Probabilidades - parte 2 (ISMT)

DefiniçãoDefinição AxiomáticaAxiomática dede ProbabilidadeProbabilidade

Axiomas são proposições, sugeridas pela nossa intuição ou

experiência, que não se demonstram e se aceitam como

verdadeiras.

Provar ou demonstrar uma proposição é mostrar, usando

raciocínios lógicos que ela resulta de outras consideradasraciocínios lógicos, que ela resulta de outras consideradas

verdadeiras.

Teoremas são proposições que se demonstram a partir dos

axiomas ou de outras proposições já demonstradas.

www.joaoleal.net Professor: João José Leal 16

axiomas ou de outras proposições já demonstradas.

Axiomas Axiomas das Probabilidadesdas Probabilidades

(i) ( ) 0 (Probabilidade é um número não negativo)P A ( ) ( ) ( g )(ii) ( ) 1 (Probabilidade do espaço de amostras é unitário)(iii) Se então ( ) ( ) ( )

P SA B P A B P A P B (iii) Se , então ( ) ( ) ( ).A B P A B P A P B

Note que (iii) estabelece que se A e B são eventos mutuamente

exclusivos, a probabilidade da união é igual a soma de suas p g

probabilidades)


TeoremasTeoremas

0P 1. A probabilidade de um acontecimento impossível é zero.

0P

2. A probabilidade de qualquer acontecimento A é um número do intervalo [0, 1].

0 1P A


TeoremasTeoremas

A3. A probabilidade do acontecimento contrário é igual àdiferença entre 1 e a probabilidade de A.

1P A P A

diferença entre 1 e a probabilidade de A.

1P A P A

P A B P A P B P A B

4. Probabilidade da reunião de dois acontecimentos

P A B P A P B P A B


Probabilidade Condicionada (RegraProbabilidade Condicionada (Regra de de BayesBayes))

Dos 100 alunos que frequentam um centro de explicações,40 têm explicações de Matemática, 25 de Física e 5 de Matemática

Fí ie Física.No diagrama de Venn seguinte está representada a

situação:Onde,

M = {alunos que têm explicações de Matemática}F = {alunos que têm explicações de Física}C = {alunos que frequentam o centro de explicações}

Encontra-se um dos 100 alunos ao acaso.


1. Qual é a probabilidade de ele ter explicações de Matemática e Física?

5( )100

P M F 100

2. Numa sala encontram-se os 25 alunos que têm explicações deFísica. Seleccionando, ao acaso, um destes 25 alunos, qual a

b bilid d d t t t bé li õ d M t áti ?probabilidade de este ter também explicações de Matemática?

Ou seja, é a probabilidade de ele ter explicações de Matemática

5( ) 5 100 5 1100P M F

dado que (ou sabendo que) tem de Física.Assim sendo,

( ) 5 100 5 1100( / ) 25( ) 100 25 25 5100

P M FP M FP F


100

Podemos calcular a Probabilidade do seguinte modo:

Partimos de dois acontecimentos A e B

Representando-se por P(A/B) a probabilidade da ocorrência de ARepresentando se por P(A/B) a probabilidade da ocorrência de A,

na hipótese de B se ter realizado, é:

( )( / )( )

P A BP A BP B

( )P B

(Ou seja, pretendemos determinar a probabilidade de A sabendo quese realizou B)


Acontecimentos Independentes

Dois acontecimentos dizem-se independentes se a

probabilidade de realização de um deles não afecta ap ob b d de de e ç o de u de es o ect

probabilidade de realização do outro.

Dois acontecimentos A e B são independentes se e só se

( ) ( ) ( )P A B P A P B Dois acontecimentos A e B são independentes se e só se

( ) ( ) ( )P A B P A P B


Factorial Factorial

Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) , como sendon! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n 2.

E por definição :Para n = 0 , teremos : 0! = 1.P 1 t 1! 1Para n = 1 , teremos : 1! = 1

Exemplos:

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 29403! = 3.2.1 = 6

M it tili f i i téti f ilitMuitas vezes utilizamos uma forma mais sintética para nos facilitaros cálculos:11! =11.10.9.8.7!6! = 6 5 4!


6! = 6.5.4!

Princípio fundamental da contagem Princípio fundamental da contagem -- PFCPFC

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e

se a primeira etapa pode ocorrer de n1 maneiras diferentes, a segunda de

n2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T

de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por

T = n1. n2 . n3 . ... . nm


PermutaçõesPermutaçõesPermutações de n elementos distintos são os agrupamentos formados

com todos os n elementos e que se distinguem uns dos outros pela ordem deq g p

seus elementos.

Exemplo: com os elementos 1,2,C são possíveis as seguintes permutações:12C, 1C2, 21C,2C1, C12 e C21.

O número total de permutações simples de n elementos distintos édado por n!, isto ép ,

Pn = n!

no exemplo anterior 3!=3.2.1=6


p

Arranjos sem repetiçãoArranjos sem repetiçãoDado um conjunto com n elementos chama se arranjo simples deDado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de

taxa p , a todo agrupamento de p elementos distintos dispostos numa certa

ordem Dois arranjos diferem entre si pela ordem de colocação dosordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos

elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:

) j d t 2 b b b ba) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.

b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Representando o número total de arranjos de n elementos tomados

p a p por nA teremos a seguinte fórmula:p a p por Ap, teremos a seguinte fórmula:!

( )!n

pnA

n p


( )!n p

Arranjos com repetiçãoArranjos com repetiçãoRepresentando o número total de arranjos de n elementos tomados

p a p por nA’ sendo estes diferentes ou não teremos a seguinte fórmula:p a p por nA p, sendo estes diferentes ou não, teremos a seguinte fórmula:

'n pA npA n


Combinações sem repetiçãoCombinações sem repetiçãoDenominamos combinações simples de n elementos distintos

tomados p a p (aos subconjuntos formados por p elementos distintos

escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são

diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem

l t ã l dem que os elementos são colocados.

Exemplo:

No conjunto E= {a,b,c,d} podemos considerar:

a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd.

b) combinações de taxa 3: abc, abd, acd, bcd.

c) combinações de taxa 4: abcd.


c) combinações de taxa 4: abcd.

Representando o número total de combinações de n elementos

tomados p a p por nC teremos a seguinte fórmula:tomados p a p por Cp, teremos a seguinte fórmula:

!n!!( )!

np

nCp n p

É fácil mostrar que

n n

p n p


Triângulo de PascalTriângulo de Pascal


PropriedadesPropriedades

Do triângulo de Pascal, poderemos retirar que:


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