UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO SIMONE …...de ensino sobre superfícies esféricas, desenvolvido segundo uma abordagem gráfica no Cabri 3D. O estudo foi fundamentado na teoria

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO SIMONE NAVAS BARREIRO

SUPERFÍCIES ESFÉRICAS: UMA ABORDAGEM ENVOLVENDO CONVERSÕES DE REGISTROS

SEMIÓTICOS, COM O AUXÍLIO DO SOFTWARE CABRI-GÉOMÈTRE 3D

SÃO PAULO 2012

SIMONE NAVAS BARREIRO MESTRADO EM EDUCAÇAO MATEMÁTICA

SUPERFÍCIES ESFÉRICAS: UMA ABORDAGEM ENVOLVENDO CONVERSÕES DE REGISTROS

SEMIÓTICOS, COM O AUXÍLIO DO SOFTWARE CABRI- GÉOMÈTRE 3D

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da UNIBAN- Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Mônica Karrer.

SÃO PAULO 2012

B255s Barreiro, Simone Navas

Superfícies esféricas: uma abordagem envolvendo conversões de registros semióticos, com o auxilio do software Cabri-Geometré 3D/ Simone Navas Barreiro – São Paulo : [s.n.], 2012.

242f.; il. ; 30 cm.

Dissertação de Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, Curso de Educação Matemática. Orientadora: Profª Drª. Mônica Karrer.

1. Superfícies Esféricas 2. Cabri 3D 3 Design Experiment 4. Registros de Representações Semióticas I.Título.

CDD: 512.9434

BANCA EXAMINADORA

/ )

N~~-Profa. Ora. Monica Karrer (Presidente - Orientadora)

Profa. Ora. Veronica Gitiranal {]omes-Ferreira (1° Membro Titular - UFPE)

('10l.iJ,~ ') 'OYvJ0v\r( Profa. Ora. Maria Elisa Esteves Lopes Gal~ao (2° Membro Titular - UNIBAN)

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura:____________________________

Local e data:___________________________

Ninguém é tão grande que não possa aprender, nem tão pequeno que não possa ensinar. Esopo

http://pensador.uol.com.br/autor/esopo/

DEDICATÓRIA Dedico este trabalho a todos os professores e pesquisadores da área de Matemática, em especial aos professores que fizeram parte da minha formação do meu mestrado.

AGRADECIMENTOS

À Professora Doutora Mônica Karrer, pela dedicação, amizade, paciência e

empenho em toda essa jornada de trabalho. Tornei-me uma grande admiradora de

seu trabalho, da sua capacidade e, acima de tudo, da grande pessoa, que não mede

esforços para ajudar e ensinar.

Às Professoras Doutoras Maria Elisa Esteves Lopes Galvão e Verônica Gitirana

Gomes Ferreira, pelas sugestões, críticas e comentários que tanto contribuiram para

a conclusão dessa dissertação.

Aos professores Luis Gonzaga Xavier de Barros, Siobhan Victoria Healy, Verônica

Yumi Kataoka, Vincenzo Bongiovanni que foram grandes incentivadores e

mostraram-se sempre dispostos a cooperar para que se torna-se possível a

realização desse trabalho

Aos professores que participaram da primeira fase do experimento, contribuindo por

demasiado para o enriquecimento das atividades.

Aos voluntários da segunda fase, queridos amigos, que participaram sem reservas

contribuindo no desenvolvimento do Design Experiment.

A CAPES, pela bolsa de estudos que possibilitou o meu acesso e conclusão do

Mestrado em Educação Matemática

Aos meus filhos, Rodrigo, Flávio, Paulo e Elizabeth, que acreditaram no meu

trabalho e dedicação e foram companheiros, respeitando as inúmeras horas de

estudo e retraimento. Sonhamos juntos e tornamos realidade.

À minha querida e amada mãe que sempre acreditou e apoiou a minha opção e

dedicação como professora, amparando-me na condução desse trabalho.

Em especial ao meu grande amor, Jaime, que foi o grande incentivador da

realização do meu mestrado. Seu carinho, dedicação, apoio e palavras de otimisto

possibilitaram que eu começasse a ver a vida de uma maneira diferente.

RESUMO

Este trabalho tem por objetivo apresentar a análise da aplicação de um experimento

de ensino sobre superfícies esféricas, desenvolvido segundo uma abordagem

gráfica no Cabri 3D. O estudo foi fundamentado na teoria dos registros de

representações semióticas de Duval (2003, 2006, 2009) e teve a metodologia de

Design Experiment de Cobb et al. (2003) como norteadora da construção e da

aplicação das situações de ensino. Estas foram elaboradas de modo a explorar os

diversos registros do objeto matemático superfícies esféricas, com foco no registro

gráfico. A abordagem partiu da experimentação gráfica no software Cabri 3D,

visando à construção dos conceitos que posteriormente seriam validados no

ambiente papel e lápis. O estudo compreendeu três fases, representadas pela

construção do experimento preliminar pelo professor-pesquisador, pela aplicação

das situações a pesquisadores da área de Educação Matemática e pela aplicação

das atividades redesenhadas para duas duplas de estudantes. A primeira fase

objetivou a elaboração de um desenho inicial do experimento, a segunda fase visou

coletar as contribuições dos pesquisadores para a reformulação das atividades e a

terceira fase pretendeu avaliar as produções dos estudantes, a fim de investigar

quais contribuições a abordagem proposta poderia trazer ao processo de

aprendizagem desse conteúdo. Os resultados apontaram que os sujeitos

construíram, de forma independente, o objeto matemático a partir da

experimentação. Além disso, eles perceberam as características inerentes a cada

tipo de registro e estabeleceram satisfatoriamente as relações entre as

representações simbólico-algébrica, gráfica, da língua natural e numérica. Salienta-

se que tais relações foram extremamente favorecidas pela utilização do recurso

computacional adotado. A despeito das dificuldades locais detectadas no uso do

registro da língua natural e em tratamentos no registro simbólico-algébrico,

consideramos que houve avanços significativos na compreensão do conceito de

superfícies esféricas. Desta forma, esperamos que este trabalho represente uma

contribuição para o estudo deste objeto matemático.

Palavras-chave: Superfícies Esféricas. Cabri 3D. Design Experiment. Registros de

Representações Semióticas.

ABSTRACT

This paper aims to present the analysis of the implementation of a teaching

experiment on spherical surfaces, developed under the graphic approach in Cabri

3D. The study was based on Duval (2003, 2006, 2009) semiotic registers

representations theory, and had the Cobb‟s et al. (2003) Design Experiment

methodology as a guiding to the construction and application of teaching situations.

These were prepared in order to explore the various registers of the mathematical

object spherical surface, focusing on the graphic register. The approach was based

on the graphic experimentation in Cabri 3D software, aiming the construction of

concepts that would later be validated in the paper and pencil environment. The

study consisted of three phases represented: by the construction of the preliminary

experiment by the teacher-researcher; by the application of the situations to

researchers in mathematics education; and by the implementation of redesigned

activities for two pairs of students. The first phase aimed to draw up an initial design

of the experiment. The second phase aimed the collecting contributions from

researchers in reshaping the activities. And the third phase was to assess the

students' productions in order to investigate what contributions the proposed

approach could bring to the process of learning that content. The results showed that

subjects built independently, the mathematical object from the trial. Moreover, they

realized the inherent characteristics of each type of register and established a

satisfactory relations between the symbolic and algebraic representations, graphic,

natural language and numerical. Please note that these relations were highly favored

by the use of computer resources adopted. Despite the difficulties observed in the

usage of natural language register and handling the algebraic and symbolic registers,

we believe that significant advances in understanding the concept of spherical

surfaces. Thus, we expect that this paper represents a contribution to the study of

this mathematical object.

Keywords: Spherical Surface. Cabri 3D. Design Experiment. Semiotic Register Representation.

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Exercício 24-5 (adaptado), pag.376 ........................................................ 27

Quadro 2 - Quadro de classificação dos registros de representação semiótica ........ 29

Quadro 3 - Classificação dos registros de representação semiótica ......................... 29

Quadro 4 - Exemplo de economia de tratamento ...................................................... 31

Quadro 5 - 5° Postulado de Euclides ....................................................................... 31

Quadro 6 - Registros e representações (Vetores) .................................................... 46

Quadro 7 - Quadro de Registros e representações - objeto superfície esférica ........ 63

Quadro 8 - Proposição 24-1 ...................................................................................... 64

Quadro 9 - Proposição 24-8 ...................................................................................... 65

Quadro 10 - Atividade 1 ............................................................................................ 87




Quadro 14 - Atividade 5 .......................................................................................... 102





Quadro 19 - Atividade 10 ........................................................................................ 111

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Representação do 5° postulado de Euclides ............................................ 32

Figura 2 - Exemplo de conversão .............................................................................. 36

Figura 3 - Registros de Representação do Objeto Vetor no Espaço. ........................ 39

Figura 4 - Dados da tarefa c da quarta atividade sobre produto de vetores .............. 42

Figura 5 - Fonte: Candido (2009, p.180) .................................................................. 43

Figura 6 - Fonte: Lemke (2011, p. 161) .................................................................... 44

Figura 7 - Extraída de Lemke (2011, p. 162) ............................................................. 45

Figura 8 - Representação de um quadrado e de uma pirâmide de base quadrada.

Fonte: PARZYSZ (1988, p. 82) ................................................................................. 56

Figura 9 - Superfície Esférica - Construção No Cabri 3D .......................................... 58

Figura 10 - Superfície Esférica, Construção no Cabri 3D .......................................... 59

Figura 11 - Superfície Esférica: construção no Cabri 3D .......................................... 61

Figura 12 - Exercício Resolvido 24-13 ...................................................................... 66

Figura 13 - Exercício Resolvido 24-14 ...................................................................... 67

Figura 14 - Duas Telas feitas no software Geogebra ................................................ 72

Figura 15 - Duas telas criadas no software Graphmática .......................................... 72

Figura 16 - Imagem inicial do software Winplot ......................................................... 73

Figura 17 - Imagem do software MATLAB Fonte:

http://www.sai.msu.su/sal/A/MATLAB.html................................................................ 74

Figura 18 - Software Maple ....................................................................................... 75

Figura 19 - Software Mathematica ............................................................................ 76

Figura 20 - Exemplo do dinamismo do Cabri 3D em duas telas................................ 77

Figura 21 - Imagem extraída do manual do Cabri 3D .............................................. 78

Figura 22 - Imagem extraída do manual do Cabri 3D ............................................... 78

Figura 23 - Imagem extraída do manual do Cabri 3D ............................................... 79

Figura 24 - Superfície Esférica construída do software Cabri 3D .............................. 79

Figura 25 - Tarefa a da Atividade 1: construção no Cabri 3D ................................... 88

Figura 26 - Tarefa b da Atividade 1: construção no Cabri 3D ................................... 89

Figura 27 - Tarefa d da Atividade 1: construção no Cabri 3D ................................... 90




Figura 31 - Tarefa a da Atividade 4 - construção no Cabri 3D .................................. 98

Figura 32 - Tarefa b da Atividade 4 - construção no Cabri 3D .................................. 98

Figura 33 - Tarefa c da Atividade 4 - construção no Cabri 3D................................... 99

Figura 34 - Tarefa d da Atividade 4 - construção no Cabri 3D .................................. 99

Figura 35 - Tarefa d da Atividade 4 - construção no Cabri 3D ................................ 100

Figura 36 - Tarefa g da Atividade 4 - construção no Cabri 3D ................................ 101

Figura 33 - Tarefa a da Atividade 7 - construção no Cabri 3D ................................ 106

Figura 37 - Tarefa a da Atividade 7 - construção no Cabri 3D ................................ 107

Figura 38 - Tarefa b da Atividade 7 - construção no Cabri 3D ................................ 108

Figura 39 - Arquivo no Cabri 3D da tarefa d da Atividade 7 .................................... 123

Figura 40 - Produção da Dupla 1 na Tarefa a da Atividade 1 ................................. 123

Figura 41 - Produção da Dupla 1 nas Tarefas a e b da Atividade 1 ....................... 125

Figura 42 - Produção da Dupla 2 nas Tarefas a e b da Atividade 1 ...................... 126

Figura 43 - Produção da Dupla 1 na Tarefa d da Atividade 1 ................................ 127

Figura 44 - Produção da Dupla 2 na Tarefa d da Atividade 1 ................................ 127

Figura 45 - Figura apresentada aos estudantes pelo Cabri 3D .............................. 129

Figura 46 - Produção da Dupla 1 na Tarefa g da Atividade 1 ................................ 130

Figura 47 - Produção da Dupla D1 na Tarefa h da Atividade 1 .............................. 132




Figura 51 - Produção da Dupla D2 na Tarefa i da Atividade 1 ............................... 136

Figura 52 - Produção da Dupla D1 na Tarefa a da Atividade 2 .............................. 140






Figura 58 - Produção da Dupla D1 na Tarefa b da Atividade 2 .............................. 145

Figura 59 - Produção da Dupla D2 na Tarefa b da Atividade 2 .............................. 146

Figura 60 - Produção da Dupla D1 na Tarefa c da Atividade 2 .............................. 147



Figura 63 - Produção da Dupla D1 da Atividade 3 ................................................. 152

Figura 64 - Produção da Dupla D1 nas Tarefas a,b e c da Atividade 3 no ambiente

do Cabri 3D ............................................................................................................. 152

Figura 65 - Produção da Dupla D2 nas Tarefas a,b e c da Atividade 3 ................... 153

Figura 66 - Produção da Dupla D1 da Atividade 4 no ambiente papel & lápis. ....... 155

Figura 67 - Produção da Dupla D1 da Atividade 4 no ambiente do Cabri 3D. ........ 156

Figura 68 - Produção da Dupla D2 da Atividade 4 no ambiente papel & lápis ....... 157

Figura 69 - Produção da Dupla D2 da Atividade 4 no ambiente do Cabri 3D ......... 157

Figura 70 - Figura apresentada aos estudantes pelo Cabri 3D ............................... 159

Figura 71 - Tela utilizada por D1 na Atividade 5 ...................................................... 159

Figura 72 - Tela utilizada por D2 na Atividade 5 ...................................................... 160




Figura 76 - Produção da Dupla D1da Atividade 6 ................................................... 162


Figura 78 - Produção da Dupla D1 da tarefa b da Atividade 6 .............................. 163

Figura 79 - Produção da Dupla D2 da tarefa b da Atividade 6 .............................. 164

Figura 80 - Rascunho produzido por D1 na Tarefa a da Atividade 7 ....................... 166

Figura 81 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7 .............................. 167

Figura 82 - Produção de D1 nas Tarefas a e b da Atividade 7 ................................ 167





Figura 87 - Produção de D1 após intervenção nas Tarefas da Atividade 7 e 8 ...... 175

Figura 88 - Produção da Dupla D1 da tarefa a da Atividade 9 ............................... 176




Figura 92 - Produção da Dupla D1 da tarefa a da Atividade 10 ............................ 180









LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 - Tabulação de exercícios resolvidos e exemplos...................................... 69

Gráfico 2 - Exercícios propostos ............................................................................... 69

SUMÁRIO:

LISTA DE QUADROS ............................................................................................... 12

LISTA DE FIGURAS ................................................................................................. 12

LISTA DE GRÁFICOS ............................................................................................... 15

1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 19

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................ 25

2.1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...................................................................... 25

3. APRESENTAÇÃO DO OBJETO MATEMÁTICO, ANÁLISE DE UM LIVRO

DIDÁTICO DE GEOMETRIA ANALÍTICA E DESCRIÇÃO DE SOFTWARES

DINÂMICOS .............................................................................................................. 58

3.1. APRESENTAÇÃO DO OBJETO MATEMÁTICO ............................................ 58

3.2. ANÁLISE DE OBRAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA ..................................... 62

4. METODOLOGIA DA PESQUISA .......................................................................... 80

4.1. A METODOLOGIA DOS DESIGN EXPERIMENTS ........................................ 80

4.2. RELAÇÃO DE NOSSO ESTUDO COM A METODOLOGIA DOS DESIGNS

EXPERIMENTS ..................................................................................................... 83

4.2.1. Sujeitos .................................................................................................... 84

4.2.2. Papel do Professor-Pesquisador .............................................................. 84

4.2.3. Material e Ambiente de Trabalho ............................................................. 85

4.2.4. Hipóteses iniciais...................................................................................... 85

5.1. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 1.............................................................. 86



5.5 - APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 5 .......................................................... 101



5.10 - APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 10 ...................................................... 110

6. DESCRIÇÃO DA FASE 2 - APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO A UM GRUPO DE

PESQUISADORES ................................................................................................. 112

7. DESCRIÇÃO DA FASE 3 - APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO A DUAS DUPLAS

DE GRADUADOS EM LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ................................... 121

7. 1. ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES DE FAMILIARIZAÇÃO NO

CABRI 3D ............................................................................................................ 121

7.2 - ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES ........................................... 122

7.2.1 - Análise da ATIVIDADE 1 ...................................................................... 122

7.2.1.1 - Conclusões da Atividade 1 ................................................................. 137















7.2.9. Recondução das Atividades 7 e 8 com a dupla D1 ................................ 173

7.2.10 - Análise da ATIVIDADE 9 .................................................................... 175


7.2.10 - Análise da ATIVIDADE 10 .................................................................. 179

8. CONCLUSÃO ...................................................................................................... 189

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 196

ANEXO I .................................................................................................................. 202

FAMILIARIZAÇÃO NO CABRI 3D ........................................................................... 202

ANEXO II ................................................................................................................. 207

ATIVIDADES APÓS REDESIGN ............................................................................ 207

ANEXO III ................................................................................................................ 221

QUESTIONÁRIO DE LEVANTAMENTO DE PERFIL (FASE II) .............................. 221

ANEXO IV ............................................................................................................... 223

TERMOS DE CONSENTIMENTOS DO GRUPO DE PESQUISADORES (FASE II)

................................................................................................................................ 223

ANEXO V ................................................................................................................ 237

TERMOS DE CONSENTIMENTOS DAS DUAS DUPLAS DE GRADUADOS EM

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ( FASE III ) ..................................................... 237

19

1. INTRODUÇÃO

A motivação para o desenvolvimento de um projeto de pesquisa sobre

superfícies esféricas em Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, disciplina presente

nos currículos dos cursos superiores de ciências exatas, seguindo a teoria dos

Registros de Representação Semiótica de Duval (1995, 2000, 2003, 2006), surgiu

após ter participado como auxiliar no projeto de pesquisa “Vetores, retas e planos no

R3: uma abordagem envolvendo conversões de registros semióticos com auxílio do

software Cabri-Géomètre 3D”. Neste projeto participei como aluna de Iniciação

Científica, atividade proporcionada pela Universidade Bandeirante (UNIBAN) para

alunos que cursam as graduações na instituição. Quando ingressei no projeto, eu já

cursava o último ano de Licenciatura em Matemática.

Na ocasião, a proposta do projeto me envolveu e despertou o meu interesse

em investigar os fatores que poderiam gerar dificuldades nos estudantes em

conteúdos da Geometria Analítica, especificamente no tópico de vetores, o qual

representava o objeto de estudo na atividade de iniciação científica.

Neste projeto, coube a mim tanto a análise do conteúdo introdutório de

vetores presente em três livros didáticos, como a elaboração de tarefas desse tópico

no ambiente Cabri 3D, uma vez que esse software, pelo seu caráter dinâmico, pôde

proporcionar uma apreensão diferenciada do objeto matemático vetor. Os três livros

selecionados, sendo dois deles os mais utilizados em uma amostra de instituições

de ensino superior nacionais, foram analisados com base na teoria dos registros de

representação semiótica de Duval (2006). Teve-se a intenção de detectar os

registros mais presentes e as conversões mais requeridas no conteúdo introdutório

de vetores desses livros, tendo assim um parâmetro para fazer as análises e chegar

à conclusão da problemática levantada com relação aos mesmos.

O contato com este projeto também proporcionou mudanças em relação ao

exercício de minha profissão, preocupando-me mais com a minha abordagem em

sala de aula ao apresentar determinado conteúdo. Diversificar e relacionar os

diferentes registros passou a ser uma preocupação que assumi, elaborando

exercícios e exemplos que englobaram a atividade de conversão de registros do

objeto em estudo.

20

Por fim, as conclusões obtidas no trabalho de iniciação científica, as quais

evidenciaram que os livros didáticos avaliados pouco integram o registro gráfico e

que tal fato provavelmente intensifique as dificuldades dos estudantes no

estabelecimento de relações entre questões geométricas e algébricas, também

serviram de motivação para prosseguir neste tipo de temática. Ressalta-se que

dificuldades dos estudantes dessa natureza foram detectadas por pesquisadores,

em especial, Pavlopoulou (1993) e Karrer (2006).

Outro fato observado foi a inexistência de integração de recursos

computacionais no desenvolvimento dos tópicos de Geometria Analítica nos livros

analisados. Os resultados desse trabalho de iniciação foram divulgados em dois

encontros, sendo que vários pesquisadores demonstraram interesse pela temática.

Com isso, ao concluir este trabalho em dezembro de 2008, tive a certeza de

continuar a pesquisar nesta mesma direção, participando da linha de pesquisa de

Tecnologias e Educação Matemática.

O objetivo desse trabalho de mestrado consistiu em elaborar, aplicar e avaliar

um experimento de ensino sobre superfícies esféricas, o qual integrou o software

Cabri 3D como ferramenta de auxílio nas atividades que envolveram o registro

gráfico. Teve-se por meta ressaltar as influências que uma abordagem desse tipo

promoveria na aprendizagem desse objeto matemático.

Este trabalho fez parte de um projeto maior, que visou construir este mesmo

tipo de abordagem em outros conteúdos de Geometria Analítica. Desta forma, a

presente pesquisa teve por foco complementar este projeto, explorando o conteúdo

de superfícies esféricas neste mesmo cenário. Teve-se o objetivo de elaborar um

estudo com vistas a favorecer o estabelecimento de relações entre questões

geométricas e algébricas no conteúdo selecionado. Foi constatado que pesquisas

que tratam do ensino e da aprendizagem do tema escolhido não são freqüentes. A

superfície esférica, que é, por definição, o lugar geométrico dos pontos do espaço

que estão à mesma distância de certo ponto fixo, teria sua construção gráfica

provavelmente favorecida com o auxílio de recursos de imagens.

A Geometria Analítica estabelece relações entre situações geométricas e

algébricas. Lidar apenas com o registro simbólico-algébrico no tratamento de

conteúdos desta disciplina pode gerar dificuldades aos estudantes.

Vários pesquisadores observaram que os estudantes apresentaram uma

maior dificuldade em situações que requeriam conversões envolvendo o registro

21

gráfico, dentre eles Pavlopoulou (1993), Karrer (2006), Bittar (1998) e Castro (2001),

cujos trabalhos estão descritos em nossa revisão bibliográfica.

Seguindo a mesma dinâmica da pesquisa de Karrer (2006), especificamente

no estudo de superfícies esféricas, e considerando a importância do papel das

representações na construção do conceito, seria provável que a visualização e a

manipulação dinâmica da representação gráfica deste lugar geométrico

proporcionaria certa facilidade para relacionar aspectos do objeto dado na sua

representação algébrica com aspectos pertinentes de sua representação gráfica.

Procurar fornecer novas formas de contato com este objeto matemático foi o que

sustentou este projeto de pesquisa.

Sendo o livro didático uma ferramenta do processo de ensino-aprendizagem,

tivemos a preocupação quanto à sua abordagem. Desta forma, também investiga-

mos, com base na teoria de Duval (2006), como as obras de Geometria Analítica

tratavam das relações entre aspectos gráficos e algébricos no estudo de superfícies

esféricas. Partindo do levantamento realizado por Karrer e Barreiro (2009), o qual

indicou a presença significativa das obras Boulos e Camargo (2005) e Steinbruch e

Winterle (1987) nas referências bibliográficas da disciplina de Geometria Analítica de

universidades do país, avaliamos como essas obras abordavam o conteúdo de

superfícies esféricas. Constamos que Steinbruch (2003) não apresenta este

conteúdo em um capítulo específico, mas trata-o como um caso particular do

elipsóide, cujos valores reais e positivos a,b,c da equação

= 1, que

representam as medidas dos semi-eixos do elipsóide, são iguais, ou seja, a=b=c,

obtendo assim a seguinte equação:

=1 ou . tendo

a mesma dinâmica para o caso em que o centro da superfície esférica não coincide

com a origem do sistema de coordenadas. Ressalta-se que no ensino superior

também são utilizados textos traduzidos para o português, nos quais conteúdos de

Geometria Analítica são usualmente incorporados aos livros de Cálculo Diferencial e

Integral.

Dada a constatação de que o registro gráfico é pouco explorado e que não

há recomendação do uso de ferramenta computacional na obra analisada, foi

elaborado um experimento de ensino inserindo efetivamente este registro, bem

22

como as conversões entre ele e os demais e, para isso, foi adotada como ferramenta

de apoio o software Cabri 3D.

O presente estudo compreendeu três fases. A primeira foi representada pela

construção do experimento preliminar pelo professor-pesquisador, com base na

problemática evidenciada no ensino de Geometria Analítica. A segunda fase foi

representada pela aplicação das situações a pesquisadores da área de Educação

Matemática, a fim de coletar suas impressões a avaliações diante de um

experimento de ensino diferenciado sobre superfícies esféricas. As contribuições

fornecidas por este grupo foram incorporadas à primeira versão, promovendo o

redesign das atividades, sendo que esta readequação está descrita no presente

trabalho. A terceira fase consistiu na aplicação das atividades redesenhadas a duas

duplas de estudantes, a fim de avaliar suas produções e investigar em que aspectos

a abordagem construída influenciaria na construção do conceito.

Para a concepção e condução do design, foi utilizada a metodologia de

Design Experiment de Cobb et al. (2003), que é voltada para a Educação

Matemática e tem por objetivo analisar os processos de aprendizagem de domínios

específicos. Nesta metodologia, o pesquisador tem como meta a construção de

novas representações de matemática, provenientes das produções reveladas pelos

sujeitos durante a execução do experimento. Com isso, pretendeu-se ir além das

questões propostas aos sujeitos, fazendo uma relação entre as normas, ferramentas

e materiais utilizados em todo o processo.

Além de analisar o impacto que uma abordagem que valoriza o registro

gráfico e suas relações proporcionaria aos sujeitos, investigamos também questões

relacionadas ao uso do recurso computacional Cabri 3D no ensino de superfícies

esféricas, ou seja, avaliamos quais aspectos poderiam ser favorecidos pela utilização

dessa ferramenta no estabelecimento de relações entre representações algébricas e

gráficas no conteúdo proposto. Sendo o dispositivo informático um elemento do

universo do aluno, seria provável a viabilidade da utilização deste ambiente. A

preocupação de integrar um recurso de geometria dinâmica vem de encontro com os

estudos de Balacheff & Kaput (1996), Borba (2001) e Noss e Hoyles (1996, 2009),

que demonstraram a necessidade da elaboração de pesquisas e novas abordagens

que inserissem ferramentas computacionais no ensino de Matemática, visando

ganhos pedagógicos.

23

Partindo dessa problemática, procuramos responder a seguinte questão de

pesquisa:

Em quais aspectos uma abordagem inovadora sobre superfícies esféricas,

que envolveu conversões de registros semióticos e um software de geometria

dinâmica, influenciaria na aprendizagem desse objeto matemático?

Teve-se por hipótese que tal abordagem influenciaria a construção desse

conhecimento pelo estudante nos seguintes aspectos: na percepção das

características do objeto matemático em cada registro utilizado, no estabelecimento

de relações entre representações dos registros presentes no experimento, na

determinação de análises partindo do registro gráfico e em compreensões

diferenciadas das obtidas nas intervenções realizadas exclusivamente no ambiente

papel&lápis, decorrentes do aspecto dinâmico da ferramenta utilizada. Ainda, teve-

se por hipótese que o dinamismo do Cabri 3D favoreceria ao aluno observar com

mais detalhes as relações entre os registros, tendo em vista a possibilidade de

visualização simultânea dessas relações.

Para a realização de um experimento baseado na metodologia adotada, as

situações iniciais de ensino podem ser readequadas de acordo com os resultados

das avaliações fornecidas pelos sujeitos de pesquisa durante a aplicação das

tarefas.

Esperava-se que o experimento permitisse um contato diferenciado com o

objeto matemático, favorecendo a análise das relações entre suas diversas

representações, o levantamento de conjecturas e o trabalho de validação.

Diante do fato de o processo de ensino e aprendizagem do conteúdo de

superfícies esféricas ser pouco pesquisado, objetivamos colaborar na busca de

novas abordagens sobre essa temática que pudessem complementar as práticas

usualmente estabelecidas.

O trabalho está estruturado da seguinte forma. No capítulo 1, referente à

introdução, foram apresentados os elementos fundamentais do estudo. No capítulo 2

são apresentadas a fundamentação teórica e a revisão de literatura. No capítulo 3 é

apresentada a descrição do objeto matemático “Superfícies esféricas”, a análise

desse conteúdo em um livro didático e a descrição de softwares dinâmicos. No

capítulo 4, descreve-se a metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003) e

24

a sua relação com o presente estudo. No capítulo 5, é apresentada a primeira fase

do experimento, composta das atividades elaboradas pelo professor-pesquisador,

acompanhadas de uma análise preliminar. No capítulo 6, é descrita a segunda fase

do experimento, representada pelos resultados da aplicação do design a um grupo

de pesquisadores, ressaltando suas contribuições para o redesign. No capítulo 7,

apresentam-se os resultados da aplicação do experimento redesenhado a duas

duplas de sujeitos e o capítulo 8 contém a conclusão do presente estudo.

25

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo serão apresentadas a teoria dos registros de representações

semióticas de Duval (1995, 2003, 2006) e as pesquisas que fundamentaram a

elaboração deste estudo.

O presente trabalho de pesquisa baseia-se principalmente na teoria dos

registros de representações semióticas de Raymond Duval (1995, 2003, 2006),

filósofo e psicólogo francês e professor emérito na Universidade Du Littoral Côte

d‟Opale da França, que desenvolveu um modelo de funcionamento cognitivo do

pensamento considerando as mudanças de registros de representação semiótica,

que levou à publicação de diversos trabalhos, dentre os quais Sémiosis et penseé

humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels, publicado em 1995.

As dificuldades na aprendizagem matemática, de acordo com Duval, estão

ligadas ao fato de os objetos matemáticos não serem “concretos”, não estando

disponíveis para o acesso via percepção, observação ou por meio de um

instrumento. Com isso, o estudante tem que reconhecer uma representação do

objeto matemático que exprima ideias para que ele consiga ter atitudes

representativas.

Logo, estes objetos matemáticos dependem de um sistema de representação

para que sejam devidamente designados, ou seja, o acesso a um determinado

objeto matemático depende de suas representações semióticas.

De acordo com Duval (1995), existem três tipos de representações: as

mentais, as representações internas ou computacionais e as representações

semióticas.

As representações mentais são as concepções que uma pessoa pode ter

sobre um objeto ou sobre uma situação. As representações internas ou

computacionais são caracterizadas pela execução automática de uma tarefa. As

representações semióticas são produções constituídas pelo emprego de signos

pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas dificuldades

próprias de significado e de funcionamento.

26

Para que se tenha melhor entendimento de sua teoria, optou-se por

esclarecer de maneira bem sucinta a origem e a definição de semiótica.

Semiótica é ciência geral de todas as linguagens. Na concepção de Santaella

(1983) “A Semiótica é a ciência que tem por objeto de investigação todas as

linguagens possíveis, ou seja, que tem por objetivo o exame dos modos de

constituição de todo e qualquer fenômeno como fenômeno de produção de

significação e de sentido”. (SANTAELLA, 1983, p. 13)

A semiótica teve suas origens quase que de maneira simultânea nos Estados

Unidos e União Soviética. O pai desta ciência nos Estados Unidos foi Charles

Sanders Peirce (1839-1914), sendo que a teoria peirciana coloca as ideias, ou até

mesmo o homem, como entidades semióticas.

Contudo, para Duval, nem todo sistema de signos constitui um registro de

representação semiótica. Em um registro, há a possibilidade de transformar um

elemento em outro.

“Por exemplo, as placas de trânsito das estradas são significantes (triângulo → perigo, vermelho → proibição,...)... e não podem se caracterizar como um registro no sentido de Duval, uma vez que não há a possibilidade de transformar um elemento em outro, diferentemente do que ocorre com todo elemento de um registro...” (SILVA e FIGUEIREDO, 2003, p.8)

Segundo Duval (2004), para que um sistema de signos seja considerado um

registro de representação, ele deve permitir três atividades cognitivas: a formação de

uma representação identificável, o tratamento de um registro de representação e a

conversão de um registro de representação para outro.

Quanto à formação de uma representação, levam-se em conta as regras que

são inerentes a um determinado registro. Deve-se, quanto à formação, conhecer

como determinada representação se “apresenta”, como, por exemplo, a

representação de números fracionários, a representação trigonométrica de um

número complexo, dentre outros.

Os tratamentos são as transformações entre representações que ocorrem no

interior de um mesmo registro. Um exemplo seria a resolução de uma equação

polinomial de primeiro grau, na qual todo o processo de resolução para encontrar o

valor da incógnita se mantém no mesmo registro de representação. Com relação ao

27

objeto matemático “superfícies esféricas”, o exemplo seguinte ilustra uma seqüência

de tratamentos no interior do registro simbólico-algébrico.

Já as conversões são transformações entre representações que ocorrem com

mudanças de registros inerentes ao objeto em questão. Por exemplo, quando se

representa graficamente uma função que é fornecida no registro simbólico-

algébrico, estabelecemos uma conversão. Com relação ao objeto matemático

“superfícies esféricas”, o exemplo seguinte ilustra uma operação de conversão.

Registro simbólico-algébrico Registro gráfico

Quadro 1 - Exercício 24-5 (adaptado), pag.376 Fonte: BOULOS (2005)

Duval (2003) também propõe uma abordagem cognitiva não só para

compreender as dificuldades dos alunos na compreensão da Matemática, mas a

natureza dessas dificuldades.

“... A originalidade da abordagem cognitiva está em procurar inicialmente descrever o funcionamento cognitivo que possibilite a um aluno compreender, efetuar e controlar ele próprio a diversidade

28

dos processos matemáticos que lhes são propostos em situação de ensino...”. (DUVAL,1993,p.12)

Segundo Duval (2003), apesar das diferentes representações que os objetos

matemáticos podem ser apresentados, torna-se comum confundir um objeto com

uma de suas representações. Isto porque, segundo o autor, o ensino de Matemática

privilegia um determinado registro em detrimento de outros, tornando, assim, a

associação do objeto matemático exclusivamente com uma de suas representações.

Duval também classifica os registros em discursivos ou não discursivos e em

mono ou multifuncionais, elucidando assim os diferentes registros mobilizáveis em

uma determinada atividade matemática.

Os registros multifuncionais, que são utilizados em diferentes domínios do

conhecimento e cujos tratamentos não são algoritmizáveis, possuem dois tipos de

representação: a representação discursiva e a não discursiva.

Um exemplo de registro multifuncional discursivo é o da língua natural. Já os

registros multifuncionais não-discursivos têm como representantes as figuras

geométricas planas ou em perspectivas.

Os registros monofuncionais são aqueles com tratamentos algoritmizáveis.

Também tendo representação do tipo discursiva e não-discursiva, estes se

apresentam como sistemas de escritas e gráficos cartesianos, respectivamente.

Representações do registro da língua natural podem ser tratadas de diversas

maneiras e utilizadas em outras áreas de conhecimento além da Matemática. Por

este motivo, o registro da língua natural é classificado como multifuncional. Em

contrapartida, representações do registro simbólico, além de terem sua

funcionalidade afixada principalmente a alguma área específica da Matemática, têm

uma forma procedimental de tratamento. Basta avaliar a resolução de uma equação

do tipo " ", por exemplo. É possível estabelecer etapas pré-fixadas de

resolução e, conseqüentemente, este registro tem um caráter monofuncional. Para

Duval, o modelo geométrico é determinado pelo registro figural, classificado como

multifuncional não discursivo e pelo registro gráfico, classificado como

monofuncional não discursivo.

Esta classificação permite que os registros matemáticos sejam reconhecidos.

A seguir, apresenta-se o quadro desta classificação:

29

Representação Discursiva Representação Não Discursiva

Registros

Multifuncionais

Os tratamentos não

são algoritmizáveis.

Língua natural

Associações verbais (conceituais).

Formas de raciocinar:

argumentação a partir de observações, de crenças...;

dedução válida a partir de definição ou de teoremas.

Figuras geométricas planas ou em perspectivas (configurações em dimensão 0, 1 , 2 ou 3).

apreensão operatória e não somente perceptiva;

construção com instrumentos.

Registros

Monofuncionais

Os tratamentos são

principalmente

algoritmos.

Sistemas de escritas

numéricas (binária, decimal, fracionária ...);

algébricas;

simbólicas (línguas formais).

Cálculo

Gráficos cartesianos

mudanças de sistemas de coordenadas;

interpolação, extrapolação.

Quadro 2 - Quadro de classificação dos registros de representação semiótica Fonte: MACHADO (2003), p.14

Relacionando o objeto Superfícies esféricas ao quadro 2, apresentamos o

seguinte quadro:

Representações discursivas Representações não-

discursivas

Registros

multifuncionais

“ a superfície esférica é obtida

pela revolução de uma

circunferência em torno de um

dos seus diâmetros”

Registros

monofuncionais

Quadro 3 - Classificação dos registros de representação semiótica

30

De acordo com Duval (2003), a originalidade da atividade matemática está

justamente na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação

ou na possibilidade de uma mudança de registro.

“A originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo momento de registro de representação”. (DUVAL, 2003,p.14)

Conclui-se então que a possibilidade de mudança de registro sempre deve

existir, já que, segundo Duval (1996), para que o saber matemático seja colocado

em “funcionamento”, deve-se ter a apreensão de, pelo menos, dois registros de

representação.

De acordo com Duval, “não há noesis sem semiósis”, ou seja, não é possível

a apreensão conceitual de um objeto sem a apreensão ou produção de uma

representação semiótica relativa a esse mesmo objeto.

Duval (1996) apresenta três argumentos para explicar a necessidade de uma

diversidade de registros de representação dos objetos matemáticos: a economia de

tratamento, a complementaridade dos registros e a compreensão de um conteúdo na

coordenação de pelo menos dois registros de representação.

O primeiro argumento ressalta que, ao se conhecer os registros inerentes a

um objeto matemático, podemos optar pelo que torne a resolução de um

determinado problema de modo mais prático, objetivo, com menos passagens, se

assim a atividade proposta permitir e caso não seja estipulado o tipo de registro na

resolução.

Como exemplo, apresenta-se a operação com três vetores do R3 no registro

numérico e no registro gráfico, mostrando que no numérico há uma economia de

tratamento.

31

Registro numérico Registro gráfico

Base (

,

,

)

1 = ( -2, 0, 3 ) 2 = ( 3, 1, 4 ) 3 = ( 4, -3, 2 )

1 + 3 2 - 3= ( 1 , 4, -5 )

1 , , 1 + 3 2 - 3

Quadro 4 - Exemplo de economia de tratamento

O segundo argumento de Duval tem apoio nos trabalhos de Bresson (1987).

“A natureza do registro de representação que é escolhido para representar um conteúdo (objeto, conceito ou situação) impõe uma seleção de elementos significativos ou de elementos que dão as informações sobre aquilo que se representa. Esta seleção é feita em função das possibilidades e das limitações do registro escolhido. A linguagem não oferece as mesmas possibilidades de representação que uma figura ou um diagrama. Isto quer dizer que toda representação é cognitivamente parcial em relação àquilo que ela representa e que de um registro a outro não são os mesmos aspectos do conteúdo de uma situação que são representados.” (BRESSON,1987, p.943-950)

Como exemplo do segundo argumento, podemos ilustrá-lo com um dos

postulados primitivos da geometria, o 5º postulado de Euclides:

Registro da língua natural

"Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos

internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas,

quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois

ângulos." (5º postulado de Euclides)

Quadro 5 - 5° Postulado de Euclides

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/quintoposteucl/index.htm

32

Fazendo então uma representação do 5º postulado de Euclides no registro

figural obtemos a situação a seguir.

Figura 1 - Representação do 5° postulado de Euclides

Podemos observar neste exemplo que os registros se completam. Tanto a

representação em língua natural como a representação figural, ao serem analisadas

simultaneamente, facilitam a interpretação do 5° postulado.

Quanto ao terceiro argumento, as pesquisas de Duval (1996) indicam que a

compreensão de um objeto matemático faz-se justamente na capacidade de

coordenar as mudanças de registros.

Segundo o autor, o segundo tipo de transformação é essencial na atividade

de ensino de Matemática.

“...Do ponto de vista cognitivo, é uma atividade de conversão que, ao contrário, aparece como atividade de transformação representacional fundamental aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão”. (DUVAL, 2003, p.22)

Entende-se, então, que a compreensão de um objeto matemático se deve à

capacidade de mudar de registros, o que nos leva à necessidade de pesquisar

novos meios que favoreçam os processos de ensino e de aprendizagem.

É importante destacar que a conversão, segundo Duval, enfrenta dois tipos de

fenômenos característicos: os de “congruência” e “não-congruência”.

Ressalta-se que o autor utiliza o termo congruência não no sentido

matemático, mas sim no sentido de compatibilidade entre representações de

diferentes registros de um mesmo objeto matemático.

33

Segundo Duval (1995), a congruência na conversão entre representações de

dois registros distintos só ocorre quando três condições são satisfeitas:

correspondência semântica entre as unidades significantes que as constituem, uma

mesma ordem possível de apreensão das unidades das duas representações e

conversão de uma unidade significante de representação de partida para uma

unidade significante correspondente no registro de chegada.

Quando alguma dessas condições não ocorre, tem-se uma conversão não-

congruente.

Observamos no exemplo da tabela a seguir os dois tipos de conversão:

TABELA 1– EXEMPLO DE ANÁLISE DA CONGRUÊNCIA DA ATIVIDADE DE

CONVERSÃO

TIPO DE

CONVERSÃO

SISTEMA OU REGISTRO

DA ESCRITA NATURAL

SISTEMA

SIMBÓLICO-

ALGÉBRICO

Conversão

congruente

Conjunto de pontos com

ordenada maior que abscissa. y>x

Conversão

não congruente

Conjunto de pontos cujas

ordenadas e abscissas têm o

mesmo sinal.

x.y>0

FONTE: DUVAL, 2000, p. 63

Quando se tem a conversão do tipo não congruente, vários pesquisadores,

tais como Pavlopoulou (1993), Bittar (1998), Castro (2001) e Karrer(2006),

apontaram que normalmente os alunos não reconhecem o objeto matemático

inerente a essas representações, ou seja, não associam os representantes ao

mesmo objeto.

“É comum descrever a conversão como uma associação preestabelecida entre nomes e figuras (como, por exemplo, em geometria) ou reduzi-la a uma codificação. Passar de uma equação à sua representação gráfica constituiria uma codificação em que seria suficiente aplicar a regra segundo a qual um ponto está associado a um par de números sobre um plano quadriculado por dois eixos graduados. Ou ainda, passar de uma expressão em português - como “o conjunto dos pontos cuja ordenada é superior à abscissa” - à escrita simbólica - no caso, “x>y”, seria igualmente uma

34

codificação, como toda escrita literal de relações entre os números.” (Duval, 2003 p.17)

Segundo Duval (2003) o entendimento matemático ocorre quando o

estudante consegue transcorrer por vários registros, apreendendo o objeto

matemático de uma forma mais global.

“Descartar a importância da pluralidade dos registros de representação leva a crer que todas as representações de um mesmo objeto matemático têm o mesmo conteúdo ou que seus conteúdos respectivos se deixam perceber uns nos outros como por transparência”. (Duval, 2003, p.14)

Poderíamos inferir que a representação de um objeto assume determinado

significado de acordo com o contexto em que está sendo empregado. E quanto mais

diversificada possa vir a ser a visualização destes diferentes contextos, mais

registros poderão ser aplicados e maior será a compreensão deste objeto.

Considerando este referencial teórico apropriado para o presente trabalho,

uma vez que se pretende elaborar um experimento de ensino sobre superfícies

esféricas explorando as diversas representações, em especial a gráfica, o mesmo foi

adotado para fundamentar tanto a concepção das atividades como a análise dos

dados.

Seguimos então com a revisão bibliográfica, na qual citaremos pesquisadores

que contribuíram para a construção deste trabalho.

35

2.2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Serão descritos, a seguir, os estudos que contribuíram e alicerçaram o

desenvolvimento deste trabalho de pesquisa.

Os trabalhos que referenciamos a seguir reforçam a necessidade de buscar

novos meios além do ambiente papel e lápis, que favoreçam a aprendizagem de

determinado objeto matemático, especificamente em Geometria Analítica, em que o

estabelecimento de relações geométricas e algébricas é impreterivelmente

necessário.

A importância de se efetuar essas relações é evidenciada no trabalho de

Pavlopoulou (1993) sobre vetores, que também teve como base a teoria dos

registros de representação semiótica de Duval.

Neste trabalho de pesquisa, Pavlopoulou pôde observar a dificuldade dos

alunos no conteúdo de vetores em Geometria Analítica. Em seu estudo, não só fica

evidenciada a problemática da conversão de um registro para outro, mas também

que o sentido dessa conversão também influencia no desempenho dos estudantes.

A pesquisadora, ao apresentar uma atividade para cento e quarenta e quatro alunos

do primeiro ano universitário do sistema educacional francês, cuja conversão partia

do registro tabular para o registro gráfico, constatou que a dificuldade encontrada

pelos estudantes foi relativamente pequena, uma vez que 83% dos alunos

conseguiram resolver a situação que envolvia tal conversão. Já quando propôs a

mesma atividade no outro sentido de conversão, ou seja, do registro gráfico para o

tabular, apenas 34 % obtiveram sucesso na resolução.

A autora também investigou a forma como algumas obras lidavam com os

registros e conversões no conteúdo de vetores, tais como PATTERSON E. M.

Solving Problems in vector álgebra, Oliver and Boyd, University of Edinburgh, p.144,

1968, FORSYTHE G. & MOLER C.,Computer Solution of Linear Algebraic Systems,

Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs. New Jersy, 1967 e CAMPBELL H.G. Linear

Algebra with applications, edition, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New

Jersey, 1987.

Pavlopoulou detectou que os mesmos não trabalhavam propriamente com

conversões, o que poderia levar o estudante a trabalhar em um tipo específico de

registro inerente ao objeto matemático, podendo confundi-lo com o seu registro.

36

Apresentamos a seguir o quadro com os dados desta pesquisa extraído do

trabalho de Pavlopoulou (1993).

Figura 2 - Exemplo de conversão Fonte:PAVLOPOULOU (1993, apud MACHADO, 2003, p. 84)

Citamos também a pesquisa feita por Bittar (1998) na França a respeito do

ensino e da aprendizagem de vetores. A pesquisadora teve como objetivos

investigar a forma como se dava o ensino de vetores, caracterizar as dificuldades

dos alunos na aprendizagem desse conceito e introduzir uma abordagem com o

auxílio de um novo ambiente para o ensino deste conteúdo.

Ela analisou a forma como este tópico era ensinado por meio da análise dos

livros didáticos utilizados na França nos anos de 1994 a 1998. Bittar observou que

sua introdução era feita na penúltima série do Ensino Fundamental e que não havia

grandes diferenças nos livros analisados quanto à abordagem desse tópico, cuja

apresentação dava-se exclusivamente para resolver problemas de geometria.

A partir de sua análise de livros didáticos, a autora mostrou que o ensino de

vetores no secundário, tanto para alunos franceses como para brasileiros, estava

intimamente ligado aos registros de representação semiótica no que diz respeito à

resolução de exercícios.

Na visão da pesquisadora, se um novo registro de representação deste objeto

fosse apresentado ao aluno distante das propriedades geométricas ensinadas no

ensino fundamental, poderiam surgir dificuldades, ressaltando que a abordagem

vetorial que vincula a origem do vetor exclusivamente à origem dos sistemas de

37

coordenadas, provavelmente limitaria a compreensão deste objeto matemático. Após

a análise dos livros didáticos, Bittar enunciou um invariante sobre o qual se baseia

todo o estudo sobre vetores no secundário: “Um vetor é definido por direção, sentido

e comprimento.” Este invariante não aparece de modo explicito nos livros didáticos,

mas está de modo implícito nas definições por eles apresentadas.

Segundo a pesquisadora, o significado de vetores com mesma direção

equivaleria à interpretação de representantes que pertenceriam a retas paralelas

distintas ou coincidentes, mas a interpretação do significado de “mesmo sentido”

ficaria por conta do estudante, o que provavelmente o levaria à associação com a

interpretação de “sentido de percurso”, outrora presente nos livros didáticos dos

anos 40 a 60. Bittar(1998) ainda destacou a importância da utilização da língua

natural como tendo papel fundamental e provável provocadora de dificuldades para

os estudantes, pois, de acordo com a pesquisadora, o termo "sentido", na linguagem

cotidiana, pode trazer confusões. Os estudantes, por exemplo, poderiam construir

equivocadamente o invariante de que o sentido de um vetor pode ser determinado

independente de sua direção, ou seja, se a representação figural de representantes

de dois vetores apontam para a mesma região, estes vetores teriam o mesmo

sentido. Neste caso, os vetores apresentados a seguir poderiam ser considerados

equivocadamente como tendo o mesmo sentido.

A autora, para investigar as compreensões dos estudantes a respeito do

objeto matemático “vetor”, aplicou uma experimentação em dois grupos: uma sala do

segundo ano do ensino médio e uma sala do primeiro ano do Ensino Universitário,

ambos na França.

A escolha teve por critério o distanciamento dos alunos em um determinado

intervalo de tempo com relação ao contato com o objeto vetor. A experimentação foi

feita em duas etapas, sendo que na primeira foi apresentada a proposta de dois

exercícios aplicados de forma individual. Foram realizadas entrevistas individuais

38

com alguns alunos versando sobre o ensino de vetores numa busca de identificar as

dificuldades em suas resoluções escritas.

A autora, ao aplicar as atividades, pôde constatar que os estudantes achavam

que a posição ocupada por um vetor, qualquer que fosse, sempre deveria partir da

origem do sistema de coordenadas.

Ela também constatou que os alunos apresentavam dificuldades semelhantes

na aprendizagem do objeto matemático vetor, quando eram propostas atividades

que requeriam o estabelecimento de coordenações de registros de representação

semiótica.

Na segunda fase, Bittar(1998) utilizou um software dinâmico, o Cabri-

Gèomètre II, realizando assim uma avaliação quanto à utilização desta ferramenta

no ensino de vetores, sendo que pôde constatar que este ambiente computacional

minimizou as dificuldades dos alunos com relação aos conceitos de direção e

sentido de um vetor como também na distinção entre as coordenadas de um ponto e

as coordenadas de um vetor. Os alunos, por meio da utilização deste software,

conseguiram perceber, também, que as coordenadas de um vetor independem de

sua posição no plano.

Ficou evidenciado na pesquisa de Bittar que os tratamentos não são

explorados significativamente no ensino de vetores e as conversões são realizadas

de forma mecanizada, o que pôde ser observado nos livros didáticos analisados e

evidenciados na seqüência de ensino. Conseqüentemente, o processo de

coordenação entre os registros torna-se falho, prejudicando a visão integrada do

objeto matemático “vetor”. Destacamos, avaliando os resultados do trabalho de

Bittar, que as conjecturas dos alunos podem ser favorecidas quando um software

dinâmico é utilizado como ferramenta complementar no estudo dos vetores. Sua

pesquisa também revelou que se faz necessária a elaboração de atividades que

enfatizem dois aspectos de uma noção, o aspecto objeto e o aspecto ferramenta.

Como outro referencial, citamos Castro (2001), que também utilizou como

fonte teórica os registros de representação semiótica de Duval (1995). Em sua

pesquisa, ela apresentou uma seqüência didática sobre o conteúdo de vetores no

plano e no espaço. Castro trabalhou três categorias de registros apresentadas nos

quadros a seguir:

39

Figura 3 - Registros de Representação do Objeto Vetor no Espaço. Fonte: CASTRO (2001, p. 22)

Castro teve como sujeitos de sua pesquisa, quarenta e dois alunos

provenientes de três escolas de Engenharia. Sua seqüência didática foi realizada em

duas sessões, cujo objetivo era verificar a possibilidade de realizar atividades que

propiciassem a aprendizagem da conversão entre os registros gráficos e das n-uplas

de vetores no espaço, como também descaracterizar a ideia de que um

representante de um vetor precisa ter origem na origem do sistema de coordenadas.

Os alunos trabalharam em duplas e as duas sessões foram aplicadas pela

pesquisadora. A sessão 1 fazia a relação entre coordenadas de um ponto no espaço

e coordenadas de um vetor no espaço. Este trabalho foi realizado primeiramente

com pontos pertencentes aos eixos coordenados, depois com pontos não

pertencentes aos eixos coordenados, mas pertencentes aos planos coordenados e,

por fim, com pontos não pertencentes aos planos coordenados, mas todos com

coordenadas positivas. A pesquisadora esperava que o aluno fosse capaz de fazer

conversões entre os registros gráficos e das n-uplas de vetores, com representantes

cujo ponto extremidade pertencesse ao primeiro octante e a origem em O (origem do

40

sistema de coordenadas). A Sessão I teve cinco atividades, com tempo de

realização de aproximadamente cinqüenta minutos cada. Formaram-se vinte e uma

duplas. Segundo Castro (2001), houve uma evolução, porém o resultado não foi

satisfatório, tendo em vista que na atividade que se referia à conversão dos registros

das n-uplas para o registro gráfico de vetores com representantes de extremidade no

1º octante e origem em O, os alunos obtiveram menos sucesso.

O que Castro (2001) pôde observar foi que houve evolução por parte dos

alunos na conversão do registro das n-uplas para o registro gráfico como também foi

descaracterizado o fato de que o representante gráfico de um vetor devesse ter

origem na origem do sistema usual de coordenadas cartesianas ortonormais.

Castro constatou que os alunos investigados tinham dificuldades em lidar com

as representações do objeto vetor, dificuldades reveladas nos testes de conversões

de registros tanto no conteúdo de vetores do plano como no de vetores do espaço.

Ficou evidenciado também por Castro (2001) que a maior dificuldade dos estudantes

encontrava-se na conversão em que o registro envolvido era o gráfico e que esta

dificuldade era maior quando este registro era o de chegada.

Outra pesquisa em Geometria Analítica que utilizou a teoria dos registros de

representação semiótica foi a de Cândido (2010) , que realizou um estudo sobre o

ensino e a aprendizagem de produtos de vetores, conteúdo aplicado em Geometria

Analítica nos cursos superiores de ciências exatas. Com base nas evidências dos

trabalhos de Pavloupoulou (1993), Karrer (2006) e Castro (2001), principalmente

quanto à dificuldade das conversões envolvendo o registro gráfico, o pesquisador

elaborou um experimento de ensino composto de nove atividades que procuraram

explorar esse tipo de conversão. O objetivo do pesquisador foi elaborar e aplicar um

experimento sobre o conteúdo relativo a produto de vetores (escalar e vetorial), o

qual explorasse a relação entre os diversos registros, tendo como ponto principal o

registro gráfico.

Os ambientes utilizados na resolução das atividades foram o papel e lápis e o

software de geometria dinâmica Cabri 3D. A seleção dessa ferramenta se deu por

ela proporcionar uma visualização simultânea dos registros gráfico e simbólico,

favorecendo assim o estabelecimento de conversões entre esses tipos de registros.

A metodologia que norteou tanto a construção como a condução desse

experimento foi a do Design Experiments de Cobb et al. (2003), o qual foi aplicado a

41

dois alunos voluntários de Licenciatura em Matemática de uma instituição particular

do estado de São Paulo.

Em seu trabalho, Cândido (2010) propôs inicialmente atividades exploratórias

no Cabri 3D e, partindo das conjecturas elaboradas pelos estudantes, procurou

formalizar no registro simbólico-algébrico as situações inicialmente propostas no

registro gráfico.

Temos como exemplo a quarta atividade do produto vetorial , cujo objetivo era

de que a dupla observasse , primeiramente em caráter experimental, que o valor do

módulo do produto vetorial de dois vetores coincidia com o valor da área do

paralelogramo determinado por eles. Dividida em três tarefas, os estudantes primeiro

realizaram a construção de representantes de dois vetores no ambiente do Cabri 3D,

com origem na origem do sistema e, a partir desses, construíram um paralelogramo.

Pediu-se também que determinassem a área do mesmo por meio dos recursos do

software. Na tarefa b, foi pedido à dupla que, por meio dos recursos do software,

determinasse o representante, de origem na origem do sistema, do vetor resultante

do produto vetorial dos dois vetores e, em seguida, o seu módulo. O pesquisador

pôde constatar que o dinamismo e a facilidade dos recursos oferecidos pelo software

facilitaram a realização da tarefa c. Nessa tarefa, tendo no ambiente do software as

representações gráficas do paralelogramo e do produto vetorial e os valores da área

do paralelogramo e do módulo do produto vetorial, Candido (2010) pôde notar que

as manipulações realizadas experimentalmente no software permitiram que os

estudantes concluíssem que os valores numéricos obtidos eram iguais.

Apresentamos a seguir a tabela preenchida pela dupla.

42

Figura 4 - Dados da tarefa c da quarta atividade sobre produto de vetores Fonte:Candido (2009, p.180)

Segundo Candido (2009), a visualização simultânea e o dinamismo do

software abrandaram a problemática evidenciada por Pavloupolou (1993) e Karrer

(2006), mormente quanto à dificuldade das conversões que partem do registro

gráfico.

Podemos observar na figura seguinte a visualização simultânea e o

dinamismo no ambiente trabalhado pela dupla na tarefa c da quarta atividade

proposta por Cândido (2009).

43

Figura 5 - Fonte: Candido (2009, p.180)

O pesquisador afirmou que as manipulações realizadas no software

fundamentaram as conclusões da dupla, o que considerou como ponto positivo na

utilização de um ambiente dinâmico no processo de ensino e aprendizagem do

produto de vetores, porém, ele observou que os estudantes apresentavam muita

dificuldade em formalizar o que concluíram no registro simbólico-algébrico. Apesar

disso, em suas conclusões, ele afirmou que, a despeito das dificuldades

apresentadas pelos estudantes em lidar com questões formais que exigiam o

tratamento no registro simbólico-algébrico, eles obtiveram uma evolução significativa

diante da abordagem proposta, sendo o dinamismo do software fundamental na

exploração simultânea das representações gráfica, numérica e algébrica, o que

estabeleceu um ambiente favorável para a elaboração de conjecturas e para a

análise experimental das propriedades dos produtos escalar e vetorial.

Avultamos às nossas referências o trabalho de Lemke (2011), que participou

do mesmo projeto de pesquisa de Cândido (2010), porém abordando o processo de

ensino e aprendizagem de outro objeto matemático, no caso, retas e planos no R³

segundo uma abordagem vetorial. O referencial utilizado por Lemke (2011) foi o dos

44

registros de representação semiótica de Duval (2000,2003,2006) e ela também

partiu da problemática das conversões envolvendo o registro gráfico evidenciadas

por Pavloupolou (1993), Karrer (2006) e Cândido (2010).

Lemke (2011) utilizou em suas atividades o software dinâmico Cabri 3D como

recurso computacional nas atividades que envolviam o registro gráfico. Cabe-nos

ressaltar que a metodologia norteadora da elaboração e execução de seu

experimento foi a de Design Experiment de Cobb et al.(2003).

A pesquisadora expôs, baseada em suas referências bibliográficas, a

necessidade de um trabalho que efetivamente integrasse o registro gráfico no ensino

de conteúdos inerentes à Geometria Analítica.

Seu experimento foi composto por cinco atividades que exploraram

principalmente as posições relativas entre duas retas, entre reta e plano e entre dois

planos. Os sujeitos de pesquisa foram três duplas de estudantes voluntários do

ensino superior de uma faculdade particular de São José dos Campos, no estado de

São Paulo. A pesquisadora propôs, em cada atividade, situações relacionando os

registros gráfico, simbólico-algébrico e da língua natural nos ambientes papel & lápis

e Cabri 3D, obtendo um trabalho de integração entre esses registros semióticos.

Apresentamos as tarefas a, b e c da atividade quatro do experimento

elaborado por Lemke(2011) que trabalharam com a conversão entre os registros

gráfico, simbólico-algébrico e da língua natural.

Figura 6 - Fonte: Lemke (2011, p. 161)

45

No ambiente do software Cabri 3D, os estudantes obtiveram as seguintes

telas, que propiciaram a visualização dos registros gráfico e simbólico-algébrico de

maneira simultânea.

Figura 7 - Extraída de Lemke (2011, p. 162)

Lemke (2011) relatou que a abordagem proposta promoveu ganhos no

aprendizado dos estudantes, tais como a autonomia por parte dos estudantes no

desenvolvimento das atividades , a interação entre os ambientes papel e lapis e o

ambiente computacional e a relação entre os registros de representação

apresentados aos sujeitos no experimento, o que ressalta a importância de

elaboração de abordagens que procurem explorar a relação entre as diversas

representações e o uso de um software de geometria dinâmica em outros tópicos da

Geometria Analítica. Lemke (2011) sugere ainda, em suas perspectivas para novas

investigações, a execução de pesquisas voltadas ao uso desses recursos pelos

docentes, tendo em vista a importância de preparar o professor para o uso dessas

tecnologias.

Karrer e Barreiro (2009) realizaram um levantamento relativo aos registros

mais evidenciados e as conversões inerentes ao conteúdo de Geometria Analítica,

especificamente no estudo de vetores no R³, por meio da análise de dois livros de

46

Geometria Analítica mais utilizados em uma amostra de cursos de licenciatura em

Matemática no Brasil. Os livros avaliados foram os de Boulos e Camargo (2005) e

Steinbruch e Winterle (1987).

Para essa análise, elas classificaram os registros em gráfico, figural,

numérico, simbólico-algébrico e língua natural, de acordo com a teoria de Registros

de Representação Semiótica de Raymond Duval. Esta classificação é apresentada

no quadro a seguir.

Registros Representações

Figural

(Livro 2, p.10)

Gráfico

(Livro 2, p. 27)

Simbólico

Simbólico-algébrico

Seja

(Livro 3, p. 104)

Simbólico: (A,B)(B,A) (Livro 1, p. 3)

Língua natural

Emprego comum ... Portanto, com origem em cada ponto do espaço...

(Livro 2, p. 5)

Emprego especializado Prove que se o vetor AB é igual ao vetor CD , então o vetor AC é

igual ao vetor BD (Livro X, p. Y) Quaisquer que sejam os segmentos orientados (A,B), (C,D) e (E,F)

: (A,B) ~ (C,D) (C,D) ~ (A,B) (Propriedade Simétrica) (Livro 1, p.3)

Numérico 4(1, -2) = (4(1), 4(-2)) = (4,-8)

(Livro 3, p. 103)

Quadro 6 - Registros e representações (Vetores) Fonte: Adaptado de KARRER e BARREIRO (2009, p. 491)

47

Nesse quadro de registros, ressalta-se a existência da diferença entre os

registros gráfico e figural . A representação figural independe do sistema de

coordenadas, ou seja, apresenta o objeto matemático como uma figura. Já o registro

gráfico, relacionado a um sistema de coordenadas, permite a determinação de

coordenadas.

As autoras concluíram que as abordagens feitas nos livros didáticos

analisados não auxiliam os estudantes no estabelecimento de relações entre

questões gráficas e algébricas, o que pode ser considerado como um dos problemas

encontrados no processo de aprendizagem de conteúdos inerentes à Geometria

Analítica.

Em uma das obras, foi constatado na exposição teórica, que há

predominância dos registros simbólico e da língua natural especializada. Faz-se a

exploração do registro figural, mas não do registro gráfico. Os exercícios propostos

desta obra utilizam-se da língua natural especializada, do registro simbólico como

também do registro figural.

Na outra obra analisada, a abordagem do conteúdo de vetores é feita em dois

capítulos, sendo que no primeiro, ao apresentar conceitos e as operações inerentes

ao objeto vetores, são enfatizados os registros da língua natural, simbólico e figural.

Nos exercícios propostos há predominância de conversões entre os registros

simbólico-algébrico e o numérico. No segundo capítulo, utiliza-se o registro gráfico,

uma vez que vetores são associados aos sistemas de coordenadas cartesianas.

Apesar disso, nos exercícios propostos, este registro é abandonado, sendo

privilegiados os registros simbólico-algébrico e numérico.

Diante da revisão bibliográfica apresentada, concluímos que há necessidade

de novas pesquisas e a busca de novos meios que facilitem e proporcionem

condições para que os alunos tenham condições de apreender determinado

conteúdo matemático. Neste contexto, a utilização da informática na educação vem

ganhando espaço, sendo uma ferramenta que pode complementar o trabalho

usualmente realizado no ambiente papel e lápis.

A utilização das tecnologias no ensino da Matemática ganha destaque nas

pesquisas voltadas à Educação. Citamos a obra de Borba (2001), que traz alguns

pontos que reforçam a utilização de novas abordagens em prol de uma

aprendizagem mais efetiva.

48

Borba (2001) apontou que o dinamismo, a apresentação oferecida e mesmo a

importância dada à informática do ponto de vista social são argumentos motivadores

da sua utilização. Não objetivando fazer uma retrospectiva histórica da informática,

Borba relembra que ela se tornou um fenômeno cultural na segunda metade do

século XX, tornando-se cada vez mais próxima à realidade de todos. Em sua obra,

Borba (2001) faz uma breve síntese de diversos programas governamentais feitos

no Brasil na área educativa. O apoio governamental na área da educação quanto à

utilização de tecnologia no processo de ensino e aprendizagem favorece o

surgimento de novas pesquisas. Quanto à inserção da informática em situações de

ensino e aprendizagem, o autor cita alguns softwares e exemplos de atividades e os

resultados obtidos. Relata a experiência das atividades desenvolvidas em uma

escola estadual da cidade de Rio Claro-SP que possuía turmas da 5ª a 8ª séries do

ensino fundamental. Nessa experiência, os sujeitos utilizaram inicialmente

calculadoras comuns e posteriormente a calculadora CBR (Calculator Based

Ranger), que é um detector sônico de movimento que mede distância, velocidade e

aceleração. Segundo Borba, “... Esse sensor é um exemplo de como uma interface,

que pode ser entendida como um canal de comunicação entre máquina e o ser

humano, modifica a tecnologia e as potencialidades pedagógicas.” (BORBA,

2001,.p.31).

No seu livro há o relato de uma experiência de dois alunos com relação à

utilização do CBR. Na atividade, pediu para que um dos alunos se movimentasse

com o aparelho e depois interpretasse a imagem presente na tela da calculadora.

Surgiram grandes discussões, pois inicialmente os alunos pensavam que o gráfico

seria de forma circular, pois este foi o movimento feito por um dos estudantes. Ao

olharem o gráfico exibido na calculadora, eles começaram a discutir a respeito do

motivo da diferença entre o que estava exposto e o que haviam imaginado. Surgiram

várias conjecturas, observações quanto ao espaço no qual o movimento foi feito,

sendo o conhecimento construído pelos alunos. Nesse exemplo, Borba (2001)

mostra que associar a representação cartesiana com o movimento do próprio corpo

é difícil, porém possível e relevante. O autor ainda comenta que essa coordenação

permitiu aos alunos verem o gráfico não como um desenho do movimento, mas sim

como a reprodução da distância a um alvo.

Em sua obra, Borba (2001), relata outros exemplos que deixam claro o

aproveitamento de uma abordagem tecnológica na aprendizagem de Matemática.

49

Cita um grupo que, por meio da calculadora gráfica, experimentou seu potencial,

gerou conjecturas verbais e escritas e debateu seus resultados. Um dos grupos

conjecturou que se o „b‟ da função polinomial de 2° grau dada por f(x)=ax2+bx+c

fosse maior que zero, a parábola iria cortar o eixo „y‟ com sua parte crescente, e se o

„b‟ fosse menor que zero, a parábola iria cortar o eixo „y‟ com sua parte decrescente.

Ele buscou no software as respostas para essa suposição. Isso mostra que o meio

tecnológico permitiu aos alunos que tivessem outras possibilidades de observação

de um determinado objeto matemático, diferentes das trabalhadas no ensino

convencional.

Segundo Borba (2001), a conjectura desse grupo é um fruto experimental-

com-tecnologias, pois surgiu de investigações feitas em conjunto com a mídia em

questão.

“Ao utilizar a tecnologia de uma forma que estimule a formulação de conjecturas e a coordenação de diversas representações de um conceito, é possível que novos aspectos de um tema tão “estável”, como funções quadráticas, apareçam em uma sala de aula de não especialistas em matemática.” (Borba, 2001, p.38)

Encontram-se neste livro de Borba (2001) exemplos da utilização de

softwares que possibilitam interpretações diferenciadas de um conteúdo matemático.

Borba (2001) ainda destaca que:

“A experimentação se torna algo fundamental, invertendo a ordem de exposição oral da teoria, exemplos e exercícios bastante usuais no ensino tradicional, e permitindo uma nova ordem: investigação e, então, a teorização.” (BORBA, 2001, p. 41)

O nosso trabalho adotou essa estratégia para a construção do experimento,

ou seja, as situações foram elaboradas de tal forma a fazer com que o estudante

primeiramente investigue e faça conjecturas no ambiente Cabri 3D, para depois

teorizar no ambiente papel e lápis.

Segundo o autor, a utilização de novas mídias abre possibilidades positivas

no processo da construção do conhecimento, buscando superar práticas antigas,

privilegiando o processo e não o produto-resultado da sala de aula.

Borba entende:

“a informática como uma nova extensão da memória, com diferenças qualitativas em relação às outras tecnologias da

50

inteligência e permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseados na simulação, na experimentação e em uma “nova linguagem” que envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea.” (BORBA, 2001, p. 41)

Um software de geometria dinâmica citado por Borba (2001) é o

Geometricks, o qual será apresentado posteriormente na seção de relato sobre

softwares dinâmicos.

Para Borba (2001) a utilização da informática propicia o aprofundamento de

alguns temas específicos do cotidiano das aulas de matemática e sua obra procura

incentivar a utilização de novas abordagens em prol de uma melhoria no processo

de ensino e aprendizagem da Matemática.

Noss e Hoyles (1996,2009) apresentaram uma avaliação do papel das

tecnologias no ensino da Matemática e em que medida o conhecimento matemático

e a pedagogia aplicada estão ligados às ferramentas físicas, virtuais e culturais em

que são expressas.

Os autores destacaram que as tecnologias digitais têm por novidade oferecer

uma oportunidade para repensar as maneiras das representações das formas de

aprendizagem. Noss e Hoyles (1996, 2009) sublinharam a importância central do

design, tanto das próprias ferramentas como nas atividades em que serão inseridas

e nos significados matemáticos que os alunos desenvolvem. Nessas obras, os

autores justificam a utilização das ferramentas digitais também pela sua infinita

maleabilidade, que tem incentivado os pesquisadores a considerar não só a melhor

forma de adaptação das ferramentas para a aprendizagem matemática, mas sim de

como adaptar a matemática para que seja aprendida em função de novas

“possibilidades de trabalho”. Os pesquisadores têm por foco como a cognição

matemática evolui em paralelo com o uso fluente das ferramentas digitais

direcionadas a situações de aprendizagem, fato que gera os seguintes

questionamentos: A cognição vai além do contexto no qual foi desenvolvido? Como

isso ocorre?

Uma das categorias que os pesquisadores apresentaram a respeito do uso

dos recursos digitais refere-se às ferramentas dinâmicas e gráficas, que conforme a

utilização, permitem ganhos pedagógicos.

A seguir, será apresentada uma amostra de pesquisas que evidenciaram

evoluções nas aprendizagens dos estudantes com o uso de recursos

51

computacionais. A opção por aquelas que utilizaram software de geometria dinâmica

foi realizada dado que o presente trabalho engloba uma ferramenta desse tipo.

Costa (2005) apresenta um estudo no qual o software Cabri-Géometre é a

ferramenta utilizada no estudo de frisos. Quanto ao termo “friso”, Pastor (1996)

define como “...o ladrilhamento de uma região plana limitada por duas retas

paralelas, sendo o ladrilhamento o conjunto de figuras geométricas que podem ser

colocadas de tal maneira que todo ponto da região pertença a uma destas figuras”

Em seu trabalho, Costa (2005) fez o estudo de algumas transformações

geométricas no plano euclidiano a partir da dimensão artística dos frisos. O objetivo

de seu trabalho consistiu em avaliar o quanto a utilização de frisos (faixas) com o

auxílio do software dinâmico Cabri-Gèometre II poderia colaborar para a articulação

e para dar significado aos conceitos de translação, simetria axial e simetria central.

Os sujeitos da pesquisa de Costa (2005) foram alunos do primeiro ano do

ensino médio de uma escola pública de Santos. O pesquisador enfatizou a utilização

de softwares de geometria dinâmica, os quais, segundo ele, possibilitam que os

desenhos sejam feitos rapidamente como também com muita precisão. Ainda, estes

recursos possibilitam a construção de figuras geométricas e a manipulação das

mesmas, ou seja, podem-se alterar medidas, formas e até a sua posição. Ele

também destaca que uma abordagem diferenciada do papel e lápis permite uma

visualização como também a reconstrução de conceitos da geometria pelo estudo

das propriedades dos desenhos. Quando são alterados no ambiente do Cabri-

Gèometre, as propriedades se transformam e o usuário consegue observá-las com

mais clareza. Costa (2005) também afirma que tanto o software Cabri-Gèometre II

como os demais softwares de geometria dinâmica completaram as ligações entre a

geometria e o seu campo de representação.

Reforçando a utilização de softwares de geometria dinâmica, Costa cita Healy

(2002b):

“... as ferramentas de construção e de criação possibilitam aos estudantes produzir um diagrama que seja simultaneamente um desenho e uma figura (Laborde,1993); -as ferramentas de arrastar permitem aos estudantes examinar suas construções, para identificar os relacionamentos que permanecem invariantes e para impor visualmente relacionamentos adicionais (Hölz,1996; Micheletti, Olivero e Robutti,1998); -ferramentas de verificação de propriedades que permitem que os estudantes considerem o domínio da validade de propriedades visualmente identificáveis de suas construções (Laborde e Laborde, 1995) -ferramentas de medição que permitem aos estudantes considerar casos particulares e fornecer meios

52

diferentes de facilitar em relacionamentos invariantes” (COSTA, 2005 apud HEALY, 2002 a, p. 1-2)

Costa (2005) concluiu em seu trabalho de pesquisa que a utilização do

software de geometria dinâmica Cabri-Gèometre II favoreceu tanto a visualização

como a apreensão de aspectos fundamentais das transformações geométricas do

ponto de vista pontual.

Araújo (2007) realizou um trabalho inserido na temática do uso de tecnologias

digitais e teve por objetivo investigar uma abordagem para a prova em geometria,

sendo que as construções geométricas foram realizadas no ambiente do software

dinâmico do Cabri-Gèometre.

Os sujeitos de sua pesquisa foram alunos da sétima série do Ensino

Fundamental da rede pública estadual de São Paulo, sendo o experimento

desenvolvido em duas fases, que foram o design e a análise das atividades.

Araújo (2007) inspirou as suas atividades na geometria do compasso

(MASCHERONI,1980) e suas análises apoiaram-se na teoria de Balacheff

(1987,1988).

O pesquisador trabalhou no ambiente papel e lápis e no ambiente Cabri-

Géometre. Um dado importante como resultado apresentado por Araújo (2007)

refere-se à dificuldade que os alunos apresentaram em relação à noção de

“construção robusta”, construção esta que preserva, quando da manipulação, as

propriedades ligadas ao objeto representado. No caso, houve conflito entre o que foi

obtido na tela do Cabri com a produção no ambiente do papel e lápis.

O pesquisador comenta que, apesar de o software Cabri estar disponível nas

escolas estaduais há cerca de dez anos, ele ainda era pouco conhecido até o

período de sua pesquisa e pouco utilizado pelos professores.

Araújo (2007) concluiu em sua pesquisa que a utilização do software como

recurso de prova foi tido como o motor inicial das provas matemáticas propriamente

ditas e cita que sua pesquisa não objetivou apenas explorar o dinamismo do

software, mas introduzir os estudantes na complexidade das provas existentes na

Geometria. Ele também explicitou a falta de contato dos estudantes com o software

como também o pouco conhecimento quanto aos conceitos da Geometria

Euclidiana, o que pode ter interferido em alguns resultados. Fica também, de acordo

com Araújo (2007), que a escolha do Cabri não foi feita somente pela flexibilidade do

53

mesmo ou por ser um bom suporte didático para ensinar geometria elementar, mas

por ser um elemento mediador da ideia de prova matemática.

Podemos observar, por essas pesquisas, que a tecnologia desempenhou um

papel importante, que foi além de simplesmente aprimorar a apresentação de

determinado conteúdo.

Para que nos utilizemos da tecnologia, necessitamos então “aprender” como

trabalhar com essas ferramentas.

Laborde (2003, p.26) cita que “...executar tarefas matemáticas em ambiente

informático requer dois tipos de conhecimento, o matemático e o instrumental”.

Concluímos então, que a aplicação de meios tecnológicos nos processos de

ensino e de aprendizagem depende da “compreensão” do professor com relação ao

trabalho com a tecnologia escolhida, o que se reflete na própria elaboração de

atividades complementares a serem aplicadas, satisfazendo assim os objetivos do

educador com relação à aprendizagem dos alunos. Neste processo o professor

assume o papel de mediador entre o ambiente de aprendizagem e o conteúdo

específico.

No trabalho de Salazar (2009), evidenciou-se que a utilização do ambiente de

Geometria Dinâmica Cabri 3D facilitou a apreensão perceptiva das figuras como

também a dinamização das mesmas. Ela teve como sujeitos de pesquisa, alunos do

segundo ano do Ensino Médio e objetivou observar como eles se apropriavam das

transformações geométricas no espaço quando interagiam com o ambiente Cabri

3D.

Outros pesquisadores que trataram do uso da geometria dinâmica no ensino

foram Valente (2003), Chaauchoa (2007), Veloso (2000), Healy (2000) e Gravina

(2001), cujas perspectivas quanto à utilização de ambientes computacionais são

diversificadas.

Segundo Valente (1993), as tecnologias digitais podem ser úteis tanto no

ensino como na aprendizagem. Para o autor, o ambiente computacional educativo

pode estar inserido em uma das seguintes categorias: os tutoriais, os sistemas de

exercícios e práticas, as simulações e os jogos educacionais.

Chaachoua (1997) assinalou que muitas das propriedades do objeto

geométrico (tridimensional) não podem ser traduzidas no ambiente papel e lápis

(ambiente bidimensional) fazendo-se necessária a utilização de códigos e

convenções de representação. Ela afirma que:

54

Alguns ambientes computacionais oferecem ao desenho um domínio de funcionamento importante como também um meio para desqualificar certas interpretações ilícitas, dependendo de como este ambiente computacional foi construído.” (CHAACHOUA, 1997, p.44)

Chaachoua em referência ao Cabri 3D, fez uma alusão que ele permite a

criação de uma “realidade espacial” de objetos geométricos, tendo-se a liberdade de

manipulação dos objetos, a alteração do que está sendo feito, como também a

função “desfazer” permitida pelo software. Constata então que este ambiente ajuda

no ensino e na aprendizagem, pois possibilita a validação de situações geométricas

de uma maneira dinâmica.

Reforçando ainda a associação das tecnologias digitais, especificamente de

ambientes computacionais como instrumentos complementares na aprendizagem

Matemática, a constatação de Veloso (2000) quanto à utilização de ambientes de

Geometria Dinâmica, denota a importância desta interação no ensino e na

aprendizagem. Veloso destaca que a Geometria Dinâmica está transformando a

visão de ensino de Matemática, pois proporciona aos alunos outras possibilidades

de compreensão de conceitos matemáticos, as quais não seriam possíveis no

método tradicional de ensino. Também confirma, como outros pesquisadores, que a

potencialidade proporcionada pelos ambientes de Geometria Dinâmica abre novos

caminhos para a exploração e resolução de problemas ou mesmo no

estabelecimento de conjecturas.

A utilização da Geometria Dinâmica na construção de uma figura, segundo

Healy (2000), acontece por meio da utilização da definição explícita do objeto

geométrico e de suas propriedades matemáticas.

Outra pesquisa que enfatiza a importância da utilização de ambientes de

Geometria Dinâmica é a de Gravina (2001).

“Os ambientes de Geometria Dinâmica também incentivam o espírito de investigação Matemática: sua interface interativa, aberta à exploração e à experimentação, disponibiliza os experimentos do pensamento. Manipulando diretamente os objetos na tela do computador, e com realimentação imediata, os alunos questionam o resultado de suas ações/operações, conjecturam e testam a validade das conjecturas inicialmente através dos recursos de natureza empírica (GRAVINA, 2001, p.89-90)”

55

Quando procuramos representar um objeto espacial no plano, é inevitável a

perda de informações. A representação bidimensional de um objeto espacial é feita

por meio de projeções, que podem não preservar todas as suas propriedades. De

acordo com Parzysz (1998), os alunos acreditam que podem fazer a representação

de um objeto espacial sem ambigüidades através de um desenho semelhante a ele

e tendem a considerar as propriedades desse desenho como aquelas inerentes ao

próprio objeto. Parzysz diferencia quatro níveis no desenvolvimento do pensamento

geométrico. O Nível 0, relacionado à geometria concreta, ou seja, os objetos

materializados; o Nivel 1 à geometria espaço-gráfica, que seriam os objetos

representados através de instrumentos ( régua, compasso, etc.), o Nível 2 que seria

a geometria proto-axiomática, ou seja, cujas demonstrações são feitas através de

premissas aceitas pelos alunos de forma intuitiva; o nível 3 à geometria axiomática,

cujas demonstrações são feitas através de axiomas. Parzysz preconiza que os

Níveis 0 e 1 correspondem à geometria empírica, que se apóia basicamente em

critérios perceptivos.

De acordo com Parzysz (1998), a figura seria o objeto geométrico que é

definido pelo texto que o descreve, com isso, chama de desenho as representações

materiais e assim define as representações do objeto geométrico em dois níveis. O

Nível 1, que seria relacionado às representações próximas, ou seja, as de objetos

planos e os modelos de objetos tridimensionais, como por exemplo, as maquetes. O

Nivel 2, que seria relacionado às representações distantes, ou seja, objetos

tridimensionais representados em figuras planas, por exemplo, o desenho de um

cubo em perspectiva cavaleira. Quanto ao Nível 1 e ao Nível 2, Parzysz apresenta a

seguinte ilustração, na qual a figura 1A ilustra o nível 1 e a figura 1B ilustra o nível 2:

56

Figura 8 - Representação de um quadrado e de uma pirâmide de base quadrada. Fonte: PARZYSZ (1988, p. 82)

De acordo com Parzysz (1988), os desenhos que representam os objetos

espaciais têm relação a um objeto geométrico e a sua representação na geometria

plana, tornando difícil a percepção de algumas propriedades inerentes ao próprio

objeto em 3D.

Neste caso, segundo o autor, surgem dois problemas: a codificação

(elaboração de uma representação gráfica) e a decodificação (a interpretação de

uma representação gráfica). Ressalta-se que nem tudo pode ser representado, ou

seja, algumas das propriedades “aparecerão” de acordo com a vontade e

interpretação do receptor, quando este faz a restituição do significado. O problema

da codificação de um objeto 3D em um único desenho, segundo Parzysz (1988),

surge pela impossibilidade de oferecer uma representação que seja próxima a esse

objeto, havendo assim a perda adicional de informação. Para o autor, o pólo do

sabido entra em conflito com o pólo do visto, ou seja, um conflito entre o que se

conhece e o que se vê. O pólo do sabido consiste na representação das

propriedades e relações do objeto que o sujeito considera importante, já o pólo do

visto, consiste na representação de um objeto do mesmo modo que é visto,

baseando-se na sua observação. Segundo Parzysz e Colmez (1993), a dificuldade

de tornar esses dois pólos “interligados”, ultrapassando as dificuldades entre eles,

depende de vários fatores, como por exemplo, do conhecimento geométrico e da

natureza da tarefa.

A representação gráfica de objetos 3D em um software dinâmico é favorecida

por seu aspecto dinâmico, o que pode permitir ao leitor uma interpretação mais

57

próxima do objeto representado. Esse ponto de vista aparece em Rosalves (2006),

que tratou das relações entre os pólos do visto e do sabido no Cabri 3D. No seu

trabalho a autora apresentou as relações entre o objeto geométrico da geometria

espacial e a sua representação plana. Com base em Parzysz (1988;1993), ela expôs

as dificuldades de representação de objetos tridimensionais no que se refere à

codificação e decodificação, como também o conflito gerado entre os pólos do visto

e do sabido. Ressalta-se que, enquanto Parzysz realizou seu estudo com base em

atividades no ambiente papel e lápis, a autora fez suas análises em atividades

desenvolvidas no ambiente computacional.

Rosalves (2006), ao considerar a limitação do ambiente papel & lápis por ser

estático, optou pela utilização de um software de geometria dinâmica, no caso o

Cabri 3D, a fim de analisar as possibilidades de gestão dos pólos do visto e do

sabido nas interações dos sujeitos com as ferramentas e representações nesse

ambiente de trabalho. A autora aplicou seu experimento a alunos do ensino médio

de uma escola pública da cidade de São Paulo e os resultados mostraram que, em

determinadas situações, as perdas de informações no Cabri 3D são menores que no

ambiente papel&lápis. Segundo Rosalves (2006) a utilização de um software

dinâmico possui um aspecto positivo, tendo em vista tanto o seu aspecto dinâmico,

que permite ao sujeito que manipule a figura mudando assim o seu ponto de vista

com relação ao objeto em análise, como também com o aspecto de “tratamento”.

Isto porque a possibilidade do enriquecimento da representação no uso das

ferramentas de construção pode vir a auxiliar no processo de decodificação,

favorecendo assim uma interpretação mais complexa do desenho, o que pode gerar

um melhor aproveitamento das interferências perceptivas.

A seguir, apresentaremos uma breve descrição do objeto matemático

Superfícies Esféricas e como ele é abordado em um livro didático. Em seguida,

apresentaremos a descrição de softwares de geometria dinâmica, justificando a

nossa opção pelo Cabri 3D.

58

3. APRESENTAÇÃO DO OBJETO MATEMÁTICO, ANÁLISE DE UM LIVRO

DIDÁTICO DE GEOMETRIA ANALÍTICA E DESCRIÇÃO DE SOFTWARES

DINÂMICOS

3.1. APRESENTAÇÃO DO OBJETO MATEMÁTICO

Será apresentada uma breve descrição do objeto matemático superfície

esférica, nas formas convencionais que provavelmente são apresentadas aos

estudantes. Serão destacadas algumas representações inerentes a esse objeto

matemático, tais como a simbólico-algébrica, a figural, a gráfica e a da língua

natural, objetivando explicitar as possíveis relações entre elas.

Superfície Esférica é definida, no registro da língua natural, o qual é

considerado como um registro multifuncional discursivo, como o lugar geométrico

dos pontos do , cuja distância a um ponto fixo que chamamos de centro é sempre

constante.

Em Boulos e Camargo (2005, p.292), encontra-se a seguinte definição:

“...dados um ponto C e um número real positivo , a superfície esférica S de centro

C e raio é o lugar geométrico dos pontos X de tais que , ou,

equivalentemente, .”

É provável que a primeira “construção mental” do objeto superfície esférica

seja equivalente à representação figural inerente a ele, ou seja, nessa “construção

mental” associam-se as propriedades do objeto matemático com a sua “imagem”. A

associação a objetos do cotidiano, como uma bola de futebol, por exemplo, remete à

visão de uma esfera e, conseqüentemente, à sua superfície.

A seguir, será apresentada a representação do registro figural, considerado

como multifuncional não discursivo, de uma superfície esférica, realizada com o

auxílio do Cabri 3D.

Figura 9 - Superfície Esférica - Construção No Cabri 3D

59

A apresentação dos diferentes registros inerentes a um objeto matemático

permite uma visão global do mesmo, favorecendo o estabelecimento de relações e

associações entre eles.

Têm-se também as representações dos registros simbólico-algébrico e gráfico

de uma superfície esférica, classificados como monofuncional discursivo e

monofuncional não discursivo, respectivamente. Para tanto, fixa-se o sistema de

coordenadas ortonormais no , representado por ), sendo C o centro (o

ponto fixo) , tal que e um ponto qualquer da Superfície

Esférica e o raio.

Analiticamente tem-se a equação reduzida da superfície esférica, dada por

A representação gráfica pode ser facilmente obtida por conversão partindo de

seu registro simbólico-algébrico, quando a equação se apresenta na forma reduzida.

A seguir, apresenta-se, a título de ilustração, a representação gráfica de uma

superfície esférica com centro e raio .

Figura 10 - Superfície Esférica, Construção no Cabri 3D

60

Algumas observações com relação à estrutura da representação simbólico-

algébrica de superfícies esféricas podem auxiliar o estudante a diferenciar a

equação de uma superfície esférica de equações de outros objetos matemáticos da

Geometria Analítica.

Observar que uma equação do 2° grau nas variáveis até então usadas x,y,z

representarão uma superfície esférica se:

-

Os coeficientes de forem iguais e não nulos;

-

A equação não apresentar termos como ;

-

O raio deve ser maior que zero;

Quanto ao estudo do objeto superfície esférica, saber determinar o seu centro

e o seu raio é parte notória e básica.

Para tanto, partindo da equação geral da superfície esférica apresentada

anteriormente, pode-se organizá-la da seguinte maneira:

-

Esse tipo de associação para que se obtenha o centro C= e o raio

é trabalhada no registro simbólico algébrico da seguinte forma:

61

-

O centro da superfície esférica é C=

e o seu raio

é dado por =

.

Quando a Superfície esférica tem centro na origem do sistema, os valores de

assumem os valores (0,0,0) e, portanto, a representação simbólico

algébrica desta superfície é dada por .

Tem-se a seguinte representação gráfica:

Figura 11 - Superfície Esférica: construção no Cabri 3D

Quando a superfície esférica passa pela origem, não se tem termo

independente. Através da equação geral da circunferência, tem-se que:

-

Da terna (x,y,z)=(0,0,0), substituindo na equação geral tem-se que:

-

=

A seguir, apresenta-se uma análise da forma como este objeto matemático é

tratado em uma obra de Geometria Analítica, em termos de explorações de

registros.

62

3.2. ANÁLISE DE OBRAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA

Esta seção trata da análise do conteúdo de superfícies esféricas presente em

obras de Geometria Analítica, fundamentada na teoria dos registros de

representações semióticas de Duval (1995). Primeiramente selecionamos as obras

que seriam avaliadas e, em seguida, classificamos os registros e representações

inerentes ao conteúdo estudado. Como terceira etapa de investigação, tratamos da

análise da exposição teórica, evidenciando as representações, tratamentos e

conversões mais requeridas na abordagem desse tópico.

Por fim, realizamos uma tabulação dos registros mais presentes nos

exercícios propostos, com o intuito de mapear as representações mais valorizadas

na abordagem de superfícies esféricas nestas obras.

A primeira etapa, referente à seleção dos livros que seriam analisados, partiu

dos resultados da pesquisa realizada por Karrer e Barreiro (2009), a qual indicou a

frequente presença das obras de Boulos e Camargo (2005) e o de Steinbruch e

Winterle (2005) nas referências da disciplina de Geometria Analítica de cursos de

exatas de universidades brasileiras. Ressalta-se que no ensino superior também são

utilizados textos traduzidos para o português, nos quais conteúdos de Geometria

Analítica são usualmente incorporados aos livros de Cálculo Diferencial e Integral,

tratando a superfície esférica normalmente como um caso particular do elipsoide.

Dentre essas obras citamos Leithold (1994), Swokowski (1989) e Stewart (2009).

Apesar disso, limitamos a nossa análise às obras mais indicadas nas referências

bibliográficas da disciplina de Geometria Analítica de universidades brasileiras, uma

vez que, apesar de não ser a única fonte de consulta, o livro didático representa uma

ferramenta de apoio para a elaboração de aulas. Com isso, consideramos que esta

análise provavelmente fornecerá indícios da forma como o conteúdo de superfície

esférica está sendo abordado no ensino superior, em termos de registros e

conversões, e temos o interesse de acrescentar ao nosso trabalho de pesquisa

dados que possam nortear a construção de nossas atividades.

Para a análise dessas obras, classificamos os registros inerentes ao objeto

matemático “superfícies esféricas. Apresentamos, no Quadro 7, uma tabela

63

relacionando os registros de representação detectados nessa análise e exemplos de

representações deste registro em relação ao objeto matemático superfície esférica.

Registros Exemplos de representações

Língua Natural

“A superfície esférica S de centro C e

raio r > 0 é o lugar geométrico dos

pontos do espaço que mantém a

distância r de C “

Simbólico-algébrico

Numérico C= , r=4

Figural

Gráfico

Quadro 7 - Quadro de Registros e representações - objeto superfície esférica

Cabe salientar que no registro figural, a superfície esférica é apresentada

como uma figura, enquanto que no registro gráfico, ela é determinada em relação ao

sistema .

O tema “Superfícies Esféricas” é abordado no livro de Boulos e Camargo

(2005) no capítulo 24. Inicia-se com a apresentação da equação de uma superfície

esférica, utilizando três tipos de representação para o objeto matemático: a lingua

natural escrita, a simbólico-algébrica e a figural. Fica explicitada neste capítulo a

utilização do sistema ortogonal .

A primeira apresentação do registro simbólico-algébrico é a equação

reduzida da Superfície Esférica. Os elementos “centro” e “raio” são identificados por

64

meio de um exemplo no qual se faz uma “relação” dos registros numérico e

simbólico-algébrico.

No decorrer desta introdução, faz-se um tratamento do registro simbólico-

algébrico da equação reduzida para a equação geral da superfície esférica:

( I )

Faz-se então a comparação com a forma da equação geral da superfície

esférica na sua forma:

( II )

Deste modo, por meio de tratamentos no registro simbólico-algébrico,

apresenta-se o fato de que a equação (II) representa uma superfície esférica se os

coeficientes a,b,c,d são tais que , sendo o centro

e o raio

.

Observamos, neste início de apresentação, o predomínio do registro

simbólico-algébrico. O registro gráfico é apresentado como uma ilustração do objeto

matemático superfície esférica.

Nos exemplos seguintes, apresentados após a parte introdutória,

encontramos os registros da lingua natural e simbólico-algébrico. Normalmente, a

resolução requer tratamentos neste último registro. Observa-se que há o predomínio

do registro simbólico-algébrico na interpretação da proposição (24 - 1), conforme

pode ser observado a seguir.

Quadro 8 - Proposição 24-1 Fonte: Boulos e Camargo (2005)

65

Nota-se que não se utiliza outro tipo de registro além dele para essa

resolução. Seguido do exercício resolvido, são propostos ao estudante onze

exercícios. Neles, encontramos os registros da lingua natural, o simbólico- algébrico

e o numérico, ou seja, não se encontra o registro gráfico nem como registro de

partida nem como registro requerido para as resoluções dos exemplos.

Decorre-se a apresentação de mais um exercício resolvido que requeria a

equação reduzida e a equação geral da superfície esférica, dado o centro e o raio,

seguido de uma tarefa na qual era dada a equação geral de uma superfície esférica,

solicitando seu raio e o seu centro. No terceiro item do exercício, pede-se o conjunto

descrito por uma equação geral. Neste exercício resolvido, apresentam-se os

registros da língua natural e numérico e dois modos de resolução, ambos no registro

simbólico-algébrico.

Como prática desse exemplo apresentado, segue-se um exercício proposto, o

qual solicitou a equação de quatro superfícies esféricas, partindo de quatro pontos

pertencentes a cada uma. O registro de partida é o numérico que se converterá no

registro simbólico- algébrico. A partir daí, são realizados tratamentos nesse registro.

Observamos nos exercícios resolvidos e propostos até a proposição 24 -8,

que há ausência do registro gráfico. Nessa proposição, faz-se a relação entre

segmento e superfície esférica, conforme pode ser observado a seguir:

Quadro 9 - Proposição 24-8 Fonte: Boulos e Camargo (2005)

Observa-se, na exposição dessa proposição, a presença dos registros da

língua natural, o simbólico-algébrico e o figural. Na sequência, tanto no exercício

resolvido como no proposto não se faz a utilização de registros gráfico e figural,

tendo, tanto no enunciado como na resolução, os registros simbólico-algébrico, da

língua natural e numérico. Podemos observar que o registro simbólico-algébrico, até

esta parte do capítulo referente à superfícies esféricas, predomina em relação aos

outros.

66

Seguimos para a subseção “Intersecção e posição relativa de reta e superfície

esférica”. Na parte teórica, os conceitos são apresentados por meio dos registros da

língua natural, simbólico-algébrico, figural e gráfico. Nos exercícios resolvidos, que

são três, dois apresentam o registro figural, além do simbólico-algébrico e da língua

natural nas resoluções. Na figura 12, apresentamos esses dois exercícios.

Figura 12 - Exercício Resolvido 24-13 Fonte: Boulos e Camargo (2005)

67

Figura 13 - Exercício Resolvido 24-14 Fonte: Boulos e Camargo (2005)

No total de nove exercícios propostos, encontramos os registros numérico,

simbólico-algébrico e da língua natural.

Na próxima subseção, temos “Intersecção e posição relativa de plano e

superfície esférica.” Na parte conceitual, encontramos os registros da língua natural,

o simbólico-algébrico e o gráfico. São apresentados três exercícios resolvidos e vinte

exercícios propostos. Nos exercícios resolvidos faz-se a utilização dos registros da

68

língua natural, do numérico e do simbólico algébrico, tanto nos enunciados, como

nas resoluções.

Não encontramos diferenças nos exercícios propostos com relação aos

registros privilegiados, sendo que as respostas dos mesmos são apresentadas nos

registros simbólico-algébrico ou numérico.

Após os exercícios, temos a apresentação do conceito de circunferências no

espaço e a superfície esférica. Faz-se a utilização dos registros da língua natural, do

gráfico e do simbólico-algébrico.

Nos exemplos decorrentes, temos a utilização dos registros numérico, da

lingua natural e do simbólico-algébrico. Nos dois exercícios resolvidos e nos nove

exercícios propostos, não há a utilização do registro gráfico, nem nos enunciados,

nem nas resoluções. A análise quantitativa referente à presença de representações

de determinado registro nas seções de exercícios resolvidos e propostos é

sintetizada no quadro a seguir.

Representações Quantidade presente nos

exercícios resolvidos

Quantidade presente nos

exercícios propostos

Simbólico-algébrica 15 40

Língua natural 15 52

Figural 3 0

Gráfica 0 0

Numérica 5 29

Faremos, a seguir, a apresentação dos dados por meio de gráficos,

organizando as informações em exercícios resolvidos e exercícios propostos

69

Gráfico 1 - Tabulação de exercícios resolvidos e exemplos Total: 15 exercícios

Gráfico 2 - Exercícios propostos Total: 52 exercícios

Novamente observa-se o predomíno dos registros simbólico-algébrico e da

língua natural, seguidos do numérico. Podemos observar que os registros figural e

gráfico não são explorados nos exercícios.

Avaliando a parte teórica, observamos que, apesar do predomínio dos

registros simbólico-algébrico e da lingua natural, os registros gráfico e figural são

explorados.

0

10

20

30

40

50

60

simbólico algébrico

lingua natural figural gráfico numérico

Exercícios propostos

70

Tal fato aponta um descompasso entre os registros explorados na parte

teórica e na seção de exercícios resolvidos e propostos. Como ela é apenas

explicitada no enunciado dos exercícios propostos, é provável que tal fato implique

nas dificuldades de interpretação de problemas de superfícies esféricas, levando os

sujeitos a realizarem apenas tratamentos algoritmizados.

Confirma-se então que a abordagem sobre superfície esférica feita neste livro

de Geometria Analítica não auxilia os estudantes no estabelecimento de relações

entre questões geométricas e algébricas. É provável que tal fato se caracterize como

um dos problemas no processo de aprendizagem de conteúdos inerentes à

Geometria Analítica.

Na obra de Steinbruch e Winterle (1987), na qual a superfície esférica é

tratada como um caso particular do elipsóide, pudemos observar que na parte

teórica, na qual se apresentam três exemplos, são utilizados os registros da lingua

natural, o numérico e o simbólico-algébrico. No exemplo 1, a solução é apresentada

no registro simbólico-algébrico. No exemplo 2 a solução aparece no registro

simbólico-algébrico e no registro numérico. Por fim, o exemplo 3, utiliza-se do

registro simbólico-algébrico na forma de uma equação geral de uma superfície

esférica, o registro numérico e a língua natural. Na resolução são utilizados os

registros da língua natural, o registro simbólico-algébrico, o figural e o numérico.

Quanto aos exercícios propostos, que são doze, o objeto superfície esférica aparece

em nove deles, sendo que três são específicos para este objeto matemático nos

quais o registro predominante é o simbólico-algébrico. As representações utilizadas

nos exercícios são o registro da língua natural e o registro simbólico-algébrico. A

resolução para quatro deles é pedida nos registro simbólico-algébrico, identificação

na língua natural e a representação gráfica. Não há exercícios que se utilizem do

registro gráfico como registro de partida. A seguir, apresenta-se uma análise

quantitativa referente ao levantamento da presença de representações de

determinado registro tanto nos exercícios resolvidos como nos propostos.

Representações Quantidade presente nos

exercícios resolvidos

Quantidade presente nos

exercícios propostos

Simbólico-algébrica 33 58

Língua natural 41 68

71

Figural 2 0

Gráfica 0 0

Numérica 19 36

Partindo dessa problemática, nossa proposta pretende efetivamente integrar o

registro gráfico e sua conversão para os demais registros, por meio do auxílio do

ambiente Cabri 3D.

Na próxima seção, apresentaremos a descrição de alguns softwares de

geometria dinâmica, a fim de justificar a opção pelo Cabri 3D.

3.3. DESCRIÇÃO DE SOFTWARES

Este capítulo trata da descrição de softwares que podem ser utilizados no

ensino de Matemática, com o intuito de justificar o motivo da seleção do Cabri 3D no

presente trabalho. Primeiramente, realizamos a descrição de uma amostra de

ferramentas, destacando suas potencialidades, especificidades e suas

características em relação ao trabalho com registros e conversões. Em seguida,

destacamos em que aspectos o software selecionado se mostrou mais coerente e

adequado com a nossa abordagem.

Observamos a grande quantidade de softwares voltados ao processo de

ensino e aprendizagem da Matemática, destacando os de geometria dinâmica. O

termo geometria dinâmica (GD) surge com o objetivo de diferenciar este tipo de

software dos demais softwares geométricos, uma vez que ele permite a manipulação

de figuras geométricas a partir de suas propriedades.

Como exemplos de softwares livres de geometria temos o Geogebra e o

Graphmática. O Geogebra é um software de geometria dinâmica, desenvolvido pelo

professor Markus Hobewarter ( Flórida- Atlantic University). Neste software podem

ser feitas construções com pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas e

funções, podendo ser alteradas posteriormente de maneira dinâmica.

O Geogebra foi criado para o estudo e aprendizagem de Álgebra, Cálculo,

Geometria Plana e Geometria Analítica. O tutorial do Geogebra, como também

alguns trabalhos com a utilização deste software, estão no site

www.geogebra.org/en/upload.

A seguir apresentamos duas telas demonstrativas do ambiente do Geogebra:

http://www.geogebra.org/en/upload

72

Figura 14 - Duas Telas feitas no software Geogebra

Este software é 2D, portanto não permite que se trabalhe com objetos

matemáticos no espaço, como superfícies esféricas.

Outro software geométrico é o Graphmática, que foi criado por Keith Hertzer,

um bacharel em Engenharia Elétrica e Ciência da Computação. Tem por

característica trabalhar em 2D (duas dimensões) e nele pode-se representar

funções, situações de Cálculo Diferencial e Integral, de Geometria Plana e de

Trigonometria. Ele permite que parâmetros sejam construídos, e também trabalha

ângulos em graus ou radianos, representa coordenadas cartesianas ou polares,

dentre outras explorações.

No quadro a seguir apresentamos duas telas deste ambiente de Geometria

Dinâmica.

Figura 15 - Duas telas criadas no software Graphmática

73

Por trabalhar em 2D, não possibilita o trabalho com o objeto matemático

Superfície Esférica, portanto não auxilia na exploração do objeto matemático do

presente estudo.

Citamos também o software Winplot, gratuito, desenvolvido pelo professor

Richard Parris da Philips Exeter Academy, por volta de 1985. Pode ser encontrado

em versões em mais de seis idiomas, inclusive em português-Brasil.

É um software “leve”, ou seja, adapta-se a sistemas operacionais mais

antigos como também roda em computadores com configurações mais “modestas”.

É um “plotador” de gráficos e possui uma boa interface gráfica

No conteúdo de superfícies esféricas, este software explora os registros

gráfico, algébrico e numérico. Apesar de o Winplot ser bastante utilizado, não o

classificamos como dinâmico por não possuir a manipulação das figuras que

permita conversões no sentido do gráfico para o algébrico ou para o numérico. Este

software realiza mudanças nas representações gráficas apenas quando alteramos

os elementos nas representações numéricas (coordenadas) ou mesmo nas

representações algébricas. O Winplot não permite manipulação e alterações quando

o objeto é o próprio gráfico. Não estamos com isso desvalorizando o software que

possui muitos recursos que podem realmente auxiliar e favorecer o ensino de várias

áreas da Matemática. Ele somente não é o mais adequado para a proposta do

presente estudo.Apresentamos a seguir a tela inicial do Winplot.

Figura 16 - Imagem inicial do software Winplot

Como exemplos de softwares do tipo CAS (Computer Algebra System),

apresentamos O Mathematica, o Maple e o Mathlab.

O software Matlab ( MATrix LABoratory) é interativo de alta performance e

voltado para o cálculo numérico. Integra a análise numérica, cálculo com matrizes,

processamento de sinais e construção de gráficos em um ambiente fácil de usar.

74

Tem como elemento básico de informação uma matriz que não requer

dimensionamento.

Figura 17 - Imagem do software MATLAB Fonte: http://www.sai.msu.su/sal/A/MATLAB.html

O Maple é uma linguagem de computação que possui quatro aspectos gerais

que são a computação algébrica, a computação numérica, a computação gráfica e a

programação. Este software possui esses aspectos de modo integrado, ou seja,

trabalha de maneira simultânea com eles. O sistema Maple é um sistema

matemático simbólico interativo, o qual possui recursos para resolver questões de

cálculo algébrico, para interpretação de conceitos e visualização gráfica.

75

Figura 18 - Software Maple

No conteúdo de superfícies esféricas, o software apresenta os registros

gráfico, simbólico-algébrico e numérico, porém denota que o usuário tenha domínio

de uma linguagem específica do software, cuja familiarização seria mais complexa.

Mathematica é um software que surgiu na década de 60 e, já nesse período,

destacou-se por permitir a um único sistema tratar os diferentes aspectos de

computação técnica de uma forma coerente e unificada. A versão 1.0 do

Mathematica teve grande impacto na Física, Engenharia e Matemática. Com o

passar dos anos, o Mathemática tornou-se uma ferramenta importante em vários

campos, sendo eles técnicos ou não. Atualmente é usado na Física, Biologia, em

Ciências Sociais, além de outros. Possui uma diversidade de usuários. Em nível

técnico, o Mathematica é considerado como um dos grandes feitos em engenharia

de software. Este software foi criado por uma equipe de nível mundial na Wolfarm

Reserarch, liderados pelo fundador Stephen Wolfram.

76

Figura 19 - Software Mathematica

No conteúdo de superfícies esféricas, observando algumas construções e

informações apresentadas no site do software, são explorados os registros gráfico,

simbólico-algébrico e numérico, porém, por não obtermos acesso ao programa, dado

o alto custo de aquisição, não temos considerações quanto à facilidade de

manuseio, como também quanto ao aspecto dinâmico desse software.

A seguir faremos a apresentação do software “eleito” como ferramenta em

nosso trabalho de pesquisa, o Cabri 3D. Ele foi considerado o mais adequado em

relação aos nossos objetivos e à nossa proposta de trabalho, que visou a integração

entre registros semióticos em um ambiente dinâmico. Não poderíamos utilizar, por

exemplo, o Geogebra e o Graphmática que, apesar de serem softwares de

geometria dinâmica, trabalham no plano e não no espaço. O Winplot,mesmo

trabalhando no espaço, não é um software de geometria dinâmica, portanto não

caberia a sua utilização em nosso trabalho de pesquisa. Os softwares Maple e

Mathematica são ferramentas de alto custo e, com isso, suas aquisições são

inviáveis para a maioria das instituições de ensino.

O Cabri 3D surgiu em 2004, desenvolvido por Cabrilog, companhia de

ambientes de Geometria Dinâmica Cabri II e Cabri 3D. Esta tecnologia nasceu nos

laboratórios do Centre National de La Recherche Scientifique (CNRS) na França e

na Universidade Joseph Fourier em Grenoble.

Este software permite que o usuário construa, visualize a manipule vários

tipos de objetos tridimensionais. Estas construções são dinâmicas, podendo ser

simples ou mais complexas.

77

Neste ambiente encontramos registros de representação do objeto

matemático em coordenação simultânea, ou seja, ao manipularmos uma das

representações do objeto, todas as outras representações expostas no ambiente

também acompanham as mudanças referentes ao seu tipo de representação,

conforme ilustrado a seguir.

Figura 20 - Exemplo do dinamismo do Cabri 3D em duas telas

78

No manual do software Cabri 3D, também disponível através de download no

site da equipe CABRILOG, são detalhadas as ferramentas, funções, exemplos que

descrevem com mais precisão o que o software oferece.

Atualmente o Cabri 3D encontra-se na sua segunda versão, a qual possui

novas ferramentas como produto vetorial, produto escalar, soma de vetores,

coordenadas e equações, homotetia e inversão.

Apresentaremos, a seguir, figuras do software mostrando algumas de suas

ferramentas. Em função de nosso objeto de estudo, optamos pela apresentação dos

comandos relacionados às superfícies esféricas:

Figura 21 - Imagem extraída do manual do Cabri 3D


79


Figura 24 - Superfície Esférica construída do software Cabri 3D

80

4. METODOLOGIA DA PESQUISA

4.1. A METODOLOGIA DOS DESIGN EXPERIMENTS

Tendo em vista que este estudo se caracteriza como uma pesquisa

qualitativa, na qual objetivamos interpretar os fenômenos que serão observados,

descrevendo-os, compreendendo-os e dando o seu significado neste processo,

adotaremos a Metodologia do Design Experiments de Cobb et al. (2003).

Essa metodologia possui cinco características. Primeiramente podemos

caracterizar um Design Experiment pelo seu caráter pragmático. O seu propósito é

desenvolver um experimento que possibilite a aprendizagem dos estudantes, através

de meios elaborados nesse processo de aprendizagem. Apesar de teorias serem

desenvolvidas durante todo o processo, estas são modestas, pois já estão

relacionadas a um domínio específico do processo de aprendizagem.

A segunda característica do Design Experiment é a intervenção do professor-

pesquisador. Segundo Cobb et al. (2003), a intenção é investigar possibilidades de

melhoria na Educação Matemática, favorecendo novas formas de aprendizagem.

Para a preparação do Design Experiment utilizam-se inúmeras pesquisas

realizadas na área. Estudam-se os resultados e teorias. Neste processo de criação

de formas de aprendizagem, ocorrem inter-relações com outras pesquisas, por

estarem relacionadas a fatores pertinentes encontrados pelo pesquisador.

Como terceira característica do Design Experiment temos a condição de

desenvolver modelos a partir de uma hipótese. Segundo Cobb et al. (2003), esta

teria uma face prospectiva e outra reflexiva. A prospectiva é posta em prática, de

forma expositiva, com suposições sobre processos de aprendizagem e de como

estas podem possibilitar a aprendizagem. Com isso, abrem-se novas possibilidades

para o surgimento de caminhos que facilitem esta aprendizagem. Quanto à face

reflexiva, esta pretende testar frequentemente conjecturas do experimento.

Design Experiment é justamente uma conjectura sobre os meios que

possibilitam uma forma particular de aprendizagem e, durante a aplicação do

experimento, as conjecturas elaboradas podem ser reformuladas e testadas.

Portanto, os aspectos prospectivo e reflexivo do Design Experiment revelam

sua quarta característica, que é seu aspecto cíclico. As novas conjecturas que

81

podem surgir devem ser submetidas a novos testes, o que resulta num processo

cíclico de elaboração e revisão.

Deve-se levar em conta que a preparação e organização dos ciclos denotam

uma atenção sistemática para que se comprove a aprendizagem, como também se

faz necessário um desenvolvimento paralelo, a fim de colaborar neste processo de

aprendizagem. Este resultado da aprendizagem torna-se o foco da investigação

durante este processo cíclico, sendo que estas mudanças objetivam a melhoria do

projeto inicial (COBB et al.,2003).

A quinta característica do Design Experiment, segundo Cobb et al. (2003),

reflete seu caráter pragmático, novamente levando em conta que as teorias e

modelos desenvolvidos em todo o processo de experimentação são relativamente

modestos, pois se preocupam com os processos de aprendizagem de domínios

específicos aos quais já estão relacionados.

A estruturação do trabalho de pesquisa neste tipo de metodologia necessita

que estabeleçamos algumas etapas que a orientarão. Primeiro apresentando a

questão de pesquisa, em seguida fazendo a identificação e a descrição de modelos

sucessivos do pensamento do estudante com base no levantamento bibliográfico de

pesquisas já existentes, respaldando e delimitando o objetivo desta investigação.

Cria-se um experimento inicial, o qual poderá sofrer alterações e a inserção

de novos elementos, sempre objetivando a melhoria do processo de aprendizagem.

Estas mudanças ocorrem ao analisarmos a produção dos sujeitos ao conduzirmos o

experimento. O experimento deve, então, ser adaptável à produção dos mesmos

(característica inerente à metodologia do Design Experiment), isto porque não

podemos prever todos os passos dos sujeitos, como também como cada um se

comporta perante o processo de participação no experimento.

Em todo o processo do trabalho de pesquisa, o pesquisador deve fazer

análises retrospectivas, objetivando melhorar o modelo anteriormente aplicado. A

análise final e geral do projeto deve ser crítica e clara, propiciando estudos

posteriores que deem continuidade à sua pesquisa.

Essa metodologia voltada à Educação Matemática , que teve sua origem na

década de setenta nos Estados Unidos, buscando preencher a intermitência

existente entre a prática de pesquisa e a prática de ensino, como também a

necessidade de uma metodologia voltada à aprendizagem da Matemática, já que os

modelos utilizados até então eram adaptados de outras áreas, abrange diversos

82

elementos de aprendizagem como também permite sua adaptação e reconstrução

durante todo o processo, por meio da análise e da interação da teoria e prática do

pensamento matemático.

Este tipo de metodologia tem como objetivo analisar os processos de ensino e

aprendizagem de domínios específicos, prevendo adaptações de acordo com os

comportamentos apresentados pelos sujeitos durante a participação no design.

Por ser uma metodologia mais complexa e interativa que abrange diversos

elementos de aprendizagem e permite sua adaptação e reconstrução durante todo o

processo, é considerada uma ecologia de aprendizagem. Essa reconstrução é feita

através da interação entre objetos e indivíduos e da modelagem desses elementos,

como também a antecipação de como esses elementos funcionam quando em

conjunto, sendo um apoio neste processo de aprendizagem.

Quando se utiliza, portanto, a metodologia do Design Experiments, o

pesquisador objetiva a construção de modelos de Matemática dos sujeitos, ou seja,

o pesquisador procura enxergar o que há por trás de suas produções, procurando

compreender as “suas realidades matemáticas”. Mas, em sendo considerada uma

ecologia da aprendizagem, vai-se além de questões propostas aos sujeitos, levando-

se em consideração possíveis desenvolvimentos, organização e normas a serem

seguidas em todo o processo, ferramentas e materiais a serem utilizados como

também o significado das relações entre esses elementos.

É importante citar que o Design Experiment, ao colocar a análise do

pesquisador de maneira proeminente, é reputado como método científico, já que

constitui uma estratégia para a produção de conhecimento.

O Design Experiment pode incluir um ou mais sujeitos, uma testemunha em

todo o processo de ensino, o professor-pesquisador, como agente pedagógico, um

observador e um método para que sejam registrados todos os acontecimentos

durante a aplicação das atividades. Estes registros serão de total importância na

seqüência destas atividades como também no direcionamento das mesmas de

acordo com a análise conceitual do Design Experiment. (Steffe; Thompson, 2000).

Para a obtenção destes registros, pode-se fazer, na aplicação das atividades,

a utilização de diferentes recursos de coleta, tais como softwares próprios de

recuperação de dados, máquinas fotográficas, gravadores, filmadoras, dentre outros.

A escolha dos recursos deve ser feita visando que o pesquisador tenha um bom

material para análise das atividades propostas aos sujeitos.

83

Nesta metodologia, por muitas vezes os papéis são redistribuídos, de tal

forma que o papel de professor é atribuído ao pesquisador. Desta forma, ao

desenvolver um trabalho no qual o papel é duplo, tem-se o professor-pesquisador.

A seguir faremos a relação do nosso estudo no contexto desta metodologia.

4.2. RELAÇÃO DE NOSSO ESTUDO COM A METODOLOGIA DOS DESIGNS

EXPERIMENTS

Adotamos a Metodologia do Design Experiments por ser complexa e

interativa, por abranger diversos elementos de aprendizagem e permitir posteriores

adaptações e reconstruções das atividades, conforme análises da produção dos

sujeitos.

Tivemos por objetivo propor um experimento de ensino diferenciado sobre

superfícies esféricas, elaborado de forma a integrar os diversos registros de

representação semiótica, em especial o gráfico, no ambiente Cabri 3D. Esperava-se,

com sua aplicação, levantar as possíveis contribuições dos sujeitos, sendo que estas

foram incorporadas ao design, dadas as características iterativa e cíclica deste tipo

de metodologia.

Ao adotarmos esta metodologia, acreditávamos na produção de um processo

de ensino significativo, com a possibilidade de futuras inovações.

O design foi composto de três fases. A primeira foi representada pela

construção do experimento preliminar pelo professor-pesquisador, com base na

problemática evidenciada no ensino de Geometria Analítica. A segunda fase foi

representada pela aplicação das situações a pesquisadores da área de Educação

Matemática, a fim de coletar suas impressões a avaliações diante de um

experimento de ensino diferenciado sobre superfícies esféricas. As contribuições

fornecidas por este grupo foram incorporadas à primeira versão, promovendo o

redesign das atividades. A terceira fase consistiu na aplicação das atividades

redesenhadas a duas duplas de estudantes, a fim de avaliar suas produções e

investigar em que aspectos a abordagem construída influenciaria na construção do

conceito.

84

4.2.1. Sujeitos

Como o design foi composto de duas fases de experimentação, tivemos dois

grupos de sujeitos. Um deles, referente à primeira fase, foi um grupo de treze

indivíduos que atuavam como professores e pesquisadores na área de Educação

Matemática. Destes, sete sujeitos atuavam no ensino superior e os demais apenas

no ensino médio. Apenas seis conheciam o software Cabri 3D. O segundo grupo,

referente à segunda fase do experimento, foi composto por quatro sujeitos que já

havia estudado Geometria Analítica, mas não o conteúdo de superfícies esféricas.

Salienta-se que estes não conheciam o Cabri 3D.

4.2.2. Papel do Professor-Pesquisador

Para definir o papel do professor neste tipo de metodologia, coube-nos citar

que o objetivo principal do professor-pesquisador era, sem dúvida, estabelecer

modelos vivos da atividade matemática dos estudantes. Coube então ao professor

proporcionar e criar meios que encorajassem mudanças no modo de pensar dos

estudantes.

O professor deveria reconhecer a linguagem matemática como também as

ações dos estudantes por meio de uma comunicação que deveria ser estabelecida,

ocorrendo assim uma interação.

Nesse processo, o professor poderia deparar-se com os sujeitos operando de

modo inesperado, o que deveria direcioná-lo a uma interpretação alternativa, a qual

poderia ser proporcionada por outro observador que o auxiliaria na aplicação das

atividades. Isto porque, por estar envolvido nesta interação com os sujeitos, talvez

pudesse encontrar dificuldades para refletir e tomar alguma atitude. Dado que

exercer essas duas funções, de interagir e atuar fora dela, pode realmente ser muito

difícil ao professor-pesquisador, sugere-se a participação de um observador na

aplicação das atividades.

Para que haja uma conclusão eficaz do trabalho de pesquisa por meio da

metodologia do Design Experiments, o professor-pesquisador deveria refletir quanto

às contribuições feitas pelos sujeitos, e não abster-se ao que eles responderam ou

fizeram em determinado momento.

85

O professor-pesquisador então deveria procurar auxiliar os participantes,

fazendo intervenções quando necessário, na forma de novos questionamentos e

situações.

4.2.3. Material e Ambiente de Trabalho

Foram elaboradas dez atividades propostas em dois ambientes: papel e lápis

e o ambiente do Cabri 3D. Estas foram organizadas em fichas individuais que foram

entregues aos elementos do grupo. Como trabalhamos com o software Cabri 3D,

utilizamos uma sala com computadores com o programa já instalado. Também

utilizamos um software de captura das telas do computador e áudio-gravação tanto

da fala dos estudantes como do professor-pesquisador, complementando assim a

nossa coleta de dados.

4.2.4. Hipóteses iniciais

Tivemos por hipótese que o experimento permitiria um contato diferenciado

com o objeto matemático, favorecendo a análise das relações entre suas diversas

representações, permitindo o levantamento de conjecturas e o trabalho de validação.

Ainda, teve-se por hipótese que o dinamismo do Cabri 3D favoreceria ao aluno

observar com mais detalhes as relações entre os registros, tendo em vista a

possibilidade de visualização simultânea dessas relações.

No próximo capítulo, apresentaremos as atividades que compuseram a

primeira fase do design.

86

5. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DO EXPERIMENTO DE ENSINO

Serão apresentadas, neste capítulo, as dez atividades elaboradas pelo

professor-pesquisador, que envolveram tanto tarefas que exploraram tratamentos no

interior do registro simbólico-algébrico, como conversões entre os registros gráfico,

simbólico-algébrico, numérico e da lingua natural inerentes às Superfícies Esféricas.

Será apresentada a descrição de cada atividade, juntamente com seus objetivos

gerais e específicos. Serão ressaltadas, também, as possíveis dificuldades

esperadas por parte dos estudantes, de acordo com as observações das pesquisas

relacionadas na revisão bibliográfica do presente trabalho. As análises preliminares

serão realizadas do ponto de vista do estudante, visando avaliar se os professores,

sujeitos de uma das fases da presente pesquisa, confirmam nossas hipóteses.

Antes dessas atividades, será realizada uma atividade de familiarização,

conforme exposto no Anexo I.

5.1. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 1

A Atividade 1, apresentada no quadro 11, tem por objetivo fornecer um

ambiente de experimentação no software que proporcione ao estudante a

observação de que a superfície esférica é o lugar geométrico cujos pontos

eqüidistam de um ponto fixo denominado centro. Além do tratamento experimental,

pretende-se que o estudante, por meio da conversão do registro gráfico para o

simbólico-algébrico, determine a equação reduzida da superfície esférica observada,

que tem centro no ponto C=(0,0,0) e raio igual ao módulo do vetor construído.

ATIVIDADE 1: SUPERFÍCIES ESFÉRICAS COM CENTRO NA ORIGEM DO

SISTEMA

Considere o sistema de coordenadas ortonormais

Tarefa a) Construa um vetor com origem na origem do sistema e determine o

seu módulo. Em seguida, construa uma superfície esférica com centro

na origem e raio igual à medida do vetor. Altere o estilo da superfície

esférica, para large dots.

Tarefa b) Determine, no software, a distância do centro (0,0,0) à qualquer ponto

87

ATIVIDADE 1: SUPERFÍCIES ESFÉRICAS COM CENTRO NA ORIGEM DO

SISTEMA

da superfície esférica. O que você observa?

Tarefa c) Partindo dessa constatação, determine, no ambiente papel e lápis, a

equação da superfície esférica com centro na origem (0,0,0) e raio

numericamente igual ao módulo do vetor obtido na tela. Compare sua

resposta com a apresentada pelo software.

Tarefa d) Alterando o raio, por meio de manipulações na extremidade do vetor

construído, o que ocorre com a equação da superfície esférica?

Quadro 10 - Atividade 1

A Tarefa a é desenvolvida no Cabri 3D e visa à construção de um vetor e o

cálculo de seu módulo, bem como a determinação da superfície esférica com centro

na origem e raio igual à medida do vetor. Ela envolve uma conversão da língua

natural escrita para o registro gráfico.

Na Tarefa b, também desenvolvida no ambiente computacional, pretende-se

que, utilizando o comando de distância presente no software, o estudante observe

que a distância entre o ponto (0,0,0) e qualquer ponto da superfície esférica se

mantém. Nesta tarefa, pretende-se que o estudante realize uma interpretação do

gráfico para a língua natural escrita. Nestas duas últimas tarefas, não são esperadas

dificuldades por parte dos estudantes, uma vez que envolvem o trabalho com

comandos do software.

A Tarefa c requer a determinação da equação da superfície esférica no

ambiente papel e lápis, envolvendo uma conversão do registro gráfico para o

simbólico-algébrico. É provável que o estudante apresente dificuldades para iniciar a

tarefa, uma vez que ela demanda a relação entre a situação proposta e a

determinação de distância entre dois pontos, sendo um deles a origem e o outro um

ponto genérico da superfície esférica. Além disso, de acordo com algumas

pesquisas que citamos em nossa referência bibliográfica, tais como Pavlopoulou

(1993) e Bittar (1998), as mesmas mostraram que os estudantes apresentam

dificuldades no registros simbólico-algébrico e na conversão do mesmo para o

registro gráfico. Caso essa dificuldade ocorra, o professor-pesquisador lançará

88

outros questionamentos ou atividades adicionais que tratem do cálculo de distância

entre dois pontos, a fim de favorecer ao estudante a compreensão da situação.

Na Tarefa d pretende-se que o estudante coordene as representações gráfica

e simbólico-algébrica, observando que, ao alterar a distância d, a qual equivale ao

raio da superfície esférica, somente o termo do segundo membro da equação

reduzida é alterado. Tal fato é possível pela característica dinâmica do software

adotado, uma vez que todas as representações se adaptam à alteração realizada.

Neste caso, será realizada uma conversão entre os registros gráfico, numérico e

simbólico-algébrico. Não são esperadas dificuldades nesta tarefa, tendo em vista

que ela consiste na observação, no ambiente computacional, da relação entre o

registro gráfico e o algébrico.

A seguir, será apresentado um exemplo da resolução esperada para cada

Tarefa da Atividade 1.

Na Tarefa a, espera-se que o estudante realize a seguinte construção:

Figura 25 - Tarefa a da Atividade 1: construção no Cabri 3D

Na Tarefa b, por meio dos recursos do Cabri, espera-se que o estudante se

depare com a seguinte representação:

89

Figura 26 - Tarefa b da Atividade 1: construção no Cabri 3D

Espera-se que o estudante relate que a distância é a mesma. Ao interpretar

que esta distância é constante, espera-se que consiga expressar sua compreensão

sobre Superfície Esférica, concluindo que a distância entre qualquer ponto dessa

superfície e seu centro se mantém.

Na Tarefa c, realizada no ambiente papel e lápis, espera-se que o estudante

observe que o centro está na origem (0,0,0), portanto, a distância entre qualquer

ponto (x,y,z) da superfície esférica e a origem é constante e igual a 3,1.

Acreditamos que o estudante relacione a determinação da distância entre dois

pontos para chegar assim à equação da superfície esférica.

Espera-se que o estudante desenvolva a seguinte relação:

E, sendo a origem o centro da superfície esférica, a terna ( ) assume

os valores (0,0,0), logo tem-se:

Na Tarefa d, o estudante poderá verificar, via comando do software, se a

equação por ele determinada no ambiente papel e lápis está correta.

90

Figura 27 - Tarefa d da Atividade 1: construção no Cabri 3D

Avaliando o resultado da atividade c, caso as equações sejam diferentes, o

professor-pesquisador fará questionamentos do tipo: “Como poderíamos explicar o

valor obtido na atividade b, cuja distância entre o centro e qualquer ponto da

superfície esférica sempre resultou no valor de 3,1?” ou a inserção de outras

atividades que tratem dessa questão.

Na Tarefa d, trabalhar-se-á com o dinamismo do ambiente Cabri 3D. Espera-

se que o estudante, ao alterar o valor da distância d, observe que há alteração

somente no raio da Superfície Esférica e que este equivale ao termo do segundo

membro de sua equação reduzida. As figuras seguintes ilustram esse tipo de

manipulação no software.

exemplo de movimentação: deslocamento do ponto


91

exemplo de movimentação: redução da distância d


exemplo de movimentação: aumento da distância d


92


A atividade 2, proposta no ambiente papel e lápis, tem por objetivo avaliar em

que medida o trabalho anterior no software permitiu ao estudante detectar o centro e

o raio da superfície esférica com centro na origem, em situações propostas no

registro simbólico-algébrico, sem o auxílio do recurso computacional.

ATIVIDADE 2: DETERMINAÇÃO DE CENTRO E RAIO DE SUPERFÍCIE

ESFÉRICA COM CENTRO NA ORIGEM

Considere o sistema de coordenadas ortonormais Determine, nas

equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica:

a)

b)

c)

d)


Nas tarefas a e b, espera-se que o estudante reconheça o centro e o raio de

uma superfície esférica dada na sua equação reduzida. A tarefa envolve uma

conversão da língua natural escrita em seu enunciado e a representação simbólico

algébrica nas equações propostas para o registro numérico. Não são esperadas

dificuldades por parte dos estudantes nestas duas tarefas, dada que a necessidade

da interpretação do registro simbólico-algébrico em relação ao objeto matemático foi

explorada na atividade anteriormente proposta no ambiente computacional. Caso

ocorram dificuldades, o professor-pesquisador lançará outros questionamentos ou

relembrará o estudante da atividade anteriormente proposta, solicitando, assim,

experimentações adicionais no software.

Já nas tarefas c e d, pretende-se observar se o estudante nota que, para

determinar o centro e o raio por comparação com as equações fornecidas no

software, os coeficientes de x2, y2 e z2 devem ser iguais a um. Logo esta equação

deve ser simplificada pelo valor 2 antes da determinação do centro e do raio.

Serão apresentados, a seguir, exemplos de resoluções esperadas para cada

tarefa da Atividade 2:

93

Na tarefa a da atividade 2, espera-se que o estudante estabeleça uma

conversão do registro simbólico-algébrico para o registro numérico, partindo da

equação para determinar o centro e o raio da superfície esférica.

a)

b)

c)

d) 3x2+3y

2+3z

2=17

94


A atividade 3 tem por objetivo trabalhar com o reconhecimento de equações

de superfícies esféricas, diferenciando-as, no registro simbólico-algébrico, de outros

objetos matemáticos da Geometria Analítica.

ATIVIDADE 3: RECONHECIMENTO DE EQUAÇÕES DE SUPERFÍCIES

ESFÉRICAS

Considere o sistema de coordenadas ortonormais Entre as

equações seguintes, identifique as que representam uma superfície

esférica. Justifique.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)


A atividade 3 é desenvolvida no ambiente papel e lápis e visa o

reconhecimento, no registro simbólico algébrico, do objeto matemático Superfície

Esférica. As tarefas envolvem relações entre os registros da língua natural e

simbólico-algébrico, conversões entre este e o registro numérico e tratamentos no

registro simbólico-algébrico. Espera-se que as atividades anteriores sejam

suficientes para que o estudante identifique as equações de superfícies esféricas.

Caso ocorram dificuldades, o professor-pesquisador questionará o estudante com

relação às características observadas nas atividades anteriores. Pretende-se, neste

experimento, que o mesmo consiga reconhecer o objeto matemático independente

da representação que lhe é apresentada.

A seguir, apresenta-se um exemplo de resolução esperada para as tarefas

desta atividade:

95

a)

Ao determinar r = , verifica-se que não é possível

b)

Sim, ela representa uma superfície esférica de centro C=(0,0,0) e raio=

c)

Não representa uma superfície esférica, pois y não está elevado ao quadrado.

d)

Não representa uma superfície esférica, pois os coeficientes de x2, y2 e z2 não

são iguais.

e)

Representa uma superficie esférica. Fazendo tratamentos na equação temos:

Portanto o centro da superfície: é C=(0,0,0) e o raio r= =3

f)

Não representa uma superfície esférica, pois não tem o z2.

g)

Não representa uma superfície esférica, pois não tem z2 e o y não está

elevado ao quadrado.

h) Não representa uma superfície esférica.

96


A atividade 4 tem por objetivo explorar, de forma experimental, superfícies

esféricas com centro fora da origem do sistema S=(0, i,j,k).

ATIVIDADE 4: SUPERFÍCIES ESFÉRICAS COM CENTRO FORA DA ORIGEM

DO SISTEMA


Tarefa a) Crie um ponto no espaço, fora do plano de referência, e determine as

suas coordenadas;

Tarefa b) Crie um vetor com origem neste ponto e extremidade em outro ponto

fora do plano de referência. Determine o seu módulo;

Tarefa c) Crie uma superfície esférica com centro na origem do vetor e raio

numericamente igual ao módulo deste vetor;

Tarefa d) Expresse a equação desta superfície esférica por meio do software;

Tarefa e) Com o botão esquerdo, selecione o vetor (não as extremidades) para

deslocar a esfera. Descreva o que você observa no gráfico e na

equação.

Tarefa f) Agora altere a extremidade do vetor e descreva o que você observa no

gráfico e na equação.

Tarefa g) Determine o comprimento do vetor e altere a sua extremidade.

Tarefa h) Relate o que ocorre na equação


A Tarefa a é desenvolvida no Cabri 3D e visa a criação de um ponto fora do

plano de referência e a determinação de suas coordenadas. Ela envolve uma

conversão da língua natural escrita para os registros gráfico e numérico.

Na Tarefa b, também desenvolvida no ambiente computacional, tem-se por

objetivo a criação de um vetor cuja origem seja o ponto criado na Tarefa a e cuja

extremidade também esteja fora do plano de referência. Temos nesta tarefa a

conversão da língua natural para os registros gráfico e numérico. Ainda nesta tarefa,

o estudante poderá utilizar-se dos recursos do software para a determinação do

97

módulo do vetor, obtendo na tela do computador a apresentação simultânea dos

dois tipos de registro: o registro gráfico e o numérico.

Tanto na Tarefa a como na Tarefa b não são esperadas dificuldades por parte

dos estudantes, pois as mesmas envolvem um trabalho com os comandos do

software.

Na Tarefa c pretende-se que o estudante crie, por meio dos recursos

oferecidos pelo software, uma superfície esférica que tenha como centro o ponto da

Tarefa a e medida de raio igual ao módulo do vetor criado na Tarefa b.

Provavelmente os estudantes não apresentarão dificuldades na execução

dessa tarefa, por ser trabalhada com os recursos do Cabri 3D explorados em tarefas

anteriores. Tem-se neste caso, uma conversão da língua natural para o registro

gráfico.

Na tarefa d, o sujeito determinará a equação da superfície esférica. Nas

tarefas e, f, g e h, pretende-se que o estudante observe as relações entre as

representações gráfica e algébrica do objeto matemático superfície esférica.

Isto é possível devido ao aspecto dinâmico do software, pois, por exemplo,

quando o raio da superfície esférica é alterado, pode-se observar o impacto que isso

causa nos registros gráfico e simbólico-algébrico.

Com isso, pretende-se fornecer ao estudante um ambiente de

experimentação que permita coordenar esses dois registros. Provavelmente esta

tarefa será realizada sem dificuldades, já que consiste na utilização de comandos do

software.

Caso o estudante não relate satisfatoriamente as relações observadas, o

professor-pesquisador intervirá no processo, por meio de questionamentos.

A seguir, apresenta-se a resolução de cada tarefa desta atividade.

Tarefa a) Crie um ponto fora do plano de referência, no espaço e determine as suas

coordenadas;

Espera-se que o estudante crie a seguinte representação no ambiente do Cabri 3D:

98

Figura 31 - Tarefa a da Atividade 4 - construção no Cabri 3D

Tarefa b) Crie um vetor com origem neste ponto e extremidade fora do plano de

referência e determine o seu módulo;

Figura 32 - Tarefa b da Atividade 4 - construção no Cabri 3D

Tarefa c) Crie uma superfície esférica com centro na origem do vetor e raio igual ao

módulo deste vetor;

99

Figura 33 - Tarefa c da Atividade 4 - construção no Cabri 3D

Tarefa d)Expresse a equação desta superfície esférica por meio do software;

Figura 34 - Tarefa d da Atividade 4 - construção no Cabri 3D

100

Tarefa e)Com o botão esquerdo, selecione o vetor para deslocar a esfera.

Figura 35 - Tarefa d da Atividade 4 - construção no Cabri 3D

Tarefa f) O que você observa?

Podemos observar que, com o deslocamento realizado, a figura apenas se desloca,

alterando o centro, mas não o raio. Na equação, é possível observar que os valores

que representam o centro da superfície esférica mudam a cada movimento do objeto

matemático, mas o valor do segundo membro se mantém.

Tarefa g) Determine o comprimento do vetor e altere a sua extremidade.

101

Figura 36 - Tarefa g da Atividade 4 - construção no Cabri 3D

Tarefa h) relate o que ocorre na equação:

Podemos observar que há mudança no raio e, conseqüentemente, apenas o

segundo membro da equação altera.

5.5 - APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 5

Na Atividade 5, pretende-se avaliar se o trabalho experimental no software

forneceu ao estudante condições de determinar o centro e o raio de uma superfície

esférica a partir do registro simbólico-algébrico.

102

ATIVIDADE 5 - DETERMINAÇÃO DO CENTRO E RAIO DE UMA SUPERFÍCIE

ESFÉRICA A PARTIR DO REGISTRO SIMBÓLICO-ALGÉBRICO

Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Determine nas

equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica:

a)

b)

c)


Na Atividade 5, tem-se por objetivo determinar o centro e o raio de uma

superfície esférica a partir do registro simbólico-algébrico. As três tarefas envolvem

relações entre os registros da língua natural e simbólico algébrico e uma conversão

deste para o registro numérico, para a determinação das coordenadas do centro da

superfície esférica e do raio da mesma. Espera-se que os estudantes não

apresentem dificuldades nas tarefas a e b, uma vez que observaram anteriormente

no software, as relações entre os registros gráfico e simbólico-algébrico. Já na tarefa

c, talvez o estudante apresente dificuldades, caso não observe a necessidade de

simplificar toda a equação pelo valor 3. Caso haja a necessidade de intervenção do

professor-pesquisador, este solicitará aos estudantes a análise de novas situações

no software, para que os estudantes observem novamente as relações entre os

registros gráfico e simbólico-algébrico.

A seguir, são apresentadas as resoluções esperadas nestas tarefas.

Tarefa a

103

Tarefa b

Tarefa c.

5.6 – APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE 6

Da mesma forma que a Atividade 3, esta atividade tem por objetivo

trabalhar com o reconhecimento de equações de superfícies esféricas, porém,

incluindo os casos em que a superfície esférica tem centro fora da origem.

ATIVIDADE 6 - RECONHECIMENTO DE EQUAÇÕES DE SUPERFÍCIES

ESFÉRICAS


Das equações seguintes, identifique as que representam uma superfície esférica e

justifique:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)


A Atividade 6 é desenvolvida no ambiente papel e lápis e visa o

reconhecimento, no registro simbólico-algébrico, do objeto matemático superfície

104

esférica, porém, englobando também os casos em que a superfície esférica não tem

centro na origem. Todas as tarefas envolvem relações entre os registros da língua

natural e simbólico-algébrico, conversões entre este último e o registro numérico,

além de tratamentos no registro simbólico-algébrico. Espera-se que as atividades

anteriores sejam suficientes para que o estudante identifique as equações de

superfícies esféricas. Caso ocorram dificuldades, o professor-pesquisador

questionará o estudante com relação às características observadas nas atividades

anteriores, propondo novas análises no software.

Espera-se que o estudante reconheça a representação algébrica de uma

superfície esférica, identificando que apenas as equações (x-1)² +( y+2)²+(z-1)²=8 e

(x+0,2)² +y2+(z-1)²=16 representam superfícies esféricas.

É esperado que o aluno apresente justificativas semelhantes às apresentadas

a seguir.

Tarefa a)

Os coeficientes de x2, y2 e z2 não são iguais, então não é uma superfície esférica.

Tarefa b)

Espera-se que o estudante observe que é uma superfície esférica de centro

C=(1,-2,1) e raio 8

Tarefa c)

A justificativa que provavelmente seja apresentada pelo estudante é que a equação

não representa uma superfície esférica pois o segundo membro é negativo, não

podendo então ser associado ao

Tarefa d)

Espera-se que o estudante observe que não é uma superfície esférica pois y não

está ao quadrado.

Tarefa e)

Espera-se que o estudante observe que não é uma superfície esférica pois aparece

o termo .

105

Tarefa f)

Espera-se que o estudante, por comparação com a equação da superfície esférica

obtida, observe que a equação dada apresenta apenas duas variáveis, logo não

pode representar uma superfície esférica

Tarefa g) Nessa tarefa, espera-se que o estudante reconheça que a equação dada é

de uma superfície esférica com centro e raio 4.


A Atividade 7 tem por objetivo observar se os estudantes detectam os

elementos necessários para a determinação da equação de uma superfície esférica

partindo de seu registro gráfico. Nesta atividade, não serão apresentados o centro e

o raio da mesma, cabendo ao estudante determinar estes dados no software para a

posterior construção da equação.

ATIVIDADE 7 - DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA

PARTINDO DO REGISTRO GRÁFICO


Tarefa a) Abra o arquivo 1. Dada a superfície esférica na tela do Cabri, determine

sua equação no ambiente papel&lápis. Você pode utilizar qualquer comando do

software, exceto o comando de equação.

T Tarefa b) Verifique no software se a equação encontrada está correta. Relate se

está correta e, caso não esteja, registre no espaço abaixo as duas equações

obtidas. Em seguida, reflita sobre sua produção.


A Atividade 7 tem como ambientes de trabalho o Cabri 3D e o papel e lápis e

visa a determinação da equação da superfície esférica partindo do registro gráfico.

Na Tarefa a, que envolve conversões entre os registros gráfico, da língua natural e

106

simbólico-algébrico, pretende-se que o estudante detecte os elementos necessários

no registro gráfico para a construção da equação da superfície esférica. Neste caso,

espera-se que ele busque a determinação do centro e, por meio da distância entre o

centro e um ponto qualquer da superfície esférica, determine o seu raio. Espera-se

que o estudante, partindo dos conhecimentos construídos nas atividades realizadas

anteriormente, consiga representar a superfície esférica algebricamente sem que

haja intervenção do professor-pesquisador. Na Tarefa b, pretende-se que o

estudante avalie e valide sua produção utilizando o comando de determinação de

equação existente no software.

A seguir, apresenta-se a resolução esperada para estas tarefas.

Tarefa a) Dada a superfície esférica na tela do Cabri, determine sua

representação algébrica no ambiente papel e lápis. Você pode utilizar qualquer

comando do software, exceto o comando de equação.

O estudante encontrará a seguinte representação no Cabri 3D


107

Primeiro espera-se que o estudante determine as coordenadas do centro e,

em seguida, crie um ponto qualquer na superfície. Depois determine a distância

entre o centro e esse ponto, como apresentado no quadro a seguir.


Com o centro e o raio, espera-se que, no ambiente papel e lápis, o estudante

construa a seguinte resolução.

Tarefa b) Verifique no software se a equação encontrada está correta.

O estudante, no ambiente do Cabri, acionará o comando equações existente

na barra de ferramentas e clicará sobre a superfície, obtendo a equação da

superfície, como apresentado na figura a seguir:

108

Figura 38 - Tarefa b da Atividade 7 - construção no Cabri 3D

Poderá então comparar se a equação feita na Tarefa a coincide com a

apresentada pelo software Cabri 3D.

Caso não tenha acertado, o professor-pesquisador poderá questionar o

estudante com relação às atividades anteriores.


Esta atividade tem por objetivo investigar se o sujeito é capaz de fornecer a

equação genérica da superfície esférica, tanto na sua forma reduzida como na geral.

Ela envolve conversões da língua natural para o registro simbólico-algébrico e

tratamentos no registro simbólico-algébrico.

ATIVIDADE 8 - ATIVIDADE DE GENERALIZAÇÃO NO REGISTRO SIMBÓLICO-

ALGÉBRICO

a) Considere o sistema de coordenadas ortonormais

b) Tarefa a) Como você representaria a equação da superfície esférica de centro

C=(a,b,c) e raio r?

c) Tarefa b) Esta forma de representar a equação é denominada equação reduzida

109

de uma superfície esférica. Ao desenvolvê-la, obtém-se a equação geral da

superfície esférica.

Partindo disso, determine a equação geral da superfície esférica de centro

C=(a,b,c) e raio r.


Por meio da Atividade 8, pretende-se avaliar se o estudante, após o contato

com as atividades anteriores, determina a equação genérica do objeto superfície

esférica, tanto na forma reduzida como na geral. Esta atividade será realizada no

ambiente papel e lápis. Como alguns autores, tais como Karrer (2006) e Pavlopoulou

(1993), relataram as dificuldades dos estudantes com questões que envolvem este

tipo de tratamento no registro simbólico-algébrico,acreditamos que possam surgir

dificuldades na resolução da atividade. Se isso ocorrer, o professor pesquisador

lançará novos questionamentos, solicitando comparações com as tarefas anteriores,

a fim de auxiliar os estudantes nessa construção. A Tarefa b envolve tratamentos no

registro simbólico-algébrico. É provável que os estudantes não apresentem

dificuldades nesta tarefa.

Apresentamos a seguir a resolução das tarefas a e b da atividade 8.

Tarefa a) Considere o sistema de coordenadas ortonormais

Como você representaria a equação da superfície esférica de centro C=(a,b,c) e raio

r?

Espera-se que o estudante trabalhe do mesmo modo que na atividade 7.

Tarefa b) Determine a equação geral da superfície esférica, desenvolvendo a

equação anterior

Espera-se que o estudante faça o tratamento no registro simbólico algébrico:

110


A Atividade 9 tem por objetivo observar se os estudantes determinam o centro

e o raio de uma superfície esférica, partindo de sua equação geral. Para isso, farão

tratamentos no registro simbólico-algébrico no ambiente papel e lápis.

ATIVIDADE 9 - DETERMINAÇÃO DE CENTRO E RAIO PARTINDO DA

EQUAÇÃO GERAL

Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Determine

nas equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica. Para isso,

estabeleça uma comparação entre cada equação apresentada a seguir com a

equação geral desenvolvida na atividade anterior.

Tarefa a)

Tarefa b)

Tarefa c)


Na Tarefa a, espera-se que o estudante determine que o centro da superfície

esférica é e o raio é 4. Na Tarefa b, espera-se que o estudante

determine que o centro da superfície esférica é e o raio é . Na

Tarefa c, espera-se que o estudante determine que o centro é e o raio é 3.


A Atividade 10 tem por objetivo observar se os estudantes reconhecem e

diferenciam uma equação de superfície esférica dentre uma amostra de equações

de diversos objetos matemáticos.

111

ATIVIDADE 10 - RECONHECIMENTO DA EQUAÇÃO DE UMA SUPERFÍCIE

ESFÉRICA

Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Das equações

seguintes, identifique as que representam uma superfície esférica, determinando

seu centro e seu raio. Se a equação não representar uma superfície esférica,

apresente justificativas.

Tarefa a)

Tarefa b)

Tarefa c)

Tarefa d)

Tarefa e)


Espera-se que o estudante reconheça que apenas as tarefas a e d

representam superfícies esféricas e que justifique, de alguma forma, o motivo de as

demais não representarem esse objeto matemático.

112

6. DESCRIÇÃO DA FASE 2 - APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO A UM GRUPO DE

PESQUISADORES

O experimento elaborado pelo professor-pesquisador, apresentado no

capítulo anterior, foi aplicado a um grupo de treze sujeitos, os quais eram

professores e pesquisadores, todos atuantes na área de Educação Matemática.

Essa aplicação foi realizada organizando os indivíduos em cinco duplas e um trio e,

ao final da seção, foi realizada uma discussão com todos os participantes.

Foi aplicado um questionário para levantamento de perfil (conforme Anexo III),

o qual revelou que sete sujeitos atuam no ensino superior e os demais apenas no

ensino médio. Daqueles que atuam no ensino superior, nenhum ministra a disciplina

de Geometria Analítica. Nove utilizam ferramentas computacionais em suas

atividades docentes e apenas seis já conheciam o software Cabri 3D. Do grupo,

nove já haviam tido contato com a teoria dos registros de representações semióticas

de Duval.

O papel dos participantes da fase 2 foi fundamental para que fizéssemos o

redesign no experimento, uma vez que eles o avaliaram fornecendo sugestões após

a análise de cada atividade.

A seguir, serão apresentadas as principais contribuições desse grupo e as

atividades remodeladas a partir das mesmas.

Na atividade de familiarização, foram solicitadas alterações de escrita,

visando favorecer a compreensão dos estudantes. Essa atividade remodelada

encontra-se no Anexo II.

Uma primeira sugestão do grupo consistiu na reformulação da primeira

atividade, inserindo o comando de “rastro”, para que o estudante pudesse

conjecturar que, movimentando a extremidade de um vetor com origem fixa e

módulo fixo, são encontrados pontos que constituirão uma superfície esférica. Foi

solicitada a junção em uma única atividade dos casos em que a superfície esférica

tem centro na origem com os que o centro está fora da origem do sistema de

coordenadas cartesianas . Outro ponto destacado por todos os

presentes foi referente ao fato de incluir, no enunciado, a solicitação da

movimentação do plano de referência, para obter novas vistas do objeto. Além disso,

teve-se como sugestão a inserção de questões no registro da língua natural, a fim

de observar se os estudantes conseguem apresentar, neste registro, suas

113

compreensões a respeito da superfície esférica. Nesta situação, pretende-se

verificar se os alunos relatam de alguma forma, a manutenção da distância entre o

ponto fixo e os pontos obtidos no rastro, antes da solicitação da formulação da

equação da superfície esférica.

Desta forma, o redesign do experimento, a partir dessas contribuições, é

apresentado a seguir.

Com essa reformulação, a atividade 1 teve por objetivo proporcionar aos

participantes, através do ambiente de experimentação Cabri 3D, a observação de

que uma superfície esférica é o lugar geométrico cujos pontos equidistam de um

ponto fixo denominado centro, sendo a língua natural o registro de partida nos

enunciados apresentados. Ao depararem com a tela do software, esperava-se, por

parte dos participantes, que fizessem tratamentos no registro gráfico, fornecendo em

seguida suas conclusões no registro da língua natural. Ainda nesta atividade,

esperava-se que o estudante, na interação com o software, observasse as relações

entre representações dos registros algébrico e gráfico.

ATIVIDADE 1 - EXPERIMENTAÇÃO NO CABRI 3D


Tarefa a) Abra o arquivo ATIVIDADE_4a do Cabri 3D. Na tela é dado um vetor

cuja origem coincide com a origem do sistema. Este vetor tem módulo igual a 3

cm. Usando o comando trajetória do software, mexa na extremidade do vetor.

Com o botão direito, mude a posição do plano de referência, para obter várias

vistas do objeto e continue mexendo no vetor e observando a trajetória. Que

objeto gráfico você acha que os pontos obtidos pela movimentação dessa

extremidade definem? Ao realizar estas alterações na extremidade do vetor, houve

mudança no valor de seu módulo?

Tarefa b) Utilizando um comando do Cabri, construa o objeto gráfico que você

acha que esta trajetória define.

Tarefa c) Verifique se o objeto gráfico fornecido pelo software coincide com o

objeto que você achou que os pontos da trajetória definiriam. Para isso, na barra

de menu, em “exibir”, acione o comando “mostrar objetos escondidos”. Escreva

suas conclusões.

114

Tarefa d) Registre, com suas palavras, o que pôde ser observado e como você

definiria uma superfície esférica.

Tarefa e) Denominando qualquer um dos pontos obtidos na trajetória por (x,y,z),

qual seria a equação algébrica dessa superfície esférica?

Tarefa f) Expresse a equação desta superfície esférica por meio do software e

verifique se coincide com o que você obteve no item anterior. Como você relaciona

a equação dessa superfície com a sua representação gráfica? O que você

observa?

Tarefa g) Abra o arquivo ATIVIDADE_4b do Cabri 3D. Na tela é dado um vetor

cuja origem coincide com a origem do sistema. Construa a superfície esférica com

raio igual ao módulo deste vetor e solicite sua equação. Altere a extremidade dele

e observe o que ocorre no gráfico e na equação.

Tarefa h) Abra o arquivo ATIVIDADE_4c do Cabri 3D. Na tela é dado um vetor

cuja origem não coincide com a origem do sistema. Peça as coordenadas da

origem desse vetor. Construa a superfície esférica com raio igual ao módulo deste

vetor e centro na origem desse vetor. Mude o estilo da superfície para o estilo

“pequenos discos”. Solicite sua equação. Comparando a equação obtida com o

centro da superfície e com a equação , o que você observa?

Tarefa i) Com o botão esquerdo, selecione a superfície esférica para deslocá-la.

Descreva o que você observa no gráfico e na equação.

Tarefa j) Agora altere o módulo do vetor esticando-o pela sua extremidade. O que

ocorre com o gráfico e com a equação?

A atividade 2 teve por objetivo avaliar se as tarefas anteriores foram

suficientes para que os participantes pudessem reconhecer a equação reduzida de

uma superfície esférica, determinando o seu centro e o seu raio. Os registros

presentes nos enunciados foram o da língua natural e o registro simbólico-algébrico

e as conversões requeridas foram do registro gráfico para o simbólico-algébrico, do

simbólico-algébrico para os registros numérico e gráfico e do simbólico-algébrico

para a língua natural escrita.

115

ATIVIDADE 2 _ RECONHECIMENTO DA EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA

SUPERFÍCIE ESFÉRICA E DETERMINAÇÃO DE SEU CENTRO E RAIO

(SITUAÇÕES COM CENTRO NA ORIGEM)

Tarefa a. No Cabri, construa um vetor com origem coincidente com a origem do

sistema Construa uma superfície esférica com centro igual ao

módulo desse vetor. Solicite sua equação. Altere a extremidade do vetor e

preencha a tabela seguinte.

Equação da superfície

esférica

Módulo do vetor Coordenadas de e

O que você conclui?

Tarefa b) Considere o sistema de coordenadas ortonormais .

Determine, nas equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica:

a) b) c) d)

Tarefa c). Considere o sistema de coordenadas ortonormais .

Das equações seguintes, determine no ambiente do Cabri 3D a representação

gráfica, identifique as que representam uma superfície esférica e justifique:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

116

A atividade 3 teve por objetivo a identificação do centro e do raio de

superfícies esféricas com centro fora da origem do sistema, envolvendo conversões

do registro simbólico-algébrico para o registro numérico.

ATIVIDADE 3 _ DETERMINAÇÃO DO CENTRO E DO RAIO DE UMA

SUPERFÍCIE ESFÉRICA A PARTIR DA EQUAÇÃO REDUZIDA (SITUAÇÕES

COM CENTRO FORA DA ORIGEM)

Considere o sistema de coordenadas ortonormais .

Determine nas equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica:

Tarefa a.

Tarefa b.

Tarefa c.

A atividade 4 teve por objetivo o reconhecimento do objeto matemático

superfície esférica no registro simbólico-algébrico. No enunciado utilizamo-nos do

registro da língua natural e do registro simbólico-algébrico. Esperávamos que os

participantes reconhecessem o objeto e que fizessem a conversão para o registro

numérico, seguida da conversão para o registro gráfico.

ATIVIDADE 4 _ RECONHECIMENTO DE EQUAÇÕES REDUZIDAS DE

SUPERFÍCIES ESFÉRICAS (SITUAÇÕES COM CENTRO FORA DA ORIGEM)


Das equações seguintes, identifique e construa no ambente do Cabri 3D as que

representam uma superfície esférica e justifique:

Tarefa a)

Tarefa b)

Tarefa c)

Tarefa d)

Tarefa e)

Tarefa f)

Tarefa g)

117

A atividade 5 teve por objetivo a exploração da conversão partindo da

representação gráfica do objeto matemático superfície esférica. Esperava-se que os

estudantes identificassem, no ambiente de experimentação Cabri 3D, os elementos

necessários para a determinação da representação no registro simbólico-algébrico.

No enunciado utilizamo-nos dos registros da língua natural. Criamos um arquivo no

Cabri 3D que continha a representação gráfica de uma dada superfície esférica,

para que o estudante determinasse o seu centro e raio, para então fazer a

conversão para o registro simbólico-algébrico.

ATIVIDADE 5 _ DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA

PARTINDO DO REGISTRO GRÁFICO


Tarefa a) Dada a superfície esférica, na tela do Cabri, determine sua

representação algébrica no ambiente papel e lápis. Você pode utilizar qualquer

comando do software, exceto o comando de equação.

Tarefa b) Verifique no software se a equação encontrada está correta. Relate se

está correta e, caso não esteja, registre no espaço abaixo as duas equações

obtidas. Em seguida, reflita sobre sua produção.

A atividade 6 teve por objetivo a generalização do objeto superfície esférica

no registro simbólico-algébrico. Esperávamos que os participantes interpretassem o

enunciado dado na língua natural, construíssem a equação reduzida da superfície

esférica e efetuassem tratamentos no registro simbólico-algébrico para a obtenção

da equação geral.

ATIVIDADE 6 _ ATIVIDADE DE GENERALIZAÇÃO NO REGISTRO

SIMBÓLICO-ALGÉBRICO


d) Tarefa a) Como você representaria a equação da superfície esférica de centro

e raio ?

e) Tarefa b) Esta forma de representar a equação é denominada equação reduzida

de uma superfície esférica. Ao desenvolvê-la e igualá-la a zero, obtém-se a

equação geral da superfície esférica.

118

f) Partindo disso, determine a equação geral da superfície esférica de centro

e raio .

A atividade 7 teve por objetivo a obtenção do centro e do raio das superfícies

esféricas representadas na forma da sua equação geral. No enunciado, utilizamo-

nos do registro da língua natural e do registro simbólico-algébrico. Esperávamos que

os participantes comparassem a equação obtida na Atividade 6 com as propostas na

Atividade 7 para a realização desta tarefa.


EQUAÇÃO GERAL

Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Determine nas

equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica. Para isso, estabeleça

uma comparação entre cada equação apresentada a seguir com a equação geral

desenvolvida na atividade anterior.

Tarefa a)

Tarefa b)

Tarefa c)

A atividade 8 teve por objetivo o reconhecimento da superfície esférica na

forma da sua equação geral. Nos enunciados utilizamos os registros da língua

natural e simbólico-algébrico. Esperamos por parte dos participantes que

reconheçam o objeto de estudo nessa forma de representação como também

utilizem-se do registro da língua natural para expressar o entendimento da atividade.

Espera-se que, partindo da equação geral, obtenham o centro e o raio das

superfícies .

ATIVIDADE 8 - RECONHECIMENTO DA EQUAÇÃO GERAL DE UMA

SUPERFÍCIE ESFÉRICA

Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Das equações

seguintes, identifique as que representam uma superfície esférica, determinando

seu centro e seu raio. Se a equação não representar uma superfície esférica,

119

apresente justificativas.

Tarefa a)

Tarefa b)

Tarefa c)

Tarefa d)

Tarefa e)

A atividade 9 teve por objetivo propor uma introdução à análise da intersecção

entre uma superfície esférica e um plano secante a esta, na qual o ambiente de

experimentação Cabri 3D tem aspecto fundamental pelo seu caráter dinâmico. Nos

enunciados utilizamo-nos do registro da língua natural. Esperamos que os

participantes reconheçam a curva gerada pela intersecção, efetuando uma

conversão do registro gráfico para o registro simbólico-algébrico.

ATIVIDADE 9 - INTERSECÇÃO ENTRE PLANO E SUPERFÍCIE ESFÉRICA


Tarefa a) Crie no ambiente do Cabri 3D uma superfície esférica com centro na

origem do sistema (0,0,0). Crie a curva de intersecção entre o plano e a superfície

esférica. Como você representaria algebricamente esta curva? Justifique a sua

resposta apresentando esta representação e utilizando os recursos do software,

explicitando cada etapa desenvolvida.

( Sugestão: utilize a opção NOVA VISTA do software).

A atividade 10 teve por objetivo avaliar se os participantes conseguiriam

reconhecer o tipo de curva gerada pela intersecção entre a superfície esférica e o

plano como também saber quais elementos comprovam e validam a sua conclusão.

Utilizamos nos enunciados representações do registro da língua natural e, no

ambiente do Cabri 3D, um arquivo com representação do registro gráfico para a

realização da atividade. Espera-se que os participantes primeiramente reconheçam

a intersecção entre a superfície e o plano secante a ela, como também estabeleçam

uma estratégia para comprovar que a curva gerada entre a superfície esférica e um

plano secante a ela é sempre uma circunferência. Como estratégias de resolução,

120

esperava-se ou a busca da resolução do sistema constituído pelas equações da

superfície esférica e do plano, ou a exploração dos recursos oferecidos pelo

ambiente do Cabri 3D.

ATIVIDADE 10 - ATIVIDADE DESAFIO


Tarefa a) Abra o arquivo da atividade 10, denominado Fig 10, criado no Cabri 3D.

Observe a intersecção entre o plano e a superfície esférica a este ponto. Como

você explicaria a um colega que a intersecção entre esta superfície esférica e o

plano dado secante a ela é uma circunferência? Determine a equação desta

circunferência.

Tarefa b) Movimente o plano ( pelo ponto B ou pelo E) mantendo-o secante à

superfície esférica e observe a equação do plano e o que acontece na secção. O

que se observa na secção? Houve alteração na distância do centro ao ponto A?

Justifique a sua resposta.

Tarefa c) Generalizando a secção de um plano π qualquer secante a uma

superfície esférica α, qual figura geométrica será obtida?

No capítulo seguinte, serão apresentados os resultados da aplicação desse

experimento.

121

7. DESCRIÇÃO DA FASE 3 - APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO A DUAS DUPLAS

DE GRADUADOS EM LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Nessa terceira fase, foi aplicado o experimento remodelado pelo professor-

pesquisador após analisar e adaptar as contribuições do grupo de pesquisadores da

fase 2 e da banca de qualificação. Os sujeitos trabalharam em duplas e em dias

diferenciados, o que permitiu uma análise mais aprofundada de suas produções.

Apesar de todos os sujeitos terem se graduado em Licenciatura em Matemática,

nenhum deles teve contato anterior com o tema "Superfícies Esféricas" na disciplina

de Geometria Analítica.

O experimento foi aplicado em uma sala equipada com um computador com o

software Cabri 3D instalado. Para a captura das produções dos sujeitos, foram

utilizados o programa de captura Camtasia, uma câmera e um microfone acoplados

ao computador, papel, lápis e as atividades devidamente impressas.

Apresentaremos as descrições de cada dupla, identificando-as como Dupla

1(D1),composta pelos Participante 1 (P1) e Participante 2 (P2), e como Dupla 2 (D2),

composta pelos Participante 3 (P3) e Participante 4 (P4)

7. 1. ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES DE FAMILIARIZAÇÃO NO

CABRI 3D

No primeiro encontro com cada dupla, fez-se a atividade de familiarização,

tendo em vista que nenhum dos participantes havia tido contato anterior com o

software Cabri 3D. Os participantes não tiveram dificuldade em realizar a

familiarização proposta. Eles apresentaram muito interesse em explorar o software e

os recursos proporcionados por ele. Nesse primeiro encontro discutimos de forma

breve sobre a utilização de um ambiente computacional de representação em 3D,

sendo que os participantes apresentaram comentários que reforçaram alguns pontos

apontados por outros pesquisadores presentes em nossa revisão de literatura, como

por exemplo:

P4: “Nossa, é muito mais fácil “desenhar” um vetor, um cubo, ou figuras no

“espaço” em um programa desse tipo do que se tivéssemos que fazer isso no papel!

Fora que é mais rápido também... até para começar a construção novamente.”

122

Podemos relacionar esse comentário com o trabalho de Chaachoa (1997),

quando ela faz referência ao Cabri 3D, estabelecendo uma alusão ao fato de que ele

permite uma realidade espacial de objetos geométricos, favorecendo manipulá-los,

alterá-los ou desfazê-los.

As duplas não demonstraram dificuldades ao seguir a familiarização proposta

e fizeram-na sem a necessidade de intervenção do professor-pesquisador.

7.2 - ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES

No segundo encontro com cada dupla, fez-se a aplicação do experimento

remodelado, composto por nove atividades.

O professor-pesquisador fez uma breve introdução à Geometria Analítica,

recordando com os participantes os elementos básicos dessa disciplina, a fim de

favorecer a condução do experimento. Em uma breve reminiscência da designação

da Geometria Analítica, o professor-pesquisador recordou com as duplas que, por

meio dela, faz-se a relação entre a álgebra e a geometria, o que possibilita um

estudo mais aprofundado de objetos geométricos. Enfatizou nesta introdução a

importância de se fazer uma conexão entre os registros inerentes a um objeto

matemático, observando suas propriedades em cada registro, ressaltando que a

observação e a análise das propriedades de cada objeto matemático representado

em um determinado registro, bem como a articulação entre representações do

mesmo objeto em outros registros, seria fundamental no decorrer do experimento.

Reforçou, também, que estavam trabalhando no espaço, adotando o sistema

de coordenadas ortonormais, , e discutiu sobre a diferença entre sólido

e superfície de sólido.

7.2.1 - Análise da ATIVIDADE 1

De início, foi proposta uma atividade de experimentação no Cabri 3D,

organizada em dez tarefas intitulada Atividade 1.

123

Na tarefa a, teve-se por objetivo, através do ambiente de experimentação

Cabri 3D, propiciar aos estudantes a observação de que a superfície esférica é o

lugar geométrico cujos pontos eqüidistam de um ponto fixo denominado centro.

Os participantes utilizaram um arquivo previamente criado no ambiente do

Cabri 3D, que apresentaria o representante de um vetor de módulo 3, com origem na

origem do sistema, conforme apresentado na figura a seguir:

Figura 39 - Arquivo no Cabri 3D da tarefa d da Atividade 7

Pediu-se então que eles utilizassem o comando trajetória do Cabri 3D na

extremidade desse representante e, em seguida o movimentasse, obtendo um

rastro, formando assim uma representação de um lugar geométrico nesse ambiente,

conforme pode ser observado na figura 40.

Figura 40 - Produção da Dupla 1 na Tarefa a da Atividade 1

124

Explorando o recurso do software, pediu-se também que os participantes

movimentassem o plano, obtendo novas vistas do objeto gráfico. Após realizarem

essa primeira etapa da Tarefa a, eles começaram a responder os questionamentos

propostos: “Que objeto gráfico você acha que os pontos obtidos pela movimentação

dessa extremidade definem? Ao realizar estas alterações na extremidade do

representante do vetor, houve mudança no valor de seu módulo?”

Um dos participantes da D1, em um primeiro momento, após movimentar o

plano, comentou com o colega que parecia uma semi-esfera. P2 pegou o mouse,

movimentou mais o plano e comentou:

P2: “Não... presta atenção... a gente não mexeu pra (sic) esse lado... parece

uma bola! (dá um sorriso)... isso é uma superfície esférica?”

Ele olhou para o professor-pesquisador a fim de buscar uma confirmação de

sua observação. Neste momento, o professor-pesquisador solicitou que eles

continuassem manipulando o software.

A partir daí, ambos relataram que o objeto formado pela trajetória seria uma

superfície esférica.

Com relação à D2, houve uma resposta quase que automática do Participante

3, o qual afirmou ter obtido uma superfície esférica. Mesmo não discordando, o

Participante 4 moveu mais uma vez o plano e comentou que eles “desenharam”

apenas uma parte de uma superfície. Ambos observaram, movimentando mais uma

vez a extremidade do representante do vetor, que seu módulo não sofreu alteração.

Podemos observar que o dinamismo do software favoreceu as duplas quanto

à análise do objeto em estudo, possibilitando que obtivessem a visão dessa

representação gráfica em outras perspectivas. Tanto D1 como D2 comentaram num

primeiro momento sobre a observação de uma semi- superfície esférica. Isto porque,

ao movimentarem o representante do vetor com o comando rastro, conseguiram

“construir” um rastro de pontos sempre na visão frontal do objeto mas, com a

possibilidade de movimentação do plano de referência, puderam completar a

superfície, observando assim que o objeto obtido era uma superfície esférica.

Salienta-se que para obter a visão total da superfície esférica no software, é

necessário manipular o plano e continuar com a construção da trajetória. Caso esse

movimento não seja realizado, tem-se apenas a visão da superfície de uma semi-

esfera.

125

Na tarefa b, foi proposto que eles criassem no ambiente do Cabri 3D o objeto

gráfico que a trajetória da atividade 1 formou.

Obtivemos nessa tarefa duas construções distintas das duplas, uma pela

observação do objeto quanto à sua forma e outra considerando o seu centro e raio.

A D1 abriu no Cabri 3D nova tela para construir o objeto que teria observado,

considerando nessa construção que o centro da superfície esférica estava na origem

do sistema e que o comprimento do raio dessa superfície era de 3 cm, obtendo a

seguinte construção.

Figura 41 - Produção da Dupla 1 nas Tarefas a e b da Atividade 1

A D2 criou um objeto apenas considerando sua forma, na mesma tela da

tarefa proposta, ou seja, não construiu uma superfície respeitando o raio e o centro

do exemplo dado no ambiente do Cabri 3D.

126

A seguir apresentamos a construção dessa dupla.

Figura 42 - Produção da Dupla 2 nas Tarefas a e b da Atividade 1

Na tarefa c, pediu-se aos participantes que verificassem se o objeto fornecido

pelo software coincidia com o objeto por eles construído. No software, a superfície

estava oculta, então se pediu que eles exibissem os objetos escondidos. As duplas

ficaram satisfeitas com a confirmação de que identificaram corretamente o objeto

gráfico; a D1, quanto à reprodução exata do objeto gráfico, já a D2, quanto à sua

forma.

Nas conclusões, D1 registra que o objeto construído por eles coincidia com o

primeiro proposto na atividade. D2 registra que havia acertado o reconhecimento do

tipo de superfície.

Na tarefa d, foi pedido que registrassem, na língua natural, o que puderam

observar nessa atividade e como definiriam uma superfície esférica.

127

A D1 apresentou uma definição de superfície esférica influenciada pela

representação da trajetória, conforme apresentado na figura 43.

Figura 43 - Produção da Dupla 1 na Tarefa d da Atividade 1

Podemos observar que, apesar da compreensão da propriedade do objeto

matemático, os estudantes da dupla não se utilizaram do registro da língua natural

de maneira apropriada. Isto porque, eles definiram o centro da superfície esférica

como a origem do sistema, provavelmente influenciados pela situação particular

proposta, na qual o centro da superfície coincidia com a origem do sistema.

A D2 registrou na língua natural a definição de superfície esférica tendo por

base o conhecimento da definição de circunferência, ou seja, definiu a superfície

esférica como o lugar geométrico cujos pontos eqüidistam de um ponto de referência

no espaço.

Figura 44 - Produção da Dupla 2 na Tarefa d da Atividade 1

Pode-se notar certa segurança dos dois participantes ao utilizar a palavra

eqüidistância dos pontos da superfície e o seu centro.

128

Observou-se também a influência positiva do software para esta

compreensão. Isto porque o comando trajetória se utiliza da representação de

pontos para desenhar o rastro, ou seja, favorece a observação de que o objeto

geométrico é formado por infinitos pontos e que o valor do módulo do vetor

permanece constante mesmo quando é movimentado.

Na tarefa seguinte pediu-se aos participantes que registrassem

algebricamente a equação da superfície esférica dessa atividade, considerando um

ponto de coordenadas (x,y,z).

Não se observou dificuldade por parte das duplas nessa atividade, pois os

participantes relembraram da equação reduzida da circunferência e expressaram a

equação da superfície esférica da seguinte maneira :

Na Tarefa f, solicitou-se aos sujeitos a utilização do recurso do software para

obter a equação dessa superfície e conferir se a equação desenvolvida por eles na

tarefa anterior era igual. Aproveitando a possibilidade de obter no software

representações dos registros gráfico, numérico e algébrico, a tarefa propôs aos

participantes que relacionassem os registros.

Antes da resolução dessa tarefa,o professor-pesquisador solicitou que

manipulassem a figura, para que pudessem observar os registros apresentados na

tela, visando que o software se constituísse em uma ferramenta de apoio à

elaboração de conjecturas dos alunos.

As duplas,após alguns instantes, chegaram à conclusão de que o módulo do

vetor representava o raio da superfície esférica e que as coordenadas do centro

eram (0,0,0).

Seguiu-se então com a Tarefa g, cuja representação no Cabri 3D já estava

previamente construída e intitulada como ATIVIDADE_1c. Foi dado o representante

de um vetor com origem coincidente com a origem do sistema , o qual apresentamos

na figura a seguir.

129

Figura 45 - Figura apresentada aos estudantes pelo Cabri 3D

Pediu-se aos participantes que criassem uma superfície esférica com raio

igual ao módulo do vetor e que explicitassem a equação dessa superfície por meio

do software. Objetivando que a dupla explorasse os recursos dinâmicos desse

software, solicitou-se que alterassem a extremidade desse representante e

observassem o que ocorria na equação. Tanto na construção quanto na observação

os estudantes não apresentaram dificuldades. Notaram que apenas o termo

independente da equação, que representava o raio, sofria alterações.

Na figura a seguir apresentamos a visualização obtida pela dupla 1 e como o

dinamismo do software possibilitou a diferenciação na equação reduzida da

superfície esférica quando a extremidade do representante do vetor era alterado.

130

Figura 46 - Produção da Dupla 1 na Tarefa g da Atividade 1

Constatou-se nessa etapa da Atividade 1, que a utilização do software, pelo

seu aspecto dinâmico, favoreceu a relação entre os registros gráfico e algébrico,

131

permitindo ao estudante a observação das características e propriedades do objeto

superfície esférica em cada um desses registros.

Na Tarefa h, cujo centro da superfície esférica não coincidia com a origem do

sistema, observamos diferentes estratégias das duplas na observação do objeto

matemático apresentado.

A D1, ao construir a superfície esférica com centro na origem do

representante do vetor apresentado e raio de mesmo módulo que o vetor, foi

executando a tarefa, movimentou o plano, observando o objeto matemático e

comentou que a mudança estava justamente nos valores do centro, já que a

superfície esférica não tinha mais o centro coincidente com a origem do sistema.

Logo P2 comenta...

P2: “Tá (sic) vendo? Olha aqui... estes valores. Os valores aqui do centro

aparecem na equação com o sinal trocado! Na atividade 1, como os valores eram

(0,0,0) não apareciam aqui (aponta para a equação) na equação.”

P1 concorda e pergunta ao professor-pesquisador como a obter a

confirmação... “É isso mesmo, não é?”

Neste momento, o professor-pesquisador relembrou a importância da

observação das propriedades do objeto matemático nas suas diferentes

representações. Apresentamos a seguir a tela trabalhada pela D1.

132

Figura 47 - Produção da Dupla D1 na Tarefa h da Atividade 1

Neste contexto, o dinamismo da ferramenta permitiu que os alunos

conjecturassem sobre essa situação. O professor-pesquisador pediu à dupla que

registrasse com suas palavras o que observaram. Constatamos que, ao se utilizarem

do registro da língua natural, embora tivessem a compreensão da relação entre o

registro gráfico e o registro simbólico algébrico, os membros da D1 confundiram

novamente o centro da superfície esférica com a origem do sistema. Apresentamos

a seguir a resposta da D1 na tarefa h


133

Constatamos que a dupla compreendeu a situação, porém, apresentou

dificuldades em relatá-la na língua natural escrita.

Nesta Tarefa, para a D2, o elemento que gerou dúvidas estava ligado à

representação gráfica do objeto. Seguiram as orientações da tarefa, primeiro

apresentando as coordenadas da origem do representante do vetor presente na tela

do Cabri 3D, construindo uma superfície com raio igual ao módulo desse vetor e

centro com mesma origem. Mudaram o estilo de superfície esférica, que foi proposto

para que tivessem melhor visualização de cada aspecto do objeto gráfico. Ao

solicitarem a equação da superfície esférica, num primeiro momento o Participante 3

questionou, influenciado pela imagem da tela, a coordenada do centro da superfície

esférica em relação ao plano z.

A figura da Tarefa h, utilizada pela dupla D2 está representada a seguir.


P3 deixava claro em suas colocações que a figura não condizia com a

equação da superfície esférica, pois a origem do representante do vetor “parecia”

estar afixada no plano de referência xOy, ou seja, para ele, o centro dessa superfície

deveria possuir valor de z igual a zero. Ele afirmou que não conseguia “visualizar” a

relação entre esses dois registros representantes desse objeto matemático. P4,

pediu para o colega que esperasse e olhasse para a tela. Partiu para a utilização

dos recursos do software quanto à possibilidade de visualizar o objeto gráfico em

134

outras perspectivas. Ao visualizar o objeto gráfico em outra perspectiva, P3 se

convenceu de que a equação era a representação algébrica daquela superfície

esférica, ou seja, ele fez a associação entre os registros gráfico e algébrico.

Fica evidenciado que o dinamismo do software proporcionou ao aluno o

reforço de suas conjecturas, o que possivelmente não aconteceria se tivéssemos

apresentado esta tela em mídia impressa. As associações feitas entre os registros

seria influenciada pelo que se “vê” e como se interpreta essa imagem, como

aconteceu com a D2, que, em um primeiro momento, enxergava o representante do

vetor como tendo extremidade no plano xOy e só movimentando a imagem e

mudando o seu “ângulo de visão”, em uma nova perspectiva do objeto gráfico, pôde

observar que realmente a primeira imagem não apresentava as características do

objeto de maneira clara e direta.

Observamos no comentário de P3, a dificuldade de interpretação das

coordenadas do centro da superfície em relação à sua representação gráfica

apresentada inicialmente:

P3: “De acordo com o que está aqui, alterou as coordenadas x e y, mas de

acordo com essa figura, o centro dessa esfera, ele está no mesmo plano aqui ó ... se

estivesse no mesmo plano, não alteraria a coordenada z, somente x e y...”

A seguir apresentamos a imagem produzida pelos participantes da D2, após

movimentação do plano.

135


Após a movimentação do plano e mudança da perspectiva, P3 comentou:

P3: “Ahhh, agora sim... “

P3 justificou a dificuldade de interpretação no primeiro momento ao valor das

coordenadas.

O professor-pesquisador indagou aos participantes que o fato de terem

mexido no plano facilitou a análise e a observação do objeto matemático e obteve

como resposta do participantes o comentário apresentado a seguir:

P3: "Nesse o centro ficou mais difícil de ver na maneira que estava, em

perspectiva... é assim, por que o valor da coordenada é muito baixo, por exemplo, se

fosse z igual a 30 aí seria mais fácil do cara visualizar."

A dupla continuou essa tarefa, primeiro deslocando a superfície, depois

alterando o módulo do vetor e observando o que ocorria com a equação, o raio e o

centro da superfície esférica. Fizeram as associações e relações entre as

representações gráfica e algébrica sem dificuldades. Na figura seguinte, a dupla

observou a relação entre as representações na mesma tela, e identificou o raio como

raiz quadrada do termo independente e as coordenadas do centro que se

apresentavam com sinal trocado na equação.

136

Conseguimos evidenciar com esta atividade que realmente a representação

gráfica em 3D pode distorcer enquanto registro de partida, ou melhor, a

interpretação do registro gráfico pode confundir o estudante de acordo com o modo

que esteja apresentado. Segundo Parzysz(1988), na representação de objetos

espaciais, necessariamente há perda de informações. Como a representação de um

objeto geométrico espacial em um suporte de desenho bidimensional é feita através

de projeções que não conservam todas as suas propriedades, isso levaria o aluno a

acreditar ou ter um palpite que pode, através de um desenho que não propicie

informações suficientes das propriedades do objeto em estudo, distorcer e confundir

esse objeto matemático com outro que apresente características e propriedades de

acordo com as suas observações e conjecturas.

Na Tarefa i pediu-se aos participantes que deslocassem a superfície esférica

e observassem a representação gráfica e a representação simbólico-algébrica. Os

estudantes da Dupla 2 relataram, na língua natural, que o centro não estava na

origem do sistema de coordenadas ortonormais e que, ao movimentarem a

superfície, alteravam-se "os valores de dentro dos parênteses", que determinariam o

centro dessa superfície esférica.

D1 demonstrou ter observado o que ocorria, mas ao utilizar-se da língua

natural, mais uma vez confundiu o centro com a origem, o que tornou a sua escrita

equivocada. Do jeito que explicitaram suas observações, fica clara a confusão

desses dois termos.

Figura 51 - Produção da Dupla D2 na Tarefa i da Atividade 1

Mesmo com uma diferenciação evidente entre as duplas, a atividade atingiu

os objetivos, primeiro nas conjecturas do objeto matemático superfície esférica e sua

representações numérica, gráfica e algébrica, como a confirmação de que a

utilização de um software dinâmico como ferramenta na apresentação e associação

dos registros inerentes ao objeto matemático é um facilitador nesse processo de

137

ensino e aprendizagem, no momento em que a manipulação do objeto matemático

pode levar o estudante a reavaliar suas observações e a retomar novas relações e

propriedades do objeto em estudo.

7.2.1.1 - Conclusões da Atividade 1

De acordo com os nossos objetivos nessa atividade, primeiramente pudemos

observar que a utilização de um ambiente computacional, no caso o Cabri 3D,

propiciou aos estudantes a observação das relações do objeto quanto as suas

formas gráfica, algébrica e numérica. O software foi um ambiente de experimentação

e validação. Em cada tarefa, a utilização do software contribuiu para as análises e

conclusões das duplas. Como também colocado por Bittar (1998), Silva (1999) e

Borba (2001), concluímos que um software pode favorecer a elaboração de

conjecturas pelos alunos e auxiliar no processo de construção matemática e, com

base em Healy (2000), constatamos que um ambiente dinâmico permite a

exploração explicita do objeto e de suas propriedades matemáticas.

Pudemos observar que as tarefas possibilitaram a cada dupla a avaliação da

definição do objeto matemático superfície esférica, seguindo-se da análise de suas

propriedades nos registros gráfico, numérico e simbólico-algébrico, o que vem de

encontro com os pressupostos teóricos de Duval (2006).

Salientamos que as duplas apresentaram duas análises diferenciadas do

objeto a ser reconhecido na tarefa a, pois uma dupla o analisou somente quanto à

sua forma, enquanto a outra reproduziu o objeto quanto à sua forma e também

quanto às propriedades do modelo proposto, respeitando o centro e o raio da

superfície esférica. Neste caso, na visão de Parzysz (1988), enquanto uma delas

respondeu a questão com base apenas no pólo do visto, a outra, que se preocupou

com as propriedades do objeto, tratou da situação no pólo do sabido.

Vale destacar que, na representação da língua natural, encontramos

dificuldades por parte de D1. Essa dificuldade provavelmente pode ser atribuída ao

fato de que, de acordo com Duval (2000), há no ensino uma tendência à utilização

dos registros monofuncionais em detrimento dos registros multifuncionais. A

utilização incorreta da língua natural demonstra que, apesar da compreensão dos

138

participantes quanto ao objeto matemático nos registro numérico, algébrico e gráfico,

eles não conseguiram relatar suas ideias corretamente nesse registro.

Para o estabelecimento das relações entre os registros gráfico e algébrico da

superfície esférica, o dinamismo do software foi um elemento de grande importância,

pois possibilitou a observação simultânea desses dois registros de representação,

uma vez que, a cada alteração em um dos representantes, automaticamente podia-

se notar a mudança na representação do outro registro, favorecendo a construção

do objeto e a análise de suas propriedades nas diferentes representações.

Ressaltamos também que o software adotado possibilitou o trabalho com

conversões que partiam do registro gráfico, o que é pouco usual, conforme constado

por Pavloupolou (1993), Karrer (2006) e Karrer e Barreiro (2009).

Ainda nessa atividade destacamos a importância da representação de objetos

3D em 2D. Mesmo com o dinamismo do software, a sua representação sempre está

num plano, ou seja, o que podemos observar são diferentes vistas de sua

representação. Na Tarefa h, ficou evidenciado que a representação de um objeto

tridimensional pode dificultar a interpretação e entendimento do aprendiz quanto ao

objeto em estudo. Chegamos à problemática apresentada por Parzysz (1988),

quando este afirma que o aspecto perceptivo de um objeto tal qual ele se apresenta

aos olhos pode levar a interpretações erradas e, consequentemente, a informações

distorcidas.

Reparamos que um dos membros da dupla D2 possuía uma grande

habilidade no tratamento algébrico, o que o levou ao questionamento da

representação gráfica visualizada na tela do software. Apesar de a ferramenta

desencadear inicialmente a confusão com relação à representação gráfica de

objetos tridimensionais, o seu dinamismo permitiu a mudança da visão do objeto,

favorecendo a reavaliação do questionamento. Ressaltamos que, neste momento de

conflito, os alunos buscaram reavaliar a situação de forma independente,

manipulando o plano de referência sem qualquer indicação do professor-

pesquisador.

Destacamos ainda, que apesar da limitação do software enquanto

representação tridimensional, acreditamos que se a representação estivesse

expressa em mídia estática ( livro, papel, lousa), a dificuldade de apresentação de

uma nova vista que fosse conveniente para a apresentação do objeto matemático

seria bem maior.

139


Na Atividade 2, teve-se por objetivo avaliar se as tarefas anteriores foram

suficientes para que os alunos pudessem reconhecer a equação reduzida de uma

superfície esférica, determinando seu centro e raio. Esta atividade continha três

tarefas. A Tarefa a teve início com a utilização da representação gráfica do

representante de um vetor no ambiente do Cabri 3D e de uma superfície esférica

com centro na origem desse representante e raio igual ao módulo deste vetor.

As duplas não apresentaram dificuldade para preencher a tabela que

solicitava a equação da superfície, o módulo do vetor e os números que

multiplicavam x², y² e z².

Apresentamos a seguir as imagens das representações construídas no

ambiente Cabri 3D seguidas das tabelas elaboradas pelas duplas no ambiente papel

e lápis.

140

Figura 52 - Produção da Dupla D1 na Tarefa a da Atividade 2

A estratégia da dupla 1 consistiu em alterar o comprimento do vetor, criando

assim as novas superfícies esféricas. Pôde-se observar a limitação do software

quando o raio da superfície esférica construída pela dupla foi igual a 9,1 cm,

141

gerando uma representação gráfica que não cabia nas áreas delimitadas na tela do

Cabri 3D.


142


A dupla 2 também teve por estratégia a alteração da extremidade do

representante do vetor para a obtenção de novas superfícies, sem que se fizesse

necessária a abertura de novas telas para a execução da atividade. Pode-se

143

observar, mais uma vez, a limitação do software quando o raio da superfície esférica

construída pela dupla foi igual a 11,3 cm.


Pediu-se então para que as duplas registrassem suas conclusões a respeito

das relações entre os registros numérico, gráfico e algébrico das superfícies

registradas na tabela anterior, bem como nos arquivos salvos no ambiente do Cabri

3D. Pudemos observar, também nessa atividade, que D1, apesar de entender as

propriedades do objeto matemático, ao explicitar suas conclusões na língua natural,

confundiu novamente origem com centro.


Coube ao professor-pesquisador intervir nesse segundo momento

questionando a dupla quanto à diferenciação entre a origem do sistema e o centro

da superfície esférica. Os participantes demonstraram que não haviam percebido o

engano quando se utilizaram do registro da língua natural e, só após a intervenção

do professor-pesquisador, relataram que a alteração então foi no tamanho do vetor

que representaria o raio da superfície e não no seu centro.

A D2 apresentou uma conclusão com um bom domínio no registro da língua

natural. Observamos que as duas duplas relacionaram o módulo do vetor com o raio

144

da superfície esférica, mas apenas D2 registrou suas observações quanto aos

coeficientes das variáveis x²,y² e z² . No quadro seguinte apresentamos a resposta

da dupla nessa etapa do experimento.


Na Tarefa b, a dupla deveria, a partir da análise do registro simbólico

algébrico, apresentar o centro e o raio da superfície esférica e depois construir no

ambiente do Cabri 3D as representações gráficas das quatro superfícies propostas.

As duplas não tiveram dificuldades tanto no ambiente papel e lápis como no

ambiente do Cabri 3D. Apresentaremos no quadro seguinte as produções das

duplas D1 e D2 da atividade desenvolvida tanto no ambiente papel e lápis como no

Cabri 3D.

145

Figura 58 - Produção da Dupla D1 na Tarefa b da Atividade 2

146

Figura 59 - Produção da Dupla D2 na Tarefa b da Atividade 2

Salienta-se que D2 realizou a tarefa b em uma folha de rascunho, passando a

limpo na ficha entregue pelo professor-pesquisador

A Tarefa c pedia para que se identificassem as superfícies esféricas

existentes entre as oito equações apresentadas e que se fizesse a representação

gráfica das mesmas no ambiente do Cabri 3D. Se a dupla não reconhecesse a

equação como uma superfície esférica, ela deveria justificar a sua resposta. As

produções escritas são apresentadas a seguir.

147

Figura 60 - Produção da Dupla D1 na Tarefa c da Atividade 2

Pudemos observar também nessa atividade o equívoco cometido por D1 no

registro da língua natural. Os estudantes dessa dupla relataram que não existia raio

negativo, enquanto que o correto seria relatar que, nos reais, não existe raiz

quadrada de número negativo. A utilização incorreta da língua natural como

representante de um objeto matemático provavelmente demonstre por parte da

dupla a falta de domínio de certos conceitos matemáticos, ou mesmo, a dificuldade

de conversão para esse registro. A seguir, apresenta-se a produção da dupla 2.

148


149

Os participantes das duplas D1 e D2 conseguiram, de modo geral, reconhecer

as superfícies esféricas, mas pudemos constatar que ambas, mesmo trabalhando no

ambiente 3D, interpretaram a equação do item "h" como se estivessem analisando-a

no plano e não no espaço. Isto porque garantiram que era a equação de uma reta e

não a de um plano. A intervenção do professor-pesquisador, naquele momento,

ficou limitada apenas a um comentário a respeito de a análise ter que ser realizada

no espaço.

Apesar disso, as duplas reconheceram as duas superfícies esféricas e,

através da determinação do raio e do centro, conseguiram construir as superfícies

no Cabri 3D, conforme ilustramos a seguir, com a produção fornecida pela dupla 2.

150


Dessa forma, a despeito das observações realizadas anteriormente,

concluímos que o objetivo dessa atividade, que era justamente verificar se o

estudante conseguiria, após a atividades 1 e 2, reconhecer na representação

simbólico-algébrica o objeto matemático superfície esférica de centro na origem do

sistema de coordenadas cartesianas ortogonal, foi atingido.


Podemos concluir, segundo o objetivo dessa atividade, que as tarefas da

Atividade 1 possibilitaram aos participantes o reconhecimento da equação reduzida

da superfície esférica, determinando assim o seu centro e o seu raio. Destacamos

também a importância central do design, pois as atividades devem propiciar aos

estudantes o desenvolvimento de novos significados matemáticos. Com relação ao

papel do ambiente dinâmico Cabri 3D, pudemos observar ganhos por parte dos

estudantes quanto à observação e à relação das unidades significativas dos

registros gráfico e algébrico. Desta forma, em consonância com Noss e Hoyles

(1996,2009), constatamos que essa ferramenta permitiu vantagens pedagógicas.

151

Esse aspecto positivo salientado nessa atividade também está de acordo com Costa

(2005), quando afirma que um software dinâmico favorece tanto a visualização como

a apreensão de aspectos fundamentais de determinado objeto matemático.

Pudemos constatar, por parte da dupla 1, certa dificuldade de expressão no registro

da língua natural. Talvez essa problemática tenha ocorrido pela dificuldade dos

alunos em atribuir corretamente os significados de um objeto matemático neste tipo

de registro. Segundo Duval (1985), a distância entre a organização proposta ao

conteúdo cognitivo do texto e a organização redacional é um fator que deve ser

considerado. Ainda, ele relata que nos níveis mais avançados de ensino, os

registros monofuncionais são privilegiados. Isso pode acarretar nos estudantes

dificuldades de interpretação e de reconhecimento do objeto no registro da língua

natural, classificado como multifuncional discursivo.

Houve por parte dos estudantes a confusão na análise das equações

incompletas de planos, quando reconheceram a equação x + 3y = 1 como sendo

uma equação de reta, apesar de saberem que o trabalho era no R³. Estas

dificuldades também apareceram destacadas no trabalho de Lemke (2011), quando

ela citou que este tipo de confusão também ocorreu nas pesquisas de Sackur et al.

(2005), Schneider (1998) e Lebeau e Schneider (2010), em situações nas quais era

solicitado dos estudantes o reconhecimento das equações.


A atividade 3 propôs às duplas a determinação do centro e do raio de uma

superfície esférica a partir da sua equação reduzida, cujo centro não estava na

origem do sistema de coordenadas. Da mesma forma que o proposto na atividade

anterior, o registro de partida seria o algébrico e o de chegada o gráfico, com a

construção do objeto no ambiente do Cabri 3D.

As duplas não demonstraram dificuldades quanto à determinação do centro e

do raio de cada superfície. Com essas informações também tiveram facilidade na

construção no ambiente do Cabri 3D.

Apresentamos a seguir a produção das duplas tanto no ambiente papel e

lápis como no ambiente do Cabri 3D.

152

Figura 63 - Produção da Dupla D1 da Atividade 3

Figura 64 - Produção da Dupla D1 nas Tarefas a,b e c da Atividade 3 no ambiente do Cabri 3D

153

Construção do Cabri 3D

Figura 65 - Produção da Dupla D2 nas Tarefas a,b e c da Atividade 3

Pode-se observar que as duplas, na realização da Atividade 3 no ambiente do

Cabri 3D, utilizaram estratégias diferentes. D1 primeiro construiu cada vetor

representante do raio da superfície esférica e obteve o centro de cada superfície

movimentando o representante do vetor até conseguir os números obtidos no

ambiente papel e lápis.

154

D2, apresentando maior domínio na manipulação do software, primeiro criou o

representante de um vetor qualquer e, através dos comandos “coordenadas e

equações” e “manipulação”, abriu a caixa coordenadas que permite a alteração das

coordenadas dos pontos especificados pelo usuário, o que facilitou a resolução da

tarefa. Depois apenas alterou o comprimento do vetor para o tamanho especificado

em cada equação.


Pudemos observar, de acordo com os objetivos dessa atividade, que as

duplas conseguiram reconhecer o centro e o raio na equação reduzida. Pudemos

notar que a conversão do registro algébrico para o gráfico foi favorecida pela

utilização do ambiente do Cabri 3D, considerando a praticidade que este recurso

ofereceu. Concluímos, também, que as atividades 1 e 2 propiciaram uma influência

positiva na Atividade 3, já que também trabalharam com os registros gráfico e

algébrico de uma superfície esférica. Além isso, constatamos que o dinamismo do

software Cabri 3D facilitou o estabelecimento de conjecturas e de observações

quanto às propriedades da equação reduzida. Os participantes obtiveram êxito no

trabalho de conversão do registro algébrico para o registro gráfico e, da mesma

forma que Cândido (2010), a associação dos ambientes papel e lápis e Cabri 3D

constituiu um recurso positivo de trabalho. Cabe ressaltar que cada dupla utilizou

uma estratégia diferente no software, sendo que a D2 soube explorar melhor as suas

potencialidades.

Seguindo as indicações de Lemke (2011) com relação à importância da

elaboração de abordagens que averigúem a relação entre as diversas

representações e o uso de um software de geometria dinâmica, consideramos que a

atividade proposta propiciou aos participantes contatos diferenciados com o objeto

matemático “superfícies esféricas”.

155


Na Atividade 4, foram apresentadas às duplas algumas equações e pediu-se

o reconhecimento das que representavam superfícies esféricas. As duplas

analisaram cada uma das equações e apresentaram justificativas para aquelas que

não representavam superfícies esféricas.

As análises dos coeficientes, dos expoentes e do sinal do raio foram os

argumentos utilizados pelos estudantes, cujas produções são mostradas a seguir.

Figura 66 - Produção da Dupla D1 da Atividade 4 no ambiente papel & lápis.

156

Figura 67 - Produção da Dupla D1 da Atividade 4 no ambiente do Cabri 3D.

157

Figura 68 - Produção da Dupla D2 da Atividade 4 no ambiente papel & lápis

Figura 69 - Produção da Dupla D2 da Atividade 4 no ambiente do Cabri 3D

158

No geral, os alunos demonstraram autonomia e segurança na resolução da

tarefa proposta, uma vez que sabiam justificar suas conclusões. Destaca-se, neste

contexto, que a observação das propriedades inerentes ao tipo de equação faz parte

da apropriação e do reconhecimento do objeto em um de seus representantes.

Pudemos observar, como equívoco, que a análise da equação do item "f" foi feita em

relação ao plano, uma vez os alunos das duas duplas a classificaram como a

equação de uma parábola. Ainda, a dupla 1, na tarefa c, não soube justificar

corretamente na língua natural o motivo da equação não representar uma superfície

esférica.


Podemos evidenciar que o objetivo da atividade quanto ao reconhecimento do

objeto superfície esférica na sua representação no registro simbólico algébrico foi

atingido. As duplas conseguiram reconhecer as superfícies esféricas, através de

suas conjecturas no decorrer das atividades, o que denota que a abordagem

proposta nas atividades anteriores possibilitou a construção desse reconhecimento.

Destacamos que, para que o saber matemático seja colocado em funcionamento,

segundo Duval (2003), deve-se ter a apreensão de, pelo menos, dois registros de

representação. Isto ocorreu nessa atividade, ao passo que a cada superfície

devidamente reconhecida pelas duplas, houve a conversão do registro simbólico-

algébrico para o gráfico. Apesar disso, conforme já relatado, houve confusão por

parte das duas duplas no reconhecimento do objeto matemático relativo ao item f.


Na atividade 5, esperava-se que a dupla representasse o objeto superfície

esférica na sua representação algébrica, tendo como registro de partida o registro

gráfico.

A representação gráfica foi apresentada no Cabri 3D, conforme a figura a

seguir.

159

Figura 70 - Figura apresentada aos estudantes pelo Cabri 3D

Para a obtenção da equação, as duplas, de acordo com o enunciado,

poderiam usar qualquer recurso oferecido pelo software, menos o comando de

obtenção da equação.

Tanto D1 como D2, primeiramente pediram a coordenada do centro e o

comprimento do raio. Também optaram pela movimentação do plano, confirmando

visualmente que o centro não pertencia ao plano de referência.

As telas utilizadas por D1 e por D2 são apresentadas a seguir.

Figura 71 - Tela utilizada por D1 na Atividade 5

160

Figura 72 - Tela utilizada por D2 na Atividade 5

Após a observação e manipulação do objeto gráfico no software, as duplas

fizeram o registro da equação dessa superfície esférica no ambiente papel e lápis na

Tarefa a.



161

Salienta-se que houve um equívoco no cálculo do quadrado do raio na

produção de D1 e outro problema na produção de D2, quando atribuiu o valor 2,9 no

lugar de -2,9. Com relação a esse equívocos, caracterizamos tal fato como um erro

de distração. Por exemplo, D2, no seu rascunho, atribuiu o valor correto, conforme

pode ser observado a seguir.


Na Tarefa b da atividade 5, pediu-se então que as duplas verificassem se a

equação que eles escreveram como representante dessa superfície esférica estava

de acordo com a equação obtida através do software.

Por meio dessa atividade, pudemos observar que tanto D1 como D2

conseguiram associar os registros, ou seja, fizeram a conversão do registro gráfico

para o algébrico sem maiores dificuldades, sendo os equívocos presentes

caracterizados como erros de distração.


As duplas conseguiram realizar a conversão do registro gráfico apresentado

no ambiente do Cabri 3D para o registro simbólico algébrico sem maiores

dificuldades. Ficou evidenciado que as duplas perceberam que os elementos

162

necessários numa conversão do registro gráfico para o registro simbólico algébrico

seriam as coordenadas do centro dessa superfície e a distância desse centro a

algum ponto pertencente a este lugar geométrico. Constatamos, a despeito dos

erros nos cálculos, que a atividade possibilitou aos estudantes a coordenação entre

os registros gráfico e simbólico algébrico. Concluímos que a associação das mídias

papel e lápis e Cabri 3D favoreceu a produção das duplas, o que também foi

evidenciado no trabalho de Borba (2001), que descreveu a utilização de novas

mídias como uma abertura para possibilidades positivas no processo da construção

do conhecimento.


A atividade 6 era uma atividade de generalização no registro simbólico

algébrico de uma superfície esférica.

Tanto D1 como D2 não tiveram dificuldades na Tarefa a, que propôs a

representação da equação reduzida da superfície esférica de centro C=(a,b,c) e raio

r. Pudemos observar que essa tarefa foi beneficiada por decorrência das atividades

anteriores, que propiciaram aos estudantes o desenvolvimento de casos particulares

de superfícies esféricas. Neste caso, quando reconhecemos em um objeto certas

propriedades que lhe são particulares, poder-se-á ter mais facilidade para

representá-lo genericamente.

Figura 76 - Produção da Dupla D1da Atividade 6

163


A Tarefa b teve como objetivo a apresentação da equação geral da superfície

esférica, complementando assim o reconhecimento do objeto matemático na sua

representação no registro simbólico algébrico como também o tratamento desse

objeto nesse registro. Tanto D1 como D2, ao desenvolverem a equação reduzida da

superfície esférica, consideraram conveniente organizar a equação, mas podemos

observar que D1 e D2 não organizaram os termos em “grupos” semelhantes, tal que

x,y e z são variáveis e a,b e c são valores reais.

Figura 78 - Produção da Dupla D1 da tarefa b da Atividade 6

164

Figura 79 - Produção da Dupla D2 da tarefa b da Atividade 6


Através das produções das duplas, pudemos observar que os estudantes

tiveram êxito na determinação genérica da equação reduzida da superfície esférica e

conseguiram obter a equação geral, apesar de não apresentarem a mesma da forma

usualmente organizada nos livros didáticos.


Para resolver a Atividade 7, esperávamos que os estudantes estabelecessem

relações entre esta atividade e a atividade 6 para a determinação do centro e do

raio, porém, mesmo obtendo a equação geral da superfície esférica na tarefa b da

Atividade 6, eles não determinaram esses elementos por meio da comparação entre

a equação geral e as equações particulares apresentadas nesta atividade. Como a

representação da equação geral da superfície esférica não é dada no ambiente

Cabri 3D, os estudantes simplesmente não observaram as características dessa

forma de representação, considerando que apenas fizeram o tratamento da equação

reduzida da tarefa a da Atividade 6.

Evidenciamos, então, caso este experimento seja reutilizado para outros

sujeitos, que o registro simbólico-algébrico referente à equação geral da superfície

esférica poderá ser melhor explorado, uma vez que não foi natural aos estudantes

estabelecer a comparação esperada.

165

A estratégia utilizada pelas duas duplas foi a de completamento de

quadrados, a fim de transformar a equação geral na reduzida, porém, somente a

dupla 2 obteve sucesso nesta situação.

Os estudantes da D1, em um primeiro momento, pediram ao professor-

pesquisador que “explicasse” o que deveriam fazer. Ao notar que o processo havia

bloqueado, o professor-pesquisador questionou se não conseguiriam fazer a

associação da atividade 6 com o que lhes era proposto. P1 voltou a olhar a

Atividade 6, comparou com as tarefas da Atividade 7, perguntou para P2 o que ele

achava. Ambos demonstraram muita dificuldade na continuidade dessa estratégia. O

professor-pesquisador interveio propondo que organizassem a equação geral da

Atividade 6 em grupos semelhantes. P2 argumentou: “Mas (pausa), está

organizado... (mais uma pausa ), não está?”

O professor-pesquisador fez a distinção entre as variáveis e os coeficientes

reais, que estavam representados pelas letras a,b e c.

P1, em um primeiro momento, tentou fazer uma associação, sendo que não

solicitou qualquer auxílio nem ao seu colega nem ao professor-pesquisador.

Reescreveu a equação reduzida e a desenvolveu. Copiou a equação reduzida

abaixo da equação da tarefa a. Perguntou ao professor-pesquisador se “o quadrado

de uma soma era igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo

segundo mais o quadrado do segundo". O professor-pesquisador relatou que estava

correto. Ele interveio perguntando a P1 o que as equações tinham em comum. P1

marcou o que achava igual ou semelhante. Comentou com P2 que se tivesse, por

exemplo, o valor 1 perto do x² -2x, eles teriam o quadrado da diferença (x-1)².

Discutiram e concordaram que fariam esse complemento nos dois termos, assim não

estariam alterando a equação. P1 comentou: “o que se faz de um lado, se faz de

outro”. P1 mostrou a P2 o que poderiam fazer e determinou o centro e o raio da

primeira equação corretamente, isso utilizando também o processo de

completamento de quadrados. O professor-pesquisador questionou se não seria

mais fácil utilizar como estratégia a comparação com a equação geral. D1 comentou

que não conseguiram associar os elementos da equação geral com a reduzida e que

talvez se praticassem e tivessem mais tempo poderiam “se habituar” a fazer isso.

Sem mais intervenções, o professor-pesquisador deixou a dupla resolver os

exercícios. Em um primeiro momento, os estudantes da dupla pareciam ter

segurança na resolução.

166

Figura 80 - Rascunho produzido por D1 na Tarefa a da Atividade 7

Pode-se observar na figura apresentada que D1 cometeu erros no tratamento

da equação da superfície esférica, enquanto tentava coordenar suas idéias a fim de

executar o processo de completamento de quadrados nessa atividade.

Com D2, o processo de completamento de quadrados escolhido pelos

participantes foi automático. O professor-pesquisador, a fim de entender a escolha

dessa estratégia e não a da técnica de comparação para a resolução dessa

atividade, perguntou aos estudantes da D2 sobre o motivo de resolverem as tarefas

por esse método. P3 e P4 responderam que aprenderam esta estratégia na 3ª série

do ensino médio, em Geometria Analítica, e que achavam mais fácil fazer o

“caminho contrário” do desenvolvimento da equação reduzida. Apesar de não

relatarem, intuímos que a estratégia utilizada no ensino médio era relativa à

circunferência. Quando questionados sobre o motivo de não utilizarem a equação

geral que desenvolveram na atividade 6b, responderam que achavam mais prático o

método do completamento de quadrados.

167

Figura 81 - Produção da Dupla D2 da tarefa a da Atividade 7

Nas demais tarefas da atividade 7, os alunos da D2 tiveram sucesso, porém,

os estudantes da D1 continuaram cometendo equívocos, não conseguindo obter

corretamente o centro e o raio de uma superfície esférica dada na sua equação

geral, conforme apresentado a seguir.

Figura 82 - Produção de D1 nas Tarefas a e b da Atividade 7


Na tarefa b da atividade 6, na qual foi pedida a apresentação da equação

geral da superfície esférica, pôde-se observar que as duplas trabalharam de modo

mecanizado, não estabelecendo relações e conjecturas a respeito das

168

especificidades do objeto matemático neste tipo de representação, ou seja, não

houve por parte das duplas a preocupação em tornar esse representante associável

às outras formas de representação de uma superfície esférica. Elas demonstraram

apenas saber fazer o tratamento algébrico sem que houvesse alguma razão para a

sua execução. Isto pôde ser observado no momento em que as duplas não

utilizaram a comparação entre a fórmula da equação geral e o exercício proposto

para a determinação do centro e do raio. A estratégia das duas duplas consistiu em

trabalhar com a análise de completamento de quadrados. Tal fato e a falta de pré-

requisito por parte de D1 geraram, para esta dupla, dificuldades na resolução dessa

atividade. Observamos a presença de comportamentos automatizados dos

estudantes nas suas produções, como uma maneira de serem mais eficientes nos

resultados do que lhes é proposto sem que se tenha algum objetivo nesse

procedimento.

Considerando que a representação de um objeto é passível de determinado

significado de acordo com o contexto na qual está sendo empregada, o trabalho de

tratamento em um registro específico e um bom desempenho no uso das técnicas

podem tornar uma determinada representação “alheia” às demais. Seguindo a teoria

de Duval (2003), esse procedimento talvez possa ser explicado pelo fato de o ensino

superior priorizar o registro monofuncional discursivo, levando o estudante a uma

compreensão limitada do objeto matemático.

Fazendo uma análise crítica da atividade, ficou evidenciado que o software,

por não apresentar a equação geral da superfície esférica, não favoreceu aos

participantes o estabelecimento da relação dessa forma de representação com

representantes de outros registros do objeto matemático em estudo. Como o

software apresenta uma limitação quanto à representação algébrica do objeto

superfície esférica, concluímos que uma nova estratégia de atividade ou outro

recurso informático poderão ser incorporados, caso o experimento seja reutilizado

em outros sujeitos. Notamos, nesta fase, a necessidade de uma abordagem que

possa favorecer aos estudantes a observação e a relação das unidades

significativas da equação geral do objeto matemático com representações dos

demais registros, possibilitando a associação e a coordenação entre eles. Estando

de acordo com Laborde (2003), a estratégia por parte do professor-pesquisador

depende da sua percepção do trabalho e da tecnologia escolhida, o que reverbera

169

na elaboração de atividades a serem aplicadas de acordo com os objetivos do

educador.


A Atividade 8 teve por objetivo o reconhecimento do objeto matemático

superfície esférica na forma de sua equação geral. Constatamos que as duas duplas

procuraram observar a equação geral por eles desenvolvida na atividade 6,

buscando reconhecer o objeto nessa forma de representação

Os participantes da D1 primeiramente olharam toda a atividade e recorreram

ao professor-pesquisador para a resolução da mesma, sendo que este pediu para

que retornassem à atividade 6, uma vez que nela eles tiveram contato com essa

forma de representação.

Os estudantes da D2 pegaram as fichas e separaram a atividade 6, na qual

determinaram a equação geral da superfície esférica. Realizaram a atividade 8 sem

dificuldades seguindo o critério das características da equação que utilizaram por

modelo.

Já os estudantes da dupla D1, apesar de reconhecerem as superfícies

esféricas, não obtiveram sucesso quando lhes foi pedido para que fizessem a

representação gráfica da superfície esférica, já que teriam que determinar o centro e

o raio da mesma. O problema não residia no objeto matemático, mas sim, no pré-

requisito algébrico de fatoração.

As duas duplas seguiram os seguintes critérios para as suas análises:

observaram que na equação geral da superfície esférica da Tarefa b da atividade 6

não existia produto entre as variáveis xy,yz ou zy e que x,y e z deveriam estar ao

quadrado.

Nos quadros seguintes, foram apresentadas as justificativas dadas por D1 e

D2 com relação às equações que não representavam superfícies esféricas.

170



Como a atividade pedia aos participantes que, ao reconhecer uma superfície

esférica, fizessem a sua representação gráfica no Cabri 3D, novamente as duplas

171

optaram pelo método do completamento de quadrados. Os estudantes da D1

continuaram cometendo o mesmo tipo de equívoco presente na atividade 7.

Os sujeitos da D2, em um rascunho e no ambiente do Cabri 3D,

determinaram o centro e o raio das equações da tarefa a e da tarefa d e, sem

demonstrarem dificuldades, construíram as superfícies esféricas no ambiente do

Cabri 3D conforme apresentamos no quadro a seguir.

172


P3 ainda ressaltou que as equações representavam a mesma superfície, já

que a segunda equação era o triplo da primeira e, desta forma, não teriam que

construir duas superfícies na resolução dessas tarefas.


Constatamos que as duas duplas conseguiram reconhecer as superfícies

esféricas apresentadas na atividade 8, sendo que ambas buscaram na atividade 6

um modelo para que pudessem fazer as suas avaliações. Consideramos como ponto

positivo dessa atividade a análise por parte das duas duplas quanto aos critérios que

adotaram no reconhecimento do objeto em estudo na sua representação da

equação geral. Ficou evidenciado que os participantes utilizaram como estratégia a

observação das características do objeto nessa forma de representação. Apesar

disso, a dupla 1 cometeu o mesmo tipo de erro da atividade anterior e, desta forma,

o professor-pesquisador, em consonância com o proposto na metodologia de Design

Experiment, resolveu retomar o processo com essa dupla. A seguir, é apresentada a

recondução dessa atividade pelo professor-pesquisador.

173

7.2.9. Recondução das Atividades 7 e 8 com a dupla D1

Após observar a dificuldade dos estudantes da dupla D1, o professor-

pesquisador fez uma intervenção, que consistiu em solicitar aos sujeitos que,

partindo do centro e do raio obtidos na atividade 7, determinassem a equação geral

da referida superfície esférica. Em seguida, eles deveriam comparar o resultado

obtido com a equação inicial. Pôde-se observar por parte dos participantes um certo

desapontamento seguido de uma euforia para saber o que haviam errado. Em um

primeiro momento o professor-pesquisador comentou que um objeto matemático tem

várias formas de representação e as propriedades que ele tem em cada uma delas

estão interligadas, ou seja, o objeto, independente de suas representação, é o

mesmo, o que permite que se faça a conversão entre os registros. Desta forma,

pediu à dupla que fizesse a conversão dos resultados obtidos por eles na primeira

tarefa apresentados no registro numérico para o registro simbólico algébrico. Se

estivesse correto, voltariam para a equação proposta na tarefa b da atividade 7.

D1 apenas comentou:

"Você quer que a gente volte desse resultado para essa equação?" E aponta para a

equação da Atividade 7 que lhes foi entregue. Em um primeiro momento, D1

determinou algebricamente a equação reduzida através dos resultados por eles

produzidos no encontro anterior. Após terem realizado a atividade proposta pelo

professor-pesquisador, concluíram que realmente o centro e o raio não coincidia

com a equação da atividade b. A produção da dupla é apresentada a seguir.


174

Nesse momento o professor-pesquisador relembrou aos participantes a

resolução e expansão do quadrado de uma diferença. Executou com a dupla o

desenvolvimento do quadrado da soma e do quadrado da diferença e percebeu que

a dupla entendeu o engano que havia cometido. Na resolução das atividades, P2

assumiu a tarefa pois parecia estar mais ansioso para demonstrar um resultado

positivo para o professor-pesquisador.

Apresentamos a seguir as produções de D1 após a intervenção.

175

Figura 87 - Produção de D1 após intervenção nas Tarefas da Atividade 7 e 8

Após essa retomada, os participantes demonstraram segurança nas

resoluções, entregando as fichas ao professor-pesquisador e comentando que

realmente haviam cometido um equívoco no processo de completamento de

quadrados.

Estando de acordo com a metodologia de Design Experiment, a intervenção

do professor-pesquisador ocorreu quando necessária, na forma de novos

questionamentos e situações, tentando contornar as dificuldades e confusões dos

participantes, direcionando-os a uma nova interpretação das situações e à

construção de estratégias que efetivamente conduziram ao sucesso na resolução

das tarefas.


Na tarefa 9, foi proposto à dupla que criasse no ambiente do Cabri 3D uma

superfície esférica com centro na origem (0,0,0) e que determinasse a curva de

intersecção entre o plano de referência e a superfície esférica.

As duplas seguiram as orientações do enunciado e reconheceram o arco da

intersecção do plano com a superfície esférica como sendo uma circunferência.

D1 não apresentou dificuldades nessa atividade e enfatizou que a

possibilidade de obter várias vistas do objeto matemático ajudava muito na

observação e interpretação da intersecção do plano com a superfície esférica. P2

ainda comentou que o próprio software avisava que a intersecção era uma

circunferência quando encostava o mouse sobre o arco, o que auxiliou a dupla a

176

validar a sua conjectura inicial. Apesar disso, a dupla não apresentou a equação da

circunferência por eles criada, mas sim a equação genérica de uma circunferência.

A seguir, apresentamos as produções de D1 nos ambientes do Cabri 3D e do

papel e lápis.



D2 também seguiu as orientações do enunciado e, ao reconhecer o arco

como sendo uma circunferência, também representou a equação geral de uma

circunferência e não da circunferência específica criada no ambiente do Cabri 3D.

177

Para justificar o reconhecimento da circunferência como sendo o arco formado por

um plano e uma superfície esférica, os estudantes utilizaram-se dos recursos do

software, mostrando que o representante do vetor de origem no centro da superfície

esférica e extremidade no arco de intersecção, ao ser manipulado mantinha o

mesmo módulo, ou seja, cada ponto pertencente a este arco possuía a mesma

distância de um ponto fixo chamado de centro. Mesmo tendo observado que o

software reconhecia a intersecção como sendo uma circunferência, em suas

justificativas, os estudantes procuraram apresentar as propriedades inerentes ao

objeto circunferência. D2 também utilizou o recurso “NOVA VISTA” do software,

obtendo duas VISTAS do mesmo objeto, o que possibilitou a observação da secção

em outras perspectivas.

Sem apresentar qualquer dificuldade, P3 comentou com o outro membro da

dupla que a tarefa estava pedindo a equação daquela circunferência que acabaram

de desenhar. P4 colocou o cursor do mouse sobre a intersecção e mostrou para P3

o objeto que eles deveriam descrever algebricamente. Ao fazer o rascunho da

equação, P3 pediu ao colega que determinasse o raio da superfície esférica no

software para poder completar a equação.

Apesar de concordarem na representação algébrica, registraram a curva de

intersecção como sendo um círculo, estabelecendo uma confusão entre

circunferência e círculo. Apresentamos a seguir a produção de D2 nessa atividade.

178




Podemos observar que as duplas conseguiram concluir satisfatoriamente a

atividade 9, apresentando estratégias diferenciadas no ambiente do Cabri 3D.

Destacamos também que a confusão por parte dos estudantes de D2 na descrição

179

do objeto circunferência como sendo um círculo não ocorreu devido ao fato de não

reconhecerem esses objetos, mas sim, por um equívoco na representação da língua

natural.

Ressaltamos que há obras que diferenciam círculo e circunferência e outras

que consideram estes dois termos como sinônimos, como na apostila “Geogebra,

aplicações ao Ensino da Matemática" da Universidade Federal do Paraná. Em

alguns casos, o uso desses dois termos como sinônimos é decorrente de problemas

de tradução, como por exemplo, na tradução portuguesa da versão latina de

Frederico Commandino impressa na Universidade de Coimbra da obra “Elementos

de Euclides”, que apresenta na proposição 10, do livro III : “ Um círculo não corta

outro círculo em mais que dois pontos”. Tais evidências mostram a necessidade, na

apresentação dos objetos matemáticos, de uma normatização na representação da

língua natural, evitando, assim, este tipo de confusão.

Concluímos que o software teve um papel fundamental no desenvolvimento

dessa atividade e que o seu dinamismo propiciou aos participantes que

enxergassem e definissem a intersecção de um plano com uma superfície esférica

como sendo uma circunferência. Destacamos que esse favorecimento por parte de

um software dinâmico também foi evidenciado nos trabalhos de Bittar (1998),

Cândido (2010), Lemke (2011) e Borba (2001).

Da mesma forma que Borba (2001), observamos também a exploração do

software na busca de validação de conjecturas e a possibilidade de realizar uma

inversão na ordem tradicional de ensino, uma vez que os estudantes puderam iniciar

o processo pela investigação e experimentação para posteriormente partir para a

teorização.


Na atividade 10, denominada como atividade desafio, teve-se por objetivo que

as duplas pudessem avaliar o tipo de curva gerada pela intersecção entre uma

superfície esférica e um plano secante a esta superfície. D1 abriu o arquivo já criado

no Cabri 3D denominado figura 10, o qual é apresentado a seguir.

180


D1, seguindo as orientações da Tarefa a, foi discutindo cada passo e

manipulando a figura. Ao se pedir que justificasse para um colega que a intersecção

entre esta superfície esférica e o plano secante a ela era uma circunferência, P2

então registrou que a figura representaria uma circunferência pois a distância do

centro era sempre a mesma. Nesse momento o professor-pesquisador interveio

questionando a que distância eles se referiam. P1 indicou na tela do Cabri 3D o raio

da superfície esférica. O professor-pesquisador indagou sobre como essa

constatação justificaria que a intersecção entre o plano e a superfície esférica era

uma circunferência e qual seria a equação desta circunferência.

P2 respondeu: "Olha... essa medida é sempre igual certo? Essa extremidade

desse raio está fixada aqui nesse plano (começa a esboçar a representação

geométrica de um cone de revolução) Esse raio é uma geratriz! Se rodarmos ele

(fez o movimento com o dedo), ele desenha nesse plano uma circunferência e

teríamos um cone!”

P2, através do reconhecimento das propriedades inerentes ao objeto, relatou

na língua natural que sempre seria possível obter um cone, e assim conseguiria

explicar a um colega que a intersecção era uma circunferência. Observa-se que

181

essa dupla não evidenciou o caso de intersecção entre uma superfície esférica e um

plano secante a ela passando pelo seu centro. A dupla utilizou o ambiente papel e

lápis para representar geometricamente, embora já tivesse essa representação no

ambiente do Cabri 3D. Os alunos de D1, mesmo quando estimulados pelo professor-

pesquisador a determinarem a equação da circunferência presente na tela, somente

comentaram, naquele momento, que essa seria x² + y² = r².


D2, nessa tarefa, também seguiu as instruções apresentadas e quando foi

proposto que explicassem a um colega que a intersecção entre essa superfície

esférica e o plano era uma circunferência, houve uma certa discussão entre a dupla.

182

P3 apresentou grande preocupação em comprovar tal fato algebricamente enquanto

P4 tentava justificar por meios geométricos utilizando o Cabri 3D.

P3 demonstrou um certo desapontamento, pois queria uma resposta algébrica

e realmente não conjecturou como estratégia a resolução de um sistema com as

equações desse plano e dessa superfície esférica.

P4, por meio dos recursos do software, traçou uma perpendicular ao plano

passando pelo centro da superfície esférica, determinou o ponto de intersecção

entre o plano e essa perpendicular, obtendo o centro da circunferência. Construiu o

representante de um vetor que partiu desse ponto de intersecção até a

circunferência e, movimentando esse representante, observou que a sua medida

não mudava, ou seja, a figura era uma circunferência.

Nos quadros a seguir apresentamos o rascunho produzido pelos participantes

em busca de uma solução para a tarefa proposta e a produção no ambiente do Cabri

3D.

183



184



185


P3 comentou que não saberia como expressar algebricamente que a

intersecção entre aquele plano e aquela superfície representava uma circunferência.

Mesmo com a intervenção do professor-pesquisador recordando que essa

intersecção representaria os pontos em comum tanto ao plano como à superfície

esférica, eles não pensaram em utilizar como estratégia a resolução de um sistema

com as equações do plano e da superfície esférica. P4 argumentou que, por meio do

software, conseguiu mostrar que aquele representante do vetor com origem na

intersecção entre o plano e a perpendicular que passava pelo centro da superfície

esférica e extremidade na curva de intersecção era o raio da circunferência. Os

alunos da dupla decidiram partir para a Tarefa b, a qual pedia que movimentassem o

plano, levantando suas observações quanto à intersecção. Ambos concordaram que

ao mover o plano, mantendo-o secante à superfície esférica, a todo momento a

intersecção continuava sendo uma circunferência. Na generalização proposta na

Tarefa c, na qual se perguntava que curva era obtida na intersecção entre um plano

π qualquer e uma superfície esférica α, sendo o plano secante à superfície esférica,

D1 respondeu que sempre seria obtida uma circunferência como intersecção.

186

Na Tarefa b pediu-se para que os estudantes movimentassem o plano a e

observassem o que se alterava na secção entre o plano e a superfície esférica. D1

observou que, mesmo com o movimento, havia a manutenção da distância entre o

centro (da circunferência) e o ponto A (que pertencia à circunferência), ou seja, que

sempre teriam uma circunferência como intersecção. Ainda, a dupla observou que o

tamanho da circunferência se alterava e, conseqüentemente, os valores de seu raio.


D2 apenas registra que sempre haveria um circulo como intersecção.


Mesmo não apresentando dificuldades quanto ao objeto circunferência e suas

propriedades, D2 definiu que a intersecção do plano com a superfície esférica

apresentada no exercício era um círculo, o que demonstra, da mesma forma que o

ocorrido na atividade 9, problemas na representação da língua natural.

Na Tarefa c pediu-se para que o estudante generalizasse a intersecção entre

um plano π e uma superfície esférica α, sendo o plano secante à superfície esférica.

D1 respondeu que seria uma circunferência, tendo por base a manutenção da

distância entre qualquer ponto da secção e de seu centro.

187


De acordo com a proposta da atividade, pudemos observar êxito tanto na

tarefa a como na tarefa b. Tivemos como resultados estratégias diferentes por parte

das duplas, que buscaram métodos para que suas conjecturas e afirmações quanto

à intersecção do plano e da superfície esférica ser uma circunferência tivessem

fundamento.

Pudemos observar que D1 utilizou-se de outro objeto matemático, no caso a

superfície de um cone, formado pela movimentação do segmento que unia o centro

da superfície esférica a um ponto do arco gerado pela intersecção dela com o

plano. D2, através dos recursos do software, conseguiu mostrar que a intersecção

entre um plano e uma superfície esférica seria uma circunferência, por meio da

determinação do seu centro e da análise da distância entre ele e qualquer ponto da

curva. Estando de acordo com Duval (1996), concluímos que no processo de

construção do conhecimento matemático, há a necessidade de uma diversidade de

registros de representação dos objetos. Ao se conhecer os registros inerentes a um

objeto matemático, pode-se optar pelo que simplifica a resolução de um determinado

problema. A opção por determinado tipo de resolução pode evidenciar por parte dos

sujeitos um domínio maior em determinado tipo de registro, uma vez que não lhes foi

proposta uma representação específica na resolução, haja vista o interesse por parte

do professor-pesquisador em avaliar que tipo de estratégia os participantes

escolheriam, tendo como uma hipótese que a resolução de um sistema entre as

equações da superfície esférica e do plano seria o caminho escolhido.

Constatou-se que o ambiente do Cabri 3D teve um papel fundamental nessa

atividade e que seus recursos foram explorados por parte dos estudantes, tornando-

o uma ferramenta de construção de conjecturas e conhecimento, sendo assim uma

forma particular de aprendizagem. Apesar disso, notamos que nenhuma dupla

conseguiu determinar a equação da circunferência presente na tela do Cabri. Não foi

natural para esses estudantes a busca pela resolução de um sistema de equações,

considerando o fato de que as equações do plano e da superfície esférica poderiam

ser obtidas automaticamente por comandos do software. Com isso, não houve,

nesta atividade em particular, a coordenação efetiva entre os registros, cuja

necessidade é apontada por Duval (2006). Dessa forma, em consonância com o

188

proposto pela metodologia de Design Experiment, sugerimos, para futuras

aplicações dessa atividade, que reajustes ou complementações sejam realizados,

para proporcionar ao estudante novos meios de busca da coordenação entre os

registros gráfico e algébrico.

189

8. CONCLUSÃO

Antes de apresentar a conclusão desse estudo, faremos uma retomada dos

principais aspectos que o caracterizaram, com a finalidade de fornecer ao leitor uma

visão global da presente pesquisa.

O objetivo desse trabalho consistiu em elaborar, aplicar e avaliar um

experimento de ensino sobre superfícies esféricas com a utilização do software

Cabri 3D. Ele teve como alicerce a teoria dos registros de Representações

Semióticas de Raymond Duval (1995, 2003, 2006) e tomou por base outros

trabalhos que observaram tanto as dificuldades dos estudantes em situações que

requeriam conversões envolvendo o registro gráfico, tais como os estudos de

Pavloupoulou (1993), Bittar (1998), Castro (2001) e Karrer (2009), como trabalhos

que destacaram a necessidade de novas abordagens inserindo ferramentas

computacionais no processo de ensino e aprendizagem, tais como os de Borba

(2001), Araújo (2007), Karrer (2006), Cândido (2009) e Lemke (2010).

Objetivando colaborar na busca de novas abordagens no processo de ensino

e aprendizagem do conteúdo superfícies esféricas que pudessem complementar as

práticas usualmente estabelecidas, arquitetamos nosso projeto, delimitando a nossa

questão de pesquisa e as hipóteses iniciais que se constituíram como preâmbulo do

nosso experimento.

Desta forma, foi definida a seguinte questão:

“Em quais aspectos uma abordagem inovadora sobre superfícies esféricas,

que envolvem conversões de registros semióticos e um software de geometria

dinâmica influenciaria na aprendizagem desse objeto matemático?”

O experimento foi elaborado com base na Metodologia de Design

Experiments de Cobb et al. (2003), que nos permitiu a readequação das atividades

de acordo com as produções fornecidas pelos estudantes durante sua execução.

Seguiremos a nossa conclusão avaliando se as hipóteses previstas foram

validadas, descrevendo as dificuldades e as evoluções apresentadas pelos

estudantes, como também a influência do software nesse processo.

Primeira Hipótese: A abordagem proposta influenciará a construção desse

conhecimento pelo estudante nos seguintes aspectos:

190

Hipótese a) na percepção das características do objeto matemático em cada

registro utilizado;

Hipótese b) no estabelecimento de relações entre representações dos

registros presentes no experimento;

Hipótese c) na determinação de análises partindo do registro gráfico e

Hipótese d) em compreensões diferenciadas das obtidas nas intervenções

realizadas exclusivamente no ambiente papel&lápis, decorrentes do aspecto

dinâmico da ferramenta utilizada.

Com relação às hipóteses "a" e "b", consideramos que essa abordagem

influenciou positivamente os participantes quanto à percepção das características do

objeto matemático superfície esférica nos registros apresentados em cada tarefa e

quanto ao estabelecimento de relações entre eles. Cabe-nos reforçar que a

facilidade de construir o objeto superfície esférica na sua representação gráfica

através do ambiente de um software dinâmico apresentou-se como ponto positivo

nesse tipo de abordagem.

Constatamos também que o ambiente de experimentação do Cabri 3D,

associado ao ambiente papel e lápis, favoreceu o trabalho de conversão e de

tratamento nos registros algébrico, gráfico e numérico. Ficou evidenciado que a

apresentação simultânea e a manipulação dos registros inerentes ao objeto

superfície esférica possibilitou aos estudantes que fizessem a relação entre os

registros apresentados nas atividades. Por exemplo, na atividade 1, eles construíram

o objeto superfície esférica partindo da experimentação, observando as

características desse objeto nos registros gráfico e algébrico. Nas atividades 2 e 3,

eles reconheceram equações de superfícies esféricas dadas na forma reduzida,

demonstrando segurança na determinação do centro e do raio e, na atividade 7,

eles reconheceram as superfícies esféricas a partir de suas equações gerais.

Em particular, na atividade 2, eles puderam escrever as equações reduzidas

de superfícies esféricas, relacionar o módulo do vetor com a medida do raio da

superfície esférica e observar as características dos coeficientes de x²,y² e z². Tal

fato favoreceu a análise da especificidade da representação algébrica desse objeto

matemático e o sucesso na conversão posterior para o registro gráfico demonstrou

que os estudantes conseguiram associar e relacionar o objeto nos registros que

foram trabalhados nas atividades.

191

Pudemos observar que nas tarefas que requeriam relações entre

representações dos registros algébrico, gráfico e numérico, como por exemplo nas

atividades 1,3,9 e 10, a abordagem favoreceu este tipo de relação. As duas duplas

conseguiram estabelecer essas relações com êxito na maioria das tarefas.

Apesar dos estudantes, na maioria das atividades do experimento, terem

obtido resultados satisfatórios, temos alguns aspectos que merecem uma análise

especial quanto ao registro da língua natural e quanto à equação geral da superfície

esférica. Notamos que D1 apresentou dificuldade em relatar corretamente o objeto

matemático na língua natural, ou seja, dificuldade em descrever as características

inerentes ao objeto superfície esférica, confundindo, por exemplo, o centro da

superfície com a origem do sistema. Ainda, a utilização da palavra "círculo" no

sentido de "circunferência" e "esfera" no sentido de "superfície esférica" foi uma

constante nas atividades da D2. Consideramos que o registro da língua natural

devesse ser mais empregado quando se apresenta determinado objeto matemático

no processo de ensino e aprendizagem. Ponderando que a língua natural tem

aspecto fundamental uma vez que expressa o “entendimento” e o “reconhecimento”

do contexto, este tipo de registro deve representar as características do objeto

matemático corretamente, sem que haja a possibilidade de interpretações

distorcidas ou dúbias. Ressalta-se que essa dificuldade acaba por prejudicar a

atividade de conversão da língua natural para uma representação de outro registro

do mesmo objeto matemático.

Relatamos também a dificuldade por parte da dupla 1 na obtenção do centro

e do raio partindo da equação geral. Pudemos observar que tal dificuldade ocorreu

por falta de pré-requisitos dos participantes, tornando necessária uma intervenção

por parte do professor pesquisador, que é prevista na metodologia de Design

Experiment.

Por fim, a confusão por parte dos estudantes na análise de equações

incompletas de planos quando lhes foi solicitado o reconhecimento do objeto

matemático representado é evidenciada em outros trabalhos de pesquisa, como

Sackur et al. (2005), Schneider (1998) e Lebeau e Schneider (2010), destacados por

Lemke (2011).

Com isso, concluímos que as hipóteses "a" e "b" foram parcialmente

confirmadas.

192

Quanto à determinação de análises partindo do registro gráfico, referente à

hipótese "c", o que pudemos constatar é que na maioria das atividades os

participantes tiveram êxito neste tipo de solicitação. Por exemplo, na atividade 5, aos

estudantes foi apresentada uma representação gráfica de uma superfície esférica,

solicitando sua equação reduzida. As duplas conseguiram evidenciar as informações

necessárias que deveriam destacar no registro gráfico para a determinação da

equação no ambiente papel e lápis. Nas atividades 9 e 10, elas conseguiram avaliar

a curva de intersecção entre uma superfície esférica e um plano secante a ela.

Apesar disso, pudemos observar na tarefa h da atividade 1, que a

representação de objetos tridimensionais no plano gera dificuldades, e que um

software de geometria dinâmica, por permitir a manipulação do objeto matemático,

pode ser uma ferramenta útil na busca da solução dessa problemática. Uma outra

dificuldade observada por parte dos sujeitos aparece na atividade 10, cuja análise

que partiu do gráfico ficou incompleta. Eles conseguiram fazer a análise gráfica,

porém não conseguiram determinar a equação representante da intersecção entre o

plano e a superfície esférica. Isso confirma a dificuldade quando o registro de partida

é o gráfico, que é evidenciado em outros trabalhos de pesquisa citados em nossas

referências bibliográficas. Evidenciamos que a relação entre os registros requer por

parte dos estudantes que saibam fazer o tratamento em determinado registro

objetivando determinado resultado, ou seja, além de saber reconhecer o objeto

representado, há necessariamente a familiarização quanto aos tratamento inerentes

aos registro de representação semiótica.

Desta forma, concluímos que a hipótese "c" foi parcialmente confirmada.

Quanto às compreensões diferenciadas das obtidas nas intervenções

realizadas exclusivamente no ambiente papel e lápis, referente à hipótese "d",

seguindo a problemática levantada pelos trabalhos de Pavloupolou (1993) e Karrer

(2006), o experimento teve como característica inicial apresentar o objeto

matemático de maneira diferenciada da tradicional. Isto porque ele foi concebido de

modo a proporcionar inicialmente aos estudantes o reconhecimento experimental

das características do objeto superfície esférica, ou seja, foi possível realizar uma

inversão da abordagem usual, uma vez que se partiu da experimentação no

ambiente computacional. O aspecto positivo, tanto pela facilidade de representação

de um objeto e a interação entre as suas representações como também a utilização

de um meio que na atualidade faz parte do cotidiano dos estudantes, está de acordo

193

com Borba (2001) que reforça a inserção de ferramentas computacionais no

processo de ensino e aprendizagem. As atividades que transcorreram foram

elaboradas de modo a relacionar representações dos registros gráfico, simbólico-

algébrico e da língua natural.

Ainda, o experimento permitiu a elaboração de conjeturas e o trabalho de

validação por parte das duplas. Por exemplo, toda a construção inicial culminou na

atividade 6, a qual propunha que os estudantes determinassem genericamente a

equação reduzida da superfície esférica e a equação geral. As duplas tiveram êxito,

o que confirma que este tipo diferenciado de abordagem operou oportunamente.

Outro ponto a destacar no experimento refere-se aos resultados obtidos na

atividade 9. Nela foi possível evidenciar que a abordagem proposta trouxe aos

estudantes uma independência para conjecturar, analisar suas conjecturas e

posteriormente apresentar suas conclusões. Este tipo de abordagem provavelmente

atua como base no processo de ensino e aprendizagem de modo substancial.

Desta forma, consideramos que a hipótese "d" foi confirmada.

Segunda Hipótese: O dinamismo do Cabri 3D favorecerá ao aluno observar

com mais detalhes as relações entre os registros, tendo em vista a possibilidade de

visualização simultânea dessas relações.

Concluímos que o dinamismo do software Cabri 3D reverte-o em uma

ferramenta oportuna para novas abordagens no processo de ensino e

aprendizagem, uma vez que ele permite aos estudantes o estabelecimento de

relações entre representações dos registros gráfico, numérico e simbólico-algébrico

de maneira simultânea. Ainda, é possível a observação, em tempo real, das

conseqüências que uma alteração em uma representação de um registro ocasiona

em outros, dada a possibilidade de manipulação da representação do objeto.

Pode-se constatar que o software atuou de maneira fundamental,

representando um suporte para que os sujeitos conseguissem construir e consolidar

as suas conjecturas no decorrer das atividades propostas neste experimento. Cabe-

nos ressaltar que a ferramenta adotada apresenta algumas limitações. Por exemplo,

pudemos observar que o software não apresenta a representação simbólico-

algébrica da intersecção entre a superfície esférica e um plano secante a ela e

também não apresenta a equação geral da superfície esférica. Isso nos levou a

194

conjecturar sobre a necessidade da busca de um outro alicerce que apresentasse as

representações que o software não oferece.

Esta conclusão nos vem decorrente da análise das atividades 7 e 8, por

exemplo, nas quais o software não teve nenhuma influência quanto às conjecturas e

desempenho das duplas.

O fato de o software apresentar a equação da superfície esférica somente na

sua forma reduzida não propiciou aos estudantes a observação simultânea da

equação geral da superfície esférica e os registros gráfico e numérico. Como

conseqüência, tivemos por parte dos estudantes um desempenho parcial, uma vez

que fizeram tratamentos nas representações algébricas de modo mecanizado, sem

que objetivassem a organização da equação de uma maneira a facilitar o

reconhecimento do objeto matemático e suas características.

Esse desempenho talvez seja decorrente do modo como trabalharam com

equações gerais de circunferência no ensino médio, já que as duas duplas optaram

pelo processo de completamento de quadrados e não pela análise da equação

geral. Isso nos leva, mesmo que tenham obtido resultado satisfatório, a um

questionamento quanto à observação e apropriação parcial em determinado registro

de um objeto matemático. Notamos que as duplas conseguiram observar quando

uma equação geral representa uma superfície esférica, porém não demonstraram

reconhecer o centro e o raio de um superfície sem que fizessem o tratamento via

completamento de quadrados, mesmo quando o professor-pesquisador os

questionou sobre isso.

Quanto às atividades 9 e 10, que trataram da intersecção entre plano e

superfície esférica, sendo o plano secante à superfície esférica, o software ofereceu

apenas a apresentação da circunferência no registro figural, descartando uma

confirmação, por exemplo, dos estudantes, quanto à representação simbólico-

algébrica da circunferência.

Desta forma, concluímos que a segunda hipótese foi parcialmente

confirmada.

Retomando a nossa questão de pesquisa, dada por “Em quais aspectos uma

abordagem inovadora sobre superfícies esféricas, que envolveu conversões de

registros semióticos e um software de geometria dinâmica, influenciaria na

aprendizagem desse objeto matemático?”, concluímos que, apesar das dificuldades

citadas em alguns episódios do experimento, a abordagem proposta permitiu a

195

construção do objeto matemático por meio de uma entrada experimental, favoreceu

a avaliação das especificidades de representações de diferentes registros e a

análise de suas relações, forneceu condições para o reconhecimento de equações

de superfícies esféricas e análises partindo do registro gráfico e trouxe aos

estudantes um modo mais independente de construção do conhecimento.

Concluímos, pela análise de nosso experimento, que novas abordagens que

reforcem a utilização do registro gráfico em atividades de conversões podem

oferecer aos estudantes novas possibilidades de acesso e conseqüentemente

compreensões diferenciadas do objeto matemático. Concebemos que a utilização de

meios computacionais voltados ao ensino de Matemática é um caminho promissor

para que muitas das dificuldades neste processo de ensino e aprendizagem sejam

amenizadas.

Esperamos que o presente estudo possa contribuir para a área de Educação

Matemática, constituindo um material de apoio para o ensino de Geometria Analítica.

De acordo com os resultados obtidos na abordagem proposta nesse trabalho

de pesquisa, no qual evidenciamos um aproveitamento significativo por parte dos

estudantes no aprendizado do objeto de estudo superfície esférica, destacamos,

como perspectiva para novas investigações, a elaboração de abordagens que

procurem explorar a relação entre as diversas representações em outros tópicos de

Geometria Analítica e a utilização de um software de geometria dinâmica que

favoreça a interação entre os representantes do objeto de estudo.

Neste desenvolvimento observamos que há campo para novos trabalhos que

reforcem a utilização do registro da língua natural, com o intuito de amenizar as

dificuldades na utilização desse registro. Ainda, notamos a necessidade de

pesquisas que tratem do reconhecimento de objetos matemáticos por meio de suas

equações. Por fim, sugerimos a realização de estudos que abordem a análise de

intersecções entre cônicas e planos com auxílio de um recurso de geometria

dinâmica,

196

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202

ANEXO I

FAMILIARIZAÇÃO NO CABRI 3D

203

FAMILIARIZAÇÃO NO CABRI 3D

1. Construção do vetor no sistema e obtenção de suas coordenadas e de seu módulo:

a) Construção do vetor no sistema

Na Barra de Ferramentas, vá com o cursor do mouse até o terceiro botão,

pressione o botão esquerdo do mouse, arraste-o e selecione o comando

“VETOR” dando um clique com o botão esquerdo sobre ele. Vá com o cursor

até a origem do sistema e dê um clique com o botão esquerdo do mouse

sobre ela. Determine a extremidade do vetor dando um clique com o botão

esquerdo do mouse em alguma região no sistema .

Obs: Caso o usuário queira nomear o vetor construído, basta que , ao

construí-lo, digite uma letra.

Para uma nova construção ou mesmo manipulação do vetor construído, vá

até o primeiro botão da barra de ferramentas e selecione “MANIPULAÇÃO”.

Importante: Na construção de um vetor no ambiente do Cabri 3D, ele

automaticamente permanecerá ao plano de referência. Para construí-lo fora

desse plano, é necessário apartar a tecla “shift” no momento da construção

de seu ponto de extremidade.

b. Como obter as coordenadas de um vetor:

Para a obtenção das coordenadas de um vetor que já foi construído, vá com o

cursor do mouse até o ultimo botão da barra de ferramentas e clique com o

botão esquerdo. Acione o comando “coordenadas e equação” clicando com o

botão esquerdo do mouse. Clique no ponto extremo do vetor construído,

obtendo assim as suas coordenadas. Caso se queira mudar as coordenadas,

clique com o botão esquerdo do mouse no primeiro botão da barra de

ferramentas acionando assim o comando “MANIPULAÇÃO”.

Basta clicar com o botão esquerdo ( duplo clique ) do mouse sobre as

coordenadas do vetor que aparecerá uma janela que permite a alteração das

coordenadas.

204

c. Módulo ( ou comprimento) do vetor

Vá com o cursor do mouse até o ultimo botão da barra de ferramentas e

acione o comando “ COMPRIMENTO”. Clique sobre o vetor que será

determinado o comprimento, obtendo assim o seu módulo.

2. Distância entre dois pontos

Clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ultimo botão da barra de

ferramentas e acione o comando “DISTÂNCIA”. Basta clicar com o botão

esquerdo do mouse sobre os dois pontos para determinar a distância entre

eles.

3. Criar um ponto fora do plano de referência

Com o cursor do mouse, clique com o botão esquerdo sobre o segundo botão

da barra de ferramentas e acione o comando “ PONTO”. Pressione a tecla

“Shift”. Clique com o mouse no local onde se pretende criar o ponto. Solte a

tecla “Shift”. A tecla “Shift” “libera” os pontos do plano de referência, caso

contrário todos os pontos automaticamente pertencerão a este plano.

4. Coordenadas de ponto e vetor

Vá com o cursor do mouse no ultimo botão da barra de ferramentas e clique

sobre ele com botão esquerdo. Acione o comando “ COORDENADAS E

EQUAÇÕES”. Clique sobre o ponto e sobre o vetor previamente construído.

As coordenadas serão exibidas na tela.

5. Construção de plano

Para a construção de um plano, clique com o botão direito do mouse no

quarto botão da barra de ferramentas e acione o comando “PLANO”. Deverão

ser determinados dois pontos que pertençam a este plano.

Clique em algum lugar do plano de referência, aperte a tecla “shift” para que

este segundo ponto não pertença ao plano de referência. Aparecerá então o

plano que poderá ficar posicionado de acordo com o clique de um terceiro

ponto fixando-se assim a imagem.

205

6. Determinação de equação no software

Vá com o cursor do mouse sobre o ultimo botão da barra de ferramentas e

clique com o botão esquerdo. Acione o comando “ COORDENADAS E

EQUAÇÕES”. Vá com o cursor do mouse no objeto que se pretende

determinar a equação ( Superfície Esférica, reta, plano). Aparecerá a

equação. Caso a posição da equação não esteja favorável para leitura, basta

primeiro ir com o cursor do mouse ao primeiro botão da barra de ferramentas

e acionar o comando “MANIPULAÇÃO”. Pressione com o botão esquerdo do

mouse, arraste a equação pra um local que esteja mais visível e solte o botão.

7. Curva de intersecção entre superfície esférica e plano

Clique no terceiro botão da barra de ferramentas e acione o comando

“CURVA DE INTERSECÇÃO”. Vá com o cursor do mouse na intersecção

entre o plano e a superfície esférica que já foi construída anteriormente e

clique com o botão direito do mouse.

8. Visão superior

Para que se obtenha a vista superior, vá com o cursor do mouse e clique no

botão “DOCUMENTO” na barra de menu e acione o comando “NOVA VISTA”.

Aparecerá na tela uma nova janela com botões para se obter perspectivas.

Vá com o mouse no botão em perspectiva paralela, desenho técnico e clique

no botão “SUPERIOR”.Aparecerá a imagem da visão superior. O usuário

pode mexer na figura por essa perspectiva.

9. Movimentação do plano de referência

Posicione o cursor do mouse no plano de referência e pressione o botão

direito. Movimente o mouse. O plano de referência se movimentará,

permitindo que se tenha uma visualização do ambiente em outra perspectiva

10. Calculadora

Clique no último botão da barra de ferramentas e acione o comando

“CALCULADORA”. Aparecerá na tela uma janela intitulada calculadora que

permite que se façam as operações usando o teclado ou mesmo

206

selecionando valores presentes na tela.É possível arrastar o resultado para a

tela.

11. Redefinição

Considere o vetor construído fora do plano de referência. Para redefini-lo no

plano de referência, clique com o ponteiro do mouse no primeiro botão da

barra de ferramentas e selecione o comando “REDEFINIÇÃO”. Clique então

na extremidade do vetor a qual se pretende redefinir no plano de referência

e, em seguida, no plano de referência.

12. Como editar (formatar) os objetos do Cabri 3D (cor, espessura, etc)

Para alterar a cor, espessura, enfim, para que se modifiquem os objetos

apresentados no Cabri 3D, basta colocar o ponteiro do mouse sobre o objeto

a ser alterado e clicar o botão direito do mouse.

Serão apresentadas opções para alteração do objeto, como por exemplo, cor,

espessura, estilo, bloquear, esconder, etc.

207

ANEXO II

ATIVIDADES APÓS REDESIGN

208

ATIVIDADE 1 - EXPERIMENTAÇÃO NO CABRI 3D


Tarefa a) Abra o arquivo ATIVIDADE_1a do Cabri 3D. Na tela é dado um vetor

cuja origem coincide com a origem do sistema. Este vetor tem módulo igual a

3 cm. Usando o comando trajetória do software, mexa na extremidade do

vetor. Com o botão direito, mude a posição do plano de referência, para obter

várias vistas do objeto e continue mexendo no vetor e observando a trajetória.

Que objeto gráfico você acha que os pontos obtidos pela movimentação dessa

extremidade definem? Ao realizar estas alterações na extremidade do vetor,

houve mudança no valor de seu módulo?

Tarefa b) Utilizando um comando do Cabri, construa o objeto gráfico que você

acha que esta trajetória define.

Tarefa c) Verifique se o objeto gráfico fornecido pelo software coincide com o

objeto que você achou que os pontos da trajetória definiriam. Para isso, na

barra de menu, em “exibir”, acione o comando “mostrar objetos escondidos”.

Escreva suas conclusões.

Tarefa d) Registre, com suas palavras, o que pôde ser observado e como

você definiria uma superfície esférica.

Tarefa e) Denominando qualquer um dos pontos obtidos na trajetória por

(x,y,z), qual seria a equação algébrica dessa superfície esférica?

Tarefa f) Expresse a equação desta superfície esférica por meio do software e

verifique se coincide com o que você obteve no item anterior. Como você

relaciona a equação dessa superfície com a sua representação gráfica? O que

você observa?

Tarefa g) Abra o arquivo ATIVIDADE_1b do Cabri 3D. Na tela é dado um vetor

cuja origem coincide com a origem do sistema. Construa a superfície esférica

com raio igual ao módulo deste vetor e solicite sua equação. Altere a

extremidade dele e observe o que ocorre no gráfico e na equação.

Tarefa h) Abra o arquivo ATIVIDADE_1c do Cabri 3D. Na tela é dado um vetor

cuja origem não coincide com a origem do sistema. Peça as coordenadas da

origem desse vetor. Construa a superfície esférica com raio igual ao módulo

deste vetor e centro na origem desse vetor. Mude o estilo da superfície para o

209

estilo “pequenos discos”. Solicite sua equação. Comparando a equação obtida

com o centro da superfície e com a equação x2+y2+z2=r2, o que você observa?

Tarefa i) Com o botão esquerdo, selecione a superfície esférica para deslocá-

la. Descreva o que você observa no gráfico e na equação.

Tarefa j) Agora altere o módulo do vetor esticando-o pela sua extremidade. O

que ocorre com o gráfico e com a equação?

ATIVIDADE 1 - ORGANIZE SUAS RESPOSTAS

210

ATIVIDADE 2 _ RECONHECIMENTO DA EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA

SUPERFÍCIE ESFÉRICA E DETERMINAÇÃO DE SEU CENTRO E RAIO

(SITUAÇÕES COM CENTRO NA ORIGEM)

Tarefa a. No Cabri, construa um vetor com origem coincidente com a origem do

sistema Construa uma superfície esférica com centro igual ao módulo

desse vetor. Solicite sua equação. Altere a extremidade do vetor e preencha a

tabela seguinte.

Equação da superfície

esférica

Módulo do vetor Números que multiplicam x²

x2, y2 e z2

O que você conclui?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

_______________________________________________

Tarefa b) Considere o sistema de coordenadas ortonormais .

Determine, nas equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica:

e) x² + y² +z² =9

f) x² + y²+ z² =7

211

g) 2x² +2y²+ 2z² =32

h) 3x2+3y2+3z2=17

Tarefa c). Considere o sistema de coordenadas ortonormais .

Das equações seguintes, identifique e determine no ambiente do Cabri 3D a

representação gráfica ( salve no software e registre o nome do arquivo por você

salvo) as que representam uma superfície esférica e justifique:

a) x² + y²+ z²= -9

b) x² + y²+ z²= 10

c) x² + y+ z² = 9

212

d) 5x² +4 y² + 7z² =9

e) 7x² +7y²+7z²=63

f) x² + y²=16

g) x² + y=7

h) x + 3y = 1

213

ATIVIDADE 3 _ DETERMINAÇÃO DO CENTRO E DO RAIO DE UMA

SUPERFÍCIE ESFÉRICA A PARTIR DA EQUAÇÃO REDUZIDA

(SITUAÇÕES COM CENTRO FORA DA ORIGEM)


Determine nas equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica e

represente graficamente cada uma no ambiente do Cabri 3D( salve no

software e registre o nome do arquivo criado):

Tarefa a. (x-1)² +( y+2)²+(z-3)²=16

Tarefa b. (x- 1/2)² +y²+(z+3/4)²=7

Tarefa c. 3(x-0,2)² +3( y-1)²+3(z+0,7)²=27

214

ATIVIDADE 4 _ RECONHECIMENTO DE EQUAÇÕES REDUZIDAS DE

SUPERFÍCIES ESFÉRICAS (SITUAÇÕES COM CENTRO FORA DA

ORIGEM)

Considere o sistema de coordenadas ortonormais S=(0, i,j,k),

Das equações seguintes, identifique as que representam uma superfície

esférica e justifique apresentando no ambiente do Cabri 3D a sua

representação gráfica( salve e registre o nome do arquivo):

Tarefa a) x² + 3y² + z² = 7

Tarefa b) (x-1)² +( y+2)²+(z-1)²=8

Tarefa c) x² +( y-3)²+(z+1)²=-9

Tarefa d)x² + y +z² = 8

Tarefa e) (x-4)² +( y²+2)²+(z-1)²=25

Tarefa f) x² +( y-1)=36

Tarefa g) (x+0,2)² +y2+(z-1)²=16

215

ATIVIDADE 5 _ DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA SUPERFÍCIE

ESFÉRICA PARTINDO DO REGISTRO GRÁFICO


Tarefa a) Dada a superfície esférica,na tela do Cabri, determine sua

representação algébrica no ambiente papel e lápis. Você pode utilizar

qualquer comando do software, exceto o comando de equação.

Tarefa b) Verifique no software se a equação encontrada está correta. Relate

se está correta e, caso não esteja, registre no espaço abaixo as duas

equações obtidas. Em seguida, reflita sobre sua produção.

216

ATIVIDADE 6 _ ATIVIDADE DE GENERALIZAÇÃO NO REGISTRO

SIMBÓLICO-ALGÉBRICO


g) Tarefa a) Como você representaria a equação da superfície esférica de centro

C=(a,b,c) e raio r?

h) Tarefa b) Esta forma de representar a equação é denominada equação

reduzida de uma superfície esférica. Ao desenvolvê-la e igualá-la a zero,

obtém-se a equação geral da superfície esférica.

i) Partindo disso, determine a equação geral da superfície esférica de centro

C=(a,b,c) e raio r.

217


EQUAÇÃO GERAL

Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Determine

nas equações abaixo, o centro e o raio da superfície esférica. Para isso,

estabeleça uma comparação entre cada equação apresentada a seguir com a

equação geral desenvolvida na atividade anterior.

Tarefa a) x2+y2+z2-2x+4y-6z-2=0

Tarefa b) x2+y2+z2-10x+2y-4z+23=0

Tarefa c) x2+y2+z2-2y+4z-4=0

218

ATIVIDADE 8 - RECONHECIMENTO DA EQUAÇÃO GERAL DE UMA

SUPERFÍCIE ESFÉRICA

Considere o sistema de coordenadas ortonormais . Das

equações seguintes, identifique as que representam uma superfície esférica,

determinando seu centro e seu raio. Se a equação não representar uma

superfície esférica, apresente justificativas.

Tarefa a) x2+y2+z2 - 2x + 6y - 8z +18=0

Tarefa b) x2+3y2+z2-6x+2y-3z+10=0

Tarefa c) x2+y2+z2-2xy+5z+3=0

Tarefa d) 3x2+3y2+3z2 - 6x +18y- 24z +54=0

Tarefa e) x2+y+z2-2x+6y-3z-10=0

219

ATIVIDADE 9 - INTERSECÇÃO ENTRE PLANO E SUPERFÍCIE ESFÉRICA


Tarefa a) Crie no ambiente do Cabri 3d uma superfície esférica com centro na

origem do sistema (0,0,0). Crie a cruva de intersecção entre o plano e a superfície

esférica. Como você representaria algebricamente esta curva? Justifique a sua

resposta apresentando esta representação e utilizando os recursos do software,

explicitando cada etapa desenvolvida.

( Sugestão: utilize a opção NOVA VISTA do software).

220

ATIVIDADE 10 - ATIVIDADE DESAFIO


Tarefa a) Abra o arquivo da atividade 10, denominado Fig 10, criado no Cabri 3D.

Observe a intersecção entre o plano e a superfície esférica a este ponto. Como

você explicaria a um colega que a intersecção entre esta superfície esférica e o

plano dado secante a ela é uma circunferência? Determine a equação desta

circunferência.

Tarefa b)Movimente o plano ( pelo ponto B ou pelo E) mantendo-o secante à

superfície esférica e observe a equação do plano e o que acontece na secção. O

que se observa na secção? Houve alteração na distância do centro ao ponto A?

Justifique a sua resposta.

Tarefa c)Generalizando a secção de um plano π qualquer secante a uma

superfície esférica α, qual figura geométrica será obtida?

221

ANEXO III

QUESTIONÁRIO DE LEVANTAMENTO DE PERFIL (FASE II)

222

QUESTIONÁRIO

1 . Você é professor? Do ensino médio ou do ensino superior?

2. Você já deu aula de Geometria Analítica no ensino superior? Em

caso positivo, você já deu conteúdo de superfícies esféricas?

3. Em sua atividade docente, você costuma utilizar recursos

computacionais? Se sim, já utilizou software de geometria

dinâmica?

4. Você conhece o Cabri 3D?

5. Você conhece a teoria de Duval? Se sim, escreva uma breve

compreensão dessa teoria.

223

ANEXO IV

TERMOS DE CONSENTIMENTOS DO GRUPO DE PESQUISADORES (FASE II)

224

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229

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237

ANEXO V

TERMOS DE CONSENTIMENTOS DAS DUAS DUPLAS DE GRADUADOS EM

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ( FASE III )

238

239

240

241

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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO SIMONE …...de ensino sobre superfícies esféricas, desenvolvido segundo uma abordagem gráfica no Cabri 3D. O estudo foi fundamentado na teoria