GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁ

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

UNICENTRO – UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE

NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE GUARAPUAVA

UNIDADE DIDÁTICA

GUARAPUAVA

2008

JOSÉ ELOIR DE ALMEIDA

UNIDADE DIDÁTICA

Produção Didático Pedagógica de acordo com as atividades previstas no Plano Integrado de Formação Continuada – 2008, em conformidade com as orientações da Coordenação do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE/SEED, sob a orientação do professor da IES – UNICENTRO – Universidade do Centro-Oeste, Guarapuava – Pr. Orientador: Carlos Roberto Ferreira.

GUARAPUAVA

2008

UNIDADE DIDÁTICA

1. GEOMETRIA ESPACIAL (APLICAÇÕES NO COTIDIANO)

Se olharmos a nossa volta podemos perceber que o mundo é pura

geometria, tanto plana como espacial: a quadra de basquete, nossas casas, o

azulejo do banheiro, o tronco das árvores, a lata de óleo, a geladeira, a caixa de

fósforo e mais uma infinidade de exemplos.

Estudar e compreender as relações existentes na geometria sempre fez

parte da curiosidade humana, pois foi através da geometria que muitos problemas

foram resolvidos, como: construção de túneis, navios, hidroelétricas, aviões, carros.

Segundo as diretrizes curriculares do Estado do Paraná, no ensino médio os

conteúdos de geometria devem ser valorizados e estar integrados com aritmética e

álgebra. A geometria favorece a percepção espacial e contribui para que

entendamos melhor as coisas a nossa volta, pois são várias as aplicações que

envolvem esse conteúdo.

A Geometria é formada pelo prefixo geo que significa terra, e metron

medida, mas ela está presente em todo o Universo. É a parte do conhecimento

desenvolvido pelo indivíduo na tentativa de compreender certos aspectos do mundo

em que vive, pois o Universo é repleto de objetos, coisas e figuras. A geometria

surgiu da necessidade dos seres humanos de medir terras e demarcar propriedades,

mas, atualmente, está voltada para o estudo das figuras, de suas propriedades e

relações. Quando estudamos uma figura, trabalhamos com sua posição, forma e

tamanho. Quem contribuiu bastante com a Geometria foi Euclides; mas hoje temos

também a geometria não-euclidiana e uma forma de visualizá-la é a Geometria

esférica, em que está relacionada com a esfera e tem a terra como modelo. Vamos

estudar a geometria espacial.

1.1. GEOMETRIA ESPACIAL – SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

São formas espaciais muito presentes em nosso cotidiano. É comum

encontrarmos essas formas nas embalagens e nas construções, por exemplo.

Observemos os diversos tipos de sólidos na figura 1.

Figura 1

Os objetos que estão a sua volta se assemelham com estes? É possível

separar todos os sólidos em dois grupos que são: os poliedros e os corpos

redondos.

Podemos verificar a nossa volta diferentes tipos de prismas; mas o que são

prismas? Para responder a essa pergunta vamos estudar os poliedros, que são as

formas espaciais sólidas formadas por superfícies planas poligonais, que junto com

a parte do plano e seu interior formam a figura sólida. E prismas são poliedros

delimitados por superfícies formando figuras poligonais e seus interiores. A figura 2

mostra exemplos de prismas:

Figura 2

Em todos os prismas que aparecem nas figuras acima há polígonos que

estão em planos paralelos e há faces laterais formadas por quadriláteros.

Um prisma é reto se as arestas laterais são perpendiculares às bases, caso

contrário, o prisma é oblíquo. Cada prisma recebe um nome de acordo com o

polígono da base, se a base é um triângulo, o prisma é triangular, se a base é um

quadrilátero, o prisma é quadrangular, e assim sucessivamente. Chamamos prisma

regular ao que tem em sua base uma figura regular, ou seja, uma figura que possui

lados iguais, ângulos congruentes e seja reto.

Prismas regulares: triangular, quadrangular e hexagonal respectivamente.

1.1.1. ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DOS PRISMAS

Para entendermos o trabalho com áreas, a planificação do sólido nos auxiliará

bastante. Mas o que é planificação? É representar a sua superfície num plano, ou

seja, fazer um “molde” para o sólido de modo que cada face fique ligada a pelo

menos outra por uma aresta. Dependendo da figura podemos fazer uma ou mais

planificações.

A superfície lateral de um prisma é a reunião das suas faces laterais.

Representamos a área da superfície por Al.

A superfície total de um prisma é a reunião das suas faces laterais com as

suas bases. Representamos a área da superfície total por At.

Cubo

Cubo de aresta a Planificação do cubo de aresta a

Superfície total

A unidade usada para calcular superfícies são quadrados de 1u de lado e

cada quadrado vale 1u². Se o lado do quadrado mede 1cm, a área é 1cm². Quando

estamos trabalhando com áreas que não estão na mesma unidade, é conveniente

fazer a transformação para uma mesma unidade.

Verificamos que a superfície total do cubo é formada por 6 faces

quadradas de aresta a, portanto:

At = 6a²

Volume

Um sólido qualquer ocupa um determinado espaço. Chamamos esse espaço

de volume. Para calcular o volume de um sólido, comparamos com outro volume

tomado como unidade, e podemos usar o cubo de 1 u de aresta; esse volume é 1u³.

Então, se o cubo tem 1cm de aresta, seu volume é 1cm³; se a aresta mede 1m, o

volume é 1m³.

O volume de um prisma é igual ao produto da área da base pela altura.

V = AbxH

V = a²xa

V = a³

Prisma hexagonal regular

Planificação do prisma

Superfície lateral e superfície total

Pela planificação do prisma hexagonal, verificamos que a área da superfície

lateral é formada por seis retângulos de dimensões l e H.

Área lateral (Al ) é igual a seis vezes o produto do lado pela altura.

Al = 6.l.H

A superfície total é a união da superfície lateral com as duas superfícies da

base.

At = Al + 2.Ab

A base é um hexágono regular e podemos dividi-lo em seis triângulos

eqüiláteros. A área de cada triângulo é 4

3²l. Então:

Ab = 6.4

3²l

Ab = 2

3²3l

O volume do prisma é o produto da área da base pela altura.

V = AbxH

1.1.2. ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO CILINDRO

Cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução de um

retângulo em torno de um de seus lados.

Cilindro de

raio r planificação do cilindro

Pela planificação do cilindro podemos visualizá-lo melhor e calcular as

superfícies: lateral, da base e total.

A base é um círculo, portanto:

Área da base igual à área do círculo.

Ab = π.r²

A área lateral é formada por um retângulo, onde um dos lados é o

comprimento da circunferência e o outro é a altura do cilindro.

Al = comprimento da circunferência x altura

Al = 2.π.r.H

A área total é a união da área lateral com as duas bases.

At = Al + 2.Ab

O volume do cilindro é dado por: produto da área da base pela altura do

cilindro.

V = AbxH

V = π.r²xH

Para aplicar os conhecimentos sobre os poliedros e corpos redondos vamos estudar

dois temas: as embalagens e a água.

1.2. EMBALAGENS

1.2.1. HISTÓRICO DAS EMBALAGENS

Surgiram para transportar, conservar e estocar alimentos e eram

confeccionados em barro, madeira e tecido. Em 1813, Napoleão Bonaparte fez um

concurso premiando quem desenvolvesse uma embalagem que conservasse por

mais tempo os alimentos, para que pudessem ser usados pelos soldados que

estavam na guerra. Em 1830, rótulos coloridos foram usados, aumentando o poder

de atração dos produtos, em 1930 o supermercado substituiu os balconistas e os

fregueses teriam que apanhar as embalagens nas prateleiras. Atualmente,

pesquisas e estudos na confecção de embalagens vêm sendo feitas e já surgiram

diferentes tipos de embalagens. Hoje os produtos são colocados em embalagens

para vender, comunicar e proteger. Também existe uma preocupação com a

reciclagem dessas embalagens e muitos produtos já estão desenvolvidos dentro

dessa perspectiva.

Verificando os diferentes tipos de embalagens, podemos encontrar muita

matemática presente, seja nos formatos ou na capacidade que possui a embalagem

do produto. Trabalharemos com algumas situações-problema envolvendo

embalagens:

Exemplo 1: Quantidade de papelão gasto na embalagem hexagonal

Uma empresa quer fazer uma embalagem em forma de prisma hexagonal

regular de 6 cm de lado por 10 cm de altura. Quantos metros quadrados de papelão

são necessários para construir 500 dessas embalagens? Serão utilizados 20% a

mais de material, a fim de que seja possível fazer as dobraduras e colagens.

De acordo com Polya (1978), são quatro as etapas principais de resolução

de problemas:

1ª) Compreender o problema;

2ª) elaborar um plano;

3ª) executar o plano;

4ª) Fazer um retrospecto ou verificação.

1 ª etapa

Podemos fazer algumas perguntas antes de começarmos a resolver o

problema.

- Quais são os dados do problema?

• O lado com 6 cm e altura do prisma hexagonal 10cm.

- Qual é a incógnita, ou seja, o que o problema pede para calcular?

• A quantidade de metros quadrados para fazer 500 embalagens.

- Qual letra usará para a incógnita?

• x.

- Quais as letras escolheria para o lado e altura do prisma?

• l e H.

- As medidas para se calcular a quantidade de papelão estão na mesma

unidade?

• Não; os dados estão em cm e a quantidade de material que pede em

m².

2ª etapa

Temos que encontrar uma conexão entre os dados e a incógnita.

- Já resolveu algum problema semelhante?

• Não.

- Procure resolvê-lo em partes.

- Utilizou todos os dados? Levaram em conta todas as implicações do

problema? Um desenho ajuda?

• Ajuda.

? - O que precisa ser calculado na figura?

• A área total.

- E aí o problema estará resolvido?

• Não.

- Então, o que é preciso mais?

• Calcular a quantidade de 500 embalagens.

- Daí o problema estará pronto?

• Não. É necessário dar a resposta em metros quadrados.

3ª etapa

Executamos o plano, fazemos os cálculos com paciência, examinando com

cuidado o caminho traçado, verificando cada passo.

- Para calcular a área total, como procederemos?

• Verificando a planificação e calculando sua área. A área total é

formada pela superfície lateral, mais duas áreas da base.

Superfície lateral é igual a seis retângulos de lados 6cm por 10 cm. Então:

Al = 6.6.10

Al = 360cm².

A área da base é um hexágono regular de lado 6 cm.

Calculando a área de um triângulo eqüilátero, temos:

A = 2

abasexaltur, temos que encontrar a altura h. Aplicando o teorema da

Pitágoras, vem:

6² = h² + 3²

36 = h² + 9

h² = 36 – 9

h = 27

h = 33 , usando 1,73 para 3 :

h = 5,19 cm.

A = 2

19,56x

A = 15,57 cm², área de cada triângulo.

A área da base é 6 vezes a medida da superfície do triângulo eqüilátero.

Ab = 6x15,57

Ab = 93,42 cm²

Superfície total:

At = AL + 2Ab

At = 360 cm² + 2x93,42 cm²

At = 546,84 cm²

- O problema está resolvido?

• Não. É preciso calcular o valor de 500 embalagens:

500 embalagens = 500 x 546,84 273420 cm². Transformando em m²:

O metro quadrado é um quadrado de 1 m de lado; como 1m tem 100 cm, então:

1 m² = 100x100= 10000cm². Dividindo 273420 por 10000, encontra-se

27,342; que é a resposta em metros quadrados.

- Foram usadas todas as condições do problema?

• Não. Tem que ser calculado 20% a mais de material.

x = 27,342 + 20% de 27,342, aproximadamente 32,8.

4ª etapa

É o retrospecto ou verificação. Chegou a uma resposta, examine, analise se

ela satisfaz as condições do problema, e que unidade deve ser usada.

Resposta: São necessários 32,8m² de material.

Exemplo 2: Comparação entre a embalagem cilíndrica e a embalagem

em forma de prisma quadrangular.

A lata de óleo de cozinha de capacidade 900 ml = 900 cm³, será construída

com 60 ml a mais, para que não fique muito cheia.

Qual forma de embalagem é ideal para que sua área seja mínima: recipiente

cilíndrico ou prisma de base quadrangular?

Cilindro:

O volume de um cilindro é dado por:

V = área da base x altura

Área da base = π.r² e altura = H

Teremos então V = π.r².H

960 = π. r².H

π.r².H = 960

H = ²

960

rπ

(1)

Cálculo da superfície total

Área da base = π . r², como são duas = 2π.r².

O contorno é retangular e sua área é o produto da base do retângulo pela

altura, sendo sua base o comprimento da circunferência que é igual a 2πr. Portanto

a área lateral é igual a 2π.r.H.

Como a área total é igual a área lateral mais duas vezes a área da base,

temos;

At = Al + 2Ab

At = 2π.r.H + 2π.r² (2)

Substituindo (1) em (2), vem:

At = 2π.r.²

960

rπ

+ 2π.r²

At = r

1920 + 2π.r²

Tem-se assim a sentença que define a área total do cilindro em função da

medida do raio da base para um volume de 960 ml.

Atribuindo valores ao raio e substituindo na expressão, temos:

Raio (cm) Área total (cm²)

1 1926,28

2 985,12

3 696,52

4 580,48

5 541

6 546,08

Percebe-se que o raio é maior que 4 e menor que 6, portanto usaremos o

raio com 5 cm.

Então: H = ².

960

rπ

H = ²5.14,3

960

H = 12,23 cm

Sendo assim, o recipiente cilíndrico com capacidade 960ml, raio 5 cm e

altura 12,23 cm terá a menor área igual a 541 cm² para raio de número inteiro.

Prisma de base quadrada:

O volume é o produto da área da base pela altura.

A área da base é igual a a²

V = AbxH

V = a² .H

960 = a².H

a².H = 960

H = ²

960

a (1)

A superfície total é a área lateral mais o dobro da área da base.

A área lateral é formada por 4 retângulos de base a e altura H

At = Al + 2.Ab

At = 4.a.H + 2.a² (2)

Substituindo (1) em (2), teremos:

At = 4.a.²

960

a + 2a²

At = a

3840 + 2a²

Temos a sentença matemática que representa a área total do prisma em

função de seu lado para o volume de 960 ml.

Atribuindo valores ao lado, resulta:

Lado (cm) Área total (cm²)

1 3842

2 1928

3 1298

4 992

5 818

6 712

7 646,57

8 608

9 588,67

10 584

11 591,09

Pelo quadro verificamos que a área total mínima está entre o lado de medida

9 cm e 11 cm. Usaremos o número inteiro 10 cm para o lado.

Como H = ²

960

a, vem:

H = ²10

960

H = 9,6 cm

Então, para o prisma de lado 10 cm e altura 9,6 cm teremos uma área

mínima de 584 cm².

Conclusão: Precisamos de 43 cm² a mais de material para fabricar a lata em

forma de prisma quadrangular. Para uma lata a diferença é pequena, mas vamos

considerar a produção de uma indústria de 500.000 latas/ano:

500.000 x 43 = 21.500.000 cm² = 2150 m² de economia de material.

Agora é com você...

Situação-problema 1

Uma das planificações do cubo é:

Encontre outras 10 planificações distintas para o cubo?

Situação-problema 2

Você dispõe de uma placa quadrada de 1m de lado e vai usá-la para formar

planificações de cubos de 10 cm de aresta. Procure obter o máximo possível de

peças. Quantos moldes de planificações consegue fazer?

Situação-problema 3

Uma pessoa dispõe da peça:

E vai montar um cubo, quais são os pares de faces paralelas?

Situação-problema 4

Dispomos de uma folha retangular de 20 cm por 30 cm. Uma pessoa

pretende dobrar essa folha para formar uma embalagem cilíndrica. Dependendo da

maneira que ela dobrar, terá altura do cilindro 20 cm ou 30 cm.

a) Qual volume obterá para cada uma das figuras?

b) Considerando que a pessoa vai fechar a embalagem cilíndrica, colocando

as bases, quantos cm² gastará de material em cada um dos casos?

Situação-problema 5

Uma pessoa não possui água encanada em sua casa necessitando pegar

água em um reservatório comunitário. Ela dispõe de um balde cilíndrico de 24 cm de

diâmetro e 30 cm de altura. Pretendendo encher um tanque de base quadrada com

50 cm de lado até uma altura de 40 cm. Quantas viagens ela precisa fazer, se em

cada viagem ela derrama 20% da água do balde?

1.3. ÁGUA

Hoje uma das grandes preocupações da humanidade é a possibilidade de

falta de água. Ela é um bem precioso e sem ela a vida não seria possível.

Vivemos num mundo cada vez mais transformado, com avanços

tecnológicos, aumento da população e esgotamento dos recursos naturais.

Mudanças climáticas afetam todos os habitantes deste planeta e dificultam a

qualidade de vida das pessoas. Segundo o Painel Intergovernamental sobre

Mudanças Climáticas (IPCC), as estimativas são de que poderá haver um acréscimo

de até 5,8 graus celsius, com vários impactos; entre eles:

● Chuvas em grandes escalas, seguidas por secas prolongadas.

● Degelo das calotas polares aumentando o nível dos oceanos.

● Difícil acesso à água potável, podendo haver uma privatização da

água, onde grupos procurarão lucrar com a sua escassez.

Essas projeções para o Brasil não são nada animadoras, pois com muitas

chuvas ou secas prolongadas a Agricultura será prejudicada e teremos problemas

na produção de alimentos. Mas, a agricultura não é a única que depende da água,

nós precisamos para nosso consumo, isto é, para matar a sede, higiene e preparar a

alimentação.

Os animais também necessitam de água para matar sua sede. Ela contribui

na geração de energia elétrica, nas fábricas e indústrias. Mas, como contribuir para

que usemos a água de maneira racional sem desperdício?

Uma alternativa é a construção de cisterna, que é um reservatório de águas

pluviais e qualquer pessoa pode fazer uso de águas das chuvas para fins não

potáveis, usando-a em irrigação de jardim, lavagem de automóveis, calçadas, vasos

sanitários e limpezas de um modo geral. Podendo ser construída de 2 maneiras,

uma subterrânea e outra acima do solo. A água poderá ser captada do telhado das

casas ou de áreas pavimentadas. No telhado são instaladas calhas que transportam

a água através de canos para as cisternas. Uma cisterna poderá ter várias formas,

sendo um poliedro ou um corpo redondo como: cilindro, esfera.

Exemplo

Numa região choveu 40 mm no mês, e considerando a área limitada pela

cobertura de 100 m², quantos litros de água foram para a cisterna? Lembrando que

segundo a ENGEPLAS (Engenharia da Reciclagem e Meio Ambiente) há um

desperdício de 15 % da água que cai no telhado e da água que segue pelo cano,

90% é filtrada e chega limpa ao reservatório.

Resolução:

Vamos entender o problema. O que está sendo pedido?

- A quantidade de litros de água da chuva e para calcular temos os dados:

Chuva de 40 mm no mês, área de cobertura 100m².

_______________________x____________________

Nessa casa a área limitada pela cobertura é um retângulo, ou seja, é a

projeção da cobertura sobre um plano paralelo ao nível da casa. Se fosse para

calcular a área, era só fazer o produto do comprimento pela largura. Mas como nós

já temos essa área, o cálculo do volume será:

O produto da área da base pela altura.

V = AbxH , como 1m é igual a 1000mm, 40mm é igual a 0,04m

V = 100x0,04

V= 4m³, sendo 85% de aproveitamento:

V = 4x0,85

V = 3,4m³ tendo 10% de perda pela filtragem, vem:

V = 3,4x0,9

V = 3,06 m³.

O problema pede o resultado em litros; 1 litro é igual a 1 dm³ e 1 dm igual a

10 cm. Um cubo de 1m³, 1m de lado tem 10dm de aresta, sendo seu volume igual a

1000 dm³, então em 1m³ há 1000 litros. Portanto:

V = 3,06m³

V = 3,06x1000

V = 3060 litros

Foram para a cisterna 3060 litros de água.

Situação-problema 1

No Nordeste sertão de Pernambuco, como a água anda escassa, o governo

tem um projeto de construção de cisternas para beneficiar famílias pobres que

sofrem com a seca. A cisterna é instalada em um piso de cimento, com captação da

água da chuva do telhado, onde foram colocadas calhas nas casas, indo as águas

pelos canos até a cisterna. Depois de vários estudos da ASA (Articulação no Semi-

Árido Brasileiro; é um fórum de organizações da sociedade civil, criada em julho de

1999) sobre os diversos modelos de cisternas, foi optado pela forma cilíndrica. Cada

uma delas tem capacidade de 16 mil litros.

a) Indique as dimensões de uma possível cisterna cilíndrica com capacidade

para 16 mil litros.

b) Uma casa tem uma área delimitada por uma cobertura de 60 m² e em

média chove 1500 mm por ano, quantos litros de água passaram pela cisterna, se

15 % é o desperdício da água que cai do telhado?

Situação-problema 2

Em 2002, antes das medidas de economia de água se tornar lei em Curitiba,

um condomínio residencial instalou um sistema de coleta e reaproveitamento da

água da chuva usando uma das lajes da garagem do condomínio. A água captada

enche uma cisterna de 9 mil litros, que é usada em diversas limpezas do

condomínio. Se a área delimitada pela cobertura é 200 m², quantos mm precisa

chover para encher o reservatório, lembrando que 15 % da água que cai no telhado

é desperdiçada?

Situação-problema 3

Para construir uma cisterna com capacidade de 1000 litros qual deve ser:

a) O raio da esfera (volume da esfera v =3

4πr³);

b) o raio e a altura do cilindro;

c) a aresta do cubo.

Situação-problema 4

Qual das 3 (esfera, cilindro , cubo) é mais viável para a construção da

cisterna de 1000 litros, ou seja, gasta menos material para construir? ( Área da

superfície esférica 4π.r²)

Situação-problema 5

Muitas pessoas não ligam para a torneira pingando, mas em uma hora essa

torneira desperdiça em média 900 ml. Quantos litros aproximadamente são

desperdiçados durante 1 mês? E quanto tempo levará para desperdiçar 1 m³ de

água?

Situação-problema 6

Uma das grandes gastadoras de água de uma casa são as descargas, que

em média levam 10 litros de água em cada uso. Em uma residência, a descarga é

usada em média 15 vezes por dia. Durante 30 dias, quantos m³ de água foram

usados em média com o uso do vaso sanitário?

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Aproveitamento de água de chuva. Disponível em: <htpp://tubolaronline.com.br/chuva.php> Acesso em: 25 de novembro de 2008. Construção de cisternas no semi-árido. Disponível em: <http://www.mds.gov.br/ascom/revistas/mds/cisternas.htm> Acesso em 25 de novembro de 2008. DIRETRIZES CURRICULARES DE MATEMÁTICA PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA. Secretaria de Estado da Educação - Curitiba, 2006. História das embalagens. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3ria_da_embalagem> Acesso em 9 de dezembro de 2008. POLYA, George. A arte de resolver problemas; tradução /de/ Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro, Interciência, 1978. SMOLE, Kátia Stocco; SMOLE, Maria Ignes Diniz. Matemática - ensino médio. Vol. 2, 2ª série. 5. Ed. São Paulo: Saraiva, 2005. Vantagens de captação de água da chuva. Disponível em <http://www.engeplas.com.br/agua.html> Acesso em 25 de novembro de 2008.