Verificando as pressuposições do modelo estatístico · 2) Erros devem ser independentes Até certo ponto é garantido pela casualização. Os efeitos de tratamentos sejam independentes,

Verificando as pressuposições

do modelo estatístico

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Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros

DTAiSeR-Ar

As pressuposições do modelo estatístico:

1) os efeitos do modelo estatístico devem ser aditivos;

2) os erros experimentais devem ser independentes;

3) os erros experimentais devem ser normalmente distribuídos;

4) os erros experimentais tem variâncias iguais.

5) Não ter a presença de outliers.

),0(~ 2Neij

2

Assim, se o modelo for apropriado, os resíduos devem refletir as propriedades

impostas pelo termo de erro do modelo.

As técnicas utilizadas para verificar as suposições podem ser informais (como

gráficos) ou formais (como testes). As técnicas gráficas, por serem visuais,

podem ser subjetivas e por isso técnicas formais são mais indicadas para a

tomada de decisão.

O ideal é combinar as técnicas formais e informais para o

diagnóstico de problemas nas suposições do modelo.

Técnicas gráficas

3

a) Análise de resíduos

b) Gráfico quantil-quantil com envelope simulado

a) Análise de resíduos

4

Chamamos de Análise dos Resíduos um conjunto de técnicas

utilizadas para investigar a adequabilidade de um modelo com

base nos resíduos.

Resíduos ordinários

Resíduo padronizado

Resíduo estudentizado

é estimativa da variância residual sem a observação i.

Rsi ~ t (n–p–1) , onde n é o número de observações e p número de parâmetros.

iijij

iijiijijijij

mye

mmmytmyyye

ˆˆ

)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆˆ

Valor predito:

s

e

s

e

sQM

ed

ijijij

ij 2Re

)()( iji

ij

i

eV

eRs

)(ˆ)( ii rV

mmt iiˆˆˆ

iij tmy ˆˆˆ

5

Alguns tipos de Resíduos

0

–3

3

dij

ijy

Condição ideal: indica homogeneidade de variâncias (ou

homocedasticidade) e não apresenta outlier(s).

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Análise de resíduos

A característica do gráfico construído, com os resíduos obtidos, pode fornecer

as orientações ou padrões quanto à identificação de possíveis inadequações do

modelo adotado, quando comparados com os gráficos apresentados a seguir:

Figura 1. Gráfico dos resíduos padronizados valores preditos

b) Gráfico quantil-quantil

7

8

Normal

(proximidade da reta)

Gráfico quantil-quantil com envelope simulado

OBS:

Os erros para seguirem a

distribuição normal com média

zero e variância constante

devem estar próximos a reta

identidade e dentro do envelope

simulado.

Como verificar as

pressuposições do modelo

estatístico?

(DIC)

9

10

1) Modelo aditivo

1) Aditividade do modelo

Condição imposta pelo modelo, em que os diversos efeitos se somam.

A aditividade possibilita que os dados observados sejam sempre combinações

lineares dos efeitos investigados.

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12

2) Independência das

observações

2) Erros devem ser independentes

Até certo ponto é garantido pela casualização.

Os efeitos de tratamentos sejam independentes, que não haja correlação

entre eles. Que uma parcela não influencie a outra. Isso significa que não se

pode dizer, em função da resposta obtida numa parcela, que a(s) parcela(s)

vizinha(as) terá(ão) respostas mais alta(s) ou mais baixa(s), a priori.

OBS1: Isso não ocorre quando os tratamentos são doses crescentes de proteína, fósforo,

fibra, adubos, inseticidas, fungicidas, herbicidas, etc. ocasião em que a análise de variância

deve ser feita estudando-se a regressão.

OBS2: Isso também não é verdade quando medimos na mesma parcela dados ao longo do

tempo.

OBS3: O simples fato de aleatorizar (sortear) as parcelas que receberão os tratamentos

diminui a dependência entre os erros.

OBS4: O sinal dos desvios no croqui experimental pode indicar dependência dos erros eij.

13

0

–3

0

–3

3 3

dij dij

ijy ijy

a) Os erros não são independentes,

correlação positiva entre os erros.

b) Os erros não são independentes,

correlação negativa entre os erros.

v

v v

14


15

2.1.) Teste de Durbin-Watson

É utilizado para detectar a presença de autocorrelação (dependência) nos

resíduos de uma análise de regressão. Este teste é baseado na suposição de

que os erros no modelo de regressão são gerados por um processo

autoregressivo de primeira ordem.

Tarefa 1.

Pesquise e responda:

a) Quais são as hipóteses desse teste Durbin-Watson?

b) Qual é a estatística do teste?

c) Qual é a distribuição de probabilidade da estatística do teste?

d) Como se faz a decisão do teste?

Teste de independência

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3) Erros com distribuição

normal

3) Erros normais

Os erros (eij) devem ser normalmente distribuídos. Isto implica em que as

observações (yij) se ajustam a uma distribuição normal dentro de cada

tratamento.

Isso pode ser verificado através de um teste de normalidade, como por

exemplo: a) Shapiro-Wilk; b) Lilliefors; c) Kolmogorov-Smirnov; e d) Teste

qui-quadrado, entre outros.

H0: os erros são normais

Ha: os erros não são normais

As hipóteses, em geral, desses testes são:

Decisão pelo valor-p - Regra prática:

Se o valor-p < Rejeita-se H0

Se o valor-p > Aceita-se H0

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Nos software R avaliamos o valor da probabilidade (valor-p). Se o valor da

probabilidade for menor que o nível de significância (α) rejeitamos a hipótese

H0. Caso contrário, aceitamos H0.

O teste de Shapiro-Wilk é baseado na estatística W (0 < W ≤ 1). Valores

pequenos da estatística W levam a rejeitar a hipótese H0.

Conclusão:

Portanto, como o valor-p é 0,2359 > 0,05,

então, não rejeita-se H0, ou seja, os resíduos

padronizados seguem uma distribuição

Normal ao nível de 5% de significância.

No R:

shapiro.test(rstudent(mod))

Shapiro-Wilk normality test

Data: rstudent(mod)

W = 0.9396, p-value = 0.2359

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3.1.) Teste de Shapiro-Wilk

Tarefa 2. Pesquise e responda:

a) Quais são as hipóteses desse teste Shapiro-Wilk?




Teste de normalidade

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3.2.) Teste de Lilliefors

3.3.) Teste Anderson-Darling

3.4.) Teste de Kolmogorov-Smirnov

3.5.) Teste Cramer-von Mises

3.6.) Teste de Shapiro-Francia

3.7.) Teste qui-quadrado para normalidade

Tarefa 3.

Pesquise e responda sobre os testes 3.2.); 3.3.); 3.4.); 3.5.); 3.6.) e 3.7.):

a) Quais são as hipóteses desse teste?





No R:

# Teste de Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov)

require(nortest)

lillie.test(rstudent(mod))

# Teste Anderson-Darling

require(nortest)

ad.test(rstudent(mod))

# Teste de Kolmogorov-Smirnov

ks.test(rstudent(mod), "pnorm", mean(rstudent(mod)),

sd(rstudent(mod)))

# Teste Cramer-von Mises

cvm.test(rstudent(mod))

# Teste de Shapiro-Francia

sf.test(rstudent(mod))

20


21

4) Homocedasticidade

Pode ser verificada por um dos seguintes testes, dentre outros:

Teste de Hartley (ou Razão máxima, ou Teste F máximo)

Teste de Cochran

Teste de Bartlett

Teste de Levene

A variabilidade de um tratamento deve ser

semelhante à dos outros.

4) Homogeneidade de variâncias (ou homocedasticidade)

Os erros ou desvios (eij), devem possuir uma variância comum 2. Em outras

palavras,

Todos os

tratamentos

devem ter o

mesmo n.o de

repetições. Usado mesmo quando se tem

n.o diferente de repetições por

tratamento, mas exige

normalidade dos dados.

IiiiiH

H

ii

I

,...,2,1',,',!:

...:

2

'

2

1

22

2

2

10

(Variâncias homogêneas)

(Variâncias heterogêneas)

As hipóteses desses testes são:

22

4.1.) Teste de Hartley

(ou Razão máxima, ou Teste F máximo)

2

min

2

s

sF máx

calc

Calcula-se as variâncias dentro de cada tratamento e faz-se a razão máxima:

Considerando um nível α de significância, consulta-se a tabela específica do

Teste de Hartley com:

Ftab = H(I,J –1),

onde I é o número de tratamentos e J é número de repetições. Considerando um

nível α de significância, consulta-se a tabela específica com:

Fcalc ≥ Ftab Rejeita H0 ao nível..., concluindo que....

Fcalc < Ftab Aceita H0 ao nível..., concluindo que....

Regra prática:

4 para 1

Ou

7 para 1

OBS: Todos os tratamentos

devem ter o mesmo n.o de

repetições.

23

Tarefa 4:

Faça o teste para o experimento com as 4 variedades de milho (DIC),

feito em sala. Apresente as hipóteses, etc...e conclua o teste.

Teste de homocedasticidade

I

i

i

máxcalc

s

sC

1

2

2

4.2.) Teste de Cochran

Considerando um nível α de significância, consulta-se a tabela específica do

Teste de Cochran com I e (n – 1) graus de liberdade associado a essas

estimativas. Assim, se:

Ccalc ≥ Ctab Rejeita H0 ao nível..., concluindo que....

Ccalc < Ctab Aceita H0 ao nível..., concluindo que....

OBS: Todos os tratamentos

devem ter o mesmo n.o de

repetições.

24

Tarefa 5: Faça o teste para o experimento com as 4 variedades de milho (DIC),

feito em sala. Apresente as hipóteses, etc...e conclua o teste.

Teste de homocedasticidade

2

)1(

1

2

1

2

~1

1

1

)1(3

11

log1log3026,2

II

i i

i

I

i

i

InnI

snsIn

K

4.3.) Teste de Bartlett

Sendo α o nível de significância; I é o número de estimativas de variâncias; é a

média ponderada dos . Temos que a estatística do teste é dada por:

Se Kcalc ≥ Rejeita H0 ao nível..., concluindo que....

Caso, contrárioKcalc < Aceita H0 ao nível..., concluindo que....

OBS: Usado

mesmo quando se

têm n.o diferentes de

repetições por

tratamento, mas

exige normalidade

dos dados.

2

);1( I

2

);1( I

2s2

is

25

Tarefa 6:

Faça o teste para o experimento com as 4 variedades de milho

(DIC), feito em sala. Apresente as hipóteses, etc...e conclua o teste.

No R:

bartlett.test(y ~ trat, data=DIC)

Bartlett test of homogeneity of variances

data: y by trat

Bartlett's K-squared= 6.2881, df= 8, p-value= 0.615

No R:

require(car)

leveneTest(y ~ trat, data=DIC)

Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)

Df F value Pr(>F)

group 8 0.2901 0.9604

18

26

4.4.) Teste de Levene

OBS: O teste de Levene é mais eficiente que o teste de Bartlett quando

rejeitamos a hipótese de normalidade dos dados.

Este teste foi proposto por Levene em 1960. O procedimento consiste em fazer uma

transformação dos dados originais e aplicar aos dados transformados o teste da ANOVA.

Tarefa 7. Pesquise e responda:

a) Quais são as hipóteses desse teste de Levene?




e) Considere a saída do software R acima e conclua o teste.


0

–3

0

–3

3 3

dij dij

ijy ijy

a) Heterocedasticidade, a variância

decresce com .

b) Heterocedasticidade, a variância

cresce com .

v

v

v

v

ijy ijy

27

Padrão que indica heterogeneidade de variância

d) Heterocedasticidade, a variância

decresce quando tende para a média.

0

–3

0

–3

3 3

dij dij

ijy ijy

c) Heterocedasticidade, a variância

cresce quando tende para a média. ijy

ijy

28


• Possíveis inadequações podem ser identificadas abaixo.

Itens:

a) situação ideal, b) e c) modelo não linear; d) elemento atípico,

e), f) e g) heterocedasticidade e h) não-normalidade 29

30

5) Não ter outlier

Figura 1. Boxplot sem observações

atípicas.

a) Boxplot

31

8 10 12 14

Figura 2. Boxplot com observações

atípicas.

32

Normal

(proximidade da reta)

b) Gráfico quantil-quantil com

envelope simulado c) Predito Resíduo

Aleatório, sem padrão

33

Outlier?

34

Não Normal

(afastamento da reta)

Outlier?

Outlier?

35

Análise:

• com outlier

e

• sem outlier

Pode mudar os resultados!!!

Exemplo Ana Carolina

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Verificando as pressuposições do modelo estatístico · 2) Erros devem ser independentes Até certo ponto é garantido pela casualização. Os efeitos de tratamentos sejam independentes,