Welson Apostila Mu e Muv

7/29/2019 Welson Apostila Mu e Muv

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69Fsica 821 69

Mdulo 1 Introduo Cinemtica

Conceitos bsicos1.

A Mecnica a parte da Fsica que estuda o movimen-to dos corpos. Por motivos didticos, dividida em trspartes: Cinemtica, Dinmica e Esttica. Para estudar osmovimentos dos corpos, necessrio que se conhea umdeterminado reerencial.

Referencial: um ponto ou corpo que adotamoscomo reerncia para estudar o movimento. Em cinemticapodemos adotar qualquer reerencial.

Movimento: um corpo encontra-se em movimentotoda vez que a sua posio varia, com o decorrer do tempo,em relao a um certo reerencial.

Repouso: um corpo encontra-se em repouso quandoele no muda de posio, com o decorrer do tempo, em rela-o a um certo reerencial.

Um corpo pode estar em movimento em relao a umreerencial e em repouso em relao a outro reerencial. Porexemplo, uma pessoa dentro de um automvel a 60 km/h.A pessoa est em movimento em relao ao solo, porm emrepouso em relao ao automvel.

Ponto material: um corpo chamado de ponto mate-rial quando as suas dimenses so desprezveis, se compa-radas com o percurso por ele executado.

Por exemplo, um automvel no percurso de Ribeiro Pretoa So Paulo um ponto material, porm este mesmo automvelazendo manobras numa garagem no um ponto material, por-que devemos levar em considerao todas as suas dimenses.

Trajetria: o caminho determinado por uma su-cesso de pontos, por onde o mvel passa em relao a umcerto reerencial.

Num mesmo movimento, considerando-se dois reeren-ciais dierentes, podemos ter duas trajetrias dierentes.Como exemplo, veja a fgura a seguir.

A lmpada que se destaca do teto de um vago (emtrego uniorme nos trilhos) cai de orma retilnea emrelao ao vago e, ao mesmo tempo, apresenta trajetriaparablica em relao aos trilhos.

Espao (s)2.Para descrevermos o movimento de um ponto material

ao longo de sua trajetria, precisamos aprender a localizaro mvel atravs da grandeza sica espao. Para isso, de-vemos escolher uma orientao para a trajetria, a seguiruma origem (ponto zero da trajetria) e dividi-la em partes

iguais, num determinado sistema de unidades.

0

s = 2 m

Origem

dos espaos

Referncia

Trajetria

orientada

Escala

1m

s = + 2 ms = 0

O espao de um mvel nos ornece a sua localizao natrajetria, em relao origem dos espaos (s = 0). A dis-tncia do mvel origem (0), medida ao longo da trajet-ria, precedida de um sinal algbrico (+) ou () para indi-car a regio da trajetria: direita ou esquerda da origem,conorme a orientao escolhida para essa trajetria.

Um marco quilomtrico de uma rodovia corresponde,na prtica, grandeza espao.

Quando se diz que um carro est no km 32, isto indicaque ele se posiciona a 32 km da origem (km 0) da rodovia.

Deslocamento escalar (3. s)O deslocamento escalar dado pela variao de espao

sorido por um mvel durante um certo intervalo de tempo.

s = s2 s1

s1 = espao de partidas2 = espao de chegadaAssim, na trajetria esquematizada a seguir, vamos cal-

cular o deslocamento escalar de um mvel que vai de A atD, em etapas.

5 4A

3 2B

1 0 1C

2 3D

4 5+

(m)

A at D: sAD = sD sA = 3 (4) = 7 mB at C: sBC = sC sB = 1 (2) = 3 mD at B: sDB = sB sD = 2 3 = 5 mC at A: sCA =sA sC = 4 1 = 5 mA at A: sAA = sA sA = 4 (4) = 0

s > 0: o mvel se desloca a avor da orientao datrajetria.

s < 0: o mvel se desloca no sentido contrrio ao deorientao da trajetria.

s = 0: o mvel no se movimentou ou, se houve

movimento, o espao de chegada coincidiu com o de partida.


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70

Funo horria do espao4.Quando um mvel est em movimento em relao a um

determinado reerencial, seu(s) espao(s) varia(m) no de-correr do tempo. Podemos, ento, expressar o espao de um

mvel como uma uno do tempo: s = (t). Essa expressorecebe o nome de funo horria do espao e representa alei do movimento para esse mvel.

Apresentamos, a seguir, alguns exemplos de uneshorrias do espao:

s = 5 + 3t (uno do 11) o grau)s = 2 2t + 3t2) 2 (uno do 2o grau)

Conhecendo-se a uno horria do espao de um m-vel, possvel determinarmos a sua posio em qualquerinstante desejado. Tomando-se como exemplo a uno ho-rria s = 5 + 3t, podemos construir uma tabela, relacionan-do as posies (s) com os tempos (t). Adotando o SistemaInternacional de Unidades, temos:

s = 5 + 3t (SI)para t = 0 s: s = 5 + 3(0) s = 5 mpara t = 2 s: s = 5 + 3(2) s = 11 mpara t = 5 s: s = 5 + 3(5) s = 20 m

Os resultados acima indicam-nos, portanto, que, paraqualquer instante (t) que substituirmos, a uno ornece-r a posio do mvel em relao origem dos espaos.

Velocidade escalar mdia5.A velocidade escalar mdia de um mvel representa a

velocidade escalar constante que o mvel poderia ter usadoentre duas posies de sua trajetria, ou seja, ao longo deseu deslocamento escalar.

Estabeleceu-se o critrio de que a velocidade escalarmdia dada pela razo entre o deslocamento escalar ee-tuado e o intervalo de tempo gasto para eetu-lo, e nocomo usamos no cotidiano, azendo a relao entre a dis-tncia percorrida e o intervalo de tempo.

Ou seja:

vst

s

t

s s

t tm=

= =

2

2

2 1

2 1

A velocidade escalar mdia no depende da orma datrajetria (retilnea ou curvilnea). S depende das condi-es inicial e fnal do movimento.

No Sistema Internacional (SI), a unidade para a veloci-dade o metro por segundo (m/s). Outras unidades, taiscomo cm/s e km/h, so muito utilizadas.

As relaes entre elas so as seguintes:

1 m/s = 100 cm/s

11 0003 600

13 6

km h m s m s/..

/,

/=

=

Logo, para transormar km/h em m/s, dividimos por 3,6e para o inverso, multiplicamos por 3,6.

Como exemplo, suponha um carro eetuando um desloca-mento escalar de 36 km num intervalo de tempo de 0,50 h. Asua velocidade escalar mdia neste percurso corresponde a:

vst

kmh

km h m s m sm =

= = = =360 50

72723 6

20,

/,

/ /

O resultado encontrado (72 km/h = 20 m/s) signifca asuposta velocidade escalar constante que o carro poderiater utilizado no t rajeto.

Velocidade escalar instantnea6.Muitos meios de transporte utilizados pelo homem,

como o carro, o trem e o avio, possuem um instrumento o velocmetro que indica o mdulo da velocidade esca-lar instantnea |v|, ou seja, o valor absoluto da velocidadeescalar do mvel no instante em que eetuamos a leitura,em relao Terra. Entretanto, devemos lembrar que a ve-locidade escalar tem um sinal algbrico de acordo com osentido de trego do mvel na trajetria orientada.

80

km/h

80

km/h

v = + 80 km/h v = 80 km/h

Progressivo Retrgrado

Quando o movimento or progressivo (movimento aavor da orientao da trajetria), a velocidade escalar ins-tantnea ser positiva (v > 0) e, quando or retrgrado(movimento oposto ao da orientao da t rajetria), a velo-cidade escalar instantnea ser negativa (v < 0).

Exerccios Resolvidos

Os espaos de um mvel variam com o tempo de acordo1.com a uno: s = 8 4 t, em que s o espao em metrose t 0 o tempo em segundos.

Calcule o espao inicial do mvel.a)Determine o instante em que o mvel passa pelab)

origem dos espaos.

Resposta:a) Em t = 0: s0 = 8 4 0 s0 = 8 m

b) Para s = 0: 0 = 8 4 t 4 t = 8 t = 2 s

Os espaos de um mvel variam com o tempo de acordo com2.a uno s = 1 t2 + 2 t 6, com unidades no SI. Calcule avelocidade mdia do automvel entre os instantes 1 s e 5 s.

Resposta:Vamos substituir os instantes na uno.t1 = 1 s s1 = 1 12 + 2 1 6 = 5 mt2 = 5 s s2 = 1 52 + 2 5 6 = 21 m

vs s

t tv m sm m=

= ( )

=

= 2 1

2 1

21 5

5 1164

4 /


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DResposta:Nota-se na tira que, embora Casco mantenha-se em

repouso em relao ao skate, h movimento relativo entre

Casco e Cebolinha.

Resposta:As posies iniciais dos mveis so:a)sA = 1 + 2(0) = 1 msB = 6 3(0) = 6 m d = sB sA = 6 m 1 m = 5 mEncontro: sb) A = sB 1 + 2 t = 6 3 t t = 1 s

CResposta:t = s/vmt1 = (250 /100) t1 = 2,5 ht2 = 0,5 h (lanche)t3 = (150/75) t3 = 2,0 h

ttotal= 2,5 h + 0,5 h + 2,0 = 5,0 h

vst

kmh

km hm =

= =400

580 /

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Exerccios de Aplicao

(PUC-SP) Leia com ateno a tira da Turma da Mnica1.

mostrada abaixo e analise as afrmativas que se seguem,considerando os princpios da Mecnica Clssica.

L VAI O S DO SKATE! CASCO! VOC NOSABE QUE PLOIBIDO

ANDAR DE SKATEAQUI NO PALQUE?

MAS EU ESTOU PARADO! QUEMEST ANDANDO O SKATE!

Turma da Mnica / Mauricio de Souza

Casco encontra-se em movimento em relao aoI. ska-te e tambm em relao ao amigo Cebolinha.

Casco encontra-se em repouso em relao aoII. skate,mas em movimento em relao ao amigo Cebolinha.

Cebolinha encontra-se em movimento em relao aoIII.amigo Casco.

Esto corretas:apenas I.a)I e II.b)I e III.c)II e III.d)I, II e III.e)

Dois mveis, A e B, percorrem uma mesma trajetria2.

retilnea, conorme as unes horrias: sA = 1 + 2 t esB = 6 3 t, sendo a posio s em metros e o tempo t emsegundos. Determine:

a distncia entre os mveis no instante t = 0;a)o instante em que A encontra-se com B.b)

(Fatec-SP) Um carro az uma viagem de So Paulo ao3.Rio. Os primeiros 250 km so percorridos com uma veloci-dade escalar mdia de 100 km/h. Aps uma parada de 30minutos para um lanche, a viagem retomada, e os 150 kmrestantes so percorridos com velocidade escalar mdia de75 km/h. A velocidade escalar mdia da viagem completaoi, em km/h:

60a)70b)80c)

90d)100e)


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Exerccios Propostos

Movimento e repouso so conceitos relativos, isto , de-4.

pendem do reerencial adotado.Com base nisso, assinale a opo correta.A Terra est em movimento.a)O Sol est em repouso.b)Um passageiro dormindo em um avio em pleno voo estc)

em repouso.Se um corpo A est em movimento em relao a um corpo B,d)

ento o corpo B est em movimento em relao ao corpo A.Se a distncia entre dois corpos permanecer constante,e)

ento um est parado em relao ao outro.

(UFMG) Jlia est andando de bicicleta, com velocidade5.constante, quando deixa cair uma moeda. Toms est para-do na rua e v a moeda cair.

Considere desprezvel a resistncia do ar. Assinale a al-ternativa em que esto mais bem representadas as trajet-rias da moeda, como observadas por Jlia e por Toms.

(PUC-RS) O instante de encontro, em segundos, entre os7.mveis A e B do exerccio anterior oi:

Jlia Tomsa)

Jlia Tomsb)

lia Tomsc)

lia Tomsd)

30a)50b)

60c)80d)

120e)

1a)

2b)

3c)

4d)

5e)

O grfco ilustra a posio s, em uno do tempo t, de8.

uma pessoa caminhando em linha reta durante 400 segun-dos. Com base no grfco, analise as afrmaes a seguir.

s (m)

0 100 200 300 400 t (s)

100

80

60

40

20

Em nenhum instante a pessoa parou.I.O deslocamento da pessoa, durante os 400 s, oi 180 m.II.A distncia percorrida pela pessoa, durante os 400 s,III.

oi 120 m.Est correto apenas o que se afrma em:I.a)II.b)III.c)

I e II.d)II e III.e)

A velocidade de 90 km/h corresponde a:9.30 m/sa)25 m/sb)20 m/sc)

15 m/sd)10 m/se)

(PUCCampinasSP) Grandezas sicas importantes na10.descrio dos movimentos so o espao (ou posio) e otempo. Numa estrada, as posies so defnidas pelos mar-cos quilomtricos. s 9h50, um carro passa pelo marco50 km e, s 10h05, passa pelo marco quilomtrico 72. Avelocidade escalar mdia do carro nesse percurso vale,em km/h:

44a)65b)72c)

80d)88e)

(Fuvest-SP) Um avio va i de So Paulo a Recie em 1h40.11.O deslocamento entre essas duas cidades de aproximada-

mente 3.000 km.Qual a velocidade mdia do avio em km/h?a)Prove que esse avio supersnico.b)(Dado: velocidade do som no ar = 340 m/s)

(Vunesp) Um automvel desloca-se com velocidade12.escalar mdia de 80 km/h durante os primeiros quarenta ecinco minutos de uma viagem de uma hora e com velocida-de escalar mdia de 60 km/h durante o tempo restante. Avelocidade escalar mdia do automvel, nessa viagem, emkm/h, oi igual a:

60a)65b)

70c)

75d)80e)

(PUC-RS) Dois mveis, A e B, percorrem uma mesma traje-6.tria retilnea, conorme as unes horrias: sA = 30 + 20 t esB = 90 10 t , sendo a posio s em metros e o tempo t emsegundos. No instante t = 0, a distncia, em metros, entreos mveis era de:


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Mdulo 2 Movimento uniorme

Velocidade escalar constante1.

Um objeto encontra-se em movimento uniorme, emrelao a um determinado reerencial, quando a sua ve-locidade escalar no varia no decorrer do tempo. Devido aisso, o mvel percorre deslocamentos escalares iguais emintervalos de tempos iguais, independentemente da ormade sua trajetria.

A fgura a seguir representa um movimento uniorme,em trajetria retilnea, com velocidade escalar constantede 4 m/s.

v = 4 m/s constante

4m 4m

1s 1s

Observe que a cada 1 s o mvel cumpre deslocamentosescalares iguais de 4 m.

No movimento uniorme, a velocidade escalar instant-nea constante e dierente de zero, sendo igual veloci-dade escalar mdia.

v v vtm

= =

( )s

constante 0

Essa velocidade escalar constante ter valor positivoquando o movimento or progressivo e valor negativoquando or retrgrado.

Diagrama horrio da velocidade2.Como no movimento uniorme a velocidade linear

constante positiva ou negativa, podemos represent-la pormeio do diagrama horrio abaixo:

0

v

PROGRESSIVO

RETRGRADO

t

PropriedadeA variao de espao (s) de um movimento uniorme,

num intervalo de tempo (t), dada por:

s = v t

Geometricamente, isto corresponde rea sob o grfco

v x t.

t

0

v

$t

$s > 0

$s < 0

$t

Funo horria do espao3.Suponha um mvel traegando com velocidade escalar

constante v ao longo de uma trajetria genrica, como ilus-tra a fgura a seguir.

$s

s0

s

t

v

v

t = 0

+

Em destaque na fgura, observamos que o mvel no ins-tante t = 0 encontra-se no espao inicial s0. Aps um tempot, ele atinge a posio s.

Lembrando que no movimento uniorme o deslocamen-to escalar dado por meio da expresso s = v t, pode-mos deduzir sua uno horria do espao assim:

s = v ts s0 = v (t 0)s s0 = v ts = s0 + v tObserve que todo movimento uniorme ter este tipo

de uno horria do espao, isto , trata-se de uma unomatemtica do primeiro grau, em que s0 e v sero os seuscoefcientes linear e angular, respectivamente.

Como exemplo, veja a tabela a seguir. Ela nos traz arelao espao-tempo de um objeto em movimento unior-me.

s(m) 2 5 8 11

t(s) 0 1 2 3

Acompanhe os passos a seguir:Pela tabela, temos:1)

t = 0 s0 = 2 m

vst

ms

m s=

= =31

3 /

Montagem da uno horria:2)

s = s0 + v t s = 2 + 3 t (SI)


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EResposta:

=

=

= =t

sv

s144 103 10

480 86

5min

74

74

Repare que esta expresso fnal relacionar todos os da-dos da tabela anterior:

t = 0 s = 2 + 3 (0) = 2 mt = 1 s s = 2 + 3 (1) = 5 m

t = 2 s s = 2 + 3 (2) = 8 m....e assim por diante.

Diagrama horrio do espao4.J que a uno horria do espao de todo movimento

uniorme do primeiro grau, o grfco espao x tempoter a orma de uma reta inclinada, a partir do espaoinicial (s0).

t

s

0

$s

$t

sv

t

$$0

s0

s

Progre

ssivo

Retrgrado

t

Se or progressivo (v > 0), o espao ser crescente nodecorrer do tempo. Se retrgrado (v < 0), o espao decres-cer com o tempo.

Observe no grfco que: vst

tgN=

=


Um carro se desloca em uma estrada retilnea com velo-1.cidade escalar constante. A fgura mostra as suas posies,anotadas em intervalos de 1 min, contadas a partir do km30, onde se adotou t = 0.

km 30

t = 0

km 28

t = 1 min

km 26

t = 2 min

km 24

t = 3 min

Responda:O movimento progressivo ou retrgrado?a)Qual a sua velocidade escalar em km/h?b)Resposta:a) retrgrado, pois suas posies so decrescentes no

decorrer do tempo.b) Observa-se que a cada minuto o car ro retrocede 2 km

na rodovia, ou seja, apresenta s = 2 km.Logo:

vst

km km

hkm h=

=

=

= 2

12160

120min

/

Dois carros A e B movimentam-se na mesma rodovia. No2.instante t = 0, suas posies e os respectivos mdulos de

suas velocidades escalares constantes esto indicadas nafgura abaixo. Determine o ponto de encontro dos mveis.

0 (60 km/h) (80 km/h)A B

km 20 km 300

Resposta:As unes horrias para os carros A e B so:sA = 20 + 60t e sB = 300 80tNo ponto de encontro, temos sA = sB. Ento:20 + 60t = 300 80t t = 2,0 hSubstituindo t = 2,0 h nas equaes horrias dos dois

carros:sA = 20 + 60.(2,0) sA = 140 kmsB = 300 80.(2,0) sB = 140 kmPortanto, o encontro dos carros A e B ocorre no km 140,

ou seja, a 140 km da origem dos espaos.Construindo-se os grfcos s x t para os dois mveis,

percebe-se o processo de encontro ocorr ido.

140

2

300

20 t(h)

0

A

B

s (km)


(PUC-SP) A distncia da Terra ao Sol de, aproxima-1.damente, 144 106 km, e a velocidade de propagao daluz no vcuo, 300.000 km/s. Um astrnomo observa com oseu telescpio uma exploso solar. No momento em que aobservao eita, o enmeno no Sol:

est ocorrendo no mesmo instante.a)j ocorreu h 16 segundos.b)

j ocorreu h 8 segundos.c)

j ocorreu h 16 minutos.d)j ocorreu h 8 minutos.e)


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BResposta:

v (km/h)

t (h)

30

0 2 3 6

60

A1

A2

= +

= + =

=

= =

s A A

s km

vst

kmh

km hm

1 2

2 30 3 60 240

2406

40 /

BResposta:

vt

vms

m s

vms

m s

A

B

=

=

=

= =

s

1010

1

510

0 5

/

, /

s s s v ts t

S t

A

B

= = + =

= +

0

45 1

0 0 5,

Encontro sA = sB45 1 t = 0,5 t1,5 t = 45t = 30 d

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(Fuvest-SP) Um automvel az uma viagem em 6 horas2.e sua velocidade escalar varia em uno do tempo, apro-ximadamente, como mostra o grfco. A velocidade escalarmdia do automvel na viagem oi de:

v (km/h)

t (h)

30

0 2 3 6

60

38 km/ha)40 km/hb)45 km/hc)

48 km/hd)50 km/he)

(PUCCamp-SP) O movimento dos corpos A e B, que tra-3.egam numa mesma trajetria retilnea, representado pormeio do grfco posio x tempo anexo. Supondo que osmveis permaneam em seus estados de movimento, pode-

-se afrmar que os corpos se encontram no instante:

35

10 20

45

5,0

t(s)0

A

B

s (m)

40 sa)30 sb)25 sc)

20 sd)10 se)

Exerccios Propostos

(FEI-SP) Em 1946, a distncia entre a Terra e a Lua oi4.determinada pelo radar, cujo sinal viaja a 3,00 108 m/s.Se o intervalo de tempo entre a emisso do sinal de radar ea recepo do eco oi 2,56 s, qual a distncia entre a Terra

e a Lua?7,68 10a) 8 m1,17 10b) 8 m2,56 10c) 8 m1,17 10d) 8 m3,84 10e) 8 m

(Fuvest-SP) Uma composio erroviria com 19 va-5.ges e uma locomotiva desloca-se a 20 m/s. Sendo o com-primento de cada elemento da composio 10 m, qual o intervalo de tempo que o trem gasta para ultrapassarcompletamente:

um sinaleiro?a)

uma ponte de 100 m de comprimento?b)

(ESPM-SP) Considere um automvel que az uma viagem6.em 4 horas e a sua velocidade escalar varia, aproximada-mente, segundo o grfco a seguir. A velocidade escalar m-dia, em km/h, da viagem oi de:

v (km/h)

50

0 2 3 4

60

t (h)

35a)40b)

45c)

55d)60e)


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76

(Mackenzie-SP) A fgura mostra, em determinado ins-7.tante, dois carros, A e B, em movimento retilneo uniorme.O carro A, com velocidade escalar 20 m/s, colide com o Bno cruzamento C.

A

B

50 m

30 m

C

Desprezando-se as dimenses dos automveis, a veloci-dade escalar de B :

O instante em que a posio do mvel defnida porx = 20 m :

12 m/sa)10 m/sb)8 m/sc)

6 m/sd)4 m/se)

(FEI-SP) A posio de uma partcula, ao longo de sua8.trajetria, varia no tempo conorme a tabela.

s (m) 25 21 17 13 9 5

t (s) 0 1 2 3 4 5

A uno horria das posies desse movimento :s = 4 25ta)s = 25 + 4tb)s = 25 4tc)

s = 4 + 25td)s = 25 + 4te)

(Mackenzie-SP) Um mvel se desloca sobre uma reta9.conorme o diagrama a seguir.

x (m)

t (s)2,0

0

20

30

6,0 sa)8,0 sb)10 sc)

12 sd)14 se)

(UFSM-RS) Dois ciclistas percorrem, com velocidades10.constantes, uma pista retilnea. No tempo t = 0, o pri-meiro encontra-se a 10 m da origem e o segundo, a 15 m.Sabendo-se que suas velocidades escalares so, respectiva-

mente, 15 m/s e 10 m/s, o intervalo de tempo decorrido e adistncia a partir da origem onde dar o encontro sero:1 s e 15 ma)1 s e 25 mb)2 s e 25 mc)2 s e 50 md)3 s e 25 me)

(Fuvest-SP) Marta e Pedro combinaram encontrar-se11.em um certo ponto de uma autoestrada plana, para se-guirem viagem juntos. Marta, ao passar pelo marco zeroda estrada, constatou que, mantendo uma velocidademdia de 80 km/h, chegaria na hora certa ao ponto deencontro combinado. No entanto, quando ela j estavano marco do quilmetro 10, fcou sabendo que Pedro ti-nha se atrasado e, s ento, estava passando pelo marcozero, pretendendo continuar sua viagem a uma velocida-de mdia de 100 km/h. Mantendo essas velocidades, seriaprevisvel que os dois amigos se encontrassem prximos aum marco da estrada com indicao de:

km km km km km

a b c d e

20 30 40 50 60( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(ESPM-SP) Dois mveis, A e B, descrevem movimentos12.uniormes numa mesma trajetria retilnea e suas posiesso representadas a seguir:

t (s)

s (m)

8,0

2,0 A

4,00

B

12

O encontro entre os mveis ocorrer no instante:4,0 sa)6,0 sb)8,0 sc)

10 sd)12 se)


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Mdulo 3 Acelerao escalar

Acelerao escalar mdia1.

A acelerao escalar a grandeza sica que nos indica oritmo com que a velocidade escalar de um mvel var ia.A acelerao escalar mdia corresponde acelerao es-

calar que o mvel poderia ter mantido constante num certointervalo de tempo. Por defnio, ela calculada assim:

avt

v v

t tm= =

2 1

2 1

v1

t1

+

t2

v2

No Sistema Internacional (SI), a unidade para a ace-lerao escalar mdia o metro por segundo por segundo(m/s/s), que abreviamos por m/s2. Outras unidades podemser utilizadas, tais como cm/s2 e km/h2.

A acelerao escalar mdia apresenta o mesmo sinal davariao de velocidade escalar instantnea (v), pois o in-tervalo de tempo (t) sempre positivo.

Quando inormamos que num certo intervalo de tempo omvel teve uma acelerao escalar mdia de 2 m/s2, isto sig-nifca que em mdia a sua velocidade escalar esteve aumen-tando de 2 m/s a cada segundo. Em contrapartida, se ela ossede 2 m/s2, isso indicaria que a velocidade escalar do mvelesteve diminuindo em mdia de 2 m/s a cada segundo.

Acelerao escalar instantnea2. a acelerao que um mvel possui em cada instante

de movimento.Tomemos a defnio da acelerao escalar mdia

avtm

=

e consideremos um intervalo de tempo muito

pequeno, prximo de zero. Nessas condies, quanto maisprximo de zero or o intervalo de tempo, mais a aceleraoescalar mdia aproxima-se da instantnea.

avtm

=

, com t prximo de zero.

Em movimentos nos quais a velocidade escalar instan-tnea varia de quantidades iguais em intervalos de tempoiguais, a acelerao escalar uma constante e, portanto, as

aceleraes escalares instantnea e mdia apresentam o mes-

mo valor. Nestes casos, usamos o termo acelerao escalarsem necessidade de especifcar se mdia ou instantnea.

Classifcao3.De modo geral, podemos detalhar esses casos assim:

Movimento acelerado3.1. aquele em que o mdulo da velocidade escalar instan-

tnea aumenta no decorrer do tempo.

80

km/h

a

v

v > 0

a > 0

v > 0

a > 0

80

km/h

a

v

Acelerado

Para que isto ocorra, a acelerao e a velocidade devemter o mesmo sentido, ou seja, os valores escalares de v e apossuem o mesmo sinal.

Movimento retardado3.2. aquele em que o mdulo da velocidade escalar instan-

tnea diminui no decorrer do tempo.

80

km/h

a

v

v > 0

a < 0

v < 0

a > 0

80

km/h

a

v

Retardado

Para que isto ocorra, a acelerao e a velocidade devemter sentidos opostos, ou seja, os valores escalares de v e apossuem o sinais opostos.

Movimento uniorme3.3.

o movimento em que o valor da velocidade escalar(no nula) se mantm constante e isso ocorre quando aacelerao escalar or nula (a = 0).


Uma motocicleta parte do repouso e em 5 s sua a velo-1.cidade escalar atinge 72 km/h. Calcule, nessa arrancada, aacelerao escalar mdia do mvel com unidades no SI.

Resposta:Antes de substituir na rmula da acelerao, devemos

converter a velocidade da moto para m/s. Ou seja:

v

v

v vam

0

0

0

72723 6

20

20 0

5

4

=

= = =

=

=

=

km/h m/s m/s

t = 5 s

a

t

m/sm2

,


10/15

Resposta:Naarrancada:a)

avtm

=

=

=30 0

65 m/s2

avtm

=

=

= 0 30

56 m/s2

b)

v (m/s) 0 5 10 15 20 25 30 24 18 12 6 0t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

DResposta:Nota-se, pelo grfco, que a velocidade escalar do pon-

to material crescente, isto , sua acelerao escalar sempre positiva (a > 0). Comparando os sinais de v e a,temos:

noincio v < 0 e a > 0 retardadoapst1 v > 0 e a > 0 acelerado

CResposta:A acelerao constante de 9,78 m/s2 signifca que a ve-

locidade da esera aumenta de 9,78 m/s a cada 1 s de queda.Essa acelerao denominada gravidade.

78

78

Dada a equao da velocidade de um mvel em uno2.do tempo v = 12 3 t, com unidades no SI, responda se omovimento acelerado ou retardado, nos seguintes inter-valos de tempo:

entre os instantes 1 s e 3 s;a) entre os instantes 4 s e 6 s.b)Resposta:a)t1 = 1 s v1 = 12 3 1 = 9 m/st2 = 3 s v2 = 12 3 3 = 3 m/s

Nesse intervalo de tempo, a velocidade positiva e di-minui seu valor em mdulo, portanto o movimento pro-gressivo e retardado.

b)t3 = 4 s v3 = 12 3 4 = 0 m/s

t4 = 6 s v4 = 12 3 6 = 6 m/sNesse intervalo de tempo, a velocidade torna-se negati-va e aumenta seu valor em mdulo, portanto o movimento retrgrado e acelerado.


Numa pista de prova, um carro parte do repouso e atin-1.ge a velocidade escalar de 108 km/h (30 m/s) aps 6 segun-dos. Imediatamente, o motorista reia de modo que o carropare num intervalo de 5 segundos.

Determine a acelerao escalar mdia do carro em cadaa)etapa de movimento: na arrancada (primeiros 6 s) e na re-ada (ltimos 5 s).

Complete a tabela a seguir, imaginando serem constan-b)tes suas aceleraes escalares em cada etapa.

v(m/s) 0 30 0t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

(UEL-PR) A seguir est representado o grfco da velocida-2.de escalar (v) de um ponto material em uno do tempo (t).

v

tt10

Sobre esse movimento, correto afrmar que: sempre acelerado.a) sempre retardado.b)no muda de sentido.c)no incio retardado e aps td) 1 acelerado.no incio acelerado e aps te) 1 retardado.

(Mackenzie-SP) Ao abandonarmos uma pequena esera3.de ao do telhado de um prdio localizado no centro da ci-dade de So Paulo, ela passa a ter uma acelerao de mdulo9,78 m/s2. Desprezando-se a resistncia do ar, o mdulo da

velocidade da esera:passar a ser constante aps atingir o valor de 9,78 m/s.a)diminui de 9,78 m/s a cada segundo de queda.b)aumenta de 9,78 m/s a cada segundo de queda.c) de 9,78 m/s ao chegar ao solo.d)aumenta razo de 9,78 m/s a cada metro de queda.e)


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Exerccios Propostos

(Unirio-RJ) Caador nato, o guepardo uma espcie de4.

mamero que reora a tese de que os animais predadores es-to entre os bichos mais velozes da natureza. Afnal, a veloci-dade essencial para os que caam outras espcies em buscade alimentao. O guepardo capaz de, saindo do repouso ecorrendo em linha reta, chegar velocidade de 72 km/h emapenas 2,0 segundos, o que nos permite concluir, em tal situa-o, ser o mdulo de sua acelerao mdia, em m/s2, igual a:

(UCG-GO) Se o movimento de uma partcula retrgra-9.

do e retardado, ento a acelerao escalar da partcula :

10a)15b)

18c)36d)

50e)

(FEISP) Uma motocicleta, com velocidade escalar de5.90 km/h, tem seus reios acionados bruscamente e paraaps 25 s. Qual o mdulo da acelerao que os reiosaplicaram na motocicleta?

1 m/sa) 225 m/sb) 2

90 m/sc) 2

2.250 m/sd) 23,6 m/se) 2

(UFPE) Um carro est viajando numa estrada retilnea6.com a velocidade de 72 km/h. Vendo adiante um congestio-namento no trnsito, o motorista aplica os reios durante2,5 s e reduz a velocidade para 54 km/h. Supondo que aacelerao constante durante o perodo de aplicao dosreios, calcule o seu mdulo em m/s2.

1,0a)1,5b)

2,0c)2,5d)

3,0e)

(Unirio-RJ) Numa rodovia, um motorista dirige com ve-7.locidade v = 20 m/s, quando avista um animal atravessandoa pista. Assustado, o motorista reia bruscamente e conse-gue parar 5,0 segundos aps e a tempo de evitar o choque.A acelerao mdia de renagem oi, em m/s2, de:

2,0a)4,0b)8,0c)

10d)20e)

(MackenzieSP) O grfco a seguir indica a velocidade,8.em uno do tempo, de um corpo que se movimenta sobreuma trajetria retilnea. Assinale a alternativa correta.

t

v

A

B C

D

E

F G

H

(Obs. O ponto A a origem dos eixos.)O movimento acelerado nos trechos AB e GH.a)O movimento acelerado nos trechos AB e CD.b)O movimento acelerado o tempo todo.c)O movimento retardado nos trechos CD e GH.d)

O mvel est parado nos trechos BC, DE e FG.e)

nula.a)constanteb)varivel.c)

positiva.d)negativa.e)

(UFRJ) Um mvel, em movimento retilneo, tem velo-10.cidade escalar v variando com o tempo t, de acordo com ogrfco. Podemos afrmar que, entre os instantes:

t

0

v

t1 t

2

t3

t4

t5

0 e ta) 1, o movimento retrgrado acelerado.tb) 1 e t2, o movimento progressivo acelerado.tc) 2 e t3, o movimento retrgrado acelerado.t3 e t4, o mvel est parado.d)te) 4 e t5, o movimento progressivo retardado.

(FEI-SP) Dado o grfco da velocidade v em uno do tem-11.po t, no instante t, podemos afrmar que o movimento :

tt

v

uniorme.a)progressivo acelerado.b)retrgrado acelerado.c)

retrgrado retardado.d)progressivo retardado.e)

(Ual) Analise as afrmaes sobre o movimento, cujo12.grfco da posio x tempo representado abaixo, indican-

do se so verdadeiras (V) ou alsas (F).

tt

s

0 t1

t2

t3

O movimento acelerado de 0 a t)( 1.O movimento acelerado de t)( 1 a t2.O movimento retardado de t)( 2 a t3.A velocidade escalar positiva de 0 a t)( 2.

A velocidade escalar negativa de t)( 1 a t3.


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80

80

Mdulo 4 Movimento uniormemente variado

Acelerao escalar constante1.

Um objeto encontra-se em movimento uniormementevariado (MUV) quando a sua velocidade escalar varia dequantidades iguais em intervalos de tempo iguais. Nestascondies, podemos dizer que a acelerao escalar mdiacoincide com o valor da acelerao escalar instantnea e po-demos cham-la simplesmente de acelerao escalar (a).

a a avt

ctem= = ( )

0

Como no movimento uniormemente variado a acele-rao escalar constante positiva ou negativa, podemosrepresent-la atravs do diagrama horrio abaixo:

0

a

t

PropriedadeA variao de velocidade (v) de um MUV, num interva-

lo de tempo (t), dada por:

v = a t

Geometricamente, isto corresponde rea sob o grfcoa x t.

t

0

a

$t

$v > 0

$v < 0

$t

Funo horria da velocidade2.Considere um mvel traegando em movimento unior-

memente variado, com acelerao escalar a.

(t=0)

(t)

V0

Va

Em destaque na fgura acima, observamos que o mvelno instante t = 0 possui velocidade escalar inicial v0. Aps

um tempo t, ele atinge a velocidade escalar v.

Lembrando que v = a t, podemos deduzir a uno

horria de sua velocidade assim:v = a tv a0 = a (t 0) v = v0 + a tObserve que todo MUV ter esse t ipo de uno, isto ,

trata-se de uma uno matemtica do 1o grau, sendo quev0 e a correspondem aos seus coefcientes linear e angular,respectivamente.

Diagrama horrio da velocidade3.J que a uno horria da velocidade de todo MUV

do primeiro grau, o grfco velocidade x tempo tera orma de uma reta inclinada, a partir da velocidadeinicial v0 .

t

v

0

$v

$t

va

t

$tg Q

$0

v0

v

a>0

v10

t

v0

Q

Observe no grfco que: avt

tg= =

Deslocamento escalar4.Analogamente ao que ocorreu no estudo de movimento

uniorme, a rea compreendida entre o grfco v x t e o eixodos tempos expressa o deslocamento escalar ocorrido nointervalo de tempo escolhido.

V

V0

0 t

v

t

$s

Entre os instantes 0 e t, a rea do trapzio destacadono grfco acima representa o deslocamento escalar eetuadopelo MUV. Podemos, para acilitar o clculo, dividir o trapzioem um retngulo e um tringulo, de orma que, somando-sesuas respectivas reas, teremos o deslocamento (s).

,

V

V0

0 t

v

t$

1

$2$v = at

A v t

Aa

t

1 0

22

2

=

=

s v ta

t= + 0 22


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81Fsica 821 81

Essa expresso horria do 2o grau, denominada unohorria do deslocamento, permite calcular o deslocamen-to escalar ocorrido entre o instante inicial (t = 0) e uminstante fnal (t) qualquer, bastando que se conhea a ve-

locidade escalar inicial (v0) do mvel e a sua aceleraoescalar (a).

Velocidade escalar mdia5.Sabemos que a razo s/t ornece a velocidade esca-

lar mdia de qualquer movimento. Entretanto, no MUV, elatambm pode ser calculada por meio da mdia aritmticadas velocidades instantneas inicial (v0) e fnal (v). Obser-ve a demonstrao a seguir:

v

v0

0 t

v

t

$s

$t

s = rea do trapzio

sv v

t=+

02

vv v

m =+02

Por meio da velocidade escalar mdia calculada, pode-mos tambm determinar o deslocamento escalar aconteci-do. Por exemplo, um carro em MUV que varia sua velocidadeescalar de 15 m/s para 25 m/s, num prazo de 4,0 segundos,desloca:

s v t

sv v

t s m

m=

=+

=+

=02

15 252

4 0 80,

Equao de Torricelli6.A equao de Torricelli uma expresso que relaciona

as trs grandezas undamentais do MUV: velocidade, acele-rao e variao de espao, independentemente do tempo.

A determinao da equao de Torricelli eita apartir da uso das unes horrias da velocidade edo deslocamento, com a eliminao da grandeza tempo.Observe:

v v a t tv v

a= + =

0

0

Substituindo esse valor de t na uno horria do des-locamento, temos:

s v ta

t

s vv v

aa v v

a

= +

=

+

02

00 0

22

2

Desenvolvendo a expresso acima, vem:

v v a s2 02 2= +

Funo horria do espao7.Podemos obter a relao espao-tempo do MUV por meio

da uno horria do deslocamento, j demonstrada. Ob-serve:

s v t a t

s s v ta

t

s s va

t

= +

= +

= + +

0 2

0 02

0 02

2

2

2

Portanto, todo movimento uniormemente variado pos-sui uno horr ia do espao do segundo grau, sendo s0 , v0e a/2 os coefcientes da uno.

Diagrama horrio do espao8.A representao grfca de toda uno matemtica do

segundo grau uma parbola. Como a uno horria doespao do MUV do 2o grau, o grfco s x t ser parab-lico.

a > 0

a < 0

s

s0

t1(inverso)

Parbolas

t

A concavidade da parbola do grfco s x t ser voltadapara cima quando a acelerao escalar do MUV or positi-va. Se a acelerao escalar or negativa, a concavidade daparbola ser voltada para baixo.

Repare que o vrtice da parbola, do grfco s x t acima,ocorre no instante (ti) de inverso do sentido de movimen-to (o mvel deixa de ser progressivo para ser retrgrado, ouvice-versa). Dessa orma, o instante do vrtice da parbola,no grfco s x t, sempre representa o momento em que avelocidade do mvel nula.


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CResposta:

v0723 6

= =,

m/s 20 m/s

v v a s

s s m

202

2 2

2

0 20 2 5 40

= +

= + ( ) =

Logo,ocarroparaaumadistnciadavacaiguala

d = 100 m 40 m d = 60 m.

AResposta:v = v1. 0 + a tv = 0 + 2 3 v = 6 m/s

s v ta

t

d d m

= +

= + =

02

2

2

0 322

3 9

2.

BResposta:Por comparao, temos:

s s v ta

t

s t t

v v= + +

= + +

= =

0 02

2

2

3 5 1

5 2m/s e m/s2

82

82


Um automvel com velocidade escalar de 90 km/h (ou1.

seja, 25 m/s) reado uniormemente e vem a parar aps10 s. Analisando esta renagem, calcule:a acelerao escalar do carro;a)seu deslocamento escalar at parar.b)Resposta:v = va) 0 + a t0 = 25 + a 10 a = 2,5 m/s2

s v ta

t

s s m

= +

= +

=

02

2

2

25 102 52

10 125,

b)

Podemos tambm calcular o deslocamento escalar semutilizar a acelerao escalar. Observe:

s v tv v

t s

s m

m= =+

=

=

0

225 0

210

125

Um carro parte do repouso com uma acelerao escalar2.

constante de 2,0 m/s2

e percorre 25 m. Nesse percurso:Qual a velocidade escalar fnal atingida pelo carro?a)Qual a sua velocidade escalar mdia?b)Resposta:Nota-se pelos dados a ausncia da grandeza tempo.a)

Logo, devemos determinar a velocidade atingida atravs deuma equao no horria. Usando a equao de Torricelli,temos:

v v a s

v v m s

202

2 2

2

0 2 2 25 10

= +

= + =

/

v v v

v v m s

m

m m

= +

=+

=

02

0 102

5 0, /

b)


(Fuvest-SP) Um veculo parte do repouso, em movimen-1.to retilneo, e acelera razo constante de 2 m/s2. Pode-sedizer que sua velocidade e a distncia percorrida, aps 3 s,valem, respectivamente:

6 m/s e 9 ma)6 m/s e 18 mb)3 m/s e 12 mc)12 m/s e 36 md)2 m/s e 2 me)

no conseguir evitar a coliso com o animal.a)conseguir parar o carro exatamente na rente do animal.b)conseguir parar o carro a 60 m do animal.c)conseguir parar o carro a 50 m do animal.d)conseguir parar o carro a 40 m do animal.e)

(Vunesp) Durante uma v iagem pelo interior de So Paulo,2.um motorista de carro desloca-se retil ineamente com veloci-dade escalar constante de 72 km/h, quando v uma vaca pa-rada no meio da pista, a 100 m de distncia. Imediatamenteele aciona os reios, adquirindo uma acelerao escalar cons-tante de mdulo 5,0 m/s2. Pode-se afrmar que o motorista:

(UFRJ) Um ponto material descreve uma trajetria re-3.tilnea em relao a um sistema de reerncia e sua uno

horria do espao dada por:s = 3 + 5 t + t2 (s em metros e t em segundos)Podemos afrmar que a sua velocidade inicial e a sua

acelerao escalar so, respectivamente:3 m/s e 5 m/sa) 2

5 m/s e 2 m/sb) 2

5 m/s e 1 m/sc) 2

3 m/s e 10 m/sd) 2

5 m/s e 0,5 m/se) 2


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Exerccios Propostos

Considerando que ele mantm a mesma acelerao entre

os instantes t = 0 e t = 7 segundos, determine a distnciapercorrida neste intervalo de tempo. Expresse sua respostaem metros.

(Mackenzie-SP) Um trem de 100 m de comprimento, com9.velocidade escalar de 30 m/s, comea a rear com acelera-o escalar constante de mdulo 2,0 m/s2, no instante emque inicia a ultrapassagem de um tnel. Esse trem para nomomento em que seu ltimo vago est saindo do tnel. Ocomprimento do tnel :

25 ma)50 mb)75 mc)100 md)125 me)

(ESPM-SP) O movimento uniormemente variado de10.uma partcula representado pelo grfco posio x tempoadiante:

0 4 8

10

s (m)

t (s)

Podemos afrmar que a velocidade escalar inicial vale:1,25 m/sa)2,5 m/sb)5,0 m/sc)10 m/sd)40 m/se)

(PUC-SP) Duas partculas, A e B, movem-se numa11.mesma trajetria retilnea, de modo que suas posiesobedecem s equaes: sA = 10 + 4 t e sB = 2 t

2, em quesA e sB so medidos em metros e t em segundos. Pode-seafrmar que:

o movimento de A acelerado.a)o movimento de B uniorme.b)a acelerao de A de 4 m/sc) 2.a acelerao de B de 4 m/sd) 2.os mveis estaro juntos no instante t = 2 s.e)

(UFPE) A equao horria, durante os primeiros 8 se-12.gundos, de um ciclista que se move ao longo de uma pistareta dada por x = 4t + t2, com x medido em metros e t,em segundos. Qual a sua velocidade no instante t = 8,0 s?Expresse sua resposta em km/h.

(Ceet-MG) Um mvel parte do repouso, desloca-se em4.

movimento retilneo sobre um plano horizontal e tem suaacelerao (a) em uno do tempo (t) descrita pelo grfco.

0

a (m/s2)

t (s)1 2 3 4 5

6

4

2

A velocidade, em m/s, e a distncia percorrida, em m,at o instante t = 5 s so, respectivamente:

6 e 75.a)6 e 150.b)

15 e 150.c)30 e 75.d)

30 e 150.e)

(UFSCar-SP) Em um piso horizontal um menino d um em-5.purro em seu caminhozinho de plstico. Assim que o con-tato entre o caminhozinho e a mo do menino deseito,observa-se que em um tempo de 6,0 s o brinquedo oi capaz depercorrer uma distncia de 9,0 m at cessar o movimento. Sea desacelerao do caminhozinho se manteve constante, avelocidade inicial obtida aps o empurro, em m/s, oi de

1,5.a)3,0.b)

4,5.c)6,0.d)

9,0.e)

(Unicamp-SP) Um corredor de 100 metros rasos percorre6.os 20 primeiros metros da corr ida em 4,0 s com aceleraoconstante. A velocidade atingida ao fnal dos 4,0 s entomantida constante at o fnal da corrida.

Qual a acelerao do corredor nos primeiros 20 m daa)corrida?

Qual a velocidade atingida ao fnal dos primeiros 20 m?b)Qual o tempo total gasto pelo corredor em toda a prova?c)

(PUCCamp-SP) Um automvel parte do repouso no ins-7.tante t = 0 e acelera uniormemente com 5,0 m/s2, durante10 s. A velocidade escalar mdia do automvel entre os ins-tantes t = 6,0 s e t = 10 s, em m/s, oi de:

40a)35b)

30c)25d)

20e)

(UFPE) O grfco da velocidade em uno do tempo de8.um ciclista, que se move ao longo de uma pista retilnea, mostrado abaixo.

0

v (m/s)

t (s)1 2 3 4

12

8

4

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Welson Apostila Mu e Muv