AULA 33PROF. PAULOEQUAÇÃO DA RETA

Dada uma reta não vertical que forma com o eixo x um ângulo q ecorta o eixo y no ponto (0, h).

y

q

x h

- O coeficiente angular é a tangente do ângulo (medido no sentidoanti-horário e partindo do eixo x ) que a reta forma com o eixo x [ m =tg(q ) ]- O coeficiente linear é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y[ h ].Exemplos:Calcule o coeficiente angular e o coeficiente linear das retas abaixorepresentadas.

y y

3

45 0 135 0

x x -1 m = tg(45 0 ) = 1 m = tg(135 0 )= -1 h = -1 h = 3

O coeficiente angular ( m ) também pode ser encontrado através de doispontos A e B por onde a reta passa.

y y B B

y B - y A = YD YD

q y A A q XD

x A x B x x B - x A = XD

m = tg(q ) =adjacenteCat

opostoCat

.

. =

X

Y

D

D

m = X

Y

D

D

Exemplo:Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontosA(3; 2) e B(5; 1)Resolução:

m = X

Y

D

D

m = 35

21

-

-

m = 2

1-

- Equação geral da retaax + by + c = 0- Equação reduzida da retaPara encontrar a equação reduzida da reta basta isolar y no primeiromembro da equação geral da retaax + by + c = 0by = -ax – c

y = b

a-.x -

b

c

y = mx + hNote que m é o coeficiente de x e h é o termo independente

m =b

a-

h =b

c-

Exemplos:Calcule os coeficientes angular e linear das retas abaixo representadas:a) 2x + 3y – 4 = 0b) 10x – 5y + 20 = 0Resolução:a) 2x + 3y – 4 = 03y = -2x + 4

y = 3

2-.x +

3

4

y = mx + h

m = 3

2-

h = 3

4

b) 10x – 5y + 20 = 0Resolução:10x – 5y + 20 = 0-5y = -10x –20 .(-1)5y = 10x + 20

y = 5

10.x +

5

20

y = 2x + 4y = mx + hm = 2h = 4Escreva a equação reduzida da reta abaixo representada.

y

60 0

x -3

Resolução:m = tg(60 0 ) = 3h = -3

y = mx + hy = 3 x – 3

Escreva a equação reduzida da reta abaixo representada.

y

2

135 0

x

m = tg(135 0 ) = -1h = 2y = mx + hy = -1.x + 2y = -x + 2- Equação segmentária da retaQuando conhecemos os pontos onde a reta corta os eixos x e y,podemos montar a equação da reta fazendo x dividido pela abcissa doponto onde a reta corta o eixo x mais y dividido pela ordenada doponto onde a reta corta o eixo y e igualando a equação a 1.

Exemplos:Monte a equação da reta representada no gráfico abaixo y Resolução:

113

=-

+yx

3 x 3

3

3

3=

- yx

-1 x – 3y = 3 x – 3y – 3 = 0

Monte a equação da reta representada no gráfico abaixo. Resolução:

y 2 124

=+yx

4

4

4

2=

+ yx

x + 2y = 4 4 x x + 2y – 4 = 0

Exercícios:1) Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B

para:a) A (5, 7) e B (9, 4)b) A (-1, 3) e B (2, 4)

2) Escreva a equação reduzida das retas representadas nos gráficosabaixo.

a)

y

30 0

x

-2

b) y

3

60 0

x

3) Calcule os coeficientes angular e linear das retas:a) 5x – 4y + 3 = 0b) 14x – 7y + 9 = 0

4) Monte a equação geral das retas representadas nos gráficos abaixo.

a) y

2

x 5

b) y

7 x -1

Resolução:1) Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B

para:a) A (5, 7) e B (9, 4)b) A (-1, 3) e B (2, 4)Resolução:a) A (5, 7) e B (9, 4)

4

3

59

74 -=

-

-=

D

D=

x

ym

b) A (-1, 3) e B (2, 4)

3

1

)1(2

34=

--

-=

D

D=

x

ym

2) Escreva a equação reduzida das retas representadas nos gráficosabaixo.

a)

y

30 0

x

-2

Resolução:

m = tg(30 0 ) = 3

3 e h = -2

y = m.x + h

y = 3

3.x – 2

b) y

3

60 0 120 0

x

Resolução:m = tg(120 0 ) = - 3 e h = 3y = m.x + hy = - 3 .x + 3

3) Calcule os coeficientes angular e linear das retas:a) 5x – 4y + 3 = 0b) 14x – 7y + 9 = 0Resolução:a) 5x – 4y + 3 = 0-4y = -5x – 3 .(-1)4y = 5x + 3

y = 4

5.x +

4

3

b) 14x – 7y + 9 = 0-7y = -14x – 9 .(-1)7y = 14x + 9

y = 7

14.x +

7

9

y = 2x + 7

9

4) Monte a equação geral das retas representadas nos gráficos abaixo.a) y

2

x 5Resolução:

10

10

10

52

125

=+

=+

yx

yx

2x + 5y = 102x + 5y – 10 = 0

b) y

7 x -1

Resolução:

7

7

7

7

117

=-

=-

+

yx

yx

x – 7y = 7x – 7y – 7 = 0