Prof. Herondino

VI – DISTRIBUIÇÃO DE

PROBABILIDADES

Estudo de Caso Pesquisa de Resíduos Industriais - Análise de Dados

Os dados de demanda bioquímica de oxigênio (DBO) (5 dias) apresentados na Tabela 5.1 foram obtidos a partir de uma pesquisa de águas residuais industriais (EPA dos EUA, 1973).

A DBO de uma água é a quantidade de oxigênio necessária para oxidar a matéria orgânica por decomposição microbiana aeróbia para uma forma inorgânica estável.

Na legislação do Estado de São Paulo, no Decreto Estadual n.º 8468, a DBO de cinco dias é padrão de emissão de esgotos diretamente nos corpos d’água, sendo exigidos uma DBO máxima de 60 mg/L ou uma eficiência global mínima do processo de tratamento igual a 80%.

Concentrações e contribuições unitárias típicas de

DBO de esgoto doméstico e efluentes industriais.

Estudo de Caso - U.S. EPA 1973

Há 99 observações, cada medida de uma amostra composta, retirada num intervalo de 4 horas, dando seis observações diariamente por 16 dias, mais três observações sobre o 17º dia.

O estudo foi realizado para avaliar a DBO média e para estimar a concentração que é excedida uma pequena fração do tempo (por exemplo, 10%). Esta informação é necessária para planejar um processo de tratamento.

O padrão de variação também precisa ser visto porque vai influenciar a viabilidade de utilização de um processo de compensação para reduzir a variação da carga DBO.

Análise dos Dados(Utilizando o Excel)

Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 )

,ou seja,minxxotalAmplitudeT máx

Análise dos Dados(Utilizando o Excel)

Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 )

,ou seja,minxxotalAmplitudeT máx

9782071185 AT

Análise dos Dados(Utilizando o Excel)

Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 )

,ou seja,

Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula

de Sturges:

Neste caso, temos:

minxxotalAmplitudeT máx

9782071185 AT

)log(22,31 nk

Análise dos Dados(Utilizando o Excel)

Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 )

,ou seja,

Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula

de Sturges:

Neste caso, temos:

minxxotalAmplitudeT máx

9782071185 AT

)log(22,31 nk

)99log(22,31 k

Análise dos Dados(Utilizando o Excel)

Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 )

,ou seja,

Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula

de Sturges:

Neste caso, temos:

minxxotalAmplitudeT máx

9782071185 AT

)log(22,31 nk

)99log(22,31 k

1,995622,31 k

Análise dos Dados(Utilizando o Excel)

Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 )

,ou seja,

Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula

de Sturges:

Neste caso, temos:

minxxotalAmplitudeT máx

9782071185 AT

)log(22,31 nk

)99log(22,31 k

1,995622,31 k

1,995622,31 k

Análise dos Dados(Utilizando o Excel)

Rol (207 ,221, 233, 235 ,241 ,... ,1158 ,1167 ,1174, 1185 )

,ou seja,

Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula

de Sturges:

Neste caso, temos:

minxxotalAmplitudeT máx

9782071185 AT

)log(22,31 nk

)99log(22,31 k

1,995622,31 k

1,995622,31 k

7,425832k

Análise dos dados Poderíamos também utilizar a fórmula:

contudo, primeiro utilizaremos o resultado arredondado para mais, na fórmula de Sturges, ou seja:

Amplitude da Classe (h) e dada por:

em que AT é a amplitude total e k o número de classe.

1099 nk

8425832,7 k

k

ATh

Análise dos dados Poderíamos também utilizar a fórmula:

contudo, primeiro utilizaremos o resultado arredondado para mais, na fórmula de Sturges, ou seja:

Amplitude da Classe (h) e dada por:

em que AT é a amplitude total e k o número de classe.

1099 nk

8425832,7 k

7,131425,7

978

k

ATh

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

207-339 339-470 470-602 602-734 734-866 866-997 997-1129 1129-1185

Fre

qu

ên

cia

Concentração de DBO (mg/L)

Gráficos da Frequência dos dados DBO, EPA EUA - 1973

0

2

4

6

8

10

12

14

207-305 305-403 403-500 500-599 599-696 696-794 794-892 892-989 989-1087 1087-1185

Fre

qu

ên

cia

Concentração de DBO (mg/L)

Gráficos da Frequência do dados DBO, EPA EUA - 1973

1099 nk

)99log(22,31 k

87,425832 k

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1 3 5 7 9 11 13 1517 19 21 23 2527 29 31 33 3537 39 41 4345 47 49 51 5355 57 59 61 6365 67 69 71 7375 77 79 8183 85 87 89 9193 95 97 99

CO

NC

EN

TR

AÇ

ÃO

DE

DB

O (

mg

/L

)

Observações ( Intervalo de 4 horas)

Gráficos da série temporal do dados DBO, EPA EUA - 1973

A concentração varia rapidamente, com mais ou menos igualde variação acima ou abaixo da média, o que é 688 mg/L. O intervalo é de 207-1.185 mg/L. A DBO pode mudar em 1000 mg/L de um intervalo de amostragem para a próxima. Não está claro se os altos e baixos são aleatórios ou fazem parte de algum padrão cíclico.

Há pouco mais para ser visto a partir deste gráfico.

0

2

4

6

8

10

12

14

207-305 305-403 403-500 500-599 599-696 696-794 794-892 892-989 989-1087 1087-1185

Fre

qu

ên

cia

Concentração de DBO (mg/L)

Gráficos da Frequência do dados DBO, EPA EUA - 1973

O diagrama de frequência dá uma melhor imagem da

variabilidade. Os dados apresentam uma distribuição uniforme

entre 200 e 1200 mg/L. Qualquer valor dentro desta faixa

parece igualmente provável.

Os valores observados cobrem todo o contingente de amostras, independentemente da hora do dia.

Não há variação cíclica regular e nenhuma hora do dia tem valores consistentemente alto ou baixo.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

08/fev 10/fev 12/fev 14/fev 16/fev 18/fev 20/fev 22/fev 24/fev 26/fev 28/fev

CO

NC

EN

TR

AÇ

ÃO

DE

DB

O (

mg

/L

)

Data da coleta realizada

Gráfico de dispersão para cada amostras no tempo - EPA -USA - 1973

4h

8h

12h

16h

20h

0h

O Gráfico de Probabilidades

A utilização destes dados serve para ilustrar como um

gráfico de probabilidade é construído, como a sua forma está

relacionada com a forma da distribuição de frequência, e

como poderia ser utilizado para estimar as características da

população.

Nº de

Ordem (i)

Valor do DBO Probabilidade Gráfica

(p=1/(n+1)

1 207 1/99+1=0,01

2 221 0,02

3 233 0,03

4 235 0,04

... ... ...

99 1185 0,99

Gráfico de Probabilidade

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Pro

bab

ilid

ade

DB

O

Concentração DBO (mg/L)

Probabilidade uniforme distribuida dos dados DBO -USA - EPA/1973

Gráficos de probabilidade dos dados de DBO uniformemente distribuídas.

Gráfico da probabilidade ou Frequência

acumulada

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12

Pro

bab

ilid

ade

DB

O

Concentração DBO (mg/L)

Gráfico da distribuição de frequência acumudada dos dados

DBO - USA - EPA/1973

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Pro

bab

ilid

ade

DB

OConcentração DBO (mg/L)

Probabilidade uniforme distri buida dos dados DBO - USA - EPA/1973

O painel superior é um gráfico de probabilidade normal. É traçada uma linha reta para dimensionar os dados normalmente distribuídos.

O painel inferior é dimensionada para que os dados de DBO desenhado como uma linha reta. Estes dados de DBO não são normalmente distribuídos. Eles estão uniformemente distribuídos.

y = 0,001x - 0,1658R² = 0,9959

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Pro

bab

ilid

ade

DB

O

Concentração DBO (mg/L)

Probabilidade uniforme distribuida dos dados DBO - USA - EPA/1973

Série1

Linear (Série1)

Estas estimativas gráficas são válidas apenas quando os dados

são normalmente distribuídos. Porque alguns conjuntos de

dados ambientais são normalmente distribuídos, esta

estimativa gráfica da média e desvio padrão não é

recomendado.

Um gráfico de probabilidade é útil, no entanto, para estimar

a mediana (p = 50%) e para ler diretamente qualquer

percentil de interesse especial.

Referência

BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C.. Statistics

for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London

New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002.