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FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 1

1

Física Moderna II - FNC376

Profa. Márcia de Almeida Rizzutto1o. Semestre de 2008

Universidade de São PauloInstituto de Física


2

Professora: Márcia A. RizzuttoSala 116 – Oscar Sala

tel. 3091 6939(secretária) e 30917102e-mail: [email protected]

Monitor: ?

Aud. Gius. Occhialini (Sul) –Diurno/Noturno

5a feira 08:00 – 09:4019:10 – 20:50

2a feira 10:00 – 11:40 21:10 – 22:50

Horário


3

•Eq. de Schrödinger 3-D + átomo de hidrogênio Quantização de energiaAutovalores, nos quânticos, degenerescência.

• Momentos de dipolo magnético; spin; a experiência de Stern-Gerlach• Átomos multieletrônicos

Indistinguibilidade e o princípio de Pauli. A teoria de Hartree. Estados fundamentais e a tabela periódica.

• Estatística quânticaIndistinguibilidade e estatística quânticaFunções de distribuição quânticasExemplos: laser, gás de elétrons livres

• Moléculas Ligações iônicas e covalentes Espectros moleculares (rotação, vibração e eletrônicos)

• SólidosTipos de sólidosPropriedades elétricasCondutores, Isolantes, Semicondutores; a junção p-n

• O núcleo atômicoCaracterísticas e propriedades geraisForças entre nucleonsRadioatividade, Fissão, FusãoReações nuclearesPartículas ElementaresAceleradores


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- Física Quântica,R. Eisberg e R. Resnick, 4a edição, Ed. Campus Ltda., RJ, Brasil, 1986. O livro texto adotado apresenta prós e contras. Os contras dizem respeito a uma certa obsolescência (trata-se de livro editado originalmente em 1974) e a certa afetação e pedantismo no tratamento de alguns assuntos, o que prejudica um pouco sua compreensão. Osprós são: vários exemplares disponíveis na Biblioteca do IFUSP; pode ser adquirido em livrarias; é bastante completo, cobrindo toda a matéria dos cursos de Física Moderna 1 e 2; e, finalmente, é disponível em português. Existem também exemplares em inglês na Biblioteca. -Física Moderna, origens clássicas e fundamentos quânticos,F. Caruso e V. Oguri, Ed. Campus, RJ, 2006. -Física Moderna,P. A. Tipler e R. A. Llewellyn, 3a edição, LTC editora, RJ, Brasil, 2001. -Modern PhysicsSerway, Moses and Moyer-Introduction to the structure of matter, a course in modern physics,-J.J. Brehm e W.J. Mullin, John Wiley and Sons, USA, 1989.


5

Textos adicionais: - The picture book of quantum mechanics, S. Brandt and H.D. Dahmen, Wiley, New York, USA, 1985.Podem também ser consultados, como leitura preliminar, os capítulos sobre física moderna de vários textos de física básica (por exemplo, Física, de P. A.Tipler (3a edição) ou Física, D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane (4a edição). Tenha em mente que a apresentação dos tópicos de física moderna nesses textos é feita em nível bastante introdutório.

Leituras recomendadas: - A matéria, uma aventura do espírito, Luís Carlos de Menezes, Editora Livraria da Física, SP, Brasil, 2005;- A parte e o todo, W. Heisenberg, Contraponto Editora Ltda, RJ, Brasil, 1996;- Física Moderna, para iniciados, interessados e aficionados, Vol. 1, Ivan S. Oliveira, Editora Livraria da Física, 2005; - Thirty years that shook physics, G. Gamow, Dover Publications, NY, USA, 1985; - Great experiments in physics: firsthand accounts from Galileo to Einstein, M.H. Shamos, Dover Publ., NY, USA, 1987; - The Great Design: Particles, fields and creation, R. K. Adair, Oxford University Press, NY, USA, 1987;- The force of symmetry, Vincent Icke, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995.


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3 de julhoPF

30 de junho (8 aulas)Terceira prova

19 de maio (9 aulas)Segunda prova

7 de abril (10aulas)Primeira prova

• Critério:• E = média simples das (n-1) avaliações dos trabalhos

(listas de exercícios ou provinhas) onde n é o número total de trabalhos solicitados

• M = média das notas em 3 provas (60 %) (P) e uma prova final (PF) com toda matéria (40 %). PF substitui uma eventual ausência em uma das provas (P1-P3)

• Datas das provas:

++=>=

+><=

3321(0.7,

4.06.0pppPsePPM

PFPM

0.52.08.0

>+=

MFEMMF

• Presença:• a presença será monitorada nas

provas e nas aulas. Assim, a ausência em mais de uma prova implica em reprovação por faltas e caso a aluno não tenha muitas presenças nas listas e reprovou por nota, também será reprovado por faltas.


7

Inicialmente temos a relação clássica da energia:

tizyxV

zyxm ∂Ψ∂

=Ψ+

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

+∂Ψ∂

− hh ),,(2 2

2

2

2

2

22

•Eq. de Schrödinger 3-D

EzyxVmp

=+ ),,(2

2

e lembrando dos operadores momento

zip

yip

xip zyx

∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−= hhh ,,

e energia:

tiE∂∂

= h

a relação de energia é convertida:

tirV

m ∂Ψ∂

=Ψ+Ψ∇− hvh )(

22

2

A eq. de Schrödinger em 3D:Independente do tempo:

ψψψ ErVm

=+∇− )(2

22 vh

Dependente do tempo:


8

Aplicação: Partícula confinada em uma caixa retangular

V(x,y,z) = 0, se: – a/2 < x < a/2; – b/2 < y < b/2;– c/2 < z < c/2∞ no resto do espaço

=

axnsen

a

axn

axnπ

π

ψ2

cos2

)(

lembrando o caso unidimensionalcom – a/2 < x < a/2 , V = 0

ψψ Edxd

m=− 2

22

2h

Cuja solução é: cos kx ou sen kx 2

2h

mEk =

Para n impar

Para n par

2

222

2πmanEn

h=

Com autovalores de energia


9

Aplicação: Partícula confinada em uma caixa retangular

V(x,y,z) = 0, se: – a/2 < x < a/2; – b/2 < y < b/2;– c/2 < z < c/2∞ no resto do espaço

)()()(),,(321321zyxzyx nnnnnn ψψψψ =

⋅

⋅

=czn

cbyn

baxn

azyxnnn

πsencos2π

sencos2π

sencos2),,( 321

321ψ

+

+

=

23

22

21

22

2π

321 cn

bn

an

mE nnn

h

o caso tridimensional

Os autovalores de energia são dados em termos dos 3 nos

quânticos (n1,n2 e n3)

cba ≠≠


10

cba ≠≠cba ==cba ≠=

( )23

22

212

22

2π

321nnn

maE nnn ++=

h Degenerescência: diferentes estados apresentam a mesma energia


11

No caso em que todas as arestas são iguais:

( )23

22

212

22

2π

321nnn

maE nnn ++=

h

Degenerescência: diferentes estados apresentam a mesma energia

Temos aqui as densidades de probabilidades para a partículadentro da caixa:-Estado fundamental |ψ111|2-Primeiro estado excitado |ψ211|2 e |ψ121|2


12

Coordenadas esféricas: ψ ≡ ψ(r,θ,ϕ) e

2

2

2222

22

sen1sen

sen11

ϕθθθ

θθ ∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∇rrr

rrr

(Ângulo polar)

(Ângulo azimutal)

Interação Coulombiana entre um elétrone o núcleo de um átomo

Forças centrais

Átomo de hidrogênio


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A eq. de Schrödinger em coordenadas esféricas

2

2

2222

22

sen1sen

sen11

ϕθθθ

θθ ∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∇rrr

rrr

Podemos, então, escrever a eq. de Schrödinger como:

com

Vamos procurar soluções do tipo:

nas quais a dependência temporal é parametrizada por um autovalor da energia, E. Essa solução satisfaz a equação de autovalores:

Ψ=Ψ∂∂ Et

ih

Assim, o estado Ψ é um estado estacionário, cuja função de onda fornece uma densidade de probabilidade independente do tempo, |Ψ|2 = |ψ|2 e cuja energia tem incerteza zero.


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Este termo só depende de r, enquanto que o restante só depende de θ e φ.

Essa igualdade entre funções de variáveis diferentes só pode valer se ambas forem iguais a uma constante (λ). Então:

Ao aplicarmos a equação de Schrödinger temos:

),()(),()(),(1),()(),()(12 2

2

2222

2

2

φθφθφ

φθθθ

φθθθθ

φθµ

YrERYrVRYsenr

YsensenrrRY

rrRr

rr=+

∂

∂+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂− h

−+

RrVEr

drrdRr

drd

R))((2)(1

2

22

h

µ

e

Separação de variáveis


15

Então:

e

A nossa hipótese inicial será válida se conseguirmos encontrar soluções para as equações acima, que são ligadas pela constante λ.Vamos tratar inicialmente da parte angular. Lembrando do operador Λ2:

Podemos multiplicar por sen2θ e rearranjar:

E aí podemos fazer a segunda separação de variáveis, uma vez que o lado esquerdo só opera em φ e o direito só em θ. Propomos então uma forma:

, que, substituída na eq. acima e dividida por ΘΦ, leva a:


16

Parte que depende de φ

, com m positivo ou negativo

Posso escrever que:

)()(),( φθφθ ΦΘ=Y

22

21 mdd

−=Φ

Φ φAssim,

A eq. em φ é bem conhecida e tem soluções oscilatórias da forma:

Aí aparece uma diferença fundamental com a partícula na caixa 3D: a variável φ é cíclica e se repete após o intervalo [0,2π]. Então, para garantir a unicidade da função de onda, temos que impor uma condição de periodicidade à autofunção:

1π2sen2πcos:Portanto .1:em implica que o )()π2(

π2)π2( =±=⇒=

=+±±+± mimeAeAe imimim φφ

φψφψ

Portanto os valores de m ficam restritos, uma vez que m tem ser inteiro.


17

Parte que depende de θ

As soluções aceitáveis para θ são identificadas como para enfatizar o fato de que as funções variam com ℓ e m

)(θmlΘ

Funções de Legendre

A eq. para θ é mais complicada Olhem o apêndice H do Eisberg, por exemplo. A variável θ varre o intervalo [0,π] e a equação apresenta descontinuidades infinitas nos extremos, por conta dos zeros do senθ. As únicas soluções finitas e unívocas de Θ(θ) são aquelas para as quais a constante de separação λ étal que: ,

De tal forma que ao inteiro m junta-se um outro inteiro, ℓ , na determinação das soluções aceitáveis. Esses inteiros são ligados por uma condição que envolve o intervalo de valores aceitáveis para m:

Combinando as soluções para θ e φ , temos:


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e

Essas funções são chamadas de harmônicos esféricos e têm suas propriedades caracterizadas pelas seguintes equações de autovalor:

São normalizados de acordo com a relação: com

Alguns exemplos:


19

Harmônicos esféricos


20

Os harmônicos esféricos são simultaneamente autofunções dos operadores L2 e Lz :

Quero entender o que é isto:

prL rrr×=

∂∂

−∂∂

−−=

∂∂

−∂∂

−=−=φθ

φθ

φtg

seniy

zz

yizpypL yzxcos

hh

operador

Coordenadas esféricas

∂∂

−=φ

hiLz

Assim os estados estacionários, associados a um potencial central, apresentam autofunções de L2 e Lz tais que:

exemplo

∂∂

+∂∂

∂∂

−=++= 2

2

222222 1(1

φθθθ

θθ sensen

senLLLL zyx he

A importância dos harmônicos esféricos fica mais clara quando lembramos os operadores do momento angular:

e


21

negativo não inteiro um sendo ),1( a iguais são de sautovalore os 22 lllh +L1.

llh ≤≤− mmmLz :que talinteiro um sendo , a iguais são de sautovalore os 2.

Isso mostra que os valores possíveis de L2 e de Lz são discretos (quantizados), evidenciando a quantização do momento angular. Mostra também que essas grandezas podem ser determinadas com incerteza 0.

),,()1(),,( 22 φθψφθψ rllrL += h

),,(),,( φθψφθψ rmrL z h=

e

Porque o tratamento especial para Lz?Vamos analisar as componentes cartesianas de L:


22

e

E assim,Vamos assumir a existência de um estado no qual o vetor L tenha um valor bem definido, dado por:

Se a nossa hipótese é verdadeira, então:

Nesse caso, podemos escrever:

o que leva a:

mostrando que ℓz se anula nesse estado. De maneira análoga podemos mostrar que ℓx e ℓy também se anulam. Portanto um estado pode ter o vetor L com valor bem definido, desde que esse valor seja 0.


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Apenas uma das observáveis Lx, Ly ou Lz pode ser determinada com incerteza nula e a escolhida foi Lz. A figura abaixo mostra os valores do momento angular para o caso ℓ = 1.

incertoNão confundir com precessão!

Modelo vetorial do átomoilustrando as orientações

possíveis de L no espaço e os valores possíveis de Lz

O vetor momento angular nunca aponta no sentido do eixo z (a maior componente possível neste eixo é m, que é sempre menor que o módulo do vetor) .

Isto se deve ao princípio de indeterminação do momento angular, o que diz que éimpossível determinar com precisão absoluta duas componentes do momento angular (Lx e Ly )

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