UMA EXPERINCIA NA ELABORAO DE AULAS DE LOGARITMO

COM BASE NA TEORIA DIALTICA FERRAMENTA-OBJETO

Edilaine Meurer Bruning

Universidade Estadual do Oeste do Paran Unioeste

edilainebruning@hotmail.com

Maiara Aline Junkerfuerbom

Universidade Estadual do Oeste do Paran Unioeste

maia_junker@hotmail.com

Tiago Emanuel Klber

Universidade Estadual do Oeste do Paran Unioeste

tiagokluber@gmail.com

Resumo: Neste texto, relatamos a nossa experincia na elaborao de um plano de aula pautado na Teoria

Dialtica Ferramenta-Objeto e na Resoluo de Problemas sob a perspectiva desta teoria, que

estudamos na disciplina Didtica Aplicada ao Ensino da Matemtica no ano de 2013. A partir do

contedo por ns escolhido, logaritmo, foi um desafio relacionar este contedo com a teoria escolhida

para elaborar o plano de aula em questo. Neste trabalho ressaltamos a importncia desta teoria no

processo de ensino-aprendizagem da matemtica. Neste sentido, optamospor trabalhar com uma

atividade ldica para estimular os alunos na busca pelo conhecimento matemtico. Desde essa

experincia, reconhecemos que essas atividades so relevantes para a formao de futuros professores.

Palavras-chave: Dialtica ferramenta-objeto. Sequncia Didtica. Logaritmo.

Introduo

A partir dos textos estudados e dos debates realizados na disciplina de Didtica

Aplicada ao Ensino da Matemtica, no ano de 2013,estabelecemos um primeiro contato com

metodologias de ensino e aprendizagem da Matemtica. No mbito da disciplina, foi proposto

um trabalho final em que deveramoselaborar um plano de aula pautado nas teorias estudadas.

Para tanto, foram destinadas cerca de doze horas-aula, orientaes extraclasse e orientaes

distncia.

Nosso primeiro passo foi escolha do contedo matemtico a ser trabalhado.

Propusemos a elaborao de um plano de aula sobre logaritmos, pois foi um dos contedos

que no tivemos a oportunidade de estudar em nosso Ensino Mdio, somente na universidade.

Na sequncia, fizemos um levantamento de atividades relacionadas ao contedo, buscando

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por aquelas que o abordassem a partir de uma ou mais teorias estudadas. Nesta fase

apareceram algumas dificuldades, inerentes seleo de atividades e

necessidadederelacion-las com a teoria. Inclusive pensamos em abandonar o tema, no

entanto, o professor orientador no aconselhou. Ele alegou que era preciso investir nesse

assunto porque o mesmo problema ocorreria ao trocar de contedo. Alm disso, disse que

havia o desafio de conhecer algo no corriqueiro.

Como j mencionamos, algumas aulas da disciplina foram dedicadas elaborao do

plano de aula com orientao do professor. Em uma das aulas apresentamos para o professor

uma atividade. Com o seu auxlio, reconhecemos que, com algumas modificaes,

poderamos explor-la a partir da teoria daDialtica Ferramenta-Objeto. Esta ressalta a

importncia da interao entre o sujeito e o objeto matemtico. Conforme Almouloud (2007),

nesta teoria a construo do conhecimento ocorre por meio de situaes de desequilbrio, que

promovem a adaptao e a acomodao frente s situaes, ocorrendo ento novo equilbrio.

Trabalhamos, tambm, com a resoluo de problemas na perspectiva desta teoria, a qual

afirma que os alunos utilizam os seus conhecimentos antigos como ferramenta para a

resoluo, porm percebem a necessidade do novo contedo. Este conhecimento

denominado de novo implcito e apresentado pelo professor com a conotao de objeto. Por

fim, construmos uma atividade a partir de um breve estudo da histria do contedo. Essa

construo tem relao direta com a abordagem epistemolgica (construo histrica) do

conceito. (Idem, 2007).

Nesse contexto, construmos uma sequncia didtica partindo dos pressupostos da

teoria. Ela foi organizada valendo-se da estrutura do plano de aula. Em outras palavras, o

estudo para a elaborao do plano de aula contemplou os seguintes elementos: 1) Introduo

(contexto e justificativa); 2) objetivos da aula, objetivos do professor; 4) metodologia; 5)

durao e etapas; 6) procedimentos e 7) avaliao. Estes foram previamente definidos pelo

professor da disciplina e conduziram o processo de preparao.

Frente ao exposto, consideramos ter elaborado um plano que contm uma sequncia

didtica pautada na teoria. E, por essa razo, temos por objetivo descrev-la a partir da

estrutura do plano de aula que apresentamos. Ao final, efetuaremos reflexes sobre os

elementos do plano de aula e, de modo geralsobre as atividades e sobre a nossa experincia.

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O plano de aula

Introduo (Contexto e Justificativa).

O conceito de logaritmo foi criado no sculo XVI, pelo matemtico escocs John

Napier (1550-1617) e aperfeioado por Henry Briggs (1561-1630). A origem da palavra

logaritmo grega, e significa nmero de razo. Segundo Eves (2011), Napier desenvolveu

seus estudos geometricamente, usando um segmento de reta e uma semirreta. Demarcou um

ponto sobre o segmento de reta e um ponto sobre a semirreta. Deslizando estes pontos com a

mesma velocidade inicial tem-se o logaritmo do ponto marcado sobre o segmento de reta

como sendo a distncia entre a origem da semirreta e o ponto marcado inicialmente.

Em 1614, Napier publicou seus estudos no texto

MirificiLogarithmorumCanonisDescriptio (Descrio da Maravilhosa Lei dos Logaritmos). E

seis anos depois Jobst Brgi (1552-1632) construiu uma tbua de logaritmos e tambm

publicou seus resultados. A criao dos logaritmos facilitou muito o trabalho com asoperaes

aritmticas. O tempo que antes se levava para efetuar clculos envolvendo muitos algarismos

foi reduzido, por conta das propriedades logartmicas que permitem que o produtoseja tomado

como uma soma, e o quocientecomo uma subtrao.

Alm da aplicao na Matemtica, os logaritmos tm aplicao na fsica, na qumica,

na computao, na geologia. Um das aplicaes mais populares na chamada amplitude de

terremotos. A base usada nesta escala a base 10. Assim, quando se diz que um terremoto

teve uma amplitude de 5 pontos na escala Richter, quer dizer que a sua magnitude foi de 105.

Em seu mago o contedo dos logaritmos solicita a compreenso de outros conceitos

matemticos como fatorao e potenciao, facilitando os clculos. Cumpre, nesse sentido, o

papel de ser uma ferramenta para o aluno progredir no seu pensamento matemtico e poder

aplic-lo em algumas situaes, inclusive ldicas.

Contedo: Logaritmo

Objetivos:

Da aula

Levar o aluno perceber que o logaritmo uma importante ferramenta para resolver

problemas;

Operar com a noo de logaritmos, aplicando-o, de modo apropriado,s situaes e

problemas do cotidiano;

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Examinar uma funo logartmica a partir da execuode um experimento com cartas;

Motivar o estudo dos logaritmos.

Do professor

Que os alunos compreendam a importncia dos logaritmos;

Que os alunos encontrem o algoritmo do experimento e consigam generaliz-lo;

Definir logaritmo e suas propriedades.

Metodologia

A metodologia desta aula esta pautada na Teoria Dialtica Ferramenta-Objeto1.

Durao e Etapas

Este plano de aula foi elaborado para em torno de seis a sete aulas. Contemplando as

seguintes etapas:

1. Aplicao e investigao do experimento a ser desenvolvido;

2. Preenchimento da tabela;

3. Apresentao da definio de logaritmo e suas propriedades;

4. Relaes com a tabela;

5. Resoluo da inequao encontrada com a generalizao do experimento;

Procedimentos:

Iniciar a aula dividindo a turma em dois grupos, realizar o seguinte experimento em

cada grupo:

Separar 15 cartas quaisquer do baralho, sem repeties;

Distribu-las sobre a mesa em trs colunas de 5 cartas cada, conforme a figura;

1 No momento da preparao da aula o importante era construir a sequncia didtica que expressasse a teoria.

Por esse motivo, aqui no aparecem descries pormenorizadas, pois as fizemos no incio deste artigo e as

retomaremos brevemente nas consideraes.

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Figura 1: Cartas usadas para o experimento.

Fonte: os autores. Pedir para que um aluno do grupo escolha uma das cartas sem dizer qual e,em

seguida, seguir os passos:

Passo 1: Pedir ao aluno que aponte a coluna na qual se encontra a carta que ele

escolheu;

Passo 2: Juntar as cartas de cada uma das 3 colunas formando 3 montes. Colocar

sempre o monte referente coluna escolhida entre os outros dois, juntando os trs montes.

Passo 3: Distribuir novamente as cartas sobre a mesa em trs colunas,

Repetir os passos 1,2 e 3 duas vezes.

A carta escolhida pelo aluno a carta que est no centro da coluna do meio.

Em seguida os alunos iro repetir o experimento at que descubram o algoritmo do

experimento, que o descrito no passo 2.

Aps descobrirem o algoritmo os alunos devem realizar o experimento com um maior

nmero de cartas, sendo que a quantidade de cartas deve ser sempre um nmero mpar e estas

devem ser distribudas em trs colunas.Conforme a quantidade de cartas os passos 1, 2 e 3

devem ser repetidos um nmero diferentes de vezes, com essas informaes os alunos devem

preencher o seguinte quadro:

N m e r o d e c a r t a s 1 3 9 1 5 2 1 2 7 3 3 3 9 ... 7 5 8 1 ... 237 243

Nmeros de repeties

N e c e s s r i a s

0 1 2 3 3 4 4 4 ... 4 5 ... 5 6

Quadro 1: Nmero de cartas e repeties necessrias

Fonte: adaptado de Firer (2013).

Pedir para que os alunos tentem escrever uma lei geral para n cartas, em funo das

repeties necessrias. Induzir os alunos a darem valor para n. (Espera-se que nesse momento

os alunos j tenham percebido que n deve ser um nmero mpar e mltiplo de trs).

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Disponibilizar tempo para os alunos tentarem fazer a generalizao e depois socializar

as ideias dos grupos com a sala, ento deduzir com os alunos a expresso que nos fornece

quantas vezes devemos fazer a pergunta em qual coluna est a carta? em funo do nmero

de cartas utilizadas para a realizao do experimento, para termos certeza de que sabemos

qual a carta escolhida pelo colega.

Pensando no caso do experimento com 21 cartas, a nica afirmao plausvel a ser

realizada antes da primeira pergunta em qual coluna est a carta? de que apenas a carta

escolhida uma das 21 expostas sobre a mesa. Porm, ao pedir a indicao da coluna em que

ela se encontra, teremos reduzido a incerteza a 1/3 do total das cartas.

Ento, as possibilidades foram reduzidas a 1/3 21 = 7 cartas. Redistribuindo as cartas

e repetindo a pergunta, teremos reduzido as opes a 1/3da quantidade anterior de cartas.

Aqui aspossibilidades foram reduzidas a 1/3 1/3 21 = 2,33......e, como o nmero de cartas

inteiro, podemos perceber que esse nmero foi reduzido a 2 cartas.

Repetindo o processo, teremos: 1/3 1/3 1/3 21 = 0,77......Ou seja, um nmero

menor que 1. Portanto, basta reorganizar as cartas novamente quesaberemos que a carta

escolhida ser a carta na posio central da coluna do meio.

De maneira geral, dado um nmero n de cartas, queremos saber qual o nmero k de perguntas

que devem ser feitas para ter certeza de onde se encontra a carta escolhida. Assim, temos:

Primeira pergunta: 1/3n

Segunda pergunta 1/31/3n

Terceira pergunta: 1/31/31/3n

.

.

.

K-sima pergunta: (1/3)k n

Queremos que as dvidas sejammenores que 1, ou seja:

(1/3)k n 1

Ou ainda:

(1/3)k

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Neste momento imaginamos que os alunos tero dificuldades em resolver essa

inequao. Assim considerando pertinente propor ento que completem o seguinte quadro2,

encontrando os valores de y:

10=10000001/y

y=6

10=1000001/y

y=5

1/y

y=4

3

.

.

.

0,69

0,60

0,47

0,30

??

Quadro 2: Razes e Potncias

Fonte: os autores.

A resoluo destes clculos pode ser efetuada com o auxlio da calculadora, por

exemplo, testando valores para confirmar conjecturas.

Aps um tempo, pedir para que a partir dos valores encontrados representem

graficamente a situao.

Grfico1: Representao grfica dos dados do quadro

Fonte: os autores.

Questionar os alunos que valor eles encontraram para 10=11y

, a partir deste momento

ento definir logaritmo:

2 Esse quadro foi criado pelo orientador a partir das inmeras conversas com as orientadas. Ao dialogarem com a

histria do conceito foram capazes de elaborar uma atividade investigativa que gera uma discusso sobre

propriedades dos logaritmos.

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Definio: , sendo:

Onde:

= base do logaritmo

= logaritmando ou antilogaritmo

= logaritmo

Consequncias da definio:

Propriedades:

Mudana de base:

Apresentadas as propriedades pedir para os alunos que repensem na tabela que

preencheram anteriormente e se encontram alguma relao com a definio e as propriedades

apresentadas.

Ento seria necessriovoltar para a inequao encontrada no experimento e resolv-la

aplicando o logaritmo, chegando em:

Neste momento espera-se que os alunos consigam operar com os logaritmos, para

verificao da aprendizagem, entregaremos uma lista de exerccios e problemas, para que os

alunos resolvam na sala em duplas. Os alunos devem ser auxiliados sempre que solicitarem.

Aps a resoluo promover um momento desocializao com toda a sala.

Avaliao

Consideramos a avaliao como um instrumento para auxiliar no processo de ensino e

aprendizagem. Ela no possui um carter apenas classificatrio, devendo se constituir num

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processo para identificar aquilo que preciso ser feito para que o aluno construa seu

conhecimento com maior qualidade. E, ainda, o ato de avaliar deve fazer com que o professor

perceba as principais dificuldades dos alunos, para que possa planejar atividades diferenciadas

que ofeream aos alunos a possibilidade de se apropriarem de tal conhecimento.

Dessa forma a avaliao desta aula consistir na observao dos alunos durante a aula

e principalmente na resoluo dos problemas e atividades propostas. A partir da, pode-se

perceber as principais dificuldades dos alunos, para depois na socializao fazer uma

retomada e esclarec-las, como indica a teoria que fundamenta esta aula.

Consideraes sobre a experincia da elaborao do plano

A partir desta experincia reconhecemos a importncia que as teorias da Didtica da

Matemtica possuem para o ensino e aprendizagem da matemtica. Compreendemos que

possvel, a partir delas, desenvolver em sala de aula uma prtica mais eficaz, fazendo com que

o aluno seja o principal agente na construo do seu conhecimento.

Ao pensarmos em cada um dos tpicos da estrutura do plano de aula, nos

preocupamos com a finalidade de cada um deles. Ao pesquisarmos a histria dos logaritmos,

vislumbramos a necessidade pela qual este contedo foi criado e ele oportunizou a criao de

uma das atividades propostas. Elas, por sua vez, cumprem a funo de criar necessidades

similares quelas que geram a inveno do conceito. Esse um aspecto que consideramos

extremamente significativo para a nossa formao.

Ao escolhermos uma atividade ldica visamos prender a ateno dos alunos de forma

que eles possam ser motivados a explorar a matemtica presente nela. Buscamos de certa

pensar numa aula em que o ambiente de interao aluno-aluno, aluno-professor posto em

destaque.

Destacamos que essa atividade foi escolhida com base nos seguintes pressupostos:

O problema matemtico escolhido de modo que possa fazer o aluno agir, falar, refletir e evoluir por iniciativa prpria;

O problema escolhido para que o aluno adquira novos conhecimentos, que sejam inteiramente justificados pela lgica interna da situao e que possam ser

construdos sem apelo s razes didticas.

O professor assume o papel de mediador, cria condies para o aluno ser o principal ator da construo de seus conhecimentos a partir da(s) atividade(s)

proposta(s). (ALMOULOUD, 2009, p. 992-993).

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Nesta teoria vimos que o professor possui o papel de mediador na construo do

conhecimento do aluno. Em nossa atividade, especificamente, os problemas propostos

convergiampara a compreenso e superao das dificuldades da atividade do quadro dois.

Para tanto, tero de utilizar seus conhecimentos prvios. Porm em certo momento

espera-se que identifiquem a necessidade de um novo objeto matemtico para a resoluo do

problema. A partir de ento, abre-se um espao para a apresentao dos logaritmos que se

constitui no novo implcito de todas as atividades propostas. Desde esse momento, poder ser

trabalhado o contedo propriamente dito. Por fim, os alunos podem ser estimulados a

voltarem ao experimento inicial e conclurem dando uma resposta mais efetiva utilizando o

novo objeto.

Consideramos, portanto, que este estudo contribuiu para a nossa formao de

professores de matemtica, pelo fato de rompermos em algum sentido com concepes frgeis

sobre o preparo de aulas e execuo de aulas de matemtica.

Referncias:

ALMOULOUD, S. A. Atividades para o ensino de matemtica na perspectiva da Didtica da

Matemtica. In: Encontro Paranaense de Educao Matemtica, 10. 2009, Guarapuava.

Anais... Guarapuava: UNICENTRO, 2009, p. 992-1002

BOYER, C. B. Histria da Matemtica; traduo: Elza F. Gomide. So Paulo, Edgard

Blcher, 1974.

SILVA, C. X.; BARRETO, F. B.Matemtica aula por aula; volume nico. Ensino Mdio,

Editora: FTD, ano 2009.

EVES, H.Introduo histria da matemtica; traduoHygino H. Domingues. 5a ed.

Campinas, sp: Editora da Unicamp, 2011.

Projeto Condigital MEC - MCT; Universidade Estadual de Campinas - Unicamp -

Matemtica; FIRER, Marcelo, BaralhoMgico,

2010,, acesso em 03 set 2013

Lia Garpelli, Logaritmos,2012,

,acesso em 06 set 2013

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15596http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfGSsAD/logaritmos