever uma expressão algébrica.

Técnica

Procurar uma expressão que corresponda à sequência

x

10

11 , com

Rx e, na função

x

xf

10

11)( , procurar o valor de x que

corresponde a 5,0)( xf . Assim, deve-se resolver a equação

9,0log

5,0logx .

Tecnologia As funções exponenciais e logarítmicas são decrescentes para

10 a , sendo a a base desse tipo de função.


Resolução de equações exponenciais e logarítmicas.


Conceito de funções e equações logarítmicas e exponenciais. Conceito de crescimento e decrescimento de funções logarítmicas e exponenciais.


Registro algébrico. Tratamento algébrico das expressões.


Auxiliá-lo na obtenção da expressão algébrica que representa a função exponencial, mostrando-lhe que essa função deve se igualar a 0,5 pelo fato de ter reduzido 50% da intensidade da luz.


Tomar a expressão obtida com a ajuda do professor, aplicar os conceitos de logaritmo e de funções logarítmica relativa ao decrescimento da função. Resolver a equação logarítmica para encontrar a solução para o problema.


Nível disponível em relação à representação algébrica da função que expressa à situação problema. Nível disponível em relação à associação dessa expressão ao valor 0,5 do problema. Nível mobilizável em relação à resolução da equação logarítmica.

204

A atividade mescla conhecimentos de funções exponenciais e funções

logarítmicas. É uma atividade que dá oportunidade de o estudante perceber

com mais propriedade que essas funções são inversas uma da outra e que sua

utilização, geralmente, aparece relacionada. É uma atividade que necessita

que o estudante tenha uma situação de referência em que possa se apoiar

para a construção da solução. No entanto, sabendo que o estudante está tendo

contato com esse tópico somente neste período escolar, a ajuda do professor

para encaminhar a solução em vários momentos dessa construção, será

necessária.

No quadro abaixo apresentaremos os tipos de tarefas solicitadas nas

atividades de número 27 a 37, uma vez que as atividades anteriores neste

capítulo referem-se a equações logarítmicas e as posteriores referem-se a

inequações logarítmicas.

Figura 91: Quadro de tarefas sobre funções logarítmicas

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A27 █

A28 █

A29 █ █

A30 █

A31 █ █

A32 █

A33 █ █

A34 █ █

A35 █

A36 █

A37 █ █

Fonte: A pesquisa

Pelo quadro acima vemos que um trabalho com construções gráficas de

funções logarítmicas é pouco exigido. Mesmo quando se trata de crescimento

ou decrescimento de funções dessa natureza, o conceito paira sobre o cálculo

de valores numéricos e na sequência dos resultados obtidos. A característica

marcante nestas atividades é o uso de resolução de equações logarítmicas.

Na unidade seguinte às funções logarítmicas, abre-se outro tópico para

tratar de maneira mais abrangente as operações com funções e o estudo de

outras propriedades sobre funções. Esta unidade que se intitula “Operações

205

entre Funções” pretende tratar outras funções não mostradas até então, assim

como funções obtidas por operações conjuntas entre funções, como funções

compostas, e suas propriedades. Logo na introdução é apresentado um quadro

definindo: soma de funções, diferença de funções, produto de funções e

quociente de funções. Mais a frente apresenta a composição entre funções de

tal forma que uma função h seja a composição da função f e g, onde, sendo f

de A em B e g, de B em C, então h será definido de A em C, onde

))(())(()( xfgxfgxh , mais uma vez as autoras utilizam a noção de função

enquanto covariação de grandezas ou funções numéricas a variáveis

numéricas sem explicitar o que representam as notações A, B e C. A noção

intuitiva de conjunto não é introduzida pelas autoras. Nesse caso, observamos

que segundo Vergnaud (1999 apud CHEVALLARD, 2002) podemos considerar

que utilizar essas representações sem as respectivas definições pode

corresponder a uma desestabilização que prejudica a aprendizagem, pois as

noções representadas não fazem parte da zona de desenvolvimento proximal

dos estudantes uma vez que os mesmo desconhecem as noções em jogo.

A apresentação seguinte trata de ideia de injeção, sobrejeção e bijeção.

Categorias assumidas pelas funções de acordo com suas propriedades

relativas à associação dos elementos do domínio da função e os elementos do

contradomínio. Após alguns exemplos e exercícios, entre em pauta a inversão

de funções, afirmando que toda função bijetora assume uma função inversa. A

seguir trata de funções definidas por partes, onde, entre esses tipos de funções

aparece a função módulo.

A grande parte das atividades apresentadas para a resolução por parte

dos estudantes neste capítulo é de cunho técnico, isto é, exige principalmente

o nível de conhecimento técnico segundo a definição de Robert (1997).

Pouquíssimo refere-se a situações contextualizadas e as tarefas estão mais

relacionadas às operações entre funções. Tomaremos, para uma análise mais

segura, a atividade 2 que trata da uma operação entre funções, mas que

espera do estudante, mais do que o conceito de operações entre funções, mas

sim, operações entre números racionais na forma fracionária.

206

Figura 92: Atividade sobre operações com funções

2. Resolva a equação x

cgxf )()( , sendo 3)( xxf e

106

30)(

2

xxxg .

Fonte: SMOLE e DINIZ, 2010, vol. 1, p. 215

A atividade consiste em substituir na equação fornecida as expressões de f(x) e g(x), obtendo dessa maneira uma equação cúbica, simplificável a uma quadrática, a qual, encontrando suas raízes, encontra-se a solução à questão.

Tarefa T1 – Resolver uma equação.

Técnica

Substituir f(x) e g(x) por suas expressões na equação dada, simplificar a expressão, obtendo um produto de um monômio do primeiro grau por um trinômio do 2º grau. Encontrar suas raízes, verificar se essas raízes dão condição de existência à equação inicial e expor os resultados.

Tecnologia

Se Za e Zb , então Qb

a , caso 0b .

Sendo 023 cxbxax , então uma raiz da equação é nula e as

outras são obtidas da expressão 02 cbxax .


Resolução de equações. Verificação da existência da equação dado um valor conhecido.


Conceito de denominador não nulo. Raízes de equações quadráticas.


Registro algébrico. Tratamento de equações algébricas.


Orientar o estudante a colocar o valor de x em evidência, transformando a equação cúbica numa equação quadrática, encontrando suas raízes. Orientar o estudante a experimentar as três raízes obtidas na equação cúbica, na equação inicial para verificar a condição de existência.


Substituir as expressões relativas às funções na equação dada, fazer as devidas simplificações, resolver a equação cúbica obtida e verificar se as três raízes encontradas resolvem a equação inicial.


Nível técnico em relação à substituição de valores na equação e em relação à simplificação e resolução de equações. Nível disponível em relação à resolução de equação cúbica incompleta. Nível disponível em relação à verificação das raízes para constatar a condição de existência.

Apesar de ser uma tarefa que exija um nível bastante técnico por parte

do estudante, tanto para a substituição da expressão relativa às funções na

equação dada, o estudante poderá ficar com dúvidas em três momentos.

Provavelmente no momento de simplificação da expressão que exige eliminar

alguns denominadores devido à igualdade por zero. Duvidas no momento em

que aparece a equação cúbica e o estudante não encontra uma situação de

referência para a sua solução. E possivelmente no momento em que o

estudante apresenta as três raízes (0, 4, -7) como solução, não verificando que

207

o valor 0 não pode ser aplicado na equação inicial. Logo, é uma atividade que

exige bastante o auxílio do professor, mas é uma tarefa que ajuda a fixar

alguns conhecimentos relativos à articulação funções e equações.

O tema sobre funções será retomado somente no volume 2, em dois

momentos. Na unidade 2 com o tópico “Funções trigonométricas: definição,

periodicidade e gráfico” e no volume 4 com o tópico “Funções trigonométrica da

soma”.

A unidade 2 do volume 2 inicia com um texto sobre as provas de

ciclismo e as inclinações das pistas, onde aponta que a trigonometria, em

forma de funções, deve trazer algumas respostas sobre cálculo dessas

inclinações. Diz também que o estudo de funções trigonométricas será muito

útil em outras disciplinas como a Física. Na sequência toma o ciclo

trigonométrico para caracterizar um ponto P que o descreve, apontando que o

seno do ângulo formado pelo raio vetor OP com o eixo x, no sentido horário a

ordenada de P, onde O é o centro do plano cartesiano. Daí passa a definir a

função seno da seguinte forma: “Função seno (sen) é a função, de IR em IR,

que a todo número associa a ordenada do ponto P, imagem de no círculo

trigonométrico;” (SMOLE e DINIZ, 2010, vol. 2, p. 32).

Em seguida mostra os casos onde a função seno assume os valores 0, 1

ou -1. Trabalha em seguida com os sinais da função. Passa a mostrar o seno

para alguns arcos notáveis. Trata o caso do seno do oposto de um número. Em

seguida apresenta o seno dos arcos côngruos e a periodicidade da função

seno. Todas essas definições são apontadas sobre o ciclo trigonométrico, de

forma bastante técnica e direta. Não há situações contextualizadas neste

intervalo. Somente depois dessas apresentações são realizados alguns

exercícios resolvidos e são fornecidos exercícios para os estudantes.

A apresentação da função cosseno é feita da mesma maneira, apenas

trocando, na definição, que o cosseno (cos) associa todo número real à

abscissa do ponto P. A sequência das propriedades e casos especiais tratados

para o seno são exatamente iguais para o cosseno.

Antes de entrar no estudo da função tangente, mostra-se a relação

fundamental da trigonometria, usando para isso, o ciclo trigonométrico e a

abscissa e a ordenada do ponto P.

208

Para definir a função tangente, é preparado o ciclo trigonométrico com a

reta T que o tangencia no ponto de coordenada A(1, 0), sendo U a intersecção

do prolongamento raio vetor que liga o centro O do plano cartesiano ao ponto P

no ciclo. Dessa forma, a definição dada nesta obra é a seguinte: “Função

tangente (tg) é a função, de R em

ZkkR ,2

, que a todo número

associa a ordenada do ponto T, intersecção de AU com OP , onde P é a

imagem de no círculo trigonométrico.” (ibid., vol. 2, p. 46).

Na sequência, os mesmos tratamentos dados ao seno e ao cosseno

também são feitos com a tangente. Apresenta os casos particulares que tg de

0º e de 180º é nula. Mostra os sinais da tangente, valores da tangente para

arcos notáveis, tangente do oposto de um número, de arcos côngruos,

periodicidade, domínio e imagem por meio da associação entre o ostensivo de

representação ciclo trigonométrico e o ostensivo de representação gráfico. No

estudo desse tema não são propostos problemas contextualizados e os

exercícios de exemplos são deixados para o final do capítulo.

O estudo dos gráficos das funções seno, cosseno e tangente é realizado

com a utilização de registro em forma de tabela que organiza os valores dessas

funções para os arcos notáveis, tomados visualmente sobre o ciclo

trigonométrico. Assim, esses pontos (x, f(x)) são transportados para um plano

cartesiano que tem em sua abscissa os valores dos arcos e na ordenada o

valor da função, mostrando por meio desse registro de representação, com

curvas contínuas, as formas gráficas dessa função. Daí mostra que as funções

seno e cosseno são limitadas, com valores entre -1 e 1. Sugere que o

professor mostre aos estudantes a representação gráfica dessas funções

usando um programa gráfico no computador.

Um exemplo que tomamos para mostra a forma de trabalho do livro é a

atividade 72, que exige que o estudante determine o período, o conjunto

imagem e faça um esboço do gráfico da função dada.

209

Figura 93: Atividade sobre funções trigonométricas

72. Determine o período e o conjunto imagem e esboce o gráfico de cada

função.

a)

42cos)(

f

b) 2cos3)( f

c) 2

cos2)(

f

Fonte: SMOLE e DINIZ, 2010, vol. 1

A atividade pretende verificar se o estudante fixou os conhecimentos sobre a função cosseno.

Tarefa T7 – Representar um gráfico cartesiano. T10 – Encontrar informações e/ou propriedades em expressões algébricas.

Técnica

Tomar os argumentos das funções apresentadas e verificá-los

percorrendo um intervalo de comprimento 2, determinando os extremos. Representar as funções graficamente.

Tecnologia Sendo o período de cos igual a 2, então )cos( BA será tal que

01 BA e 22 BA , e o período será 21 .


Resolução de sistema de equações do 1º grau.


Conceito de período de funções seno e cosseno.


Registro algébrico. Tratamento de expressões algébricas.


Indicar a técnica a ser utilizada para a determinação do período, uma vez que o texto teórico não fornece uma fórmula explícita para a determinação do período.


Utilizar a técnica exibida pelo professor como situação de referência para resolver o sistema de equações do 1º grau, encontrando o período solicitado pela questão. Construir e interpretar o gráfico da função.


Nível disponível em relação à determinação do período, mas mobilizável pelo professor como exemplo explícito. Nível técnico na resolução do sistema de duas equações do 1º grau e na diferença dos resultados do sistema para obter o período solicitado. Mobilizável para a construção do gráfico e disponível para a interpretação das propriedades da função, em particular, do conjunto imagem.

Essa atividade solicita o período de uma função com argumento mais

complexo do que aquele fornecido no texto teórico que apenas apresentava a

função cosseno para o número , sendo neste caso o período igual a 2.

Somente nos exercícios resolvidos é que há uma situação de referência

210

calculando o período para uma função com argumento mais complexo. O

professor então deve mostrar esse exemplo para que o estudante tome como

referência para resolver a questão, uma vez que não foi fornecida a fórmula

comum em outras obras, que o período T é tal que A

T2

, em )cos( BA . A

construção do gráfico das funções assim como a interpretação dos mesmos

exige que os estudantes disponham de situações de referência.

O quadro abaixo apresenta os tipos de tarefas solicitadas nas atividades

dessa unidade. Tomamos somente as tarefas que, iniciando em 2, aumenta de

7 em 7, de forma a não tomarmos muito espaço desse trabalho com quadros

extensos.

Figura 94: Quadro de tarefas sobre funções trigonométricas

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

A2 █

A9 █

A16 █

A23 █

A30 █

A37 █

A44 █

A51 █

A58 █

A65 █ █

A72 █ █

Fonte: A pesquisa

O quadro acima reflete a tendência com que essa unidade do livro

solicita as tarefas nas atividades. Em geral, as atividades são técnicas e

solicitam que se resolvam equações ou encontre valores numéricos para as

funções trigonométricas.

Passando à unidade 4, onde a obra trata de funções trigonométricas da

soma, vemos que as relações apresentadas aí são o que alguns autores

chamam de “identidades trigonométricas”. Não notamos nenhum trabalho com

domínio ou imagem da função, nem com as representações gráficas ou

situações contextualizadas que indicassem um tratamento restrito a funções.

211

Como não utilizaremos dados dessa unidade para fazermos comparações com

outras obras, não faremos um estudo mais detalhado neste ponto.

Analisamos, portanto, dois livros do ensino médio. Um mais antigo e

outro mais recente. Passaremos então a analisar uma coleção de livros

utilizados no sistema de ensino francês para que possamos comparar seus

conteúdos e a forma de trabalho, tanto com os livros nacionais anteriormente

analisados quanto com os Cadernos que fazem parte do programa de ensino

paulista.

Já vimos nas análise dos documentos oficiais, que o currículo oficial

francês se difere bastante daquele aplicado no Brasil e, portanto, do aplicado

no estado de São Paulo. Essa diferença é mais evidente quando observamos

as classes de première e terminale. Portanto, nossa análise se restringirá a um

livro do troisième e um livro do seconde, que correspondem, respectivamente

ao 9º ano do ensino fundamental e à 1ª série do ensino médio brasileiros.

7.2.4 – Mathématiques – Colletion Phare. Brault, Roger et al. Classe de

troisième

O exemplar analisado neste trabalho é o “Livro do Professor” versão de

correção dos exercícios. A escolha deste livro se deve ao fato de ser a única

obra disponibilizada na internet, devido à dificuldade de encontrar material de

publicações recentes em livrarias brasileiras. Nesta versão, os conteúdos são

apresentados de forma resumida, mas abrangem todos os temas apresentados

no sumário e igualmente à versão completa do “Livro do Professor”. Os

conteúdos abordados são exatamente aqueles sugeridos no programa nacional

francês para a classe de troisième, mudando somente a ordem dos eixos

estruturantes. No livro em questão essa ordem é:

Números e Cálculos.

Organização e Gestão de Dados. Funções.

Geometria.

Grandezas e Medidas.

212

Na introdução do livro os autores indicam que

[...]os objetivos gerais desse livro são validar e consolidar as

estruturas e aquisições dos métodos e do modo de

pensamentos característicos da Matemática das séries

precedentes. Desenvolver a capacidade de utilizar a

Matemática em diferentes domínios (vida cotidiana, outras

disciplinas). Ao final dessa série os estudantes devem possuir

uma quantidade maior de saberes e visão.

(BRAULT et al, 2008, p. 4).

Os capítulos de 1 a 6 pertencem ao eixo “números e cálculos” e

envolvem o estudo de cálculo com potências, com raízes, com produtos

notáveis, equações e inequações. O estudo de função inicia-se no capítulo 7,

primeiro capítulo do eixo “organização e gestão de dados, funções”. É

interessante notar que o tema função é estudado num eixo que trata também

de gestão de dados. Não é comum estudarmos estes assuntos de forma

coligada no Brasil.

No início do capítulo, os autores indicam que a competência apontada

como necessária a ser desenvolvida é a de que o estudante deve “determinar a

imagem de um número por uma função determinada por uma curva, uma

tabela de dados ou uma fórmula” (Ibid., p. 115).

O primeiro exemplo sobre função apresenta uma “máquina” de

transformar números. Os autores apresentam o exemplo de uma máquina que

transforma um valor de entrada. Dessa forma aproveitam o exemplo para

introduzir a notação de função.

A partir do segundo exemplo, os vocabulários “imagem” e

“antecedentes” são introduzidos. Atividades apresentando uma fórmula do tipo

2:

2xxf , cuja expressão é a representação da seguinte proposição:

Se as diagonais de um quadrilátero AEBF se encontram no ponto médio,

são perpendiculares e têm a mesma medida, então o quadrilátero AEBF

é um quadrado. Chamando de x o comprimento da diagonal, a área do

quadrado é da forma 2

2x.

213

A tarefa solicita que os estudantes encontrem as áreas quando são

dadas algumas medidas de AB e em seguida que preencham uma tabela,

como a apresentada a seguir. Trata-se aqui de uma situação que articula os

conhecimentos de geometria trabalhados em anos anteriores com o novo

conhecimento, a noção de função.

Figura 95: Quadro da relação comprimento da diagonal x área do quadrado

Fonte: Brault et al, 2008, p. 116

As atividades vão se seguindo, e o conceito de função vai se definindo

como funções numéricas de valores reais. A definição não tende a conceber a

função como covariação de grandezas, como se concebe no estudo de funções

pelo Caderno e que geralmente também se utiliza pelos Livros Didáticos

brasileiros.

Mesmo que em outros exemplos na obra francesa são propostas

situações problemas que representam relações entre grandezas utilizando o

conceito de função como covariação de grandezas, não é dessa forma que o

conceito é introduzido. Portanto, os estudantes possivelmente percebem na

introdução desse estudo, que função é uma operação matemática que associa

um número (provavelmente real) a um resultado (também possivelmente real) a

partir de uma lei de formação. É depois, no uso dessa ferramenta matemática,

os estudantes a vão utilizando para modelar situações contextualizadas.

Na sequência da obra, é introduzido a notação )(xf e )3(f , a unicidade

da imagem, a representação gráfica associando no plano cartesiano os pares

da forma )(, xfx .

Ao exibir o gráfico de determinadas funções, a associação com os

problemas de Física, como velocidade e aceleração começa a ser articulada

com os conceitos de função. Neste ponto, vai-se estabelecendo o duplo sentido

de função: função numérica a valores reais e função como covariação de

grandezas.

214

Uma série de atividades se seguem para que os estudantes preencham

tabelas e construam os gráficos de algumas funções. Há também tarefas que

solicitam o valor numérico de funções e a operação oposta, ou seja, dado a

expressão e o seu valor numérico, os estudantes devem encontrar os

antecedentes que geraram tal valor, devem resolver uma equação do tipo

cxf )( .

O capítulo 8 estuda especificamente as funções lineares. O título desse

capítulo é “Proporcionalidade e Funções Lineares”. Os objetivos desse

capítulo, segundo os autores, são “determinar a imagem de um número dado

ou o antecedente de um número dado por meio de uma expressão. Determinar

a expressão algébrica de uma função linear. Representar graficamente uma

função linear” (Ibid., p. 127).

Parte das atividades fornece tabelas de valores que os estudantes

devem completar e, a partir desses valores, encontrar a expressão algébrica da

função e fazer sua representação gráfica. Em outras atividades são fornecidos

as representações gráficas para que os estudantes encontrem as expressões

correspondentes. Após esses exercícios, os autores demonstram as

propriedades das funções lineares e as associam à relação de

proporcionalidade.

A demonstração da linearidade parte da seguinte suposição:

Seja axxf )( ,

)()(..).()( 21212121 xfxfxaxaxxaxxf

)(.....).( 1111 xfkxakxkaxkf

Em seguida faz a interpretação gráfica do coeficiente da função linear.

Passa a mostrar alguns exercícios sobre aumento percentual e sua relação

com as funções lineares. Por exemplo, a função f(x)=1,05x, representa um

aumento de 5% no valor de x.

Uma das atividades que aparece corrigida neste capítulo diz respeito ao

preço unitário de DVD e os preços associados a quantidades maiores. Os

autores solicitam que os estudantes preencham uma tabela de preços para

algumas quantidades de DVD e pedem ainda que os estudantes expressem a

fórmula que permite calcular o preço. Depois solicitam que os estudantes

215

utilizem a fórmula para calcular o seu resultado para x = 2,5 e para x = -3.

Depois pedem que os estudantes comentem o resultado.

A atividade é bastante completa e faz com que os estudantes repensem

em todos os fatores que interferem na função linear e na sua associação com

os problemas contextualizados, ou seja, com sua modelagem. Além de ser

uma atividade fácil de ser trabalhada em sala de aula, é uma atividade que fixa

os conhecimentos sobre o conceito de função linear e colabora para que os

estudantes verifiquem a relação de proporcionalidade existente nas funções

lineares.

Supõe-se aqui que os autores observam no livro texto a importância do

professor em verificar se os estudantes percebem que, para x não inteiro,

como, por exemplo, 2,5, apesar de ser possível calcular matematicamente os

resultado, uma vez que a função linear está definida no conjunto dos números

reais, o resultado não faz parte do contexto da questão. Também para o valor

de x = -3 que, sendo negativo, não representa quantidade de DVD possível

numa situação real.

O capítulo 9 inicia o estudo das funções afins. Segundo os autores, os

objetivos desse estudo são “que os estudantes possam determinar a imagem

de um número dado ou o antecedente de um número dado por uma função

afim. Determinar uma função afim dados dois números e suas imagens.

Representar graficamente uma função afim. Ler a representação gráfica de

uma função afim, podendo determinar as imagens ou os antecedentes” (Ibid.,

p. 145).

Um comentário no início do capítulo anuncia que o estudo de funções

afins deve permitir analisar situações que não se revelam como proporcionais,

mas que modelam uma função cuja representação gráfica seja uma reta.

Segundo os autores, esse pode ser um ponto de partida para o estudo das

funções afins. Nestes casos, a proporcionalidade de x é acrescida de uma

constante b. Assim a notação para a função afim será baxxf : . O texto

ainda aproveita para alertar que a função linear é um caso particular da função

afim. A relação y = ax + b coloca em correspondência os valores de x e y, e as

coordenadas (x, y) fornecem um ponto M pertencente ao gráfico da reta

correspondente ao gráfico de f. Assim, o coeficiente “a” é chamado de

216

coeficiente diretor e fornece a direção da reta enquanto que o coeficiente “b” é

a ordenada do ponto de abscissa nula.

Os autores fazem questão de mostrar as regularidades e as diferenças

entre a função linear e a função afim, a começar pelo fato de que, para a

função linear, f(0) = 0, o que não ocorre com a função afim.

Uma questão bastante interessante apresentada na obra para mostrar a

regularidade entre esses dois tipos de função é a modelagem de uma situação

de pagamento de um suplemento por atraso. Se o valor normal de uma fatura é

de 40 €, e o suplemento por atraso é de 0,3 € por dia. Assim, o suplemento é

proporcional aos dias de atraso, mas o valor da fatura não o é. Com este

exemplo, os autores aproveitam para fixar a seguinte propriedade: O

crescimento de f(x) é proporcional ao crescimento de x, com coeficiente de

proporcionalidade a.

Figura 96: Relação de proporcionalidade do crescimento de f(x)

Fonte: Brault et al, 2008, p. 129

Em seguida são estudadas as representações gráficas das funções

afins. Os gráficos são acrescidos de b unidades em relação à função linear

f(x) = ax.

São apresentadas inúmeras atividades para fixar a aprendizagem. Os

níveis de dificuldades são diversos. Os exercícios são divididos por sub-temas

como “eu pratico falando”, “praticando”, “meu recorde”, “me aprofundando”,

“dever de casa” e “procurando”.

A obra também incentiva o uso de calculadoras gráficas e softwares de

representações gráficas. Também apresenta alguns exercícios que recriam as

atividades práticas que necessitam do uso da Matemática, como problemas de

engenharia, economia, entre outros.

O capítulo 10 e os demais tratam de outros temas como estatística,

probabilidades, teoremas de geometria, estudo de ângulos, etc. Assim, o

estudo de funções na classe de troisième se resume ao estudo de funções

lineares e afim.

217

Não há uma diferença acentuada na forma geral de apresentação de

funções lineares e afins se comparada como o estudo feito pelos livros

brasileiros do 9º ano. O que é bastante notado é que, normalmente os livros

brasileiros introduzem um princípio do estudo das funções quadráticas no 9º

ano, enquanto que o programa francês deixa esse estudo para as séries do

lycée.

Após ter analisado uma obra da classe de troisième, que corresponde à

classe do 9º ano do ensino fundamental no sistema brasileiro, passaremos a

analisar um livro da classe de seconde, correspondente à classe da 1º série do

ensino médio.

7.2.5 – Declic Mathématiques. Beltramone, Jean-Paul, et al. Classe de seconde

Da mesma forma que o exemplar que utilizamos na análise da classe de

troisième, o exemplar tratado aqui também é o “Livro do Professor” versão de

correção dos exercícios e a escolha foi realizada pela mesma razão. Nesta

versão, os conteúdos são apresentados de forma resumida, mas abrangem

todo o conteúdo apresentado no sumário e igualmente à versão completa do

“Livro do Professor”. Os conteúdos apresentados exploram de forma mais

abrangente aqueles sugeridos pelo programa oficial francês.

A obra inicia o estudo de funções no primeiro capítulo. Em sua

introdução os autores apontam as intenções ao escrever este capítulo. Dessa

forma eles apontam que pretendem colocar em prática o vocabulário

necessário para o estudo de Matemática, ampliando aquele desenvolvido no

collège. Devem definir função sobre um intervalo de forma a precisar o conceito

de função. E também concentrar o trabalho sobre o sentido de variação das

funções para torná-las ferramentas eficientes de comparação.

A primeira atividade fornece como exemplo a exploração de curvas, de

forma a observar a variação da função, os valores máximos e mínimos, as

imagens e os antecedentes, o vocabulário, etc. Outros exemplos e atividades

que se seguem apresentam funções definidas sobre intervalos. O exemplo a

218

seguir solicita que os estudantes indiquem em qual intervalo se encontra o

número escrito na linha.

Figura 97: Noção de intervalos sobre IR

Fonte: Beltramone, 2010, p. 9

Observamos aqui que os autores utilizam funções de variáveis reais a

valores reais. Para estudar o sentido de variação introduzem a noção de

intervalo sobre IR e dirigem o trabalho dos estudantes para a identificação dos

números naturais, inteiros, racionais e irracionais nos respectivos intervalos.

Há problemas também que envolvem conjecturas para que os

estudantes testem e confirmem certas situações utilizando seus conhecimentos

prévios de geometria. As conjecturas são explicadas por meio do conceito de

função para mostrar o resultado favorável à situação. Na sequência são

propostas demonstrações que articulam conhecimentos geométricos com os

novos conhecimentos relacionados à noção de função.

Figura 98: Teste de conjecturas

Fonte: Beltramone et al, 2010, p. 10

219

Os problemas vão associando situações que envolvem áreas, volumes,

compra, venda, etc., ao estudo de funções e suas propriedades, tratando de

máximos, mínimos, crescimentos e decrescimentos, valor da função, etc.

O Capítulo 2 trata de equações algébricas e equações. É um capítulo

curto que estuda a associação de problemas a equações na forma polinomial,

racional ou outras. Motiva a resolução de equações de forma algébrica ou

gráfica.

O capítulo 3 retorna ao estudo de funções. O título desse capítulo é

“funções de referência”. Nesse capítulo serão estudadas as funções

polinomiais do primeiro grau, ou seja, funções da forma baxx , as funções

quadráticas 2xx e a função inversa

xx

1 , inclusive suas representações

gráficas.

O estudo da variação das funções é efetuado por meio de tabelas e

visualização gráfica.

Muitos exercícios são fornecidos de maneira que os estudantes possam

ter uma gama de material para fixar seus conhecimentos. Há problemas

técnicos, fornecidos para que os estudantes desenvolvam os procedimentos de

cálculos, e problemas de aplicação para que os estudantes coloquem em

prática seus conhecimentos considerados mobilizáveis ou disponíveis.

O capítulo 4 se dedica ao estudo de funções polinomiais do 2º grau, ou

seja, funções da forma cbxaxx 2 . O estudo envolve mostrar o

crescimento ou decrescimento dessa função em cada intervalo de seu domínio,

em função do coeficiente a. Trata também a forma canônica 2

xx

para obter as coordenadas do vértice e a variação de sua curva. Também é

explorado o eixo de simetria da parábola, gráfico de f, para obter a abscissa do

vértice a partir de dois pontos da parábola com mesma ordenada.

No mesmo capítulo são estudadas as funções homográficas, ou seja, as

funções racionais.

Segue os exemplos e exercícios da mesma forma que os capítulos

antecedentes, incluindo exercícios técnicos e problemas de aplicação.

O capítulo 5 trata de resolução de inequações. Esse capítulo, apesar de

não ser específico do estudo de funções, objetiva estudar as desigualdades

220

dos tipo kxf )( e )()( xgxf . O uso de programas gráficos é bastante

incentivado para que os estudantes visualizem os resultados das inequações

graficamente.

O Capítulo 6 inicia o estudo de trigonometria no ciclo trigonométrico. O

capítulo 7 trata de estatística. O capítulo 8, sobre probabilidades. O Capítulo 9

trata das bases da geometria plana que, comparada com os temas que

trabalhamos nos livros brasileiros, referem-se a geometria analítica e

coordenadas no plano. O capítulo 10 tem como título a geometria no espaço, e

é uma continuação da geometria estudada no capítulo 9, mas também trabalha

os pontos de vista, as planificações e as posições relativas de retas e planos

no espaço.

O capítulo 11 trata do estudo de retas no plano. É um estudo analítico

das equações de retas no plano cartesiano. O capítulo 12 inicia o estudo de

vetores.

Pelo que verificamos nos capítulos que estudam funções, o conceito

desse objeto é concebido como funções numéricas de variáveis reais.


première

Da mesma forma quer os exemplares que utilizamos na análise da

classe de troisième e seconde, o exemplar tratado aqui também é o “Livro do

Professor” versão de correção dos exercícios. Nesta versão, os conteúdos são

apresentados de forma resumida, mas abrange todo o conteúdo apresentado

no sumário e igualmente à versão completa do “Livro do Professor”.

O capítulo 1 retorna o estudo de funções polinomiais do segundo grau,

mais especificamente o estudo da forma canônica. Procura também mostrar a

forma mais adequada para tratar esse tipo de funções do ponto de vista da

resolução de problemas: fatorada, desenvolvida ou canônica. O estudo da

função polinomial do segundo grau é feito sobre o conjunto dos números reais.

Estuda-se a variação de sinal da função, seus intervalos de crescimento, seu

gráfico e suas propriedades gráficas ou algébricas. Uma parte do capítulo se

221

dedica a estruturar e escrever algoritmos computacionais para encontrar raízes

ou calcular valores de funções polinomiais do segundo grau.

Este estudo é um complemento do estudo das funções polinomiais do

segundo grau realizado na classe de seconde.

O capítulo 2 estuda as funções raiz quadrada e a função módulo.

Deseja-se que os estudantes compreendam as variações de funções xx e

xx suas representações gráficas. Demonstra-se que a função raiz quadrada

é crescente no intervalo [0, + ]. Procura mostrar e justificar as posições

relativas entre as curvas das funções apresentadas neste capítulo com as das

funções xx e 2xx .

O capítulo 3 trata de derivação das funções já estudadas. O capítulo 4

estuda mais especificamente as variações de funções. Neste caso o estudo

implica em operações com funções como soma de funções, produto de funções

por constantes e por funções, raiz quadrada de funções e inverso de funções.

O capítulo 5 trata de sequências numéricas. O capítulo 6, sobre

sequências aritméticas e geométricas. Estudando estas sequências nos

capítulos 5 e 6 os autores vão representar graficamente algumas sequências e

vão aproveitar para definir a função exponencial.

O capítulo 7 tem como título a geometria plana, e é um estudo sobre

geometria analítica.

O capítulo 8 trata de trigonometria no ciclo trigonométrico e o estudo de

equações trigonométricas em IR. Neste capítulo os autores aproveitam para

definir e estudar as funções trigonométricas.

O capítulo 9 é sobre produto escalar de vetores. O capítulo 10, sobre

estatística. O capítulo 11, sobre probabilidade e o capítulo 12 sobre lei

binomial.


terminale

Da mesma forma quer os exemplares que utilizamos na análise da

classe de troisième, seconde e première, o exemplar tratado aqui também é o

222

“Livro do Professor” versão de correção dos exercícios. Nesta versão, os

conteúdos são apresentados de forma resumida, mas abrangem todo o

conteúdo apresentado no sumário e igualmente à versão completa do “Livro do

Professor”.

O capítulo 1 inicia com o estudo de sequências, seus limites, as

operações sobre limites, sequência majoritárias, minoritárias, etc. O capítulo 2

trata de limites e funções contínuas.

O capítulo 3 tem como título “complementos sobre as funções

numéricas”. Inicia com o estudo de derivadas das funções raízes quadradas e

trata também de derivadas de funções compostas. Ainda no mesmo capítulo

aborda as funções trigonométricas e trata também de suas derivadas.

O capítulo 4, que trata da função exponencial, inicia procurando

demostrar a existência e a unicidade de uma função cuja derivada sobre IR seja

igual ao valor de sua função em cada ponto e que tem o valor 1 em 0. Aqui

vemos uma definição parecida àquela que vimos na obra de Stewart (2011),

onde, por meio de taxa de variação, procura uma função exponencial numa

determinada base, que o valor dessa taxa para x = 0 seja exatamente 1.

O capítulo 5 fará o estudo das funções logarítmicas neperianas, como a

função inversa da função exponencial de base e.

O capítulo 6 inicia o estudo de cálculo integral. O capítulo 7, o estudo

dos números complexos. O capítulo 8 sobre retas e planos no espaço – um

estudo vetorial. O capítulo 9, sobre produto escalar do espaço.

O capítulo 10 estuda as probabilidades condicionais. O 11 a lei das

probabilidades contínuas. O capítulo 12 estuda as amostragens e estimação. O

capítulo 13 estuda as divisibilidades e as congruências. O capítulo 14 estuda o

PGCD (máximo divisor comum) e os números primos entre si. E finalmente o

capítulo 15 estuda as matrizes.

Podemos verificar que o estudo de funções, principalmente nas classes

do première e do terminale, relativas às classes da 2ª e 3ª séries do ensino

médio, é mais aprofundado do que temos nos materiais didáticos utilizados no

Brasil. Observamos aqui que no nosso estudo consideramos as classe

científicas que correspondem aqueles em que no première e no terminale

inicia-se a formação para os cursos superiores de ciências exatas.

223

Verificamos que o estudo de algumas funções está inserido no estudo

de outros conceitos, como é o caso das funções exponenciais. Também

diferente dos estudos nos contextos brasileiros é o tratamento das funções

exponenciais e logarítmicas que apresentam durante o tratamento desses

tópicos, os conceitos de derivadas. O estudo da função logarítmica é iniciado a

partir da função exponencial de base e, tratando então da função logarítmica

natural.

A comparação, no entanto, entre o estudo de funções nos materiais

didáticos franceses e nos brasileiros, é que o estudo da noção de função inicia-

se no 9º ano do ensino fundamental ou nas classes de troisième, são

retomados na 1ª série do ensino médio ou classe de seconde. Mas a partir daí

as diferenças vão se acentuando. Enquanto que no Brasil as funções

exponenciais e logarítmicas são estudadas na 1ª série do ensino médio e

iniciam com funções de base a qualquer, geralmente 2, 3, 2

1 e

3

1, na França,

esse estudo se inicia mais tarde, porém após ter introduzido o conceito de

derivadas e quando as funções exponenciais e logarítmicas são definidas, já se

inicia estas funções com base natural e se trata também de suas derivadas

demonstrando as condições de existência e unicidade dessas funções.

224

225

8 – ANÁLISE DAS AVALIAÇÕES EM LARGA ESCALA

Incluímos na análise das avaliações em larga o Sistema de Avaliação da

Educação Básica (SAEB) e o Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do

Estado de São Paulo (SARESP). Após apresentarmos um breve histórico sobre

essas avaliações, partiremos para as análises de algumas questões relativas

ou associadas ao conceito de função que a compuseram. O objetivo é verificar

se os resultados gerais ou específicos obtidos pelos estudantes da rede

estadual de educação sofreram alguma alteração após a introdução dos

materiais de apoio ao Currículo como os Cadernos do Professor e do Aluno.

As avaliações em larga escala tiveram impacto no Brasil com o Sistema

de Avaliação da Educação Básica (SAEB) no ano de 1990. No entanto, já no

ano de 1988 era criado o Sistema de Avaliação do Ensino Público de 1º Grau

(SAEP) com avaliações aplicadas no Paraná e Rio Grande do Norte, mas a

falta de recursos impediu sua implementação (BONAMINO e FRANCO, 1999

apud SILVA, 2010). No período precedente a essa década, muitos educadores

discutiam a filosofia da educação e orientavam sua metodologia, como por

exemplo, Passeron, Baudelot & Establet, Gramsci, Snyders, Saviani, Nóvoa,

Perrenoud, estes apontados por Souza (1998).

Aproveitaremos os trabalhos citados acima para fazer uma pequena

descrição dos sistemas de avaliação nacional no Brasil e estadual em São

Paulo, de maneira a situar os resultados às mudanças no contexto educacional

brasileiro e paulista. A partir disso, analisamos os resultados das avaliações

SAEB e SARESP, e fazemos as possíveis comparações, principalmente

quando essa comparação nos permitir verificar as relações de ensino e

aprendizagem do conceito de função.

8.1 – Sistema de Avaliação da Educação Básica – SAEB

O SAEB nasce em 1990 com o objetivo de diagnosticar o sistema

educacional brasileiro e fornecer um indicativo sobre a qualidade de ensino

ofertado pelo ensino público brasileiro. A primeira edição contou com uma

amostra de escolas de 1ª, 3ª, 5ª e 7ª série das escolas públicas rurais nas

disciplinas de Língua Portuguesa, Matemática e Ciências. Este formato foi

mantido até o ano de 1993.

226

A partir de 1993, a aplicação deu-se a cada dois anos. Em 1995 iniciou-

se uma nova metodologia estatística de análise dos resultados, a chamada

Teoria de Resposta ao Item (TRI), podendo utilizar os resultados

comparativamente com os resultados das provas anteriores ou entre provas de

diferentes séries ou segmentos de ensino. Nesse ano também se iniciou a

avaliação das séries finais de ciclos: 4ª e 8ª séries do ensino fundamental e 3ª

série do ensino médio. Manteve-se ainda a análise por amostragem,

abrangendo diversas regiões e Estados da União, possibilitando uma

comparabilidade setorial.

Em 1997 e em 1999, os estudantes do ensino fundamental realizaram as

provas convencionais de Língua Portuguesa, Matemática e Ciências e os

estudantes do ensino médio tiveram acrescentadas as disciplinas de História e

Geografia.

Também em 1997 foi definida uma escala de proficiência para as provas

do SAEB. Esta escala de proficiência permitiu compor um índice denominado

Índice de Desenvolvimento da Educação Básica – IDEB. Índice este que busca

relacionar o desempenho dos estudantes e das unidades escolares com os

resultados do rendimento alcançado no SAEB. No quadro a seguir encontram-

se os valores obtidos na avaliação de 1997 na escala de proficiência criada

para esta avaliação.

Figura 99: Quadro de PROFICIÊNCIAS MÉDIAS – SAEB 1997

Séries Matemática Língua Portuguesa

4ª série EF 190,8 186,5

8ª série EF 250,0 250,0

3ª série EM 288,7 283,9

Fonte: Inep / MEC

A média obtida pelos estudantes da 8ª série (250, com desvio padrão

50) manteve-se como padrão para a comparação com as outras séries, assim

como comparação entre as aplicações do SAEB de anos posteriores.

A partir da média padronizada (250) e de meio desvio-padrão (25) o

Instituto Nacional de Estudo e Pesquisa Educacionais Anísio Teixeira (INEP),

responsável pela elaboração e aplicação do SAEB, estipulou a escala de

227

proficiência subdividida em quatorze níveis. A escala de Matemática é a

descrita a seguir.

Figura 100: Quadro da ESCALA DE PROFICIÊNCIAS – SAEB

Nível de Desempenho dos estudantes em Matemática

Valor na Escala de Proficiência EF

Valor na Escala de Proficiência EM

Nível 0 Abaixo de 125 -

Nível 1 125 a 150 -

Nível 2 150 a 175 -

Nível 3 175 a 200 -

Nível 4 200 a 225 -

Nível 5 225 a 250 -

Nível 6 250 a 275 -

Nível 7 275 a 300 250 a 300

Nível 8 300 a 325 300 a 325

Nível 9 325 a 350 325 a 350

Nível 10 350 a 375 350 a 375

Nível 11 375 a 400 375 a 400

Nível 12 400 a 425 400 a 425

Nível 13 - 425 ou mais

Fonte: Inep / MEC

A partir do ano de 2001 as provas passaram a ser aplicadas apenas nas

disciplinas de Língua Portuguesa e Matemática. E em 2005 houve uma

reestruturação subdividindo o SAEB em duas avaliações diferentes: a

Avaliação Nacional da Educação Básica (ANEB) e a Avaliação Nacional do

Rendimento Escolar (ANRESC), esta última conhecida como Prova Brasil. A

ANEB manteve o formado adotado anteriormente pelo SAEB enquanto que o

ANRESC passou a ser uma avaliação censitária.

Não havia uma norma do SAEB em elaborar relatórios e torná-los

públicos. Não havia uma sistemática padronizada que permitisse uma boa

comparação de resultados por região ou estado, focado em um segmento de

ensino ou por tipo de escola. Por exemplo, enquanto um quadro de resultados

apresenta as médias por estados, das escolas urbanas, exceto as federais, em

outro quadro os resultados por estados agrupam todos os tipos de escolas

(urbanas, rurais, federais, etc.) dificultando a comparação de dados (ver por

exemplo IDEB – Prova Brasil 2007 e SAEB – resultados de 1995 à 2005). Da

mesma forma, somente a partir do ano de 2011 o INEP disponibiliza relatório

228

de análise com exemplos de questões apontando seus descritores

(habilidades) com índices de respostas por alternativas das questões.

Assim, apresentamos abaixo os níveis de proficiência médios da União,

obtidos pelo SAEB, que usaremos apenas como comparativos com os índices

de proficiência do Estado de São Paulo obtidos com o SARESP. Faremos

então um comparativo mais aproximado com as questões do ano de 2011 da

prova Brasil, àquelas que utilizam habilidades voltadas ao trabalho com o

conceito de função com as questões de mesma natureza da prova do

SARESP.

Figura 101: Quadro dos Níveis de Proficiência no SAEB de 1995 a 2011. Matemática – Médias da União

1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011

8ª série EF 253,2 250 246,4 243,4 245,0 239,5 247,4 248,7 250,6

3ª série EM 281,9 288,7 280,3 276,7 278,7 271,3 272,9 274,7 273,9

Fonte: Brasil, 2007, 2010, 2012

Figura 102: Gráfico da Evolução dos Níveis de Proficiência em Matemática no SAEB

Fonte: A pesquisa

Podemos observar que, tanto na série final do ensino fundamental como

na do ensino médio, os atuais níveis de proficiência tiveram uma baixa desde

sua criação e implantação na década de 1990.

8.2 – Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo –

SARESP

Na mesma linha da Prova Brasil, a Secretaria de Estado da Educação

de São Paulo implanta, em 1996, o Sistema de Rendimento Escolar do Estado

220

240

260

280

300

1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011

8ª série EF

3ª série EM

229

de São Paulo (SARESP), sendo uma avaliação em larga escala aplicada

anualmente nas escolas da rede pública paulista. Sua finalidade é a de

diagnosticar a situação das escolas públicas do Estado de São Paulo e

fornecer subsídios para o trabalho dos gestores do ensino (avaliação

democrática5) e no monitoramento das políticas voltadas para a melhoria da

qualidade de ensino (avaliação autocrática6).

Desde sua implantação, o SARESP mudou as séries e as disciplinas

foco da avaliação. Atualmente e desde o ano de 2008, são avaliadas as 2ª, 4ª,

6ª e 8ª séries do ensino fundamental (hoje os atuais 3º, 5º, 7º e 9º anos do

ensino fundamental) e a 3ª série do ensino médio, nas disciplinas de Língua

Portuguesa e Matemática. E alternando de dois em dois anos, as disciplinas de

Ciências da Natureza e Ciências Humanas. As avaliações são sempre

censitárias nas séries determinadas em cada ano.

A partir do ano de 2008 as provas são elaboradas, tendo como

parâmetro uma matriz de competências e habilidades, baseada na então

recém-criada Proposta Curricular. Neste mesmo ano os resultados do SARESP

compõem o Índice de Desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo

– IDESP.

De maneira análoga ao SAEB, por meio dos resultados alcançados no

SARESP, os estudantes, a partir do ano de 2008, puderam ser classificados

em níveis de proficiência. De acordo com estes níveis foi possível compor

quatro níveis de desempenho (Abaixo do Básico, Básico, Adequado,

Avançado). A escala de proficiência segue a mesma métrica da escala de

proficiência do SAEB, onde se padroniza os valores da escala pela média 250,

com desvio padrão 50, equivalente à média e desvio padrão obtido pela 8ª

série no SAEB de 1997. Dessa forma, utilizando a mesma metodologia

estatística de análise de dados, a TRI, é possível a comparação entre os

resultados do SARESP e do SAEB.

Utilizando essa metodologia estatística, questões do SAEB, autorizadas

e disponibilizadas pelo Instituto Anísio Teixeira (INEP) do Ministério da

5 A avaliação democrática é aquela realizada para atender a necessidade de informação e

análise de uma dada comunidade sobre um programa educacional (SOUZA, 1998, p. 164). 6 A avaliação autocrática é desenvolvida por/para agências governamentais, tendo como

propósito a análise mais objetiva e rigorosa de políticas educacionais (SOUZA, 1998, p. 164).

230

Educação (MEC), e da mesma série, são incluídas na avaliação do SARESP.

Estes itens identificados como itens de ligação, permitem alinhar as duas

escalas. Da mesma forma, questões de anos anteriores à edição do SARESP

são utilizadas como itens de ligação permitindo alinhar as escalas de anos

diversos à aplicação. O mesmo se dá com questões de séries anteriores

incluídas como itens de ligação em séries posteriores. Dessa forma, a escala é

única, o que variam são os resultados dos estudantes sobre ela.

Figura 103: Quadro dos Níveis de Proficiência no Saresp

Níveis de Proficiência Descrição

Abaixo do Básico Os estudantes, neste nível, demonstram domínio insuficiente dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para o ano/série escolar em que se encontram.

Básico Os estudantes, neste nível, demonstram domínio mínimo dos conteúdos, competências e habilidades, mas possuem as estruturas necessárias para interagir com a proposta curricular no ano/série subsequente.

Adequado Os estudantes, neste nível, demonstram domínio pleno dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para o ano/série escolar em que se encontram.

Avançado Os estudantes, neste nível, demonstram conhecimentos e domínio dos conteúdos, competências e habilidades acima do requerido no ano/série escolar em que se encontram.

Fonte: SÃO PAULO, 2009h

A diferença no enquadramento dos resultados alcançados pelo

SARESP, comparativamente com os do SAEB está apenas no agrupamento

dos níveis de proficiência. Enquanto o SAEB agrupa os estudantes em níveis

classificados de 0 a 13, o SARESP classifica em quatro níveis já identificados

acima.

A seguir apresentamos os valores de proficiências agrupados em cada

um dos níveis apontados pela Matriz de Proficiência para o SARESP.

Figura 104: Quadro dos Níveis de Proficiência em Matemática

Níveis de Proficiência

5º ano EF 7º ano EF 9º ano EF 3ª série EM

Abaixo do Básico

< 175 < 200 < 225 < 275

Básico 175 a 225 200 a 250 225 a 300 275 a 350

Adequado 225 a 275 250 a 300 300 a 350 350 a 400

Avançado >275 >300 >350 >400

Fonte: São Paulo, 2009h

231

Um quadro descritivo das disciplinas que fizeram parte da prova do

SARESP de 1996 até 2012 é apresentado a seguir.

Figura 105: Aplicações do SARESP, 1996 a 2012

Ano Séries do EF Série do EM Disciplinas

1996 3ª e 7ª - LP, MAT, CIE, GEO, HIS7

1997 4ª e 8ª 1ª LP e MAT

1998 5ª 1ª LP, MAT, BIO8

1999 - - -

2000 5ª e 7ª 3ª LP e MAT

2001 4ª e 8ª - LP

2002 4ª e 8ª LP

2003 Todas Todas LP

2004 Todas Todas LP

2005 Todas Todas LP e MAT

2006 - - -

2007 1ª, 2ª, 4ª, 6ª e 8ª 3ª LP e MAT

2008 2ª, 4ª, 6ª e 8ª 3ª LP, MAT, CN9

2009 2ª, 4ª, 6ª e 8ª 3ª LP, MAT, CH10

2010 3º, 5º, 7º e 9º (11)

3ª LP, MAT, CN

2011 3º, 5º, 7º e 9º 3ª LP, MAT, CH

2012 3º, 5º, 7º e 9º 3ª LP, MAT, CN

Fonte: Relatórios Pedagógicos do SARESP de 1996 a 2012

Para podermos comparar os resultados obtidos pelos estudantes no

estado de São Paulo, através do SARESP, com os resultados obtidos pelos

estudantes em todo o Brasil, através do SAEB, apresentamos a seguir os

resultados da média de proficiência do SARESP desde 2007 até 2012.

Figura 106: Níveis de Proficiência no SARESP – 2007 a 2012 - Matemática

2007 2008 2009 2010 2011 2012

9º ano EF 231,5 245,7 251,5 243,3 245,2 242,3

3ª série EM 263,7 273,8 269,4 269,2 269,7 270,4

Fonte: Relatórios Pedagógicos do SARESP de 1996 a 2012

7 LP: Língua Portuguesa, MAT: Matemática, CIE: Ciências, GEO, Geografia, HIS: História.

8 BIO: Biologia

9 CN: Ciências da Natureza (Ciências, Física, Química e Biologia).

10 CH: Ciências Humanas (Geografia e História).

11 Os anos 3º. 5º, 7º e 9º do ensino fundamental referem-se as 2ª, 4ª, 6ª e 8ª séries na antiga

nomenclatura.

232

Figura 107: Gráfico da Evolução dos Níveis de Proficiência em Matemática no SAEB – 2007 a

2012

Fonte: A pesquisa

Podemos observar que o ensino fundamental apresentou um pico em

2009, ano que completava um ano da introdução do material de apoio Caderno

do Professor e ano em que o Caderno do Aluno foi introduzido. Porém após

esse ano os resultados estiveram sempre na margem do valor 245, que

corresponde ao nível básico para o 9º ano do ensino fundamental, mas que

não representa o nível adequado nem mesmo para os estudantes do 7º ano do

ensino fundamental.

É possível também observar que os dados do ensino médio tiveram um

pico em 2008, chegando ao nível 273,8, e após a introdução dos materiais de

apoio Caderno do Professor e Caderno do Aluno, esses valores não

apresentaram nenhuma melhora, ao contrário, mostraram uma queda,

estabilizando-se na marca de 270, que corresponde ao nível abaixo do básico

para a série em questão e, comparativamente à escala de proficiência, fazendo

as devidas correspondências ano a ano na escala de proficiência, esse valor

corresponde ao nível adequado para um estudante que termina o 8º ano do

ensino fundamental. Isso mostra que um estudante que finda o ensino médio

tem, em média, uma defasagem de quatro anos de escolaridade.

Fazendo uma comparação entre os valores de proficiência obtidos pelos

estudantes no SAEB e no SARESP em Matemática podemos verificar se os

valores se distanciam muito entre os resultados nas duas avaliações. Assim,

esse comparativo poderá ser mais um indicativo sobre a adequação do uso dos

materiais utilizados pela rede estadual paulista.

230

240

250

260

270

280

2007 2008 2009 2010 2011 2012

9º ano EF

3ª série EM

233

Figura 108: Níveis de Proficiência SAEB e SARESP para o 9º ano EF - Matemática

9º ano do ensino Fundamental

2007 2008 2009 2010 2011 2012

SAEB 247,4 - 248,7 - 250,6 -

SARESP 231,5 245,7 251,5 243,3 245,2 242,3

Fonte: Relatórios SARESP

Apesar dos resultados do SAEB serem um pouco maiores que os do

SARESP, a diferença não é representativa. Portanto, a média dos estudantes

do 9º ano do Brasil representam resultados que corresponde ao nível

adequado para estudantes do 6º ano do ensino fundamental.

Figura 109: Níveis de Proficiência SAEB e SARESP para a 3ª série EM - Matemática

3ª série do ensino médio

2007 2008 2009 2010 2011 2012

SAEB 272,9 - 274,7 - 273,9 -

SARESP 263,7 273,8 269,4 269,2 269,7 270,4

Fonte: Relatórios do SARESP

Novamente percebemos que os resultados obtidos no SAEB são

ligeiramente superiores aos dos obtidos pelo SARESP, mas a diferença é muito

pequena e não é significativa.

A forma de exibir os resultados do SARESP e a forma como esta

avaliação se estruturou e se firmou no estado de São Paulo mudou ao longo

dos anos durante sua aplicação. Sofrendo algumas mudanças de estratégias,

rupturas e resistências que causaram efeitos na configuração das provas e

questionários, formatando o sistema de avaliação às tendências da evolução

da avaliação educacional brasileira e mundial e de acordo com a relação

suscitada pelo governo paulista (OLIVEIRA JUNIOR, 2013).

Os relatórios do SARESP começaram realmente a se estruturar a partir

do ano de 2008. Antes, porém, não havia uma rotina para elaboração dos

resultados, outras vezes esses resultados eram liberados somente às escolas,

por meio de boletins online, outras vezes os relatórios ficavam somente no

âmbito da Secretaria da Educação. Atualmente as escolas recebem diversos

relatórios do SARESP. A lista abaixo descreve cada um dos relatórios

disponibilizados às escolas no ano de 2013.

234

Relatório Pedagógico de Língua Portuguesa e Matemática – 3º ano

do Ensino Fundamental

Traz os resultados alcançados pelas escolas que possuem classes de 3º

ano do ensino fundamental, acompanhados por uma análise pedagógica por

habilidades.

Relatório Pedagógico de Matemática

Aponta a abrangência do SARESP e os resultados alcançados pelas

escolas que possuem os 3º, 5º, 7º e 9º anos do ensino fundamental e a 3º série

do ensino médio. Faz a comparação dos resultados do SARESP com os

resultados da Prova Brasil. Traz a análise do desempenho dos estudantes em

Matemática dos 5º, 7º e 9º anos do ensino fundamental e da 3ª série do ensino

médio.

Relatório Pedagógico de Língua Portuguesa





Língua Portuguesa dos 5º, 7º e 9º anos do ensino fundamental e da 3ª série do

ensino médio.

Relatório Pedagógico de Ciências da Natureza





Ciências da Natureza dos 5º, 7º e 9º anos do ensino fundamental e da 3ª série

do ensino médio.

Relatório dos Estudos do SARESP

A característica essencial dessa publicação é o seu caráter

primordialmente descritivo, fornecendo um panorama da realidade dos diversos

235

agentes educacionais em sua interação com o ambiente educacional. Traz uma

descrição geral dos estudantes e de seus pais, da Rede de Ensino de São

Paulo, relativamente ao seu desenvolvimento intelectual, social e econômico.

Aponta o perfil dos professores, coordenadores e dos diretores das escolas

públicas. Ainda faz uma análise dos fatores associados aos desempenhos das

escolas estaduais, municipais e particulares.

Sumário Executivo

Esse documento apresenta informações sobre a edição do SARESP de

cada ano. Indica de que forma os instrumentos de avaliação são elaborados e

aplicados. Aponta a abrangência dessa avaliação na rede estadual, municipal e

particular. Traz os resultados alcançados por cada uma das redes avaliadas,

assim como destaca os níveis de proficiência atingidos por cada unidade de

ensino que fez parte do processo de avaliação.

A comparação dos resultados divulgados pelos relatórios no período

avaliado por esta pesquisa mostra que os índices não tiveram aumentos ou

quedas significativos na disciplina de Matemática. Assim, não podemos, a partir

dos resultados obtidos pelas avaliações em Larga Escala, seja no âmbito

federal ou em âmbito estadual, atribuir qualquer melhora ou piora na

aprendizagem relativa a qualquer mudança realizada no sistema educacional

paulista, entre elas, a implantação da Proposta Curricular de 2008, o Caderno

do Professor em 2009, o Caderno do Aluno em 2009 e o Currículo em 2010.

A análise dos índices de acertos em questões relativas ao conceito de

funções que fizeram parte do SARESP será apresentada em duas etapas: a

primeira corresponde ao período de 2000 à 2008, período anterior à introdução

do novo Currículo e dos materiais de apoio, Cadernos do Professor e do Aluno,

e que inclui provas dos anos de 2000 e 2007, pois nos demais anos não houve

avaliação de Matemática ou não há resultados divulgados. O segundo período

de 2008 à 2012, período que corresponde à implantação do novo Currículo e

dos materiais de apoio Cadernos do Professor e do Aluno.

1º Período – Fase anterior à implantação dos Cadernos

236

SARESP 2000

Figura 110: Questão 2 do período noturno – SARESP 2000

Fonte: Relatório SARESP 2000, p. 82

Figura 111: Questão 3 do período diurno – SARESP 2000


237





238

Figura 114: Questão 5 do período diurno – SARESP 2000




239

SARESP 2007

Figura 116: Exemplo de questão do nível 325 da 8ª série (a) – SARESP 2007

Fonte: Relatório SARESP 2007, p. 29 (acerto 39%)

Figura 117: Exemplo de questão do nível 325 da 8ª série (b) – SARESP 2007

Fonte: Relatório SARESP 2007, p. 29 (Acerto 42%)

240

Figura 118: Exemplo de questão do nível 350 da 8ª série – SARESP


2º Período: Fase que compreende a implantação dos Cadernos aos dias atuais

SARESP 2008

Figura 119: Exemplo de questão do nível básico da 3ª série EM – SARESP 2008


241

Figura 120: Exemplo de questão do nível adequado da 3ª série EM – SARESP 2008


Figura 121: Exemplo de questão do nível avançado da 3ª série EM – SARESP 2008


242

SARESP 2009

Figura 122: Exemplo 10 da 3ª série EM – SARESP 2009



243


SARESP 2010



SARESP 2011



244

SARESP 2012



Representamos abaixo os índices de acertos das questões expostas,

relativas aos períodos pré e pós-implantação dos Cadernos, num quadro,

indicando os temas associados ao setor funções, para podermos compará-los

e tecer alguns comentários.

Figura 127: Quadro comparativo dos índices de acertos no SARESP

Função

Polinomial

do 1º grau

Função

Polinomial

do 2º grau

Função

exponencial

Função

Logarítmica

Função

trigonométrica

Função

Racional

AN

TE

S

2000 17%

33%

38%

39%

41% 36%

2007 39%

42%

32%

DE

PO

IS

2008 17% 52% 28%

2009 27%

21,3%

2010 26,5%

2011 29%

2012 51%

Fonte: A pesquisa

245

Atualmente as questões do SARESP que são disponibilizadas para

consulta são as apresentadas nos relatórios, enquanto que as questões

anteriores ao ano de 2008 eram todas disponibilizadas. Dessa forma, a

comparação que faremos será apenas baseada nesta pequena amostra e com

questões que, de alguma forma, estejam relacionadas ao conceito de função.

De forma bastante genérica, separamos as questões por tema como

funções polinomiais do 1º grau, até funções racionais. Assim, tomamos, em

cada ano, o índice de acerto e o expusemos no quadro acima.

É possível observar que há uma concentração de questões relativas às

funções polinomiais do 1º grau, seguidas por funções polinomiais do 2º grau,

funções exponenciais e racionais. Na amostra que dispúnhamos não foi

possível observar funções logarítmicas e trigonométricas.

Quanto aos índices de acerto, percebemos um resultado bem superior

às questões do SARESP compreendido no primeiro período, isso é, àquele

anterior à implantação dos Cadernos. Essa verificação se dá nos três tipos de

funções que se aparecem nos dois períodos.

246

247

9 – ANÁLISE DOS QUESTIONÁRIOS DO PROFESSOR E TESTES DOS

ALUNOS

Esse capítulo apresentará os resultados obtidos ao analisar os

questionários aplicados aos professores pesquisados e os resultados obtidos

pelas análises dos testes realizados com os estudantes de dois desses

professores.

9.1 – Análise dos Questionários respondidos pelos professores

Dos questionários que distribuímos em algumas escolas no estado de

São Paulo, de acordo com os critérios que foram estabelecidos e identificados

no capítulo relativo à metodologia, tivemos retorno de trinta e oito (38) deles,

autorizados e completamente respondidos.

Nossa análise será feita de duas formas. A primeira abordará as

respostas de modo geral, fornecidas por cada um dos 38 respondentes,

independentemente dos grupos a qual pertencem. Assim teremos os

resultados gerais que darão uma visão global sobre como esses professores

trabalham em suas classes o conceito de função. A segunda forma de análise

será realizada devidamente em cada grupo de professores, de acordo com os

alguns critérios pré-estabelecidos.

A análise sobre os questionários, que corresponde a primeira forma,

aponta os resultados de maneira geral, sem agrupar os respondentes por

categorias, e foi elaborada verificando os índices apontados nas alternativas

em cada uma das questões. Dessa forma, segue os resultados relativos às

nove questões apresentadas.

Figura 128: Questão 1

A quanto tempo você leciona Matemática?

A mais de 20 anos Entre 10 e 20 anos Entre 3 e 10 anos A menos de 3 anos

11 17 9 1

Fonte: A pesquisa

Vemos que os professores que responderam a pesquisa têm bastante

experiência em sala de aula. A maioria tem mais de 10 anos atuando na

248

educação. Podemos supor que as respostas que os mesmos imprimiram nos

formulários retratam suas experiências vividas na tarefa de ensinar. Além

disso, a maioria vivenciou o período de transição.


Em quais anos/séries você, em geral, ministra suas aulas?

6ºano 7º ano 8º ano 9º ano 1ª série 2ª série 3ª série

12 15 13 15 17 19 14

Fonte: A pesquisa

A distribuição dos anos/séries em que os professores que responderam

os formulários atuam, são distribuídos de forma bastante uniforme, com um

pouco mais de ênfase ao ensino médio. Portanto, podemos também supor que

esses professores têm experiência com o ensino de função. Logo, suas

respostas às questões a seguir poderão nos fornecer indicativos importantes

sobre esse conceito e sua relação com o ensino e a aprendizagem do mesmo.


Entre as alternativas abaixo, quais, em sua opinião, estão relacionadas ao conceito de

função?

Proporcionalidade Variabilidade Relação entre

Grandezas /

Gráfico de

Interdependência

Álgebra Aritmética Conjutos

1ª opção 7 5 15 2 2 7

2ª opção 11 10 9 3 3 2

3ª opção 14 7 6 9 1 1

4ª opção 4 12 3 14 3 2

5ª opção 2 2 5 4 18 7

6ª opção 0 2 0 6 11 19

Fonte: A pesquisa

Observando a resposta apontada pelos professores pesquisados como a

primeira opção, foi mais frequente a resposta no item que aponta a “relação

entre grandezas / Gráfico de interdependência”. Baseado nesse resultado

podemos verificar que as respostas indicam para uma visão mais condensada

de função, formada historicamente, firmemente associada à ideia de

interdependência e de covariação de grandezas, sendo que apenas uma

pequena parcela dos professores apontam que o conceito de função está mais

associado à ideia de proporcionalidade como primeira opção, que é o caso da

ideia central indicada no Caderno do Professor. Isso permite inferir que, ou os

249

professores pouco usam o Caderno do Professor ou não se desvincularam da

ideia mais ligada ao conceito de função que foi enraizada em sua formação.

No entanto, contrapondo a ideia elaborada sobre os conceitos da teoria

ingênua de conjuntos, a ideia de relacionar funções com a noção de conjuntos

foi a menos acentuada.

Atribuindo-se peso pela posição que uma indicação aparece na ordem

de escolha, ou seja, atribuindo peso 6 quando a alternativa comparece como

primeira opção, peso 5 se comparece na segunda opção, e assim

sucessivamente, dividindo o resultado por 21 (6+5+4+3+2+1=21) teremos a

seguinte correspondência às alternativas das respostas:

Figura 131: Índices de respostas à questão 3

Índice

Relação entre Grandezas / Gráfico de Interdependência 8,5

Proporcionalidade 8,0

Variabilidade 7,1

Álgebra 5.7

Conjuntos 4,5

Aritmética 4,1

Fonte: A pesquisa

Ainda através dessa relação, podemos notar que o conceito de função

visto pela maioria dos professores pesquisados está relacionado à covariação

de grandezas, ou seja, o conceito de função não apresenta para eles uma

associação entre números de dois conjuntos por uma correspondência

biunívoca. Mesmo que uma função possa ser calculada sobre os números

reais, obtendo-se valores reais, o conceito ainda é uma interdependência entre

grandezas, como historicamente foi desenvolvido, principalmente na Física,

onde uma grandeza se relaciona a outra por meio de uma relação matemática,

caracterizando uma covariação de grandezas, de acordo com Rogalski (2013).


Quanto a forma de representação de uma função, como você classificaria em ordem

de importância?

Tabela Gráfico Fórmula Língua Materna

1ª opção 6 9 20 3

2ª opção 13 11 2 12

3ª opção 17 6 3 12

4ª opção 2 12 13 11

Fonte: A pesquisa

250

Quanto à forma de representação de função, a maioria dos professores

analisados aponta para a representação de função por fórmulas, ou seja, pela

lei de formação que caracteriza a relação entre a variável e ao valor numérico

associado às mesmas.

O fato dos professores responderem que a representação mais comum

de função é aquela relacionada às fórmulas mostra que o trabalho associado a

esse tema tem sido feito de maneira mais técnica, calculando-se o valor

numérico das funções e possivelmente resolvendo equações da forma f(x) = p.

Esse tipo de trabalho é bastante comum nos livros didáticos, pois os mesmos

têm a preocupação de mostrar com maior abundância o trabalho com os

procedimentos de operações para que, quando um trabalho com situação-

problema for necessário, além do trabalho de modelagem do problema para a

linguagem algébrica, se fará necessário também um trabalho técnico de

operacionalização.

Da mesma forma como realizado na questão anterior, iremos atribuir

pesos de 4 a 1, respectivamente à primeira até a última opção dada pelos

professores, dividindo o resultado por 10. Dessa forma, os resultados já

ordenados estão representados a seguir.


Índice

Fórmula 10,5

Tabela 9,9

Gráfico 9,3

Língua Materna 8,3

Fonte: A pesquisa

Quando observamos os dados ajustados pelas médias ponderadas,

percebemos que a distribuição é bastante equilibrada. Mas mesmo assim, é

bastante interessante notar que, em geral, os livros didáticos apresentam as

funções pela sua lei de formação, ou seja, pela sua fórmula, em seguida

constroem-se tabelas para alguns valores do domínio da função e constroem-

se seus gráficos. Também é importante verificar que, na introdução da maioria

dos materiais didáticos, a apresentação da lei de formação é dada pela língua

materna, mas isso fica tão implícito na leitura dos professores que não é

251

notada essa forma de representação de função. Assim podemos supor que

essa forma de representação de função ocupa a última opção na média das

respostas obtidas dos professores pesquisados.


Quais das funções abaixo você acha que sejam necessárias serem ensinadas no

ensino médio?

Exponencial Quadrática Linear /

Afim

Logarítmica Racional Trigonométrica Grau maior que 2

1ª opção 3 0 29 2 4 0 0

2ª opção 0 31 3 1 1 2 0

3ª opção 23 3 5 0 2 2 3

4ª opção 4 2 0 23 4 4 1

5ª opção 5 0 0 7 4 9 14

6ª opção 3 0 0 2 13 10 9

7ª opção 0 2 1 3 6 11 6

Fonte: A pesquisa

Os professores que responderam os questionários, em sua maioria,

apontaram que a função polinomial do 1° grau deveria ser ensinada no ensino

médio, e como segunda escolha pela maioria dos respondentes, que a função

polinomial do 2° grau deve ser ensinada no ensino médio.

Mesmo que funções polinomiais do 1° e 2° graus tenham sido

trabalhadas ou iniciadas no ensino fundamental, a maioria dos professores que

respondeu às questões indica que é preciso trabalhar essas mesmas funções

no ensino médio. Isso também é apontado pelo PCN que indicava que “Esse

encaminhamento dado à Álgebra, [...] como o estudo da variação de grandezas

possibilita a exploração da noção de função nos terceiro e quarto ciclos12.

Entretanto, a abordagem formal desse conceito deverá ser objeto de estudo do

ensino médio” (BRASIL, 1998, p. 51).

Quatro professores indicaram ainda que as funções racionais não devem

ser ensinadas no ensino médio e cinco também disseram que as funções

polinomiais de grau maior que o 2º não devem ser ensinadas no ensino médio.

Um quadro apresentando as médias ponderadas relativas às respostas

apresentadas acima encontram-se na tabela a seguir.

12 Os terceiro e quarto ciclos referidos nos PCN indicam as atuais 6°/7° e 8°/9° anos do ensino

fundamental.

252


Índice

Linear / Afim 8,8

Quadrática 7,5

Exponencial 6,2

Logarítmica 5,0

Racional 3,7

Trigonométrica 3,4

Grau maior que 2 3,0

Fonte: A pesquisa

Pelo quadro acima, observamos também que a sequência das funções

que os professores que responderam a pesquisa apontam como necessárias

serem ensinadas no ensino médio segue o mesmo princípio da maioria dos

materiais didáticos que temos conhecimento no Brasil, a menos da função

racional, que geralmente não é trabalhada como um tópico específico, mas se

insere no estudo das demais funções.


Entre as definições dadas abaixo, qual você considera mais adequada para expor em

sala de aula?

Função é uma operação matemática que associa a cada elemento "a" de um conjunto, sua imagem "b" no outro conjunto.

6

Função é uma relação entre duas variáveis que estão intimamente associadas. 7

Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função é uma relação que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B.

21

Uma função pode ser descrita como uma relação de proporcionalidade direta, inversa ou composta entre duas grandezas

4

Fonte: A pesquisa

Os professores deveriam escolher uma única alternativa que permitia

definir uma função. Mesmo que na questão 3 os professores não optaram por

relacionar função com a ideia de conjuntos, a forma como se define função por

meio de conjuntos foi a mais representativa entre as opções escolhidas.

Geralmente é essa definição que encontramos nos livros didáticos. A quarta

alternativa, que indica que uma função pode ser descrita como uma relação de

proporcionalidade entre duas grandezas foi apontada somente por quatro dos

respondentes.

Os Cadernos do Professor e Aluno procuram dar às funções a ideia de

proporcionalidade. No entanto, somente quatro professores apontaram essa

opção como possibilidade de definição de função. Isso nos permite observar

que, mesmo que o professor esteja fazendo uso dos Cadernos, a ideia

253

fundamental utilizada pelos autores dos Cadernos para definir o conceito de

função ainda não foi bem absorvida pelos professores da rede.


Ao iniciar um trabalho com alguma forma de função, você o faz:

Iniciando com a definição, passando a exemplos e prosseguindo com aplicações. 15

Iniciando com exemplos, passando à definição e prosseguindo com aplicações. 12

Iniciando com aplicações, passando à definição e prosseguindo com exercícios 11

Fonte: A Pesquisa

Houve uma distribuição mais homogênea com relação às três

alternativas dadas. Mas a alternativa mais apontada foi a primeira, que mostra

que os professores que responderam as questões geralmente começam os

estudos de função pela definição, passando a mostrar exemplos e

posteriormente realizam a aplicação da mesma.

A terceira opção foi a menos escolhida. Justamente aquela que é

trabalhada nos Cadernos do Professor. Podemos considerar que, mesmo que

o resultado da pesquisa realizado pela Fundação Cesgranrio intitulada “Boas

Práticas Docentes no Ensino de Matemática” acenar que os professores de

Matemática utilizam o Caderno em sala de aula, na prática do dia a dia, seu

uso parece ser menos abundante.


Você considera que seus alunos estudam:

Sempre Quase Sempre Às vezes Nunca

3 3 24 6

Fonte: A pesquisa

Vemos que os professores respondentes consideram que seus alunos

estudam às vezes, portanto, os resultados nas avaliações poderiam ser

melhores caso os alunos estudassem com mais frequência.


Fonte: A pesquisa

O comportamento de seus alunos é:

Excelente Muito Bom Bom Regular Ruim

0 4 19 8 5

254

Baseados nas respostas desses professores podemos dizer que os

mesmos têm condições de expor suas aulas, dar suas explicações e mostrar

os exemplos dos conteúdos ensinados, uma vez que o comportamento da

maioria dos alunos é bom. Assim, podemos dizer que os conteúdos estão

sendo ensinados, porém, temos ainda que verificar se estão sendo aprendidos.

Após esse estudo relativo às respostas agrupadas dos respondentes,

vamos iniciar o estudo da segunda parte da análise que é o cruzamento entre

as respostas dos professores. Lembrando que traçamos hipoteticamente as

respostas que julgamos natural que um professor que utiliza prioritariamente os

Cadernos, em sala de aula, responderia e, em outro extremo, as respostas que

julgamos que um professor que utiliza prioritariamente outro material de apoio

responderia. Essa análise se dará nas respostas às questões de 3, 4, 6 e 7. A

tabela a seguir apresenta os resultados consolidados dos 38 questionários

respondidos e, para cada um deles, a média dos índices de cada uma das

questões, tanto as referentes à hipótese do uso do Caderno quanto a referente

à hipótese do uso do Livro Didático.

Figura 140: Quadro de porcentagens relativas ao uso do Caderno ou Livro Didático

Professor Grupo Q3 Q4 Q6 Q7 Média

C L C L C L C L C L

Prof_1 P5 78% 11% 75% 0 0 100% 100% 0 0,63% 28%

Prof_2 P2 33% 44% 75% 0 0 100% 50% 50% 0,40% 49%

Prof_3 P1 56% 44% 50% 25% 67% 33% 100% 0 68% 26%

Prof_413

P5 67% 33% 0 75% 0 100% 0 100% 17% 77%

Prof_5 P5 56% 22% 25% 50% 67% 33% 100% 0 62% 26%

Prof_6 P5 67% 11% 100% 0 33% 67% 50% 50% 63% 32%

Prof_714

P6 67% 33% 75% 0 100% 0 100% 0 86% 8%

Prof_8 P1 33% 33% 25% 50% 67% 33% 0 100% 31% 54%

Prof_9 P3 11% 67% 0 75% 33% 67% 50% 50% 24% 65%

Prof_10 P3 11% 67% 0 75% 0 100% 0 100% 3% 86%

Prof_11 P3 11% 67% 0 75% 0 100% 0 100% 3% 86%

Prof_12 P3 11% 67% 0 75% 0 100% 0 100% 3% 86%

13 Prof_4 que aplicou teste com seus alunos.

14 Prof_7 que aplicou teste com seus alunos.

255

Prof_13 P5 33% 33% 0 75% 100% 0 0 100% 33% 52%

Prof_14 P1 22% 56% 50% 25% 33% 67% 100% 0 51% 37%

Prof_15 P1/P8 33% 22% 100% 0 100% 0 0 100% 58% 31%

Prof_16 P7 33% 22% 100% 0 100% 0 0 100% 58% 31%

Prof_17 P1 33% 22% 75% 0 33% 67% 0 100% 35% 47%

Prof_18 P3 33% 33% 0 75% 67% 33% 0 100% 25% 60%

Prof_19 P5 44% 22% 0 75% 0 100% 100% 0 36% 49%

Prof_20 P8 44% 33% 100% 0 0 100% 50% 50% 49% 46%

Prof_21 P8 44% 33% 25% 25% 0 100% 50% 50% 30% 52%

Prof_22 P8 44% 33% 25% 50% 0 100% 50% 50% 30% 58%

Prof_23 P8 44% 33% 25% 50% 0 100% 100% 0 42% 46%

Prof_24 P8 44% 33% 25% 50% 0 100% 100% 0 42% 46%

Prof_25 P8 44% 33% 25% 50% 0 100% 0 100% 17% 71%

Prof_26 P3 22% 44% 0 75% 0 100% 0 100% 6% 80%

Prof_27 P4 22% 44% 0 75% 0 100% 50% 50% 18% 67%

Prof_28 P8 56% 11% 25% 50% 0 100% 50% 50% 33% 53%

Prof_29 P8 44% 33% 25% 50% 0 100% 100% 0 42% 46%

Prof_30 P6 67% 11% 75% 0 33% 67% 0 100% 44% 45%

Prof_31 P5 33% 22% 75% 0 0 100% 50% 50% 40% 43%

Prof_32 P3 56% 22% 100% 0 33% 67% 50% 50% 60% 35%

Prof_33 P5 56% 22% 25% 50% 0 100% 50% 50% 33% 56%

Prof_34 P3 22% 33% 0 75% 67% 33% 0 100% 22% 60%

Prof_35 P5 56% 22% 75% 0 0 100% 100% 0 58% 31%

Prof_36 P5 22% 33% 25% 50% 67% 33% 100% 0 54% 29%

Prof_37 P5 44% 33% 75% 0 67% 33% 50% 50% 59% 29%

Prof_38 P1/P7 56% 22% 0 75% 0 100% 0 100% 14% 74%

Média - 41% 33% 39% 39% 28% 72% 45% 55% 38% 50%

Fonte: A pesquisa

Na média dos 38 professores que responderam ao questionário, temos

uma probabilidade de 38% que aponta ser favorável que estes professores

utilizam o Caderno em sala de aula contra 50% de chance de que utilizam o

Livro Didático, baseado na hipótese que levantamos inicialmente. Destacamos

na tabela o prof_7 que apresentou uma probabilidade de 86% ao uso do

caderno, assim como os prof_10,11 e 12 que apresentaram uma probabilidade

também de 86% do uso do Livro Didático, baseado na hipótese levantada.

A terceira parte da análise dos questionários dos professores será

realizada sobre os grupos de respondentes relativos à distribuição das escolas

256

pelos “Indicadores de Desempenho” em Matemática, extraído da edição do

SARESP – 2010, seguindo a distribuição que relembramos a seguir, incluindo a

quantidade de respondentes em cada um dos grupos pesquisados:

Figura 141: Seleção das escolas por índice de desempenho

P1 10 escolas com desempenhos favoráveis em Matemática quando juntado os resultados dos estudantes do 9° ano com os da 3ª série

615

P2 10 escolas com desempenhos não favoráveis em Matemática quando juntado os resultados dos estudantes do 9° ano com os da 3ª série

1

P3 10 escolas com desempenhos favoráveis e que só possuem o ensino fundamental 8

P4 10 escolas com desempenhos não favoráveis e que só possuem o ensino fundamental

1

P5 10 escolas com desempenhos favoráveis e que só possuem o ensino médio

11

P6 10 escolas com desempenhos não favoráveis e que só possuem o ensino médio

2

P7 5 escolas onde a diferença nos desempenhos do 9° ano e da 3ª série foram as maiores possíveis

2

P8 5 escolas onde a diferença nos desempenhos do 9° ano e da 3ª série foram as menores possíveis

9


Pelo quadro acima vemos que geralmente quem esteve mais pré-

disposto a responder os questionários foram os professores das escolas de

ensino médio que, em geral, apresentam resultados mais satisfatórios.

Um consolidado dos resultados às questões 1 e 2 do formulário, por

grupo de professores, nos mostra que em todos os grupos há professores que

tem, ao menos, mais de 3 anos de magistério e sempre há ao menos 1

professor que leciona no 9º do ensino fundamental ou na 1ª série do ensino

médio. Dessa forma, os resultados obtidos por cada um dos grupos podem ser

considerados confiáveis por ter ao menos um respondente que já lecionou o

tema função.

15 Há 1 professor do grupo 1 que pertence também ao grupo 7, e outro que pertence ao grupo

8.

257


Tempo de magistério

A mais de 20 anos Entre 10 e 20 anos Entre 3 e 10 anos Menos que 3 anos

P1 0 2 3 1

P2 0 1 0 0

P3 1 4 3 0

P4 1 0 0 0

P5 6 3 2 0

P6 1 1 0 0

P7 1 0 116

0

P8 1 6 217

0

Fonte: A pesquisa


Fonte: A pesquisa

Com relação às questões 3, 4, 6 e 7, agruparemos os resultados da

figura 137, por grupos de professores, de forma a verificar as probabilidades

relativas ao uso do Caderno ou do Livro Didático.

Figura 144: Quadro de porcentagens relativas ao uso do Caderno ou Livro Didático por

grupos de professores

Grupo Q3 Q4 Q6 Q7 Média

C L C L C L C L C L

P1 39% 33% 50% 29% 50% 50% 33% 67% 43% 45%

P2 33% 44% 75% 0% 0% 100% 50% 50% 40% 49%

P3 22% 50% 13% 66% 25% 75% 13% 88% 18% 70%

P4 22% 44% 0% 75% 0% 100% 50% 50% 18% 67%

P5 51% 24% 43% 34% 30% 70% 64% 36% 47% 41%

P6 67% 22% 75% 0% 67% 34% 50% 50% 65% 26%

P7 45% 22% 50% 38% 50% 50% 0% 100% 36% 52%

P8 44% 29% 42% 36% 11% 89% 56% 44% 38% 50%

Fonte: A pesquisa

16 Valor anteriormente contabilizado no grupo P1.

17 Um dos valores já está anteriormente contabilizado no grupo P1.

Anos/série em que, geralmente, ministra aulas

6º ano 7º ano 8º ano 9º ano 1ª série 2ª série 3ª série

P1 1 1 0 1 3 5 3

P2 1 1 1 1 0 0 0

P3 4 5 5 3 0 1 0

P4 1 1 1 1 0 0 0

P5 3 5 4 5 10 9 8

P6 0 0 1 1 1 1 2

P7 0 0 0 0 2 2 2

P8 2 2 1 3 3 3 1

258

Na maioria dos grupos há uma tendência maior de que os professores

estejam utilizando o Livro Didático para trabalhar o tema funções. Porém, os

grupos 5 e 6 mostram que a tendência é a utilização dos cadernos. Os dois

grupos pertencem a escolas que só possuem o ensino médio. O resultado

relativo ao grupo 5 tem maior representatividade, já que são 11 respondentes,

enquanto do grupo 6 só tem 2. Os professores do grupo 5 são de escolas que

só possuem ensino médio e que os resultados foram satisfatórios no Saresp –

2010. O grupo 3 mostrou a maior probabilidade dos professores trabalharem o

Livro Didático. As escolas que compõe esse grupo só possuem o ensino

fundamental e tem os resultados favoráveis no Saresp – 2010.

Em geral, os professores resistem à utilização do Caderno e isto pode

estar associado ao trabalho que o professor estava acostumado a fazer,

centrado nos exemplos e definições, correspondendo mais à forma de trabalho

proposta nos livros didáticos e/ou a maneira como o professor estudou essa

noção na sua formação inicial e continuada, anteriormente à implantação dos

Cadernos.

A resistência à utilização do Caderno precisa ser mais bem avaliada,

pois, em geral, nas conversas e encontros com os professores, os mesmos

apresentam diferentes motivos para não trabalharem com esse material,

mesmo se muitas vezes respondem a questionários e entrevistas afirmando

que fazem o uso do mesmo.

Seria interessante identificar esses motivos para explorá-los no futuro se

desejamos que os professores recorram a esse material para auxiliá-los na

formação de seus estudantes. Assim, a Secretaria de Educação do Estado de

São Paulo deve intensificar os cursos de formação continuada de forma a

abranger um número maior de professores da rede e auxiliá-los a compreender

essa nova abordagem que se distancia de sua formação inicial e da prática que

os mesmos vinham desenvolvendo.

Sabemos que alguns cursos já foram oferecidos com o objetivo de

formar os professores para o uso do Caderno.

Em 2010, por exemplo, a Secretaria da Educação de São Paulo

formatou um curso de Matemática, ministrado pelos autores dos Cadernos, que

foi oferecido aos professores coordenadores das oficinas pedagógicas – PCNP

259

de todo o estado, num total de 182 participantes. Estes PCNP deveriam

replicar esse curso aos professores de sua região. Os problemas da replicação

foram muitos, começando por alguns PCNP que não formaram nenhuma

turma, até PCNP que, mesmo disponibilizando horários para seus professores

se inscreverem, não tiveram inscritos devido a problemas de horários por

acúmulo de cargos dos professores da rede.

Em 2012 a Secretaria da Educação formatou, então, um curso

totalmente à distância. O curso, batizado de Currículo e Prática Docente, tinha

o objetivo de trabalhar com os professores inscritos, alguns conteúdos dos

Cadernos do Professor e do Aluno em todas as disciplinas, e de mostrar a

metodologia de trabalho com esse material. No entanto, o curso não atingiu o

número de professores esperados e a evasão atingiu números acima do

previsto.

Em 2013, pensando em atingir um maior número de professores da rede

em cursos de formação continuada, a Secretaria da Educação ofertou um

curso que teria uma parte à distância e uma parte presencial com dispensa de

horário de trabalho para todos os professores de Matemática e Língua

Portuguesa dos anos finais do ensino fundamental.

Apesar do esforço da Secretaria da Educação em elaborar cursos no

sentido de levar o conhecimento sobre o Currículo da rede aos professores

como um todo, os maiores problemas sempre foram o tempo que o professor

tem para dispor a estes cursos. Dessa forma, mesmo com curso, considerado

maciço como o de 2013, a participação dos professores ficou muito abaixo do

que se pretendia pela pasta.

A estrutura dos cursos oferecidos aos professores da rede pública

estadual precisa ser repensada pela Secretaria. É preciso rever o formato

desses cursos e pensar numa maneira mais eficaz dessa formação atingir um

número maior de professores. Repensar os conteúdos que comporão os

cursos. Se realmente mantém a metodologia oferecida pelos Cadernos ou se

mantém uma formação voltada ao estudo da Matemática tradicionalmente

exposta nos Livros Didáticos, uma vez que os professores e estudantes

recebem os exemplares desse material para trabalho em sala de aula, pelo

programa PNLD, do Ministério da Educação.

260

Assim, após esta breve descrição dos resultados dos questionários dos

professores, pretendíamos colocar mais uma questão no questionário, isto é,

perguntar ao professor quais os motivos que o levam a utilizar ou rejeitar o

Caderno do Professor e o Caderno do Aluno como material didático para ser

desenvolvido em sala de aula, uma vez que em participações em congressos

ouvimos dos pesquisadores e estudantes de pós-graduação que “os Cadernos

servem apenas como material de trabalho fora da aula”, que “as tarefas dos

Cadernos do Aluno estão resolvidas na internet”, que “o Caderno é incompleto

tratando o conteúdo de forma superficial”, que “o Caderno é importante por

tratar os conteúdos cobrados no SARESP”, entre outros comentários.

No entanto, após enviar aos PCNP essa nova questão para que eles

repassassem aos professores inicialmente pesquisados, tivemos retorno de

apenas dois formulários completados. Por isso, resolvemos não prosseguir

com a análise dessa nova questão.

Após expor os resultados obtidos pelos questionários dos professores,

iremos analisar os resultados dos testes aplicados a alunos de dois dos

professores que responderam aos questionários.

9.2 – Análise dos Testes dos Alunos

Inicialmente faremos uma análise preliminar das questões incluídas no

teste realizado com os estudantes, apontando algumas possíveis soluções que

poderão emergir na aplicação in loco, discutindo as possíveis conclusões que

se podem fazer a respeito do encaminhamento dado à questão pelo estudante,

e fazendo comentários a respeito do possível trabalho desenvolvido pelo

professor juntamente a este grupo de alunos, ao cruzar os dados do

questionário respondido pelo professor.

Figura 145: Análise preliminar da questão 1 – item a

1. Uma função f de A = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} em

B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} é definida pela seguinte lei: f(x) = x – 1

a) Represente f em um diagrama de flechas.

Fonte: Bezerra, 1994, p. 44

261

O estudante deve notar que o conjunto A é o domínio da função,

enquanto o conjunto B é seu contradomínio. Assim, no item a, é preciso colocar

todos os elementos do conjunto A no diagrama de Venn representado por A,

assim como os elementos de B no diagrama B. Associar com setas os

elementos de A aos de B, onde cada elemento de B é uma unidade menor que

os elementos de A. Logo, o item a deverá ser representado da seguinte forma:

Figura 146: Representação em diagrama de Venn


Nível de Conhecimento exigido

Técnico em relação às operações dos valores numéricos de f.

Ostensivo Diagrama de Venn. Flechas da relação. Representação explicita de conjunto. Representação algébrica (fórmula) de função afim.

Não-ostensivo Noção de valor numérico.

Registro de representação semiótica

Registro diagrama. Registro de representação explicita de conjunto. Representação algébrica (fórmula) de uma função afim. Conversão do registro algébrico para o registro diagrama.

Figura 147: Análise preliminar da questão 1 – item b


Para a construção gráfica de f, o estudante deve marcar no plano

cartesiano os pontos associados aos pares relacionados pelas flechas obtidas

no item a. Ainda, ele deve notar que os conjuntos A e B apresentam valores

discretos, portanto ele não poderá traçar uma reta ligando tais pontos.


262

Figura 148: Gráfico da função f(x) = x – 1


Figura 149: Análise preliminar da questão 1 – item c


Para encontrar os valores de x, partindo dos valores numéricos de f: 3, 0

e -1, o estudante pode utilizar os valores ligados ou associados no diagrama de

flechas ou no gráfico de f, onde é possível verificar quais os valores do domínio

estão associados aos números 3, 0 e -1, obtendo os resultados 4, 1 e 0.

Também é possível que os estudantes resolvam as equações x - 1 = 3,

x – 1 = 0 e x – 1 = -1. Nesse último caso ele precisa dispor de conhecimento

associado à resolução de equação do 1° grau. Após resolver as equações,


Técnico em relação às operações dos valores numéricos de f. Disponível em relação à ideia de valores discretos.

Ostensivo Representação algébrica (fórmula) de uma função. Representação de uma função por diagrama de Venn. Representação gráfica de uma função. Representação explicita de conjunto (indicando seus elementos).

Não-ostensivo Noção de valor numérico. Noção de par ordenado. Noção de plano cartesiano


Registro gráfico: Gráfico de f. Registro diagrama. Registro de representação explicita de conjunto. Representação algébrica (fórmula) de uma função afim. Trata-se de uma tarefa que exige a atividade cognitiva de conversão do registro diagrama para o registro gráfico ou do registro algébrico para o registro gráfico.

c) Determine x de modo que as sentenças f(x) = 3, f(x) = 0 e f(x) = -1 sejam verdadeiras.

263

deve verificar se os resultados encontrados para x pertencem ao domínio da

função.

Figura 150: Análise preliminar da questão 2

Fonte: Dante, 2010, p. 121

Na questão 2, o estudante percebendo pelo enunciado que a equação

fornecida (s = 2t – 3) tem como variável o tempo, e que o tempo somente é

válido para t 0 e sendo t um número real, então, ele toma alguns valores para

t, marca os pontos obtidos no plano cartesiano, e os liga, formando uma linha

reta. Esta questão é parecida com o item b da questão 1, no entanto, na

questão 1 os pontos do domínio eram todos dados, neste caso o estudante

deve eleger valores que poderá utilizar na equação que lhe fornecerá os pontos

para a construção do gráfico. Outra diferença entre estas duas questões é que

a primeira se tratava de valores discretos e nesta segunda questão, os valores

que a variável t pode assumir pertencem a um intervalo contínuo. Portanto ele

poderá traçar a reta a partir dos pontos marcados no plano cartesiano.


Mobilizável em relação aos pares ordenados de valores obtidos no item a. Disponível em relação à equação do 1° grau e a noção de domínio da função.

Ostensivo Representação de relações de correspondência. Representação de equações do 1° grau.

Não-ostensivo Noção de relação. Noção de valor numérico. Noção equação do 1° grau.


Registro gráfico. Registro algébrico. Registro por meio de um diagrama. Registro de representação explicita de conjunto. Representação algébrica (fórmula) de uma função afim.

2. Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com a fórmula matemática s = 2t – 3, em que s indica a posição do corpo (em metros) no instante t (em segundos). Construa o gráfico de s em função de t.

264

Figura 151: Gráfico da função s = 2t - 3


Figura 152: Análise preliminar da questão 3 – item a

Fonte: Caderno do Professor, 1ª série EM, vol. 2, p. 15

A questão trata de uma situação contextualizada artificial, pois os dados

do contexto não interferem na sua solução, ou seja, como é dada a equação

que relaciona a distância percorrida pela pedra e o tempo de queda, a

contextualização deixa de ser necessária tornando-se artificial.

O item a da questão pede que encontre a constante de

proporcionalidade k. Para este caso, o estudante pode substituir t = 1 e d = 4,9

na equação, obtendo k = 4,9.


Técnico em relação aos cálculos de s. Mobilizável em relação à construção gráfica. Disponível em relação ao intervalo de validade da situação.

Ostensivo Representação algébrica (fórmula) de uma função. Representação gráfica de uma função.

Não-ostensivo Noção equação do 1° grau. Noção de par ordenado. Noção de plano cartesiano. Noção de função afim e de movimento uniforme.


Registro algébrico (fórmula) de uma função afim. Registro gráfico de uma função afim.

3. Quando uma pedra é abandonada em queda livre (sem considerar a resistência do ar ao movimento), a distância vertical d que ela percorre em queda é diretamente proporcional ao quadrado do tempo t de queda, ou seja, d = kt

2. Observando-se que após 1 segundo de queda

a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se:

a) qual e o valor da constante de proporcionalidade k?

265

Figura 153: Análise preliminar da questão 3 – item b


Para resolver o item b, caso o estudante já tenha determinado a

constate k, ele vai utilizar a equação d = 4,9 t2. Neste caso então ele deverá

substituir t pelo valor 5, obtendo a distância de 122,5 metros.

Figura 154: Análise preliminar da questão 3 – item c


No item c, o estudante pode substituir d pelo valor 49 na equação

d = 4,9t2, ficando com a equação 49 = 4,9t2. Ou t = , já descartando a

solução negativa. O estudante pode dar um valor aproximado para a raiz de 10.


Técnico em relação à resolução da equação. Mobilizável em relação à utilização dos valores t = 1 e d = 4,9.

Ostensivo Representação algébrica de uma função polinomial do segundo grau.

Não-ostensivo Noção de divisão. Determinação de valor numérico.


Registro algébrico (fórmula). Trata-se de uma tarefa que exige a atividade cognitiva de tratamento.

b) qual é a distancia vertical percorrida após 5 segundos?


Técnico em relação à resolução da equação.

Ostensivo Representação algébrica de uma função polinomial do segundo grau.

Não-ostensivo Noção de multiplicação, potenciação e valor numérico.


Registro Algébrico (fórmula). Trata-se de uma tarefa que exige a atividade cognitiva de tratamento.

c) quanto tempo a pedra levará para cair 49 m?


Técnico em relação à resolução da equação.

Ostensivo Representação algébrica (fórmula) de uma função polinomial do segundo grau.

Não-ostensivo Noção de potenciação, radiciação e equação do segundo grau.


Registro Algébrico (fórmula). Trata-se de uma tarefa que exige a atividade cognitiva de tratamento.

266

Figura 155: Análise preliminar da questão 4

Fonte: Vestibular Unicamp 2012

Nessa questão, cujo contexto não é artificial, o estudante deve procurar

uma função v(x), conforme solicita o enunciado, que forneça a velocidade real

para cada valor marcado no velocímetro. Como também é a informação do

enunciado que esta relação é linear, o estudante deve dispor de

conhecimentos que lhe permita escrever que v(x) = ax + b. Usando então as

informações do enunciado, ele pode escrever v(20) = a.20 + b = 20 e

v(70)=a.70 + b = 65, encontrando para a e b os valores a = 0,9 e b = 2,

podendo escrever a equação v(x) = 0,9x + 2.

Esse é um problema bastante diferente daqueles trabalhados em sala de

aula, seja com Situações de Aprendizagem inseridas nos Cadernos do

Professor e Aluno, seja nos exercícios trabalhados nos Livros Didáticos, por se

tratar de uma tarefa que exige o nível disponível. Dessa forma, resolver esse

tipo de questão exige um conhecimento disponível em relação às noções

matemáticas necessárias para a sua solução e exige também que o estudante

encontre no conjunto de situações que dispõe, uma situação de referência que

o auxilie a interpretar a questão e utilizar os conhecimentos necessários para a

sua solução.

4. O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura ao lado mostra o velocímetro de um carro que pode atingir 240 km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro gira no sentido horário à medida que a velocidade aumenta. Determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega

a 20 km/h, mas indica que o veículo está a 70 km/h quando a velocidade real é de 65 km/h. Supondo que o erro de aferição do velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função v(x) que representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de x km/h.


Disponível em relação à polinomial do primeiro grau. Disponível em relação à resolução de sistema de equações lineares com duas incógnitas. Disponível em relação a passagem do registro de representação em língua natural para o registro de representação algébrico.

Ostensivo Representação de função afim. Representação de um sistema de equações lineares com duas equações e duas incógnitas.

Não-ostensivo Noção de função afim. Noção de sistema de equações lineares. Método de resolução de um sistema de equações lineares.


Registro da língua natural. Registro Algébrico (fórmula). Trata-se de uma tarefa que exige a atividade cognitiva de conversão do registro da língua natural para o registro algébrico e na sequência a atividade de tratamento.

267

Após as análises preliminares dos testes dos alunos e após a aplicação

do teste para as turmas de dois professores, analisamos como os estudantes

se saíram frente a estes testes.

Como comentamos anteriormente, dois professores foram escolhidos

para aplicar os testes a seus alunos. Um dos professores, o qual o

designaremos de prof_4, cujo resultado teórico que encontramos para uso do

Caderno ou do Livro Didático foi de 17% e 77%, respectivamente, aplicou o

teste em uma de suas salas de aula, com 18 estudantes da 3ª série do ensino

médio. O outro professor, o qual designaremos de prof_7, cujo resultado

teórico que encontramos para uso do Caderno ou do Livro Didático foi de 86%

e 8%, respectivamente, aplicou o teste em duas de suas salas de aula com um

total de 44 estudantes da 3ª série do ensino médio. Incialmente, fazemos as

análises separadas para cada um dos professores.

Análise das questões dos estudantes do prof_4.

Como dissemos na análise preliminar, no item “a” dessa questão, os

estudantes precisavam apenas organizar os elementos de cada conjunto nos

diagramas e ligá-los utilizando para isso a lei de formação fornecida na

questão. Porém, nos Cadernos do Professor ou do Aluno, durante o estudo de

funções, não se utiliza os Diagrama como os de Venn. Os diagramas dessa

natureza, nos Cadernos, foram utilizados somente no início do 9º ano, mas

para trabalhar problemas relacionados a conjuntos. Como o prof_4 tem uma

alta probabilidade de ter trabalhado com o Livro Didático com seus estudantes,

e os Livros Didáticos geralmente utilizam essa representação para a definição

de função, uma grande quantidade de estudantes deve saber como representar

f em um diagrama de Venn. Vale a pena lembrar também que esta atividade foi

retirada de um Livro Didático da década de 1990 e talvez os livros atuais

utilizados por estes estudantes não utilizarem desses diagramas.

Na resposta para o item “a” da questão 1, onze estudantes fizeram as

representações de forma totalmente correta. Os 7 que não fizeram totalmente

correta, apenas não incluíram no diagrama B os números -3 e 6, pois estes

valores, apesar de pertencerem ao contradomínio de f, não fazem parte da

268

imagem da função. Mas mesmos estes estudantes fizeram a correspondência

(-1 → -2), (0 → -1), ... (6 → 5) corretamente.

No item “b”, os estudantes não deveriam ligar os pontos por eles

marcados no plano cartesiano. Somente dois dos estudantes marcaram os

pontos de forma correta e não os ligaram. Outros doze restantes marcaram os

pontos de forma correta, no entanto ligaram os pontos, traçando uma reta. Um

dos estudantes marcou os pontos nos lugares corretos, mas traçou uma reta

que não corresponde aos pontos, e dois estudantes que ligaram os pontos,

fizeram com que o traço passasse na origem do plano cartesiano, pois

consideraram o ponto de coordenada (0, 1) como (0, 0).

Observamos aqui que, em geral, nos livros didáticos são tratadas

apenas as funções contínuas e o caso de funções discretas é desenvolvido

apenas por alguns autores.

No item “c”, os problemas começaram a ser mais acentuados e os erros

mais diferentes um dos outros. Somente 3 estudantes resolveram corretamente

e utilizaram uma notação matemática correta, apresentando o símbolo (→) ou

(=), como, por exemplo, f(x) = 3 → x = 4. Seis estudantes indicaram também a

resposta correta, mas a notação não foi a desejada. Utilizaram notações como,

por exemplo, f(x) = 3 → 4 ou, f(x) = 3, 4 = 3. Quatro estudantes deixaram

registrado as operações que nos mostraram o erro cometido como, por

exemplo, x = 4 – 1 = 3. Neste último caso, eles usaram para x a expressão de

f(x). Eles usaram no cálculo o antecedente mentalmente, para mostrar que o

cálculo levaria ao resultado que a atividade informava. Dois estudantes

indicaram que, se f(x) = 0, então x = 0 (não com esta notação), indicando que

estes estudantes fixaram a ideia de que a representação gráfica de uma função

deve passar necessariamente pela origem do sistema. Um estudante deixou o

item em branco.

269

Figura 156: Atividades de alguns estudantes do prof_4 para a questão 1

Aluno TTCB Aluno VGL Aluno KM

Fonte: A pesquisa

A questão 2 que retiramos de um Livro Didático atual. Independente de

qual material o professor tenha utilizado em sua sala de aula, os alunos

provavelmente deveriam ter desenvolvido competências para resolver

problemas dessa natureza. Oito estudantes representaram o gráfico da função

s = 2t – 3 de forma que podemos considerar aceitável como resposta, mas há

bastante imperfeições na construção gráfica pois, em algumas delas o traçado

se interrompe no primeiro e no último ponto demarcado sobre o plano. Ou

então os pontos não estão perfeitamente alinhados. Alguns estudantes

marcaram apenas dois pontos para t variando num intervalo de uma unidade, e

traçaram o gráfico apenas no intervalo desses dois pontos.

Cerca de cinco estudantes marcaram alguns pontos na posição correta e

outros pontos em posições indevidas, traçando o gráfico de forma incorreta.

Dois estudantes marcaram apenas um ponto no plano.

Grande parte dos estudantes deixou registrada a forma como obtiveram

os valores que permitiram marcar os pontos no plano cartesiano. Alguns

deixaram os valores registrados em tabelas, outros deixaram registradas as

operações. Dois deles não deixaram nenhum registro de cálculos.

O traçado de gráficos é bastante trabalhado nas atividades dos

Cadernos e nos Livros Didáticos. Assim, era de se esperar que os estudantes

da 3ª série do ensino médio tivessem a habilidade de traçar gráficos. Mas o

número de estudantes que mostrou a atividade resolvida de forma correta e

bem apresentada ficou abaixo do esperado.

270


Aluno VG Aluno TTCB Aluno ACC

Fonte: A pesquisa

A questão 3 foi extraída dos Cadernos. Dessa forma, esperávamos que

a maioria dos estudantes desse professor mostrasse menos conhecimento de

como desenvolver a questão, uma vez que, provavelmente, esse professor

tenha trabalhado com ênfase na abordagem do Livro Didático em sala de aula.

No item “a” da questão 3 tivemos três estudantes que deixaram a

atividade em branco. Quatorze estudantes apresentaram corretamente o valor

da constante k = 4,9, porém somente nove deles mostraram o cálculo para

chegar a este resultado. Dos quatorze iniciais que apresentaram a constante

correta no item “a”, apenas onze acertaram o item “b”, inclusive apresentando

os cálculos: d = 4,9 . 52 = 122,5 m.

No item “c” dessa questão, aumentou o número de estudantes que o

deixou em branco, cinco. Do total de estudantes dessa turma, sete

apresentaram a resposta com 10, sem extrair seu valor. Nem todos eles

utilizaram notações corretas. Alguns registraram o resultado como t2 = 10.

Nenhum dos estudantes indicou a unidade de tempo ao final da resposta.

Outros estudantes fizeram cálculos sem sentido. Alguns por exemplo

registraram d = 49 – 4,9 = 44,1.

271


Aluno VG Aluno MLT Aluno ACC

Fonte: A Pesquisa

A questão 4, como comentamos anteriormente, foi extraída do vestibular

da Unicamp – 2012. Esperávamos encontrar alguns estudantes preparados

para responder uma questão de vestibular. Nesta turma, quatorze estudantes

deixaram a questão em branco. Os outros quatro estudantes procuraram

utilizar alguns valores fornecidos no enunciado da questão e procuraram

relacionar estes valores. Porém, não chegaram a responder ao solicitado, pois

não chegaram a resultados satisfatórios.


Aluno TTCB Aluno MLCM

Fonte: A Pesquisa

Análise das questões dos estudantes do prof_7.

As respostas desse professor ao questionário mostraram que ele tem

alta probabilidade de que utilize os Cadernos em suas aulas. Neste caso então,

esperamos que a questão 3 tenha melhor rendimento que as duas anteriores e

também, comparando com os estudantes da primeira turma, estes devem ter

resultados melhores. Dos quarenta e quatro estudantes dessa turma, dois

deles deixaram a folha de atividade totalmente em branco. Passaremos a

analisar as 42 respondidas.

No item “a” da questão 1, trinta e cinco estudantes representaram

corretamente os diagramas, com todos os valores dos conjuntos e com todas

as setas ligadas corretamente. Dos outros seis, dois não terminaram de

272

completar as setas que associavam os números dos dois conjuntos, um não

inclui os valores -3 e 6 no diagrama B e três deles cruzaram algumas flechas,

associando (2 → 0) e (1 → 1). Este resultado começa a mostrar algo

surpreendente, uma vez que o professor responde seu questionário com

características que utiliza o caderno, mas seus alunos têm conhecimento para

resolver diagramas de flechas, tema não trabalhado nos Cadernos.

Possivelmente esses estudantes, em algum momento de sua formação tiveram

contato com esse tema a partir de um trabalho provavelmente apoiado pelo

Livro Didático.

No item “b” o número de estudantes que deixou a questão em branco

aumentou para 10. Apenas dois estudantes marcaram os pontos no plano

cartesiano e não os ligaram. Desses, um acertou a posição de todos os pontos,

outro registrou o ponto de coordenada (1, 0) na marca do ponto (0, 0). Vinte e

um estudantes marcaram os pontos nas posições corretas, mas traçaram uma

linha sobre eles. Os demais estudantes marcaram pontos em locais incorretos

e também os ligaram, formando figuras parecidas com curvas ou segmentos de

retas que se encontravam formando zig-zag.

No item “c”, tivemos doze estudantes que indicaram corretamente os

valores que x deveria assumir em cada um dos casos, e todos os doze

representaram seus resultados de forma parecida, escrevendo a expressão

original f(x) = x – 1, substituindo f(x) pelo valor fornecido, por exemplo 3 = x – 1,

e em seguida, apresentando o valor de x, que no caso do exemplo tomado, x =

4. Treze estudantes apresentaram corretamente os dois primeiros valores de x,

ou seja, x = 4 e x = 1, mas na terceira operação, ao resolverem a equação

– 1 = x – 1, indicaram x = – 2, (cinco estudantes) ou x = 2 (sete estudantes),

demonstrando ainda terem problemas na resolução de equações desse tipo.

Seis estudantes apresentaram respostas erradas ou cálculos inacabados.

273


Aluno BLF Aluno DBS Aluno LBS

Fonte: A Pesquisa

Na resolução da questão 2, tivemos dezenove estudantes que deixaram

a questão em branco. Dos estudantes que trabalharam na questão, apenas dez

construíram o gráfico de forma correta, e a maioria deixou registrados os

valores utilizados nas coordenadas dos pontos, ou em forma de tabela, ou

mostrando os cálculos na equação. A grande maioria dos estudantes que

trabalharam na questão, ou erraram os cálculos e fixaram os pontos em

coordenadas indevidas, ou simplesmente marcaram alguns pontos sobre o

plano cartesiano baseados em alguma indicação do enunciado do exercício.

Por exemplo, um estudante marcou somente o ponto de coordenadas (-3, 2),

possivelmente porque esses dois valores apareciam como coeficientes da

equação s = 2t – 3. Outros erros bastante frequentes eram os traçados de

linhas segmentadas, formando zig-zag, ou linhas curvas, às vezes sem passar

pelos pontos registrados.

274


Aluno DBS Aluno LBS Aluno MLCM

Fonte: A Pesquisa

Comparativamente à turma do prof_4 (livro), as turmas do prof_7

(caderno) parece apresentar um rendimento bem inferior, tanto na resolução da

questão 1 como na resolução da questão 2 do teste. Como os estudantes da

primeira turma provavelmente estudam mais frequentemente com os Livros

Didáticos, e estas questões foram extraídas de um Livro Didático, era de se

esperar uma diferença. Porém, a diferença foi bastante acentuada. Mesmo que

os estudantes da segunda turma estudem com o uso dos Cadernos, deveriam

desconhecer somente o item “a” da questão 1, e deveriam ter melhor

rendimento nos demais itens. Por exemplo, na questão 2, enquanto que os

alunos da turma 1 tiveram um índice de acerto de 8 para 18, na segunda turma

o índice foi de 10 para 44.

Analisando os resultados para a questão 3, percebemos que mais

estudantes se aventuraram procurando resolver a questão, pois o número

daqueles que deixaram a questão em branco caiu para quinze.

Para o item “a”, vinte e dois estudantes indicaram corretamente que a

constante k valeria 4,9. No entanto, aqueles que apresentaram corretamente as

equações e fizeram corretamente os cálculos foram dezoito. Os outros quatro

ou simplesmente apontaram a resposta ou apresentaram erros na escrita das

equações.

275

Entre os estudantes que erraram o item “a” da terceira questão, ou

resolveram incorretamente os cálculos chegando a valores incorretos, ou

utilizaram de forma incorreta as equações. Um dos estudantes, por exemplo,

escreveu 4,9 = k.12 e em seguida apresentou k = 98.

No item “b” tivemos um número bem menor de estudantes que

apresentaram uma resposta correta à questão, apenas seis. Estes escreveram

corretamente a equação, substituíram o t por 5, encontrando como solução o

resultado d = 122,5 m. No entanto, nenhum deles indicou a unidade de medida.

Tivemos ainda quatro estudantes que escreveram corretamente a equação e

fizeram a substituição de t pelo valor 5, mas ao resolver o cálculo d = 4,9 . 52 ,

apresentaram como resposta 12,25, um desses estudantes ainda forneceu esta

solução e ainda usou a unidade “seg”.

Os outros estudantes que erraram, cometeram erro na operação

(4,9 . 25 = 0,196), outros não fizeram a potência do 5, resolvendo

4,9 . 5 = 24,5, ou dividindo 25 por 4,9. Muitos fizeram algumas operações sem

sentido.

No item “c” apenas um estudantes chegou ao resultado t = 10, mesmo

não colocando a unidade de tempo. Outro estudante que chegou mais próximo,

deixou a resposta como t2 = 10. Os demais, ou deixaram a resposta em branco

(22) ou utilizaram as equações indevidamente ou fizeram cálculos incorretos.

Como temos teoricamente que estes estudantes têm aulas com os Cadernos,

esperávamos que o índice de acerto nesta questão fosse melhor, pelo fato dela

ter sido extraída do Caderno. No entanto, somente dois dos quarenta e quatro

estudantes acertam tal questão. Muito menos do que os estudantes da turma

do prof_4, que supostamente têm aulas com o uso do Livro Didático.

276


Aluno EOS Aluno WTL Aluno LBS

Fonte: A Pesquisa

A quarta questão foi deixada em branco por dez estudantes. Porém,

como ocorreu na turma do prof_4, nesta turma também nenhum estudante

chegou ao resultado correto, ou seja, nenhum estudante apresentou como

resposta a função v(x) = 0,9x + 2. Encontramos 20 folhas de atividades

somente a inscrição v(x) = x + 5. Possivelmente um ou alguns estudantes

usando o fato de que, para a velocidade de 65 km/h o velocímetro marcava 70

km/h, devem ter associado o número 5 à expressão. Outros estudantes podem

ter copiado esse resultado.

Um protocolo com a inscrição v(x) = x – 5. Um protocolo com a inscrição

x = x + 5. Dois protocolos com a inscrição v(x) = 5. Cinco protocolos com v(x) =

-5. Cinco protocolos com uma sequência de valores, como 65, 70, 85, 90, 115,

120. Provavelmente neste último caso, procurando chegar a alguma conclusão

sobre o comportamento do registro do velocímetro defeituoso.


Aluno MRS Aluno KSS Aluno EMS

Fonte: A Pesquisa

277

As análises das atividades dos estudantes nos permitiram verificar que,

independentemente se eles estudaram com os Cadernos ou com os Livros

Didáticos, seus conhecimentos estão muito aquém daquilo que se esperava

para estudantes da série terminal do ensino médio. Também vemos que os

estudantes analisados nas duas turmas, têm dificuldades para resolver

problemas mais elaborados, como a questão 4 do teste, que normalmente são

apresentados em concursos vestibulares de universidades públicas.

Se realmente os estudantes da turma do prof_4 estudaram com o uso do

Livro Didático, seus resultados um pouco acima dos resultados dos estudantes

do prof_7, podem ter sido favorecidos por isso. Porém, não podemos afirmar

que o conhecimento um pouco superior demonstrado por essa turma,

comparado à segunda turma, tenha sido mérito do uso do Livro Didático.

Lembramos que o prof_4 pertence ao grupo 5, ou seja, o grupo que

conta com 10 escolas com desempenhos favoráveis e que só possuem o

ensino médio, enquanto que o prof_7 pertence ao grupo 6, ou seja, das 10

escolas com desempenhos não favoráveis e que só possuem o ensino médio.

Dessa forma, os resultados obtidos pelos alunos da primeira turma estão de

acordo com o grupo ao qual eles pertencem. Porém, comparativamente em

relação ao uso de material didático, os estudantes que possivelmente estudam

com o uso do Caderno tiveram rendimento inferior aos estudantes que

possivelmente estudam com o Livro Didático.

278

10 – CONCLUSÃO

Nosso trabalho envolveu análises de diversos materiais como

documentos, questionários e testes com questões, com foco no conceito de

função. Essas análises nos permitiram refletir sobre a abordagem desse

conceito, historicamente e epistemologicamente, apontando as concepções

próprias desses materiais e mais precisamente nos materiais de apoio ao

Currículo do Estado de São Paulo, os Cadernos do Professor e do Aluno.

As comparações dessas abordagens e concepções nos permitiram

traçar um perfil sobre as formas de tratamento desse objeto matemático e

como os autores dos diversos materiais pensaram no ensino e na

aprendizagem do conceito de função.

Os questionários aplicados aos professores permitiram verificar os tipos

de materiais que predominantemente esses professores utilizam em sua

prática da sala de aula e de que forma os mesmos fazem uso desses materiais.

Os testes aplicados aos alunos de dois desses professores pesquisados

nos permitiram verificar como esses alunos aprenderam o conceito de função a

partir dos materiais que supostamente esses professores utilizaram na sua

aula, e quais os conhecimentos supõe-se disponíveis por esses alunos ao

prestarem um exame vestibular para sua continuação dos estudos em nível

superior.

E, finalmente, analisando um conjunto de questões das avaliações em

larga escala do Estado de São Paulo – SARESP, verificamos os possíveis

rendimentos que os alunos tiveram nos períodos pré e pós-implantação dos

materiais de apoio ao Currículo do Estado de São Paulo.

Historicamente, vemos que o conceito de função foi se estabelecendo

como um objeto matemático em função do uso que se faziam dessa

ferramenta. Conforme Rogalski (2013), antigamente a ideia de função estava

bastante relacionada aos conceitos físicos, colocando a função como uma

noção de covariação entre grandezas. Somente a partir do século XVII a

função começa a ganhar o status de função numérica.

Hoje concebemos função como função numérica no interior da

Matemática. Grande parte das definições de funções em livros textos utilizam

279

os conceitos de conjuntos numéricos, como podemos ver em Dante (2010),

Lima et al. (2006) e Smole e Diniz (2010), apesar dessa última obra não

precisar os conjuntos utilizados.

No entanto, nos exemplos de aplicação as funções são utilizadas, na

maioria das vezes, como covariação de grandezas, ou seja, na forma como foi

concebida historicamente.

Esse é o grande mérito desse objeto matemático. Enquanto existe na

Matemática uma teoria da análise desenvolvida para o estudo de funções,

analisando-a como função numérica, procurando eliminar as armadilhas que

poderiam colocar em risco sua definição precisa, outras ciências tiram proveito

dessa noção para colocá-la a prova, utilizando-a em grande parte das vezes

com a condição de covariação de grandezas.

Nesse sentido vemos a aplicação desse conceito nas obras por nós

analisadas. A definição tende a conceber função como função numérica e os

exemplos contextualizados tendem à noção de covariação de grandezas.

Alguns com mais intensidade à primeira forma, outros com tendência maior à

segunda.

Os documentos oficiais brasileiros não parecem se importar com estas

diferenças. Mesmo porque, por esses documentos percebemos que a intenção

é introduzir o conceito de função aos estudantes do ensino básico de forma a

permitir que esses estudantes possam utilizar esse conceito como ferramenta

de modelagem de situações contextualizadas.

Essa é uma diferença marcante se compararmos a forma de conceituar

função com os documentos oficiais franceses, principalmente aqueles voltados

ao estudo científico do lycée. Nestes documentos percebe-se uma forte

tendência ao estudo de funções de forma analítica, isto é, os conceitos de

intervalos, de cardinalidade, de sequências finitas ou infinitas, variação e taxas

de variação, primitivas e outros conceitos que estão fortemente relacionados ao

estudo da teoria dos conjuntos e é posto em prática no estudo de funções.

Certamente, são feitos exemplos de aplicação nos estudos de funções

nos livros didáticos, como vimos em Brault et al. (2008) e Breltramone et al.

(2010, 2011, 2012), utilizando as funções como covariação de grandezas, no

entanto são colocadas questões nestes exemplos que remetem à reflexão de

funções numéricas, por parte dos estudantes.

280

Voltando aos documentos oficiais brasileiros, vemos que a LDB 9394/96,

se estabelecendo como norteadora das ações procedimentais e sociais

deixando a questão dos conteúdos a serem ensinados por conta dos sistemas

de ensinos, que devem estruturar seus Currículos de acordo com suas

realidades sociais e políticas.

As Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (DCENEM) de

1998 reforçam o que aponta a LDB 9394/96 sobre a elaboração do Currículo,

que este deve expressar a ideia do exercício da cidadania e do mundo do

trabalho. Também não indica conteúdos, mas orienta que os Currículos devem

se constituir de forma a desenvolver nos educandos competências e

habilidades necessárias ao desenvolvimento do ser humano.

Os PCN de 1998 e os PCNEM de 2000 começam a elaborar um esboço

do que viriam a ser os conteúdos para o ensino básico. Com a definição de

eixos na Matemática, no ensino fundamental, indicam que o estudo de funções

deve se estabelecer no eixo “Números e Operações” e a explorar a relação

entre duas grandezas e a generalização de padrões aritméticos, e no ensino

médio os parâmetros não apontam como deve ser estruturado os Currículos e

nem os conteúdos a serem ensinados. Mas, em 2002 os PCN+ apresentam

uma relação de conteúdos, incluindo o estudo de funções.

Dessa forma, vemos que os documentos oficiais brasileiros precisaram

ser readequados ao longo de sua implementação, pois pretendiam deixar

totalmente por conta dos sistemas de ensino e por conta das regiões, a escolha

da metodologia de ensino mais adequada e os conteúdos necessários. Porém,

sem ter uma diretriz que fosse comum às instituições de ensino, os educadores

não se sentiram apoiados e cobraram da União a elaboração de um plano de

ensino mais unificado, conforme observa Pereira (2013) em sua tese.

Assim, após a readequação dos documentos oficiais, o ensino de

funções passa a ser indicado a iniciar no 9º ano do ensino fundamental,

incluindo o estudo de funções polinomiais do 1º e do 2º graus. No ensino médio

essas funções são retomadas na 1ª série, quando também são ensinadas as

funções exponenciais e logarítmicas, sendo deixadas as funções

trigonométricas para a 2ª série. E o estudo analítico de funções ficou para a 3ª

série do ensino médio.

281

Vemos que, em geral, os Livros Didáticos brasileiros que analisamos e

os Cadernos seguem esta sequência. O que, em geral, se altera, é a forma de

abordar estes conteúdos.

Enquanto percebemos que a abordagem do conceito de função feita

pelos Livros Didáticos é realizada por meio do estudo de conjuntos numéricos,

tanto aqueles empregados no Brasil como os empregados na França, a

abordagem utilizada pelos Cadernos do Professor e do Aluno é feita por meio

da relação de proporcionalidade. Neste último caso, a variabilidade associada

ao conceito de função está mais diretamente relacionada às grandezas

envolvidas, concebendo função como variação de grandezas. Ou seja, a

abordagem feita pelos Cadernos é mais parecida àquela desenvolvida

historicamente.

No Estado de São Paulo, a Proposta Curricular de Matemática,

publicada em 2008, aponta que o estudo de funções deve ser iniciado no 9º

ano, com as “funções de 1º e 2º graus”, se referindo às funções polinomiais do

1º e 2º graus. E na 1ª série do ensino médio retoma a esses tipos de funções,

ampliando o estudo para as funções exponenciais e logarítmicas. Na 2ª série

estuda as funções trigonométricas e na 3ª série indica o estudo analítico de

funções, como indicava os PCN+.

O Currículo de Matemática do Estado de São Paulo de 2010, relativo ao

estudo de funções, não fez nenhuma alteração sobre a sequência do estudo de

funções expressa pela Proposta Curricular de 2008.

Uma diferença que notamos em relação a esse conceito nos dois

documentos, foi que, no primeiro deles o estudo de função estava inserido no

eixo grandezas e medidas, enquanto que no segundo foi inserido no eixo

relações. Nos dois casos percebemos claramente a ideia do conceito de

função concebida como covariação de grandezas.

Fazendo uma comparação com o programa nacional francês, que inclui

o estudo de funções no eixo “organização e gestão de dados, funções”,

notamos que neste caso, o olhar para o conceito de funções é feito por meio da

ideia de função numérica.

O Caderno do Professor, que foi implantado no Estado de São Paulo em

2008 pelo programa “São Paulo Faz Escola”, mostra acentuadamente que o

estudo de funções é feito a partir da ideia de proporcionalidade. As Situações

282

de Aprendizagens, que compreendem a forma de apresentação dos conteúdos

por esses materiais, iniciam o estudo de funções nos Cadernos do 9º ano do

ensino fundamental por meio de atividades que compreendem a verificação da

relação de proporcionalidade direta entre duas grandezas.

E dessa forma, quando em vários momentos, os autores dos Cadernos

pretendem mostrar algebricamente a expressão que representam as funções,

os fazem de forma a mostrar uma relação de proporcionalidade, seja entre o

valor da função e seu antecedente ( kxxf )( ), seja utilizando algum artifício

que permita representar alguma característica da função a partir de uma

relação de proporcionalidade ( kxhxf )( para a função afim,

2)()( hxkvxf para a função quadrática, )(.)()( 112 xfkxfxf para a

função exponencial, etc.).

A formação inicial do professor, quando se trata do conceito de função,

se dá por meio da definição com a utilização de conjuntos numéricos, como

podemos verificar em Stewart (2011) ou Lima et al (2006). Ou seja, as funções

são concebidas como funções numéricas e seu estudo implica na relação entre

elementos de dois conjuntos.

Por outro lado, os livros didáticos, atuais ou antigos, utilizados pelos

professores, também definem funções por meio de conjuntos, concebendo-as

como funções numéricas, mesmo fazendo aplicações das mesmas por meio de

covariação de grandezas, como podemos verificar em Bezerra (1994), Dante

(2005, 2010) e Smole e Diniz (2010).

É uma abordagem bastante ousada fazer o estudo de funções por meio

das relações de proporcionalidade. Neste caso, havíamos de esperar que uma

formação continuada intensa tivesse que fazer parte desse cenário, desde a

introdução dos Cadernos do Professor.

Isso foi idealizado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

ao criar o curso “A Rede aprende com a Rede - RAR” e o programa “Apoio a

Continuidade de Estudos”.

Segundo Pipitone et al (2010), os cursos do RAR foram desenvolvidos

por meio de estratégias de educação a distância com 30 horas de trabalho

online na forma de vídeo aulas, fóruns e outros recursos de mediação

pedagógica não presencial acompanhados por tutores. A tutoria foi

283

desenvolvida por professores coordenadores de oficina pedagógica – PCOP,

de acordo com suas áreas de atuação.

Esse curso foi um dos primeiros da rede estadual realizado à distância e

não teve um retorno como se desejava, além de não ter sido uma formação

voltada diretamente aos conteúdos dos materiais de apoio.

Se levarmos em conta que grandes recursos são destinados

para este fim parece bastante importante que sejam

aprimoradas as condições de êxito de tais cursos com objetivos

claros de incorporação de ganhos ao processo de educação

básica. (PIPITONE ET AL, 2010).

O primeiro curso voltado especificamente para o estudo dos conteúdos

dos Cadernos se deu inicialmente em 2010 pelos autores dos Cadernos aos

Professores Coordenadores das Oficinas Pedagógicas. Esses Professores

Coordenadores começaram a aplicar o curso aos professores de sua região no

ano seguinte. Ou seja, três anos após ter sido iniciado o uso dos Cadernos. E

lembrando ainda que poucos professores tiveram a oportunidade de participar

do curso, seja por limitação de vagas, seja por acumulo de funções.

Os Cadernos do Aluno tiveram sua implantação no ano seguinte aos

Cadernos dos Professores. Os professores necessitavam de um material

voltado aos seus alunos, uma vez que os Cadernos do Professor eram

exclusivos para este público e as atividades sugeridas já se apresentavam

respondidas.

Com a inclusão dos Cadernos dos Alunos, os professores tiveram a

facilidade de utilizar as atividades de forma mais abrangente, podendo inclusive

se utilizar das atividades para o lar e atividades de pesquisa incluídas nos

Cadernos que faziam parte dos materiais comuns dos estudantes.

Mas, um agravante se somou à facilidade. As atividades não seguiam a

mesma sequência de atividades dos Cadernos do Professor, e as mesmas

dificuldades que os professores encontraram no estudo de funções por meio

das relações de proporcionalidade permaneciam nas atividades que se

apresentavam aos estudantes.

Na época da implantação dos Cadernos do Professor e do Aluno, os

professores foram orientados a utilizarem em suas aulas, os materiais que

284

estavam sendo disponibilizados, mesmo que as escolas estivessem recebendo

os Livros Didáticos do programa federal – PNLD. Provavelmente essa transição

entre a utilização exclusiva dos Livros Didáticos para o uso de outro material

pode ter trazido um desconforto para os professores. Mas, em 2010, a rede

estadual comunicou publicamente que os Cadernos do Professor e do Aluno

eram materiais de apoio ao Currículo e que poderiam ser utilizados quando

fossem julgados convenientes e juntamente com outros materiais de estudo.

Portanto, hoje faz sentido verificarmos, como pretendeu este trabalho, se

o professor faz uso dos Cadernos do Professor e do Aluno, se faz uso dos

Livros Didáticos, ou se mescla esses materiais, inclusive com outras fontes de

pesquisa e estudo.

Os questionários aplicados a 38 professores da rede pública do Estado

de São Paulo mostraram que, nesse grupo de professores, a maioria não faz

uso dos Cadernos do Professor e do Aluno.

Foi possível verificar também por meio do formulário que, mesmo que o

professor responda que a função esteja fortemente relacionada com a ideia de

proporcionalidade, pois deve ser essa a ideia que lhe vem em mente quando

quer responder que utiliza os cadernos, acaba respondendo, em outra questão,

que faz a definição de função pela ideia de conjuntos, associando os elementos

do conjunto A aos elementos de um conjunto B, por meio de uma relação.

Ou seja, o professor não se desvinculou da ideia que formou sobre

funções, desde sua formação básica nos estudos escolares, quando de sua

formação superior inicial para o magistério ou de sua experiência obtida no

ensino por meio de Livros Didáticos que, geralmente, também definem função

utilizando conjuntos numéricos.

A metodologia utilizada pelos Cadernos envolve iniciar um tema

matemático por meio de uma Situação de Aprendizagem. Isso significa iniciar

um conteúdo por meio de suas aplicações, em seguida apresentar exemplos

de aplicações, e por fim espera-se que o estudante esteja preparado para

compreender a definição do tema em questão.

Essa forma de expor o conteúdo pode ser eficiente. No entanto, os

Cadernos especificam os caminhos que devem levar os estudantes às

reflexões necessárias para a definição de funções como covariação de

grandezas, utilizando-se das relações de proporcionalidade. Ou seja, a forma

285

como se conduz a construção do conhecimento pelos Cadernos é direcionada

por uma ideia central estruturante. Logo, mesmo que o aluno deva construir

seu conhecimento por meio das Situações de Aprendizagem, estas situações

são bem definidas, mas é preciso lembrar que Chevallard (2002) ressalta a

importância da desconstrução/reconstrução no estudo das obras por meio da

metáfora do quebra cabeça, pois reconstituímos apenas fragmentos de um

quebra cabeça que jamais será reconstruído em seu conjunto, com isso o

estudante nem sempre alcança a conclusão desejada pelo Caderno.

No ensino fundamental e no ensino médio o estudo das funções

polinomiais dos 1º e 2º graus se repetem, como geralmente se repetem

também nos estudos dos Livros Didáticos. No entanto, o estudo desse conceito

no ensino médio é mais aprofundado.

No ensino fundamental a relação entre o conceito de função e a ideia de

conjuntos numéricos parece não ser um fator preocupante. Enquanto uma

atividade apresenta uma situação discreta, faz a representação gráfica dessa

situação e apresenta sua lei de formação, outra atividade na sequência

também trata de uma situação discreta, mas representa um gráfico contínuo,

conforme podemos observar na figura 162. Em nenhuma dessas situações se

discutiu as características dos valores abordados.

286

Figura 164: Atividades sobre situações discretas

Fonte: Caderno do Professor, 2009d, vol. 2, 8ª série

Também é possível notar que situações como essas não são vistas

apenas nos Cadernos. Casos menos evidentes representam crescimentos

populacionais, como os crescimentos de colônias de bactérias, por exemplo,

por um gráfico contínuo, e não fazem nenhum comentário sobre as grandezas

envolvidas serem discretas ou contínuas.

Analisando os quadros dos tipos de tarefas relativas às atividades

apresentadas no volume 2 do Caderno do 9º ano, nas duas Situações de

Aprendizagem que tratam do domínio função, a Situação de Aprendizagem 2 e

a Situação de Aprendizagem 3, vemos que T4 (Identificar características de

proporcionalidade) e T5 (Calcular a constante de proporcionalidade) são as

tarefas predominantes. O que não percebemos em outras obras. No livro do 9º

ano de Dante (2005), por exemplo, não houve nenhuma ocorrência de T4 e T5.

Os tipos de tarefas mais frequentes foram T6 (Escrever uma expressão

algébrica) e T7 (Representar um gráfico cartesiano).

287

Nota-se também uma maior dispersão nos tipos de tarefas nos quadros

relativos aos Livros Didáticos analisados. Podemos supor que um professor

que utilizasse tais livros teria maior oportunidade para variar as atividades

apresentadas aos seus estudantes, possibilitando criar situações de referência

que os estudantes podem utilizar como disponíveis em outras oportunidades.

No estudo de funções feito pelos Cadernos do ensino médio, vemos que

ele também é centrado na ideia de proporcionalidade, concebendo, desse

modo, funções como covariação de grandezas. O professor poderia esperar

um estudo mais formal de funções na 1ª série do ensino médio, no entanto, a

introdução do estudo do conceito de função é praticamente idêntica àquela

realizada no ensino fundamental.

Faz-se a apresentação de notações como )(xfy , e f: S IR, onde

S IN *, mas não há um estudo voltado às relações entre conjuntos. Logo, não

há nenhuma atividade nos Cadernos, voltados ao ensino de função, que faça

representações por meio de diagramas de Venn (ou de flechas).

Assim, o professor poderá ver-se desprovido de situações que o

auxiliem a efetuar um estudo mais formal, apoiado no conceito de função

concebida como função numérica, e precisa recorrer a outros materiais como,

por exemplo, os Livros Didáticos se quiser ampliar a forma de trabalho com

esse objeto.

Mas resta sabermos se o professor terá tempo para pesquisar outros

materiais que servirão de apoio às suas aulas e se o tempo de suas aulas

comportará o uso de diversos materiais e diferentes métodos para o ensino de

determinados conceitos.

Comparando os tipos de tarefas solicitadas nas atividades do vol. 2 do

Caderno da 1ª série do ensino médio, notamos que a ocorrência da tarefa T4

(Identificar características de proporcionalidade) e T5 (Calcular a constante de

proporcionalidade) foi mais reduzida, sendo mais recorrentes as tarefas do tipo

T7 (Representar um gráfico cartesiano) e T9 (Encontrar informações e/ou

propriedades em gráficos cartesianos).

Portanto, as representações gráficas são as formas mais acentuadas do

trabalho com funções nesse Caderno. Isso também fica bastante evidente

288

quando verificamos que o título da Situação de Aprendizagem 2 e da Situação

de Aprendizagem 3 trazem embutido o tópico de representações gráficas.

Quando comparamos o estudo de funções apresentado nesse volume

do Caderno, que trata mais especificamente as funções polinomiais do 1º e 2º

graus, com os apresentados pelos livros didáticos da 1ª série do ensino médio

analisados neste trabalho, notamos que as diferenças começam a surgir desde

o momento da definição de função. O livro “Bezerra Matemática” e o livro

“Matemática Ensino Médio” definem estes tipos de funções por meio de

conjuntos.

A relação que estas obras fazem entre os conceitos de função e as

relações de proporcionalidade se restringe às funções lineares.

O mesmo acontece com o livro Declic Mathématiques, que também

define função por meio de conjuntos e também associa somente a função

linear com as relações de proporcionalidade.

Já o vol. 3 do Caderno da 1ª série do ensino médio apresenta tarefas

mais voltadas a T1 (Resolver uma equação) e T2 (Encontrar um valor para

uma função) quando trata de funções exponenciais, T9(Encontrar informações

e/ou propriedades em gráficos cartesianos) e T10 (Encontrar informações e/ou

propriedades em expressões algébricas) quando trata de funções logarítmicas.

Portanto, para esses tipos de funções os autores dos Cadernos não as

associaram às relações de proporcionalidade e as desenvolveram como

geralmente são desenvolvidas nos Livros Didáticos, ou seja, mostrando os

gráficos das funções de bases bem definidas e, recorrendo ao ostensivo gráfico

cartesiano tiram-se conclusões visuais sobre crescimento e decrescimento e

outras propriedades.

A diferença entre os Cadernos e os Livros Didáticos começa a se

evidenciar no momento em que os Cadernos passam a mostrar a função

exponencial e a logarítmica como inversas uma das outras, apelando mais uma

vez para o ostensivo de representação gráfica e mostrando que os pontos

(m, n) do gráfico de uma delas representa o ponto (n, m) em outra.

Diferentemente das obras brasileiras analisadas, a francesa apresenta o

estudo de funções exponenciais e logarítmicas no vol. 3, após ter introduzido

os conceitos de derivação. Portanto, as funções exponenciais mais usuais

289

neste estudo são as de base “e” e a função logarítmica, sendo tratadas como

inversa da função exponencial, é a função logarítmica neperiana.

Os Cadernos da 2ª série do ensino médio que tratam de funções

abordam as funções trigonométricas. O estudo é feito pela correspondência

entre os valores das relações trigonométricas obtidas por arcos sobre uma

circunferência e os gráficos cartesianos. As tarefas das atividades da Situação

de Aprendizagem 2 ficam todas concentradas entre T6 e T10 ou seja, se

concentram nas representações gráficas e nas representações algébricas. E as

tarefas das atividades da Situação de Aprendizagem 3 são apenas as T1 e T2,

centrando na resolução de equações trigonométricas. Já a obra de Bezerra

(1994) as tarefas são T7 (Representar um gráfico cartesiano), T9 (Encontrar

informações e/ou propriedades em gráficos cartesianos) e T10 (Encontrar

informações e/ou propriedades em expressões algébricas), enquanto que na

obra de Smole e Diniz (2010), as tarefas analisadas ficam quase todas entre

T1(Resolver uma equação) e T2 (Encontrar um valor para uma função).

Se o professor opta por trabalhar apenas uma dessas obras, seja os

Cadernos ou um dos livros didáticos, fica limitado no trabalho de diversificar as

situações de referência para seus estudantes. Daí a importância de mesclar as

fontes de pesquisa e os materiais de uso nas salas de aula.

Também neste tema função trigonométrica do setor de funções

numéricas os autores não fazem relações dessas funções com

proporcionalidade.

Comparando esse trabalho dos Cadernos e os analisados nos livros

mais antigo e mais atual, percebemos que esse estudo tem se mantido com a

mesma estrutura anteriormente à LDB 9394/96 e posteriormente a ela.

O que é percebido nos Cadernos é a forma de introduzir o conceito de

funções trigonométricas por meio de situações periódicas, utilizando como

exemplos o movimento aparente do sol e os comprimentos das sombras

durante o dia.

O vol. 3 do Caderno da 3ª série do ensino médio, o único dessa série

que trata do conceito de funções, faz o tratamento analítico de funções e este

tratamento aproveita muito do ostensivo gráfico cartesiano. Tem suas tarefas

bastante concentradas em T7 (Representar um gráfico cartesiano). O estudo

da função exponencial de base “e” segue um apelo analítico desconexo dos

290

outros tópicos. Sua apresentação se faz considerando o limite da sequência

n

n

11 para n crescendo indefinidamente, da mesma forma que Dante (2010,

p. 249) quando apresenta o mesmo tipo de função.

Comparando o que algumas obras apresentam no estudo das funções

exponenciais de base “e”, talvez fosse mais natural se os Cadernos seguissem

uma linha de raciocínio verificada na obra de Beltramone et al (2012) e Stewart

(2011), onde se justifica que a taxa de variação da função exponencial de base

“e” no ponto x = 0 é 1, enquanto que para a função exponencial de base “a” é

ln(a), ou seja para a = 2 a taxa é aproximadamente 0,693 e para a = 3 a taxa é

de aproximadamente 1, 099. Portanto a base que melhor se ajusta para o caso

citado é e 2, 718.

De certo que as obras de Beltramone et al (2012) e Stewart (2011)

utilizam o conceito de derivadas como taxa de variação, mas as

representações gráficas apresentada na obra de Stewart (2011) permitem uma

compreensão relativa às taxas de variação para as funções exponenciais no

ponto x = 0, mesmo sem o apelo ao conhecimento de derivação.

Ao analisar a relação pessoal esperada dos estudantes, comparando

seus rendimentos anteriormente ao momento de implantação do Currículo e

dos materiais de apoio Cadernos do Professor e do Aluno com o período

posterior à implantação, por meio das questões do SARESP disponibilizadas

pelos relatórios desse Sistema, vemos que os índices de acertos foram

inferiores no segundo momento.

Confrontando estes resultados como os índices apresentados pela

avaliação do SAEB e do SARESP, por meio dos gráficos que representam

estes índices, vemos que eles são um pouco inferior a partir do ano de 2008.

Isso vem corroborar com as análises que fizemos sobre os resultados das

questões do SARESP.

Os testes aplicados aos estudantes de dois dos professores analisados

nos mostraram também que o nível de conhecimento dos estudantes da série

final do ensino médio está bem abaixo daquilo que se espera para um

estudante dessa série.

291

Esse resultado não é muito diferente daqueles observados nos relatórios

do SARESP. No relatório de 2010, por exemplo, foi apresentada a comparação

dos índices obtidos pelos estudantes do 5º ano do ensino fundamental e dos

estudantes da 3ª série do ensino médio, apontando essa diferença como sendo

73,5 pontos na escala de proficiência, enquanto que essa diferença deveria ser

de 125 pontos nesses 7 anos de escolaridade (SÃO PAULO, 2011, p. 32).

No mesmo relatório indica que a 3ª série do ensino médio também

apresenta maior distanciamento do índice que deviria ser considerado

adequado para essa série. Essa diferença é de 80,8 pontos na escala de

proficiência, onde essa defasagem representa cerca de 4 anos de escolaridade

(São Paulo, 2011, p. 32). Portanto, por meio desses índices podemos comparar

os resultados dos estudantes da 3ª série do ensino médio com aqueles

adequados para os estudantes do 8º ano do ensino fundamental.

A falta de crescimento nos resultados obtidos pelos estudantes da rede

pública do Estado de São Paulo, principalmente os da 3ª série do ensino

médio, pode estar atrelada a forma como eles são ensinados.

Os resultados das pesquisas realizadas com os professores por meio

de questionário mostram que estes têm conhecimento dos conteúdos e da

metodologia trabalhados pelos Cadernos. O quadro da figura 140 nos mostra

que os resultados nas questões 3 e 4, que os professores pesquisados

apontam como probabilidade do uso dos Cadernos de 41% e 39%, contra a

probabilidade de 33% e 39%, respectivamente. Essas questões apontam que o

professor conhece os conteúdos e as metodologias utilizadas pelos Cadernos,

pois respondem que a ideia de proporcionalidade é aquela que mais se

relaciona com função e que a função deve ser representada, preferencialmente

na ordem tabela > gráfico > fórmula > língua materna.

Mas esses índices diminuem drasticamente quando os professores

apontam de que forma eles costumam definir funções ao ensinar esse

conceito. São 28% de probabilidade favorável ao uso dos Cadernos contra

72% de probabilidade ao uso do Livro Didático.

Ou seja, os professores reconhecem os materiais distribuídos pela

Secretaria de Educação Estado de São Paulo e possivelmente até o colocam

em uso. Mas no momento do professor realizar seu trabalho, o faz da forma

292

tradicionalmente reconhecida nos Livros Didáticos e daquela que corresponde

ao desenvolvimento do saber que fez parte de sua formação inicial.

Nesse sentido, podemos notar que há um descompasso no uso dos

materiais de apoio ao Currículo, que são os Cadernos do Professor e do Aluno.

Se por um lado os professores se sentem ou se sentiram obrigados a utilizar

esses materiais, o fizeram sem uma formação específica, vista como

necessária à implantação de um material que apresenta uma metodologia de

estudo bastante diferenciada daquela verificada na formação inicial do

professor ou de sua experiência no ensino, com a utilização de outros materiais

de apoio como os livros didáticos.

A formação continuada pensada para minimizar esse quadro iniciou-se

tardiamente. Mesmo assim, o público envolvido foi muito reduzido e o formato

dessa formação não atingiu os objetivos necessários. Tanto que foi pensado

posteriormente um curso no formato à distância.

Pelo fato da rede pública estadual de São Paulo abranger um território

muito extenso, comportando mais de 5000 escolas, e possuindo um material

próprio de apoio ao Currículo, esse fato deveria estimular as instituições de

nível superior de formação inicial a prepararem seus cursos voltados ao uso

desses materiais. Se não o fazem ou não o fizeram até o momento, ou foi

porque não houve boa vontade ou interesses econômicos nessa formação, ou

porque os materiais não agradaram as instituições por não acreditarem em seu

valor didático.

Diante dessas observações, as questões levantadas no início deste

trabalho poderão ser respondidas, levando em conta todas as análises

efetivadas, todos os pontos considerados e todas as reflexões realizadas.

Assim, levando em conta a questão “Entre os conhecimentos

relacionados ao conceito de função, abordados no Currículo, quais são

aqueles que devem estar disponíveis ou mobilizáveis na transição do

ensino fundamental para o ensino médio e ao final do ensino médio?”,

podemos dizer que o Currículo pretende que os estudantes tenham seus

conhecimentos disponíveis ou mobilizáveis na utilização dos diversos tipos de

funções como ferramentas de modelagem às situações cotidianas ou relativas

às ciências ou ao mundo do trabalho, e que possam utilizar esse conhecimento

293

como situações de referência em problemas onde os conceitos de função

possam ser colocados em prática.

No entanto, para que esses objetivos sejam atingidos, os alunos

deveriam demostrar seus conhecimentos frente às avaliações colocadas a

eles, envolvendo os diversos temas e tópicos relativos a funções. E vimos que

os conhecimentos dos estudantes ainda estão aquém daquilo que seja

considerado desejável.

Mesmo que os professores analisados respondam que seus alunos

estudam às vezes, possivelmente os estudos que os estudantes estejam

fazendo podem estar comprometidos com a mesma confusão que talvez esteja

comprometendo o ensino dos mesmos, pelo fato de diferentes metodologias de

ensino serem aplicadas aos mesmos pelo sistema de ensino ao qual estão

engajados.

Sobre a questão “Como os professores organizam as atividades

para seus alunos para esse fim (comparação entre o Currículo Prescrito e

o Currículo em Ação)?”, podemos perceber que os professores pesquisam os

materiais de apoio ao Currículo, Cadernos do Professor e do Aluno. É possível

que esses professores até utilizam as atividades em sala de aula. Os

estudantes provavelmente procuram responder as questões apresentadas

pelos Cadernos do Aluno, possivelmente levam as questões dirigidas para o lar

para estudarem fora do ambiente escolar. Mas, quando o professor vai expor

os conteúdos de algum tema ou tópico na sala de aula, em geral, utiliza de

métodos e concepções adquiridas por sua experiência e pela sua formação

inicial, o que, muitas vezes diverge da metodologia utilizada pelos Cadernos do

Professor e do Aluno. Essa combinação de concepções certamente traz mais

prejuízos do que lucros ao desenvolvimento dos conhecimentos dos

estudantes.

E isso já é um principio do que se pode responder à questão “Que meio

os estudantes dispõem para trabalhar as tarefas propostas nos materiais

de apoio ao Currículo (Caderno do Professor e Caderno do Aluno)?”. Pois

os meios que os estudantes dispõem para trabalhar as tarefas propostas são

aqueles tratados na sala de aula pelo professor. E como vimos pelos quadros

apresentados ao longo da pesquisa com os Cadernos do Professor e do Aluno

e dos Livros didáticos, os tipos de tarefas são bastante limitados. Muitas vezes

294

durante uma Situação de Aprendizagem do Caderno as tarefas se limitam a

alguns tipos somente. Podemos citar como exemplo a Situação de

Aprendizagem 2 do vol. 3 do Caderno da 3ª série do ensino médio que solicita

somente a tarefa do tipo T7 (Representar um gráfico cartesiano) em suas

atividades. E essa falta de variação dos tipos de tarefas não é privilégio

somente dos Cadernos, pois os Livros Didáticos também apresentam as

mesmas fragilidades. Por exemplo, as atividades do livro de Smole e Diniz

(2010, p. 202 - 209) apresentam uma concentração de tarefas do tipo T1

(Resolver uma equação), ao estudar as funções logarítmicas.

Assim, para que os estudantes tenham meios mais eficientes para tratar

as tarefas que são apresentadas nos Cadernos, o professor deve ampliar os

tipos de atividades apresentadas aos seus estudantes, procurando utilizar uma

metodologia central para seu trabalho que venha ao encontro dos materiais

diversos de sua prática, de forma que os conflitos entre metodologias e

concepções sejam superáveis.

Logo, em relação à questão “Que conhecimentos são esperados

disponíveis aos professores para apoiar seu trabalho com as tarefas

propostas (conhecimento sobre o objeto função, os tratamento e as

conversões sobre os diferentes registros e sobre as dificuldades dos

estudantes)?”, a resposta é clara. Se a rede de ensino pública do Estado de

São Paulo pretende manter o programa “São Paulo Faz Escola”, com a

distribuição e uso regular dos materiais de apoio ao Currículo, Cadernos do

Professor e do Aluno, é preciso pensar numa formação continuada eficiente,

que realmente envolva todos os professores da rede, voltada à metodologia e

as concepções adotadas pelos materiais. Os conhecimentos que os

professores trazem como disponíveis da sua formação inicial são conflitantes

com a concepção que os materiais de apoio ao Currículo apresentam em

relação ao objeto de estudo funções. Dessa forma os possíveis tratamentos e

conversões entre diferentes registros de representação de função utilizados

pelo professor ao expor os conteúdos aos seus alunos, são afetados pelos

conhecimentos que o docente adquiriu. As dificuldades dos estudantes podem

ser agravadas diante dessa situação.

E esses fatos implicam também em responder a questão “Quais as

dificuldades apresentadas pelos professores para o trabalho com o atual

295

Currículo, apesar de já terem passado por uma formação inicial?”, pois as

dificuldades estão na mudança de concepção pela qual o professor deve

passar para dar conta de trabalhar os Cadernos com seus alunos.

O Currículo do Estado de São Paulo, cuja implantação foi iniciada em

2008 com a Proposta Curricular, atendeu as demandas que se instalou no

Brasil, por conta da LDB 9394/96. Este por sua vez atendia a demandas mais

amplas que ocorriam no mundo, como as políticas e sociais desencadeadas

pelo processo de globalização (MARTINS, 2000).

As leis, as Diretrizes e os Parâmetros elaborados e publicados pelos

órgãos de educação federais indicavam que os sistemas de ensino deveriam

elaborar seus Currículos para que estivessem à altura das expectativas da

comunidade e que orientasse o trabalho dos profissionais da educação.

O Currículo do Estado de São Paulo foi elaborado, procurando

estabelecer diretrizes para o trabalho do professor e orientações sobre o

desenvolvimento de habilidades e competências. Inclusive indicando os

conteúdos a serem desenvolvidos durante os anos finais do ensino

fundamental e o ensino médio, abrangência desse documento. A orientação do

trabalho por meio de Situações de Aprendizagem (SÃO PAULO, 2010, p. 53) e

o desenvolvimento de conteúdos por ideias fundamentais (ibid., p. 36) também

são trazidas nesse documento.

Os Cadernos, que tiveram sua implantação no mesmo ano que a

Proposta Curricular com o Caderno do Professor, foram elaborados de acordo

com as regras estipuladas no Currículo. Mantiveram as competências como

referência e abordaram os conteúdos conforme sugerido.

As questões acima corroboram com a noção de níveis de

codeterminação de Chevallard (2002), pois os estudos mostraram que, em

geral, os professores utilizam os Livros Didáticos e os Cadernos para o

desenvolvimento de suas aulas e, muitas vezes, para a construção dos planos

de aula.

Assim, é comum que esses planos apresentem os domínios e setores na

mesma ordem que aparecem nos Livros Didáticos ou nos Cadernos. Mas

geralmente o professor se refere apenas aos tópicos e temas no decorrer das

aulas, trabalhando em fila indiana. Mas, como ressalta Chevallard (2002), se o

296

professor não localiza temas e tópicos nos setores e domínios, irá provocar

uma atomização do material de estudo.

O exemplo a seguir apresenta o esquema de níveis de codeterminação

matemática para o domínio funções e coloca em evidência que, em geral, o

trabalho do professor se restringe ao nível domínio e os outros níveis

dependem da noosfera disciplinar e da política, mas é preciso que o professor

compreenda a proposta para atuar nos níveis setor e domínio, senão ele se

limita aos níveis tema e tópicos.

Figura 165: Exemplo de níveis de codeterminação para a função afim

Nível de Codeterminação Exemplo Responsabilidade

Sociedade

Ponto de vista disciplinar

com projetos de

competências

Política

Escola

Ensino médio para

maiores de 16 anos na

EJA (Educação de Jovens

e Adultos)

Política

Pedagogia

Número de aulas de cada

tópico em função da carga

horária

Noosfera disciplinar

Disciplina Matemática Noosfera disciplinar

Domínio Funções Noosfera disciplinar

Professor

Setor

Função numérica de uma

variável real a valores

reais

Noosfera disciplinar

Professor

Tema Função afim Professor

Tópico Gráfico de função afim Professor


Assim, concordamos com Chevallard que é preciso que o professor

assuma as possibilidades de trabalho sobre setores e domínios, procurando

tarefas que motivem o desenvolvimento de um tópico associado a um

determinado tema.

297

Dessa forma, além do material didático desenvolvido pela noosfera

disciplinar, seria interessante propor cursos em que os professores pudessem

construir suas próprias tarefas motivadoras.

Podemos considerar que a concepção de trabalho apresentada nos

Cadernos foi inovadora. O tratamento do conceito de função por meio da ideia

central de proporcionalidade colocou em jogo uma maneira diferenciada do

tratamento desse conceito no ensino médio, mas pegou o professor

despreparado para lidar com essa mudança, pois, em geral, os mesmos não

têm o habito de desenvolver determinado conteúdo matemático por meio de

tarefas por eles mesmo construídas.

Assim, nosso trabalho de pesquisa parece mostrar que o professor ficou

atordoado no meio dessas mudanças e sem possibilidades de encontrar a

relação entre antigas e novas praxeologias, pois essas eram propostas pela

noosfera disciplinar sem a participação do grupo de professores que deveriam

implementá-las. Dessa forma, o estudante parece ter sofrido as consequências

negativas do descompasso entre as relações institucionais esperadas e

aquelas que são efetivamente colocadas em prática pelos professores.

Como o ciclo da implantação dos materiais de apoio ao Currículo ainda

não se encerrou, e como as acomodações podem ser mais morosas que

desejamos, é possível que dentro de algum tempo possamos ter resultados

mais positivos do sistema que se instalou na educação. Porém, se a formação

inicial e continuada do professor não acompanhar as mesmas mudanças

sofridas pelo sistema educacional paulista, é possível que fiquemos

estagnados nos mesmos níveis de conhecimento observados pelas diferentes

avaliações realizadas.

Por outro lado, se as formações inicial e continuada dos professores se

mantiverem irredutíveis às mudanças que venham ao encontro das

concepções dos Cadernos, então as autoridades que mantém a produção,

distribuição e as orientações relativas ao uso dos Cadernos é que vão precisar

repensar o futuro desses materiais e procurar novos meios de motivar

professores para que os mesmos sejam capazes de tornar a Matemática uma

disciplina de interesse dos estudantes, mostrando suas possibilidades de

aplicação para o desenvolvimento pessoal e da sociedade que estão inseridos.

298

299

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JIEEM. Vol 6. No 1. São Paulo, 2013.

SANDIM E.M.P. Pesquisa qualitativa em educação: fundamentos e

tradições. Tradução Miguel Cabrera.. Porto Alegre: AMGH, 2010.

SANTOS, C. A. B. CURI, E. O papel dos registros de representação

semiótica na mobilização de conteúdos matemáticos no ensino da física.

In Revista Eletrônica de Ciências da Educação, Campo Largo, v. 11, n. 1. 2012.

São Paulo (Estado). Secretaria da Educação. Relatório Pedagógico:

SARESP 2000 – Matemática. São Paulo, SEE, 2001.

______. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática.

Coordenação Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2008a.

______. SARESP 2007: Sumário Executivo. São Paulo, SEE, 2008b.

______. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental – 5ª série.

Coordenação Maria Inês Fini; equipe: Nilson José Machado, Carlos Eduardo de

Souza Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés e Walter

Spinelli. São Paulo: SEE, 2009a.




Spinelli. São Paulo: SEE, 2009b.



306

Souza Granja, J. Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés e Walter Spinelli.

São Paulo: SEE, 2009c.




Spinelli. São Paulo: SEE, 2009d.

______. Caderno do professor: matemática, ensino médio – 1ª série.



Spinelli. São Paulo: SEE, 2009e.




Spinelli. São Paulo: SEE, 2009f.




Spinelli. São Paulo: SEE, 2009g.

______. Matriz de referência para a avaliação SARESP: documento básico;

coordenação Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2009h.

______. Relatório Pedagógico: SARESP 2008 – Matemática. São Paulo:

SEE, 2009i.

_______. Currículo: Matemática e suas tecnologias: Ensino Fundamental

Ciclo II e Ensino Médio. São Paulo: SEE, 2010a.

_______. Relatório Pedagógico: SARESP 2009 – Matemática. São Paulo:

SEE, 2010b.


SEE, 2011.

307


SEE, 2012.


SEE, 2013.

SILVA, A. A. A noção de função quadrática na transição entre os ensinos

fundamental, médio e superior. Dissertação de Mestrado. Universidade

Bandeirantes de São Paulo. São Paulo, 2012.

SILVA, I. F. O Sistema Nacional de Avaliação: características, dispositivos

legais e resultados. Est. Aval. Educ., São Paulo, v. 21, n. 47, p. 427-448,

set./dez. 2010.

SMOLE, Kátia Stocco e DINIZ, Maria Ignez. Matemática – Ensino Médio –

Vol. 3. São Paulo: Saraiva, 2010.

SOUZA, C. P. Descrição de uma Trajetória na/da Avaliação Educacional.

Ideias, n. 30, p. 161-174. São Paulo: FDE, 1998.

STEWART, J. Cálculo, volume I. Tradução técnica Antonio Carlos Moretti,

Antonio Carlos Gilli Martins. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

308

12 – ANEXOS

Anexo 1 Relação de escolas pesquisadas 9° 3ª

Escola Município

Desempenho em Matemática

TIPO

9° ano 3ª série

ALAYDE MARIA VICENTE PROFESSORA GUARULHOS 1,4697 P4

ALBERTO SCHWEITZER SAO PAULO 0,7377 P6

ALFREDO PUJOL DOUTOR PINDAMONHANGABA 2,9880 P5

ANIS DABUS DR AVAI 6,3930 5,8973 P1

ANTONIO ALVES CRUZ PROFESSOR SAO PAULO 3,7503 P5

ASSENTAMENTO SANTA ZELIA TEODORO SAMPAIO 6,6667 2,2223 P1

ASSENTAMENTO SANTA ZELIA TEODORO SAMPAIO 6,6667 2,2223 P7

BAIRRO DA BOCAINA CUNHA 6,6667 P3

BAIRRO JAIRE IGUAPE 1,0527 P4

BENEDITO FERRAZ BUENO PROFESSOR MOCOCA 4,8720 1,2820 P7

BENEDITO FERREIRA DE ALBUQUERQUE PROF SAO PAULO 1,5553 0,4850 P2

CARLOS LIMA DIAS DOUTOR MOCOCA 5,5870 1,2700 P7

CARMELA MORANO PREVIDELLI PROFA TAQUARITINGA 4,5507 5,1800 P1

CELIA VASQUES FERRARI DUCH PROFESSORA TAQUARIVAI 0,8503 P6

CELSO AUGUSTO DANIEL PREFEITO ENGENHEIRO SANTO ANDRE 1,1907 0,7070 P2

CELSO PACHECO BENTIN PROFESSOR CARAPICUIBA 0,6770 P6

CLOVIS RENE CALABREZ PROF SAO PAULO 1,4857 P4

ELOI CHAVES PIRASSUNUNGA 1,1110 P4

FELICIA ADELVAIS PAGLIUSO PROFA TAQUARITINGA 2,2997 3,8273 P8

FERNANDO BARBOSA LIMA FERNANDOPOLIS 5,2380 P3

FERNANDO BRASIL PROF TABATINGA 3,2413 4,6667 P8

FRANCISCO DE PAULA ABREU SODRE DR UBIRAJARA 6,6660 5,2500 P1

FRANCISCO RIBEIRO SOARES JUNIOR BURITIZAL 3,4920 P5

309

GLETE DE ALCANTARA PROFESSORA RIBEIRAO PRETO 1,1647 0,7893 P2

GUIA LOPES BAURU 1,4140 P4

HAROLDO VELOSO BRIGADEIRO GUARULHOS 1,4640 0,6180 P2

IGNACIO ZURITA JUNIOR ARARAS 5,2300 P3

JARDIM CANAA SAO PAULO 0,8473 P6

JARDIM MARIA LUIZA CAJAMAR 0,8823 P6

JARDIM PROGRESSO RIBEIRAO PRETO 1,5030 P4

JARDIM TRABALHISTA CACHOEIRA PAULISTA 0,8333 P6

JOAO ERNESTO FIGUEIREDO CORONEL JOANOPOLIS 3,2303 P5

JOAO RAMALHO DE JOAO RAMALHO 6,8930 2,4600 P1

JOAO RAMALHO DE JOAO RAMALHO 6,8930 2,4600 P7

JOAQUIM FRANCO DE ALMEIDA CORONEL JAMBEIRO 2,8437 P5

JOAQUIM LEITE DE SOUZA CEL MOGI-GUACU 2,9167 P5

GERALDO JUSTINIANO DE REZENDE SILVA PROFESSOR SUZANO 3,2200 2,1810 P5

GIOVANNI BATTISTA RAFFO PROFESSOR DOUTOR SUZANO 2,3307 0,9180 P6

JOSE JORGE NETO PROFESSOR ANALANDIA 3,0667 P5

JOSE CAMILO DE ANDRADE SUZANO 1,3097 P4

JOSE ROMAO PROFESSOR PIRACICABA 4,4220 P3

JULIA DELLA CASA PAULA PROFESSORA SAO PAULO 1,3460 0,6943 P2

LIDIA PERRI BARBOSA PROFA SANTO ANTONIO DO ARACANGUA 0,7800 P6

LIDIA SANAE OYA EUCLIDES DA CUNHA PAULISTA 5,6250 4,6667 P1

MARCELO TADEU DE OLIVEIRA CASTRO CAMPOS MARQUES PROFESSOR ITAQUAQUECETUBA 1,5620 0,3603

P2

MARIA ANTONIA ZANGARINI FERREIRA PROFESSORA EUCLIDES DA CUNHA PAULISTA 4,3133 0,6060 P7

MARIA APARECIDA COIMBRA PROFA PRESIDENTE ALVES 4,6030 4,5710 P1

MARIA APARECIDA VIANA MUNIZ PROFESSORA ELDORADO 4,8143 P3

MARIA DE LOURDES GENTILLE STEFANO PROFA ITAPOLIS 5,9017 P3

MARIA NELIDA SAMPAIO DE MELLO DONA EMBU DAS ARTES 1,4287 P4

NARCISO BERTOLINO CAPITAO OLIMPIA 3,0950 4,7410 P8

NEIDE CELESTINA DE OLIVEIRA PROFA EMBU-GUACU 1,4037 P4

OSCARLINA DE ARAUJO OLIVEIRA PROFESSORA ITATIBA 3,9140 P5

PARQUE ECOLOGICO SAO PAULO 7,1347 P3

310

PAULINA MADRE SAO PAULO 1,4933 0,5643 P2

PAULO LEIVAS MACALAO PASTOR SAO PAULO 1,5873 0,4937 P2

PEDRO ELIAS PROFESSOR UCHOA 2,8177 P5

PEDRO MASCARI ITAPOLIS 5,6520 5,3697 P1

PEDRO PAULO DE AGUIAR FRANCISCO MORATO 1,4557 0,6017 P2

REPUBLICA DE CUBA BARUERI 0,5127 P6

REPUBLICA DE EL SALVADOR BARUERI 0,6450 P6

ROGER JULES DE CARVALHO MANGE SAO PAULO 0,8697 P6

SAMUEL DE CASTRO NEVES DOUTOR PIRACICABA 4,0863 5,7403 P1

SAMUEL DE CASTRO NEVES DOUTOR PIRACICABA 4,0863 5,7403 P8

SATURNINO LEON ARROYO FERNANDOPOLIS 5,6017 4,5710 P1

SEBASTIAO FRANCISCO FERRAZ DE ARRUDA PROF ITAPOLIS 4,4280 P3

SILVERIO DA CUNHA LACERDA GENERAL SALGADO 5,0003 P3

SITIO CONCEICAO SAO PAULO 1,4870 P4

TEOFILO DE ANDRADE DOUTOR SAO JOAO DA BOA VISTA 4,4750 P3

TONICO BARAO GENERAL SALGADO 2,8703 P5

WALDEMAR DA SILVA RIGOTTO PROFESSOR GUARUJA 1,3587 0,4503 P2

YOLANDA ASCENCIO PROFESSORA SAO CAETANO DO SUL 2,6733 3,6260 P8

311

Anexo 2 Questionário aplicado aos professores

1. Há quanto tempo você leciona Matemática?

A mais de 20 anos.

Entre 10 e 20 anos.

Entre 3 e 10 anos.

A menos de 3 anos.

2. Em quais anos / séries você, em geral, ministra suas aulas?

6° ano.

7° ano.

8° ano.

9° ano.

1ª série.

2ª série.

3ª série.

3. Entre as alternativas abaixo, qual, em sua opinião, está relacionado ao conceito de função. (Numere-as de acordo com a ordem de prioridade que você julgue necessário)

Proporcionalidade.

Variabilidade.

Relação entre grandezas (gráficos de interdependência).

Álgebra.

Aritmética.

Conjuntos Numéricos.

Outra: ________________________________________.

4. Quanto à forma de representação de uma função, como você classificaria em ordem de importância. (Numere-as de acordo com a ordem de prioridade que você julgue necessário)

Tabela.

Gráfico.

Fórmula.

Definição em Língua Portuguesa.

Outra: ________________________________________.

5. Quais das funções abaixo você acha serem necessárias serem ensinadas no ensino médio? (Numere-as de acordo com sua escolha, colocando zero naquela que você não vê necessidade de ensinar)

Exponencial.

Polinomial do segundo grau (quadrática).

Polinomial do primeiro grau (linear ou afim).

Logarítmica.

Racionais.

Trigonométrica.

Polinomial de grau maior que 2

312

Outra: ________________________________________.

6. Entre as definições de função dadas abaixo, qual você considera mais adequada para expor em sala de aula?

Função é uma operação matemática que associa a cada elemento “a” de um conjunto, sua imagem “b” no outro conjunto.

Função é uma relação entre duas variáveis que estão intimamente associadas.

Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função é uma relação que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B.

Uma função pode ser descrita como uma relação de proporcionalidade direta, inversa ou composta entre duas grandezas.

7. Ao iniciar um trabalho com alguma forma de função, você o faz:

Iniciando com a definição, passando a exemplos e prosseguindo com aplicações.

Iniciando com exemplos, passando a definição e prosseguindo com aplicações.

Iniciando com aplicações, passando a definição e prosseguindo com exercícios.

Outra: ________________________________________.

8. Você considera que seus alunos estudam:

Sempre.

Quase sempre.

Às vezes.

Nunca.

9. O comportamento de seus alunos em aula é:

Excelente.

Muito bom.

Bom.

Regular.

Ruim.

313

Anexo 3 Testes aplicados aos alunos

1. Uma função f de A = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} em B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} é definida pela seguinte lei: f(x) = x – 1

a. Represente f em um diagrama de flechas.

b. Faça o gráfico de f.

c. Determine x de modo que as sentenças f(x) = 3,

f(x) = 0 e f(x) = -1 sejam verdadeiras

314

2. Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com a fórmula matemática s = 2t – 3, em que s indica a posição do corpo (em metros) no instante t (em segundos). Construa o gráfico de s em função de t.

3. Quando uma pedra é abandonada em queda livre (sem considerar a resistência do ar ao movimento), a distância vertical d que ela percorre em queda é diretamente proporcional ao quadrado do tempo t de queda, ou seja, d = kt

2. Observando-se que

apos 1 segundo de queda a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se:

a. qual e o valor da constante de proporcionalidade k?

b. qual é a distancia vertical percorrida após 5 segundos?

c. quanto tempo a pedra levará para cair 49 m?

4. O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura ao lado mostra o velocímetro de um carro que pode atingir 240 km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro gira no sentido horário à medida que a velocidade aumenta.

315

Determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega a 20 km/h, mas indica que o veículo está a 70 km/h quando a velocidade real é de 65 km/h. Supondo que o erro de aferição do velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função v(x) que representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de x km/h

0 240

200

160 120

80

40

316

Anexo 4 Conteúdos apresentados na Proposta Curricular de Matemática de 2008.

5ª série – EF

1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre

Conteúdos Números naturais Frações

Números Decimais Sistemas de Medidas

Formas Geométricas Perímetro e Área

Estatística (Gráficos, média, contagem)

6ª série – EF


Conteúdos Sistemas de numeração Números negativos Números racionais

Geometria (ângulos, polígonos, circunferência, construções, poliedros)

Proporcionalidade Álgebra (resolução de equações)

7ª série – EF


Conteúdos Números racionais Potenciação

Expressões algébricas

Equações (1º grau) Gráficos (pontos no plano cartesiano)

Geometria (teorema de Tales, Pitágoras, áreas, volumes)

8ª série – EF


Conteúdos Números reais Álgebra (equações do 2º grau) Funções (ideia de variação, gráficos e tabelas para funções polinomiais do 1º e 2º graus)

Proporcionalidade (semelhança, razões trigonométricas)

Corpos redondos Probabilidade

1ª série – EM


Conteúdos Números e sequências

Funções (relação entre grandezas, proporcionalidade, 1º e 2º graus)

Função exponencial e logarítmica

Geometria (polígonos regulares) Trigonometria (razões nos triângulos retângulos, lei dos senos e cossenos)

2ª série – EM


Conteúdos Trigonometria (funções trigonométricas)

Matrizes, determinantes e sistemas lineares

Análise combinatória e probabilidade

Geometria métrica espacial

3ª série – EM


Conteúdos Geometria Analítica Equações algébricas e números complexos

Estudo das funções Estatística

317

Anexo 5 Conteúdos apresentados no Currículo de Matemática de 2010.

5ª série/6º ano do Ensino Fundamental


Conteúdos Números Números naturais Frações

Números/ relações Sistemas de Medidas

Geometria/ relações Perímetro e Área

Números/relações Estatística (Gráficos, média, contagem)



Conteúdos Números Sistemas de numeração Números negativos Números racionais

Geometria (ângulos, polígonos, circunferência, construções, simetrias poliedros)

Relações Proporcionalidade

Números Álgebra (resolução de equações)



Conteúdos Números Números racionais Potenciação

Números/ relações Expressões algébricas

Números/ relações Equações (1º grau) Gráficos (pontos no plano cartesiano)

Geometria Geometria (teorema de Tales, Pitágoras, áreas, volumes)



Conteúdos Números Números reais

Números/ relações Álgebra (equações do 2º grau) Funções (ideia de variação, gráficos e tabelas para funções polinomiais do 1º e 2º graus)

Geometria/ relações Proporcionalidade (semelhança, razões trigonométricas)

Geometria/ números Corpos redondos Probabilidade

1ª série do Ensino Médio


Conteúdos Números Números e sequências

Relações Funções (relação entre grandezas, proporcionalidade, 1º e 2º graus)

Relações Função exponencial e logarítmica

Geometria/ relações Geometria (polígonos regulares) Trigonometria (razões nos triângulos retângulos, lei dos senos e cossenos)



Conteúdos Relações Trigonometria (funções trigonométricas)

Números/ relações Matrizes, determinantes e sistemas lineares

Números Análise combinatória e probabilidade

Geometria Geometria métrica espacial



Conteúdos Geometria/ relações Geometria Analítica

Números Equações algébricas e números complexos

Relações Estudo das funções

Números/ relações Estatística

318

Anexo 6 Conteúdos de Matemática por Bimestre dos Anos Finais do Ensino

Fundamental 6° ano 7° ano 8° ano 9° ano

1°

bim

es

tre

NÚMEROS NATURAIS - Múltiplos e Divisores - Números Primos - Operações básicas - Introdução à potências FRAÇÕES - Representação - Comparação e Ordenação - Operações

NÚMEROS NATURAIS - Sistemas de numeração na antiguidade - O sistema posicional decimal NÚMEROS RACIONAIS - Representação fracionária e decimal Operações com decimais e frações

NÚMEROS RACIONAIS - Transformação de decimais finitos em fração - Dízimas periódicas e fração geratriz POTENCIAÇÃO - Propriedade para expoentes inteiros TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - a linguagem das potências

NÚMEROS REAIS - Conjuntos numéricos Números irracionais Potenciação e radiciação em R - Notação científica

2°

bim

es

tre

NÚMEROS DECIMAIS - Representação - Transformação em fração decimal - Operações SISTEMA DE MEDIDAS - Comprimento, massa e capacidade - Sistema métrico decimal

GEOMETRIA/ MEDIDAS - Ângulos - Polígonos - Circunferência - Simetrias - Construções Geométricas - Poliedros

ÁLGEBRA - Equivalências e transformações de expressões algébricas - Produtos notáveis - Fatoração algébrica

ÁLGEBRA - Equações do 2° grau: resolução de problemas - Noções básicas sobre função, a ideia de interdependência - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1° e 2° graus

3°

bim

es

tre

GEOMETRIA/MEDIDAS - Formas planas e espaciais Noção de perímetro e área de figuras planas - Cálculo de área por composição e decomposição

NÚMEROS/ PROCORCIONALIDADE - Proporcionalidade direta e inversa - Razões, proporções, porcentagem - Razões constantes na geometria: π TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - Gráfico de setores - Noções de probabilidade

ALGEBRA/EQUAÇÕES - Equações do 1° grau - Sistema de equações e resolução de problemas - Inequações do 1° grau - Sistemas de coordenadas (plano cartesiano)

GEOMETRIA/MEDIDAS - Proporcionalidade: noção de semelhança Relações métricas entre triângulos retângulos - Razões trigonométricas

4°

bim

es

tre

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - Leitura e construção de gráficos e tabelas - Média aritmética - Problemas de contagem

ÁLGEBRA - Uso de letras para representar um valor desconhecido - Conceito de equação - Resolução de equações - Equações e problemas

GEOMETRIA/MEDIDAS - Teorema de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações - Área de polígonos - Volume do prisma

GEOMETRIA/MEDIDAS - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo - Volume e área do cilindro TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - Contagem indireta e probabilidade

319

Anexo 7

Conteúdos de Matemática por Bimestre das Séries do Ensino Médio

1ª Série 2ª Série 3ª Série 1

°

bim

estr

e

2

°

bim

estr

e

-3

°

bim

estr

e

4°

bim

estr

e

320

Anexo 8

FORMULÁRIO DE ENCAMINHAMENTO DE PROJETO DE

PESQUISA

( ) Projeto docente ( x ) Projeto discente/docente

( ) Plano de Aula

Código COPI nº Protocolo CEP( )/CEUA( )nº

________ Recebido em ___/____/______ Recebido em ___/____/______

( x ) 1ª. Submissão ( ) 2ª. Submissão

● Título do Projeto: “UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE

APRENDIZAGEM (do Currículo do Estado de São Paulo): A NOÇÃO DE FUNÇÃO”

● Programa/Curso/Grupo de Estudo: Doutorado em Educação Matemática

● Linha de Pesquisa: Ensino e Aprendizagem

● Pesquisador Principal: Juvenal de Gouveia

RA/RGF: 100925227 CPF: 154480128 - 92

Endereço: Rua Wanir Hungria, 45 – Ferraz de Vasconcelos

Telefone fixo: (11) 4675 2797 Celular: (11) 7693 7481

e-mail: [email protected]

● Orientador: Marlene Alves Dias

RA/RGF: CPF: 806.724.858-34

Telefone fixo: (11) 5631 9002 Celular: (11) 7253 – 4772

e-mail:

● Possui Financiamento? ( x ) Sim/ Fonte: CAPES / PROSUP ( ) Não

● Tem previsão de geração de marcas/patentes/direito autoral? ( ) Sim. Caso sim, enviar para a CEIT. ( x ) Não

Comprovante emitido por e-mail pela COPI/CEP/CEUA:

COMPROVANTE DE ENTREGA DE PROTOCOLO DE PESQUISA

(uso exclusivo COPI/CEP/CEUA)

321

CÓDIGO/PROTOCOLO Nº: RECEBIDO EM: /

/

● Título do Projeto: “UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE


322

Anexo 9

MINISTÉRIO DA SAÚDE - Conselho Nacional de Saúde - Comissão Nacional de Ética em Pesquisa - CONEP

FOLHA DE ROSTO PARA PESQUISA ENVOLVENDO SERES HUMANOS

1. Projeto de Pesquisa: UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM (do Currículo do Estado de São Paulo): A NOÇÃO DE FUNÇÃO

2. Área do Conhecimento: (Ver relação no verso)

Ciências Humanas

3. Código:

7

4. Nível: (Só áreas do conhecimento 4)

5. Área(s) Temática(s) Especial(is): (Ver fluxograma no verso) Educação

6. Código(s): 7.08

7. Fase: (Só área temática 3) I ( ) II ( ) III ( ) IV ( )

8. Unitermos: (3 opções)

Currículo, funções, situação de aprendizagem

SUJEITOS DA PESQUISA

9. Número de sujeitos: 100

No Centro: Total:

10. Grupos Especiais: <18 anos ( 80 ) Portador de Deficiência Mental ( ) Embrião/Feto ( )

Relação de Dependência (Estudantes , Militares, Presidiários, etc) ( ) Outros ( 20 ) Não se aplica ( )

PESQUISADOR RESPONSÁVEL

11. Nome: JUVENAL DE GOUVEIA

12. Identidade:

15.156.068 - 7

13. CPF.:

154.480.128-92

19. Endereço (Rua, n.º ):

Rua Wanir Hungria, 45

14. Nacionalidade:

Brasileira

15. Profissão:

Professor

20. CEP:

08530-050

21. Cidade:

Ferraz de Vasconcelos

22. U.F.:

SP

16. Maior Titulação: Mestre

17. Cargo: PEB II

23. Fone: (11) 4675 - 2797

24. Fax:

18. Instituição a que pertence:

Universidade Bandeirantes

25. Email:

[email protected]

Termo de Compromisso: Declaro que conheço e cumprirei os requisitos da Res. CNS 196/96 e suas complementares. Comprometo-me a utilizar os materiais e

dados coletados exclusivamente para os fins previstos no protocolo e a publicar os resultados sejam eles favoráveis ou não. Aceito as responsabilidades pela

condução científica do projeto acima.

Data: 15 / 05 / 2012 ______________________________________

Assinatura

INSTITUIÇÃO ONDE SERÁ REALIZADO

26. Nome:

29. Endereço (Rua, nº):

27. Unidade/Órgão:

30. CEP:

31. Cidade:

32. U.F.:

28. Participação Estrangeira: Sim ( ) Não ( ) 33. Fone:

34. Fax.:

35. Projeto Multicêntrico: Sim ( ) Não ( ) Nacional ( ) Internacional ( ) (Anexar a lista de todos os Centros Participantes no Brasil)

Termo de Compromisso (do responsável pela instituição) :Declaro que conheço e cumprirei os requisitos da Res. CNS 196/96 e suas Complementares e como

esta instituição tem condições para o desenvolvimento deste projeto, autorizo sua execução.

Nome: __________________________________________________________ Cargo: __________________________________________________________

Data: _______/_______/_______ ___________________________________

Assinatura

PATROCINADOR Não se aplica ( x )

36. Nome:

39. Endereço (Rua, nº):

37. Responsável:

40. CEP:

41. Cidade:

42. U.F.:

38. Cargo/Função:

43. Fone:

44. Fax.:

COMITÊ DE ÉTICA EM PESQUISA - CEP

45. Data de Entrada:

_____/_____/_____

46. Registro no CEP:

47. Conclusão: Aprovado ( )

Data: ____/_____/_____

48. Não Aprovado ( )

Data: _____/_____/_____

49. Relatório(s) do Pesquisador responsável previsto(s) para: Data: _____/_____/_____ Data: _____/_____/_____

Encaminho a CONEP: 50. Os dados acima para registro ( )

51. O projeto para apreciação ( )

52. Data: _____/_____/_____

53. Coordenador/Nome:

_________________________________________

Assinatura

Anexar o parecer consubstanciado

COMISSÃO NACIONAL DE ÉTICA EM PESQUISA - CONEP

54. Nº Expediente:

55. Processo:

56. Data Recebimento: 57. Registro na CONEP:

Anexo 10

323

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Título da Pesquisa: “UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE


Nome do (a) Pesquisador (a): JUVENAL DE GOUVEIA

Nome do (a) Orientador (a): MARLENE ALVES DIAS

O sra (sr.) está sendo convidada (o) a participar desta pesquisa que tem como

finalidade realizar um estudo sobre o currículo do Estado de São Paulo e sua

comparação com o currículo francês.

Ao participar deste estudo a sra (sr) permitirá que o (a) pesquisador realize seu

trabalho conforme objetivo indicado acima. A sra (sr.) tem liberdade de se recusar a

participar e ainda se recusar a continuar participando em qualquer fase da pesquisa, sem

qualquer prejuízo para a sra (sr.). Sempre que quiser poderá pedir mais informações

sobre a pesquisa através do telefone do (a) pesquisador (a) do projeto e, se necessário

através do telefone do Comitê de Ética em Pesquisa.

Sobre as entrevistas: (se houver, especificar como serão realizadas).

Riscos e desconforto: a participação nesta pesquisa não traz complicações legais.

(especificar aqui possíveis riscos e desconfortos gerados durante a pesquisa). Os

procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética em Pesquisa

com Seres Humanos conforme Resolução no. 196/96 do Conselho Nacional de Saúde.

Nenhum dos procedimentos usados oferece riscos à sua dignidade.

Confidencialidade: todas as informações coletadas neste estudo são estritamente

confidenciais. Somente o (a) pesquisador (a) e o (a) orientador (a) terão conhecimento

dos dados.

Benefícios: ao participar desta pesquisa a sra (sr.) não terá nenhum benefício

direto. Entretanto, esperamos que este estudo traga informações importantes sobre (...),

de forma que o conhecimento que será construído a partir desta pesquisa possa (...),

onde pesquisador se compromete a divulgar os resultados obtidos.

324

Pagamento: a sra (sr.) não terá nenhum tipo de despesa para participar desta

pesquisa, bem como nada será pago por sua participação.

Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma livre para

participar desta pesquisa. Portanto preencha, por favor, os itens que se seguem: Confiro

que recebi cópia deste termo de consentimento, e autorizo a execução do trabalho de

pesquisa e a divulgação dos dados obtidos neste estudo.

Obs: Não assine esse termo se ainda tiver dúvida a respeito.

Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e esclarecida,

manifesto meu consentimento em participar da pesquisa

______________________________

Nome :

__________________________________

Juvenal de Gouveia

___________________________________

Marlene Alves Dias

Pesquisador: Juvenal de Gouveia, RG 15.156.068 – 7, tel (11) 4675 27 97

Orientador: Marlene Alves Dias, RG 6.148.297, tel (11) 5631 9002

Telefone da Comissão de Ética: (11) 2972-9000

E-mail: [email protected]

325

Anexo 11

TERMO DE COMPROMISSO

Declaro que, no desenvolvimento do projeto de pesquisa “UMA

ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM (do Currículo do Estado

de São Paulo): A NOÇÃO DE FUNÇÃO” e antes do início da coleta de dados,

juntarei na Folha de Rosto os dados e a assinatura do responsável pela

instituição onde será realizada a pesquisa.

São Paulo, 15 de maio de 2012

Marlene Alves Dias

Orientadora

Juvenal de Gouveia

Orientando

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UMA ABORDAGEM CENTRADA EM SITUAÇÕES DE