yfwYEaD FQI aula4RedCleanWelMag150909 01h03 - ufjf.br · Compreender o significado e as conseqüências experimentais dos conceitos matemáticos ... 2.1 Coeficiente de dilatação

Fiacutesico-Quiacutemica I (2009) Curso de Quiacutemica Modalidade Educaccedilatildeo a Distacircncia UFMG

Welington F Magalhatildees Nelson G Fernandes Amary Cesar

Aula 4

Conceitos matemaacuteticos aplicados agraves propriedades fiacutesico-quiacutemicas

Propoacutesito

Nesta aula seratildeo apresentados alguns conceitos matemaacuteticos do caacutelculo

diferencial utilizados agraves propriedades termodinacircmicas e suas interpretaccedilatildeo

Objetivo

Apoacutes ter estudado o conteuacutedo dessa aula o estudante deveraacute

1 Compreender o significado e as consequumlecircncias experimentais dos conceitos matemaacuteticos

de uma derivada e uma diferencial

2 Manipular corretamente as propriedades das derivadas e dos diferenciais usando

variaacuteveis termodinacircmicas

3 Interpretar corretamente os textos e os enunciados de exerciacutecios e problemas que

utilizam os conceitos apresentados nessa aula

1 Relaccedilotildees matemaacuteticas baacutesicas entre algumas propriedades fiacutesicas da mateacuteria

As operaccedilotildees matemaacuteticas mais simples que podemos realizar com as propriedades fiacutesico-

quiacutemicas satildeo as operaccedilotildees aritmeacuteticas de soma subtraccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo Atraveacutes dessas

operaccedilotildees podemos definir novas propriedades termodinacircmicas ou atribuir um novo significado a

uma mesma grandeza

Consideremos a tiacutetulo de exemplo o seguinte experimento inicialmente colocamos sobre o

prato de uma balanccedila um beacutequer vazio e anotamos a massa indicada A massa de um recipiente

auxiliar agrave um processo de pesagem eacute comumente denominada de massa de tara e eacute denotada pelo

siacutembolo mtara Em seguida colocamos uma amostra de um material dentro do beacutequer e anotamos a

nova massa indicada Esta seraacute a massa bruta que denotaremos por mbrut A massa bruta

corresponde naturalmente agrave massa do recipiente ou suporte mais a massa da amostra Se

realizamos a operaccedilatildeo diferenccedila entre a massa bruta e a massa de tara obtemos a massa da amostra

mamost

mamost = mbrut ndash mtara [41]



No presente caso natildeo definimos nenhuma nova propriedade termodinacircmica pois a diferenccedila

das duas massas continua sendo uma massa poreacutem ela tem um novo significado especiacutefico trata-se

da massa da amostra aquilo que o recipiente ou suporte conteacutem O procedimento de pesagem acima

descrito e a eq 41 constituem o que chamamos de meacutetodo de pesagem por diferenccedila

Evidentemente poderiacuteamos somar a massa bruta com a massa de tara e encontrariacuteamos um novo

valor numericamente correto mas sem significado fiacutesico O valor dessa soma natildeo representa o

valor de nenhuma grandeza fiacutesica Em outros casos a soma pode representar alguma grandeza

fiacutesica Se somarmos os comprimentos de dois canos de PVC que foram unidos entre si em uma

instalaccedilatildeo hidraacuteulica teremos a distacircncia total do encanamento Se somarmos o comprimento de um

terreno retangular com sua largura e novamente somarmos esse comprimento e essa largura

teremos a grandeza fiacutesica periacutemetro do retacircngulo O resultado numeacuterico dessa soma de quatro

parcelas nos informa por exemplo qual o comprimento de tela deve-se comprar para cercar o

terreno Podemos obter o mesmo resultado multiplicando a soma do comprimento com a largura

pela constante matemaacutetica adimensional dois Em todos os casos de soma e subtraccedilatildeo as unidades

do resultado satildeo sempre as mesmas das parcelas Aliaacutes natildeo se pode somar ou subtrair grandezas

com diferentes unidades de mediccedilatildeo essas operaccedilotildees soacute satildeo possiacuteveis desde que todas as parcelas

tenham a mesma unidade e mesmos muacuteltiplos ou submuacuteltiplos

Quando multiplicamos ou dividimos duas ou mais grandezas entre si sempre criamos uma

outra grandeza No exemplo do terreno se multiplicamos o comprimento e a largura do terreno

encontramos a aacuterea do terreno A aacuterea eacute uma grandeza derivada da grandeza comprimento (aqui no

sentido geral de comprimento largura altura periacutemetro distacircncia etc) Dizemos que essas duas

unidades tecircm dimensotildees diferentes As grandezas adimensionais podem ser consideradas grandezas

de dimensatildeo um O produto de duas grandezas eacute comum na fiacutesica e na quiacutemica a tiacutetulo de

exemplo se uma forccedila constante f atua sobre um corpo induzindo-lhe um deslocamento linear ao

longo de uma distacircncia l entatildeo o produto da forccedila pela distacircncia define uma nova grandeza

chamada de trabalho e simbolizada por w assim temos

w = f l [42]

Como um segundo exemplo consideremos agora que seja conhecido o diacircmetro desfera de

uma esfera cuja massa tenha sido pesada anteriormente Dividindo a massa dessa esfera pelo seu

volume Vesfera



3 34 1

3 6esfera esfera esferaV r dπ π= = [43]

resulta uma nova propriedade fiacutesica denominada massa especiacutefica ou densidade grandeza

simbolizada pela letra grega ρ (rhocirc)

ρ = mV [44]

A massa especiacutefica (ou densidade) eacute portanto a razatildeo entre a massa de uma substacircncia ou corpo e

seu volume Como no SI a unidade e massa eacute o kg e a de volume eacute o m3 a unidade de densidade eacute

kg mndash3 em geral usamos as unidades dos submuacuteltiplos g cmndash3 Como exemplos as densidades do

accedilo e do vidro satildeo em geral eacute em torno de 78 a 80 g cmndash3 e 21 a 28 g cmndash3 respectivamente

[ANDERSON 1981]

Manipular algebricamente equaccedilotildees envolvendo propriedades fiacutesico-quiacutemicas conduz a

outras equaccedilotildees que em geral simplificam a resoluccedilatildeo de problemas Se por exemplo desejamos

encontrar a equaccedilatildeo para a densidade de uma esfera pesada por diferenccedila e cujo diacircmetro foi

adequadamente medido podemos combinar as eqs 41 43 e 44 da seguinte forma primeiramente

inserimos a massa da esfera que nesse caso constitui nossa amostra dada pela eq 41 na eq 44

obtendo

brut taraesfera

esfera

m m

Vρ

minus= [45]

Em seguida inserimos a eq 43 na equaccedilatildeo acima resultando em

( )3

6 brut tara

esfera

esfera

m m

dρ

π

minus= [46]

A eq 46 eacute um exemplo tiacutepico de equaccedilatildeo que em metrologia a ciecircncia das mediccedilotildees [VIM 2007]

chamamos de funccedilatildeo de mediccedilatildeo [VIM JCGM 2008] ou equaccedilatildeo de mediccedilatildeo ou equaccedilatildeo do

mensurando Ela envolve as chamadas grandezas de entrada que foram aquelas de fato medidas

as massas bruta e de tara e o diacircmetro da esfera aleacutem de constantes matemaacuteticas os nuacutemeros π e 6

e agraves vezes constantes fiacutesicas Aqui o mensurando a grandeza que estamos interessados em medir

que tambeacutem eacute chamada de grandeza de saiacuteda eacute a densidade da esfera

A Fiacutesica a Quiacutemica e a Fiacutesico-Quiacutemica satildeo ciecircncias essencialmente experimentais e por

isso ditas empiacutericas suas interpretaccedilotildees dos fenocircmenos naturais baseiam-se em resultados de



mediccedilotildees Define-se por mediccedilatildeo o ldquoconjunto de operaccedilotildees que tem por objetivo determinar o

valor de uma grandezardquo [VIM 2007] Esse processo envolve sistematicamente a comparaccedilatildeo de

uma dada grandeza ldquoGrdquo com outra de mesma espeacutecie ldquogrdquo usada como referecircncia e que constitui a

unidade de mediccedilatildeo Quando medimos estamos querendo saber quantas vezes a G eacute maior ou

menor que g assim uma expressatildeo matemaacutetica que representa o processo de comparaccedilatildeo envolvido

na mediccedilatildeo eacute

ou G

x G xgg

= =

Na equaccedilatildeo acima dizemos que x eacute o nuacutemero de vezes que G eacute maior ou menor que g

2 A dependecircncia do volume de uma amostra com a temperatura e com a

pressatildeo introduzindo derivadas parciais na fiacutesico-quiacutemica

Vamos agora tratar de dois casos particulares da interdependecircncia entre as grandezas de

estado termodinacircmicas Vimos anteriormente na segunda aula seccedilatildeo 23 que algumas grandezas

fiacutesicas de uma amostra de mateacuteria como pressatildeo volume temperatura e quantidade de mateacuteria

relacionam entre si atraveacutes das chamadas equaccedilotildees de estado Nesse sentido se variamos o valor de

uma propriedade mantendo duas outras propriedades com seus valores constantes forccedilosamente a

quarta propriedade de estado iraacute variar ser valor Por exemplo na equaccedilatildeo V = nRTp escrevemos

o volume V como funccedilatildeo da quantidade de mateacuteria n da temperatura T e da pressatildeo p Se o sistema

for fechado (n seraacute uma constante) e a pressatildeo eacute mantida constante entatildeo o volume seraacute uma funccedilatildeo

apenas da temperatura V = ΑT onde Α eacute uma constante Por outro lado se mantemos um sistema

fechado agrave temperatura constante entatildeo o volume torna-se uma funccedilatildeo apena da pressatildeo V = Βp

onde Β eacute alguma outra constante

21 Coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica

Consideremos um sistema fechado logo n eacute constante sobre o qual eacute exercida uma pressatildeo

p constante Se aumentarmos a temperatura desse sistema o que aconteceraacute com seu volume



Vamos admitir que como na equaccedilatildeo 34 da aula 3 temos a relaccedilatildeo funcional entre as variaacuteveis de

estado Volume (V) pressatildeo (p) temperatura T e quantidade de mateacuteria n

( ) V V n T p= [47]

De forma a enfatizar as propriedades cujos valores satildeo constantes reescrevemos a eq 47 da

seguinte forma

( ) ( )0 0

n pV V T n p V T= = [48]

Na eq 48 os subscritos n e p indicam que o valor de V obtido pela equaccedilatildeo eacute vaacutelido apenas para

uma dada quantidade de mateacuteria n0 e pressatildeo p0 constantes Dessa forma o volume que na eq 47

eacute uma funccedilatildeo de trecircs variaacuteveis torna-se uma funccedilatildeo de apenas uma variaacutevel (no caso a

temperatura) na eq 48 uma vez que as outras duas natildeo satildeo mais variaacuteveis Qualquer que seja a

funccedilatildeo entre V e T variando T entatildeo V deveraacute variar Tomemos novamente como exemplo a

conhecida lei dos gases ideais V = nRTp Se escolhermos uma condiccedilatildeo experimental em que a

pressatildeo de 1 atm eacute mantida constante em um sistema fechado contendo 1 mol de gaacutes ideal entatildeo

n0 = 1 mol e p

0 = 1 atm nesse caso a equaccedilatildeo do gaacutes ideal toma a forma simplificada V

= 00820574T Nesta equaccedilatildeo o valor numeacuterico da constante 00820574 foi ajustado para que a

unidade da temperatura seja dada em kelvin (uma temperatura absoluta portanto) e a unidade do

volume em litros

A experiecircncia sobre diferentes sistemas fechados e mantidos agrave pressatildeo constante mostra que

o aumento da temperatura quase sempre faz o tamanho do sistema aumentar Transformaccedilotildees agrave

pressatildeo constante satildeo denominadas de transformaccedilatildeo isobaacuterica Consideremos uma reacutegua de accedilo

inox de 2 cm de largura 1 mm de espessura e 30 cm de comprimento medida agrave 20deg C A fiacutesica

nos ensina que se mudarmos a temperatura da reacutegua entatildeo cada uma de suas dimensotildees (largura

comprimento e espessura) satildeo alteradas segundo uma equaccedilatildeo aproximada cuja forma eacute

( )o l o1l l α θ θ= + minus [49]

Nessa equaccedilatildeo lo e l eacute um dos comprimentos lineares do objeto medidos respectivamente nas

temperaturas inicial (ou temperatura de referecircncia) θ 0 e final θ A quantidade αl eacute o coeficiente



de dilataccedilatildeo teacutermica linear do accedilo inox cujo valor tiacutepico eacute 110 times 10ndash6 Kndash1 [SECCO 2000] Na eq

49 as temperaturas podem ser dadas em unidades de graus Celsius ou de kelvins pois o tamanho

dessas duas unidades eacute o mesmo Usando a eq 49 para as trecircs dimensotildees da reacutegua agrave 30degC ela teraacute

200022 cm de largura 100011 mm de espessura e 300033 cm de comprimento Essas variaccedilotildees

satildeo tatildeo pequenas que somente um microcircmetro com valor de uma divisatildeo de escala de 0001 mm

seria capaz de detectaacute-las no comprimento mas natildeo teria resoluccedilatildeo para medir a diferenccedila na

largura e na espessura Uma vez que as dimensotildees lineares da reacutegua se alteraram tambeacutem o seu

volume eacute modificado do valor inicial de 2 cm times 01 cm times 30 cm = 6 cm3 para

200022 cm times 0100011 cm times 300033 cm = 600198 cm3

Se ao inveacutes de aumentarmos a temperatura em relaccedilatildeo ao seu valor inicial a tiveacutessemos

reduzido entatildeo todos os trecircs comprimentos da reacutegua e seu volume teriam tambeacutem diminuiacutedo Eacute

imediato mostrar que as mesmas variaccedilotildees observadas nos seus comprimentos e no seu volume

tambeacutem ocorrem nas aacutereas das seis faces da reacutegua Isso mostra claramente que todas as grandezas

de comprimento aacuterea e volume de um objeto satildeo funccedilotildees da temperatura Desta forma definimos

os coeficientes de dilataccedilatildeo teacutermica linear αl superficial αS e volumeacutetrico αV Equaccedilotildees

semelhantes agrave eq 49 podem ser escritas para a aacuterea e para o volume Para o caso do volume

escrevemos

( )o v o1V V α θ θ= + minus [410]

onde Vo eacute o volume na temperatura de referecircncia

Anote

Nas calibraccedilotildees de vidraria de laboratoacuterio e outros instrumentos de

mediccedilatildeo a temperatura de referecircncia oficialmente adotada pelo sistema

metroloacutegico brasileiro eacute 20degC

Vimos acima que a reacutegua de accedilo inox a 20degC tem um volume de 6 cm3 e 600198 cm3 agrave

30degC Inserindo esses valores na eq 410 determinamos o coeficiente de dilataccedilatildeo volumeacutetrico do

accedilo inox αV=330times10ndash6 Kndash1 exatamente o triplo de seu coeficiente de dilataccedilatildeo linear De uma

forma geral para sistemas isotroacutepicos temos a seguinte relaccedilatildeo entre os coeficientes de dilataccedilatildeo

teacutermica linear superficial e volumeacutetrico (ver exerciacutecio 5 da autoavaliccedilatildeo)



v l s l3 e 2α α α α= = [411]

Sistemas isotroacutepicos satildeo aqueles que possuem os mesmos valores para os coeficientes lineares

correspondentes agrave sua largura αl(larg) comprimento αl

(comp) e espessura αl(esp)

A definiccedilatildeo do coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica volumeacutetrico de um sistema fechado eacute a

ldquovariaccedilatildeo relativa do volume por unidade de variaccedilatildeo da temperatura a pressatildeo constanterdquo ou ainda

como o ldquoaumento relativo do volume por unidade de aumento isobaacuterico da temperaturardquo Uma vez

que o volume nessas condiccedilotildees experimentais eacute uma funccedilatildeo apenas da temperatura a referida taxa

de variaccedilatildeo do volume por unidade de variaccedilatildeo da temperatura eacute tambeacutem variaacutevel com a

temperatura e eacute dada pela derivada parcial do volume em relaccedilatildeo agrave temperatura (partVpartT)pn que pode

ser positiva ou negativa Os iacutendices apoacutes os parecircnteses em torno da derivada satildeo para enfatizar

quais satildeo as propriedades consideradas constantes Se dividirmos a taxa de variaccedilatildeo em questatildeo

pelo proacuteprio volume obtemos a taxa de variaccedilatildeo relativa Assim a equaccedilatildeo matemaacutetica dessa

definiccedilatildeo textual eacute

v

1

p n

V

V Tα

part equiv

part ou simplesmente v

1

p

V

V Tα

part equiv

part [412]

Pela definiccedilatildeo da eq 412 o coeficiente de dilataccedilatildeo αV pode ser positivo ou negativo Para

gases e soacutelidos αV eacute sempre positivo Para liacutequidos αV eacute em geral positivo podendo entretanto ser

negativo em um intervalo pequeno de temperatura para algumas substacircncias a exemplo da aacutegua

ver Tabela 41 e Figura 41 abaixo Embora o iacutendice duplo pn no termo do lado direito da eq 412

seja a mais informativo eacute comum utilizar uma notaccedilatildeo mais simplificada com a indicaccedilatildeo apenas

do iacutendice p (condiccedilatildeo de ter a pressatildeo sido mantida constante)

Finalmente um importante aspecto a ser observado sobre o coeficiente de dilataccedilatildeo αV eacute que

ele natildeo eacute constante e sim uma funccedilatildeo da temperatura Isso decorre do fato de que o volume eacute

funccedilatildeo da temperatura assim a derivada do volume em relaccedilatildeo a temperatura tambeacutem eacute uma funccedilatildeo

da temperatura desta forma o coeficiente de dilataccedilatildeo eacute uma funccedilatildeo da temperatura e pode ser

denotado αV = αV(T) Por exemplo para gases em geral o coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica eacute

aproximadamente dado por

αV(T gases) cong 1T [413]



22 Variaccedilatildeo da Densidade com a temperatura

321 Relaccedilotildees diferenciais

Uma vez que o volume do sistema muda com a temperatura sem alterar sua massa entatildeo sua

densidade ρ tambeacutem varia com a temperatura Para demonstrar essa dependecircncia funcional da

densidade com a temperatura vamos utilizar conceitos do caacutelculo diferencial relacionados agraves

propriedades das derivadas parciais de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis O conhecimento e a habilidade

no trato desses conceitos satildeo de grande importacircncia no estudo da termodinacircmica Faremos a

deduccedilatildeo passo a passo para mostrar um exemplo tiacutepico de procedimento de deduccedilatildeo ou

demonstraccedilatildeo de forma a evidenciar claramente a linha de raciociacutenio Introduziremos durante a

deduccedilatildeo alguns conceitos matemaacuteticos relacionados agraves propriedades das derivadas das funccedilotildees

Iniciamos essa deduccedilatildeo considerando que a densidade eacute uma funccedilatildeo da temperatura

ρ equivρ(T) deve existir assim uma derivada da densidade em relaccedilatildeo agrave temperatura Utilizando a

definiccedilatildeo de densidade dada pela eq 44 escrevemos

1

p pp

m V VmT T T

ρ partpart part = = part part part

[414]

Nesse ponto chamamos a atenccedilatildeo para o fato de que o reciacuteproco do volume pode ser considerado

como uma funccedilatildeo do volume Assim aplicaremos a propriedade das derivadas chamada de regra da

cadeia ou derivada da funccedilatildeo composta

Regra da cadeia ou derivada da funccedilatildeo composta ou derivada de uma

funccedilatildeo de uma funccedilatildeo

Seja f uma funccedilatildeo real de uma variaacutevel real u f = f(u) e seja u uma

funccedilatildeo real de uma variaacutevel real x u = u(x) Seja entatildeo a funccedilatildeo composta

f[u(x)] uma nova funccedilatildeo de x f(x) A derivada da funccedilatildeo f(x) f prime(x) = dfdx

eacute dada por

Regra da cadeia df df du

dx du dx= [415]



Uma equaccedilatildeo anaacuteloga agrave eq 415 pode ser escrita para o caso de funccedilotildees

reais de vaacuterias variaacuteveis reais Seja f = f(uvw) e u = u(xvw) entatildeo

v w v w v w

f f u

x u x

part part part =

part part part

Ou simplesmente

f f u

x u x

part part part=

part part part [416]

Utilizando a regra da cadeia da eq 416 podemos obter a derivada do reciacuteproco do volume

em funccedilatildeo da temperatura

2

1 1 1

p pp p

V VV V

T V T V T

part part part part = = minus part part part part

(onde por razotildees de simplicidade de notaccedilatildeo omitimos o iacutendice n) Inserindo o resultado acima na

eq 414 obtemos

2p p

m V

T V T

ρpart part = minus

part part

Esta equaccedilatildeo pode ser simplificada um pouco mais se utilizarmos as equaccedilotildees 412 e 44

novamente

vv v2

p

mmV

T V V

αρα α ρ

part = minus = minus = minus

part [417]

Estamos agora em condiccedilatildeo de investigar como a densidade varia com a temperatura

Estudando o sinal da eq 417 podemos verificar se a densidade aumenta ou diminui com o aumento

da temperatura A densidade eacute sempre uma grandeza positiva Se o coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica

de uma substacircncia for positivo entatildeo o produto ndashαvρ e portanto a derivada da densidade relativa

agrave temperatura seratildeo negativos Assim um aumento da temperatura (variaccedilatildeo positiva) implicaria

em uma reduccedilatildeo da densidade (variaccedilatildeo negativa) Por outro lado se o coeficiente de dilataccedilatildeo for

negativo o produto ndashαvρ e a derivada da densidade relativa agrave temperatura seratildeo positivos e um



aumento da temperatura levaraacute a um aumento da densidade A partir da eq 417 podemos dar outra

definiccedilatildeo para o coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica O coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica corresponde agrave

variaccedilatildeo relativa da densidade por unidade de temperatura com sinal trocado

v

1

pT

ρα

ρ

part equiv minus

part [418]

Para exemplificar esses resultados vamos considerar a densidade da aacutegua medida em vaacuterias

temperaturas A Tabela 41 e Figura 41 mostram o comportamento da densidade da aacutegua no

intervalo de temperaturas entre 0 e 50ordmC todas medidas agrave pressatildeo de 1 atm

θ

degC

ρ

gcm3

θ

degC

ρ

gcm3

0 0999 841 10 0999 700

1 0999 902 20 0998 203

2 0999 941 30 0995 646

3 0999 965 40 0992 21

4 0999 973 50 0988 04

5 0999 965

6 0999 941

7 0999 902

Tabela 41 Densidade da aacutegua no vaacutecuo de 0 a 50degC [ANDERSON 1981]

Analisando a Tabela 41 e Figura 41 vemos que a densidade passa por um maacuteximo entre 3

e 5degC Antes do maacuteximo a densidade aumenta com o aumento da temperatura indicando que nessa

regiatildeo a variaccedilatildeo (derivada) da densidade relativa agrave temperatura eacute positiva a funccedilatildeo densidade eacute

crescente neste intervalo de temperaturas Apoacutes o maacuteximo a funccedilatildeo densidade eacute uma funccedilatildeo

decrescente da temperatura aumentos de temperatura levam agrave reduccedilatildeo na densidade e a derivada eacute

negativa



Figura 41 Variaccedilatildeo da densidade da aacutegua em funccedilatildeo da temperatura entre 0 e 50ordm C

A densidade ρaacutegua da aacutegua pode ser ajustada agrave um polinocircmio de terceiro grau na temperatura

θ (em ordmC) Uma regressatildeo utilizando o meacutetodo dos miacutenimos quadrados fornece a expressatildeo

ρaacuteguag cmminus3 = 09986 + 56690times10minus5θ ndash 76207times10minus6 θ 2 + 35255times10minus8 θ 3 [419]

Esse polinocircmio pode ser usado para prever interpolar valores da densidade da aacutegua entre 0 e 50degC

Esse tipo de equaccedilatildeo permite a previsatildeo por interpolaccedilatildeo ou (com um cuidado extra) extrapolaccedilatildeo

de valores natildeo medidos que tenham boa probabilidade de serem obtidos se a mediccedilatildeo fosse feita eacute

um exemplo tiacutepico do que chamamos de modelo matemaacutetico empiacuterico ou modelo matemaacutetico

experimental ou modelo matemaacutetico de interpolaccedilatildeo ou modelo matemaacutetico de previsatildeo ou ainda

retirando o adjetivo matemaacutetico para simplificar modelo empiacuterico modelo experimental etc

322 Relaccedilotildees Integrais

Vamos agora utilizar um outro conhecimento matemaacutetico frequumlentemente uacutetil nas ciecircncias

exatas para a partir de relaccedilotildees diferenciais como a mostrada na eq 412 obtermos a equaccedilatildeo

expliacutecita para uma funccedilatildeo primitiva com relaccedilatildeo agrave sua variaacutevel funcional No exemplo da eq 412

y = 35255E-08x3 - 76207E-06x2 + 56690E-05x + 99986E-01

Rsup2 = 99999E-01

0984

0988

0992

0996

1

-10 0 10 20 30 40 50 60

De

nsi

da

de

g

cm

3

Temperatura oC

Densidade da aacutegua no vaacutecuo



desejamos obter o volume de uma substacircncia como funccedilatildeo da temperatura Vamos desenvolver

este exemplo em detalhes o objetivo eacute extrair da eq 412 a funccedilatildeo V(T) em um intervalo de

temperaturas entre Tinf e Tsup e conhecer a forma funcional do coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica αV(T)

em funccedilatildeo da temperatura Iniciamos reescrevendo a eq 412 da seguinte forma

vp

VV

Tα

part =

part [420]

A eq 420 mostra que a taxa de variaccedilatildeo do volume por unidade de variaccedilatildeo da temperatura eacute

simultaneamente proporcional ao volume e ao coeficiente de dilataccedilatildeo e portanto tambeacutem eacute uma

funccedilatildeo da temperatura Equaccedilotildees desse tipo que relacionam derivadas de funccedilotildees de uma variaacutevel

com ela proacutepria e com outras funccedilotildees satildeo chamadas de equaccedilotildees diferenciais Mostraremos aqui

apenas o caso mais simples de equaccedilatildeo diferencial aquelas denominadas de equaccedilotildees diferenciais

ordinaacuterias de variaacuteveis separaacuteveis A soluccedilatildeo das equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de variaacuteveis

separaacuteveis eacute muito simples Primeiramente manipulamos a equaccedilatildeo de forma a que de cada lado do

sinal de igualdade soacute tenha uma das duas variaacuteveis envolvidas na derivada assim obtemos

( )( )v

dV TT dT

Vα=

Nessa equaccedilatildeo usamos a notaccedilatildeo de funccedilatildeo para enfatizar a dependecircncia do coeficiente e dilataccedilatildeo

α(T) e do volume V(T) com a temperatura O lado esquerdo do sinal de igualdade da equaccedilatildeo

acima eacute funccedilatildeo apenas do volume enquanto o lado direito eacute uma funccedilatildeo apenas da temperatura

Assim podemos integrar independentemente cada lado dessa equaccedilatildeo relativamente ao diferencial

que laacute aparece No caso acima dV a esquerda e dT a direita do sinal de igualdade Podemos fazer

tanto uma integraccedilatildeo indefinida entrando com as constantes de integraccedilatildeo de cada uma das duas

integrais ou fazer uma integraccedilatildeo definida Usaremos aqui a segunda alternativa por ser mais

simples de compreender e ter uma relaccedilatildeo mais direta com o fenocircmeno Como toda mudanccedila de

estado (no presente caso uma mudanccedila de volume e temperatura) implica na variaccedilatildeo de algumas de

suas propriedades de estado (volume e temperatura no presente exemplo) de um valor inicial a um

valor final faremos uso dos iacutendices ldquoirdquo e ldquofrdquo para representar os valores iniciais e finais

respectivamente dessas propriedades de estado que tecircm seus valores alterados durante a mudanccedila



de estado Assim usaremos esses valores iniciais e finais como limites da integraccedilatildeo definida A

integraccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial acima nos conduz a

( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]

Natildeo podemos prosseguir mais realizando a integraccedilatildeo que aparece no lado direito da

equaccedilatildeo 421 sem que os detalhes da dependecircncia do coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica αV em

funccedilatildeo da temperatura seja conhecido Para fazer isto podemos considerar algumas possibilidades

Um primeiro caso como uma boa aproximaccedilatildeo podemos considerar que o coeficiente de dilataccedilatildeo

teacutermica αv(T) varia muito pouco com a temperatura em uma faixa estreita (Tf cong Ti) de temperaturas

inicial (Ti ) e final (Tf ) Nestas condiccedilotildees podemos considerar o coeficiente de dilataccedilatildeo como

aproximadamente constante e igual ao seu valor meacutedio αv cong αvm = [αv(Ti) + αv(Tf ) ]2 dentro da

faixa de temperatura considerada Nesse caso retornando agrave eq 421 a constante αvm pode ser

colocada para fora do sinal de integraccedilatildeo e assim podemos escrever

( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint

Passando a funccedilatildeo exponencial que eacute a funccedilatildeo inversa da funccedilatildeo logaritmo natural nos dois lados

da uacuteltima equaccedilatildeo obtemos

( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote

Eacute muito comum escolher-se uma temperatura de referecircncia para ser a

temperatura inicial o valor inicial da outra propriedade eacute conhecido nessa

temperatura e eacute tambeacutem um valor de referecircncia Denotamos esses dois

valores de referecircncia com um iacutendice ldquoordquo (bolinha ou zero) No presente

caso a temperatura de referecircncia poderia ser To = 0degC e o volume do

sistema nessa temperatura seria Vo Por exemplo se o sistema for 1 mol de

gaacutes ideal na pressatildeo de 100 kPa ou 1 bar o volume de referecircncia na

temperatura de referecircncia de 0degC eacute (22710981 plusmn 0000040) L

[CODATA 2006]



Em geral se reescreve a equaccedilatildeo acima com esses valores de referecircncia ou seus siacutembolos

considerando Tf como uma temperatura T qualquer

( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]

Caso o coeficiente de dilataccedilatildeo varia significativamente com a temperatura entre as

temperaturas inicial e final natildeo podemos mais utilizar a soluccedilatildeo aproximada expressa pela eq 422

Eacute necessaacuterio conhecer a dependecircncia do coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica com a temperatura e

integrar corretamente o termo do lado direito da eq 421 Uma possibilidade que podemos adotar eacute

como mencionado na seccedilatildeo anterior o uso de modelos empiacutericos de funccedilotildees matemaacuteticas escritas

como polinomiais ajustados a partir de dados experimentais para representar uma propriedade

fiacutesico-quiacutemica Nesse caso a integraccedilatildeo desejada eacute conseguida de forma padratildeo e simples e o

resultado desejado obtido trivialmente Por exemplo podemos ajustar αV(T) como um polinocircmio de

grau quatro na temperatura

αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4

para as constantes (a0 a1 a2 a3 a4) conhecidas Neste caso usando a eq 421 teremos

ln(VfVi) = int(a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4)dT

ou

ln(VfVi) = a0(Tf minus Ti) + a1[(Tf 2

minus Ti2]2 + a2[(Tf

3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5

Para finalizar nossa discussatildeo relativa ao coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica vamos agora

mostrar que a eq 410 eacute uma aproximaccedilatildeo da eq 422 e portanto o uso indiscriminado da eq 410

pode levar a resultados que natildeo representam corretamente a realidade fiacutesica Para essa

demonstraccedilatildeo vamos aproximar a eq 422 por uma expansatildeo em seacuterie de potecircncias em T uma

expansatildeo denominada de seacuterie de Taylor-Maclaurin



Seacuterie de Taylor- Maclaurin

Seja f(x) uma funccedilatildeo que tenha ao redor no ponto x = a (a = um dado

valor numeacuterico) todas as suas derivadas ateacute a eneacutesina (n-eacutesima) derivada

finitas Entatildeo para um ponto x nas vizinhanccedilas de a temos a seguinte

igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i

f a f a f af x f a x a x a x a

f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=

prime primeprime primeprimeprime= + minus + minus + minus +

+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]

Rn eacute o resiacuteduo ou termo complementar da seacuterie de ordem n ndash 1 cujo valor

tende a zero quando n tende a infinito (cresce arbitrariamente na linguagem

dos matemaacuteticos) tal que o moacutedulo da eneacutesima derivada em um ponto b

entre o valor de x e de a eacute maacuteximo nesse intervalo

( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus

Na eq 423 usamos o sinal de igualdade entre f(x) e a seacuterie porque o

resiacuteduo Rn corrige a seacuterie quando ela natildeo tem infinitos termos Quando

usada para aproximar funccedilotildees ou modelos Fiacutesico-Quiacutemicos a parcela Rn eacute

desprezada e como a seacuterie eacute sempre truncada para um nuacutemero finito de

parcelas usaremos nesses casos o sinal de aproximadamente igual cong Se

fazemos a = 0 na seacuterie de Taylor ela passa a ser chamada de seacuterie de

Maclaurin que desprezando o resiacuteduo toma a forma

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i

f f ff x f f x x x x

n

fx

i

minus

minus

minus

=

primeprime primeprimeprimeprimecong + + + + + =

minus

=sum

L

[424]



As seacuteries de Taylor-Maclaurin mais frequumlentemente usadas em

termodinacircmica satildeo

211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi

minus+ = minus + + + minus + forall minus lt leL L [425b]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i

minus minus= minus minus minus + minus + + minus + forall gtL L

[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x

x= minus + minus + + minus + forall ne minus

+L L [425d]

Aplicando a seacuterie de Maclaurin dada pela eq 425 a na eq 422 atraveacutes da identificaccedilatildeo

x = avm(T ndash To) obtemos

( ) ( ) ( ) ( ) 2 3

o vm o vm o vm o1 2 6V T V T T T T T Tα α α = + minus + minus + minus + L

Se truncarmos a seacuterie acima para incluir ateacute o termo de primeira ordem ie se desprezarmos os

termos de grau dois trecircs e superiores recuperamos a eq 410 Isto demonstra que essa equaccedilatildeo eacute

uma aproximaccedilatildeo em de primeira ordem da soluccedilatildeo mais exata para o problema dada pela eq 425

Note contudo que que por sua vez a eq 425 eacute uma soluccedilatildeo tambeacutem aproximada da soluccedilatildeo exata

expressa pela eq 421

42 Coeficiente de Compressibilidade isoteacutermica

Consideremos um sistema fechado logo n eacute constante imerso em um banho de aacutegua ou

assemelhado agrave temperatura T constante Se se aumentamos a pressatildeo sobre esse sistema o que

aconteceraacute com seu volume De forma a enfatizar as propriedades cujos valores satildeo constantes

reescrevemos a eq 47 da seguinte forma

( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]



Novamente o volume se torna uma funccedilatildeo de apenas uma variaacutevel no caso a pressatildeo enquanto sua

quantidade de mateacuteria e temperatura satildeo mantidas constantes nos valores especiacuteficos n0 e T0

Um experimento para verificar o comportamento do volume de uma substacircncia sob accedilatildeo de

diferentes pressotildees pode ser facilmente realizado usando um sistema gasoso A temperatura e a

quantidade de mateacuteria do gaacutes permanecem fixas durante todo o experimento Tome por exemplo

um pedaccedilo da membrana de borracha de um balatildeo de festa suavemente esticado e a preencha-o

com ar formando assim uma pequena bola de borracha cheia Introduza essa bolinha de borracha

em uma seringa conforme mostrado na Figura 42 A seguir com auxiacutelio de um ecircmbolo aspire

aacutegua para o interior da seringa atraveacutes de sua ponta Com a a ponta da seringa tampada aperte o

ecircmbolo para dentro dela O tamanho e consequumlentemente o volume da bolinha de borracha

diminui A operaccedilatildeo inversa faz com que o volume da bola aumente ver Fig 42 Eacute faacutecil interpretar

desse experimento que o aumento da a pressatildeo sobre um gaacutes implica na diminuiccedilatildeo do seu volume

Dizemos que o sistema sofreu uma compressatildeo O contraacuterio quando diminuiacutemos a pressatildeo

observa-se um aumento de volume do gaacutes E nesse caso dizemos que o sistema sofreu uma

expansatildeo Nesse experimento consideramos a temperatura constante e igual agrave temperatura

ambiente durante todo o experimento Esse comportamento de reduccedilatildeo do volume com o aumento

da pressatildeo e aumento do volume com a reduccedilatildeo da pressatildeo aplicada sobre eacute tambeacutem observado nos

sistemas liacutequidos e soacutelidos embora em menor extensatildeo e pode ser adequadamente representado

atraveacutes da definiccedilatildeo do coeficiente de compressibilidade

(a) (b) (c) (d) (e)

Figura 42 Expansatildeo e compressatildeo de um sistema sobe a accedilatildeo de uma pressatildeo (forccedila) externa



O coeficiente de compressibilidade isoteacutermico ou simplesmente coeficiente de

compressibilidade eacute definido como o inverso (sinal negativo) ldquoda variaccedilatildeo relativa do volume de

um sistema fechado por unidade de variaccedilatildeo da pressatildeo aacute temperatura constanterdquo ou ainda como o

inverso (sinal negativo) da ldquoreduccedilatildeo relativa do volume por unidade de aumento isoteacutermico da

pressatildeordquo A equaccedilatildeo matemaacutetica que define esta quantidade fiacutesico-quiacutemica eacute

1T

n T

V

V pκ

partequiv minus

part ou simplesmente

1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]

Note a semelhanccedila da definiccedilatildeo textual de coeficiente de compressibilidade e da equaccedilatildeo

matemaacutetica de sua definiccedilatildeo com aquelas do coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica eq 412

Como mostrado no experimento descrito acima o aumento da pressatildeo sua variaccedilatildeo

positiva provoca uma reduccedilatildeo do volume variaccedilatildeo negativa assim a derivada parcial na eq 427

adquire um sinal negativo para fazer de κT uma quantidade positiva Com base nesta definiccedilatildeo

um sistema com coeficiente de compressibilidade negativo natildeo seria mecanicamente estaacutevel e

portanto natildeo pode existir Suponha que tal sistema existisse e que estivesse em equiliacutebrio mecacircnico

na pressatildeo atmosfeacuterica Agora imagine que instantaneamente exercecircssemos uma forccedila sobre ele

amassando-o por exemplo com uma martelada seu volume reduziria logo partV seria negativo

como seu κT eacute negativo de acordo com a eq 427 o termo partp seria negativo ie sua pressatildeo

reduziria Assim a pressatildeo atmosfeacuterica externa se tornaria maior que sua pressatildeo interna p e o

comprimiria reduzindo ainda mais seu volume e sua pressatildeo Uma vez iniciado esse processo ele

natildeo pararia mais e o sistema entraria em colapso desaparecendo Com raciociacutenio anaacutelogo veriacuteamos

que se acidentalmente o volume de tal sistema em equiliacutebrio mecacircnico com a atmosfera sofresse

um aumento de volume ele explodiria atraveacutes de sucessivos e infindaacuteveis aumento de sua pressatildeo

interna e de seu volume Assim da definiccedilatildeo de κT dada pela eq 427 o coeficiente de

compressibilidade isoteacutermico deve ser sempre positivo para que um sistema tenha estabilidade

mecacircnica contra variaccedilotildees de seu volume [CASTELLAN 1995]

Agrave exemplo do que fizemos com a eq 412 que define o coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica

podemos tambeacutem rearranjar a eq 427 transformando-a em uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria de

variaacuteveis separaacuteveis e integraacute-la entre uma pressatildeo inicial e outra final

( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp

V Vκ κ= rArr = rArrint int



( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]

Como enfatizado nas equaccedilotildees acima o coeficiente de compressibilidade em uma dada

temperatura eacute uma funccedilatildeo da pressatildeo Se na eq 428 considerarmos κT como um valor meacutedio

constante κTm entre as pressotildees limites de integraccedilatildeo entatildeo ele pode ser retidado de dentro do

sinal de integraccedilatildeo e como no caso da eq 421 a eq 428 torna-se

( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]

Acima Vo eacute o volume do sistema na pressatildeo inicial (ou de referecircncia) po

Podemos aproximar a eq 429 utilizando a seacuterie de Taylor dada pela eq 425 a e truncada no

termo de primeira ordem Assim obtemos

( ) ( )o om1 TV p V p pκ = + minus [430]

Esta equaccedilatildeo eacute matematicamente semelhante agrave eq 410 poreacutem apresenta uma dependecircncia linear

do volume de uma substacircncia com a pressatildeo aplicada

43 Equaccedilatildeo de estado aproximada para a mateacuteria

Podemos combinar as equaccedilotildees 410 e 430 e obter uma relaccedilatildeo mais geral da dependecircncia

do volume de uma amostra com a temperatura e pressatildeo Para isto considere que o volume Vo que

aparece na equaccedilatildeo 430 seja uma funccedilatildeo da temperatura e possa ser calculado pela eq 410

Vo(T)= Vo

o[1 + αVom(T minus Τo)] [410]

ooV eacute um volume de referecircncia na pressatildeo po e temperatura To de referecircncia e αvom eacute o coeficiente

de dilataccedilatildeo meacutedio na temperatura de referecircncia Chamando o coeficiente meacutedio de



compressibilidade na temperatura de referecircncia eacute e κom podemos escrever combinando as

equaccedilotildees 410 e 430

( ) ( ) ( )o oo om vom o 1 1V p T V p p T Tκ α = + minus + minus [431]

Finalmente como o volume ooV estaacute relacionado agrave massa e agrave densidade do sistema na temperatura

e pressatildeo de referecircncias ooρ atraveacutes da eq 44 obtemos

( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m

V m p T p p T Tκ αρ

= + minus + minus [432]

Podemos tambeacutem escrever essa equaccedilatildeo em termos da quantidade de mateacuteria

( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM

V n p T p p T Tκ αρ


As equaccedilotildees 432 e 433 satildeo exemplos de equaccedilotildees termodinacircmicas de estado e descrevem

o volume como uma funccedilatildeo das trecircs propriedades de estado pressatildeo temperatura e quantidade de

mateacuteria ou massa Essas equaccedilotildees satildeo aplicaacuteveis a todos os estados fiacutesicos da mateacuteria em

particular para soacutelidos e liacutequidos para os quais a aproximaccedilatildeo da constacircncia dos coeficientes de

dilataccedilatildeo e de compressibilidade se aplicam em faixas maiores de temperatura e pressatildeo

respectivamente Natildeo podemos nos esquecer no entanto que devido agraves vaacuterias aproximaccedilotildees feitas

em suas deduccedilotildees elas soacute representaratildeo o comportamento do sistema em valores de pressatildeo e

temperatura proacuteximos aos valores de referecircncia ou padratildeo



Auto-avaliaccedilatildeo

1 Combine a equaccedilatildeo 43 com a equaccedilatildeo 45 e confirme o resultado expresso na equaccedilatildeo 46

2 Mostre que a derivada da densidade de uma esfera ρesf com relaccedilatildeo ao seu diacircmetro

Desf (dρesf dDesf) pode ser expressa como uma funccedilatildeo da proacutepria densidade da esfera

3 Calcule a densidade de uma esfera se as massas pesadas em uma balanccedila mostram os

valores de mbrut = 695 g e mbrut = 651 g

4 Calcule a densidade de um cilindro soacutelido de massa mcil = 3141592 g e dimensotildees medidas

com auxiacutelio de um microcircmetro eacute de 1015 mm de altura e raio igual a 00283 mm

5 As dimensotildees lineares l1 (comprimento) l2 (largura) e l3 (espessura) de um objeto medidos agrave

temperatura θ relacionam-se respectivamente agraves suas dimensotildees lineares (1)

lo (1)

lo e (1)

lo

medidos agrave temperatura de referecircncia θo pelas relaccedilotildees

l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]

Essas trecircs equaccedilotildees definem os coeficientes de dilataccedilatildeo linear αl(1) (largura) αl

(2)

(comprimento) e αl(3) (espessura) do objeto

Os volumes V e Vo do objeto medidos nas temperaturas θ e θo respectivamente satildeo

obtidos pelos produtos V= l1 l2 l3 e Vo = (1)lo

(2)lo

(3)lo

a) Mostre que de acordo com a eq 410

( )o v o1V V α θ θ= + minus e que αV = ( αl(1) + αl

(2) + αl(3) )

b) Se o objeto possui caracteriacutesticas teacutermicas isotroacutepicas isto eacute αl(1) = αl

(2) = αl(3) equiv αl

entatildeo de acordo com a eq 411 αV = 3αl

6 Considere a equaccedilatildeo do gaacutes ideal V = nRTp na qual V eacute uma funccedilatildeo de n T e p Por outro

lado n pode ser escrita como uma funccedilatildeo da massa m utilizando a seguinte transformaccedilatildeo

n = mM com a introduccedilatildeo da massa molar M do gaacutes



a O volume molar Vm de uma substacircncia pura eacute definido como a variaccedilatildeo do seu

volume com relaccedilatildeo agrave quantidade de mateacuteria existente agrave uma temperatura e pressatildeo

fixas

Vm = (partVpartn)pT

Calcule o volume Vm molar do gaacutes ideal Mostre que neste caso Vm = Vn

b Utilize adequadamente a regra da cadeia 416 e mostre que

(partVpartm)pT = RTMp

7 Determine o coeficiente de deformaccedilatildeo teacutermica αV da aacutegua no intervalo de 0 a 50ordm C

utilizando a equaccedilatildeo 418 e os valores das densidades da aacutegua fornecidos na Tablela 41

Sugestatildeo organizar o trabalho inicialmente

(i) reescreva a eq 418 como uma expressatildeo envolvendo diferenccedilas finitas

αV = minus(1ρ)(∆ρ∆θ) (pressatildeo constante) [E1]

onde ∆ρ = ρ(θ 2) ndash ρ(θ 1) eacute a diferenccedila das densidades medidas em duas temperaturas

diferentes θ 2 e θ 1 e ∆θ = θ 2 ndash θ 1 eacute a diferenccedila entre essas duas temperaturas

(ii) Organize uma tabela colocando em uma coluna os valores das diferenccedilas [ρ(1ordmC)

minus ρ(0ordmC)] [ρ(2ordmC) minus ρ(1ordmC)] [ρ(3ordmC) minus ρ(2ordmC)] hellip [ρ(50ordmC) minus ρ(40ordmC)] e em uma

segunda coluna as respectivas diferenccedilas de temperaturas [1ordmC minus 0ordmC] [2ordmC

minus 1ordmC] [3ordmC minus 2ordmC] hellip [50ordmC minus 40ordmC] e em uma terceira coluna os valores para as meacutedias

[ρ(1ordmC)+ρ(0ordmC)]2 [ρ(2ordmC)+ρ(1ordmC)]2 [ρ(3ordmC)+ρ(2ordmC)]2 hellip [ρ(50ordmC)+ρ(40ordmC)]2

(iii) Calcule as razotildees [ρ(θ j)minusρ(θ i)][θ jminusθ i] e divida-as pelas respectivas meacutedias

[ρ(θ j)+ρ(θ i)]2 das densidades medidas nas temperaturas θ j e θ i

(iv) Anote o inverso (troque o sinal) dos resultados obtidos na etapa anterior em uma nova

coluna de sua tabela Os valores encontrados nesta etapa correspondem aos coeficientes de

deformaccedilatildeo teacutermica da aacutegua na faixa de temperatura considerada

O tipo de tratamento utilizado acima corresponde ao que eacute chamado de um

tratamento numeacuterico ou no caso especiacutefico de uma diferenciaccedilatildeo numeacuterica de uma funccedilatildeo

(a densidade) na sua variaacutevel (a temperatura

Agora responda

a) Com o tratamento numeacuterico utilizado em que faixa de temperaturas o coeficiente de

deformaccedilatildeo teacutermica foi determinado melhor precisatildeo entre 0 e 6ordm C ou entre 10 e 50ordm C

Justifique sua resposta



b) Decirc uma interpretaccedilatildeo fiacutesica para o sinal negativo do coeficiente de dilataccedilatildeo da aacutegua

observado entre 0 a aproximadamente 4ordmC

8 Utilize a eq 418 e a equaccedilatildeo 419 que fornece uma relaccedilatildeo funcional entre a densidade da aacutegua

e a temperatura para determinar o coeficiente de deformaccedilatildeo teacutermica αV da aacutegua no intervalo

de 0 a 50ordm C Este procedimento direto eacute chamado de um caacutelculo analiacutetico pois a dependecircncia

da densidade da aacutegua com a temperatura eacute dada por uma funccedilatildeo analiacutetica

Agora responda

a) Com a foacutermula geral obtida neste item calcule os valores dos coeficientes de deformaccedilatildeo

angular da aacutegua para as temperaturas de θ = 05ordmC 15ordm C 25ordmC 35ordmC 45ordmC 55ordmC

65ordmC 8ordmC 15ordmC 25ordmC 35ordmC e 45ordm C

b) Compare os valores encontrados com aqueles obtidos atraveacutes de um caacutelculo numeacuterico da

questatildeo anterior Comente os resultados encontrados para essas comparaccedilotildees

c) Qual a razatildeo da lista de temperaturas do item (a) acima ter sido escolhida diferente da lista

de temperaturas dada na tabela 41

9 Utilize a curva analiacutetica da equaccedilatildeo 419 e estime o valor esperado para a densidade maacutexima

da aacutegua Para qual temperatura este valor maacuteximo deve ocorrer

a) Experimentalmente da densidade maacutexima da aacutegua eacute 0999 9750 gcm3 a 40degC

[LIDE 2004] Compare esses nuacutemeros com os que foram determinados a partir da

equaccedilatildeo 419

b) Qual a razatildeo para as discrepacircncias encontradas entre os valores da temperatura e da

densidade maacutexima da aacutegua maacutexima Elas satildeo significativas

8 Considere um termocircmetro constituiacutedo simplesmente de uma barra de zinco metal cujo

coeficiente de dilataccedilatildeo linear eacute 303times10ndash6 Kndash1 Calcule o comprimento da barra a 100degC se

a 0degC ela mede 10 cm

9 Calcule em unidades de mm o comprimento de uma divisatildeo de uma escala de 01 mm

desse termocircmetro Quais inconvenientes vocecirc veria na utilizaccedilatildeo experimental desse

termocircmetro Entre os metais comuns o zinco possui um dos maiores coeficientes de

dilataccedilatildeo linear a 300 K



10 A Tabela E1 abaixo fornece o valor da densidade do mercuacuterio no vaacutecuo em funccedilatildeo da

temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

Tabela E1 Densidade do mercuacuterio em funccedilatildeo da temperatura [ANDERSON 1981]

i) Organize uma planilha no EXCELtrade com esses dados em duas colunas e produza

um graacutefico da densidade em funccedilatildeo da temperatura para o mercuacuterio no intervalo de

temperaturas dado Determine a equaccedilatildeo de uma curva que melhor ajusta os dados da

tabele E1 agrave uma reta ρ(Hg) = a + bθ Forneccedila os valores dos coeficientes a e b

obtidos no processo de linearizaccedilatildeo

ii) Utilizando a equaccedilatildeo da reta obtida no item anterior calcule a densidade do Hg a

25degC e a 125degC Indique se o coeficiente de dilataccedilatildeo teacutermica αV(Hg) do mercuacuterio

eacute constante ou varia com a temperatura na faixa de 0 a 250degC Se o coeficiente

αV(Hg) do mercuacuterio varia com a temperatura essa variaccedilatildeo eacute linear (reta) ou natildeo

Justifique sua resposta sem fazer caacutelculos e apenas usando como base para

argumentaccedilatildeo a eq 418

iii) Usando a equaccedilatildeo da reta para a densidade do Hg obtida no item (i) acima obtenha

(deduza) uma equaccedilatildeo empiacuterica que possa ser usada para interpolar o coeficiente de

dilataccedilatildeo volumeacutetrico do Hg em funccedilatildeo de sua temperatura θ entre 0degC e 250degC

iv) Calcule o coeficiente de dilataccedilatildeo volumeacutetrico e o linear do mercuacuterio a 25degC e a

125degC

11 Usando as densidades do Hg da Tab E1 calcule o volume ocupado por 1 kg de mercuacuterio a

25degC e a 125degC Resp 7389 mL e 7523 mL



12 Usando o teorema do valor meacutedio da integraccedilatildeo (vide livro de Caacutelculo I) calcule o valor

para o coeficiente de dilataccedilatildeo volumeacutetrico meacutedio αvm do Hg para temperaturas entre

25degC e 125degC

13 Usando a expansatildeo da eq 425 a calcule os valores aproximados do nuacutemero de Neper e

truncando a seacuterie de Taylor (a) no termo de primeira ordem (b) de segunda ordem e (c) de

deacutecima ordem Compare os valores obtidos com o valor de e ateacute a 6ordf decimal e= 2718282

Calcule o valor aproximado para e271



Bibliografia

[ANDERSON 1981] ANDERSON Herbert L AIP 50th ldquoAnniversary Physics Vade Mecumrdquo

Herbert L Anderson Editor in Chief American Institute of Physics NY 1981

[VIM 2007] INMETRO SENAI ldquoVocabulaacuterio Internacional de Termos Fundamentais e Gerais de

Metrologia Portaria INMETRO 029 de 1995rdquo 5a Ediccedilatildeo Rio de Janeiro 2007 74p Editora

SENAI (arquivo pdf disponiacutevel no site wwwinmetrogovbr)

[VIM JCGM 2002008] BIPM IEC IFCC ILAC ISO IUPAC IUPAP and OIML JCGM

2002008 ldquoInternational vocabulary of metrology mdash Basic and general concepts and associated

terms (VIM)rdquo ldquoVocabulaire international de meacutetrologie mdash Concepts fondamentaux et geacuteneacuteraux et

termes associeacutes (VIM)rdquo Document produced by Working Group 2 of the Joint Committee for

Guides in Metrology (JCGMWG 2) 2008 Disponiacutevel em

httpwwwbipmorgenpublicationsguidesvimhtml visitado em 25-01-2009

[LIDE 2004] LIDE David R ldquoHandbook of Chemistry and Physicsrdquo 84th Edition David R LIDE

Editor in Chief CRC Press

[CASTELLAN 1995] CASTELLAN G ldquoFundamentos de Fiacutesico-Quiacutemicardquo 1a ed Livros

Teacutecnicos e Cientiacuteficos 1986 5ordf reimpressatildeo 1995

[CODATA 2006] CODATA The Committee on Data for Science and Technology 5 rue Auguste

Vacquerie 75016 Paris France siacutetio na internet httpwwwcodataorg (visitado em 25-01-09)

Os dados de constantes fiacutesicas do CODATA encontram-se no siacutetio do NIST a seguir

httpphysicsnistgovcuuConstantsindexhtml (visitado em 25-01-09)



No presente caso natildeo definimos nenhuma nova propriedade termodinacircmica pois a diferenccedila

das duas massas continua sendo uma massa poreacutem ela tem um novo significado especiacutefico trata-se

da massa da amostra aquilo que o recipiente ou suporte conteacutem O procedimento de pesagem acima

descrito e a eq 41 constituem o que chamamos de meacutetodo de pesagem por diferenccedila

Evidentemente poderiacuteamos somar a massa bruta com a massa de tara e encontrariacuteamos um novo

valor numericamente correto mas sem significado fiacutesico O valor dessa soma natildeo representa o

valor de nenhuma grandeza fiacutesica Em outros casos a soma pode representar alguma grandeza

fiacutesica Se somarmos os comprimentos de dois canos de PVC que foram unidos entre si em uma

instalaccedilatildeo hidraacuteulica teremos a distacircncia total do encanamento Se somarmos o comprimento de um

terreno retangular com sua largura e novamente somarmos esse comprimento e essa largura

teremos a grandeza fiacutesica periacutemetro do retacircngulo O resultado numeacuterico dessa soma de quatro

parcelas nos informa por exemplo qual o comprimento de tela deve-se comprar para cercar o

terreno Podemos obter o mesmo resultado multiplicando a soma do comprimento com a largura

pela constante matemaacutetica adimensional dois Em todos os casos de soma e subtraccedilatildeo as unidades

do resultado satildeo sempre as mesmas das parcelas Aliaacutes natildeo se pode somar ou subtrair grandezas

com diferentes unidades de mediccedilatildeo essas operaccedilotildees soacute satildeo possiacuteveis desde que todas as parcelas

tenham a mesma unidade e mesmos muacuteltiplos ou submuacuteltiplos

Quando multiplicamos ou dividimos duas ou mais grandezas entre si sempre criamos uma

outra grandeza No exemplo do terreno se multiplicamos o comprimento e a largura do terreno

encontramos a aacuterea do terreno A aacuterea eacute uma grandeza derivada da grandeza comprimento (aqui no

sentido geral de comprimento largura altura periacutemetro distacircncia etc) Dizemos que essas duas

unidades tecircm dimensotildees diferentes As grandezas adimensionais podem ser consideradas grandezas

de dimensatildeo um O produto de duas grandezas eacute comum na fiacutesica e na quiacutemica a tiacutetulo de

exemplo se uma forccedila constante f atua sobre um corpo induzindo-lhe um deslocamento linear ao

longo de uma distacircncia l entatildeo o produto da forccedila pela distacircncia define uma nova grandeza

chamada de trabalho e simbolizada por w assim temos

w = f l [42]

Como um segundo exemplo consideremos agora que seja conhecido o diacircmetro desfera de

uma esfera cuja massa tenha sido pesada anteriormente Dividindo a massa dessa esfera pelo seu

volume Vesfera



3 34 1




ρ = mV [44]





[ANDERSON 1981]






obtendo

brut taraesfera

esfera

m m

Vρ

minus= [45]


( )3

6 brut tara

esfera

esfera

m m

dρ

π

minus= [46]

















ou G

x G xgg

= =






















( ) V V n T p= [47]


seguinte forma

( ) ( )0 0

n pV V T n p V T= = [48]








n0 = 1 mol e p




volume em litros




























escrevemos

( )o v o1V V α θ θ= + minus [410]


Anote











v l s l3 e 2α α α α= = [411]














v

1

p n

V

V Tα

part equiv


1

p

V

V Tα

part equiv

part [412]





























1

p pp

m V VmT T T


[414]









eacute dada por


dx du dx= [415]





v w v w v w

f f u

x u x

part part part =

part part part

Ou simplesmente

f f u

x u x

part part part=




2

1 1 1

p pp p

V VV V

T V T V T



eq 414 obtemos

2p p

m V

T V T

ρpart part = minus

part part


novamente

vv v2

p

mmV

T V V

αρα α ρ


part [417]













v

1

pT

ρα

ρ

part equiv minus

part [418]




θ

degC

ρ

gcm3

θ

degC

ρ

gcm3

0 0999 841 10 0999 700

1 0999 902 20 0998 203

2 0999 941 30 0995 646

3 0999 965 40 0992 21

4 0999 973 50 0988 04

5 0999 965

6 0999 941

7 0999 902







negativa

















y = 35255E-08x3 - 76207E-06x2 + 56690E-05x + 99986E-01

Rsup2 = 99999E-01

0984

0988

0992

0996

1

-10 0 10 20 30 40 50 60

De

nsi

da

de

g

cm

3

Temperatura oC








vp

VV

Tα

part =

part [420]









( )( )v

dV TT dT

Vα=

















( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]










( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint



( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote









[CODATA 2006]





( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia






















3 34 1




ρ = mV [44]





[ANDERSON 1981]






obtendo

brut taraesfera

esfera

m m

Vρ

minus= [45]


( )3

6 brut tara

esfera

esfera

m m

dρ

π

minus= [46]

















ou G

x G xgg

= =






















( ) V V n T p= [47]


seguinte forma

( ) ( )0 0

n pV V T n p V T= = [48]








n0 = 1 mol e p




volume em litros




























escrevemos

( )o v o1V V α θ θ= + minus [410]


Anote











v l s l3 e 2α α α α= = [411]














v

1

p n

V

V Tα

part equiv


1

p

V

V Tα

part equiv

part [412]





























1

p pp

m V VmT T T


[414]









eacute dada por


dx du dx= [415]





v w v w v w

f f u

x u x

part part part =

part part part

Ou simplesmente

f f u

x u x

part part part=




2

1 1 1

p pp p

V VV V

T V T V T



eq 414 obtemos

2p p

m V

T V T

ρpart part = minus

part part


novamente

vv v2

p

mmV

T V V

αρα α ρ


part [417]













v

1

pT

ρα

ρ

part equiv minus

part [418]




θ

degC

ρ

gcm3

θ

degC

ρ

gcm3

0 0999 841 10 0999 700

1 0999 902 20 0998 203

2 0999 941 30 0995 646

3 0999 965 40 0992 21

4 0999 973 50 0988 04

5 0999 965

6 0999 941

7 0999 902







negativa

















y = 35255E-08x3 - 76207E-06x2 + 56690E-05x + 99986E-01

Rsup2 = 99999E-01

0984

0988

0992

0996

1

-10 0 10 20 30 40 50 60

De

nsi

da

de

g

cm

3

Temperatura oC








vp

VV

Tα

part =

part [420]









( )( )v

dV TT dT

Vα=

















( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]










( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint



( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote









[CODATA 2006]





( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia




























ou G

x G xgg

= =






















( ) V V n T p= [47]


seguinte forma

( ) ( )0 0

n pV V T n p V T= = [48]








n0 = 1 mol e p




volume em litros




























escrevemos

( )o v o1V V α θ θ= + minus [410]


Anote











v l s l3 e 2α α α α= = [411]














v

1

p n

V

V Tα

part equiv


1

p

V

V Tα

part equiv

part [412]





























1

p pp

m V VmT T T


[414]









eacute dada por


dx du dx= [415]





v w v w v w

f f u

x u x

part part part =

part part part

Ou simplesmente

f f u

x u x

part part part=




2

1 1 1

p pp p

V VV V

T V T V T



eq 414 obtemos

2p p

m V

T V T

ρpart part = minus

part part


novamente

vv v2

p

mmV

T V V

αρα α ρ


part [417]













v

1

pT

ρα

ρ

part equiv minus

part [418]




θ

degC

ρ

gcm3

θ

degC

ρ

gcm3

0 0999 841 10 0999 700

1 0999 902 20 0998 203

2 0999 941 30 0995 646

3 0999 965 40 0992 21

4 0999 973 50 0988 04

5 0999 965

6 0999 941

7 0999 902







negativa

















y = 35255E-08x3 - 76207E-06x2 + 56690E-05x + 99986E-01

Rsup2 = 99999E-01

0984

0988

0992

0996

1

-10 0 10 20 30 40 50 60

De

nsi

da

de

g

cm

3

Temperatura oC








vp

VV

Tα

part =

part [420]









( )( )v

dV TT dT

Vα=

















( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]










( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint



( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote









[CODATA 2006]





( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia
























( ) V V n T p= [47]


seguinte forma

( ) ( )0 0

n pV V T n p V T= = [48]








n0 = 1 mol e p




volume em litros




























escrevemos

( )o v o1V V α θ θ= + minus [410]


Anote











v l s l3 e 2α α α α= = [411]














v

1

p n

V

V Tα

part equiv


1

p

V

V Tα

part equiv

part [412]





























1

p pp

m V VmT T T


[414]









eacute dada por


dx du dx= [415]





v w v w v w

f f u

x u x

part part part =

part part part

Ou simplesmente

f f u

x u x

part part part=




2

1 1 1

p pp p

V VV V

T V T V T



eq 414 obtemos

2p p

m V

T V T

ρpart part = minus

part part


novamente

vv v2

p

mmV

T V V

αρα α ρ


part [417]













v

1

pT

ρα

ρ

part equiv minus

part [418]




θ

degC

ρ

gcm3

θ

degC

ρ

gcm3

0 0999 841 10 0999 700

1 0999 902 20 0998 203

2 0999 941 30 0995 646

3 0999 965 40 0992 21

4 0999 973 50 0988 04

5 0999 965

6 0999 941

7 0999 902







negativa

















y = 35255E-08x3 - 76207E-06x2 + 56690E-05x + 99986E-01

Rsup2 = 99999E-01

0984

0988

0992

0996

1

-10 0 10 20 30 40 50 60

De

nsi

da

de

g

cm

3

Temperatura oC








vp

VV

Tα

part =

part [420]









( )( )v

dV TT dT

Vα=

















( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]










( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint



( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote









[CODATA 2006]





( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia






































escrevemos

( )o v o1V V α θ θ= + minus [410]


Anote











v l s l3 e 2α α α α= = [411]














v

1

p n

V

V Tα

part equiv


1

p

V

V Tα

part equiv

part [412]





























1

p pp

m V VmT T T


[414]









eacute dada por


dx du dx= [415]





v w v w v w

f f u

x u x

part part part =

part part part

Ou simplesmente

f f u

x u x

part part part=




2

1 1 1

p pp p

V VV V

T V T V T



eq 414 obtemos

2p p

m V

T V T

ρpart part = minus

part part


novamente

vv v2

p

mmV

T V V

αρα α ρ


part [417]













v

1

pT

ρα

ρ

part equiv minus

part [418]




θ

degC

ρ

gcm3

θ

degC

ρ

gcm3

0 0999 841 10 0999 700

1 0999 902 20 0998 203

2 0999 941 30 0995 646

3 0999 965 40 0992 21

4 0999 973 50 0988 04

5 0999 965

6 0999 941

7 0999 902







negativa

















y = 35255E-08x3 - 76207E-06x2 + 56690E-05x + 99986E-01

Rsup2 = 99999E-01

0984

0988

0992

0996

1

-10 0 10 20 30 40 50 60

De

nsi

da

de

g

cm

3

Temperatura oC








vp

VV

Tα

part =

part [420]









( )( )v

dV TT dT

Vα=

















( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]










( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint



( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote









[CODATA 2006]





( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia






















v l s l3 e 2α α α α= = [411]














v

1

p n

V

V Tα

part equiv


1

p

V

V Tα

part equiv

part [412]





























1

p pp

m V VmT T T


[414]









eacute dada por


dx du dx= [415]





v w v w v w

f f u

x u x

part part part =

part part part

Ou simplesmente

f f u

x u x

part part part=




2

1 1 1

p pp p

V VV V

T V T V T



eq 414 obtemos

2p p

m V

T V T

ρpart part = minus

part part


novamente

vv v2

p

mmV

T V V

αρα α ρ


part [417]













v

1

pT

ρα

ρ

part equiv minus

part [418]




θ

degC

ρ

gcm3

θ

degC

ρ

gcm3

0 0999 841 10 0999 700

1 0999 902 20 0998 203

2 0999 941 30 0995 646

3 0999 965 40 0992 21

4 0999 973 50 0988 04

5 0999 965

6 0999 941

7 0999 902







negativa

















y = 35255E-08x3 - 76207E-06x2 + 56690E-05x + 99986E-01

Rsup2 = 99999E-01

0984

0988

0992

0996

1

-10 0 10 20 30 40 50 60

De

nsi

da

de

g

cm

3

Temperatura oC








vp

VV

Tα

part =

part [420]









( )( )v

dV TT dT

Vα=

















( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]










( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint



( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote









[CODATA 2006]





( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia



































1

p pp

m V VmT T T


[414]









eacute dada por


dx du dx= [415]





v w v w v w

f f u

x u x

part part part =

part part part

Ou simplesmente

f f u

x u x

part part part=




2

1 1 1

p pp p

V VV V

T V T V T



eq 414 obtemos

2p p

m V

T V T

ρpart part = minus

part part


novamente

vv v2

p

mmV

T V V

αρα α ρ


part [417]













v

1

pT

ρα

ρ

part equiv minus

part [418]




θ

degC

ρ

gcm3

θ

degC

ρ

gcm3

0 0999 841 10 0999 700

1 0999 902 20 0998 203

2 0999 941 30 0995 646

3 0999 965 40 0992 21

4 0999 973 50 0988 04

5 0999 965

6 0999 941

7 0999 902







negativa

















y = 35255E-08x3 - 76207E-06x2 + 56690E-05x + 99986E-01

Rsup2 = 99999E-01

0984

0988

0992

0996

1

-10 0 10 20 30 40 50 60

De

nsi

da

de

g

cm

3

Temperatura oC








vp

VV

Tα

part =

part [420]









( )( )v

dV TT dT

Vα=

















( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]










( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint



( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote









[CODATA 2006]





( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia
























v w v w v w

f f u

x u x

part part part =

part part part

Ou simplesmente

f f u

x u x

part part part=




2

1 1 1

p pp p

V VV V

T V T V T



eq 414 obtemos

2p p

m V

T V T

ρpart part = minus

part part


novamente

vv v2

p

mmV

T V V

αρα α ρ


part [417]













v

1

pT

ρα

ρ

part equiv minus

part [418]




θ

degC

ρ

gcm3

θ

degC

ρ

gcm3

0 0999 841 10 0999 700

1 0999 902 20 0998 203

2 0999 941 30 0995 646

3 0999 965 40 0992 21

4 0999 973 50 0988 04

5 0999 965

6 0999 941

7 0999 902







negativa

















y = 35255E-08x3 - 76207E-06x2 + 56690E-05x + 99986E-01

Rsup2 = 99999E-01

0984

0988

0992

0996

1

-10 0 10 20 30 40 50 60

De

nsi

da

de

g

cm

3

Temperatura oC








vp

VV

Tα

part =

part [420]









( )( )v

dV TT dT

Vα=

















( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]










( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint



( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote









[CODATA 2006]





( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia

























v

1

pT

ρα

ρ

part equiv minus

part [418]




θ

degC

ρ

gcm3

θ

degC

ρ

gcm3

0 0999 841 10 0999 700

1 0999 902 20 0998 203

2 0999 941 30 0995 646

3 0999 965 40 0992 21

4 0999 973 50 0988 04

5 0999 965

6 0999 941

7 0999 902







negativa

















y = 35255E-08x3 - 76207E-06x2 + 56690E-05x + 99986E-01

Rsup2 = 99999E-01

0984

0988

0992

0996

1

-10 0 10 20 30 40 50 60

De

nsi

da

de

g

cm

3

Temperatura oC








vp

VV

Tα

part =

part [420]









( )( )v

dV TT dT

Vα=

















( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]










( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint



( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote









[CODATA 2006]





( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia




































y = 35255E-08x3 - 76207E-06x2 + 56690E-05x + 99986E-01

Rsup2 = 99999E-01

0984

0988

0992

0996

1

-10 0 10 20 30 40 50 60

De

nsi

da

de

g

cm

3

Temperatura oC








vp

VV

Tα

part =

part [420]









( )( )v

dV TT dT

Vα=

















( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]










( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint



( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote









[CODATA 2006]





( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia


























vp

VV

Tα

part =

part [420]









( )( )v

dV TT dT

Vα=

















( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]










( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint



( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote









[CODATA 2006]





( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia
























( )( )v

f f

i i

V T

V T

dV TT dT

Vα= rArrint int

( )vlnf

i

Tf

Ti

VT dT

Vα= int [421]










( )vm vmlnf

i

Tf

f iT

i

VdT T T

Vα α= = minusint



( )vm f iT T

fViV e

α minus

= [422]

Anote









[CODATA 2006]





( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia
























( )( )vm o

oT T

V T V eα minus

= [422]










αv(T) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4



3 + a4T 4)dT

ou



3 minus Ti

3]3+ a3[(Tf 4

minus Ti4]4+ a4[(Tf

5 minus Ti

5]5












igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia


























igualdade

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

2 3

11

1

0

1 2 3

1

nn

n

ini

n

i


f ax a R

n

f ax a R

i

minusminus

minus

=


+ minus +minus

= minus +sum

L

[423]





( ) ( )( )

n

n

f bR x a

nle minus








( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12 3 1

1

0

0 0 00 0

2 6 1

0

n

n

ini

i


n

fx

i

minus

minus

minus

=


minus

=sum

L

[424]





211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia
























211

2

ix x

e x xi

= + + + + +L L [425a]

( ) ( )12 31 1

ln 1 1 1 12 3

ii x

x x x x xi


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 1 11 1

ln 1 1 1 1 12 3

i

i xx x x x x

i


[425c]

( )( )2 31

1 1 11

i ix x x x x


+L L [425d]



( ) ( ) ( ) ( ) 2 3












( ) ( )0 0

n TV V T n T V p= = [426]






















(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia









































(a) (b) (c) (d) (e)









1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia



























1T

n T

V

V pκ

partequiv minus


1T

T

V

V pκ

partequiv minus

part [427]






















( )( )

( )( )

f f

i i

V p

T TV p

dV p dV pp dp p dp




( )lnf

i

pf

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i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia






















( )lnf

i

pf

Tp

i

Vp dp

Vκ= int [428]





( )( )mo T p p

V p V eκ minus

=o

[429]











Vo(T)= Vo











( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia



























( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1m




( ) ( ) ( )oom vom oo

o

1 1nM























lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia
































lo (1)

lo e (1)

lo


l1 = (1)lo [ 1+ αl

(1)(θ minusθo) ]

l2 = (2)lo [ 1+ αl

(2)(θ minusθo) ]

l3 = (3)lo [ 1+ αl

(3)(θ minusθo) ]


(2)




(2)lo

(3)lo



(2) + αl(3) )











fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia
























fixas

Vm = (partVpartn)pT
























Agora responda












Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia




























Agora responda

























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia























temperatura

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

Temperatura

degC

Densidade

gmL

0 135951 50 134725 100 133518

10 135704 60 134482 150 132326

20 135458 70 134240 200 131144

30 135213 80 134000

40 134970 90 133758

















125degC







25degC e 125degC







Bibliografia
























25degC e 125degC







Bibliografia






















Bibliografia




















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yfwYEaD FQI aula4RedCleanWelMag150909 01h03 - ufjf.br · Compreender o significado e as conseqüências experimentais dos conceitos matemáticos ... 2.1 Coeficiente de dilatação