Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DO PETRÓLEO
Tese de Doutorado Apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia do Petróleo
Como Requisito Parcial à Obtenção do Título de Doutor em Ciência e Engenharia do Petróleo
NOVA TÉCNICA PARA OBTENÇÃO DE FRATURAS COM ALTÍSSIMA CONDUTIVIDADE EM POÇOS DE PETRÓLEO
Autor: José Altamiro Carrilho Mota dos Santos Orientador: Prof. Dr. Antonio Eduardo Martinelli Co-orientador: Prof. Dr. Paulo Dore Fernandes
Natal, 26 de novembro de 2010.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
José Altamiro Carrilho Mota dos Santos
TESE DE DOUTORADO
NOVA TÉCNICA PARA OBTENÇÃO DE FRATURAS COM ALTÍSSIMA CONDUTIVIDADE EM POÇOS DE PETRÓLEO
Natal, 26 de novembro de 2010.
Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da Publicação na Fonte / Biblioteca Central Zila Mamede
Santos, José Altamiro Carrilho Mota dos. Nova técnica para obtenção de fraturas com altíssima condutividade em poços de petróleo / José Altamiro Carrilho Mota dos Santos. – Natal, 2010. xv, 137 p. : Il. Orientador: Antonio Eduardo Martinelli. Co-Orientador: Paulo Dore Fernandes. Tese (Doutorado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. 1. Indústria do petróleo. 2. Fraturamento hidráulico. 3. Poços de petróleo – Fraturamento hidráulico. 4. Condutividade. I. Martinelli, Antonio Eduardo. II. Fernandes, Paulo Dore. III. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. IV. Título. RN/UF/BCZM CDU 665.6
DEDICO ESTE TRABALHO, A MINHA ESPOSA DINA, AOS MEUS FILHOS STARLYNN, DANIELLE, ERON E DAYANE, AOS MEUS NETOS MARINA, BRENDA, RAFAEL E GABRIELE, AOS MEUS IRMÃOS SÉRGIO, DANIEL E ELIZANDRA E AOS PAIS WASHINGTON E ELIZETE IN MEMORIUM.
ii
AGRADECIMENTOS À Deus, por nos ter dado sabedoria para compreendermos as ciências. Ao professor Dr. Antonio Eduardo Martinelli e ao Dr. Paulo Dore Fernandes pela orientação, ajuda, dedicação e incentivo à realização do trabalho. Aos colegas de curso de doutorado, pela amizade e apoio. Aos professores e funcionários da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, pela dedicação. À PETROBRAS, pela oportunidade.
iii
RESUMO
Na indústria do petróleo o aumento da produção de hidrocarbonetos é um objetivo buscado em todo o mundo, como uma forma de se maximizar os lucros. O fraturamento hidráulico é uma das formas de aumento de produção mais usadas, por ser uma operação de fácil execução, baixo custo e quase sempre com alto e rápido retorno financeiro. A operação de fraturamento convencional compreende normalmente um bombeio a alta vazão e a alta pressão de um fluido com alta viscosidade, chamado de colchão, que tem a função de abrir a fratura na rocha produtora de hidrocarboneto com uma espessura necessária para que o agente de sustentação de determinada granulometria possa penetrar na fratura. Este agente de sustentação, também chamado de propante, é transportado para fratura por um fluido com alta viscosidade, chamado carreador, por sua vez este fluido carreador é deslocado até perto dos furos de canhoneio por um fluido de baixa viscosidade, chamado fluido de deslocamento. Ao término do bombeio, os fluidos serão filtrados através das faces da fratura para dentro da formação e entre as duas faces da fratura ficará o agente de sustentação formando assim um canal de alta condutividade hidráulica. A proposta deste trabalho é oferecer uma nova técnica de fraturamento hidráulico que cria fraturas com canal de condutividade infinita, possibilitando assim maior aumento de produção em formação de alta permeabilidade e também a realização de fraturas de grande comprimento em formação com fraturas naturais quando comparado com as técnicas convencionais. A ocorrência na natureza de fraturas abertas, ou seja, com condutividade infinita é comum e é comprovada: pela observação das mesmas em afloramentos e em testemunho de formação, por perdas totais de circulação durante perfuração mesmo usando fluido de baixa densidade, por perfis de imagem, por meio de testes de bombeio diagnóstico tais como Mini-Frac, Mini Fall Off e testes de injetividade abaixo da pressão de fratura, que responde com elevada vazão além da esperada para fluxo radial darciano. A manutenção destas fraturas naturais abertas se deve a existência de pontos de apoio naturais com forma e em posições aleatórias, mas que têm habilidade de manter as faces da fratura sem se tocarem, mesmo estando estas faces submetidas à pressão de fechamento. Para criar fratura com canal de condutividade infinita é preciso construir faixas de apoios artificiais horizontais e paralelas. As dimensões destas faixas serão projetadas de modo que a fratura se mantenha aberta nas partes permeáveis e sustentada nas partes não permeáveis. Para comprovar de forma teórica a manutenção da fratura aberta por introdução de apoios artificiais horizontais e paralelos, será usada a equação de England&Green. Para demonstrar o maior potencial de aumento de produção que a fratura com condutividade infinita possibilita é feita uma comparação entre a fratura convencional, ou seja, fratura com condutividade finita e a fratura com condutividade infinita. Os seguintes parâmetros são usados na comparação: comportamento da perda de carga na fratura em função da vazão de produção, a condutividade adimensional em função da vazão de produção, aumento de produção (FOI – folds of increase), curvas de vazão de produção em função do tempo, curvas de produção acumulada em função de tempo, curvas de Índice de Produtividade (IP) em função do tempo equivalente e de Valor Presente Líquido (VPL) em função da área do reservatório.
iv
New Approach to Obtain Extremely High Conductivity Fractures in Oil Wells
ABSTRACT
Increase hydrocarbons production is the main goal of the oilwell industry worldwide. Hydraulic fracturing is often applied to achieve this goal due to a combination of attractive aspects including easiness and low operational costs associated with fast and highly economical response. Conventional fracturing usually involves high-flowing high-pressure pumping of a viscous fluid responsible for opening the fracture in the hydrocarbon producing rock. The thickness of the fracture should be enough to assure the penetration of the particles of a solid proppant into the rock. The proppant is driven into the target formation by a carrier fluid. After pumping, all fluids are filtered through the faces of the fracture and penetrate the rock. The proppant remains in the fracture holding it open and assuring high hydraulic conductivity. The present study proposes a different approach for hydraulic fracturing. Fractures with infinity conductivity are formed and used to further improve the production of highly permeable formations as well as to produce long fractures in naturally fractured formations. Naturally open fractures with infinite conductivity are usually encountered. They can be observed in rock outcrops and core plugs, or noticed by the total loss of circulation during drilling (even with low density fluids), image profiles, pumping tests (Mini-Frac and Mini Fall Off), and injection tests below fracturing pressure, whose flow is higher than expected for radial Darcian ones. Naturally occurring fractures are kept open by randomly shaped and placed supporting points, able to hold the faces of the fracture separate even under typical closing pressures. The approach presented herein generates infinite conductivity canal held open by artificially created parallel supporting areas positioned both horizontally and vertically. The size of these areas is designed to hold the permeable zones open supported by the impermeable areas. The England & Green equation was used to theoretically prove that the fracture can be held open by such artificially created set of horizontal parallel supporting areas. To assess the benefits of fractures characterized by infinite conductivity, an overall comparison with finite conductivity fractures was carried out using a series of parameters including fracture pressure loss and dimensionless conductivity as a function of flow production, FOI – folds of increase, flow production and cumulative production as a function of time, and finally plots of net present value and productivity index.
v
ÍNDICE
Página 1. INTRODUÇÃO 2 1.1. Fraturamento hidráulico fonte de lucro na indústria do petróleo 2 1.2. O fraturamento hidráulico. 2 1.2.1. A operação de fraturamento hidráulico 2 1.2.2. Aumento de produção após fraturamento hidráulico 2 1.2.3. Dificuldades operacionais do fraturamento. 3 1.2.3.1. Dificuldades operacionais do fraturamento
para formação de alta permeabilidade. 3
1.2.3.2. Dificuldades operacionais do fraturamento para formação de baixa permeabilidade e naturalmente fraturada.
3
1.3. Objetivo do trabalho. 4 2. ASPECTOS TEÓRICOS 5 2.1. Introdução. 6 2.2. A espessura constante e a altura constante de fratura segundo o
modelo de Geerstma e DeKlerk - KGD 6
2.3. A espessura variável e a altura constante de fratura segundo o modelo de Perkins & Kern Nordgreen - PKN
7
2.4. Fratura com espessura e a altura variando em função da pressão líquida no modelo pseudo-tridimensional.
7
3. ESTADO DA ARTE 12 3.1. Introdução 13 3.2. Geometria do túnel sem propante no topo da fratura 13 3.3. Contribuição do túnel sem propante no aumento de produção após
fraturamento. 16
4. METODOLOGIA DA SOLUÇÃO DO PROBLEMA. 19 4.1. Introdução 20 4.2. Teoria e técnicas aplicadas 21 4.2.1. Princípio de Arquimedes - empuxo e Lei de Stokes –
velocidade terminal de partículas. 22
4.2.2. Efeito Pipelining. 22 4.2.3. Prevenção do Flow-back. 22 4.2.4. Cálculo da espessura de fratura. 23 4.2.5. Perda de carga no túnel aberto e em meio poroso. 23 4.2.6. Simulação de produção antes e após fraturamento. 24 4.2.7. Determinação do Valor Presente Líquido. 24 4.3. Métodos de realização de bombeio para possibilitar a formação de
fraturas com condutividade infinita. 24
4.3.1. Efeito Pipelining 24 4.3.2. Efeito Convectivo 26 4.3.3. Bombeio simultâneo de dois fluidos com desvio de fluxo
por equipamento mecânico. 28
4.4. Metodologia usada para solução matemática do problema. 30 4.4.1. A equação de Rice para determinação do fator de
intensidade de tensão (KI – opening mode). 31
vi
4.4.2. A equação de England&Green para determinação da espessura de fratura.
33
4.4.2.1. Solução para o intervalo de altura de fratura entre [0 ; a]
34
4.4.2.2. Solução para o intervalo de altura de fratura entre [a ; b]
36
4.4.2.3. Solução para o intervalo de altura de fratura entre [b ; c]
38
4.4.3. A função polinômio usada como aproximação da função arco seno para possibilitar uma solução analítica de uma integral sem solução analítica em determinado intervalo de integração.
39
4.4.4. A integração pela regra do trapézio para determinação da espessura média da fratura na parte não sustentada da fratura.
40
4.4.5. O teorema do valor médio para determinação da espessura média da fratura convencional no mesmo intervalo referente à parte não sustentada da fratura com condutividade infinita.
42
4.4.6. A equação de Stokes-Navier para determinação da perda de carga entre placas paralelas da fratura com condutividade infinita.
44
4.4.7. A equação de Darcy e Forchheimer para determinação da perda de carga na fratura convencional e na fratura propada equivalente a uma fratura com condutividade infinita.
44
4.4.8. Cálculo da espessura de uma fratura propada equivalente a uma fratura sem propante considerando o efeito de inércia.
45
4.4.9. Cálculo da espessura de uma fratura propada equivalente a uma fratura sem propante desconsiderando o efeito de inércia.
47
4.4.10. A equação da condutividade da fratura propada convencional.
48
4.4.11. A equação da condutividade de uma fratura propada equivalente a fratura com condutividade infinita.
48
4.4.12. A equação da condutividade adimensional da fratura propada convencional.
49
4.4.13. A equação da condutividade adimensional da fratura propada equivalente a uma fratura com condutividade infinita.
49
4.4.14. A equação do raio equivalente de poço fraturado. 49 4.4.15. A equação do aumento esperado de produção após
fraturamento (FOI - Folds Increases).
49
4.4.16. Simulação de produção após fraturamento para a fratura convencional e para a fratura propada equivalente a fratura com condutividade infinita – simulador da MEYER AND ASSOCIATES, INC.
50
4.4.17. Comparação de redução de condutividade entre uma 51
vii
fratura convencional com propante e uma fratura sem propante com condutividade infinita.
4.4.17.1. Fatores que diminuem a condutividade da fratura com propante.
51
4.4.17.2. Fatores que diminuem a condutividade da fratura sem propante.
52
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES 53 5.1. Comportamento da perda de carga para fratura com
condutividade infinita (sem propante) e para fratura convencional (propada).
54
5.2. Comportamento da espessura média de fratura com a variação do campo de tensão
55
5.3. Comportamento da espessura média de fratura com a variação da pressão de fluxo.
59
5.4. Comportamento da espessura média de fratura com a variação do módulo de Young.
60
5.5. Comportamento da espessura média de fratura com a variação do coeficiente de Poisson.
62
5.6. Comportamento da espessura média de fratura com a variação da altura da fratura não sustentada.
63
5.7. Comportamento da espessura de uma fratura propada equivalente a uma fratura com condutividade infinita de espessura fixa igual
ppw em função da vazão.
64
5.8. Comportamento da espessura de uma fratura propada equivalente a uma fratura com condutividade infinita.
64
5.9. Comportamento da condutividade adimensional de uma fratura propada (Fcdas) e de uma fratura com condutividade infinita (Fcdpp).
65
5.10. Comportamento do aumento de produção – Folds of Increase - após fraturamento de uma fratura propada (FOIas) e de uma fratura com condutividade infinita (FOIpp).
66
5.11. Vazões de produções e produções acumuladas da fratura propada convencional.
67
5.12. Vazões de produções e produções acumuladas da fratura não propada.
68
5.13. Comparação entre vazão de produção e a produção acumulada da fratura covencional propada e fratura com condutividade infinita.
69
5.13.1 Curva de vazão de produção da fratura propada convencional e curva de produção da fratura não propada.
70
5.13.2 Curva de produção acumulada da fratura propada convencional e curva de produção acumulada não propada.
70
5.14. Comparação entre vazão de produção e a produção acumulada da fratura convencional propada e fratura com condutividade infinita para poço produtor de gás.
71
5.15. Comparação do IP de uma fratura propada e não propada em função da penetração da fratura no raio de drenagem.
73
5.16. Comparação do volume acumulado e do aumento de produção variando a viscosidade do óleo para fratura propada e não
74
viii
propada. 5.17. Comparação entre IP e VPL da fratura convencional propada e
fratura com condutividade infinita, variando a permeabilidade da formação e a área do reservatório.
76
5.17.1. Curvas de IP da fratura propada convencional e da fratura não propada.
76
5.17.2. Curvas de VPL da fratura propada convencional e da fratura não propada.
77
6. CONCLUSÕES 82 RECOMENDAÇÕES 84 REFERÊNCIAS 85 GLOSSÁRIO 87 APÊNDICES 89 A. Dados usados no simulador MEYER (Mprod) para a
determinação das vazões de produções e produções acumuladas da fratura propada convencional.
89
B. Dados usados no simulador MEYER (Mprod) para a determinação das vazões de produções e produções acumuladas da fratura não propada.
90
C. Dados usados no simulador MEYER (Mprod) para a determinação das vazões de produções de gás para fratura não propada.
91
D. Dados usados no simulador MEYER (Mprod) para a determinação das vazões de produções de gás para fratura propada .
92
ANEXOS 93 I. A solução da equação de Rice para determinação do fator de
intensidade de tensão (KI – opening mode). 93
II. A solução da equação de England&Green para determinação da espessura de fratura.
100
III. A função polinômio usada como aproximação da função arco seno para tornar a solução analítica de uma integral sem solução analítica em determinado intervalo de integração.
137
ix
LISTA DE FIGURAS
Página Figura 2.1 Modelo de fratura segundo KGD. 6 Figura 2.2 Modelo de fratura segundo PKN 7 Figura 2.3a KI - modo de abertura. 8 Figura 2.3b KII - modo cisalhante longitudinal. 8 Figura 2.3c KIII - modo cisalhante ortogonal. 8 Figura 2.4 Comportamento da tensão próximo ao tip da fratura segundo
teoria linear elástica. 9
Figura 2.5 Comportamento da tensão próximo ao tip da fratura e a zona inelástica segundo as Forças de Coesão de Barenblatt.
9
Figura 2.6a Fratura com forma elíptica. 10 Figura 2.6b Condição de Barenblatt. 10 Figura 3.1a Geometria de fratura para transporte perfeito de propante. 14 Figura 3.1b Geometria de fratura para transporte com decantação de propante. 14 Figura 3.2 Mostra o ajuste do perfil de espessura de fratura calculado (linha
azul) com o perfil de espessura de fratura no fim do bombeio (linha vermelha) e a altura do túnel sem propante.
15
Figura 3.3 Mostra o perfil da espessura do túnel e a altura deste com a variação da pressão de fluxo.
15
Figura 3.4a Influência da altura com propante em relação à altura total da fratura criada no fraturamento, na altura do túnel aberto.
16
Figura 3.4b Influência da altura com propante em relação à altura total da fratura criada no fraturamento, na altura do túnel aberto.
16
Figura 3.5 Perfil espessura fratura. 17 Figura 3.6 Impacto na produção devido túnel aberto no topo da fratura. 18 Figura 4.1 Fotos testemunho com fratura parcialmente aberta. 21 Figura 4.2 Areia semi-curada, bloco de areia curada e areia semi-curada
com controle de flowback. 23
Figura 4.3 Penetração do propante no material deformável contra flowback e formação da rede amarrando os propantes.
23
Figura 4.4 Experimento de laboratório do efeito pipeline. 25 Figura 4.5 Esquema de bombeio para ocorrer o efeito pipeline. 26 Figura 4.6 Esquema de bombeio para ocorrer o efeito convectivo. 28 Figura 4.7.a Esquema do equipamento mecânico para formação da fratura
com condutividade infinita. 29
Figura 4.7.b Esquema do equipamento mecânico para formação da fratura com condutividade infinita.
29
Figura 4.8 Esquema de bombeio para formação da fratura com condutividade infinita usando o equipamento mecânico da Figura 4.7.a e 4.7.b.
30
Figura 4.9a Fratura Condutividade Infinita 31 Figura 4.9b Fratura Convencional 31 Figura 4.10a Geometria da espessura de fratura em função do campo de tensão
para T1≠T2≠T3. 32
Figura 4.10b Geometria da espessura de fratura em função do campo de tensão para T1=T2≠T3.
32
Figura 4.10c Geometria da espessura de fratura em função do campo de tensão para T1≠T2=T3.
32
x
Figura 4.10d Geometria da espessura de fratura em função do campo de tensão para T1=T2=T3.
32
Figura 4.11 Aproximação por polinômio da função arco seno. 40 Figura 4.12a Espessura média fratura convencional 42 Figura 4.12b Espessura média fratura com condutividade infinita 42 Figura 4.13 Perfil da espessura média de fratura num único campo de tensão. 43 Figura 4.14 Permeabilidade versus Tensão de Confinamento para a bauxita. 48 Figura 5.1 Curva de perda de carga versus vazão. 54 Figura 5.2a Perfil da espessura da fratura. 56 Figura 5.2b Perfil da espessura da fratura. 56 Figura 5.3a Perfil da espessura da fratura. 57 Figura 5.3b Perfil da espessura da fratura. 57 Figura 5.4a Perfil da espessura da fratura. 58 Figura 5.4b Perfil da espessura da fratura. 58 Figura 5.5a Variação da espessura média da fratura com a variação do
diferencial de pressão da formação para fratura. 59
Figura 5.5.b Espessura média de fratura. 59 Figura 5.5.c Espessura média de fratura. 59 Figura 5.6.a Comportamento da espessura média sem propante em função do
valor do Módulo de Young. 60
Figura 5.6.b Perfil da espessura de fratura ao longo da altura sem propante em função do valor do Módulo de Young.
61
Figura 5.7.a Variação da espessura da fratura não propada com o coeficiente de Poisson.
62
Figura 5.7.b Perfil da espessura da fratura ao longo da altura sem propante em função do valor do Coeficiente de Poisson.
63
Figura 5.8 Comportamento da espessura média não propada com a altura da parte não propada.
63
Figura 5.9
Gráfico da espessura de uma fratura propada equivalente a uma fratura sem propante em função da vazão.
64
Figura 5.10 Relação entre a espessura de uma fratura não propada com uma fratura propada de espessura equivalente, para que a perda de carga seja a mesma.
65
Figura 5.11 Comportamento da condutividade adimensional da fratura propada e da fratura não propada.
66
Figura 5.12 Comportamento do aumento de produção da fratura propada e da fratura não propada.
67
Figura 5.13a Vazão de produção da fratura convencional propada. 68 Figura 5.13b Produção acumulada da fratura convencional propada 68 Figura 5.14a Vazão de produção da fratura não propada. 69 Figura 5.14b Produção acumulada da fratura não propada. 69 Figura 5.15 Curva de produção da fratura propada convencional e curva de
produção da fratura não propada e diferença de produção. 70
Figura 5.16 Curva de produção acumulada da fratura propada convencional e curva de produção acumulada da fratura não propada e diferença de produção acumulada
71
Figura 5.17a Vazão de produção de gás da fratura não propada. 72 Figura 5.17b Vazão de produção de gás da fratura propada. 72 Figura 5.18 Curva de IP versus penetração da fratura no raio de drenagem. 74 Figura 5.19a Volume acumulado em 720 dias em função da viscosidade do 75
xi
óleo. Figura 5.19b Aumento de produtividade em relação à produção acumulada em
função da viscosidade do óleo. 76
Figura 5.20 Curva de IP verus Teq para K=100 mD e A=50 Km2 77 Figura 5.21 Curva de IP versus Teq para K=10 mD e A=5 Km2 77 Figura 5.22a Curva VPL versus Área Drenagem para K=10 mD 78 Figura 5.22b Curva VPL versus Área Drenagem para K=100 mD 78 Figura 5.22c Curva VPL versus Área Drenagem para K=300 mD 79
xii
LISTA DE TABELAS Tabela 3.1 Propriedades da fratura 17 Tabela 5.1 Diferencial de pressão e espessura média. 58 Tabela 5.2 Módulo de Young e espessura média 60 Tabela 5.3 Coeficiente de Poisson e espessura média 62 Tabela 5.4 Altura não propada e espessura média da parte não propada. 63 Tabela 5.5 Tabela 5.5: Equivalência entre abertura de fratura em placa
paralela e com propante. 75
Tabela 5.6 Dados usados no simulador MEYER AND ASSOCIATES, INC. (Mprod) para a determinação das vazões de produções para gerar as curvas de Índice de Produtividade e Valor Presente Líquido para a fratura propada e a fratura não propada.
79
xiii
NOMENCLATURA a- metade da altura sem propante da fratura (m)
Aas – área da seção (altura x espessura) da fratura propada (m2) Aaseqpp – área da seção (altura x espessura) de uma fratura propada equivalente a fratura com condutividade infinita (m2)
área – área (m2) b- posição na altura da fratura (m) c- metade da altura da fratura (m) cf – compressibilidade do fluido (Pa-1)
iC - Capital inicial investido (R$)
cform – compressibilidade da formação (Pa-1)
( )fut tC - capital no futuro no período t (R$)
ct – compressibilidade total (Pa-1) Cfpc – condutividade da fratura propada convencional (mD.mm) Cfpeqpp – condutividade de uma fratura propada equivalente a fratura sem propante (mD.mm) DP1- diferença de pressão no intervalo [-a; a] DP2- diferença de pressão no intervalo [a; b] e [-b; -a] DP3- diferença de pressão no intervalo [-c; -b] e [c; b] E – módulo de Young (psi) Fcdas – condutividade adimensional de uma fratura propada. Fcdaseqpp – condutividade adimensional de uma fratura propada equivalente a uma fratura com condutividade infinita. FOI – Folds of Increase. h – altura da parte não propada da fratura (m) i - taxa de juro no período (fração) K – permeabilidade da formação (mD ou m2)
xiv
*K - módulo de coesão (lbf)
Kas – permeabilidade de fratura propada (mD ou m2) Kaseqpp – permeabilidade de uma fratura propada equivalente a fratura com condutividade infinita (mD ou m2) KI – módulo I de carregamento compressional (psi.in0,5) L – unidade de comprimento (m) n - número de períodos p – pressão dentro da fratura (psi) Pe – pressão estática da formação (psi) pnet= p1= p2= p3 – pressão líquida dentro da fratura nas regiões 1, 2 e 3 (psi) Pwf = pressão de fluxo (psi) Qas – Vazão na fratura com propante (m3/s) Qpp – Vazão na fratura sem propante - placa paralela (m3/s) Re – raio de drenagem (m) rw – raio do poço (m) rw
, - raio efetivo do poço (m) S – skin t – período (dia) T1 – tensão horizontal mínima no intervalo [-a; a] T2 – tensão horizontal mínima no intervalo [a; b] e [-b; -a] T3 – tensão horizontal mínima no intervalo [b; c] e [-c; -b] Teq – tempo equivalente (dias)
( )w y – espessura da fratura em um ponto qualquer da altura da fratura (mm)
asw – espessura média da fratura propada (mm).
ppw – espessura média da fratura sem propante – placa paralela (mm).
xv
eqasppdw - espessura média de uma fratura propada sem efeito inercial equivalente a uma
fratura com condutividade infinita (mm).
eqasppdfw - espessura média de uma fratura propada com efeito inercial equivalente a uma
fratura com condutividade infinita (mm). Xf – metade do comprimento de fratura (m) β – fator de inércia (m-1) φ - porosidade
cσ - tensão crítica para propagar fratura
µ - viscosidade do fluido newtoniano (kg/m.s) π – 3,1415927... ρ – massa específica do fluido produzido (kg/m3) ∆Ppp/L – perda de carga por unidade de comprimento de uma fratura sem propante - placas paralelas (psi/m ou kgf/cm2/m) ∆Pas/L – perda de carga por unidade de comprimento de uma fratura propada (psi/m ou kgf/cm2/m) υ – Coeficiente de Poisson γ - energia de superfície
1
______________________________________________________
Capítulo 1 Introdução _____________________________________________________
2
Introdução 1.1 Fraturamento hidráulico fonte de lucro na indústria do petróleo
Na indústria do petróleo o aumento da produção de hidrocarbonetos é um objetivo buscado em todo o mundo, como uma forma de se maximizar os lucros. O fraturamento hidráulico é uma das formas de aumento de produção mais usadas, por ser uma operação de fácil execução, baixo custo e quase sempre com alto e rápido retorno financeiro.
1.2 . O fraturamento hidráulico
1.2.1. A operação de fraturamento hidráulico
A operação de fraturamento compreende normalmente um bombeio a alta vazão
e a alta pressão de um fluido com alta viscosidade, chamado de colchão, que tem a função de abrir a fratura na rocha produtora de hidrocarboneto com uma espessura necessária para que o agente de sustentação de determinada granulometria possa penetrar na fratura. Este agente de sustentação, também chamado de propante é transportado para fratura por um fluido com alta viscosidade, chamado carreador. Por sua vez este fluido carreador é deslocado até perto dos furos de canhoneio por um fluido de baixa viscosidade, chamado fluido de deslocamento. Ao término do bombeio, os fluidos serão filtrados através das faces da fratura para dentro da formação e entre as duas faces da fratura ficará o agente de sustentação formando assim um túnel de alta condutividade hidráulica.
1.2.2. Aumento de produção após fraturamento hidráulico
O aumento de produção auferido pela operação de fraturamento será função do
comprimento, da altura porosa, da espessura da fratura e do contraste positivo entre a permeabilidade do agente de sustentação e a permeabilidade da formação. Quando maior for estes fatores maior será o aumento da produção, porém em termos econômicos existirá um ponto ótimo, ou seja, valores nos quais se terá o maior retorno financeiro possível em relação ao capital aplicado.
Para se avaliar o potencial do aumento de produtividade de um poço fraturado, é
preciso conhecer um número chamado de condutividade adimensional que é a relação entre produto da permeabilidade do agente de sustentação com a espessura da fratura (condutividade da fratura) pelo produto da permeabilidade da formação com o comprimento da fratura (condutividade da formação), ou seja, é a relação entre a habilidade da fratura em transportar fluido pela habilidade da formação alimentar a fratura com fluido.
Dependendo do valor da permeabilidade da formação a melhor geometria de
fratura será: a) para formação de alta permeabilidade, fratura de pequeno comprimento e alta
condutividade, ou seja, de grande espessura e com propante de alta permeabilidade;
3
b) para formação de baixa permeabilidade, fratura de grande comprimento e não necessita de alta condutividade, ou seja, não é necessária grande espessura e nem necessário propante de alta permeabilidade;
c) para formação de baixa permeabilidade naturalmente fraturada, neste tipo de
formação, a fratura hidráulica deve ser longa não só pelo fato da baixa permeabilidade da formação, mas também para que a fratura criada intercepte um maior número de fraturas naturais.
1.2.3. Dificuldades operacionais do fraturamento.
O projeto de um fraturamento hidráulico é feito através de modelos que não retratam a verdade, pois a realidade é muito complexa. Além disso, muitos são os parâmetros que usamos sem termos certeza dos seus valores, como entrada nos simuladores para solução das equações matemáticas destes modelos. Por isso, as operações de fraturamento hidráulico têm sempre um risco de não ocorrerem como planejadas. E este risco aumenta substancialmente quando a formação tem alta permeabilidade ou quando a formação é naturalmente fraturada, com fraturas abertas ou que se abrem devido à pressão do fluido de fraturamento.
1.2.3.1. Dificuldades operacionais do fraturamento para formação de alta permeabilidade.
Quando a permeabilidade da formação é muito elevada, na prática é muito difícil
conseguir valor de condutividade que aumente a produção do poço de forma econômica, pois seria necessário criar fratura de grande espessura e com alta permeabilidade. Para a grande espessura de fratura se faz uso de alta concentração do agente de sustentação no gel e para a alta permeabilidade se faz uso de agente de sustentação de grande diâmetro. Estas duas necessidades geralmente levam ao término prematuro da operação de fraturamento, em virtude da ocorrência de embuchamento, ou seja, a fratura não mais admite a entrada do restante do agente de sustentação. É para este tipo de formação que este trabalho se dedica.
1.2.3.2. Dificuldades operacionais do fraturamento para formação de baixa permeabilidade e naturalmente fraturada.
Quando a formação é de baixa permeabilidade com fraturas naturais, estas
fraturas naturais quando abertas durante a operação de fraturamento, aumentam de forma muita expressiva a perda de fluido para a formação, levando a eficiência do fluido a valor muito baixo. Isto pode ocasionar embuchamento prematuro, mesmo se usando agente de sustentação de pequeno diâmetro e em baixa concentração no gel. Portanto, a criação de fratura longa neste tipo de formação torna-se difícil.
4
1.3. Objetivo do Trabalho
A proposta deste trabalho é oferecer uma nova técnica de fraturamento hidráulico
baseada na obtenção de fraturas com altíssima condutividade, proporcionada por um túnel aberto sem propante, que possibilite um maior aumento de produção, tanto em formação de alta permeabilidade como em formações de baixa permeabilidade naturalmente fraturadas, quando comparada com as técnicas convencionais de fraturamento.
Portanto, o objetivo central deste trabalho é mostrar que é possível manter um
túnel aberto sem propante por meio da solução da equação de England&Green (1963), quando a fratura é sustentada em sua parte superior e também sustentada na sua parte inferior, ficando a parte central aberta sem nenhuma sustentação.
Outro objetivo é mostrar que uma fratura com esta geometria (não propada),
quando comparada com uma fratura convencional (propada), apresenta: a) menor perda de carga; b) maior condutividade; c) maior produção tanto para fluido de baixa como de altíssima viscosidade; d) mudança na geometria ótima de fratura para formação de alta
permeabilidade, deixando de ser fratura curta para ser fratura longa; e) maior retorno financeiro; f) tornar rentável fraturar formações com alta permeabilidade para determinados
tamanho de área de reservatório. A contribuição original está na idéia da construção de uma geometria de fratura na qual deve existir um túnel aberto sem propante, o que difere das geometrias de fraturas até então propostas na literatura, que são fraturas sustentadas em toda a sua extensão de altura. Esta contribuição resultou na Patente – PI 0902343-7, protocolo 020090070939, “FERRAMENTA E MÉTODO PARA AUMENTAR A PRODUÇÃO EM POÇOS PRODUTORES DE PETRÓLEO”.
5
______________________________________________________
Capítulo 2 Aspectos Teóricos _____________________________________________________
6
Aspectos Teóricos
2.1. Introdução.
Neste capítulo vamos descrever os diversos modelos de fraturas desenvolvidos ao longo do tempo, dando ênfase ao perfil da espessura de fratura na extensão de sua altura.
2.2. A espessura constante e a altura constante de fratura segundo
o modelo de Geerstma e DeKlerk – KGD
Neste modelo (Geerstma e DeKlerk, 1969) a espessura da fratura no sentido vertical muda de forma mais lenta do que na horizontal. Na prática isto é verdade se a altura da fratura é maior que o comprimento ou a espessura é constante ao longo de toda altura da fratura, devido à ocorrência de escorregamento entre as camadas no topo e na base da fratura. No sentido horizontal são aplicadas: a hipótese de estado plano de deformação, a Equação (6) de England&Green (1963) para determinação da espessura da fratura ao longo de seu comprimento e a condição de equilíbrio de Barenblatt (1962), que considera a concentração de tensão no tip da fratura como finita, ou seja, a derivada da espessura no sentido do comprimento de fratura no tip desta é zero, e a representação matemática é (dw/dx)x=L=0. A figura 2.1 mostra a geometria (Yew, 2008) da fratura segundo o modelo KGD.
Figura 2.1: Modelo de fratura segundo KGD.
7
2.3. A espessura variável e a altura constante de fratura segundo o modelo de Perkins & Kern Nordgreen - PKN
Neste modelo (Perkins & Kern Nordgreen, 1961) a hipótese de estado plano de
deformação é na vertical, ou seja, a deformação de cada secção independe de como se deformam as seções vizinhas e que pressão em qualquer seção é dominada pela altura da seção ao invés de ser pelo comprimento, isto é verdade se comprimento é maior que a altura. No sentido vertical a espessura de fratura tem forma elíptica e a fratura é confinada no topo e na base por barreiras competentes. A Figura 2.2 mostra a geometria (Yew, 2008) da fratura segundo o modelo PKN.
Figura 2.2: Modelo de fratura segundo PKN
2.4. Fratura com espessura e a altura variando em função da pressão líquida no modelo pseudo-tridimensional.
A mecânica do fraturamento hidráulico considera o meio poroso como
homogêneo, isotrópico e elástico linear (Economides; Nolte, 2000). A contenção de altura de fratura é realizada por dois mecanismos: o contraste de propriedades mecânicas e o contraste de tensões entre as zonas adjacentes.
A energia necessária para propagar uma fratura de forma elíptica em material
frágil, com carregamento uniforme, em estado plano de deformação foi estudada por Griffith (1921). Estudo que resultou numa equação que relaciona a tensão à energia de superfície necessária para propagação da fratura, para criar uma fratura de altura
fh .
8
Equação de Griffith:
( )2
2
1c
f
E
h
γσ
π ν=
− (1)
Onde,
cσ - tensão crítica ou a menor tensão para propagar fratura;
γ - energia de superfície; ν - coeficiente de Poisson; E - módulo de Young;
fh - altura total da fratura (ver nas figuras 2.1 e 2.2).
Irwin (1952) introduziu na teoria de Griffith, através do conceito fator de
intensidade de tensão, efeitos inelásticos que provocam dissipação de energia na ponta da fratura. Para cada modo de propagação de fratura foi definido um fator de intensidade de tensão (Figura 2.3a é o KI – modo de abertura, a Figura 2.3b é o KII – modo cisalhante longitudinal e a Figura 2.3c é o KIII – modo cisalhante ortogonal). Porém, em fraturamento hidráulico somente o modo de abertura tem influência.
(a) (b) (c)
Figura 2.3: (a) KI, (b) KII e (c) KIII
A Equação (2) mostra a relação entre as tensões ( ,x y
σ σ e xy
σ ) atuantes próximo ao
tip da fratura e o fator de intensidade de tensão - modo de abertura IK .
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3 2
cos 2 1 2 3 22
2 cos 3 2
x
iy
xy
sen senk
sen senr
sen
θ θσ
σ θ θ θπ
σ θ θ
−
= +
(2)
Sendo, r – distância do ponto de aplicação da tensão para tip da fratura; θ - é o ângulo com o eixo da fratura. Na Equação (2) quando o r tende para zero a tensão tende para o infinito, esta
singularidade ocorre em virtude desta equação admitir comportamento linear elástico do material da fratura.
9
A Figura 2.4 mostra o comportamento da tensão pela aplicação da Equação (2).
Figura 2.4. Comportamento da tensão próximo ao tip da fratura segundo teoria linear
elástica. As forças de coesão compressivas de Barenblatt (1962), devido à atração
molecular na estrutura do material, atuam numa pequena zona ao redor do tip da fratura. Estas forças, numa condição de equilíbrio, contrabalançam a “singularidade” de tensões que ocorrem no tip de fratura, contendo então a propagação da fratura (Gidley et al., 1989). A Figura 2.5 mostra o comportamento da tensão próximo ao tip da fratura e a zona onde ocorre o processo inelástico.
Figura 2.5. Comportamento da tensão próximo ao tip da fratura e a zona
inelástica segundo as Forças de Coesão de Barenblatt. A Figura 2.6. (a) mostra a fratura elíptica e figura 2.6 (b) mostra o formato da
fratura segundo a teoria de Barenblatt (1962) da Força de Coesão, na qual o tip da fratura deverá ter forma suave, fazendo com que a derivada da espessura da fratura em relação ao comprimento seja zero no tip da fratura, cuja representação matemática é:
0x L
w
x
δ
δ =
=
(3)
10
Onde, w - espessura de fratura; x - ponto qualquer na altura ou no comprimento da fratura; L - meia altura ou meio comprimento da fratura;
(a)
(b)
Figura 2.6: (a) Fratura com forma elíptica e (b) Condição de Barenblatt Cada material tem uma força de coesão, tal que só haverá propagação de fratura
se a força atuante for superior a esta força de coesão. Barenblatt (1962) a definiu como Módulo de Coesão ( *K ) o qual se relaciona com a energia de superfície pela seguinte expressão matemática:
*2(1 )
EK
π γ
ν=
− (4)
K* - módulo de coesão; γ - energia de superfície; ν - coeficiente de Poisson; E - módulo de Young;
A equação (5) que calcula o fator de intensidade de tensão para uma fratura de altura
(2c) submetida a um campo de tensão x
σ é a Equação de Rice (1968), cuja solução
detalhada está no anexo 1. Equação de Rice:
1( )
c
I
c
c yK p y dy
c ycπ −
+=
−∫ (5)
Onde,
IK - fator de intensidade de tensão;
c - meia altura de fratura; y - ponto qualquer da altura de fratura entre [-c; c]
( )p y - tensão resultante em cada intervalo da fratura. Dos modelos de fraturas apresentados acima, o KGD considera o escorregamento
entre as camadas ficando então a espessura constante ao longo de toda a extensão de
11
altura da fratura, e o PKN apresenta o perfil de espessura ao longo da altura com forma de elipse, porém quando aplicada a condição de Barenblatt, a forma da fratura nas extremidades fica suave, pois caso contrário existiria uma singularidade no tip da fratura.
12
______________________________________________________
Capítulo 3 Estado da Arte _____________________________________________________
13
Estado da Arte
3.1. Introdução.
Em relação à fratura com túnel aberto sem propante, ou seja, com condutividade infinita, dois artigos recentes fazem referência a este assunto: um artigo (Warpinski, 2009) mostra a geometria do túnel aberto e outro (Cipolla et al., 2009) descreve a contribuição do túnel aberto no aumento de produção após fraturamento para formação de baixa permeabilidade. O túnel analisado nestes dois artigos é formado no topo da fratura devido à sedimentação do propante durante o bombeio e fechamento da fratura.
Martin (2005) também descreve a existência de túnel com condutividade infinita
no topo da fratura, formado por sedimentação do propante, e conclui que o fluxo de fluido ocorrerá preferencialmente por este túnel aumentando a possibilidade de produção de propante. Para prevenir o flowback sugere o uso de técnicas, tais como: material deformável e propante com resina semi-curada.
3.2. Geometria do túnel sem propante no topo da fratura. A geometria de um túnel sem propante formado no topo da fratura devido à
decantação do propante é demonstrado por Warpinski (2009). O artigo faz uso da Equação (6) de England&Green (1963) e da Equação (5) de Rice (1968), para determinar o perfil da espessura aberta do túnel e sua altura.
A figura 3.1 (a) mostra os perfis da espessura de fratura ao longo da altura da
mesma para um transporte perfeito do propante durante o bombeio e após o fechamento da fratura.
A Figura 3.1 (b) mostra os perfis da espessura de fratura ao longo da altura da
mesma para um transporte com decantação de propante durante o bombeio e o fechamento da fratura.
( ) ( ) ( )2
2 2
16 1( )
c
y
F t y G tw y dt
E t y
ν− + ⋅=
−∫ (6)
( )w y - espessura da fratura em função da altura da fratura;
v - coeficiente de Poisson; E – módulo de Young; c - metade da altura da fratura; y - posição qualquer na altura de fratura;
( )F t e ( )G t - funções determinadas a partir da distribuição de pressão na fratura; t - variável muda.
14
(a)
(b)
Figura 3.1. (a) – Geometria de fratura para transporte perfeito de propante e (b) – Geometria de fratura para transporte com decantação de propante.
A metodologia de cálculo da geometria de fratura, proposta por Warpinski, é um
método interativo no qual são estimados, o valor de altura da fratura, a pressão dentro da fratura e o fator de amplificação de tensão e então é calculado o perfil de espessura de fratura pela equação de England&Green e o fator de intensidade de fratura no topo da fratura pela equação de Rice. Neste método interativo, a altura da fratura, a pressão dentro da fratura e o fator de amplificação de tensão são ajustados de tal forma que o perfil da espessura de fratura calculado na parte da fratura com propante, se ajuste ao perfil de espessura de fratura no fim do bombeio, conforme está na Figura 3.1 (b). E também para que o fator de intensidade de fratura no topo da fratura seja igual a zero, pois a formação já está fraturada acima da parte com propante e não oferece resistência ao crescimento.
O fator de amplificação de tensão é para aumentar o valor da tensão sobre o
propante que está no topo da fratura. Pois a tensão nesta posição da fratura é necessariamente alta, visto que esta parte da fratura que está sustentada com propante deve suportar a carga da parte superior da fratura sem propante, ou seja, o túnel aberto que não tem sustentação.
A Figura 3.2 mostra o ajuste do perfil de espessura de fratura calculado (linha
azul) com o perfil de espessura de fratura no fim do bombeio (linha vermelha) e a altura do túnel sem propante para várias pressões de fluxo. Neste exemplo a pressão estática é de 6000 psi e as seguintes pressões de fluxo 5000, 4000, 3000 psi e na condição inicial a pressão dentro do túnel aberto é igual à pressão estática.
15
Figura 3.2 - Mostra o ajuste do perfil de espessura de fratura calculado (linha azul) com o perfil de espessura de fratura no fim do bombeio (linha vermelha) e a altura do túnel sem propante.
Conforme podemos observar à medida que a pressão de fluxo diminui, a altura
do túnel aberto diminui e como conseqüência também diminui a área do túnel aberto. Pois, quanto menor for pressão dentro da fratura mais a face da fratura flamba.
A Figura 3.3 mostra com detalhes o perfil da espessura do túnel e a altura deste
com a variação da pressão de fluxo.
Figura 3.3 - Mostra o perfil da espessura do túnel e a altura deste com a variação da pressão de fluxo.
16
Outro fator estudado por Warpinski (2009) neste mesmo artigo é a influência da altura da fratura sustentada em relação à altura total de fratura hidráulica criada no fraturamento, na altura do túnel aberto.
As Figuras 3.4 (a) e (b) mostram que a maior altura do túnel é quando a altura
com propante está próximo de 80 pés, sendo a altura total de fratura criada no fraturamento de 200 pés, então a maior altura do túnel ocorre quando a altura com propante é cerca de 40% da altura total de fratura.
(a) (b) Figura 3.4. Influência da altura com propante em relação à altura total da fratura criada no fraturamento, na altura do túnel aberto.
A conclusão deste artigo é que a condutividade do túnel é extremamente elevada
quando comparada à condutividade da parte da fratura com propante e com a parte da fratura fechada acima do túnel. A permanência do túnel aberto tem significante impacto na limpeza do fraturamento, na produção e possivelmente na produção de areia.
3.3. Contribuição do túnel sem propante no aumento de produção
após fraturamento. A contribuição do túnel aberto formado no topo da fratura, devido à decantação
do propante, na produção após fraturamento é analisado no artigo escrito por Cipolla et al. (2009). A Figura 3.5 mostra um perfil de espessura de fratura, tendo na base parte da fratura sustentada, no meio o túnel e no topo parte da fratura fechada, porém a parte da fratura fechada apresenta condutividade. A Tabela 3.1 mostra os valores de condutividade, espessura e altura, para cada parte da fratura, ou seja, a sustentada, o túnel e a fechada. Estes valores serão usados para a construção das curvas de produção acumulada que são apresentadas na Figura 3.6.
17
Tabela 3.1 – Propriedades da fratura Kf.Wf(mD.ft) Wf(ft) hf(ft) Fechada 0,5 5 0,006 225 222 Túnel 42.000.000 0,018 0 3 Sustentada 270-100 mesh 0,054 75 (25%)
Figura 3.5 Perfil espessura fratura
A Figura 3.6 mostra a produção acumulada após fraturamento em quatro
situações diferentes: a. Existe túnel e a parte fechada da fratura acima do túnel tem condutividade de 5
mD.ft; b. Existe túnel e a parte fechada da fratura acima do túnel tem condutividade de 0,5
mD.ft; c. Não existe túnel e a parte fechada da fratura acima do túnel tem condutividade de
5 mD.ft; d. Não existe túnel e a parte fechada da fratura acima do túnel tem condutividade de
0,5 mD.ft. Quando existe túnel este tem 3 pés de altura e a parte fechada tem 222 pés de
altura e quando não existe túnel a altura da parte fechada é de 225 pés. Em todos os casos a permeabilidade da formação é 0,001 mD, a altura do propante na fratura é de 75 pés (25% da altura total de fratura), o propante é areia 100 mesh e o comprimento de uma asa de fratura é de 1000 pés. Estes dados estão presentes na Tabela 3.1.
18
Figura 3.6. Impacto na produção devido túnel aberto no topo da fratura.
A Figura 3.6 mostra que a curva de produção acumulada, quando existe túnel,
está sempre acima da curva que não existe túnel, para os dois valores de condutividade (0,5 e 5 mD.ft), duas conclusões são retiradas: a primeira é que a produção acumulada com túnel durante o todo o tempo de produção, no exemplo é de dez anos, é sempre maior que a produção acumulada sem túnel e que quanto maior for esta diferença principalmente no início da produção maior será o retorno financeiro, ou seja, maior será o Valor Presente Líquido (VPL) auferido pelo fraturamento.
Estes artigos apresentam três fatos importantes: a existência do túnel aberto, o
túnel é formado naturalmente, ou seja, não é construído por planejamento e o túnel aberto ocasiona aumento significativo de produção.
19
______________________________________________________
Capítulo 4 Metodologia da solução do problema _____________________________________________________
20
Metodologia da solução do problema
4.1. Introdução
A ocorrência na natureza de fraturas abertas, ou seja, com condutividade infinita é comum e elas são comprovadas pela observação das mesmas em afloramentos e em testemunho de formação (Figura 4.1), por perdas totais de circulação durante perfuração mesmo usando fluido de baixa densidade, por perfis de imagem, por meio de testes de bombeio diagnóstico (Nolte, 1979) tais como Mini-Frac, Mini Fall Off e testes de injetividade abaixo da pressão de fratura, que responde com elevada vazão além da esperada para fluxo radial. A manutenção destas fraturas naturais abertas se deve a existência de pontos de apoio naturais com forma e em posições aleatórias, mas que tem habilidade de manter as faces da fratura sem se tocarem, mesmo estando estas faces submetidas à pressão de fechamento.
Neste trabalho iremos mostrar a aplicação da técnica de criar fraturas com túnel
de condutividade infinita por meio do posicionamento dentro da fraturas de faixas horizontais e paralelas, que são os apoios artificiais formados com propante. As dimensões destas faixas serão projetadas de modo que a fratura se mantenha aberta nas partes permeáveis e sustentada nas partes não permeáveis.
21
Figura 4.1. Fotos testemunho com fratura parcialmente aberta
4.2. Teoria e técnicas aplicadas.
Neste capítulo vamos descrever as técnicas que serão usadas para criar o túnel
aberto sem propante, o cálculo da espessura da fratura, a previsão de produção e economicidade, baseadas em várias teorias, tais como: princípio de Arquimedes (Fox, et al., 2003) e Lei de Stokes (Santos, et al., 2007) da velocidade terminal aplicada ao fluido e ao propante, no efeito pipelining (Ely, 1983), na química da resina semi-curada (Martin, 2005), no uso de material contra flowback (Martin, 2005), na determinação do perfil de espessura de fratura (England&Green, 1963), na perda de carga em placa paralela (Fox, et al., 2003) e em meio poroso (Rosa, et al., 2006), na simulação de produção antes e após fraturamento (simulador MEYER) e na determinação do valor presente líquido (Santos).
22
4.2.1. Princípio de Arquimedes - empuxo e Lei de Stokes – velocidade terminal
de partículas. Para posicionar o propante formando as faixas horizontais e paralelas que irão
sustentar a fratura na parte superior e na parte inferior deixando o meio da fratura sem propante, pode-se fazer uso da diferença de densidade quer seja dos fluidos ou dos propantes e assim direcionar fluidos e os propantes para topo e para base da fratura.
Quando a operação de fraturamento para criação de fratura com condutividade
infinita for por bombeio simultâneo de dois fluidos carreadores (Santos, et al., 2007): o posicionamento do propante na parte superior da fratura será imposto pelo uso do princípio de Arquimedes, ou seja, o colchão que está dentro da fratura terá densidade maior que a densidade do carreador mais propante que será bombeado pelo anular, então este fluido carreador flutuará no colchão se dirigindo para a parte superior da fratura, e o propante transportado por este fluido carreador tem densidade menor que a do fluido carreador, então o propante se deslocará para a parte superior da fratura, e o posicionamento do propante na parte inferior da fratura será imposto também pelo uso do Princípio de Arquimedes, ou seja, o fluido carreador mais propante bombeado pela coluna tem densidade maior que o colchão que está dentro da fratura, então o fluido carreador mais propante sendo mais denso afundará no colchão se dirigindo para a parte inferior da fratura e o propante transportado por este fluido tem densidade maior que este fluido e segundo a lei de Stokes da velocidade terminal este propante afundará no fluido se dirigindo também para a parte inferior da fratura.
4.2.2. Efeito Pipelining
Para criação do túnel de condutividade infinita, sustentado na parte superior e inferior da fratura por propante, baseado no efeito pipelining (Ely, 1983), será bombeado um fluido carreador de alta viscosidade e com densidade igual a do propante e igual ao do fluido colchão que está na fratura. Ao término do bombeio deste fluido carreador, será bombeado um fluido de mesma densidade do sistema (fluido carreador mais propante), porém sem propante e com viscosidade 50 vezes menor que a do fluido carreador e assim ocorrerá o efeito pipelining, ou seja, a penetração do fluido de baixa viscosidade dentro de um fluido de alta viscosidade. As densidades dos dois fluidos são iguais, para prevenir efeito de convecção.
4.2.3. Prevenção do Flowback A produção do propante (flowback) durante a produção de hidrocarbonetos deve
ser evitada, pois ocorrendo o retorno do propante das faixas de sustentação, o túnel com condutividade infinita perderá espessura, e poderá ocorrer problema de erosão de equipamentos.
Para evitar o flowback, duas técnicas são usadas: a do propante recoberto com
resina semi-curada cuja tecnologia química possibilita a colagem dos grãos do propante uns aos outros quando o propante está na temperatura adequada, impedindo que os grãos sejam arrastados durante a produção do poço. A Figura 4.2 mostra um bloco de areia resina já curada. A outra técnica é baseada na formação de uma rede tridimensional de propante mais material de controle de flowback, ou seja, os grãos do propante penetram
23
no material deformável de controle de flowback que se deforma amarrando assim os grãos do propante e impedindo que o propante seja arrastado durante a produção de hidrocarbonetos. A Figura 4.3 mostra a deformação do material de controle de flowback e a formação da rede tridimensional. O material deformável tem várias formas: alongados, fitas e esféricos.
Figura 4.2. Areia semi-curada, bloco de areia curada e areia semi-curada com controle de flowback.
Figura 4.3. Penetração do propante no material deformável contra flowback e formação da rede amarrando os propantes.
4.2.4. Cálculo da espessura de fratura. A determinação do perfil da espessura da fratura é feita através da solução da
Equação (6) de England&Green (1963) para 3 campos de tensões diferentes. A solução analítica da equação para os três campos de tensões possibilita a simulação de perfil de espessura ao longo da altura de fratura, quando a fratura está submetida: a um campo de tensão, a dois campos de tensões e a três campos de tensões diferentes, assim é possível melhor retratar a realidade, pois na prática é comum a fratura atravessar em altura mais de um campo de tensão. A Figura 4.10 (a), (b), (c) e (d) mostra o perfil de espessura ao longo da altura de fratura. A Equação (6) é a equação de England&Green que calcula a espessura de fratura ao longo de sua altura.
4.2.5. Perda de carga no túnel aberto e em meio poroso. Após determinado o perfil de espessura de fratura na parte sem propante, que é um
túnel, será calculada a espessura média deste túnel usando a Regra do Trapézio de integração. Como as faces da fratura são curvas é feita uma aproximação para faces paralelas. A espessura média da fratura convencional, ou seja, propada será calculada pelo Teorema do Valor Médio e também é feita a mesma aproximação que foi feita acima, ou seja, para faces paralelas.
A perda de carga no túnel aberto aproximado para placa paralelas será calculada pela
equação de Stokes-Navier (Fox, et al., 2003), a perda de carga da fratura propada aproximada para placa paralelas será calculada pela equação de Darcy que leva em consideração somente o efeito viscoso e pela equação de Forchheimer (Barree, 2003) que leva em consideração dois efeitos o viscoso e o de inércia. Todas as perdas de carga serão calculadas numa mesma vazão para realização de comparação da fricção entre
24
fratura convencional e fratura túnel aberto, pois quanto menor é a perda de carga, maior será a condutividade da fratura e este é um fator que propicia o aumento da produção do poço.
4.2.6. Simulação de produção antes e após fraturamento.
Determinado o perfil de espessura de fratura do túnel aberto, a espessura média deste túnel é calculada pela Regra do Trapézio. Com a espessura média é calculado a perda de carga entre placas paralelas e então é calculada a espessura de uma fratura sustentada por determinado propante que tenha a mesma perda de carga que ocorre entre placas paralelas, e o valor desta espessura e da permeabilidade do propante são usados na simulação de produção após fraturamento.
4.2.7. Determinação do Valor Presente Líquido
O Valor Presente Líquido (Santos), que é resultado de um fluxo de caixa, será
calculado para as produções da fratura convencional e da fratura com túnel com condutividade infinita. A comparação dos dois valores mostrará o aumento do ganho financeiro com aplicação da técnica de fratura com túnel de condutividade infinita.
4.3. Métodos de realização de bombeio para possibilitar a formação de fraturas com condutividade infinita.
São três as formas de bombeio para criar fraturas com condutividade infinita: • Efeito pipelining; • Efeito convectivo; • Bombeio simultâneo de dois fluidos com desvio de fluxo por equipamento
mecânico. 4.3.1.Efeito Pipelining
Efeito pipelining é a penetração de fluido de menor viscosidade dentro de um fluido
de maior viscosidade formando um túnel com o fluido de menor viscosidade. A Figura 4.4 mostra um experimento de laboratório do efeito pipelining (Ely et al., 1993) e a Figura 4.5 mostra um esquema de como ocorre este efeito.
A sequência de bombeio para formar um túnel sem propante está descrito abaixo.
• Colchão (gel reticulado de alta viscosidade) • Carreador (gel reticulado de alta viscosidade + propante) • Pipelining (gel linear de baixa viscosidade sem propante) • Deslocamento (até extremidade da coluna) Características dos fluidos, do propante e da completação:
a) A densidade do fluido carreador (gel reticulado de alta viscosidade) deve ser a mesma densidade do fluido pipelining (gel linear de baixa viscosidade). A igualdade destas densidades elimina o efeito convectivo, ou seja, movimentação vertical dos fluidos;
25
b) A viscosidade do fluido carreador (gel reticulado de alta viscosidade) deve ser muito maior que viscosidade do fluido pipelining (gel linear de baixa viscosidade). A alta viscosidade do gel reticulado garante a não decantação do propante para dentro do fluido pipelining. Além disso, o efeito viscoso prevalece sobre o efeito convectivo que também evita a mistura dos fluidos. E a grande diferença na viscosidade entre os dois fluidos garante o efeito pipelining; c) Os dois fluidos devem ter densidade próxima da densidade do propante, para que não ocorra nem a decantação e nem a ascensão do propante; d) A vazão para a fase pipelining deve ser estabelecida de acordo com a altura que se deseja sem propante, simuladores do tipo CFD é uma boa ferramenta para determinação da vazão; e) O propante deve ser resinado e conter controle de flowback. Isto força o propante permanecer onde foi colocado e também que não seja produzido durante a produção do poço; f) O canhoneio restrito (2 a 4 m) em fase de 180 graus na direção perpendicular à tensão horizontal mínima. O canhoneio restrito associado ao canhoneio em fase de 180 graus possibilita a criação de uma única fratura e desta forma o fluido pipelining não entra na fratura por locais diversos; g) Coluna com packer e com extremidade acima do topo do canhoneio; h) Terminada a operação de fraturamento não realizar fechamento forçado, para evitar movimentação de fluido com propante para dentro da faixa do gel linear.
Figura 4.4: Experimento de laboratório do efeito pipelining.
26
Figura 4.5: Esquema de bombeio para ocorrer o efeito pipelining. 4.3.2. Efeito Convectivo
O efeito convectivo é a decantação e a ascensão do propante nos fluidos carreadores. Esta movimentação possibilita a criação de zona sem propante, ou seja, zona com condutividade infinita. A Figura 4.6 mostra um desenho esquemático do efeito convectivo.
Densidades dos fluidos, dos propantes e das misturas.
Densidade do gel na coluna – dgc Densidade do propante na coluna – dpc Densidade do gel no anular – dga Densidade do propante no anular – dpa Densidade da mistura (gel + propante) na coluna - dgpc Densidade da mistura (gel + propante) no anular – dgpa O gel mais o propante do anular entra pela parte superior da fratura e o gel mais o propante da coluna entra pela parte inferior da fratura. • dpc > dgc (propante afunda no gel e vai para a base da fratura) • dpa < dga (propante flutua no gel e vai para o topo da fratura) • dgpc > dgpa (a mistura da coluna vai para base da fratura e a mistura do
anular vai para o topo da fratura). A sequência de bombeio para formar um túnel sem propante está descrito abaixo.
• Colchão pela coluna (gel reticulado de alta viscosidade) • Colchão pelo anular (gel reticulado de alta viscosidade)
27
• Carreador pela coluna (gel linear de densidade menor que a do propante e de baixa viscosidade + propante). Propante afunda.
• Carreador pelo anular (gel linear de densidade maior que a do propante e de baixa viscosidade + propante). Propante ascende.
• Densidade do carreador da coluna (gel +propante) maior que a densidade do carreador anular (gel + propante).
• Deslocamento coluna até 10 metros acima do topo da mesma. • Deslocamento anular até 10 metros acima do topo do mesmo.
Características dos fluidos, do propante e da completação:
a) A densidade do fluido carreador da coluna menor que a densidade do propante transportado por este fluido;
b) A densidade do fluido carreador do anular maior que a densidade do propante transportado por este fluido. Aqui apesar de ter propante sobre o packer não há risco ficar material sobre o mesmo, devido o propante ser mais leve que o fluido que o transporta, portanto o propante flutua se acumulando na superfície;
c) A densidade do sistema carreador da coluna mais propante maior que a densidade do sistema carreador do anular mais propante;
d) A viscosidade deve ser igual para fluido carreador da coluna e para o fluido carreador do anular;
Os itens acima provocam o efeito convectivo e impossibilitam a mistura dos dois fluidos. e) Os bombeios devem ser sincronizados para que os fluidos: colchão na coluna
e colchão no anular e carreador na coluna e carreador no anular cheguem aos canhoneados ao mesmo tempo. Isto também vale para o deslocamento;
f) Os propantes devem ser semi-curados para promover o controle de flowback. Isto força que o propante permaneça onde foi colocado e também que não seja produzido durante a produção do poço.
g) O canhoneio de 4 metros de altura em fase de 180 graus na direção perpendicular à tensão horizontal mínima. Como descrito anteriormente a restrição do canhoneio e fase de 180 graus possibilita criar uma só fratura;
h) Assentar Packer no meio do canhoneado e sem cauda; i) Deixar o poço fechado para que ocorra a decantação e a ascensão dos
propantes;
28
Figura 4.6: Esquema de bombeio para ocorrer o efeito convectivo.
4.3.3. Bombeio simultâneo de dois fluidos com desvio de fluxo por equipamento
mecânico.
Neste procedimento a formação do túnel é realizada devido à separação física do gel com propante que é bombeado (q1 + q2 – Figura 4.7.a) pela coluna no mesmo tempo em que gel sem propante é bombeado (q3 – Figura 4.7.a) pelo anular. Três câmaras são formadas no anular formado pelo tubo concêntrico externo e o revestimento: a primeira câmara é formada pelo packer e pelo copo de borracha superior, a segunda câmara é formada pelos dois copos de borracha e a terceira câmara é formada pelo copo de borracha inferior e o fundo do poço.
O gel com propante bombeado pela coluna passa pelos tubos que comunicam o
interior da coluna com o anular formado pelo tubo concêntrico externo e o revestimento, da primeira câmara o fluxo (q1 – ver Figura 4.7.a) entra na fratura pela parte superior e da terceira câmara o fluxo (q2 – ver Figura 4.7.b) entra na fratura pela parte inferior.
O gel sem propante bombeado pelo anular coluna-revestimento entra no anular
formado pela coluna e o tubo concêntrico externo e através de um furo no tubo concêntrico externo passa para o anular formado pelo tubo concêntrico externo e o revestimento. Estando na segunda câmara o fluxo (q3 – ver Figura 4.7.a) entra na fratura justamente entre os dois fluxos (q1 e q2 – ver Figura 4.7.a) de gel com propante. Portanto, na parte superior e inferior da fratura está o gel com propante e no meio da fratura está o gel sem propante que irá formar o túnel.
As Figuras 4.7 (a) e (b) mostram o esquema do equipamento mecânico e a Figura
4.8 mostra o esquema de bombeio para possibilitar a formação do túnel.
A sequência de bombeio para formar um túnel sem propante está descrito abaixo.
• Colchão pela coluna (gel reticulado de alta viscosidade) • Colchão pelo anular (gel reticulado de alta viscosidade)
29
• Carreador pela coluna (gel reticulado de alta viscosidade + propante). • Carreador pelo anular (gel reticulado de alta viscosidade sem propante). • Deslocamento coluna (gel linear) • Deslocamento anular (gel linear)
Características dos fluidos, do propante e da completação:
a) Os fluidos injetados pela coluna e pelo anular devem ter as mesmas viscosidades e as mesmas densidades e se possível a mesma densidade do propante. Os efeitos gravitacionais são eliminados devido às densidades serem iguais e também pela alta viscosidade dos fluidos;
b) O propante deve ser semi-curado para o controle de flowback. Isto força que o propante permaneça onde foi colocado e também que não seja produzido durante a produção do poço;
c) O canhoneio de 7 m em fase de 180 graus na direção perpendicular à tensão horizontal mínima;
d) Assentar packer acima do canhoneado. No tubo concêntrico externo existem copos de borrachas para separar os fluidos vindos do anular e da coluna;
e) No caso de embuchamento, como não existe propante no anular e o propante da coluna ocupar espaço muito pequeno entre os copos de borracha e o revestimento a coluna pode ser retirada do poço, destruindo a borracha e o propante decanta no fundo do poço.
Figura 4.7.a: Esquema do equipamento mecânico para formação da fratura com condutividade infinita.
Figura 4.7.b: Esquema do equipamento mecânico para formação da fratura com condutividade infinita.
30
Figura 4.8: Esquema de bombeio para formação da fratura com condutividade
infinita, usando o equipamento mecânico da Figura 4.7 (a) e (b). .
4.4. Metodologia usada para solução matemática do problema.
Aqui vamos mostrar a sequência da solução do problema, com intuito de demonstrar o potencial de ganho de produção ocasionado pelo uso da técnica de fraturamento de formação com fratura com túnel de condutividade infinita em relação ao fraturamento convencional (fratura sustentada com propante) principalmente em formação de alta permeabilidade.
Para fazer esta demonstração é feito o uso de diversas equações matemáticas, com as quais será possível a construção de gráficos mostrando as curvas de produção do poço produzindo: sem ser fraturado, com fratura convencional e com fratura com túnel de condutividade infinita.
A Equação (5) de Rice (1968) é usada para determinação da altura de fratura, mediante conhecimento do KI – modo I de carregamento de abertura (opening mode). Para encontrar a altura da fratura, damos valor para a altura até que a solução da equação 5 apresente valor de KI igual ao valor de KI conhecido. A equação de England & Green (1963) será usada para determinação das geometrias das fraturas convencional e com túnel de condutividade infinita, depois usando o teorema do valor médio e a regra do trapézio determina-se a espessura média da parte porosa da fratura convencional e da fratura com túnel de condutividade infinita. Com o valor da espessura média da fratura convencional, levando-se em consideração ou não o dano ocasionado pelo polímero do gel ao leito do propante, entramos no simulador de produção após fraturamento do Meyer e construímos a curva de produção para o poço com fratura convencional.
As figuras 4.9 (a) e (b) mostram a fratura com condutividade infinita e a fratura
convencional.
31
(a) (b)
Figura 4.9: (a) Fratura Condutividade Infinita e (b) Fratura Convencional Usando a equação de Stokes-Navier de escoamento de fluido incompressível
entre placas paralelas, sendo a distância entre as placas o valor da espessura média da fratura com túnel de condutividade infinita, calculamos então a perda de carga por unidade de comprimento para uma determinada vazão, para esta mesma vazão, usaremos a equação de Darcy e a equação de Forchheimer (Barree, et al., 2003) para calcular uma espessura média de uma fratura convencional, para que esta fratura tenha a mesma perda de carga por unidade de comprimento que tem a fratura com túnel de condutividade infinita, neste cálculo poderá ser levado em consideração o dano no leito da fratura. Esta espessura média de fratura sustentada será chamada de espessura média equivalente.
Com o valor da espessura média equivalente, entramos no Simulador de Produção após fraturamento da Meyer and Associates, Inc. para construir a curva de produção. A comparação entre esta curva e a curva de produção da fratura convencional mostrará o potencial do ganho de produção com aplicação desta técnica.
4.4.1. A equação de Rice para determinação do fator de intensidade de tensão (KI – opening mode).
Para determinação do fator de intensidade de tensão (KI – opening mode) é resolvida a Equação (5) de Rice para três zonas com tensões de confinamento diferentes, fazendo
1 1p p T= − , 2 2p p T= − e 3 3p p T= − , onde p é pressão no interior da fratura e T1, T2 e
T3 são as tensões de confinamento nas diversas zonas. Para a solução da equação com duas zonas de tensões diferentes, é necessário fazer
1 2T T= ou 2 3T T= e para uma só zona é preciso fazer 1 2 3T T T= = . As Figuras 4.10 (a),
(b), (c) e (d) mostram as geometrias da espessura das fraturas em função dos campos de tensão.
32
(a) (b) (c) (d)
Figura 4.10: Geometria da espessura de fratura em função do campo de tensão para (a) T1≠T2≠T3, (b) T1=T2≠T3, (c) T1≠T2=T3 e (d) T1=T2=T3.
3 2
1 1( ) ( ) ( )
c b a
I
c c b
c y c y c yK p y dy p T dy p T dy
c y c y c yc cπ π
− −
− − −
+ + += = − + − +
− − −∫ ∫ ∫
1 2 3( ) ( ) ( )a b c
a a b
c y c y c yp T dy p T dy p T dy
c y c y c y−
+ + +− + − + −
− − − ∫ ∫ ∫ (7)
Onde: KI – fator intensidade de tensão; a e b são posições das mudanças de tensões em relação a altura de fratura; c – é a metade da altura de fratura; p – pressão dentro da fratura; T1, T2 e T3 – tensão nas diversas zonas.
Fazendo 1 1p p T= − , 2 2p p T= − e 3 3p p T= − , temos
A equação 8 é a solução da Equação 5 de Rice para três campos distintos de pressão.
A solução detalhada está no anexo 1.
( ) ( )1 13 2 3 1 22
2I
c b aK p p p sen p p sen
c c
π
π− −
= + − + −
(8)
As Equações (9) e (10) são soluções da Equação 5 (equação de Rice) para dois
campos distintos de pressão, para 1 2T T= e 2 3T T= respectivamente. A solução detalhada
está no anexo 1.
( ) 13 2 32
2I
c bK p p p sen
c
π
π−
= + −
(9)
( ) 13 1 22
2I
c aK p p p sen
c
π
π−
= + −
(10)
33
A Equação (11) é solução da Equação 5 de Rice (1968) para um só campo, fazendo
1 2 3T T T T= = = . A solução detalhada está no anexo 1.
( )I
K p T cπ= − (11)
4.4.2. A equação de England&Green para determinação da espessura de fratura.
A geometria da espessura de fratura é determinada através da solução da Equação (6)
de England&Green (1963), a solução desta equação é feita separadamente para os três intervalos [0 ; a], [a ; b] e [b ; c]. A Figura 4.10 mostra exemplos de geometrias de espessura de fratura.
No anexo 2 está a solução detalhada da Equação 6 para os três intervalos.
( ) ( ) ( )2
2 2
16 1( )
c
y
F t y G tw y dt
E t y
ν− + ⋅=
−∫ (6)
( )w y - espessura da fratura em função da altura da fratura; v - coeficiente de Poisson; E – módulo de Young; c - metade da altura da fratura; y - posição qualquer na altura de fratura;
( )F t e ( )G t - função determinadas a partir da distribuição de pressão na fratura; t - variável muda. No desenvolvimento da solução da equação de England&Green as integrais abaixo (Equações 11 e 12) não apresentam solução analítica para alguns intervalos de integração, para ultrapassar estas situações é feita uma aproximação da função arco seno por um polinômio e desta forma podemos fazer a integração de forma analítica. Estas aproximações estão descritas no Anexo 3.
( )1
2 2
b
y
tsen a tdt
t y
−
−∫ (11)
( )1
2 2
c
b
tsen b tdt
t y
−
−∫ (12)
Onde, a e b – posição de mudança de tensão em relação a altura de fratura.
34
4.4.2.1. Solução para o intervalo de altura de fratura entre [0 ; a]
As equações 13 e a 14 são respectivamente as soluções exata e a aproximada da equação de England&Green (Equação 6), para três zonas com tensões confinantes diferentes no intervalo da fratura de [0; a]. A equação 13 é a solução exata da Equação 6, esta equação determina a espessura da fratura no intervalo 0 y a≤ < e todas as integrais tem solução exata. Esta equação é aplicada em 0y = , mas não é solução para y a= , as razões são explicadas no Anexo 2.
( )2
2 218 1
( )2
pw y a y
E
ν π
π
− = − +
( ) ( )2 2 2 2 2 2 121 22
p ab y a y p p b y sen
b
π − + − − − + − − +
2 2 2 2 2 2
1 2 2
2 2 2 2ln tanh
2
b a b y y b aa y a y
a y a b y
π− − + − − + − − − +
− −
( )2 2 2 23
2
pc y b y
π+ − − − +
( )2 2 2 2
2 2 11 2 2 2 2 2
lnc a c ya
p p c y sen ac b a b y
− − + − + − − + − − + −
2 2 2 21 2 2 1 1
2 2 2 2tanh tanh
y c a a y b ay b y sen y
ba c y a b y
− − −
− − − − − − + − −
( )2 2 2 2
2 2 12 3 2 2
lnc b c yb
p p c y sen bc b y
− − + − + − − + − −
2 21 2 2
2 2tanh
2
y c by b y
b c y
π− − − − − −
(13)
A Equação 14 é a solução aproximada da Equação 6, esta equação determina a espessura da fratura no intervalo 0 y a< ≤ nem todas as integrais tem solução exata.
35
Porém, esta equação tem solução para y a= , mas não é aplicada para 0y = , as razões são explicadas no Anexo 2.
( ) ( )2
2 2 2 2 2 21 28 1
( )2 2
p pw y a y b y a y
E
ν π π
π
− = − + − − − +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26,2299
3 3
b y b y a y a yp p a
b y a y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
b y a yy ya
b y y b a y y a
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
b y a y y ya a
by ay y b a
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
b b ya b y a y
a a y
+ − + − − − − + + −
( )2 2 2 23
2
pc y b y
π+ − − − +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26,2299
3 3
c y c y b y b yp p a
c y b y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y ya a
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c ya c y b y
b b y
+ − + − − − − + + −
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
52 3 3 4 3 4
2 2( ) 6, 2299
3 3
c y c y b y b yp p b
c y b y
− + − + + − − −
36
2 2 2 24 1 1
2 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy yb
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y yb b
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c yb c y b y
b b y
+ − + − − − − + −
(14)
Portanto, com as duas Equações 13 e 14, podemos construir a geometria da espessura de fratura no intervalo fechado 0 y a≤ ≤ . 4.4.2.2. Solução para o intervalo de altura de fratura entre [a ; b]
A Equação 15 é a solução aproximada da equação de England&Green (Equação 6), para três zonas com tensões confinantes diferentes no intervalo da fratura de [a; b]. Porém, para chegar nesta solução, a integral (Equação 12) é resolvida de forma exata. A solução exata da Equação 12, não tem aplicação para y = b, pois o denominador do logaritmo torna-se zero e também o argumento do arco tangente hiperbólico fica igual a 1, e não existe arco tangente hiperbólico de 1. Detalhes da solução no Anexo 2.
( )2
2 228 1
( )2
pw y b y
E
ν π
π
− = − +
( )( )2 2 2 2
51 2 3 4
26,2299
3
b y b yp p a
b y
− + + − −
2 2 2 2
4 1 32 2 3 2
112,999 cos 9,9655
2 2
b y b yya a
b y y b by
− − −
− + + −
2 2
2 1 2 213,1018 cos 1,3697 ln 0,0101
b b yya a b y
y b y
− + −
− + − −
( )2 2 2 23
2
pc y b y
π+ − − − +
37
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b yp p a
c y b y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y ya a
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c ya c y b y
b b y
+ − + − − − − + + −
( )2 2 2 2 2 2
2 2 1 12 3 2 2 2 2
ln tanhc b c yb y c b
p p c y sen b yc b y b c y
− − − − − − + − − + − − − −
2 2
2b y
π − −
(15)
A Equação 16 é a solução aproximada da equação de England&Green (Equação 6), para três zonas com tensões confinantes diferentes no intervalo da fratura de [a; b]. Nesta solução da integral (Equação 12) é resolvida de forma aproximada, para que a solução da equação de England&Green tenha aplicação em y=b.
( )2
2 228 1
( )2
pw y b y
E
ν π
π
− = − +
( )( )2 2 2 2
51 2 3 4
26,2299
3
b y b yp p a
b y
− + + − −
2 2 2 2
4 1 32 2 3 2
112,999 cos 9,9655
2 2
b y b yya a
b y y b by
− − −
− + + −
2 2
2 1 2 213,1018 cos 1,3697 ln 0,0101
b b yya a b y
y b y
− + −
− + − − +
( )2 2 2 23
2
pc y b y
π+ − − − +
38
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b yp p a
c y b y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y ya a
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c ya c y b y
b b y
+ − + − − − − + + −
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
52 3 3 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b yp p b
c y b y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy yb
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y yb b
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c yb c y b y
b b y
+ − + − − − − + −
(16)
Portanto, a Equação 15 pode ser aplicada no intervalo a y b≤ < e a Equação 16 pode ser aplicada no intervalo a y b≤ ≤ . 4.4.2.3. Solução para o intervalo de altura de fratura entre [b ; c]
A Equação 17 é a solução aproximada da equação de England&Green (Equação 6), para três zonas com tensões confinantes diferentes no intervalo da fratura de [b; c]. Nesta solução as integrais das Equações 11 e 12 são resolvidas por aproximação de polinômio. O anexo 3 mostra estas aproximações.
( )2
2 238 1
( )2
pw y c y
E
ν π
π
− = − +
39
( )( )2 2 2 2
51 2 3 4
26, 2299
3
c y c yp p a
c y
− + + − −
2 2 2 2
4 1 32 2 3 2
112,999 cos 9,9655
2 2
c y c yya a
c y y c cy
− − −
− + + −
2 2
2 1 2 213,1018 cos 1,3697 ln 0,0101
c c yya a c y
y c y
− + −
− + − − +
( )( )2 2 2 2
52 3 3 4
26, 2299
3
c y c yp p b
c y
− + + − −
2 2
4 12 2 3
112,999 cos
2 2
c y yb
c y y c
− −
− + +
2 2
3 2 12
19,9655 3,1018 cos
c y yb b
cy y c
− − + − +
2 2
2 21,3697 ln 0,0101c c y
b c yy
+ − + − −
(17)
Portanto, a equação 17 pode ser aplicada no intervalo b y c≤ ≤ . 4.4.3. A função polinômio usada como aproximação da função arco seno para possibilitar uma solução analítica de uma integral sem solução analítica em determinado intervalo de integração. Os arcos seno das Equações 11 e 12 são aproximados pelo polinômio do quinto grau descrito na Figura 4.11.
40
Figura 4.11 Aproximação por polinômio da função arco seno. 4.4.4. A integração pela regra do trapézio para determinação da espessura média da fratura na parte não sustentada da fratura. Para o cálculo da espessura média da fratura com condutividade infinita no intervalo [-a; a] será a usada a regra do trapézio. Então usando a Equação 13, e calculando w(y) para y variando y = -a até y = a em intervalos dy, teremos os vários pares [y; w(y)] e aplicando a regra do trapézio teremos a área abaixo da curva que dividindo-a por 2a, teremos a espessura média. Abaixo a Equação 13.
( )2
2 218 1
( )2
pw y a y
E
ν π
π
− = − +
( ) ( )2 2 2 2 2 2 121 22
p ab y a y p p b y sen
b
π − + − − − + − − +
2 2 2 2 2 2
1 2 2
2 2 2 2ln tanh
2
b a b y y b aa y a y
a y a b y
π− − + − − + − − − +
− −
( )2 2 2 23
2
pc y b y
π+ − − − +
( )2 2 2 2
2 2 11 2 2 2 2 2
lnc a c ya
p p c y sen ac b a b y
− − + − + − − + − − + −
41
2 2 2 21 2 2 1 1
2 2 2 2tanh tanh
y c a a y b ay b y sen y
ba c y a b y
− − −
− − − − − − + − −
( )2 2 2 2
2 2 12 3 2 2
lnc b c yb
p p c y sen bc b y
− − + − + − − + − −
2 21 2 2
2 2tanh
2
y c by b y
b c y
π− − − − − −
(13)
A regra do trapézio
[ ] [ ] [ ]0
0 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )2 2 2
ny
pp n n
y
h h hárea w y dy w y w y w y w y w y w y−≅ ≅ + + + + + +∫ (18)
Onde,
ppárea - é a área do túnel aberto;
h – altura da fratura; w(y) – espessura da fratura na posição y referente à altura.
Como os únicos termos que não se repetem são 0( )w y e ( )
nw y temos que
[ ]{ }0
0 1 2 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) ... ( ) ( )2
ny
pp n n
y
hárea w y dy w y w y w y w y w y−≅ ≅ + + + + +∫ ( 19)
A geometria da fratura será aproximada para placas paralelas, tendo a altura de
2h a= e a espessura média de pp
w é calculada usando o resultado da Equação 6,
aplicada no intervalo [-a; a], conforme abaixo. As figuras 4.12 (a) e (b) mostram a espessura média da fratura convencional e a espessura média da fratura com condutividade infinita.
42
(a)
(b)
Figura 4.12: (a) Espessura média fratura convencional e (b) Espessura média fratura com condutividade infinita
2
pp pp ppárea aw hw= = (20)
ppw - espessura média do túnel aberto, ver Figura 4.12 (b)
Então
2pp pp
pp
área áreaw
a h= = (21)
4.4.5. O teorema do valor médio para determinação da espessura média da fratura convencional no mesmo intervalo referente à parte não sustentada da fratura com condutividade infinita. Aplicação do teorema do valor médio, para calcular a espessura média da fratura convencional (propada) no intervalo poroso de [–a; a]. A Figura 4.13 mostra o perfil da espessura de fratura num único campo de tensão.
43
Figura 4.13: Perfil da espessura média de fratura num único campo de tensão.
Abaixo a equação que descreve a espessura de fratura num campo único de tensão.
( )( )2
2 24 1 netp
w y c yE
υ−= − (22)
netp - pressão líquida dentro da fratura.
Fazendo,
( )24 1 netpF
E
υ−= (23)
Então
2 2
( )
a
AS
a
Fw c y dy
a a−
= −− − ∫ (24)
2 2 2 2 2 1
2 2
a
AS
a
F F aw c y dy a c a c sen
a a c
−
−
= − = − +
∫ (25)
( )2
2 2 2 14 1 1
2net
AS
p aw a c a c sen
E a c
υ−
− = − +
(26)
ASw - espessura média da fratura entre [-a: a], ver Figura 4.13.
A equação acima determina a espessura média da fratura no intervalo poroso de [–a; a].
44
4.4.6. A equação de Stokes-Navier para determinação da perda de carga entre placas paralelas da fratura com condutividade infinita.
Para calcular a perda de carga por unidade de comprimento em placa paralela devido ao fluxo de fluido newtoniano usaremos a expressão Stokes-Navier.
3
12pp pp
pp
P Q
L hw
µ∆= (27)
ppP
L
∆ - perda de carga por unidade de comprimento em placa paralela;
µ - viscosidade do fluido;
ppQ - vazão dentro do túnel aberto;
h - altura do túnel aberto;
ppw - espessura média do túnel.
4.4.7. A equação de Darcy e Forchheimer para determinação da perda de carga na fratura convencional e na fratura propada equivalente a uma fratura com condutividade infinita.
Para calcular a perda de carga por unidade de comprimento em meio poroso
usaremos a equação de Darcy e Forchheimer para fluxo linear em meio poroso de fluido newtoniano.
2
AS AS AS
AS AS AS
P Q Q
L A K A
µβρ
∆= +
(28)
ASP
L
∆- perda de carga na fratura propada;
ASQ - vazão de fluido que passa pela área propada;
ASA - área com propante exposta ao fluxo;
ASK - permeabilidade do propante;
µ - viscosidade do fluido; β - fator beta de Forchheimer;
45
ρ - densidade do fluido. O primeiro termo do lado direito da Equação (28) é referente a força viscosa e o
segundo é referente a força inercial. Sendo,
AS ASA hw= (29)
Então,
2
2 2AS AS AS
AS AS AS
P Q Q
L hw K h w
µβρ
∆= + (30)
4.4.8. Cálculo da espessura de uma fratura propada equivalente a uma fratura sem propante considerando o efeito de inércia.
Cálculo da espessura equivalente de fratura propada
eqasppdfw para que esta
fratura tenha a vazão QAS igual a vazão Qpp e perda de carga AS
P L∆ igual a perda de
cargapp
P L∆ de um túnel com condutividade infinita.
Então sendo
ASP L∆ =
ppP L∆ e
AS ppQ Q= , temos:
2
3 2 2
12AS AS AS
pp eqasppdf AS eqasppdf
Q Q Q
hw hw K h w
µ µβρ= + (31)
Multiplicando a expressão acima por AS
h
Qµ
, temos:
2 3
1 1 1 120AS
eqasppdf AS eqasppdf pp
Q
h w K w w
βρ
µ+ − = (32)
Fazendo,
3 3
12 1
pp
aw m
=
(33)
12 2 2
1 1 1
1 10 ( / ) ( )AS AS
bK m Darcy K Darcy m
−
= =
⋅ (34)
46
( )
3
3
1
1( )
AS
AS
kg mQ
m m sQc
kgh mh m
m s
β ρβρ
µµ
= =
⋅
(35)
Onde a, b e c são variáveis que simplificam a solução do problema. e sabendo que 1cP = 0,001 kg/(m.s). O beta ( β ) pode ser encontrado por testes de laboratório, ou então por
correlação, e correlação usada neste trabalho é a de Ergun (1949):
bb cc
AS
aa
Kβ
φ= (36)
Kas - permeabilidade do propante em mD; φ - porosidade em fração do propante.
( )( )64,5483 10 1 b caa m mD φ= ⋅ ⋅ (37)
ou
( ) ( )20,0448884 b caa atm s g mD φ= ⋅ ⋅ (38)
0,5bb = (39)
1,5cc = (40)
Transformação de beta: 2
1 91 9,8692 10s
m atmg
β − − = = ⋅
2 3
1 1 1 120AS
eqasppdf AS eqasppdf pp
Q
h w K w w
βρ
µ+ − = (41)
Substituindo a, b e c na equação acima, temos
20
eqasppdf eqasppdf
c ba
w w+ − = (42)
Multiplicando a expressão acima por 2
eqASw− temos,
2 0eqasppdf eqasppdfaw bw c− − = (43)
47
A expressão acima é uma equação do segundo grau, e a solução é:
2( ) 4 ( )
2eqasppdf
b b a cw
a
− − + − −= (44)
2 4
2eqasppdf
b b acw
a
+ += (45)
eqasppdfw - espessura de fratura propada equivalente a uma fratura não propada.
Então a expressão acima é a espessura média de uma fratura propada de altura h
que tem a mesma perda de carga por unidade de comprimento de uma fratura com túnel de condutividade infinita com espessura média de
ppw e altura h .
4.4.9. Cálculo da espessura de uma fratura propada equivalente a uma fratura sem propante desconsiderando o efeito de inércia.
Para o caso de baixa vazão de produção a força de inércia pode ser desprezada,
então quando igualamos AS
P L∆ =pp
P L∆ e AS pp
Q Q= , temos:
3
12AS AS
pp eqasppd AS
Q Q
hw hw K
µ µ= (46)
Multiplicando os dois lados da equação acima por AS
h
Qµ, teremos
3
12 1
pp eqasppd ASw w K
= (47)
Isolando o termo da espessura equivalente, temos.
3
12pp
eqasppd
AS
ww
K= (48)
Analisando a expressão acima sabendo que a unidade de espessura é L, e que a
unidade de AS
K é L2, aplicando a transformação (1 Darcy = 10-12m2) à expressão acima
fica:
( )( )
3 3
12 2( )
12 10 ( )
pp
eqasppd
AS
w mw m
m Darcy K Darcy−
= ⋅
(49)
ou
48
( )( )
3 3
6 2( )
12 10 ( )
pp
eqasppd
AS
w mmw mm
mm Darcy K Darcy−
= ⋅
(50)
Na expressão acima podemos notar que a espessura da fratura propada será
necessariamente grande, pois o denominador da expressão é um número muito pequeno, mesmo que tenhamos um alto valor de KAS, e conforme a Figura 4.14 a maior permeabilidade existente de agente de sustentação é menor que 3000 Darcies para bauxita 12/20 mesh quando submetido a uma tensão de confinamento nula, o que não existe na realidade.
Figura 4.14: Permeabilidade versus Tensão de Confinamento para a bauxita.
4.4.10. A equação da condutividade da fratura propada convencional. A condutividade de uma fratura é produto da espessura média da fratura vezes a permeabilidade do propante.
fpc as ASC w K= (51)
asw - espessura média da fratura com propante.
4.4.11. A equação da condutividade de uma fratura propada equivalente a fratura com condutividade infinita. A condutividade de uma fratura é produto da espessura média da fratura vezes a permeabilidade do propante.
fpeqpp eqaspp ASC w K= (52)
eqasppw - espessura de uma fratura propada equivalente a uma fratura não propada.
49
4.4.12. A equação da condutividade adimensional da fratura propada convencional.
A condutividade adimensional da fratura propada convencional é produto da espessura média da fratura vezes a permeabilidade do propante dividido pelo produto da metade do comprimento da fratura vezes a permeabilidade da formação.
as AS
f
w KFcdas
X K= (53)
Fcdas - condutividade adimensional da fratura propada convencional;
fX - metade do comprimento da fratura;
K - permeabilidade da formação.
4.4.13. A equação da condutividade adimensional da fratura propada equivalente a uma fratura com condutividade infinita.
A condutividade adimensional da fratura propada equivalente a uma fratura com condutividade infinita é produto da espessura média da fratura vezes a permeabilidade do propante dividido pelo produto da metade do comprimento da fratura vezes a permeabilidade da formação.
eqaspp AS
f
w KFcdaseqpp
X K= (54)
4.4.14. A equação do raio equivalente de poço fraturado. Na equação do raio equivalente de poço fraturado ( ,
Rw ), para a fratura convencional (propada) será usado o Fcdas da equação 53 e para a fratura com condutividade infinita será usado o Fcdaseqpp equação 54.
( )
, 1
2 f
cd
Rw XFπ
= +
(55)
4.4.15. A equação do aumento esperado de produção após fraturamento (FOI - Folds of Increase). Na equação do Folds Increases de poço fraturado (FOI), para a fratura convencional (propada) será usado o Fcdas da equação 53 para calcular o ,
Rw e para a fratura com condutividade infinita será usado o Fcdaseqpp equação 54 para o ,
Rw .
2cd
alfaF
π= (56)
50
( )0.3
2ln 1
100 f
Rwbeta alfa
X
= +
(57)
( )
( ),
ln Re
ln Re
RwFOI
Rw beta
= +
(58)
Onde ,, ,w ew
R R R é respectivamente raio do poço, raio equivalente do
poço e raio de drenagem do poço. 4.4.16. Simulação de produção após fraturamento para a fratura convencional e para a fratura propada equivalente a fratura com condutividade infinita – simulador da MEYER AND ASSOCIATES, INC. A simulação de produção gera curvas de vazão e volume acumulado após fraturamento para a fratura convencional e para uma fratura propada equivalente a uma fratura com condutividade infinita (sem propante) e também para poço não fraturado. Também nos permite construir curvas de Índice de Produtividade (IP) versus tempo equivalente ( eqt ) e Valor Presente Líquido (VPL) versus área do reservatório.
O eqt faz com que o IP calculado com a pressão de fluxo constante ( wfP ),
torne-se igual ao IP calculado com a vazão constante (Palacio, 1993). O Índice de Produtividade (IP) é a razão entre a vazão do poço e o diferencial de pressão, ou seja, pressão média do reservatório menos a pressão de fluxo.
( )
( )
q tIP
P t=
∆ (59)
( )q t - vazão do poço no tempo t. ( ) ( )e wfP t P t P∆ = − (60)
( )eP t e wfP - pressão estática média do reservatório no tempo t e pressão de
fluxo respectivamente.
( )
( )ac
eq
Q tt
q t= (61)
eqt - tempo equivalente;
( )acQ t - volume acumulado de produção no tempo t;
( )q t - vazão do poço no tempo t;
51
t - tempo real. O Valor Presente Líquido é o valor no presente de um determinado capital no futuro.
( ) (1) (2) ( 1) ( )
1 2 11 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
nfut t fut fut fut n fut n
it n nt
C C C C CVPL C
i i i i i
−
−=
= = + + ⋅⋅⋅+ + −
+ + + + + ∑ (62)
( )fut tC - capital no futuro no período t;
iC - Capital inicial investido;
i - taxa de juro no período; t – período; n - número de períodos. O capital no futuro ( )fut tC é projetado da seguinte forma: o valor do barril (VB)
de petróleo diminuído do custo de produção (CP) por barril é multiplicado pela quantidade de barris (QB(t)) produzidos a mais devido ao fraturamento naquele período. Sendo QB(t) é igual a quantidade de barris produzido depois do fraturamento menos a quantidade de barris produzidos antes do fraturamento. ( ) ( )( )fut t tC VB CP QB= − ⋅ (63)
4.4.17. Comparação de redução de condutividade entre uma fratura convencional com propante e uma fratura sem propante com condutividade infinita. São vários os fatores que afetam a condutividade de uma fratura:
a) Tensão de confinamento quanto maior, menor será a condutividade da fratura. b) Tamanho do propante, concentração do propante, tipo do propante, forma do
propante (arredondamento e esfericidade), pressão de reservatório, pressão de fluxo, quanto menor o valor numérico ou menor a qualidade, menor será a condutividade da fratura.
c) Embedment, movimentação de finos, salinidade e temperatura quanto maior menor será a condutividade da fratura.
d) Vazão quanto maior, menor será a condutividade da fratura, principalmente se for gás.
4.4.17.1. Fatores que diminuem a condutividade da fratura com propante. Os fatores que reduzem a condutividade da fratura com propante são:
52
a) Quando aumenta o valor numérico: tensão de confinamento, embedment,
temperatura, salinidade, vazão principalmente de gás (inércia), movimento de fino, e quantidade do resíduo (polímero) de fraturamento;
b) Quando diminui o valor numérico ou a qualidade: pressão do reservatório e pressão de fluxo, tamanho do propante, concentração do propante (exceto para parcial monolayer), forma do propante (esfericidade e arredondamento), tipo do propante e a qualidade do resíduo (polímero) de fraturamento..
Na fratura com propante três tipos de efeitos ocorrem: diminuição da espessura de fratura, redução da permeabilidade do propante e dano na face da fratura.
4.4.17.2. Fatores que diminuem a condutividade da fratura sem propante. Os fatores que reduzem a condutividade da fratura sem propante são:
a) Quando aumenta o valor numérico: tensão de confinamento e quantidade do resíduo (polímero) de fraturamento.
b) Quando diminui o valor numérico ou a qualidade: pressão do reservatório e pressão de fluxo e a qualidade do resíduo (polímero) de fraturamento.
Na fratura sem propante dois tipos de efeitos ocorrem: diminuição de espessura de fratura e dano na face da fratura. A redução da espessura na fratura com propante é muito mais prejudicial à condutividade desta fratura, que a redução de espessura na fratura sem propante e em relação ao dano na face da fratura, este é sempre muito pequeno (Economides, 2000) em ambos os casos, se boa técnica for aplicada, ou seja, uso de polímero limpo e quebrador de gel adequado. Portanto, como na fratura sem propante: o embedment, o movimento de finos e teor de resíduo de polímero fechando poros do propante não existem, a redução da espessura devido a tensão de fechamento é menos prejudicial à sua condutividade do que na fratura propada e o dano na face da fratura tem pequena importância para os dois tipos de fratura, podemos afirmar então que a fratura convencional é mais propícia a perder condutividade do que a fratura sem propante, tanto na operação de fraturamento como durante a vida produtiva do poço.
53
______________________________________________________
Capítulo 5 Resultados e discussões ____________________________________________________
54
Resultados e discussões
5.1. Comportamento da perda de carga para fratura com condutividade infinita (sem propante) e para fratura convencional (propada). A figura 5.1 mostra o comportamento da perda de carga em função da vazão para uma fratura propada calculada pela Equação 28 (meio poroso) e para uma fratura com condutividade infinita calculada pela Equação 27 (placas paralelas). Uma fratura convencional (propada) com espessura média 2,4790 mm, se retirado o propante de uma altura de 6 metros no centro desta fratura, gera uma fratura de condutividade infinita de espessura média de 1,022 mm, devido a um diferencial de pressão (pressão de fluxo - tensão de confinamento) ∆P1=-590 psi. Os seguintes parâmetros foram usados:
ppw 1,022 mm Kas 900 D Xf 100 m µ 1 cP υ 0,2
asw 2,4790 mm K 300 mD Rd 200 m E 5E6 psi ρ 0,8
T1 3500 psi Pwf 2910 psi Rw 4,5 in
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 100 200 300 400 500 600
Vazão (m3/dia)
Per
da
de
carg
a (p
si)
DPpp DPastotal DPasdarcy DPasforch
Figura 5.1: Curva de perda de carga versus vazão.
Conforme podemos observar a perda de carga para a fratura propada (DPasdarcy
e DPasforch) é muito superior a perda de carga para a fratura sem propante (DPpp) e a diferença aumenta com o aumento da vazão, isto se deve ao efeito de inércia que se acentua com o aumento da vazão.
Onde:
55
Efeito viscoso é o primeiro termo do lado direito da Equação 28. Efeito de inércia é o segundo termo do lado direito da Equação 28. DPasdarcy – perda de carga na fratura propada levando em consideração o efeito
viscoso e não leva em consideração o efeito de inércia; DPasforch – perda de carga na fratura propada levando em consideração o efeito
de inércia e não leva em consideração o efeito de viscoso. DPastotal – é a perda de carga total na fratura propada levando em consideração
efeito viscoso mais o efeito de inércia. DPpp – é a perda de carga na fratura sem propante, considerando fluxo entre
placas paralelas. 5.2. Comportamento da espessura média de fratura com a variação do
campo de tensão. As próximas figuras 5.2 a 5.4 mostram várias geometrias de fraturas para diferentes campos de tensões com altura fixada, os dados para construção das geometrias estão logo abaixo das curvas.
56
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
w(mm)
h(m
)
c
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
w(mm)
h(m
) c
(a) (b)
Figura 5.2: (a) Perfil da espessura de fratura e (b) Perfil da espessura de fratura Dados da fratura curva vermelha Figura 5.2a: a= 4m, b=12 m e c=20m v=0,2, E=5E6psi, T1=2500psi, T2=2800psi e T3=3450psi, p=3200psi Wmédio[-a;a]=6,201mm.
Dados da fratura curva vermelha Figura 5.2b: a= b=4 m e c=20m v=0,2, E=5E6psi, T1=T2=2500psi e T3=2800psi, p=3085psi Wmédio[-a;a]=6,169mm.
Dados da fratura curva azul: Dados da fratura curva azul: a= b= c=20m v=0,2, E=5E6psi, T1=T2=T3=2300psi, p=2685psi Wmédio[-a;a]=4,645mm.
a= b= c=20m v=0,2, E=5E6psi, T1=T2=T3=2300psi, p=2685psi Wmédio[-a;a]= 4,645mm.
57
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
w (mm)
h(m
)
c
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
w(mm)
h(m
) c
(a) (b)
Figuras 5.3: (a) Perfil da espessura de fratura e (b) perfil da espessura de fratura Dados da fratura curva vermelha Figura 5.3a: a= b=12 m e c=20m v=0,2, E=5E6psi, T1=2500, T2=2800psi e T3=3450psi, p=3210psi Wmédio[-a;a]=7,384mm.
Dados da fratura curva vermelha Figura 5.3b: a=3, b=12 m e c=20m v=0,2, E=5E6psi, T1=3000psi,T2=2400psi e T3=2600psi, p=2840psi Wmédio[-a;a]=3,219mm.
Dados da fratura curva azul: Dados da fratura curva azul: a= b= c=20m v=0,2, E=5E6psi, T1=T2=T3=2300psi, p=2685psi Wmédio[-a;a]= 4,645mm.
a= b= c=20m v=0,2, E=5E6psi, T1=T2=T3=2300psi, p=2600psi Wmédio[-a;a]= 4,5907mm.
58
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
w(mm)
h(m
)
c
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
w(mm)
h(m
)
c
(a) (b)
Figura 5.4: (a) Perfil da espessura de fratura e (b) perfil da espessura de fratura Dados da fratura curva vermelha Figura 5.4a: As duas curvas são coincidentes. a= 3, b=12 e c=20m v=0,2, E=5E6psi, T1=T2=T3=2300psi, p=2685psi Wmédio[-a;a]=4,643mm.
Dados da fratura curva vermelha Figura 5.4b: As duas curvas são coincidentes. a= 2, b=13 e c=20m v=0,2, E=5E6psi, T1=T2=T3=2300psi, p=2685psi Wmédio[-a;a]=4,643mm.
Dados da fratura curva azul: Dados da fratura curva azul: a= b= c=20m v=0,2, E=5E6psi, T1=T2=T3=2300psi, p=2685psi Wmédio[-a;a]= 4,645mm.
a= b= c=20m v=0,2, E=5E6psi, T1=T2=T3=2300psi, p=2685psi Wmédio[-a;a]= 4,645mm.
59
As duas Figuras 5.4 (a) e (b) mostram que a solução para os três campos de tensão T1 = T2 = T3 com a ≠ b ≠ c é igual à solução para um único campo de tensão com os valores de a = b = c. 5.3. Comportamento da espessura média de fratura com a variação da pressão de fluxo.
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
w ( mm)
c
(b)
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
w ( mm)
c
(c)
y = 326.26x - 1527.5
R2 = 0.9991
-1400
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
0 1 2 3 4 5
Wmédio (mm)
DP
=T
c-P
wf
(psi
)
(a)
Figuras 5.5: (a) variação da espessura média da fratura com a variação do diferencial de pressão da formação para fratura, (b) e (c) mostram a espessura média da fratura não propada. Tabela 5.1: Diferencial de pressão e espessura média. DP=Tc-Pwf(psi) Wmédio(mm)
-100 4.429
-200 4.042
-300 3.729
-400 3.417
-500 3.177
-1000 1.650
-1200 0.988
Dados da fratura curva azul para as Figuras 5.5 (a) e (b). a= b=c= 20 m Wmédio[-a;a]= 4,645 mm E= 5E6 psi T1=T2=T3= 2300 psi v= 02, p= 2685 psi As curvas na cor vermelha nas Figuras 5.5 (b) e (c) representam a fratura sem propante no espaço definido pela reta preta, esta reta preta mostra a espessura média da fratura. E a curva azul é a fratura totalmente preenchida com propante. Os dados da Tabela 5.1 foram usados para construir a Figura 5.5(a).
60
A Figura 5.5(a) mostra que a espessura média da fratura sem propante diminui à medida que o diferencial de pressão aumenta em módulo, sendo que o diferencial de pressão é diferença entre a tensão de confinamento (Pc) e a pressão de fluxo (Pwf). 5.4. Comportamento da espessura média de fratura com a variação do módulo de Young. A figura 5.6a mostra a variação da espessura média de uma fratura sem propante com o Módulo de Young. Observa-se que à medida que o módulo de Young aumenta a espessura diminui, e à medida que o módulo de Young diminui a espessura média aumenta, isto ocorre devido à espessura da parte sustentada da fratura também aumentar. Porém, para uma determinada espessura fixa da parte sustentada de uma fratura, quanto menor for o módulo de Young, menor será a espessura média da fratura não propada, pois maior será a deformação da face da fratura, e quanto mais se deforma a face da fratura menor será a espessura média, conforme mostra a Figura 5.6.b.
Dados usados para construção da geometria de fratura representada sua espessura pela curva azul da Figura 5.6a: a= 4 m T1= 3500 psi p= 3400 psi b= 4,3 m T2= -700 psi v= 0,2 c= 20 m T3= 3000 psi E= 1E6 a 9E6 psi Tabela 5.2: Módulo de Young e espessura média
E Wmédio
(psi) (mm)
1.E+06 22.143
2.E+06 11.071
3.E+06 7.381
4.E+06 5.536
5.E+06 4.429
6.E+06 3.690
7.E+06 3.163
8.E+06 2.768
9.E+06 2.460
0.00E+00
1.00E+06
2.00E+06
3.00E+06
4.00E+06
5.00E+06
6.00E+06
7.00E+06
8.00E+06
9.00E+06
1.00E+07
0 5 10 15 20 25
Wmédio (mm)
Yo
un
g (
psi
)
Figura 5.6a: Comportamento da espessura média sem propante em função do valor do Módulo de Young.
A Figura 5.6.b mostra o perfil da espessura da fratura ao longo da altura sem propante em função do valor do Módulo de Young. Acima da altura de 2 m e abaixo da altura de -2 m (eixo das coordenadas) a fratura está sustentada e o túnel está entre -2 m e 2 m. A Figura 5.6.b mostra somente um quadrante da fratura. A metade da espessura da fratura na altura de -2 m e 2 m têm valor de 1,25 mm.
Dados usados para construção das curvas de espessura de fratura representada por várias curvas na Figura 5.6.b.
61
a= 2 m T1= 3500 psi p= 3000 psi b= 2,3 m T2= -600 psi v= 0,2 c= 20 m T3= 2655 psi E= 5E5 a 9E6 psi Observa-se na Figura 5.6.b que à medida que o módulo de Young diminui a deformação da face da fratura aumenta e quando o valor do módulo de Young é igual a 2.000.000 psi as faces da fraturas sem propante se tocam, pois esta curva assume valor menor que zero. A equação que descreve estas curvas é a Equação (6) de England&Green que é fundamentada na teoria da Elasticidade, ou seja, na lei Hooke: Eσ ε= ⋅ , onde σ - tensão; E - Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young; ε - deformação adimensional.
Na lei de Hooke toda energia aplicada ao corpo deformando-o fica armazenada e quando a tensão é retirada o corpo deformado volta a sua forma inicial.
A aplicação da Equação (6) é restrita a formações consolidadas. Pois, arenito friável, ou seja, não consolidado quando é submetido a uma tensão ele escoa e a sua deformação é permanente. De modo que, quando a tensão é retirada ele não volta a sua forma inicial, pois a energia aplicada não fica armazenada e sim ela é convertida em calor. Por isso, esta técnica de fratura sem propante não se aplica em arenito friável, visto este não se comportar de maneira elástica.
Também a Equação (6) mostra que à medida que o Módulo de Young (E) diminui a espessura da fratura (w) aumenta e para pequeno valor do Módulo de Young a espessura da fratura aumenta demasiadamente, o que não acontece na realidade. Portanto, esta técnica de fratura sem propante não se aplica em formações com baixo valor do Módulo de Young.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
Espessura da fratura (mm)
Mei
a al
tura
do
tú
nel
(m
)
E = 9E6
E = 5E6
E = 4E6
E = 3E6
E = 2E6
E = 1E6
E = 0,5E6
Figura 5.6b: Perfil da espessura da fratura ao longo da altura sem propante em função do valor do Módulo de Young.
62
5.5. Comportamento da espessura média de fratura com a variação do coeficiente de Poisson.
A figura 5.7a mostra que a espessura média de uma fratura não propada aumenta com a diminuição do coeficiente de Poisson. Tabela 5.3: Coeficiente de Poisson e espessura média Υ Wmédio
(mm)
0.10 4.316
0.15 4.262
0.20 4.186
0.25 4.088
0.30 3.968
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
3.95 4.00 4.05 4.10 4.15 4.20 4.25 4.30 4.35
Wmédio (mm)
Coef
. Pois
son
Figura 5.7a: Variação da espessura da fratura não propada com o coeficiente de Poisson Dados da fratura curva azul: a=6m, b=6,3m e c=20m,T1=3500psi, T2=-300, T3=3000psi, p=3470psi, E=5e6psi, v – variando.
A Figura 5.7b mostra o perfil da espessura de uma fratura não propada
aumentando a deformação de suas faces à medida que o coeficiente de Poisson diminui. Como os valores típicos do coeficiente de Poisson para rochas estão entre 0,2 a 0,35, a variação da espessura conforme podemos observar na Figura 5.7b não é grande. Por isso, afirma Martin (2005) “O coeficiente de Poisson é um fator importante na determinação do gradiente de tensão da formação, mas não é importante na definição das dimensões da fratura, embora tenha algum efeito”.
Dados usados para construção das curvas de espessura de fratura representada
por várias curvas na Figura 5.7b: a= 2 m T1= 3500 psi p= 3000 psi b= 2,3 m T2= -600 psi E= 5E6 psi c= 20 m T3= 2655 psi v= 0,1 a 05
Acima da altura de 2 m e abaixo da altura de -2 m (eixo das coordenadas) a fratura está sustentada e o túnel está entre -2 m e 2 m. Esta figura mostra somente um quadrante da fratura. A metade da espessura da fratura na altura de -2 m e 2 m têm valor de 2,31 mm.
63
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5
Espessura da fratura (mm)
Altura
da fra
tura
(m
)
v=0,1 v=0,15 v=0,2 v=0,25 v=0,3
v=0,35 v=0,4 v=0,45 v=0,5
Figura 5.7.b: Perfil da espessura da fratura ao longo da altura sem propante em função do valor do Coeficiente de Poisson. 5.6. Comportamento da espessura média de fratura com a variação da altura da fratura não sustentada.
A figura 5.8 mostra que a espessura média não propada diminui linearmente com o aumento da altura não propada da fratura, ou seja, a deformação da face da fratura aumenta à medida que a altura não propada cresce. Tabela:5.4- altura não propada e espessura média da parte não propada.
A Wmédio
(m) (mm)
1 5.299
2 4.927
3 4.563
4 4.198
5 3.831
6 3.521
7 3.172
8 2.844
9 2.510
y = -2.8739x + 16.133
R2 = 0.9994
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00
Wmédio (mm)
a (m
)
Figura 5.8: Comportamento da espessura média não propada com a altura da parte não propada. Dados da fratura curva azul: a=variando, b=a+0,3m e c=20m, v=0,2, T1=3500psi, T2=varia, T3=3000psi, p=3400psi
64
5.7. Comportamento da espessura de uma fratura propada equivalente a uma fratura com condutividade infinita de espessura fixa igual
ppw em função da vazão.
Os seguintes parâmetros foram usados para a Figura 5.9:
ppw = 1 mm µ= 1 cP K= 300 mD
φ = 25 % h= 6 m E= 5E6 psi
υ= 0,2 Xf= 100 m Rd= 200 m ρ= 0,8 Kprop= 900 D Rw= 4,5 in A Figura 5.9 mostra que numa fratura propada quando a vazão aumenta o efeito de inércia também aumenta e ocasiona aumento da perda de carga. Portanto, torna-se necessário aumentar a espessura desta fratura para que a perda de carga seja igual a perda de carga numa fratura sem propante de 1 mm de espessura. O cálculo para confecção do gráfico levou em consideração o efeito viscoso e o efeito de inércia.
0
20
40
60
80
100
120
140
0 200 400 600 800 1000 1200
Vazão (m3/dia)
Weq
asp
pd
f (m
m)
Figura 5.9 – Gráfico da espessura de uma fratura propada equivalente a uma fratura sem
propante de 1 mm de espessura em função da vazão. 5.8. Comportamento da espessura de uma fratura propada equivalente a uma fratura com condutividade infinita. Os seguintes parâmetros foram usados para a construção da figura 5.10:
ppw = 1 mm µ= 1 cP K= 300 mD
φ = 25 % h= 6 m E= 5E6 psi
υ= 0,2 Xf= 100 m Rd= 200 m ρ= 0,8 Kprop= 900 D Rw= 4,5 in A figura 5.10 foi construída para várias permeabilidades de propantes variando de 500 a 2500 darcies, para o cálculo foi considerado somente o efeito viscoso e desprezado o efeito de inércia, o que é válido para baixa vazão. Para uma espessura de 1mm de uma fratura não propada a espessura equivalente, ou seja, que tenha a mesma
65
perda de carga, será de 30 mm se a permeabilidade do propante for 2500 darcies e será de 160 mm se a permeabilidade do propante for 500 darcies. Estes valores de espessura de fratura são impossíveis de se conseguir na prática.
0
50
100
150
200
250
300
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Wpp (mm)
Weq
asp
pd
(mm
)
500D, 20/40, d=0,63mm 1000D, 20/40, d=0,63mm
1500D, 12/20, d=1,015mm 2000D, 12/20, d=1,015mm
2500D, 12/20, d=1,015mm
Figura 5.10: Relação entre a espessura de uma fratura não propada com uma fratura
propada de espessura equivalente, para que a perda de carga seja a mesma.
O significado da legenda 500D, 20/40, d=0,63mm é: 500 darcies é a permeabilidade do propante, 20/40 é o mesh do propante e d=0,63mm é o diâmetro médio do propante. 5.9. Comportamento da condutividade adimensional de uma fratura propada (Fcdas) e de uma fratura com condutividade infinita (Fcdpp). A figura 5.11 mostra que a condutividade adimensional da fratura não propada é superior a condutividade da fratura propada que gerou a fratura não propada, o gráfico também mostra que a condutividade adimensional diminui com o aumento da vazão. A redução do Fcd ocorre devido à turbulência que aumenta com o incremento da vazão.
66
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0 200 400 600 800 1000 1200
Vazão (m3/dia)
Fcd
Fcdpp Fcdas Diferença
Figura 5.11: Comportamento da condutividade adimensional da fratura propada e da
fratura não propada.
À medida que a vazão aumenta a inércia aumenta também, de forma que a fratura propada perde condutividade e como a condutividade desta fratura já é muito pequena ela se aproxima zero. A inércia também diminui a condutividade da fratura não propada. Para alta vazão a diferença entre a condutividade da fratura não propada e a da propada, se aproxima da condutividade da fratura não propada, devido à condutividade da fratura propada não ter mais como diminuir. 5.10. Comportamento do aumento de produção – Folds of Increase - após fraturamento de uma fratura propada (FOIas) e de uma fratura com condutividade infinita (FOIpp). A figura 5.12 mostra que o aumento esperado de produção para a fratura não propada é superior ao aumento de produção esperado para a fratura propada. A equação 58 foi utilizada para construção destas curvas. Como já comentado, com aumento de vazão a inércia reduz a condutividade da fratura, então como a condutividade foi reduzida o Folds of Increase também será reduzido, pois este é função da condutividade.
67
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 200 400 600 800 1000 1200
Vazão (m3/dia)
Fo
lds
Incr
eses
FOIpp FOIas Diferença
Figura 5.12: Comportamento do aumento de produção da fratura propada e da fratura
não propada. 5.11. Vazões de produções e produções acumuladas da fratura propada convencional. O simulador da MEYER AND ASSOCIATES, INC. (Mprod) foi usado para determinação da vazão de produção e a produção acumulada após fraturamento para a fratura propada. Os dados usados nesta simulação estão no Apêndice A. As figuras 5.13 (a) e (b) mostram respectivamente a vazão de produção e a produção acumulada da fratura convencional propada. A cor verde é curva de produção da formação não fraturada e sem dano. A cor vermelha é a curva de produção da formação fraturada sendo esta fratura propada em toda altura e não é considerado o efeito de inércia. A cor azul é a curva de produção da formação fraturada sendo esta fratura propada em toda altura e neste caso é considerado o efeito de inércia. A inércia provoca perda de carga adicional e como resultado reduz a vazão de produção.
68
Figura 5.13a: Vazão de produção da fratura convencional propada.
Figura 5.13b: Produção acumulada da fratura convencional propada.
5.12. Vazões de produções e produções acumuladas da fratura não propada. O simulador da MEYER AND ASSOCIATES, INC. (Mprod) foi usado para determinação da vazão de produção e a produção acumulada após fraturamento para a fratura não propada. Os dados usados nesta simulação estão no Apêndice B. As figuras 5.14 (a) e (b) mostram respectivamente a vazão de produção e a produção acumulada da fratura não propada. A cor verde é curva de produção da formação não fraturada e sem dano. A cor vermelha é a curva de produção da formação fraturada sem propante e não é considerado o efeito de inércia. A cor azul é a curva de produção da formação fraturada sem propante e neste caso é considerado o efeito de inércia. A inércia provoca perda de carga adicional e como resultado reduz a vazão de produção, porém para o caso da fratura não propada a redução da vazão é desprezível
69
fazendo então que a curva com efeito de inércia seja sobreposta à curva sem efeito de inércia.
Figura 5.14a: Vazão de produção da fratura não propada.
Figura 5.14b: Produção acumulada da fratura não propada.
5.13. Comparação entre vazão de produção e a produção acumulada da fratura convencional propada e fratura com condutividade infinita. Como resultado final será feito a análise da diferença de produção e da produção acumulada após fraturamento para a fratura propada e a fratura não propada.
70
5.13.1. Curva de vazão de produção da fratura propada convencional e curva de produção da fratura não propada. Na figura 5.15 a cor verde é a curva de produção sem fratura, a cor azul é curva de produção da fratura propada com efeito de inércia, a cor vermelha é a curva de produção não propada com efeito de inércia e a cor preta é a curva do ganho de produção da fratura não propada em relação à fratura propada. Neste caso seria um ganho médio de produção de 136,36 m3/dia.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Tempo (dia)
Vaz
ão (m
3/d
ia)
Sem fratura Não propada com Inércia Propada com Inércia Delta Q
Figura 5.15: Curva de produção da fratura propada convencional e curva de
produção da fratura não propada e diferença de produção. 5.13.2. Curva de produção acumulada da fratura propada convencional e curva de produção acumulada não propada. Na figura 5.16 a cor verde é a curva de produção acumulada sem fratura, a cor azul é curva de produção acumulada da fratura propada com efeito de inércia, a cor vermelha é a curva de produção acumulada não propada com efeito de inércia e a cor preta é a curva do ganho de produção acumulada da fratura não propada em relação à fratura propada. Neste caso seria um ganho de produção acumulada em 720 dias é de 98.180 m3.
71
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Tempo (dias)
Pro
du
ção
acu
mu
lad
a (m
3)
Sem fratura Não propada com inércia
Propada com inércia Delta V
Figura 5.16: Curva de produção acumulada da fratura propada convencional e curva de
produção acumulada da fratura não propada e diferença de produção acumulada.
5.14. Comparação entre vazão de produção e a produção acumulada da fratura convencional propada e fratura com condutividade infinita para poço produtor de gás. As Figuras 5.17 (a) e (b) mostram respectivamente as curvas de produção de gás seco após fraturamento para uma fratura não propada (com condutividade infinita) e para uma fratura propada (com condutividade finita), mostrando como o efeito de inércia é acentuado em poços produtores de gás, quando a fratura é realizada de forma convencional. São três curvas de vazão: a verde (base) representa a produção do poço não fraturado, a vermelha (Darcy) representa a produção do poço fraturado não considerando o efeito de inércia e azul (Non-Darcy) representa a produção do poço fraturado considerando o efeito de inércia. A Figura 5.17 (a) mostra que as curvas de produção com efeito de inércia e sem efeito de inércia são coincidentes, ou seja, na fratura não propada devido à condutividade ser infinita o efeito de inércia é desprezível, por isso não ocorre redução de produção. Os dados usados para simulação destas curvas de produção estão no Apêndice C.
72
Figura 5.17a: Vazão de produção de gás da fratura não propada.
A Figura 5.17 (b) mostra que a curva (vermelha) de produção sem efeito de inércia está acima da curva (azul) de produção com efeito de inércia, ou seja, neste caso o efeito de inércia provoca na fratura convencional propada uma perda de produção de quase 50.000 m3/dia no tempo de 1700 dias. Os dados usados na simulação destas curvas de produção estão no Apêndice D.
Figura 5.17b: Vazão de produção de gás da fratura propada .
No tempo de 1700 dias as Figuras 5.17 (a) e (b) mostram que a produção da fratura não propada (túnel aberto), que tem condutividade de 289.370 mD.ft, é de 260.000 m3/dia e a produção da fratura propada, que tem condutividade de 1220 mD.ft, é de 150.000 m3/dia , ou seja, a fratura com túnel aberto produz para o tempo de 1700 dias 110.000 m3/dia a mais que a fratura convencional que é propada.
73
5.15. Comparação do IP de uma fratura propada e não propada em função da penetração da fratura no raio de drenagem. A Figura 5.18 mostra o comportamento do IP em função da penetração da fratura no raio de drenagem segundo modelo de McGuire&Sikora descrito por Gidley et al. (1989). As curvas para a fratura propada mostram que o aumento do comprimento da fratura não reflete em aumento significativo de IP, principalmente quando a permeabilidade da formação aumenta. De forma diferente, as curvas para a fratura não propada apresenta aumento significativo do IP quando se aumenta o comprimento da fratura, mesmo quando a permeabilidade da fratura aumenta. Quando a permeabilidade da formação e o comprimento da fratura aumentam, o volume de fluido que a formação alimenta a fratura também aumenta. Se a fratura não tem condutividade suficiente para transportar este fluido de nada adianta incrementar o comprimento da fratura. Isto ocorre com a fratura propada, por esta ter condutividade limitada, portanto não apresenta ganho significativo de IP quando se aumenta o comprimento da fratura. Na fratura com túnel o aumento do comprimento reflete aumento de IP devido o túnel ter altíssima condutividade, ou seja, todo fluido que a formação tem capacidade de alimentar a fratura, esta fratura tem habilidade para transportá-lo. Portanto, o indicativo de que uma boa geometria de fratura para formação de alta permeabilidade, é que a fratura seja curta e espessa, perde o sentido para fratura com túnel. Pois a existência deste indicativo se deve ao fato da impossibilidade prática de se obter altíssima condutividade com o fraturamento convencional. Dados usados para a construção das curvas da Figura 5.18, segundo McGuire&Sikora. Re= 200 m Weqasppdf= 98 mm Área= 40 acre Kas= 900 Darcies rw= 0,375 ft K= 50 a 300 mD Was= 2.479 mm Xf= 10 a 200 m
74
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Penetração da Fratura (%)
Js/J
o
P - 50 mD
NP - 50 mD
P -100 mD
NP - 100 mD
P - 200 mD
NP - 200 mD
P - 300 mD
NP - 300 mD
Fratura:
NP - Não propada
P - Propada
Figura 5.18. Curva de IP versus penetração da fratura no raio de drenagem.
5.16. Comparação do volume acumulado e do aumento de produção variando a viscosidade do óleo para fratura propada e não propada. O simulador da MEYER AND ASSOCIATES, INC. (Mprod) foi usado para determinação da produção acumulada da formação antes e após fraturamento para a fratura propada e não propada. As figuras 5.19 (a) e (b) mostram respectivamente a produção acumulada e o aumento de produtividade de uma formação: não fraturada, com fratura convencional (propada), com fratura não propada com espessura de 1, 2 e 3 mm em função da viscosidade do fluido da formação. A Figura 5.19 (a) mostra que para todas as viscosidades a produção acumulada é sempre maior para a fratura não propada principalmente para as maiores espessura, do que para a fratura propada. E a Figura 5.19 (b) mostra que o aumento de produtividade é maior para a fratura não propada do que para a fratura propada, principalmente quando a viscosidade aumenta. Este comportamento é devido o aumento da perda de carga na dentro fratura a medida que a viscosidade aumenta, e como a fratura não propada a condutividade é muito elevada a perda de carga é bem menor que a fricção na fratura propada que tem menor condutividade.
75
Dados usados para construção das curvas das Figuras 5.19(a) e (b).
Área= 50 Km2 Kas= 900 Darcies Net Pay= 6 m K= 300 mD Pe= 4500 psi φ = 25 %
Pwf= 3500 psi Xf= 150 m rw= 0,375 m Tempo= 720 dias
Tabela 5.5: Equivalência entre abertura de fratura em placa paralela e com propante. Wpp = 1 mm equivale a Was = 98 mm com a Kas = 900 D. Wpp = 2 mm equivale a Was = 740 mm com a Kas = 900 D. Wpp = 3 mm equivale a Was = 2500 mm com a Kas = 900 D.
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
1 10 100 1000 10000
Viscosidade (cP)
Vo
lum
e A
cu
mu
lad
o (
m3
)
Não fraturado Was= 2,479 mm Wpp= 1 mm Wpp= 2 mm Wpp= 3 mm
Figura 5.19.a: Volume acumulado em 720 dias em função da viscosidade do óleo.
76
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
1 10 100 1000 10000
Viscosidade (cP)
Js/J
o
Was= 2,479 mm Wpp= 1 mm Wpp= 2 mm Wpp= 3 mm
Figura 5.19.b: Aumento de produtividade em relação à produção acumulada em função da viscosidade do óleo.
5.17. Comparação entre IP e VPL da fratura convencional propada e fratura com condutividade infinita, variando a permeabilidade da formação e a área do reservatório. Como resultado final será feito a análise da diferença de Índice de Produtividade (IP) e o Valor Presente Líquido (VPL) após fraturamento para a fratura propada e a fratura não propada, variando a permeabilidade da formação e a área do reservatório. Na Tabela 5.5 estão os dados para gerar as curvas do IP e do VPL. . 5.17.1. Curvas de IP da fratura propada convencional e da fratura não propada. A Figura 5.20 mostra a curva do Índice de Produtividade (IP) para um poço não fraturado, para este poço com fratura propada (convencional) e para este poço com fratura não propada (túnel aberto) em um reservatório com área de 50 Km2 tendo permeabilidade 100 mD e sem dano. Ao longo de todo tempo o IP da fratura não propada é maior que o da fratura propada e o IP da fratura propada é maior que o IP do poço sem fratura. Este mesmo comportamento é observado também para o reservatório com permeabilidade de 10 mD e área de 5 Km2 mostrado na Figura 5.21. Porém, quanto maior é a permeabilidade e a área de drenagem da fratura maior será o IP, por isso a curva do IP da Figura 5.20 assume valor sempre maior que o da curva do IP da Figura 5.21. Nas curvas de IP quando o mesmo torna-se constante o regime de fluxo é dominado pelas fronteiras do reservatório.
77
Figura 5.20: Curva de IP versus Teq para K=100 mD e A=50 Km2
K= 10 mD A= 5 km2 sem dano
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
1 10 100 1000 10000
Tempo equivalente - dias
IP -
(m
3/d
)/p
si
Sem fratura Propada Não propada
Figura 5.21: Curva de IP versus Teq para K=10 mD e A=5 Km2
5.17.2. Curvas de VPL da fratura propada convencional e da fratura não propada. As Figuras 5.22 (a), (b) e (c) mostram as curvas de VPL para três valores de permeabilidade 10, 100 e 300 mD em função da área do reservatório, todas as situações são sem dano de formação. Uma característica vista em todas as figuras é que o VPL da fratura não propada está sempre acima do VPL da fratura propada. Na Figura 5.22 (a) onde a permeabilidade é de 10 mD o VPL é sempre positivo para qualquer tamanho de área de reservatório.
K= 100mD A= 50 km2 sem dano
0.1
1.0
10.0
1 10 100 1000 10000
Tempo equivalente - dias
IP -
[(m
3/d
)/p
si]
Sem fratura Propada Não propada
78
Figura 5.22.a: Curva VPL versus Área Drenagem para K=10 mD Na Figura 5.22 (b) onde a permeabilidade é de 100 mD o VPL será positivo no caso de fratura não propada quando a área de reservatório for maior que 0,8 Km2 e para a fratura propada o VPL será positivo para área maior que 1,5 Km2.
-200,000
0
200,000
400,000
600,000
800,000
1,000,000
1,200,000
1,400,000
0 1 2 3 4 5 6
Área - Km2
VP
L -
US
$
Propada Não propada
K = 100 mD sem Dano
Figura 5.22b: Curva VPL versus Área Drenagem para K=100 mD
Na Figura 5.22 (c) onde a permeabilidade é de 300 mD o VPL será positivo no caso de fratura não propada quando a área de reservatório for maior que 1,3 Km2 e para a fratura propada o VPL será positivo para área maior que 3,7 Km2.
0
1,000,000
2,000,000
3,000,000
4,000,000
5,000,000
0 1 2 3 4 5 6
Área =- Km2
VP
L -
US
$
Propada Não propada
K = 10 mD sem dano
79
K = 300 mD sem dano
-200,000
0
200,000
400,000
600,000
0 1 2 3 4 5 6
Área - Km2
VP
L -
US
$
Propada Não propada
Figura 5.22c: Curva VPL versus Área Drenagem para K=300 mD
O VPL negativo ocorre em virtude do aumento de produção após o fraturamento não ser o bastante para cobrir o gasto inicial com a operação de fraturamento. E quanto maior for a permeabilidade da formação e menor for o tamanho do reservatório mais difícil será obtenção de VPL positivo. A explicação para este fato é que, quanto maior for a permeabilidade da formação, torna-se cada vez mais difícil obtermos alto valor da condutividade adimensional.
Podemos concluir que o IP e o VPL sempre terão maiores valores para fratura não propada (túnel aberto) do que para fratura propada (convencional). Tabela 5.6: Dados usados no simulador MEYER AND ASSOCIATES, INC. (Mprod) para a determinação das vazões de produções para gerar as curvas de Índice de Produtividade e Valor Presente Líquido para a fratura propada e para a fratura não propada. Dados Valores Pressão estática inicial 3000 psi Pressão de fluxo 2500 psi Altura da zona porosa 6 m Altura da fratura propada na zona porosa 6 m Altura do túnel e altura na zona porosa 6 m Metade do comprimento da fratura 100 m Espessura média do túnel (1 mm)* 98 mm - Propante com 900 Darcies Espessura média da fratura propada 2,479 mm – Propante com 900 Darcies Viscosidade do fluido da formação 1 cP Compressibilidade total 1E-5 psi-1 Poço no meio do reservatório (x=0; y=0) Taxa de renumeração anual 15% Preço do barril de petróleo 55 US$/bbl Custo de um fraturamento (custo inicial) 150.000,00 US$ Custo diário de produção (custo fixo) 346,00 US$/dia Custo de produção por barril produzido 346,00 US$/bbl-volume produzido por
dia**
80
* Um túnel com 1 mm de espessura equivale a uma fratura propada de 98 mm de espessura com uma permeabilidade de 900 Darcies. **Se a produção for de 10 bbl/dia o custo de produção será de 34,60 US$/bbl. **Se a produção for de 100 bbl/dia o custo de produção será de 3,46 US$/bbl.
81
______________________________________________________
Capítulo 6 Conclusões ____________________________________________________
82
Conclusões
Partindo do objetivo central deste trabalho que é oferecer uma nova técnica de fraturamento hidráulico baseada na obtenção de fraturas com altíssima condutividade, proporcionada por um túnel aberto suportado por propante na parte superior e inferior da fratura. Então podemos concluir que:
a) A solução da equação de England&Green (Equações 13 e 14) com a condição
da tensão de confinamento na parte central da fratura ser maior que a pressão dentro da fratura, conforme Figuras 5.3 (b), 5.5 (b) e (c), 5.6, 5.7 e 5.8, mostra que é possível manter um túnel aberto numa fratura sustentada por propante na parte superior e inferior.
b) A espessura média do túnel aumenta quando:
- a pressão de fluxo aumenta (Figura 5.5.a). - o Módulo de Young diminui (Figura 5.6.a); - o coeficiente de Poisson diminui (Figura 5.7.a)
- a altura sem propante diminui (Figura 5.8); Para uma mesma espessura da fratura na parte sustentada, a espessura média do
túnel aumenta quando:
- a pressão de fluxo aumenta (Figura 5.5.a); - o Módulo de Young aumenta (Figura 5.6.b); - o coeficiente de Poisson aumenta (Figura 5.7.b);
- a altura sem propante diminui (Figura 5.8).
c) Esta técnica não se aplica em formação friável, devido ao comportamento não elástico.
Além do objetivo central deste trabalho, podemos concluir que outros objetivos
foram alcançados, ou seja, a geometria da fratura não propada quando comparada com uma fratura convencional, apresenta:
d) Menor perda de carga, conforme podemos ver na Figura 5.1.
e) Maior condutividade, conforme podemos ver na Figura 5.11.
f) Maior produção, conforme podemos ver nas Figuras 5.13 (a) e (b), 5.14 (a) e (b), 5.15, 5.16, 5.18, 5.19 (a) e (b), 5.20, 5.21 e comparando a 5.17 (a) com 5.17 (b).
g) Mudança na geometria ótima de fratura para formação de alta permeabilidade, deixando de ser fratura curta para ser fratura longa, ver Figura 5.18.
h) Maior produção para fluido com alta altíssima viscosidade, ver nas Figuras
5.19 (a) e (b).
83
g) Maior retorno financeiro, conforme podemos ver na Figura 5.22 (a), (b) e (c).
h) E torna rentável fraturar formações com alta permeabilidade para determinados valores de área de reservatório, conforme podemos ver na Figura 5.22 (b) e (c).
84
Recomendações
a) Resolver por método numérico a equação de England&Green para altura de fratura que passar por mais de três campos de tensão. Pois, a solução analítica desta equação para três campos de tensões já é muito laboriosa.
b) Realizar simulação de reservatório para obter melhores resultados do Índice de Produtividade e vazões de produção.
c) Montar simulador físico para verificação da estabilidade do túnel aberto, devido à tensão de confinamento e a passagem de fluido pelo mesmo.
d) Desenvolver simulador de produção após fraturamento que contemple a situação na qual a zona porosa da formação seja maior que a altura do túnel aberto, ou seja, a zona porosa produz diretamente para o túnel e também produz para a parte sustentada com propante.
85
REFERÊNCIAS
Barenblatt, G. I. Mathematical Theory of Equilibrium Cracks. Advances in Applied Mechanics, v. 7, p. 55, 1962. Barree, R. D.; Barree, V. L.; Conway, M. W. Realistic Assessment of Proppant Pack Conductivity for Material Selection, SPE 84306, 2003. Cipolla, C.L.; Lolon E.P.; Mayerhofer, M.J.; Warpinski, N.R. The Effect of Proppant Distribuition and Un-Propped Fracture Conductivity on Well Performance in Unconventional Gas Reservoirs. SPE 119368, 2009. Economides, M. J.; Nolte, K, G. Reservoir Stimulation. Third Edition. p.6.31-6.35, 12-22, 2000. Ely, J. W., Ely & Assocs. Inc; Hargrove. Pipelining: Viscous Fingering Prop Fracture Technique Finds Wide Success in Permian and Delaware Basins. SPE 26528, 1983.
England, A. H.; Green, A. E. Some Two-Dimensional Punch and Crack Problems in Classical Elasticity. Proc. Cambridge Philosopfy Society, p. 489, 1963. Ergun, S.; Orning, A. Fluid Flow Trough Randonly Packed Columns and Fluidized Beds. Industrial and Engineering Chemistry, v. 41, n.6, p.1179-1184, 1949. Fox, R. W.; A. T. McDonald; Pritchard, P. J. Intodução à Mecânica do Fluidos. Sexta edição, p. 71-73, 326, 2003. Geertsma, J., de Klerk, F. A Rapid Method of Predicting Width and Extent of Hydraulically Induced Fractures. Journal of Ptroleum Tecnology, v. 246, p. 171-81, 1969. Gidley, J. L.; Holditch, S. A.; Nierode, D. E.; Veatch Jr, R. W. Recente Advances in Hydraulic Fracturing. SPE Monograph Series, v. 12. p. 57-77, 318, 1989. Giffith, A. A. The Phenomenon of Rupture and Fow in Solids. Phil. Transactions of Royal Society of London, p. 163-198, 1921. Irwin, G. R. Analysis of Stresses and Strains Near the End of a Crack Traversing a Plate. Journal of Applied Mechanics, v. 24, p.361, 1952. Martin, T. BJ Services. Hydraulic Fracturing Manual. p.87, 117, 2005. Nolte, K. G. Determination of Fracture Parameters from Fracturing Pressure Decline, SPE 8341, 1979 O simulador da MEYER AND ASSOCIATES, INC. Palácio, J. C.; Blasingame, T. A. Declive-Curve Analysis Using Type Curves: Analysis of Gás Well Production Data, SPE 25.909, 1993.
86
Perk, T. K., Kern, L. R. Widths of Hydraulic Fractures. Jounal of Petroleum Techonology, p. 937-949, 1961. Rice, J. R. A Path Independent and the Aproximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks. Journal of Applied Mechanics of American Society of Mechanical Engineers, v. 35, p. 379-386, 1968. Rosa, A. J., Carvalho, R. S., Xavier, J. A. D. Engenharia de Reservatórios de Petróleo, p. 178, 2006. England&Green (1963) Santos J.A.C.M.; Cunha, R.; Melo R.C.B.; Aboud, R.S.; Pedrosa, H.A.; Marchi,F. Inverted Convective Proppant Transport for Effective Conformance Fracturing, SPE 109585, 2007. Santos J. A. Curso de Engenharia Econômica Matemática Financeira – Análise de Investimentos, p. 49-63. Warpinski, N. R. Stress Amplification and Arch Dimensions in Proppant Beds Deposited by Waterfracs. SPE 119360, 2009. Yew, C. H. Mecânica do Fraturamento Hidráulico – tradução, Rosolen, M.A. p.16-21, 2008.
87
GLOSSÁRIO Agente de sustentação – também chamado de propante são partículas de material (bauxita, areia, casca de noz, polipropileno, etc) granular que ficará entre as faces da fratura criada impedindo que a fratura venha a fechar após a parada do bombeio. Agente de sustentação com resina semi-curada - a resina semi-curada na temperatura da formação aglutina os grãos do propante. Arenito friável - é aquele com pouca ou nenhuma cimentação. CFD – Dinâmica dos Fluidos Computacional Colchão – é um fluido de fraturamento bombeado com o intuito de abrir a fratura para que o propante que é transportado pelo fluido carreador possa entra na fratura. Condutividade infinita – é a condutividade do túnel aberto sem propante. Reticulado – são ligações cruzadas ocorridas entre moléculas do polímero do tipo guar por meio de íons de B (boro), Ti(titânio) ou Zr(zircônio). Efeito convectivo - é a decantação e a ascensão do propante nos fluidos carreadores, esta movimentação possibilita a criação de zona sem propante. Efeito pipelining - é a penetração de fluido de menor viscosidade dentro de um fluido de viscoso maior formando um túnel com o fluido de menor viscosidade. Embedment – penetração de parte do propante na face fratura. Embuchamento – é quando durante a operação de fraturamento não se consegue mais injetar propante para dentro da fratura e ocorre crescimento acentuado da pressão de bombeio. Fluido carreador – é o fluido de fraturamento que transporta o propante para dentro da fratura. Fluido limpo – é o fluido de fraturamento sem agente de sustentação (propante). Fluido sujo – é o fluido de fraturamento com agente de sustentação (propante). Folds of Increase – é o número de vezes que aumenta a produção do poço após fraturamento em relação a produção do poço não fraturado. Fratura com condutividade infinita – é fratura com túnel sem propante ou fratura não propada. Fratura convencional – é a fratura cheia de propante em toda a extensão de sua altura, ou fratura propada. Gel linear – água com polímero sem agente de ligação cruzada.
88
Índice de Produtividade – é a razão entre a vazão do poço e o diferencial de pressão, ou seja, pressão do reservatório menos a pressão de fluxo. MEYER AND ASSOCIATES, INC. – é um simulador de geometria de fratura e de análise de produção após fraturamento. Mini Fall Off – consta de um pequeno volume de fluido, que geralmente é água, que é bombeado fraturando a formação e após parado o bombeio a queda de pressão é acompanhada e análise deste declínio serve para determinação da tensão de confinamento, da eficiência do fluido, e se o tempo de declínio alcançar o regime de fluxo pseudo-radial é determinada também a permeabilidade e a pressão estática da formação. Mini Frac – consta de um pequeno volume de fluido de fraturamento que é bombeado fraturando a formação e após parado o bombeio a queda de pressão é acompanhada e análise deste declínio serve para determinação da tensão de confinamento e da eficiência do fluido de fraturamento. Net Pay – altura porosa que contribui para a produção. Parcial Monolayer – é uma concentração de propante menor que a concentração necessária para formar uma única camada uniforme de propante entre as faces da fratura. Tempo Equivalente (teq) – é a razão entre a produção acumulada e a vazão de produção no mesmo tempo. Tip – é a extremidade da fratura.
89
APÊNDICE A
Dados usados no simulador MEYER AND ASSOCIATES, INC. (Mprod) para a determinação das vazões de produções e produções acumuladas da fratura propada convencional.
90
APÊNDICE B Dados usados no simulador MEYER AND ASSOCIATES, INC. (Mprod) para a determinação das vazões de produções e produções acumuladas da fratura não propada.
91
APÊNDICE C Dados usados no simulador MEYER AND ASSOCIATES, INC. (Mprod) para a determinação das vazões de produções de gás da fratura não propada.
92
APÊNDICE D Dados usados no simulador MEYER AND ASSOCIATES, INC. (Mprod) para a determinação das vazões de produções de gás da fratura propada.
93
ANEXOS ANEXO I.
A solução da equação de Rice para determinação do fator de intensidade de tensão (KI – opening mode).
Para determinação do fator de intensidade de tensão (KI – opening mode) é resolvida a equação de Rice: para três zonas com tensões diferentes de confinamento, para duas zonas com tensões diferentes de confinamento, é preciso fazer 1 2T T= ou 2 3T T= e para
uma só zona de tensão de confinamento é necessário fazer 1 2 3T T T= = .
a) Solução da equação de Rice para três campos de tensões.
A Figura Ia mostra a geometria da espessura de fratura para três zonas com tensões diferentes de confinamento.
Figura Ia: geometria da espessura de fratura para três zonas com tensões diferentes de confinamento.
Fazendo 1 1p p T= − , 2 2p p T= − e 3 3p p T= −
1( )
c
I
c
c yK p y dy
c ycπ −
+=
−∫ e 1 2 2c y ydy csen c y
c y c
−+ = − −
− ∫
94
3 2 1
1( ) ( ) ( )
b a a
I
c b a
c y c y c yK p T dy p T dy p T dy
c y c y c ycπ
− −
− − −
+ + += − + − + − +
− − −∫ ∫ ∫
2 3( ) ( )b c
a b
c y c yp T dy p T dy
c y c y
+ ++ − + −
− − ∫ ∫ , fazendo ( )
1I
K A B C D Ecπ
= + + + +
Resolvendo abaixo as várias integrais da equação acima.
( )3 3 3
b b b
c c c
c y c y c yA p T dy p dy p dy
c y c y c y
− − −
− − −
+ + += − = =
− − −∫ ∫ ∫
1 2 23
b
c
yA p csen c y
c
−
−
−
= − −
( ) ( )2 21 2 1 2
3
b cA p csen c b csen c c
c c
− − − − = − − − − − − −
( )1 2 2 1 2 23 1
bA p csen c b csen c c
c
− − − = − − − − − −
( )1 2 2 1 2 23 1
bA p csen c b csen c c
c
− − − = − − − − + −
1 2 23 2
bA p csen c b c
c
π− − = − − − −
1 2 23 2
bA p c csen c b
c
π − = − − −
( )2 2 2
a a a
b b b
c y c y c yB p T dy p dy p dy
c y c y c y
− − −
− − −
+ + += − = =
− − −∫ ∫ ∫
1 2 22
a
b
yB p csen c y
c
−
−
−
= − −
( ) ( )2 21 2 1 2
2
a bB p csen c a csen c b
c c
− − − − = − − − − − − −
1 2 2 1 2 22
a bB p csen c a csen c b
c c
− − = − − − + + −
95
1 1 2 2 2 22
b aB p csen csen c b c a
c c
− − = − + − − −
( )1 1 1
a a a
a a a
c y c y c yC p T dy p dy p dy
c y c y c y− − −
+ + += − = =
− − −∫ ∫ ∫
1 2 21
a
a
yC p csen c y
c
−
−
= − −
( )21 2 2 1 2
1
a aC p csen c a csen c a
c c
− − − = − − − − − −
1 2 2 1 2 21
a aC p csen c a csen c a
c c
− − = − − + + −
1 11
a aC p csen csen
c c
− − = +
11 2
aC p csen
c
− =
( )2 2 2
b b b
a a a
c y c y c yD p T dy p dy p dy
c y c y c y
+ + += − = =
− − −∫ ∫ ∫
1 2 22
b
a
yD p csen c y
c
− = − −
1 2 2 1 2 22
b aD p csen c b csen c a
c c
− − = − − − − −
1 2 2 1 2 22
b aD p csen c b csen c a
c c
− − = − − − + −
1 1 2 2 2 22
b aD p csen csen c a c b
c c
− − = − + − − −
( )3 3 3
c c c
b b b
c y c y c yE p T dy p dy p dy
c y c y c y
+ + += − = =
− − −∫ ∫ ∫
96
1 2 23
c
b
yE p csen c y
c
− = − −
1 2 2 1 2 23
c bE p csen c c csen c b
c c
− − = − − − − −
1 1 2 23
c bE p csen csen c b
c c
− − = − + −
1 2 23 2
c bE p csen c b
c
π − = − + −
Sendo ( )1
IK A B C D E
cπ= + + + + , então:
1 2 23
1
2I
c bK p csen c b
cc
π
π
− = − − − +
1 1 2 2 2 2 12 1 2
b a ap csen csen c b c a p csen
c c c
− − − + − + − − − + +
1 1 2 2 2 22
b ap csen csen c a c b
c c
− − + − + − − − +
1 2 23 2
c bp csen c b
c
π − + − + −
1 2 2 1 2 23
1
2 2I
c b c bK p csen c b csen c b
c cc
π π
π
− − = − − − + − + − +
11 2
ap csen
c
− + +
1 1 2 2 2 2 1 12
b a b ap csen csen c b c a csen csen
c c c c
− − − − + − + − − − + − +
2 2 2 2c a c b + − − −
1 13 1
12 2I
b aK p c csen p csen
c ccπ
π
− − = − + +
97
1 12 2 2
b ap csen csen
c c
− − + −
1 13 12 2I
c b aK p csen p csen
c cπ
π− −
= − + +
1 12 2 2
b ap csen csen
c c
− − + −
1 1 1 13 3 1 2 22
2I
c b a b aK p p sen p sen p sen p sen
c c c c
π
π− − − −
= − + + −
( ) ( )1 13 2 3 1 22
2I
c b aK p p p sen p p sen
c c
π
π− −
= + − + −
(1)
b) Solução da equação de Rice para dois campos de tensões. As Figuras I (b) e (c) mostram as geometrias da espessura de fratura para duas zonas com tensões diferentes de confinamento.
(b) (c)
Figura I: geometria da espessura de fratura para duas zonas com tensões diferentes de confinamento (b) T1=T2 e (c) T2=T3.
98
Solução para duas zonas de tensões diferentes, fazendo: a) 1 2T T= ou
b) 2 3T T= .
a) Para 1 2T T= , o último termo dentro dos colchetes da Equação (1) é nulo.
( ) 11 2 0
ap p sen
c
− − =
(2)
E a equação torna-se:
( ) 13 2 32
2I
c bK p p p sen
c
π
π−
= + −
(3)
b) Para 2 3T T= , o segundo termo dentro dos colchetes da Equação (1) é nulo
( ) 12 3 0
bp p sen
c
− − =
(4)
E a equação torna-se:
( ) 13 1 22
2I
c aK p p p sen
c
π
π−
= + −
(5)
c) Solução da equação de Rice para um campo de tensão.
A Figura Id mostra a geometria da espessura de fratura para uma zona de tensão de confinamento.
99
(d)
Figura Id: geometria da espessura de fratura para uma zona de tensão de confinamento T1=T2=T3.
Solução para um só campo de tensão deve-se fazer 1 2 3T T T= = , os dois últimos
termos de dentro dos colchetes da Equação (1) são nulos.
( ) 11 2 0
ap p sen
c
− − =
(2)
e
( ) 12 3 0
bp p sen
c
− − =
(4)
E a equação torna-se:
IK p cπ= (6)
100
ANEXO II.
A solução da equação de England&Green para determinação da espessura de fratura.
Para determinação da geometria da fratura será resolvida a equação de
England&Green, apresentada abaixo. A Figura 5.3b mostra uma geometria da espessura de fratura que é determinada através solução da equação England&Green.
( ) ( ) ( )2
2 2
16 1( )
c
y
F t y G tw y dt
E t y
ν− + ⋅=
−∫ , onde
( )w y - espessura da fratura em função da altura da fratura;
v - coeficiente de Poisson; E – módulo de Young; c - metade da altura da fratura; y - Posição qualquer na altura de fratura;
( )F t e ( )G t - função determinadas a partir da distribuição de pressão na fratura; t - variável muda.
( )2 2
0
( )2
t f ytF t dy
t yπ= −
−∫ e
( )2 2
0
1( )
2
t y g yG t dy
t t yπ
⋅= −
−∫
Onde,
( )f y é uma função ímpar e ( )g y é uma função par.
( )( ) ( )
2 2 2 2 20 0
2 2
12 216 1
( )
t t
c
y
f y y g ytdy y dy
tt y t yw y dt
E t y
π πν
⋅− − ⋅
− − −=
−
∫ ∫∫
( )( ) ( )
2 2 2 2 20 0
2 2
1
8 1( )
t t
c
y
f y y g yt dy y dy
tt y t yw y dt
E t y
ν
π
⋅+ ⋅
− − −= −
−
∫ ∫∫
As funções ( )f y e ( )g y para os vários intervalos:
Para o intervalo entre 0 e a.
101
1 1( )f y p= e 1( ) 0g y =
Para o intervalo entre a e b.
2 2( )f y p= e 2 ( ) 0g y =
Para o intervalo entre b e c.
3 3( )f y p= e 3 ( ) 0g y =
II- A solução da equação de England&Green para três zonas com tensões confinantes diferentes, para o intervalo da fratura de [0; a].
( )2
2 2 2 20
8 1( )
c t
y
t pw y dy dt
E t y t y
ν
π
− = = − −
∫ ∫
1
2 2 2 20
a t
y
ptdy dt
t y t y
+ − −
∫ ∫ (=AA)
1 2
2 2 2 2 2 20
b a t
a a
p ptdy dy dt
t y t y t y
+ + + − − −
∫ ∫ ∫ (=BB)
31 2
2 2 2 2 2 2 2 20
c a b t
b a a
pp ptdy dy dy dt
t y t y t y t y
+ + + − − − −
∫ ∫ ∫ ∫ (=CC)
Resolvendo a integral no intervalo de y a a.
1
2 2 2 20
a t
y
ptAA dy dt
t y t y
= − −
∫ ∫
111 1 12 2 2 2
00 0
12
tt tp dy y
A dy p p sen ptt y t y
π− = = = =
− −∫ ∫
( ) ( )1 2 2 2 21 1 1
2 2 2 2
2
2 2 2
a a a
yy y
p t p p ptAA dt dt t y a y
t y t y
π π π π= = = − = −
− −∫ ∫
2 21
2
pAA a y
π= −
Resolvendo a integral abaixo para o intervalo de a a b.
1 2
2 2 2 2 2 20
b a t
a a
p ptBB dy dy dt
t y t y t y
= + − − −
∫ ∫ ∫
102
1 111 1 12 2 2 2
00 0
1aa a
p dy y ab dy p p sen p sen
t tt y t y
− − = = = =
− −∫ ∫
1 12 22 2 22 2 2 2
22
tt t
aa a
p pdy y ab dy p p sen p sen
t tt y t y
π− − = = = = −
− −∫ ∫
121 22 2
( )2
b
a
pt aBB p p sen dt
tt y
π − = + −
−∫
( ) ( )12 1 2
2 2 2 2
2 ( )b b
a a
p t p p tsen a tBB dt dt
t y t y
π −−= +
− −∫ ∫
( ) ( )2 2 22 2
2 2 2 2
21
2 2
b b b
aa a
p t p ptB dt dt t y
t y t y
π π π= = = −
− −∫ ∫
( ) ( )2 2 2 22 212 2
p pB b y a y
π π= − − −
( )2 2 2 2212
pB b y a y
π= − − −
( )1
1 2 2 22 ( )
b
a
tsen a tB p p dt
t y
−
= −−
∫ , aqui temos a solução exata de B2, porém esta solução
exata não tem solução para y = a, pois o denominador da expressão do logaritmo torna-se zero quando y = a, e também o argumento do arco tangente hiperbólico fica igual a 1 e não existe arco tangente de hiperbólico de 1.
( ) ( )1
2 2 1 2 2 2 2
2 2ln
b
a
tsen a t adt t y sen a t a t y
tt y
−
−
= − + − + − − −
∫
2 21
2 2tanh
b
a
y t ay
a t y
− − − =
−
( )2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2ln tanh
a y b ab y sen a b a b y y
b a b y
− −
− = − + − + − − − −
103
( )2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2ln tanh
a y a aa y sen a a a a y y
a a a y
− −
− − − + − + − − = −
( )2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2ln tanh
a y b ab y sen a b a b y y
b a b y
− −
− = − + − + − − − −
( )2 2 2 2ln2
a y a a yπ
− − + − =
2 2 2 2 2 2
2 2 1 1 2 2
2 2 2 2ln tanh
2
b a b ya y b ab y sen a y a y
b a y a b y
π− − − + − − = − + − − − − −
( )2 2 2 2 2 2
2 2 1 11 2 2 2 2 2
2 ln tanhb a b ya y b a
B p p b y sen a yb a y a b y
− − − + − − = − − + − − − −
2 2
2a y
π − −
1 2BB B B= + , então
( )2 2 2 22
2
pBB b y a y
π= − − − +
( )2 2 2 2 2 2
2 2 1 11 2 2 2 2 2
ln tanhb a b ya y b a
p p b y sen a yb a y a b y
− − − + − − + − − + − − − −
2 2
2a y
π − −
Resolvendo a integral abaixo para o intervalo de b a c.
31 2
2 2 2 2 2 2 2 20
c a b t
b a a
pp ptCC dy dy dy dt
t y t y t y t y
= + + − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
1 111 1 12 2 2 2
00 0
1aa a
p dy y ac dy p p sen p sen
t tt y t y
− − = = = =
− −∫ ∫
104
1 1 122 2 2 22 2 2 2
2bb b
aa a
p dy y b ac dy p p sen p sen p sen
t t tt y t y
− − − = = = = −
− −∫ ∫
1 1 133 3 3 32 2 2 2
3tt t
bb b
p dy y t bc dy p p sen p sen p sen
t t tt y t y
− − − = = = = −
− −∫ ∫
1333
2
p bc p sen
t
π − = −
, então 1 2 3CC c c c= + +
( ) ( )1 131 2 2 32 2 2
c
b
pt a bCC p p sen p p sen dt
t tt y
π − − = + − + −
−∫
( )( )
( )( )1 1
31 2 2 32 2 2 2 2 22
c c c
b b b
tsen a t dt tsen b t dtp tdtCC p p p p
t y t y t y
π− −
= + − + −− − −
∫ ∫ ∫
Resolvendo as várias integrais de CC, da equação acima.
( ) ( )2 2 2 2 2 23 3 3
2 21
2 2 2
c c
bb
p p ptdtC t y c y b y
t y
π π π= = − = − − −
−∫
( )2 2 2 2312
pC c y b y
π= − − −
( )( )1
1 2 2 22
c
b
tsen a t dtC p p
t y
−
= −−
∫ , aqui temos a solução exata de C2, porém esta solução
exata não tem solução para y = a, pois o argumento do arco tangente hiperbólico fica igual a 1 e não existe arco tangente de hiperbólico de 1.
( ) ( )1
2 2 1 2 2 2 2
2 2ln
c
b
tsen a t adt t y sen a t a t y
tt y
−
−
= − + − + − − −
∫
2 21
2 2tanh
c
b
y t ay
a t y
− − − =
−
( )2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2ln tanh
a y c ac y sen a c a c y y
c a c y
− −
− = − + − + − − − −
105
( )2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2ln tanh
a y b ab y sen a b a b y y
b a b y
− −
− − − + − + − − = −
( )2 2 2 2
2 2 11 2 2 2 2 2
2 lnc a c ya
C p p c y sen ac b a b y
− − + − = − − + − − + −
2 2 2 21 2 2 1 1
2 2 2 2tanh tanh
y c a a y b ay b y sen y
ba c y a b y
− − −
− − − − − − − −
( )( )1
2 3 2 23
c
b
tsen b t dtC p p
t y
−
= −−
∫ , aqui temos a solução exata de C3, e esta solução exata
tem solução para y = a.
( ) ( )1
2 2 1 2 2 2 2
2 2ln
c
b
tsen b t bdt t y sen b t b t y
tt y
−
−
= − + − + − − −
∫
2 21
2 2tanh
c
b
y t by
b t y
− − − =
−
( )2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2ln tanh
b y c bc y sen b c b c y y
c b c y
− −
− = − + − + − − − −
( )2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2ln tanh
b y b bb y sen b b b b y y
b b b y
− −
− − − + − + − − = −
( )2 2 2 2
2 2 12 3 2 2
3 lnc b c yb
C p p c y sen bc b y
− − + − = − − + − −
2 2
1 2 2
2 2tanh
2
y c by b y
b c y
π− − − − − −
106
Portanto, 1 2 3CC C C C= + +
( )2 2 2 23
2
pCC c y b y
π= − − − +
( )2 2 2 2
2 2 11 2 2 2 2 2
lnc a c ya
p p c y sen ac b a b y
− − + − + − − + − − + −
2 2 2 21 2 2 1 1
2 2 2 2tanh tanh
y c a a y b ay b y sen y
ba c y a b y
− − −
− − − − − − + − −
( )2 2 2 2
2 2 12 3 2 2
lnc b c yb
p p c y sen bc b y
− − + − + − − + − −
2 2
1 2 2
2 2tanh
2
y c by b y
b c y
π− − − − − −
Logo abaixo temos a equação que determina a espessura da fratura no intervalo 0 y a≤ < e todas as soluções são exatas. Porém, esta equação não tem solução para y a= as razões já foram explicadas acima.
( )( )
28 1( )w y AA BB CC
E
ν
π
−= + +
AAA1. ( )2
2 218 1
( )2
pw y a y
E
ν π
π
− = − +
( ) ( )2 2 2 2 2 2 121 22
p ab y a y p p b y sen
b
π − + − − − + − − +
2 2 2 2 2 2
1 2 2
2 2 2 2ln tanh
2
b a b y y b aa y a y
a y a b y
π− − + − − + − − − +
− −
( )2 2 2 23
2
pc y b y
π+ − − − +
( )2 2 2 2
2 2 11 2 2 2 2 2
lnc a c ya
p p c y sen ac b a b y
− − + − + − − + − − + −
107
2 2 2 21 2 2 1 1
2 2 2 2tanh tanh
y c a a y b ay b y sen y
ba c y a b y
− − −
− − − − − − + − −
( )2 2 2 2
2 2 12 3 2 2
lnc b c yb
p p c y sen bc b y
− − + − + − − + − −
2 21 2 2
2 2tanh
2
y c by b y
b c y
π− − − − − −
...........................................................................13
Agora temos abaixo a solução aproximada das integrais de B2, C2 e C3. E a equação que determina a espessura da fratura no intervalo 0 y a≤ ≤ .
( )1
1 2 2 22 ( )
b
a
tsen a tB p p dt
t y
−
= −−
∫ ,
( )( )1
1 2 2 22
c
b
tsen a t dtC p p
t y
−
= −−
∫ ,
( )( )1
2 3 2 23
c
b
tsen b t dtC p p
t y
−
= −−
∫ .
5 4 3 2
15 4 3 2
6, 2299 12,999 9,9655 3.1018 1,3697a a a a a a
sent t t t t t
− = − + − + −
0,0101−
5 4 3 21
5 4 3 26,2299 12,999 9,9655 3.1018 1,3697
b b b b b bsen
t t t t t t
− = − + − + −
0,0101−
Portanto,
( )1
1 2 2 22 ( )
b
a
tsen a tB p p dt
t y
−
= − =−
∫
5 4 31 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2
2 ( ) 6,2299 12,999 9,9655b b b
a a a
dt dt dtB p p a a a
t t y t t y t t y
= − − + −
− − −∫ ∫ ∫
108
2
2 2 2 2 2 23,1018 1,3697 0,0101
b b b
a a a
dt dt tdta a
t t y t y t y
− + −
− − − ∫ ∫ ∫
Resolvendo abaixo as diversas integrais que estão na equação B2;
( )2 2 2 2
5 53 44 2 2
221 6,2299 6,2299
3
bb
aa
t y t ydtB a a
t yt t y
− + = = = −
∫
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
53 4 3 4
2 26, 2299
3 3
b y b y a y a ya
b y a y
− + − + = −
1
2 24 4
2 2 33 2 2
122 12,999 12,999 sec
2 2
b
b
a
a
t ydt tB a a
t y y yt t y
− − = − = − + = −
∫
1 1
2 2 2 24
2 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
b y a yy ya
b y y b a y y a
− − − − = − + − +
2 2
3 322 2 2
23 9,9655 9,9655
bb
aa
t ydtB a a
tyt t y
− = = = −
∫
2 2 2 2
32 2
9,9655b y a y
aby ay
− − = −
2 2 1
2 2
124 3,1018 3,1018 cos
bb
a a
dt yB a a
y tt t y
− = − = − =
− ∫
2 1 11 13,1018 cos cos
y ya
y b y a
− −
= − −
( )2 2
2 225 1,3697 1,3697 ln
b b
aa
dtB a a t t y
t y
= = + − = −
∫
( ) ( ){ }2 2 2 21,3697 ln lna b b y a a y = + − − + − =
109
2 2
2 21,3697 ln
b b ya
a a y
+ − = + −
( )2 2
2 226 0,0101 0,0101
b b
aa
tdtB t y
t y= − = − − =
−∫
2 2 2 20,0101 b y a y = − − − −
Sendo,
( )( )1 22 21 22 23 24 25 26B p p B B B B B B= − + + + + + , e
1 2BB B B= + , então
( )2 2 2 22
2
pBB b y a y
π= − − − +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26,2299
3 3
b y b y a y a yp p a
b y a y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
b y a yy ya
b y y b a y y a
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
b y a y y ya a
by ay y b a
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
b b ya b y a y
a a y
+ − + − − − − + −
( )( )1
1 2 2 22
c
b
tsen a t dtC p p
t y
−
= − =−
∫
5 4 31 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2
( ) 6, 2299 12,999 9,9655c c c
b b b
dt dt dtp p a a a
t t y t t y t t y
= − − + −
− − −∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2 2 23,1018 1,3697 0,0101
c c c
b b b
dt dt tdta a
t t y t y t y
− + −
− − − ∫ ∫ ∫
110
Abaixo serão resolvidas as diversas integrais que estão na equação C2;
( )2 2 2 2
5 53 44 2 2
221 6, 2299 6, 2299
3
cc
bb
t y t ydtC a a
t yt t y
− + = = = −
∫
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
53 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b ya
c y b y
− + − + = −
2 2
4 4 12 2 33 2 2
122 12,999 12,999 cos
2 2
cc
bb
t ydt yC a a
t y y tt t y
− − = − = − + = −
∫
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − = − + − +
2 2
3 322 2 2
23 9,9655 9,9655
cc
bb
t ydtC a a
tyt t y
− = = = −
∫
2 2 2 2
32 2
9,9655c y b y
acy by
− − = −
2 2 1
2 2
124 3,1018 3,1018 cos
cc
b b
dt yC a a
y tt t y
− = − = − =
− ∫
2 1 113,1018 cos cos
y ya
y c b
− − = − −
( )2 2
2 225 1,3697 1,3697 ln
c c
bb
dtC a a t t y
t y
= = + − = −
∫
( ) ( ){ }2 2 2 21,3697 ln lna c c y b b y = + − − + − =
2 2
2 21,3697 ln
c c ya
b b y
+ − = + −
( )2 2
2 226 0,0101 0,0101
c c
bb
tdtC t y
t y= − = − − =
−∫
111
2 2 2 20,0101 c y b y = − − − −
Sendo,
( ) ( )1 22 21 22 23 24 25 26C p p C C C C C C= − + + + + +
( )( )1
2 3 2 23
c
b
tsen b t dtC p p
t y
−
= − =−
∫
5 4 32 3 4 2 2 3 2 2 2 2 2
( ) 6, 2299 12,999 9,9655c c c
b b b
dt dt dtp p b b b
t t y t t y t t y
= − − + −
− − −∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2 2 23,1018 1,3697 0,0101
c c c
b b b
dt dt tdtb b
t t y t y t y
− + −
− − − ∫ ∫ ∫
Abaixo serão resolvidas as diversas integrais que estão na equação C3;
( )2 2 2 2
5 53 44 2 2
231 6, 2299 6, 2299
3
cc
bb
t y t ydtC b b
t yt t y
− + = = = −
∫
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
53 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b yb
c y b y
− + − + = −
2 2
4 4 12 2 33 2 2
132 12,999 12,999 cos
2 2
cc
bb
t ydt yC b b
t y y tt t y
− − = − = − + = −
∫
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy yb
c y y c b y y b
− − − − = − + − +
2 2
3 322 2 2
33 9,9655 9,9655
cc
bb
t ydtC b b
tyt t y
− = = = −
∫
2 2 2 2
32 2
9,9655c y b y
bcy by
− − = −
112
2 2 1
2 2
134 3,1018 3,1018 cos
cc
b b
dt yC b b
y tt t y
− = − = − =
− ∫
2 1 113,1018 cos cos
y yb
y c b
− − = − −
( )2 2
2 235 1,3697 1,3697 ln
b c
ba
dtC b b t t y
t y
= = + − = −
∫
( ) ( ){ }2 2 2 21,3697 ln lnb c c y b b y = + − − + − =
2 2
2 21,3697 ln
c c yb
b b y
+ − = + −
( )2 2
2 236 0,0101 0,0101
c c
bb
tdtC t y
t y= − = − − =
−∫
2 2 2 20,0101 c y b y = − − − −
Sendo,
( )( )2 33 31 32 33 34 35 36C p p C C C C C C= − + + + + +
Portanto, 1 2 3CC C C C= + + e Logo abaixo temos a equação que determina a espessura da fratura no intervalo 0 y a≤ ≤ e as soluções de B2, C2 e C3 são aproximadas. Esta equação tem solução para y a= .
( )( )
28 1( )w y AA BB CC
E
ν
π
−= + +
2 21
2
pAA a y
π= −
( )2 2 2 2212
pB b y a y
π= − − −
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 22 6, 2299
3 3
b y b y a y a yB p p a
b y a y
− + − + = − − −
113
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
b y a yy ya
b y y b a y y a
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
b y a y y ya a
by ay y b a
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
b b ya b y a y
a a y
+ − + − − − − + −
BB=B1+B2
( )2 2 2 22
2
pBB b y a y
π= − − − +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26,2299
3 3
b y b y a y a yp p a
b y a y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
b y a yy ya
b y y b a y y a
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
b y a y y ya a
by ay y b a
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
b b ya b y a y
a a y
+ − + − − − − + −
CC=C1+C2+C3
( )2 2 2 2312
pC c y b y
π= − − −
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 22 6, 2299
3 3
c y c y b y b yC p p a
c y b y
− + − + = − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
114
2 2 2 23 2 1 1
2 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y ya a
cy by y c b
− − − − + − − − +
2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c ya c y b y
b b y
+ − + − − − − + −
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
52 3 3 4 3 4
2 23 ( ) 6,2299
3 3
c y c y b y b yC p p b
c y b y
− + − + = − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy yb
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y yb b
cy by y c b
− − − − + − − − +
2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c yb c y b y
b b y
+ − + − − − − + −
( )2 2 2 23
2
pCC c y b y
π= − − − +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26,2299
3 3
c y c y b y b yp p a
c y b y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y ya a
cy by y c b
− − − − + − − − +
2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c ya c y b y
b b y
+ − + − − − − + + −
115
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
52 3 3 4 3 4
2 2( ) 6, 2299
3 3
c y c y b y b yp p b
c y b y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy yb
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y yb b
cy by y c b
− − − − + − − − +
2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c yb c y b y
b b y
+ − + − − − − + −
AAA2. ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 21 28 1
( )2 2
p pw y a y b y a y
E
ν π π
π
− = − + − − − +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26,2299
3 3
b y b y a y a yp p a
b y a y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
b y a yy ya
b y y b a y y a
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
b y a y y ya a
by ay y b a
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
b b ya b y a y
a a y
+ − + − − − − + + −
( )2 2 2 23
2
pc y b y
π+ − − − +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26,2299
3 3
c y c y b y b yp p a
c y b y
− + − + + − − −
116
2 2 2 24 1 1
2 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y ya a
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c ya c y b y
b b y
+ − + − − − − + + −
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
52 3 3 4 3 4
2 2( ) 6, 2299
3 3
c y c y b y b yp p b
c y b y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy yb
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y yb b
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c yb c y b y
b b y
+ − + − − − − + −
.......................................14
Aqui termina as duas soluções (exata e aproximada) para o intervalo entre zero e a. III- A solução da equação de England&Green para três zonas com tensões confinantes diferentes, para o intervalo da fratura de [a; b].
( )2
2 2 2 20
8 1( )
c t
y
t pw y dy dt
E t y t y
ν
π
− = = − −
∫ ∫
1 2
2 2 2 2 2 20
b a t
y a
p ptdy dy dt
t y t y t y
+ + − − −
∫ ∫ ∫ (=AA)
31 2
2 2 2 2 2 2 2 20
c a b t
b a a
pp ptdy dy dy dt
t y t y t y t y
+ + + − − − −
∫ ∫ ∫ ∫ (=BB)
Resolvendo a integral no intervalo de a a b.
117
1 2
2 2 2 2 2 20
b a t
y a
p ptAA dy dy dt
t y t y t y
= + − − −
∫ ∫ ∫
1 111 1 12 2 2 2
00 0
1aa a
p dy y aa dy p p sen p sen
t tt y t y
− − = = = =
− −∫ ∫
1 12 22 2 22 2 2 2
22
tt t
aa a
p pdy y aa dy p p sen p sen
t tt y t y
π− − = = = = −
− −∫ ∫
( ) 121 22 2 2
b
y
pt aAA p p sen dt
tt y
π − = + −
−∫
( ) ( ) ( )12 1 2
2 2 2 2
2b b
y y
p t p p tsen a tAA dt dt
t y t y
π −−= +
− −∫ ∫
( ) ( )2 2 2 2 22 2
2 2
21
2 2
b b
yy
p t p pA dt t y b y
t y
π π π= = − = −
−∫
( ) ( )11 2
2 22
b
y
p p tsen a tA dt
t y
−−=
−∫
A equação acima A2, não tem solução exata para valores entre y e b conforme descrito abaixo, pois ocorrerá uma divisão por zero no argumento do arco tangente hiperbólico. Para sair desta impossibilidade é feita uma solução analítica aproximada por função polinômio do 5º grau.
( ) ( )1
2 2 1 2 2 2 2
2 2ln
b
y
tsen a t adt t y sen a t a t y
tt y
−
− = − + − + − −
−∫
2 21
2 2tanh
b
y
y t ay
a t y
− − − =
−
( )2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2ln tanh
a y b ab y sen a b a b y y
b a b y
− −
− = − + − + − − − −
( )2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2ln tanh
y y aay y sen a y a y y y
y a y y
− −
− − − + − + − − = −
118
( )2 2
2 2 1ln tanh0
y y aa y a y
− − = − −
5 4 3 21
5 4 3 26,2299 12,999 9,9655 3.1018 1,3697 0,0101
a a a a a asen
t t t t t t
− = − + − + −
( )( )1
1 2 2 22
b
y
tsen a tA p p dt
t y
−
= − =−
∫
5 4 31 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2
( ) 6, 2299 12,999 9,9655b b b
y y y
dt dt dtp p a a a
t t y t t y t t y
= − − + −
− − −∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2 2 23,1018 1,3697 0,0101
b b b
y y y
dt dt tdta a
t t y t y t y
− + −
− − − ∫ ∫ ∫
Abaixo serão resolvidas as diversas integrais que estão na equação A2;
( )2 2 2 2
5 53 44 2 2
221 6,2299 6,2299
3
bb
yy
t y t ydtA a a
t yt t y
− + = = = −
∫
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
53 4 3 4
2 26, 2299
3 3
b y b y y y y ya
b y y y
− + − + = − =
( )2 2 2 2
53 4
26, 2299
3
b y b ya
b y
− + =
2 2
4 4 12 2 33 2 2
122 12,999 12,999 cos
2 2
bb
yy
t ydt yA a a
t y y tt t y
− − = − = − + = −
∫
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
b y y yy ya
b y y b y y y y
− − − − = − + − + =
2 2
4 12 2 3
112,999 cos
2 2
b y ya
b y y b
− − = − +
119
2 23 3
22 2 223 9,9655 9,9655
bb
yy
t ydtA a a
tyt t y
− = = = −
∫
2 2 2 2
32 2
9,9655b y y y
aby yy
− − = − =
2 2
32
9,9655b y
aby
− =
2 2 1
2 2
124 3,1018 3,1018 cos
bb
y y
dt yA a a
y tt t y
− = − = − =
− ∫
2 1 1 113,1018 cos cos cos
y y ya
y b b y
− − −
= − − =
2 113,1018 cos
ya
y b
− = −
( )2 2
2 225 1,3697 1,3697 ln
b b
yy
dtA a a t t y
t y
= = + − = −
∫
( ) ( ){ }2 2 2 21,3697 ln lna b b y y y y = + − − + − =
2 2
1,3697 lnb b y
ay
+ − =
( )2 2
2 226 0,0101 0,0101
b b
yy
tdtA t y
t y= − = − − =
−∫
2 2 2 20,0101 b y y y = − − − − =
2 20,0101 b y = − −
Sendo,
( )( )1 22 21 22 23 24 25 26A p p A A A A A A= − + + + + + e 1 2AA A A= +
120
( )( )2 2 2 2
2 2 521 2 3 4
26,2299
2 3
b y b ypAA b y p p a
b y
π − + = − + − −
2 2 2 2
4 1 32 2 3 2
112,999 cos 9,9655
2 2
b y b yya a
b y y b by
− − −
− + + −
2 2
2 1 2 213,1018 cos 1,3697 ln 0,0101
b b yya a b y
y b y
− + −
− + − −
31 2
2 2 2 2 2 2 2 20
c a b t
b a a
pp ptBB dy dy dy dt
t y t y t y t y
= + + − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
1 111 1 12 2 2 2
00 0
1aa a
p dy y ab dy p p sen p sen
t tt y t y
− − = = = =
− −∫ ∫
1 1 122 2 2 22 2 2 2
2bb b
aa a
p dy y b ab dy p p sen p sen p sen
t t tt y t y
− − − = = = = −
− −∫ ∫
1 1 133 3 3 32 2 2 2
3tt t
bb b
p dy y t bb dy p p sen p sen p sen
t t tt y t y
− − − = = = = −
− −∫ ∫
1333
2
p bb p sen
t
π − = −
( ) ( )1 131 2 2 32 2 2
c
b
pt a bBB p p sen p p sen dt
t tt y
π − − = + − + −
−∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 13 1 2 2 3
2 2 2 2 2 2
2c c c
b b b
p t p p tsen a t p p tsen b tBB dt dt dt
t y t y t y
π − −− −= + +
− − −∫ ∫ ∫
( ) ( )3 2 23 3
2 2 2 2
21
2 2
c c c
bb b
p t p ptB dt dt t y
t y t y
π π π= = = −
− −∫ ∫
( )2 2 2 2312
pB c y b y
π= − − − *
121
( ) ( )11 2
2 22
c
b
p p tsen a tB dt
t y
−−=
−∫
( )( )1
1 2 2 22
c
b
tsen a tB p p dt
t y
−
= −−
∫
5 4 3 2
15 4 3 2
6,2299 12,999 9,9655 3.1018 1,3697a a a a a a
sent t t t t t
− = − + − + −
0,0101−
( )( )1
1 2 2 22
c
b
tsen a tB p p dt
t y
−
= − =−
∫
5 4 31 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2
( ) 6, 2299 12,999 9,9655c c c
b b b
dt dt dtp p a a a
t t y t t y t t y
= − − + −
− − −∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2 2 23,1018 1,3697 0,0101
c c c
b b b
dt dt tdta a
t t y t y t y
− + −
− − − ∫ ∫ ∫
Abaixo serão resolvidas as diversas integrais que estão na equação A2;
( )2 2 2 2
5 53 44 2 2
221 6,2299 6,2299
3
cc
bb
t y t ydtB a a
t yt t y
− + = = = −
∫
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
53 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b ya
c y b y
− + − + = −
2 24 4 1
2 2 33 2 2
122 12,999 12,999 cos
2 2
cc
bb
t ydt yB a a
t y y tt t y
− − = − = − + = −
∫
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − = − + − +
2 2
3 322 2 2
23 9,9655 9,9655
cc
bb
t ydtB a a
tyt t y
− = = = −
∫
122
2 2 2 23
2 29,9655
c y b ya
cy by
− − = −
2 2 1
2 2
124 3,1018 3,1018 cos
cc
b b
dt yB a a
y tt t y
− = − = − =
− ∫
2 1 113,1018 cos cos
y ya
y c b
− − = − −
( )2 2
2 225 1,3697 1,3697 ln
c c
bb
dtB a a t t y
t y
= = + − = −
∫
( ) ( ){ }2 2 2 21,3697 ln lna c c y b b y = + − − + −
( )2 2
2 226 0,0101 0,0101
c c
bb
tdtB t y
t y= − = − − =
−∫
2 2 2 20,0101 c y b y = − − − −
Sendo,
( )( )1 22 21 22 23 24 25 26B p p B B B B B B= − + + + + +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 22 6, 2299
3 3
c y c y b y b yB p p a
c y b y
− + − + = − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y ya a
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c ya c y b y
b b y
+ − + − − − − + −
Abaixo a solução exata de B3.
123
( )( )1
2 3 2 23
c
b
tsen b tB p p dt
t y
−
= −−
∫
( ) ( )1
2 2 1 2 2 2 2
2 2ln
c
b
tsen b t bdt t y sen b t b t y
tt y
−
− = − + − − − −
−∫
2 2
1
2 2tanh
y t by
b t y
− − − =
−
( )2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2ln tanh
c
b
b y t bt y sen b t b t y y
t b t y
− − − = − + − − − − −
( )2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2ln tanh
b y c bc y sen b c b c y y
c b c y
− − − = − + − − − − − −
( )2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2ln tanh
b y b bb y sen b b b b y y
b b b y
− − − − − + − − − − = −
2 2 2 2 2 2
2 2 1 1 2 2
2 2 2 2ln tanh
2
c b c yb y c bc y sen b y b y
c b y b c y
π− − − − − − = − + − − − − −
( )2 2 2 2 2 2
2 2 1 12 3 2 2 2 2
3 ln tanhc b c yb y c b
B p p c y sen b yc b y b c y
− − − − − − = − − + − − − −
2 2
2b y
π − −
, Esta solução exata, não tem solução para y = b, pois o denominador do
logaritmo torna-se zero e também o argumento do arco tangente hiperbólico fica igual a 1, e não existe arco tangente hiperbólico de 1. Sendo 1 2 3BB B B B= + +
( )2 2 2 23
2
pBB c y b y
π= − − − +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b yp p a
c y b y
− + − + + − − −
124
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y ya a
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c ya c y b y
b b y
+ − + − − − − + + −
( )2 2 2 2 2 2
2 2 1 12 3 2 2 2 2
ln tanhc b c yb y c b
p p c y sen b yc b y b c y
− − − − − − + − − + − − − −
2 2
2b y
π − −
( )( )
28 1( )w y AA BB
E
ν
π
−= + , então a expressão abaixo é a equação que descreve a
espessura da fratura no intervalo de variação de y de a a b, tendo a solução da equação B3 exata.
BBB1. ( )2
2 228 1
( )2
pw y b y
E
ν π
π
− = − +
( )( )2 2 2 2
51 2 3 4
26,2299
3
b y b yp p a
b y
− + + − −
2 2 2 2
4 1 32 2 3 2
112,999 cos 9,9655
2 2
b y b yya a
b y y b by
− − −
− + + −
2 2
2 1 2 213,1018 cos 1,3697 ln 0,0101
b b yya a b y
y b y
− + −
− + − −
( )2 2 2 23
2
pc y b y
π+ − − − +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b yp p a
c y b y
− + − + + − − −
125
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y ya a
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c ya c y b y
b b y
+ − + − − − − + + −
( )2 2 2 2 2 2
2 2 1 12 3 2 2 2 2
ln tanhc b c yb y c b
p p c y sen b yc b y b c y
− − − − − − + − − + − − − −
2 2
2b y
π − −
.................................................................................................................15
Fazendo abaixo a solução da B3 aproximada.
( ) ( )12 3
2 23
c
b
p p tsen b tB dt
t y
−−=
−∫
( )( )1
2 3 2 23
c
b
tsen b tB p p dt
t y
−
= −−
∫
5 4 3 2
15 4 3 2
6,2299 12,999 9,9655 3.1018 1,3697b b b b b b
sent t t t t t
− = − + − + −
0,0101−
( )( )1
2 3 2 23
c
b
tsen b tB p p dt
t y
−
= − =−
∫
5 4 32 3 4 2 2 3 2 2 2 2 2
( ) 6, 2299 12,999 9,9655c c c
b b b
dt dt dtp p b b b
t t y t t y t t y
= − − + −
− − −∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2 2 23,1018 1,3697 0,0101
c c c
b b b
dt dt tdtb b
t t y t y t y
− + −
− − − ∫ ∫ ∫
Abaixo serão resolvidas as diversas integrais que estão na equação B3;
126
( )2 2 2 2
5 53 44 2 2
231 6,2299 6,2299
3
cc
bb
t y t ydtB b b
t yt t y
− + = = = −
∫
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
53 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b yb
c y b y
− + − + = −
2 24 4 1
2 2 33 2 2
132 12,999 12,999 cos
2 2
cc
bb
t ydt yB b b
t y y tt t y
− − = − = − + = −
∫
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy yb
c y y c b y y b
− − − − = − + − +
2 2
3 322 2 2
33 9,9655 9,9655
cc
bb
t ydtB b b
tyt t y
− = = = −
∫
2 2 2 2
32 2
9,9655c y b y
bcy by
− − = −
2 2 1
2 2
134 3,1018 3,1018 cos
cc
b b
dt yB b b
y tt t y
− = − = − =
− ∫
2 1 113,1018 cos cos
y yb
y c b
− − = − −
( )2 2
2 235 1,3697 1,3697 ln
c c
bb
dtB b b t t y
t y
= = + − = −
∫
( ) ( ){ }2 2 2 21,3697 ln lnb c c y b b y = + − − + −
( )2 2
2 236 0,0101 0,0101
c c
bb
tdtB t y
t y= − = − − =
−∫
2 2 2 20,0101 c y b y = − − − −
Sendo,
127
( )( )2 33 31 32 33 34 35 36B p p B B B B B B= − + + + + +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
52 3 3 4 3 4
2 23 6, 2299
3 3
c y c y b y b yB p p b
c y b y
− + − + = − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy yb
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y yb b
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c yb c y b y
b b y
+ − + − − − − + −
Sendo 1 2 3BB B B B= + +
( )2 2 2 23
2
pBB c y b y
π= − − − +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b yp p a
c y b y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y ya a
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c ya c y b y
b b y
+ − + − − − − + + −
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
52 3 3 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b yp p b
c y b y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy yb
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
128
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y yb b
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c yb c y b y
b b y
+ − + − − − − + −
( )( )
28 1( )w y AA BB
E
ν
π
−= + , então a expressão abaixo é a equação que descreve a
espessura da fratura no intervalo de variação de y de a a b, sendo a solução da equação B3 aproximada.
BBB2. ( )2
2 228 1
( )2
pw y b y
E
ν π
π
− = − +
( )( )2 2 2 2
51 2 3 4
26,2299
3
b y b yp p a
b y
− + + − −
2 2 2 2
4 1 32 2 3 2
112,999 cos 9,9655
2 2
b y b yya a
b y y b by
− − −
− + + −
2 2
2 1 2 213,1018 cos 1,3697 ln 0,0101
b b yya a b y
y b y
− + −
− + − − +
( )2 2 2 23
2
pc y b y
π+ − − − +
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
51 2 3 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b yp p a
c y b y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy ya
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y ya a
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c ya c y b y
b b y
+ − + − − − − + + −
129
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
52 3 3 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y b y b yp p b
c y b y
− + − + + − − −
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y b yy yb
c y y c b y y b
− − − − − + − + +
2 2 2 2
3 2 1 12 2
19,9655 3,1018 cos cos
c y b y y yb b
cy by y c b
− − − − + − − − +
( )2 2
2 2 2 2
2 21,3697 ln 0,0101
c c yb c y b y
b b y
+ − + − − − − + −
.......................................16
Aqui termina as duas soluções (exata e aproximada) para o intervalo entre a e b. IV- A solução equação de England&Green para três zonas com tensões confinantes diferentes, para o intervalo da fratura de [b; c].
( )2
2 2 2 20
8 1( )
c t
y
t pw y dy dt
E t y t y
ν
π
− = − −
∫ ∫
( )2
31 2
2 2 2 2 2 2 2 20
8 1( )
c a b t
y a b
pp ptw y dy dy dy dt
E t y t y t y t y
υ
π
− = + + − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
31 2
2 2 2 2 2 2 2 20
c a b t
y a b
pp ptdy dy dy dt
t y t y t y t y
+ + − − − −
∫ ∫ ∫ ∫ (=AA)
1 111 1 12 2 2 2
00 0
1aa a
p dy y aa dy p p sen p sen
t tt y t y
− − = = = =
− −∫ ∫
1 1 122 2 2 22 2 2 2
2bb b
aa a
p dy y b aa dy p p sen p sen p sen
t t tt y t y
− − − = = = = −
− −∫ ∫
1 1 133 3 3 32 2 2 2
3tt t
bb b
p dy y t ba dy p p sen p sen p sen
t t tt y t y
− − − = = = = −
− −∫ ∫
1333
2
p ba p sen
t
π − = −
130
( )28 1( )w y AA
E
υ
π
−=
1 1 1 131 2 2 32 2 2
c
y
pt a b a bAA p sen p sen p sen p sen dt
t t t tt y
π− − − − = + − + −
−∫
( ) ( )1 131 2 2 32 2 2
c
y
pt a bAA p p sen p p sen dt
t tt y
π − − = + − + −
−∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
3 1 2 2 3
2 2 2 2 2 2
2c c c
y y y
p t p p tsen a t p p tsen b tAA dt dt dt
t y t y t y
π − −− −= + +
− − −∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )3 2 2 2 23 3 3
2 2 2 2
21
2 2 2
c c c
yy y
p t p p ptA dt dt t y c y
t y t y
π π π π= = = − = −
− −∫ ∫
( ) ( )1
1 2
2 22
c
y
p p tsen a tA dt
t y
−−=
−∫
A equação acima A2, não tem solução exata para valores entre y e c conforme descrito anteriormente, pois ocorrerá uma divisão por zero no argumento do arco tangente hiperbólico. Para sair desta impossibilidade é feita uma solução analítica aproximada por função polinômio do 5º grau.
5 4 3 21
5 4 3 26,2299 12,999 9,9655 3.1018 1,3697
a a a a a asen
t t t t t t
− = − + − + −
0,0101−
( )( )1
1 2 2 22
c
y
tsen a tA p p dt
t y
−
= − =−
∫
5 4 31 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2
( ) 6, 2299 12,999 9,9655c c c
y y y
dt dt dtp p a a a
t t y t t y t t y
= − − + −
− − −∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2 2 23,1018 1,3697 0,0101
c c c
y y y
dt dt tdta a
t t y t y t y
− + −
− − − ∫ ∫ ∫
Abaixo serão resolvidas as diversas integrais que estão na equação A2;
131
( )2 2 2 2
5 53 44 2 2
221 6,2299 6,2299
3
cc
yy
t y t ydtA a a
t yt t y
− + = = = −
∫
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
53 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y y y y ya
c y y y
− + − + = − =
( )2 2 2 2
53 4
26, 2299
3
c y c ya
c y
− + =
2 24 4 1
2 2 33 2 2
122 12,999 12,999 cos
2 2
cc
yy
t ydt yA a a
t y y tt t y
− − = − = − + = −
∫
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y y yy ya
c y y c y y y y
− − − − = − + − + =
2 2
4 12 2 3
112,999 cos
2 2
c y ya
c y y c
− − = − +
2 2
3 322 2 2
23 9,9655 9,9655
cc
yy
t ydtA a a
tyt t y
− = = = −
∫
2 2 2 2
32 2
9,9655c y y y
acy yy
− − = − =
2 2
32
9,9655c y
acy
− =
2 2 1
2 2
124 3,1018 3,1018 cos
cc
y y
dt yA a a
y tt t y
− = − = − =
− ∫
2 1 113,1018 cos cos
y ya
y c y
− −
= − − =
2 113,1018 cos
ya
y c
− = −
132
( )2 2
2 225 1,3697 1,3697 ln
c c
yy
dtA a a t t y
t y
= = + − = −
∫
( ) ( ){ }2 2 2 21,3697 ln lna c c y y y y = + − − + − =
2 2
1,3697 lnc c y
ay
+ − =
( )2 2
2 226 0,0101 0,0101
c c
yy
tdtA t y
t y= − = − − =
−∫
2 2 2 20,0101 c y y y = − − − − =
2 20,0101 c y = − −
Sendo,
( )( )1 22 21 22 23 24 25 26A p p A A A A A A= − + + + + +
( )( )2 2 2 2
51 2 3 4
22 6, 2299
3
c y c yA p p a
c y
− + = − −
2 2
4 12 2 3
112,999 cos
2 2
c y ya
c y y c
− −
− + +
2 2
3 2 12
19,9655 3,1018 cos
c y ya a
cy y c
− − + − +
2 2
2 21,3697 ln 0,0101c c y
a c yy
+ − + − −
( ) ( )12 3
2 23
c
y
p p tsen b tA dt
t y
−−=
−∫
( )( )1
2 3 2 23
c
y
tsen b tA p p dt
t y
−
= −−
∫
133
5 4 3 2
15 4 3 2
6,2299 12,999 9,9655 3.1018 1,3697b b b b b b
sent t t t t t
− = − + − + −
0,0101−
( )( )1
2 3 2 23
c
y
tsen b tA p p dt
t y
−
= − =−
∫
5 4 32 3 4 2 2 3 2 2 2 2 2
( ) 6, 2299 12,999 9,9655c c c
y y y
dt dt dtp p b b b
t t y t t y t t y
= − − + −
− − −∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2 2 23,1018 1,3697 0,0101
c c c
y y y
dt dt tdtb b
t t y t y t y
− + −
− − − ∫ ∫ ∫
Abaixo serão resolvidas as diversas integrais que estão na equação B3;
( )2 2 2 2
5 53 44 2 2
231 6,2299 6, 2299
3
cc
yy
t y t ydtA b b
t yt t y
− + = = = −
∫
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
53 4 3 4
2 26, 2299
3 3
c y c y y y y yb
c y y y
− + − + = − =
( )2 2 2 2
53 4
26, 2299
3
c y c yb
c y
− + =
2 24 4 1
2 2 33 2 2
132 12,999 12,999 cos
2 2
cc
yy
t ydt yA b b
t y y tt t y
− − = − = − + = −
∫
2 2 2 2
4 1 12 2 3 2 2 3
1 112,999 cos cos
2 2 2 2
c y y yy yb
c y y c y y y y
− − − − = − + − + =
2 2
4 12 2 3
112,999 cos
2 2
c y yb
c y y c
− − = − +
2 2
3 322 2 2
33 9,9655 9,9655
cc
yy
t ydtA b b
tyt t y
− = = = −
∫
134
2 23
29,9655
c yb
cy
− =
2 2 1
2 2
134 3,1018 3,1018 cos
cc
y y
dt yA b b
y tt t y
− = − = − =
− ∫
2 1 113,1018 cos cos
y yb
y c y
− −
= − − =
2 113,1018 cos
yb
y c
− = −
( )2 2
2 235 1,3697 1,3697 ln
c c
yy
dtA b b t t y
t y
= = + − = −
∫
( ) ( ){ }2 2 2 21,3697 ln lnb c c y y y y = + − − + − =
2 2
1,3697 lnc c y
by
+ − =
( )2 2
2 236 0,0101 0,0101
c c
yy
tdtA t y
t y= − = − − =
−∫
2 2 2 20,0101 c y y y = − − − − =
2 20,0101 c y= − −
Sendo,
( )( )2 33 31 32 33 34 35 36A p p A A A A A A= − + + + + +
( )( )2 2 2 2
52 3 3 4
23 6, 2299
3
c y c yA p p b
c y
− + = − −
2 2
4 12 2 3
112,999 cos
2 2
c y yb
c y y c
− −
− + +
135
2 2
3 2 12
19,9655 3,1018 cos
c y yb b
cy y c
− − + − +
2 22 21,3697 ln 0,0101
c c yb c y
y
+ − + − −
Sendo 1 2 3AA A A A= + +
( )( )
28 1( )w y AA
E
ν
π
−= , então a expressão abaixo é a equação que descreve a espessura
da fratura no intervalo de variação de y de b a c. Nesta as soluções de A2 e A3 são aproximadas.
CCC2. ( )2
2 238 1
( )2
pw y c y
E
ν π
π
− = − +
( )( )2 2 2 2
51 2 3 4
26, 2299
3
c y c yp p a
c y
− + + − −
2 2 2 2
4 1 32 2 3 2
112,999 cos 9,9655
2 2
c y c yya a
c y y c cy
− − −
− + + −
2 2
2 1 2 213,1018 cos 1,3697 ln 0,0101
c c yya a c y
y c y
− + −
− + − − +
( )( )2 2 2 2
52 3 3 4
26, 2299
3
c y c yp p b
c y
− + + − −
2 2
4 12 2 3
112,999 cos
2 2
c y yb
c y y c
− −
− + +
2 2
3 2 12
19,9655 3,1018 cos
c y yb b
cy y c
− − + − +
2 2
2 21,3697 ln 0,0101c c y
b c yy
+ − + − −
.............................................................17
136
Aqui termina a solução aproximada para o intervalo entre b e c.
137
ANEXO III. A função polinômio usada como aproximação da função arco seno para tornar a solução analítica de uma integral sem solução analítica em determinado intervalo de integração. Durante a solução da equação de England&Green as integrais abaixo não apresentam solução analítica para alguns intervalos de integração, para ultrapassar estas situações é feita uma aproximação da função arco seno por um polinômio e desta forma podemos fazer a integração de forma analítica. A figura 4.11 mostra esta aproximação.
( )1
2 2
b
y
tsen a tdt
t y
−
−∫ e
( )1
2 2
c
b
tsen b tdt
t y
−
−∫
Fazendo, a
xt
= ou b
xt
= , e usando uma planilha por regressão linear, temos,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 5 4 3 26,2299 12,999 9,9655 3.1018 1,3697 0,0101sen x x x x x x− = − + − + −
Figura 4.11: aproximação por polinômio da função arco seno.
5 4 3 2
15 4 3 2
6,2299 12,999 9,9655 3.1018 1,3697a a a a a a
sent t t t t t
− = − + − + −
0,0101−
5 4 3 21
5 4 3 26,2299 12,999 9,9655 3.1018 1,3697
b b b b b bsen
t t t t t t
− = − + − + −
0,0101−
