Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780

"Escola em processo de mudança"

Ano Lectivo

2011/2012

FICHA II DE REVISÕES PARA O TESTE INTERMÉDIOMATEMÁTICA A

11ºA07-02-2012

1. O João mora numa rua com 15m de largura. De um lado da rua existem prédios e do outro uma casa com 9m de altura.Colocando-se entre um prédio e a casa, num ponto a x metros da casa, vê a casa segundo um angulo de 48 ° e vê o prédio segundo um angulo de 62 °.Qual é a altura, arredondada ás unidades, do prédio?

2. Na figura está representada uma esfera suspensa por um fio com 1 metro de comprimento, fixo no ponto O.O centro da esfera oscila entre os pontos A e B, que são simétricos relativamente á recta vertical r.A reta r passa pelo ponto O e é

perpendicular á reta OS.No instante inicial, o centro da esfera coincide com o ponto A.Admita que, t segundos após esse instante inicial, o centro da esfera está num ponto P tal que a amplitude, em radianos, do ângulo SOP á dada (aproximadamente) por:

∝ (t )= π2−π6cos (√9,8 t )

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Nas alíneas seguintes utilize a calculadora apenas para efetuar cálculos numéricos.a) Determine a distância do centro da esfera á reta OS, no instante

inicial.b)Determine o instante em que o centro da esfera passa pela

primeira vez na reta r. Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.

3. Na figura está representado um trapézio [ABCD ].Sabe-se que:

[AC ]é perpendicular a

[CB]

AE=5cm DC=3cm CE=4 cm

C A E=∝,∝∈ ¿0 , π2

¿

a) Determine o valor exato de cos α.b) Determine a área do trapézio

4. Sejam os vetores r=(−3 ,−1 ,2 ) , s=(2 ,−2 ,−1 ) e t=(−4 ,3K ,1)

a) Determine a amplitude, aproximada á centésima do grau, do ângulo formado pelos vetores r e s.

b) Calcule K ∈R, de modo que os vetores r e t sejam perpendiculares.

c) De um vetor u sabe-se que é colinear com o vetor s e que

u× s=−18 . Determine a norma de u.d) Determine o conjunto de valores do parâmetro real K de modo

que os vetores s e t formem um ângulo obtuso.

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5. Num referencial Oxyz está representado um paralelepípedo

[ABCODEFG ]. O ponto E tem as

coordenadas (1,2,4).

a) Indique as coordenadas dos vértices A eF.

b) Exprima AB+CF−OB num único

vetor.c) Calcula AF×BG

d) Determine, a menos de 0,1 rad, a

amplitude do ângulo formado pelas diagonais espaciais AF e BG.

e) Defina por uma condição a aresta [BE ].f) Escreva a equação vectorial da reta BG.

6. No referencial do espaço o.n. Oxyz está representado o cubo

[ABCDEFGH ]. Os pontos I (2,0,0) e

J (0,2,0) são pontos médios das arestas a que pertencem.a) Determine as coordenadas dos

pontos D e F.b) Identifique o conjunto de pontos

que verifiquem a condição

BP× HP=0.

c) Determine a interseção da reta AG com o plano definido pela condição z=4.

d) Mostre que o plano ACH pode ser definido pela condição

x+ y+z=1 e determine a sua interseção com o plano xOy.e) Determine a interseção do plano ACH com a reta definida por:

(x , y , z)=(1 ,−3 ,2)+ λ(0,1,1) , λ∈ R

7. Considere, num referencial o.n., o plano π deferido por x+ y – z – 2=0e

a reta rque passa pelo ponto A(1 ,−1,0) e tem a direção do vetor

u=(1,2,6)

a) Determine as equações cartesianas da reta r.

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b) Qual a posição da reta em relação ao plano? Justifique.c) Determine uma equação de um plano paralelo ao plano π e que

passa pelo ponta A.

8. Num referencial o.n. considere dois vetores u e v . Sabe-se que: ‖u‖=2‖v‖ u× v=−4√5

a) Sabendo que tan (−π−α )=12⋀ 12<∝<π , determine o valor exato de

sin( 3 π2 +α)sin (π+α )−cos (α−π ) cos( 3 π2 −α)b) Sendo ∝=( u , v ) , determine ‖v‖.

9. Na figura está representado, em referencial o.m. Oxyz, um prisma triangular regular.Sabe-se que:

O vértice O coincide com a origem

do referencial B(0,4,0) C (0,0,8)

a) Mostre que o planoOBD pode ser definido pela equação

4 x−√3 z=0b) Escreva uma condição que defina a reta CD

c) Mostre que a reta r de equação 3−x8

= z−12√3

y=3 é perpendicular

ao plano OBD.

10. Na figura está representada a região admissível correspondente a um certo problema de programação linear.

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10.1. Escreva um sistema de inequações lineares que defina a região.

10.2. Admita que a função objetivo é z=x+ y.10.2.1. Calcule a solução ótima caso se pretenda maximizar z.10.2.2. Suponha que afinal se pretende minimizar z. qual é a

solução ótima.

11. Na figura está representada graficamente a função f .

a) Determine o domínio e o contradomínio def .b) Escreva as equações das assíntotas do gráfico f .c) Defina a função através de uma expressão analítica.d) Indique como pode obter o gráfico de f a partir do gráfico da função

g definida por g ( x )=1x

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