xvi 2004 anais - Departamento de Matemática - UEM · Marcelo Escudeiro Hernandes Ryuichi Fukuoka Débora G. Alves de Moura (Téc. Adm.) ... Patrícia Dias Lopes (Acad.) Rennê Garcia

ISSN 1677-9282

Universidade Estadual de Maringá Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

Anais da XVI Semana da Matemática

29/11/04 a 03/12/04

Maringá – PR

Universidade Estadual de Maringá Centro de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Maringá – PR

Anais da XVI Semana da

Matemática

29/11/04 a 03/12/04

ISSN 1677-9282

Reitor Coordenação Geral Gilberto Cezar Pavanelli Osvaldo Germano do Rocio

Vice-Reitor Comissão Organizadora Ângelo Priori Ana Paula Peron

Alexandre José Santana Diretoria do Centro de Ciências Exatas Nilson Evelázio de Souza

Paulo Toshio Udo

Emerson Luiz do Monte Carmelo João Roberto Gerônimo Marcelo Escudeiro Hernandes Ryuichi Fukuoka Débora G. Alves de Moura (Téc. Adm.)

Bruno Augosto Carrilho Coga (Acad.) Carla Onishi (Acad.) Chefia do Departamento de Matemática Carlos José Braga Barros Eduardo Brandani da Silva Coordenação do Colegiado do Curso de Matemática

Osvaldo Germano do Rocio Ana Paula Peron

Frederico Antonio B. Júnior (Acad.) Ismaller Lemes da Silva (Acad.) Jackson Luchesi (Acad.) Josvan Gomes Mandú (Acad.) Ketilin Mireile Zan (Acad.) Patrícia Dias Lopes (Acad.) Rennê Garcia Paiva (Acad.) Thiago Fabrício Baqueata Dias (Acad.)

Endereço para correspondência

Universidade Estadual de Maringá Departamento de Matemática Av. Colombo, 5.790, Jardim Universitário CEP 87.020-900, Maringá – PR Fone: (44) 261-4933 E-mail: [email protected]

Organização e Supervisão Editorial Alexandre José Santana Marcelo Escudeiro Hernandes João Roberto Gerônimo Capa (Composição e foto) : Comissão organizadora do evento

ISSN 1677-9282

Sumário

APRESENTAÇÃO..............................................................................1

OBJETIVOS .......................................................................................1

PROGRAMAÇÃO GERAL.................................................................3 PERÍODO NOTURNO :.........................................................................5 CONFERÊNCIAS E COMUNICAÇÕES .....................................................5 PERÍODO DIURNO: ATIVIDADES ..........................................................6

PROGRAMAÇÃO DIÁRIA .................................................................7 SEGUNDA-FEIRA (29/11/04)...............................................................9 TERÇA-FEIRA (30/11/04) .................................................................10 QUARTA-FEIRA (01/12/04)...............................................................11 QUINTA-FEIRA (02/12/04)................................................................12 SEXTA-FEIRA (03/12/04) .................................................................13

RESUMO DAS CONFERÊNCIAS....................................................15

A COMPREENSÃO DA FECUNDIDADE DA MATEMÁTICA MEDIANTE UMA INVESTIGAÇÃO PSICOGENÉTICA SOBRE AS RELAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES E PERÍMETROS EM CRIANÇAS OUVINTES E SURDAS................................................17

ALISSON BACICHETI ........................................................................17 ELIANA PAULA MIZUTAMI ZANINI ......................................................17 CLÉLIA MARIA IGNATIUS NOGUEIRA .................................................17

RELAÇÕES ENTRE A ÁLGEBRA E A GEOMETRIA ....................19 CARLOS JOSÉ BRAGA BARROS ........................................................19

SOFTWARE LIVRE: APLICATIVOS CIENTÍFICOS- MAXIMA ......20 CID MARCOS G. ANDRADE...............................................................20

CONSTRUINDO O CONCEITO DE FUNÇÕES ..............................22 CLÉLIA MARIA IGNATIUS NOGUEIRA .................................................22

ATELIÊ DE JOGOS MATEMÁTICOS: UM LOCAL PARA PENSAR E DIVERTIR......................................................................................23

FERNANDA BRITO CHERBA LUCAS ..................................................23 CLÉLIA MARIA IGNATIUS NOGUEIRA .................................................23

Anais da XVI Semana da Matemática, 2004

OS CAMINHOS DA MATEMÁTICA.................................................24 FREDERICO ANTÔNIO BORGES JÚNIOR ............................................24

PODE UMA GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA SER EUCLIDIANA?..........................................................................................................25

JOSÉ CARLOS CIFUENTES ...............................................................25 ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA: CONCEITOS, DEFINIÇÕES E APLICAÇÕES ..................................................................................26

JOSMAR MAZUCHELI .......................................................................26 NÓS E ENLAÇAMENTOS DE FORMA INTUITIVA ........................27

LUCIANA F. MARTINS BRITO ............................................................27 O TEOREMA DE BANACH-TARSKI...............................................29

LUCIANO PANEK .............................................................................29 CLASSIFICAÇÃO DOS GRUPOS DE WEYL ................................30

MÁRCIA A. DE SÁ MATHEUS ............................................................30 UMA VISÃO GEOMÉTRICA DAS SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.................................................................................31

MARCO ANTONIO TEIXEIRA .............................................................31 O MÉTODO DAS CARACTERÍSTICAS E SUAS APLICAÇÕES...32

MARIANA MORAN ............................................................................32 UMA APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS - MODELOS UNIDIMENSIONAIS E BIDIMENSIONAIS DE TRANSPORTE DE POLUENTES....................................................33

NEYVA MARIA LOPES ROMEIRO .......................................................33 TEORIA DE CONTROLE E CÁLCULO ESTOCÁSTICO................34

PAULO RÉGIS C. RUFFINO ..............................................................34 O QUE É O MOVIMENTO BROWNIANO? .....................................36

PEDRO JOSÉ CATUOGNO ................................................................36 A SITUAÇÃO DA UNIVERSIDADE E O MOVIMENTO ESTUDANTIL NA MATEMÁTICA: DISCUSSÃO SOBRE A FORMAÇÃO DE UMA EXECUTIVA DE CURSO............................37

Sumário

PIERRE ALERRANDRO GOMES .........................................................37 SEMIGRUPOS MAXIMAIS NO GRUPO DE HEISENBERG...........38

PRISCILA AMARA PATRICIO DE MELO ...............................................38 O TEOREMA DE BÉZOUT – A FORMALIZAÇÃO MATEMÁTICA DE TENDÊNCIAS ARTÍSTICAS DA RENASCENÇA.....................39

RAQUEL POLIZELI ...........................................................................39 RESUMO DOS MINICURSOS .........................................................41

SIMETRIAS NO PLANO ..................................................................43 CLÉLIA MARIA IGNATIUS NOGUEIRA .................................................43 JOÃO ROBERTO GERÔNIMO ............................................................43 RUI MARCOS OLIVEIRA BARROS ......................................................43 VALDENI SOLIANI FRANCO ...............................................................43

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS.........................................................44

DOHERTY ANDRADE ........................................................................44 PLANEJAMENTOS COMBINATÓRIOS..........................................45

EMERSON LUIZ DO MONTE CARMELO ..............................................45 RESUMO DAS OFICINAS ...............................................................47

MATEMÁTICA RECREATIVA E A FORMAÇÃO DE PROFESSORES...............................................................................49

CLÉLIA MARIA IGNATIUS NOGUEIRA .................................................49 RUI MARCOS DE OLIVEIRA BARROS .................................................49

ORIGAMI: A CADA DOBRA MUITAS DESCOBERTAS................51

Apresentação

O Departamento de Matemática, nos seus mais de 30 anos de existência, tem organizado, eventos de natureza acadêmico-científica para divulgação das suas atividades, bem como para interação entre acadêmicos e profissionais ligados a área de matemática. Dentre estes eventos, a “Semana da Matemática” é o evento regular de maior importância do DMA, pois além de ser realizada periodicamente nos últimos 23 anos, conta com a participação dos acadêmicos e professores do DMA, de outros departamentos da UEM, de outras instituições de ensino superior do Paraná e do Brasil, além de alunos e professores do Ensino Básico. Como é tradicional, o evento conta com a participação de pesquisadores e educadores renomados do Brasil, proporcionando aos alunos a oportunidade de adquirir novos conhecimentos e de se relacionarem com professores e acadêmicos de outras instituições. Além disso, propiciamos aos professores do ensino básico uma atualização, com o objetivo de despertar o interesse em aprimorar e atualizar seus conhecimentos contribuindo para uma melhor qualidade do ensino de matemática da rede pública.

Objetivos

• Integrar acadêmicos do DMA com professores e alunos do Ensino Básico e com professores e acadêmicos de outras Instituições de Ensino Superior.

• Proporcionar aos acadêmicos um contato com as diversas áreas de pesquisa, possibilitando uma escolha mais consciente para uma possível pós-graduação.

• Proporcionar a professores do Ensino Básico uma atualização de seus conhecimentos.

• Estimular o aluno do curso de Matemática a realizar atividades extracurriculares que visem a complementação de sua formação.

Programação Geral


4

Programação Geral

5

PERÍODO NOTURNO : CONFERÊNCIAS e COMUNICAÇÕES

Título Conferencista Instituição

P01 A Situação da Universidade e o Movimento Estudantil na Matemática: Discussão sobre

a formação de uma Executiva de Curso

Pierre Alerrandro Gomes Fernandez DPI-UEM

P02 Os Caminhos da Matemática Frederico Antônio Borges Júnior DMA-UEM

P03 Uma Visão Geométrica das Soluções de Equações Diferenciais

Prof. Dr. Marco Antônio Teixeira

IMECC UNICAMP

P04 Nós e Enlaçamentos de Forma Intuitiva Profa. Dra. Luciana F. Martins Brito

IBILCE UNESP

P05 Software livre: Aplicativos Científicos - Maxima

Prof. Dr. Cid Marcos Gonçalves Andrade DEQ-UEM

P06 Relações entre Álgebra e a Geometria Prof. Dr. Carlos José Braga Barros DMA-UEM

P07 Pode uma Geometria não-Euclidiana ser Euclidiana?

Prof. Dr. José Carlos Cifuentes UFPR

P08 Análise de Sobrevivência: Conceitos, Definições e Aplicações Prof. Dr. Josmar Mazucheli DES-UEM

P09 O que é Movimento Browniano? Prof. Dr. Pedro José Catuogno

IMECC UNICAMP

P10 Noções Básicas de Teoria de Controle e Cálculo Estocástico Prof. Dr. Paulo Ruffino IMECC

UNICAMP

P11 Uma Aplicação das Equações Diferenciais

Parciais – Modelos Unidimensional e Bidimensional de Transporte de Poluentes

Profa. Dra. Neyva Maria Lopes Romeiro UEL

P12 O Teorema de Banach-Tarski e um comentário sobre seu impacto na Física Prof. Luciano Panek DMA-UEM

P13 Construindo o Conceito de Funções Profa. Dra. Clélia Maria Iganatius Nogueira DMA-UEM

C1 Semigrupos Maximais no Grupo de Heisenberg

Priscila Amara Patrício de Melo DMA-UEM

C2 O Teorema de Bézout – A Formalização Matemática de Tendências Artísticas da

Renascença Raquel Polizelli DMA-UEM

C3 O Método das Características e suas Aplicações Mariana Moran DMA-UEM

C4 Classificação dos Grupos de Weyl Márcia Alves de Sá Matheus DMA-UEM

C5

A compreensão da Fecundidade na Matemática Mediante uma

Investigação Psicogenética sobre as relações entre superfícies e

perímetros em crianças ouvintes e surdas

Alisson Bacichetti e Eliana Paula Mizutani Zanini DMA-UEM

C6 Ateliê de Jogos Matemáticos: Um Local para Pensar e Divertir

Fernanda Brito Cherba Lucas DMA-UEM


6

Período Diurno: Atividades Título Professores Instituição

MR Matemática Recreativa e a Formação de Professores

Profa. Dra. Clélia M. I. Nogueira e Prof. Dr. Rui

M. O. Barros DMA-UEM

Of1

ORIGAMI: A cada dobra, muitas descobertas

Carina Pancote de Lima e Maura Massami

Kurihara FAFIMAN

M1 Simetrias no Plano

Profa. Dra. Clélia M. I. Nogueira, Prof. Dr. João R. Gerônimo, Prof. Dr.

Rui M. O. Barros e Prof. Dr. Valdeni S. Franco

DMA-UEM

M2 Métodos Numéricos para EDO Prof. Dr. Doherty Andrade DMA-UEM

M3 Planejamentos Combinatórios Prof. Dr. Emerson Luiz do Monte Carmelo DMA-UEM

Programação Diária


8


9

Segunda-feira (29/11/04)

Título Conferencista Local Horário M2

Métodos Numéricos para EDO

Prof. Dr. Doherty Andrade

Auditório Bloco F67

13h30–15h10

Intervalo 15h10-15h30

M1

Simetrias no Plano

Profa. Dra. Clélia M. I. Nogueira, Prof. Dr. João R. Gerônimo, Prof. Dr. Rui M. O. Barros e Prof. Dr. Valdeni S. Franco

Bloco F67 Sala 104 15h30-17h30

Abertura

Anfiteatro do

Bloco F67

19h30–20h10

P01

A Situação da

Universidade e o Movimento Estudantil na Matemática: Discussão

Sobre a formação de uma Executiva de Curso

Pierre Alerrandro Gomes Fernandez

Anfiteatro do Bloco F67

20h10-20h50

Intervalo

20h50-21h10

P02

Os Caminhos da

Matemática

Frederico Antônio

Borges Júnior

Anfiteatro do

Bloco F67

21h10-21h50


10

Terça-feira (30/11/04)

Título Conferencista Local Horário

M2 Métodos Numéricos para EDO



13h30–15h10


M1

Simetrias no Plano


Bloco F67 Sala 104

15h30-17h30

P03

Uma Visão Geométrica

das Soluções de Equações Diferenciais

Prof. Dr. Marco Antonio Teixeira

Anfiteatro do

Bloco F67

19h30–20h10

P04

Nós e enlaçamentos de

forma intuitiva

Profa. Dra. Luciana F.

Martins Brito

Anfiteatro do

Bloco F67

20h10-20h50

Intervalo

20h50-21h10

P05

Software livre: Aplicativos

Científicos - Maxima

Prof. Dr. Cid Marcos Gonçalves Andrade

Anfiteatro do

Bloco F67

21h10-21h50

P06

Relações entre Álgebra e

Geometria

Prof. Dr. Carlos José

Braga Barros

Anfiteatro do

Bloco F67

21h50-22h30


11

Quarta-feira (01/12/04)


M2

Métodos Numéricos para EDO



13h30–15h10

Of1

A cada dobra, muitas descobertas

Carina Pancote de Lima e Maura

Massami Kurihara

Bloco F67 Sala 104

13h30-15h10


M3

Planejamentos Combinatórios

Prof. Dr. Emerson Luiz do Monte

Carmelo


15h30-17h30

Of1

A cada dobra, muitas descobertas

Carina Pancote de Lima e Maura

Massami Kurihara

Bloco F67 Sala 104

15h30-17h30

P07

Pode uma Geometria não-Euclidiana ser Euclidiana?

Prof. Dr. José Carlos

Cifuentes

Anfiteatro do

Bloco F67

19h30-20h10

P08

Análise de Sobrevivência: Conceitos, Definições e

Aplicações

Prof. Dr. Josmar

Mazucheli

Anfiteatro do

Bloco F67

20h10-20h50

Intervalo

20h50-21h10

C1

Semigrupos Maximais no

Grupo de Heisenberg

Priscila Amara

Patrício de Melo

Anfiteatro do

Bloco F67

21h10-21h30

C2

O Teorema de Bézout – A Formalização Matemática de Tendências Artísticas

da Renascença

Raquel Polizelli

Anfiteatro do

Bloco F67

21h30-21h50

C3

O Método das

Características e suas Aplicações

Mariana Moran

Anfiteatro do

Bloco F67

21h50-22h10


12

Quinta-feira (02/12/04)



Profa. Dra. Clélia M. I. Nogueira e Prof. Dr.

Rui M. O. Barros

Bloco F67

Salas 101-104

07h45-09h25




Rui M. O. Barros

Bloco F67

Salas 101-104

09h40–11h30

M1 Simetrias no Plano


Bloco F67 Salas 101-104

13h30-15h10

MR Matemática Recreativa e a

Formação de Professores


Rui M. O. Barros

Bloco F67

Salas 101-104

13h30-15h10


M3



Carmelo


15h30-17h30



Rui M. O. Barros

Bloco F67

Salas 101-104

15h30-17h30

P09

O que é Movimento

Browniano?

Prof. Dr. Pedro José

Catuogno

Anfiteatro do

Bloco F67

19h30-20h10

P10

Noções Básicas de Teoria

de Controle e Cálculo Estocástico

Prof. Dr. Paulo

Ruffino

Anfiteatro do

Bloco F67

20h10-20h50


P11

Uma Aplicação das Equações Diferenciais

Parciais – Modelos Unidimensional e Bidimensional de

Transporte de Poluentes

Profa. Dra. Neyva

Maria Lopes Romeiro

Anfiteatro do

Bloco F67

21h10-21h50

P12

O Teorema de Banach-Tarski e um Comentário sobre seu Impacto na

Física

Prof. Luciano Panek

Anfiteatro do

Bloco F67

21h50-22h30


13

Sexta-feira (03/12/04)


MR

Matemática Recreativa e a Formação de Professores


Rui M. O. Barros

Bloco F67

Salas 101-104

07h45-09h25




Rui M. O. Barros

Bloco F67

Salas 101-104

09h40–11h30

MR Matemática Recreativa e a

Formação de Professores


Rui M. O. Barros

Bloco F67

Salas 101-104

13h30-15h10


M3



Carmelo


15h30-17h30



Rui M. O. Barros

Bloco F67

Salas 101-104

15h30-17h30

P13

Construção o Conceito de Funções

Profa. Dra. Clélia Maria Ignatius

Nogueira

Anfiteatro do

Bloco F67

19h30-20h10

C4

Classificação dos Grupos

de Weyl

Márcia Alves de Sá

Matheus

Anfiteatro do

Bloco F67

20h10-20h30

C5

A Compreensão da Fecundidade da

Matemática Mediante uma Investigação

Psicogenética sobre as Relações entre

Superfícies e Perímetros em Crianças Ouvintes e

Surdas

Alisson Bacichetti e Eliana Paula

Mizutani Zanini


20h30-20h50

C6 Ateliê de Jogos Matemáticos: Um local para pensar e divertir

Fernanda Brito Cherba Lucas


20h50-21h10

Resumo das Conferências


16

Resumo das Oficinas

17

A Compreensão da Fecundidade da Matemática Mediante uma Investigação Psicogenética sobre as Relações entre Superfícies e Perímetros em Crianças

Ouvintes e Surdas

Alisson Bacicheti 1

Eliana Paula Mizutami Zanini 2

Clélia Maria Ignatius Nogueira 3

São três os principais problemas epistemológicos da Matemática: o de sua fecundidade, apesar de partir de poucos conceitos e axiomas relativamente pobres; o de se impor de maneira necessária, permanecendo rigorosa, apesar de seu caráter construtivo e; o de seu acordo com a experiência ou a realidade física, apesar de sua natureza totalmente dedutiva. Os três problemas despertam interesse, mas a questão de saber “quanta Matemática é possível?” intriga, sobremaneira, os jovens iniciantes no estudo dessa ciência. Para Piaget, a fecundidade da Matemática se deve, de maneira geral, à possibilidade de introduzir, indefinidamente, operações sobre operações, além de combinar estruturas. Na linguagem piagetiana, isso poderia ser traduzido assim: a fecundidade da Matemática é devida ao fato de sua construção ser realizada mediante a abstração reflexionante. É esse mesmo processo que se pode estudar quando da análise das relações entre superfícies e perímetros em crianças. E. Lunzer e Ving-Bang já estudaram, há vários anos, as relações entre superfície e perímetro nos retângulos, cuja forma se modifica, deixando invariável um destes dois aspectos. Eles puseram em evidência, entre outros, o fato notável de que, com o progresso das noções de conservação nas crianças, estas são levadas a considerá-los, todos os dois, como se conservando simultaneamente, em virtude de uma ligação aparentemente necessária, que perdura até por volta dos 11 anos. Assim, este projeto tem

1 Acadêmico do Curso de Matemática – UEM e-mail: [email protected] 2 Acadêmica do Curso de Matemática – UEM e-mail: [email protected] 3 Docente do Departamento de Matemática – UEM e-mail: [email protected]


18

por objetivo analisar o processo de abstração reflexionante nas crianças, cotejando-o com o desenvolvimento da própria Matemática pelos matemáticos. Até o presente momento, nossas pesquisas se resumem ao estudo acerca das diferentes epistemologias, verificando a importância da matemática para o desenvolvimento das mesmas, passando pelas diversas correntes do pensamento matemático, tais como, o intuicionismo, o formalismo e o logicismo, para se fixar, sobremaneira, na epistemologia da matemática, à luz da epistemologia genética.

Resumo das Oficinas

19

Relações entre a Álgebra e a Geometria

Carlos José Braga Barros 1

Nesta apresentação pretendemos explorar alguns conceitos básicos de álgebra com um forte apelo à geometria. Embora estas duas áreas importantes da Matemática estejam fortemente relacionadas, em geral este relacionamento não tem sido explorado nos livros tradicionais de Álgebra. Pretendemos definir e explorar geometricamente os conceitos de Semigrupos, Grupos e seus Subgrupos. Apresentaremos também o conceito de ação de um grupo em um conjunto. Nossa exposição é motivada na teoria de Grupos Topológicos. Inicialmente introduziremos o conceito de semigrupo e apresentaremos exemplos geométricos de semigrupos. Para ilustrar o conceito de grupo introduziremos um exemplo interessante de grupo que é o toro. O toro pode ser definido como o produto cartesiano de duas circunferências de raio unitário, que também são exemplos de grupos. Um teorema importante, apresentado nos cursos básicos de álgebra, é o teorema de Lagrange. Apresentaremos uma demonstração do teorema de Lagrange utilizando o conceito, proveniente da geometria, de translação em um grupo. As translações são definidas do grupo e a valores no grupo, sendo também bijetoras.

1 Docente do Departamento de Matemática - UEM e-mail: [email protected]


20

Software Livre: Aplicativos Científicos- Maxima

Cid Marcos G. Andrade 1

O objetivo desta palestra é introduzir o conceito de software livre e do sistema operacional Linux. Apresentar alguns softwares livres científicos e fazer aplicações do MAXIMA.

Tópicos a serem abordados, na forma de introdutória: 1. Introdução ao Conceito de Software Livre 2. Sistema Operacional: LINUX 3. Processador para textos científicos: LATEX 4. Planilha de cálculo: CALC 5. Programa estatístico: R 6. Programa para cálculo numérico: OCTAVE 7. Programa para simulação dinâmica: SCILAB Tópico a ser apresentado com aplicações e algumas

comparações com o MAPLE®. 8. Programa para matemática simbólica: MAXIMA

Referências: [1] Almeida, R. Q. de. Tudo o que você queria saber sobre GNU/Linux e tinha medo de perguntar. Palestra apresentada no I workshop Linux Açores, Portugal. 2003 [2] GNU Operating System - Free Software Foundation. http://www.fsf.org/ [3] Domingues, M. O.; Mendes Junior, O. Introdução a Programas Científicos de Distribuição Gratuita: GNU/Octave, GNU/Máxima, Látex, GNU/RCS. Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional. Natal, Rio Grande do Norte, 2002. [4] Santos, R. J. Introdução ao Látex. Universidade Federal de Minas Gerais. 2002. http://www.mat.ufmg.br/~regi. [5] Open Office.org Calc. Departamento de Informática. Universidade de Caxias do Sul. http://dein.ucs.br/openoffice/ [6] Venable, W. N.; Smith, D. M. An Introduction to R. 2004. http://www.r-project.org/

1 Docente do Departamento de Engenharia Química - UEM e-mail: [email protected]

Resumo das Oficinas

21

[7] Souza, P. N. De, et al. The Máxima Book. 2002. http://maxima.sourceforge.net/ [8] Eaton, J. W. GNU Octave. Network Theory Limited, USA, 1997. [9] Pires. P. S. M. Introdução ao Scilab. Versão 1.0. UFRGN, 2001. [10] Nikoukhah, R.; Steer, S. Scicos- A Dynamic System Builder and Simulator. http://www-rocq.inria.fr/scilab/


22

Construindo o Conceito de Funções


A construção do conceito de função pela humanidade demorou muito tempo. Os primeiros indícios surgiram com os pitagóricos (séc. VI a.C.) porém sua definição, em termos matemáticos, só apareceu pela primeira vez no século XVII, num trabalho de Newton. Como a Matemática não é uma ciência desvinculada da realidade, os conceitos matemáticos emergem sempre relacionados a problemas fundamentais, de interesse prático ou teórico. O conceito de função surgiu a partir da busca incessante de cientistas e filósofos em explicar a realidade, mais especificamente, da necessidade de se construir um quadro explicativo para os fenômenos naturais, como o movimento dos corpos, a vaporização da água ou a germinação de uma semente. Fenômenos, enfim, que relacionam “causa-efeito” ou, em linguagem matemática, a dependência entre variáveis. O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. É a função que dá mobilidade à Matemática, que a retira da sua rigidez estática permitindo a representação e o estudo de fenômenos móveis. Apesar da importância desse conceito e dos matemáticos estarem depurando sua definição desde o século XVII, o ensino de funções ficou restrito, pelo menos até à metade do século XIX, ao ensino superior. Com o advento do movimento da Matemática Moderna e a tentativa de aproximação entre a ciência Matemática e a Matemática escolar, passou-se a recomendar o ensino desse conceito a partir do terceiro ciclo do Ensino Fundamental. Posteriores reformas o conduziram para o primeiro ano do Ensino Médio, devido à constatação da impossibilidade de os alunos menores de 14 anos e ainda sem maturidade matemática, compreenderem o alto nível de formalidade com o qual o tópico funções passou a ser tratado. O objetivo principal deste trabalho é mostrar que, se os motivos que foram determinantes para o surgimento do conceito de funções, tais como: a necessidade de analisar fenômenos, descrever regularidades, interpretar interdependências e as generalizar forem considerados juntamente com a análise das noções básicas envolvidas na construção do conceito em questão (variável, dependência, regularidade e generalização) e dos diferentes níveis de compreensão da idéia de função (compreensão intuitiva, matematização inicial, abstração e formalização), não apenas a complexidade e a demora do processo de construção do conceito de função pelo educando torna-se mais compreensível pelo professor como, também, descortinam-se possibilidades para facilitar a sua construção a partir do primeiro ano do terceiro ciclo do Ensino Fundamental, isto é, com crianças com idade variando entre 10 a 12 anos.

1 Docente do Departamento de Matemática – UEM e-mail: [email protected]

Resumo das Oficinas

23

Ateliê de Jogos Matemáticos: Um Local para Pensar e Divertir

Fernanda Brito Cherba Lucas 1


O objetivo deste trabalho é apresentar as atividades que vêm sendo desenvolvidas no Ateliê de Jogos Matemáticos que integra o do Projeto de Extensão interdepartamental Atividades Alternativas para Pessoas com Necessidades Especiais. Com coordenação geral do DTP – Departamento de Teoria e Prática da Educação da UEM, o projeto é composto dos ateliês de letramento, de música, de artes, de informática, de coordenação motora e de jogos matemáticos. Cada ateliê tem seu espaço, coordenação e estagiários próprios e atende a uma clientela bastante heterogênea, o que torna a experiência para os acadêmicos da Licenciatura em Matemática extremamente fecunda, por possibilitar a vivência de situações de ensino e aprendizagem em ambiente informal e enfrentando dificuldades que extrapolam, em muito, a mera transposição didática de conteúdos específicos. O Ateliê de Jogos Matemáticos foi incorporado, a partir de 1997, ao Projeto de Extensão Atividades Alternativas para Pessoas com Necessidades Especiais, este último em funcionamento desde 1995, com os objetivos de promover o convívio e a interação entre os indivíduos a partir da execução de jogos em grupo, propiciar condições de análise e reflexão, favorecer a construção das estruturas lógico-elementares, estimular habilidades de percepção de linguagem e memória, reconhecer numerais e quantidades e contar com significado. Concebido inicialmente para proporcionar um “espaço para pensar” para pessoas com necessidades especiais, o Ateliê de Jogos Matemáticos assume, também, características de intervenção psicopedagógica, em função das próprias necessidades apresentadas pelos educandos que determinam, então, a direção a seguir.

1 Acadêmica do Curso de Matemática – UEM. e-mail: [email protected] 2 Docente do Departamento de Matemática – UEM. e-mail: [email protected]


24

Os Caminhos da Matemática

Frederico Antônio Borges Júnior 1

Para muitos de nós alunos que ingressamos no curso de Matemática, o caminho a ser trilhado rumo a uma área específica de trabalho é muito obscuro diante da pouca informação que recebemos a este respeito. Durante o curso, o que ficamos sabendo é que podemos escolher entre a linha do bacharelado ou da licenciatura. Mas o que isso realmente significa? É apenas optar entre ser professor/pesquisador universitário ou professor do ensino fundamental/médio? Então surge a duvida: o que fazer depois? São apenas essas as possibilidades? Se existem outras, quais são?

1 Acadêmico do Curso de Matemática – UEM e-mail: [email protected]

Resumo das Oficinas

25

Pode uma Geometria Não-euclidiana ser Euclidiana?

José Carlos Cifuentes 1

Esta palestra pretende discutir a caracterização da “euclidianidade” de uma geometria. No caso da geometria plana, costuma-se focalizar a condição de uma tal geometria ser euclidiana se satisfazer o axioma das paralelas, o que eqüivale ao fato de a soma dos ângulos internos de todo triângulo ser igual a π. Para uma recondução dessa discussão, é necessário refazer o caminho que a geometria segue para chegar ao conceito de “radiano”, e ao correspondente valor de π. Percebe-se que a possibilidade de medir ângulos entre retas, na geometria euclidiana plana, nasce da constatação de que o quociente entre o comprimento do arco de uma circunferência com centro na interseção das retas dadas e o respectivo raio é constante. Tal valor constante é a medida do ângulo em radianos e, nesses termos, define-se π como o valor de um ângulo formado por uma semicircunferência. Veremos que, no modelo da geometria analítica, o único conceito que está por trás da definição de π é o de distância entre dois pontos. A partir daí, surge a questão de se mudando a forma de medir distâncias, por exemplo através de uma métrica d, ainda é possível definir a medida de um ângulo em “radianos”, e obter o correspondente valor de π, que denotaremos com π(d). Veremos que se a métrica considerada provir de um produto interno, então, o radiano resultante é o mesmo que no caso euclidiano, isto é π(d) = π. O mais surpreendente é que certas métricas do plano que não provém de um produto interno, mas sim de uma norma, ainda permitem medir ângulos e obter um valor para π(d), considerando-o como aquele quociente constante entre uma semicircunferência e seu raio. Esse valor de π(d) resulta ser diferente do euclidiano. Surpresa maior aparece quando constatamos que, mesmo nesses casos que poderíamos considerar não euclidianos, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a π(d).

1 Docente do Departamento de Matemática – UFPR. e-mail: [email protected]


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Análise de Sobrevivência: Conceitos, Definições e Aplicações

Josmar Mazucheli 1

A análise de sobrevivência pode ser definida como sendo um conjunto de procedimentos utilizados na análise de tempos até a ocorrência de algum evento de interesse. Em medicina o evento de interesse pode ser o tempo de vida de pacientes submetidos a um transplante de órgão. Já na área tecnológica esse evento pode ser o tempo até que um equipamento deixe de funcionar corretamente. Em finanças um possível evento é o tempo até que um cliente torne-se inadimplente. O tempo até que ex-detentos em liberdade reincidam em algum delito é o evento estudado em criminologia. O tempo necessário para que um usuário utilize seu seguro em algum sinistro é o evento estudado em ciências atuariais.

Nesta apresentação são introduzidos os conceitos básicos relacionados à análise de dados em que “resposta” o tempo até que um evento ocorra. Exemplos utilizando dados reais são apresentados e discutidos em detalhes. Particularidades e similaridades com outros tipos de “reposta” são descritas. Aspectos matemáticos são brevemente apresentados.

1 Docente do Departamento de Estatística - UEM. e-mail: [email protected]

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Nós e enlaçamentos de forma intuitiva

Luciana F. Martins Brito 1

Nós e enlaçamentos são objetos importantes na topologia. Um nó é uma circunferência mergulhada no espaço euclidiano tridimensional, ou seja, uma curva no espaço, fechada e que não se auto-intersecta, e pode ser imaginado como um cordão fino com as duas extremidades coladas uma na outra, podendo ser esticado ou encolhido. Um enlaçamento é produzido a partir de vários fios, ligando as extremidades de cada um. A forma como circunferências são mergulhadas no espaço é que faz os nós qualitativamente diferentes uns dos outros. Nomes importantes dentro da área de teoria dos nós são os dos alemães Horst Schubert que no final dos anos 40 descobriu relações intrigantes entre os nós e a aritmética, e Kurt Reidemeister que inventou um novo jeito de estudar nós, tornando-os bidimensionais através de projeções. No final dos anos 20, Reidemeister percebeu que alguns movimentos se repetem sempre que se tenta transformar um nó em outro, nascendo assim os famosos “movimentos de Reidemeister”. Dois cientistas físicos (Yang e Baxter) descobriram que os movimentos dos quanta (os quanta são a menor quantidade de qualquer coisa possível no Universo; são a base da física quântica) são idênticos a um daqueles descritos por Reidemeister. Em 1973 o matemático inglês John Conway propôs operações de movimentos que podem ser aplicadas a todo e qualquer nó. Hoje sabe-se que seus movimentos são idênticos aos que acontecem na fita do DNA na hora da troca de material genético. Assim, se algum dia o comportamento dos nós for desvendado por completo pela teoria matemática, há grandes chances de os biólogos conseguirem terminar de montar o quebra-cabeça da genética. O objetivo desta palestra é introduzir de forma intuitiva para alunos de graduação a noção de nós e enlaçamentos. Veremos uma prova intuitiva de que nós e enlaçamentos são bordos de superfícies orientáveis, chamadas Superfícies de Seifert. Veremos também sobre um invariante do nó: o número de colorações próprias. Se dois nós (ou enlaçamentos) tiverem números de colorações próprias diferentes, então um não pode ser deformado no outro, o que nos ajuda a responder a questão de quando um nó ou enlaçamento pode ou não ser desfeito. A prova deste fato é feita usando os movimentos de Reidemeister.

1 Docente do Departamento de Matemática - IBILCE – UNESP. e-mail: [email protected]


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Referências: [1] Prasolov, V. V., Intuitive Topology, A.M.S., 1995. [2] Revista Super Interessante, Nó na Matemática, Setembro 2004, pág. 76-79. [3] Sampaio, J. C. e Neto, O. M. , Topologia Intuitiva. XI Encontro Brasileiro de Topologia, Rio Claro, 1998.

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O Teorema de Banach-Tarski

Luciano Panek 1

Apresentaremos nesta seção o curioso e instigante Teorema de Banach-Tarski: subconjuntos do espaço euclidiano tridimensional de interior não vazio são congruentes por partes, isto é, um subconjunto é rearranjado por isometrias de um número finito de partes do outro. Sua prova, aqui (uma tradução livre do texto de Karl Stromberg, American Mathematical Monthly, 1979), é elegante e de nível elementar, por isso acessível aos estudantes de graduação em Matemática dos anos inicias.

1 Docente do Departamento de Matemática - UEM e-mail: [email protected]


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Classificação dos Grupos de Weyl *

Márcia A. de Sá Matheus 1

A teoria das álgebras de Lie Simples representa um dos grandes avanços da matemática no último século, sendo aplicada em todas as áreas da matemática e na física, tornando assim um relevante objeto de estudo na graduação. As álgebras de Lie Simples são classificadas de acordo com a geometria de suas raízes, ou melhor, de seu Sistema Simples de raízes. No entanto, existe toda uma teoria envolvente, e de difícil compreensão para o graduando, na construção desta classificação. Nestes nossos estudos evitamos toda a maquinaria de álgebras de Lie para obter o objetivo de classificar as álgebras de Lie Simples, isto foi conseguido estudando e classificando todos os possíveis diagramas de Dynkin (grafos de Coxeter). De fato, classificar estes diagramas é basicamente classificar bases especiais de espaços vetoriais, o que é acessível ao graduando, e por outro lado, estes diagramas têm uma relação biunívoca com as álgebras de Lie simples. Esta classificação é feita desvendando as relações mútuas entre um número finito de elementos (ou melhor, suas reflexões) em um espaço vetorial com um produto interno. Desta forma, classificou-se os grupos de reflexão, ou ainda, os grupos de Weyl, que posteriormente classificam suas álgebras de Lie Simples. Os estudos, que começaram abstratamente, alcançaram a classificação dos grupos de Weyl, nove grupos, num contexto de geometria projetiva habitada por elementos conhecidos dos curso básicos da graduação.

* Trabalho desenvolvido sob a orientação dos professores Alexandre José Santana e João Ribeiro Gonçalves Filho. 1 Acadêmica do Curso de Matemática – UEM. e-mail: [email protected]

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Uma Visão Geométrica das Soluções de Equações Diferenciais

Marco Antonio Teixeira 1

A teoria geométrica/qualitativa das equações diferenciais começou com Poincaré (motivado por problemas em Mecânica Celeste) por volta de 1880 e rapidamente juntou-se a ele Lyapunov e outros. Esta área floresceu sensivelmente por algumas décadas quando enfrentou sérias dificuldades de ordem estrutural pelo fato da inexistência na época de técnicas e ferramentas adequadas para atacar os problemas surgidos. Daí nasceu a Topologia. A partir de 1960 o interesse na área aumentou substancialmente notadamente sob a influência de renomados matemáticos, tais como: Kolmogorov, Pontrjagin, Andronov, Arnold, Reeb, Thom, Moser, Smale e Mauricio Peixoto. Hoje em dia esta área atingiu um leque enorme de ramos da ciência e tornou-se acessível para uma larga e heterogênea audiência.

O objetivo desta palestra é apresentar alguns elementos básicos e elementares da teoria sob uma linguagem empírica, acessível a conhecimentos rudimentares de Cálculo I. A discussão será restrita a aspectos bi-dimensionais (no plano).

Os seguintes tópicos serão abordados: 1. Um sistema dinâmico definido por uma equação diferencial no plano: solução de uma equação diferencial e órbita. 2. Tipos de órbita, Plano de fase, 3. Exemplos: Oscilador Harmônico e Equação de van der Pol. 4. Equivalência topológica entre 2 espaços de fase, noção empírica de estabilidade estrutural. 5. Alguns Problemas Fundamentais na Teoria.

1 Docente do Departamento de Matemática - IMECC – UNICAMP. e-mail: [email protected]


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O Método das Características e suas Aplicações

Mariana Moran 1

O objetivo da apresentação é mostrar algumas aplicações do Método das Características para equações lineares e não-lineares, verificando o comportamento da solução e as suas propriedades.

O Método das Características consiste na transformação de uma equação diferencial parcial em equações diferenciais ordinárias. Com este método, estudamos equação de Burgers sem viscosidade (também chamada equação de Hopf), equação de Hopf com “Damping” e a equação das ondas.

Aplicamos o Método das Características inicialmente para a resolução do problema de valor inicial para a equação das ondas e em seguida para a equação de Hopf, encontrando assim condições para a existência e unicidade das soluções local e global no tempo desses problemas. Encontramos, além disso, condições suficientes para que o efeito “Blow up” ocorra no problema para a equação de Hopf. Utilizando ainda o mesmo método, encontramos solução clássica para a equação de Hopf com “Damping”, verificando que “Blow up” não ocorre para qualquer instante de tempo, se os dados iniciais forem suficientemente pequenos.

Quanto às aplicações desse método, ele é usado em uma ou outra forma nas abordagens numéricas tecnicamente bastante complicadas, tais como Método de Godunov e em Método de Glimm.

1 Acadêmica do Curso de Matemática – UEM. e-mail: [email protected]

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Uma Aplicação das Equações Diferenciais Parciais - Modelos

Unidimensionais e Bidimensionais de Transporte de Poluentes

Neyva Maria Lopes Romeiro 1

Uma aplicação, relativamente simples em corpos d’água como rios, regiões costeiras, estuários e outros, utilizando as equações diferenciais parciais pode ser encontrada em modelos de transporte de poluentes com reações cinéticas. Devido aos processos destas reações serem, geralmente, não lineares apresenta-se neste trabalho uma solução alternativa para resolver as equações de transporte de poluentes cujas reações cinéticas são não lineares. Esta solução resulta de uma técnica de linearização usando a expansão em série de Taylor nos processos das reações cinéticas.

Modelos unidimensionais de transporte de poluentes com reações cinéticas de primeira ordem podem ser resolvidos analiticamente, utilizando a generalização de uma solução analítica conhecida. Observa-se que estes modelos são compostos por sistemas acoplados de equações diferenciais parciais por meio dos processos das reações cinéticas. Estes ainda podem ser aplicados em estudos de casos simplificados de simulação de parâmetros de qualidade de água em rios, já que a solução analítica foi desenvolvida para casos unidimensionais.

Apresenta-se ainda, simulações numéricas do modelo bidimensional de transporte de poluentes com reações cinéticas linearizadas para simular alguns parâmetros de qualidade da água a jusante do ponto de lançamento de um efluente de uma estação de tratamento de esgoto, de tal forma a analisar o impacto da descarga deste efluente no rio.

1 Docente do Departamento de Matemática – UEL. e-mail: [email protected]


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Teoria de Controle e Cálculo Estocástico

Paulo Régis C. Ruffino 1

Teoria de controle também é chamada de poli-equações diferenciais, isto quer dizer que as soluções de um sistema obedecem campos de vetores "que se ajustam no tempo" (controlados) para, por exemplo, fazer com que o sistema contorne um determinado obstáculo, minimize distância, minimize a energia gasta, etc. Uma abordagem bastante abrangente desta teoria pode ser encontrada em Colonius e Kliemann [1].

O teorema do suporte (ver, e.g. Ikeda e Watanabe [2]) garante que o fecho dos pontos atingíveis do sistema de controle a partir de um ponto no espaço de estados é igual ao suporte da medida induzida pela difusão gerada pelos mesmos campos, quando a difusão é disparada deste mesmo ponto inicial. Ainda outra maneira de dizer isso é que qualquer ponto atingível pelo sistema estocástico (gerado, digamos, por uma realização w(t) do movimento browniano, baseado em uma probabilidade de trajetórias P), esse mesmo ponto pode ser aproximado (P-quase sempre) tanto quanto quisermos a partir do sistema de controle, com controladores adequados. Assim, o teorema do suporte garante um salto intuitivo de sistemas de controle para sistemas (de equações) estocásticos, como se nesses últimos, as funções que controlam são "ruídos puramente gaussianos". Baseado agora nessa descrição intuitiva, mostraremos, conceitos básicos do cálculo estocástico, como variação quadrática, martingales e fórmula de Itô (ver e.g. Oksendal [3]). Também via cálculo estocástico, mostraremos o que é a teoria de sistemas dinâmicos estocásticos e geometria estocástica (levantamentos horizontais, transporte paralelo, desenvolvimento de Cartan estocástico entre outros) e aplicações (ver e.g. Elworthy [4] ou Emery [5]). Referências: [1] F. Colonius and W. Kliemann – “The Dynamics of Control”. Birkhauser: Boston, Basel Berlin, 1999. [2] N. Ikeda and S. Watanabe – “Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes. North Holland, 1981. [3] B. Oksendal – “Stochastic Differential Equations” 4th. Edition. Springer- Verlag, 1995.

1 Docente do Departamento de Matemática – IMECC - UNICAMP. e-mail: [email protected]

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[4] D. Elworthy – “Geometric Aspects of Diffusion on Manifolds”. Lecture Notes on Mathematics. nr. 1362. 1987. [5] M. Emery – “Stochastic Calculus in Manifolds”. Springer-Verlag, 1989.


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O que é o Movimento Browniano?

Pedro José Catuogno 1

O objetivo do trabalho é apresentar o movimento browniano de uma maneira intuitiva, como limite de passeios aleatórios para depois mostrar as construções formais\ de P. Levy (1950) e N. Wiener (1923). A seguir mostramos como as características locais deste processo determinam a não diferenciabilidade das trajetórias e introduzimos as idéias de T. Hida (1980) sobre ruído branco.

Finalmente, apresentamos a fórmula de K. Itô (1951) e algumas das aplicações do movimento browniano na análise matemática e finanças.

1 Docente do Departamento de Matemática - IMECC – UNICAMP. e-mail: [email protected]

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A Situação da Universidade e o Movimento Estudantil na Matemática: Discussão sobre a formação de uma

Executiva de Curso

Pierre Alerrandro Gomes Fernandez 1

A discussão visa expor como o movimento estudantil se organiza em suas entidades oficiais como a UNE (União Nacional dos Estudantes), DCEs (Diretórios Centrais dos Estudantes), CAs (Centros Acadêmicos), Executivas de Curso, etc. E também apontar a dinâmica de questionamento e até embate com essas entidades, por vários setores do movimento.

As divergências dentro do movimento estudantil são fruto de uma realidade de crise social e política que o influencia diretamente – dizemos que ele é dinâmico por acompanhar a dinâmica social e política. Isso ocorre devido à perda de seu referencial histórico de luta, expresso na adaptação política de suas lideranças e reivindicações às necessidades do sistema. O maior exemplo disto é a reforma universitária, em prol da qual, durante décadas, os estudantes se mobilizaram, mas hoje ela aparece vestida com uma roupagem privatista, proposta pelo governo federal, que leva uma grande parte do movimento a contrapô-la.

Devemos lembrar ainda que a adaptação política que nos referimos não é exclusividade do movimento estudantil, mas de um imenso setor dos movimentos sociais, do qual o primeiro é apenas uma parte.

Essa situação coloca para todos os movimentos sociais, em particular o estudantil, a seguinte questão: O que fazer diante deste contexto? Calar-se ante a inércia de muitas entidades e lideranças, ou seguir lutando na trilha de suas históricas reivindicações através das mobilizações e da ação direta.

1 Acadêmico do Curso de Psicologia – UEM. e-mail: [email protected]


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Semigrupos Maximais no Grupo de Heisenberg*

Priscila Amara Patricio de Melo 1

No contexto atual de desenvolvimento da teoria de semigrupos, o problema de encontrar condições sobre as quais um subsemigrupo de um grupo é um subgrupo, possui ramificações com vários outros problemas, entre eles, o de classificação de semigrupos maximais de um grupo. No caso específico do espaço euclidiano real n-dimensional os seus semigrupos maximais de interior não vazio são os semi-espaços fechados. O objetivo do trabalho que apresentaremos será a classificação dos semigrupos maximais em grupos de Lie nilpotentes, com ênfase no grupo de Heisenberg. No caso geral o principal resultado estabelece que, se G é um grupo conexo nilpotente e A é um subconjunto de G, cujo interior intercepta o comutador de G, então o subsemigrupo de G gerado por A coincide com G. No caso específico do grupo de Heisenberg mostraremos que os seus semigrupos maximais de interior não vazio são os semi-espaços contendo o centro do grupo.

* Trabalho desenvolvido sob a orientação do professores Osvaldo Germano do Rocio e Bernadete Maria Suaki Brandão. 1 Acadêmica do Curso de Matemática – UEM. e-mail: [email protected]

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O Teorema de Bézout – A formalização Matemática de Tendências Artísticas da

Renascença*

Raquel Polizeli 1

Para entender o surgimento da Geometria Algébrica devemos retomar a Geometria Projetiva, pois de certo modo, as origens da Geometria Algébrica estão ligadas ao uso de coordenadas na abordagem da Geometria Projetiva.

A Geometria Projetiva, por sua vez, surgiu com a necessidade de formalizar matematicamente as novas tendências artísticas da Renascença, onde a perspectiva começou a ser utilizada em concepções artísticas com o objetivo de retratar as sensações de profundidade nos objetos e cenários. Destacamos Desargues, Pascal, Monge e Poncelet como grandes nomes que se dedicaram à sistematização matemática da Geometria Projetiva em comparação com a Geometria Euclidiana clássica.

Um exemplo que evidência as diferenças entre a Geometria Euclidiana e a Geometria Projetiva é o que ocorre com retas paralelas. No caso da Geometria Euclidiana, duas tais retas nunca se interceptam, pense em uma estrada de ferro retilínea, os trilhos nunca se cruzam. No entanto, se fossemos fotografar tal cenário ou retratar em um quadro, os trilhos “parecem” se interceptar num “ponto distante”, este é um fato que a Geometria Projetiva admite, ou seja, quaisquer duas retas (projetivas) sempre se interceptam. O “ponto distante” que mencionamos anteriormente, que podemos considerar como o infinito, é considerado naturalmente como elemento do ambiente onde a Geometria Projetiva se desenvolve.

Nesta palestra apresentaremos alguns resultados da Geometria Algébrica Plana, ressaltando em especial o Teorema de Bézout que garante que duas curvas planas (projetivas) de graus n e m, sem componentes irredutíveis em comum, possuem n.m pontos em comum, contando as multiplicidades. Este resultado além de generalizar o conhecido Teorema Fundamental da Álgebra o qual afirma que um polinômio de grau n, em uma variável com coeficientes complexos admite n raízes complexas, permite também provar que duas retas (projetivas) sempre se cruzam.

* Trabalho desenvolvido sob a orientação do professor Marcelo Escudeiro Hernandes e financiado pela Fundação Araucária. 1 Acadêmica do Curso de Matemática – UEM. e-mail: [email protected]


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Resumo das Oficinas

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Resumo dos Minicursos


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Simetrias no Plano


João Roberto Gerônimo 2

Rui Marcos Oliveira Barros 3

Valdeni Soliani Franco 4

A baixa qualidade do ensino brasileiro é preocupação unânime dos órgãos governamentais, universidades, organizações não governamentais e sociedade em geral, sendo muitas as sugestões e iniciativas objetivando a melhoria desta situação angustiante. É evidente que muitas variáveis estão envolvidas na construção de uma escola de qualidade, porém, nenhuma merece mais atenção do que o trabalho do professor. Compreendendo o contexto no qual o professor da Educação Básica está inserido, suas necessidades, aspirações e condições, acreditamos que uma forma de colaborar com o seu aperfeiçoamento teórico e metodológico é promover atividades que possam subsidiar sua prática pedagógica. O trabalho com simetrias no plano possibilita a construção gradativa de conceitos geométricos pois permite concretizar diversas situações que servem como ponto de partida para a exploração do deslumbrante mundo das formas que é a geometria. Além do caráter lúdico que imprime às aulas de Matemática e da importância matemática do tema, atividades envolvendo simetrias no plano utilizando materiais manipulativos, quando realizadas de maneira apropriada, são excepcionalmente ricas em possibilidades para o desenvolvimento de conteúdos atitudinais. O objetivo deste minicurso é subsidiar, teórica e metodologicamente, o professor da Educação Infantil e do Ensino Fundamental para uma atuação em sala de aula que proporcione aos seus educandos, o “prazer” da descoberta da geometria.

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Introdução aos Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias

Doherty Andrade 1

As equações diferenciais, do ponto de visto das aplicações modelam muitos fenômenos físicos, biológicos ou sociais daí a sua importância; do ponto de vista matemático é uma fonte de questões teóricas. Existem resultados teóricos que garantem existência e unicidade de soluções para equações diferenciais tanto ordinárias quanto parciais. Embora possamos mostrar existência de solução para uma grande classe de EDOs, muitas vezes a solução não pode ser exibida explicitamente ou outras vezes, a solução tem uma expressão difícil de ser tratada. Assim, surge a necessidade de métodos numéricos para o estudo das soluções para as equações diferenciais. Neste mini-curso, apresentaremos alguns métodos numéricos simples para as equações diferenciais ordinárias.

Apresentaremos o teorema clássico de existência e unicidade de solução para EDOs de primeira ordem pra problemas de valor inicial, o Método de Euler e o método de Taylor também serão abordados. Nos métodos de Runge-Kutta de ordem 2 e 4 utilizaremos MATLAB e Maple para algumas simulações. Introduziremos os métodos mult-step de Adams-Bashforth e Adams-Moulton e o método preditor-corretor. Utilizaremos os softwares Maple e MATLAB nas aplicações numéricas.

Referências: [1] S.D. Conte, Numerical Analysis, 1967, LTC. [2] R. L. Burden e J. Douglas Faires, Análise Numérica, 2001, Thomson. [3] D. Andrade, Introdução aos Métodos Numéricos para EDOs (Notas de Aula , 2002)

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Emerson Luiz do Monte Carmelo 1

Quando se fala sobre combinatória, freqüentemente pensamos ou em problemas de contagem (principalmente usados no cálculo de probabilidades) ou em problemas de otimização combinatória, associados à busca computacional de soluções de problemas “reais”, diminuição de custo, aumento de lucro. Embora tais linhas sejam importantes, a combinatória apresenta faces bem distintas, como por exemplo, a teoria dos planejamentos combinatórios.

Comentamos agora algumas informações que julgamos importantes sobre o mini-curso. O objetivo principal é simplesmente divulgar esta área da Matemática tão pouco conhecida no Brasil. Como se trata de palestras elementares de divulgação, abordaremos alguns tópicos da teoria dos planejamentos, tendo como pano de fundo alguns velhos problemas e curiosidades. O mini-curso não exige qualquer pré-requisito formal, e acreditamos que os conceitos e problemas abordados serão acessíveis aos acadêmicos do primeiro ano.

A origem desta teoria remota ao lendário L. Euler, que em 1782 investigou a existência de determinados quadrados latinos. Em particular, indagou se a seguinte questão ocorre:

“Suponha que cada um de seis regimentos tem exatamente um oficial de cada posto, dentre um conjunto de seis postos pré-determinados. É possível alinhar os 36 oficiais numa formação quadrada (seis linhas e seis colinas) de tal modo que em cada linha e em cada coluna tenha exatamente um oficial de cada patente e de cada regimento?”

O problema dos 36 oficiais ficou em aberto por volta de 120 anos! Em geral, o objetivo principal na teoria dos planejamentos combinatórios é investigar a existência de determinados objetos satisfazendo certos padrões (aqui chamados planejamentos).

Com intuito de apresentar a combinatória como uma parte integrada à Matemática, a escolha do assunto “planejamentos combinatórios” parece ser pertinente. De fato, o mini-curso tentará ilustrar situações onde objetos de naturezas distintas (algébricos, combinatórios e geométricos) estão interligados, conforme esboço abaixo.

Embora o conceito “planejamento” seja de natureza puramente combinatória, as ferramentas empregadas englobam técnicas combinatórias, algébricos e geométricos. Um exemplo disso é o fato de que a existência de determinados planejamentos está ligada à existência de solução não trivial de certas equações diofantinas, ou seja, equações onde as variáveis e constantes assumem sempre números inteiros. Mais ainda,

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diversas estruturas algébricas são largamente empregadas na construção de classes de planejamentos.

Por outro lado, as conexões entre planejamentos e geometria acontecem no âmbito das geometrias finitas. Surpreendentemente, tais geometrias admitem um número finito de pontos e retas, e são estruturas discretas geradas através de axiomas ( propriedades ) análogas aos axiomas da tão conhecida geometria euclidiana.

Pretendemos, no mini-curso, esboçar algumas clássicas construções de planejamentos combinatórios e também construções de duas importantes classes de geometrias finitas, a saber, planos afins e planos projetivos.

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Matemática Recreativa e a Formação de Professores


Rui Marcos de Oliveira Barros 2

A formação de professores tem sido tema de estudos e

discussões em diversos âmbitos, do acadêmico ao político, sendo diversas as perspectivas discutidas e as propostas apresentadas, porém, todas apontam para uma mesma conclusão: a de que os cursos de licenciatura, em geral, e de licenciatura em Matemática, em particular, não estão preparando seus egressos para o efetivo exercício do magistério na Educação Básica. Foi a partir dessa constatação que surgiu o Projeto de Ensino Residência Pedagógica, que tem como principal objetivo complementar a formação do licenciando em Matemática, mediante o desenvolvimento de atividades que lhe proporcione uma vivência efetiva de situações de ensino e aprendizagem em ambientes escolares formais ou não; procurando relacionar teoria e prática, numa perspectiva dialética e promovendo condições para o desenvolvimento do pensamento reflexivo do futuro professor. Um outro ponto que merece ser destacado é o fato de que a docência implica em uma atividade dinâmica de atualização e busca de novos conhecimentos. A prática de pesquisas bibliográficas e a reflexão constante sobre o ato pedagógico contribuem para a independência do pensamento, uma vez que, em geral, o estudante da licenciatura em Matemática (e futuro professor) é intelectualmente heterônomo, submisso à autoridade acadêmica e convencido de que a verdade se encontra inquestionável e absoluta nos livros didáticos. É dessa dependência intelectual, entre outros fatores menos importantes, que surge e se enraíza a perniciosa idéia de que educação é antes e mais do que tudo, a transmissão de conhecimento. Desta forma, o projeto pretende suprir algumas das lacunas na formação do licenciando, decorrentes do atual projeto pedagógico do curso de Licenciatura em Matemática, proporcionando aos acadêmicos matriculados nas disciplinas Prática de Ensino de Matemática para o Ensino Fundamental (1670) e Prática de Ensino de Matemática para o Ensino Médio (1671), no ano letivo de 2004, maior fundamentação teórico-prática, para o enfrentamento da árdua tarefa de “ensinar crianças e jovens a aprenderem Matemática”. Para isso, o projeto está previsto para ser desenvolvido mediante quatro etapas que, ao

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invés de serem excludentes, são sincrônicas e solidárias, dinamizando-se e complementando-se mutuamente: grupo de reflexões; vivência pedagógica; rua de lazer matemático e iniciação à elaboração de textos científicos. As oficinas de Matemática Recreativa apresentadas neste evento resultam da execução da etapa do projeto Residência Pedagógica denominada Rua de Lazer Matemático. Está sendo desenvolvida durante o ano de 2004, com a participação de 34 acadêmicos, seis docentes da UEM, três alunos do Mestrado em Educação para a Ciência e Ensino de matemática e a colaboração de cinco professores do Ensino Fundamental e Médio, integrantes do GIEPEM – Grupo Interdisciplinar de Estudos e pesquisas em Educação Matemática. A Rua de Lazer Matemático é desenvolvida mediante a realização de seis oficinas: A Matemática das Dobraduras e do Tangran; Resolução de Problemas; Geometria Experimental; Jogos Matemáticos; Simetrias no Plano e A Matemática das Profissões. Esta atividade do projeto Residência Pedagógica apresenta, ainda, um caráter de extensão, pois objetiva,, sobremaneira, divulgar e desmistificar a Matemática para a população em geral. Do ponto de vista pedagógico, é no decorrer do desenvolvimento dessa etapa, que os licenciandos se relacionam com a formulação de objetivos, preparação e discussão de atividades, considerando a seleção dos conteúdos, dos métodos, das formas de organização e da avaliação, assim como a construção de meios de ensino. Trata-se do desenvolvimento de habilidades importantes, pois, com elas, o futuro professor tanto pode exercer a capacidade criativa, em termos de produção de meios de ensino (como materiais didáticos e fichas de atividades), quanto desenvolver a capacidade de avaliação crítica destes meios. Por outro lado trabalhar com alunos do Ensino Fundamental em situações educacionais não formais facilita o conhecimento da linguagem desses alunos, conhecimentos prévios adquiridos, conceitos espontâneos, etc. Nessas atividades, os futuros professores poderão fazer experiências, cometer erros, tomar consciência dos erros e tentar de novo, de modo diferente, o que não é sempre possível de ser realizado nos estágios regulamentares de regência, pois como são aulas efetivamente ministradas, não são concebíveis erros. Aqui, a ênfase será oportunizar aos acadêmicos o contato com práticas pedagógicas inovadoras e não formais, que levem em consideração as tendências atuais em Educação Matemática, além de proporcionar a realização de minicursos e oficinas, culminando com a realização de uma “Rua de Lazer Matemático”, com o objetivo de divulgar a Matemática em si mesma e despertar vocações. Com o intuito de colaborar com a XVI Semana da Matemática, os participantes decidiram realizar nas dependências da UEM, durante os dois últimos dias do evento, em período integral, as atividades inicialmente previstas para a Rua de Lazer Matemático, quais sejam, as seis oficinas anteriormente descritas. Tais oficinas são destinadas aos alunos da Educação Infantil e Básica; professores, acadêmicos e pessoas da comunidade, que gostem de enfrentar desafios matemáticos e de descobrir a Matemática presente nas ações mais elementares de nosso cotidiano.

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ORIGAMI: A cada dobra muitas descobertas

Carina Pancote de Lima Caetano 1

Maura Massami Kurihara Shimizu 2

Em japonês, ori significa dobra, e gami papel. Origami, que significa dobrar papel ou dobradura de papel, refere-se a uma atividade de arte milenar japonesa nascida há quase mil anos na Corte Imperial, onde era conhecido como um passatempo divertido e interessante. A dobradura tem o poder de transformar um simples pedaço de papel em formas surpreendentes. “Parece mágica. A folha bidimensional ganha dimensões tridimensionais”. Buscamos, neste trabalho, refletir sobre a utilização do origami como elemento lúdico no processo de ensino e aprendizagem de conceitos geométricos da matemática, servindo ainda de suporte para outras matérias do currículo escolar. O origami é utilizado, geralmente, como uma atividade auxiliar no ensino básico da Geometria. A ligação com a Geometria é clara: ao fazer uma dobradura, desdobrar e observar, poderá ser visto um complexo modelo geométrico; mesmo que os vincos sejam simples, um aluno que está começando seu estudo da Geometria verá vários triângulos, vários ângulos e formatos. Aqueles que trabalham com origami desenvolvem a criatividade e a inteligência, dando asas ao mundo da imaginação.

1 Acadêmica do curso de Matemática – FAFIMAN e-mail: [email protected] 2 Acadêmica do curso de Matemática – FAFIMAN e-mail: [email protected]


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Resumo das Oficinas

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