FUNÇÃO AFIM - RESUMO Definição: Uma função é chamada de função Afim se sua sentença for dada por f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais com a 0, onde x é a variável independente e y = f(x) é a variável que dependente de x .

Gráfico da função Afim: O gráfico de uma função Afim f(x) = ax + b é a reta que passa pelo ponto (0, b) e

corta o eixo X no ponto (−ba , 0)

. A função será crescente se a > 0 e decrescente se a < 0.

OBS: 1) A constante a é chamada de coeficiente angular e representa a variação de y correspondente a um aumento do valor de x;

2) A constante b é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, o ponto de intersecção da reta com o eixo Y;

3) Se uma reta é paralela ao eixo Y, ela não representa uma função.

- Zero da função: é o valor de x para qual a função se anula: f(x) = 0 x = −ba ;

Exemplo. Analisar a função f(x) = – x + 2.

- A função é decrescente, pois a < 0;

- Coeficiente angular é a = -1;

- Coeficiente linear é b = 2;

- Zero da função é 2, pois – x + 2 = 0 => -x = - 2.(-1) => x = 2.

f(x) < 0 {x R | x > 2}f(x) = 0 {x R | x = 2}f(x) > 0 {x R | x < 2}

Caso Particular: A função é constante, pois a = 0, com isso, não há inclinação;

- Coeficiente angular é 0, pois a = 0;

- Coeficiente linear é b = 4; - Não temos Zero da função:

FUNÇÃO QUADRÁTICA – RESUMO

Dados os números reais a e b, com a 0, chama-se função

quadrática a função f : IR→IR , definida por: y = ax2 + bx + c ou f(x) = ax2 + bx + c.

Zeros (ou raízes) de uma função quadrática: Denominam-se zeros de uma função quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Em termos de representação gráfica, são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo X. Para encontrar esses zeros, resolve-se a equação f(x) = 0. Isto é, ax2 + bx + c = 0 que nada mais é que

resolver a equação do 2º grau, utilizando a fórmula resolutiva:x=−b±√Δ

2a , onde Δ=b2−4ac .

ax 2+bx+c=0→÷a

x2+bax+ca=0⇒ x2+b

ax+b

2

4 a2 −b2

4 a2 +ca

=0⇒(x+b2a )2=b

2

4a2 −ca

⇒( x+b2a )2=b

2−4ac4a2 ⇒

⇒√(x+b2a )2=√b2−4ac

4a2 ⇒|x+b2a

|=√b2−4ac√4 a2

⇒|x+b2a

|=√b2−4 ac2a

⇒

¿

{x+b2a =√b2−4ac2a

¿¿¿¿

Se Δ≥0 a equação tem raízes reais, {Δ=0 ¿ ¿¿¿

; Se Δ<0 a equação não tem raízes reais.Soma e produto dos zeros da Função Quadrática

Δ=b2−4ac

x=−b±√b2−4ac2a

⇒

¿

{x1=−b−√Δ2a

¿ ¿¿¿

Forma fatorada da Função Quadrática

{f ( x )=ax2+bx+c⇒ f ( x )=a (x2+ba x+

ca ) ¿ {ba=−( x1+x2) ¿ ¿¿¿

¿¿

Gráfico da função quadrática: O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é um subconjunto dos números reais. Ou seja, D(f) = IR e Im(f) IR.

Concavidade: O sinal de a (coeficiente de x2) determina a concavidade da parábola. Assim:

i) Se a > 0, a concavidade é voltada para cima.

ii) Se a < 0 (a negativo), a concavidade é voltada para baixo.

Vértice da Parábola: Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou um ponto de ordenada mínima. A esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por V(xv,yv) onde:

xv=− b2a

e y v=− Δ4a . Assim:

V (− b2a,− Δ

4 a ) . Resultados obtidos da Forma Canônica.

Forma canônica da Função Quadrática

f ( x )=a. (x−x1 ). . (x−x2)=a .(x−−b−√Δ2a ).( x−−b+√Δ

2a )=a .(x+b2a +√Δ2a ).( x+b2a −√Δ

2a )⇒⇒ f ( x )=a .[(x+b2a )+√Δ

2a ]. [(x+b2a )−√Δ2a ]=a. [(x+b2a )

2−Δ

4a2 ]OBSERVAÇÕES :

1 ) x=−b2a

⇒ f (x )=a .[(−b2a +b2a )

2−Δ

4 a2 ]=a .(−Δ4 a2 )=−Δ4 a

2 ) Δ≥0:¿

{a>0⇒−Δ4a

≤0⇒Vértice :(−b2a ,−Δ4 a )→Mínimo ¿ ¿¿¿

Observe os sinais da função no intervalo entre as raízes e fora das raízes. Essa informação é útil na resolução de inequações do 2º grau.

Observação: De acordo com o valor de a na função f(x) = ax2 + bx + c, as ordenadas do vértice recebem as denominações de valor máximo ou valor mínimo.

Este conceito é importante na resolução de exercícios onde os resultados são os maiores ou os menores possíveis.

QUESTÕES

1. (UERJ) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x. Determine o tempo x0, em horas, indicado no gráfico.

2. (UERJ) No gráfico, estão indicados os pontos A(1,0), B(2,1) e C(0,1), que são fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se desloca no segmento de A até B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P é igual à ordenada de Q. Determine a medida da maior área que o triângulo PAQ pode assumir.

3. (UERJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico, por 6 pontos de uma mesma reta.

Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:

a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00

4. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, estão representadas as funções f(x) = 4x – 4 e g(x) = 2x2 – 12x + 10. As coordenadas do ponto P são:

a) (6, 20) b) (7, 24) c) (7, 26) d) (6, 26)

5. (UERJ) Os gráficos 1 e 2 representam a posição S de dois corpos em função do tempo t.

No gráfico 1, a função horária é definida pela

equação S=2+ 1

2t

. Assim, a equação que define o movimento representado pelo gráfico 2 corresponde a:

a) S=2+ t b) S=2+2t

c) S=2+ 4

3t

d) S=2+ 6

5t

6. (UERJ) Admita os seguintes dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em milhares de habitantes:– C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, corresponde a C(p) = 0,5p + 1; em partes por milhão.– em um determinado tempo t, em anos, p será igual a p(t) = 10 + 0,1t2.Em relação à taxa C, calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 partes por milhão.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

7. (UERJ) O gráfico abaixo representa a indicação da velocidade de um carro em movimento, em função do tempo. Sabendo-se que, em t = 2s, a velocidade é de 6m/s, a ordenada do ponto A é:a) 3,5 b) 3,0 c) 2,5 d) 2,0

8. (UERJ) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia. O dia da colheita de maior ganho para o fruticultor foi:a) 11 b) 9 c) 7 d) 15

9. (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura. A equação da parábola era do tipo:

S=− x2

36+c

. O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:a) na baliza b) atrás do gol c) dentro do gol d) antes da linha do gol

10. (UERJ) Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do tempo t.No gráfico I, a função horária é definida pela equação S=a1 t

2+b1 t . No gráfico II, definida por S=a2 t

2+b2 t . Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices

das curvas traçadas nos gráficos I e II.a razão

a1

a2 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 8

11. (UERJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais. Durante sua trajetória, a bola descreve duas

parábolas com vértices C e D. A equação de uma dessas

parábolas é y=− x

2

75+ 2x

5 . Se a abscissa de D é 35m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:

a) 38 b) 40 c) 45 d) 50

12. (UERJ) O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B(3,0). O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5. O comprimento do segmento AB corresponde a:

a) 5 b) 6 c) 3√5 d) 6√2

Respostas: 1) 30; 2)

14 ; 3) a; 4) b; 5) c; 6) c; 7) d; 8) a; 9) c; 10) c; 11) b; 12) c.