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Vetores e movimento em duas dimensões. Posição e deslocamento. A trajetória é o caminho percorrido por um objeto (planeta , cometa, foguete, carro..). Qualquer ponto da trajetória pode ser descrito pelo vetor posição que denotamos por r (t). O deslocamento r entre os pontos - PowerPoint PPT Presentation
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Vetores e movimento em duas dimensões
Posição e deslocamento
A trajetória é o caminho percorrido por um objeto (planeta , cometa, foguete, carro..). Qualquer ponto da trajetória pode ser descrito pelo vetorposição que denotamos por r(t).O deslocamento r entre os pontos rP e rQ é dado por
r = rQ – rP
Note que r não depende da origem
Posição e deslocamento
O vetor posição em 2-D fica definidoem termos das suas coordenadas cartesianas por
r(t) = x(t)i + y(t)j
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
No caso espacial, 3-D, temos
Velocidade e aceleração
jirrrvty
tx
ttttt
m
)()(
Similar ao caso de 1-D, a velocidade média é
dtd
tttt
t
rrrv
)()(lim0
A velocidade instantânea é
jirvdtdy
dtdx
dttd )(
ou em termos de componentes
jiv yx vv ou
Velocidade e aceleração
jivvvatv
tv
ttttt yx
m
)()(
Similar ao caso de 1-D, a aceleração média é
dtd
tttt
t
vvva
)()(lim0
A aceleração instantânea é
jivadtdv
dtdv
dttd yx )(
em termos de componentes
jia yx aa ou
2
2 )(dttd
dtd rva
Componentes da aceleração
Componentes cartesianas Componentes tangencial eperpendicular
O problema inverso
)(ta
tdtavtvt
t
0
)()( 0
tdtvrtrt
t
0
)()( 0
Conhecida a aceleração, podemos integrá-la e
obter a velocidade, que se integrada
nos fornece a posição
Este processo deve ser efetuado para cada componente cartesiana do vetor considerado
Aceleração constante
• Aceleração constante movimento no plano: plano formado pela velocidade inicial e pelo vetor aceleração.
• Movimento fora do plano não é possível.• A gravidade é um bom exemplo.• Como ax e ay são constantes dois
problemas unidimensionais independentes.
Aceleração constante
tavv
tatvyy
tavv
tatvxx
yyy
yy
xxx
xx
0
200
0
200
21
21
componente x de r
componente y de r
componente x de v
componente y de v
jivjir
0
0
yx vvyx
00
00
em t =0
Aceleração da gravidade
gtvv
gttvyy
vvtvxx
yy
y
xx
x
0
200
0
00
21
componente x de r
componente y de r
componente x de v(constante)
componente y de v
jivjir
0
0
yx vvyx
00
00
em t =0
Nesse caso ay = -g e ax=0. Na direção x, vx é constante!
Aceleração da gravidade
Se tomamos x0 = y0 = 0 (saindo da origem)
de x = v0x t temos t = x/v0x
substituindo na equação para yencontramos a equação da trajetória
2200
0
21 xvgx
vv
yxx
y
Equação de uma parábola! Foto estroboscópica do movimento parabólico
Aceleração da gravidade
A coordenada y é independente da velocidade vx.Isto é ilustrado na figura ao lado onde duas bolas são jogadas sob ação da gravidade. A vermelha é solta e a amarela tem velocidade inicial vx.
Em cada instante elas têm a mesma altura!!
Aceleração da gravidadeEx.: Bola sai do penhasco com v = 10 m/s na horizontalDescreva o movimento.
A velocidade é
vx = 10 m/svy = (-9.8 m/s2) t
A posição é
x = (10 m/s) ty = (-4.9 m/s2) t2
Aceleração da gravidade
Como varia o ângulo dos vetores r e v?
vetor r:
tan = y/x = (-0.49 s-1)t
vetor v:
tan ’ = vy/vx = (-0.98 s-1)t
Vetores r, v e a para t = 1s e t = 2s. Enquanto a é constante r e v variam com o tempo.
Alcance
gv
gv
t yh
000 sin
Tempo para atingir altura máxima h.
Alcance
g
vgttvh hh 2sin
21sin
2002
00
Tempo para atingir altura máxima h.
O alcance R acontece em t = 2 th:
0
200
000 2sinsin2cos2 0 gv
gvvtvR hx
gv
gv
t yh
000 sin
Alcance
0
2
2sin0 gv
R
Para um valor fixo do módulo da velocidade inicial o alcance máximo acontece para ou seja
Alcance máximo
gv
R2
max0
2/2 0 0
0 45
ExemploBola sobre a mesa cai de altura H = 80 cm com velocidade inicial v0 = 2.1 m/s. Qual a distância D onde ela atinge o piso?
gHtgtH HH2,
21 2
A altura H é dada por
gHvtvD H2
00
A vel. horizontal se mantém constante
cmsmmsmD 85/8.980.02/1.2 2
Exemplo
max20
0
2sinRR
vgR
785.010198002sin 0
Canhão atira bolas com vel. v0 portanto seu raio máximo é Rmax =v0
2/g. Mostre que para atirar em um alvo com menor distância existem dois ângulos 0 possíveis. v0 = 100 m/s, D = 800m
Usando os dados numéricos temos Rmax = 1019 m
001
001
002
001
64,26
ou1282,522
Movimento circular e uniforme
Este movimento tem velocidade com módulo constante porém sua direção muda continuamente
Exemplos:Movimento de satélites artificiais.Pontos em um disco de vitrola.Disco rígido de computador.Nós como partículas girando com
o movimento da terra.
Movimento circular e uniforme
Rs
fixoR ;
Usamos coordenadas polares
Daí, o arco fica
Como o raio é constante, a única variável é
),(
onde
Movimento circular e uniforme
dtd
dtdRv
dtds
Como o raio é constante, a única variável é . A posição angular é uma função do tempo, . O arco descrito em é dado por . Então,
Definimos assim a velocidade angular
)(tt
Rs
Rvdtds
Movimento circular e uniforme
vTR 2
22
vRT
Tf 1
Período do movimento
Uma volta completa
Frequência
f 2
Velocidade angular e frequência
sT HzsT
f 11Unidades
ω
δφRv
Rωv
ω
vR
O modulo da velocidade
O vetor associado vem de um produto vetorial
Interpretação da velocidade angular
Movimento circular e uniforme
vv
rr
tr
rv
tv
Aceleração média
tr
rv
tva
tt
00limlim
No limite t 0
22
rrva
Aceleração instantânea
Movimento circular e uniforme
rrr
ˆ
Aqui podemos também usar um vetor unitário (note que este vetor varia com o movimento)
A aceleração cujo módulo vimos, fica:
rrva ˆ2
Tem direção do vetor posição
e aponta para o centro do movimento. Está é a aceleração centrípeta.
Movimento circular e uniforme
Exemplo: Peão roda uniformemente com 16 Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto no raio do peão em R = 3 cm
f 2
Velocidade angular é
rad/s101)16(rad2 Hz
Daí a aceleração fica22 303 scmra
Movimento helicoidal
kjir tvtRtRt z sincos)(
kjiv zvtRtRt cossin)(
jia tRtRt sincos)( 22
Exemplo de movimento tridimensional: considere uma partícula cuja posição varia como
constantes.
A aceleração
zveR ,
A velocidade
Movimento helicoidalNo plano xy a partícula tem
Movimento periódico onde
O módulo da velocidade
A aceleração
O módulo
tRtx cos)(
tRty sin)(
Rtvxy )()(tvxy
)()( 2 tt xyxy ra
Rtaxy2)(
/2T
Movimento helicoidal
Podemos compor este movimento no plano com o movimento em z. Note que a partícula anda uma altura h em um período do movimento no plano
A cada período T a partícula se desloca de h no plano z descrevendo um movimento helicoidal!
/2 zz vTvh
Movimento circular acelerado
.)( constdtdt
dtdRtv
dtds )(
é o módulo da velocidade que também varia no tempo e a velocidade angular é dada por
Consideremos agora o caso em que a velocidade angular não é constante. Então,
Movimento circular acelerado
Como o módulo da velocidade também varia há uma componente tangencial da aceleração dada por
)()()( tRdttdR
dttdv
onde é a aceleração angular
)(t
)()( tdttd
ttv
ttv
ttv T
t
N
tt
)(lim)(lim)(lim000
)( ttv
)(tv
Nv
R
Tv
v
Movimento circular acelerado
)()()()( tatadttvdta TN
A aceleração do corpo é dada por
Movimento circular acelerado
)(taT
R)(taN
)()()()( tatadttvdta TN
)(
2
)(
ˆˆ)(
ta
ta
N
T
rRvvRta
Aceleração total; soma de uma componente tangencial e uma normal
ou ainda
)()()( 22 tatata TN
)(tv
Movimento circular aceleradoPelas definições da aceleração e velocidade angulares temos
t
t
tdtttdttd
0
)()()()(0
t
t
tdtttdttd
0
)()()()(0
Movimento circular aceleradoQuando a aceleração angular é constante temos o chamado movimento circular uniformemente acelerado
)()()(00 ttt
dttd
20000 )(
21)()()()( tttttt
dttd
Em perfeita analogia com movimento linear uniformemente acelerado!
e 20
20
2 )(2
a)
b)
ExemploUm disco possui uma aceleração angular de rad/s2.Supondo que o disco inicie o seu movimento com velocidade angular nula, pede-se:
2
a) a velocidade angular do disco depois que ele girou de 200, e
b) o tempo gasto para ele atingir esta velocidade angular.
sradsrad /)3/2(/9/)2(222
sstt )3/1(2/)3/2(
Movimento relativo• O movimento de um determinado objeto é
conhecido em um dado sistema de coordenadas A
• Conhecemos o movimento de um segundo sistema de coordenadas B com respeito ao primeiro
• Desejamos conhecer o movimento do objeto em relação ao novo sistema de coordenadas
Movimento relativo
r
ABr
ABrrr Mas se são todas funções do tempo
)()()( trtrtr AB
r
AB
rrA rrB
Movimento relativo
Velocidade relativa
vvv
dtrd
dtrd
dtrd
AB
AB
v
v
ABv
ABv
v
vvvA vvB
Movimento relativo
Aceleração relativa
aaa
dtvd
dtvd
dtvd
AB
AB
a
a
ABa
a
aABa
aaA aaB
ExemploUm indivíduo deixa cair um objeto dentro de um elevador que sobe com velocidade de 1/2 m/s. Pede-se:
1/2 m/s
zg ˆ
a) A aceleração do objeto relativa ao elevador tão logo deixe a mão do indivíduo
b) A velocidade do objeto com relação ao solo após 1/10 s.
A Bz
x
a)
b)
zsmgaa
aaaa ABAB
ˆ/10
0;2
zsmvtavvv
vvv
AB
AB
ˆ/5,00
