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EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIRO

Segundo Semestre de 2012 - 13 de julho de 2012

AS 4 QUESTOES DA PARTE A SAO OBRIGATORIAS.ESCOLHA 2, E APENAS 2, QUESTOES DA PARTE B.

A PROVA TEM DURACAO MAXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.

PARTE A:

Problema 1: Um condutor esferico de raio R possui em seu centro uma cavidade esferica de raioa como mostra a Fig. 1. No centro desta cavidade ha uma carga pontual qa. A uma distancia d do

centro da esfera condutora, ha uma segunda carga pontualqb conforme mostra a Fig. 1. Considere que|qa| |qb| e d R.

a) Calcule o campo eletrico total nas seguintes regioes:

i) r < a

ii) a < r < R

iii) r > R

b) Calcule a intensidade das forcas que agem em cada um dos objetos, condutor, qa e qb, no limited

R.

Figura 1: Questao 1.

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Problema 2: Um sistema de uma partcula de massa m, cujo movimento e unidimensional, esta

sujeito a uma forca viscosa da forma

F =v ( >0), sendo que sua velocidade no instante inicialem que a forca comeca a atuar e igual av 0 e sua posicao inicial igual a zero. Determine:

a) A velocidade como funcao do tempo, considerando as condicoes de contorno dadas.

b) A posicao como funcao do tempo, considerando as condicoes de contorno dadas.

Problema 3: Uma partcula de massa m executa um movimento unidimensional sob a acao de umpotencial cuja dependencia com a coordenada x e U(x) = a

x2 b

x, onde a e b sao constantes positivas.

a) Encontre a forca que atua sobre a partcula e faca um esboco do seu grafico.

b) Encontre a posicao de equilbrio para um corpo sob a acao dessa forca;

c) Escreva a equacao diferencial do movimento para pequenas oscilacoes em torno da posicao deequilbrio e calcule o perodo natural das oscilacoes.

Problema 4: A luz do sol, no limite superior da atmosfera terrestre, tem uma intensidade de1, 4kW/m2. Supondo que a Terra, cujo raio e aproximadamente 6.000 km, se comporte como umdisco plano perpendicular aos raios solares e que toda a energia incidente seja absorvida, calcule a forcaexercida sobre a Terra pela radiacao. Quando ocorre absorcao total, a pressao de radiacao e dada porI/c, onde I e a intensidade da luz.

PARTE B: Lembre-se de escolher 2, e apenas 2, problemas

desta parte.

Problema 5: Considere os seguintes operadores num espaco de Hilbert com dimensao igual a 3 ecorpo complexo:

Lx= 1

2

0 1 01 0 10 1 0

; Ly = 1

2

0 i 0i 0 i0 i 0

; Ly = 1

2

1 0 00 0 00 0 1

a) Determine os auto-valores e os auto-estados normalizados deLx na base de Lz.

b) Se o sistema estiver num estado com Lz

= 1 e Lx

for medido, quais serao os resultados possveis esuas respectivas probabilidades?

c) Considere o estado| =

1/21/2

1/

2

na base de Lz. Se L2z for medido neste estado e for encontrado

o valor +1, qual e o estado do sistema apos a medida? Se, apos a medida de L2z , fosse medido Lz,quais valores poderiam ter sido encontrados e com quais probabilidades?

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Problema 6: Seja uma partcula numa caixa de comprimento L, isto e, sujeita ao potencial unidi-mensional

V(x) =

x < L/2;0 L/2< x < L/2; x > L/2;

a) Determine a solucao normalizada da equacao de Schrodinger para esta partcula em todo o espaco,supondo que esta se encontre no estado fundamental.

b) Repentinamente, a caixa se expande simetricamente para o dobro do tamanho original. A expansaoe muito rapida, de modo que a funcao de onda da partcula nao e perturbada. Mostre que a proba-bilidade de se achar a partcula no estado fundamental da nova caixa e ( 8

3)2.

Problema 7: Seja um atomo de Hidrogenio, no estado fundamental, cuja energia total e E= e22a0

,

onde a0= me2

2 e o raio de Bohr, comm sendo a massa do eletron e e sua carga.

a) Qual a regiao do espaco proibida classicamente para o eletron deste atomo?

b) Sabendo que a funcao de onda do estado fundamental do atomo de hidrogenio e dada por

1S= e

ra0

a20

,

calcule a probabilidade quantica de encontrar o eletron nesta regiao.

Problema 8: Considere um oscilador harmonico quantico unidimensional, de massa m e frequencia

angular , em um auto-estado de ordem n qualquer.

a) Usando a representacao do operador de posicao, X , em termos dos operadores de destruicao e decriacao, a e a , respectivamente, calcule o valor esperado do operador

H1=4m23

X4,

onde e uma grandeza adimensional, para um auto-estado qualquer de ordem n

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EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIRO

Second Semester de 2012 - July 13th de 2012

YOU MUST SOLVE ALL 4 PROBLEMS FROM PART A.CHOOSE 2, AND ONLY 2, PROBLEMS FROM PART B.

YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE GOOD EXAM.

PART A:

Problem 1: A spherical conductor with radius R has at its center a hollow cavity with radius a asshow in Fig. 1. At the center of the hollow cavity there is a point charge qa. At a distance d from the

center of the conducting sphere there is a second point charge qb as shown in Fig. 1. Consider that|qa| |qb| andd R.

a) Determine the total electrical field the following regions

i) r < a

ii) a < r < R

iii) r > R

b) Determine the intensity of the forces that act in each object, conductor,qaand qbconsideringd R.

Figure 1: Problem 1.

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Problem 2: A system with one particle with massm, wich moves unidimensionaly, is subjected to a

viscous force of the formF = v ( >0). The particles initial velocity at the exact instant in which

this force starts to act is equal tov 0. The particles initial position is equal to zero. Determine:

a) The particles velocity as a function of time, considering the given initial boundary conditions.

b) The particles position as a function of time, considering the given initial boundary conditions.

c) Write the movement differential equation for small oscilations around the equilirium positions anddetermine the oscilations natural period.

Problem 3: A particle with mass m moves unidimensionaly under the action of a potencial thatdepends with x asU(x) = a

x2 b

x, where a and b are positive constants.

a) Find the force that acts on the particle and sketch a graphic of this force.

b) Find the equilibrium position for a body under the action of this force.

Problem 4: Sun light, at Earths atmospheric upper limit, has an intesity of 1.4kW/m2. Assumingthe Earth, that has a raius of approximadetely 6, 000 km, behaves as a flat disc perpendicular to thesolar rays, and that all incident energy is absorbed, determine Suns radiantion force on Earth. Whentotal absoption ocurrs, the radiation preassure is given by I /c, where Iis the llight intensity.

PART B: Remember to choose 2, and only 2 problems from

this part.

Problem 5: Consider the following complex Hilbert operators with dimension 3:

Lx= 1

2

0 1 01 0 10 1 0

; Ly = 1

2

0 i 0i 0 i0 i 0

; Ly = 1

2

1 0 00 0 00 0 1

a) Determine theLx normilized eingenvalues and eingenstates in the Lz base.

b) If the system is in a state with Lz =1 and Lx is measured, what are its expected values and itsprobabilities?

c) Consider the state| =

1/21/2

1/

2

in the Lz base. IfL2z is measured in this state and a value +1 is

found, hat is the system state after the measurement. If, after the L2z measurement,Lz is measured,what are the expected values and its probabilities?quais probabilidades?

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Problem 6: Consider a particle inside a box with lenghtL, i.e, confined to a unidimensional potencial:

V(x) =

x < L/2;0 L/2< x < L/2; x > L/2;

a) Determine the normilized solution for the particles Schrodinger equation in all space, assuming it is

at the ground state initially.b) Sundenly, the box expands simetrically to the double of its size.The expansion is instantaneous in a

way that the particles wave function is not disturbed. Show that the porbabiity to find the particleat the grounf state in the new box is ( 8

3)2.

Problem 7: Consider the hydrogen atom in its ground state with total energy given by E = e22a0

,

wherea0= me2

2 is the Bohr radius,m the electron mass and ethe electron charge.

a) What region of the space is classically forbiden for this atoms electron?

b) Knowing that the ground state wave fucntion of the hydrogen atom is given by

1S= e

ra0

a20

,

determne the quantum probability to find the electron in this region.

Problem 8: Consider an unidimensional quantum hamonic oscilator with mass m and angular fre-

quency at any n order eigenstate.

a) Using theXposition operator written in terms of criation and anihilation operatorsaea repectively,write down the expected values of the operator:

H1=4m23

X4,

where is nondimensional for anyn order eigenstate.

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