Movimento Em Duas e Tres Dimensoes

5/28/2018 Movimento Em Duas e Tres Dimensoes

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NOTADEAULAPROF.JOSGOMESRIBEIROFILHO

MOVIMENTOEMDUASETRSDIMENSES

01.INTRODUOQuandoumjogadordefuteboldumchuteemumabola,oquedeterminaondeabolairparar?Comovoc

descreve o movimento do carro de uma montanharussa ao longo de uma curva ou o vo de uma guia circulandosobreumcampoaberto?Casovoclargueumaboladasuajanela,elalevaomesmotempoparaatingirosoloqueumabolalanadahorizontalmentedomesmoponto?

No podemos responder a estas questes usando as tcnicas do Captulo 1, onde consideramos partculas semovendosomenteaolongodeumalinhareta.Emvezdisto,devemoslevaremcontaarealidadedenossomundoemtrsdimenses.Paraentenderatrajetriacurvadeumabola,omovimentoorbitaldeumsatliteouatrajetriadeumprojtil, necessrio estender a descrio do movimento para duas e trs dimenses. Usaremos ainda as grandezasvetoriais deslocamento, velocidade e acelerao, porm agora no mais vamos considerar movimentos ao longo de

uma linha reta, mas sim movimentos em duas e trs dimenses. Verificaremos que muitos movimentos importantesocorrem em duas dimenses, ou seja, esto contidos em um plano. Para estes movimentos necessitamos de duascoordenadaseduascomponentesparaavelocidadeeparaaacelerao.

Ser necessrio tambm considerar como o movimento de uma partcula descrito por observadores quepossuem movimentos relativos entre si. O conceito de velocidade relativa contm a base para entender a teoria darelatividadeespecial,masesteassuntosertratadoposteriormente.

Este captulo une a linguagem vetorial que aprendemos no Captulo anterior com a linguagem cinemtica doCaptulo 1. Como antes, estamos interessados em descrever o movimento, e no em analisar suas causas. Porm, alinguagemquevocaprenderaquiserumaferramentaessencialparacaptulosposterioresquandovocusarasleisdomovimentodeNewtonparaestudararelaoentreforaemovimento.

02.VETORPOSIOEVETORVELOCIDADEParadescreveromovimentodeumapartculanoespao,necessitamos inicialmenteestaraptosadescrevera

posio da partcula. Considere uma partcula que esteja em um ponto P em dado instante. O vetor posio r

dapartculanesteinstanteumvetorquevaidaorigemdosistemadecoordenadasatopontoP(Figura1).Essafiguratambmmostraqueascoordenadascartesianasx,yezdopontoPsooscomponentesx,yezdovetor r

.

FIGURA1Ovetorposio r

comorigemnopontoP

temcomponentesx,yez.

UsandoosvetoresunitriosintroduzidosnoCaptuloanterior,podemosescrever r xi yj zk

[1]Quandoumapartculasedeslocanoespao,atrajetriadescritanormalmenteumacurva(Figura2).Durante

umintervalodetempotapartculasemovedeumpontoP1,ondeovetorposio 1r

atumpontoP2,ondeovetor

posio 2r

.Avariaodaposio(odeslocamento)duranteesseintervalodetempo 2 1r r r

.

2 2 2 1 1 1 r x i y j z k x i y j z k

ou

2 1 2 1 2 1 r (x x )i (y y )j (z z )k


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2

r x i yj zk

Definimos a velocidade mdia mv

identicamente ao que fizemos no Captulo 1 para um movimento retilneo,

comoodeslocamentodivididopelointervalodetempo:

2 1m

2 1

r r rv

t t t

[2]

Note que dividir um vetor por um escalar um caso particular de multiplicar o vetor por um escalar, como

descritonoCaptuloanterior;avelocidademdia mv

igualaovetordeslocamento r

multiplicadopor1/t,oinverso

dointervalodetempo.AgoradefinimosavelocidadeinstantneatalcomoofizemosnoCaptulo1:elaolimitedavelocidademdiaquandoointervalodetempotendeazero,sendoigualtaxadevariaodovetorposiocomotempo.Adiferenafundamentalqueagoraaposioreavelocidadeinstantneavsovetores:

t 0

r drv lim

t dt

[3]Omdulodovetor v

emqualquerinstanteavelocidadeescalarvdapartculanoreferidoinstante.Adireo

eosentidode v

emqualquerinstanteamesmadireoesentidoemqueelasemovenoreferidoinstante.Notequequandot 0,opontoP1daFigura2ficacadavezmaisprximodopontoP2.

FIGURA 2 A velocidade mdia mv

entre os

pontos P1 e P2 possui a mesma direo e omesmosentidodovetordeslocamento r

.

Neste limite, o vetor r

tornase tangente curva. A direo e sentido do vetor r

neste limite tambmigual direo e sentido da velocidade instantnea v

. Isto leva a uma concluso importante: o vetor velocidade

instantneatangentetrajetriaemcadaumdosseuspontos(Figura3).

FIGURA 3 A velocidade instantnea v

em cada pouco tangente trajetrianoreferidoponto.

Normalmente mais fcil calcular o vetor velocidade instantnea usando componentes. Durante qualquerdeslocamento r

asvariaesx,yezdastrscoordenadasdapartculasooscomponentesde r

.Daseconclui

queoscomponentes x y zv , v e v

davelocidadeinstantnea v

sosimplesmenteasderivadasdascoordenadasx,yez

emrelaoaotempo.Ouseja,

x

y

z

dx v idtdy v jdtdz v kdt

[4]

PodemostambmobteresseresultadoderivandoaEquao(1).Osvetoresunitrios i, j ek possuemmdulo,direo

esentidoconstantes,logosuasderivadassonulas,eencontramos


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3

dx dy dz v i j kdt dt dt

[5]Issomostranovamentequeoscomponentesde v

sodx/dt,dy/dtedz/dt.Omdulodovetorvelocidadeinstantnea

v

isto,avelocidadeescalardadoemtermosdoscomponentes x y zv , v e v

peloteoremadePitgoras

2 2 2x y zv v v v v

AFigura4mostraasituaoquandoapartculasemovenoplanoxy.

FIGURA 4 Os dois componentes da velocidade paraummovimentonoplanoxy.

Nessecaso,zevzsonulos.Ento,avelocidadeescalar(omdulodovetor v

)2 2x yv v v

eadireodavelocidadeinstantnea v

dadapelongulo indicadonessafigura.Vemosque

y

x

vtan

v

O vetor velocidade instantnea geralmente mais til do que o vetor velocidade mdia. A partir de agora,quandomencionarmosapalavra"velocidade"queremosnosreferiraovetorvelocidadeinstantnea v

(emvezdovetor

velocidademdia).Normalmente,nosecostumadizerque v

umvetor;cabeavoclembrarsedequevelocidadeumagrandezavetorialquepossuimdulo,direoesentido.

03.VETORACELERAOVamosagoraconsiderarovetoraceleraodeumapartculaquesemovenoespao.Analogamenteaocasodo

movimento retilneo, a acelerao indica como a velocidade de uma partcula est variando. Porm agora vamosgeneralizar o conceito de acelerao para incluir variaes do mdulo da velocidade (isto , da velocidade escalar) evariaesdadireodavelocidade(isto,dadireoedosentidodomovimentonoespao).

NaFigura5a,umapartculaestsemovendoaolongodeumatrajetriacurva.

FIGURA 5 a) O vetor ma v / t

representa a acelerao

mdia entre os pontos P1 e P2 b) Construo para obtermos

2 1v v v , c) A acelerao instantnea a no ponto P1. Ovetorvtangentetrajetriaeovetoraapontaparaoladocncavodatrajetria.

Osvetores 1 2v e v representam,respectivamente,ovetorvelocidadeinstantneadapartculanoinstantet1quandoela

est no ponto P1, e o vetor velocidade instantnea da partcula no instante t2 quando ela est no ponto P2. As duas

velocidadespodempossuirmdulosedireesdiferentes.Definimosovetoraceleraomdia ma

dapartculaquando

elasemovedeP1aP2comoavariaovetorialdavelocidade, 2 1v v v

divididapelointervalodetempot=t2 t1;


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4

2 1m

2 1

v v va

t t t

[6]

Aacelerao mdia umagrandezavetorial que possui amesma direoesentido dovetor v

; (Figura5a).

Observeque 2v

asomavetorialde 1v

,comavariao v

(Figura5b).

Como no Captulo 1, definimos a acelerao instantnea a no ponto P1 como o limite da acelerao mdiaquando o ponto P2 se aproxima do ponto P1 e v e t tendem simultaneamente a zero; a acelerao instantneatambm igual taxa de variao da velocidade instantnea com o tempo. Como no estamos nos restringindo aomovimentoretilneo,aaceleraoinstantneaagoraumagrandezavetorial:

t 0 t 0

v v(t t) v(t) dva lim limt t dt

[7]Conforme vimos, o vetor velocidade v

tangente trajetria da partcula. Porm, a construo indicada na

Figura 5c mostra que o vetor acelerao instantnea a

de uma partcula em movimento sempre aponta para o ladocncavo de uma trajetria curva ou seja, para o lado interno de qualquer volta que a partcula esteja fazendo.Podemostambmnotarquequandoumapartculasemoveaolongodeumatrajetriacurvasuaaceleraosemprediferentedezero,mesmoquandosuavelocidadeescalarforconstante.Essaconclusopodeparecercontrrianossaintuio,pormelacontrriaapenasaousocotidianodapalavra"acelerao"quesignificaaumentodevelocidade.Adefinio mais precisa da Equao (7) mostra que pode existir acelerao diferente de zero quando houver qualquervariaodovetorvelocidade,incluindoapenasvariaodadireodestevetorsemvariaodavelocidadeescalarou,

ento,variaosimultneadadireoedavelocidadeescalar.Para voc se convencer de que uma partcula possui acelerao diferente de zero quando ela descreve umatrajetria curva com velocidade constante, lembrese da sua sensao quando est viajando em um carro. Quando ocarro acelera, voc tende a se mover no interior do carro em um sentido contrrio ao da acelerao do carro.(ExplicaremosarazodessecomportamentonoCaptulochamadoLeisdeNewton.)Logo,voctendeaserempurradoparaatraseiradocarroquandoeleaceleraparaafrente(aumentadevelocidade)eparaafrentedocarroquandoeleacelera para trs (diminui de velocidade). Quando o carro faz uma curva em uma estrada plana, voc tende a serempurradoparaforadacurva;portantoocarropossuiumaaceleraoparadentrodacurva.

Normalmente estamos interessados no vetor acelerao instantnea e no na acelerao mdia. A partir de

agora,quandomencionarmosapalavra"acelerao"queremosnosreferiraovetoraceleraoinstantnea a

.Cada componente do vetor acelerao instantnea dado pela derivada do respectivo componente do vetor

velocidade:yx z

x y z

dvdv dva , a e a

dt dt dt [8]

Emtermosdosvetoresunitrios,

yx zx y z

dvdv dv a i j k a i a j a kdt dt dt

[9]AFigura6mostraumexemplodovetoraceleraoquetemcomponentestantoemxcomoemy.

FIGURA 6 Quando uma r salta, acelera

tanto na direo horizontal como nadireovertical.

Como cada componente da velocidade dado pela derivada da respectiva coordenada da posio, podemos

escreveroscomponentesax,ayeazdovetoracelerao a

doseguintemodo2 2 2

x y z2 2 2

d x d y d z

a , a e adt dt dt [10]eovetoracelerao a

doseguintemodo

2 2 2

2 2 2

d x d y d z a i j kdt dt dt

[11]


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3.1OscomponentesperpendiculareseparalelosdaaceleraoPodemostambmrepresentaraaceleraodeumapartculaquesemoveemumatrajetriacurvaemtermos

decomponentesperpendiculareseparalelosaovetorvelocidadeemcadaponto(Figura7).

FIGURA 7 A acelerao pode ser decomposta nacomponente a paralelotrajetria(evelocidade)

ecomponente a ortogonaltrajetria(ouseja,aolongodanormaltrajetria).

Nessa figura, esses componentes so indicados com os smbolos a e a . Para entendermos por que essescomponentes so teis, vamos considerar dois casos especiais. Na Figura 8a, o vetor acelerao paralelo ao vetor

velocidade 1v

.Avariaode v

duranteumpequenointervalodetempo tovetor v

queparaleloaovetor a

e,

portanto, paralelo a 1v

. A velocidade 2v

no final do intervalo t, dada por 2 1v v v

, um vetor paralelo a 1v

possuindo porm mdulo maior. Emoutras palavras, durante o intervalo de tempo t a partcula se moveu em linharetacomvelocidadecrescente.

Na Figura 8b a acelerao a perpendicular ao vetor velocidade v . A variao de v durante um pequeno

intervalo de tempo t o vetor v

; aproximadamente perpendicular a 1v

conforme indicado. Novamente,

2 1v v v

,pormnestecaso 1v

e 2v

possuemdireesdiferentes.Quandoointervalodetempottendeazero,o

ngulo nafiguratambmtendeazeroe v

tornaseperpendicularaambososvetores, 1v

e 2v

,osquaispossuemo

mesmo mdulo. Em outras palavras, a velocidade escalar permanece constante, porm a trajetria da partcula seencurva.

Quando a

paralelo (ou antiparalelo) a ,o mdulo de v

varia, mas sua direo no varia; quando a

ortogonala v

,adireode v

varia,masomdulodavelocidadenovaria.Nocasogeral, a

podetercomponentesemambasasdirees,masasafirmaesanteriorescontinuamvlidasparacadacomponentede v

separadamente.Em

particular, quando uma partcula descreve uma trajetria curva com velocidade escalar constante, sua acelerao

sempreperpendiculara v

emtodosospontosdacurva.

FIGURA8a)Quando a

paraleloa v

,omdulode v

crescemassuadireonovaria.Apartculasemoveem linha reta com velocidade escalar crescente, b)

Quando a

ortogonala v

,adireode v

varia,masomdulodavelocidadenovaria.Apartculasemoveem uma trajetria curva com velocidade escalar

constante.

A Figura 9 mostra uma partcula descrevendo uma trajetria curva em trs situaes diferentes: velocidade

escalarconstante,velocidadeescalarcrescenteevelocidadeescalardecrescente.Quandoavelocidadeconstante, a

perpendicular,ounormal,a v

etrajetriaeapontaparaoladocncavodacurva(Figura9a).Quandoavelocidade

crescente,aindaexisteumcomponentede a

perpendicular,pormexistetambmumcomponenteparaleloquepossui

a mesma direo de v

(Figura 9b). Ento a

aponta para a frente da normal trajetria. Quando a velocidade

decrescente,ocomponenteparalelopossuidireoopostadireode v

,e a

apontaparatrsdanormaltrajetria(Figura9c).


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FIGURA 9 Vetor velocidade e vetoracelerao em um ponto P de umapartcula que se move em umatrajetria curva com a) velocidadeescalar constante, b) velocidadeescalar crescente e c) velocidadeescalardecrescente.

04.MOVIMENTODEUMPROJTILUm projtil qualquer corpo lanado com uma velocidade inicial e que segue uma trajetria determinada,

exclusivamentepelaaceleraodagravidadeepelaresistnciadoar.Umaboladebeisebolbatida,umaboladefutebolchutada,umpacotelargadodeumavioeumabalaatiradaporumaarmadefogosoexemplosdeprojteis.Acurvadescritaduranteomovimentodoprojtilasuatrajetria.

Afimdeanalisarmosestetipocomumdemovimento,comearemoscomummodeloidealizado,representandoo projtil como uma partcula com acelerao (devida gravidade) constante em mdulo, direo e sentido. Iremosdesprezar os efeitos de resistncia do ar e a curvatura e rotao da Terra. Como todo modelo, este possui algumaslimitaes.AcurvaturadaTerratemdeserconsideradanomovimentodeummssildelongoalcanceearesistnciado

ardeimportnciafundamentalparaomovimentodeumpraquedista.Contudo,podemosaprendermuitodaanlisedestemodelosimplificado.Norestantedestecaptulo,afrase"movimentodeumprojtil"implicaquedesprezamososefeitos de resistncia do ar. No Captulo Leis de Newton veremos o que ocorre quando no podemos desprezarosefeitosdaresistnciadoar.

Notamos inicialmente que o movimento de um projtil est sempre confinado em um plano verticaldeterminadopeladireodavelocidadeinicial(Figura10).

FIGURA 10 O movimento de um projtilocorre em um plano vertical contendo o

vetorvelocidadeinicial v

0.

Issoocorreporqueaaceleraodagravidadesemprevertical;agravidadenopodeproduzirmovimento lateraldoprojtil.Logo,omovimentodeumprojtilocorreemduasdimenses.Oplanodomovimentoserconsideradooplanoxy,sendooeixoOxhorizontal,eoeixoOyverticaleorientadodebaixoparacima.

Achaveparaanalisaromovimentodeumprojtiltratarascomponentesxeyseparadamente.Ocomponentexdaaceleraoigualazeroeocomponenteyconstanteeiguala g.(Lembresedeque,pordefinio,gsemprepositivo,ecomanossaescolhadosentidodoeixo,Oynegativo.)Dessaforma,podemosconsideraromovimentode

umprojtilcomoacombinaodeummovimentohorizontalcomvelocidadeconstanteeummovimentoverticalcomacelerao constante. A Figura 11 mostra dois projteis com diferentes movimentos no eixo Ox, mas idnticosmovimentos no eixo Oy; um corresponde ao movimento de uma bola largada sem velocidade inicial e o outro foilanado horizontalmente do mesmo ponto, porm ambos caem verticalmente mesma distncia em intervalos detempoiguais.


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FIGURA11Independnciaentreomovimentonaverticale na horizontal. A bola da esquerda largadaverticalmentesemvelocidade inicial.Simultaneamenteabola da direita lanada horizontalmente do mesmoponto; as imagens sucessivas desta fotografiaestroboscpica so registradas em intervalos de tempo

iguais. Para cada intervalo de tempo as duas bolaspossuem os mesmos componentes y da posio, davelocidadeedaacelerao,emboraoscomponentesxdaposioedavelocidadesejamdiferentes.

Podemosentoexpressartodasasrelaesvetoriaisparaaposio,velocidadeeaceleraousandoequaesseparadas para os componentes horizontais e verticais. O movimento efetivo do projtil a superposio destes

movimentosseparados.Oscomponentesde a

soax=0, ay=g (movimentodeumprojtil,semresistnciadoar). [12]

Normalmenteusaremosg=9,8m/s2.Umavezqueoscomponentesxeydaaceleraosoconstantes,podemosusarasequaesestudasnoprimeiroCaptulo:v=v0+atx=x0+v0t+at

2/2Porexemplo,suponha queno instante t =0a partculaesteja emrepousono ponto(x0, y0) e quenesse instante suavelocidade inicial possua componentes v0x e v0y. Os componentes da acelerao so ax = 0 e ay = g. ConsiderandoinicialmenteomovimentonoeixoOx,substituindovporvx,v0porv0xeapor0nasequaesacima,achamosvx=v0x, [13]x=x0+v0xt. [14]ParaomovimentonoeixoOy,substituindoxpory,vporvy,v0porv0yeaporg,achamosvy=v0y gt, [15]

y=y0+v0yt gt2/2 [16]Normalmente mais simples considerar a posio inicial (t = 0) como a origem. Nesse caso x0 = y0 = 0. Este

pontopoderiaser,por exemplo, aposiodamoquando lanamosumabolaouaposiodeumabala quandoeladeixaocanodaarma.

AFigura12mostraatrajetriadeumprojtilquecomeana(ouatravessa)origememdadoinstantet=0.Oscomponentesdaposio,davelocidadeedaaceleraosoindicadosparaintervalosdetempoiguais.Ocomponentexdaaceleraoigualazero,portantovxconstante.Ocomponenteydaaceleraoconstanteenonulo,demodoquevyvariadequantidadesiguaisemintervalosdetempoiguais.Nopontomaiselevadodasuatrajetria,vy=0.

Podemos tambm representar a velocidade inicial 0v

por seu mdulo v0 (a velocidade escalar inicial) e seu

ngulo comosentidopositivodoeixoOx.Emtermosdestasgrandezas,oscomponentesv0xev0ydavelocidadeinicialsov0x=v0cos, v0y=v0sen.UsandoesteresultadonasrelaesindicadaspelaEquao(13)ataEquao(16)efazendox0=y0=0,obtemos

x=(v0cos)t (movimentodeumprojtil), [17]y=(v0sen)tgt

2/2 (movimentodeumprojtil), [18]vx=v0cos (movimentodeumprojtil), [19]vy=v0sengt (movimentodeumprojtil). [20]


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FIGURA 12 Trajetria de um corpo

lanado com velocidade inicial 0v

formando um ngulo 0 acima da

horizontal, desprezando aresistncia do ar. A distncia R oalcance horizontal e h a alturamxima.

EssasequaesdescrevemaposioeavelocidadedeumprojtilnaFigura12emqualquerinstantet.Dessasrelaespodemosextrairmuitasinformaes.Porexemplo,emqualquerinstante,adistnciarentreo

projtileaorigem(omdulodovetorposio r

)dadapor2 2r x y

[21]

Avelocidadeescalardoprojtil(omdulodesuavelocidade)emqualquerinstantedadapor2 2

x yv v v [22]

Adireoeosentidodavelocidadeemtermosdongulo queelafazcomosentidopositivodoeixoOxsodadospor

y

x

vtan

v

[23]

Ovetorvelocidade v

emcadapontotangentetrajetrianoreferidoponto.Podemosdeduziraequaodaformadatrajetriaemtermosdexedeyeliminandot.PelasEquaes(17)e(18),quesupemx0=y0=0,encontramos

t=x/(v0cos)e

2

2 2

0

gy (tan )x x

2v cos

[24]

Nosepreocupecomosdetalhesdestaequao;opontoimportantesuaformageral.Asgrandezasv0,tan,cos egsoconstantes,demodoqueestaequaotemaformay=bx cx2ondebecsoconstantes.Tratasedaequaodeumaparbola.Atrajetriadomovimentodeumprojtil,comnossomodelosimplificado,sempreumaparbola.

04.1AlcanceHorizontaleAlturaMximadeumProjtil

Vamos supor que um projtil seja lanado sobre um solo plano a partir da origem em t = 0 com umacomponentevypositiva,comonaFigura13.

FIGURA13Projtil lanadosobreumsoloplanoapartirdaorigem.

Existem dois pontos especiais que so interessantes de analisar: o ponto mais alto A, que tem coordenadascartesianas(R/2,h),eopontoBquandoeleatingeosolo,tendocoordenadas(R,0).Emvirtudedasimetriadatrajetria,


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oprojtilestemsuaalturamximahquandosuaposioxmetadedeseualcanceR.VamosacharheRemtermosde eg.

Podemos determinar h notando que no topo, vyA, = 0. Portanto, a Equao (20) pode ser utilizada paradeterminarotempot1necessrioparasealcanarotopo:

i1

v sent

g

Substituindoessaexpressoparat1naEquao(18)esubstituindoyporh,temoshemtermosdev0ede.2

i i

i

2 2

i

v sen v sen1

h (v sen ) gg 2 g

v senh [25]

2g

Observe,apartirdarepresentaomatemtica,comovocpodeaumentaraalturadetopoh:vocpodelanaro projtil com uma velocidade inicial maior, a um ngulo maior, ou de um local com uma acelerao de queda livremenor,talcomonaLua.

OalcanceRadistnciahorizontalpercorridanodobrodotemponecessrioparaalcanarotopo,isto,emum tempo 2t1. (Isso pode ser visto colocandose y = 0 na Equao (18) e resolvendose a equao quadrtica para t.Umasoluodessaequaoquadrticat=0,easegundasoluot=2t1.)Utilizandoaequao(17)eobservandoquex=Remt=2t1,encontramos

2i ii 1 i

2v sen 2v sen cosR (v cos )2t (v cos )g g

Comosen2 =2sen.cos,Rpodeserescritodaformamaiscompacta2

iv sen2Rg

[26]

Observe,apartirdaexpressomatemtica,comovocpodeaumentaroalcanceR:vocpodelanaroprojtilcomumavelocidadeinicialmaioroudeumlocalcomumaaceleraodequedalivremenor,comonaLua.

Oalcancetambmdependedonguloqueovetorvelocidadeinicialfazcomahorizontal. DaEquao26temosqueomaiorvalorpossveldeRdadoporRmx=v

2/g.Esseresultadovemdofatodequeovalormximodesen2 iguala1,queocorrequando2 =90.Portanto,Rmximoquando =45.

AFigura14ilustravriastrajetriasparaumprojtilcomumavelocidadeescalarinicialdada.Comovocpodever,oalcancemximopara =45.Almdisso,paraqualquer diferentede45,umpontocomcoordenadas(R,0)podetalcanadoutilizandoqualquerumdosdoisvalorescomplementaresde taiscomo75e15.claroqueaalturamximaeotempodevoserodiferentesparaessesdoisvaloresde.

FIGURA 14 Um projtil lanado da origemcomumavelocidadeescalarinicialde50m/scom vrios ngulos de projeo. Observe

quevalorescomplementaresde resultaronomesmovalordeR.

05.MOVIMENTOCIRCULARQuandoumapartculasemoveaolongodeumatrajetriacurva,adireodesuavelocidadevaria.Comovimos

naSeo3,issosignificaqueapartculadevepossuirumcomponentedaaceleraoperpendiculartrajetria,mesmoquandoavelocidadeescalarforconstante.Nestaseocalcularemosaaceleraoparaeste importantecasoespecial

demovimentocircular.

05.1Movimentocircularuniforme


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Quandoumapartculasemoveaolongodeumacircunfernciacomvelocidadeescalarconstante,dizemosqueela descreve um movimento circular uniforme. Um carro percorrendo uma curva de raio constante com velocidadeconstante,umsatlitemovendosenumarbitacirculareumpatinadordescrevendoumacircunfernciaemumapistadegelocomvelocidadeconstantesoexemplosdemovimentocircularuniforme.Noexistenenhumcomponentedaacelerao paralelo (tangente) trajetria; caso houvesse, a velocidade escalar seria varivel. O componente daaceleraoperpendicular(normal)trajetria,queproduzvariaodadireodavelocidade,relacionadodeformasimplescomavelocidadedapartculaeoraiodocrculo.Nossoprximoobjetivodeduziressarelao.Notamos inicialmentequeesseproblemadiferentedomovimentodeumprojtilconsideradonaSeo4,noquala

acelerao era constante em mdulo (g), direo (vertical) e sentido (de cima para baixo). No movimento circularuniforme,aaceleraoperpendicularvelocidadeemcada instante;medidaqueadireodavelocidadevaria,adireo da acelerao tambm varia. Como veremos, o vetor acelerao em cada ponto da trajetria circular orientadoparaointeriordocrculo.

A Figura 15a mostra a trajetria de uma partcula que se move com velocidade constante ao longo de umacircunfernciaderaioRcomcentroemO.ApartculasemovedeP1aP2emumintervalodetempo t.Avariaodovetorvelocidade v

;duranteesseintervalodetempoindicadanaFigura15b.

Osngulosdesignadospor nasFiguras15ae15bso iguaisporque 1v

perpendicular linhaOP1e 2v

perpendicularlinhaOP2.Portanto,ostringulosOP1P2(Figura15a)eOP1P2(Figura15b)sosemelhantes.

FIGURA15Clculodavariaodavelocidade v

de uma partcula que se move com velocidadeconstanteemumcrculo.

Asrazesentreladoscorrespondentessoiguais,logo

1

1

v vsou v s

v R R

Omduloamdaaceleraomdiaduranteointervalodetempot,portanto.

1m

v v sa

t R t

Omduloadaaceleraoinstantnea a

nopontoP1olimitedestaexpressoquandoopontoP2tendeasesuperporaopontoP1.

1 1m

t 0 t 0

v vs sa lim lim

R t R t


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Porm,o limite s/tavelocidadeescalarv1nopontoP1.MasP1podeserqualquerpontodatrajetria,demodoquepodemosretirarondiceinferioredesignarporvavelocidadeescalaremqualquerponto.Logo

2

rad

va

R [27]

Introduzimosumndiceinferior"rad"paralembrarqueadireodaaceleraoinstantneaemcadapontodatrajetriasempreorientadaradialmenteparadentrodocrculo.IssoestdeacordocomnossadiscussodaSeo3:ovetor acelerao aponta para o lado cncavo da trajetria circular, ou seja, para dentro do crculo (nunca para fora).Como a velocidade escalar constante, a acelerao sempre perpendicular ao vetor velocidade instantnea. Isso

indicadonaFigura15c;compareacomaFigura9a.Conclumos: No movimento circular uniforme, o mdulo da acelerao instantnea igual ao quadrado da

velocidadeescalarvdivididopeloraioRdocrculo.Suadireoperpendiculara v

eapontaparadentrodocrculoaolongodoraio.Comoaaceleraoorientadaparadentrodocrculo,elatambmchamadadeaceleraocentrpeta.Apalavracentrpetaderivadogregoesignifica"quesedirigeparaocentro".AFigura16mostraovetorvelocidadeeovetor acelerao em diversos pontos da trajetria de uma partcula que se move com velocidade constante em umcrculo.CompareesseresultadocomomovimentodeumprojtilindicadonaFigura12,noqualaaceleraosempreconstanteeorientadaparabaixoenoperpendiculartrajetria,excetoemumnicoponto.

Podemos tambm expressar o mdulo da acelerao em um movimento circular uniforme em termos doperodo T do movimento, o tempo que a partcula leva para fazer uma revoluo (uma volta completa em torno docrculo). Em um intervalo de tempo T, a partcula se desloca a uma distncia igual ao comprimento da circunferncia

2R,demodoquesuavelocidadeescalar2 R

vT

[28]

FIGURA 16 Para uma partcula que descreve ummovimento circular uniforme, a velocidade tangente circunferncia em cada ponto e aaceleraodirigidaradialmenteparadentrodocrculo.

05.2MovimentocircularnouniformeConsideramosnestaseoqueavelocidadeescalardapartculapermaneciaconstanteduranteomovimento.

Quandoestavelocidadevaria,apartculadescreveummovimentocircularnouniforme.Umexemploomovimentodocarrodeumamontanharussaquediminuidevelocidadequandosobeeaumentadevelocidadequandodesceemtorno de uma volta vertical. Em um movimento circular no uniforme, a Equao (27) ainda fornece a componenteradial da acelerao, arad = v

2/R, que sempre perpendicular velocidade instantnea e aponta para o interior docrculo.Porm,comoavelocidadeescalarvdapartculapossuidiversosvaloresemdiferentespontosdatrajetria,ovalordearadnoconstante.Aaceleraoradial(centrpeta)assumeovalormximonopontodacircunfernciaparaoqualavelocidadeescalarpossuiseuvalormximo.

Emummovimentocircularnouniformeexistetambmumcomponentedaaceleraoparalelovelocidadeinstantnea.Tratasedocomponenteparalelo a mencionadonaSeo3;essecomponenteseragoradesignadopor

atan para enfatizar que ele tangente circunferncia. Pela discusso no final da Seo 3, vemos que o componentetangencialdaaceleraoatandadopelataxadevariaodavelocidadeescalar.Logo

2

rad tan

d vva e a

R dt

[29]

Ovetoraceleraodeumapartculaquesedeslocaemumcrculocomvelocidadeescalarvariveldadopelasoma vetorial do componente tangencial da acelerao com o componente paralelo da acelerao. O componentetangencial da acelerao possui direo paralela direo do vetor velocidade, com o mesmo sentido deste vetor

quandoavelocidadeescalaraumenta,esentidocontrrioquandoavelocidadeescalardiminui(Figura17).Nomovimentocircularuniformenoexistecomponentetangencialdaacelerao,masocomponenteradialdaaceleraodadopelomdulodedv/dt.Comentamosanteriormentequeld v

/dtlemgeraldiferentededl v

l/dt.No

movimentocircularuniforme,dl v

l/dt=0e ld v

/dtl=v2/R.


12/27

12

FIGURA 17 Partcula movendose em umcrculo vertical, como um carro de umamontanharussa, com velocidade varivel. Ocomponente radial da acelerao arad possuivalor mximo quando a velocidade escalar mxima(naparteinferior)emnimaquandoavelocidade escalar mnima (na partesuperior). O componente tangencial da

acelerao atan possui direo paralela direo do vetor velocidade, com o mesmosentido deste vetor quando a velocidadeescalar aumenta (na descida) e sentidocontrrioquandoavelocidadeescalardiminui(nasubida).

06.VELOCIDADERELATIVACertamentevocjdeveterobservadoqueumcarroquesedeslocaparaafrenteparecesedeslocarparatrs

quandovocoultrapassa.Emgeral,quandodoisobservadoresmedemavelocidadedeumobjetoquesemove,elesobtm resultados diferentes se um observador se move em relao ao outro. A velocidade medida por um dosobservadores denominase velocidade relativa ao observador considerado, ou simplesmente velocidade relativa.Inicialmente vamos estudar a velocidade relativa ao longo de uma linha reta e depois generalizar para a velocidaderelativa em um plano. Note que para movimento retilneo (uma dimenso) podemos usar o termo velocidade paradesignarocomponentedavelocidadeaolongodareta,podendoserpositiva,negativaounula.

Os pilotos de uma exibio area enfrentam um problema complicado demovimentorelativo.Elesdevemconsideraravelocidaderelativadoarsobreasasas(paraqueaforadesustentaoatinjavaloresapropriados),avelocidaderelativaentreosavies(paraevitarcolises)eavelocidaderelativaemrelaoaopblico(paraqueelespossamservistos).

06.1VELOCIDADERELATIVAEMUMADIMENSO

Umamulhercaminhacomvelocidadede1,0m/sno interiordeumtremquesemovecomvelocidadede3,0m/s(Figura18a),qualavelocidadedamulher?Tratasedeumaquestobastantesimples,masquenopossuiumaresposta nica. Em relao a um passageiro sentado no trem, ela se move a 1,0 m/s. Uma pessoa parada em umabicicletaaoladodotremvamulhersedeslocarcomvelocidade1,0m/s+3,0m/s=4,0m/s.Umobservadoremoutrotrem movendose em sentido oposto daria ainda outra resposta. necessrio especificar a velocidade relativa a umobservador particular. A velocidadeda mulheremrelao ao trem 1,0m/s, sua velocidade relativa ao ciclista 4,0m/seassimpordiante.Cadaobservadorequipadocomumarguaeumcronmetroemprincpioconstituiumsistemadereferncia.Logo,umsistemaderefernciaumsistemadecoordenadasacrescidodeumaescaladetempo.

VamosdesignarporAosistemaderefernciadociclistaeporBosistemaderefernciadotrem(Figura18b).Paraummovimentoretilneo,aposiodeumpontoPemrelaoaosistemaderefernciaAdadapeladistnciaxP/A(posiodePemrelaoaA),eaposioemrelaoaosistemaderefernciaBdadapeladistnciaxP/B.Adistncia

entreaorigemdeAeaorigemdeB(posiodeBemrelaoaA)xB/A.PodemosverpelafiguraquexP/A=xP/B+xB/A [30]

Isto nos informa que a distncia total entre a origem de A e o ponto P a distncia entre a origem de B e opontoPmaisadistnciaentreaorigemdeAeaorigemdeB.


13/27

13

A velocidade relativa de P em relao a A, designada por vP/A , a derivada de xP/A em relao ao tempo. Asdemaisvelocidadessoobtidasdemodoanlogo.Logo,derivandoaEquao(30),obtemosaseguinterelaoentreasvriasvelocidades:

P/A P/B B/Adx dx dx

dt dt dt

ou

P/A P/B B/Av v v [31]

FIGURA 18 (a) A mulhercaminhando no interior do trem.(b) No instante indicado a posiodamulher(partculaP)relativaum

sistemaderefernciaAdiferentede sua posio relativa a umsistemaderefernciaB.

Voltando ao caso da mulher caminhando no trem, A o sistema de referncia do ciclista, B o sistema derefernciadotrem,eopontoPrepresentaamulher.Usandoanotaoanterior,temosvP/B=1,0m/s, vB/A=3,0m/s.PelaEquao(31),avelocidadedamulhervP/ArelativaaociclistadadaporvP/A=1,0m/s+3,0m/s=4,0m/s,comojsabamos.

Nesteexemplo,asduasvelocidadessoorientadasdaesquerdaparaadireita,eimplicitamenteadotamosestesentido como positivo. Caso a mulher caminhasse para a esquerda em relao ao trem, ento vP/B = 1,0 m/s, e suavelocidade relativa ao ciclista seria 2,0 m/s. A soma indicada na Equao (31) deve ser encarada sempre como umasomaalgbrica,equalquertermopodesernegativo.

Quando a mulher olha para fora dajanela, o ciclista parado no solo parece se mover para trs; podemosdesignaravelocidaderelativadociclistaemrelaomulherporvA/P.EclaroqueelaigualecontrriaavP/A.Emgeral,

quandoAeBsodoispontosousistemasdereferncia,vA/B=vB/A [32]

06.2VELOCIDADERELATIVAEMDUASOUTRSDIMENSESPodemos estender o conceito de velocidade relativa para incluir movimento em um plano ou no espao

medianteousodaregradasomavetorialparaasvelocidades.SuponhaqueamulhernaFigura18aemvezdesemoverao longo do eixo do trem esteja se movendo lateralmente dentro do trem com velocidade de 1,0 m/s (Figura 19a).Podemos descrever a posio da mulher P em relao a dois sistemas de referncia, o sistema A para o observadorparado no solo e B para o trem em movimento. Porm, em vez da coordenada x usamos o vetor posio r

porque

agoraoproblemaenvolveduasdimenses.Ento,conformemostraaFigura19b,

P/A P/B B/Ar r r

[33]

Analogamente ao mtodo usado antes, derivamos essa equao para obter uma relao entre as diversas

velocidades relativas; a velocidade de P relativa a A dada por P/Av

= d P/ Ar

/dt e assim por diante para as outras

velocidades.Obtemos


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14

P/A P/B B/Av v v

[34]

Quandotodasastrsvelocidadesrelativassoparalelasmesma linhareta,entoaEquao(34)sereduzEquao(31)paraoscomponentesdavelocidadeaolongodessalinha.

Se a velocidade relativa do trem em relao ao solo possui mdulo vB/A = 3,0 m/s e a velocidade relativa damulheremrelaoaotrempossuimdulovP/B=1,0m/s,entoseuvetorvelocidaderelativavP/AemrelaoaosoloobtidoconformeindicadonaFigura19c.OteoremadePitgorasfornece

2 2P/ Av 3 1 3,2m / s

Tambmpodemosobservarnestediagramaqueadireodovetorvelocidaderelativadamulheremrelaoao

solofazumngulocomovetorvelocidaderelativadotrem B/Av ,onde

P/B

B/ A

v 1tag

v 3

18

Comonocasodeummovimentoretilneo,temosaseguinteregrageralvlidaemqualquercasoemqueAeBsodoispontosousistemasdereferncia,

A/B B/Av = v

[35]

Avelocidaderelativadamulheremrelaoaotremigualecontrriavelocidaderelativadotrememrelaomulhereassimpordiante.

FIGURA 19 (a) Amulher caminhalateralmente dentrodotrem.(b)Ovetorposio depende dosistema dereferncia, (c)Diagrama vetorialparaavelocidadeda

mulher relativa aosolo.

Ao deduzirmos as equaes para as velocidades relativas, imaginamos que todos os observadores usavamescalas de tempo iguais. Esse o ponto em que a teoria da relatividade de Einstein difere da fsica de Newton e deGalileu. Quando as velocidades so prximas da velocidade da luz, designada por c, a equao de composio dasvelocidadesrelativasdevesermodificada.CasoamulherdaFigura19pudesseandarnadireodoeixodotremcomvelocidade0,30ceotremsemovessecomvelocidade0,90c,entosuavelocidadeemrelaoaosolonoseria1,20c,mas,sim,0,94c;nadapodesedeslocarcomvelocidademaiordoqueavelocidadedaluz!

EXERCCIOSRESOLVIDOS01.Opedalqueaumentaavelocidadeemumautomvelchamadocomumenteacelerador.Existemoutroscontrolesquetambmpodemserconsideradoscomoaceleradores?SOLUO:Opedalqueaumentaavelocidadeemumautomvelchamadoaceleradoremvirtudedofatodequeousocomumdapalavra acelerao referese a um aumento na velocidade escalar. Contudo, a definio cientfica que a aceleraoocorre sempre que a velocidade se modifica de qualquer maneira. Assim, o pedal de freio tambm pode serconsiderado um acelerador, pois ele faz que o carro tornese mais lento. O volante do automvel tambm umacelerador,poiselemodificaadireodovetorvelocidade.

02.Aposiodeumapartculaquesemoveemumplanoxydadapor 3 4 r 2t 5t i 6 7t j

,comremmetros

etemsegundos.Calcule

a) r

,


15/27

15

b) v

e

c) a

quandot=2s.SOLUO:

(a)Emt=2,00saposio( r

)dapartculavale:3 4 r 2(2) 5(2) i 6 7(2) j

r 6i 106j

m

(b)Avelocidadeinstantnea v

derivadaprimeirade r

emrelaoaotempo:

3 4dr d

v 2(t) 5(t) i 6 7(t) jdt dt

2 3 v 6t 5 i 28t j

Substituindoseovalordet=2s:2 3 v 6(2) 5 i 28(2) j

v 19i 224j

(c)Aaceleraoinstantnea a

derivadaprimeirade v

emrelaoaotempo:

2 3

2

dv d a 6(t) 5 i 28(t) jdt dt

a 12t i 84t j

Substituindoseovalordet=2s:2 a 12(2)i 84(2) j

a 24 i 336j

03.Umabolaroladoaltodeumaescadacomvelocidadehorizontaldemdulov0=4m/s.Cadadegrautem50cmdelargurae50cmdealtura.Desprezandoainflunciadoar,determinequedegrauabolatocarprimeiro.

SOLUO:

Equaodaparbola:x=4tt=x/4y=5t2y=5x2/16Interseodaparbolacomaretay=x:x=5x2/16x=0ex=3,2mPortanto,abolatocarprimeiroostimodegrau.

04.Vocarremessaumabolaemdireoaumaparedecomumavelocidadede25m/sfazendoumngulode37acima

dahorizontal(Figuraabaixo).Aparedeesta20mdopontodelanamentodabola.a)Aquedistnciaacimadopontodelanamentoabolabatenaparede?b)Quaissoascomponenteshorizontaleverticaldasuavelocidadequandoelabatenaparede?c)Quandoelabate,elajpassoudopontomaisaltodasuatrajetria?(useg=10m/s2,cos37=0,8)


16/27

16

SOLUO:

(a) Chamaremos de tf o instante (final) quando a bola bate na parede. Precisaremos saber este instante paracalcularmos a posio final y(tf). O tempo de vo da bola igual ao tempo que a bola gasta para percorrer 20 m nahorizontalcomumavelocidadev0x=v0cos()=20m/s:

o x

0

x

x x v t

x x 20t 1s

v 20

Ento,aposioyfdabolaquedadaporyf=y0+v0yt+1/2gt

2

comv0y=v0sen()=15m/s

ser:yf=0+15.1+1/2.10.1

2

yf=20m

(b)Ascomponentesde fv

so:

vfx=v0x=20m/svfy=v0y gtf=(15101)m/s=5m/s(c)Comoacomponenteydavelocidadefinalpositiva,entoconclumosqueabolaaindaestsubindo.Logoabolaaindanopassoupelomximo.

05.Quando o projtil da Figura seguinte, lanado da posio A no solo, passa pela posio B a 15 m de altura, sua

velocidade B v 8m / s i 10m / s j

a)Determineovetorvelocidade Av noinstantedolanamento.

b)Quantotempooprojtilpermanecenoar(tempodevo)atatingirosolonomesmonvel?c)Qualaalturamximaatingidapeloprojtil?d) Determine o vetor velocidade mdia CDv

desde o instante que o projtil passa pelo ponto de altura mxima at o

instantequeeleatingeosolo.

SOLUO:(a)Oprojtilesta15mdosoloemdoisinstantesdiferentes:nasubidaenadescida.Entretanto,comoacomponentey da velocidade Bv

positiva, conclumos que o projtil ainda est subindo. Desta forma, podemos calcular a

componentevAy.2 2

By Ay B A

2

Ay By B A

Ay

Ay

v v 2g(y y )

v v 2g(y y )

v 100 2.10.15

v 20m /s

Destaforma, A v 8m / s i 20m / s j


17/27

17

(b)Comooprojtilatingeosolonomesmonvelemquefoi lanado,acomponenteydavelocidadefinalserigualcomponenteyinicial,comsentidocontrrio(vDy=vAy).Ento,vDy=vAy gtvoocomvDy=vAyPortanto,

Ay

voo

2vt 4s

g

(c)AalturamximaalcanadapeloprojtilyC.Nesteinstanteacomponenteydavelocidadenula.Assimtemos:

2 2

Cy Ay C A

2

Ay

C

v v 2g(y y )

vy 20m

2g

(d)Avelocidademdia CDv

dadapor:

D CCD

r rv

t

Com

D Ax voo r R i v .t i (32m)i

ComR=A(Alcance)

C

R r i Hj (16m)i (20m) j

2

Finalmente,

CD

(16m)i (20m)j v (8m / s)i (10m / s)j2s

06.Umprojtildisparadocomvelocidadede600m/s,numngulode60comahorizontal.Calculara)oalcancehorizontal,b)aalturamxima,c)avelocidadeeaaltura30sapsodisparo.SOLUO:Asequaesparaestemovimentoso

x

x o

o

a 0

v v cos

x (v cos )t

y

y o

2

o

a gv v sen gt

1y (v sen )t gt

2

(a)Alcance horizontal.Sejat= tAo instanteem queoprojtilatinge opontox=A(Alcancedo projtil),queobtidafazendosey(tA)=0.Assim,daexpressoparay(t),encontramos

2

o

o

0

1y (v sen )t gt 0

2

1v sen gt t 0

2

ento,t 0

e

2v sent

g

Estas duas razes correspondem s duas situaes em que o projtil se encontra em y = 0, uma no instante delanamento,t=t0=0,eaoutraaoatingirosolonopontox=A,t=tA=2v0sen/g.Portanto,substituindoosvalores,encontrase

2.600.sen60t 106s

9, 8

Paracalcularoalcancebastasubstituirestetempoemx(t),x(tA)=A,ouseja,A=(v0cos)tA=600.cos60.106=31.800m=31,8km(b)DemonstramosemclassequetA=2tm.Logootempoparaatingiraalturamximavaletm=53s.Assim,y(tm)=ym,ouseja


18/27

18

2 2

m o m m

1 3 1y (v sen )t gt 600. .53 .9, 8.53 13775, 5m

2 2 2

(c)Paracalcularavelocidade,vamosprimeirocalcularascomponentes

x o

y o

v (30s) v cos60 600.0,5 300m / s

3v (30s) v sen60 gt 600. 9, 8.30 225, 6m / s

2

Como x y v v i v j

ento

2 2 2 2x yv v v 300 225,6 375,4m / s y

x

v 225,6arctg arctg arctg(0,75) 37

v 300

Aalturay(30s)vale

21y(30s) 600.sen60 .30 9,8.30 11,2km2

07.Umaviovoahorizontalmentenaaltitudede1kmcomavelocidadede200km/h.Eledeixacairumabombasobreumnavioquesemovenomesmosentidoecomavelocidadede20km/h.a)Calcule a distncia horizontal entre oavio e o navio, no instante do lanamento,para queestesejaatingido pela

bomba.b)Resolveromesmoproblemaparaocasodeoavioeonavioteremmovimentosdesentidoscontrrios.SOLUO:Asequaoqueusaremosso

x

x o

o

a 0

v v cos

x (v cos )t

y

y o

2

0 o

a g

v v sen gt

1y y (v sen )t gt

2

(a)Clculoded.Abombadeixadacairdeumavioquevoaa56m/s.Portanto,abombalanadahorizontalmente(=0)comvelocidadeinicialv0x=56m/sv0y=0vn=56m/sParaatingironavio,abombadeveserlanadasobreopontoO,queestaumadistnciahorizontalddonavio(Figura(a)).ObservenestafiguraqueA=d+xn,ondeAoalcancedoprojtilexnadistnciapercorridapelonaviodesdeoinstante do lanamento da bomba e d a distncia procurada. Mas, o tempo que o projtil leva para percorrer adistnciax=A(alcance)obtidofazendoy(t)=0parat=tA,ouseja,

2

0 o

2

1y(t) y (v sen )t gt

2

0 1000 4,9t

t 14,3s

e,portanto,tA=14,3s.Logo,

A

0 A

A x(t )

A (v cos0 )t 56.14,3 800m


19/27

19

Poroutrolado,nesteintervalodetempotAonaviopercorreuumadistnciaxn(MRU)dadaporxn=vntA=5,6.14,3=80mDestamaneira,usandoaidentidadeA=d xnencontramosd=A xn=800 80=720m.(b)Nestecasoonavioestemmovimentoemsentidocontrrioaodoavio(Figura(b)).Nestafiguraobservamosqued=A+xn.Comoosvaloressoosmesmos,encontramosd=800+80=880m.

08. Um macaco esperto escapa dojardim zoolgico. O guarda do zoolgico o encontra em uma rvore. Depois dedesistirdefazeromacacodescer,oguardaapontaaespingardacomumdardotranquilizantenadireodomacacoeatira (Figura). O macaco, desejando escapar do dardo, larga o galho e cai no mesmo instante em que o dardo sai daespingarda.Mostrequeodardosempreatingeomacaco,qualquerquesejaavelocidadedodardoquandoelesaidabocadaarma(desdequesejasuficienteparaodardochegaraomacacoantesdeeleatingirosolo).SOLUO:

Escolhemososistemadecoordenadasnasadadabocadaarmacomodardotranquilizante.Paramostrarqueodardoatingeomacaco,devemosmostrarqueexisteuminstantenoqualascoordenadasxeydodardoedomacacosoas

mesmas.VamosprimeiroverificarquandoascoordenadasdomacacoxMeascoordenadasdodardoxDsoasmesmas.Omacacocaiverticalmente,demodoquesemprexM=d.Paraodardo, xD=(v0.cos)t.Quandoessascoordenadasxsoiguais,d=(v0cos)tou

0

dt

v cos

VamosagoraverificarseparaesseinstanteascoordenadasdomacacovMeascoordenadasdodardoyDsoasmesmas;se elas fossem iguais, o dardo atingiria o macaco. O macaco est em queda livre em uma dimenso; sua posio emqualquer instantedada pela Equao (16),fazendose asmudanas de smbolosnecessrias.AFiguramostra queaalturainicialdomacacod.tan (oladoopostoaongulo deumtringuloretngulocujoladoadjacented),logo

2

M

1y d.tan gt

2

Paraodardo,usamosaEquao(18):

2

0 0

1y (v .sen )t gt

2

Vemos,portanto,qued.tan =(v0.sen)tno instanteemqueasduascoordenadasxso iguais;casoyD=yM,odardoatinge o macaco. Para mostrar que isso realmente ocorre, substitumos t por d/(v0.cos), o instante em que xD =xM;ento

0 0

0

d(v .sen )t v .sen d.tan

v .cos

Provamosqueno instanteemqueascoordenadasxso iguais,ascoordenadasytambm so iguais; logo,umdardoapontadoparaaposio inicialdomacacosempreoatingir,qualquerquesejaovalordev0.Esseresultadotambmnodependedovalordeg,aaceleraodagravidade.Senohouvessegravidade(g=0),omacacoficariaemrepousoe o dardo seguiriauma trajetria retilnea para atingilo. Com agravidade,ambos "caem" a mesmadistncia (1/2)gt2abaixodaposiocorrespondenteag=0eodardosempreatingeomacaco.


20/27

20

09.UmtremviajaparaoSula28m/s(relativamenteaocho),sobumachuvaqueestsendosopradaparaosulpelovento.Atrajetriadecadagotadechuvafazumngulode64comavertical,medidaporumobservadorparadoemrelao Terra. Um observador no trem, entretanto, observa traos perfeitamente verticais das gotas najanela dotrem.DetermineavelocidadedasgotasemrelaoTerra.SOLUO:Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vT a velocidade do trem em relao Terra, vG avelocidadedasgotasdechuvaemrelaoTerraevGTavelocidadedasgotasdechuvaemrelaoaotrem:

OsvetoresvTevGTsodefinidoscomo:

T Tv v i

[1]

GT Gv v cos j

[2]

Deacordocomoesquema,temos:

G T GTv v v

[3]

Substituindose(1)e(2)em(3):

G T G v v i v cos j

[4]OesquemamostraquevGdefinidopor:

G G G v v sen i v cos j

[5]

Comparandose(4)e(5),concluiseque:

G T

TG

v sen v

vv

sen

[6]

Substituindose(6)em(4):

TG T

v v v i jtan

OmdulodevGdadopor:2

2 TG T

vv v 31,1525m / s

tan

10.Umacrianagiraumapedraemumcrculohorizontala1,9macimadocho,pormeiodeumacordade1,4mdecomprimento. A corda arrebenta e a pedra sai horizontalmente, caindo no cho a 11 m de distncia. Qual era aaceleraocentrpetaenquantoestavaemmovimentocircular?SOLUO:Considereoseguinteesquema:

Aaceleraocentrpetaprocuradadadapor:2

c

va

r [1]

Anlisedomovimentonoeixohorizontal(x):x=x0+vx.td=0+v.tt=d/v [2]Anlisedomovimentonoeixovertical(y):


21/27

21

y=y0+vy0+at2/2

0=h+0gt2/2h=gt2/2 [3]Substituindose(2)em(3):h=gd2/2v2v2=gd2/2h [4]Substituindose(4)em(1):

2

c

22

c

gda

2rh9,81.(11)

a 223,122m / s2.(1,4).(1,9)

EXERCCIOSPARARESOLVER01.Suponha que voc corra com velocidade escalar constante e deseja lanar uma bola de forma que possa peglaquandoelavoltar.Emqualdireovocdevearremessarabola?

02.Enquanto umprojtilestemmovimentoemsuatrajetriaparablica, halgum ponto ao longodesuatrajetria

emqueosvetoresvelocidadeeaceleraosoa)perpendicularesentresi?b)paralelosentresi?

03.Umcanhoquelanabalascomumavelocidadeescalarde1000m/sutilizadoparainiciarumaavalancheemumamontanhainclinada.Oalvoesta2000mdocanhohorizontalmenteea800macimadocanho.Aquenguloacimadahorizontalocanhodeveserdisparado?

04.Umaestratgiaemumaguerracombolasdenevejogarumaboladeneveaumngulograndeacimadonveldosolo. Enquanto seu oponente est olhando para a primeira bola, uma segunda arremessada a um ngulo baixo,programadaparachegarantesouaomesmotempoqueaprimeira.Suponhaqueasduasbolasdenevesejamlanadas

comumavelocidadeescalarde25,0m/s.Aprimeiralanadaaumngulode70,0comrelaoahorizontala)Comquengulodeveasegundaboladeneveserlanadaparachegarnomesmopontoqueaprimeira?b)Quantossegundosmaistardedeveasegundabolaserlanadaapsaprimeiraparaquecheguenomesmoinstantequeaprimeira?

05.Avelocidadedeumprojtilnopontomaisaltodesuatrajetriavale 6 / 7 dasuavelocidadequandoelepassapela

metadedaalturamximadatrajetria.Calculeonguloformadoentreavelocidadeinicialdoprojtileahorizontal.

06.Um dia aps sua graduao, voc decidiu lanar um fsforo aceso no topo de uma lixeira cilndrica (dimetro D ealtura2D)cheiadepapisvelhoscomexercciosparacasa.Paratornaresseeventomaisesportivo,aparteinferiordalixeiraestnomesmonveldopontoemqueofsforodeixaasuamo,ealixeiraestaumadistnciahorizontalde6D

dopontoemqueofsforodeixaasuamo.Voclanaofsforocomngulode45,0acimadahorizontal.Acheovalormximoeovalormnimodavelocidade inicialdo lanamentoparaqueofsforoentrepelapartesuperiorda lixeira.DesprezearesistnciadoaredsuarespostaemtermosdegedeD.

07.Umahlicedeventiladorcompleta1.200revoluesacadaminuto.Considereumpontonapontadalmina,quetemraiode0,15m.a)Qualadistnciapercorridapelopontoemumarevoluo?b)Qualavelocidadedoponto?c)Qualsuaacelerao?

08.Opilotodeumavionotaqueabssolaindicaqueoavioestindoparaoeste.Avelocidadeescalardoavioem

relao aoar de150km/h. Se h um ventode30,0 km/hemdireoao norte,encontrea velocidadedoavioemrelaoaosolo.


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09.Umtremviajaemdireoaosula30m/s(emrelaoaosolo),sobumachuvaqueestcaindo,tambmemdireoao sul, sob a ao do vento. As trajetrias das gotas de chuva formam um ngulo de 22 com a vertical, conformeregistradoporumobservadorparadonosolo.Entretanto,umobservadornotremvasgotascaremexatamentenavertical.Determineavelocidadedachuvaemrelaoaosolo.

10.Umapessoasobeem90sumaescadarolantedesligada,com15mdecomprimento.Emoperao,aescadarolantetransporta uma pessoa parada sobre ela em 60 s, no mesmo trajeto. Quanto tempo levaria essa pessoa para subir,andandosobreaescadarolanteemfuncionamento?Suarespostadependedocomprimentodaescada?

11.Umbarcomotorizadodesenvolve,emrelaosguasdeumrio,velocidadeconstantedemdulov.Essebarcoestsubindo um trecho retilneo do rio quando o piloto informado de que um container flutuante, encerrando umapreciosa carga,caiu na gua h exatamente uma hora. Nesse intervalo de tempo, a embarcao percorreu 16 km emrelaosmargens.Prontamente,opilotoinverteosentidodomovimentodobarcoepassaadescerorioembuscadomaterialperdido.Sabendoqueasguascorremcomvelocidadeconstantedemduo4,0km/h,queocontaineradquirevelocidadeigualdasguasimediatamenteapssuaquedaequeeleresgatadopelatripulaodobarco,determine:a)adistnciapercorridapelocontainerdesdeoinstantedesuaquedanaguaatoinstantedoresgate;b)ovalordev.

12.Doisprojteissolanadoscomumavelocidadeinicialdemesmomdulo,umaumngulo emrelaoaonveldosoloeooutroaumngulo90 .Osdoisprojteisvoalcanarosolomesmadistnciadopontodepartida.Teroosdoisprojteispermanecidonoarpelomesmointervalodetempo?

13. dada uma tacada em uma bola de golfe na beirada de um barranco. Suas coordenadas x e y como funes dotemposodadaspelasseguintesexpresses:x=(18,0m/s)t e y=(4,00m/s)t(4,90m/s2)t2

a) Obtenha uma expresso vetorial para a posio da bola como funo do tempo, usando os vetores unitrios iej .

Fazendoasderivadas,obtenhaexpressesparab)ovetorvelocidade v

comofunodotempoe

c)ovetoraceleraocomofunodotempo.Utilizeemseguidaanotaodevetorunitrioparaobterexpressesparad)aposio,

e)avelocidade,f)aaceleraodaboladegolfe,todosemt=3,00s.

14.Avelocidadeescalardeumprojtilquandoelealcanasuaalturamximatemametadedovalordesuavelocidadeescalarquandoeleestnametadedesuaalturamxima.Qualongulodeprojeoinicialdoprojtil?

15.a)Provequeumprojtillanadoemumngulo 0,possuiomesmoalcancehorizontaldeoutrolanadocomamesmavelocidadeemumngulo(90 0)b) Uma r pula com uma velocidade de 2,2 m/s e chega ao solo a 25 cm de distncia de seu ponto inicial. Para quengulosacimadahorizontalelapoderiaterpulado?

16.Umprojtillanadoemdireoaumplanoinclinado(ngulodeinclinao)comumavelocidadeescalarinicialv0aumngulo,comrelaoaoplanoinclinado(>),comomostradonafigura.a)Mostrequeoprojtilviajaaumadistnciadaolongodoplanoinclinado,emque

2

0

2

2v cos sen( )d

gcos

b)Paraqualvalordemximaadistnciad,equalessevalormximo?


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17. Um pneu com raio de 0,500 m gira a uma taxa constante de 200 rev/min. Encontre a velocidade escalare aaceleraodeumapedrapequenaalojadanabandaderodagemdopneu(emsuaextremidadeexterna).

18.Umriotemumavelocidadeescalarconstantede0,500m/s.Umestudantenadarioacimaaumadistnciade1.00kmedepoisnadadevoltaaopontodepartida.Seoestudantepodenadaraumavelocidadeescalarde1,20m/semguaparada,quantotempovailevarparairevoltar?Compareesseresultadocomotempoquelevariaparairevoltarcomaguaparada.

19.Aneveestcaindoverticalmentevelocidadeescalarconstantede7,8m/s.a)Aquengulocomaverticaleb)comqualvelocidadeosflocosdeneveparecemestarcaindoparaomotoristadeumcarroqueviajanumaestradaretavelocidadeescalarde55km/h?

20.Vocdesejajogarumabolaparaumamigosegurlanomeiodoseuquarto.Adistnciaentreochoeotetoigual

aDevoclanaabolacomvelocidadeVQ= 6gD.Qualadistnciahorizontalmxima(emtermosdeD)queabola

podesedeslocarsemqueelasejarebatidapeloteto?(Suponhaqueabolatenhasidolanadadocho.)

21.Umrojodefogodeartifcioexplodeemumaalturah,dotopodesuatrajetriavertical.Elelanafragmemosqueimandoemtodasasdirees,mastodoscomamesmavelocidadeescalarv.Osfragmentoscaemaosolosemresistn

ciadoar.Encontreomenornguloqueavelocidadefinaldeumfragmentotocandoosolofazcomahorizontal.

22.ConsidereolanamentodeumprojtiI.a) Determine uma relao para o clculo do ngulo de arremesso, supondo que o alcance horizontal D seja igual alturamximahatingidapeloprojtil.b)Calculeovalordestengulo.

23.Um garoto, situadoauma distnciaD deuma rvore, desejaderrubar uma frutaquese encontra a uma altura H.Paraisto,elelanaumapedracomumaatiradeira.Seeleapontaraatiradeiranadireodafruta,apedranoatingiroalvo.Calculeonguloqueaatiradeiradevefazercomahorizontalparaqueapedraatinjaoalvo.

24.Umjogador debasquete lanauma bola de uma altura h formando um ngulo com a horizontal. A cesta est aumaalturaH.Adistnciahorizontalentreojogadoreopontoverticalmenteabaixodacestaigualad.Mostrecomosecalculaavelocidadev0dabolaparaqueelaentrenacesta.

25.Umacriana desejajogar umabola para o outro lado de um murode altura h = 6 m. A foramuscularda crianapermiteumavelocidademximav0=12m/s.a)Determineanaliticamenteadistnciamximadentreacrianaeomuroparaquesejaaindapossveloarremessodabolaparaooutrolado.b)Calculeongulodearremessomnimo,c)Calculeovalordestadistncia.

26. Avelocidadedeumapartculaquesemovenoplanoxydadapor 2 v 6t 4t i 8j

,sendo v

emmetrospor

segundoet(>0)emsegundos.a)Qualaaceleraoquandot=3s?b)Quando(eventualmente)suaaceleraosernula?c)Quando(eventualmente)suavelocidadesernula?d)Quando(eventualmente)avelocidadeescalarserde10m/s?

27.Vocatiraumaboladeumarochaparabaixocomvelocidadeinicialde15m/s,inclinadade20abaixodahorizontal.Encontrea)odeslocamentohorizontaleb)odeslocamentoverticaldabola2,3smaistarde.

28.Umaboladeneveroladotelhadodeumceleiroquepossuiumainclinaoparabaixoiguala40.


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Aextremidadedotelhadoestsituadaa14,0macimadosoloeaboladenevepossuivelocidadede7,00m/squandoelaabandonaotelhado.Desprezearesistnciadoar,a)Aquedistnciadoceleiroaboladeneveatingirosolocasonocolidacomnadadurantesuaqueda?b)Umhomemde1,9mdealturaestparadoaumadistnciade4,0mdaextremidadedoceleiro.Eleseratingidopelaboladeneve?

29.Umprojtildescreveumaparbolacujaequaoparamtricaemfunodoparmetrotempodadapor:

x=30ty=50t4t2ondexeysodadosemmetrosetemsegundos,easconstantespossuemdimensesapropriadascomunidadesdoMKS.Determine:a)omdulodavelocidadeparat=1s;b)omdulodaaceleraoparat=2s.

30.Aequaodatrajetriadeumapartculaedadapor;x=3coswty=4senwtondewconstanteetodasasunidadessodosistemaMKS.

a) DetermineaequaodatrajetrianoplanoOxy;b)determineomdulodaacelerao.

31.Emumtestedeum"aparelhoparag",umvoluntriogiraemumcrculohorizontalderaio iguala7,0m.Qualoperododarotaoparaqueaaceleraocentrpetapossuamdulodea)3,0g?b)10g?

32.Um canho posicionado para atirar projteis com velocidade inicial v0 diretamente acima de uma elevao dengulo,comomostradonafigura.Quenguloocanhodevefazercomahorizontaldeformaateroalcancemximopossvelacimadaelevao?

33. Umapartculasemovedemodoquesuaposioemfunodotempo,emunidadesSI, 2 r t i 4t j tk.

Escrevaexpressesemfunodotempoparaa)suavelocidadeeb)suaacelerao.c)Qualaformadatrajetriadapartcula?


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34.UmapartculaAsemoveaolongodalinhay=d(30m)comvelocidadeconstante v

(v=3,0m/s)paralelaaoeixox

positivo.Umasegundapartcula B parte da origem com velocidade nulae aceleraoconstante a

(a= 0,40m/s2)no

mesmoinstanteemqueapartculaApassapeloeixoy.Paraquengulo ,entre a

eoeixopositivoy,havercolisoentreessasduaspartculas?

35.A cidade deBeloHorizonte(BH) localizase a300km aonorte da cidade deVolta Redonda.Seum aviosaidestacidaderumoaBHnumdiadeventosoprandonadirecolesteoeste,nosentidodeoesteparaleste,comvelocidadedemdulo60km/h,perguntase:emquedirecoopilotodeveaproaroeixolongitudinaldoseuavioparamanterorumosulnorteecompletarseupercursoem0,50h?Considerequeovooocorrecomvelocidadeconstante.

36.Um garoto chamado CAIO vai da base at o topo de uma escada rolante e volta do topo at a base da mesma,

gastandoumintervalodetempototalde12s.Avelocidadedosdegrausdaescadarolanteemrelaoaosolode0,50m/seavelocidadedoCAIOemrelaoaosdegrausde1,5m/s.DesprezandoointervalodetempogastoporCAIOnainversodosentidodoseumovimento,calculeocomprimentodaescadarolante.

37.Uma balsa percorre o rio Cuiab de Porto Cercado a Porto Jofre (Pantanal matogrossense), gastando 9,0 h nadescidae18hnasubida.Omotordabalsafuncionasempreemregimedepotnciamxima,talqueavelocidadedaembarcaoemrelacosguaspodeserconsideradaconstante.Admitindoqueavelocidadedasguastambmsejaconstante, responda: quanto tempo uma rolha, lanada na gua em Porto Cercado e movida sob aao exclusiva dacorrenteza,gastarparachegaratPortoJofre?

38. Em t = 0, uma partcula em movimento no plano xy com acelerao constante tem uma velocidade

v 3.00 2,00 i j m/seestnaorigem.Emt=3,00s,avelocidadedapartcula v 9,00i 7,00j m/s.Encontrea)aaceleraodapartculaeb)suascoordenadasemqualquertempot.

39.Umapartculalocalizadainicialmentenaorigemtemumaaceleraode a 3,00j

m/s2eumavelocidadeinicialde

i v 5,00i

m/s.Encontre

a)ovetorposioeavelocidadeemqualquertempoteb)ascoordenadasevelocidadeescalardapartculaemt=2,00s.

40. O coiote determinado est mais uma vez perseguindo o papalguas. O coiote usa um par de patins ajato, quefornecemumaaceleraoconstantede15,0m/s2.

Ocoiotepartedorepousoa70,0mdabeiradeumprecipcionoinstanteemqueopapalguaspassacorrendoporele

nadireodoprecipcio.a)Seopapalguasestemmovimento,comvelocidadeescalarconstante,determineavelocidadeescalarmnimaqueeleprecisaterparaalcanaroprecipcioantesdocoiote.Nabeiradadoprecipcioopapalguasescapafazendouma


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curva rapidamente, enquanto o coiote continua em linha reta. Seus patins permanecem horizontais e continuam a

funcionarenquantoeleestemvo,deformaqueaaceleraodocoioteficasendo 15,0i 9,80j m/s2.b)Seoprecipcioesta100macimadasuperfcieplanadeumvale,determineondeocoiotevaialcanarovale.c)Determineascomponentesdavelocidadedeimpactodocoiote.

41.Umprojtilatiradodasuperfciedeumterrenoplanosegundoumngulo0

acimadahorizontal.

a)Mostrequeongulodeelevao dopontomaisalto,vistodopontodelanamento,estrelacionadocom0

por

tan 12

tan0 ;vejaaFigura

b)Calcule para0

=45.

42.Afigurarepresentaaaceleraototaldeumapartculaemmovimentonosentidodosponteirosdorelgioemumcirculoderaio2,50memumcertoinstante.Nesseinstante,encontrea)aaceleraoradial,b)avelocidadeescalardapartcula,ec)suaaceleraotangencial.

43.Umabolaoscilaemumcrculoverticalnaextremidadedeumacordacom1,50mdecomprimento.Quandoabola

esta36,9almdopontomaisbaixoindoparacima,suaaceleraototalde 22,5i 20,2j m/s2.Nesseinstante,a)esboceumdiagramavetorialmostrandoascomponentesdesuaacelerao,b)determineomdulodesuaaceleraoradial,ec)determineavelocidadeescalareavelocidadedabola.

44.Umabolalanadacomumavelocidadeescalarinicialveumngulo ,comahorizontal.OalcancehorizontaldabolaR,eabolaalcanaumaalturamximadeR/6.EncontreemtermosdeRedega)otempoemqueabolaestemmovimento,b)avelocidadeescalardabolanotopodesuatrajetria,c)acomponenteverticalinicialdesuavelocidade,d)suavelocidadeescalarinicial,ee) o ngulo i. Suponha que a bola seja arremessada com a mesma velocidade escalar inicial encontrada em d), mascomumnguloapropriadoparaalcanaramaioralturapossvel.f)Encontreessaaltura.Suponhaqueabolasejaarremessadacomamesmavelocidadeescalarinicial,masaumnguloparaatingiromaioralcancepossvel,g)Encontreessealcancehorizontalmximo.

45. UmapessoaparadanoaltodeumrochedohemisfricoderaioRchutaumabola(inicialmenteemrepousonoaltodarocha)fornecendolheumavelocidadehorizontal iv

comonafigura.

a)Qualtemdeseravelocidadeescalarinicialmnimadabolaparaqueelanuncaalcanceorochedodepoisdechutada?


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b)Comessavelocidadeescalarinicial,aquedistnciadabasedorochedoabolaatingeosolo?

46.UmapartculaseencontranoaltodeumtamborcilndricoderaioR.Apartcularecebeumimpulsoeadquireumavelocidadeperpendicularaoeixodocilindroenumadireoparalela.ConsidereumsistemadecoordenadasOxy,comcentronapartesuperiordocilindroecomoeixoOyorientadoverticalmentedecimaparabaixo,a)Determineaequaodatrajetriaemfunodavelocidadeinicialv0.b) Qual deve ser o menor valor de v0, para que a partcula, ao sair da superfcie em sua parte superior, no atinjanenhumpontodocilindroemsuatrajetria?

47.UmapartculaAsedeslocaemrelaoaoutrapartculaBcomvelocidaderelativa:A,B

v 2i 3j

ApartculaBsedeslocaemrelaoaumapartculaCcomumavelocidaderelativa:

B, C v i 2j

DetermineavelocidadedapartculaAemrelaopartculaC.

48.Umaequipededemoliousadinamiteparaexplodirumedifciovelho.Fragmentosdaexplosovoamemtodasasdirees, e mais tarde so encontrados num raio de 50 m da exploso. Faa uma estimativa da velocidade mximaatingidapelosfragmentosdaexploso.Descrevatodasashiptesesquevocusar.

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