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UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS
Currículo de Matemática da Cidade de São Paulo: uma
análise do Eixo Álgebra para o Ensino Fundamental
Tiago Cardoso Silveira
Orientador: Prof. Dr. Wagner Barbosa de Lima Palanch
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-graduação Stricto Sensu em Ensino
de Ciências da Universidade Cruzeiro do
Sul como parte dos requisitos para a
obtenção de título de Mestre em Ensino de
Ciências.
SÃO PAULO
2019
AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA
BIBLIOTECA CENTRAL DA
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
S591c
Silveira, Tiago Cardoso.
Currículo de matemática da cidade de São Paulo: uma análise do eixo algebra para o ensino fundamental. / Tiago Cardoso Silveira. -- São Paulo, 2019.
112 p. : il.
Orientador: Prof. Dr. Wagner Barbosa de Lima Palanch.
Dissertação (Mestrado) – Ensino de ciências, Universidade Cruzeiro do Sul.
1. Currículo. 2. Álgebra. 3. Pensamento Algébrico. I. Palanch, Wagner Barbosa de Lima. II. Universidade Cruzeiro do Sul. Mestrado em ensino de ciências. III. Título.
CDU: 51(07)
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
Currículo de Matemática da Cidade de São Paulo: uma
análise do Eixo Álgebra para o Ensino Fundamental
Tiago Cardoso Silveira
BANCA EXAMINADORA:
Prof. Dr. Wagner Barbosa de Lima Palanch
Universidade Cruzeiro do Sul
Presidente
Prof.ª Dra. Edda Curi
Universidade Cruzeiro do Sul
Titular Interno
Prof. Dr. Humberto Luís de Jesus
Secretaria Municipal de Educação de São Paulo
Titular Externo
À Coordenação de Aperfeiçoamento de
Pessoal de Nível Superior (CAPES) pela
bolsa de estudos que permitiu o
desenvolvimento desta pesquisa.
AGRADECIMENTOS
Antes de agradecer a qualquer pessoa, sempre serei grato a Deus por todas
as conquistas que vieram e pelas que ainda hão de vir. Ao Deus que acredito, àquele
que sempre guiou meus passos, que me ampara nos momentos difíceis e me dá
sabedoria nos vários períodos de alegria, todo meu amor e gratidão.
Muitas são as pessoas a quem tenho que agradecer. Primeiramente,
expresso minha gratidão a meus pais, que sempre me conduziram a caminho do
estudo e do trabalho, que me ensinaram a melhor forma de seguir meus projetos com
dignidade, que, mesmo em sua vida simples como pessoas do campo, permitiram que
eu sonhasse, e, independentemente de demonstrarem, em seu olhar, preocupação
com minhas ambições, temendo uma decepção, e tristezas por todos os anos que
estive distante, quando me mudei para buscar novos projetos, apoiaram-me. Aos
meus amados pais, Arlindo e Marilene, todo meu amor e respeito e a certeza de que
sempre voltarei.
Sou muito grato também a meus irmãos, Júnior, Armando e Diego, fonte de
grande inspiração. Por todos os nossos anos de convivência e união, dedico a vocês
todas as minhas vitórias.
Durante toda minha vida profissional, contei com pessoas incríveis, seria
injusto se, por algum ato falho me esquecesse de citar alguém. Por isso, agradeço,
neste trabalho, a todos os meus maiores incentivadores, às pessoas com as quais
trabalhei nas escolas em Ibiassucê, Caetité, Guanambi, São Paulo e Santo André.
Enquanto estive na SME/Ibiassucê, diversos amigos me guiaram com sua
generosidade para que hoje eu estivesse escrevendo estas linhas de minha
dissertação. Membros da SME (2013‒2016), sou grato eternamente por tudo que
aprendi com vocês.
Após chegar a São Paulo, outro ciclo se iniciou em minha vida, quantas
mudanças tive que suportar. Graças a meus familiares que moram nesta cidade foi
possível resistir aos dias mais difíceis. A meus tios, primos, amigos e a minha
madrinha, meu eterno obrigado.
Dentro da UNICSUL, não posso deixar de citar os amigos que conheci, nossos
deliciosos papos em tantos almoços entre nossas aulas, amigos generosos, que me
ajudaram na adaptação em um novo universo, em especial, Alexandre Padilla, Manoel
Messias Araújo e Bianca Freire dos Santos.
Agradeço aos professores do Programa de Pós Graduação em Ensino de
Ciências e Ensino de Ciências e Matemática, que me receberam com tanto carinho,
em especial à Prof.a Dra. Célia Carolino Pires (in memoriam) e ao Prof. Dr. Elenilton
Godoy, que, por um período, foram meus orientadores, e à Suzete Borelli, que me
acolheu desde a primeira reunião do grupo de pesquisa e me proporcionou
oportunidades desde que aqui cheguei.
Minha gratidão pelos professores que aceitaram compor a banca: a Dra. Edda
Curi e ao professor Dr. Humberto Luís de Jesus, obrigado pelas orientações.
Sou grato aos colegas da Escola Interação e da Associação Parceiros da
Educação, a vocês, todo meu carinho e respeito. Tenho aprendido muito com o
convívio nessas instituições.
Expresso, ademais, minha gratidão a meu orientador, o Prof. Dr. Wagner
Palanch, que tem me conduzido de uma forma ímpar neste período. Poder aprender
com você tem sido uma conquista diária. Obrigado por sua generosidade, professor!
Encerro este texto rogando a Deus para que cuide de cada um com um
carinho especial. Em minhas orações diárias, nunca me esquecerei de agradecer pela
oportunidade de tê-los em minha vida. Deus os abençoe eternamente.
SILVEIRA, T.C. CURRÍCULO DE MATEMÁTICA DA CIDADE DE SÃO PAULO: UMA ANÁLISE DO
EIXO ÁLGEBRA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL. 2019. 112 f. Dissertação (Mestrado em
Ensino de Ciências) – Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2019.
RESUMO
Este trabalho, buscou analisar o eixo Álgebra prescrito no currículo da cidade de São
Paulo para o Ensino Fundamental, com o objetivo de verificar de que forma é feita
essa prescrição e analisar os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento para
averiguar se eles contribuem para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Para
subsidiar as ideias deste estudo sobre currículo, utilizamos, principalmente, os
trabalhos de Sacristán (2000) e Pacheco (2005), a fim de apresentar o currículo
prescrito. Outras pesquisas, como as de Blanton e Kaput (2005), Lins e Gimenez
(2005), Pontes (2006), Canavarro (2007), Ponte, Branco e Matos (2009) e Kieran
(1992, 2004, 2011), também fundamentam esta dissertação. Esta investigação
assume como metodologia a análise documental, com uma abordagem de estudo
qualitativo, olhando para o Currículo da Cidade (SÃO PAULO, 2017) como o objeto.
Como este trabalho propõe uma análise do eixo Álgebra, foi feito um recorte do
referido documento, de modo que são estudados os objetos de conhecimento e
objetivos de aprendizagem e desenvolvimento. Estes últimos são analisados à luz das
pesquisas de Blanton e Kaput (2005), que delimitam três categorias que permitem
olhar, de forma específica, para o desenvolvimento do pensamento algébrico: a
Aritmética generalizada, o pensamento funcional e a modelação. Foram analisados
36 objetivos prescritos no currículo da cidade de São Paulo para o eixo Álgebra, além
dos 21 objetivos de aprendizagem e desenvolvimento presentes nos eixos
articuladores. Como resultado da análise, percebe-se que os objetivos prescritos para
a Álgebra se apresentam de acordo com as pesquisas sobre o ensino da Álgebra no
Ensino Fundamental, possibilitando a utilização de padrões e generalizações em
diferentes contextos matemáticos e a construção e o desenvolvimento do pensamento
algébrico.
Palavras-Chave: Currículo. Ensino Fundamental. Álgebra. Pensamento Algébrico.
SILVEIRA, T.C. CURRÍCULO DE MATEMÁTICA DA CIDADE DE SÃO PAULO: UMA ANÁLISE
SOBRE O ENSINO DA ÁLGEBRA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL. 2019. 112 fls. Dissertação
(Mestrado em Ensino de Ciências) – Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2019.
ABSTRACT
This work aims to analyze the Algebra axis prescribed in the curriculum of the city of
São Paulo for High School, in order to verify how this prescription is made and to
analyze the learning and development objectives to determine if they contribute to the
development of algebraic thinking. Supporting the ideas of this curriculum study,
namely, the work of Sacristán (2000) and Pacheco (2005) is used, in order to present
the prescribed curriculum. Other researches, such as those of Blanton and Kaput
(2005), Lins and Gimenez (2005), Pontes (2006), Canavarro (2007), Ponte, Branco
and Matos (2009) and Kieran (1992, 2004, 2011) about this dissertation. This research
applies as methodology the documentary analysis, with a qualitative study approach,
looking at the City Curriculum (SÃO PAULO, 2017) as the object. As this paper
proposes an analysis of the Algebra axis, a cut has been made of this document, so
that objects of knowledge and learning and development objectives are studied. The
latter are analyzed in the light of Blanton and Kaput (2005) research, which delimits
three categories that allow us to look specifically at the development of algebraic
thinking: generalized arithmetic, functional thinking and modeling. Thirty-six goals
prescribed in the curriculum of the city of São Paulo for the Algebra axis are analyzed,
as well as the 21 learning and development objectives present in the articulating axes.
As a result of the analysis, it is perceived that the objectives prescribed for Algebra are
presented according to the research on the teaching of Algebra in High School, making
possible the use of patterns and generalizations in different mathematical contexts and
the construction and development of algebraic thinking.
Keywords: Curriculum. High School. Algebra. Algebraic Thinking.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – A OBJETIVAÇÃO DO CURRÍCULO NO PROCESSO DE SEU DESENVOLVIMENTO. ... 27
FIGURA 2 ‒ MATRIZ DOS SABERES. .............................................................................. 33
FIGURA 3 ‒ OS 5 P’S. .................................................................................................. 34
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1 - DESCRIÇÃO DOS NÍVEIS DO SIGNIFICADO DE CURRÍCULO. 28
QUADRO 2 - OBJETOS DE CONHECIMENTO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E
DESENVOLVIMENTO POR ANO DE ESCOLARIDADE NO CICLO DE ALFABETIZAÇÃO PARA O
EIXO ÁLGEBRA. 42
QUADRO 3 – OBJETOS DE CONHECIMENTO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E
DESENVOLVIMENTO POR ANO DE ESCOLARIDADE NO CICLO INTERDISCIPLINAR PARA O EIXO
ÁLGEBRA. 44
QUADRO 4 – OBJETOS DE CONHECIMENTO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E
DESENVOLVIMENTO POR ANO DE ESCOLARIDADE NO CICLO AUTORAL PARA O EIXO
ÁLGEBRA. 45
QUADRO 5 – OBJETOS DE CONHECIMENTO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E
DESENVOLVIMENTO POR ANO DE ESCOLARIDADE PRESCRITO NOS EIXOS ARTICULADORES 49
QUADRO 6 – OBJETOS DE CONHECIMENTO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E
DESENVOLVIMENTO POR ANO DE ESCOLARIDADE PRESCRITO NOS EIXOS ARTICULADORES 51
QUADRO 7– OBJETOS DE CONHECIMENTO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E
DESENVOLVIMENTO POR ANO DE ESCOLARIDADE PRESCRITO NOS EIXOS ARTICULADORES 54
QUADRO 8 - RELAÇÃO TEMPO X DISTÂNCIA 63
QUADRO 9 - VERTENTES FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO ALGÉBRICO. 67
QUADRO 10 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO 71
QUADRO 11 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 74
QUADRO 12 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 78
QUADRO 13 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 82
QUADRO 14 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 84
QUADRO 15 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 86
QUADRO 16 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 91
QUADRO 17– OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 93
QUADRO 18 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 96
QUADRO 19 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 100
QUADRO 20 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 102
QUADRO 21 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E DESENVOLVIMENTO. 104
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
AC Aula Complementar
BNCC Base Nacional Comum Curricular
CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
CEI Centro Educacional de Ibiassucê
CETEP Centro Territorial de Educação Profissional
CMLEM Colégio Modelo Luís Eduardo Magalhães
DCN Diretrizes Curriculares Nacionais
Dr. Doutor
Dra. Doutora
EUA Estados Unidos da América
EMEF Escola Municipal de Ensino Fundamental
EMEFM Escola Municipal de Ensino Fundamental e Médio
F. Folhas
LDB Leis de Diretrizes e Bases da Educação
NCTM Conselho Nacional de Professores de Matemática
PBA Programa Brasil Alfabetizado
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PNAIC Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa
PNE Plano Nacional de Educação
Prof. Professor
Prof.a Professora
PROGESTÃO Programa de Capacitação a Distância para Gestores Escolares
SMECE Secretaria Municipal de Educação, Cultura e Esportes
SP São Paulo
UNEB Universidade do Estado da Bahia
UNICSUL Universidade Cruzeiro do Sul
SUMÁRIO
1 APRESENTAÇÃO DA PESQUISA ........................................................................ 14
1.1 TRAJETÓRIA PROFISSIONAL E MOTIVAÇÃO PARA A PESQUISA ................................. 14
1.2 JUSTIFICATIVA, QUESTÃO E OBJETIVOS DA PESQUISA ............................................. 20
1.3 METODOLOGIA .................................................................................................. 21
1.4 ORGANIZAÇÃO DA PESQUISA ............................................................................... 23
2 CURRÍCULO .......................................................................................................... 25
2.1 NOSSO ENTENDIMENTO DE CURRÍCULO ................................................................ 25
2.2 O CURRÍCULO PRESCRITO .................................................................................. 30
3 O CURRÍCULO DA CIDADE DE SÃO PAULO ..................................................... 32
3.1 CONTEXTUALIZAÇÃO .......................................................................................... 32
3.2 CONCEPÇÕES PRESENTES NO CURRÍCULO DA CIDADE .......................................... 35
3.2.1 O currículo em espiral na perspectiva de Bruner ................................... 36
3.2.2 A organização em rede segundo Pires .................................................. 37
3.3 CICLOS DE APRENDIZAGEM .................................................................................. 38
3.4 ÁLGEBRA NO CURRÍCULO DO ENSINO FUNDAMENTAL DA CIDADE DE SÃO PAULO ...... 41
4 OS ESTUDOS SOBRE O ENSINO DA ÁLGEBRA NO ENSINO
FUNDAMENTAL ....................................................................................................... 55
4.1 PROCESSOS DO PENSAMENTO ALGÉBRICO .......................................................... 56
4.2 O PENSAMENTO ALGÉBRICO NA PERSPECTIVA DE BLANTON E KAPUT ..................... 57
4.2.1 Aritmética generalizada ou pensamento quantitativo ............................ 59
4.2.2 Pensamento funcional ......................................................................... 61
4.2.3 Modelação ........................................................................................... 64
4.3 OUTRAS IDEIAS SOBRE O ENSINO DA ÁLGEBRA .................................................... 65
5 ANÁLISE DO EIXO ÁLGEBRA NO CURRÍCULO DA CIDADE DE SÃO
PAULO ...................................................................................................................... 70
5.1 ARITMÉTICA GENERALIZADA ................................................................................. 71
5.2 PENSAMENTO FUNCIONAL ................................................................................... 82
5.3 MODELAÇÃO ...................................................................................................... 90
5.4 EIXOS ARTICULADORES ...................................................................................... 99
CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 106
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 110
14
1 APRESENTAÇÃO DA PESQUISA
Neste capítulo, apresento minha trajetória. Além disso, nele, procuro definir a
estrutura desta dissertação, expondo a problematização, os objetivos de pesquisa e a
metodologia utilizada no desenvolvimento da investigação.
1.1 Trajetória profissional e motivação para a pesquisa
Ao iniciar este trabalho, acredito ser pertinente escrever sobre os caminhos que
passei até chegar aqui. Dessa forma, apresento um pouco das lutas e das conquistas
vivenciadas até o momento enquanto professor de Matemática, educador, orientador
e gestor.
Em 2007, iniciei meu curso de graduação em Licenciatura em Matemática na
Universidade do Estado da Bahia (UNEB), no Campus VI, localizado na cidade de
Caetité. Sempre foi meu desejo me tornar professor de Matemática, e ali estava dando
os primeiros passos para a realização desse sonho.
Em 2006 e 2007, tive a oportunidade de trabalhar, em pequenas substituições,
com o 5º ano do Ensino Fundamental. Em 2008, fui convidado por um antigo
professor, naquele momento gestor escolar, para lecionar Matemática para turmas do
7º ano do Ensino Fundamental II, no Centro Educacional de Ibiassucê (CEI), escola
onde estudei. Foi um ano de muitos desafios e aprendizados, estava pela primeira vez
em sala de aula com turmas dessa disciplina. Entre meus antigos professores, e agora
colegas, fui aprendendo o quão era desafiador e prazeroso trabalhar com crianças e
jovens da cidade onde nasci, muitas vezes, filhos de amigos e familiares.
Ainda nesse ano, trabalhei como coordenador-alfabetizador do Programa Brasil
Alfabetizado (PBA), no qual tive maior contato com alfabetizadores do programa.
Entre formações e visitas às escolas da sede e da zona rural, fui percebendo que
estava na profissão certa, pois me realizava com meu trabalho. Mesmo ainda tão
jovem, percebia que desenvolvia um trabalho muito importante para a cidade onde
nasci e para minha trajetória profissional.
15
Em 2009, a convite de um professor da UNEB que atuava como vice-diretor no
colégio, comecei a trabalhar no Colégio Modelo Luiz Eduardo Magalhães (CMLEM)
na cidade de Guanambi, dessa vez, com alunos do Ensino Médio, lecionava
Matemática e Física. Nessa instituição, tive a certeza de que estava no curso certo,
mesmo com tantos desafios e discursos desanimadores dos colegas de profissão, fui
me realizando dia a dia com o trabalho com adolescentes que até hoje tenho como
amigos.
Concomitante a meu trabalho no CMLEM, fazia pequenas substituições em
duas instituições na cidade onde morava e estudava, Caetité, em uma instituição
privada e no Colégio Modelo dessa cidade, além de trabalhar com monitoria de ensino
nas disciplinas de Cálculo Diferencial, Matemática e Geometria Analítica em duas
tardes na universidade. Todas essas experiências foram me formando enquanto
profissional e se juntavam a minha enorme felicidade em estar aprendendo
diariamente um pouco mais sobre a Matemática.
Em 2011, concluí minha graduação. Com isso, encerrei meu trabalho de
monitoria de ensino. Em 2012, também me transferi para o antigo CMLEM da cidade
de Caetité, que, naquele momento, chamava-se Centro Territorial de Educação
Profissional do Sertão Produtivo (CETEP). Continuava lecionando Matemática e
Física, mas agora para turmas do Médio-Técnico dos cursos de Enfermagem,
Agroecologia e Mineração.
Trabalhar com jovens e jovens adultos foi uma experiência grandiosa em minha
carreira, pois, em meio aos diversos conteúdos trabalhados, inúmeras conversas
surgiam a respeito da formação profissional e social de cada aluno. Nasciam em mim
as primeiras inquietações sobre a forma como a Matemática era pensada pelos
professores e sobre os responsáveis pelas decisões que definiriam o percurso dessa
ciência tão importante na formação social e científica da humanidade.
Paralelamente a isso, comecei a ministrar aulas de Matemática em dois
cursinhos pré-vestibulares: um nessa mesma cidade (Caetité) e outro em minha
cidade natal que distavam 36 km. Foram anos enriquecedores, trabalhando com
futuros profissionais, alunos com uma vontade enorme de conseguir uma vaga nas
16
universidades e seguir o projeto de se formar, passo tão importante e, muitas vezes,
difícil para a realidade daquelas pequenas cidades baianas.
No ano de 2013, fui convidado pelo prefeito de Ibiassucê a retornar para minha
cidade natal e lecionar Matemática para as turmas do Ensino Fundamental do CEI.
Iniciei um trabalho como professor de Matemática e Tecnologia no turno matutino e
assumi a vice direção no vespertino. Outra vez me senti incitado a mudar: voltaria a
morar em Ibiassucê e trabalharia na gestão escolar, cargo que não havia exercido e
demandava de mim enorme dedicação.
Minha função de vice-diretor era em um anexo do colégio, localizado na
comunidade de Santo Antônio, distante 12 km da sede do município. A gestora fazia
visitas esporádicas, normalmente a cada quinzena, a essa unidade. Logo, no convívio
diário com alunos, pais, funcionários e professores, eu exercia a função de diretor,
com todas as suas demandas e responsabilidades.
Como sempre, os desafios foram enormes; e ali comecei a pensar na
possibilidade de continuar meus estudos para que pudesse contribuir ainda mais com
meu trabalho. Iniciei, então, um curso de pós-graduação em Metodologia do Ensino
de Matemática e Física, em nível de especialização. Nesse momento, já estava
participando do Programa de Capacitação para Gestores Escolares (PROGESTÃO),
que se fazia necessário, visto que o contato com os demais gestores escolares iria
me fazer desenvolver um conhecimento para poder exercer minhas funções de vice-
diretor. Em 2016, concluí o PROGESTÃO, com a certificação de especialização em
Gestão Educacional.
Quando já estava realizado com meu trabalho na sala de aula e na vice direção
do CEI, outra vez minha vida profissional recebeu uma provocação: fui convidado a
assumir a Secretaria Municipal de Educação, Cultura e Esportes (SMECE) em 2015.
Por vários dias, pensei em não aceitar, mas depois vi que seria a maior oportunidade
ofertada a mim naquela pequena cidade do sudoeste baiano. Depois de alguns dias
de negociação, apresentei-me ao prefeito para assumir esse cargo, que foi muito
importante em minha vida profissional.
Na SMECE, tive a oportunidade de conviver com profissionais incríveis, em
especial com os professores Jésus Mário, Rone Dias e Elizângela Brito e com a
17
coordenadora Maria Isabel Andrade, entre tantas outras pessoas que agregaram
muito em minha carreira. Durante aquele período participei diretamente da rotina
administrativa e pedagógica da Secretaria, convivendo com professores, gestores,
pais, alunos e demais funcionários, participando de conselhos, reuniões, fóruns e
capacitação dos diferentes níveis de ensino. A SMECE é a responsável por todas as
atividades educacionais do município: Educação Infantil, Ensino Fundamental,
Educação de Jovens e Adultos, Educação Especial e Educação Quilombola. É
responsável por um total de 11 escolas.
A rotina da Secretaria de Educação fez nascer em mim a preocupação com os
documentos usados pelas escolas, pelos professores. Quais documentos oficiais nos
orientavam para o exercício de nossa profissão? Em que momento e em que contexto
eles foram produzidos? Será que eles representavam aquele público? Diante de
tantas inquietações, resolvi me distanciar para tentar viver outra realidade e, dessa
forma, aprender um pouco mais e, quem sabe, retornar a meu município para
colaborar com o desenvolvimento da educação dessa pequena cidade.
A partir dessas perguntas, decidi buscar por programas de mestrado com linhas
de pesquisa que pudessem me ajudar a desenvolver um pouco mais minhas ideias.
Encontrei na Universidade Cruzeiro do Sul a área de concentração que desenvolvia
projetos com currículos e formação de professores, que, naquele momento, parecia
proporcionar as respostas ou os novos caminhos a serem trilhados.
Escolhi estudar na cidade de São Paulo. Estudar em outro estado, pertencente
a uma região tão diferente culturalmente da minha, poderia me prover frutos ainda
impensáveis. A cidade de São Paulo sempre foi o local onde os nordestinos buscaram
melhores condições de vida. Para minha família, não foi diferente, aqui tenho
familiares que muito me apoiaram nestes meses de estudo.
Com a aprovação no processo seletivo, vieram todas as mudanças que o curso
me exigiu. Teria que mudar de cidade e estado, abandonar meu emprego etc. Em
fevereiro de 2017, iniciei as aulas do programa, muito entusiasmado com o que viria.
Foram momentos enriquecedores. Tive conversas com grandes profissionais que eu
já admirava e com outros tantos que tive o prazer de conhecer, as quais, sem dúvidas,
colaboraram para que eu pudesse, enfim, seguir um projeto de pesquisa que reunisse
18
minhas inquietações, amparadas por trabalhos já publicados. Com isso, minha
pesquisa poderia se desenvolver.
Ao iniciar os estudos no Mestrado, estava sempre caminhando para as
conversas acerca do currículo. Já instalado em uma nova cidade, comecei a me
interessar pelas mudanças ocorridas recentemente na rede municipal de ensino da
cidade de São Paulo, principalmente em relação ao eixo Álgebra, que passou a ser
prescrito para todo o Ensino Fundamental.
Como professor dos anos finais do Ensino Fundamental e do Médio, a maneira
como a Álgebra vem sendo ensinada sempre me chamou atenção dentro da sala de
aula, principalmente nas formações que tínhamos com os articuladores1 de área, nas
quais trocávamos nossas experiências de sala de aula. Trabalhar com a Álgebra é
sempre um momento delicado, pois, segundo Kieran (1992), existem três potenciais
contribuintes para as dificuldades que os alunos têm quando estudam essa matéria:
a aprendizagem, o ensino e o conteúdo.
Muitas vezes, a Álgebra é vista como algo “sem significado” pelos alunos.
Talvez isso se deva aos professores ensinarem a Álgebra que está nos livros
didáticos, o que, segundo Kieran (1992), leva-nos a pensar que a dificuldade em
Álgebra pode ser atribuída à forma como ela é disposta na maioria dos materiais
curriculares. Para House (1995), a Álgebra vem sendo discutida há muito tempo;
porém, o que de fato acontecia era um rearranjo dos conteúdos.
Pensando em todas essas leituras e nas discussões que tivemos na disciplina
Tópicos em Álgebra e Geometria, do Programa de Pós Graduação da Universidade
Cruzeiro do Sul, e nas mudanças que ocorriam no Brasil, com as discussões sobre a
Base Nacional Comum Curricular, e no mundo em relação ao ensino da Álgebra,
resolvi me aprofundar ainda mais nessa temática. Buscava respostas, enquanto
professor, para essas transformações da organização curricular desencadeada pela
BNCC, procurava entender como esse novo eixo foi prescrito e quais alterações ele
produziria para a Educação Matemática.
1 Articuladores de área são professores especialistas que trabalham com a formação continuada no
município de Ibiassucê. Os encontros são semanais e são chamados de AC (Aulas Complementares).
19
Enquanto professor, sinto-me desafiado a todo instante pela forma como
fazemos a Matemática em sala de aula. Quais os documentos que nos orientam, que
determinam o que será ensinado? Quais as orientações de como deve ser trabalhado
para atender às necessidades de alunos cada vez mais dinâmicos, mais conectados
em uma era totalmente digital? Intriga-me entender como a organização curricular se
faz nas escolas e como os docentes de Matemática estão se atualizando para atender
a tantas demandas que surgem a todo instante.
Durante anos lecionando, muitas perguntas se faziam presentes em minha
rotina profissional, uma delas era: de que forma os alunos poderiam desenvolver uma
visão mais crítica do pensamento matemático? A Álgebra vista como mecânica não
possibilita, muitas vezes, que os alunos formulem suas questões, suas próprias
perguntas, e busquem meios para resolvê-las. Tradicionalmente, a Matemática é
recheada de fórmulas, regras, sinais etc. É uma área que causa muito desconforto; e,
quando iniciamos o trabalho com a Álgebra, ela torna-se a vilã, pois introduzir letras
em cálculos matemáticos é, para muitos alunos, difícil de compreender. Buscando
respostas para tentar solucionar esse desconforto com o trabalho com a Álgebra,
encontramos possíveis soluções em Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), Lins e
Gimenez (2005), Canavarro (2007), Carraher e Schliemann (2015), Ponte, Branco e
Matos (2009), Kieran et al. (2016), Blanton e Kaput (2005), entre tantos outros
pesquisadores que discorrem sobre o trabalho com a Álgebra desde os primeiros anos
do Ensino Fundamental.
Assim, proponho, neste estudo, a introdução do ensino da Álgebra associado
ao desenvolvimento aritmético, buscando construir nos alunos o saber matemático a
partir de generalizações que compõem o pensamento algébrico. É importante
ressaltar que, para esses autores, o pensamento algébrico não significa apenas
utilizar letras em problemas matemáticos, mas elaborar conceitos que permitirão que
os alunos aprendam as relações algébricas e também as aritméticas. Esse pensar
matemático com foco em Álgebra é conhecido como pensamento algébrico. Falarei,
com mais detalhes, sobre ele nos próximos capítulos.
20
1.2 Justificativa, questão e objetivos da pesquisa
O ensino de Álgebra sempre esteve prescrito para ser iniciado no sexto ano do
Ensino Fundamental, etapa final desse ciclo educacional. Os alunos temem estudar a
Álgebra, por não entender o porquê de tantos números associados a letras que ora
tem um significado, ora outro (LINS; GIMENEZ, 2005). São tantas fórmulas, regras,
exercícios e mais exercícios a serem resolvidos até que os longos anos do
Fundamental se encerrem, e, com eles, vá-se a temida Álgebra.
Nesse mundo altamente digital em que vivemos, a Matemática desempenha
um importante papel no desenvolvimento científico e tecnológico. Porém, nós,
professores, percebemos em nossa prática de sala de aula que os alunos da
educação básica muitas vezes não compreendem a importância de aprender essa
ciência essencial na atualidade, talvez pela forma como ela ainda é trabalhada em
nosso sistema educacional e/ou por sua exígua relação (apresentada) com o cotidiano
dos alunos, não permitindo que estes a vejam como uma ciência tão importante para
o desenvolvimento tecnológico de uma nação.
No Brasil, essa discussão está cada vez mais presente nos encontros de
Educação Matemática, nas escolas e nas universidades. Com isso, inicia-se uma
mudança curricular por meio do qual passamos a ter a Álgebra já nos primeiros anos
do Ensino Fundamental, com a homologação da Base Nacional Comum Curricular
(BNCC).
A BNCC apresenta uma possível organização curricular a ser trabalhada
durante os nove anos do Ensino Fundamental (BRASIL, 2018). Busca desenvolver no
aluno muito mais que conhecimentos escolares, que são muito importantes sem
dúvida. Ela tem uma preocupação de fazer com que esse indivíduo se torne um ser
participativo em seu contexto social.
As atuais mudanças que ocorrem no Brasil com a BNCC e com o currículo da
cidade de São Paulo não só destacam a Álgebra, o trabalho com a Estatística e a
Probabilidade e com a Geometria também se apresenta como importante para o
ensino.
21
Optamos por analisar o Currículo da Cidade com um recorte para o eixo
Álgebra. Desse modo, poderemos verificar de que forma o currículo se apresenta e
constatar se, a partir desse documento, é possível trabalhar o desenvolvimento do
pensamento algébrico já nos primeiros anos de escolaridade.
A partir disso, elaboramos nossa questão de pesquisa: como a Álgebra é
apresentada no currículo da cidade de São Paulo? Para isso, procuramos investigar
se esse documento foi elaborado à luz de recentes pesquisas sobre o ensino da
Álgebra, em especial no Brasil e em países como Portugal, Espanha e EUA.
Trataremos também de como está estruturado o Currículo da Cidade.
O Currículo da Cidade tem uma organização curricular em forma de rede,
possibilitando que o aluno volte a qualquer conteúdo durante toda a vida escolar para
sanar dúvidas ou relembrar conceitos já trabalhados. Além disso, tem uma
estruturação em rede, os conteúdos estão organizados de forma não linear, abrindo
mão da ideia de pré-requisito, o que indica a necessidade de um maior diálogo com
outros eixos e o incentivo à interdisciplinaridade. Trataremos da ideia de organização
em rede com mais detalhes nos próximos capítulos.
Nessa perspectiva, nosso trabalho tem por objetivo identificar como a Álgebra
aparece no currículo do Ensino Fundamental da cidade de São Paulo (2017). Também
tenciona verificar como é recomendado o ensino de Álgebra no currículo do Ensino
Fundamental da cidade de São Paulo.
1.3 Metodologia
Faremos uma pesquisa qualitativa de análise documental. Acreditamos que
essa metodologia nos garante um estudo fidedigno do material analisado. Segundo
Creswell (2010), ela possibilita ao pesquisador fazer uma abordagem consistente para
verificar com precisão os resultados obtidos.
Para Gil (2008, p. 45), a pesquisa documental é, de fato, a análise “[...] de
materiais que não receberam ainda um tratamento analítico, ou que ainda podem ser
reelaborados de acordo com os objetos da pesquisa”. Cellard (2008) concorda com
as ideias de Gil (2008) e as completa dizendo que a análise documental é um método
22
que permite uma influência mínima do pesquisador, mesmo que este tenha se
envolvido com o documento pesquisado.
Já os autores Sá-Silva, Almeida e Guindani (2009, p. 14) afirmam que a
pesquisa documental “[...] propõe-se a produzir novos conhecimentos, criar novas
formas de compreender os fenômenos e dar a conhecer a forma como estes têm sido
desenvolvidos”. Severino (2016, p. 131), por sua vez, assinala que ela é uma fonte de
investigação no sentido amplo, pois os conteúdos dos textos “ainda não tiveram
nenhum tratamento analítico”. Com ela, temos, nesta dissertação, a possibilidade de
desenvolver um estudo a partir de informações com alto grau de confiabilidade,
analisando o Currículo da Cidade (SÃO PAULO, 2017).
Creswell (2010) descreve como é conduzida a pesquisa qualitativa com foco
na análise de documentos. O autor aponta que a análise documental “envolve
preparar os dados para a análise, conduzir diferentes análises, ir cada vez mais fundo
no processo de compreensão dos dados, [...] representar os dados e realizar uma
interpretação do significado mais amplo dos dados. ” (CRESWELL, 2010, p.216).
A análise dos dados numa pesquisa documental é um processo permanente,
envolve, dentro de uma abordagem qualitativa, uma reflexão contínua sobre os dados
pesquisados e demanda anotações durante todo o processo de leitura. Acontece
concomitantemente à produção das informações pesquisadas que se fazem
necessárias para a elaboração do texto científico.
Acreditamos na pesquisa qualitativa para a elaboração de nosso trabalho, pois,
assim como Ludke e André (1986), entendemos que o pesquisador é um importante
instrumento na coleta dos dados. Ele busca fontes confiáveis de pesquisa e faz uma
análise fidedigna do texto, uma vez que a interpretação dos dados é parte fundamental
da pesquisa qualitativa.
O pesquisador qualitativo busca diferentes vieses para observar seu trabalho,
uma vez que adota diferentes estratégias de investigação e busca uma visão ampla
do objeto pesquisado. A análise dos dados qualitativos é feita concomitantemente à
coleta dos dados, permitindo interpretações e produção de relatórios à medida que a
pesquisa se desenvolve.
23
Durante todo o processo, debruçamo-nos sobre o Currículo da Cidade de São
Paulo (2017) para analisar de que forma o documento sugere a introdução do eixo
Álgebra para o Ensino Fundamental. Analisamos cada objetivo de aprendizagem e
desenvolvimento prescrito para os três ciclos em que o Currículo da Cidade é dividido,
anotando criteriosamente cada nova informação que surgia.
Após a leitura do documento, passamos a buscar autores que pudessem
subsidiar nossa pesquisa. Logo após, iniciamos nossa análise documental, sempre
procurando verificar se o eixo Álgebra do Currículo da Cidade (SÃO PAULO, 2017)
vai ao encontro das pesquisas sobre o ensino da Álgebra e sobre o desenvolvimento
do pensamento algébrico.
Para fins de estudo, olharemos para o Currículo da Cidade de São Paulo (2017)
como principal fonte de pesquisa. Buscamos responder a nossas inquietações
enquanto pesquisadores no que tange ao ensino da Álgebra no Ensino Fundamental,
à luz de pesquisas sobre o tema.
1.4 Organização da pesquisa
Além deste capítulo que apresenta o trabalho, nossa dissertação terá outros
quatro. Descrevemo-lo nas próximas linhas.
No Capítulo 2, traremos a ideia de currículo na concepção de alguns autores,
principalmente na de Sacristán (2000) e na de Pacheco (2005).
No Capítulo 3 discorreremos sobre o Currículo da Cidade e sobre sua
organização. Além disso, faremos um recorte dos objetos de conhecimento e dos
objetivos de aprendizagem do eixo Álgebra para o Ensino Fundamental de nove anos,
dividindo este em três ciclos, de acordo a proposta do documento: Ciclo de
Alfabetização, Ciclo Interdisciplinar e Ciclo Autoral.
No Capítulo 4, apresentaremos um pouco sobre o ensino da Álgebra, sobre o
modo como esse eixo era tradicionalmente prescrito para o sistema de educação
brasileiro. Abordaremos os trabalhos de alguns autores, principalmente o de Blanton
e Kaput (2005), que nos mostram categorias do pensamento algébrico.
24
No capítulo 5, optamos por analisar o eixo Álgebra. Para tanto, separamos os
objetos de conhecimentos e os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento em
cada ciclo. Assim, poderemos entender que cada etapa escolar tem suas
peculiaridades e deve ser olhada com bastante atenção. Com o suporte teórico de
Blanton e Kaput (2005), analisaremos o eixo Álgebra prescrito no Currículo da Cidade
de São Paulo (2017), fazendo um paralelo com a categorização do desenvolvimento
do pensamento algébrico desses autores. Veremos se as três categorias por eles
estabelecidas: a aritmética generalizada, o pensamento funcional e a modelação são
contempladas no documento.
Nas considerações finais, sistematizamos os resultados desta pesquisa e
sinalizamos algumas contribuições para o desenvolvimento do pensamento algébrico
e o ensino da Álgebra para o Ensino Fundamental.
25
2 CURRÍCULO
Iniciaremos este capítulo com uma abordagem sobre o conceito de currículo na
concepção de alguns autores, que fazem importantes contribuições para a teoria
curricular. Dentre eles: Gimeno Sacristán (2000) e José Augusto Pacheco (2005).
Estes autores nos ajudarão a entender como se dá o processo de organização
curricular.
2.1 Nosso entendimento de currículo
Para entendermos melhor como acontece o processo de organização
curricular, buscamos respostas em autores que desenvolvem trabalhos dentro desse
viés da educação.
De acordo com Sacristán, o currículo
é uma práxis antes que um objeto estático emanado de um modelo coerente de pensar a educação ou as aprendizagens necessárias das crianças e dos jovens, que tampouco se esgota na parte explícita do projeto de socialização cultural nas escolas. É uma prática, expressão da função socializadora e cultural que determinada instituição tem, que reagrupa em torno dela uma série de subsistemas ou práticas diversas, entre as quais se encontra a prática pedagógica desenvolvida em instituições escolares que comumente chamamos ensino (2000, p. 15-16).
Segundo o autor, o currículo não se limita apenas a um documento norteador
de conteúdos, mas como guia na rotina de cada instituição escolar, sendo o professor
um importante personagem no desenvolvimento da educação escolarizada. O
currículo prescrito guiará o caminho a seguir, porém, cada membro do processo de
ensino-aprendizagem fará com que cada momento seja único, pois estes modificam
o contexto da aula de forma particular com interferência na sua bagagem cultural,
social e política.
Pacheco reforça a concepção de Sacristán quando afirma que
na ideia de currículo como práxis mais se reforça a interdependência do processo de desenvolvimento do currículo, compreendido como uma problemática e visto como um percurso em que professores, alunos, pais e outros atores da comunidade educativa têm a liberdade para negociar e determinar os conteúdos curriculares já que as escolas estariam organizadas para a aprendizagem reflexiva. (PACHECO, 2005, p. 44)
26
O currículo proposto aos sistemas de ensino é um documento baseado em
concepções políticas, sociais e culturais, e determinado por um conjunto de valores
dominantes que regem os processos educativos. Não é apenas uma seleção de
conteúdos organizados. Segundo Pacheco (2005), além dessa organização dos
conteúdos, ele é responsável pela unificação de uma proposta a todos os alunos de
um programa de ensino que contém os objetivos a serem alcançados e as habilidades
que devem ser desenvolvidas, na busca de um projeto global de educação.
Ribeiro (1990, p. 6 apud PACHECO, 2005, p. 45) define o desenvolvimento
curricular “como um processo dinâmico e contínuo que engloba diferentes fases,
desde a justificação do currículo até à sua avaliação e passando, necessariamente,
pelos momentos de concepção-elaboração e implementação”. Após essa
implementação curricular na prática educativa, ou concomitante a ela, far-se-á a
devida avaliação dessa realização.
Canavarro e Ponte (2005) introduzem uma ideia que nos ajudam a
compreender o conceito de currículo e sua relação com o protagonismo do professor
na tomada de decisão, enquanto mediador, entre o conhecimento que está nos
documentos oficiais e os alunos. Acerca dessas ideias, eles comentam que
para compreender o currículo é preciso ter em conta os diversos sistemas que o configuram. Olhar apenas para uma vertente leva facilmente a conclusões erradas. Cada contexto e, talvez mais importante, cada grupo de atores, tem a sua versão do currículo. Por exemplo, olhar para o currículo na sua vertente teórica e prescritiva, emanada do contexto político-administrativo, deixa de fora a realidade da prática escolar, isto é, o que acontece efetivamente no terreno: o político pretende prescrever mudanças da prática, mas o professor é quem concretiza o currículo na sala de aula e, só por isso, já aí lhe imprime a sua interpretação. (CANAVARRO; PONTE, 2005, p. 4)
O currículo passa a ser modificado dentro de um sistema de ensino;
professores e alunos lhe dão, em seu contexto social e cultural, um sentido real,
concreto. A realidade de cada instituição, de cada professor e aluno, faz com que o
currículo funcione ou não, pois é necessário que exista uma interação entre os
protagonistas e os elementos pertencentes àquela circunstância.
Sacristán (2000, p.101) aponta que o “currículo pode ser visto como um objeto
que cria em torno de si campos de ação, nos quais múltiplos agentes e forças se
expressam em sua configuração, incidindo sobre aspectos distintos”. A construção
27
curricular se dá a partir de seis momentos, níveis ou fases no processo de
desenvolvimento.
Para que possamos compreender melhor o significado dessas fases do
desenvolvimento do currículo, apresentamos, na Figura 1, um modelo proposto pelo
autor. O pesquisador o constrói a partir da interseção das partes de um currículo em
um todo.
Figura 1 – A objetivação do currículo no processo de seu desenvolvimento.
Fonte: Sacristán (2000, p. 105).
A organização curricular sofre influência da sociedade e também a influencia
culturalmente. É importante, a partir dessa organização, perceber a possibilidade de
uma proposta que visa unificar o ensino para todos os alunos, respeitando suas
peculiaridades.
Para melhor elucidar as ideias apresentadas na Figura 2, denominada “A
objetivação do currículo no processo de seu desenvolvimento”, apresentaremos uma
descrição (Quadro 1) sobre os seis níveis propostos pelo autor. Ele divide essas fases
desde a prescrição do currículo até o momento em que, de fato, este acontece na sala
28
de aula, onde o professor tem o contato com o aluno, que é o sujeito para o qual o
currículo é pensado. Para Sacristán (2000), a organização curricular se divide nas
seguintes fases: o currículo prescrito, o currículo apresentado aos professores, o
currículo moldado pelos professores, o currículo em ação, o currículo realizado e o
currículo avaliado.
Quadro 1 - Descrição dos níveis do significado de currículo.
O currículo prescrito. Em todo sistema educativo, como consequência das relações
inexoráveis às quais está submetido, levando em conta sua ligação social, existe
algum tipo de prescrição ou orientação do que deve ser seu conteúdo,
principalmente em relação à sua escolaridade obrigatória. São aspectos que atuam
como referência na ordenação do sistema curricular, servem de ponto de partida
para elaboração de materiais, controle de sistema, etc.
O currículo apresentado aos professores. Existe uma série de meios, elaborados
por diferentes instâncias, que costumam traduzir para os professores o significado
e os conteúdos do currículo prescrito, realizando uma interpretação deste. As
prescrições costumam ser muito genéricas e, nessa mesma medida, não são
suficientes para orientar a atividade educativa nas aulas. O próprio nível de
formação do professor e as condições de seu trabalho tornam muito difícil a tarefa
de configurar a prática a partir do currículo prescrito. O papel mais decisivo neste
sentido é desempenhado, por exemplo, pelos livros-texto.
O currículo moldado pelos professores. O professor é um agente ativo muito
decisivo na concretização dos conteúdos e significados dos currículos, moldando a
partir de sua cultura profissional qualquer proposta que lhe é feita, seja através da
prescrição administrativa, seja do currículo elaborados pelos materiais, guias, livros-
texto, etc. independentemente do papel que consideramos que ele há de ter nesse
processo de planejar a prática, de fato é um “tradutor”, que intervém na configuração
dos significados das propostas curriculares. O plano que os professores fazem do
ensino, ou o que entendemos por programação, é um momento de especial
significado nessa tradução. Os professores podem atuar em nível individual ou
29
como grupo que organiza conjuntamente o ensino. A organização social do trabalho
docente terá consequências importantes para a prática.
O currículo em ação. É na prática real, guiada pelos esquemas teóricos e práticos
do professor, que se caracteriza nas tarefas acadêmicas, as quais como elementos
básicos, sustentam o que é a ação pedagógica, que podemos notar no significado
real do que são as propostas curriculares. O ensino interativo é o que filtra a
obtenção de determinados resultados, a partir de qualquer proposta curricular. É o
elemento do qual o currículo se transforma em um método ou no qual, desde outra
perspectiva, se denomina introdução. A análise desta fase é a que dá o sentido real
à qualidade do ensino, acima de declarações, propósitos, dotação de meios, etc. A
prática ultrapassa os propósitos do currículo, devido ao complexo tráfico de
influências, às interações, etc., que se produzem na mesma.
O currículo realizado. Como consequência da prática se produzem efeitos
complexos dos mais diversos tipos: cognitivo, afetivo, social, moral, etc. São efeitos
aos quais, algumas vezes, se presta atenção porque são considerados
“rendimentos” valiosos e proeminentes do sistema ou dos métodos pedagógicos.
Mas, a seu lado, se dão muitos outros efeitos que, por falta de sensibilidade para
com os mesmos, e por dificuldade de apreciá-los (pois muitos deles, além de
complexos e indefinidos, são efeitos a médio e longo prazo), ficarão como efeitos
ocultos do ensino. As consequências do currículo se refletem em aprendizagens
dos alunos, mas também afetam os professores, na forma de socialização
profissional, e inclusive se projetam no ambiente social, familiar, etc.
O currículo avaliado. Enquanto mantenha uma constância em ressaltar
determinados componentes sobre outros, acaba impondo critérios para o ensino do
professor e para a aprendizagem dos alunos. Através do currículo avaliado se
reforça um significado definido na prática do que é realmente. As aprendizagens
escolares adquirem, para o aluno, desde os primeiros momentos de sua
escolaridade, a peculiaridade de serem atividades e resultados valorizados. O
controle do saber é inerente à função social estratificadora da educação e acaba
por configurar toda uma mentalidade que se projeta, inclusive, nos níveis de
30
escolaridade obrigatória e em práticas educativas que não têm uma função seletiva
nem hierarquizadora.
Fonte: Sacristán (2000, p. 104-106).
A partir da descrição de cada fase do significado do currículo segundo
Sacristán (2000), é possível perceber que cada nível permite desenvolver atuações
que, com a prática, inter-relacionam-se desde o documento prescrito até o currículo
avaliado. Nesse contexto, precisamos levar em conta o protagonismo do professor
como principal elo de ligação entre o currículo prescrito e o aluno.
2.2 O currículo prescrito
Em uma sociedade tão diversificada, encontrar um currículo que atenda a todos
é uma tarefa difícil, mas de grande importância para que haja uma unificação na
proposta de educação nacional.
O currículo prescrito para o sistema educativo e para os professores, mais evidente no ensino obrigatório, é a sua própria definição, de seus conteúdos e demais orientações relativas aos códigos que organizam, que obedecem às determinações que procedem do fato de ser um objeto regulado por instâncias políticas e administrativas. (SACRISTÁN, 2000, p 109)
Para Sacristán (2000, p. 109), “ordenar a distribuição do conhecimento através
do sistema educativo é um modo não só de influir na cultura, mas também em toda a
ordenação social e econômica de um país”. Porém, sabemos que vivemos em um
país de grandes dimensões territoriais. Por consequência, há uma diversidade cultural
que dificulta um documento comum, fazendo com que esse currículo tenha,
obrigatoriamente, uma preocupação com todas as fases da vida escolar do aluno para
que todos possam ter, ao longo de sua vida acadêmica, oportunidades iguais para
seu desenvolvimento social, cultural e profissional.
O currículo prescrito tem a função de nortear os professores nos
desenvolvimentos dos conteúdos a serem trabalhados, de forma organizada e lógica.
Assim, é possibilitado aos alunos um avanço na construção de suas habilidades em
cada fase de sua vida escolar.
Os professores utilizam do currículo prescrito para se organizar em sua rotina
e também para avaliar o desempenho e, por consequência, o avanço ou não dos
31
alunos. É importante salientar que, com as mudanças ocorridas no currículo da
educação básica, faz-se necessário que esse instrumento enfatize a necessidade de
capacitação constante dos professores.
O aperfeiçoamento da própria técnica pedagógica para elaborar os currículos argumenta que um currículo, como plano tangível expressado documentalmente, não deve limitar-se à especialização de tópicos de conteúdos, mas deve conter um plano educativo completo. (SACRISTÁN, 2000, p. 115)
A escola, de posse do currículo prescrito, deve, como um todo, organizar-se
para que o trabalho se desenvolva satisfatoriamente. Professores engajados em sua
própria formação continuada permitem novas discussões e a elaboração de novos
métodos que atendam à demanda de alunos cada dia mais exigentes e, ao mesmo
tempo, dependentes da escola e das tecnologias. Com a ajuda dos professores, a
direção e todo o corpo administrativo devem procurar, baseados no currículo prescrito,
novas possibilidades para o trabalho na unidade de ensino e para a obtenção de uma
melhoria na qualidade da educação.
Para o Currículo da Cidade (SÃO PAULO, 2017), todos os envolvidos na
educação ― como: governo, professores, alunos e demais membros da comunidade
escolar ― têm o dever de conhecer e buscar a implementação do currículo na unidade
de ensino. Para tanto, deve ser feito um estudo do documento, com posicionamento
crítico.
A direção faz seu papel administrativo organizando, gerindo e orientando o
trabalho dos professores. Estes, por sua vez, se preocupam com o desenvolvimento
direto dos conteúdos, da formação acadêmica e social dos alunos, tendo como auxilio
a colaboração ativa de todos os participantes da comunidade escolar, objetivando o
pleno desenvolvimento dos alunos. Os estudantes, por outro lado, devem buscar, de
forma autônoma, o progresso no meio acadêmico, social, cultural e profissional.
32
3 O CURRÍCULO DA CIDADE DE SÃO PAULO
Para iniciar nossas discussões sobre a forma como a Álgebra aparece prescrita
no currículo do Ensino Fundamental da cidade de São Paulo, é importante, antes de
tudo, entendermos o momento de sua criação e a forma como esse documento foi
elaborado e como se estrutura.
3.1 Contextualização
A cidade de São Paulo possui, em sua rede de ensino, 430 mil estudantes
matriculados no Ensino Fundamental. Para trabalhar com esses alunos, a rede possui
23.917 professores distribuídos em 547 EMEF2, além de 8 EMEFM3.
Para a atualização do Currículo de Matemática da Cidade de São Paulo, levou-se em consideração a formação dos estudantes da Educação Básica e as concepções da Matemática como área do conhecimento, destacando suas potencialidades formativas e sua utilidade no cotidiano da sociedade. Nesse processo, a Matemática e as outras áreas de conhecimento trouxeram contribuições para a ampliação do desenvolvimento cognitivo dos estudantes, de maneira a possibilitar-lhes a análise e a tomada de decisões para intervir na realidade, além de propiciar o desenvolvimento de valores sociais, emocionais, estéticos, éticos e científicos. (SÃO PAULO, 2017, p. 63)
O currículo da cidade foi discutido e elaborado durante o ano de 2017 por
diversos profissionais e disponibilizado aos professores da rede municipal para que
apresentassem suas contribuições. Estes foram amparados pela equipe técnica da
Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.
Para garantir que todos se sintam inseridos nas propostas contidas no
documento, o Currículo da Cidade foi construído de forma coletiva e teve como
premissas para sua construção: a continuidade, a relevância, a colaboração e
contemporaneidade. Buscando o atendimento a todos os estudantes da rede, o
documento procurou se alinhar às propostas da Base Nacional Comum Curricular
(BNCC), homologada dias depois da publicação do Currículo da Cidade.
2 Escola Municipais de Ensino Fundamental. 3 Escola Municipais de Ensino Fundamental e Médio.
33
Com a necessidade cada dia mais latente de uma escola que respeite todas as
peculiaridades dos mais variados alunos, a atualização do currículo se fez necessária.
Busca-se atender a todo o alunado da rede, com base no entendimento de que a
educação é “um campo aberto à diversidade” (SÃO PAULO, 2017, p. 12). Com isso,
tenciona-se que todos aprendam conteúdos diferentes de formas distintas. Dessa
forma, o currículo está estruturado em três conceitos norteadores, a saber: Educação
Integral, Equidade e Educação Inclusiva.
O Currículo da Cidade foi escrito com o entendimento de que deve ser um
documento não linear, com os conteúdos determinados, mas sem a necessidade de
pré-requisito na elaboração dos conteúdos. As disciplinas podem e devem ser
trabalhadas com o pensamento de que as descobertas devem ser feitas por parte dos
alunos. Além disso, há a ideia de currículo em rede (PIRES, 2000) como processo
permanente de busca do alunado. O professor é dado como protagonista de sua
elaboração, objetivando o pleno desenvolvimento do educando enquanto ser principal
de todo o estudo e o foco nas principais mudanças propostas para o município.
A Figura 2 apresenta a Matriz de Saberes (SÃO PAULO, 2017, p. 33). Esta
indica o que a criança e os adolescentes devem aprender e/ou desenvolver durante o
Ensino Fundamental.
Figura 2 ‒ Matriz dos Saberes.
Fonte: São Paulo (2017, p. 33).
34
Com uma análise da figura, é possível perceber que o documento pretende que
os alunos sejam capazes de desenvolver o pensamento crítico e a criatividade no
momento de resolução de situações-problema. Assim, podem buscar diferentes
caminhos para chegar às respostas e, dessa forma, adquirir seu conhecimento com
mais autonomia ao longo dos anos de estudo.
A partir da interação com os demais sujeitos pertecentes a determinado
contexto, é importante entender as diferenças de cada ser, suas limitações e suas
potencialidades, inclusive suas próprias características, o que garante o
autoconhecimento. Conhecer a si mesmo é também se permitir entender o outro e
suas peculiaridades, o que se faz importante nos dias de hoje para que possamos
formar não só bons alunos, mas seres humanos dotados da capacidade de interagir
com todos, respeitando cada pessoa, entendendo os limites de cada um. É importante
compreender que tais barreiras, muitas vezes, são ocasionadas por contextos que,
apesar de estarem em uma mesma unidade escolar, podem ser, em âmbito social,
político e cultural, tão diferentes.
Essa matriz dos saberes serviu de base para a construção dos objetivos de
aprendizagem e desenvolvimento. Estes contam com os chamados temas
inspiradores ou 5 P’s: Pessoas, Planetas, Prosperidade, Paz e Parceria.
Figura 3 ‒ Os 5 P’s.
Fonte: São Paulo (2017, p. 37).
35
Os 5 P’s dialogam com os objetos do conhecimento e com os propósitos de
aprendizagem e desenvolvimento para garantir que esses alunos se formem como
seres capazes de pensar num mundo de forma crítica e contribuam efetivamente com
o futuro. O material especifica o significado desses cinco conceitos:
Pessoas: garantir que todos os seres humanos possam realizar o seu potencial em dignidade e igualdade, em um ambiente saudável. Planeta: proteger o planeta da degradação, sobretudo por meio do consumo e da produção sustentáveis, bem como da gestão sustentável dos seus recursos naturais. Prosperidade: assegurar que todos os seres humanos possam desfrutar de uma vida próspera e de plena realização pessoal. Paz: promover sociedades pacíficas, justas e inclusivas que estão livres do medo e da violência. Parceria: mobilizar os meios necessários para implementar esta Agenda por meio de uma Parceria Global para o Desenvolvimento Sustentável. (SÃO PAULO, 2017, p.36)
É de extrema importância que a escola esteja preocupada também com a
questão da socialização de seus alunos. Não podemos mais pensar em educação
sem levantar questões relacionadas a problemas que toda a sociedade deve estar em
alerta para garantir um futuro melhor a todos nós.
O currículo apresenta uma proposta que tenta, por meio da educação, sanar
problemas locais e, por consequência, buscar soluções que colaborem com a
resolução de situações maiores. É importante permitir que nossos alunos tenham em
mente o mundo em que vivem, os problemas que estamos enfrentando e o modo
como nós, juntos, devemos buscar soluções para dias melhores.
A escola passa a ser mais que uma instituição responsável pela escolarização.
Em muitos casos, é a principal fonte de educação, de formação dos valores humanos.
Isso porque as crianças passam cada vez mais tempo dentro das escolas do que com
as próprias famílias.
3.2 Concepções presentes no Currículo da Cidade
O Currículo da Cidade foi elaborado com base em algumas concepções. É um
currículo não linear, ou seja, seus conteúdos não precisam ser ensinados na mesma
ordem em que são prescritos. É um currículo em espiral; dessa forma, é assegurada
a possibilidade de voltar a qualquer momento para outro conceito para que o ensino
ocorra de maneira significativa, e ainda é permitido o ensino flexível dos conteúdos.
36
Esse material não deve ser um documento rígido, pelo contrário, deve ser vivo e
permitir que os professores o adaptem para melhor atender às necessidades de seu
alunado. Vejamos o trecho que explica essa organização:
Essa ordem sequencial que aparece no documento é apenas um indicativo para organização, não significa que na sala de aula esses objetivos devam ser organizados nessa sequência. Eles apresentam uma organização de um ano para o outro, de modo que sua redação revela que aquilo que se espera da aprendizagem num ano seja mais simples do que o que se espera da aprendizagem no ano subsequente. A progressão não é linear, mas indica uma visão em espiral do conhecimento, propondo a revisitação dos conhecimentos anteriores à medida que avança no ano subsequente. Além disso, num mesmo ano de escolaridade, os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento apresentam um encadeamento para que a compreensão de um determinado conceito decorra de uma rede de significados proporcionada por esse encadeamento. (SÃO PAULO, 2017, p. 59)
Apresentaremos, nas seções subsequentes, um embasemento teórico que nos
auxilie a compreender essas características curriculares. Primeiro, exporemos a ideia
de currículo em espiral de Bruner (1960,1966). Em seguida, introduziremos o conceito
de currículo em rede de Pires (2000).
3.2.1 O currículo em espiral na perspectiva de Bruner
Jerome Bruner, psicólogo norte-americano, é considerado um dos principais
líderes da revolução cognitiva. As ideias do autor influenciaram fortemente as
pesquisas em Educação sobre a construção dos significados, sobre o modo como as
pessoas interpretam o mundo em que vivem. O autor afirma que os professores
devem compreender, primeiramente, como os alunos pensam e só depois se voltar
para o modo como os conteúdos devem ser ensinados. Para Bruner (1960), o
conhecimento está vinculado às experiências que o ser humano vive.
A teoria de ensino de Bruner (1960) é prescritiva, buscando determinar as
melhores formas de ensinar. O autor afirma que o ensino estruturado é fundamental
para uma boa aprendizagem.
No ensino estruturado, o professor planeja o processo de ensino-
aprendizagem, organiza os conteúdos a serem ministrados em uma sequência que
favoreça a aprendizagem do aluno. Em sala de aula, Bruner (1966) sugere um
encadeamento de procedimentos de estudo, pesquisa e avaliação do processo, a fim
de garantir o sucesso na aprendizagem.
37
Bruner (1966) defende um ensino com estrutura consistente. Para o autor, a
estruturação do processo pedagógico é fundamental para ajudar os alunos a
aprenderem. Ele defende que o currículo seja bem planejado, organizado em etapas
e dividido em pequenos passos. Bruner (1966) considera essa ordenação como algo
mais eficiente, útil e significativo.
O autor acredita em uma estruturação que tenha foco nos conceitos centrais
de cada conteúdo. Uma vez compreendidas as ideias fundamentais de um tema, os
estudantes terão mais facilidade em entender as ideias secundárias. Esse ponto de
vista nos remete ao conceito de aprendizagem em espiral defendido por Bruner, como
vimos anteriormente.
O pesquisador argumenta que o ensino dos eixos temáticos deve ocorrer no
formato de espiral nas escolas. Dessa forma, a cada ano, os professores devem
retomar os mesmos temas do ano anterior, acrescentando novas informações, novas
atividades de estudo, para agregar novos conhecimentos àquilo que os alunos já
sabem sobre certo assunto.
O Currículo da Cidade de São Paulo, seguindo a ideia de currículo em espiral,
propõe que se inicie com as ideias básicas de cada tema, e, a cada ano, novos
conceitos sejam agregados aos anteriores. No que se refere ao eixo Álgebra, também
percebemos essa característica em espiral. A Álgebra aparece prescrita desde o
primeiro ano do Ensino Fundamental e é apresentada durante todos os anos
seguintes, de forma que o professor trabalhe com esse tema a cada ano letivo. Assim,
retoma o que foi estudado anteriormente e apresenta novas ideias, contribuindo para
a aprendizagem do aluno e para o desenvolvimento do pensamento algébrico.
3.2.2 A organização em rede segundo Pires
Outro entendimento da organização curricular proposto pelo documento é a
concepção de um currículo em rede de significados. A professora e pesquisadora
Célia Maria Carolino Pires (2000), em seu livro intitulado Currículos de Matemática:
da organização linear à ideia de rede, estuda como o currículo da Matemática foi
apresentado durante anos no Brasil. O modelo proposto por Pires (2000) é o currículo
em rede, que, como afirma a autora, opõe-se à ideia de linearidade, ainda hoje
dominante em nosso país, principalmente na Matemática.
38
Pires (2000) assinala que o currículo linear apresenta os conteúdos em uma
sequência. Nele, para ser aprendido um conteúdo, devem existir outros como pré-
requisitos, apontando um único caminho para esse processo de ensino-
aprendizagem. Segundo a autora, na época de seu trabalho ainda era muito comum
que professores defendessem a organização linear dos temas, com o argumento de
que o aluno aprende melhor quando há essa organização “lógica”.
Para a pesquisadora, os conteúdos têm sim que ter como suporte outros
conhecimentos, mas cabe ao aluno buscar esses conceitos por meio de pesquisas.
Assim, o professor sai da condição de detentor do saber e passa a mediar o processo
de aquisição do conhecimento. Pires (2000) defendia que,
O conhecimento é apresentado como uma rede cujos pontos vão se construindo em várias direções, em vários sentidos, cuja formação se altera e se reestrutura praticamente a cada vez que um “ponto” é incorporado a ela; é um sistema, enfim, que passa por momentos de caos e de alguma estabilidade. (PIRES, 2000, p. 117)
Aqui os conteúdos são apresentados como pontos conectados por uma rede.
Desse modo, existem diversos caminhos a serem trilhados, e não se exige uma ordem
entre os conteúdos a serem trabalhados.
Para Pires (2000), os primeiros desenhos a serem feitos devem partir dos
professores e dos gestores escolares, que planejam os conteúdos a serem
trabalhados e a forma com que esse trabalho deve ser realizado. Assim, são
produzidos mapas dessas redes, de forma que os temas sejam flexíveis e permitam
que, a qualquer momento, sejam feitas mudanças, adaptações nos mapas.
3.3 Ciclos de aprendizagem
O Currículo da Cidade se organiza em três ciclos. Cada um, conta com três
anos escolares: Ciclo de Alfabetização (1º, 2º e 3º ano), Ciclo Interdisciplinar (4º, 5º e
6º ano) e Ciclo Autoral (7º, 8º e 9º ano).
A organização do Ensino Fundamental em ciclos acontece na Rede Municipal de Ensino de São Paulo desde 1992, quando foram criados os Ciclos Inicial, Intermediário e Final, tendo a psicologia de Piaget (1976), Wallon (1968) e Vygotsky (1988) como bases de fundamentação. Os ciclos são vistos como processos contínuos de formação, que coincidem com o tempo de desenvolvimento da infância, puberdade e adolescência e obedecem a movimentos de avanços e recuos na aprendizagem, ao invés de seguir um
39
processo linear e progressivo de aquisição de conhecimentos. (SÃO PAULO, 2017, p. 40)
Pensando em oferecer aos estudantes um maior tempo para a aprendizagem
em cada ciclo e respeitando as necessidades de cada indivíduo bem como suas
características socioculturais, o currículo dividiu todo o Ensino Fundamental em ciclos
com igual período. Dessa forma, todos têm a oportunidade de ter seu tempo
resguardado, uma vez que cada aluno aprende num ritmo próprio.
No Ciclo de Alfabetização, os alunos iniciam seu percurso escolar no Ensino
Fundamental. As questões que se apresentam importantes para esse ciclo são o
desenvolvimento da leitura e da escrita, da alfabetização na língua materna e da
Matemática. É assegurado aos estudantes o estabelecimento de suas relações
afetivas e sociais nos mais variados espaços de convivência (SÃO PAULO, 2017).
Em consonância com as propostas do Pacto Nacional pela Alfabetização na
Idade Certa (BRASIL, 2013), o Currículo da Cidade entende que a infância é o período
em que relações são criadas. Nesse momento, as crianças são dotadas de grande
potencial a ser explorado ainda no início de sua vida escolar, com atividades lúdicas
que permitam a descoberta de um novo mundo e o autoconhecimento de cada um
como pessoa pertencente a um universo.
Neste ciclo, o foco é na alfabetização matemática, que leva em consideração os conhecimentos matemáticos que a criança traz de suas vivências e agrega novos conhecimentos que se articulam aos anteriores, possibilitando o desenvolvimento das crianças e sua participação na sociedade. (SÃO PAULO, 2017, p. 83)
As atividades para esse ciclo devem explorar o a alfabetização matemática.
Isso é feito por meio de atividades e brincadeiras que ajudem nessa descoberta.
Com a passagem para o Ciclo Interdisciplinar, os alunos passam a participar
de atividades cada vez mais complexas. É priorizada a concretização do que foi
explorado no ciclo anterior para que, ao chegar ao próximo estágio, não haja tanto
impacto, como é comum acontecer.
Nesse ciclo, um trabalho interdisciplinar é sugerido para que exista um maior
diálogo entre os eixos a serem ensinados e para que eles possam significar algo
realmente importante para os alunos. O documento sugere que professores
polivalentes se unam a professores especialistas, principalmente os que atuam no
40
quarto e no quinto ano para que troquem experiências e conhecimentos no que tange
aos saberes pedagógicos e/ou específicos.
No Ciclo Interdisciplinar, a capacidade de raciocinar dos estudantes é ampliada, principalmente no que se refere aos objetivos de aprendizagem e desenvolvimento que envolvem o uso de justificativas, com exemplos, contraexemplos, análise de casos e formulação de hipóteses, justificando-as com exemplos e deduções informais. A argumentação se fortalece e o professor pode fazer intervenções com questões do tipo: “Como fizeram? Justifique sua resposta” ou “O que acontecerá se...? Isso acontece sempre?”. (SÃO PAULO, 2017, p. 97)
As crianças, nessa fase, já costumam questionar o porquê de aprender
determinado conteúdo, a importância daquele conhecimento. Estabelecer um diálogo
com outros eixos possibilita mostrar de que forma a descoberta de cada conteúdo
contribui para sua vida acadêmica e social. É importante aproximar os conteúdos à
realidade do aluno para que ele perceba a escola dentro de sua rotina.
A escola tem papel fundamental na orientação dos discentes que estão nesse
momento tão delicado e importante que é o desenvolvimento educacional. É
imprescindível a construção do ser humano que futuramente participará de modo
efetivo das decisões essenciais para a sociedade como um todo (SÃO PAULO, 2017).
A última fase é chamada de Ciclo Autoral, destinado ao ensino de alunos do
sétimo ao nono ano. Encerrando o Ensino Fundamental e objetivando solidificar as
experiências vividas durante todos os anos anteriores, esse ciclo deve permitir que os
conteúdos sejam mais explorados pelos próprios alunos. Estes devem buscar o
conhecimento associando-o ao contexto social em que vivem.
A leitura, a produção textual, as demais áreas do conhecimento assim como o
desenvolvimento da Matemática devem estar, nesse momento, muito claros para os
jovens que estão estudando nos últimos anos do Ensino Fundamental. É nessa idade
que muitos adolescentes estão se descobrindo enquanto seres pertencentes a
determinados grupos. Há, nessa faixa etária, a identificação, a descoberta, a
aceitação ou a negação de suas características.
No Ciclo Autoral, é fundamental criar situações em que os estudantes possam fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo relações entre esses aspectos e desenvolvendo ideias mais complexas, levando em conta as vivências anteriores e os conhecimentos matemáticos já construídos. Os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento deste ciclo permitem articular diversos aspectos dos objetos
41
de conhecimento com a finalidade de desenvolver as ideias fundamentais da Matemática, como equivalência, representação, ordem, proporcionalidade, variação e interdependência, entre outras. (SÃO PAULO, 2017, p. 110)
Ao longo desse ciclo, os alunos desenvolverão o Trabalho Colaborativo de
Autoria (TCA). Articulando saberes consolidados durante o Ensino Fundamental, o
TCA ― comprometido com a intervenção social ― busca a formação de cidadãos
autônomos, críticos e participativos.
A educação funciona como um alicerce para o crescimento desses jovens.
Olhar para todo o percurso é também enxergar a história desses adolescentes e notar
que a escola, enquanto instituição formadora, foi também a responsável por muitas
escolhas feitas por esses alunos.
3.4 Álgebra no currículo do Ensino Fundamental da cidade de São Paulo
A Álgebra é tradicionalmente prescrita apenas a partir do 6º ano do Ensino
Fundamental. Os alunos passaram pelos anos iniciais sem que, de fato, tivessem esse
conteúdo institucionalizado no currículo escolar, o que sugere que o pensar
matemático (aritmético) se difere do pensar algébrico, criando uma ruptura nas duas
áreas.
Pesquisadores como Kieran (1992), Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) e Ponte,
Branco e Matos (2009), apresentam, em seus estudos, reflexões sobre a importância
da implementação de um currículo que contemple a Álgebra e o aprimoramento do
pensamento algébrico. Segundo Ponte (2006), aprender a Álgebra inclui igualmente
a capacidade de lidar com outros conteúdos matemáticos e a competência de usá-los
na interpretação e na resolução de problemas matemáticos ou de outros domínios.
Para Lins e Gimenez (2005), iniciar o estudo da Álgebra nos primeiros
anos do Ensino Fundamental é ir contra tudo que era feito até agora. Segundo esses
autores, o momento ideal é justamente o começo da vida escolar para que, ao longo
do Ensino Fundamental, o aluno desenvolva importantes conceitos que o ajudarão no
trabalho com a Matemática e também em situações dentro de sua realidade social.
Concordamos com a importância de trabalhar a Álgebra nos primeiros anos do
Ensino Fundamental para seu pleno desenvolvimento durante toda a vida escolar
42
desde os primeiros contatos acadêmicos com a Matemática. Dessa maneira, é
possível que a criança elabore as generalizações necessárias para a construção do
pensamento algébrico, que deverá ser lapidado durante os demais anos de estudo.
Apresentaremos um recorte para mostrar os objetos de conhecimento bem
como as metas de aprendizagem e desenvolvimento do eixo Álgebra de cada ciclo.
Esses objetivos serão citados aqui; porém, no capítulo de análise, voltaremos com a
categorização proposta pela pesquisa, a fim analisarmos se o currículo de
Matemática da cidade de São Paulo possibilita a aprendizagem da Álgebra na
perspectiva dos pesquisadores Blanton e Kaput (2005), que subsidiarão nosso
trabalho.
Quadro 2 - Objetos de conhecimento e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento por ano de escolaridade no Ciclo de Alfabetização para o eixo
Álgebra.
Ano Objetos de conhecimento Objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento
1°
Padrões numéricos ou figurais
(EF01M14) Organizar e ordenar objetos
familiares ou representações figurais por
meio de atributos, tais como cor, formato e
medida.
Regras de formação de uma
sequência numérica ou figural
(EF01M15) Investigar e descrever oralmente
um padrão (ou uma regularidade) e identificar
elementos ausentes em sequências
recursivas numéricas ou figurais
2°
Sequências repetitivas e
sequências recursivas:
construção, identificação,
descrição de padrões e
regularidades e determinação
de elementos ausentes
(EF02M13) Construir sequências de números
naturais, em ordem crescente ou
decrescente, a partir de um número qualquer,
utilizando uma regularidade estabelecida.
(EF02M14) Descrever oralmente um padrão
(ou regularidade) de sequências numéricas
ou figurais, repetitivas ou recursivas, por meio
de palavras ou de representações pessoais.
43
(EF02M15) Descrever elementos ausentes
em sequências numéricas ou figurais,
repetitivas ou recursivas, por meio de
palavras ou de representações pessoais e
continuar a sequência a partir de um padrão.
3°
Identificação e descrição de
regularidades em sequências
numéricas recursivas
(EF03M12) Investigar regularidades em
sequências ordenadas de números naturais,
resultantes da realização de adições ou de
subtrações sucessivas de um mesmo
número.
Relação de igualdade em
diferentes sentenças
matemáticas envolvendo
adições ou subtrações
(EF03M13) Descrever um padrão (ou
regularidade) de uma sequência numérica ou
figural recursiva e determinar elementos
faltantes ou seguintes.
(EF03M14) Compreender a ideia de
igualdade para escrever diferentes sentenças
de adições ou de subtrações de dois números
naturais que resultem na mesma soma ou
diferença.
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 86-96).
Após essa fase de alfabetização, o currículo da cidade de São Paulo apresenta
o Ciclo Interdisciplinar, definido como a fase de transição entre a alfabetização e o
Ciclo Autoral.
A seguir, apresentaremos o Quadro 3 com os objetos de conhecimento e os
objetivos de aprendizagem e desenvolvimento desse ciclo, fazendo uma descrição
com base no que é proposto pelo documento.
44
Quadro 3 – Objetos de conhecimento e objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento por ano de escolaridade no Ciclo Interdisciplinar para o eixo Álgebra
Ano Objetos de conhecimento Objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento
4°
Sequência numérica recursiva
formada por múltiplos de um
número natural
(EF04M15) Explorar regularidades, em
sequências numéricas recursivas,
compostas por múltiplos de um número
natural.
Propriedades da igualdade
(EF04M16) Investigar o número
desconhecido que torna verdadeira uma
igualdade que envolve as operações
fundamentais com números naturais.
5°
Propriedades da igualdade
(EF05M11) Investigar que uma igualdade
não se altera ao adicionar ou subtrair,
multiplicar ou dividir os seus termos por um
mesmo número.
Variação de grandezas
(EF05M12) Solucionar problemas que
envolvam ampliação ou redução de
quantidades de forma proporcional.
Proporcionalidade
(EF05M13) Solucionar problemas
envolvendo a partilha de uma quantidade em
duas partes desiguais, tais como dividir uma
quantidade em duas partes, de modo que
uma seja o dobro da outra.
45
6°
Noções de divisibilidade
(EF06M13) Investigar se há grupos de
números naturais para os quais as divisões
por um determinado número resultam em
restos iguais, identificando regularidades.
Sinais de associação
(EF06M14) Compreender e utilizar os sinais
de associação (parênteses, colchetes e
chaves) para estabelecer uma ordem de
prioridade entre as operações numa
expressão numérica.
Variação de grandezas: direta
e inversamente proporcionais
ou não proporcionais
(EF06M15) Investigar relações de
proporcionalidade direta, inversa ou de não
proporcionalidade entre duas grandezas.
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 99-109).
Nesse ciclo, já percebemos generalizações importantes para o
desenvolvimento do pensamento algébrico. A Álgebra aqui se apresenta como
conteúdo ligado à Aritmética. As relações matemáticas já começam a se formar no
ciclo interdisciplinar e serão mais fortemente apresentadas no ciclo seguinte.
Quadro 4 – Objetos de conhecimento e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento por ano de escolaridade no Ciclo Autoral para o eixo Álgebra.
ANO OBJETOS DO CONHECIMENTO OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM E
DESENVOLVIMENTO
7º Linguagem algébrica: expressões,
variável e incógnita
(EF07M10) Identificar diferentes usos
para as letras ou símbolos, em situações
que envolvam generalização de
propriedades, incógnitas, fórmulas,
relações numéricas e padrões.
46
Funções da Álgebra
(EF07M11) Traduzir e resolver um
problema em linguagem algébrica,
usando equações do 1º grau.
Equações polinomiais do 1º grau
(EF07M12) Solucionar equações do 1º
grau compreendendo o significado de
incógnita e da raiz.
(EF07M13) Compreender a ideia de
variável, representada por letra ou
símbolo, para expressar relação entre
duas grandezas, diferenciando-a de
incógnita.
Proporcionalidade
(EF07M14) Utilizar a simbologia
algébrica para expressar regularidades
encontradas em sequências numéricas.
(EF07M15) Solucionar e elaborar
problemas que envolvam variação de
proporcionalidade direta e inversa entre
duas grandezas, utilizando sentença
algébrica para expressar a relação entre
elas.
8º
Valor numérico de expressões
algébricas
(EF08M07) Construir procedimentos
para calcular o valor numérico de
expressões algébricas, utilizando
propriedades conhecidas.
Sistema de equações polinomiais
de 1º grau: resolução algébrica e
representação no plano cartesiano
(EF08M08) Traduzir um problema por
sistemas de equações do primeiro grau
com duas incógnitas e resolvê-lo,
utilizando inclusive o plano cartesiano
como recurso e discutindo a validade das
raízes.
Padrões e relações algébricas
(EF08M09) Produzir e interpretar escritas
algébricas, em situações que envolvem
generalização de propriedades,
47
incógnitas, fórmulas, relações numéricas
e padrões.
Inequação de 1º grau: resolução
algébrica e representação no
plano cartesiano, discussão das
raízes
(EF08M10) Traduzir um problema que
envolva inequações do primeiro grau,
resolvê-lo utilizando inclusive o plano
cartesiano como recurso, discutindo e
validando o significado das soluções.
Equação de 1° Grau
(EF08M11) Associar uma equação linear
de 1º grau com duas incógnitas a uma
reta no plano cartesiano.
Variação de grandezas: direta e
inversamente proporcionais ou
não proporcionais
(EF08M12) Identificar a natureza da
variação de duas grandezas, direta ou
inversamente proporcionais ou não
proporcionais, expressando a relação
existente por meio de sentença algébrica,
e representá-la no plano cartesiano.
(EF08M13) Elaborar problemas que
envolvam grandezas direta ou
inversamente proporcionais e resolvê-los
por meio de estratégias variadas.
Expressões algébricas: fatoração
e produtos notáveis
(EF08M14) Compreender e utilizar os
processos de fatoração e de produtos
notáveis de expressões algébricas com
base em suas relações.
9º
Representação em sistema de
coordenadas cartesianas da
variação de grandezas
(EF09M08) Representar a variação de
duas grandezas, analisando e
caracterizando o comportamento dessa
variação.
48
(EF09M09) Relacionar expressões
algébricas e gráficas em planos
cartesianos, explorando os significados
de intersecção e declive, com uso de
tecnologias digitais ou não.
Equação de 2º grau
(EF09M10) Resolver e elaborar
problemas que possam ser
representados por equações polinomiais
de 2º grau, discutindo o significado das
soluções, incluindo a fatoração e o
cálculo mental quando possível.
Frações algébricas: operações
(EF09M11) Construir procedimentos de
cálculo para operar com frações
algébricas, estabelecendo analogias com
procedimentos numéricos.
Problemas envolvendo sistemas
de equação do 1° e 2° grau
(EF09M12) Analisar, interpretar, formular
e resolver problemas que incluam
sistemas de equações de 1º e 2º graus.
(EF09M13) Analisar e representar
padrões e funções utilizando expressões
algébricas, palavras, tabelas e gráficos.
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 111-121).
O currículo de Matemática, apresenta também os Eixos Articuladores:
Além dos eixos estruturantes, o currículo de Matemática apresenta também os eixos articuladores, que permitem estabelecer relações tanto intramatemática como extramatemática, possibilitando uma articulação entre os vários eixos da Matemática (intramatemática) e da Matemática com outras áreas do conhecimento (extramatemática). (SÃO PAULO, 2017, p. 78)
Os Eixos Articuladores auxiliam para que os alunos possam viver experiências
dentro e fora do ambiente escolar, proporcionando um posicionamento crítico e ético
na sociedade. Esses eixos contribuem para a formação integral do estudante e
também para sua formação matemática.
49
Os eixos articuladores, ancorados nos princípios éticos, políticos e estéticos, preconizados nas Diretrizes Curriculares Nacionais (2013), na BNCC (2017), no documento Educação para os Objetivos de Desenvolvimento Sustentável (ODS) e na Matriz de Saberes deste Currículo, apresentam objetivos de aprendizagem e desenvolvimento que se inter-relacionam e se integram na construção de conhecimentos e na formação de valores e atitudes.
Os eixos articuladores do Currículo da Cidade para Matemática são:
Jogos e brincadeiras;
Processos matemáticos;
Conexões extramatemática.
Nos próximos quadros, apresentaremos os objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento, presentes nos Eixos Articuladores do Currículo da Cidade.
Acreditamos que a Álgebra se faz presente nesses eixos, assumindo atividades
diversas para o desenvolvimento do pensamento algébrico.
O quadro 5, apresenta os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento
prescritos para os anos do Ciclo de Alfabetização.
Quadro 5 – Objetos de conhecimento e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento por ano de escolaridade prescrito nos Eixos Articuladores.
Ano Eixos
Articuladores
Objetos de
conhecimento
Objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento
1º ano
Jogos e
Brincadeiras
Jogos e
brincadeiras
tradicionais infantis
da cultura popular
(EF01M34) Participar de jogos
e brincadeiras tradicionais que
explorem contagens, cálculos
rápidos, movimentos etc.,
realizando adivinhações,
decifrando charadas,
levantando hipóteses e
testando-as.
(EF01M35) Explorar diferentes
formas de registro de jogos e
50
brincadeiras: elaboração de
texto coletivo das regras do
jogo, registros por meio de
tabelas e gráficos.
Processos
Matemáticos
Estratégias e
procedimentos de
resolução de
problemas
(EF01M38) Explicar oralmente
as estratégias e os processos
de raciocínios utilizados na
resolução de um problema.
(EF01M39) Explicar oralmente
os registros feitos e as
respostas obtidas na resolução
de um problema.
2º ano
Jogos e
Brincadeiras
Jogos de
estratégia
EF02M32) Realizar jogos de
estratégia em que o objetivo é
a descoberta de um “caminho”
para vencê-lo e justificar a
decisão do “caminho” tomado.
(EF02M33) Realizar jogo de
quebra-cabeça usando
estratégias e analisando
possibilidades de encaixe de
peças.
Processos
Matemáticos
Estratégias e
procedimentos de
resolução de
problemas e
validação de
resultados
(EF02M36) Expressar,
oralmente e de forma
organizada, o processo
desenvolvido na resolução de
um problema e justificar a
resposta, usando vocabulário
pessoal.
51
Elaboração de
enunciados de
problemas
(EF02M37) Elaborar
coletivamente perguntas para
um problema apresentado pelo
professor e resolvê-lo,
verificando a validade da
solução.
3º ano
Processos
Matemáticos
Formulação de
enunciados de
problemas a partir
de sentenças
matemáticas
(EF03M36) Formular
coletivamente o enunciado de
um problema a partir de uma
sentença matemática e
resolvê-lo, analisando a
plausibilidade dos resultados.
(EF03M37) Investigar a
validade da propriedade
comutativa da adição a partir de
regularidades.
Pequenas
investigações em
contextos
numéricos
Fonte: Adaptado de São Paulo (2017, p. 88-96).
No próximo quadro, descreveremos os objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento dos Eixos Articuladores, presentes no Ciclo Interdisciplinar.
Quadro 6 – Objetos de conhecimento e objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento por ano de escolaridade prescrito nos Eixos Articuladores.
Ano Eixos
Articuladores
Objetos de
conhecimento
Objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento
4º ano
Jogos e
Brincadeiras
Jogos
probabilísticos
(EF04M35) Analisar o que é
certo, provável, pouco provável
ou impossível de acontecer em
um jogo.
52
(EF04M36) Antecipar as
ocorrências que favorecem
ganhar um jogo, justificando a
escolha.
Processos
Matemáticos
Investigações em
contextos
numéricos
(EF04M39) Investigar a
validade da propriedade
associativa da adição e da
multiplicação, a partir de
regularidades.
(EF04M40) Investigar
regularidades em
multiplicações por 0 e por 1 e
produzir um texto comunicando
as conclusões obtidas.
5º ano
Jogos e
Brincadeiras
Jogos de
estratégia e de
conhecimento
(EF05M36) Realizar jogos de
tabuleiro (estratégia e
conhecimento) e justificar as
estratégias usadas e a
antecipação de jogadas.
(EF05M37) Formar triângulos,
quadrados e retângulos com
um número limitado de peças
do Tangram (ou outro tipo de
quebra-cabeça), justificando a
escolha das peças.
Processos
Matemáticos
Resolução de
problemas usando
a linguagem
matemática
Pequenas
investigações em
(EF05M40) Justificar a
linguagem matemática e as
estratégias usadas na
resolução de um problema.
53
contextos
numéricos e
geométricos
(EF05M41) Investigar a
validade da propriedade
distributiva da multiplicação
em relação à adição (ou
subtração) e a mesma
propriedade para a divisão em
relação à adição (ou
subtração), a partir da
observação de regularidades.
6º ano Processos
Matemáticos
Investigações em
contextos
numéricos e
algébricos
(EF06M40) Investigar se as
relações de dobro de um
número e quadrado de um
número são ou não
equivalentes, justificando sua
resposta.
(EF06M41) Investigar a
existência de quadrados
perfeitos em uma sequência
figural, observando
regularidades e associando-os
à raiz quadrada exata.
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 101-109).
No quadro 7, serão apresentados os objetos de conhecimento e os objetivos
de aprendizagem e desenvolvimento prescritos para o Ciclo Autoral.
54
Quadro 7– Objetos de conhecimento e objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento por ano de escolaridade prescrito nos Eixos Articuladores.
Ano Eixos
Articuladores
Objetos de
conhecimento
Objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento
7º ano Jogos e
Brincadeiras
Jogos de
estratégia e de
conhecimento
(EF07M35) Realizar jogos,
envolvendo tecnologias digitais
que permitam ampliar e reduzir
figuras geométricas planas,
propondo discussões sobre as
deformidades e argumentando
sobre elas.
Processos
Matemáticos
Investigações
numéricas e
algébricas
(EF07M38) Investigar se duas
expressões algébricas, obtidas
para descrever a regularidade
de uma mesma sequência
numérica, são ou não
equivalentes, justificando seus
procedimentos.
8º ano Processos
Matemáticos
Investigações em
contextos
numéricos e
geométricos
(EF08M38) Investigar se duas
expressões algébricas, obtidas
para descrever a regularidade
de uma mesma sequência
numérica, são ou não
equivalentes, justificando seus
procedimentos.
9º ano Jogos e
Brincadeiras
Jogos de
estratégia e de
conhecimento
(EF09M35) Realizar jogos que
envolvem estratégias de
percepção de regularidades e
percepção do processo de
generalização.
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 114-122).
55
4 OS ESTUDOS SOBRE O ENSINO DA ÁLGEBRA NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Nos últimos anos, vários estudos têm sido realizados para compreender o
ensino da Álgebra. Isso ocorre devido à grande preocupação com o desenvolvimento
de um currículo voltado ao ensino desse eixo desde os primeiros anos do Ensino
Fundamental, já que, no Brasil, a Álgebra estava prescrita para ser trabalhada com os
alunos durante os anos finais do Ensino Fundamental (6º ao 9º ano).
Pesquisadores como Blanton e Kaput (2005), Ponte, Branco e Matos (2009),
Kieran (1992) e Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) fazem, em suas pesquisas,
reflexões sobre a importância da implementação de um currículo que contemple a
Álgebra.
Concordando com os autores que citamos no parágrafo anterior, Lins e
Gimenez (2005, p.11) afirmam que “[...] a introdução da Álgebra é o grande momento
de corte na educação matemática escolar, e que a reação usual é deixar para depois,
ao invés de antecipar essa introdução”. Acreditamos no ensino da Álgebra nos
primeiros anos do Ensino Fundamental para o pleno desenvolvimento do educando
durante toda a vida escolar. Isso inclui a introdução desse eixo desde os primeiros
contatos dos estudantes com a Matemática para que se possa proporcionar às
crianças as generalizações necessárias para a construção do pensamento algébrico
a partir de experiências diárias, o que permite a criação de generalizações importantes
para o efetivo aprendizado da Álgebra.
Após países como EUA, Portugal e Espanha desenvolverem currículos que
apresentam a Álgebra já nos primeiros anos do Ensino Fundamental, no Brasil,
fortaleceu-se uma série de discussões sobre a importância de desenvolver o
pensamento algébrico durante todo o Ensino Fundamental. Vários são os trabalhos
que mostram o quanto os países citados anteriormente desenvolvem seus currículos
com o olhar para a Álgebra e para o pensamento algébrico a partir do primeiro ano de
escolaridade.
56
Documentos curriculares como as Diretrizes Curriculares Nacionais (2006) e os
Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) ainda não continham a Álgebra como um
componente curricular para os anos iniciais do Ensino Fundamental. Nos PCN (1997),
sugere-se o desenvolvimento do pensamento algébrico, sem descrever a importância
desse pensamento dentro do contexto da educação matemática.
Com a homologação da Base Nacional Comum Curricular, em dezembro de
2017, amparada por recentes pesquisas sobre o ensino da Álgebra e o pensamento
algébrico, a educação matemática brasileira inicia um novo período. Com ela, define-
se a Álgebra como uma unidade temática já nos anos iniciais, e são apresentados os
objetivos a serem alcançados e as habilidades a serem desenvolvidas.
Apresentaremos o pensamento algébrico na visão de Blanton e Kaput (2005)
para melhor entendermos a importância de permitir que os alunos construam esse
tipo de pensamento já no início de sua vida escolar. Desse modo, os estudantes
podem, durante todo o Ensino Fundamental, apropriar-se de novos conceitos e ganhar
cada vez mais independência na tomada de decisões para a resolução tanto de
atividades escolares quanto de problemas de ordem prática relacionados com o meio
em que cada um está inserido.
Trataremos também das ideias de Blanton e Kaput (2005) a respeito do
pensamento algébrico, das categorias para avaliar o desenvolvimento ou não do
pensar algebricamente. Segundo os autores, o pensamento algébrico pode ser
analisado a partir de categorias e subcategorias que, se cumpridas, garantem a
aprendizagem da Álgebra.
Essas categorias e suas subcategorias servirão para nossa análise do currículo
da cidade de São Paulo. A partir dessas vertentes, identificaremos se o documento
possibilita aos alunos da rede o desenvolvimento do pensamento algébrico e, por
consequência, a aprendizagem dos conteúdos pertencentes ao eixo da Álgebra.
4.1 Processos do pensamento algébrico
Blanton, Levi e Crites (2011) dão foco aos processos de generalização,
representação, justificação e raciocínio com estrutura matemática e relações. No
entanto, a maior parte da pesquisa sobre o desenvolvimento do pensamento algébrico
57
centra-se na generalização. Esta, para os autores, é um processo inerente a todas as
atividades da Álgebra, bem como a todas as atividades matemáticas.
Em consonância com o significado dado à generalização no pensamento
algébrico, Kaput (2008) enfatiza que um aspecto crítico que faz uma atividade ser
algébrica é a generalização deliberada, que se apresenta quando, de fato, o aluno
consegue generalizar situações matemáticas em diferentes contextos. Por exemplo,
quando o estudante é questionado se o resultado da soma 3 + 2 é um número par ou
ímpar, espera-se que o entendimento dos conceitos leve o discente a perceber a
mesma resposta em outra soma, como 2589 + 3458, sem que tenha que encontrar o
valor dessa adição. O uso de números pode ser qualificado como algébrico, na medida
em que seu propósito não está no cálculo por si só, mas na representação de um
exemplo genérico.
A partir deste momento, seguiremos apresentando as ideias sobre o
desenvolvimento do pensamento algébrico sob o olhar dos pesquisadores norte-
americanos Maria Blanton e James Kaput. Esses autores criaram quatro categorias
que caracterizam essa construção:
a) o uso da aritmética como um domínio para expressar e formalizar generalizações (aritmética generalizada); b) a generalização de padrões numéricos para descrever relações funcionais (pensamento funcional); c) a modelação como um domínio para expressar e formalizar generalizações; d) a generalização sobre sistemas matemáticos a partir de cálculos e relações. (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 413)
Daremos continuidade a nossos estudos com um foco nas pesquisas desses
autores. Frisamos que eles subsidiarão nossa análise no próximo capítulo desta
dissertação. Utilizaremos as três primeiras categorias propostas por Blanton e Kaput
(2005), pois elas estão relacionadas à Educação Básica.
4.2 O pensamento algébrico na perspectiva de Blanton e Kaput
Blanton e Kaput (2005) apresentam três categorias que caracterizam a
aquisição ou o desenvolvimento do pensamento algébrico, a saber: Aritmética
generalizada ou pensamento quantitativo, pensamento funcional e modelação.
Segundo os autores, essas categorias e suas subcategorias podem definir se o
58
trabalho com a Álgebra irá resultar numa aprendizagem significativa para o aluno; só
assim, como apontam Ponte Branco e Matos (2009), haverá, de fato, a aquisição do
pensamento algébrico.
Lins e Gimenez (2005) reconhecem a Álgebra como uma atividade humana.
Dessa forma, o conhecimento está no sujeito e não no objeto. Kaput (2008) corrobora
essas ideias. Para ele, o aluno não demonstra aprender a Álgebra apenas quando
resolve uma equação. Segundo o autor, conseguir encontrar o valor da incógnita x em
uma equação do 1º grau do tipo 2x + 5 = 17 não gera, necessariamente, o pensar
matemático e, nesse caso específico, a apropriação do pensamento algébrico.
É possível, então, que o aluno solucione a questão reproduzindo passos
apresentados pelo professor na resolução de uma equação como o exemplo anterior
e não se aproprie dos conceitos necessários para a aprendizagem. Concordamos com
os autores quando afirmam que o aluno constrói um conhecimento matemático ao
compreender o significado de sua resolução, ao construir um sentido para o valor
encontrado. O pensamento algébrico está além da operacionalização matemática, é
preciso perceber as relações existentes inseridas nessas resoluções.
Para Blanton e Kaput (2005), à medida que os alunos adquirem novas
experiências matemáticas, torna-se possível criar e/ou perceber novas relações e
generalizações. A Álgebra pode e deve estar interligada com as outras áreas da
Matemática, como a Aritmética e a Geometria. Esse vínculo permite, na visão desses
pesquisadores, uma caracterização do pensamento algébrico, pois estudar a Álgebra
em diferentes contextos colabora para a construção de importantes generalizações
matemáticas.
Arcavi (2005) ressalta que a Álgebra, assim como toda a Matemática, utiliza a
linguagem simbólica. Porém, os símbolos não devem ser os objetos que definem o
pensamento algébrico. Esse tipo de raciocínio é delimitado pela compreensão de que
os símbolos permitem criar generalizações para que o pensar matemático ganhe
sentido para os alunos e, assim, possa, a partir de novos conhecimentos, gerar novas
relações em busca da constituição do pensamento algébrico.
Canavarro (2007) reforça esse pensamento quando revela em suas pesquisas
duas ideias que colocam a linguagem simbólica como elemento constituidor do
59
pensamento algébrico. Assim, para a pesquisadora, os símbolos são sim muito
importantes para a Matemática, mas devem ser olhados de acordo com o significado
que dão e não com sua operacionalização apenas.
Entendemos ser importante descrever cada vertente, pois essas categorias
serão o objeto de nosso olhar para o currículo da cidade de São Paulo. Nas próximas
seções, expomos essa classificação com a perspectiva dos pesquisadores Blanton e
Kaput (2005).
4.2.1 Aritmética generalizada ou pensamento quantitativo
Na Álgebra, a Aritmética generalizada não inclui apenas números, quantidades,
operações, propriedades, igualdade e representações ou diagramas relacionados,
mas também engloba variáveis, expressões e equações, dependendo se os símbolos
alfanuméricos foram integrados no ambiente de aprendizagem. Algumas pesquisas
recentes na área da Matemática estão situadas na Aritmética de jovens estudantes,
no trabalho com número e operações de adição e subtração, e se estendem à
experimentação com o uso de variáveis para representar quantidades desconhecidas.
Blanton e Kaput (2005) conduziram um experimento de ensino relacionado à
Álgebra. Com isso, descobriram que quase 75% dos alunos da 3ª série que
participaram do programa de intervenção aprenderam a representar quantidades
desconhecidas com notação variável, apesar de terem atribuído um valor numérico
específico para o desconhecido no início do estudo.
Com uma investigação que incluiu estudantes de 12 a 14 anos, os
pesquisadores demonstraram que a exposição precoce ao pensamento algébrico nos
anos iniciais leva a uma generalização mais sofisticada envolvendo os símbolos
alfanuméricos da Álgebra nos anos finais do Ensino Fundamental. Nessa perspectiva,
o pensamento algébrico está diretamente ligado às atividades com a Aritmética. Para
os autores, o potencial algébrico encontrado na Aritmética deve ser explorado
sistematicamente para que sejam percebidas as generalizações existentes nessas
áreas do conhecimento matemático. Essa vertente é mais comum de ser apresentada
nos primeiros anos do Ensino Fundamental, nos quais a Álgebra é, de fato, inserida
em situações em que os alunos, ainda imaturos, estão dando os primeiros passos
acadêmicos.
60
Dessa forma, é possível iniciar a construção do pensamento algébrico em
casos como o exemplo dado por Canavarro (2007), que dita que a representação do
número 41 pode ser percebida como uma propriedade comutativa da adição 33 + 8 =
8 + 33, o que permite futuras generalizações matemáticas. A proposta da Aritmética
generalizada é justamente fazer com que características da Álgebra sejam percebidas
e trabalhadas dentro de um contexto aritmético e, aos poucos, desenvolvam novas
relações.
Para a categoria da Aritmética generalizada, Blanton e Kaput (2005)
desenvolveram cinco subcategorias que facilitam a percepção de conceitos algébricos
dentro da aritmética, o que nos permitirá analisar o Currículo da Cidade (SÃO PAULO,
2017), olhando para seus objetivos de aprendizagem e desenvolvimento, buscando
encontrar, ou não, pontos comuns às vertentes reveladas pelos autores.
Blanton e Kaput (2005) explicam cada subcategoria da Aritmética generalizada.
Acreditamos que a descrição das subcategorias permite um maior entendimento das
ideias dos autores.
A primeira delas é explorar propriedades e relações de números inteiros. Esse
aspecto caracteriza-se pela generalização sobre somas e produtos de números pares
e ímpares, pela generalização de propriedades, como o resultado de uma subtração
de um número por ele mesmo, chegando a se formalizar com a construção a – a = 0,
e pela decomposição de números inteiros em possíveis somas.
A segunda é explorar propriedades das operações com números inteiros.
Nesse fator, concentra-se a exploração de relações entre operações aritméticas com
números inteiros, como a comutatividade da adição e da multiplicação ou a
propriedade distributiva da adição em relação à multiplicação, e as generalizações em
operações, como adicionar ou subtrair o mesmo valor.
A terceira relaciona-se à ação de explorar a igualdade como expressão de uma
relação entre quantidade. Nesse caso, encontramos o desenvolvimento do papel
algébrico do sinal de =, usando a ideia de equivalência entre expressões numéricas
do tipo 8 + 4 = □ + 5. Da mesma forma, achamos o tratamento de equações como
objetos que expressam relações entre quantidades, como (3 x n) + 2 = 14.
61
A quarta engloba a ação de tratar o número algebricamente. Esse gesto
consiste em compreender o número como número generalizado, enfatizando sua
estrutura, e não seu valor. Por exemplo, um aluno se depara com as seguintes
questões: 7 + 5 é par ou ímpar? E 45678 + 85631, é par ou ímpar? A resposta dele
deve ser baseada na estrutura dos números, e não no resultado das adições.
A quinta envolve resolver expressões numéricas com número desconhecido
(equações simples). Nessa subcategoria, concentra-se a resolução de equações
polinomiais do 1º grau simples com uma incógnita e a resolução de equações com
incógnitas repetidas, por exemplo, se V + V = 4, quanto é V + V + 6?
Por fim, há a resolução de equações no contexto da reta numérica. Isso envolve
completar puzzles numéricos nos quais faltam números, por exemplo, o quadrado
mágico.
Com essas subcategorias, podemos enxergar melhor as relações existentes
entre os conhecimentos aritméticos e os algébricos, percebendo os conceitos da
Álgebra dentro de outra área do conhecimento matemático. Segundo Blanton e Kaput
(2005), essas subcategorias nos permitem analisar se há o desenvolvimento do
pensamento algébrico, especialmente no Ensino Fundamental.
4.2.2 Pensamento funcional
Em uma perspectiva funcional sobre o conteúdo matemático da Álgebra, as
representações como tabelas, gráficos e outros diagramas orientados a funções são
muito importantes. Os objetos de variável, expressão e equação também estão
envolvidos, mas como uma interpretação da Aritmética generalizada sobre o que foi
realizado. Blanton, Levi e Crites (2011, p. 13) argumentam que o pensamento
funcional implica “generalizar relacionamentos entre quantidades, expressando essas
relações em palavras, símbolos, tabelas ou gráficos, e raciocinar com essas várias
representações para analisar o comportamento funcional”.
Blanton et al. (2015a) enfatizam que até mesmo alguns dos alunos da primeira
série são capazes de generalizar várias relações funcionais entre quantidades e que
seus níveis iniciais de compreensão poderiam se tornar mais sofisticados com o apoio
de instruções bem planejadas. A trajetória que pode servir como uma estrutura para
62
o trabalho relacionado ao desenvolvimento do pensamento funcional das crianças
envolve diferentes níveis de sofisticação na generalização das relações funcionais.
É necessário especificar se as crianças podem: (a) notar características
matemáticas em uma tarefa; (b) entender as relações entre quantidades por meio do
pensamento recursivo ou do pensamento funcional; (c) observar a regularidade em
instâncias particulares ou, de outra forma, em todas as instâncias; (d) descrever uma
relação funcional de maneira generalizada; (e) elaborar a comparação entre duas
quantidades e a relação funcional entre elas; (f) lidar com o funcionamento de um
objeto, compreendendo os limites da generalidade. Compreender as características
de tais níveis é significativo, porque revela quão sofisticadamente as crianças e os
jovens condensam as relações funcionais.
Para Blanton e Kaput (2005), as generalizações caracterizam o pensamento
algébrico com o conceito de funções. Embora ele seja trabalhado mais fortemente nos
anos finais do Ensino Fundamental, é possível ensinar essas ideias desde os
primeiros anos escolares, respeitando o tempo de aprendizagem de cada criança e
as experiências adquiridas.
O pensamento funcional destaca a simbolização das quantidades, as
operações com expressões simbólicas, a linguagem gráfica, as relações funcionais e
a previsão de resultados desconhecidos por meio de dados conhecidos, além de
descrever padrões aritméticos e geométricos. Assim como a Aritmética generalizada,
ele possui cinco subcategorias. Nos estudos de Blanton e Kaput (2005), são
apresentadas essas classificações, a fim de tornar mais fácil a percepção do
pensamento funcional, que caracteriza o pensamento algébrico.
A primeira envolve simbolizar quantidades e operar com as expressões
simbólicas, ou seja, usar símbolos para realizar operações com tais estruturas. Aqui
o professor pode trabalhar com os alunos a ideia representação de valores
desconhecidos. Por exemplo, quando, em uma sequência, temos + + 4 = 10, os
alunos deverão identificar qual valor representa o símbolo e notar que este assume
o mesmo valor nos dois momentos.
A segunda relaciona-se a representar dados graficamente, refere-se à
construção de gráficos e à utilização destes e de pares ordenados para o estudo de
63
funções. Ao estudar as funções, os alunos têm a oportunidade de observar as
informações tanto de uma perspectiva aritmética, quando é sugerida a substituição
por valores numéricos, quanto de um viés algébrico, quando se analisa o
comportamento da função no plano cartesiano ou no uso de tabelas.
A terceira consiste em descobrir relações funcionais, em utilizar dados e tabelas
para desvendar relações, além de fazer a tabulação de informações constatadas para
o estudo das conexões. Ao ler os dados de uma tabela, os alunos percebem o padrão
de sua construção, o que possibilita a generalização das situações.
Observemos um exemplo em que os alunos são desafiados a descobrir o
padrão dos dados de uma tabela. Quando o professor pede aos alunos que,
analisando a tabela de uma situação (Tabela 1), plotem as informações em um plano
cartesiano.
Quadro 8 - Relação tempo x distância
Tempo (s) 0 3 6 9 12
Distância
(m)
0 60 120 180 240
Fonte: o autor, 2019.
A quarta é relativa à previsão de resultados desconhecidos usando dados
conhecidos. Para Almeida e Santos (2017, p. 45), “corresponde à formulação de
conjecturas sobre o que não se sabe, a partir do que se sabe sem, necessariamente,
repetir todo o processo anterior”.
O professor pode trabalhar com os alunos as possibilidades de determinada
situação. Por exemplo: indique todas as maneiras de se vestir tendo 3 camisas, 2
calças e 2 sapatos diferentes. O docente oferece as informações, e os alunos buscam
o entendimento da situação, que pode ser resolvida usando a árvore das
possibilidades (pensamento combinatório) ou ainda a multiplicação dos termos
(operacionalização aritmética) para encontrar as 12 maneiras diferentes de se vestir.
64
A última subcategoria envolve identificar e descrever padrões numéricos e
geométricos. Está relacionada ao reconhecimento de regularidades de sequências
numéricas, com a descoberta de padrões em sequências de figuras geométricas e/ou
em conjuntos de expressões numéricas. Para buscar encontrar os elementos de uma
sequência, é necessário perceber o padrão imposto para sua criação. Por exemplo,
na sequência dos múltiplos de 4, o aluno percebe a regularidade de crescimento
somando o número 4, tendo, então: 0, 4, 8, 12, 16...
A categoria analisada nesta seção, o pensamento funcional, permite verificar
se o pensamento algébrico está tomando forma a partir do trabalho com a Álgebra
inserida, em alguns momentos, em outros contextos, como o geométrico e o
aritmético. Os alunos passam a ter e/ou a desenvolver o raciocínio matemático a partir
de generalizações. O uso das funções é o cerne do pensamento funcional e engloba
não apenas a operacionalização, mas também seu entendimento, a compreensão dos
conceitos e sua incorporação.
Por fim, Blanton e Kaput (2005) apresentam a última vertente, a modelação.
Trataremos dela a seguir, objetivando obter recursos para analisar todos os objetivos
de aprendizagem e desenvolvimento do eixo Álgebra presente no currículo da cidade
de São Paulo (2017).
4.2.3 Modelação
Para Kaput (2008), a modelação está diretamente ligada às outras duas
vertentes apresentadas anteriormente. Modelar é representar as mais diferentes
situações possíveis dentro de um contexto algébrico ou aritmético, desde as mais
simples resoluções aritméticas até as generalizações funcionais, que são mais
claramente vistas como conhecimento algébrico.
Para Canavarro (2007, p. 106), essas “representações não convencionais”
permitem aos alunos organizarem seu pensamento. Imagine, por exemplo, que o
professor, ao trabalhar com o cálculo de área e volume de figuras geométricas,
questiona a turma sobre o que aconteceria se as medidas aumentassem ou
diminuíssem. Os alunos, a partir da generalização construída com a mediação do
professor, seriam capazes de resolver os questionamentos com as observações.
65
Vejamos outra exemplificação. O docente, fazendo medições, solicita que os
alunos tentem descobrir a numeração do calçado de uma pessoa. Após alguns
exemplos, os alunos poderão chegar a um padrão que permitirá que esse cálculo seja
realizado mais rapidamente. É possível ainda chegar à fórmula generalizada como N
= 5𝑝+28
4, na qual N é o número do sapato e p é o tamanho do pé em cm.
Essas são algumas situações cotidianas que contribuem para o
desenvolvimento do pensamento algébrico, dentro da vertente modelação proposta
por Blanton e Kaput (2005).
Nessa perspectiva, a generalização é realizada a partir de situações matemáticas ou de fenômenos, como, por exemplo, a generalização de regularidades em situações do dia a dia na qual a regularidade é secundária relativamente ao objetivo mais geral da tarefa. (ALMEIDA; SANTOS, 2017, p. 46)
Concordamos com Blanton e Kaput (2005) quando assinalam que a modelação
algébrica é muito mais que a resolução a partir do entendimento de símbolos e regras
matemáticas. Um problema algébrico pode ser representado por uma linguagem
gestual, pictórica, natural, numérica ou ainda simbólica, criando relações na resolução
de problemas e generalizando os cálculos.
Não negamos aqui a importância da linguagem simbólica. Pelo contrário,
estamos de acordo com Carraher e Schliemann (2015), que afirmam que os símbolos
são essenciais para toda a Matemática. Porém, faz-se necessário que eles
representem algo significativo para o aluno para que este construa um pensamento
algébrico. Essa construção, muitas vezes, acontece antes mesmo da apresentação
de símbolos e números às crianças. Logo no início da vida escolar, os estudantes
podem e devem iniciar o desenvolvimento do pensamento algébrico com diferentes
representações, como a figural.
4.3 Outras ideias sobre o ensino da Álgebra
Historicamente, a Matemática e seus eixos temáticos desenvolviam-se a partir
da necessidade de contar, medir, guardar e organizar que os povos antigos percebiam
no decorrer do crescimento de suas cidades. Por muito tempo, a Matemática era vista
apenas como instrumento para calcular e resolver problemas sem que se enxergasse
66
a importância de desenvolver novas habilidades como manipulação de símbolos,
interpretação criativa dos símbolos e dos gráficos ou ainda que se percebesse as
relações entre os objetos, o que permite a aproximação da Matemática com a
realidade de cada um.
Essa supervalorização das técnicas vem perdendo força a partir de novos
estudos sobre o pensamento algébrico. Ponte, Branco e Matos comentam sobre esse
raciocínio:
através de processos de conjectura e argumentação, se estabelecem generalizações sobre os dados e relações matemáticas, expressas através de linguagens cada vez mais formais. Este processo de generalização pode ocorrer com base em situações aritméticas, geométricas, de modelação matemática e em quaisquer outras situações matemáticas lecionadas desde o primeiro ano de escolaridade. (PONTE, BRANCO e MATOS, 2009, p. 197)
Kaput (1999) identifica cinco traços do pensamento algébrico que estão
intimamente relacionados: a generalização e a formulação de padrões e restrições; a
manipulação de formalismos, guiada sintaticamente; o estudo de estruturas abstratas;
e o estudo de funções. Essa percepção produz uma enorme responsabilidade à
educação. Universalizar o pensamento algébrico é uma tarefa necessária, mas de
extrema complexidade, haja vista diversos fatores sociais, políticos e culturais
presentes na realidade das escolas, das famílias e dos alunos brasileiros. Essa ação
é, de fato, um grande desafio para a Educação Matemática; porém, tem tomado
grandes proporções graças às inúmeras pesquisas realizadas, o que mostra o
crescente interesse dos educadores a respeito desse tema.
Umas das grandes dificuldades dos alunos na aprendizagem dos conceitos
algébricos é a mudança dos sentidos dos símbolos em campos diferentes. Ponte,
Branco e Matos (2009), Van de Walle (2009) e Kaput (1999) consideram como o
objetivo do ensino da Álgebra no Ensino Fundamental o desenvolvimento do
pensamento algébrico, que, como já afirmamos, vai além da manipulação de
símbolos.
A Álgebra é vista, às vezes, como uma área que usa excessivamente símbolos,
mas, na verdade, os símbolos já são muito usados também na Aritmética. As
generalizações, nesse campo, fazem-se muito importantes. Com o desenvolvimento
67
delas, o aluno consegue compreender melhor as relações matemáticas para que o
que antes era decorado passe a ser compreendido e lhe traga algum significado.
Temos, enquanto professores, que ter cuidado para que seu uso dos símbolos
não seja apenas mecânico. A linguagem simbólica exige uma interpretação minuciosa
em cada questão, e a manipulação pode fazer com que a aprendizagem caia no
formalismo, o que contraria todas as pesquisas apresentadas até aqui sobre o
desenvolvimento do pensamento algébrico em alunos durante todo o Ensino
Fundamental.
É importante que os professores entendam a importância de permitir ao aluno
a constituição do pensamento algébrico. É necessário que os alunos sejam capazes
de representar e raciocinar algebricamente, além de terem a habilidade de resolver
problemas em diversas situações, que envolvam os vários conceitos
matemáticos/algébricos a partir dos primeiros anos de escolaridade e desenvolvê-los
durante os anos seguintes.
Os estudos de Ponte, Branco e Matos (2009) apontam também para a
importância de os alunos ganharem maturidade com os conhecimentos adquiridos
tanto na escola quanto no meio social em que estão inseridos para que possam
perceber as generalizações existentes no contexto da Álgebra e também nas outras
áreas da Matemática. Assim, os conteúdos deixarão de fazer parte somente da rotina
escolar e pertencerão também à vida do estudante.
Quadro 9 - Vertentes fundamentais do pensamento algébrico.
Representar
Ler, compreender, escrever e operar com símbolos usando as
convenções algébricas usuais.
Traduzir a informação representada simbolicamente para outras
formas de representação (objetos, linguagem verbal e numérica,
tabelas, gráficos) e vice-versa.
Evidenciar o sentido do símbolo, nomeadamente interpretando os
diferentes sentidos deste em diversos contextos.
Raciocinar
Relacionar (em particular, analisar propriedades).
Generalizar e agir sobre as generalizações, revelando a
compreensão das regras.
68
Deduzir.
Resolver
problemas e
modelar
situações
Usar expressões algébricas, equações, inequações, sistemas (de
equações e de inequações), funções e gráficos na interpretação e na
resolução de problemas matemáticos e de outros domínios
(modelação).
Fonte: Ponte, Branco e Matos (2009).
Após apresentar essas vertentes, frisamos que se faz necessário que o ensino
de Álgebra inicie nos primeiros anos do Ensino Fundamental. Assim, ao longo de sua
vida escolar, os alunos podem construir os significados algébricos e partir de seus
conhecimentos oriundos de sua vida social para moldar o conhecimento, de modo que
este sirva de ferramenta para o desenvolvimento acadêmico, social e profissional. O
que se espera é que a Álgebra faça sentido na vida, não só escolar, do indivíduo.
Para tal, decidimos analisar o eixo Álgebra presente no currículo do Ensino
Fundamental da cidade de São Paulo. Analisaremos o documento para verificar se a
organização curricular conduz à aprendizagem da Álgebra e ao desenvolvimento do
pensamento algébrico. Amparamo-nos em algumas pesquisas, principalmente nos
estudos de Blanton e Kaput (2005), que apresentam as mencionadas categorias, para
avaliar se o conteúdo permite pensar algebricamente, e na pesquisa de Pontes,
Branco e Matos (2009), que acreditam que a aprendizagem da Álgebra é representada
pelo desenvolvimento do pensamento algébrico.
Esses autores servem de fundamentação para nossa tabulação no capítulo
destinado à análise do currículo. Utilizaremos a definição das categorias apresentadas
por Blanton e Kaput (2005) quando expõem a Aritmética generalizada ou pensamento
quantitativo, o pensamento funcional e a modelação como recursos para avaliar a
aprendizagem da Álgebra.
Nosso propósito é verificar em qual categoria cada um dos objetivos de
aprendizagem e desenvolvimento apresentados no Currículo da Cidade pertence ou
ainda constatar se algum (uns) deles não satisfazem essas vertentes. Os autores
introduzem subcategorias para refinar nosso olhar sobre o documento. Achamos,
69
então, que esses estudos nos dão sustentação para concluirmos se o documento
permite o desenvolvimento do pensamento algébrico a partir do primeiro ano do
Ensino Fundamental e se esse pensamento se fortalece à medida que os estudantes
ganham mais experiência com as atividades dentro e fora da escola.
70
5 ANÁLISE DO EIXO ÁLGEBRA NO CURRÍCULO DA CIDADE DE
SÃO PAULO
No Capítulo 4, apresentamos as categorias que revelam as características do
pensamento algébrico na perspectiva de Blanton e Kaput (2005): a Aritmética
generalizada, o pensamento funcional e a modelação. Neste capítulo, faremos uma
relação entre essas categorias e os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento
prescritos no currículo da cidade de São Paulo (2017), no que diz respeito ao eixo
Álgebra, apresentado nos quadros anteriores.
Organizaremos os dados desses quadros em ciclos, sendo eles o Ciclo de
Alfabetização, o Ciclo Interdisciplinar e o Ciclo Autoral, como está organizado no
documento curricular. Estes, por sua vez, serão divididos por ano, para que possamos
olhar para cada objetivo de aprendizagem e desenvolvimento. Os objetivos serão
dispostos por sua representação simbólica, assim como indicado no Currículo da
Cidade, e serão descritos. O currículo da cidade de São Paulo apresenta as siglas no
seguinte formato: EF0XMXX4.
Esses elementos caracterizadores, trazidos por Blanton e Kaput (2005) nos
informarão se o que está prescrito no currículo pode contribuir para o desenvolvimento
do pensamento algébrico. Essa interpretação dos dados concorda com o pressuposto
de Ponte, Branco e Matos (2009) de que o aprendizado real da Álgebra só acontece
se houver, de fato, o desenvolvimento do pensamento algébrico. Para os autores,
aprender Álgebra não é necessariamente trabalhar com letras, mas perceber as
generalizações e a relação existente com outras áreas da Matemática. Dessa forma,
o aluno consegue aprender a Álgebra inclusive a partir de outros conteúdos, que,
muitas vezes, parecem estar tão distantes desse tema.
4 No Currículo da Cidade, os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento estão identificados por
uma sigla: EF0XMXX, na qual EF corresponde ao Ensino Fundamental, 0X ao ano de escolaridade e o MXX ao Componente Curricular Matemática. Essa sigla é seguida pela sequência de objetivos de aprendizagem e desenvolvimento desse componente.
71
5.1 Aritmética generalizada
Os alunos matriculados do primeiro ao terceiro ano, pertencem ao Ciclo de
Alfabetização. A partir do ingresso nesse ciclo de aprendizagem, os discentes passam
a ter contato com conteúdos que desenvolverão não somente o aspecto cognitivo,
mas também enquanto seres sociais pertencentes e participantes ativos da sociedade
em que estão inseridos.
Nos quadros a seguir, apresentaremos os objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento do eixo Álgebra para os alunos do Ensino Fundamental.
Os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento serão apresentados ano a
ano. Assim, poderemos observar se o currículo está organizado de forma que
possibilite a aprendizagem da Álgebra à luz das pesquisas de Blanton e Kaput (2005).
Quadro 10 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento
Ciclo de Alfabetização
Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano
(EF01M15) Investigar e descrever oralmente um padrão (ou uma
regularidade) e identificar elementos ausentes em sequências recursivas
numéricas ou figurais.
1º
(EF02M13) Construir sequências de números naturais, em ordem
crescente ou decrescente, a partir de um número qualquer, utilizando
uma regularidade estabelecida.
2º
(EF03M12) Investigar regularidades em sequências ordenadas de
números naturais, resultantes da realização de adições ou de subtrações
sucessivas de um mesmo número.
3º
72
(EF03M13) Descrever um padrão (ou regularidade) de uma sequência
numérica ou figural recursiva e determinar elementos faltantes ou
seguintes.
3º
(EF03M14) Compreender a ideia de igualdade para escrever diferentes
sentenças de adições ou de subtrações de dois números naturais que
resultem na mesma soma ou diferença.
3º
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 85-94)
O objetivo EF01M15 revela o início do trabalho algébrico dentro do contexto
aritmético. Esse objetivo, prescrito para o primeiro ano do Ensino Fundamental, indica
um trabalho de investigação matemática usando sequências numéricas ou mesmo
sequências figurais. Os alunos, ainda começando o contato com a Matemática
escolar, devem descrever os padrões observados pela linguagem oral.
Para Blanton e Kaput (2005), a aritmética generalizada consiste em tratar o
número algebricamente, ou seja, estudar o número por seu conceito e não somente
por seu valor. Segundo os autores, por exemplo, perceber a generalidade da
sequência dos números naturais, o padrão de sua formação e não somente o valor
numérico de cada algarismo, é essencial para a aprendizagem matemática.
Já para o segundo ano do Ensino Fundamental, o documento prescreve o
objetivo EF02M13, que indica a construção de sequências numéricas a partir de um
número natural. Aqui, o aluno, amparado nos conhecimentos já adquiridos, deve
conseguir perceber o padrão existente nesse primeiro conjunto numérico e seguir com
a sequência numérica. De acordo com Blanton e Kaput (2005), assim como
sinalizamos no objetivo do ano anterior, é importante para o desenvolvimento do
pensamento algébrico tratar o número algebricamente, perceber padrões em
sequências e reconhecer a generalização presente nessas estruturas.
Para concluir nosso olhar sob a ótica da Aritmética generalizada no Ciclo de
Alfabetização, descreveremos os três objetivos de aprendizagem prescritos para o
terceiro ano do Ensino Fundamental. São eles: EF03M12, EF03M13 e EF03M14.
73
Para esse ano, o documento sugere um trabalho ainda maior de investigação.
O texto nos aponta a necessidade de fazer com que o aluno busque as regularidades
existentes nas sequências de números naturais.
A adição e a subtração aparecem, em alguns objetivos, para promover a ideia
de generalização do resultado dessas operações, quando por exemplo, o aluno estiver
buscando encontrar a relação entre soma e subtração de números pares e ímpares
para perceber uma regularidade no resultado. Elas permitem a construção do padrão
que deverá ser percebido pelos alunos, a qual, para Blanton e Kaput (2005),
enquadra-se na subcategoria de explorar a igualdade como expressão de uma relação
entre quantidade.
Conforme os autores, “a aprendizagem de números é construída à medida que
os alunos trabalham com quantidades específicas e o professor prepara o terreno para
o próximo passo, a expressão formal da generalização”. (BLANTON; KAPUT, 2005,
p. 422 - Tradução nossa).
Perceber a existência de regularidades e encontrar elementos faltantes nessas
sequências, bem como entender o conceito de igualdade, são conhecimentos
apontados no documento como objetivos a serem trabalhados nesse ano, que encerra
o primeiro ciclo escolar. Para Blanton e Kaput (2005), a Aritmética generalizada
caracteriza-se pela capacidade de explorar a compreensão do sinal de igualdade,
expressando uma relação de quantidade. É também uma característica do
pensamento quantitativo explorar as propriedades dos números e reconhecer
elementos desconhecidos em sequências numéricas ou figurais.
O próximo ciclo a ser analisado é o Interdisciplinar, uma etapa de transição,
que antecede o último ciclo de aprendizagem. Segundo o Currículo da Cidade (2017,
p. 97), tem a função de desenvolver os conteúdos que já foram trabalhados no Ciclo
de Alfabetização e dar continuidade ao ensino. Ele deve proporcionar aos alunos a
aquisição da autonomia escolar, a participação na resolução de situações-problema
no ambiente escolar e daquelas que estão presentes em seu dia a dia.
O Quadro 11 descreve os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento do
Ciclo Interdisciplinar para serem analisados a partir do suporte teórico de Blanton e
Kaput (2005).
74
Quadro 11 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.
Ciclo Interdisciplinar
Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano
(EF04M15) Explorar regularidades, em sequências numéricas
recursivas, compostas por múltiplos de um número natural.
4º
(EF04M16) Investigar o número desconhecido que torna verdadeira uma
igualdade que envolve as operações fundamentais com números
naturais.
4º
(EF05M11) Investigar que uma igualdade não se altera ao adicionar ou
subtrair, multiplicar ou dividir os seus termos por um mesmo número.
5º
(EF05M12) Solucionar problemas que envolvam ampliação ou redução
de quantidades de forma proporcional.
5º
(EF05M13) Solucionar problemas envolvendo a partilha de uma
quantidade em duas partes desiguais, tais como dividir uma quantidade
em duas partes, de modo que uma seja o dobro da outra.
5º
(EF06M13) Investigar se há grupos de números naturais para os quais
as divisões por um determinado número resultam em restos iguais,
identificando regularidades.
6º
(EF06M14) Compreender e utilizar os sinais de associação (parênteses,
colchetes e chaves) para estabelecer uma ordem de prioridade entre as
operações numa expressão numérica.
6º
75
(EF06M15) Investigar relações de proporcionalidade direta, inversa ou de
não proporcionalidade entre duas grandezas.
6º
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 97-109)
No Ciclo Interdisciplinar, os objetos de aprendizagem e desenvolvimento dão
continuidade ao que foi proposto no Ciclo de Alfabetização. Nele os alunos começam
a fortalecer sua autonomia em atividades matemáticas, com a inserção de novos
conceitos.
Gradualmente, os alunos ganham mais autonomia na aquisição do
conhecimento, tornando-se capazes de, aos poucos, buscarem novas formas de
aprender. Uma participação colaborativa entre docentes especialistas e professores
polivalentes é a aposta para esse ciclo:
O projeto de docência compartilhada entre professores polivalentes e especialistas tem o objetivo de minimizar o efeito da transição entre o Ciclo de Alfabetização e o Ciclo Autoral. A troca entre esses profissionais permite aos docentes compartilhar saberes de diferentes dimensões: os conhecimentos do conteúdo matemático, se o professor for especialista na área de Matemática, com os conhecimentos pedagógicos sustentados pelo professor polivalente. Se os professores trabalharem juntos e de forma colaborativa, compartilhando seus saberes, poderá haver um ganho significativo nas aprendizagens dos estudantes, principalmente dos que apresentam mais dificuldades com a área. (SÃO PAULO, 2017, p. 97)
Os professores especialistas podem contribuir com os pedagogos com seus
conhecimentos na área e receberem, em contrapartida, um suporte pedagógico dos
professores educadores dos Anos Iniciais. A parceria se faz fundamental para que os
alunos tenham a possibilidade de desenvolver seus conhecimentos matemáticos, que
também subsidiam o desenvolvimento das aprendizagens no ciclo autoral.
Nesse ciclo, os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento evoluem e
envolvem a descrição de processos matemáticos e de relações entre a língua materna
e a linguagem matemática e vice-versa. Assim, há a ampliação das formas de
representação matemática e do rigor que elas exigem, expandindo a alfabetização
matemática para um letramento matemático (SÃO PAULO, 2017).
Com a apresentação de conceitos matemáticos aprendidos nos anos
anteriores, é possível trabalhar as propriedades das quatro operações fundamentais
na resolução de problemas cotidianos, bem como introduzir a ideia de
76
proporcionalidade, buscando generalizações matemáticas, o que caracteriza o
pensamento algébrico para Blanton e Kaput (2005).
Para o quarto ano do Ensino Fundamental, os objetivos EF04M15 e EF04M16
são reconhecidos como pertencentes à categoria aritmética generalizada. Para
embasar tal afirmação, usamos esta exposição de Blanton e Kaput (2005, p. 413,
tradução nossa):
Nesse ciclo, o documento continua sugerindo uma postura de investigação por
parte dos alunos para que eles possam buscar entender os padrões existentes dentro
de determinadas sequências numéricas, bem como perceber as propriedades
existentes nelas. Eles devem notar propriedades como a dos múltiplos e reconhecer
números desconhecidos nessas sequências para encontrar as generalizações
existentes e, assim, compreender os conceitos não apenas pela operacionalização
aritmética. Blanton e Kaput (2005) descrevem essas características como uma das
vertentes do desenvolvimento do pensamento algébrico. Nomeiam-nas na
subcategoria de resolução de expressões numéricas com número desconhecido da
vertente aritmética generalizada.
Ainda no Ciclo Interdisciplinar, apresentamos os objetivos de aprendizagem
EF05M11, EF05M12 e EF05M14. Eles apontam, além da investigação, a busca por
soluções de problemas em situações que envolvam as quatros operações
fundamentais. Para Blanton e Kaput (2005, p. 421, tradução nossa), “essas situações
refletem o pensamento algébrico por causa da ênfase nas relações entre as
operações com os números, não nos resultados de cálculos específicos”. Nesse
sentindo, trabalho proposto para o quinto ano se enquadra na subcategoria “explorar
a igualdade como expressão de uma relação entre quantidades”.
Esses objetivos nos indicam a necessidade de o aluno compreender, de fato,
como trabalhar com a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Para tanto, ele
deve perceber as características dessas operações e, dessa forma, utilizar a
generalização matemática (Blanton e Kaput, 2005) nos diversos problemas que
aparecerão.
O último ano desse ciclo, sexto ano, introduz, no âmbito da Aritmética
generalizada, outros três objetivos de aprendizagem. O EF06M13 aponta a
77
necessidade de investigar regularidades dentro dos divisores de um número natural,
de perceber como se comportam os restos dessas divisões e, assim, entender como
a generalização desses conteúdos contribuem para a aprendizagem matemática. Já
o objetivo EF06M14 aborda o uso dos símbolos, o que é de grande importância para
a resolução de problemas que envolvam as expressões numéricas; entender a ordem
de prioridade que cada símbolo permite ao aluno à compreensão do problema
proposto. Ainda nesse ciclo, o objetivo EF06M15 trata da busca por relações de
grandezas proporcionais, a fim de conduzir uma aprendizagem a partir de
generalizações importantes.
Blanton e Kaput (2005) apontam como definidores da categoria aritmética
generalizada a resolução de expressões numéricas, a busca pelo descobrimento de
valores desconhecidos, a interpretação e não apenas a operacionalização dos
símbolos. Além disso, sublinham a busca por padrões que levem os alunos à
generalização, que, segundo os autores, é essencial para o desenvolvimento do
pensamento algébrico. Tendo isso em vista, os objetivos do currículo estudado estão
de acordo com as indicações dos autores.
A última etapa apresentada pelo Currículo da Cidade é o Ciclo Autoral.
Trabalhando com os três últimos anos do Ensino Fundamental, esse ciclo busca
consolidar os conhecimentos matemáticos estruturados durante os anos anteriores.
Com alunos dessa faixa etária, é importante abordar questões rotineiras para dentro
das salas de aulas para que a escola não seja uma instituição isolada da sociedade,
mas pertença a esta ativamente.
Poder resolver situações-problema com raciocínio crítico é um grande desafio
para toda a estrutura educacional. Porém, é importante que os discentes, nessa fase
escolar, participem como protagonistas em seu processo de ensino e aprendizagem,
buscando novas formas de aprender de maneira significativa.
Com o intuito de consolidar as aprendizagens desenvolvidas nos anos
anteriores, bem como ampliá-las, o Ciclo Autoral apresenta a maior quantidade de
objetivos de aprendizagem e desenvolvimento em relação ao eixo Álgebra. Esse dado
é percebido quando fazemos uma comparação deste ciclo com os ciclos anteriores o
que, tradicionalmente, já ocorria com o ensino de Álgebra.
78
São propostas, para essa etapa do ensino, a utilização da linguagem algébrica
na tradução e na resolução de questões, a construção de procedimentos para cálculos
e a interpretação algébrica. O que se mostra como avanço é o fato de, nesse
momento, os alunos estarem bem mais familiarizados com a Álgebra, pois a tem
estudado desde o início da vida escolar. Dessa forma, espera-se que os discentes
apresentem mais autonomia nas interpretações algébricas e que hajam tido um
progresso no desenvolvimento do pensamento algébrico no decorrer de todo o Ensino
Fundamental.
No Ciclo Autoral, os alunos passam a ter acesso, cada vez mais, a padrões
matemáticos, análises gráficas, expressões numéricas e algébricas, além de
trabalharem com a ideia de função e equação. Essas relações são apresentadas
desde o primeiro ano e, aos poucos, são consolidadas. Esse ciclo permite um trabalho
mais específico com as relações algébricas, muitas vezes oriundas dos primeiros
contatos, importantíssimos, com a Aritmética nos Anos Iniciais.
Analisaremos o Quadro 12 para verificarmos se os objetivos de aprendizagem
e desenvolvimento prescritos estão de acordo com a categoria Aritmética
generalizada. Veremos se eles permitem o desenvolvimento do pensamento algébrico
a partir dos estudos de Blanton e Kaput (2005) e, dessa forma, a construção do
conhecimento da Álgebra.
Quadro 12 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.
Ciclo Autoral
Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano
(EF07M12) Solucionar equações do 1º grau compreendendo o
significado de incógnita e da raiz.
7º
79
(EF07M15) Solucionar e elaborar problemas que envolvam variação de
proporcionalidade direta e inversa entre duas grandezas, utilizando
sentença algébrica para expressar a relação entre elas.
7º
(EF08M07) Construir procedimentos para calcular o valor numérico de
expressões algébricas, utilizando propriedades conhecidas.
8º
(EF08M08) Traduzir um problema por sistemas de equações do primeiro
grau com duas incógnitas e resolvê-lo, utilizando inclusive o plano
cartesiano como recurso e discutindo a validade das raízes.
8º
(EF08M09) Produzir e interpretar escritas algébricas, em situações que
envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações
numéricas e padrões.
8º
(EF08M10) Traduzir um problema que envolva inequações do primeiro
grau, resolvê-lo utilizando inclusive o plano cartesiano como recurso,
discutindo e validando o significado das soluções.
8º
(EF08M12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, direta
ou inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a
relação existente por meio de sentença algébrica, e representá-la no
plano cartesiano.
8º
(EF08M13) Elaborar problemas que envolvam grandezas direta ou
inversamente proporcionais e resolvê-los por meio de estratégias
variadas.
8º
(EF08M14) Compreender e utilizar os processos de fatoração e de
produtos notáveis de expressões algébricas com base em suas relações.
8º
80
(EF09M10) Resolver e elaborar problemas que possam ser
representados por equações polinomiais de 2º grau, discutindo o
significado das soluções, incluindo a fatoração e o cálculo mental quando
possível.
9º
(EF09M11) Construir procedimentos de cálculo para operar com frações
algébricas, estabelecendo analogias com procedimentos numéricos.
9º
(EF09M12) Analisar, interpretar, formular e resolver problemas que
incluam sistemas de equações de 1º e 2º graus.
9º
(EF09M13) Analisar e representar padrões e funções utilizando
expressões algébricas, palavras, tabelas e gráficos.
9º
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 110-122)
O Ciclo Autoral estabelece relações com o que já foi construído e permitindo o
desenvolvimento de conhecimentos mais complexos. Os alunos têm a possibilidade
de trabalhar com uma maior quantidade de conteúdos algébricos. Além disso, é dada
a eles e oportunidade de usar a generalização matemática a partir de estruturas que
vem sendo construídas durante os anos anteriores, como: construções gráficas e
análise de situações que envolvem padrões aritméticos e algébricos.
O aluno precisa não só operacionalizar a Matemática presente na equação,
mas também conseguir representá-la de outra forma, por exemplo, usando a
representação gráfica ao demonstrar no plano cartesiano seu comportamento
(Blanton e Kaput, 2005). Várias estratégias podem ser criadas para essa
demonstração, configurando, assim, a modelação matemática para o
desenvolvimento do pensamento algébrico.
Ainda para o último ano do Ensino Fundamental, o Currículo da Cidade
apresenta a construção, análise, interpretação e representação algébrica que ajudem
no desenvolvimento de conteúdos como sistemas de equação, frações algébricas e
funções, com diferentes representações.
81
Para iniciar nossa análise dos objetivos de aprendizagem e desenvolvimento
do último ciclo prescrito pelo currículo da cidade de São Paulo (2017), apontaremos
os objetivos EF07M12 e EF07M15. Eles expõem a busca de soluções para problemas
envolvendo as equações do 1º grau e ainda grandezas direta ou inversamente
proporcionais.
Segundo Blanton e Kaput (2005), trabalhar com a Álgebra em um contexto
aritmético, na Aritmética generalizada, é conseguir olhar para os conteúdos e permitir
que os alunos encontrem similaridades que contribuam para a aprendizagem. Não
basta apenas resolver os problemas propostos, é importante que os estudantes
percebam que existem generalizações entre diferentes situações matemáticas que
contribuirão para a aquisição do conhecimento.
Os autores chamam a atenção para o uso dos símbolos que na Álgebra fazem-
se muito presentes. Nesse ciclo, os conteúdos introduzem muitas operações a serem
resolvidas e se o aluno tiver construído desde os primeiros anos a percepção das
propriedades dessas operações, conseguirá resolver os problemas propostos.
Para o oitavo ano do Ensino Fundamental, encontramos uma maior quantidade
de objetivos que atendem às características da Aritmética generalizada. São sete
objetivos classificados, a saber: EF08M07, EF08M08, EF08M09, EF08M10,
EF08M12, EF08M13 e EF08M14. Esses objetivos indicam uma continuidade dos
trabalhos já apresentados no Ciclo Interdisciplinar. Incluem a busca por entender as
relações existentes entre os diversos conteúdos, a interpretação das questões
propostas e o reconhecimento de padrões importantes para a resolução de
problemas. Tudo isso permite-nos a olhar para eles e perceber que esses objetivos
de aprendizagem e desenvolvimento convidam a investigações que nos levam às
generalizações que são, para Blanton e Kaput (2005), a principal característica do
pensamento algébrico, como já afirmado.
Ainda para esses autores, a resolução de expressões numéricas e equações
proporciona um olhar para a Álgebra sob a perspectiva da Aritmética generalizada,
como aparece nos objetivos EF09M10, EF09M12 e EF09M13. Já o objetivo EF09M11
trata do número algebricamente (Blanton e Kaput, 2005), ou seja, do estudo das
frações algébricas olhando para as generalizações e não apenas para seu valor
82
numérico. Os quatro objetivos apresentados neste parágrafo compõem aqueles que
entendemos demonstrar as características do pensamento quantitativo para o 9º ano
do Ensino Fundamental.
5.2 Pensamento Funcional
Para continuar nossa análise sobre os objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento presentes no currículo de Matemática da cidade de São Paulo
(2017), à luz da categoria do pensamento funcional de Blanton e Kaput (2005),
apontamos os objetivos prescritos para os Anos Iniciais do Ensino Fundamental.
Quadro 13 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.
Ciclo de Alfabetização
Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano
(EF01M14) Organizar e ordenar objetos familiares ou representações
figurais por meio de atributos, tais como cor, formato e medida.
1º
(EF01M15) Investigar e descrever oralmente um padrão (ou uma
regularidade) e identificar elementos ausentes em sequências recursivas
numéricas ou figurais.
1º
(EF02M13) Construir sequências de números naturais, em ordem
crescente ou decrescente, a partir de um número qualquer, utilizando
uma regularidade estabelecida.
2º
(EF02M14) Descrever oralmente um padrão (ou regularidade) de
sequências numéricas ou figurais, repetitivas ou recursivas, por meio de
palavras ou de representações pessoais.
2º
83
(EF02M15) Descrever elementos ausentes em sequências numéricas ou
figurais, repetitivas ou recursivas, por meio de palavras ou de
representações pessoais e continuar a sequência a partir de um padrão.
2º
(EF03M12) Investigar regularidades em sequências ordenadas de
números naturais, resultantes da realização de adições ou de subtrações
sucessivas de um mesmo número.
3º
(EF03M13) Descrever um padrão (ou regularidade) de uma sequência
numérica ou figural recursiva e determinar elementos faltantes ou
seguintes.
3º
(EF03M14) Compreender a ideia de igualdade para escrever diferentes
sentenças de adições ou de subtrações de dois números naturais que
resultem na mesma soma ou diferença.
3º
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 87-95)
As indicações feitas em EF01M14 e EF01M15 direcionam o olhar à
investigação matemática em sequências numéricas ou figurais, especificamente à
identificação e à descrição de padrões numéricos e geométricos. A descoberta dessas
regularidades é, para Blanton e Kaput (2005), característica do pensamento funcional,
que dá a oportunidade aos alunos de observar, sob diferentes perspectivas, os
conteúdos matemáticos trabalhados.
Ainda nessa perspectiva, os objetivos destacados para o segundo ano do
Ensino Fundamental têm características do pensamento algébrico, como: simbolizar
quantidades e operar com as expressões simbólicas, descobrir relações funcionais e
prever resultados desconhecidos usando dados conhecidos. Essas características
estão presentes nos objetivos EF02M13, EF02M14 e EF02M15. Blanton e Kaput
(2005, p. 426, tradução nossa) afirmam:
Encontrar, descrever, justificar e simbolizar relações matemáticas entre quantidades que variam é crucial para o ensino da matemática escolar, porque cria fundamentos conceituais para as situações que promovem o pensamento funcional, que ocorre em graus posteriores. Em particular, traz à
84
tona relacionamentos e estrutura em dados que permitem aos alunos modelar o mundo físico e pensar em abstrações além das restrições concretas de números específicos.
A investigação de regularidades, a busca de padrões numéricos ou figurais e
ainda a procura por valores desconhecidos são também traços do pensamento
funcional, apontados por Blanton e Kaput (2005). Eles encontram-se descritos nos
objetivos de aprendizagem e desenvolvimento do terceiro ano do Ensino
Fundamental. Esses objetivos estão prescritos com os códigos EF03M12, EF03M13
e EF03M14.
A seguir, os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento indicados para o
Ciclo Interdisciplinar serão analisados também sob a perspectiva do pensamento
funcional (BLANTON; KAPUT, 2005).
Quadro 14 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.
Ciclo Interdisciplinar
Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano
(EF04M15) Explorar regularidades, em sequências numéricas
recursivas, compostas por múltiplos de um número natural.
4º
(EF04M16) Investigar o número desconhecido que torna verdadeira uma
igualdade que envolve as operações fundamentais com números
naturais.
4º
(EF05M11) Investigar que uma igualdade não se altera ao adicionar ou
subtrair, multiplicar ou dividir os seus termos por um mesmo número.
5º
(EF05M12) Solucionar problemas que envolvam ampliação ou redução
de quantidades de forma proporcional.
5º
85
(EF05M13) Solucionar problemas envolvendo a partilha de uma
quantidade em duas partes desiguais, tais como dividir uma quantidade
em duas partes, de modo que uma seja o dobro da outra.
5º
(EF06M13) Investigar se há grupos de números naturais para os quais
as divisões por um determinado número resultam em restos iguais,
identificando regularidades.
6º
(EF06M15) Investigar relações de proporcionalidade direta, inversa ou de
não proporcionalidade entre duas grandezas
6º
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 97-109)
Ao analisar a categoria do pensamento funcional para o Ciclo Interdisciplinar,
notamos que os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento indicados nele
consolidam outros propostos no ciclo anterior. A proposta de investigação faz-se ainda
mais presente nos textos, bem como a busca por soluções de problemas envolvendo
o trato com os números. O que chama a atenção é a maneira como é feita a
prescrição, permitindo que os alunos desenvolvam suas estratégias para chegar a
uma generalização dos conteúdos propostos. Para Blanton e Kaput (2005), não é
apenas a resolução das questões que importa, mas maneira como elas são
trabalhadas, o caráter algébrico dado aos diferentes contextos. Os autores afirmam:
“entendemos que, nos casos em que os alunos usam generalizações matemáticas
para construir outras generalizações, promove-se um nível sofisticado de pensamento
algébrico”. (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 427, tradução nossa).
Encontramos no Ciclo Interdisciplinar várias situações em que os alunos terão
que buscar regularidades para aplicar nas diferentes atividades propostas, o que,
como apontado anteriormente, segundo Blanton e Kaput (2005) promove um nível
sofisticado de pensamento algébrico. Esses padrões estão sugeridos em objetivos
de aprendizagem e desenvolvimento como: EF04M15 e EF04M16 que tratam das
sequências de números naturais, as quatro operações fundamentais ― EF05M11,
EF05M12 e EF05M13 que traz a adição, subtração, multiplicação e divisão e
proporcionalidade ― e ainda a divisibilidade e as grandezas direta e inversamente
proporcionais (EF06M13 e EF06M15).
86
No Quadro 15, apresentamos os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento
presentes no Ciclo Autoral que, conforme nossa análise, enquadram-se na categoria
do pensamento funcional, baseado no trabalho de Blanton e Kaput (2005).
Quadro 15 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.
Ciclo Autoral
Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano
(EF07M10) Identificar diferentes usos para as letras ou símbolos, em
situações que envolvam generalização de propriedades, incógnitas,
fórmulas, relações numéricas e padrões.
7º
(EF07M11) Traduzir e resolver um problema em linguagem algébrica,
usando equações do 1º grau.
7º
(EF07M12) Solucionar equações do 1º grau compreendendo o
significado de incógnita e da raiz.
7º
(EF07M13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou
símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a
de incógnita.
7º
(EF07M14) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades
encontradas em sequências numéricas.
7º
(EF07M15) Solucionar e elaborar problemas que envolvam variação de
proporcionalidade direta e inversa entre duas grandezas, utilizando
sentença algébrica para expressar a relação entre elas.
7º
87
(EF08M07) Construir procedimentos para calcular o valor numérico de
expressões algébricas, utilizando propriedades conhecidas.
7º
(EF08M08) Traduzir um problema por sistemas de equações do primeiro
grau com duas incógnitas e resolvê-lo, utilizando inclusive o plano
cartesiano como recurso e discutindo a validade das raízes.
8º
(EF08M09) Produzir e interpretar escritas algébricas, em situações que
envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações
numéricas e padrões.
8º
(EF08M10) Traduzir um problema que envolva inequações do primeiro
grau, resolvê-lo utilizando inclusive o plano cartesiano como recurso,
discutindo e validando o significado das soluções.
8º
(EF08M11) Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas
a uma reta no plano cartesiano.
8º
(EF08M12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, direta
ou inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a
relação existente por meio de sentença algébrica, e representá-la no
plano cartesiano.
8º
(EF08M13) Elaborar problemas que envolvam grandezas direta ou
inversamente proporcionais e resolvê-los por meio de estratégias
variadas.
8º
(EF08M14) Compreender e utilizar os processos de fatoração e de
produtos notáveis de expressões algébricas com base em suas relações.
8º
88
(EF09M08) Representar a variação de duas grandezas, analisando e
caracterizando o comportamento dessa variação.
9º
(EF09M09) Relacionar expressões algébricas e gráficas em planos
cartesianos, explorando os significados de intersecção e declive, com
uso de tecnologias digitais ou não.
9º
(EF09M10) Resolver e elaborar problemas que possam ser
representados por equações polinomiais de 2º grau, discutindo o
significado das soluções, incluindo a fatoração e o cálculo mental quando
possível.
9º
(EF09M11) Construir procedimentos de cálculo para operar com frações
algébricas, estabelecendo analogias com procedimentos numéricos.
9º
(EF09M12) Analisar, interpretar, formular e resolver problemas que
incluam sistemas de equações de 1º e 2º graus.
9º
(EF09M13) Analisar e representar padrões e funções utilizando
expressões algébricas, palavras, tabelas e gráficos.
9º
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 110-122)
Os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento prescritos para o sétimo ano
do Ensino Fundamental que, para nós, pertencem a categoria do pensamento
funcional são: EF07M10, EF07M11, EF07M12, EF07M13, EF07M14 e EF07M15.
Percebemos nesses objetivos características do pensamento funcional apontadas por
Blanton e Kaput (2005): a utilização de símbolos, o uso de números conhecidos para
encontrar valores desconhecidos, as diferentes representações, como a gráfica, e a
busca por padrões.
Para os autores,
o pensamento funcional dá foco ao processo em que tarefas aritméticas ganham um caráter generalizado, esses padrões e as relações estabelecidas
89
produzem um parâmetro nas tarefas matemáticas, levando os alunos a aprenderem, de fato, o conteúdo. (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 414, tradução nossa)
A prescrição desses objetivos, em nossa análise, permite que os alunos
busquem, a partir de situações-problema, as soluções por diferentes estratégias
matemáticas. Quando, por exemplo, o aluno estiver calculando a raiz de uma
equação, a representação desta no plano cartesiano poderá contribuir para a
visualização do conjunto-solução desse problema.
Essa construção poderá ser feita tanto no caderno quanto no computador, com
ajuda de um software que permita essa representação.
Assim como os objetivos de aprendizagem do ano anterior, aqueles prescritos
para o oitavo ano do Ensino Fundamental indicam a possibilidade de o aluno investigar
o que é proposto, buscar diferentes formas de resolução dos problemas e encontrar
as generalizações necessárias para a aprendizagem.
O pensamento algébrico busca encontrar, descrever, justificar e simbolizar relações matemáticas entre quantidades. É crucial para o ensino da matemática escolar, porque cria fundamentos conceituais para a formalização do pensamento funcional que ocorre em graus posteriores. Em particular, traz à tona relacionamentos e estrutura em dados que permitem aos alunos modelar o mundo físico e pensar em abstrações além das restrições concretas de números específicos. (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 426, tradução nossa)
Isso fica evidente nos objetivos de EF08M08 a EF08M14, quando o texto
sugere a elaboração de problemas, a interpretação das situações matemáticas dadas
e a busca por generalizações e padrões para a resolução de questões similares.
Para o nono ano do Ensino Fundamental, temos os objetivos de aprendizagem
e desenvolvimento do EF09M08 até o EF09M13. Neles a representação matemática
por meio de tabelas e/ou gráficos aparece com frequência, pois os conteúdos
permitem diferentes estratégias de resolução.
Blanton e Kaput (2005, p. 424, tradução nossa) mencionam esse tipo de
representação:
Embora a representação gráfica não seja um raciocínio inerentemente algébrico, nós a definimos, ela é incluída porque representa uma maneira de codificar informações (graficamente) que permite a análise de relações funcionais. Nesse sentido, desempenha um papel de apoio para o desenvolvimento do pensamento algébrico.
90
Os alunos têm a possibilidade de utilizar diversas representações para
encontrar padrões matemáticos importantes para configurar o pensamento funcional:
a representação figural, a língua materna e a representação gráfica. Analisar as
informações dos gráficos observando o plano cartesiano e/ou as tabelas, com ou sem
o uso de tecnologias, resolvendo questões por meio de analogias com outros
procedimentos numéricos, é uma das possibilidades que os objetivos oferecem para
que os alunos consigam desenvolver o pensamento algébrico.
5.3 Modelação
A modelação, segundo Blanton e Kaput (2005), apresenta-se como uma
categoria ligada tanto à Aritmética generalizada quanto ao pensamento funcional. Por
isso, modelar é, para esses autores, buscar diferentes abordagens para um mesmo
conteúdo matemático.
Para Blanton e Kaput (2005), compreender o sentido das operações
matemáticas é fator essencial para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Isso
porque o pensamento quantitativo e o pensamento funcional proporcionam não só a
operacionalização numérica, mas também a descoberta do sentido matemático em
diversos contextos; e, segundo os autores, a modelação está vinculada à existência
das duas categorias anteriores.
Os autores descrevem a modelação como
uma categoria do desenvolvimento do pensamento algébrico que envolve também generalizar regularidades, buscar situações ou fenômenos matemáticos nos quais a própria regularidade é secundária, sendo isso a maior característica da modelação. (BLANTON e KAPUT, 2005, p. 414, Tradução nossa)
No Quadro 16, apresentamos os objetivos de aprendizagem prescritos no Ciclo
de Alfabetização do currículo da cidade de São Paulo (2017) que, segundo nossa
análise, enquadra-se dentro da categoria modelação, definida por Blanton e Kaput
(2005) quando tratam do desenvolvimento do pensamento algébrico.
91
Quadro 16 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.
Ciclo de Alfabetização
Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano
(EF01M15) Investigar e descrever oralmente um padrão (ou uma
regularidade) e identificar elementos ausentes em sequências recursivas
numéricas ou figurais.
1º
(EF02M13) Construir sequências de números naturais, em ordem
crescente ou decrescente, a partir de um número qualquer, utilizando
uma regularidade estabelecida.
2º
(EF02M15) Descrever elementos ausentes em sequências numéricas ou
figurais, repetitivas ou recursivas, por meio de palavras ou de
representações pessoais e continuar a sequência a partir de um padrão.
2º
(EF03M13) Descrever um padrão (ou regularidade) de uma sequência
numérica ou figural recursiva e determinar elementos faltantes ou
seguintes.
3º
(EF03M14) Compreender a ideia de igualdade para escrever diferentes
sentenças de adições ou de subtrações de dois números naturais que
resultem na mesma soma ou diferença.
3º
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 87-95)
O objetivo de aprendizagem e desenvolvimento EFM01M15, proposto para o
primeiro ano do Ensino Fundamental, evidencia as características da categoria
modelação quando propõe um trabalho do pensamento funcional dentro de um
contexto da aritmética generalizada, pois, de acordo com Blanton e Kaput (2005) o
aluno poderá desenvolver o pensamento algébrico de diferentes maneiras
(modelação), buscando regularidades importantes para a aprendizagem do conteúdo.
92
Isso também acontece com os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento
prescritos para o segundo ano do Ensino Fundamental, EF02M13 e EF02M15. Eles
tratam da busca e da construção de regularidades matemáticas dentro do contexto da
sequência dos números naturais, a fim de chegar a uma generalização importante que
permita aos alunos resolverem outras situações por analogia, o que para Blanton e
Kaput (2005) é uma das características da modelação.
Essa categoria também é vista nos objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento do terceiro ano do Ensino Fundamental, com os códigos EF03M13
e EF03M14, nos quais são propostos a continuação e a ampliação do pensamento
algébrico inserido na sequência dos números naturais.
Apenas a resolução das atividades a partir da adição e da subtração não nos
garante que os alunos tenham, de fato, aprendido o conteúdo matemático. É preciso
ir além, fazer com que eles compreendam os padrões matemáticos que envolvam
esse conteúdo. Dessa forma, haverá, aos poucos, a generalização matemática,
possibilitando que os alunos utilizem essas regularidades em outros momentos.
Para Kaput (2008), o caminho envolve introduzir a Álgebra ao longo de todo o
currículo desde o início da vida escolar. Nesse sentido, o Currículo da Cidade, atende
ao proposto pelo autor, visto que a Álgebra é proposta desde o primeiro ano do Ciclo
de Alfabetização, com o objetivo de principiar o trabalho com o desenvolvimento do
pensamento algébrico por meio de representação numérica e/ou figural.
Percebemos que os conteúdos são organizados, inicialmente, com situações
mais próximas à realidade dos alunos para que esse pensamento seja constituído por
eles no decorrer de suas conquistas escolares. Ainda nesse ciclo, o aluno ora é
provocado a responder oralmente sobre sequências numéricas ou figurais, ora é
estimulado a escrever suas conclusões. Dessa forma, vai conquistando o
conhecimento algébrico a partir de suas produções, com o auxílio do professor.
Para Kieran et al. (2016), a Álgebra passou a ser encarada não apenas como
um conjunto de técnicas e cálculos, mas também como uma forma de pensar e
raciocinar sobre situações matemáticas que aparecem dentro e fora da escola. Essas
situações contribuem para o desenvolvimento do pensamento algébrico do aluno.
Ainda segundo os autores, conseguir aproximar o conhecimento escolar com a
93
realidade do estudante é uma importante tarefa que os professores exercitam no
decorrer de sua vida profissional, o que faz com que os discentes percebam o
conhecimento formal inserido em sua realidade, e possibilita uma aprendizagem com
mais sentido.
No Ciclo da Alfabetização, percebemos que os objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento detalham os objetos de conhecimento e nos levam a entender que
os alunos são desafiados a desenvolver os saberes matemáticos a partir de
conhecimentos prévios pois sugerem tarefas de investigação, a busca por padrões.
Dessa forma, é possível que já nos primeiros anos escolares os discentes tenham a
possibilidade de iniciar o desenvolvimento da autonomia na resolução de questões
matemáticas.
Esse trabalho, como apresentado na análise dos objetivos, inicia-se com o trato
da Álgebra usando o conhecimento já adquirido pelos alunos em seu contexto de vida.
Aos poucos, ele é formalizado em concomitância com o trabalho aritmético, usando
diferentes representações para desenvolver as generalizações matemáticas a partir
de situações diversas. Para Blanton e Kaput (2005, p. 427) os estudantes passam a
“alcançar um nível de abstração em que eles poderiam argumentar com uma
generalização para produzir uma outra generalização”.
Com a discussão desses objetivos, encerramos a análise proposta para o Ciclo
de Alfabetização. Para o Ciclo Interdisciplinar, apresentamos a seguir os objetivos de
aprendizagem e desenvolvimento apontados como pertencentes à categoria da
modelação.
Quadro 17– Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.
Ciclo Interdisciplinar
Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano
(EF04M15) Explorar regularidades, em sequências numéricas
recursivas, compostas por múltiplos de um número natural.
4º
94
(EF04M16) Investigar o número desconhecido que torna verdadeira uma
igualdade que envolve as operações fundamentais com números
naturais.
4º
(EF05M11) Investigar que uma igualdade não se altera ao adicionar ou
subtrair, multiplicar ou dividir os seus termos por um mesmo número.
5º
(EF05M12) Solucionar problemas que envolvam ampliação ou redução
de quantidades de forma proporcional.
5º
(EF05M13) Solucionar problemas envolvendo a partilha de uma
quantidade em duas partes desiguais, tais como dividir uma quantidade
em duas partes, de modo que uma seja o dobro da outra.
5º
(EF06M13) Investigar se há grupos de números naturais para os quais
as divisões por um determinado número resultam em restos iguais,
identificando regularidades.
6º
(EF06M15) Investigar relações de proporcionalidade direta, inversa ou de
não proporcionalidade entre duas grandezas.
6º
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 98-109)
Os objetivos EF04M15 e EF04M16, que são propostos no quarto ano do Ensino
Fundamental, apontam características da modelação. Esta, segundo Blanton e Kaput
(2005), está diretamente ligada à Aritmética generalizada e ao pensamento funcional.
Esses objetivos de aprendizagem e desenvolvimento apontam para a
continuidade do trabalho com as sequências de números naturais, agora buscando
regularidades com os múltiplos dos números naturais. Percebendo os padrões
existentes dentro desse contexto, os alunos constatarão as operações fundamentais
da Aritmética. A procura de números desconhecidos dentro da sequência numérica
sugere ir ao encontro de uma generalização que permita ao aluno entender o conteúdo
e reaplicá-lo em situações análogas.
95
No quinto ano, o objetivo EF05M11 ainda aponta características daquilo que
foi ensinado no quarto ano. Desse modo, reforça-se a ideia de perceber as
regularidades para que se consolide a aprendizagem.
Já os objetivos EF05M12 e EF05M13 indicam o trabalho com as primeiras
ideias da divisão em partes iguais e/ou proporcionais. O aluno, quando compreende
os conceitos de grandezas proporcionais, aprende outra possibilidade de resolver
questões com um viés aritmético. Apenas sua operacionalização não garante que a
modelação aconteça; porém, para Blanton e Kaput (2005), poder resolver problemas
matemáticos com diferentes estratégias é uma forma de modelar a Matemática.
Para o sexto ano, o documento sugere investigações com a Aritmética. Elas
possibilitam ao aluno a compreensão dos conteúdos. Saber como se comporta
determinada situação matemática faz com que o discente perceba resultados até
mesmo antes de calculá-los. Por exemplo, ao entender de que forma é possível ter o
resto de uma divisão, o educando consegue criar estratégias para resolver divisões
futuras.
Isso também acontece quando há o entendimento das grandezas direta ou
inversamente proporcionais. Por analogia e com a mediação do professor, os alunos
conseguirão resolver outras situações, desde que tenha havido o entendimento do
conteúdo.
Analisando os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento prescritos para
esse ano escolar, espera-se que os estudantes tenham desenvolvido estratégias nos
anos anteriores e consigam formular as generalizações importantes para a resolução
dos problemas e a aquisição do conhecimento matemático. Com isso, poderão
configurar a aprendizagem algébrica.
Passemos agora para a análise da presença da modelação no Ciclo Autoral. O
Quadro 18, lista os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento em que ela pode
ser notada.
96
Quadro 18 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.
Ciclo Autoral
Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano
(EF07M10) Identificar diferentes usos para as letras ou símbolos, em
situações que envolvam generalização de propriedades, incógnitas,
fórmulas, relações numéricas e padrões.
7º
(EF07M11) Traduzir e resolver um problema em linguagem algébrica,
usando equações do 1º grau.
7º
(EF07M13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou
símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a
de incógnita.
7º
(EF07M14) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades
encontradas em sequências numéricas.
7º
(EF08M07) Construir procedimentos para calcular o valor numérico de
expressões algébricas, utilizando propriedades conhecidas.
8º
(EF08M08) Traduzir um problema por sistemas de equações do primeiro
grau com duas incógnitas e resolvê-lo, utilizando inclusive o plano
cartesiano como recurso e discutindo a validade das raízes.
8º
(EF08M09) Produzir e interpretar escritas algébricas, em situações que
envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações
numéricas e padrões.
8º
97
(EF08M10) Traduzir um problema que envolva inequações do primeiro
grau, resolvê-lo utilizando inclusive o plano cartesiano como recurso,
discutindo e validando o significado das soluções.
8º
(EF08M11) Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas
a uma reta no plano cartesiano.
8º
(EF08M12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, direta
ou inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a
relação existente por meio de sentença algébrica, e representá-la no
plano cartesiano.
8º
(EF08M13) Elaborar problemas que envolvam grandezas direta ou
inversamente proporcionais e resolvê-los por meio de estratégias
variadas.
8º
(EF08M14) Compreender e utilizar os processos de fatoração e de
produtos notáveis de expressões algébricas com base em suas relações.
8º
(EF09M08) Representar a variação de duas grandezas, analisando e
caracterizando o comportamento dessa variação.
9º
(EF09M09) Relacionar expressões algébricas e gráficas em planos
cartesianos, explorando os significados de intersecção e declive, com
uso de tecnologias digitais ou não.
9º
(EF09M10) Resolver e elaborar problemas que possam ser
representados por equações polinomiais de 2º grau, discutindo o
significado das soluções, incluindo a fatoração e o cálculo mental quando
possível.
9º
98
(EF09M11) Construir procedimentos de cálculo para operar com frações
algébricas, estabelecendo analogias com procedimentos numéricos.
9º
(EF09M12) Analisar, interpretar, formular e resolver problemas que
incluam sistemas de equações de 1º e 2º graus.
9º
(EF09M13) Analisar e representar padrões e funções utilizando
expressões algébricas, palavras, tabelas e gráficos.
9º
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 110-122)
Para iniciar a análise dos objetivos de aprendizagem e desenvolvimento do
Ciclo Autoral, apresentamos as características encontradas que configuram a
modelação, de acordo com os parâmetros de Blanton e Kaput (2005).
Supomos que essa categoria, a modelação, reflita mais a capacidade dos alunos de raciocinar algebricamente e, devido à sua complexidade, o pensamento algébrico estava se tornando um hábito mental para os estudantes, a partir da resolução de diferentes situações. (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 428 – tradução nossa)
Para o sétimo ano do Ensino Fundamental, encontramos objetivos sugerindo
diferentes abordagens para a resolução de situações matemáticas. O uso de
diferentes estratégias contribui para a generalização das propriedades aprendidas
(EF07M10 e EF07M11).
Ainda no sétimo ano, destacamos os objetivos EF07M13 e EF07M14, que
propõem a ideia de encontrar números desconhecidos mediante valores conhecidos
por meio de símbolos que representam números. Aqui verificamos um olhar algébrico
em um contexto aritmético. Essa confluência de áreas da Matemática se adequa às
afirmações de Blanton e Kaput (2005).
Ainda nessa perspectiva, apresentamos os objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento para o oitavo ano do Ensino Fundamental. Eles vão do EF08M07 ao
EF08M14. Todos apresentam características dessa vertente do pensamento
algébrico.
99
Nesses objetivos de aprendizagem e desenvolvimento encontramos as
diferentes representações para uma equação e uma inequação do 1º grau e para os
sistemas de equações do primeiro grau. Essas representações, de acordo com a
proposta curricular, podem ser tanto as algébricas quanto a gráfica, usando o plano
de coordenadas cartesianas para expressar a solução das questões. Dessa maneira,
é possível que o aluno visualize as interseções com os eixos cartesianos e também
as coordenadas do conjunto-solução do sistema. Além disso, as diferentes maneiras
de resolver questões que envolvam o cálculo com grandeza direta ou inversamente
proporcionais e a generalização da fatoração dos produtos notáveis aparecem ainda
prescritos para o oitavo ano e se enquadram na categoria da modelação: “Usando
generalizações para resolver tarefas algébricas, justificativa, prova e teste de
conjecturas e generalizando um processo matemático”. (BLANTON; KAPUT, 2005, p.
428)
Encontramos no nono ano do Ensino Fundamental as mesmas características
observadas para o oitavo ano. Os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento
prescritos para esse ano escolar apontam características como: a representação em
diferentes situações no contexto algébrico e no aritmético e a generalização de
regularidades matemáticas, que, para Blanton e Kaput (2005), pois descrevem a
modelação. De EF09M08 até EF09M13, verificamos a sugestão de leituras,
interpretações e análises diversas, em diferentes perspectivas, para chegar a um
mesmo resultado: a generalização.
5.4 Eixos Articuladores
Ainda sobre os objetivos prescritos no currículo da cidade de São Paulo,
exporemos nossa análise dos objetivos de aprendizagem e desenvolvimento para os
eixos articuladores. Nesta seção, optamos por apresentá-los divididos em ciclos e em
anos escolares, assim como os demais objetivos de aprendizagem e desenvolvimento
estudados até este momento, mas sem subdividi-los nas categorias que definem o
pensamento algébrico na perspectiva de Blanton e Kaput (2005).
Os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento que aparecem nos eixos
articuladores e que foram classificados por nós como pertencentes aos objetivos de
aprendizagem e desenvolvimento relacionados à Álgebra apresentam características
100
de um trabalho voltado para investigações matemáticas. Estas permitem que os
alunos busquem estratégias para jogos matemáticos, padrões para a resolução de
situações problemas e generalização matemática.
Entendemos que esses objetivos apresentam características das categorias
estudadas até aqui. Assim, descreveremos os aspectos que comprovam nossa visão.
Analisaremos os próximos quadros que apresentam os objetivos prescritos para os
eixos articuladores, à luz das categorias dos pesquisadores Blanton e Kaput (2005).
Quadro 19 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.
Ciclo de Alfabetização
Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano
(EF01M34) Participar de jogos e brincadeiras tradicionais que
explorem contagens, cálculos rápidos, movimentos etc., realizando
adivinhações, decifrando charadas, levantando hipóteses e testando-
as.
(EF01M35) Explorar diferentes formas de registro de jogos e
brincadeiras: elaboração de texto coletivo das regras do jogo,
registros por meio de tabelas e gráficos.
1º ano
(EF01M38) Explicar oralmente as estratégias e os processos de
raciocínios utilizados na resolução de um problema.
(EF01M39) Explicar oralmente os registros feitos e as respostas
obtidas na resolução de um problema.
101
(EF02M32) Realizar jogos de estratégia em que o objetivo é a
descoberta de um caminho para vencê-lo e justificar a decisão do
caminho tomado.
(EF02M33) Realizar jogo de quebra-cabeça usando estratégias e
analisando possibilidades de encaixe de peças.
2º ano (EF02M36) Expressar, oralmente e de forma organizada, o processo
desenvolvido na resolução de um problema e justificar a resposta,
usando vocabulário pessoal.
(EF02M37) Elaborar coletivamente perguntas para um problema
apresentado pelo professor e resolvê-lo, verificando a validade da
solução.
(EF03M36) Formular coletivamente o enunciado de um problema a
partir de uma sentença matemática e resolvê-lo, analisando a
plausibilidade dos resultados.
(EF03M37) Investigar a validade da propriedade comutativa da
adição a partir de regularidades.
3º ano
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 88-96)
Os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento que aparecem nos Eixos
Articuladores do Ciclo de Alfabetização introduzem a ideia da investigação
matemática. Os alunos deverão trabalhar importantes conceitos matemáticos dentro
de atividades diferenciadas.
Podemos perceber a existência de características da Aritmética generalizada
quando, por exemplo, nos objetivos EF01M34 e EF01M35, o aluno é desafiado a
reconhecer a presença de cálculos matemáticos em jogos e brincadeiras e quando,
em EF01M38 e EF01M39, é convidado a explicar oralmente os procedimentos
utilizados nessas atividades. Notamos que o trato dos números é feito dentro de um
contexto do pensamento funcional e da modelação.
102
Para o segundo ano, os objetivos EF02M32 e EF02M33 sugerem a descoberta
de estratégias necessárias para o desenvolvimento dos jogos de caminhos
matemáticos e de quebra-cabeça. As buscas pelas estratégias matemáticas utilizadas
para a realização dos jogos definem uma das características da modelação, segundo
Blanton e Kaput (2005).
Ainda nesse ciclo, os objetivos EF03M36 e EF03M37 indicam o
reconhecimento do número como algébrico (Aritmética generalizada) e a utilização da
propriedade comutativa para descobrir regularidades matemáticas (pensamento
funcional). Para Blanton e Kaput (2005), com a percepção dessas duas vertentes do
pensamento algébrico, podemos visualizar também a outra categoria, a modelação,
na qual a Matemática é usada, dentro de um contexto algébrico, em diferentes
possibilidades.
O Quadro 20 é um recorte dos objetivos prescritos no Ciclo Interdisciplinar, para
os Eixos Articuladores que, em nossa visão, contêm um viés algébrico.
Quadro 20 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.
Ciclo Interdisciplinar
Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano
(EF04M40) Investigar regularidades em multiplicações por 0 e por 1
e produzir um texto comunicando as conclusões obtidas. 4º ano
(EF05M36) Realizar jogos de tabuleiro (estratégia e conhecimento) e
justificar as estratégias usadas e a antecipação de jogadas.
(EF05M37) Formar triângulos, quadrados e retângulos com um
número limitado de peças do Tangram (ou outro tipo de quebra-
cabeça), justificando a escolha das peças. 5º ano
(EF05M40) Justificar a linguagem matemática e as estratégias
usadas na resolução de um problema.
103
(EF05M41) Investigar a validade da propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição (ou subtração) e a mesma
propriedade para a divisão em relação à adição (ou subtração), a
partir da observação de regularidades.
(EF06M40) Investigar se as relações de dobro de um número e
quadrado de um número são ou não equivalentes, justificando sua
resposta.
6º ano (EF06M41) Investigar a existência de quadrados perfeitos em uma
sequência figural, observando regularidades e associando-os à raiz
quadrada exata.
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 101-109)
O objetivo EF04M40, prescrito para o quarto ano do Ensino Fundamental
aponta o trabalho com regularidades matemáticas, configurando assim uma
característica da Aritmética generalizada. A sugestão de expressar as ideias em forma
de texto produz a possibilidade de representar a situação matemática de outra
maneira, sendo essa uma das subcategorias do pensamento funcional.
Para o quinto ano, os objetivos sugerem o trabalho com jogos, como o tabuleiro
e o Tangram, para a construção de alguns conceitos matemáticos importantes como
o reconhecimento das características das figuras geométricas planas. Além disso,
reforçam a justificação dos procedimentos matemáticos por meio de uma
representação na língua materna. A investigação matemática também é utilizada
pelos objetivos dos Eixos Articuladores como proposta de atividades.
Finalizando o Ciclo Interdisciplinar, o sexto ano propõe, nos objetivos EF06M40
e EF06M41, novamente atividades de investigação. Como já afirmado, para Blanton
e Kaput (2005), o desenvolvimento do pensamento algébrico passa pelas diversas
representações que podemos dar aos números e não apenas pela operacionalização
matemática. O conhecimento matemático, segundo os autores, acontece quando os
alunos conseguem enxergar as generalizações existentes em diferentes situações e
podem reaplicá-las por analogia.
104
O Ciclo Autoral, etapa final do Ensino Fundamental, com seus objetivos de
aprendizagem e desenvolvimento, busca consolidar o desenvolvimento de
pensamento algébrico com atividades diferenciadas que atendam às necessidades
dos alunos.
No quadro 21, apresentamos os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento
propostos nos Eixos Articuladores do Ciclo Autoral.
Quadro 21 – Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento.
Ciclo Autoral
Objetivos de aprendizagem e desenvolvimento Ano
(EF07M35) Realizar jogos, envolvendo tecnologias digitais que
permitam ampliar e reduzir figuras geométricas planas, propondo
discussões sobre as deformidades e argumentando sobre elas.
7º ano (EF07M38) Investigar se duas expressões algébricas, obtidas para
descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica, são
ou não equivalentes, justificando seus procedimentos.
(EF08M38) Investigar se duas expressões algébricas, obtidas para
descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica, são
ou não equivalentes, justificando seus procedimentos.
8º ano
(EF09M35) Realizar jogos que envolvem estratégias de percepção
de regularidades e percepção do processo de generalização. 9º ano
Fonte: Currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 114-122)
Analisaremos a seguir as prescrições para as turmas do sétimo ao nono ano
do Ensino Fundamental da cidade de São Paulo.
Os objetivos EF07M35 e EF09M35 propõem jogos e atividades digitais que
colaborem com a aprendizagem matemática. Os alunos, utilizando softwares
matemáticos, podem construir e/ou continuar a construção do pensamento algébrico
105
com ferramentas que possibilitam a percepção de conceitos matemáticos. Essa é uma
característica do pensamento algébrico encontrada em uma das vertentes da
modelação. Já os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento EF07M38 e
EF08M38 investigam regularidades nas sequências numéricas; e, o que proporciona
a generalização e, como vimos anteriormente, é a principal característica do
pensamento algébrico (BLANTON; KAPUT, 2005).
Encerrando nossa análise, percebemos que os objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento apresentados pelo currículo da cidade de São Paulo para o eixo
Álgebra e também para os eixos articuladores proporcionam, no decorrer de todos os
anos do Ensino Fundamental, o desenvolvimento do pensamento algébrico e,
consequentemente, a aprendizagem da Álgebra. Observamos que todos os objetivos
analisados enquadram-se em pelo menos uma das vertentes do pensamento
algébrico propostas por Blanton e Kaput (2005) ― Aritmética generalizada,
pensamento funcional e modelação.
Ressaltamos que todos os objetivos dos Eixos Articuladores enquadram-se nas
três categorias propostas por Blanton e Kaput (2005), por se tratar de eixos que
propõem um trabalho diferenciado com os conteúdos matemáticos, inseridos em
situações como jogos, atividades com tecnologia e representação das resoluções por
meio de textos.
Dessa forma, concluímos, à luz das pesquisas de Blanton e Kaput (2005), que
o currículo prescrito da cidade de São Paulo para o ensino de Álgebra proporciona a
aprendizagem dos conteúdos desse eixo temático. Com isso, contribui para o
desenvolvimento do pensamento algébrico nos alunos da rede municipal de ensino.
106
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A última seção desta dissertação visa expor nossas conclusões sobre o
trabalho e ainda apontar questões que nos chamaram a atenção no decorrer das
leituras e da análise do documento. Com isso sinaliza um caminho para que futuros
estudos possam ser desenvolvidos buscando respostas para novas inquietações.
Decidimos estudar, neste trabalho, o currículo prescrito da rede municipal de
ensino de São Paulo, fazendo um recorte. Enfocamos o eixo Álgebra, pois as
pesquisas sobre o ensino dessa temática têm se tornado cada vez mais frequentes,
visto que ela passou a ser prescrita para todo o Ensino Fundamental após a
homologação do Currículo da Cidade em 2017.
Com o desenvolvimento desta dissertação, procuramos responder ao seguinte
questionamento: como a Álgebra é apresentada no currículo da Cidade de São Paulo?
Com base nessa indagação, elaboramos este objetivo de pesquisa:
● Analisar os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento para averiguar se eles
contribuem para o desenvolvimento do pensamento algébrico.
A partir disso, optamos por uma pesquisa qualitativa, com uma análise
documental do currículo da cidade de São Paulo (2017). Com essa perspectiva,
analisamos os objetivos de aprendizagem e desenvolvimento apresentados no eixo
Álgebra para todos os anos do Ensino Fundamental.
Estudar o currículo prescrito de Álgebra da cidade de São Paulo, no Eixo
Álgebra, possibilitou identificar as concepções que norteiam o discurso sobre seu
ensino. Também permitiu que notássemos aspectos importantes como: a busca por
padrões, o estudo das propriedades envolvendo as operações matemáticas, as
representações da solução de uma equação, todas essas características conduzem
ao desenvolvimento do pensamento algébrico.
Assim, partimos do pressuposto de que, ao elaborar um currículo que atenda à
necessidade de trabalhar com a Álgebra a partir do primeiro ano do Ensino
107
Fundamental, é importante incorporar as pesquisas desenvolvidas nos últimos anos
sobre a temática.
As categorias: aritmética generalizada, pensamento funcional e modelação,
apresentadas por Blanton e Kaput (2005) nos deram a possibilidade de analisar de
que forma a Álgebra está apresentada no currículo da Cidade de São Paulo, e verificar
se esse eixo permite o desenvolvimento do pensamento algébrico. Conseguimos
observar cada objetivo de aprendizagem e desenvolvimento, prescrito para todos os
anos do Ensino Fundamental, classificando-os a partir dessas vertentes do
pensamento algébrico.
Após a análise dos objetivos de aprendizagem e desenvolvimento, ano a ano,
percebemos o currículo da Cidade de São Paulo, proporciona o desenvolvimento do
pensamento algébrico e, por consequência, a aprendizagem da Álgebra.
Neste sentido, julgamos ricas as recomendações apresentadas no Currículo da
Cidade, para o trabalho com a Álgebra em todo o Ensino Fundamental. Sendo assim,
consideramos ser essencial estudar o currículo prescrito visto que, como já
evidenciamos, é dele que resultam as outras fases da construção curricular. Além
disso, para que proporcionemos o desenvolvimento da aprendizagem dos alunos, o
papel do professor é de extrema importância, dessa maneira, é necessário a formação
continuada, a fim de propiciar aos professores subsídios que os auxiliarão nas
intervenções, nas situações ofertadas aos estudantes as quais, possibilitam a busca
por generalizações matemáticas, que são, efetivamente, as principais características
do pensamento algébrico.
Entendemos que um grande desafio, é encontrar formas de tornar a Álgebra
acessível para todos os alunos, permitir que os discentes desenvolvam o pensamento
algébrico a partir de situações propostas ao longo dos anos escolares. O currículo da
Cidade de São Paulo nos fez perceber que o grande objetivo de ensinar a Álgebra é
desenvolver o pensamento algébrico nos alunos e este documento possibilita o
trabalho com esse eixo de forma que o pensamento algébrico seja criado e
desenvolvido.
O pensamento algébrico é visto como uma formação do pensamento, podendo
ser trabalhado a partir do início da vida escolar da criança. Para que os conteúdos
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aprendidos façam sentido é importante permitir que os alunos elaborem suas
descobertas, criem suas estratégias e consigam generalizar situações matemáticas
como encontramos nos objetivos de aprendizagem e desenvolvimento do currículo da
cidade de São Paulo.
Entendemos, também, que não basta ensinar a Álgebra com o cálculo, é
preciso fazer um trabalho que permita que os alunos percebam as generalizações
dentro de atividades matemáticas. Dessa forma, garante-se a aprendizagem e o
desenvolvimento do pensamento algébrico.
Durante nossa pesquisa, percebemos que, para que os professores
desenvolvam atividades que contribuam para o desenvolvimento do pensamento
algébrico, terão que modificar suas práticas em sala de aula. É necessário relacionar
atividades de outros eixos com a Álgebra, e perceber a Álgebra dentro de situações
apresentadas nos demais eixos, dando dessa forma a possibilidade do aluno de
construir regularidades, conjecturas, generalizações.
Após analisar o Currículo da Cidade entendemos que, quando o aluno é
apresentado aos conteúdos de forma que estes possam ser percebidos em diferentes
contextos, quando os alunos passam a buscar padrões matemáticos, estes conceitos
passam a constituir uma base importante para o pensamento algébrico. Este
pensamento será desenvolvido no decorrer dos anos posteriores, dado ao aluno mais
autonomia da tomada de decisões.
Diante de tudo que mencionamos e no decorrer de nossas análises, uma
questão nos chamou a atenção: quais os conhecimentos que os professores possuem
para trabalhar com o eixo Álgebra?
Canavarro (2007, p. 110) aponta que,
O desenvolvimento do pensamento algébrico é uma importante função que o professor deve assumir. Na exploração matemática das tarefas realizadas pelos alunos tendo em vista este propósito, é importante que o professor lhes dê a conhecer “objetos” como tabelas diversas, retas numéricas, diagramas, gráficos de vários tipos, artefatos visuais, materiais concretos.
Estes objetos tornam-se referência sobre o pensamento algébrico dos alunos.
Entendemos que faz-se necessário o estudo do currículo por parte dos professores,
bem como, estudar maneiras de desenvolver o pensamento algébrico dos alunos com
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atividades que exijam deles a principal característica do pensamento algébrico, a
generalização.
Agora esse eixo passa a ser institucionalizado a partir do primeiro ano e a
formação inicial dos pedagogos, em relação às especificidades matemáticas, é muito
pequena como é possível observar nos currículos dos cursos de graduação apontados
por Curi (2005). Portanto, faz-se necessário encontrar uma maneira de conciliar a
formação docente e as propostas desse eixo.
Entendemos que se faz necessário que os professores desenvolvam atividades
que permitam a identificação de padrões por parte dos alunos, modificação e
adaptação de estratégias na resolução das questões, desenvolvendo o pensamento
algébrico em situações aritméticas.
Esperamos que este trabalho contribua com professores e pesquisadores que
buscam estudos relacionados ao currículo da Matemática. Também tencionamos que
ele colabore com quem procura, especificamente, investigações sobre o ensino da
Álgebra.
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