Unidade Curricular:

Matemática - EIG0003

MIEIG 2013/2014

1ª aula

Prof. Catarina Castro

Gabinete: M304

1

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:Adquirir conhecimentos teóricos e práticos, essenciais, sobre o

cálculo diferencial de funções reais de variável real e algumas das suas aplicações.

RESULTADOS ESPERADOS:1 – Saber aplicar as regras da derivação a funções polinomiais,

exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Derivação de funções racionais.

2 – Calcular a derivada da função composta e aplicá-la a problemas práticos.

3 – Obter a derivada da inversa de uma função.2

Programa

Iniciação ao Cálculo.Derivação:

Regras da derivação: soma, diferença, produto, quociente, etc.Derivadas de funções polinomiaisDerivadas de funções exponenciaisDerivadas de funções logarítmicasDerivadas de funções trigonométricasDerivada da função compostaDerivada da função inversa

3

Bibliografia Principal

Análise Matemática I, Texto de apoio (Capítulo 1)Carlos A. Conceição António

Exercícios de revisão de derivadas Carlos C. António, Catarina F. Castro

Cálculo Volume I e IILarson, Hostetler & Edwards,

McGraw-Hill Interamericana, 2006. ISBN: 85-86804-56-8 (vol. 1, oitava edição)

4

REGRAS DE AVALIAÇÃO

Obtenção de FrequênciaNão exceder o limite de faltas de acordo com as Normas Gerais de Avaliação em vigor na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.

Cálculo da Classificação FinalClassificação obtida no Exame Final da disciplina com a duração de 60 minutos.Haverá uma prova de substituição através da qual os alunos poderão melhorar a avaliação.

Data provisória do 1º Exame (sem consulta)2ª feira, 11 de Novembro de 2013

Data provisória do Exame de Recurso (sem consulta)2ª feira, 9 de Dezembro de 2013

5

6

https://sigarra.up.pt/feup/pt/ucurr_geral.ficha_uc_view?pv_ocorrencia_id=332751

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DIFERENCIAÇÃO EM R

1. Revisão de alguns conceitos e resultados

1.1 Conceito de derivada

1.2 Interpretação física do conceito de derivada

1.3 Derivação de funções compostas (regra da cadeia)

1.4 Derivação da função inversa

1.5 Teorema dos acréscimos finitos (ou de Lagrange) AMI

1.6 Aplicações

8

CONCEITO DE DERIVADA

Considere-se a reta que passa pelos pontos P e Q na Figura.Esta reta é designada como reta secante do gráfico da função y=f(x) .

Com base na Figura e considerando as coordenadas P(a, f(a)) e Q(a+h, f(a+h)) pode-se estabelecer a razão incremental:

9

10

O ponto Q pode situar-se à esquerda ou à direita do ponto P. Considere-se

um ponto genérico Q(x, f(x)) no gráfico da função representada na figura.

Se f(x) é contínua em a, pode-se fazer Q(x, f(x)) tender para P(a, f(a))

fazendo x tender para a, o que por outras palavras equivale a dizer que a reta secante torna-se tangente ao gráfico da função no ponto P.

O declive ou coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função f

em P(a, f(a)) é

desde que o limite exista

11

DEFINIÇÕES

O declive ou coeficiente angular da reta secante também designado como

taxa de variação média

( ) ( )h

afhafmPQ

−+=

12

13

14

15

Regras da derivação: soma, diferença, produto e quociente

F(x)=g(x)+h(x) F’(x)=g’(x)+h’(x)

F(x)=g(x)-h(x) F’(x)=g’(x)-h’(x)

F(x)=g(x). h(x) F’(x)=g’(x).h(x)+ g(x).h’(x)

F(x)=g(x)/h(x) F’(x)=[g’(x).h(x)- g(x).h’(x)] / [h(x)]2

16

Regras de derivação das funções: potência, logaritmo e exponencial

F(x)=xk F’(x)=k. xk-1

F(x)=ln(x) , x>0 F’(x)=1/x

F(x)=ex F’(x)=ex

17

18

Regra de derivação da função composta ou regra da cadeia

F(x)= g(h(x)) F’(x)=g’(h(x)) . h’(x)

z(x)=z(y(x))

Regra de derivação da função inversa

g(h(x))=x

19

Regra de derivação da função composta ou regra da cadeia

F(x)= g(h(x)) F’(x)=g’(h(x)) . h’(x)

z(x)=z(y(x))

Regra de derivação da função inversa

g(h(x))=x

20

Principais FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS e suas derivadas:

f(x) f’(x)

Sen(x) Cos(x)

Cos(x) -Sen(x)

Tang(x) Sec2(x)

Cotang(x) -Cossec2(x)

Sec(x) Sec(x) . Tang(x)

Cossec(x) -Cossec(x) . Cotang(x)

21

http://pt.wikipedia.org/ 22

O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a θ, define-se como sendo a razão entre o cateto oposto a θ e a hipotenusadeste triângulo. Ou seja:

Exemplo: Um triângulo retângulo cuja hipotenusa é de valor 10 e seus catetos são de valores 6 e 8. O seno do ângulo oposto ao lado de valor 6 é 6/10 , ou seja, 0.6. Num círculo trigonométrico unitário, o seno do ângulo

α é a medida do segmento de reta a vermelho.

23

O cosseno (usam-se ainda as formas coseno e co-seno) é uma função

trigonométrica.

Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a θ,

define-se cos(θ) como sendo a proporção entre o cateto adjacente a θ e

a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:

θ

24

Outra função função trigonométrica:

Num triângulo retângulo, define-se tan(θ) ou tg(θ), como sendo a proporçãoentre o cateto oposto a θ e o cateto adjacente a θ:

Consequentemente também é dado pela razão entre o seno e o co-seno:

θ

25

Definição de cotangente de um ângulo:

Num triângulo retângulo, define-se cotan(θ) ou cotg(θ), como sendo a proporção entre o cateto adjacente a θ e o cateto oposto a θ:

Consequentemente também é dado pela razão entre o seno e o co-seno:

θ

26

Num círculo trigonométrico unitário:

Seja x um ângulo agudo, a fórmula fundamental da trigonometria

apresenta-se desta forma: sin2(x) + cos2(x) = 1

27

A secante é uma função trigonométrica definida como

Num triângulo retângulo, a secante de um ângulo agudo corresponde

à razão da hipotenusa pelo cateto adjacente.

28

A co-secante é uma função trigonométrica definida como

Num triângulo retângulo, a co-secante de um ângulo agudo corresponde

à razão da hipotenusa pelo cateto oposto.

29

Num círculo trigonométrico unitário:

Principais corolários da fórmula fundamental da trigonometria:

30

Principais FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS e suas derivadas:

f(x) f’(x)

Sen(x) Cos(x)

Cos(x) -Sen(x)

Tan (x) Sec2(x)

Cotang(x) -Cossec2(x)

Sec(x) Sec(x) . Tan(x)

Cossec(x) -Cossec(x) . Cotan(x)

Unidade Curricular:

Matemática - EIG0003

MIEIG 2013/2014

2ª aula

Prof. Catarina Castro

Gabinete: M304

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Regras de derivação:

2) Regra da Potência:

1) Regra do Produto:

33

• 1) Derivação da potência em que o expoente é uma constante:

�����(�) = �(�)� em que k é uma constante, então a derivada será

� � =��

��= ��(�)����′(�)

• 2) Derivação da exponencial:�����(�) = ��(�) em que a base é a constante de Néper, a derivada da função

� � =��

��= ��(�)�′(�)

• 3) Derivação da potência sendo a base uma constante e o expoente uma função de x:

����� � = �� �

podemos reescrever introduzindo a função exponencial e a sua inversa queé a funçãologarítmo:

� � = �� � = ��� �� �= �� � ��(�) em que usamos as propriedades dos logarítmos

Regras de derivação

34

• 3) Derivação de� � = �� �

� � = �� � = ��� �� �= �� � ��(�) e agora já sabemos derivar:

� � =��

��= �� � ��(�) × �′ � ��(�) = ��(�)�′(�) ln(k)

4) Derivação da potência sendo:

• a base uma função u(x) e o expoente outra função de v(x):

����� � = �(�)� � (vamos usar o mesmo processo)

� � = �(�)� � = ��� �(�)� �= �� � ��[� � ]

35

4) Derivação da potência sendo:• a base uma função u(x) e o expoente outra função de v(x):

����� � = �(�)� � (vamos usar o mesmo processo)

� � = �(�)� � = ��� �(�)� �= �� � ��[� � ]

� � =��

��= �� � ��[� � ] � � ��[� � =

= �(�)� � � � �� � � + � ��′(�)

�(�)=

= �(�)� � � � �� � � + � � � � � �� �

� �=

= �(�)� � � � �� � � + � � � � � � ���′(�)

É a soma das 2 regras: Regra da exponencial + Regra da potência

36

Exercício de aplicação :

37

38

Exercício de aplicação da Regra de derivação em cadeia:

Enche-se de água à razão de 1 metro cúbico por hora um depósito em forma de tronco de cone de secção circular. Tal como está indicado na figura, a altura do depósito é de 20 metros, o diâmetro da base é de 4 metros e o diâmetro da boca é de 12 metros.

Usando a regra de derivação em cadeia, calcule a razão de variação do nível de água h quando esta atinge metade da altura total do depósito?

Resolução: As variáveis associadas a este problema são:

• t o tempo, • V o volume de água dentro do depósito, • h o nível de água e • r o raio da superfície de água.

O enunciado dá ��/�� e pede um �ℎ/��.

39

Exercício de aplicação da Regra de derivação em cadeia:

Resolução:

As variáveis associadas a este problema são: t o tempo, V o volume de água dentro do depósito, h o nível de água e r o raio da superfície de água.

O enunciado dá-nos �

�!= 1#$/ℎ e queremos calcular

�&

�!.

Pela regra de derivação em cadeia temos,��

��=��

�ℎ∙�ℎ

��Precisamos calcular

�

�&, temos que escrever V função de h.

O volume de um cone é 1/3 do volume de um cilindro. O volume de água será

� =1

3π+, ℎ + 10 .

1

3π2, × 10

40

Pela regra de derivação em cadeia temos,��

��=��

�ℎ∙�ℎ

��Precisamos calcular

�

�&, temos que escrever V função de h.

O volume de um cone é 1/3 do volume de um cilindro. O volume de água será

� =1

3π+, ℎ + 10 .

1

3π2, × 10

O volume V vem função de 2 variáveis r e h. Como queremos derivar V em ordem a h temos que eliminar a variável r.

r

Vamos usar a semelhança de triângulos (ou teorema de Thales) para escrever r função de h:

10

2=10 + ℎ

+⟺ + =

2 × 10 + ℎ

10=10 + ℎ

5Substituindo

� =1

3π

10 + ℎ

5

,

ℎ + 10 .1

3π2, × 10 =

1

3π

ℎ + 10 $

25.4

3π × 10

Derivando em ordem a h, temos��

�ℎ= π

ℎ + 10 ,

25

41

Substituindo para o caso geral, em qualquer instante,

��

��=��

�ℎ∙�ℎ

��= π

ℎ + 10 ,

25∙�ℎ

��

�ℎ

��=

25

π ℎ + 10 ,∙��

��

Para o caso particular em que �

�!= 1#$/ℎ e aindah atinge metade da altura total

do depósito, h=10m, tem-se

1 = π10 + 10 ,

25∙�ℎ

��(ℎ = 10m)

�ℎ

��ℎ = 10m =

25

4004m/h

A razão de variação do nível de água h quando esta atinge metade da altura total do depósito é de aproximadamente 0.020 metros por hora.

r

42

Exercício de aplicação da Regra de derivação em cadeia:

43

44

45

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Principais FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS e suas INVERSAS:

f(x) f -1(x)

Sen(x) arcsen(x)

Cos(x) arccos(x)

Tang(x) arctg(x)

Cotang(x) arccotg (x)

Sec(x) arcsec(x)

Cossec(x) arccossec(x)

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Num círculo trigonométrico unitário:

Principais corolários da fórmula fundamental da trigonometria:

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

48

A INVERSA DA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA SENO É A FUNÇÃO ARCO-SENO:

Considere-se a função f(x)=sen(x), com domínio [-π/2,π/2] e imagem no intervalo [-1,1].

A função inversa de f, diz-se arco cujo seno,

f-1(x) = arcsen(x) ,

domínio [-1,1] e imagem no intervalo [-π/2,π/2]

49

50

51

Demonstração:

52

53

Derivação da função y=arcsen(x)

Considere-se a função f(x)=sen(x), com domínio [-π/2,π/2] e imagem no intervalo [-1,1].

A função inversa de f, diz-se arco cujo seno,

f-1(x) = arcsen(x) ,

domínio [-1,1] e imagem no intervalo [-π/2,π/2]

54

Derivação da função y=arcsen(x)

55

A INVERSA DA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA COSSENO É A FUNÇÃO ARCO-COSSENO:

Considere-se a função f(x)=cos(x), com domínio [0, π] e imagem no intervalo [-1,1].

A função inversa de f, diz-se arco cujo cosseno,

f-1(x) = arcos(x)

domínio [-1,1] e imagem no intervalo [0, π]

56

Derivação da função y=arcos(x)

57

A INVERSA DA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA TANGENTE É A FUNÇÃO ARCO-TANGENTE:

Considere-se a função f(x)=tg(x), com domínio ]-π/2,π/2[ e imagem no intervalo ]-∞, +∞[

A função inversa de f, diz-se arco cuja tangente,

f-1(x) = arctg(x) ,

Domínio ]-∞, +∞[ e imagem no intervalo ]-π/2,π/2[

58

Derivação da função y=arctg(x)

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Aprender a demonstrar as seguintes regras de derivação:

Unidade Curricular:

Matemática - EIG0003

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3ª aula

Prof. Catarina Castro

Gabinete: M304

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Para calcular a derivada da função composta f(x)=u[v(x)]

precisamos considerar a razão incremental

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Exercício de Aplicação da Regra da Cadeia

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DIFERENCIAÇÃO EM R

1. Revisão de alguns conceitos e resultados

1.1 Conceito de derivada

1.2 Interpretação física do conceito de derivada

1.3 Derivação de funções compostas (regra da cadeia)

1.4 Derivação da função inversa

1.5 Teorema dos acréscimos finitos (ou de Lagrange) AMI

1.6 Aplicações

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4ª aula

Dúvidas, exercícios e revisõesProf. Catarina Castro

Gabinete: M304

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