EXERCÍCIOS – AULA 01
8.1 Considere um escoamento incompressível em um duto circular. Deduza expressões gerais para o número de Reynolds em termos de (a) vazão volumétrica e diâmetro do tubo (b) vazão mássica e diâmetro do tubo. O número de Reynolds é 1800 em uma seção onde o diâmetro do tubo é 10 mm. Encontre o número de Reynolds para a mesma vazão em uma seção onde o diâmetro do tubo é 6 mm.
RESOLUÇÃO EX. 8.1a)
4
2VDAVQ
2
4
D
QV Substituindo na Eq. De Reynolds:
Dv
Q
D
Q
D
QDV
D
444
Re2
b) 4
2* VDAVm
2
4
D
mV
Substituindo na Eq. De Reynolds:
D
m
D
mDV
D
44
Re2
c) Encontrar a Eq. da vazão em função de Reynolds pela Eq. da letra (a): 4
...Re vDQ
Como tem a mesma vazão, iguala para os casos.
4
...Re
4
...Re 222111 vDvD Como é o mesmo fluido, 21 vv , logo:
2211 ReRe DD )6(Re)10)(1800( 2 3000Re2
EXERCÍCIOS – AULA 018.2 Ar padrão entra em um duto de 0,25 m de diâmetro. Determine a vazão em volume
na qual o escoamento torna-se turbulento. Para esta vazão, estime o comprimento de entrada necessário para estabelecer escoamento completamente desenvolvido.
Dados: 51046,1 xv , 2300Re crit .
RESOLUÇÃO EX. 8.2
a) Q = ?
min/³3956,0/³00659,04
)1046,1)(25,0()2300(
4
...Re 5
msmxvD
Q
b) mDLtur 25,6)25,0(2525(min)
mDLtur 0,10)25,0(4040(max)
O comprimento de entrada ficará entre estes 2 valores.
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS
• EXERCÍCIO8.6 O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido entre
placas planas paralelas estacionadas é dado por ²)4/²( yhau , onde a é uma constante, h é o espaçamento entre as placas e y é a distância medida a partir da linha de centro da folga.
Desenvolva a razão max/ uV .
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
1) Encontrar dy
du
2
2
4y
ha
dy
d
dy
du aydy
du2
Para se ter maxu , a primeira derivada dy
dutem de ser igual a zero. Logo:
02 aydy
du 0y
Isto é, maxu quando y = 0, logo, substitui-se o valor de y = 0 na Eq dada na questão: ²)4/²( yhau
²)04/²(max hau )4/²(max hau
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
2) Velocidade Média (AQV /
)
)1(. hlhA dydyldydA )1(.
dAuAA
QV .
1 Substituindo A e dA pelas expressões deduzidas acima, tem-se:
2/
2/
.1 h
h
dyuh
V Substituindo u pela expressão dada na questão, tem-se:
2/
2/
322/
2/
22
344
1h
h
h
h
yyh
h
adyy
ha
hV
24
2
24
2
24
2
2482483)8(24
333333332 hh
h
ahhh
h
ahhhhh
h
aV
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
6
3h
h
aV
6
2ahV
Encontrando a expressão que a questão pedi, tem-se:
)4/²(6
/
2
max ha
ah
uV
3
24
6/
2
2
max
ah
ahuV
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS
• EXERCÍCIO8.7 Um fluido incompressível escoa entre duas placas paralelas estacionárias
infinitas. O perfil de velocidade é dado por )²(max CByAyuu ), onde A, B e C são
constantes e y é a distância medida para cima a partir da placa inferior. O espaçamento entre as placas é h. Use condições de contorno apropriadas para expressar a magnitude e as unidades SI das constantes em termos de h. Desenvolva uma expressão para a vazão em volume por unidade
de profundidade e avalie a razão max/ uV .
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO1) Condições de contorno:
I) y = 0 u = 0 II) y = h u = 0 III) y = h/2 maxuu
2) Substituindo a condição de contorno (I) na eq. dada na questão:
))0()²0((0 max CBAu C = 0
3) Substituindo a condição de contorno (II) e depois a condição (III) na Eq. dada na questão, para, através de um sistema, encontrar os valores de A e B, já sabendo que C foi encontrado acima.
)0)()²((0 max hBhAu )²()( hAhB AhB
0
22
2
maxmax
hB
hAuu 1
24
2
BhhA 422 BhAh
Acima, encontrou-se o valor B em função de A, então vamos substituir agora, para encontrar A.
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
4)(22 hAhAh 42 22 AhAh 42 Ah 2
4
hA
Voltando para saber o valor de B.
hh
hAhB
442
Substituindo na Eq. dada na questão, tem-se:
y
hy
huu
4²
42max
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIOb) Vazão em Volume
hhh y
h
y
hudyy
hy
hudyu
l
Q
0
23
2max
0
22max
0 2
4
3
444.
hhu
h
h
h
hu
l
Q2
3
40
2
4
3
4 3max
23
2max
3
2max
hu
l
Q max.3
2uh
l
Q
a) hlVAVQ .. hVl
Q
Substituindo Q/l visto no item anterior, tem-se:
hVl
Q hVuh max.
3
2 max3
2uV
3
2
max
u
V
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS
• EXERCÍCIO8.8 Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas
estacionárias. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O espaçamento entre as
placas é h = 5 mm. A viscosidade do óleo é 0,5 N . s/m2 e o gradiente de pressão é -1000
N/m2/m. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento sobre a placa superior e
a vazão em volume através do canal largura
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
Considerando: mma 5 , mmNdx
dp/²/1000 , ²/.5,0 msN
A Eq. da Tensão de Cisalhamento, onde a é distância entre as placas, e y é a distância do eixo a placa superior (a=y=h), é dada por:
a)
2
1
a
y
x
payx
Substituindo os valores, tem-se:
²/5,22
1
105
1051000105
3
33 mN
x
xxyx
(Está no sentido do escoamento)
b) A vazão em volume, conforme visto em aula, é dada por:
3
12
1a
x
p
l
Q
msmxxl
Q//³108,20)105(1000
)5,0(12
1 633
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS
• EXERCÍCIO
8.9 Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é -8 lbf/ft2/ft e a meia-altura do canal é h = 0,06 in. Determine a magnitude da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal (
²/.01,0 ftslbf ).
Para transformar as unidades: ftin 12
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
Para transformar as unidades: ftin 12 a)
²/037,05,012
5,0)8(
12
12,0
2
1ftlbf
a
y
x
payx
b)
sftxl
Q/²1067,6
12
12,08
)01,0(12
1 53
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U
• EXERCÍCIO:8.11 Óleo está confinado em um cilindro de 100 mm de diâmetro por um pistão que
possui uma folga radial de 0,025 mm e um comprimento de 50 mm. Uma força constante de 20 kN é aplicada ao pistão. Use as propriedades do óleo SAE 30 a 50°C. Estime a taxa à qual o
óleo vaza pelo pistão. Dado: ²/.109,5 2 msNx
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:Primeiramente, vamos encontrar a variação de pressão através da equação:
MPaPax
D
F
A
FP 55,2473.546.2
031416,0
000.80
)1,0(
)1020(442
3
2
Agora, vamos encontrar a vazão através da equação:
L
pa
l
Q
12
3 , onde a é a folga, L é o comprimento, l é o comprimento do arco (
DRl 2 )
smxxx
x
l
Q/³1053,3
)1050)(109,5(12
)1416,3)(1,0)(2546473()10025,0( 732
33
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U
• EXERCÍCIO:8.12 Um macaco hidráulico suporta uma carga de 9000 kg. Os seguintes dados estão
disponíveis: Diâmetro do pistão 100 mm Folga radial entre o pistão e o cilindro 0,05 mm Comprimento do pistão 120 mm Estime a taxa de vazamento de fluido hidráulico pelo pistão, admitindo que o fluido é
óleo SAE 30 a 30°C. Dados: ²/.100,3 1 msNx
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:
Primeiro, vamos calcular o peso do pistão e depois encontrar a diferença de pressão.
MPaPaD
W
A
W
A
FP 2,1165,405.241.11
)1,0(
)81,9)(9000(4422
smxx
x
L
Dpa
L
lpa
l
Q/³1001,1
)12,0)(103(12
)1,0)(1416,3)(65.405.241.11()1005,0(
12
..
12
. 61
3333
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U
• EXERCÍCIO:
8.13 Uma alta pressão em um sistema é criada por um pequeno conjunto pistão-cilindro. O diâmetro do pistão é 6 mm e ele penetra 50 mm no cilindro. A folga radial entre o pistão e o cilindro é 0,002 mm. Despreze deformações elásticas do pistão e do cilindro causadas pela pressão. Considere que as propriedades do fluido são aquelas do óleo SAE l0W a 35°C. Estime a taxa de vazamento para uma são pressão no cilindro de 600 MPa.
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:
smxxx
xxx
L
Dpa
l
Q/³1097,3
)1050)(108,3(12
)100,6)(1416,3)(10600()10002,0(
12
.. 932
36333
ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM UM TUBO
EXEMPLO 01:
Um óleo que apresenta viscosidade dinâmica = 0,40 N.s/m² e massa específica =
900 kg/m³ escoa num duto com diâmetro D = 20 mm. (a) Qual é a queda de pressão,
21 pp , necessária para produzir uma vazão de Q = 5100,2 x m³/s se o duto for
horizontal com ox 1 e mx 102 ?
ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM UM TUBO
ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM UM TUBO
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM
TUBOS• EXERCÍCIOS
8.19 Um mancal de deslizamento selado é formado por cilindros concêntricos. Os raios interno e externo são 25 e 26 mm, respectivamente, o comprimento do cilindro interno é 100 mm e ele gira a 2800 rpm. A folga radial é preenchida com óleo em movimento laminar. O perfil de velocidade é linear através da folga. O torque necessário para girar o cilindro interno é 0,2 N.m. Calcule a viscosidade do óleo. O torque aumentará ou diminuirá com o tempo? Por quê?
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM
TUBOS• RESOLUÇÃO:
O fluido está entre 2 cilindros e o de dentro está girando, então a área de contato do cilindro com o fluido é a superfície do cilindro 2. E para calcular é como se abrisse o cilindro, ficando
rhA 2 . A folga é dada pela diferença entre os raios irrra 0 Torque = Força x Raio (como é o cilindro interno, é a força vezes o raio interno.
A questão diz que o perfil de velocidade é linear, logo 0
x
p, porque é um sistema
girando em cima de outro, não tem perturbação, com isso, r
r
r
U
dy
du iyx
Como já dito: rFT . , mas AF . (força é tensão de cisalhamento vezes a área), logo:
iiii rlrr
rrA
r
rrArFT .2...
60
2)025,0)(1,0)(025,0(2
)001,0(
)025,0)(2800(2,0
²/.0695,0 msN
Lembrando que: 60
2 f , onde f é dado em rpm
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM
TUBOS• EXERCÍCIO:
8.20 Considere o escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas espaçadas de d = 0,35 in. A placa superior move para a direita com velocidade U2 = 2 ft/s; a placa inferior move para a esquerda com velocidade 1U = 1 ft/s. O gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero. Desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade na folga. Determine a vazão em volume que passa por uma dada seção, por unidade de profundidade.
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM
TUBOS• RESOLUÇÃO:
Como a questão diz que “o gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero”, então
0
x
p.
Fazendo o balanço de massa: 0
x
p
dy
d logo 0
2
2
dy
ud , pois 0dy
d,
0
dy
du
dy
d , assim: 02
2
dy
ud
Como 02
2
dy
ud 0
dy
du
dy
d Chamando de uma função ,
dy
du, assim 0
dy
d,
logo é uma constante ( 1tan Ctecons )
Mas 1Cdy
du 1C
dy
du , integrando: dyCdu 1
21 CyCu (a)
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM
TUBOS• RESOLUÇÃO: As condições de contorno são:
(I) y = 0 1Uu
(II) y = d 2Uu Aplicando estas condições na equação (a) encontrada anteriormente, tem-se:
21 CyCu 211 )0( CCU 21 CU
21 CyCu 112 )( UdCU d
UUC 12
1
Assim, a expressão geral ficará: 112 Uy
d
UUu
Substituindo pelos valores: 13112 d
y
d
yu (Esta é uma expressão para a
distribuição de velocidade) A vazão em volume é dada por:
ddd
yUy
d
UUdyUy
d
UUdyu
l
Q
0
1
212
0
112
0 2.
dU
dU
dUdU
dU
dUdUU
dUd
d
UU
l
Q
22222212
112
112
1
212
ftsftdUU
l
Q//³0146,0
12
1)35,0(
2
12
212
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM
TUBOS• EXERCÍCIOS:
8.21 Dois fluidos imiscíveis estão contidos entre placas paralelas infinitas. As placas estão separadas pela distância 2h, e as duas camadas de fluidos têm espessuras iguais, h; a viscosidade dinâmica do fluido superior é três vezes aquela do fluido inferior. Se a placa inferior é estacionária e a placa superior move com velocidade constante V = 5 m/s, qual é a velocidade na interface? Admita escoamentos laminares e o gradiente de pressão na direção do escoamento como zero.
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM
TUBOS• RESOLUÇÃO:
Pela questão: 0
x
p, 21 3 , 0
x
p
dy
d, logo 0
2
2
dy
ud , pois 0dy
d,
0
dy
du
dy
d , assim: 02
2
dy
ud
Como 02
2
dy
ud 0
dy
du
dy
d Chamando de uma função , dy
du, assim 0
dy
d,
logo é uma constante ( 1tan Ctecons )
Mas 11 C
dy
du 1
1 Cdy
du , integrando: dyCdu 11
211 CyCu (a)
E para a interfase tem-se: 22 C
dy
du , integrando dyCdu 32
432 CyCu (b)
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM
TUBOS• RESOLUÇÃO:As três condições de contorno são:
(I) y = 0 01 u
(II) y = h 21 uu
(III) y = 2h Uu 2
(IV) pela condição da interfase: 21 21 dy
du
dy
du 22
11 . Observe
que no inicio chamou-se 11 C
dy
du e 3
2 Cdy
du , então podemos fazer esta
substituição aqui, tornando: 3211 CC
Usando a C.C. (I) tem-se:
211 CyCu 21 )0(0 CC 20 C Usando a C.C. (II)
21 uu e y = h 4321 CyCCyC como 20 C 431 ChChC
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM
TUBOS• RESOLUÇÃO:
Usando a C.C. (II)
21 uu e y = h 4321 CyCCyC como 20 C 431 ChChC Usando a C.C. (III)
Uu 2 e y = 2h UCyC 43 UChC 43 )2(
Usando a C.C. da interfase: 3211 CC , e substituindo 1 e 2 pelas suas respectivas
expressões.
hCUhC 31 e 3211 CC 12
131 .ChhCUhC
2
1
1
1
h
UC
Para o fluido 1:
yh
U
2
1
1
1
fazendo y = h, onde erfaseint1
sm
yh
Uerfase /75,3
3
11
5
12
1
int
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM
TUBOS• EXERCÍCIOS:
8.22 Água a 60°C escoa para a direita entre duas grandes placas planas. A placa inferior move para a esquerda com velocidade de 0,3 m/s; a placa superior está parada. O espaçamento entre as placas é 3 mm e o escoamento é laminar. Determine o gradiente de pressão necessário para produzir vazão resultante zero em uma seção transversal. Dados: ²/.1063,4 4 msNx
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM
TUBOS• RESOLUÇÃO:
x
p
dy
d 1Cyx
pyx
dy
duyx 1Cy
x
p
dy
du
21
2
2CyC
y
x
pU
21
2
2CyC
y
x
pu
(a)
As C.C. são: (I) y = 0 U (II) y = h 0
Substituindo na Eq. (a), encontra-se o valor de:
21
2
)0(2
)0(CC
x
pU
2CU
UhCh
x
p
1
2
20
2
2
1
h
x
pUhC
hx
p
h
UC
2
11
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM
TUBOS• RESOLUÇÃO:
Logo, substituindo os valores de 1C e 2C na equação original, tem-se:
Uyhx
p
h
Uy
x
pu
2
1
2
1 2
Arrumando:
12
1 2
h
yUhyy
x
pu
Encontrar a Eq. da vazão:
212
11)(
2
1. 32
0
Uhh
x
pdy
h
yUhyy
x
pdyu
l
Q d
Determinar o gradiente de pressão quando Q = 0.
212
10 3 Uh
hx
p
212
1 3 Uhh
x
p
23
6
2
12
h
U
h
Uh
x
p
Substituindo os valores, tem-se:
mmNx
x
h
U
x
p/²/6,92
)103(
)1063,4)(3,0(6623
4
2
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS
• EXERCÍCIOS
8.25 A cabeça de leitura/gravação do disco rígido de um computador flutua acima do disco giratório sobre uma delgada camada de ar (a espessura do filme de ar é 0,5 (micrometro) m ). A cabeça está a 150 mm da linha de centro do disco; o disco gira a 3600 rpm. A cabeça de leitura/gravação é quadrada, com 10 mm de lado. Para ar padrão no espaço entre a cabeça e o disco, determine (a) o número de Reynolds do escoamento, (b) a tensão de cisalhamento viscoso e (c) a potência requerida para superar o cisalhamento viscoso. Dados: ²/.1079,1 5 msNx , 51046,1 xv
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS
• RESOLUÇÃO:
smRV /55,56)15,0(60
2)3600(
a)
VDRe como é para calcular no espaço D = a, logo:
v
VaVa
Re
94,11046,1
)105,0)(55,56(Re
5
6
x
x
v
Va
b) ²/02,2105,0
5,561079,1
65 mkN
xx
a
V
dy
duyx
c) 2lAForça yxyx
RlRFTTorque yx2.)(
RlTPPotencia yx2)(
Assim: WxxRlPPotencia yx 4,1160
2)3600)(15,0()1010(1002,2)( 2332
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS
• EXERCÍCIOS8.32 Uma correia contínua, movendo-se com velocidade Uo para cima através
de um banho químico, arrasta uma película de líquido de espessura h, massa específica , e viscosidade . A gravidade tende a fazer com que o líquido desça, mas o movimento da correia impede que ele retome completamente. Admita que o escoamento é laminar, completamente desenvolvido, com gradiente de pressão zero, e que a atmosfera não produz tensão de cisalhamento na superfície externa da película. Enuncie claramente as condições de contorno a serem satisfeitas pela velocidade em y = O e y = h. Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade.
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS
• RESOLUÇÃO:Fazendo o balanço de massa e colocando a força peso.
gx
p
dy
d
, mas 0
x
p, logo g
dy
d , integrando: 1Cgy , mas pelo
conceito: dy
du . Igualando as duas expressões, tem-se: dy
duCgy 1
Integrando novamente: dyCgydu 1 21
2
2Cy
Cygu
Condições de contorno: I) y = 0 0Uu
II) y = h 0 (a questão diz que a atmosfera não produz na superfície externa)
Substituindo a C.C (I), encontra-se: 21
2
0 )0(2
)0(C
CgU
20 CU
Pela C.C (II), como 0 0dy
du, logo pela Eq. 01
dy
duCgy ,
operando: 01 Cgh ghC 1 Assim, a Eq, fica:
0
2
2Uy
ghygu
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS
• EXERCÍCIOS
8.34 O perfil de velocidade para escoamento de água completamente desenvolvido entre placas paralelas, com a placa superior em movimento, é dado pela Eq. 8.8. Considere U = 2 mls e a = 2,5 mm. Determine a vazão em volume por unidade de profundidade para gradiente de pressão zero. Avalie a tensão cisalhante sobre a placa inferior e esboce a distribuição de tensão de cisalhamento através do canal. A vazão em volume aumentaria ou diminuiria com um ligeiro gradiente adverso de pressão? Calcule o gradiente de pressão que dará tensão cisalhante zero em y/a = 0,25. Esboce a distribuição de tensão de cisalhamento para este caso. Dados: ²/.1014,1 3 msNx ,
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS
• RESOLUÇÃO:a) 3
12
1
2a
x
pUa
l
Q
, como 0
x
p
msmxxUa
l
Q//³105,2
2
)105,2(2
23
3
b)
2
1
a
y
x
pa
a
Uyx como 0
x
p
²/912,0105,2
)2(1014,13
3
mNx
x
a
Uyx
c) Se 0
x
p, a vazão diminui ( é adverso porque normalmente
x
p é negativo)
d) 0yx , 25,0
a
y, ?
x
p
2
1
a
y
x
pa
a
Uyx
2
125,0105,2
105,2
2)1014,1(0 3
33
x
px
xx
x
p000625,0912,0
mmNx
p/²/1459
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS
• EXERCÍCIOS
8.51 Considere escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular. Use um volume de controle cilíndrico conforme mostrado. Indique as forças que atuam sobre o volume de controle. Usando a equação da quantidade de movimento, desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade.
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS
• RESOLUÇÃO:
0 F , porém essãoxÁreaF Pr , e neste caso, a área é dada por 2rA
0)2(22
22
dxrrdx
x
ppr
dx
x
pp yx
0)2(22
2222
dxrrdx
x
prpr
dx
x
prp yx 0)2(2
dxrdxrx
pyx
02
yxrx
p 2
r
x
pyx
Mas como dr
du , igualando as duas expressões, temos:
2
r
x
p
dr
du
drr
x
pdu
2
, integrando 1
2
4C
r
x
pu
Aplicando a Condição de Contorno: I) 0u Rr
1
2
4C
r
x
pu
1
2
40 C
R
x
p
4
2
1
R
x
pC
Logo: 44
22 R
x
pr
x
pu
ou x
pRru
)(4
1 22
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS
• EXERCÍCIOS
8.52 Considere escoamento laminar completamente desenvolvido no espaço anular entre dois tubos concêntricos. O tubo externo é estacionário e o tubo interno move na direção x com velocidade V. Considere gradiente axial de pressão zero ( xp / = 0). Obtenha uma expressão geral para a tensão de cisalhamento, , como uma função do raio, r, em termos de uma constante, 1C . Obtenha uma expressão geral para o perfil de
velocidade, u(r), em termos de duas constantes, 1C e 2C . Obtenha expressões para 1C e
2C .
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS
• RESOLUÇÃO:
0 F , porém essãoxÁreaF Pr ,
02
222
22
dxdr
rdr
rdx
drr
dr
r
02
2222
222
dxdr
rdr
rdx
drr
dr
r
02
22
222
222
22
222
22
dxdrdr
drrdx
dr
drdx
drrdxdx
drdr
drrdx
dr
drdx
drrdx
0222
2222
2
rdxdr
drdx
drrdx
dr
drdx
dr
02222
rdxdrdr
drdxrdxdrdr
drdx , cancelando os termos, temos:
0
rdr
rdr
022
rdr
0
rdr
ou
0)(
dr
r
Logo, para a derivada ser zero, 1Ccter
r
C1
Pela lei da viscosidade: dr
du dr
du
r
C 1 r
drCdu
1 2
1 )ln( CrC
u
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS
• RESOLUÇÃO:Pelas Condições de contorno:
I) 1rr 0Vu
II) 0rr 0u
Logo: 211
0 )ln( CrC
V e
201 )ln(0 Cr
C
)ln( 0
12 r
CC
Substituindo, os valores na equação original, tem-se:
)ln()ln()ln(0
110
11
10 r
rCr
Cr
CV
)ln(0
1
01
r
rV
C
Logo: )/ln(
)ln()ln(
)ln(
01
000
0
1
0
2 rr
rVr
r
rV
C
Finalmente, )/ln(
)/ln()ln(
)/ln( 01
001
01
0
rr
rrVrr
rr
Vu
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS
• EXERCÍCIOS:8.68 Água escoa em um tubo horizontal de área transversal constante; o
diâmetro do tubo é 50 mm e a velocidade média do escoamento é 1,5 m/s. Na entrada
do tubo, a pressão manométrica é 588 kPa e a saída é à pressão atmosférica. Determine
a perda de carga no tubo. Se o tubo estiver alinhado agora de modo que a saída fique 25
m acima da entrada, qual será a pressão na entrada necessária para manter a mesma
vazão? Se o tubo estiver alinhado agora de modo que a saída fique 25 m abaixo da
entrada, qual será a pressão necessária na entrada para manter a mesma vazão?
Finalmente, quão mais baixa deve estar a saída do tubo em relação à entrada para que a
mesma vazão seja mantida, se ambas as extremidades estão à pressão atmosférica (i.e.,
campo gravitacional)?
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS
• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:
A Eq. de Bernoulli usa pressão manométrica ou relativa, sem a pressão atmosférica.
mKg
J 81,9 mNJ .
1) fhEE 21 , onde 21 VV e 02 P
fhzg
VPz
g
VP 2
222
1
211
22 fh
x
9810
10588 3
mh f 94,59
2) 94,8494,59251 P
PaP 833250)9810(94,841
3) 94,3494,59251 P
PaP 342761)9810(94,341
4) 021 PP e 21 VV
fhzg
VPz
g
VP 2
222
1
211
22 fhz 1 mz 94,591
A saída deve está a 60m abaixo no numero 1.
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS
• EXERCÍCIOS:8.69 Medidas foram feitas para a configuração de escoamento mostrada na
Fig. 8.11. Na entrada, seção (1), a pressão é 10,2 psig, a velocidade média é 5,5 ft/s, e a
elevação é 7,5 ft. Na saída, seção (2), a pressão, a velocidade média e a elevação são,
respectivamente, 6,5 psig, 11,2 ft/s e 10,5 ft. Calcule a perda de carga em ft, Converta
para unidades de energia por unidade de massa.
Transformar as unidades: PaPsigP 703292,101
PaPsigP 5,448175,62
smsftV /6764,1/5,51
mftz 286,25,71
smsftV /4138,3/2,112
mftz 2,35,102
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS
• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:
fhzg
VPz
g
VP 2
222
1
211
22
fh 2,3)81,9(2
)4138,3(
9810
5,44817286,2
)81,9(2
)6764,1(
9810
70329 22
fh 2,3594,05686,4286,2143,0169,7 fh 363,859,9 mh f 236,1
Ou fth f 054,4)281,3(236,1
Por unidade de massa: ²/130)054,4(2,32 sfth f
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS
• EXERCÍCIOS:
8.71 Considere o escoamento no tubo do reservatório no sistema do Problema-
Exemplo 8.5. Em uma condição de escoamento, a perda de carga é 2,85 m a uma vazão
volumétrica de 0,0067 m³/s. Determine a profundidade do reservatório requerida para
manter esta vazão.
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS
• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:
21 PP , 02 z , 01 V
smA
QV /517,1
)075,0(
)4(0067,022
fhg
Vz
2
22
1 mz 97,285,2)81,9(2
)517,1( 2
1
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS
• EXERCÍCIOS:
8.72 Considere o escoamento no tubo do reservatório no sistema do Problema-Exemplo 8.5. Em uma condição de escoamento, a perda de carga é 1,75 m e a profundidade do reservatório é 3,60 m. Calcule a vazão volumétrica do reservatório.
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS
• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:
fhg
Vz
2
22
1 75,1)81,9(2
60,32
2 V
297,36)81,9(2
22
V smV /02,62
smVAQ /³0266,0)075,0(4
02,6 2
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS
• EXERCÍCIOS:
8.73 A velocidade média de escoamento em um trecho de diâmetro constante da tubulação do Alasca é 8,27 ft/s. Na entrada, a pressão é 1200 psig e a elevação é 150 ft; na saída, a pressão é 50 psig e a elevação é 375 ft. Calcule a perda de carga nesse trecho da tubulação. Dados: ³/8829 mN
Transformar as unidades: PaPsigP 8274000012001
PaPsigP 344750502
smsftV /6518,2/7,81
mftz 72,451501
21 VV
mftz 3,1143752
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS
• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:
fhzg
VPz
g
VP 2
222
1
211
22 fh 3,114
8829
34475072,45
8829
8274000
fh 3,11405,3972,4514,937 fh 35,15386,982 mh f 5,829 ou
fth f 2721
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS
• EXERCÍCIOS:
8.74 Na entrada de um trecho de diâmetro constante da tubulação do Alasca, a pressão é 8,5 MPa e a elevação é 45 m; na saída, a elevação é de 115 m. A perda de carga nessa seção da tubulação é 6,9 kJ/kg. Calcule a pressão na saída. Dados:
³/8829 mN .
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS
• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:
mx
kgkJh f 36,70381,9
109,6/9,6
3
fhzg
VPz
g
VP 2
222
1
211
22 36,703115
88295,4
8829
105,8 26
Px
36,8188829
74,1007 2 P
PaP 16720012
CÁLCULO DE PERDA DE CARGAEXERCÍCIOS:
8.76 Água escoa a 3 gpm através de uma mangueira de jardim horizontal com diâmetro de 8
5 de polegada. A queda de pressão ao longo de 50 ft de mangueira é 12,3 psi.
Calcule a perda de carga.
Transformar as unidades smxgpmQ /³00018927,0)10309,6(33 5
mxinD 015875,0)1054,2( 285
85
mftl 24,15)3048,0(5050
PaxPsiP 5,84808)10895,6(3,123,12 31
atmPP 2 , 21 zz , 21 VV
CÁLCULO DE PERDA DE CARGARESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:
fhzg
VPz
g
VP 2
222
1
211
22 fh
P
1 mh f 64,8
9810
5,84808 ou
fth f 36,28
CÁLCULO DE PERDA DE CARGAEXERCÍCIOS:
8.80 Um tubo liso horizontal, de 75 mm de diâmetro, transporta água (65°C). Quando a vazão é 0,075 kg/s, a queda de pressão medida é 7,5 kPa por 100 m de tubo. Baseado nestas medidas, qual é o fator de atrito? Qual é o número de Reynolds? Este número de Reynolds normalmente indica escoamento turbulento ou laminar? Afinal, o escoamento é realmente turbulento ou laminar? Dados: ³/999 mkg , ²/.104 4 msNx
CÁLCULO DE PERDA DE CARGARESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:
AVQQQ 21 51051,7999
075,0 xm
Q
smxx
x
D
Q
A
QV /107,1
)1075(
1051,7 223
4
5
24
fhzg
VPz
g
VP 2
222
1
211
22 como 21 zz , 21 VV
21 PP
h f
E sabe-se que g
V
D
Lfh f 2
2
, então igualando as duas expressões, tem-se:
21
2
2
PP
g
V
D
Lf
2
21 2
LV
DgPPf
2221 2.2
LV
DP
LV
DPPf
039,0)107,1)(100)(999(
)1075)(5,7)(2(22
3
x
xf
3184104
)1075)(107,1)(999(Re
4
32
x
xxVD
O número de Reynolds indica que o escoamento é turbulento.
CÁLCULO DE PERDA DE CARGAEXERCÍCIOS:
8.84 Água escoa através de um tubo de 25 mm de diâmetro que subitamente alarga-se para um diâmetro de 50 mm. A vazão através do alargamento é 1,25 l/s. Calcule o aumento de pressão através do alargamento. Compare com o valor para escoamento sem atrito.
CÁLCULO DE PERDA DE CARGARESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:
mmD 251 , mmD 502 , slQ /25,1 , QQQ 21
2211 AVAV 22
21 )50(
4)25(
4
VV 21 4VV 12 25,0 VV
fhzg
VPz
g
VP 2
222
1
211
22 como 21 zz e
g
Vkh f 2
21 (alargamento), sendo
4
1
2
1 A
A 56,0k (pela tabela). E sm
x
x
A
QV /55,2
)1025(
1025,123
4
3
11
, e deixando as
velocidades em função de 1V , tem-se:
g
Vkz
g
VPz
g
VP
222
21
2
222
1
211
g
Vkz
g
VPz
g
VP
22
)25,0(
2
21
2
212
1
211
gg
P
g
P
2
)55,2()56,0(
2
)55,2)(0625,0(
98102
)55,2(
9810
222
21 125,0
981021
PP
PaPP 122721 ou PaPP 122712 Sem atrito: 0fh
g
VP
g
VP
2
)25,0(
2
212
211
gg
PP
2
)55,2(
2
)55,2)(0625,0(
9810
2221
PaPP 304821 PaPP 304812
%404,03048
1227
P
Patrito
CÁLCULO DE PERDA DE CARGAEXERCÍCIOS:
8.86 Água escoa através de um tubo de 50 mm de diâmetro que subitamente contrai-se para 25 mm. A queda de pressão através da contração é 3,4 kPa. Determine a vazão em volume.
CÁLCULO DE PERDA DE CARGARESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:
mmD 501 , mmD 252 ,
001964,0)1050(4
231 xA
, 00049,0)1025(
423
2 xA
, 25,01
2 A
A 4,0k
2211 AVAV 22
21 )25(
4)50(
4
VV 21 25,0 VV 12 4VV
g
Vkz
g
VPz
g
VP
222
22
2
222
1
211
g
V
g
V
g
VPP
22
4,0
2
21
22
2221
g
V
g
V
g
Vx
2
)25,0(
2
4,0
29810
104,3 22
222
22
3
g
V
g
V
2
0625,0
2
4,135,0
22
22
)81,9)(2(35,03375,1 22 V smV /27,22
smxxVAQ /³1011,1)1025(4
27,2 323
MEDIDORES DE VAZÃO
• EXERCÍCIOS
OBS: A Placa de orifício tem o seu valor de K retirado de um gráfico que é função do número de Reynolds e
da razão entre os diâmetros.
8.158 Água a 150°F escoa através de um orifício com diâmetro de 3 in instalado em um tubo de 6 in de diâmetro interno. A vazão é 300 gpm. Determine a diferença de pressão entre as tomadas de canto. Dados: 710357,4 xv
,1000
Transformando Unidades: minD 0762,0)0254,0(332
minDtubo 1524,0)0254,0(66)1( smxgpmQ /³01893,0)10309,6(300300 5
)(22 PkAmreal
MEDIDORES DE VAZÃO
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.158
smA
QV /04,1
)1524,0(
)01893,0(421
57
11 1063,3
10357,4
)1524,0(04,1Re x
xv
VD
472,01524,0
072,0
1
2 D
D
Pelo gráfico da figura 8.20: k = 0,624 Substituindo na equação:
Vazão em massa: Qmreal
Igualando:
)(22 PkAQ )(222
222 PAkQ 22
2
2
22
2
22
22 Ak
Q
Ak
QP
PaP 125.22
)0762,0(4
)624,0(2
)01893,0)(1000(2
22
2
MEDIDORES DE VAZÃO
• EXERCÍCIO:
8.161 Um medidor venturi, com 75 mm de diâmetro na garganta, é instalado em uma linha de 150 mm de diâmetro que transporta água a 25°C. A queda de pressão entre a tomada de montante e a garganta do venturi é 300 mm de mercúrio. Calcule a vazão. Assumindo C = 0,99, SG = 13,6, g = 9,81, OH 2 =1000
MEDIDORES DE VAZÃO
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.158
PaxgSGhhP OH 40000)1000)(81,9)(6,13(10300... 32
²0044,0)075,0(4
22 mA
5,0150
75
1
2 D
D
02,1)5,0(1
99,0
1 44
C
k
)(22 PkAmreal 14,40)40000)(1000(2)0044,0)(02,1( realm
smm
Q real /³04014,01000
14,40
MEDIDORES DE VAZÃO
• EXERCÍCIO:
8.163 Considere um venturi horizontal de 2 x 1 in, com escoamento de água. Para um diferencial de pressão de 20 psi, calcule a vazão em volume. Assumindo C = 0,99
Transformando Unidades: minD 0254,0)0254,0(112
minD 0508,0)0254,0(221 PaxPsiP 137900)10895,6(2020 3
MEDIDORES DE VAZÃO
• RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.163:
5,00508,0
0254,0
1
2 D
D
02,1)5,0(1
99,0
1 44
C
k
²000507,0)0254,0(4
22 mA
smPkAmreal /³584,8)137900)(999(2)000507,0(02,1)(22
smm
Q real /³00859,01000
584,8
EXERCÍCIOS – 10.3• 10.3 As dimensões do rotor de uma bomba centrífuga são •
• A bomba é acionada a 1250 rpm enquanto bombeia água. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica de alimentação da bomba, se a vazão é 0,10 m³/s.
FÓRMULAS
)(cot iniiti gVUV ii
ni br
QV
2 ii rU
rbi
nii V
Vsen
i
nirbi sen
VV
)(
11122 UVUV
gH tt
QHmUVUVW ttm )( 1122
RESOLUÇÃO – EX. 10.3
mUVUVg
H tt 9,99)]75,6)(82,9()95,31)(75,32[(81,9
1)(
11122
KWmUVUVW ttm 9,97)999)(10,0)](75,6)(82,9()95,31)(75,32[()( 1122
srad /9,13060
2.1250
Entrada
)(cot 1111 gVUV nt
smbr
QVn /305,5
)04,0)(075,0(2
1,0
2 111
smrU /82,9)075,0)(9,130(11
1
11
rb
n
V
Vsen
smsensen
VV n
rb /12,660
305,50
1
11
smgVt /75,6)60(cot305,582,9 01
SAÍDA
)(cot 2222 gVUV nt
smbr
QVn /12,2
)03,0)(25,0(2
1,0
2 222
smrU /73,32)25,0)(9,130(22
2
22
rb
n
V
Vsen
smsensen
VV n
rb /26,270
12,20
2
22
smgVt /95,31)70(cot12,273,32 02
EXERCÍCIO – 10.5• 10.5 As dimensões do rotor de uma bomba centrífuga são
• A bomba é acionada a 575 rpm e o fluido é água. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecâ nica de alimentação da bomba se a vazão é 5,00 m³/s.
)(cot iniiti gVUV ii
ni br
QV
2 ii rU
rbi
nii V
Vsen
i
nirbi sen
VV
)(
11122 UVUV
gH tt
QHmUVUVW ttm )( 1122
RESOLUÇÃO – EX. 10.5
mUVUVg
H tt 3,486)]33,4)(09,24()47,67)(25,72[(81,9
1)(
11122
MWQHWm 85,23)3,486)(5)(9810(
srad /21,6060
2.575
ENTRADA
)(cot 1111 gVUV nt
smbr
QVn /58,16
)12,0)(4,0(2
5
2 111
smrU /09,24)21,60)(4,0(11
1
11
rb
n
V
Vsen
smsensen
VV n
rb /79,2540
58,160
1
11
smgVt /33,4)40(cot58,1609,24 01
SAÍDA
)(cot 2222 gVUV nt
smbr
QVn /29,8
)08,0)(2,1(2
5
2 222
smrU /25,72)21,60)(2,1(22
2
22
rb
n
V
Vsen
smsensen
VV n
rb /57,960
29,80
2
22
smgVt /47,67)60(cot29,825,72 02
EXERCÍCIO – 10.8• 10.8 Para o rotor do Problema 10.3, determine a velocidade de rotação para a
qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 0,25 m³/s. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada na bomba.
SEÇÃO (1) SEÇÃO (2)
r(mm) 75 250
b(mm) 40 30
60 70
?
)(cot iniiti gVUV ii
ni br
QV
2 ii rU
rbi
nii V
Vsen
i
nirbi sen
VV
)(
11122 UVUV
gH tt
QHmUVUVW ttm )( 1122
RESOLUÇÃO – EX. 10.8
mUVUVg
H tt 38,61]0)6,23)(52,25[(81,9
1)(
11122
KWQHWm 150)38,61)(25,0(9810
Entrada
01 tV
)(cos 1111 rbt VUV
smbr
QVn /263,13
)04,0)(075,0(2
25,0
2 111
smsensen
VV n
rb /31,1560
263,130
1
11
11 rU
0)(cos 1111 rbt VrV
)(cos 111 rbVr
sradr
Vrb /102075,0
)60(cos31,15)(cos
1
11
SAÍDA
smrU /52,25)25,0)(102(22
smbr
QVn /305,5
)03,0)(25,0(2
25,0
2 222
smsensen
VV n
rb /65,570
305,50
2
22
smVt /6,23)70(cos65,552,25 02
EXERCÍCIO – 10.9• 10.8 Para o rotor do Problema 10.3, determine a velocidade de rotação para a
qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 0,25 m³/s. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada na bomba.
SEÇÃO (1) SEÇÃO (2)
r(mm) 75 250
b(mm) 40 30
60 70
?
)(cot iniiti gVUV ii
ni br
QV
2 ii rU
rbi
nii V
Vsen
i
nirbi sen
VV
)(
11122 UVUV
gH tt
QHmUVUVW ttm )( 1122
RESOLUÇÃO – EX. 10.9Entrada
01 tV
srad /54,7860
2750
smrU /74,13)175,0(54,7811
0)(cos 1111 rbt VUV
smsen
UVrb /52,32
65
74,13
cos 01
11
smsensenVV rbn /48,29)65)(52,32( 0111
smbrVQ n /³62,1)05,0)(175,0)(2)(48,29(...2. 111
SAÍDA
smrU /27,39)5,0)(54,78(22
smbr
QVn /19,17
)03,0)(5,0(2
62,1
2 222
smsensen
VV n
rb /29,1870
19,170
2
22
smVt /33)70(cos29,1827,39 02
mUVUVg
H tt 16,132]0)33)(27,39[(81,9
1)(
11122
MWQHWm 1,2)16,132)(62,1(9810
EXERCÍCIO – 10.10• 10.10 Para o rotor do Problema 10.5, determine o ângulo de entrada da
pá para o qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 8 m³/s. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada.
SEÇÃO (1) SEÇÃO (2)
r(mm) 400 1200
b(mm) 120 80
? 60
srad /21,6060
2.575
)(cot iniiti gVUV ii
ni br
QV
2 ii rU
rbi
nii V
Vsen
i
nirbi sen
VV
)(
11122 UVUV
gH tt
QHmUVUVW ttm )( 1122
RESOLUÇÃO – EX. 10.10srad /21,60
60
2.575
mUVUVg
H tt 475)]6,64)(25,72[(81,9
1)(
11122
MWQHWm 34,37)475)(8)(9810(
ENTRADA
0)(cot 1111 gVUV nt
smbr
QVn /53,26
)12,0)(4,0(2
8
2 111
smrU /09,24)21,60)(4,0(11
1
11cot
nV
Ug
908,053,26
09,24cot 1 g
01 7,47
SAÍDA
)(cot 2222 gVUV nt
smbr
QVn /26,13
)08,0)(2,1(2
8
2 222
smrU /25,72)21,60)(2,1(22
smgVt /6,64)60(cot25,1325,72 02
EXERCÍCIO 10.14• Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 1300 rpm
tem dimensões
Desenhe o diagrama de velocidade de entrada para uma vazão volumétrica de 35 l/s. Determine o ân gulo de entrada nas pás para o qual a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidade de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a potência hidráulica fornecida pela bomba, se a sua eficiência é de 75%. Determine a altura de carga desenvolvida pela bomba.
RESOLUÇÃO – EX. 10.14ENTRADA
smx
br
QVn /57,5
)01,0)(1,0(2
1035
2
3
111
smrU /61,13)1,0)(14,136(11
0)(cot 1111 gVUV nt
1
11cot
nV
Ug
436,257,5
61,13cot 1 g
01 26,22
SAÍDA
smx
br
QVn /24,4
)0075,0)(175,0(2
1035
2
3
222
smrU /82,23)175,0)(14,136(22
)40(cot24,482,23)(cot 02222 ggVUV nt
smVt /76,182
425,424,4
76,18
2
22
n
t
V
Vtg
02 27,77
mUVUVg
H tt 475)]6,64)(25,72[(81,9
1)(
11122
MWQHWm 34,37)475)(8)(9810(
srad /14,13660
21300
01 tV
EXERCÍCIO – 10.17• Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 460 gpm
tem dimensões (Q = 0,029m³/s)
• Desenhe o diagrama de velocidades de entrada. Determine a velocidade de projeto, se a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidades de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a altura de carga teórica desenvolvida pela bomba. Estime a mínima potência mecânica entregue à bomba.
PARÂMETRO ENTRADA SAÍDA
RAIO, r (m) 0,0762 0,1524
Largura da pá, b (m) 0,00762 0,00635
Ângulo da pá, (grau) 25 40
RESOLUÇÃO – EX. 10.17ENTRADA
0)(cot 1111 gVUV nt
smbr
QVn /95,7
)00762,0)(0762,0(2
029,0
2 111
0)(cot 1111 gVrV nt
)(cot 111 gVr n
1
11 )(cot
r
gVn
sradg
/87,2230762,0
)25)(cot95,7( 0
SAÍDA
smVn /77,4)00635,0)(1524,0(2
029,02
smrU /12,34)1524,0)(87,223(22
smgVt /43,28)40(cot77,412,34 02
96,577,4
43,28cot
2
22
n
t
V
Vg
02 47,80
mUVUVg
H tt 88,98]0)43,28)(12,34[(81,9
1)(
11122
WQHWm 28131)88,98)(029,0)(9810(
EXERCÍCIO – 10.25• Dados medidos durante testes de uma bomba centrífuga a 2750 rpm
são
• A vazão é 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 8,5 N.m. Avalie as alturas totais de carga dinâmica na entrada e na saída da bomba, a potência hidráulica entregue ao fluido e a eficiência da bomba. Especifique o tamanho (potência) do motor elétrico necessário para acionar a bomba. Se a efi ciência do motor elétrico for 85%, calcule a potência elétrica necessária.
RESOLUÇÃO – EX. 10.25srad /98,287
60
22750
smQ /³00417,03600
15
)1(
2
)2(arg
2
22sucçãoadesc
p zg
Vpz
g
VpH
)1(
23
)2(arg
23
5,22
)5,2(
9810
101209
2
)5,3(
9810
10500
sucçãoadesc
p g
x
g
xH
mH p 5,4505,156,60
WQHW ph 1863)5,45)(00417,0)(9810(
A potência mecânica de entrada é:
WTWh 2448)98,287)(5,8(
Rendimento ( p )
%7676,02448
1863
m
hp W
W
A potência requerida pelo rotor é:
hpPm 28,376,0
2448
WP
Pe
me 2880
85,0
2448
EXERCÍCIO – 10.17• Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 460 gpm
tem dimensões (Q = 0,029m³/s)
• Desenhe o diagrama de velocidades de entrada. Determine a velocidade de projeto, se a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidades de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a altura de carga teórica desenvolvida pela bomba. Estime a mínima potência mecânica entregue à bomba.
PARÂMETRO ENTRADA SAÍDA
RAIO, r (m) 0,0762 0,1524
Largura da pá, b (m) 0,00762 0,00635
Ângulo da pá, (grau) 25 40
RESOLUÇÃO – EX. 10.17ENTRADA
0)(cot 1111 gVUV nt
smbr
QVn /95,7
)00762,0)(0762,0(2
029,0
2 111
0)(cot 1111 gVrV nt
)(cot 111 gVr n
1
11 )(cot
r
gVn
sradg
/87,2230762,0
)25)(cot95,7( 0
SAÍDA
smVn /77,4)00635,0)(1524,0(2
029,02
smrU /12,34)1524,0)(87,223(22
smgVt /43,28)40(cot77,412,34 02
96,577,4
43,28cot
2
22
n
t
V
Vg
02 47,80
mUVUVg
H tt 88,98]0)43,28)(12,34[(81,9
1)(
11122
WQHWm 28131)88,98)(029,0)(9810(
EXERCÍCIO – 10.25• Dados medidos durante testes de uma bomba centrífuga a 2750 rpm
são
• A vazão é 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 8,5 N.m. Avalie as alturas totais de carga dinâmica na entrada e na saída da bomba, a potência hidráulica entregue ao fluido e a eficiência da bomba. Especifique o tamanho (potência) do motor elétrico necessário para acionar a bomba. Se a efi ciência do motor elétrico for 85%, calcule a potência elétrica necessária.
RESOLUÇÃO – EX. 10.25srad /98,287
60
22750
smQ /³00417,03600
15
)1(
2
)2(arg
2
22sucçãoadesc
p zg
Vpz
g
VpH
)1(
23
)2(arg
23
5,22
)5,2(
9810
101209
2
)5,3(
9810
10500
sucçãoadesc
p g
x
g
xH
mH p 5,4505,156,60
WQHW ph 1863)5,45)(00417,0)(9810(
A potência mecânica de entrada é:
WTWh 2448)98,287)(5,8(
Rendimento ( p )
%7676,02448
1863
m
hp W
W
A potência requerida pelo rotor é:
hpPm 28,376,0
2448
WP
Pe
me 2880
85,0
2448
EXERCÍCIO 10.35
10.35 Uma bomba centrífuga opera a 1750 rpm (183,26 rad/s); o rotor tem pás curvadas para trás com = 60° e b2 = 0,50 in (0,0127 m). A uma vazão de 350 gpm (0,0220815 m³/s), a velocidade radial de saída é
2nV =
11,7 ft/s (3,57 m/s). Estime a altura de carga que esta bomba pode desenvolver a 1150 rpm (120,43 rad/s).
RESOLUÇÃO DO EX. 10.35' = 183,26 rad/s; 2'b = 0,0127 m;
2'nV = 3,57 m/s
'Q = 0,00220815 m³/s; '' = 120,43 rad/s ))()(2(' '
2'
2'2 brVQ n
Considerando o mesmo diâmetro, faremos a análise de semelhança através do coeficiente de vazão.
''
'
''
'
Q
Q 43,120
26,183
''
0220815,0
Q smQ /³0145,0''
Então se os diâmetros são iguais:
''
'''2
'2
n
n
V
V smVn /35,2
26,183
43,120)57,3(''
2
smrU /33,9)0775,0)(43,120('' 2''
2 smVUV nT /16,8)60cos()35,2(33,9cos'' 22
''2
''2
Logo, a altura de carga será dada por:
mg
UVH T 76,7
81,9
)16,8)(33,9(''2
''2
322
2311
1
22212221 D
Q
D
Q
UA
Q
UA
Q
nn
EXERCÍCIO 10.3610.36 Use os dados abaixo para verificar as regras de similaridade para uma bomba com diâmetro de impulsor D = 11,0 in (0,2794 m), operada a 1750 rpm (183,26 rad/s) e 3550 rpm (371,76 rad/s) . N (RPM) Q (gpm) H (ft) Wm (HP) Rendimento
(%) Bomba 1 1750 470 104 17 73 Bomba 2 3550 970 430 135 74 Rad/s Q (m³/s) H (m) Wm (W) Rendimento
(%) Bomba 1
183,26 0,0297 31,7 12.677 73
Bomba 2
371,76 0,0612 131,1 100.670 74
RESOLUÇÃO DO EX. 10.36Os coeficientes de similaridade são:
Vazão: 322
2311
1
D
Q
D
Q
Carga: 22
22
22
121
1
D
H
D
H
Potência: 52
32
251
31
1
D
P
D
P
Considerando 21 DD , tem-se:
030,0)76,371(
)26,183(0612,01
2
121
2
2
1
1 QQQQQ
Este valor encontrado é semelhante ao que está tabelado acima
8,31)76,371(
)26,183(1,131
2
2
122
21
2122
221
1 HHHHH
Este valor encontrado é semelhante ao que está tabelado acima
12060)76,371(
)26,183(100670
3
3
132
31
2132
231
1 PPPPP
Percebe-se mais uma vez a similaridade entre as bombas
EXERCÍCIO 10.46
10.46 Um modelo de bomba centrífuga, em escala 1:3, produz uma vazão
mQ = 32 cfs (pés cúbicos por segundo) ou (0,906 m³/s) com uma altura de carga mH = 15 ft (4,572 m), operando a mN = 100 rpm (10,472 rad/s). Admitindo eficiências comparáveis para modelo e protótipo, estime a vazão, a altura de carga e a potência requerida se a velocidade de projeto é 125 rpm (13,09 rad/s). O fluido é água.
RESOLUÇÃO DO EX. 10.46
3
1
p
m
D
D
Os coeficientes de similaridade são:
Vazão: 58,303472,10
09,13906,0 3
3
33
m
p
m
pmp
pp
p
mm
m
D
DQQ
D
Q
D
Q
Carga: 294,643472,10
09,13572,4 2
222
2222
m
p
m
pmp
pp
p
mm
m
D
DHH
D
H
D
H
Potência: 53
5353
m
p
m
pmp
pp
p
mm
m
D
DPP
D
P
D
P
Contudo, teremos que antes encontrar a potência hidráulica do modelo, que é dada pela equação:
WHQP mmm 40635)572,4)(906,0(9810
Logo: WPp 192691403472,10
09,1340635 5
3
EXERCÍCIO – 10.17• Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 460 gpm
tem dimensões (Q = 0,029m³/s)
• Desenhe o diagrama de velocidades de entrada. Determine a velocidade de projeto, se a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidades de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a altura de carga teórica desenvolvida pela bomba. Estime a mínima potência mecânica entregue à bomba.
PARÂMETRO ENTRADA SAÍDA
RAIO, r (m) 0,0762 0,1524
Largura da pá, b (m) 0,00762 0,00635
Ângulo da pá, (grau) 25 40
RESOLUÇÃO – EX. 10.17ENTRADA
0)(cot 1111 gVUV nt
smbr
QVn /95,7
)00762,0)(0762,0(2
029,0
2 111
0)(cot 1111 gVrV nt
)(cot 111 gVr n
1
11 )(cot
r
gVn
sradg
/87,2230762,0
)25)(cot95,7( 0
SAÍDA
smVn /77,4)00635,0)(1524,0(2
029,02
smrU /12,34)1524,0)(87,223(22
smgVt /43,28)40(cot77,412,34 02
96,577,4
43,28cot
2
22
n
t
V
Vg
02 47,80
mUVUVg
H tt 88,98]0)43,28)(12,34[(81,9
1)(
11122
WQHWm 28131)88,98)(029,0)(9810(
EXERCÍCIO – 10.25• Dados medidos durante testes de uma bomba centrífuga a 2750 rpm
são
• A vazão é 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 8,5 N.m. Avalie as alturas totais de carga dinâmica na entrada e na saída da bomba, a potência hidráulica entregue ao fluido e a eficiência da bomba. Especifique o tamanho (potência) do motor elétrico necessário para acionar a bomba. Se a efi ciência do motor elétrico for 85%, calcule a potência elétrica necessária.
RESOLUÇÃO – EX. 10.25srad /98,287
60
22750
smQ /³00417,03600
15
)1(
2
)2(arg
2
22sucçãoadesc
p zg
Vpz
g
VpH
)1(
23
)2(arg
23
5,22
)5,2(
9810
101209
2
)5,3(
9810
10500
sucçãoadesc
p g
x
g
xH
mH p 5,4505,156,60
WQHW ph 1863)5,45)(00417,0)(9810(
A potência mecânica de entrada é:
WTWh 2448)98,287)(5,8(
Rendimento ( p )
%7676,02448
1863
m
hp W
W
A potência requerida pelo rotor é:
hpPm 28,376,0
2448
WP
Pe
me 2880
85,0
2448
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