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90 SBA Controle & Automao Vol. 9 no. 2/ Maio, Jun., Jul. e Agosto de 1998

IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES UTILIZANDO MODELOSNARMAX POLINOMIAIS UMA REVISO E NOVOS RESULTADOS

LUIS A. AguirreCentro de Pesquisa e Desenvolvimento em

Engenharia Eltrica Departamento de Engenharia Eletrnica

Universidade Federal de Minas GeraisAv. Antnio Carlos 6627, 31270901,

Belo Horizonte, MGFax: (031) 499-5480 E-mail:

[email protected]

Giovani G. RodriguesDepartamento de Engenharia Eltrica,

CEFET-MGAv. Amazonas 7675, Belo Horizonte, MG

E-mail: [email protected]

Cristiano R.F. JcomeFederao das Indstrias do Estado de

Minas Gerais (FIEMG)Av. Contorno 4520, 5o Andar, Belo

Horizonte, MGFax: (031) 229-6645

Resumo Este artigo tem dois objetivos principais. Emprimeiro lugar, ele aborda a identificao de sistemas no-lineares de forma introdutria, provendo literatura especficapara um estudo mais detalhado. O segundo objetivo apresentar alguns novos resultados teis na seleo da estruturade modelos NARMAX polinomiais (os quais so lineares nosparmetros). Especificamente, discute-se como certo tipo deconhecimento prvio sobre o sistema pode ser utilizado nadeterminao de uma representao adequada e na anlise demodelos identificados. O artigo inclui dois exemplos (um comdados simulados e outro com dados reais) para ilustrar o uso deferramentas e os novos resultados.

Abstract. The aim of this paper is twofold. First, thefundamentals of nonlinear system identification are brieflyreviewed and a list of specific references are provided forfurther reading. Secondly, this paper presents some novelresults concerning structure selection of NARMAX polynomialmodels. It is shown how a certain type of prior knowledgeabout the system can be used to determine a proper modelstructure. The paper also discusses how some new results canbe used to analyze identified nonlinear models. Two numericalexamples are included which use both simulated and real data.Such examples illustrate the use of standard identification toolsand also the use of new results.

1 INTRODUOUm dos grandes desafios na histria da cincia tem sido obtersistemas anlogos aos processos e fenmenos observados nouniverso. Por sistema anlogo entende-se um sistema capaz dereproduzir algumas caractersticas do fenmeno observado,assim como uma maquete reproduz as escalas, propores,cores, etc. de uma construo real. Quando o anlogo umsistema matemtico, ele constitui um modelo matemtico dofenmeno observado.

Com a crescente disponibilidade de computadores, o uso demodelos matemticos tem aumentado em praticamente todas asreas do conhecimento humano. Alm disso, tem-se observadouma mudana no tipo de modelos utilizados. Maisespecificamente, tem havido um crescente interesse porrepresentaes no-lineares para caracterizar sistemas efenmenos reais. Na medida em que as representaes linearesso substitudas em algumas aplicaes por seuscorrespondentes no-lineares, torna-se possvel analisar ereproduzir certos fenmenos e comportamentos dinmicosmais complexos (Aguirre, 1996). Por outro lado, a obteno demodelos no-lineares significativamente mais trabalhosa doque para modelos lineares e, alm disso, h algumas etapas namodelagem de sistemas no-lineares que ainda no esto bemestabelecidas.

De forma geral, possvel agrupar as tcnicas de modelagemem duas grandes categorias, a saber: modelagem pela fsica doprocesso e modelagem a partir de testes. A segunda categoria normalmente conhecida por identificao de sistemas (Ljung,1987). As diferenas entre as duas abordagens so muitas, bem

Artigo submetido em 23/04/97 Revisado em 30/06/97Aceito sob recomendao do Ed. Cons. Prof.Dr. Paulo Srgio P.da Silva

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como as diferenas no tipo de modelos obtidos em cada caso.Entretanto, o que provavelmente mais diferencia essas duasabordagens a quantidade de conhecimento sobre o processoreal utilizado na obteno dos modelos. Na modelagem pelafsica do processo, o modelo desenvolvido a partir de todainformao disponvel sobre o processo. Por outro lado,mtodos de identificao normalmente no pressupemqualquer conhecimento prvio do sistema, justificando o nome"identificao caixa-preta" (Sjberg et al., 1996).Ultimamente, tem havido algum interesse em desenvolvermtodos que permitam incorporar alguma informao que setenha sobre o sistema durante a sua identificao (Lindskog eLjung, 1994). Procedimentos com esta caracterstica sodenominados mtodos de "identificao caixa-cinza" e soespecialmente interessantes porque no exigem do usurio umprofundo conhecimento "a priori" do processo, mas permitem autilizao de conhecimento prvio. Isso normalmente resultaem modelos melhores e, principalmente, modelos fisicamentemais significativos.

A escolha de qual representao utilizar na modelagem desistemas no-lineares ainda uma questo que parece no teruma resposta definitiva. A opinio dos autores sobre esteassunto que o volume e o tipo de informao "a priori"disponvel sobre o sistema poder vir a ser um elementodeterminante na escolha da representao. Assim,representaes que permitirem incorporar informao prviacom maior facilidade sero preferidas na identificao do tipo"caixa-cinza", enquanto outras representaes continuaro a serusadas em problemas de identificao do tipo "caixa-preta".

O objetivo do presente trabalho rever alguns dos pontos maisimportantes na identificao de sistemas no-linearesutilizando modelos polinomiais. Textos em identificao desistemas so escassos e normalmente cobrem apenas ossistemas lineares (Norton, 1986; Ljung, 1987; Sderstrm eStoica, 1989). Apesar de no se pretender aqui produzir umtexto autocontido sobre identificao de sistemas no-lineares,espera-se prover o leitor com um conjunto bsico deferramentas matemticas e referncias bibliogrficas paratrabalhar na rea. Um segundo objetivo apresentar algunsnovos resultados referentes ao uso de conhecimento "a priori"na identificao de modelos no-lineares polinomiais. Asprincipais idias so ilustradas com dois exemplos numricos.

O artigo est organizado da seguinte forma: na seo 2 feitauma reviso sobre tcnicas bsicas de identificao de modelosno-lineares polinomiais. A seo 3 faz uma reviso doconceito de agrupamento de termos e coeficiente deagrupamentos. Estes conceitos so teis na determinao daestrutura de modelos no-lineares polinomiais, assunto essediscutido na seo 4. Alguns novos resultados sobre a estruturade modelos polinomiais na presena de constante de tempo eganho variveis so apresentados na seo 5. Dois exemplosso discutidos na seo 6 e, finalmente, algumas observaesfinais so apresentadas na seo 7.

2 IDENTIFICAO DE SISTEMAS NO-LINEARES

O problema de identificao de sistemas pode ser dividido emcinco etapas principais (Ljung, 1987): (i) obteno de dados deexperimentao do sistema que se deseja modelar; (ii)aplicao de testes aos dados obtidos para deteco de no-linearidades; (iii) escolha da estrutura que ser utilizada para

representar o modelo; (iv) estimao dos parmetros domodelo; (v) validao do modelo obtido.O procedimento descrito acima empregado na identificaotanto de sistemas lineares quanto sistemas no-lineares. Asprincipais diferenas se devem maneira como cada passo implementado, conforme ser descrito nas subsees seguintes.

O objetivo primordial dessa seo apresentar uma reviso dosprincipais tpicos relacionados identificao de sistemas no-lineares utilizando estruturas conhecidas como modelosNARMAX polinomiais.

2.1 Experimentao do Sistema eDeteco de No-Linearidades

Nessa etapa do procedimento de identificao, o sistema deveser experimentado atravs da aplicao de entradas adequadase da observao das sadas correspondentes (e/ou das variveisde estado observveis). Os dados de identificao assimobtidos sero utilizados na deteco de no-linearidades e noajuste dos parmetros do modelo escolhido.Os dados utilizados na identificao devem conter informaessobre o sistema que ser modelado. Assim, o sinal de excitaodeve apresentar espectro suficientemente amplo em frequnciae amplitude de tal forma que excursione o sistema pelosregimes dinmicos de interesse. No caso de sistemas no-lineares, isto requer que os efeitos no-lineares sejam excitadospor tais sinais e estejam presentes nos dados. A escolha daexcitao adequada para a identificao de sistemas no-lineares abordada formalmente em (Leontaritis e Billings,1987).O procedimento de identificao geralmente deriva modelosdinmicos discretos a partir de dados amostrados. Existemvrios mtodos prticos para a determinao do perodoadequado para a amostragem de um sinal. Aguirre (1995)apresenta um mtodo de seleo de perodo de amostragem queutiliza a auto-correlao e uma correlao no-linear paradetectar o tipo de interaes presentes naquele sinal. Amotivao bsica do mtodo simples: se os dados tiveremsido amostrados a uma taxa superior do que a necessria,haver redundncia entre amostras vizinhas. A fim dequantificar tal redundncia utilizam-se funes de auto-correlao. A novidade em (Aguirre, 1995) reside no fato deque mostrado que se os dados tiverem informao no linearpresente, a funo de autocorrelao linear em alguns casos insuficiente para quantificar a redundncia mencionada acimae consquentemente torna-se inadequada na escolha do tempode amostagem. A fim de contornar o problema, foi sugeridousar, alm da funo de auto-correlao linear, a seguintefuno

, 0)}()})({)({()( 222 == ttuEtuEu ( 2.1 )

onde y(t) o sinal de sada do sistema analisado e E indicaesperana matemtica. O procedimento completo pode serenunciado como se segue: i) calcular a funo de auto-correlao linear e a funo (2.1), ii) determinar os atrasos, ,para os quais tais funes passam pelos primeiros mnimoslocais, iii) define-se m como o menor valor entre os valorecalculados em ii), iv) finalmente, o perodo de amostragem Tsdeve ser escolhido de forma a satisfazer:


.

1020m

sm T

( 2.2 )

Os algoritmos de deteco de no-lineridades so utilizadospara quantificar o nvel de interaes no-lineares encontradasnos dados de identificao (Billings e Voon, 1983; Haber,1985; Haber e Unbehauen, 1990).Billings e Voon (1983, 1986) mostraram que a relao

== 0)})}({)()})(({)({()( 22,2, tyEtytyEtyEyy( 2.3 )

vlida se e somente se o sistema original for linear. Os limitesde um intervalo de confiana de 95% so: 1 96, N , onde N o comprimento do registro de dados disponveis. A funo decorrelao (2.3) pode ser estimada utilizando os dados deidentificao disponveis. O sistema que gerou os dados deverser representado por uma modelo no-linear quando acorrelao calculada no permanece dentro do intervalo deconfiana. Nesse caso, as interaes no-lineares nos dados deidentificao so considerveis e devem ser modeladas.

2.2 Representaes Matemticas paraSistemas No-Lineares

Na modelagem, uma importante questo a escolha daestrutura que dever representar o comportamento de umsistema dinmico. Algumas representaes utilizadas namodelagem de sistemas no-lineares so: (i) redes neurais(Elsner, 1992; Masri et al., 1993); (ii) funes de base radial,RBF (Casdagli, 1989); (iii) sries de Volterra (Billings, 1980);(iv) "wavelets" (Strang, 1989); (v) funes polinomiais eracionais (Chen e Billings, 1989; Haber e Unbenhauen, 1990;Foss e Johansen, 1992; Noshiro et al., 1993; Jang e Kim,1994); (vi) equaes diferenciais polinomiais (Gouesbet eLetellier, 1994). Destaca-se que os conhecidos modelosbilineares constituem uma classe especial dos modelospolinomiais no-lineares (Ljung, 1987; Chen e Billings, 1989).Este trabalho mostra a aplicao de estruturas "no-linearesauto-regressivas com mdia mvel e entrada exgena"NARMAX ("non-linear auto-regressive with moving averageand exogenous inputs"). Propriedades gerais deste tipo demodelos, que constituem uma representao natural para umagrande classe de sistemas no-lineares (Chen e Billings, 1989),podem ser encontradas em (Leontaritis e Billings, 1985a e1985b). A estrutura de um modelo NARMAX monovarivelcom perodo de amostragem normalizado :

, )())(),...,2(),1(),1( ),...,1(),(),(),...,2(),1(()(

tentetetendtudtudtuntytytyFty

eu

yl

++

=

( 2.4 )

onde t=1,...,N. F l uma funo no-linear qualquer. y(t), u(t),e(t) so sada, entrada e rudo aditivo do sistema, cujos atrasosmximos so representados por ny, nu, ne. d representa oretardo ou tempo morto do sistema.

A forma da funo F l normalmente no conhecida "a priori".Assim, a dinmica do sistema deve ser reconstruda utilizando-

se uma aproximao para representar F l. Possveisaproximaes para esta funo so os modelos polinomiais eracionais (Chen e Billings, 1989). A aproximao polinomialde grau l para o modelo (2.4) apresenta a seguinte estrutura(Chen e Billings, 1989):

, )()( ... )( ...

... )( )( )()(

1 ...

1

10

1 1

11

1 122121

111

tetxtx

txtxtxty

n

i

n

iiiiii

n

i

n

iiiiii

n

iii

llll

+

++++=

= =

= ==

( 2.5 )

onde:

euy

ennn

n

nnnn

ntetxtetx

dtutxtytxtytx

uy

y

++=

==

===

++

+

).()( , ... , )1()(, ... , )()( , ... , )2()( , )1()(

1

121

As constantes i so parmetros que devem ser estimados paraajustar a estrutura escolhida aos dados de identificao.Os modelos polinomiais apresentam algumas vantagens sobreas demais representaes para dinmicas no-lineares.Geralmente, possvel obter modelos NARMAX polinomiaisque ajustem dados com boa exatido desde que estes dados noapresentem variaes abruptas. Outra vantagem darepresentao polinomial a facilidade com que a informaoanaltica sobre a dinmica do modelo pode ser obtida (Aguirree Mendes, 1996). Por fim, os polinmios no-lineares sofunes lineares nos parmetros, o que permite a utilizao dealgoritmos de estimao de parmetros para modelos lineares(Davis e Vinter, 1985; Korenberg et al., 1988; Chen et al.,1989).Por outro lado, modelos lineares nos parmetros (muitas vezeschamados de modelos com no linearidade fraca) requeremmais parmetros do que modelos que so no lineares nosparmetros (chamados de modelos com no linearidade forte).Entretanto, o que vai determinar o nmero de parmetrosnecessrios num modelo linear nos parmetros o tipo deregressores includos no modelo. Se regressores adequadosforem usados, mesmo um modelo linear nos parmetros compoucos coeficientes poder modelar a dinmica no linearsatisfatoriamente. Determinar os regressores adequadosentretanto um problema no trivial e que est longe de sersatisfatoriamente resolvido. Acredita-se que alguns dosresultados descritos no presente artigo so uma importantecontribuio ao estudo desse problema. Uma clara limitao demodelos polinomiais lineares nos parmetros na modelagemde sistemas com no linearidade esttica que no possa seradequadamente aproximada por polinmios de baixa ordem(Aguirre, 1997a).A identificao de modelos NARMAX multivariveis foianalisada em (Billings et al., 1989), enquanto que diversasrepresentaes no-lineares para sries temporais (incluindoredes neurais e modelos NARMA) foram comparadas porinar (1995).


2.3 Deteco de Estrutura de ModelosNARMAX Polinomiais

O nmero de termos possveis em modelos polinomiais crescebastante com o aumento do grau de no-linearidade l e dosatrasos mximos n n ny u e, , . De fato, esse nmero pode serdeterminado para modelos monovariveis atravs da seguinteexpresso (Korenberg et al., 1988):

, 1+= Mn ( 2.6 )

onde n o nmero total de termos no modelo e

,

1

=

=

l

iinM ,

)1(1i

innnnn

euyii

+++=

. 1 0 =n

A unio de todos os termos possveis em um modelopolinomial denominado conjunto de termos candidatos, oqual possui normalmente muitos elementos. Entretanto,representaes polinomiais concisas podem ser obtidas parauma grande diversidade de sistemas no-lineares garantindo-seque os termos importantes no modelo possam ser corretamenteencontrados. O procedimento de seleo dos termos a seremincludos em um modelo denominado deteco de estrutura.

inar (1995) comenta que a utilizao de uma estrutura nocompatvel com os tipos de no-linearidades existentes nosdados tem um efeito significativo sobre o esforo deidentificao e a qualidade do modelo gerado. Assim, oprocesso de deteco da estrutura de um modelo dinmico parasistemas no-lineares deve receber uma ateno especialdurante o procedimento de identificao. Destaca-se tambmque modelos no-lineares sobreparametrizados podemapresentar regimes dinmicos esprios (Aguirre e Billings,1995a).O uso de algoritmos genticos para deteco de termos emmodelos no-lineares foi investigado por Fonseca et al. (1993).Outro mtodo utilizado para a deteco de estrutura demodelos no-lineares o "zeroing-and-refitting" (Kadtke et al.,1993). Neste mtodo, os termos cujos parmetros apresentamvalores absolutos reduzidos em relao aos demais soeliminados do conjunto de termos candidatos e um novomodelo reestimado. Thouverez e Jezequel (1996) propuseramum procedimento de seleo de estrutura de modelosNARMAX baseado em anlise modal, enquanto que Wang eCluett (1996) utilizaram uma ferramenta estatstica (os resduosPRESS) para avaliar a qualidade de uma estrutura no-linear.A taxa de reduo do erro ("error reduction ratio" ou ERR) um critrio utilizado na deteco de estrutura de modelosNARMAX polinomiais (Korenberg et al., 1988; Billings et al.,1989; Chen et al., 1989). O ERR de cada termo candidato umnmero que indica a melhoria obtida na representao dosistema atravs da sua incluso no modelo. O critrio do ERRser definido formalmente na seo seguinte.

2.4 Estimao de Parmetros

Determinada a estrutura do modelo, deve-se estimar seusparmetros para aproximar o comportamento dinmicoapresentado pelo sistema original. Conforme mencionadoanteriormente, os modelos NARMAX polinomiais soestruturas lineares nos parmetros. Assim, estes parmetrospodem ser estimados atravs do algoritmo de mnimosquadrados lineares (Billings e Voon, 1984; Chen et al., 1989;Zhu e Billings, 1996).A estrutura mostrada em (2.5) pode ser representada na formado erro de predio:

, )()()(1

ttptyn

iii

+= = ( 2.7 )

onde os regressores p ti ( ) do modelo correspondem aosdiferentes termos no polinmio e os i so os respectivosparmetros. O smbolo "^" sobre variveis indica valoresestimados e o resduo de identificao (t,) definido como:

, ),()(),( tytyt = ( 2.8 )

.

)(),(1

=

=

n

iii tpty ( 2.9 )

O vetor de resduos {(t), t=1,...,N} representa os erros demodelagem, o rudo aditivo do sistema e incertezas de ordemqualquer. A equao (2.9) denominada preditor de "um-passo-a-frente" e ( )y t a predio de "um-passo-a-frente" dey(t).

Os parmetros i do modelo podem ser escolhidos, dentro deum espao de busca, de modo a minimizar a funo de custo doalgoritmo de mnimos quadrados:

, ),( 1)(1

=

=

N

t

TN tN

J ( 2.10 )

O vetor de parmetros estimados ser omitido na representaodos resduos de identificao e da sada predita do modelo parasimplificao de notao. A equao (2.7) pode ser apresentadaem notao matricial:

, + = PY ( 2.11 )

onde:

, ] )( ...)2( )1( [, ])( ...)2( )1( [

T

T

N

NyyyY

==

,

)(...)()(............

)2(...)2()2()1(...)1()1(

21

21

21

=

NpNpNp

pppppp

P

n

n

n

e T indica transposio da matriz ou vetor. A matriz P denominada matriz de regressores do modelo e indica ovetor de parmetros nominal. A soluo em batelada doproblema de mnimos quadrados dada por (Golub e VanLoan, 1989):


. .)( 1 YPPP TTLS = ( 2.12 )

A matriz PTP denominada matriz de informao ou matriznormal. Esta matriz simtrica e positiva definida quando Ptem posto pleno de colunas e positiva semidefinida em casocontrrio. Entretanto, ela pode perder essa propriedade emcasos de mal-condicionamento numrico grave. A equao(2.12) denominada equao normal. A soluo LS daequao normal existe e nica desde que PTP seja no-singular.

A estimativa obtida dita no-polarizada ( E LS{ } = ) seos resduos {(t), t=1,...,N} forem brancos e no apresentaremcorrelao com os regressores (Davis e Vinter, 1985). Quandoisso no verificado, os resduos apresentam alguma dinmicaque no foi devidamente explicada pelo modelo. Nesse caso,novos termos devem ser includos neste modelo para que asestimativas se tornem no-polarizadas e toda a dinmica dosdados seja absorvida pelo modelo.A formao de PTP torna-se sujeita a problemas numricosquando P mal-condicionada. Estes problemas podem afetar aestabilidade do algoritmo de mnimos quadrados e inviabilizara sua soluo atravs da equao (2.12) (Chen et al., 1989).Uma alternativa para aliviar tais problemas a ortogonalizaoda matriz P. Nesta situao, as colunas de P sero no-correlacionadas e formaro uma base ortogonal para o espaoimagem de P. Aps a ortogonalizao da matriz de regressores,o problema de mnimos quadrados pode ser solucionadoatravs do procedimento de Gram-Schmidt (clssico oumodificado) ou do mtodo da transformao de Householder.Estes mtodos foram desenvolvidos e comparados no contextode sistemas no-lineares por Chen et al. (1989). Neste trabalho,os autores apresentam ainda um algoritmo de estimaoortogonal baseado na decomposio em valores singulares damatriz de regressores P. Este algoritmo pode ser utilizado parasolucionar o problema de mnimos quadrados em casos onde amatriz de regressores P no tem posto pleno de colunas e amatriz PTP singular.

No procedimento de Gram-Schmidt, uma matriz P com postopleno de colunas decomposta em duas submatrizes:

, WAP = ( 2.13 )

onde A (nn) uma matriz triangular superior com a diagonalunitria e W uma matriz ortogonal (WTW=D, sendo D umamatriz diagonal de dimenso Nn). Define-se ento:

, = Ag ( 2.14 )

Aplicando (2.13) e (2.14) na equao (2.11):

, += WgY ( 2.15 )

onde as colunas de W constituem os novos regressoresortogonais do problema e g o vetor de parmetros para esteconjunto de regressores. A soluo do problema de mnimosquadrados ortogonais (2.15) (Korenberg et al., 1988; Billingset al., 1989; Chen et al., 1989):

, 1 YWDg T= . 1gALS

= ( 2.16 )

O critrio do ERR foi mencionado na seo anterior e pode serformalizado atravs da estrutura do modelo ortogonal (2.15). Avarincia dos resduos de identificao (t) igual ao erroquadrtico mdio da sada y(t) quando nenhum termo includo no modelo (2.15). A cada novo termo colocado nestemodelo, a varincia de (t) decrescida de um fator1 2N g w wi i

Ti( ), onde wi indica o termo includo e gi o seu

respectivo parmetro. Assim, o ERR de cada termo definidoformalmente como:

. 1 , ][2

niYYwwg

ERR Ti

Tii

i = ( 2.17 )O ERR indica a poro da varincia da sada explicada pelaincluso de um novo termo no modelo. Ele pode ser utilizadona deteco de estrutura de modelos no-lineares polinomiais.Escolhe-se o nmero de termos desejados para o modelo econsidera-se aqueles que possurem os maiores valores de ERR(Korenberg et al., 1988; Billings et al., 1989).Nos algoritmos mencionados nessa seo, a estimao deparmetros feita em batelada (ou seja, de maneira "off-line").Algoritmos de estimao recursiva ("on line") tambm podemser utilizados. Por fim, existem algoritmos para deteco deestrutura e estimao de parmetros "on-line", tambmbaseados na ortogonalizao da matriz de regressores domodelo (Luo et al., 1994). No entanto, tais algoritmos sosensivelmente mais complexos do que aqueles disponveis paraa deteco "off-line" e sua utilidade prtica ainda precisa serestabelecida. Na prtica, a deteco de estrutura de modelosno-lineares feita de maneira "off-line", enquanto que aestimao de parmetros pode ser feita "on-line" (Prl e Karim,1994).O procedimento descrito nesta seo pode ser resumido daseguinte forma (Mendes e Aguirre, 1995)1

1. Formar a equao matricial (2.11) com os M possveistermos candidatos.

2. Supondo que se deseje um modelo com n termos, parak = 1 e para i= 1,...,M faa

ii pw =1 . Tome o i-simo regressor original paracompor o 1 regressor ortogonal.

)()()(

11

11 iTi

Tii

ww

Ywg = . Estime por mnimos quadrados o

respectivo coeficiente.

. 1 , ][2

niYYwwg

ERRT

iTii

i = . Usando a

definio (2.17) determine o ERR de cada possvelregressor, candidato ao 1 regressor ortogonal.Ento faa:

1 No procedimeno abaixo, aps as frmulas decreve-se em palavras

aquilo que feito no respectivo passo.


3. . 1 , ][2

niYYwwg

ERRT

iTii

i = . Escolha para ser o

1 regressor ortogonal, aquele com maior ERR. O ndicede tal regressor h1 . Portanto,

4. 1

111 hh pww == . Chame de w1 o 1 regressor ortogonal,

que a primeira coluna de W.

5. Agora, para nk ,,2= e para i=1,...,M, 11 ,, khihi (ou seja, at completar onmero de termos desejado no modelo, para todos osregressores que ainda no foram escolhidos) faa

kjww

pw

jT

j

iT

jijk


, 0)}()()({)( == tuttEu , ( 2.24 )

, 0)}()()({)( == tuttEu , ( 2.25 )

, 0)}()()({)( == tuttEu , ( 2.26 )

, 0)}()()({)( == tuttEu , ( 2.27 )

,0)})}({)()})(()({)()({()( 12121)( ,2, == tuEtuttyEttyEuy,

( 2.28 )

onde (1) a funo delta de Dirac e o apstrofe indica que amdia foi subtrada dos sinais. Essas equaes procuramdeterminar possveis correlaes no lineares existentes nosresduos. Se tais correlaes no forem detectadas, ento diz-seque os resduos so (linear e no linearmente) brancos.O procedimento descrito acima denominado validaoestatstica de um modelo dinmico. Esta validao garanteapenas que no existem correlaes no-modeladas nosresduos de identificao. Um modelo estatisticamente vlidopode no reproduzir uma ou mais propriedades dinmicas dosistema original (Aguirre e Billings, 1994; Aguirre e Billings,1995a). Por esse motivo, um procedimento de validaodinmica deve estar sempre associado com a validaoestatstica. Esta validao dinmica dever verificar se omodelo identificado reproduz as principais caractersticasdinmicas originais. Algumas propriedades dinmicas quepodem ser utilizadas para validar modelos so (Aguirre eBillings, 1994, Fiedler-Ferrara e Prado, 1994; Letellier eGouesbet, 1995): (i) expoentes de Lyapunov; (ii) mapas esees de Poincar; (iii) dimenso de correlao; (iv)diagramas de bifurcao; (v) caractersticas topolgicas deatratores reconstrudos; (vi) constantes de tempo, ganhos ecaractersticas estticas conhecidas "a priori".

Na literatura, existem tcnicas para a validao de modelos queno se encaixam em nenhum dos dois procedimentos devalidao mencionados acima. Por exemplo, Brown e outrossugeriram a utilizao do princpio da sincronizao paravalidar modelos reconstrudos (Brown et al., 1994). De acordocom este princpio, um modelo vlido capaz de entrar emsincronia com uma srie temporal gerada pelo sistema original.Em outro trabalho, Parameswaran e Raol derivaram modelospara os resduos da identificao na tentativa de validar umadada representao (Parameswaran e Raol, 1994).

3 AGRUPAMENTOS DE TERMOS ECOEFICIENTES DE AGRUPAMENTOS

O modelo NARMAX polinomial foi definido na equao (2.5).A parte determinstica (que no envolve termos contendo orudo (t)) do modelo polinomial pode ser reescrita como(Peyton-Jones e Billings, 1989):

y t c n n y t n u t np m p mn n

n n

p

m

m

l

ii

p

ii p

m

m

y u

( ) ( , , ) ( ) ( ),

,

,

=

== = = + 1

00 1 11

,

( 3.1 )onde:

= =n n

n n

n

n

n

n

m

y u y

m

u

1 1 1 1,

,

.

Os monmios da equao (2.5) so agrupados de acordo comsua ordem m (0 m l, onde l o grau de no-linearidade domodelo). Cada termo de ordem m contm p fatoresmultiplicativos em y t i( ) e m p fatores multiplicativosem u t j( ) . Os parmetros destes termos so representadospelas constantes c n np m p m, ( , , ), 1 onde n nm1 , , indicamos atrasos de cada fator constituinte do monmio considerado.O perodo de amostragem Ts foi omitido na expresso (3.1)por questes de coeso e simplicidade.

O primeiro somatrio da equao (3.1) faz referncia aosmonmios de (2.5), separando-os de acordo com sua ordem. Osegundo somatrio referencia o nmero de fatores em y t i( )no termo considerado. Dentro do conjunto de termos de ordemm, um termo qualquer pode ser acessado atravs do ajuste dovalor de p adequado. Por fim, o ltimo somatrio permite queseja feita a distino entre os termos de (2.5) atravs do ajustedos atrasos de cada um dos fatores constituinte do termo.

Se o perodo de amostragem Ts escolhido suficientementepequeno (Ts 0):

y t y t y t n

u t u t u t n

y

u

( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) .

1 21 2

( 3.2 )

Aplicando (3.2) na equao (3.1):

y t c n n y t u tp m p mn n

n np

p

m

m

l

m

y u

( ) ( , , ) ( ) ( ),

,

,

==

-

1001

1 1( 3.3 )

O conjunto de termos da forma y t i u t jp m p( ) ( ) denominado agrupamento de termos ("term cluster" emAguirre e Billings, 1995b). Os agrupamentos de termos serorepresentados por y up m p (m = 0,,l e p = 0,,m). Aconstante c n np m p mn n

n n

m

y u,,

, ( , , )

11 o coeficiente doagrupamento de termos y up m p ("cluster coefficient" emAguirre e Billings, 1995b) e ser representada por

y up m p .Todos os termos pertencentes a um dado agrupamento determos explicam o mesmo tipo de no-linearidade no modelo.

As aproximaes na equao (3.2) foram utilizadas para efeitode exposio. Na prtica, as definies de agrupamentos determos e coeficientes de agrupamento continuam vlidas paraos valores usuais de Ts e ny (Aguirre e Billings, 1995b; Aguirree Mendes, 1996). A seguir, ser apresentado um exemplo queilustra as definies acima.

Exemplo 3.1 (Rodrigues, 1996):Seja o modelo NARMAX polinomial:

).3()3(00056,0+)2()2(78831,0+ )3(16796,0)1()3(31720,1)1()1(00867,0

)1(64166,0+)2(39978,0)2(57773,0+)1(44551,0 )(

2

322

=

tutytuty

tytutututy

tututytyty

( 3.4 )


O modelo acima foi obtido com l = 3, ny = nu =3. Os novetermos do modelo foram escolhidos pelo critrio do ERRdentre um conjunto de oitenta e quatro termos candidatos.Expressando o modelo (3.4) como em (3.1):

, )()(),,()(11

3

0 0

3,3

,

1,1

+=== =

=

m

pii

p

ii

m

m

p nnmpmp ntuntynncty

m

(3.5)onde:

.0)( demais ,00867,0)1,1,1(,00056,0)3,3,3( ,64166,0)1(

,78831,0)2,2( ,83997,0)2( ,16796,0)3,3,3( ,57773,0)2(

,31720,1)1,1,3( ,44551,0)1(

,==

==

==

==

==

pmp2,1

2,10,1

1,10,1

3,01,0

0,31,0

cc

cc

cc

cc

cc

= =n n n nm m1 1

3,

1

3

1

3

,

3.

O modelo NARMAX polinomial (3.4) possui seisagrupamentos de termos distintos. Os agrupamentos do modelo

e seus coeficientes so:

==

==

=+=

==

=+=

=+=

31720,1)1,1,3(16796,0)3,3,3(

0081,0)3,3,3()1,1,1(78831,0)2,2(

19831,0)2()1(00324,1)2()1(

eCoeficient oAgrupament

3

3

2

3

3

2

0,3u

3,0y

2,12,1uy

1,1yu

0,10,1u

1,01,0y

u

y

uy

yu

u

y

c

c

cc

c

cc

cc

( 3.6 )

4 SELEO DE ESTRUTURA DEMODELOS NO-LINEARES

Conforme descrito na seo 2.4, a seleo da estrutura demodelos no-lineares polinomiais pode ser implementadautilizando o critrio do ERR. Entretanto, o ERR um critrioestatstico e no apresenta relaes claras com aspectosdinmicos do sistema a ser modelado. Alm disso, odesempenho do ERR cai com o aumento do rudo nos dados deidentificao.

O conceito de agrupamentos de termos (seo 3) possuicaractersticas que permitem relacionar a estrutura de ummodelo com algumas de suas caractersticas dinmicas. Assim,este conceito pode ser utilizado para incrementar odesempenho do ERR na seleo da estrutura de modelosNARMAX. Um algoritmo de seleo de estrutura que utilize aidia de agrupamentos de termos dever ser capaz dedeterminar quais so os agrupamentos que devem compor ummodelo para reproduzir um dado comportamento dinmico.Aps a determinao dos agrupamentos importantes, os termosdo modelo podero ser escolhidos atravs do critrio do ERR.

Um agrupamento dito esprio quando os seus termos no sonecessrios para representar a dinmica do sistema original.Por outro lado, um agrupamento de termos efetivo essencial

para modelar aquela dinmica. A importncia de umagrupamento de termos em um modelo NARMAX pode serquantificada pelo seu coeficiente de agrupamento. Aguirre eBillings (1995b) mostraram que os coeficiente dosagrupamentos de termos esprios normalmente possuemvalores reduzidos em relao aos coeficientes dosagrupamentos de termos efetivos. Alm disso, o coeficiente deum agrupamento esprio muito sensvel ao nmero de termosdo modelo. Destaca-se ainda que existe uma situao na qualum pequeno valor de um coeficiente de agrupamento noindica que tal agrupamento esprio (Jcome, 1996).Os modelos NARMAX polinomiais so bastante sensveis sobreparametrizao de sua estrutura (Aguirre e Billings,1995a). Um modelo com termos pertencentes a agrupamentosesprios pode apresentar regimes dinmicos no refletidos nosdados de identificao. Portanto, os modelos identificados apartir do conjunto de agrupamentos efetivos tm melhoreschances de reproduzir as propriedades dinmicas do sistemaoriginal.

4.1 Anlise de Propriedades DinmicasUtilizando Agrupamentos de Termos

Os agrupamentos de termos permitem relacionar estrutura ecaractersticas dinmicas de modelos NARMAX polinomiais.A seguir sero mencionadas algumas relaes verificadas entreagrupamentos de termos e propriedades dinmicas de umsistema no-linear.

Agrupamentos e pontos fixos: A anlise de um modelodinmico no-linear geralmente comea com a determinaoda localizao, estabilidade e simetria de seus pontos fixos(Guckenheimer e Holmes, 1983). Tais propriedades dos pontosfixos de um modelo no-linear podem ser determinadas a partirdos agrupamentos de termos que compem a sua estrutura(Aguirre e Mendes, 1996). Pode ser demonstrado que o nmerode pontos fixos de um modelo poderia ser diferente do nmerooriginal se todos os agrupamentos possveis fossem includosna estrutura. Todo conhecimento "a priori" sobre o nmero e asimetria dos pontos fixos da dinmica de um sistema pode serutilizado para definir uma estrutura adequada para represent-la (Aguirre et al., 1997). Vale a pena ressaltar que existemalgoritmos que permitem estimar localizao de pontos fixos apartir de uma massa de dados (Glover e Mees, 1992).Agrupamentos e caractersticas estticas de mapas: Oconceito de agrupamentos de termos permite derivar umarepresentao de anlise para um modelo NARX qualquer naforma y k f y k( ) ( ( ))= 1 . Se o polinmio fosse agrupado(usando-se a teoria da seo 3), o resultado uma equaoalgbrica que descreve a no linearidade esttica do mapa emquesto. Nesse caso, cada agrupamento de termos do modelooriginal gera um monmio em cujo parmetro dado pelocoeficiente do agrupamento correspondente. Essa formulaopermite observar que os agrupamentos de termos efetivos nummodelo so aqueles necessrios para reproduzir a caractersticaesttica original (Aguirre, 1997a) e consequentemente qualquerconhecimento a priori da no linearidade esttica pode serusada para definir quais agrupamentos de termos considerar naetapa de determinao da estrutura do modelo. Uma extensodesses resultados para o caso de modelos no autnomos apresentada na prxima seo.

Agrupamentos e anlise espectral de ordem elevada:Observou-se a existncia de uma relao clara entre o


agrupamento de termos y 2 e o biespectro bem como entre oagrupamento y3 e o triespectro (Aguirre, 1997b). Algumasrelaes semelhantes foram estabelecidas entre espectroscruzados e agrupamentos mistos de termos do processo. Oconhecimento destas relaes pode simplificar a seleo "apriori" dos agrupamentos de termos efetivos na modelagem deum dado sistema no-linear.

5 USO DE CONHECIMENTO "A PRIORI"NA SELEO DE ESTRUTURAS

A seleo da estrutura dos modelos uma das etapas maisimportantes do procedimento de identificao de sistemas no-lineares. Por esse motivo, seria interessante que qualquerconhecimento prvio do sistema pudesse ser utilizado parareduzir o conjunto de termos candidatos na identificao. Estaeliminao de termos aumentaria as chances de obter modelosNARMAX polinomiais concisos e dinamicamente vlidos.Esta seo apresenta um procedimento que permite utilizarconhecimento prvio na seleo da estrutura de modelosdinmicos quando as no-linearidades presentes surgem emfuno da variao do ganho e da constante de tempo dosistema (Jcome, 1996).

5.1 Anlise de Modelos Discretizados

Seja um sistema representado por um modelo de primeiraordem no domnio de Laplace:

YU

K( )( ) ( )s

s s=

+ 1,

( 5.1 )onde a constante de tempo do sistema. O objetivo dapresente seo verificar quais agrupamentos de termosaparecem na estrutura de um modelo discreto correspondenteao modelo (5.1) quanto este discretizado e quando seu ganhoe/ou constante de tempo so variveis, isto , dependem dealguma outra varivel do sistema. Para atingir este fim,assume-se que o ganho e a constante de tempo do sistemdependem de variveis do processo de forma conhecida (verequaes (5.2) e (5.3) abaixo) e taisNessa anlise, considerar-seque a constante de tempo e oganho esttico do modelo (5.1) variam de modo que:

K x x K K xre k k i ki

n

nt i

t(1 0 1

1, , ) , = +

=

( 5.2 )

( , , ) ,x x xnt it

ii

n

1 0 11 = +

=

( 5.3 )

onde K K i i0 1 0 1, , , so constantes e xki e x i so variveisque afetam o ganho e a constante de tempo do sistema original(i nt= 1 2, , , ). Estas variveis podem ser expressas na formade polinmios com nt termos relativos a sinais do processo.Destaca-se que estas duas variveis no precisam ser iguais.

A equao (5.1) pode ser discretizada pela aplicao datransformao de Euler:

),1(K)1())1()(( =+ tuTtyTtyty dd (5.4)

onde Td o tempo de discretizao utilizado. Substituindo asrelaes (5.2) e (5.3) em (5.4), obtm-se:

).1())(()1()1())(()())((

1010

10

+++

=+

tuTtxKKtyTtytx

tytx

dkd ii

i

( 5.5 )As equaes (5.4) e (5.5) podem ser rescritas, respectivamente,como:

[ ] , )()1()1()()( ntytKuTtytyty d ==

( 5.6 )onde n a ordem do modelo, e

[ ]

).1()1(

)1()()1(1)(

0

1

00

0

1

0

+

+

=

tuxK

TtuTK

tytyx

tyTty

ikid

d

id i

( 5.7 )

Apesar da ltima equao no estar na forma preditiva, elaserve para ilustrar como que os diversos agrupamentos determos ser formam num modelo NARMAX comoconsequncia das no linearidades do sistema. Por exemplo,alm dos termos lineares de entrada e de sada, a ltimaequao possui termos pertencentes aosagrupamentos x yi (induzidos em funo da variao daconstante de tempo) e os agrupamentos x uki , (consequentesda variao e do ganho do modelo). A tabela abaixo mostra osagrupamentos de termos que podem estar presentes emmodelos no-lineares para refletir variaes de ganho econstante de tempo, de acordo com a equao (5.7).Tabela 5.1. Agrupamento de termos em modelos no-lineares.

Tipo dedependncia

Agrupamento determos possveis

Agrupamento determos indesejados

Constante de

Tempoyxuy i

, , ,0 x ui

Ganhouxuy ik

, , ,0 x yki

A anlise de modelos de ordens superiores feita por Jcome(1996) confirma a generalidade dos resultados apresentados natabela 5.1. A ltima afirmativa pode ser verificada notando-seque as svariveis xki e x i podem ser (e normalmente so)termos de ordem mais elevada. Por exemplo, supondo quexki =y(t-1)y(t-2)u(t-3)^2 , ento x uki = y u2 3 . Se no presentecaso o modelo for de quarta ordem em vez de segunda e,digamos, xki =y(t-1)y(t-4)u(t-3)^2, o agrupamento de termos x uki ainda y u2 3 . Este simples exemplo revela que atabela 5.1 independe da ordem do modelo.


5.2 Anlise de Modelos NARX com Ganhoe Constante de Tempo Variveis

A fim de generalizar os resultados da seo anterior adotar-se-o seguinte procedimento. O ponto de partida ser um modelode terceira ordem (equao (5.8)). Tal modelo pode ser rescritono mesmo formato da equao (5.6). Por analogia, ento, o que

estiver fora do colchetes pode ser igualado a Td

. Por outro

lado, com exceo do termo y(t-n) dentro do colchetes, orestante pode ser relacionado com a parcela Ku(t-1) na equao(5.6) de onde pode ser obtida uma expresso para o ganho K.Procedimento semelhante foi proposto e utilizado anteriormentna literatura (Haber e Keviczky, 1985; Haber e Unbehauen,1990).A equao seguinte representa um modelo NARX polinomialde terceira ordem:

y t C Ay t By t Cu t Du t Ex t y tFx t y t Gx t u t Hx t u t Iy tJu t Mx t y t Lx t u t

k k

k

i i

i

( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ).

0 1 2 1 2 12 1 2 3

3 3 3

+ + + + +

+ + + +

+

( )( )

( )( 5.8 )

Assume-se que a constante de tempo 1 do modelo varia deacordo com a equao (5.3), enquanto que 2 3e soconstantes. Por sua vez, o ganho K varia de acordo com aequao (5.2).O modelo (5.8) bastante genrico pois os termosx t y t

i( ) ( ) 1 e x t u tki ( ) ( )1 podem ser quadrticos, cbicos

ou de ordens mais elevadas. Este modelo pode ser manipuladoe reescrito de forma semelhante equao (5.6) (Jcome,1996):

++

++++

++

++

++

+++

+++

++=

)3()(1

)()()()3()()(1

)2()()1()()(1

)3()2()1(

)()32(23)(1)(

0

tyIBA

tytxFEMtutLxIBA

tutHxtutGxIBA

tJutDutCuC

txMFEBABIA

ty

ii

ii

ik

kk

( 5.9 )Ao comparar as equaes (5.9) em regime esttico e (5.6),obtm-se as relaes abaixo.

(i) para a variao da constante de tempo:

,

1

))32((

123321

y

i

yd

iXMFE

BAT

++

+

=

++

(ii) para a relao esttica sada/entrada:

,)(1

)( +)(1U))(1(U

Y 0

+

==

iyxy

ikux

iyxy

u

iyxy

re

ii

iik

iiiiX

X

XXK

onde Xi e X ki so os valores estticos (em regime) das

variveis xki e x i .

O procedimento descrito pode ser generalizado na forma deagrupamentos de termos e coeficientes de agrupamentos paramodelos de ordem n 3, derivando as seguintes relaes:

(i) para a constante de tempo:

,

1

)))3()2(((

1)2()1(1

y

i

ys

n

jj iXMFEBnAnn

T

++

+

=

++=

onde n a ordem do modelo e

( )x x xx+

=

<

00 0

( )y y y ny n

=

>0

( 5.10 )

(ii) para a relao esttica, utiliza-se a equao (5.11)(a qual j est na forma genrica desejada).

Os resultados apresentados nessa seo podem ser teis narecuperao de informaes relativas variao do ganho e deconstantes de tempo em modelos NARX. A prxima seoapresentar um exemplo no qual estes resultados seroutilizados para recuperar uma dada caracterstica esttica no-linear.

6 EXEMPLOS DE APLICAOEssa seo apresenta alguns exemplos que empregam astcnicas de identificao apresentadas anteriormente paraderivar modelos matemticos para sistemas no-linearesconhecidos.

6.1 Recuperao de CaractersticasEstticas No-Lineares

Esse exemplo pretende recuperar caractersticas estticas demodelos no-lineares polinomiais utilizando alguns dos novosresultados descritos na seo 5. Nesse contexto, modelosNARX polinomiais sero identificados a partir de dadosgerados por um modelo de Hammerstein (Billings e Fakhouri,1982; Greblicki, 1996). Em seguida, tais modelos seroprocessados para tentar recuperar analiticamente acaracterstica esttica embutida na representao deHammerstein.

O exemplo ser dividido em duas etapas. Primeiro, acaracterstica esttica original dever ser recuperada a partir demodelos identificados utilizando algum conhecimento "apriori" sobre o sistema. Em seguida, o mesmo sistema sermodelado utilizando tcnicas usuais de identificao "caixa-preta". Os modelos assim derivados sero empregados narecuperao da caracterstica esttica original.

Uma representao possvel para sistemas dinmicos no-lineares formada por um modelo dinmico linear em sriecom uma caracterstica esttica no-linear (Billings e Fakhouri,1982). A representao analisada nesse exemplo constitudapor uma caracterstica esttica especial seguida de um modelodinmico linear de primeira ordem com ganho e constante detempo unitrios ( K = =1 1, ). Esta representao denominada modelo de Hammerstein e apresentada na figura6.1. A caracterstica esttica a ser recuperada mostrada nafigura 6.2.


Figura 6.1. Representao de Hammerstein.

Figura 6.2. Caracterstica esttica no-linear de um modelo deHammerstein.

A curva da figura 6.2 pode ser descrita pela seguinte equao:

,

111

1)(

)1(2 pR

uqq

u

+

==

( 6.1 )

onde q a sada, u a entrada, enquanto que R e p soparmetros ajustados como R = 124 e p = 0,066 (Jcome eAguirre, 1996). Destaca-se que esta equao representa acaracterstica esttica no-linear de diversos atuadorespresentes em processos industriais tais como vlvulas decontrole (Shinskey, 1988). Por fim, a dinmica darepresentao de Hammerstein mostrada na figura 6.1 pode sermodelada pela funo de transferncia:

YU

( )( )

( ).

s

s

q us

=

+ 1 ( 6.2 )

A figura 6.3 mostra um conjunto de dados entrada-sadagerados pelo modelo de Hammerstein com a caractersticaesttica descrita pela equao (6.1). O sinal de entrada aleatrio e normalizado entre 0 1 u , possuindo largura depulso igual a 40 amostras (figura 6.3(a)). Uma sequncia derudo branco foi adicionada ao sinal de sada do modelogerando um novo sinal com relao sinal/rudo de 80 dB(figura 6.3(b)).O conjunto de dados apresentado na figura 6.3 ser utilizado naseleo de estrutura e estimao dos parmetros de modelosNARX polinomiais para a representao (6.2).Na primeira etapa do exemplo, assume-se conhecida a formageral da caracterstica esttica original. O ganho do modelo(6.2) claramente varivel com a entrada pois a inclinao dareta tangente a sua caracterstica esttica varia com o ponto deoperao considerado. Observa-se que a caracterstica estticaoriginal possui um ponto de inflexo e, portanto, um modeloNARX dever possuir termos cbicos para reproduzir a sua

forma. Como a caracterstica esttica est relacionadadiretamente com o ganho do sistema, o agrupamento de termos x uk , relativo variao do ganho deve ter grau cbico(conforme tabela 5.1).

A equao (5.2) mostra que X k responsvel pelas variaesde ganho esttico em um dado sistema. Assim, a variao doganho do sistema (6.2) com o sinal de entrada ( K f u= ( ) )implica que X k tambm funo deste sinal; isto X g uk = ( ) . Observando que o agrupamento de termos x ukdeve ter grau cbico, percebe-se que X k = U

2. Essa

considerao no impede que X k dependa tambm de termoscom grau inferior a 2 e assim X g ck = ( 0 2,U,U ), onde c0 uma constante. Em resumo, o agrupamento

u3 deve fazer

parte dos modelo NARX para representar a variao do ganho,enquanto que os agrupamentos u e u2 podem integrar omodelo mas no so indispensveis. A presena doagrupamento constante 0 nos modelos tambm necessriapois a caracterstica esttica considerada no parte da origem(vide figura 6.2). Por outro lado, a presena dos agrupamentos y2 , y3 , yu , y u2 e yu2 indesejada pois o ganho dosistema no depende do sinal de sada e a constante de tempo constante.

O conjunto de termos candidatos foi limitado pela anlise daforma da caracterstica esttica original. Em seguida,utilizaram-se vrios critrios de informao para estimar onmero ideal de termos em um modelo do sistema (6.2). Osresultados obtidos so apresentados abaixo.

A figura 6.4 mostra que os critrios de informao sugerem umnmero ideal de treze termos no modelo. Portanto, um modeloNARX com treze termos de processo foi identificado a partirdo conjunto de termos candidatos reduzido. O modelo obtido (Jcome, 1996):

Figura 6.3. Dados de identificao gerados pela simulao deum modelo de Hammerstein (a) sinal de entrada (b) sinal de

sada.


Figura 6.4. Critrios de informao na estimao do nmero determos ideal em modelos NARX.

.)3(3423,0+ )2(3447,0+)3(6422,0)2(1150,0+)2(2189,0

)3(2700,0)2(0314,0+)3(1282,0+)1(2622,0 )1( 7221,0)1(3740,1+)1(7784,00091,0=)(

3

232

32

+

tu

tytututu

tytutututututyty

( 6.3 )A figura seguinte mostra a validao dinmica do modeloidentificado. Na figura, t indica o nmero de amostrascoletadas.

A figura 6.5 mostra que o modelo de treze termos prediz osdados de validao com boa exatido. Portanto, este modeloser utilizado para recuperar a caracterstica esttica no-lineardo modelo de Hammerstein original. Os coeficientes dosagrupamentos de termos do modelo (6.3) so:

0 2 3= = = = =

= = = = =

0 0091 0 8531 0 1026 0 5128 0 26440 5128 0 26442 3

12

23

, , , , ,

, , .

y u u u

x u u u x u u x u uki k k

Substituindo estes coeficientes na equao (5.11), obtm-se arelao esttica

.U8033,1U4908,3U6984,00618,0=Y 32 + ( 6.4 )

Figura 6.5. Predio de comportamento de modelo NARXidentificado.

Assim, a caracterstica esttica do modelo (6.3) pode serrecuperada de forma analtica e direta atravs da atribuio devalores para U na equao (6.4) obedecendo faixa 0 1 U .

A figura 6.6 mostra a caracterstica esttica recuperada dessamaneira e tambm a caracterstica esttica original.

Em uma segunda etapa do exemplo, os modelos NARX para osistema (6.2) foram derivados atravs das tcnicas deidentificao "caixa-preta". Observou-se que os melhoresmodelos "caixa-preta" identificados no podem ser colocadosna forma y f u= ( ) pois eles possuem termos no-lineares emy(t). Em outras palavras, eles possuem termos de agrupamentosindesejados (vide tabela 5.1). Assim, a caracterstica estticadestes modelos s pode ser recuperada por simulao ou peloclculo dos seus pontos fixos (Jcome, 1996). Alm disso, ascaractersticas estticas recuperadas a partir dos modelos noreproduziram a curva original com exatido aceitvel.

Figura 6.6. Caracterstica esttica recuperada a partir domodelo (6.3).

Esse exemplo mostrou que apenas um modelo identificadoutilizando conhecimento prvio permitiu recuperaranaliticamente a caracterstica esttica mostrada na figura 6.2.Nesse caso, a utilizao de informaes prvias sobre o sistemaoriginal permitiu selecionar a estrutura adequada pararepresentar a sua dinmica. Essa observao reitera aimportncia de uma estrutura concisa e escolhida a partir de umconjunto de termos candidatos efetivos.

6.2 Modelagem de um Forno Eltrico Real

Este exemplo mostra a modelagem de um forno eltrico realutilizando modelos NARMAX polinomiais (Rodrigues, 1996).O forno modelado uma caixa metlica com um elemento deaquecimento interno de 200W. O forno no isoladotermicamente, de modo que variaes na temperatura ambienteafetam as constantes de tempo envolvidas.

Devido ao mecanismo interno de transferncia de calor, oprocesso altamente no-linear e dependente da condio deoperao. Alm disso, ele apresenta diferentes constantes detempo de aquecimento e resfriamento, caracterizando umadinmica bilinear (Abreu, 1993). Estes fenmenos no-linearesno podem ser reproduzidos por modelos linearesconvencionais.

A figura 6.7 apresenta dados de entrada e de sada do forno. Avarivel de sada a temperatura normalizada da superfcieexterna do forno e a varivel de entrada o sinal de tensoaplicado ao elemento de potncia. O perodo de amostragemfoi determinado a partir do mtodo mencionado na seo 2.1.


Figura 6.7. Dados de identificao. (a) Massa de dados frq1 (b)Massa de dados frq2.

Os dados de identificao do forno eltrico foram obtidos esco-lhendo-se um a cada trs pontos das massas de dados coletadas,o que resultou em um perodo de amostragem final de Ts =210s.

A massa de dados frq2 foi utilizada na deteco de estruturados modelos e na estimao de seus respectivos parmetros.Por outro lado, os dados frq1 foram utilizados na validao dosmodelos obtidos. Os conjuntos de dados apresentados foramobtidos em dias distintos, durante ensaios totalmenteindependentes. Um ensaio para a aquisio de um conjunto dedados com 250 amostras tem durao aproximada de 4 horas e50 minutos.

O resultado do teste de deteco de no-linearidades (equao(2.3)) mostrou um elevado nvel de interaes no-linearespresentes nos dados, o que justifica a utilizao dos modelosno-lineares para descrever a dinmica do sistema. O resultadodeste teste apresentado na figura 6.8.

Os termos dos modelos foram escolhidos dentro de umconjunto de 57 termos candidatos utilizando o critrio do ERR(equao (2.17)). Os parmetros dos modelos foram estimadosatravs do algoritmo de mnimos quadrados ortogonal. Utili-zou-se um modelo linear de rudo, com 17 termos, paraminimizar a polarizao dos parmetros. Alguns dos melhoresmodelos identificados so apresentados a seguir. Outrosmodelos NARMAX polinomiais para o forno eltrico soapresentados em (Rodrigues, 1996; Rodrigues et al., 1996).

(i) modelo no-linear nl251

).1()1(000046,0 )1(515512,0+)2(038317,0

)2(234497,0+)1(672744,0=)(

2

tuty

tutu

tytyty

( 6.5 )

(ii) modelo linear ml241

).1(0,23560+)2(0,24537)2(67529,0)1(6797,1=)(

tutu

tytyty ( 6.6 )

Os algoritmos de identificao utilizados mostraram-sebastante eficientes e robustos, pois estimaram bons modelosdiscretos para o forno eltrico empregando uma quantidadereduzida de dados (84 pontos). A relao sinal/rudo(20 log( { ( )} { ( )})Var y t Var t ) das massas de dadosapresentadas variou entre 40 e 150 dB. As ordens dos modelosapresentados so estatisticamente adequadas segundo o critriode informao de Akaike (equao 2.18).Os resultados dos teste de validao estatstica (equaes(2.19) (2.28)) indicaram que os modelos do forno eltricoforam capazes de explicar adequadamente a dinmica contidanos dados, pois no foram detectadas correlaes significativasnos resduos de identificao. No procedimento de validaodinmica, os modelos foram simulados com o sinal de entradada massa de dados frq1. A simulao foi implementadautilizando a estrutura identificada para gerar predies do sinalde sada "infinitos-passos-a frente" onde valores preditos pelomodelo so reincorporados no modelo recursivamente paraobter novas predies. Esse procedimento diferente daspredies de um passo a frente onde o modelo sempreinicializado com dados medidos. Consequentemente, o uso depredies de um passo a frente na validao de modelos muito menos rigoroso do que o uso de predies "infinitos-passos-a frente", como feito no presente artigo.

O modelo no-linear nl251 foi capaz de reproduzir, comconsidervel exatido, o sinal de sada da massa de dados frq1quando simulado com o correspondente sinal de entrada. Asprimeiras 17 amostras da massa de dados frq2 foram utilizadaspara inicializar o modelo.

Um modelo linear apresenta constantes de tempo de subida ede descida idnticas. De fato, o modelo ml241 ajusta osmesmos valores para as constantes de tempo de subida e

Figura 6.8. Deteco de no-linearidade nos dados do forno utilizando a funo decorrelao (2.3). (a) dados frq1 (b) dados frq2.


descida, na resposta ao degrau, com base na constante deaquecimento do forno. Por sua vez, o modelo no-linear nl251reproduz duas constantes distintas para o aquecimento e oresfriamento do forno eltrico (conforme pode ser visto nafigura 6.9). Logo, o modelo no-linear prediz melhor adinmica do forno que o modelo linear.

Figura 6.9. Predio de frq1 utilizando nl251.Conforme mencionado na seo 2.6, a validao estatstica deum modelo dinmico deve estar sempre conjugada com umprocedimento de validao dinmica. O modelo linear ml241,por exemplo, apresentou resduos de identificao praticamentebrancos e no correlacionados com a entrada e a sada dosistema. No entanto, este modelo falha em reproduziradequadamente a dinmica do forno eltrico, o que pode servisto na figura 6.10.

Figura 6.10. Predio de frq1 utilizando ml251.A figura 6.11 mostra a caracterstica esttica recuperada apartir do modelo no-linear nl251. Esta caracterstica estticarepresenta o ganho do modelo e s pode ser recuperada porsimulao ou pelo clculo dos pontos fixos deste modelo (videseo 5). Essa curva bastante parecida com a caractersticaesttica no-linear medida diretamente no forno eltrico(Abreu, 93). O modelo linear no reproduz a forma dacaracterstica original pois ele possui ganho constante(independente do ponto de operao considerado). Por outrolado, observou-se que o modelo no-linear reproduz acaracterstica esttica do forno com considervel exatido. Esse

fato confirma a qualidade do modelo no-linear nl251identificado para representar a dinmica do forno eltrico.

Figura 6.11. Caractersticas estticas recuperadas a partir demodelo identificado.

7 CONCLUSESEsse trabalho disponibiliza um resumo terico e experimentalsobre a identificao de sistemas dinmicos no-linearesutilizando modelos NARMAX polinomiais. O texto apresentaalguns conceitos sobre a identificao e prov refernciasatuais para aqueles que queiram estudar o assunto mais afundo. O trabalho tambm descreve um conjunto deferramentas de cunho prtico que permitem operacionalizar asdiversas etapas do procedimento de identificao.

O artigo tambm apresenta alguns novos resultados naidentificao dos modelos NARMAX polinomiais. A seo 5descreve relaes existentes entre a estrutura de um modelo eas caractersticas estticas do sistema original. Observou-se quecertos agrupamentos de termos so essenciais para representaruma dada caracterstica, enquanto que outros agrupamentosdevem ser eliminados do conjunto de termos candidatos parano distorcer a forma geral da mesma caracterstica. Essaanlise permite reduzir o conjunto de termos candidatos naidentificao e facilita a obteno de modelos polinomiaisconcisos e dinamicamente vlidos.

Dois exemplos foram apresentados para ilustrar as tcnicasdescritas. O primeiro exemplo mostrou que a identificao tipo"caixa-preta" foi incapaz de gerar um modelo que reproduzissea caracterstica esttica do sistema que gerou os dados. Estacaracterstica esttica s foi recuperada com exatido a partirde um modelo identificado utilizando informao prvia. Osegundo exemplo mostrou a modelagem NARMAX de umforno eltrico real. A constante de tempo do forno varia com oponto de operao e tambm com a derivada do sinal de sada.Assim, a dinmica do sistema no pode ser reproduzida pormodelos lineares convencionais. Por outro lado, algunsmodelos NARMAX polinomiais identificados reproduziram ascaractersticas do forno eltrico com boa fidelidade.

AgradecimentosOs dados do forno eltrico descrito na seo 6.1 foramcoletados no Laboratrio de Controle de Processos Industriais


(LCPI). Agradecemos especialmente ao Professor Fbio Jotapela permisso de utilizarmos esse sistema. O presente trabalhofoi parcialmente financiado por CNPq (351054/95-2),FAPEMIG (TEC 917/95), CAPES e PRPq/UFMG.

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