.
.
Sistemas com atraso temporal
Grupo 06.
Disrael CamargoJefferson Stafusa E. PortelaJoaquim Manoel da SilvaJoao Bosco de Siqueira
Robison Albano Simao
.Instituto de Fısica Teorica - UNESP
.Metodos Matematicos em Biologia de Populacoes
24 de fevereiro de 2008
Sumario
Sumario
1 O que e atrasoEquacoes
2 Efeitos
3 Motivacao biologica
4 Aplicacao
5 Equacao logıstica com atrasoComportamento assintoticoSeries temporais
6 Uma aplicacao adicional
7 Presa-Predador com atrasoModelosSeries temporais - modelo 1Series temporais - modelo 2
8 Alguns artigo nao utilizados
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
Sumario
Sumario
1 O que e atrasoEquacoes
2 Efeitos
3 Motivacao biologica
4 Aplicacao
5 Equacao logıstica com atrasoComportamento assintoticoSeries temporais
6 Uma aplicacao adicional
7 Presa-Predador com atrasoModelosSeries temporais - modelo 1Series temporais - modelo 2
8 Alguns artigo nao utilizados
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
Sumario
Sumario
1 O que e atrasoEquacoes
2 Efeitos
3 Motivacao biologica
4 Aplicacao
5 Equacao logıstica com atrasoComportamento assintoticoSeries temporais
6 Uma aplicacao adicional
7 Presa-Predador com atrasoModelosSeries temporais - modelo 1Series temporais - modelo 2
8 Alguns artigo nao utilizados
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
Sumario
Sumario
1 O que e atrasoEquacoes
2 Efeitos
3 Motivacao biologica
4 Aplicacao
5 Equacao logıstica com atrasoComportamento assintoticoSeries temporais
6 Uma aplicacao adicional
7 Presa-Predador com atrasoModelosSeries temporais - modelo 1Series temporais - modelo 2
8 Alguns artigo nao utilizados
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
Sumario
Sumario
1 O que e atrasoEquacoes
2 Efeitos
3 Motivacao biologica
4 Aplicacao
5 Equacao logıstica com atrasoComportamento assintoticoSeries temporais
6 Uma aplicacao adicional
7 Presa-Predador com atrasoModelosSeries temporais - modelo 1Series temporais - modelo 2
8 Alguns artigo nao utilizados
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
Sumario
Sumario
1 O que e atrasoEquacoes
2 Efeitos
3 Motivacao biologica
4 Aplicacao
5 Equacao logıstica com atrasoComportamento assintoticoSeries temporais
6 Uma aplicacao adicional
7 Presa-Predador com atrasoModelosSeries temporais - modelo 1Series temporais - modelo 2
8 Alguns artigo nao utilizados
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
Sumario
Sumario
1 O que e atrasoEquacoes
2 Efeitos
3 Motivacao biologica
4 Aplicacao
5 Equacao logıstica com atrasoComportamento assintoticoSeries temporais
6 Uma aplicacao adicional
7 Presa-Predador com atrasoModelosSeries temporais - modelo 1Series temporais - modelo 2
8 Alguns artigo nao utilizados
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
Sumario
Sumario
1 O que e atrasoEquacoes
2 Efeitos
3 Motivacao biologica
4 Aplicacao
5 Equacao logıstica com atrasoComportamento assintoticoSeries temporais
6 Uma aplicacao adicional
7 Presa-Predador com atrasoModelosSeries temporais - modelo 1Series temporais - modelo 2
8 Alguns artigo nao utilizados
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
O que e atraso Equacoes
O que e?
Equacao diferencial
sem atraso:dx
dt= f (x)
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
O que e atraso Equacoes
O que e?
Equacao diferencial
sem atraso:dx
dt= f (x)
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
O que e atraso Equacoes
O que e?
Equacao diferencial
sem atraso:dx(t)
dt= f (x(t))
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
O que e atraso Equacoes
O que e?
Equacao diferencial
sem atraso:dN(t)
dt= f (N(t))
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
O que e atraso Equacoes
O que e?
Equacao diferencial
sem atraso:dN(t)
dt= f (N(t))
com atraso:dN(t)
dt= f (N(t − T ))
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
O que e atraso Equacoes
O que e?
Equacao diferencial
sem atraso:dN(t)
dt= f (N(t))
com atraso:dN(t)
dt= f (N(t),N(t − T ))
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
O que e atraso Equacoes
O que e?
Equacao diferencial
sem atraso:dN(t)
dt= f (N(t))
com atraso:dN(t)
dt= f (N(t),N(t − T ))
.Mapa: xn+1 = f (xn)
. . .
. . .1
n2x f x = ( )1 x f x n−1
x0
x f x = ( )0
= ( )M
.G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
O que e atraso Equacoes
O que e?
Equacao diferencial
sem atraso:dN(t)
dt= f (N(t))
com atraso:dN(t)
dt= f (N(t),N(t − T ))
.
Mapa
sem atraso:un+1 = f (un)
com atraso:un+1 = f (un, un−T )
.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
Efeitos
Consequencia da introducao do atraso
Oscilacoes
Solucoes de uma eq. dif. 1-D (homogenea) nunca oscilam,demonstracao: Murray I, pg. 17;
a introducao de atraso possibilita solucoes oscilatorias.
.
Exemplo
Equacao com atraso:dN
dt= − π
2TN(t − T ),
solucao:
N = A cosπt
2T.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 4 / 29
Efeitos
Consequencia da introducao do atraso
Oscilacoes
Solucoes de uma eq. dif. 1-D (homogenea) nunca oscilam,demonstracao: Murray I, pg. 17;
a introducao de atraso possibilita solucoes oscilatorias.
.
Exemplo
Equacao com atraso:dN
dt= − π
2TN(t − T ),
solucao:
N = A cosπt
2T.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 4 / 29
Efeitos
Consequencia da introducao do atraso
Oscilacoes
Solucoes de uma eq. dif. 1-D (homogenea) nunca oscilam,demonstracao: Murray I, pg. 17;
a introducao de atraso possibilita solucoes oscilatorias.
.
Exemplo
Equacao com atraso:dN
dt= − π
2TN(t − T ),
solucao:
N = A cosπt
2T.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 4 / 29
Motivacao biologica
Razoes para incluir atrasos
Motivacao biologica
competicao intra-especıfica dependente da idade;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t)− N(t − T )2
K
perıodos de maturacao/gestacao;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t − T )− N(t)2
K
migracao e difusao de populacoes;
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
Motivacao biologica
Razoes para incluir atrasos
Motivacao biologica
competicao intra-especıfica dependente da idade;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t)− N(t − T )2
K
perıodos de maturacao/gestacao;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t − T )− N(t)2
K
migracao e difusao de populacoes;
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
Motivacao biologica
Razoes para incluir atrasos
Motivacao biologica
competicao intra-especıfica dependente da idade;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t)− N(t − T )2
K
perıodos de maturacao/gestacao;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t − T )− N(t)2
K
migracao e difusao de populacoes;
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
Motivacao biologica
Razoes para incluir atrasos
Motivacao biologica
competicao intra-especıfica dependente da idade;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t)− N(t − T )2
K
perıodos de maturacao/gestacao;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t − T )− N(t)2
K
migracao e difusao de populacoes;
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
Motivacao biologica
Razoes para incluir atrasos
Motivacao biologica
competicao intra-especıfica dependente da idade;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t)− N(t − T )2
K
perıodos de maturacao/gestacao;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t − T )− N(t)2
K
migracao e difusao de populacoes;
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
Motivacao biologica
Razoes para incluir atrasos
Motivacao biologica
competicao intra-especıfica dependente da idade;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t)− N(t − T )2
K
perıodos de maturacao/gestacao;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t − T )− N(t)2
K
migracao e difusao de populacoes;
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
Motivacao biologica
Razoes para incluir atrasos
Motivacao biologica
competicao intra-especıfica dependente da idade;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t)− N(t − T )2
K
perıodos de maturacao/gestacao;
dN(t)
dt= rN(t)− N(t)2
K=⇒ dN(t)
dt= rN(t − T )− N(t)2
K
migracao e difusao de populacoes;
atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
Aplicacao
Aplicacao
Equacao de Hutchinson (equacao logıstica com atraso):
dN(t)
dt= rN(t)
(1− N(t − T )
K
).
Modelo usado (May, 1975) na descricao da populacao de “varejeiras dasovelhas” (Lucillia cuprina). (rT = 2,1, atraso de 9 dias (11))
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 6 / 29
Aplicacao
Aplicacao
Equacao de Hutchinson (equacao logıstica com atraso) normalizada:
dN(t)
dt= rTN(t)(1− N(t − 1)).
Modelo usado (May, 1975) na descricao da populacao de “varejeiras dasovelhas” (Lucillia cuprina). (rT = 2,1, atraso de 9 dias (11))
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 6 / 29
Aplicacao
Aplicacao
Equacao de Hutchinson (equacao logıstica com atraso) normalizada:
dN(t)
dt= rTN(t)(1− N(t − 1)).
Modelo usado (May, 1975) na descricao da populacao de “varejeiras dasovelhas” (Lucillia cuprina). (rT = 2,1, atraso de 9 dias (11))
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 6 / 29
Aplicacao
Aplicacao
Equacao de Hutchinson (equacao logıstica com atraso) normalizada:
dN(t)
dt= rTN(t)(1− N(t − 1)).
Modelo usado (May, 1975) na descricao da populacao de “varejeiras dasovelhas” (Lucillia cuprina). (rT = 2,1, atraso de 9 dias (11))
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 6 / 29
Equacao logıstica com atraso Comportamento assintotico
Equacao equacao logıstica com atrasoEstabilidade de N(t) = 1
Equacao logıstica com atraso (Hutchinson)
dN(t)
dt= rTN(t)(1− N(t − 1)).
.
Sendo R ≡ limt→∞
∫ t
t−1r(s)ds:
Estabilidade da solucao N = 1, com r = r(t)
RT ≤ 1,5 −→ N = 1 estavel – provado
1,5 < RT ≤ π/2 −→ N = 1 estavel – conjectura
π/2 < RT −→ N = 1 instavel – ?
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 7 / 29
Equacao logıstica com atraso Series temporais
Equacao logıstica com atraso (rT < 1,5)
dN(t)
dt= rTN(t)(1− N(t − 1)).
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 8 / 29
Equacao logıstica com atraso Series temporais
Equacao logıstica com atraso (rT = 1,5)
dN(t)
dt= rTN(t)(1− N(t − 1)).
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 9 / 29
Equacao logıstica com atraso Series temporais
Equacao logıstica com atraso (rT > π/2)
dN(t)
dt= rTN(t)(1− N(t − 1)).
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 10 / 29
Equacao logıstica com atraso Series temporais
Equacao logıstica com atraso (rT > π/2)
dN(t)
dt= rTN(t)(1− N(t − 1)).
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 11 / 29
Equacao logıstica com atraso Series temporais
Equacao logıstica com atraso (rT > π/2)
dN(t)
dt= rTN(t)(1− N(t − 1)).
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 12 / 29
Uma aplicacao adicional
Uma aplicacao adicional
Artigo:
W.W. Murdoch et al. (2002)“Single-species models for many-species food webs” Nature 417: 541–543.
Resultados:
Teorico: por meio do perıodo de oscilacoes em populacoes (cıclicas),e possıvel distinguir o mecanismo que as causam: se intra-especıficoou inter-especıfico;
Observacional: dado isto, mostra-se estatisticamente que especiesgeneralistas tem dinamica essencialmente intra-especıfica.
O tempo de maturacao (atraso τ) e perıodo de oscilacao (T ) da especiedevem ser conhecidos.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 13 / 29
Uma aplicacao adicional
Uma aplicacao adicional
Artigo:
W.W. Murdoch et al. (2002)“Single-species models for many-species food webs” Nature 417: 541–543.
Resultados:
Teorico: por meio do perıodo de oscilacoes em populacoes (cıclicas),e possıvel distinguir o mecanismo que as causam: se intra-especıficoou inter-especıfico;
Observacional: dado isto, mostra-se estatisticamente que especiesgeneralistas tem dinamica essencialmente intra-especıfica.
O tempo de maturacao (atraso τ) e perıodo de oscilacao (T ) da especiedevem ser conhecidos.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 13 / 29
Uma aplicacao adicional
Uma aplicacao adicional
Resultado teorico:
Por meio do perıodo T de oscilacao em populacoes e seu tempo dematuracao τ , e possıvel distinguir o mecanismo que as causam:se intra-especıfico ou inter-especıfico.
“Lemas”:
indıcios matematicos e numericospara dinamica cıclica tipo presa-predador, i. e., inter-especıfica
=⇒ T ≥ 4τP + 2τV ;
dinamica intra-especıfica, como degeracao-unica ou com retorno atra-sado (delayed feedback)
=⇒ T . 4τ .
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
Uma aplicacao adicional
Uma aplicacao adicional
Resultado teorico:
Por meio do perıodo T de oscilacao em populacoes e seu tempo dematuracao τ , e possıvel distinguir o mecanismo que as causam:se intra-especıfico ou inter-especıfico.
“Lemas”:
indıcios matematicos e numericospara dinamica cıclica tipo presa-predador, i. e., inter-especıfica
=⇒ T ≥ 4τP + 2τV ;
dinamica intra-especıfica, como degeracao-unica ou com retorno atra-sado (delayed feedback)
=⇒ T . 4τ .
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
Uma aplicacao adicional
Uma aplicacao adicional
Resultado teorico:
dinamica inter-especıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV
dinamica intra-especıfica =⇒ T . 4τP
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
Uma aplicacao adicional
Uma aplicacao adicional
Resultado teorico:
dinamica inter-especıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV
dinamica intra-especıfica =⇒ T . 4τP
Resultados observacional:
Especies generalistas tem dinamica essencialmente intra-especıfica.
Dados:
mais de 100 populacoes claramente cıclicas (de 40 especies);
series temporais de ao menos 25 anos, com perıodos bem definidos;
papel trofico bem conhecido: especialistas × (predadores)generalistas;
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
Uma aplicacao adicional
Uma aplicacao adicional
Resultado teorico:
dinamica inter-especıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV
dinamica intra-especıfica =⇒ T . 4τP
Resultados observacional:
Especies generalistas tem dinamica essencialmente intra-especıfica.
Dados:
mais de 100 populacoes claramente cıclicas (de 40 especies);
series temporais de ao menos 25 anos, com perıodos bem definidos;
papel trofico bem conhecido: especialistas × (predadores)generalistas;
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
Uma aplicacao adicional
Uma aplicacao adicional
Resultado teorico:
dinamica inter-especıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV
dinamica intra-especıfica =⇒ T . 4τP
Resultados observacional:
Especies generalistas tem dinamica essencialmente intra-especıfica.
Tratamento:
perıodos normalizados pelos respectivos atrasos: T/τ ;
dados divididos em dois grupos: T . 4τ ou nao;
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
Uma aplicacao adicional
Uma aplicacao adicional
Resultado teorico:
dinamica inter-especıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV
dinamica intra-especıfica =⇒ T . 4τP
Resultados observacional:
Especies generalistas tem dinamica essencialmente intra-especıfica.
Resultado:
95% das populacoes tiveram seu papel trofico corretamenteidentificado pelo criterio teorico.
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
Presa-Predador com atraso Modelos
Presa-Predador com atrasoModelos
Para nossas simulacoes numericas adotamos:
Modelo 1
dV (t)/dt = αV (t)− βV (t)P(t − τ),
dP(t)/dt = rP(t − τ)V (t − τ)− r/KP(t − τ)2,
Modelo 2
dV (t)/dt = αV (t)− βV (t)P(t − τ),
dP(t)/dt = rP(t − τ)V (t − τ)− λP(t − τ),
sendo α = 1/2, β = 1/4 e r = 1/5 (ambos os modelos),e K = 1/2 (modelo 1) e λ = 1/4 (modelo 2).
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 15 / 29
Presa-Predador com atraso Modelos
Presa-Predador com atrasoModelos
Para nossas simulacoes numericas adotamos:
Modelo 1
dV (t)/dt = αV (t)− βV (t)P(t − τ),
dP(t)/dt = rP(t − τ)V (t − τ)− r/KP(t − τ)2,
Modelo 2
dV (t)/dt = αV (t)− βV (t)P(t − τ),
dP(t)/dt = rP(t − τ)V (t − τ)− λP(t − τ),
sendo α = 1/2, β = 1/4 e r = 1/5 (ambos os modelos),e K = 1/2 (modelo 1) e λ = 1/4 (modelo 2).
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 15 / 29
Presa-Predador com atraso Modelos
Presa-Predador com atrasoModelos
Para nossas simulacoes numericas adotamos:
Modelo 1
dV (t)/dt = αV (t)− βV (t)P(t − τ),
dP(t)/dt = rP(t − τ)V (t − τ)− r/KP(t − τ)2,
Modelo 2
dV (t)/dt = αV (t)− βV (t)P(t − τ),
dP(t)/dt = rP(t − τ)V (t − τ)− λP(t − τ),
sendo α = 1/2, β = 1/4 e r = 1/5 (ambos os modelos),e K = 1/2 (modelo 1) e λ = 1/4 (modelo 2).
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 15 / 29
Presa-Predador com atraso Series temporais - modelo 1
Series temporais - modelo 1 (τ = 0,0)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 16 / 29
Presa-Predador com atraso Series temporais - modelo 1
Series temporais - modelo 1 (τ = 0,2)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 17 / 29
Presa-Predador com atraso Series temporais - modelo 1
Series temporais - modelo 1 (τ = 0,4)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 18 / 29
Presa-Predador com atraso Series temporais - modelo 1
Series temporais - modelo 1 (τ = 0,6)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 19 / 29
Presa-Predador com atraso Series temporais - modelo 1
Series temporais - modelo 1 (τ = 0,7)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 20 / 29
Presa-Predador com atraso Series temporais - modelo 2
Series temporais - modelo 2 (τ = 0,0)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 21 / 29
Presa-Predador com atraso Series temporais - modelo 2
Series temporais - modelo 2 (τ = 0,1)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 22 / 29
Presa-Predador com atraso Series temporais - modelo 2
Series temporais - modelo 2 (τ = 0,2)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 23 / 29
Presa-Predador com atraso Series temporais - modelo 2
Series temporais - modelo 2 (τ = 0,3)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 24 / 29
Presa-Predador com atraso Series temporais - modelo 2
Series temporais - modelo 2 (τ = 0,4)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 25 / 29
Presa-Predador com atraso Series temporais - modelo 2
Series temporais - modelo 2 (τ = 0,5)
G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 26 / 29
Alguns artigo nao utilizados
Alguns artigo nao utilizados
G.E. Hutchinson (1948) “Circular Causal Systems in Ecology”Annals of the New York Academy of Sciences 50: 221–246.• http://www.wku.edu/∼smithch/biogeog/HUTC1948.htm
R.M. May (1973)“Time-Delay Versus Stability in Population Models with Two and ThreeTrophic Levels” Ecology 54(2): 315–325• Carnıvoros estabilizando sistema herbıvoro-vegetacao com atraso.
R.M. May (1973) “Time delays are not necessarily destabilizing”Mathematical Biosciences 27(1-2): 109–117.• Atraso estabilizando equilıbrio instavel.
L.R. Nie et al. (2007)“Noise and time delay: Suppressed population explosion of the mutualismsystem” EuroPhysicsLetters 79: 20005.• Mais estabilizacao – modelo tipo Lotka-Volterra para mutualismo.
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Alguns artigo nao utilizados
Alguns artigo nao utilizados
S. Chatterjeea, K. Dasb, J. Chattopadhyay (2007)“Time delay factor can be used as a key factor for preventing the outbreakof a disease – Results drawn from a mathematical study of a one seasoneco-epidemiological model”Nonlinear Analysis: Real World Applications 8(5): 1472–1493.• Atraso (por maturacao) em presas susceptıveis evita epidemia.
W.-T. Li, S. Ruan, Z.-C. Wang (2007)“On the Diffusive Nicholson’s Blowflies Equation with Nonlocal Delay”Journal of Nonlinear Science 17(6): 505–525.• Atraso espaco-temporal (nao-local) no sistema das varejeiras.
M. Munster-Swendsen, A. Berryman (2005) “Detecting the causes ofpopulation cycles by analysis of R-functions: the spruce needle-miner,Epinotia tedella, and its parasitoids in Danish spruce plantations”Oikos 108(3): 495–502.• Separando oscilacoes forcadas pelo ambiente das dinamicas.
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Alguns artigo nao utilizados
J.W.-H. So, J.S. Yu (1995) “Global Attractivity for a Population Modelwith Time Delay” Proceedings of the American Mathematical Society,123(9): 2687–2694.(estabilidade do pto fixo de Hutchinson)
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