TESTE 5 + 5

o 2.

DO RO PE

Grupo IEste grupo constitudo por itens de seleo. Para cada item, seleciona a opo correta.

1. Na figura esto representados dois tringulos, [ABC] e [DEF] . A Maria e o Antnio

escolhem, cada um e em segredo, um dos seis vrtices dos tringulos. Qual a probabilidade de os vrtices escolhidos pertencerem ao mesmo tringulo?(A)

1 2 2 3

(B)

1 3 2 9

B

(C)

(D)

F E C

D A

2. Para certos valores de a e de c tem-se ac = 5 .

Qual o valor de loga (25a2) ?(A)

2c 2

(B)

c+2 +4

(C) 2c +

(D) 2c

3. Seja f uma funo real de varivel real de domnio IR+ .

Sabe-se que lim

x+

[f(x) + 2x)] + 3 = 0 .

Qual das equaes seguintes define a assntota no vertical do grfico de f ?(A) (C)

y=3 y = 2x 3

(B)

y = 2x 3 = 2x + 3

(D) y

4. Seja g a funo representada graficamente e seja h a funo definida por

h(x) = g(x) + x . A funo g tem domnio [0, + [ e contnua em [0, + [\{2} . Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a existncia de, pelo menos, um zero da funo h ?(A) ]0, 1[ (C) (B) (D) y

]1, 2[ ]3, 4[1 0 1 x 2012

]2, 3[

1

5. Seja f uma funo de domnio IR e derivvel em IR .

Sabe-se que a funo f (funo derivada da funo f ) negativa e crescente em IR . Em qual dos referenciais seguintes pode estar representada parte do grfico da funo f ?(A) y (B) y

O

x

O

x

(C)

y

(D)

y

O

x

O

x

Grupo IINas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocnio de forma clara, indicando todos os clculos que efetuares e todas as justificaes necessrias.2 In (x + 1) x 1. Seja h a funo de domnio IR definida por h(x) = x e + x 1

se x > 0 se x 0

Resolve os itens seguintes sem recorrer calculadora: In (x) + In (x + 3) . x b. Averigua se a funo contnua no ponto de abcissa 0.a. Determina o conjunto soluo da condio h(x) c. Calcula limx 0

h(x) . x

2. Seja f a funo, de domnio

1 ,+ 2

, definida por f(x) =

2x 1 . 3 . 3

a. Mostra, recorrendo definio de derivada de uma funo num ponto, que f (2) = 2012

b. Escreve a equao reduzida da reta tangente ao grfico de f no ponto de abcissa 2.

2

TESTE 5 + 5

3. Seja g a funo, de domnio IR , definida por g(x) = ex e2x + 6x .

Sem recorrer calculadora, resolve os itens seguintes:a. Estuda a funo g quanto monotonia e quanto existncia de extremos relativos. b. Mostra que o grfico de g tem um ponto de inflexo e determina as suas coordenadas. c. Mostra que o grfico de g tem uma nica assntota e define-a por uma equao.

4. O Nuno e o Manuel partem para correr, lado a lado, durante uma hora, sempre no

mesmo sentido, numa estrada, em linha reta. As distncias percorridas por cada um deles, decorridos t minutos de corrida, so dadas, em km, respetivamente por: N(t) = In (t + 1) + 0,1t M(t) = 0,2ta. Qual a distncia percorrida pelo Nuno ao fim de meia hora de corrida? Apresenta

o resultado em metros, arredondado s unidades.b. Usa o teorema de Bolzano para mostrar que o Manuel ultrapassa o Nuno entre os

35 minutos e os 37 minutos de corrida.c. Recorre calculadora grfica para responder ao seguinte problema:

Durante a corrida, houve trs instantes, t1 , t2 e t3 , em que a distncia entre o Nuno e o Manuel foi de 1 km. Se os dois amigos comearam a correr s 9:30, indica os valores de t1 , t2 e t3 , em horas e minutos, com os minutos arredondados s unidades. Apresenta o(s) grfico(s) e as coordenadas dos pontos que fundamentam a tua resposta.

5. Na figura seguinte esto representadas duas caixas: a caixa C1 , que contm trs

bolas indistinguveis ao tato e numeradas com os nmeros 1, 3 e 5, e a caixa C2 , que contm seis bolas no numeradas, tambm indistinguveis ao tato.

C1

C2

a. Supe que se numeram as bolas da caixa C2 com cada um dos nmeros naturais

de 1 a 6. Escolhe-se ao acaso uma das caixas e retira-se, tambm ao acaso, uma bola. A bola retirada tem o nmero 5. Qual a probabilidade de a bola ter sido retirada da caixa C1 ?b. Considera agora a experincia aleatria que consiste em retirar, ao acaso, duas

bolas da caixa C1 e uma bola da caixa C2 .

Numa pequena composio, explica o teu raciocnio.

3

2012

Numera as bolas da caixa C2 de modo que seja igual a

1 a probabilidade de a 3 soma dos trs nmeros das bolas retiradas ser um nmero mpar.

SOLUESTESTE 5 + 5Grupo I 1. (A) 2. (C) 3. (C) 4. (C) 5. (D)

Grupo II 1. a. ]0, 1] b. No contnua no ponto de abcissa 0, embora seja contnua esquerda de 0. c. 2 2. a. f (2) = lim c. y = 2(2 + h) 1 h 3 3 3 ( 2h + 3 3) ( 2h + 3 + h( 2h + 3 + 3) 3) 2h + 3 3 = lim h( 2h + 3 + 3) h 0 2 2h + 3 + 2 = 2 3 3 3

h0

= lim

h0

= lim

h0

3

=

3 x+ 3

3. a. A funo g crescente em ] , In 2] e decrescente em [In 2, + [ ; 6 In 2 2 mximo absoluto. b. P.I. In 4, 3 6 In 4 16

c. A nica assntota a reta de equao y = 6x . 4. a. Aproximadamente 6434 metros. b. A funo N M contnua em [35, 37] , (N M)(35) > 0 e (N M)(37) < 0 . O teorema de Bolzano permite afirmar que c ]35, 37[ : (N M)(c) = 0 , ou seja, houve um instante entre os 35 e os 37 minutos em que o Nuno e o Manuel tinham percorrido distncias iguais. Como N(35) > M(37) e N(37) < M(37) , conclui-se que, nesse instante c , o Manuel ultrapassou o Nuno. c. No referencial seguinte esto representadas a funo |N M| , no intervalo [0, 60] , e a reta de equao y = 1 ; esto tambm assinalados os pontos em que o grfico da funo e a reta se intersetam, bem como as respetivas coordenadas (as abcissas esto arredondadas s centsimas).y

1

0

2,49

15

20,84

30

45 49,15

x

t1 5. a. 2 3

9:32

t2

9:51

t3

10:19

2012

b. Atendendo a que a soma dos nmeros de duas bolas da caixa C1 sempre um nmero par, duas das bolas da caixa C2 tm de ser numeradas com nmeros mpares e as restantes com nmeros pares.

4