MOVIMENTO EM UMA E DUAS DIMENSÕES

1. Movimento de uma dimensão

O movimento dos corpos é estudado pela Cinemática. Esta área daFísica estuda os corpos considerando – os como pontos materiais.

1.1. Cinemática

É a parte da mecânica que estuda os movimentos dos corpos oupartículas sem se levar em conta o que os causou.

1.1.1.Ponto Material e Corpo Extenso

Figura 1: Uma formiga em relação a uma calçada.

Figura 2: Uma pessoa na arquibancada de um estádio.

Figura 3: A força da gravidade é totalmente dependente dadistância entre dois corpos, quando uma pessoa está na mesmasuperfície que a outra, porém bem distante da outra, ela sentiráuma força gravitacional muito menor do que a dos pés. Nesteexemplo as pessoas representam o corpo extenso comintensidades diferentes.

1.1.2.Repouso, Movimento e Referencial

Figura 4: O motorista está em repouso em relação ao seupassageiro e ao carro, mas em relação aos observadoresda rua encontra-se em movimento. Figura 5: Em relação ao solo terrestre, o ciclista está em movimento.

Figura 6: O motorista encontra-se em repouso em relação àescavadeira hidráulica de esteira, mas em relação ao observador nocanteiro de obras, o motorista encontra-se em movimento.

1.1.4. Trajetória

Figura 7: Trajetória de um pacote de mantimentosarremessado de um avião.

Figura 8: Para o referencial ao pé da montanha, as marcasna neve correspondem das trajetórias dos esquiadores.

Figura 9: A fumaça que está saindo dos aviões da esquadrilhada fumaça mostra a trajetória de cada aeronave para oreferencial do fotografo (no solo).

1.1.4. Posição

Figura 10: Posição de uma estrada.

Figura 11: Exemplificando Posição de um móvel e sua trajetória.

Figura 12: A posição dos blocos em um conjunto habitacional.

1.2.Deslocamento, Velocidade e Velocidade Média

O deslocamento é a medida da linha reta que une a posição inicial ea posição final; o seu valor só depende destas posições, não depende datrajetória.

A velocidade de um corpo é dada pela relação entre o deslocamento de um corpo em determinado tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca.

A Velocidade média é a grandeza física que mede a rapidez com que a posição de um móvel se modifica com o tempo.

𝐕𝐦é𝐝 =∆𝐒

∆𝐓

∆𝐬 = 𝐬 𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥 − 𝐬 𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥

Uma sonda espacial está se deslocando diretamente para o sol no instante t1, está em x1= 3,0 x1012 m distante do sol. Um ano depois, está em x2= 2,1 x 1012 m. Qual será o seu deslocamento?

Resolução:Dados: (T2 = 1 ano= 3,16x107)

∆x = x2 − x1 = 2,1 x 1012 − 3,0 x 1012 = −9,0 x 1011

Obs.: O deslocamento é negativo, pois a sonda espacial se desloca no sentido dos x decrescentes.

Em uma questão de logística, abastecimento da obra, ao levar material do almoxarifado para obloco 1, tem como dados de o seu deslocamento de 1000m com o tempo de 20 min. Qual será asua velocidade média?

Resolução:Dados: (Δs = 1000m; Δt = 20 min)

Vméd =∆S

∆T=1000m

20 min=

1000m

20 x60s=1000m

1200 s= 0.83m/s

BLOCO 1

ALMOXARIFADO

Um carro percorre 300 km em 3 horas. Calcule sua velocidade escalar média. Dê a resposta em km/h e depois transforme em m/s:

Resolução:Dados: (Δs = 300 km; Δt = 3 h)

Vméd =∆S

∆T=300Km

3h= 100Km/h

Vméd = 100Km/h ÷ 3,6 = 27,7m/s

1.3. Unidades de Medida

Grandezas SI CGS

Comprimento M Cm

Tempo s (ou seg) s (ou seg)

Velocidade m/s cm/s

Transformando 90 km /h para o sistema SI, temos:

90 km h =90Km

1 hora=90000m

3600s= 25m/s

Transformando 90 km/h para o sistema CGS, temos:

90 km h =90Km

1 hora=9000000cm

3600s= 2500cm/s

1.4. Aceleração e Aceleração Média

A aceleração é a taxa temporal de variação da velocidade num certo intervalo de tempo, definido como razão.

A aceleração média com dois dimensionamentos, comprimento dividido pelo tempo ao quadrado. A unidade no SI é o metro por segundo ao quadrado (m/s²) cresce proporcionalmente.

𝐚 𝐦é𝐝 =𝚫𝐯

𝚫𝐭

∆𝐭 = 𝐯𝟐 − 𝐯𝟏ou

𝚫𝐯/𝚫𝐭

Ao caçar, um guepardo - partindo do repouso - atinge uma velocidade de 72 Km/h em 2segundos. Qual a sua aceleração nesse intervalo de tempo?

Resolução:Como ele parte do repouso, temos:Vi = 0 Km/hVf = 72Km/hti = 0 stf =2 s

a méd =Δv

Δt=𝑉𝑓 − 𝑉𝑖

𝑡𝑓 − 𝑡𝑖=72 − 0

2 − 0=

72 𝑘𝑚ℎ

2𝑠=72 𝑘𝑚

ℎ → 20 𝑚 𝑠

2𝑠=20 𝑚 𝑠2𝑠

= 10 𝑚 𝑠2

Durante uma corrida de carros, um dos competidores consegue atingir 100km/h desde a largadaem 5s. Qual a aceleração média por ele descrita?

Resolução:

a méd =Δv

Δt=

100 𝑘𝑚/ℎ

5𝑠=

100 𝑘𝑚ℎ→27,7 𝑚

𝑠

5𝑠=

27,7 𝑚𝑠

5𝑠=

5,55 𝑚 𝑠2

Um móvel parte do repouso e, após 5 s de movimento, atinge a velocidade de 20 m/s.Qual foi a aceleração escalar média deste móvel?

Resolução:Como ele parte do repouso, temos:Vi = 0 m/sVf = 20 m/sti = 0 stf =5 s

a méd =Δv

Δt=𝑉𝑓 − 𝑉𝑖

𝑡𝑓 − 𝑡𝑖=20 − 0

5 − 0=

20

5= 4 𝑚 𝑠2

V = 0 V = 20 m/s

t = 0s t = 5s

2. Movimento de duas dimensões

Cinemática de um corpo que pode ser modelado como umapartícula em movimento em um plano. Isto é, um movimentobidimensional.

2.1. Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.)

É a parte da mecânica que estuda os movimentos dos corpos oupartículas sem se levar em conta o que os causou.

M.R.U

Trajetória Reta

Velocidade Constante

Aceleração Nula

Figura 13: Um trem caminhando a 120 km/h durante otrajeto entre duas estações.

Figura 14: A lua descreve em torno da Terra um movimento que éaproximadamente circular e uniforme.

Um carro se desloca em uma estrada retilínea com velocidade escalar constante. A figura mostra as suas posições, anotadas em intervalos de 1 min, contadas a partir do km 30, onde se adotou t = 0. Responda: O movimento é progressivo ou retrógrado? Qual a sua velocidade escalar em km/h?

Resolução:a) É retrógrado, pois suas posições são decrescentes no decorrer do tempo.b) Observa-se que a cada minuto o carro retrocede 2 km na rodovia, ou seja, apresenta Δs = − 2 km.Logo:

v =Δs

Δt=−2 km

1 min=

−2 km

160 ℎ

= −120 km/h

2.1.1. Função Horária

A móvel parte de uma posição inicial So no instante t = 0;Num instante t qualquer ele estará na posição s.

DemonstraçãoPartindo da definição da velocidade:

Vméd =∆S

∆T→ V =

S − So𝑡 − 𝑡0

Aplicando as observações descritas acima, temos:

V =S − So𝑡 − 0

Simplificando a expressão, temos que:V × t = s − 𝑠0

Isolando o espaço s, fica:𝑠0 + v × t = s

Portanto a Função Horária do MRU é dada por: S = So+V.t

Um ponto material descreve sobre uma trajetória retilínea um movimento uniforme. Sabendo-seque ele partiu da posição 3M e que sua velocidade é 10m/s, escreva a sua função horária ecalcule a sua posição no instante t = 5s.

Resolução:So=3m V=10m/s → S = 3+10.tPara t=5s, temos: S = 3 + 10x5 = 3 + 50= 53 → S = 53 m

V = 10m/s t= 5s

3M ?

A função horária s = 3 + 4t , em unidades do Sistema Internacional, traduz, em dadoreferencial, o movimento de uma partícula.

Para o instante t = 3 s, determine:a) a posição da partícula;b) a velocidade da partícula.

Resolução:

a) a posição da partícula;Resposta: s=3+4ts=3+4⋅3s=3+12s=15m

b) a velocidade da partícula.Resposta: v= 4 𝑚 𝑠

2.1.2. Gráficos do Movimento Retilíneo Uniforme

• Gráficos do Espaço em Função do Tempo (S x t) • Gráficos do Velocidade em Função do Tempo (V x t)

(PUC-PR) Duas partículas A e B se movimentam sobre uma mesma trajetória retilínea segundo ográfico. Podemos afirmar que suas equações horárias são:

Resolução:

Primeiro, devemos determina a velocidade das partículas:

Va = ∆ S / ∆ TVa = 140 - 40 / 5Va = 100 / 5Va = 20m/s

Vb = ∆ S / ∆ TVb = 140 - 90 / 5Vb = 50/5Vb = 10m/s

Agora utilizando a lei da função horária:s = s0 + vt

Portanto:

sA = 40 + 20t e sB = 90 + 10t

O gráfico a seguir representa a função horária do espaço de um móvel em trajetória retilínea e em movimento uniforme.

Com base nele, determine a velocidade e a função horária do espaço deste móvel.

Resolução:

V =∆S

∆T→ V =

S − SoT − 𝑇o

→250 − 50

10 − 0=

200

10= 20𝑚/𝑠 = S = 50+20.t

2.1.3. Propriedades dos gráficos no MRU

• No Gráfico do Deslocamento em função do tempo (S x t)

A definição de tangente:

tan θ

=cateto oposto

cateto adjacente

tan θ =∆S

∆TAplicando a definição de

tangente

no nosso caso, temos:

tan θ =∆S

∆T

Sabendo que: V =∆S

∆T, temos então:

V = tan θ

2.1.3. Propriedades dos gráficos no MRU

• No Gráfico da Velocidade em função do tempo (V x t)

A área de um retângulo: A = B x H

Aplicando em nosso caso, temos: 𝐴 = ∆𝑇𝑥 𝑉

Sabendo que V.∆t =∆S, temos então: ∆𝑆 = 𝐴

O gráfico abaixo representa a velocidade de um veículo numa viagem em função do tempo. Determine o deslocamento do veículo na viagem:

Resolução:

É possível determinar o deslocamento do veículo calculando a área do gráfico conforme a resolução a seguir:

∆S = 𝐴𝑡 = ∆S = 𝐴1 + 𝐴2 = ∆S = 3 𝑥 90 + 2 𝑥 60 = ∆S =270 + 120 = 390 𝐾𝑚

2.2. Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.)

Denominamos de movimento retilíneo uniformemente variado aquele cuja aceleração é constante e diferente de zero.

𝑀𝑅𝑈𝑉 ↔ 𝑎 ≠ 0 𝑒 𝑎 = 𝑐𝑡𝑒

2.2.1. Função Horária

𝑺 = 𝑺𝟎 + 𝑽𝟎. 𝒕 +𝟏

𝟐𝒂. 𝒕𝟐

Um móvel descreve um MUV numa trajetória retilínea e sua posição varia no tempo de acordocom a expressão: s = 9 + 3t - 2t2. (SI) Determine: a posição inicial, a velocidade inicial e aaceleração.

Resolução:A Equação Horária:

𝑺 = 𝑺𝟎 + 𝑽𝟎. 𝒕 +𝟏

𝟐𝒂. 𝒕𝟐

s0 = 9mv0 =3m/sa= -4m/s2

s = 9 + 3t - 2t2

A função horária de um automóvel que se desloca numa trajetória retilínea é s=20+4t+5t2, onde sé medido em metros e t em segundos. Determine a posição do móvel no instante t=5s.

Resolução:S5= 20 + 4x5 + 5x52

S5 = 20 + 20 + 125S5= 165m

s=20+4t+5t2

2.2.2. Lei de TorricelliA equação de Torricelli é uma expressão que relaciona as três grandezas fundamentais do MUV:velocidade, aceleração e variação de espaço, independentemente do tempo. A determinação da equaçãoé feita a partir da fusão das funções horárias da velocidade e do deslocamento, com a eliminação dagrandeza tempo.

Observe:

V = Vo+ a . t → t =V − V0

aSubstituindo esse valor de t na função horária dodeslocamento, temos:

Desenvolvendo a expressão acima, vem:

Uma motocicleta se desloca com velocidade constante igual a 30m/s. Quando o motociclista vêuma pessoa atravessar a rua freia a moto até parar. Sabendo que a aceleração máxima para freara moto tem valor absoluto igual a 8m/s², e que a pessoa se encontra 50m distante damotocicleta. O motociclista conseguirá frear totalmente a motocicleta antes de alcançar apessoa?

Resolução:

Como a aceleração utilizada para frear a moto se opõe ao movimento, tem valor negativo, então:

V2 = VO2 + 2 . a. ∆S

02 = 302 + 2 . (−8). ∆S−900 = −16. ∆S16. S − S0 = 90016. S − 0 = 90016. S = 900

S =900

16S = 56,25 m

A motocicleta não irá parar antes de atingir a pessoa.

Um corredor chega à linha de chegada em uma corrida com velocidade igual a 18m/s. Após achegada ele anda mais 6 metros até parar completamente. Qual o valor de sua aceleração?

Resolução:

V2 = VO2 + 2 . a. ∆S

02 = 182 + 2 . a. (S − S0)

02 = 324 + 2 . a(6 − 0)

−12a = 324

a =324

−12

a = −27m/s2

2.2.3. Gráficos do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

• Gráficos da Velocidade em Função do Tempo (V x t) • Gráficos da Aceleração em Função do Tempo (a x t)

2.2.3. Gráficos do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

• Gráficos da Posição em Função do Tempo (S x t)

(UEL-PR) A seguir está representado o gráfico de a velocidade escalar (v) de um ponto material em função do tempo (t).

Sobre esse movimento, é correto afirmar que:a) é sempre acelerado.b) é sempre retardado. c) não muda de sentido. d) no início é retardado e após t1 é acelerado.e) no início é acelerado e após t1 é retardado.

Resolução:

Resposta: D

Nota-se, pelo gráfico, que a velocidade escalar do ponto material é crescente, isto é, sua aceleração escalar é sempre positiva (a > 0). Comparando os sinais de v e a, temos:

• no início → v < 0 e a > 0 retardado• após t1 → v > 0 e a > 0 acelerado

O gráfico representa a velocidade escalar de um corpo, em função do tempo. De acordo com o gráfico, o módulo da aceleração desse corpo, em metros por segundo ao quadrado, é igual a:

Resolução:

𝑎 =ΔV

ΔT=0 + 4

8 − 0=

4

8= 0,50𝑚/𝑆2

2.2.4. Propriedades dos gráficos no M.R.U.V.

• Gráfico da Velocidade em Função do Tempo (v x t)

A definição de tangente: 𝐭𝐚𝐧𝛉

=𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐨𝐬𝐭𝐨

𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐣𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

Aplicando a definição de tangente

no nosso caso, temos:tan θ =

∆S

∆T

Sabendo que: 𝐕 =∆𝐒

∆𝐓, temos então:

a = tanθ

2.2.4. Propriedades dos gráficos no M.R.U.V.

• Gráfico da Aceleração em Função do Tempo (v x t)

A área de um retângulo: A = B x H

Aplicando em nosso caso,

temos:

A = ∆Tx a

Sabendo que a.∆t =∆V, temos

então:

∆V = A

2.3. Lançamento Oblíquo ou de projétil

É Movimento dos projéteis que é composto de um MRU e outroMRUV perpendiculares, onde a sua trajetória é parabólica.

Figura 15: Diferenciação do movimento horizontal do vertical.

2.3. Lançamento Oblíquo ou de projétil

Figura 16: Quando joga o objeto na diagonal ele anda tanto para frente quanto para cima.

• Como achar o valor de cada componente:

Vox = Vo. cos 𝜃Voy = Vo. sen 𝜃

sen 𝜃 =𝐶𝑂

𝐻𝐼𝑃=𝑉𝑜𝑦

𝑉𝑜

cos 𝜃 =𝐶𝐴

𝐻𝐼𝑃=𝑉𝑜𝑥

𝑉𝑜

Resolução:

Dados : Cos. 37º = 0,80Sen 37º = 0,60

Saber o Alcance, a altura máxima e a distância.Vx = 100. Co 37º → Vx = 100. 0,80 → Vx = 80 m/sVy = 100. Sen 37º → Vy = 100. 0,60 → Vy = 60 m/sTempo Total = 12 s (6s na subida + 6s na descida)D = V. T = 80.12 = 960mMRUV: D = Vo.t + ½ a.t²

D = 60.6 + ½ (-10). 6² D = 360 – 180D = 80m

Um projétil é lançado segundo um ângulo de 30° com a horizontal, com uma velocidade de200m/s. Supondo a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e desprezando a resistência do ar, ointervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de altura 480 m acima do pontode lançamento, em segundos, é:(DADOS: sen 30° = 0,50 e cos 30° = 0,87)

Resolução:

Y = Yo + Voy.t – g.t2/2Y-Yo = Voy.t – g.t2/2480 = V.sen30.t – 10.t²/2480 = 100.t – 5.t25.t2 - 100.t + 480 = 0t2 - 20.t + 96 = 0Δ = b2 - 4.a.cΔ = 16t = [20 +/- 4]2t’ = 12st’’ = 8s

O intervalo de tempo existente entre a passagem do projétil pela altura 480m equivale à 4s (12-8).

Obrigado pela atenção.