MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES

CAPÍTULO 4O que um jogador de beisebol faz para saber onde deve estar

para apanhar uma bola?

Posição, velocidade e aceleração:

r

Vetores Posição e velocidade: O vetor posição de uma partícula P é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas até a posição da partícula:

( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k

Vetor deslocamento )( r

A variação da posição da partícula no decorrer do tempo é o vetor deslocamento )( r

2 1r r r

2 (9 ) (2 ) (8 )r m i m j m k

Exemplo 1:1. O vetor posição de uma partícula é inicialmente , e depois passa a ser . Qual é o deslocamento da partícula.

1 ( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k

r

Exemplo 22. Um coelho atravessa umestacionamento, no qual, poralguma razão, um conjunto deeixos coordenados havia sidodesenhado. As coordenadas daposição do coelho em função dotempo t são dadas por

2

2

0,31 7,2 28

0,22 9,1 30

x t t

y t t

Com t em segundos e x e y em metros Em t=15s, qual é o vetor posição do coelho na notação de vetores unitários e na notação de módulo - ângulo?

( ) ( )r x t i y t j

Velocidade média )( médv

O vetor velocidade média é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo

12 ttt

t

rvméd

Velocidade instantânea )(v

Define-se o vetor velocidade instantânea como o limite do vetor deslocamento quando )0( t

dt

rd

t

rv

t

0lim

jvivjdt

dyi

dt

dxv

ou

jt

yi

t

x

t

jyix

t

rv

yx

tttt

ˆˆˆˆ

ˆlimˆlimˆˆ

limlim0000

Exemplo77. Para o coelho do exemploanterior encontre avelocidade vetorial no tempot = 15s, na notação de vetoresunitários e na notação demódulo – ângulo.

x yv v i v j

x y

dx dyv v

dt dt

Aceleração média ( )méda

O vetor aceleração média é a razão entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo

12 ttt

méd

va

t

A aceleração instantânea é o limite desta razão quando

)0( t

0lim

t

v dva

t dt

kajaiakdt

dvj

dt

dvi

dt

dva zyx

zyx ˆˆˆˆˆ

8. Para o coelho doexemplo anterior encontrea aceleração vetorial notempo t = 15s, na notaçãode vetores unitários e nanotação de módulo –ângulo.

x ya a i a j

yxx y

dvdva a

dt dt

Exemplo8

Exemplo 9:

9. A posição de uma bola de beisebol é dada por 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ1,5 (12 / 16 / ) 4,9 / .r mi m si m sj t m s jt

Obtenha sua velocidade e sua aceleração.

2 2ˆ ˆ ˆRe .: (12 / ) [16 / (9,8 / ) ] ; ( 9,8 / )sp v m s i m s m s t j a m s j

Movimento de Projéteis:O movimento de um projétil é a combinação de dois movimento:

movimento uniforme (MU) na horizontal e movimentouniformemente variado (MUV) na vertical.As Equações utilizada para esta situação são as mesmas já utilizadas paraestes movimentos separadamente.

0 0

0 0

cos

sen

x

y

v v

v v

A componente vertical da velocidade do skatista está variando, mas não a horizontal que é igual a do skate.

Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em Uma superfície dura. Entre os impactos a trajetória da bola é balística.

• O fato de uma bolaestar em se movendohorizontalmenteenquanto está caindonão interfere o seumovimento vertical, ouseja, os movimentoshorizontal e vertical sãoindependentes.

Análise do movimento de um projétilMovimento Horizontal

0xa

tvxtx x00)( 0 0 cosxv v

0 0( cos )x x v t

Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à

aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo.

gay

A componente y da velocidade varia com o tempo devido a aceleração,logo:

0yv v sen gt

O deslocamento y será dado por:

2

0 0

1( )

2yy t y v t gt

Movimento vertical

Alcance horizontal (R): É a distância total na horizontal percorrida por um projétil. Se as elevações inicial e final forem iguais, pode-se obter o alcance pela expressão:

22

0 seng

vR

•O alcance será máximo quando θ=450;•Na altura máxima Vy=0•Vx é constante em todo o movimento

Animação

10. Na figura um avião desalvamento voa a198km/h, a uma alturade 500m, rumo a umponto diretamenteacima da vítima de umnaufrágio, para deixarcair uma balsa.

a) Qual deve ser o ângulo da linha de visada do piloto para a vítimano instante em que o piloto deixa cair a balsa?

b) No momento em que a balsa atinge a água qual a sua velocidade?

11. A fig. Mostra um naviopirata a 560m de umforte que protege aentrada de um porto.Um canhão de defesa,situado ao nível domar, dispara balas comuma velocidade de82m/s.

a) Com que ângulo em relação a horizontal as balas devem serdisparadas para acertar o navio?

b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão?

12. Com que velocidadeinicial o jogador dbasquete da Fig. Devearremessar a bola, comum ângulo de 550

acima da horizontal,para converter o lancelivre? As distanciashorizontais são d1 =1,0 ft e d2 = 14 ft e asalturas são h1 = 7 ft eh2 = 10 ft.

13. Um helicóptero descarrega um pacote de suprimentos para as vítimas de uma inundação que estão sobre uma balsa em uma área alagada. Quando o pacote é lançado, o helicóptero está 100m acima da balsa e voando a 25m/s para cima com um ângulo

em relação a horizontal. (a) Durante quanto tempo o pacote permanece no ar? (b) A que distância da balsa cai o pacote? (c) Se o helicóptero voa com velocidade constante, onde ele estará

quando o pacote atingir a água?

09,36

2

002

1)( gttvyty y

0 0( cos )xx v t v t

0 0( ) yy t y v t

Movimento Circular UniformeÉ o movimento circular com velocidade constante. A aceleração centrípeta pode ser calculada pela relação:

r

vaa c

2

Para uma volta completa: , em que T é o período.

Se a velocidade for variável, aparece a aceleração tangencial a trajetória, dada por:

Trv 2

dt

dvat

Animação

Exemplo 14:

14. Um menino gira uma bola, amarrada a uma corda, em um circulohorizontal com raio de 0,8m. A quantas voltas por minuto a bola ficarásujeita se o módulo de sua aceleração centrípeta for g (o módulo daaceleração da gravidade)?

Exemplo 15:

Um Menino faz uma pedra girar descrevendo uma

circunferência horizontal de raio 1,5m e 2m acima do chão. A

corda se parte e a pedra é arremessada horizontalmente,

chegando ao solo depois de percorrer uma distância

horizontal de 10m. Qual era o módulo da aceleração

centrípeta da pedra durante o movimento circular?

Exemplo 16:16. Na figura, qual é a rapidez inicial mínima que o dardo deve ter

para atingir o macaco antes que este chegue ao chão, que está a 11,2

m abaixo da posição inicial do macaco, se x = 50 m e h = 10 m?

(ignore a resistência do ar)