Apostila Radiciação e Inicio de Equação 2º Grau 9° Ano

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Apostila de Maremática Rui Palmeira 9° ano

Citation preview

  • 1

    Escola Municipal de Ensino Fundamental Rui Palmeira - Disciplina: Matemtica Prof Marcos 9 ano

    APOSTILA

    DE

    MATEMTICA

  • 2

    SUMRIO 1. Razes de nmeros negativos, com ndices pares e mpares....................................................................03

    2. Radiciao com expoentes Racionais........................................................................................................03

    3. Propriedades dos radicais..........................................................................................................................04

    4. Simplificao de Radicais......................................................................................................................,....06

    5. Adio e Subtrao dos radicais................................................................................................................07

    6. Clculo com radicais...................................................................................................................................08

    7. Racionalizao............................................................................................................................................09

    8. Equao do 2 grau - Equao...................................................................................................................10

    9. Resolvendo Equaes do 2 grau..............................................................................................................11

    10. Forma Geral da Equao do 2 Grau.........................................................................................................11

    11. Trinmios quadrados perfeitos e equao do 2 grau................................................................................12

  • 3

    Razes de nmeros negativos, com ndices pares e mpares

    Radiciao com expoentes Racionais

    ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1

    ATIVIDADE COMPLEMENTAR 2

    Razes de ndice par de nmeros negativos no so nmeros reais, ou seja no existem: EX

    : =3, pois = 3.3 = 9

    =2 pois = 2.2.2 = 1

    = 3, no existe, pois = = 729

    =3 pois = 3.3.3.3.3.3 = 729 Razes com ndice mpares e nmeros negativos so nmeros reais

    EX:

    = -3, pois Muitas razes so nmeros irracionais, tendo infinitas casas decimais, e no apresentam um perodo, por exemplo:

    = 1,4142135623731 neste caso podemos aproximar as razes por um nmero racional, ficaria da seguinte forma

    1,41

    1) Resolva: nas alternativas, as quais no existirem os nmeros reais use o smbolo no existe

    a) =

    b)

    =

    c)

    =

    d)

    =

    2) Aproxime as razes dos nmeros abaixo, por um nmero racional

    a) =

    b) =

    c)

    =

    Nmeros racionais so aqueles nmeros que podem ser representados por meio de uma frao, exemplo

    0,25 este nmero pode ser representado pelas seguintes fraes,

    ...

    logo nestes casos iremos usar a frao mais simplificada, ou seja 0,25 =

    como sabemos que a radiciao a operao inversa da radiciao, podemos dizer

    tambm, que,

    Exemplo:

    =

    ou seja

    =

    1) Resolva as alternativas:

    a)

    =

    b) =

    c)

    =

  • 4

    Propriedades dos radicais

    2) Resolva as alternativas:

    a)

    =

    b)

    =

    c)

    Propriedade 1: Igualdade de expoentes e ndices

    Quando ndice e expoentes so nmeros iguais

    a, pois

    Veja o exemplo:

    8, pois

    Neste caso devemos ter cuidado com o radicando negativo, aqui vale a mesma regra, se o ndice for par, o resultado diferente.

    Quando o ndice mpar

    -8, pois

    Quando o ndice for par , pois

    Nisto podemos afirmar a seguinte proposio

    Propriedade 2: Equivalncia de radicais

    Para obter a equivalncia de um radical, basta multiplicar ou dividir um mesmo nmero pelo radica e ndice ao

    mesmo tempo, vejamos:

    Multiplicao

    Ex: temos

    , seP=2, ento

    Diviso

    Ex: temos

    se P=2, ento

    Propriedade 3: Raiz de um produto e Produto de razes

    Raiz de um produto

    Neste caso multiplica se os radicando, ou seja os fatores.

    Propriedade 3 Produto de razes

    ou seja,

    Neste caso dizemos o seguinte: A raiz de um produto igual ao produto das razes dos fatores desse produto, ou seja:

    A raiz de um produto, EX:

    igual ao produto das razes desses fatores

    Ou seja:

    =

  • 5

    ATIVIDADE COMPLEMENTAR 3

    Propriedade 4: Raiz de quociente e quociente de razes

    Raiz de quociente

    = 3

    Neste caso divide se os radicando, e depois calcula-se a raiz

    Quociente de razes

    = 6 : 2 = 3, ou seja

    Neste caso dizemos que a raiz de um quociente igual ao quociente das razes do dividendo e do divisor

    A raiz de um quociente

    igual ao quociente das razes do dividendo e do divisor = 6 : 2 = 3

    Para determinar

    usando a calculadora que tem a digitando 6561 e apertando duas vezes esta tecla, e obter o 9.

    Neste caso ela se define como raiz de uma raiz, por exemplo, a

    pode ser definida pela ,

    transformando em um potncia teramos

    seguindo o mesmo princpio, transformando em potncia a

    raiz dentro dos parntese

    , multiplicando os expoentes teramos

    Podemos analisar outros casos tambm, por exemplo

    =

    =

    =

    =

    1) Resolva observando a igualdade de expoentes e ndices:

    a)

    b)

    c)

    d)

    2) Resolva calcule as equivalncias de radicais sendo p=2

    a)

    b)

    c)

    d)

  • 6

    Simplificao dos radicais

    3) Calcule os produtos e os quociente das razes:

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f) =

    3) Resolva:

    a)

    =

    b)

    =

    c) =

    O primeiro passo da simplificao a fatorao, iremos fazer isso com a

    Para isso devemos fatorar 91125 por nmeros primos

    Logo temos

    Podemos observar que tanto os expoentes de todos os fatores so mltiplos do ndice do radicando, ento podemos simplific-las.

    Perceba, que atravs da fatorao de 91125 e da simplificao dos expoentes dos fatores pelo ndice extramos

    sua raiz cbica e eliminamos assim o radical.

    Veja outra situao:

  • 7

    ATIVIDADE COMPLEMENTAR 4

    Adio e Subtrao de radicais

    Como os expoentes de e so divisveis pelo ndice, ento podemos ver que:

    Podemos usar tambm a seguinte frmula

    700= 100 . 7

    10

    Outro exemplo:

    16 =8.2

    1) Simplifique as radiciaes

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    Em uma expresso algbrica, podemos somar ou subtrair os termos semelhantes, vejamos: 2x + 2y +3x 4y = 5x + 7y No caso dos radicais, podemos somar ou subtrair os radicais semelhantes, que so aqueles que tem o mesmo radicando e o mesmo ndice. Vejamos radicais semelhantes

    8

    Vejamos radicais no semelhantes

    5

    5

  • 8

    ATIVIDADE COMPLEMENTAR 5

    Clculos com radicais

    ATIVIDADE COMPLEMENTAR 6

    Ento podemos somar e subtrais os radicais semelhantes

    5 =

    =

    1) Calcule os radicais:

    a)

    b)

    +

    =

    Calculando a rea do retngulo ao lado

    cmedida de comprimento medida de largura Lembramos que para medir a rea de um retngulo a frmula

    Logo temos

    A usando a 3 propriedade podemos escrever

    A rea do retngulo Vejamos outras situaes

    Neste caso devemos prestar bem a ateno na semelhana dos radicais.

    Neste caso aplicamos a juno dos radicais semelhantes

    Neste caso usa-se a simplificao de radicais

    Vejamos outro clculo com radicais, neste caso podemos usar a propriedade 3

    +

    =

    =

    cm

    cm

  • 9

    Racionalizao

    1) sabendo que para medir a rea deve-se calcular c.l : sabendo disso calcule a rea do seguinte retngulo

    a)

    b)

    Quando tornamos o divisor racional, ento fizemos sua racionalizao. Observe que os nmeros irracionais tm infinitas casas decimais e no representam perodo. Vejamos esta diviso:

    =

    =7 . . Neste caso, foi necessrio usar uma aproximao para , pois um

    nmero irracional. Podemos evitar essas divises trabalhosa, encontrando uma diviso equivalente a diviso original, e que

    no tenha nmero irracional como divisor. Acompanhe o raciocnio:

    =

    Ento

    Outros casos podem ocorrer como por exemplo:

    Podemos observar aqui que o denominador um radical, onde o ndice diferente do expoente, neste

    problema devemos encontra uma raiz onde a sobra do expoente dos radicandos sejam iguais ao ndice.

    =

    Aplicando ao nosso problema:

    Neste caso usamos

    para a racionalizao

    Outra situao muito usada, a que vem com produtos notveis, uma raiz somando outra

    cm

    cm

  • 10

    ATIVIDADE COMPLEMENTAR 7

    Equao do 2 grau

    Resolvendo Equao do 2 grau

    Toda vez que isso acontecer, devemos usar o produto notvel da soma pela diferena

    ( a + b) (a b) = Na pratica seria assim:

    1 ) faa a racionalizao:

    a)

    b)

    c)

    O que uma equao? Em matemtica, uma equao uma afirmao que estabelece uma igualdade entre duas expresses matemticas. Resumindo: uma igualdade em que aparece uma letra (incgnita) a representar um valor desconhecido. EX: x+3=9 O 1 membro de uma equao a expresso esquerda do sinal = . O 2 membro de uma equao a expresso direita do sinal = . Os membros so constitudos pelos termos da equao.

    Resolver uma equao significa descobrir o valor da incgnita que torna a igualdade verdadeira. Quando duas equaes tm a mesma soluo, diz-se que so equivalentes.

    COMO RESOLVER UMA EQUAO?

    Regra prtica n 1: Numa equao, podemos mudar um termo de um membro para o outro, trocando-lhe o sinal. Sempre o primeiro membro deixaremos a incgnita

    x+3=9 x = 9 3 x = 6 ento encontramos o valor de x, para comprovar, podemos pegar a equao inicial e substituir x por seu valor

    6+3=9 9=9 Tudo o que est no primeiro membro exatamente igual ao que est no segundo membro. Bom a equao do 1 grau, o maior valor do expoente 1

    Veja : x+3=9 A equao do segundo grau, o maior valor do expoente 2

    EX: =9

  • 11

    Frmula geral de uma equao do 2

    grau

    Qual nmero elevando ao quadrado igual a vinte e cinco?

    Para isso montamos a equao do 2 grau

    usamos ento a mesma forma para calcular esta equao, s que h dois nmeros que elevados ao quadrado resultam em 25, por isso devemos usar a expresso , o que vamos ter dois resultados.

    x = 5 ou seja, 5 e -5 so as solues para a equao do segundo grau , o que sendo uma equao de primeiro

    grau so haveria uma soluo possvel.

    Vejamos outro exemplo

    , onde a,b e c so nmeros reais com a 0 a o coeficiente do termo

    b o coeficiente do termo x

    c o coeficiente do termo independente

    EX: na equao 2 5x + 7 a = 2, b = 5 e c = 7 Somente a 0, os outros elementos podem ser igual a zero, quando isso acontece, chamamos de equao

    incompleta

    EX:

    a = 1, b = 4 e c = 0

    a = 4, b = 0 e c = 2

    a = 2, b = 0 e c = 0

    Vejamos esta situao, onde os temos esto desorganizada

    primeira coisa que devemos fazer simplificar os termos semelhantes, se houver

    Neste caso h termos semelhantes, calculamos 3x x = 2x, agora organiza-se os membros

    Onde a = 4, b =2 e c = -6

  • 12

    Trinmios quadrados perfeitos do 2

    grau grau

    ATIVIDADE COMPLEMENTAR 8

    Tendo a seguinte figura;

    A rea de quadrado perfeito A = l.l

    Logo temos neste caso ou podemos fazer isso de forma distributiva

    ou seja (a.a) + (a.b) + (b.a) + (b.b) isso nos chamamos de trinmio Isso que dizer que :

    Quando for a forma trinmio ser , pois ou seja (a.a)- (-a.b) - (-b.a) - (+b.b)

    Quando for a forma trinmio ser , pois

    ou seja (2x.2x) + (2x.3) + (3.2x) + (3.3)

    1) O que uma equao?

    2) o que caracteriza uma equao do 2 grau?

    3) Resolva as equaes de 1 e 2 grau

    a) 2x + 5 = 25

    b) 5x +8 = 3x 4

    c)

    d)

    4) responda que a, b, e c, nas equaes abaixo:

    a)

    b)

    c)

    d)

    5) Qual o trinmio quadrado das seguintes expresses:

    a)

    b)

    a

    a b

    b