Apostila Radiciação e Inicio de Equação 2º Grau 9° Ano

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Escola Municipal de Ensino Fundamental Rui Palmeira - Disciplina: Matemtica Prof Marcos 9 ano

APOSTILA

DE

MATEMTICA

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SUMRIO 1. Razes de nmeros negativos, com ndices pares e mpares....................................................................03

2. Radiciao com expoentes Racionais........................................................................................................03

3. Propriedades dos radicais..........................................................................................................................04

4. Simplificao de Radicais......................................................................................................................,....06

5. Adio e Subtrao dos radicais................................................................................................................07

6. Clculo com radicais...................................................................................................................................08

7. Racionalizao............................................................................................................................................09

8. Equao do 2 grau - Equao...................................................................................................................10

9. Resolvendo Equaes do 2 grau..............................................................................................................11

10. Forma Geral da Equao do 2 Grau.........................................................................................................11

11. Trinmios quadrados perfeitos e equao do 2 grau................................................................................12

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Razes de nmeros negativos, com ndices pares e mpares

Radiciao com expoentes Racionais

ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1


Razes de ndice par de nmeros negativos no so nmeros reais, ou seja no existem: EX

: =3, pois = 3.3 = 9

=2 pois = 2.2.2 = 1

= 3, no existe, pois = = 729

=3 pois = 3.3.3.3.3.3 = 729 Razes com ndice mpares e nmeros negativos so nmeros reais

EX:

= -3, pois Muitas razes so nmeros irracionais, tendo infinitas casas decimais, e no apresentam um perodo, por exemplo:

= 1,4142135623731 neste caso podemos aproximar as razes por um nmero racional, ficaria da seguinte forma

1,41

1) Resolva: nas alternativas, as quais no existirem os nmeros reais use o smbolo no existe

a) =

b)

=

c)

=

d)

=

2) Aproxime as razes dos nmeros abaixo, por um nmero racional

a) =

b) =

c)

=

Nmeros racionais so aqueles nmeros que podem ser representados por meio de uma frao, exemplo

0,25 este nmero pode ser representado pelas seguintes fraes,

...

logo nestes casos iremos usar a frao mais simplificada, ou seja 0,25 =

como sabemos que a radiciao a operao inversa da radiciao, podemos dizer

tambm, que,

Exemplo:

=

ou seja

=

1) Resolva as alternativas:

a)

=

b) =

c)

=

4

Propriedades dos radicais

2) Resolva as alternativas:

a)

=

b)

=

c)

Propriedade 1: Igualdade de expoentes e ndices

Quando ndice e expoentes so nmeros iguais

a, pois

Veja o exemplo:

8, pois

Neste caso devemos ter cuidado com o radicando negativo, aqui vale a mesma regra, se o ndice for par, o resultado diferente.

Quando o ndice mpar

-8, pois

Quando o ndice for par , pois

Nisto podemos afirmar a seguinte proposio

Propriedade 2: Equivalncia de radicais

Para obter a equivalncia de um radical, basta multiplicar ou dividir um mesmo nmero pelo radica e ndice ao

mesmo tempo, vejamos:

Multiplicao

Ex: temos

, seP=2, ento

Diviso

Ex: temos

se P=2, ento

Propriedade 3: Raiz de um produto e Produto de razes

Raiz de um produto

Neste caso multiplica se os radicando, ou seja os fatores.

Propriedade 3 Produto de razes

ou seja,

Neste caso dizemos o seguinte: A raiz de um produto igual ao produto das razes dos fatores desse produto, ou seja:

A raiz de um produto, EX:

igual ao produto das razes desses fatores

Ou seja:

=

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Propriedade 4: Raiz de quociente e quociente de razes

Raiz de quociente

= 3

Neste caso divide se os radicando, e depois calcula-se a raiz

Quociente de razes

= 6 : 2 = 3, ou seja

Neste caso dizemos que a raiz de um quociente igual ao quociente das razes do dividendo e do divisor

A raiz de um quociente

igual ao quociente das razes do dividendo e do divisor = 6 : 2 = 3

Para determinar

usando a calculadora que tem a digitando 6561 e apertando duas vezes esta tecla, e obter o 9.

Neste caso ela se define como raiz de uma raiz, por exemplo, a

pode ser definida pela ,

transformando em um potncia teramos

seguindo o mesmo princpio, transformando em potncia a

raiz dentro dos parntese

, multiplicando os expoentes teramos

Podemos analisar outros casos tambm, por exemplo

=

=

=

=

1) Resolva observando a igualdade de expoentes e ndices:

a)

b)

c)

d)

2) Resolva calcule as equivalncias de radicais sendo p=2

a)

b)

c)

d)

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Simplificao dos radicais

3) Calcule os produtos e os quociente das razes:

a)

b)

c)

d)

e)

f) =

3) Resolva:

a)

=

b)

=

c) =

O primeiro passo da simplificao a fatorao, iremos fazer isso com a

Para isso devemos fatorar 91125 por nmeros primos

Logo temos

Podemos observar que tanto os expoentes de todos os fatores so mltiplos do ndice do radicando, ento podemos simplific-las.

Perceba, que atravs da fatorao de 91125 e da simplificao dos expoentes dos fatores pelo ndice extramos

sua raiz cbica e eliminamos assim o radical.

Veja outra situao:

7


Adio e Subtrao de radicais

Como os expoentes de e so divisveis pelo ndice, ento podemos ver que:

Podemos usar tambm a seguinte frmula

700= 100 . 7

10

Outro exemplo:

16 =8.2

1) Simplifique as radiciaes

a)

b)

c)

d)

e)

Em uma expresso algbrica, podemos somar ou subtrair os termos semelhantes, vejamos: 2x + 2y +3x 4y = 5x + 7y No caso dos radicais, podemos somar ou subtrair os radicais semelhantes, que so aqueles que tem o mesmo radicando e o mesmo ndice. Vejamos radicais semelhantes

8

Vejamos radicais no semelhantes

5

5

8


Clculos com radicais


Ento podemos somar e subtrais os radicais semelhantes

5 =

=

1) Calcule os radicais:

a)

b)

+

=

Calculando a rea do retngulo ao lado

cmedida de comprimento medida de largura Lembramos que para medir a rea de um retngulo a frmula

Logo temos

A usando a 3 propriedade podemos escrever

A rea do retngulo Vejamos outras situaes

Neste caso devemos prestar bem a ateno na semelhana dos radicais.

Neste caso aplicamos a juno dos radicais semelhantes

Neste caso usa-se a simplificao de radicais

Vejamos outro clculo com radicais, neste caso podemos usar a propriedade 3

+

=

=

cm

cm

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Racionalizao

1) sabendo que para medir a rea deve-se calcular c.l : sabendo disso calcule a rea do seguinte retngulo

a)

b)

Quando tornamos o divisor racional, ento fizemos sua racionalizao. Observe que os nmeros irracionais tm infinitas casas decimais e no representam perodo. Vejamos esta diviso:

=

=7 . . Neste caso, foi necessrio usar uma aproximao para , pois um

nmero irracional. Podemos evitar essas divises trabalhosa, encontrando uma diviso equivalente a diviso original, e que

no tenha nmero irracional como divisor. Acompanhe o raciocnio:

=

Ento

Outros casos podem ocorrer como por exemplo:

Podemos observar aqui que o denominador um radical, onde o ndice diferente do expoente, neste

problema devemos encontra uma raiz onde a sobra do expoente dos radicandos sejam iguais ao ndice.

=

Aplicando ao nosso problema:

Neste caso usamos

para a racionalizao

Outra situao muito usada, a que vem com produtos notveis, uma raiz somando outra

cm

cm

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Equao do 2 grau

Resolvendo Equao do 2 grau

Toda vez que isso acontecer, devemos usar o produto notvel da soma pela diferena

( a + b) (a b) = Na pratica seria assim:

1 ) faa a racionalizao:

a)

b)

c)

O que uma equao? Em matemtica, uma equao uma afirmao que estabelece uma igualdade entre duas expresses matemticas. Resumindo: uma igualdade em que aparece uma letra (incgnita) a representar um valor desconhecido. EX: x+3=9 O 1 membro de uma equao a expresso esquerda do sinal = . O 2 membro de uma equao a expresso direita do sinal = . Os membros so constitudos pelos termos da equao.

Resolver uma equao significa descobrir o valor da incgnita que torna a igualdade verdadeira. Quando duas equaes tm a mesma soluo, diz-se que so equivalentes.

COMO RESOLVER UMA EQUAO?

Regra prtica n 1: Numa equao, podemos mudar um termo de um membro para o outro, trocando-lhe o sinal. Sempre o primeiro membro deixaremos a incgnita

x+3=9 x = 9 3 x = 6 ento encontramos o valor de x, para comprovar, podemos pegar a equao inicial e substituir x por seu valor

6+3=9 9=9 Tudo o que est no primeiro membro exatamente igual ao que est no segundo membro. Bom a equao do 1 grau, o maior valor do expoente 1

Veja : x+3=9 A equao do segundo grau, o maior valor do expoente 2

EX: =9

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Frmula geral de uma equao do 2

grau

Qual nmero elevando ao quadrado igual a vinte e cinco?

Para isso montamos a equao do 2 grau

usamos ento a mesma forma para calcular esta equao, s que h dois nmeros que elevados ao quadrado resultam em 25, por isso devemos usar a expresso , o que vamos ter dois resultados.

x = 5 ou seja, 5 e -5 so as solues para a equao do segundo grau , o que sendo uma equao de primeiro

grau so haveria uma soluo possvel.

Vejamos outro exemplo

, onde a,b e c so nmeros reais com a 0 a o coeficiente do termo

b o coeficiente do termo x

c o coeficiente do termo independente

EX: na equao 2 5x + 7 a = 2, b = 5 e c = 7 Somente a 0, os outros elementos podem ser igual a zero, quando isso acontece, chamamos de equao

incompleta

EX:

a = 1, b = 4 e c = 0

a = 4, b = 0 e c = 2

a = 2, b = 0 e c = 0

Vejamos esta situao, onde os temos esto desorganizada

primeira coisa que devemos fazer simplificar os termos semelhantes, se houver

Neste caso h termos semelhantes, calculamos 3x x = 2x, agora organiza-se os membros

Onde a = 4, b =2 e c = -6

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Trinmios quadrados perfeitos do 2

grau grau


Tendo a seguinte figura;

A rea de quadrado perfeito A = l.l

Logo temos neste caso ou podemos fazer isso de forma distributiva

ou seja (a.a) + (a.b) + (b.a) + (b.b) isso nos chamamos de trinmio Isso que dizer que :

Quando for a forma trinmio ser , pois ou seja (a.a)- (-a.b) - (-b.a) - (+b.b)

Quando for a forma trinmio ser , pois

ou seja (2x.2x) + (2x.3) + (3.2x) + (3.3)

1) O que uma equao?

2) o que caracteriza uma equao do 2 grau?

3) Resolva as equaes de 1 e 2 grau

a) 2x + 5 = 25

b) 5x +8 = 3x 4

c)

d)

4) responda que a, b, e c, nas equaes abaixo:

a)

b)

c)

d)

5) Qual o trinmio quadrado das seguintes expresses:

a)

b)

a

a b

b

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