RESISTÊNCIA DOS
MATERIAISCAPITULO
Notas de Aula:
Prof. Gilfran Milfont
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-
Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-
2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
9 Deflexão das Vigas
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformação de Viga Sob Carregamento Transversal
1 - 2
• Vimos a seguinte relação entre a curvatura
de uma viga e o momento fletor:
EI
xM )(1
• Para a viga em balanço da figura, temos:
EI
Px
1
• A curvatura varia linearmente com x
• Na extremidade
livre A,
AA
ρρ
,01
• Na extremidade
engastada B,PL
EIB
B
,01
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformação de Viga Sob Carregamento Transversal
1 - 3
• Para a viga biapoiada da figura:
• Determinamos as reações de apoio em A e C;
• Escrevemos as equações e desenhamos o
diagrama de momento fletor;
• Observamos que a curvatura é zero, nos pontos
onde o momento é nulo, isto é, nas extremidades
da viga e no ponto E.
EI
xM )(1
• A curvatura nos dá, então, uma idéia razoável da
forma da viga deformada.
• Notamos também que a curvatura máxima ocorre
onde a magnitude do momento é máxima.
• O projeto de vigas exige informações mais
precisas sobre o deslocamento transversal e a
inclinaçao da viga em vários pontos.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Equação de Linha Elástica
EI
xM )(1
1 - 4
• Do cálculo elementar, temos que a curvatura de
uma curva é dada por:
2
2
232
2
2
1
1
dx
yd
dx
dy
dx
yd
• Substituindo e integrando, temos:
21
00
1
0
2
21
CxCdxxMdxyEI
CdxxMdx
dyEIEI
xMdx
ydEIEI
xx
x
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Equação de Linha Elástica
1 - 5
21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
• C1 e C2 são constantes de integração, determinadas
a partir das condições de contorno para a viga,
conforme exemplos a seguir:
Viga biapoiada:Biapoiada com balanço:
Viga em balanço
• Para carregamentos mais complicados, com
várias cargas, faz-se necessário dividir a viga
em várias partes para representar a eq. do
momento para cada uma. Aí, surgem outras
constantes de integração, o que exige a
aplicação da condição de continuidade da
Linha Elástica e da Declividade como
condições de contorno.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Determinação da LE Diretamente do Carregamento
Distribuído
1 - 6
• Para vigas submetidas a cargas distribuídas:
xwdx
dV
dx
MdxV
dx
dM
2
2
• Ficamos então com a equação:
xwdx
ydEI
dx
Md
4
4
2
2
432
2213
161 CxCxCxC
dxxwdxdxdxxyEI
• Integrando quatro vezes:
• As quatro constantes de integração são
encontrada a partir das condições de contorno.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Vigas Estaticamente Indeterminadas
1 - 7
• Considere a viga AB, engastada em A e apoiada
em B.
• Do diagrama de corpo livre, vemos que existem
quatro incógnitas (reações).
• Temos somente três equações da estática:
000 Ayx MFF
A viga é então, estaticamente indeterminada.
21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
• Para sua solução, lançamos mão de equações
auxiliares, conseguidas a partir das condições de
deslocamento da viga:
Surgem mais duas incógnitas, C1 e C2, que
são encontradas pela aplicação das condições
de controno: 0, :E00,0 :Em yLxmyx
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.1
1 - 8
maLP
EmmIW
2,1m5,4kN220
GPa20010302101360 46
Para a viga ABC da figura, pede-se:
(a) A equação da linha elástica,
(b) determine a flecha máxima,
(c) calcule, para os dados abaixo ymax.
- Reações:
L
aPR
L
PaR BA 1
LxxL
aPM 0
xL
aP
dx
ydEI
2
2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.1
1 - 9
PaLCLCLL
aPyLx
Cyx
6
1
6
10:0, Em
0:0,0 Em
11
3
2
• Integrando e aplicando as condições de
contorno, temos:
213
12
6
1
2
1
CxCxL
aPyEI
CxL
aP
dx
dyEI
xL
aP
dx
ydEI
2
2
32
6 L
x
L
x
EI
PaLy
PaLxxL
aPyEI
L
x
EI
PaL
dx
dyPaLx
L
aP
dx
dyEI
6
1
6
1
3166
1
2
1
3
22
Substituindo,
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.1
1 - 10
• Localizando o ponto onde a declividade é
nula (onde a flecha é máxima).
32
6 L
x
L
x
EI
PaLy
LL
xL
x
EI
PaL
dx
dym
m 577.03
316
02
• A deflexão máxima é dada por:.
32
max 577.0577.06
EI
PaLy
EI
PaLy
60642.0
2
max
6-9
23
max1002310200
5,42,1102200642.0
y mmy 7,5m107,5 3
max
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.3
1 - 11
Para a viga ABC da figura, pede-se:
(a) A reação em A, (b)
A equação da linha elástica, (c) A inclinaçãoem A.
• SOLUÇÃO:
L
xwxRMM
x
L
xwxRM AAD
60
32
10
3
0
2
0
L
xwxRM
dx
ydEI A
6
30
2
2
L
xwxRM
dx
ydEI A
6
30
2
2
21
503
1
402
1206
1
242
1
CxCL
xwxRyEI
CL
xwxREI
dx
dyEI
A
A
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.3
1 - 12
• Condições de contorno:
01206
1:0,
0242
1:0,
0:0,0
21
4
03
1
3
02
2
CLCLw
LRyLx
CLw
LRLx
Cyx
A
A
• Resolvendo para o ponto A:
030
1
3
1 40
3 LwLRA LwRA 010
1
xLwL
xwxLwyEI
3
0
503
0120
1
12010
1
6
1 xLxLxEIL
wy 43250 2
120
• Ficamos então com a eq. da LE:
42240 65120
LxLxEIL
w
dx
dy
EI
LwA
120
30em x = 0,
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Método da Superposição
1 - 13
Princípio da Superposição:
• A deformação e a declividade de
vigas submetidas a vários
carregamentos podem ser obtidas
pela superposição do efeito de cada
carregamento individualmente, que
após somados dão o resultado do
carregamento como um todo.
• Este procedimento é facilitado pela
existência de tabelas que mostram
o efeito de vários tipos de cargas e
condições de apoio de vigas.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.7
1 - 14
Para a viga e o carregamento da
figura, determine a inclinação e a
flecha no ponto B.
SOLUÇÃO:
Superpondo a deformação devido ao carregamento I e II :
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.7
1 - 15
Carregamento I
EI
wLIB
6
3
EI
wLy IB
8
4
Carregamento II
EI
wLIIC
48
3
EI
wLy IIC
128
4
Para o segmento CB, o momento é zero, logo:
EI
wLIICIIB
48
3
EI
wLL
EI
wL
EI
wLy IIB
384
7
248128
434
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.7
1 - 16
EI
wL
EI
wLIIBIBB
486
33
EI
wL
EI
wLyyy IIBIBB
384
7
8
44
EI
wLB
48
7 3
EI
wLyB
384
41 4
Combinando as duas soluções,
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Aplicação da Superposição Para Vigas
Estaticamente Indeterminadas
1 - 17
• O método da superposição pode ser
utilizado para determinação das
reações de apoio em vigas
hiperestáticas.
• Considerando uma das reações (B)
como superabundante.
• Determine a deformação sem o suporte
redundante.
• Trate a reação redundante como uma
carga desconhecida, que somada ao
outro carregamento resulta em uma
deformação compatível com o tipo de
suporte (B).
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.8
1 - 18
Para a viga contínua da figura, determine:
a) A reação em cada apoio,
b) A inclinação na extremidade A.
SOLUÇÃO:
• Considere como “redundante” o suporte B,
• Depois, aplique a reação em B, forçando um deslocamento nulo neste apoio.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.8
1 - 19
• Carga distribuída:
EI
wL
LLLLLEI
wy wB
4
334
01132.0
3
2
3
22
3
2
24
• Reação :
EI
LRLL
EIL
Ry BB
RB
322
01646.033
2
3
• Para que haja a compatibilidade: yB = 0
EI
LR
EI
wLyy B
RBwB
34
01646.001132.00
wLRB 688.0
• Da estática:
wLRwLR CA 0413.0271.0
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 9.8
1 - 20
EI
wL
EI
wLwA
33
04167.024
EI
wLLL
L
EIL
wLRA
322 03398.0
336
0688.0
EI
wL
EI
wLRAwAA
33
03398.004167.0 EI
wLA
3
00769.0
Declividade em A: