USO DO MODELO DO ERRO DE APROXIMAÇÃO PARA …w2.files.scire.net.br/atrio/ufrj-pem_upl/THESIS/1410/pemufrj2014... · 2. Erro de Aproximação. 3. ... (0.0) . ... 50. x Figura 6.27

USO DO MODELO DO ERRO DE APROXIMAÇÃO PARA ESTIMATIVA DE

FLUXO DE CALOR NA USINAGEM POR BRUNIMENTO

Maycon Cesar Figueira Magalhães

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande

Rio de Janeiro

Outubro de 2014




DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.

________________________________________________

Prof. Marcelo José Colaço, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Gilmar Guimarães, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

OUTUBRO DE 2014

iii

Magalhães, Maycon Cesar Figueira

Uso do Modelo do Erro de Aproximação para

Estimativa de Fluxo de Calor na Usinagem por

Brunimento/ Maycon Cesar Figueira Magalhães. – Rio de

Janeiro: UFRJ/COPPE, 2014.

XV, 82 p.: il.; 29,7 cm.


Dissertação (Mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Mecânica, 2014.

Referências Bibliográficas: p. 79-82.

1. Problemas Inversos. 2. Erro de Aproximação. 3.

Inferência Bayesiana. 4. Fluxo de Calor. I. Orlande,

Helcio Rangel Barreto. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III.

Título.

iv

Agradecimentos

Agradeço a Deus e a todos que me ajudaram neste trabalho.

v

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)




Outubro/2014


Programa: Engenharia Mecânica

Neste trabalho, investiga-se a aplicabilidade da abordagem Bayesiana com erro

de aproximação para compensar a discrepância entre modelos bidimensional e de

parâmetros concentrados, a fim de estimar o fluxo de calor gerado em ferramenta de

corte durante processo de brunimento. A técnica de transformada integral clássica

(CITT) é utilizada para resolver o problema Bidimensional de condução de calor. O

problema inverso de estimativa de fluxo de calor é resolvido pelo método de Monte

Carlo via Cadeias de Markov. A solução do problema inverso, com modelo reduzido

para o problema direto e o uso do modelo de erro de aproximação, apresenta custo

computacional baixo e excelente concordância com a função exata do fluxo de calor.

vi

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

USE OF APROXIMATION ERROR MODEL TO ESTIMATE THE HEAT FLUX IN

HONING PROCESS


October/2014

Advisor: Helcio Rangel Barreto Orlande

Department: Mechanical Engineering

In this work, we investigate the applicability of the Bayesian approximation

error approach to compensate the discrepancy between a two-dimensional and a lumped

model, to estimate the heat flux over a cutting tool during the process of honing. The

Classical Integral Transform Technique (CITT) is used to solve the two-dimensional

problem. The inverse problem of estimating heat flux is solved with the Markov Chain

Monte Carlo method. The solution of inverse problem, by using the reduced model for

the direct problem and approximation error model, is obtained with a quite reduced

computational cost and shows as excellent agreement with the exact functional form of

the heat flux.

vii

SUMÁRIO

1 Introdução.................................................................................................................. 1

2 Revisão Bibliográfica ................................................................................................ 3

2.1 Inferência Bayesiana .......................................................................................... 3

2.1.1 Problemas Inversos em Usinagem .............................................................. 5

2.1.2 Modelo do Erro de Aproximação ............................................................... 8

3 Problema Físico e Formulação Matemática ............................................................ 12

3.1 Problema Físico ............................................................................................... 12

3.2 Formulação Matemática .................................................................................. 13

3.2.1 Modelo Completo-Bidimensional ............................................................ 14

3.2.2 Grupos Adimensionais ............................................................................. 16

3.2.3 Modelo Reduzido –Parâmetros Concentrados ......................................... 17

4 Solução do Problema Direto ................................................................................... 19

4.1.1 Solução Analítica Problema Bidimensional-Modelo Completo .............. 19

4.1.2 Solução Analítica Parâmetros Concentrados-Modelo Reduzido.............. 22

5 Problema inverso ..................................................................................................... 23

5.1 Problema Inverso ............................................................................................. 23

5.1.1 Inversão Estatística ................................................................................... 23

5.1.2 Modelo de Erro Convencional .................................................................. 24

5.1.3 Modelo de Erro de Aproximação ............................................................. 25

5.1.4 Algoritmo Metropolis-Hastings- MCMC ................................................. 28

6 Resultados ............................................................................................................... 30

6.1 Problema direto ................................................................................................ 30

6.1.1 Comparação do Modelo Bidimensional com o Modelo de Parâmetros

Concentrados ........................................................................................................... 32

6.2 Análise de Convergência Estatísticas do Erro de Aproximação ...................... 35

6.3 Problema Inverso ............................................................................................. 39

6.3.1 Caso-teste 1- Estimativa de Função com Modelo Reduzido e Erro de

Aproximação ........................................................................................................... 40

6.3.2 Caso-teste 2 - Estimativa de Função com Modelo Completo e Erro

Convencional. .......................................................................................................... 52

6.3.3 Caso teste 3 - Estimativa de Função com Modelo Reduzido e Erro

Convencional. .......................................................................................................... 57

6.3.4 Caso-teste 4- Estimativa de Função com Modelo Completo e de Erro de

Aproximação Utilizando Fluxo Desconhecida. ...................................................... 59

6.3.5 Caso-teste 5 - Estimativa de Função com Modelo Completo e de Erro de

Aproximação Utilizando Fluxo Desconhecida com Alto de Desvio Padrão .......... 66


Convencional. .......................................................................................................... 72

viii

7 Conclusões e Sugestões ........................................................................................... 77

ix

Índice de Figuras

Figura 3.1 Descrição do movimento do cabeçote de brunimento. [6] ............................ 12

Figura 3.2 Representação do problema físico: (a) Condição de contorno na ferramenta;

(b) Seção transversal da ferramenta; (c) Condição de simetria na ferramenta. [6] ........ 14

Figura 3.3 Posições que serão analisada ao longo da ferramenta. .................................. 15

Figura 3.4 Representação do Problema Físico por Parâmetros Concentrados. [6] ........ 17

Figura 6.1 Função Brunimento. ...................................................................................... 31

Figura 6.2 Diferença de temperatura entre modelos posição na (0.0) . .......................... 33

Figura 6.3 Diferença de temperatura entre modelos na posição (0, 0.5). ....................... 34

Figura 6.4 Diferença de temperatura entre modelos na posição (0,1). .......................... 34

Figura 6.5 Convergência da média do erro de aproximação na posição (0,0). .............. 36

Figura 6.6 Convergência das médias do erro de aproximação na posição (0,0.5). ........ 36

Figura 6.7 Convergência da média do erro de aproximação na posição (0,1). .............. 37

Figura 6.8 Convergência do traço da matriz de covariância na posição (0,0). ............... 37

Figura 6.9 Convergência do traço da matriz de covariância na posição (0,0.5). ............ 38

Figura 6.10 Convergência do traço da matriz de covariância na posição (0,1). ............. 38

Figura 6.11 Estimativa do fluxo de calor na posição (0,0). ............................................ 41

Figura 6.12 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 1,292 .................................... 41

Figura 6.13 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2,584. ................................... 42

Figura 6.14 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =3,876. .................................... 42

Figura 6.15 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =5,168. .................................... 43

Figura 6.16 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,0.5). ........................................ 44





Figura 6.21 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,1). ............................................ 47





Figura 6.26 Comparação entre medidas simuladas, exatas e estimadas na posição (0,0).

........................................................................................................................................ 50

x

Figura 6.27 Comparação entre as medidas simuladas, exatas e estimadas na posição

(0,0.5). ............................................................................................................................ 50

Figura 6.28 Comparação entre as temperaturas simuladas, exatas e estimadas na posição

(0,1). ............................................................................................................................... 51

Figura 6.29 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,0). ............................................ 52

Figura 6.30 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,0.5). ......................................... 53

Figura 6.31 Estimativa do fluxo de calor na posição (0,1). ............................................ 54


(0,0). ............................................................................................................................... 55


(0,0.5). ............................................................................................................................ 56


(0,1). ............................................................................................................................... 56

Figura 6.35 Estimativa de fluxo de calor com modelo reduzido e modelo de erro

convencional. .................................................................................................................. 57

Figura 6.36 Comparação entre as temperaturas exatas, simuladas e estimadas com

modelo reduzido e modelo de erro convencional. .......................................................... 58

Figura 6.37 Função fluxo de calor desconhecido. .......................................................... 60

Figura 6.38 Convergência da média do erro de aproximação. ....................................... 60

Figura 6.39 Convergência do traço da matriz de covariância. ....................................... 61

Figura 6.40 Diferença de temperatura entre modelos completo e reduzido. .................. 61

Figura 6.41 Fluxo de calor estimado na posição (0,1).................................................... 62

Figura 6.42Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =1,292. ..................................... 62

Figura 6.43 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2.584. ................................... 63

Figura 6.44 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =3.876. .................................... 63


Figura 6.46 Comparação entre as medidas de temperatura simuladas, exata e estimada.

........................................................................................................................................ 65

Figura 6.47 Convergência da média do erro de aproximação. ....................................... 66

Figura 6.48 Convergência do traço da matriz de covariância. ....................................... 67





xi



........................................................................................................................................ 71







........................................................................................................................................ 76

xii

Índice de tabelas

Tabela 6.1: Análise de convergência do Modelo Bidimensional - Equação 4.25

ϴ(X=0;Y=0,τ) ................................................................................................................. 32

Tabela6.2-Variação espacial da temperatura-Modelo Bidimensional-Equação 4.25..... 35

Tabela 6.3 Dados do problema inverso na posição (0,0). .............................................. 43

Tabela 6.4 Dados do problema inverso na posição (0,0.5). ........................................... 46

Tabela 6.5 Dados do problema inverso para a posição (0,1). ......................................... 49

Tabela 6.6 Dados do problema inverso para a posição (0,0). ......................................... 52

Tabela 6.7 Dados do problema inverso para a posição (0,0.5). ...................................... 53

Tabela 6.8 Dados do problema inverso para a posição (0.1). ......................................... 54

Tabela 6.9 Dados do problema inverso com modelo reduzido e modelo de erro

convencional. .................................................................................................................. 57

Tabela 6.10 Dados do problema inverso com modelo completo e modelo de erro de

aproximação.................................................................................................................... 64


aproximação com 5 % de desvio padrão. ....................................................................... 70

Tabela 12 -Dados do problema inverso com modelo completo e erro convencional. .... 75

xiii

Lista de Símbolos

𝑇 - Temperatura dimensional

𝑡 - Tempo dimensional

𝑥 - Direção diensional

𝑦 - Direção dimensional

𝐿 - Dimensão lateral da ferramenta

𝑘 - Condutividade térmica

ℎ - Coeficiente de transmissão de calor

𝑇∞- Temperatura do fluido

ℎ𝑠𝑢𝑝- Coeficiente de transmissão de calor do suporte

𝑇𝑠𝑢𝑝-Temperatura do suporte

𝑋 -Coordenada adimensional no eixo “x”

𝑌 -Coordenada adimensional no eixo “y”

𝑞(𝑡)- Fluxo de calor

𝑄(𝜏) -Fluxo de calor adminensional

𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝 -Número de Biot no suporte

𝐵𝑖 -Número de Bio do fluido de cortet

𝑇𝑚𝑥 -Temperatura média na direção “x”

𝑇𝑚𝑥𝑦 -Temperatura média nas direções “x, y”

𝑐𝑝 -Calor específico da amostra

𝜌 -Massa específica da amostra

𝑁 - Integral de normalização

xiv

𝜒 -Auto função

Υ -Auto função

𝐴(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏)- Função fluxo de calor

𝐏 -Vetor de parâmetro

𝑒 - Erro aditivo

𝐘 - Temperatura simulada

M - Número de medidas

W - Matriz de covariância

𝑄𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 - Fluxo inicial

𝑈 - Número randômico

𝐷 - Matriz de diferenciação

w – Distribuição normal

xv

Letras gregas

𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙-Tempo adimensional final

𝜑𝑟𝑒𝑔 -Parâmetro de regularização

𝜔 -Razão de aceite do algoritmo de Metropolis-Hastings

𝜋 -Função densidade de probabilidade

𝛼 -Difusividade térmica

𝜃𝛿 -Modelo reduzido

𝜃𝑐-Modelo completo

𝜖- Diferença entre modelos

𝜂-Erro de aproximação

�̃̅� -Temperatura Transformada

�̅� -Temperatura Inversa

𝜏 -Tempo adimensional

𝜃 -Temperatura admensional

𝜃𝑚- Tempertura média admensional

𝛽𝑚-Auto valor na direção ‘x’

𝛾𝑛 -Auto valor na direção Y

1 INTRODUÇÃO

Indústrias de manufatura modernas exigem a otimização de todos os aspectos

envolvidos no processo de transformação da forma do material em peças úteis. Ao lidar

com corte de metal, por exemplo, o uso econômico de ferramentas de corte é

fundamentalmente baseado na sua taxa de desgaste. O desgaste da ferramenta depende

do calor produzido pela interação entre a ferramenta e o material da peça [1].

Medir a temperatura e prever a distribuição de calor em usinagem é

extremamente difícil, devido a uma estreita faixa de cisalhamento, obstáculos

fragmentados e a natureza dos fenômenos de contato onde os corpos, ferramentas, peças

e fragmentos, estão em contato contínuo e movendo-se entre si. A demanda cada vez

maior na redução de custos e melhoramento da qualidade dos produtos finais está

conduzindo a pesquisa em usinagem há novas áreas. Com isso, os temas transferência

de calor e distribuição de temperatura no metal de corte tem recebido considerável

atenção dos pesquisadores. Vários modelos analíticos foram desenvolvidos com base

em diferentes hipóteses simplificadoras, que afetam a precisão destes modelos. Métodos

numéricos também têm sido usados, o que permitiu a eliminação de muitas hipóteses

simplificadoras e consideração de parâmetros mais realistas, como as propriedades do

material que dependem da temperatura, fluxo de calor nos materiais, e condições de

contorno com [2].

Contudo, um dos processos de usinagem mais utilizados pela indústria vem

recebendo atenção especial de fabricantes e pesquisadores, o processo de brunimento.

Uma das aplicações deste processo pode ser vista na fabricação de motores de

combustão interna, onde o sistema pistão, anel, e camisa de pistão é um dos mais

importantes conjuntos tribológicos. Na fabricação de blocos de motores, o brunimento

define as características tribológicas da superfície do cilindro e seu domínio é de grande

importância para a indústria automobilística, em virtude da sua importância técnica para

o bom funcionamento e desempenho dos motores. As características da superfície

brunida dos cilindros têm forte influência na durabilidade do motor, no tempo de

amaciamento, no consumo de óleo lubrificante e de combustível [3]. Novos métodos e

processos de brunimento foram desenvolvidos visando diminuir as tolerâncias, tempo e

custo [4]. Apesar da grande relevância da superfície brunida dos cilindros e da

2

complexidade do processo de obtenção dessas superfícies, o brunimento do ferro

fundido vermicular é um campo de estudos ainda muito pouco explorado, o que se

verifica pelo reduzido número de desenvolvimentos e de publicações nessa área do

conhecimento [5] havendo ainda uma carência de estudo sobre tal processo.

Diante disso, este trabalho tem como objetivo dar continuidade ao trabalho de

[6], analisando o processo de usinagem por brunimento, ao utilizar a técnica de

problemas inversos em transferência através da abordagem do modelo de erro de

aproximação com o Método de Monte Carlo via Cadeia de Markov.

No capítulo 2 será apresentada uma revisão bibliográfica abordando trabalhos

relacionados à técnica de problemas inversos em transferência de calor e com aplicações

em processos de usinagem, e trabalhos relacionados a utilização de técnica de

problemas inversos com abordagem do modelo de erro de aproximação.

No capítulo 3 são apresentadas as formulações matemáticas do problema de

condução de calor bidimensional e por parâmetros concentrados, que são usadas aqui.

No capítulo 4 é apresentada a solução do problema direto bidimensional via

técnica de transformada integral clássica, e de parâmetros concentrados.

No capítulo 5 é apresentada da solução de problemas inverso por inferência

Bayesiana via construção de Cadeias de Markov através do Método de Monte Carlo,

para a solução do problema inverso com modelo de erro convencional e via modelagem

de erro de aproximação.

No capítulo 6 são apresentados os resultados da solução do problema direto bem

como os resultados para estimativa de temperatura e fluxo de calor com modelo de erro

convencional e com modelo do erro de aproximação.

No capítulo 7 são apresentadas as conclusões do presente trabalho e propostas

para trabalhos futuros.

3

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Inferência Bayesiana

A seguir são apresentados alguns trabalhos encontrados na literatura que fazem

usa da técnica de problemas inversos por inferência Bayesiana.

Kaipio e Somersalo [7] apresentam um detalhado material da teoria dos métodos

estatísticos computacionais para problemas inversos, contendo uma ampla abordagem

da teoria de problemas inversos .

Mota [8],em sua tese, apresentou uma aplicação da abordagem estatística

Bayesiana para estimar simultaneamente propriedades termofisicas e o fluxo de calor

aplicado a um determinado material. Um experimento foi conduzido com objetivo de

reproduzir a situação real, onde uma amostra cilíndrica de grafite foi aquecida com um

maçarico de oxiacetileno. Medidas de temperaturas foram obtidas através de termopares

inseridos ao longo do cilindro. A solução do problema inverso foi obtida através da

minimização da função objetivo máximum a posteriori e do método de Monte Carlo via

Cadeia de Markov. Contudo, a magnitude do fluxo de calor se mostrou muito sensível a

posição do termopar e o maçarico. Já as propriedades termofisicas se mostraram

estáveis e não afetadas por isso.

Orlande et al. [9] utilizaram a abordagem Bayesiana para estimativa de

parâmetros para o problema proposto por [10], que consiste na estimativa de três

componentes de condutividade térmica de um material ortotrópico sólido em forma de

paralelepípedo. A solução do problema direto foi obtida através da técnica de

transformada integral clássica. O método de Monte Carlo via Cadeia de Markov

(MCMC) foi utilizado na solução do problema inverso para estimativa destas três

componentes da condutividade térmica. Os resultados obtidos apresentaram uma boa

concordância com os valores simulados mostrando-se estáveis para os níveis de ruídos

analisados.

Wang e Zabaras [11] apresentaram uma abordagem de inferência Bayesiana para

a solução de problemas inversos estocásticos em condução de calor. A função estimada

foi discretizada através do método de elementos finitos. A distribuição a posteriori foi

formulada utilizando o modelo de probabilidade Bayesiano, considerando o desvio

4

padrão das medidas de temperatura e o parâmetro de regularização como variáveis

randômicas. Foi utilizado o método de simulação MCMC como uma combinação da

técnica de amostragem de Metropolis-Hastings e da técnica de amostragem de Gibbs. O

algoritmo proposto obteve sucesso em exemplos numéricos de reconstrução do fluxo de

calor unidimensional transiente e de uma fonte de calor bidimensional.

Fudym et al. [12] aplicaram a técnica de inferência Bayesiana através do método

de Monte Carlo via Cadeia de Markov, com algoritmo de Metropolis-Hastings para

identificação de propriedades termofísicas espacialmente variáveis. O problema físico

consistia na transferência de calor unidimensional em uma placa composta por dois

materiais, que foi inicialmente aquecida e isolada nos contornos. Para a solução do

problema inverso a placa foi discretizada em nós, nos quais os parâmetros foram

estimados. Foi utilizada uma distribuição a priori de Campo Randômico de Markov

para a difusividade térmica e Gaussiana para a matriz de sensibilidade. Para os casos

estudados a técnica mostrou-se superior as técnicas de máxima verossimilhança e de

máxima distribuição a posteriori.

Nobrega et al. [13] usaram a inferência Bayesiana através do método de Monte

Carlo com Cadeia de Markov (MCMC) para estimativa de parâmetros em um

problema de condução de calor em filmes finos de metal, sujeitos a pulsos rápidos de

laser. Foram simultaneamente estimados o fator de acoplamento de elétron-fonon a

condutividade térmica e a capacidade térmica volumétrica do gás de elétron.

Salas et al. [14] aplicaram a técnica de inferência Bayesiana para estimar

simultaneamente as propriedades térmicas em problemas de condução de calor

envolvendo cabos de força. O problema direto foi formulado como sendo

unidimensional, separado em duas regiões diferentes devido ao alto custo

computacional. O método de Monte Carlo com Cadeia de Markov foi usado para a

emissividade térmica da superfície condutora,a condutividade térmica radial efetiva e a

capacidade térmica volumétrica de ambas as regiões do cabo.

Parthasaraty e Balaji [15] investigaram o efeito da informação a priori e dos

ruídos de medição na solução de problemas inversos de estimativa de parâmetros em

condução de calor por meio de inferência Bayesiana. Foram investigados modelos de

transferência de calor bidimensional transiente com condições de contorno convectivo e

convectivo- radiativo. A solução do problema direto foi obtida através do método de

5

diferenças finitas para o primeiro caso e através do método de elementos finitos para o

segundo caso. A solução do problema inverso foi obtida através do método de

amostragem de MCMC-Metropolis-Hasting.

2.1.1 Problemas Inversos em Usinagem

Santos et al. [16] apresentaram uma comparação entre as técnicas de problema

inverso, Seção Aurea, Especificação de Função, Simulated Annealing, e Observação

Dinâmica Baseada na Função de Green, para estimar o campo de temperatura e o fluxo

de calor gerado na interface cavaco-ferramenta, durante o processo de usinagem. O

modelo numérico baseado no método das diferenças finitas implícito apresentado por

Carvalho et al. [17] foi utilizado. Um experimento desenvolvido em laboratório foi

realizado a fim de serem comparados com os resultados estimados. Todas as técnicas

usadas apresentaram bons resultados para o fluxo de calor estimado. Já para o campo de

temperatura, os resultados apresentaram uma discrepância de até 5 % quando

comparados com os valores experimentais.

Brito et al. [18] propuseram uma estimativa do fluxo de calor e do campo de

temperatura em ferramentas de usinagem, utilizando a técnicas de problemas inversos,

em conjunto com o software COMSOL MULTIPHISYCS. Um experimento simulando

tal processo de usinagem foi realizado para obter-se o fluxo de calor e o campo de

temperatura. Para isso, foram utilizados transdutores de fluxo de calor, dois termopares,

e um aquecedor Kapton acoplados na ferramenta. Dois testes simulando diferentes

condições de usinagem foram realizados. No COMSOL, uma simulação do experimento

foi realizada com as mesmas condições de contorno e geometria do experimento real, e

a solução numérica foi obtida através do método de elementos finitos com malha

tetraedal. Em seguida, os resultados obtidos na simulação no COMSOL foram

utilizados na solução do problema inverso, através da técnica da especificação de

função. Esta técnica requer o cálculo de coeficientes de sensibilidade, feito através da

técnica do teorema de Duhamel. Os resultados obtidos para o fluxo de calor estimado

nos dois testes realizados foram então comparados aos resultados obtidos nos trabalhos

de Carvalho et al. [17]. Já as temperaturas estimadas nos dois testes são comparadas as

temperaturas estimadas, apresentando uma boa concordância.

6

Luchesi e Coelho [1] propuseram um método para a estimativa de uma fonte de

calor variável no tempo utilizando as técnicas de problemas inversos em condução de

calor. A técnica da transforma integral foi usada para resolver o problema

bidimensional, com condução de calor transiente, e termo fonte com variação temporal.

O método do gradiente conjugado (CGM) de minimização com problema adjunto foi

aplicado para a solução do problema inverso de estimativa de parâmetros. Este método

foi testado em uma placa com convecção de calor no contorno e com geração de calor.

A fim de se investigar a aplicabilidade deste método, foi desenvolvido um experimento

em um processo de usinagem na face desbastada de um aço AISI 4340. O ensaio

experimental foi organizado para seis diferentes condições, baseados nas distâncias dos

termopares velocidade de corte, tempo de corte.

Lazard e Remy [19] apresentaram uma estimativa do fluxo de calor e da

distribuição da temperatura na ponta de uma ferramenta durante o processo de usinagem

através do método de regularização de (future time steps regularization). Dois

termopares foram colocados na vizinhaça da ponta da ferramenta. Efeitos como número

de tempos futuros (future time steps), nível de perturbação, e geometria da ferramenta

também foram avaliados, sendo que o primeiro mostrou-se o mais importante.

Simulações dos experimentos foram realizadas no software FlexPDE, apresentando

bons resultados para as estimativas obtidas.

Woodbury et al. [20] apresentaram uma solução para o problema tridimensional

de condução de calor, utilizando o software FLUENT, com o objetivo de estimar o

fluxo de calor durante o processo de usinagem através de algoritmo genético, utilizando

medidas de temperatura medidas na superfície da ferramenta. Os resultados obtidos

foram comparados aos dados experimentais de temperatura, revelando uma boa

concordância entre ambos.

Ribeiro et al. [21] utilizaram a técnicas de problemas inversos, juntamente com

o software comercial ANSYS CFX®, com o objetivo de estimar o fluxo de calor e o

campo de temperatura, em regime transiente, numa ferramenta de corte de torneamento.

A técnica de problema inverso de função especificada foi utilizada para estimar o fluxo

de calor aplicado na ferramenta, a partir do histórico de temperatura experimental.

Conhecido o fluxo de calor, o software ANSYS CFX® foi usado para obter o campo de

7

temperatura na ferramenta de corte. Para o estudo do campo de temperatura em

ferramenta de corte, foram realizados 15 experimentos, sem alterações nas condições de

montagem e operação. Cada experimento teve a duração de 90s, com tomadas de

temperaturas a cada 0,5s, totalizando 180 valores de temperatura. O tempo de corte foi

de 60 segundos. A validação da metodologia foi feita comparando os resultados

numéricos de temperatura com dados experimentais. A diferença média entre as

temperaturas experimental e estimada foi menor que 5 %.

Yvonnet et al. [22], com o objetivo de se determinar o fluxo de calor na interface

cavaco ferramenta, minimizaram a função erro através da técnica iterativa de Newton-

Raphson, sendo este erro definido pela diferença entre as temperaturas experimentais e

calculadas. A solução do problema direto bidimensional foi obtida numericamente

através do método de elementos finitos. Um experimento foi conduzido utilizando

quatro ferramentas, com um termopar do tipo K colocado em cada uma, com o objetivo

de medir o perfil de temperatura na ferramenta. Estes termopares foram dispostos em

cavidades feitas em cada ferramenta com distancias de 0,35, 0,5 e 0,6 mm da ponta da

ferramenta. Os resultados obtidos foram comparados às temperaturas experimentais,

mostrando que o ponto com maior fluxo de calor foi o que se encontrava a 0,35 mm da

ponta da ferramenta.

Ming et al. [23] apresentaram um modelo de transferência de calor por condução

tridimensional e transiente, para calcular a distribuição de temperatura e o fluxo de

calor na interface peça-ferramenta no processo de fresamento de alta velocidade. O

modelo foi configurado através do método de elementos finitos baseado método inverso

proposto por Beck. Experimentos foram conduzidos com objetivo de se obter dados de

temperatura na superfície de peça de trabalho de parede fina, através de um termômetro

infravermelho, e também, obter a distribuição de temperatura na interface ferramenta-

peça por um termopar incorporado ao conjunto. Os resultados numéricos da simulação

demostraram uma boa concordância entre o valor da temperatura calculado e o valor da

temperatura medido na interface de corte, no fresamento de alta velocidade utilizando

uma liga de alumínio. O método inverso de transferência de calor pôde ser utilizado

para estimar o calor fluxo na ferramenta e a distribuição de temperatura na interface

peça-ferramenta, e permitiu algumas conclusões, como a existência de uma velocidade

8

de corte crítica na liga de alumínio de fresagem de alta velocidade, que varia para

diferentes condições, afetando também o fluxo de calor produzido.

2.1.2 Modelo do Erro de Aproximação

O modelamento Bayesiano do erro de aproximação foi proposto por [7]. Na

estrutura Bayesiana, todos os parâmetros desconhecidos são modelados como uma

variável randômica. Incertezas de medição e modelamento podem ser separadas e o

grau de incerteza pode ser avaliado separadamente. Isto significa, que as propriedades

estatísticas de ambos os erros podem ser estimados e usados no problema inverso. Em

outras palavras, um modelo reduzido pode ser usado no problema inverso, no qual as

incertezas do modelo completo foram levadas em conta. As propriedades estatísticas do

erro de aproximação são computadas antes da solução do problema inverso. Em [24], o

modelo do erro de aproximação foi introduzido para problemas inversos estacionários e

não estacionários. A aplicação desta técnica vem sendo reportada em diversos

problemas, tais como reconstrução de imagem, tomografia térmica por impedância,

tomografia térmica por condutância etc. A seguir são apresentados e discutidos alguns

destes trabalhos.

Em sua tese, Nissinen [25] aplicou a abordagem do erro de aproximação em

problemas de tomografia elétrica por impedância, com erros devido à discretização,

condições de contorno em um corpo desconhecido, desconhecida impedância de contato

dos eletrodos, e o truncamento do domínio computacional. Em [24], a modelagem do

erro de aproximação foi aplicada no estudo de erros devido à discretização reduzida, e

devido ao parcial desconhecimento da geométria. Um experimento foi construido a fim

de verificar os resultados. Em [26], foi empregada a abordagem do erro de aproximação

para compensar erros devido à discretização reduzida do modelo, erros de truncamento

computacional e erros devido a impedância de contato desconhecida. Em [27], erros

devido à discretização reduzida e a desconhecida forma de um corpo foram

compensados, empregando-se a abordagem do erro de aproximação. Dados

experimentais foram avaliados juntamente com dados simulados. Em [28] utilizou-se a

abordagem do erro de aproximação para reconstruir a condutividade e o forma do

contorno de um corpo.

9

Em sua tese, Huttenen [29] aplicou a abordagem do erro de aproximação a

problemas inversos não estacionários levando em conta erros relacionados à redução do

modelo e também à discretização espacial e temporal. As equações do filtro de Kalman

e do filtro de Kalman estendido foram adaptadas para o modelo de erro de aproximação,

com o objetivo de reduzir o custo computacional. Esta abordagem foi aplicada em [30]

para estimativa de estado e parâmetros em um problema inverso linear, e em [31] para

um problema inverso não linear. Em [32], a abordagem do erro de aproximação foi

aplicada para estimativa de parâmetros térmicos da pele, sendo o termo fonte conhecido.

O aquecimento da pele deu-se por meio de ultrassom e a evolução da temperatura foi

observada por meio de ressonância magnética. Além disso, um filtro híbrido foi

proposto e mostrou-se computacionalmente eficiente.

Huttenen et al. [33] propuseram um algoritmo para atualização das variáveis

estatísticas sequencialmente com as medições, utilizando uma técnica de amostragem de

importância baseada na verossimilhança entre as observações e as amostras do modelo

acurado. A média e a covariância do erro de aproximação foram então atualizadas pela

verossimilhança associada. Esta abordagem foi aplicada a um problema de

monitoramento da distribuição de concentração de um fluido em um canal

bidimensional, considerando o fluido espacialmente distribuído ao longo do canal com

viscosidade desconhecida, e especificando uma grande incerteza para esta viscosidade.

O filtro de Kalman estendido foi utilizado para solução do problema, com ou sem erro

de aproximação, e incluindo ou não amostragem de importância. O modelo do erro de

aproximação apresentou desempenho superior em relação a outras versões do filtro de

Kalman, incluindo o erro de aproximação por amostragem de importância.

Banasiak et al. [34] aplicaram a abordagem do erro de aproximação em um

problema de tomografia elétrica por capacitância, com o objetivo de obter a distribuição

da permissividade dielétrica em um objeto. Primeiramente, simulações bidimensional e

tridimensional foram feitas em um tubo no qual eletrodos foram colocados na parte

externa. Em seguida, simulações com objetos no interior do tudo foram realizadas.

Erros devido à descretização por meio de malha grosseira pelo método de elementos

finitos foram considerados. A solução do problema inverso foi obtida pelo método de

regularização de Tikhonov. Uma significativa redução no custo computacional foi

obtida na reconstrução da imagem devido ao modelamento do erro de discretização,

10

utilizando a abordagem do erro de aproximação Além disso, foi possível obter uma

excelente reconstrução das imagens com esta técnica.

Orlande et al. [35] examinaram o uso do método de Monte Carlo com Cadeia de

Markov (MCMC) para estimativa da variação espacial do fluxo de calor. O problema

físico consiste na condução de calor tridimensional em uma placa com propriedades

dependentes da temperatura. A solução do problema direto foi necessária para solução

do problema inverso. Porém, devido ao alto custo computacional um modelo reduzido

foi usado na solução do problema inverso baseado na formulação melhorada de

parâmetros concentrados, onde os gradientes de temperatura na placa não foram

desprezados, mas sim levados em conta de forma aproximada. Como o modelo reduzido

não reproduz bem o modelo completo, para melhorar o problema inverso utilizou-se o

algoritmo Delayed Acceptance Metropolis-Hastings (DAMH), onde o algoritmo de

Metropolis-Hastings foi aplicado com o modelo reduzido. Se o estado proposto for

aceito com o modelo reduzido, outro teste é realizado com o modelo completo para

finalmente decidir se tal proposta é aceita ou não. O outro método utilizado foi o de

modelo do erro de aproximação (Approximation error model )AEM. Duas prioris para o

fluxo de calor foram analisadas no problema inverso, uma priori não informativa do tipo

do campo aleatório de Markov, e uma Gaussiana baseada em um modelo com pouca

precisão. O DAMH e o AEM foram comparados para três casos de distribuição espacial

do fluxo. Em relação ao custo computacional, o algoritmo DAMH foi aproximadamente

50% do esperado se somente o modelo completo fosse analisado. Já o algoritmo AEM,

obtido somente com o modelo reduzido, apresentou uma drástica redução no tempo

computacional da ordem de 4 vezes, quando comparado com a solução obtida para o

problema inverso com o modelo completo. Contudo, os resultados obtidos através do

algoritmo DAMH não apresentaram nenhuma mudança significativa na precisão das

quantidades estimadas. Por outro lado, o AEM permitiu uma melhora na precisão da

solução do problema inverso para pequenos erros experimentais.

Lamien e Orlande [36], aplicaram a abordagem do erro de aproximação ao

método da sonda linear para estimativa dos parâmetros capacidade térmica volumétrica

e condutividade térmica. Um modelo bidimensional englobando a convecção natural do

fluido e um modelo de condução de calor simples unidimensional foram desenvolvido.

A abordagem de erro de aproximação foi então aplicada para compensar os efeitos

convectivos utilizando o modelo unidimensional de condução de calor e incluindo

11

incertezas ao termo fonte. Além disso, uma simulação através do software COMSOL

MULTIPHYSICS foi realizada, a fim de verificar e validar os dados experimentais. A

solução do problema inverso foi obtida através da técnica de inferência Bayesiana via

método de Monte Carlo com Cadeia de Markov (MCMC). Os resultados obtidos

mostram que o método mostrou-se eficaz, conseguindo obter resultados precisos das

propriedades térmicas analisadas.

Portanto a contribuição do presente trabalho é a estimativa do fluxo de calor

gerado durante processo de usinagem por brunimento, através da técnica de problemas

inversos via inferência Bayesiana, utilizando para isso a abordagem do erro de

aproximação. Como será observado ao longo deste trabalho, serão obtidos melhores

resultados quando comparados ao modelo de erro convencional, e com uma drástica

redução no custo computacional em comparação ao mesmo modelo completo

multidimensional.

12

3 PROBLEMA FÍSICO E FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

3.1 Problema Físico

O problema físico e a formulação matemática abordada neste trabalho foram

baseados na dissertação de Da Silva [6], onde foi analisada a confecção de cilindros de

motor de motocicleta 125cc, através do processo de brunimento. A figura 1 representa

os movimentos realizados pela peça-ferramenta durante o processo.

A confecção de cilindros de motor de motocicleta por meio de usinagem por

brunimento consiste no movimento do conjunto porta-ferramenta que gira em torno do

próprio eixo, realizando movimentos verticais ao longo do seu eixo. O contato da

ferramenta de corte com a parede do cilindro a ser usinada gera um fluxo de calor, que é

o objeto de estudo deste trabalho, além de provocar o desbaste da parede do cilindro,

realizando assim o processo de usinagem por brunimento, conforme descrito na figura

1.

Figura 3.1 Descrição do movimento do cabeçote de brunimento. [6]

13

Onde :

1. Conjunto porta-ferramenta;

2. Suporte da ferramenta;

3. Ferramenta de corte.

A formulação matemática deste problema foi desenvolvida segundo as

considerações propostas em [6], a saber:

A curvatura da face de contato com o cilindro não foi considerada. Adotou-se a

geometria da seção transversal da ferramenta na forma de um quadrado;

Desprezara-se os contatos irregulares dos grãos abrasivos da ferramenta sobre a

peça. O contato entre a peça e a superfície usinada foi considerado uniforme;

Apesar da não homogeneidade da ferramenta, que é composta por grãos

abrasivos, aglomerantes e vazios, considerou-se um material homogêneo para a

mesma;

As propriedades térmicas da ferramenta de corte foram consideradas constantes;

Considerou-se um modelo bidimensional, pois o comprimento da ferramenta na

direção longitudinal é suficientemente grande, em comparação a seção

transversal;

Assumiram-se conhecidos a temperatura e o coeficiente de transferência de calor

do fluido refrigerante e que os mesmos são constantes;

Adotou-se uma temperatura uniforme na ferramenta de corte no estado inicial;

A simetria da ferramenta foi utilizada para simplificar a formulação matemática.

3.2 Formulação Matemática

Apresenta-se nesta seção a formulação matemática do problema dito completo,

que supostamente reproduz adequadamente a física do problema e é baseado nas

hipóteses acima. Também é apresentada a formulação matemática do problema

reduzido que é usado neste trabalho. Para tal modelo reduzido, considerou-se que o

gradiente de temperatura na ferramenta possa ser desprezado e utiliza-se uma

formulação de parâmetros concentrados.

14

3.2.1 Modelo Completo-Bidimensional

Analisando a seção transversal da ferramenta de corte, o problema físico foi

modelado considerando um fluxo de calor na superfície de usinagem, com perda de

calor convectiva nas laterais, devido ao fluxo de óleo, e uma resistência térmica de

contato entre o suporte e a ferramenta, como pode ser visto na figura 3.2.

Figura 3.2 Representação do problema físico: (a) Condição de contorno na ferramenta;

(b) Seção transversal da ferramenta; (c) Condição de simetria na ferramenta. [6]

Em função da simetria do problema (ver figuras 3.2 b-c) trabalhou-se apenas

com a metade da geometria para redução do custo computacional. Considerou-se que

inicialmente a ferramenta encontra-se em equilíbrio térmico com seu suporte na

temperatura Tsup. Além disso, como será visto mais a frente no capítulo 6, o problema

bidimensional foi analisado tomando-se medidas de temperatura em três posições

diferentes ao longo da ferramenta conforme mostrado na figura 3.3. A primeira no

ponto (0,0) que representa o ponto de contato entre a ferramenta de corte e o suporte da

ferramenta. A segunda no ponto (0,0.5), que representa o ponto localizado no meio da

ferramenta de corte. E a terceira no ponto (0,1), que representa o ponto de contato entre

a ferramenta de corte e a parede do cilindro a ser usinado.

15

Figura 3.3 Posições que serão analisada ao longo da ferramenta.

Assim, a formulação do problema físico em questão é dada por:

1

𝛼

𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑡=𝜕2𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥2+𝜕2𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑦2; 0 < 𝑥 <

𝐿

2; 0 < 𝑦 < 𝐿; 𝑡 > 0 (3.1)

Condições de contorno:

𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥= 0; 𝑥 = 0; 0 < 𝑦 < 𝐿; 𝑡 = 0 (3.2)

𝑘𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑥+ ℎ𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡) = ℎ𝑇∞; 𝑥 =

𝐿

2; 0 < 𝑦 < 𝐿; 𝑡 > 0 (3.3)

−𝑘𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑦+ ℎ𝑠𝑢𝑝𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡) = ℎ𝑠𝑢𝑝𝑇𝑠𝑢𝑝; 0 < 𝑥 <

𝐿

2; 𝑦 = 0; 𝑡 > 0 (3.4)

𝑘𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)

𝜕𝑦= 𝑞(𝑡); 0 < 𝑥 <

𝐿

2; 𝑦 = 𝐿; 𝑡 > 0 (3.5)

𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑇𝑠𝑢𝑝; 0 < 𝑥 <𝐿

2; 0 < 𝑦 < 𝐿; 𝑡 = 0 (3.6)

16

3.2.2 Grupos Adimensionais

Os grupos adimensionais dados pelas equações (3.7) a (3.13) são usados para

adimensionalização doo problema:

𝑋 =𝑥

𝐿 (3.7)

𝑌 =𝑦

𝐿 (3.8)

𝜏 =𝛼𝑡

𝐿2 (3.9)

𝑄(𝜏) =𝑞(𝑡)𝐿

𝑘(𝑇𝑠𝑢𝑝 − 𝑇∞) (3.10)

𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝 =ℎ𝑠𝑢𝑝𝐿

𝑘 (3.11)

𝐵𝑖 =ℎ𝐿

𝑘 (3.12)

𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏) =𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 𝑇∞𝑇𝑠𝑢𝑝 − 𝑇∞

(3.13)

Assim, obtêm-se a seguinte formulação adimensional do problema direto:

𝜕𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)

𝜕𝜏=𝜕2𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)

𝜕𝑋2+𝜕2𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)

𝜕𝑌2; 0 < 𝑋 < 0.5; 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 > 0 (3.14)

𝜕𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)

𝜕𝑋= 0;𝑋 = 0; 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 > 0 (3.15)

𝜕𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)

𝜕𝑋+ 𝐵𝑖𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏) = 0; 𝑋 = 0.5; 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 > 0 (3.16)

−𝜕𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)

𝜕𝑌+ 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏) = 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝; 0 < 𝑋 < 0.5 ; 𝑌 = 0; 𝜏 > 0 (3.18)

17

𝜕𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)

𝜕𝑌= 𝑄(𝜏); 0 < 𝑋 < 0.5; 𝑌 = 1; 𝜏 > 0 (3.19)

𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏) = 1; 0 < 𝑋 < 0.5; 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 = 0 (3.20)

3.2.3 Modelo Reduzido –Parâmetros Concentrados

A formulação por parâmetros concentrados foi obtida desprezando-se a variação

espacial da temperatura, ou seja, desprezando variação de temperatura nas direções x e

y, e considerando apenas a variação temporal. Isto é feito devido às pequenas dimensões

da amostra e sua alta condutividade térmica, que resulta em baixo número de Biot.

Figura 3.4 Representação do Problema Físico por Parâmetros Concentrados. [6]

Temperatura média na direção X:

𝑇𝑚𝑥(𝑦, 𝑡) =2

𝐿∫ 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡)𝑑𝑥

𝐿2

0

(3.21)

Temperatura média nas direções X Y dependente do tempo;

18

𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡) =1

𝐿∫ 𝑇𝑚𝑥(𝑦, 𝑡)𝑑𝑦 (3.22)𝐿

0

Temperatura média adimensional;

𝜃𝑚 =𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡) − 𝑇∞

𝑇𝑠𝑢𝑝 − 𝑇∞ (3.23)

Logo, a integração da equação (3.1) em x e y resulta em:

𝜌𝑐𝑝𝜕𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡)

𝜕𝑡=𝑞(𝑡)

𝐿+2ℎ[𝑇∞ − 𝑇(𝑥 =

𝐿2, 𝑦, 𝑡)]

𝐿+ℎ𝑠𝑢𝑝[𝑇𝑠𝑢𝑝 − 𝑇(𝑥, 𝑦 = 0, 𝑡)]

𝐿 (3.24)

Utilizando a hipótese de parâmetros concentrados e aproximando as temperaturas

𝑇 (𝑥 =𝐿

2, 𝑦, 𝑡) = 𝑇(𝑥, 𝑦 = 0, 𝑡) = 𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡) (3.25)

A equação (3.24) resulta em;

𝜕𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡)

𝜕𝑡=𝑞(𝑡)

𝜌𝑐𝑝𝐿+2ℎ[𝑇∞ − 𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡)]

𝜌𝑐𝑝𝐿+ℎ𝑠𝑢𝑝[𝑇𝑠𝑢𝑝 − 𝑇𝑚𝑥𝑦(𝑡)]

𝜌𝑐𝑝𝐿 (3.26 − 𝑎)

Com condição inicial 𝑇𝑚𝑥𝑦 = (0) , t = 0 (3.26 − b)

A formulação adimensional do problema (3.26) é dada por:

𝜕𝜃𝑚(𝜏)

𝜕𝜏+ 𝜃𝑚(𝜏)(2𝐵𝑖 + 𝐵𝑖sup) = 𝑄(𝜏) + 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝 (3.27)

𝜃𝑚(0) = 1 (3.28)

19

4 SOLUÇÃO DO PROBLEMA DIRETO

4.1.1 Solução Analítica Problema Bidimensional-Modelo Completo

A solução analítica do problema bidimensional foi obtida através do método de

transformada integral clássica, conforme realizado em [6], que consiste em definir um

problema de autovalor auxiliar em cada direção, que resulta da separação de variáveis

da versão homogênea do problema original, conforme estabelecido por [37].

O problema auxiliar na direção 𝑋 é dado por:

𝑑2𝜒(𝑋)

𝑑𝑋2+ 𝛽𝑚

2 𝜒(𝑋) = 0; 0 < 𝑋 < 0.5; 𝜏 > 0 (4.1)

𝑑𝜒(𝑋)

𝑑𝑋= 0; 𝑋 = 0; 𝜏 > 0 (4.2)

𝑑𝜒(𝑋)

𝑑𝜒+ 𝐵𝑖𝜒(𝑋) = 0; 𝑋 = 0.5; 𝜏 > 0 (4.3)

A solução do problema de autovalor auxiliar de acordo com [37] é:

𝜒(𝛽𝑚, 𝑋) = cos(𝛽𝑚𝑋) (4.4)

Com integral de normalização:

1

𝑁(𝛽𝑚)= 2

𝛽𝑚2 + 𝐵𝑖2

0.5(𝛽𝑚2 + 𝐵𝑖2) + 𝐵𝑖

(4.5)

E com autovalores obtidos da solução da seguinte equação transcendental [37];

𝛽𝑚 tan(𝛽𝑚0.5) = 𝐵𝑖 (4.6)

Definindo-se o par transformada-inversa com o uso do problema auxiliar temos:

�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏) = ∫ 𝜒(𝛽𝑚0.5

0, 𝑋)𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏)𝑑𝑋 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 (4.7)

20

𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏) = ∑𝜒(𝛽𝑚, 𝑋)

𝑁(𝛽𝑚)�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏)

∞

𝑚=1

𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 (4.8)

Multiplicando o problema original por ∫ 𝜒(𝛽𝑚0.5

0, 𝑋)𝑑𝑋, realizando a integração por

partes e usando as condições de contorno, obtêm-se

𝜕�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏)

𝜕𝜏=𝜕2�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏)

𝜕𝑌2− 𝛽𝑚

2 �̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏); 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 > 0 (4.9)

−𝜕�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏)

𝜕𝑌+ 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏) =

𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝

𝛽𝑚𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑚0.5); 𝑌 = 0; 𝜏 > 0 (4.10)

𝜕�̅� (𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏)

𝜕𝑌= 𝑄(𝜏)

sin(𝛽𝑚0.5)

𝛽𝑚; 𝑌 = 0.5; 𝜏 > 0 (4.11)

�̅�(𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏) =sin(𝛽𝑚0.5)

𝛽𝑚; 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 = 0 (4.12)

O problema auxiliar na direção Υ é dado por [37]:

𝑑2Υ(𝑌)

𝑑Y2+ 𝛾𝑛

2Υ(𝑌) = 0; 0 < 𝑌 < 1; 𝜏 > 0 (4.13)

𝑑Υ(𝑌)

𝑑𝑌+ 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝Υ(𝑌) = 0; 𝑌 = 0; 𝜏 > 0 (4.14)

𝑑Υ(𝑌)

𝑑𝑌= 0; 𝑌 = 1; 𝜏 > 0 (4.15)

A solução do problema de autovalor auxiliar de acordo com [37] é:

Υ(𝑌) = cos[𝛾𝑛(1 − 𝑌)] (4.16)

Com integral de normalização:

1

𝑁(𝛾𝑛)= 2

𝛾𝑛2 + 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝

2

(𝛾𝑛2 + 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝

2 ) + 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝 (4.17)

21

E com autovalores dados pela seguinte equação transcendental;

𝛽𝑚 tan(𝛽𝑚0.5) = 𝐵𝑖 (4.18)

Definindo-se a transformada-inversa com o uso do problema auxiliar teremos:

�̃̅�(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏) = ∫ �̅�(𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏)Υ(𝛾𝑛, 𝑌)𝑑𝑌;1

0

𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 (4.19)

�̅�(𝛽𝑚, 𝑌, 𝜏) = ∑Υ(𝛾𝑛, 𝑌)

𝑁(𝛾𝑛)�̃̅�(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏); 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎

∞

𝑛=1

(4.20)

Multiplicando o problema original por∫ Υ(𝛾𝑛, 𝑌)𝑑𝑌1

0,fazendo a integração por partes e

usando a condição de contorno do problema original obtêm-se;

𝜕�̃̅�(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏)

𝜕𝜏+ �̃̅�(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏)(𝛽𝑚

2 + 𝛾𝑛2) = 𝐴(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏) 𝑚 = 1, ,2,3… ; 𝑛 = 1,2,3… ; 𝜏 > 0

(4.21)

𝐴(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏) = 𝑄(𝜏)sin(𝛽𝑚0.5)

𝛽𝑚+ 𝐵𝑖 cos(𝛾𝑛)

sin(𝛽𝑚0.5)

𝛽𝑚 (4.22)

Com a equação (4.21) sujeita a condição inicial:

�̃̅�(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 0) =sin(𝛽𝑚0.5) sin(𝛾𝑛)

𝛽𝑚𝛾𝑛 (4.23)

Realizando a integração da equação (4.21) com a técnica do fator integrante, e impondo

a condição inicial (4.23) temos:

�̃̅�(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏) = 𝑒−(𝛽𝑚

2 +𝛾𝑛2) [sin(𝛽𝑚0.5) sin(𝛾𝑛)

𝛽𝑚𝛾𝑛+∫ 𝑒(𝛽𝑚

2 +𝛾𝑛2)

𝜏

𝜏′=0

𝐴(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏′)𝑑𝜏′] (4.24)

22

Aplicando as formulas da inversa em X e Y, dadas pelas equações (4.8) e (4.20), obtêm-

se a solução do problema que é dado por:

𝜃(𝑋, 𝑌, 𝜏) =

∑ ∑𝑒−(𝛽𝑚

2 +𝛾𝑛2)𝜏

𝑁(𝛽𝑚)𝑁(𝛾𝑛)∞𝑛=1

∞𝑚=1 𝜒(𝛽𝑚, 𝑋)Υ(𝛾𝑛, 𝑌) [

sin(𝛽𝑚0.5) sin(𝛾𝑛)

𝛽𝑚𝛾𝑛∫ 𝑒(𝛽𝑚

2 +𝛾𝑛2)𝜏𝜏

𝜏′=0𝐴(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏

′)𝑑𝜏′] (4.29)

Onde:

𝐴(𝛽𝑚, 𝛾𝑛, 𝜏) = 𝑄(𝜏)sin(𝛽𝑚0.5)

𝛽𝑚+ 𝐵𝑖 cos(𝛾𝑛)

sin(𝛽𝑚0.5)

𝛽𝑚 (4.26)

4.1.2 Solução Analítica Parâmetros Concentrados-Modelo Reduzido

A solução analítica do modelo reduzido é obtida integrando-se a equação (3.7) e

aplicando a condição inicial (3.8), ou seja:

𝜃(𝜏) = 𝑒−(2𝐵𝑖+𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝) [1 + ∫ 𝑒(2𝐵𝑖+𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝)𝜏

𝜏′=0

(𝑄(𝜏) + 𝐵𝑖𝑠𝑢𝑝)𝑑𝜏′] (4.27)

Neste trabalho, as soluções das equações (4.25) e (4.47) foram obtidas numericamente

utilizando o software MATLAB®, onde as integrais foram realizadas através da função quad.

23

5 PROBLEMA INVERSO

5.1 Problema Inverso

O problema inverso estudado neste trabalho tem o objetivo de estimar o fluxo de

calor resultante do processo de brunimento. Esta estimativa se dá sob duas formas:

Através do modelo completo (4.25) com modelo de erro convencional, e através do

modelo reduzido (4.27) utilizando a técnica do erro de aproximação.

Problemas inversos são classificados como mal postos. Para um problema ser

bem posto, sua solução deve atender as seguintes condições [38]:

Existir;

Ser única;

Ser estável em relação aos dados de entrada.

5.1.1 Inversão Estatística

O objetivo da teoria de inversão estatística é extrair informação e avaliar as

incertezas sobre as variáveis, baseado em todos os conhecimentos disponíveis do

processo de medição, bem como, sobre os parâmetros/funções da formulação do

problema antes das medições. A inversão estatística é baseada nos seguintes princípios

[7]:

Todas as variáveis da formulação matemática são modeladas como variáveis

aleatórias;

A aleatoriedade descreve o grau de informação sobre as suas realizações;

O grau de informação relativa a estes valores é codificado em termos de

distribuições de probabilidades;

A solução do problema inverso é a distribuição de probabilidade posteriori [39].

O teorema de Bayes é utilizado para relacionar as informações disponíveis com

as novas informações (medidas) da seguinte forma:

24

𝜋𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖(𝐏) = 𝜋(𝐏|𝐘) =𝜋𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖(𝐏)𝜋(𝐘|𝐏)

𝜋(𝐘) (5.1)

Onde 𝜋𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖(𝐏) é a densidade de probabilidade a posteriori, ou seja, a

probabilidade de obter os parâmetros dadas as medidas; 𝜋𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖(𝐏) é a densidade de

probabilidade a priori , ou seja, as informações conhecidas sobre os parâmetros antes de

realizar as medidas; 𝜋(𝐘|𝐏) é a função de verossimilhança, que representa a

probabilidade de se obter as medidas dados os parâmetros ; 𝜋(𝐘) o qual representa a

probabilidade marginal das medições, que desempenha o papel de uma constante de

normalização. Logo, o Teorema de Bayes torna-se:

𝜋(𝐏|𝐘) ∝ 𝜋𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖(𝐏)𝜋(𝐘|𝐏) (5.2)

5.1.2 Modelo de Erro Convencional

Assumindo que as medidas são modeladas com erros aditivos gaussiano temos

[25]:

𝐘 = 𝛉(𝐏) + 𝐞 (5.3)

Onde que 𝛉(𝐏) é a solução do problema direto em uma determinada localização

espaço/tempo para um vetor de parâmetros P e 𝐞 é um vetor de perturbação, supondo

com distribuição Gaussiana, média zero, e matriz de covariância W. A função de

verossimilhança definida por 𝜋(𝐘|𝐏) excluindo-se a constante de proporcionalidade é

então definida como [40] [7]:

𝜋(𝐘|𝐏) ∝ (2π)−𝑀2 |𝐖−1|−

12exp {−

1

2[𝐘 − 𝛉(𝐏)]T𝐖[𝐘 − 𝛉(𝐏)]} (5.4)

Onde M é o numero de medidas, e a matriz de covariância W é calculada da seguinte

forma, supondo-se medidas não correlacionadas com covariância constante.

25

𝐖 = [1/𝜎2 … 0⋮ ⋱ ⋮0 … 1/𝜎2

] (5.5)

Sendo σ o desvio padrão das medidas.

5.1.3 Modelo de Erro de Aproximação

Na abordagem Bayesiana do modelo de erro de aproximação proposto por [7] o

erro de modelagem é tratado como um ruído adicional ao modelo de erro convencional.

A ideia principal da abordagem do erro de aproximação é representar não somente os

erros de medição, mas também os efeitos do modelo de erro computacional e incertezas,

como um processo de ruído aditivo na observação do modelo [25]. O tradicional

modelo de observação (5.3) é, portanto inadequado para a situação de medição quando

os erros de modelagem estão presentes. A modelagem do erro de aproximação é dado

da seguinte forma [24]:

𝐘 = 𝛉𝛅(𝐏) + [𝛉𝐜(𝐏) − 𝛉𝛅(𝐏)] + 𝐞 (5.6)

Onde 𝛉𝐜(𝐏) representa a solução do modelo dito completo, que supostamente reproduz

perfeitamente a fisíca do problema e 𝛉𝛅(𝐏) é a solução do modelo reduzido. Definindo:

𝛜(𝐏) = [𝛉𝐜(𝐏) − 𝛉𝛅(𝐏)] (5.7)

A equação (5.6) torna-se:

𝐘 = 𝛉𝛅(𝐏) + 𝛜(𝐏) + 𝐞 (5.8)

Onde o termo 𝛜 é o erro de modelagem. Definindo:

𝛈(𝐏) = 𝛜(𝐏) + 𝐞 (5.9)

A equação (5.8) torna-se:

𝐘 = 𝛉𝛅(𝐏) + 𝛈(𝐏) (5.10)

26

O modelo completo (modelo bidimensional) é representado por 𝜽𝒄, e 𝜽𝜹

representa o modelo reduzido, ou seja, o modelo obtido através de parâmetros

concentrados. Logo a função de verossimilhança (5.4) pode ser reescrita, em termos do

erro de modelagem da seguinte forma [7][29] [36]:

𝜋(𝐘|𝐏) ∝ exp {−1

2[𝐘 − 𝛉𝛅(𝐏) − 𝛈∗|𝐏]

𝑇𝐖∗|𝐏

−𝟏[𝐘 − 𝛉𝛅(𝐏) − 𝛈∗|𝐏]} (5.11)

Onde [7] [36]

𝜼∗|𝑷 = 𝝐∗ + 𝒆∗ +𝐖𝜼𝑷𝐖𝑷−𝟏(𝑷 − 𝝁) (5.12)

𝐖∗|𝑷 = 𝑾𝝐 +𝑾−𝑾𝜼𝑷𝑾𝑷−𝟏𝑾𝑷𝜼 (5.13)

Onde 𝛜∗, 𝐞∗, 𝛍 são respectivamente as médias de 𝛜, 𝐞, 𝐏, enquanto 𝐖𝛈𝐏 = 𝐖𝐏𝛈 e,

𝐖𝛈𝐏,𝐖𝛜,𝐖𝐏, são as matrizes de covariância de 𝛈, 𝛜, 𝐏, respectivamente. As equações

(5.9-11) representam o erro de modelagem completo [7].

Considerando o fato dos erros de medição ter média zero, 𝐞∗ = 0, e também

desprezando a dependência linear entre 𝛈 𝐞 𝐏, isto é 𝐖𝛈𝐏 = 0, as equações (5.10-11)

são reduzidas para o que se chama de Enhanced Error Model. Uma limitação para esta

abordagem é que as funções de densidade de probabilidade a priori devem ter variância

limitada [36] [7].

Logo:

𝛈∗|𝐏 = 𝛜∗ + 𝐞∗ (5.14)

𝐖∗|𝑷 = 𝑾𝝐 +𝑾 (5.15)

Sendo:

𝛜∗ = 1

Ns∑ 𝛜𝐧(𝐏)

𝑁𝑠

𝑛=1

(5.16)

𝐖𝛜 =1

Ns − 1∑(𝛜𝐧(𝐏) − 𝛜∗)

𝑁𝑠

𝑛=1

(𝛜𝐧(𝐏) − 𝛜∗)𝑇 (5.17)

Onde 𝑁𝑠 é o número de amostras usadas na caracterização do erro de modelagem.

27

No caso de modelos lineares e Gaussianos expressões, analíticas podem ser

obtidas para as estatísticas do erro de aproximação [30]. No entanto, para este trabalho

as estatísticas do erro de aproximação foram obtidas da seguinte forma, usando o

método de Monte Carlo.

1. Gerar 𝑁 𝑠 amostras da distribuição do fluxo de calor com distribuição normal,

média zero, e com 5 % de desvio padrão, isto é;

𝑄(𝑡) = 𝑄(𝑡)𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙(1 + 𝑤) onde 𝑤 = 0,05 e 𝑅~𝑁(0,1)

2. Calculo das soluções dos problemas completos, 𝜃𝑐(𝑃), e reduzido, 𝜃𝑐(𝑃), nos

pontos de medidas, para cada uma das 𝑁𝑠 amostras de 𝑄(𝑡)

3. Gerar 𝑁𝑠 amostras do erro de modelagem;

𝛜(𝐏) = [𝛉𝐜(𝐏) − 𝛉𝛅(𝐏)];

4. Calcular a média e a covariância das amostras do erro;

𝛜∗ = 1

𝑁𝑠 ∑ 𝛜𝐧(𝐏)

𝑁𝑠

𝑛=1

; 𝐖𝛜 =1

𝑁𝑠 − 1∑(𝛜𝐧(𝐏) − 𝛜∗)

𝑁𝑠

𝑛=1

(𝛜𝐧(𝐏) − 𝛜∗)𝑇;

Repetir os passos 2,3,4 para n=1,....,N.

Neste trabalho, o parâmetro que se deseja estimar é o fluxo de calor durante o

processo de brunimento. Para tal, foi necessário utilizar uma priori não informativa, na

forma de um campo randômico de Markov RMF (Markov Random Fields) [7]. A

função da RMF correlaciona cada elemento com seu vizinho, suavizando a forma da

função estimada e melhorando a taxa de aceitação dos estados da cadeia de Markov [8].

A priori usada neste trabalho é dada por:

𝜋(𝐐) = exp (−1

2𝜑𝑟𝑒𝑔𝐐

𝐓𝐙𝐐) (5.18)

Onde 𝜑𝑟𝑒𝑔é um parâmetro escalar que está associado à regularização de Tikhonov, e

𝐙 = 𝐃𝐓𝐃, sendo D uma matriz de diferenciação definida como:

28

𝐃 =

(

−1 1 00 −1 1

⋯0 0 00 0 0

⋮ ⋱ ⋮0 0 00 0 0

⋯−1 1 00 −1 1)

(5.19)

Com isso, a distribuição a posteriori para o problema inverso com o Modelo de

Erro Convencional é defina como:

𝜋(𝐐|𝐘) ∝ exp {(−1

2[𝐘 − 𝛉𝛅(𝐐)]

𝑇𝐖[𝐘 − 𝛉𝛅(𝐐)])} 𝑒𝑥𝑝 {(−1


𝐓𝐙𝐐)} (5.20)

Já a posteriori para o problema inverso utilizando o Modelo de Erro de

Aproximação é dado da seguinte forma:

𝜋(𝐘|𝐏) ∝ exp {−1

2[𝐘 − 𝛉𝛅(𝐏) − 𝛈∗|𝐏]

𝑇𝐖∗|𝐏

−𝟏[𝐘 − 𝛉𝛅(𝐏) − 𝛈∗|𝐏]} 𝑒𝑥𝑝 {(−1


𝐓𝐙𝐐)} (5.21)

Com isso, a solução do problema inverso apresentado pelas equações (5.19-20)

será implementada com o Método de Monte Carlo via algoritmo de Metropolis-

Hastings (MCMC) cujo é apresentado no item seguinte.

5.1.4 Algoritmo Metropolis-Hastings- MCMC

O algoritmo de Metropolis-Hastings é usado para implementar o método MCMC. O

algoritmo pode ser descrito resumidamente nos seguintes passos [7] [8]:

1. Gerar uma amostra P* de uma distribuição de proposta q(P

*,P

(t-1));

2. Calcular 𝜔 = [1,𝛑(𝐏∗|𝐘)𝐪(𝐏(𝐭−𝟏),𝐏∗)

𝛑(𝐏(𝐭−𝟏)|𝐘)𝐪(𝐏∗,𝐏(𝐭−𝟏))];

3. Gerar um número randômico U, que seja distribuído uniformemente entre (0,1);

4. Se U ≤ 𝜔 , defina P(t)

= P* caso contrário defina P

(t) = P

(t-1);

5. Retorne ao passo 1 para de gerar a sequência {𝐏(𝟏), 𝐏(𝟐), … . . , 𝐏(𝐧)}

29

Assim, temos uma sequência que representa a distribuição a posteriori, e a

inferência sobre essa distribuição é obtida a partir da inferência sobre as

amostras{𝐏(𝟏), 𝐏(𝟐), … . . , 𝐏(𝐧)}. Além disso, os estados 𝐏(𝐧) que antecendem a

convergência da Cadeia de Markov devem ser desconsiderados, uma vez que esses

valores representam o aquecimento da cadeia.

30

6 RESULTADOS

Neste capitulo são apresentados os resultados obtidos neste trabalho.

Inicialmente são apresentadas as soluções numéricas do problema direto mostrado no

capitulo 4, realizando-se suas verificações. Em seguida, são apresentados os resultados

do problema inverso com modelo de erro aproximação e com modelo de erro

convencional, juntamente com as análises estatísticas, que foram apresentadas no

capitulo 5. Por fim, é feita uma comparação entre os resultados apresentados em ambos

os modelos propostos. Cabe ressaltar que todas as simulações foram desenvolvidas na

plataforma MATLAB®.

6.1 Problema direto

O problema direto foi modelado seguindo os dados apresentados por Da Silva

[6], que buscou informações disponíveis na literatura e aplicadas na indústria

automotiva. Essas informações são apresentadas a seguir:

Taxa de calor adotado (máximo) [41] [40] [42] = 52,57 W;

Temperatura do fluido de corte [43] = 28°C;

Coeficiente de transferência de com óleo de corte [43] = 113 W/m2K°C;

Temperatura inicial na superfície do suporte [40] = 35°C;

Coeficiente de transferência de calor no contato [37] = 395,49 W/m2K;

Tempo final de Brunimento = 20 segundos.

A forma funcional exata do fluxo de calor para o processo de brunimento foi

obtida por [6], a partir do avanço hidráulico das ferramentas de corte com redução da

pressão, conforme estabelecido por [44].Tal função é dada por:

31

Função Brunimento:

𝑓(𝜏) =

{

10

𝜏

𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙; 𝑠𝑒 0 < 𝜏 < 0,1𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

1; 𝑠𝑒 0,1𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 < 𝜏 < 0,5𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

3,5 − 5𝜏

𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙; 𝑠𝑒 0,5𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 < 𝜏 < 0,6𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

0,5; 𝑠𝑒 0,6𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 < 𝜏 < 0,9 𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

5 − 5𝜏

𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙; 𝑠𝑒 0,9𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 < 𝜏 < 𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

Onde é 𝜏𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 6,46.

Figura 6.1 Função Brunimento.

Na solução analítica do problema direto bidimensional, por se tratar de uma série

infinita, foi necessário o truncamento da série em um número finito de termos da

solução da equação 4.25, obtendo-se uma precisão com três dígitos. Esta análise de

convergência foi realizada variando o número de autovalores e o tempo adimensional. A

tabela 6.1 apresenta os valores obtidos na análise de convergência para posição X= 0 e

Y=0.

32

Tabela 6.1: Análise de convergência do Modelo Bidimensional - Equação 4.25

ϴ(X=0;Y=0,τ)

Os autovalores obtidos na solução da equação 4.25 foram comparados com os

obtidos por [37]. Estes apresentam valores altos, e consequentemente, a série converge

com poucos termos. Neste caso com 100 termos foi possível alcançar uma precisão da

ordem de 0,001.

6.1.1 Comparação do Modelo Bidimensional com o Modelo de Parâmetros

Concentrados

A seguir apresentam-se as comparações entre o modelo bidimensional e de

parâmetros concentrados, para o sensor em três diferentes posições. O tempo em que as

soluções foram comparados se refere ao tempo final de brunimento, que é de 𝜏 =

6.46 (𝑡 ≅ 20 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠). Conforme pode ser observado na figura 7, quanto mais

Nº de

termos

séries

τ= 10 τ= 50 τ= 100

10 26,4128 40,2318 40,3991

20 26,4172 40,2362 40,4443

30 26,4181 40,2370 40,4451

40 26,4184 40,2374 40,4455

50 26,4186 40,2376 40,4456

60 26,4187 40,2377 40,4457

70 26,4288 40,2377 40,4458

80 26,4188 40,2378 40,4459

90 26,4188 40,2378 40,4459

100 26,4188 40,2378 40,4459

33

próximo da superfície aquecida estiver o sensor, maior a temperatura obtida com

modelo bidimensional. A figura 6 mostra que, quando as temperaturas são medidas na

posição no meio da ferramenta, o modelo bidimensional e de parâmetros concentrados

apresentam pouca diferença. Já na figura 8, observa-se que quando as temperaturas são

obtidas próximas ao suporte da ferramenta, a temperatura obtida com o modelo

bidimensional é menor que a obtida com parâmetros concentrados. Isso como será visto

a frente, influenciará na estimativa da função fluxo de calor.

Quando o modelo bidimensional é substituído pelo modelo de parâmetros

concentrados na solução do problema inverso, as diferenças nas soluções dos dois

modelos podem influenciar significativamente o fluxo de calor estimado.

Figura 6.2 Diferença de temperatura entre modelos posição na (0.0) .

34

Figura 6.3 Diferença de temperatura entre modelos na posição (0, 0.5).

Figura 6.4 Diferença de temperatura entre modelos na posição (0,1).

Conforme pode ser observado na tabela 6.2, a temperatura adimensional

apresentou uma diferença significante em função da mudança de posição do sensor. Isso

se deve, ao fato do suporte da ferramenta absorver calor durante o processo de

usinagem, o que, como será visto mais a frente, interfere na solução do problema

35

inverso. Com isso, pode-se concluir que o problema de parâmetros concentrados, não

representa uma boa aproximação para solução do problema físico.

Tabela6.2-Variação espacial da temperatura-Modelo Bidimensional-Equação 4.25

Posição X Posição Y ϴ (X,Y,τ=6.46 )

0 0 14.0892

0 0,5 14,7269

0 1 15,2202

6.2 Análise de Convergência Estatísticas do Erro de Aproximação

A fim de gerar amostras para o cálculo das estatísticas do erro de aproximação, o

fluxo de calor com estado inicial determinístico, foi perturbado por um número

randômico com distribuição normal, média zero e desvio padrão de 5%. Este fluxo

perturbado, foi então aplicado às soluções do problema direto bidimensional (modelo

completo) e problema com parâmetros concentrados (modelo reduzido), para geração de

amostras do erro de aproximação, conforme descrito no capítulo 5.

Foram geradas 500 amostras para o cálculo das estatísticas do erro de

aproximação. Conforme pode ser observado nas figuras 6.5-10, a análise de

convergência da média dos erros de aproximação e a convergência do traço da matriz de

covariância amostral [45], que representa o determinante da matriz de covariância

gerada pelos erros de aproximação, foram verificadas com aumento do número de

amostras. Esse procedimento foi realizado para cada ponto analisado ao longo da

ferramenta, ou seja, nos pontos (0,0) (0, 0.5) e (0,1). Pode-se observar nas figuras 6.5-7

uma rápida convergência da média do erro de aproximação, enquanto nas figuras 6.8-

11, mais amostras são necessárias para uma melhor convergência do traço da matriz de

covariância. No entanto, com 500 amostras, foi possível obter esta convergência em

todas as posições.

36

Figura 6.5 Convergência da média do erro de aproximação na posição (0,0).

Figura 6.6 Convergência das médias do erro de aproximação na posição (0,0.5).

37

Figura 6.7 Convergência da média do erro de aproximação na posição (0,1).

Figura 6.8 Convergência do traço da matriz de covariância na posição (0,0).

38

Figura 6.9 Convergência do traço da matriz de covariância na posição (0,0.5).

Figura 6.10 Convergência do traço da matriz de covariância na posição (0,1).

39

6.3 Problema Inverso

Nesta seção serão analisados os problemas inversos para estimativa de função

com modelo de erro de aproximação e modelo de erro convencional. Seis casos-testes

foram propostos para estimativa da função fluxo de calor da seguinte forma:

1. Medidas simuladas de temperatura com modelo completo, e problema

inverso resolvido com modelo reduzido e erro de aproximação;


inverso resolvido com modelo reduzido e erro convencional;

3. Medidas simuladas de temperatura com modelo reduzido, e problema

inverso resolvido com modelo reduzido e erro convencional;


inverso resolvido com modelo reduzido e modelo de erro de aproximação

para um fluxo desconhecido para gerar as estatísticas;


inverso resolvido com modelo reduzido e erro de aproximação utilizando

um fluxo desconhecido com Alto de desvio padrão;


inverso resolvido com modelo completo e erro convencional.

A fim de se avaliar a concordância entre os valores estimados e os valores exatos

do fluxo de calor, foi calculado a Raiz do Erro Quadrático Médio (RMSE), também

chamado de erro padrão [46], que representa o desvio padrão entre o valor estimado e o

valor exato, ou seja, o quanto os valores estimados se afastam do valor exato. Sendo

assim, quanto mais próximo de zero for este valor, mais próximos dos valores exatos

estarão os valores estimados. A Raiz do Erro Quadrático Médio foi calculado como uma

média de 10 repetições, sendo definido da seguinte forma para cada repetição:

𝑅𝐸𝑄𝑀 = √∑ (𝑄(𝑡)𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜,𝑖−𝑄(𝑡)𝑒𝑥𝑎𝑡𝑜,𝑖)

2𝑛𝑖=1

𝑁 (6.1)

N=número de passos de tempo em que o fluxo é estimado.

40

As estatísticas de erro de modelagem obtidas foram incorporadas à solução do

problema de estimativa da função fluxo de calor como descrito no capítulo 5. Para

solução do problema inverso nas três posições analisadas, o estado inicial do fluxo de

calor foi de 75% do valor máximo do fluxo de calor adimensional. Foram adotadas

100.000 estados para estimativa do fluxo de calor. Porém, os primeiros 50.000 estados

foram descartados, pois se tratava do período de aquecimento da cadeia. Observou-se o

acompanhamento de algumas cadeias da função fluxo de calor, bem como a distribuição

a destas em alguns tempos adimensionais.

6.3.1 Caso-teste 1- Estimativa de Função com Modelo Reduzido e Erro de

Aproximação

Neste caso-teste, as medidas simuladas de temperaturas foram obtidas com

modelo completo, com desvio padrão de 1% da temperatura máxima obtida. Já o

problema inverso foi resolvido com medidas de temperatura utilizando o modelo

reduzido e o erro de aproximação.

1. Estimativas do fluxo de calor na posição (0,0).

A figura 6.1.1 é referente a estimativa do fluxo de calor na posição (0,0). No

início do processo o fluxo estimado não acompanha o fluxo real. Tal fato se deve a troca

de calor entre o porta-ferramenta e a ferramenta de corte, já que este ponto está

localizado na junção destes dois materiais. Devido à inércia térmica do porta-

ferramenta, este acaba absorvendo calor da ferramenta, e com isso, dificultando a

estimativa de fluxo nesta posição. Porém, no restante do processo, o fluxo estimado

reproduz bem o fluxo real, com os valores real e estimado ficando dentro da margem de

incerteza de 99%. Já as figuras 6.12-15 mostram a convergência da Cadeia de Markov

em vários tempos, e também como estas estão distribuídas. Conforme pode ser visto, se

aproxima de uma distribuição gaussiana. Por fim, encontra-se a tabela 6.3 contendo os

dados com custo computacional e a raíz do erro quadrático médio deste caso-teste, que

devido absorção de calor da ferramenta, ao qual foi relatado anteriormente, apresenta

um valor bem alto da REQM. Neste caso foi usado um parâmetro de regularização

𝜑𝑟𝑒𝑔 = 100, para todos os pontos analisados.

41

Figura 6.11 Estimativa do fluxo de calor na posição (0,0).

Figura 6.12 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 1,292

42

Figura 6.13 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2,584.

Figura 6.14 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =3,876.

43

Figura 6.15 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =5,168.

Tabela 6.3 Dados do problema inverso na posição (0,0).

Tempo de CPU 19.95 s

Estados Totais 100.000

Estados Aceitos 45129

Taxa de Aceitação 45,129%

Aquecimento 50.000

REQM 1,4661

2. Estimativas do fluxo de calor na posição (0,0.5).

A figura 6.16 representa a estimativa de fluxo de calor na posição (0,0.5). Este

ponto está localizado na metade do comprimento da ferramenta. Conforme pode ser

observado, o fluxo de calor estimado consegue reproduzir bem o fluxo real durante todo

o processo. Nota-se, que a influência da inercia térmica do porta-ferramenta é bem

menor, com os valores do fluxo real e estimado situando-se dentro da margem de

incerteza de 99%. Já as figuras 6.17-20 representam a convergência da Cadeia de

Markov em alguns tempos, bem como a distribuição destas, como pode ser visto a

posteriori se aproxima de uma Gaussiana. Na tabela 6.4 encontra-se os dados com custo

computacional, e a raiz erro médio quadrático (REQM) deste caso-teste. Este último

44

apresenta um valor bem menor que no caso anterior, pois como dito anteriormente,

nesta posição, a influencia da inércia térmica do porta-ferramenta é bem menor, com

valores estimados mais próximos dos valores exatos.

Figura 6.16 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,0.5).


45



46


Tabela 6.4 Dados do problema inverso na posição (0,0.5).




Taxa de Aceitação 33.088%

Aquecimento 50.000

REQM 0,3016


A figura 6.21 representa o fluxo de estimado na posição (0,1), que representa a posição

na superfície da ferramenta. Como pode ser visto, novamente o fluxo estimado consegue

reproduzir bem o fluxo exato com ambos os valores situando-se dentro da margem de incerteza

de 99% durante todo o processo, apresentando uma pequena flutuação neste valores no final do

processo. Já as figuras 6.22-25 representam a convergência da Cadeia de Markov em

alguns tempos, bem como a distribuição destas, que como pode ser visto, se aproximam

de uma distribuição Gaussiana e encontra-se na tabela 6.5 o custo computacional, e erro

médio quadrático (REQM) deste caso-teste, que apresentou um valor um pouco superior

ao caso anterior, (caso 2), devido à divergência dos valores ocorridos no final do

processo.

47

Figura 6.21 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,1).


48



49


Tabela 6.5 Dados do problema inverso para a posição (0,1).

Tempo de CPU 16,82 s




Aquecimento 50.000

REQM 0,3475

Conforme descrito no capítulo 5, na solução do problema inverso com modelo

de erro de aproximação foi utilizado o modelo reduzido juntamente com as estatísticas

do erro calculadas anteriormente. As medidas de temperatura simuladas com modelo

completo foram calculadas com desvio padrão de 1% da temperatura máxima obtida. As

temperaturas estimadas foram calculadas a partir do fluxo de calor estimado. O

algoritmo MCMC foi então aplicado utilizando a função de densidade a posteriori (eq.

5-20).

As figuras 6.26-28 apresentam uma comparação entre as temperaturas

estimadas, simuladas, e exatas. Como pode ser visto, houve uma boa concordância entre

as temperaturas para todas as posições analisadas, apesar da diferença entre os modelos

50

usados na simulação e na estimativa. Estas temperaturas foram obtidas a partir do fluxo

de calor estimado nos ítens 1,2 e 3 respectivamente.

Figura 6.26 Comparação entre medidas simuladas, exatas e estimadas na posição (0,0).

Figura 6.27 Comparação entre as medidas simuladas, exatas e estimadas na posição

(0,0.5).

51


(0,1).

52

6.3.2 Caso-teste 2 - Estimativa de Função com Modelo Completo e Erro

Convencional.

Neste caso teste, as medidas simuladas de temperatura foram realizadas com

modelo completo, com desvio padrão de 1% da temperatura máxima obtida. Já o

problema inverso foi resolvido com modelo reduzido e erro convencional.

O fluxo de calor estimado na posição (0,0) figura 6-29, devido a inércia térmica

do suporte da ferramenta não consegue reproduzir bem o fluxo exato no início e no final

do processo, porém entre estes instantes o fluxo é bem reproduzido situando dentro da

margem de incerteza de 99 %. A tabela 6.6 apresenta os dados deste problema, que

obtem um baixo valor de REQM.


Figura 6.29 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,0).

Tabela 6.6 Dados do problema inverso para a posição (0,0).




53


Aquecimento 50.000

REQM 1,53645

2. Estimativas do fluxo de calor na posição (0,0.5).

Na posição (0,0.5) o fluxo de calor estimado consegue reproduzir bem o fluxo

extado com pequenas divergências no início e final do processo situando-se dentro da

margem de incerteza de 99% entre estes instantes. A tabela 6.7 apresenta os dados

computacionais deste problema, onde se obteve um valor próximo ao do caso anterior

para o REQM. Neste caso foi usado um parâmetro de regularização 𝜑𝑟𝑒𝑔 = 100, para

todos os pontos analisados.

Figura 6.30 Estimativa de fluxo de calor na posição (0,0.5).

Tabela 6.7 Dados do problema inverso para a posição (0,0.5).





Aquecimento 50.000

REQM 0.5284

54


Nesta posição, o fluxo de calor estimado permaneceu bem próximo ao

valor exato durante quase todo o processo, apresentando uma pequena

divergência no início e no final do processo como relatado nas posições

anteriores, porem em menor escala. Como pode ser visto na figura 6.31 o fluxo

exato e o fluxo estimado ficaram bem próximos permanecendo dentro da

margem de incerteza de 99% . A tabela 6.8 apresenta os dados computacionais

deste item, sendo que o REQM apresentou um valor inferior aos itens

anteriores.

Figura 6.31 Estimativa do fluxo de calor na posição (0,1).

Tabela 6.8 Dados do problema inverso para a posição (0.1).





Aquecimento 50.000

55

REQM 0,40703641

As temperaturas simuladas foram realizadas com modelo completo, com desvio

padrão de 1% da temperatura máxima obtida. Já as temperaturas estimadas foram

obtidas a partir do fluxo estimado. Estas temperaturas foram obtidas a partir dos valores

estimados do fluxo de calor nos itens 1,2 e 3 respectivamente. Como pode ser visto nas

figuras 6.29-31, foi possível obter uma boa estimativa da temperatura em todos os

pontos analisados, mesmo utilizando modelos diferentes para simulação e estimativa.

Porem, na posição (0,5) houve maior concordância entre os valore estimados, exatos e

simulados. Já nas demais posições houve uma pequena variação entre os valores

estimados e exatos. Isso ocorreu, pois na posição (0,5) devido a inercia térmica do

suporte da ferramenta há uma menor diferença entre os dois modelos, já nas outras esta

diferença fica mais evidente.


(0,0).

A comparação dos resultados obtidos neste caso teste e no anterior para REQM

revela o efeito do uso do erro de aproximação. De fato, no caso anterior, os valores de

REQM são menores que no presente caso, que não leva em conta os erros de utilização

do modelo reduzido na solução do problema inverso

56


(0,0.5).


(0,1).

57

6.3.3 Caso teste 3 - Estimativa de Função com Modelo Reduzido e Erro

Convencional.

A seguir são realizadas medidas simuladas com modelo reduzido com desvio

padrão de 1% da temperatura máxima obtida, utilizando o modelo de erro convencional,

cometendo assim crime inverso. Como esperado, o fluxo estimado conseguiu reproduzir

bem o fluxo extado, porém em alguns instantes como no início do processo de

brunimento, o fluxo estimado não consegue reproduzir bem o fluxo real. Contudo no

restante do processo, os valores estimados e reais são próximos situando-se dentro da

margem de incerteza de 99%. A tabela 6.9 apresenta os dados do problema inverso

analisado. Por fim, a figura 6.37 uma comparação entre as temperaturas simuladas,

exatas e estimadas. Já a temperatura estimada a partir do fluxo estimado conseguiu

acompanhar bem a temperatura exata, como esperado. Neste caso foi usado um

parâmetro de regularização 𝜑𝑟𝑒𝑔 = 10, para todos os pontos analisados.

Figura 6.35 Estimativa de fluxo de calor com modelo reduzido e modelo de erro

convencional.

Tabela 6.9 Dados do problema inverso com modelo reduzido e modelo de erro

convencional.


58



Taxa de Aceitação 63,765%

Aquecimento 50.000

REQM 0,36011

A figura 6.35 representa a temperatura simulada com o modelo reduzido, e

estimada com o modelo reduzido. Estas temperaturas estimadas foram calculadas

utilizando os valores estimados do fluxo de calor, e como era previsto, apresentaram

uma excelente concordância com a temperatura exata.

Figura 6.36 Comparação entre as temperaturas exatas, simuladas e estimadas com

modelo reduzido e modelo de erro convencional.

59

6.3.4 Caso-teste 4- Estimativa de Função com Modelo Completo e de Erro de

Aproximação Utilizando Fluxo Desconhecida.

Neste item, será analisado o problema com medidas de temperatura simulada a

partir do modelo completo, com desvio padrão de 1% da temperatura máxima obtida na

posição (0,1), e com problema inverso resolvido com modelo reduzido e erro de

aproximação. Nos casos teste 1,2 e 3 foram cometidos crimes inversos [7]. Porém, este

caso teste tem a função de responder a seguinte pergunta: Na pratica, o fluxo de calor

durante o processo de brunimento é desconhecido, então qual função utilizar para gerar

as amostras estatísticas do erro de aproximação?

Considerando a função fluxo de calor desconhecida, neste caso, será feita uma

análise crítica para mostrar a eficiência do erro de aproximação. As medidas simuladas

representam as medidas obtidas experimentalmente. Com isso, foi realizado o mesmo

procedimento do caso teste 2, em que o problema inverso foi resolvido com o modelo

reduzido e erro convencional, utilizando as medidas simuladas com modelo completo

na posição (0,1). A função fluxo de calor estimado a partir deste procedimento, como

pode ser visto na figura 6.37 não esta bem regularizada por se supor que sua forma é

desconhecida. Em seguida, utiliza-se esta função para gerar as amostras do erro de

aproximação, empregadas neste caso teste para resolução do problema inverso. Neste

caso foi usado um parâmetro de regularização 𝜑𝑟𝑒𝑔 = 100, para todos os pontos

analisados.

As figuras 6.38-39 apresentam a convergência das médias e do traço da matriz

de covariância, respectivamente, para um total de 500 amostras, enquanto a figura 6.40

mostra a diferença entre os dois modelos utilizando o fluxo desconhecido.

60

Figura 6.37 Função fluxo de calor desconhecido.

Figura 6.38 Convergência da média do erro de aproximação.

61

Figura 6.39 Convergência do traço da matriz de covariância.

Figura 6.40 Diferença de temperatura entre modelos completo e reduzido.

A figura 6.41 apresenta o fluxo de calor estimado com o modelo reduzido e erro

de aproximação utilizando o fluxo da figura 6.37 para gerar as amostras estatísticas.

Como pode ser visto, o fluxo estimado consegue reproduzir bem o fluxo exato com

ambos os valores situando-se dentro da margem de incerteza de 99% durante todo o

processo, mesmo utilizando um fluxo desconhecido bem diferente do fluxo exato na

geração das amostras do erro de aproximação. Já as figuras 6.43-46 representam a

62

convergência das Cadeias de Markov em alguns tempos, bem como a distribuição

destas, que se aproximam de uma Gaussiana. Encontra-se na tabela 6.10 os dados com

custo computacional e a raíz erro médio quadrático (REQM) deste caso-teste, sendo que

este ultimo apresentou um valor inferior ao caso-teste 2, analisado no mesmo ponto,

mostrando assim que o erro de aproximação realmente é uma ferramenta muito eficaz

para ser utilizada em problemas inversos.

Figura 6.41 Fluxo de calor estimado na posição (0,1).

Figura 6.42Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =1,292.

63

Figura 6.43 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ = 2.584.

Figura 6.44 Acompanhamento da Cadeia de Markov τ =3.876.

64



aproximação.

Tempo de CPU 15.36s



Taxa de

Aceitação 30.102%

Aquecimento 50000

REQM 0.28645

Por fim a figura 6.47 mostra uma comparação entre a temperatura simulada, que

representariam as medidas experimentais simuladas, temperatura exata e temperatura

estimada, obtida com fluxo de calor estimado neste caso (figura 6.42). Como pode ser

observado, a temperatura estimada consegue acompanhar bem a temperaturas simulada

e exata, apresentando uma pequena divergência em alguns pontos durante o final do

processo.

65


66


Aproximação Utilizando Fluxo Desconhecida com Alto de Desvio Padrão

Neste caso será analisado o mesmo problema do caso 4, porém com medidas

simuladas com desvio padrão de 5% da temperatura máxima obtida. As figuras 6.47-48

representam a convergência das médias e do traço da matriz da covariância para um

total de 500 amostras, respectivamente. Neste caso foi usado um parâmetro de

regularização 𝜑𝑟𝑒𝑔 = 100, para todos os pontos analisados.

Figura 6.47 Convergência da média do erro de aproximação.

67

Figura 6.48 Convergência do traço da matriz de covariância.

A figura 6.49 apresenta uma comparação entre os valores dos fluxos estimados e

exato. Como pode ser visto, os valores estimados conseguem reproduzir bem o fluxo

exato até por volta da metade do processo. A partir daí, os valores estimados começam a

divergir bastante com os valores exatos ficando fora da margem de incerteza de 99%. Já

as figuras 6.50-53 representam a convergência da Cadeia de Markov em alguns tempos,

bem como a distribuição destas, que como pode ser visto, se aproximam de uma

Gaussiana. Encontra-se na tabela 6.11 os dados com custo computacional e erro médio

quadrático (REQM) deste caso-teste, sendo que este ultimo apresentou um valor

superior ao caso-teste 4, como era de se esperar, devido ao alto desvio padrão utilizado.

68



69



70



aproximação com 5 % de desvio padrão.





Aquecimento 50000

REQM 1.284733

Por fim, a figura 6.49 apresenta uma comparação entre os valores de temperatura

estimados, exatos e simulados. Como pode ser visto, os valores simulados ficaram bem

afastados dos valores exatos. Porém, mesmo assim, os valores estimados conseguiram

acompanhar bem os valores exatos apresentando uma pequena divergência entre estes

no final do processo.

71


72


Convencional.

O case teste 6 foi resolvido a fim de realizar uma comparação entre o custo

computacional e resultados do problema inverso com modelo reduzido e erro de

aproximação (caso-teste 1), e do problema inverso com modelo completo e erro

convencional.

Neste item, foram utilizadas as medidas de temperatura simuladas com modelo

completo na posição (0,1) e 1 % de desvio padrão da temperatura máxima obtida, e

problema inverso resolvido com modelo completo e erro. Como pode ser visto na figura

6.55, o fluxo de calor estimado tem a mesma forma do fluxo real, porem não consegue

reproduzi-lo bem, principalmente nos instantes iniciais e finais. Isto pode ter sido

causado por um parâmetro de regularização (𝜑𝑟𝑒𝑔 = 100), muito alto, que torna a

função estimada muito suave.

Contudo, como pode ser visto na tabela 12, o custo computacional deste caso teste é

muito superior ao do caso teste 1, cerca de 4000 vezes mais elevado. Por conta disso,

não foi calculado a raíz do erro médio quadrático (REQM) para este caso, já que isto

requer que este seja realizado 10 vezes. Além disso, os resultados obtidos para o fluxo

de calor no caso teste 1, são bem mais próximos aos valores exatos do que neste caso

teste, o que mostra o quanto o uso do erro de aproximação é eficiente.

73



74



75


Tabela 12 -Dados do problema inverso com modelo completo e erro convencional.





Aquecimento 50000

REQM 1.3846

76


77

7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES

Este trabalho teve o objetivo de estimar o fluxo de calor gerado na ferramenta de

corte durante o processo de brunimento através da modelagem do erro de aproximação.

O problema físico foi modelado bidimensionalmente e resolvido através da

Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT). Como modelo reduzido foi usada

uma formulação de parâmetros concentrados.

Seis casos-teste foram analisados para a solução do problema inverso estudados

neste trabalho. Nos dois primeiros casos, as medidas simuladas foram geradas a partir

do modelo bidimensional, e, no terceiro caso, com modelo reduzido. Nos três casos, as

soluções dos problemas inversos foram obtidas com o modelo reduzido, baseado na

formulação de parâmetros concentrados. No primeiro caso-teste foi usada a modelagem

de erro de aproximação. No segundo caso-teste foi usado o modelo de erro

convencional. Já no terceiro caso-teste, foi feito crime-inverso, onde as medidas foram

simuladas com o modelo de parâmetros concentrados, que também foi usado para a

solução do problema inverso.

Nos casos teste 4, 5, e 6, as medidas simuladas foram geradas com modelo

bidimensional. No quarto caso-teste, foi possível verificar que mesmo utilizando um

fluxo de calor bem diferente do exato, obtêm-se bons resultados com o modelo de erro

de aproximação, com a função estimada e exata ficando dentro do intervalo de

confiança 99%. Já no caso-teste cinco, devido ao alto desvio padrão, as medidas

simuladas de temperatura ficaram muito dispersas, e com isso, não possibilitando uma

estimativa tão boa quanto no caso anterior. Em ambos os casos teste 4 e 5, o problema

inverso foi resolvido com modelo reduzido e modelagem de erro de aproximação. Por

fim, no sexto caso-teste, foi possível realizar uma comparação tendo em vista o custo

computacional deste caso, e custo computacional dos outros casos. Neste caso teste, o

problema inverso foi resolvido com modelo bidimensional e modelagem de erro

convencional.

As estimativas de fluxo do calor obtidas com o modelo de erro de aproximação

apresentaram melhores resultados quando comparados as resultados obtidos com as

estimativas do fluxo de calor obtidos com modelo de erro convencional. Porém, na

posição (0,0), que representa o contato entre a ferramenta e seu suporte, nos tempos

iniciais os valores estimados não representam bem a função fluxo de calor exato.

78

Contudo, para o restante do tempo o fluxo estimado apresentou boa concordância,

ficando dentro do intervalo de confiança de 99 %.

Para trabalhos futuros sugere-se a realização dos experimentos para a se obter

medidas reais de temperaturas, bem como a otimização do aparato experimental em

relação ao numero de sensores e o posicionamento dos mesmos.

79

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USO DO MODELO DO ERRO DE APROXIMAÇÃO PARA …w2.files.scire.net.br/atrio/ufrj-pem_upl/THESIS/1410/pemufrj2014... · 2. Erro de Aproximação. 3. ... (0.0) . ... 50. x Figura 6.27