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Escola Municipal de Ensino Fundamental Rui Palmeira - Disciplina: Matemtica Prof Marcos 9 ano
APOSTILA
DE
MATEMTICA
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SUMRIO 1. Razes de nmeros negativos, com ndices pares e mpares....................................................................03
2. Radiciao com expoentes Racionais........................................................................................................03
3. Propriedades dos radicais..........................................................................................................................04
4. Simplificao de Radicais......................................................................................................................,....06
5. Adio e Subtrao dos radicais................................................................................................................07
6. Clculo com radicais...................................................................................................................................08
7. Racionalizao............................................................................................................................................09
8. Equao do 2 grau - Equao...................................................................................................................10
9. Resolvendo Equaes do 2 grau..............................................................................................................11
10. Forma Geral da Equao do 2 Grau.........................................................................................................11
11. Trinmios quadrados perfeitos e equao do 2 grau................................................................................12
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Razes de nmeros negativos, com ndices pares e mpares
Radiciao com expoentes Racionais
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 2
Razes de ndice par de nmeros negativos no so nmeros reais, ou seja no existem: EX
: =3, pois = 3.3 = 9
=2 pois = 2.2.2 = 1
= 3, no existe, pois = = 729
=3 pois = 3.3.3.3.3.3 = 729 Razes com ndice mpares e nmeros negativos so nmeros reais
EX:
= -3, pois Muitas razes so nmeros irracionais, tendo infinitas casas decimais, e no apresentam um perodo, por exemplo:
= 1,4142135623731 neste caso podemos aproximar as razes por um nmero racional, ficaria da seguinte forma
1,41
1) Resolva: nas alternativas, as quais no existirem os nmeros reais use o smbolo no existe
a) =
b)
=
c)
=
d)
=
2) Aproxime as razes dos nmeros abaixo, por um nmero racional
a) =
b) =
c)
=
Nmeros racionais so aqueles nmeros que podem ser representados por meio de uma frao, exemplo
0,25 este nmero pode ser representado pelas seguintes fraes,
...
logo nestes casos iremos usar a frao mais simplificada, ou seja 0,25 =
como sabemos que a radiciao a operao inversa da radiciao, podemos dizer
tambm, que,
Exemplo:
=
ou seja
=
1) Resolva as alternativas:
a)
=
b) =
c)
=
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Propriedades dos radicais
2) Resolva as alternativas:
a)
=
b)
=
c)
Propriedade 1: Igualdade de expoentes e ndices
Quando ndice e expoentes so nmeros iguais
a, pois
Veja o exemplo:
8, pois
Neste caso devemos ter cuidado com o radicando negativo, aqui vale a mesma regra, se o ndice for par, o resultado diferente.
Quando o ndice mpar
-8, pois
Quando o ndice for par , pois
Nisto podemos afirmar a seguinte proposio
Propriedade 2: Equivalncia de radicais
Para obter a equivalncia de um radical, basta multiplicar ou dividir um mesmo nmero pelo radica e ndice ao
mesmo tempo, vejamos:
Multiplicao
Ex: temos
, seP=2, ento
Diviso
Ex: temos
se P=2, ento
Propriedade 3: Raiz de um produto e Produto de razes
Raiz de um produto
Neste caso multiplica se os radicando, ou seja os fatores.
Propriedade 3 Produto de razes
ou seja,
Neste caso dizemos o seguinte: A raiz de um produto igual ao produto das razes dos fatores desse produto, ou seja:
A raiz de um produto, EX:
igual ao produto das razes desses fatores
Ou seja:
=
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR 3
Propriedade 4: Raiz de quociente e quociente de razes
Raiz de quociente
= 3
Neste caso divide se os radicando, e depois calcula-se a raiz
Quociente de razes
= 6 : 2 = 3, ou seja
Neste caso dizemos que a raiz de um quociente igual ao quociente das razes do dividendo e do divisor
A raiz de um quociente
igual ao quociente das razes do dividendo e do divisor = 6 : 2 = 3
Para determinar
usando a calculadora que tem a digitando 6561 e apertando duas vezes esta tecla, e obter o 9.
Neste caso ela se define como raiz de uma raiz, por exemplo, a
pode ser definida pela ,
transformando em um potncia teramos
seguindo o mesmo princpio, transformando em potncia a
raiz dentro dos parntese
, multiplicando os expoentes teramos
Podemos analisar outros casos tambm, por exemplo
=
=
=
=
1) Resolva observando a igualdade de expoentes e ndices:
a)
b)
c)
d)
2) Resolva calcule as equivalncias de radicais sendo p=2
a)
b)
c)
d)
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Simplificao dos radicais
3) Calcule os produtos e os quociente das razes:
a)
b)
c)
d)
e)
f) =
3) Resolva:
a)
=
b)
=
c) =
O primeiro passo da simplificao a fatorao, iremos fazer isso com a
Para isso devemos fatorar 91125 por nmeros primos
Logo temos
Podemos observar que tanto os expoentes de todos os fatores so mltiplos do ndice do radicando, ento podemos simplific-las.
Perceba, que atravs da fatorao de 91125 e da simplificao dos expoentes dos fatores pelo ndice extramos
sua raiz cbica e eliminamos assim o radical.
Veja outra situao:
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR 4
Adio e Subtrao de radicais
Como os expoentes de e so divisveis pelo ndice, ento podemos ver que:
Podemos usar tambm a seguinte frmula
700= 100 . 7
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Outro exemplo:
16 =8.2
1) Simplifique as radiciaes
a)
b)
c)
d)
e)
Em uma expresso algbrica, podemos somar ou subtrair os termos semelhantes, vejamos: 2x + 2y +3x 4y = 5x + 7y No caso dos radicais, podemos somar ou subtrair os radicais semelhantes, que so aqueles que tem o mesmo radicando e o mesmo ndice. Vejamos radicais semelhantes
8
Vejamos radicais no semelhantes
5
5
8
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 5
Clculos com radicais
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 6
Ento podemos somar e subtrais os radicais semelhantes
5 =
=
1) Calcule os radicais:
a)
b)
+
=
Calculando a rea do retngulo ao lado
cmedida de comprimento medida de largura Lembramos que para medir a rea de um retngulo a frmula
Logo temos
A usando a 3 propriedade podemos escrever
A rea do retngulo Vejamos outras situaes
Neste caso devemos prestar bem a ateno na semelhana dos radicais.
Neste caso aplicamos a juno dos radicais semelhantes
Neste caso usa-se a simplificao de radicais
Vejamos outro clculo com radicais, neste caso podemos usar a propriedade 3
+
=
=
cm
cm
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Racionalizao
1) sabendo que para medir a rea deve-se calcular c.l : sabendo disso calcule a rea do seguinte retngulo
a)
b)
Quando tornamos o divisor racional, ento fizemos sua racionalizao. Observe que os nmeros irracionais tm infinitas casas decimais e no representam perodo. Vejamos esta diviso:
=
=7 . . Neste caso, foi necessrio usar uma aproximao para , pois um
nmero irracional. Podemos evitar essas divises trabalhosa, encontrando uma diviso equivalente a diviso original, e que
no tenha nmero irracional como divisor. Acompanhe o raciocnio:
=
Ento
Outros casos podem ocorrer como por exemplo:
Podemos observar aqui que o denominador um radical, onde o ndice diferente do expoente, neste
problema devemos encontra uma raiz onde a sobra do expoente dos radicandos sejam iguais ao ndice.
=
Aplicando ao nosso problema:
Neste caso usamos
para a racionalizao
Outra situao muito usada, a que vem com produtos notveis, uma raiz somando outra
cm
cm
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR 7
Equao do 2 grau
Resolvendo Equao do 2 grau
Toda vez que isso acontecer, devemos usar o produto notvel da soma pela diferena
( a + b) (a b) = Na pratica seria assim:
1 ) faa a racionalizao:
a)
b)
c)
O que uma equao? Em matemtica, uma equao uma afirmao que estabelece uma igualdade entre duas expresses matemticas. Resumindo: uma igualdade em que aparece uma letra (incgnita) a representar um valor desconhecido. EX: x+3=9 O 1 membro de uma equao a expresso esquerda do sinal = . O 2 membro de uma equao a expresso direita do sinal = . Os membros so constitudos pelos termos da equao.
Resolver uma equao significa descobrir o valor da incgnita que torna a igualdade verdadeira. Quando duas equaes tm a mesma soluo, diz-se que so equivalentes.
COMO RESOLVER UMA EQUAO?
Regra prtica n 1: Numa equao, podemos mudar um termo de um membro para o outro, trocando-lhe o sinal. Sempre o primeiro membro deixaremos a incgnita
x+3=9 x = 9 3 x = 6 ento encontramos o valor de x, para comprovar, podemos pegar a equao inicial e substituir x por seu valor
6+3=9 9=9 Tudo o que est no primeiro membro exatamente igual ao que est no segundo membro. Bom a equao do 1 grau, o maior valor do expoente 1
Veja : x+3=9 A equao do segundo grau, o maior valor do expoente 2
EX: =9
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Frmula geral de uma equao do 2
grau
Qual nmero elevando ao quadrado igual a vinte e cinco?
Para isso montamos a equao do 2 grau
usamos ento a mesma forma para calcular esta equao, s que h dois nmeros que elevados ao quadrado resultam em 25, por isso devemos usar a expresso , o que vamos ter dois resultados.
x = 5 ou seja, 5 e -5 so as solues para a equao do segundo grau , o que sendo uma equao de primeiro
grau so haveria uma soluo possvel.
Vejamos outro exemplo
, onde a,b e c so nmeros reais com a 0 a o coeficiente do termo
b o coeficiente do termo x
c o coeficiente do termo independente
EX: na equao 2 5x + 7 a = 2, b = 5 e c = 7 Somente a 0, os outros elementos podem ser igual a zero, quando isso acontece, chamamos de equao
incompleta
EX:
a = 1, b = 4 e c = 0
a = 4, b = 0 e c = 2
a = 2, b = 0 e c = 0
Vejamos esta situao, onde os temos esto desorganizada
primeira coisa que devemos fazer simplificar os termos semelhantes, se houver
Neste caso h termos semelhantes, calculamos 3x x = 2x, agora organiza-se os membros
Onde a = 4, b =2 e c = -6
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Trinmios quadrados perfeitos do 2
grau grau
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 8
Tendo a seguinte figura;
A rea de quadrado perfeito A = l.l
Logo temos neste caso ou podemos fazer isso de forma distributiva
ou seja (a.a) + (a.b) + (b.a) + (b.b) isso nos chamamos de trinmio Isso que dizer que :
Quando for a forma trinmio ser , pois ou seja (a.a)- (-a.b) - (-b.a) - (+b.b)
Quando for a forma trinmio ser , pois
ou seja (2x.2x) + (2x.3) + (3.2x) + (3.3)
1) O que uma equao?
2) o que caracteriza uma equao do 2 grau?
3) Resolva as equaes de 1 e 2 grau
a) 2x + 5 = 25
b) 5x +8 = 3x 4
c)
d)
4) responda que a, b, e c, nas equaes abaixo:
a)
b)
c)
d)
5) Qual o trinmio quadrado das seguintes expresses:
a)
b)
a
a b
b